Elettrostatica

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm

(versione del 22-1-2008)

2

Equazioni fondamentali

● Equazioni per il campo elettrico

● Equazioni di legame materiale per un mezzo lineare isotropo

0ˆ =⋅∫Γ

dltE

∫∫ ρ=⋅VS

ˆ dVdS cnDcρ=⋅∇ D

0=×∇ E

0=σE

ED ε=

3

Potenziale elettrico

● Il campo elettrico è irrotazionale può essere espresso come gradiente di un potenziale V (unità di misura volt, V)

● La differenza di potenziale VAB tra due punti A e B rappresenta il lavoro compiuto dal campo elettrico quando una carica unitaria si sposta lungo una linea arbitraria Γ da A a B

V−∇=E

ABVdldl =−=⋅∇−=⋅ ∫∫ V(B)V(A)ˆVˆB

A

B

A

ttE

4

Potenziale elettrico

● Il potenziale è definito a meno di una costante additiva

● Per eliminare l’indeterminazione si pone uguale a zero il potenziale di un punto di riferimento O scelto arbitrariamente

(di solito si pone uguale a zero il potenziale all’infinito)

● Quindi il potenziale in un punto P è

● V(P) rappresenta il lavoro compiuto dal campo elettrico per spostare una carica unitaria dal punto P al punto O (o che si deve compiere, contrastando il campo elettrico, per spostare la carica dal punto O al punto P)

∫∫ ⋅=⋅∇==O

P

P

O

PˆˆVV(P) dldlV tEt

0V(O) O ==V

5

Equazioni di Poisson e di Laplace

● Si considera una regione τ, delimitata da una superficie S(eventualmente all’infinito) e sede di un mezzo lineare isotropo omogeneo

● Si assume che in τ sia presente una distribuzione di carica con densitàvolumetrica ρc

● Dalle equazioni fondamentali si può ricavare l’equazione che consente di determinare il potenziale nota la distribuzione di carica

● Come caso particolare, se la densità di carica è nulla in tutta la regione τ, si ha

( )ερ

−=∇⇒ρ=∇−⋅∇ε⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

ε=ρ=⋅∇

−∇=⇒=×∇C

Cc VV

V02

ED

D

EE

0V2 =∇

Equazione di Poisson

Equazione di Laplace

6

Equazioni di Poisson e di Laplace

● Affinché la soluzione dell’equazione di Poisson o di Laplace sia univocamente determinata occorre associare all’equazione delle opportune condizioni al contorno

● In particolare si possono avere:

Condizioni di Dirichletè assegnato il valore del potenziale in tutti i punti della superficie di contorno del dominio τCondizioni di Neumannè assegnato il valore della derivata normale del potenziale in tutti i punti della superficie di contorno del dominio τ

n̂Vn

V⋅∇=

∂∂ (Questo equivale ad assegnare la componente

del campo elettrico normale alla superficie S)

7

Campo e potenziale di una carica puntiforme

● Carica puntiforme q situata in un mezzo lineare isotropo omogeneo

● Per ragioni di simmetria il campo elettrico è uniforme sulle superfici sferiche aventi centro nel punto in cui ècollocata la caricaè ortogonale a tali superfici (che quindi sono equipotenziali)ha intensità dipendente solo dalla distanza r dalla carica

● Dalla legge di Gauss si ottiene

● Dato che

ponendo uguale a zero il potenziale per r tendente all’infinito si ha

rErD ˆ4

4ˆ2

2

r

qqrEdS

S πε=⇒=πε=⋅∫

rE ˆVdr

dV−=−∇=

r

q

x

qdx

x

qdxxEr

rrr πε=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

πε−=

πε==

∞∞∞

∫∫ 444)()V(

2

8

Legge di Coulomb

● Cariche q1 e q2 poste a distanza r12 in un mezzo lineare isotropo omogeneo

● Forza agente sulla carica q2

● Forza agente sulla carica q1

12212

212122 ˆ

4)(P rEF

r

qqq

πε==

212212

21212

12

211211 ˆ

4ˆ

4)(P FrrEF −=

πε−=

πε==

r

qq

r

qqq

9

Energia di un sistema di cariche puntiformi

● Si considerano due cariche poste a distanza r in un mezzo lineare isotropo omogeneo

● Se si applica uno spostamento dl ad una delle cariche, il lavoro compiuto dalle forze dal campo elettrico vale

● dL dipende solo dalla variazione della distanza tra le cariche(non da quale carica si sposta né dallo spostamento compiuto)

drr

qqFdrddL

221

4πε==⋅= lF

10

Energia di un sistema di cariche puntiformi

● Se due cariche inizialmente poste a distanza r12 vengono portate a distanza infinita il lavoro compiuto dal campo elettrico vale

● Lo stesso risultato si ottiene valutando il lavoro che si deve compiere, contrastando le forze del campo elettrico, per portarea distanza r12 due cariche inizialmente poste a distanza infinita

● WE rappresenta l’energia dovuta all’interazione elettrostatica del sistema di cariche

Dipende solo dai valori delle cariche e dalla loro distanza(non dai percorsi seguiti o dall’ordine con cui vengono spostate le cariche)

12

21212

21

44412 12

r

qq

r

qqdr

r

qqW

r rE πε

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

πε−=

πε= ∫

∞ ∞

11

Energia di un sistema di cariche puntiformi

● Il lavoro necessario per portare una terza carica q3 dall’infinito a distanza r13 da q1 e r23 da q2 è

(somma dei lavori necessari per avvicinare q3 a q1 in assenza di q2 e q3 a q2 in assenza di q1)

L’energia elettrostatica del sistema di tre cariche vale

23

32

13

31

12

21

444 r

qq

r

qq

r

qqWE πε

+πε

+πε

=

23

32

13

31

44 r

qq

r

qqL

πε+

πε=

12

Energia di un sistema di cariche puntiformi

● Più in generale, per un sistema di N cariche puntiformi, l’energia elettrostatica risulta

Vi rappresenta il potenziale generato dalle altre cariche nel punto in cui è si trova la carica qi

il fattore 1/2 è dovuto al fatto che nella doppia sommatoria ogni addendo compare due volte

i

N

ii

N

i

N

ijj ij

jiE Vq

r

qqW ∑∑∑

==≠=

=πε

=11 1 2

1

42

1

∑≠= πε

=N

ijj ij

ji r

qV

1 4

13

Cρ

P

Q

rPQ

τd

● Si considera una distribuzione di carica con densità ρc situata in un mezzo lineare isotropo omogeneo

● La carica contenuta in un elemento di volume infinitesimo dτ centrato nel punto Q, è assimilabile ad una carica puntiforme dq = ρcdτ

● Tale carica produce nel punto P il potenziale

● L’equazione che lega il potenziale alla densità di carica è lineare

Si può valutare il campo sommando i contributi dei singoli elementi di volume

(τc = regione in cui ρc ≠ 0)

Potenziale di una distribuzione volumetrica di cariche

∫τ

τπερ

=c

dr

c

PQ4

(Q)V(P)

τπερ

= dr

d c

PQ4

(Q)V(P)

14

Energia elettrostatica di una distribuzione di cariche

● Estendendo l’espressione ricavata per di un insieme di cariche puntiformi

nel caso di una distribuzione volumetrica di carica si ottiene

● Espressioni analoghe valgono per distribuzioni superficiali e lineari

∫τ

τρ=C

VdW cE 2

1

∫

∫

Γ

λ=

σ=

c

c

VdlW

VdSW

cE

S

cE

2

1

2

1

i

N

iiE VqW ∑

=

=12

1

15

Energia del campo elettrostatico

● Facendo uso della legge di Gauss si può esprimere WE nella forma

● Utilizzando l’identità vettoriale

si ottiene

● Infine, applicando il teorema della divergenza al primo integrale e facendo uso della relazione E = −∇V, si ha

(Sc = superficie che racchiude la regione τc contenente le cariche)

∫∫ττ

τ∇⋅−τ⋅∇=CC

ddWE V2

1)(V

2

1DD

VV)(V)( ∇⋅+⋅∇=⋅∇ DDD

∫∫ττ

τ⋅∇=τρ=CC

ddW cE V)(2

1V

2

1D

∫∫τ

τ⋅+⋅=CC

ddSWS

E EDnD2

1ˆV

2

1

16

Energia del campo elettrostatico

● Nel caso si una distribuzione di cariche tutta al finito, il risultato non cambia se al posto di τc si considera una sfera di raggio r contente τc

● Facendo tendere r a infinito il primo integrale tende a zero:la superficie della sfera tende a infinito come r2

V tende a zero come 1/rD tende a zero come 1/r2

● Al secondo integrale dà contributo solo la regione τE in cui il campo èdiverso da zero

Si ottiene l’espressione

Si può interpretare come densità di energia associata al campo elettrostatico la quantità

∫∫ττ

τε=τ⋅=EE

dEdWE2

2

1

2

1ED

2

2

1

2

1E

d

dWE ε=⋅=τ

ED

17

Conduttori in regime elettrostatico

● Dato che deve valere la condizione σE = 0 risulta

Il campo elettrico può essere diverso da 0 solo in un mezzo isolante (σ = 0)

All’interno di un conduttore

il campo elettrico è nullo

il potenziale è costante

La superficie esterna di un conduttore è una superficie equipotenziale

il componente tangenziale del campo elettrico è nullo

il campo elettrico all’esterno del conduttore è normale alla superficie

00

00

=σ⇒≠=⇒≠σ

E

E

18

Conduttori in regime elettrostatico

● Per una generica superficie chiusainterna al conduttore, dalla legge diGauss si ottiene

La densità di carica all’interno delconduttore è nulla

● Se all’esterno il campo elettrico è diverso da 0, sulla superficie del conduttore risulta

Sulla superficie del conduttore si deve avere una densitàsuperficiale di carica

0ˆ1 =⋅ε= ∫ dSqS

nE

esternoall'

internoall'

222

1

ˆ

0

nD

D

D==

1n̂

2n̂

222 EDc ε==σ

S

0, 11 ≠σε

0, 22 =σε

19

Campo all’esterno dei conduttori

● Si assume ρC = 0 all’esterno dei conduttori

● Si possono avere solo linee di campo che vanno

da un conduttore a un altro (Γ1)da un conduttore all’infinito (Γ2)

● Non è possibile che una linea di campo

si richiuda su se stessa (Γ3)colleghi due punti dello stesso conduttore (Γ4)

1Γ

2Γ

4Γ

3Γ

20

Campo all’esterno dei conduttori

● Dato che lungo una linea di campo si ha sempre

si otterrebbe

1Γ

2Γ

4Γ

3Γ

∫Γ

=⇒=⋅3

00ˆ EtE dl

00V(B)V(A)ˆ

4

=⇒=−=⋅∫Γ

EtE dl

0ˆ ≥=⋅ EtE

A

B

21

● Conduttore con cavità

● Densità di carica nulla all’interno della cavità

● Ragionando come nel caso precedente si dimostra che non possono esistere linee di campo

chiuse (Γ1)

che collegano due punti del conduttore (Γ2)

Il campo elettrico all’interno della cavità deve essere nullo (anche in presenza di campi all’esterno)

Schermo elettrostatico

Schermi elettrostatici

1Γ2Γ

0=E0≠E

22

Proprietà delle superfici corrispondenti

● Due conduttori separati da un dielettrico lineare isotropo omogeneo

● Si considera un tubo di flusso di D che ha origine sul conduttore 1 e termina sul conduttore 2

● Sulle superfici terminali S1 e S2 D è discontinuo, quindi devono essere presenti due distribuzioni superficiali di carica (σc1, σc2)

● Si considera la superficie chiusa formata dalla superficie laterale del tubo e dalle due superfici Σ1 e Σ2 interne ai conduttori

● Il flusso di D attraverso questa superficie è nullo (D è nullo all’interno dei conduttori ed è tangente alla superficie laterale)

Le cariche su S1 e S2sono uguali e opposte

4342143421Q

dS

Q

dSS

c

S

c

−

σ−=σ ∫∫21

2211

23

Capacità

● Si considera una generica sezione S del tubo di flusso normale alle linee di campo di D (e quindi di E)

● Le sezioni normali sono superfici equipotenziali

● Dato che nello spazio tra i conduttori D è solenoidale, al variare della sezione normale il flusso di D è costante ed è pari al valore assoluto Q della carica sulle aree terminali

QdSdSDdSDdSS

c

SSS

=σ===⋅ ∫∫∫∫11

1111n̂D

24

Capacità

● Si valuta la differenza di potenziale tra i conduttori utilizzando come percorso di integrazione una linea di campo di D

● Si definisce capacità C (unità farad, F) del tubo di flusso il rapporto tra il valore assoluto della carica sulle sezioni terminali e la differenza di potenziale tra i conduttori

● La capacità dipende solo dalla geometria del sistema e dalle proprietàdel mezzo interposto tra i conduttori

∫∫ =⋅=2

1

2

1

12 ˆ EdldlV nE

∫

∫== 2

1

12 Edl

DdS

V

QC S

25

Capacità

Γ0, Γ = linee di campo

S, S’ = superfici equipotenziali

● La differenza di potenziale tra S e S’ può essere espressa come

Quindi vale la relazione

dlEdlEdV ΓΓ == 00

dl

dlEE 0

0ΓΓ =

Γ=

Γ=

Γ

Γ

curva la lungo valutato campo

curva la lungo valutato campo

E

E 00

26

Capacità

● Si considera la quantità dV / Q e si esprimono dV e Q in funzione del campo elettrico sulla linea Γ0

● La capacità può essere determinata integrando lungo la curva Γ0

● Questa relazione mostra come C dipenda solo da ε e dalle proprietà geometriche del tubo di flusso

∫∫∫∫ ε=

ε=

ε==

Γ

ΓΓΓ

SSSS

dSdldldl

dSdldl

E

dlE

EdS

dlE

DdS

dlE

Q

dV

0

0

0

000

0

000

∫∫

∫∫

Γ ε===

2

1

)(

0

02

1

2

1

0

1

o

lS

dSdldl

dl

Q

dV

Q

dV

C

27

Capacità

● Se la distanza tra due superfici equipotenziali è uguale lungo tutte le linee di campo (e quindi E è uniforme su ogni sezione normale), si ha

● Se, inoltre, ε è costante (cioè all’interno del tubo di flusso il mezzo è omogeneo )

● Infine, se l’area della sezione normale non dipende da l

∫ε=2

1 )(

11

lS

dl

C

12

122

1

11

l

SC

S

ldl

SC

ε=⇒

ε=

ε= ∫

∫ ∫ ε=⇒=

2

1

)(

0 11

lS

dS

dl

Cdl

dl

l12 = lunghezza del tubo di flusso

28

Condensatore

● Condensatore: sistema formato da due conduttori (armature) disposti in modo tale che tutte le linee di campo uscenti da un conduttore terminino sull’altro

Le cariche totali sulle superfici dei conduttori sono uguali e opposte

● Si definisce capacità del condensatore il rapporto

Q = valore assoluto della carica

V1 = potenziale del conduttorecon carica +Q

V2 = potenziale del conduttorecon carica −Q

1V 2V

Q+ Q−

21 VV

QC

−=

29

Esempio - condensatore a facce piane parallele

● Armature piane parallele di area S

● Distanza tra le armature d piccola rispetto alle dimensioni lineari delle armature

● Se si trascurano gli effetti di bordo, si può assumere che il campo elettrico tra le armature sia uniforme

d

SC ε=d

S

E

30

Esempio - condensatore sferico

● Il campo si sviluppa tra due superfici sferiche concentriche

● Il campo ha andamento radiale ed èuniforme su ogni superficie sferica Sconcentrica con le armature

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πε=

πε=

ε= ∫∫

ei

r

r

r

r rrr

dr

rS

dr

C

e

i

e

i

11

4

1

4

1

)(

112

ei rr

C11

4

−

πε=

ri

re

S(r)

31

Esempio - condensatore cilindrico

● Il campo si sviluppa tra due superficicilindriche coassiali

● Se si prescinde dagli effetti di bordoalle estremità del cilindro, il campo haandamento radiale ed è uniforme suogni superficie cilindrica coassialecon le armature

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πε

=πε

=ε

= ∫∫i

e

r

r

r

r r

r

hhr

dr

rS

dr

C

e

i

e

i

ln2

1

2

1

)(

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πε

=

i

e

rr

hC

ln

2ri

re

h

32

Energia elettrostatica di un condensatore

● In un condensatore la carica è distribuita sulle superficie delle armature e su ciascuna armatura il potenziale è costante

● Utilizzando l’espressione dell’energia di una distribuzione superficiale si ottiene che l’energia accumulata in un condensatore vale

● I due integrali rappresentano le cariche sulle armature, quindi si ha

● Dato che Q = C VAB, si ricavano anche le espressioni

C

QCVQVW ABABE

22

2

1

2

1

2

1===

ABBAE QVVVQW2

1)(

2

1=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+== ∫∫∫

BAc S

cB

S

cA

S

cE dSVdSVdSW σσσ2

1V

2

1

33

Forza tra le armature di un condensatore

● F = risultante delle forze agenti su un’armatura

● Fe = forza esterna necessaria a mantenere in equilibrio l’armatura

● Si può valutare Fe ( e quindi F) applicando uno spostamento virtuale dx(nella direzione di Fe) all’armatura

● Si assume che il condensatore siaisolato carica Q costante

● Il lavoro fornito da Fe deve essere uguale alla variazione dell’energiaaccumulata nel condensatore

● Quindi si ottieneEe dWdxF =

dx

dCV

dx

dC

C

Q

C

Q

dx

d

dx

dWFF E

e2

2

22

2

1

2

1

2

1−=−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

34

Forza tra le armature di un condensatore

● Lo stesso risultato si ottiene nel caso in cui il condensatore non èelettricamente isolato ma interagisce con altri dispositivi (ad es. con un generatore)

In questo caso la carica del condensatore può variare

Il lavoro necessario per produrre una variazione dQ della carica è

● In queste condizioni il bilancio energetico diviene

(LM = lavoro meccanico, LE = lavoro elettrico)

● Quindi, dato che Q = CV, si ha

VdQdLE =

dCVCVdVVdCCdVVdxFe2

2

1)( +=++ dCVdxFe

2

2

1−=

EEM dWdLdL =+ )2

1( 2CVdVdQdxFe =+

35

Forza tra le armature di un condensatore

● Nel caso di un condensatore a facce piane parallele la capacità vale

● Quindi la forza agente sulle armature è

dove E rappresenta il modulo del campo elettrico (uniforme) all’interno del condensatore

● La forza è data dal prodotto dell’area dell’armatura per la quantità

x

SC ε=

SEx

SV

dx

dCVF 2

2

22

2

1

2

1

2

1ε=ε=−=

x

VE =

2

2

1EPE ε= (pressione elettrostatica)