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Elettromagnetismo: problemi 2016-2017 1. Elettrostatica nel vuoto 1.1 Date due particelle identiche di massa m e carica q uguale a quella elementare, q = e. Calcolare: a) la forza di repulsione tra di loro; e b) la massa delle particelle perche la forza elettrostatica che risentono tra di loro sia uguale a quella gravitazionale. Soluzione a): F elett = 1 4πε 0 e 2 r 2 ˆ r Soluzione b): m = e 4πε 0 G =1.85 × 10 9 kg (Nota: G = 6.67 × 10 11 Nm 2 kg 2 ; ε 0 =8.85 × 10 12 Fm 1 ; e =1.6 × 10 19 Ce m e =9 × 10 31 kg.) 1.2 Tre cariche q ugualli e puntiformi sono situate nei vertici di un tri- angolo equilatero di lato l. Trovare il campo e potenziale elettrico a) a mett`a di uno dei lati del triangolo; e b) nel centro del triangolo. Soluzione a): E = q 6πε 0 l 2 3 ˆ i + ˆ j e V = (4 3+2)q 4 3πε 0 l Soluzione b): E = 0e V = 3 3q 4πε 0 l 1.3 Due fili indefiniti, paralleli e rettilinei, sono carichi con una den- sit` a λ, eguale in modulo per entrambi, ma di segno opposto, pari a 10 8 C/m. La distanza tra i due fili ` e d = 5 cm. Calcolare il campo elettrostatico E nel punto P distante R 1 = 3 cm dal filo positivo e R 2 = 4 cm da quello negativo. Calcolare inoltre la forza per unit` a di lunghezza con cui i due fili si attragono. Soluzione: E = 7.2 ˆ i +2.1 ˆ j × 10 3 N/C (o V/m) F l dF l dl = λ 2 2πε 0 d ˆ i =3.6 × 10 5 ˆ i N/m 1

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Elettromagnetismo: problemi

2016-2017

1. Elettrostatica nel vuoto

1.1 Date due particelle identiche di massa m e carica q uguale a quellaelementare, q = e. Calcolare: a) la forza di repulsione tra diloro; e b) la massa delle particelle perche la forza elettrostaticache risentono tra di loro sia uguale a quella gravitazionale.Soluzione a): ~Felett =

14πε0

e2

r2r

Soluzione b): m = e√4πε0G

= 1.85 × 10−9 kg (Nota: G =

6.67× 10−11 N m2 kg−2; ε0 = 8.85× 10−12 F m−1; e = 1.6× 10−19

C e me = 9× 10−31 kg.)

1.2 Tre cariche q ugualli e puntiformi sono situate nei vertici di un tri-angolo equilatero di lato l. Trovare il campo e potenziale elettricoa) a metta di uno dei lati del triangolo; e b) nel centro del triangolo.

Soluzione a): ~E = q6πε0l2

(√3i+ j

)

e V = (4√3+2)q

4√3πε0l

Soluzione b): ~E = ~0 e V = 3√3q

4πε0l

1.3 Due fili indefiniti, paralleli e rettilinei, sono carichi con una den-sita λ, eguale in modulo per entrambi, ma di segno opposto, pari a10−8 C/m. La distanza tra i due fili e d = 5 cm. Calcolare il campoelettrostatico E nel punto P distante R1 = 3 cm dal filo positivo eR2 = 4 cm da quello negativo. Calcolare inoltre la forza per unitadi lunghezza con cui i due fili si attragono.

Soluzione: ~E =(

7.2i+ 2.1j)

× 103 N/C (o V/m)

~Fl ≡ dFldl = − λ2

2πε0di = 3.6× 10−5i N/m

1

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2

1.4 Una carica e distribuita con densita uniforme σ su una superficiecilindrica di raggio R e altezza 2a. Calcolare in un punto genericodell’asse: a) il campo elettrico; b) il potenziale; e c) il valore delcampo per a → ∞).

Soluzione a: ~E(z ≥ 0) = σR2ε0

[

1√(z−a)2+R2

− 1√(z+a)2+R2

]

k per

simmetria ~E(z ≤ 0) = − ~E(z ≥ 0)

Soluzione b: V (z ≥ 0) = σR2ε0

ln

(

z+a+√

(z+a)2+R2

z−a+√

(z−a)2+R2

)

per simmetria

V (z ≤ 0) = V (z ≥ 0)Soluzione c: | ~E(z; a → ∞)| → σRz

2ε0a2→ 0 (non solo lungo l’asse

ma anche per r < R) e quindi V = ctt. all’interno del cilindro.

1.5 a) Usando il Teorema di Gauss calcolare il campo elettrico dovutoad una carica distribuita uniformemente λ su un filo molto lungo(z → ∞) e b) calcolare la differenza di potenziale tra i punti ~r1 ed~r2.Soluzione a: ~E(r) = λ

2πε0rr

Soluzione b: V (r1)− V (r2) =λ

2πε0ln

(

r2r1

)

1.6 Calcolare in tutti i punti dello spazio il a) campo elettrico e b) ilpotenziale dovuti ad una carica distribuita uniformemente ρ su uncilindro di raggio R. Prendete l’origine di potenziale a r = 0.

Soluzione a: ~E(r ≤ R) = ρr2ε0

r e ~E(r ≥ R) = ρR2

2ε0rr

Soluzione b: V (r ≤ R) = −ρr2

4ε0e V (r ≥ R) = −ρR2

2ε0

[

12 + ln

(

rR

)]

1.7 Una sfera di raggio R = 3 cm possiede una distribuzione di car-ica con densita volumetrica ρ avente simmetria sferica e un an-damento in funzione della distanza r dal centro dato da ρ(r) =

ρ0

[

1− α(

rR

)2]

con ρ0 = 8.85 × 10−7 C/m3: a) assumendo α = 1

si calcoli il valore del potenziale al raggio R (prendere V (∞) = 0);b) determinare il valore di α per il quale la carica totale e nulla.Con questo valore di α calcolare il valore massimo del campo E ela sua posizione radiale; e c) con il valore di α determinato al punto2 calcolare il valore del potenziale al centro della sfera.

Soluzione a: V (R) = 215

ρ0R2

ε0

Soluzione b: α = 53 , Emax = 2

9√3

ρ0Rε0

per r = R√3

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Soluzione c: V (0) = ρ0R2

12ε0

1.8 Calcolare il valore della forza d’interazione tra un dipolo elettricocon momento dipolare ~p = q~l e una carica puntiforme Q con-siderando che il dipolo e orientato radialmente rispetto alla caricasituata ad una distanza a >> l del centro del dipolo.Soluzione: ~F = pQ

2πε0a3r

1.9 Dimostrare che, posto un dipolo elettrico in un campo elettricouniforme ~E0 parallelo e concorde al momento elettrico del dipolo,esiste nel campo risultante una superficie equipotenziale sferica concentro nel centro del dipolo. Calcolare il ~E nei punti di tale super-ficie.

Soluzione: Superficie equipotenziale sferica con raggioR =(

p4πε0E0

)1/3

dove p e il momento dipolare. ~E = 3E0 cos θr

Problemi supplementari

S.1.1 Calcolare in tutti i punti dello spazio il a) campo elettrico e b)il potenziale dovuti ad una carica distribuita uniformemente σ suuna superficie cilindrica molto lunga (z → ∞) di raggio R. Pren-dete l’origine di potenziale a r = 0.Soluzione a: ~E(r ≤ R) = ~0 e ~E(r > R) = σR

ε0rr

Soluzione b: V (r ≤ R) = 0 e V (r ≥ R) = σRε0

ln(

rR

)

S.1.2 Calcolare in tutti i punti dello spazio il a) campo elettrico e b)il potenziale dovuti ad una carica distribuita uniformemente σ suuna superficie sferica di raggio R. Prendete l’origine di potenzialea r = ∞.Soluzione a: ~E(r ≤ R) = ~0 e ~E(r > R) = σR2

ε0r2r

Soluzione b: V (r ≤ R) = σRε0

e V (r ≥ R) = σR2

ε0r

2. Conduttori e campo elettrostatico

2.1 Una sfera conduttrice, isolata e scarica, di raggio R viene immersain un campo elettrico uniforme di modulo E0; il potenziale vale V0

nel punto coincidente col centro della sfera quando questa non c’e.Calcolare il potenziale della sfera, la desnita di di carica indotta e il

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campo elettrico sulla superficie. Ripetere il calcolo nel caso in quila sfera, pur restando isolata, posieda una carica Q.Soluzione QTOT = 0: V (R) = V0, ~E(R) = 3E0 cos θr e σ(R) =3ε0E0 cos θ.Soluzione QTOT 6= 0: σ(R) = Q

4πR2 + 3ε0E0 cos θ, V (R) = V0 +Q

4πε0Re ~E(R) =

(

Q4πε0R2 + 3E0 cos θ

)

r.

2.2 Una carica puntiforme positiva q si trova a distanza x da un pianoconduttore indefinito a potenziale costante V = 0. Calcolare laforza con cui la carica e attirata dal piano.

Soluzione: ~F = − 116πε0

q2

x2 i

2.3 Una sfera condutrice di raggio R e scarica e mantenuta a V =0. A una distanza d dal centro della sfera viene posta una caricapuntiforme q. Calolare la forza di attrazione subita dalla carica qe la denista di carica indotta sulla sfera.Soluzione: |~F | = q2R

4πε0d31

(

1−R2

d2

)2

σ(R, θ) = qR4π

1− d2

R2

(R2+d2−2dR cos θ)3/2⇒ Q = −R

d q

2.4 Nei problemi precedenti abbiamo utilizzato il metodo della caricaimmagine per risolvere problemi di elettrostatica in presenza di con-duttori. Il conduttore del problema fisico veniva sostituito per unacarica immaginaria, che replicava le condizioni al contorno origi-narie. Questo metodo si basa nell’unicita dell’equazione di Poisson∇2V (~r) = ρ(~r)

ε0che descrive le proprieta di un sistema elettrostatico.

Dimostrare l’unicita dell’equazione di Poisson in una regione dellospazio Ω delimitata dalla superficie S.

Indicazione: Dimostrare per assurdo. Assumere due possibilisoluzioni V1(~r) e V2(~r) che soddisfano la condizione al contornocon potenziale costante V1(~r = ~rS) ≡ VS e V2(~r = ~rS) ≡ VS .

2.5 Data una sfera conduttrice carica con densita uniforme di carica σcalcolare la forza esercitata su un elemento di superfice dal restodel conduttore.Soluzione: d~F = σ2

2ε0dSr ⇒ d|~F |

dS = 12ε0E

2 ≡ ue

2.6 Si hanno due sfere concentriche conduttrici. Sulla sfera esterna diraggio R2, viene depositata una carica q2 e su quella interna diraggio R1 viene depositata una carica q1. Subito dope le carichesono depositate si produce l’induzione elettrostatica: a) calcolare ilpotenziale nella superficie della sfera esterna considerando V (∞) =

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0. Succesivamente si aggiunge sulla sfera esterna una carica −q2:b) calcolare la diferenza tra i potenziali prima e dopo aver aggiuntola carica −q2 sulla sfera esterna; e c) calcolare anche il potenzialesulla superficie della sfera interna.Soluzione a): Va(R2) =

q1+q24πε0R2

Soluzione b): Vb(R2)− Va(R2) = − q24πε0R2

Soluzione c): Vb(R1)− Va(R1) = − q24πε0R2

2.7 Due sfere conduttrici cariche, di raggio R1 e R2, sono poste a dis-tanza x, molto maggiore dei raggi delle sfere. La prima sfera eisolata e ha una carica q1, la seconda e mantenuta al potenzialeV2 rispetto al infinito. a) Calcolre il potenziale V1, la carica q2 ela forza tra le sfere; b) calcolare inoltre i coefficienti di potenziale,capacita e induzzione.Soluzione a): q2 = 4πε0R2V2 − q1

R2x

V1 =q1

4πε0R1

(

1− R1R2x2

)

+ R2V2x ≈ q1

4πε0R1+ R2V2

x

~F12 = −(

q1R2V2

x2 − q21R2

4πε0x3

)

i

Soluzione b): I coefficienti cii sono detti di capacita, cij d’induzionee i bij di potenziale. Essi dipendono esclusivamente della geometriadel sistema e hanno le proprieta: cij = cji; bij = bji; cii > 0; cij < 0e bii ≥ bij > 0b11 =

14πε0R1

; b12 = b21 =1

4πε0x; b22 =

14πε0R2

c11 =4πε0R1

1−R1R2x2

; c12 = c21 = − 4πε0R1R2

x(

1−R1R2x2

) ; c22 =4πε0R2

1−R1R2x2

2.8 Nel sistema di condensatori infigura le armature sono connesse aipotenziali fissi V1 = 100 V, V2 =200 V e V3 = 300 V. Calcolare ilpotenziale V del conduttore cen-trale se C1 = 5µF, C2 = 8µF eC3 = 3µF.Soluzione:V = C1V1+C2V2+C3V3

C1+C2+C3= 187.5 V

V1 V2

V3

V

C1 C2

C3

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2.9 Nel circuito in figura la batteriafornisce una d.d.p V0 = 12 V.Le capacita dei condensatori sonoC1 = 330pF, C2 = 470pF, C3 =560pF e C4 = 1000pF. Deter-minare la carica di ciascun conden-satore e l’energia elettrostatica delsistema a seconda che l’interruttoreS sia aperto o chiuso. Nel caso incui la capacita di uno dei conde-satori sia molto piu grande degli al-tri, dimostrare che

US aperto

US chiuso= 3

4 .

C1 C2

C3 C4S

V0

Soluzione interruttore aperto: q1 = q2 = C1C2C1+C2

V0 = 2.33 nC;

q3 = q4 = C3C4C3+C4

V0 = 4.31 nC; U = 12

(

C1C2C1+C2

+ C3C4C3+C4

)

V 20 =

39.8nJSoluzione interruttore chiuso: q1 = C1(C2+C4)

C1+C2+C3+C4V0 = 2.466

nC; q3 =C3(C2+C4)

C1+C2+C3+C4V0 = 4.185 nC; q2 =

C2(C1+C3)C1+C2+C3+C4

V0 = 2.126

nC; q4 = C4(C1+C3)C1+C2+C3+C4

V0 = 4.525 nC; U = 12(C1+C3)(C2+C4)C1+C2+C3+C4

V 20 =

39.9nJ

2.10 In un condensatore piano con armature di superficie S e separateuna distanza h, viene inserita una lastra conduttrice con la stessasuperfice e spessore d. Calcolare di quanto varia la capacita delcondensatore C e quanto lavoro viene speso per inserire la lastra,prima assumendo che la carica Q rimane costante e poi assumendoche la differenza di potenziale V tra le armature rimane costante.

Soluzione: C = 11−d/h

ε0Sh ; LQ=ctt =

12

Q2

ε0Sd; LV=ctt =

12

d/h1−d/h

ε0Sh V 2

e si puo comprovare che Lq=ctt =1

1−d/hLV=ctt

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2.11 Le armature superiori di due con-densatori piani sono collegate in-sieme da un conduttore e costituis-cono i piati di una bilancia. L’areadi ogni armatura e S e la distanzatra di loro e h. Si porta il sis-tema nella posizione h1 = h + xie h2 = h − xi e lo si carica con aVi. Il generatore viene poi staccatoe il sistema (isolato) lasciato liberodi muoversi fino a xf .

x

y

h1 = h+ xi

x

yh2 = h− xi

In questa posizione calcolare la d.d.p. ai capi del sistema, le caricheQ1f e Q2f dei due condensatori, la risultante delle forze elettro-statiche sulle armature superiori specificando quale e scesa, in fine,il lavoro nel passaggio dalla posizione iniziale a quella finale.

Soluzione: Vf =h2−x2

f

h2−x2iVi; Q1f = 1

2Qi (1− xf/h) eQ2f = 12Qi (1 + xf/h)

dove Q1i = Q2i ≡ Qi = 2ε0Shh2−x2

iVi; ∆F = 2ε0V

2i

Shxf

(h2−x2i )

2 ; L =

ε0V2i

Sh(x2f−x2

i )

(h2−x2i )

2

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2.12 Due condensatori piani hanno learmature con la stessa superficieS, le loro capacita sono C1 = 30pF e C2 = 100 pF, e nel secondocondensatore le armature distanod2 = 9 mm. I due condensatorivengono collegati in serie ad ungeneratore da V = 100 V comenella figura (1), poi vengono stac-cati dal generatore e collegati inparallelo come nella figura (2). a)Si determinino cariche e differenzedi potenziale dei condensatori sullearmature quando sono collegati inserie al generatore; b) cariche edifferenze di potenziale dei con-densatori sulle armature quando ilgeneratore e staccato e i conden-satori sono collegati in parallelo, ilvalore dell’energia elettrostatica intale situazione;

figura (1)C1 C2

V

figura (2)

C1 C2

figura (3)

x

y

x

y

l d d2, S, C2

d1, S, C1

c) se nel primo condensatore si vuole ora inserire tra le armatureuna sottile lastra di conduttore di spessore d = 1 mm [figura (3)], diquanto cambia l’energia elettrostatica del sistema? quanto lavoroviene compiuto dall’esterno?Soluzione a): V1 = C2

C1+C2V = 25 V; V2 = C1

C1+C2V = 75 V;

Q1 = Q2 ≡ Q = C1C2C1+C2

V = 750 pC

Soluzione b): V ′1 = V ′

2 ≡ V ′ = 2C1C2(C1+C2)2

V = 37.5 V; Q′1 =

2C21C2

(C1+C2)2V = 1125 pC;Q′

2 =2C1C2

2(C1+C2)2

V = 375 pC; U ′ = 2C21C

22

(C1+C2)3V 2 =

28.12 nJSoluzione c): U ′′ =

2C21C

22

(C1+C2)2(

d2d2−3d

C1+C2

)V 2 = 20.45 nJ; L =

−(U ′′ − U ′) =2C3

1C22

3dd2−3d

(C1+C2)3(

d2d2−3d

C1+C2

)V 2 = 7.67 nJ

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2.13 Un elettrometro e unostrumento per misurarela differenza di poten-ziale. E formato dadue cilindri conduttoriconcentrici di altezzal, raggi R1 e R2 conR2 > R1. Il cilin-dro interiore e spostatoseguendo la verticalerispetto a quello esteri-ore, essendo h = l − zil pezzo di cilindro in-terno che rimane den-tro quello esterno.

x

y

m

y

~Fg = mg k

R1

R2

z

l

V

Il cilindro interno viene collegato ad una bilancia, dove dall’altraparte si possono mettere dei pesi (vedere figura). Quando si ap-plica una differenza di potenziale tra i due cilindri conduttori sipuo equilibrare il sistema aggiungendo una massa m. Determinarel’espressione di V in funzione di m, R1 e R2.

Soluzione: V =√

mg ln(R2/R1)πε0

2.14 Una carica puntiforme positiva e posta a distanza x da un pianoconduttore indefinito a potenziale V = 0. Calcolare l’energia elet-trostatica della carica. Se questa parte con velocita nulla dallaposizione iniziale x con che enrgia cinetica arriva nella posizionex/2?

Soluzione: U = − q2

8πε0x; ∆K = q2

16πε0x

2.15 Calcolare l’energia elettrostatica di due dipoli coplanari di momenti~p1 e ~p2 posti ad una distanza r. Studiare le gemoetrie piu noteboli.Soluzione

2.16 Le armature di un condensatore piano hanno superficie S e sono dis-tanti z0. Il condensatore e mantenuto ad una diffenza di potenzialeV0. Tra le armature, esiste una distribuzione volumica di caricanegativa ρ = −ρ0z/z0. Determinare il potenziale in qualsiasi puntodello spazio tra le armature del condensatore e la carica superficialedi carica di entrambe armature.Soluzione: V (z) = z

z0

[

V0 +ρ06ε0

(z2 − z20)]

; σinf = ρ0z06 − V0ε0

z0;

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10

σsup = ρ0z03 + V0ε0

z0

2.17 Determinare il potenziale in qualsiasi punto dello spazio tra le ar-mature di un condensatore cilindrico di raggi Ra e Rb (Ra < Rb) ealtezza h.Soluzione: V (r) = V0

ln(Rb/Ra)ln (r/Ra); ; σRa = − V0ε0

Ra ln(Rb/Ra); ;

σRb= V0ε0

Rb ln(Rb/Ra)

2.18 Due sfere metalliche e concentriche di raggi Ra e Rb (Ra < Rb)sono collegate (entrambe a terra) e nello spazio tra di loro esiste

una distribuzione volumica di carica ρ = ρ0

(

1 + R2a

r2

)

. Calcolare la

carica della sfera interna.

Soluzione: QRa = 43πR

3aρ0

[

4 + 12RbRa

− 12

(

RbRa

)2− ln(Rb/Ra)

1−Ra/Rb

]

Problemi supplementari

S.2.1 Dato un cilindro conduttore carico con densita uniforme σ calcolarela forza esercitata su un elemento di superfice dal resto del condut-tore.Soluzione: d~F = σ2

2ε0dSr ⇒ d|~F |

dS = 12ε0E

2 ≡ ue

S.2.2 Su una sfera conduttrice carica con densita σ di raggio R si ap-poggia un piccolo disco conduttore di raggio ρ << R e massa 1g.Si scriva la relazione tra la densita di carica σ e il potenziale V acui la sfera si trova. Supponendo di aumentare progressivamente ilvalore di tale potenziale, si calcoli a quale valore il disco iniziera adsollevarsi.Soluzione: V ≥ R

ρ

2mgπε0

S.2.3 Determinare la capacita di un condensatore piano dove le armaturehanno una superficie S e sono distanti una dall’altra una distanzad.Soluzione: C = ε0S

d

S.2.4 Determinare la capacita di un condensatore sferico di raggi Ra eRb (Ra < Rb).Soluzione: C = 4πε0RaRb

Rb−Ra

S.2.5 Determinare la capacita di un condensatore cilindrico di raggi Ra

e Rb (Ra < Rb) e altezza h.Soluzione: C = 2πε0h

ln(Rb/Ra)

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11

3. Elettrostatica in presenza di materiali dielettrici

3.1 Una sfera di costante dielettrica relativa εr e raggio R ha una dis-tribuzione volumica di carica ρ. La polarizzazione dentro della sferae ~P = krr. a) Determinare le densita di carica di polarizzazione;b) la densita volumica di carica; e c) il potenziale dentro e fuoridella sfera prendendo V (r = ∞) = 0.Soluzione a): σP = kR e ρP = −3kSoluzione b): ρ = 3kεr

εr−1

Soluzione c): V (r ≥ R) = kεrR3

ε0(εr−1)r e V (r ≤ R) = k2ε0(εr−1)

[

(2εr + 1)R2 − r2]

3.2 In un campo uniforme ~E0, s’introduce una lastra di costante dielet-trica relativa εr. Determinare il campo elettrico all’interno edall’esterno della lastra se a) e messa perpendicolare al campo eb) e messa parallela al campo.

Soluzione a): ~Ei =~E0εr

e ~Ee = ~E0

Soluzione b): ~Ee = ~Ei = ~E0

3.3 Determinare la capacita di un condensatore cilindrico di raggi Ra

e Rb (Ra < Rb) e altezza h.Soluzione: C = 2πεh

ln(Rb/Ra)

3.4 Un condensatore piano di superficie S, distanza tra le armature de capacita C0 ha come dielettrico il vuoto. Esso viene caricato con-nettendolo a un generatore V0 e poi isolandolo. Successivamente lospazio tra le armature viene riempito con un dielettrico di costantedielettrica relativa εr. a) Determinare la variazione dello stato elet-trico del sistema e b) ripetere il calcolo se invece il generatore restasempre connesso.

Soluzione a): V = V0εr, ~E =

~E0εr, ~P = ε0

εr−1εr

~E0, σP = ± εr−1εr

σ0,~D = ~D0 e u = u0

ε0

Soluzione b): Q = εrQ0, σ = εrσ0, ~E = ~E0, ~D = εr ~D0,σP = ±(εr − 1)σ0 e u = εru0

3.5 Un sistema costituito da due condensatori piani uguali, connessiin serie, ciascuno di capacita C, viene caricato connettendolo adun generatore V0 e poi isolato (condensatori collegati in paral-lelo). Successivamente uno dei condensatori viene riempito com-

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pletamente con una lastra dielettrica εr. Calcolare a) i valori delladifferenza di potenziale ai capi dei due condensatori alla fine, b) illavoro fatto dalle froze del campo nel processo di riempimento, c)la carica di polarizzazione che compare sulle superficie della lastra.

3.6 Un condensatore piano ha le armature quadrate di lato l, distantid, e viene caricato con un generatore V0. Un blocco di dielettricoεr a forma di parallelepipedo con basi quadrate di lato l e altezza dpuo scorrere senza attrito tra le armature del condensatore. Calco-lare, a carica costante e a potenziale costante, a) la forza che agiscesul blocco quando esso e entrato per una distanza x e b) il lavoroche tale forza compie per fare entrare completamente il blocco nelcondensatore.Soluzione a): FQ = 1

2Q2dε0l

εr−1[x(εr−1)+l]2

e FV = 12ε0ld (εr − 1)V 2

0

Soluzione b): LQ = −∆U = 12Q2dε0l2

εr−1εr

e LV = 12ε0ld (εr − 1)V 2

0

3.7 Lo spazio tra le armature di un condensatore piano con armatureseparate una distanza d e parzialmente riempito da un liquido εrdi densita di massa ρ. Calcolare di quanto si alza il liquido se sicollegano le armature a un generatore V0

Soluzione: x =ε0(εr−1)V 2

04ρgd2

3.8 Due condesnatori piani eguali di capacita C0 quando hanno il vuotocome dielettrico, con armature quadrate di lato l e distanti d. En-trambi sono collegati in parallelo ad un generatore V0. In uno deicondensatori viene inserita parzialmente un tratto x una lastra con-duttrice di base l2 e spessore s < d. Nell’altro condensatore vieneinserita parzialmente un tratto y una lastra dielettrica di base l2

e spessore d. Le forze con cui i condensatori attirano le lastre eeguale. Calcolare la suscettivita del dielettrico, il lavoro fatto dalgeneratore per attirare entrambe le lastre, le cariche presenti sullearmature dei due condensatori quando le lastre sono completamenteinserite e la polarizzazione del dielettrico nella stessa condizione.

Soluzione: χ = sd−s , Wgen = ε0l2V0

ds

d−s , Q1 = Q2 = ε0l2

d−sV0 e

P = ε0s

d−sV0d

3.9 Un piccolo cilindro di materiale dielettrico e posto ad una distanzal = 2R dal centro di una sfera conduttrice di raggio R. Le dimen-

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sioni del cilindro sono trascurabili rispetto a R e il suo volume e V .Quando la sfera viene portata a V0, la forza con cui il cilindro vieneattratto e F . Calcolare la polarizzazione del cilindro e la costanterelativa dielettrica.

Soluzione: P = 4R2FVV0

e εr =(

1− 4PRV0ε0

)−1

3.10 Lo spazio tra le armature di superfice S e distanti d di un con-densatore piano viene riempito da un dielettrico non omogeneo lacui costante dielettrica relativa varia in modo lineare da εr1 fino aεr2 passando dall’armatura positiva a quella negativa. Calcolare lacapacita del condensatore e le densita di carica di polarizzazione seai capi del condensatore c’e una differenza di potenziale V0.

Soluzione: C = ε0S(εr2−εr1)d ln(εr2/εr1)

,

σP (x = 0) = − εr1−1εr1

ε0εr2−εr1

d V01

ln(εr2/εr1)

σP (x = d) = εr2−1εr2

ε0εr2−εr1

d V01

ln(εr2/εr1)

ρP = − ε0V0d2

(εr2−εr1)2

ln(εr2/εr1)1

ε2r(x)dove εr(x) = εr1 +

εr2−εr1d x

Nota: dielettrico neutro ⇒∫

σP (x = 0)dS +∫

σP (x = d)dS +∫

ρPdV = 0

3.11 Due condensatori di capacita C1 = 10 pF e C2 = 40 pF, il primovuoto e il secondo riempito completamente con un dielettrico dicostante dielettrica relativa εr = 4, sono collegati come nel cir-cuito in figura. Utilizzando un generatore che fornisce una d.d.p.V0 = 250 V, si realizzano dei cicli nei quali l’interruttore T vienespostato dalla posizione A alla posizione B e viceversa, attendendoogni volta un tempo sufficiente perche la carica sui condensatoriraggiunga il valore di equilibrio.

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Determinare:

1. le cariche libere Q1 e Q2, la carica di polarizzazione QP , e led.d.p. presenti sui due condensatori alla fine del primo ciclo(l’interruttore e’ inizialmente in A con i condensatori entrambiscarichi, viene spostato in B e poi di nuovo in A).

2. l’energia immagazzinata nei condensatori alla fine del primociclo e il lavoro fatto dal generatore durante il primo ciclo.

3. i valori della carica e della d.d.p dei condensatori e il lavorocomplessivo fatto dal generatore dopo un numero N mottogrande di cicli (N → ∞)

Soluzione 1: Q1 =C2

1C1+C2

V0 = 5 × 10−10 C, Q2 = C1C2C1+C2

V0 =

20 × 10−10 C, QP = εr−1εr

C1C2C1+C2

V0 = 15 × 10−10 C e V1 = V2 =C1

C1+C2V0 = 50V

Soluzione 2: U = 12

C21

C1+C2V 20 = 6.25 × 10−8 J e Wgen = C1V

20 =

6.25× 10−7 J.Soluzione 3: Q1 = C1V0, Q2 = C2V0, V1 = V2 = V0 e Wgen =(C1 + C2)V

20 = 3.125× 10−6 J

3.12 Un condensatore C1, in cui e inserita una lastra di dielettrico conεr = 4 che ne riempie completamente lo spazio tra le armature,viene inizialmente caricato ad una d.d.p V0 = 250 V. Viene poistaccato dal generatore e collegato come in figura ad un altro con-densatore identico C2 vuoto e inizialmente scarico. Entrambi i con-densatori hanno armature quadrate di lato a = 40 cm a capacita avuoto C0 = 100 pF.

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Ad equilibrio raggiunto, calcolare:

1. la carica libera sulle armature dei 2 condensatori, la carica dipolarizzazione in C1 e la d.d.p di ciascuno.

Se ad un certo istante si estrae la lastra di dielettrico da C1 e la siinserisce in C2 per meta della sua lunghezza, determinare:

2. i nuovi valori delle cariche e delle d.d.p sui condensatori e lavariazione di energia elettrostatica del sistema;

3. la forza F (direzione, verso e modulo) che agisce sulla lastranella posizione finale. [Nota: il processo e a carica totale Q

costante, quindi conviene scrivere U(x) = 12Q2

C . Si uno vuoleusare l’espressione U = 1

2CV 2 si deve considerare la variazione

di C e V al variare x. Quindi, usando U(x) = 12Q2

C = 12(εrC0V0)2

C1+C2(x)

dove C1 = C0, C2(x) = C0(1− x/a+ εrx/a) e derivare questaestpressione di U(x) per trovare la forza ~F = −~∇U ]

Soluzione 1: Q1 =ε2r

εr+1C0V0 = 8×10−8 C, Q2 =εr

εr+1C0V0 = 2×10−8 C, QP = εr−1

εr+1εrC0V0 = 6× 10−8 C e V1 = V2 =εr

εr+1V0 = 200VSoluzione 2: Q1 =

2εrεr+3C0V0 = 2.86×10−8 C,Q2 =

εr+1εr+3εrC0V0 =

7.14×10−8 C, V1 = V2 =2εrεr+3V0 = 285.7 V e ∆U = 1

2C0V20 ε

2r

εr−1(εr+3)(εr+1) =

4.29× 10−6 JSoluzione 3: ~F (x = a

2 ) = 2C0V20

ε2r(εr−1)a(εr+3)2

= 3.06× 10−5 N. Dielet-

trico si muove verso destra, tende alla configurazione di minimaenergia dove il dielettrico occupa tutto lo spazio tra le armature.

3.13 Due condensatori piani C1 e C2 in parallelo sono collegati ad ungeneratore di f.e.m. V0 = 1200 V. Le armature di ciascun conden-satore hanno area S = 20 cm2 e distano tra loco d = 5 mm. Tra learmature di C1 c’e’ il vuoto, mentre tra quelle di C2, inizialmentevuoto, viene immesso del liquido dielettrico, di costante dielettrica

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relativa εr = 3.5, facendone variare l’altezza h a velocita costantedh/dt = 0.1 mm/s.

Determinare:

1. la variazione della carica presente su C2 tra quando a vuoto equando e completamente riempito di dielettrico e la carica dipolarizzazione finale;

2. la variazione della carica con il tempo (corrente elettrica) for-nita dal generatore durante il riempimento calcolandone il val-ore per h = d/2;

3. la variazione di energia elettrostatica dei condensatori a riem-pimento completato e il lavoro totale fatto dal generatore.

Soluzione 1: ∆Q2 =ε0S(εr−1)

d V0 = 1.062× 10−8 C e QP = ∆Q2

Soluzione 2: dQdt = ε0εrSV0

εr−1[h+εr(d−h)]2

dhdt ,

dQdt

h=d/2= 1.47×10−10

C/s ≡ A (Ampere)

Soluzione 3: ∆U = 12ε0(εr−1)S

d V 20 = 6.37×10−6 J,W = ε0S(εr−1)

d V 20 =

1.27× 10−5 J

3.14 Un condensatore cilindrico isolato di raggi Ra e Rb (Ra < Rb),carica Q, e altezza h >> Rb ha un materiale dielettrico lineare eomogeneo di permittivita relativa εr tra le sue armature. Il campoelettrico massimo al quale puo resistere il dielettrico senza iniziarea condurre e Em

∗. Determinare: a) la capacita del condensatore; b)l’energia immagazzinata in funzione del campo elettrico e il suo val-ore a campo elettrico massimo; e c) nella situazione in qui il campoelettrico e massimo, determinare il valore di Ra per il quale l’energiaimmagazinata e massima, determinare anche il valore dell’energiain questo caso.

[∗Il fenomeno della rottura dielettrica si ha quando un materialeche in condizioni ordinarie e dielettrico cessa di essere isolanteperche sottoposto ad un campo elettrico sufficientemente elevato.In genere la rottura dielettrica e seguita da una scarica che per-

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corre il materiale. Attraverso i gas si possono avere scariche inseguito a ionizzazione, come accade ad esempio nel caso dei ful-mini o dei tubi al neon. Esempio: se consideriamo localmente ilsistema nuvola-superficie della Terra come un condensatore pianoV = Ed, la differenza di potenziale ai capi del fulmine dipenderadalla lunghezza d dello stesso e del campo di rottura dielettricadell’aria (3× 106 V/m). Quindi un fulmine lungo 3 km sara gener-ato da una differenza di potenziale attorno ai 9× 109 V.]

Soluzione a): C = 2πhε0εrln(Rb/Ra)

Soluzione b): U = πhε0εrR2aE

2m ln(Rb/Ra)

Soluzione c): Ra = Rb exp(−1/2); Umax( Ra = Rb exp(−1/2) ) =12πhε0εrR

2bE

2m exp(−1)

3.15 Due condensatori sferici sono costituiti da tre sfere di raggi 2a, 3ae 6a. La prima e l’ultima sfera sono collegate a terra (V = 0).Tra le armature del condensatore c’e un dielettrico di permittivitarelativa εr e campo di rottura dielettrica Em. Determinare: a) lacapacita del condensatore equivalente; e b) la massima differenza dipotenziale che si puo applicare senza che inizii la rottura dielettrica.

Soluzione a): C = 48πε0εra

Soluzione b): Vmax = 23aEm

Problemi supplementari

S.3.1 Un condensatore sferico con R1 < R2 ha l’intercapedine riempitada un dielettrico non omogeneo la cui costante dielettrica relativavaria secondo la legge εr(r) = a/r con a una costante. Sulla sferainterna c’e la carica Q e l’armatura esterna e a potenziale zero.Calcolare il potenziale a una distanza R1 ≤ R ≤ R2 dal centro edeterminare la densita delle cariche di polarizzazione.

Soluzione: V (R) = Q4πε0a

ln (R2/R1), σP (R1) = −(

1− R1a

) Q4πR2

1,

σP (R2) =(

1− R2a

) Q4πR2

2e ρP = Q

4πr2a

Nota: dielettrico neutro⇒∫

σP (R1)dS+∫

σP (R2)dS+∫

ρPdV = 0

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S.3.2 Una sfera di raggio R e materiale dielettrico con εr e immersa in uncampo elettrico uniforme ~E0. Calcolare il campo elettrico dentrodella sfera e la densita delle cariche di polarizzazione.

Soluzione: ~E = 3εr+2

~E0, σP = 3ε0εr−1εr+2

~E0 · r e ρP = 0 (dielettricolineale e omogeneo non essendoci cariche libere)

S.3.3 Il momento di dipolo ~p degli atomi o molecole di un dielettricosottoposti ad un campo elettrico ~E si puo approssimare per campiesterni non molto intensi ~p = αε0 ~E, dove α e la polarizzabilita deldielettrico. Inoltre, nei casi in qui il dielettrico ee un gas con εrmolto vicino a 1, εr−1 = nα dove n e il numero totale di dipoli perunita di volume, cioe, il numero di atomi o molecole che si sono po-larizati per l’azione del campo elettrico esterno divisi per il volumeoccupato. Per un gas, n = NoAvogadro

Massa Molare ρ —esssendo ρ la densitadel gas.Supponendo che il nucleo di un atomo possa considerarsi come unacarica puntiforme positiva Ze posta nel centro di una nube elet-tronica che occupa un volume sferico di raggio R e che ha carica−Ze, calcolare la polarizzabilita del atomo quando esso viene im-merso in un campo elettrico uniforme. Assumendo ora un insiemedi questi atomi che si trovanno in forma ti gas, determinare ancheil raggio del atomo.

Soluzione: α = 4πR3 e R = εr−14πn . Nota: prendendo εr(He) =

1.000074, e considerando l’elio in condizioni normali il raggio delatomo deve venire dell’ordine del raggio di Bohr a0 = 4πε0h

2

mec2=

5.3× 10−11 m dove h e la costante di Plank ridotta, me e la massadell’elettrone e c e la velocita della luce.

4. Correnti continue e circuiti

4.1 L’elemento riscaldante di una stufa elettrica, progettata per dissi-pare P1 =1000 W† a V1 =220 V, e costituito da una lunga spiraledi filo con resistivita ρ = 10−6Ωm e diametro d = 4 mm. Calcolarea) la potenza dissipata se la stufa viene alimentata a V2 =110 V, eb) la lunghezza del filo.

[† La variazione dell’energia per unita di tempo define la potenza(P ) che ha come unita il Watt [W] = Joule [J]/ secondo [s]. Peruna differenza di potenziale fissata, dU = dqV e quindi P = dU

dt =dqdtV = iV . Il prodotto iV e detto potenza trasferita. Nel caso

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specifico di un resistore caratterizzato da una resistenza R, dove siverifica la Legge di Ohm, P = i2R = V 2

R . Quest’ultima relazionedefinisce invece la potenza resistiva]

Soluzione a): P2 = P1V 22

V 21= 250 W

Soluzione b): L = πd2

4ρV 21

P1= 608.2 m

4.2 Calcolare a) la resistenza interna Ri+ di una batteria d’automobile

che ha una f.e.m di V =12 V sapendo che quando il motorino diavviamento assorbe I =50 A la d.d.p. ai suoi morsetti diminuiscea Vmorsetti10.5 V; b) la resistenza del motorino, la potenza erogatadalla batteria e la potenza dissipata all’interno di essa in questecondizioni.

[+ Una batteria, senza essere collegata ad un circuito ha un certovalore di f.e.m.. Dopo colegarla ad un circuito, anche usando unfilo conduttore di resistenza nulla, c’e una caduta del potenziale.Questa caduta di potenziale e dovuta alla resistenza interna dellabatteria.]

Soluzione a): Ri =V−Vmorsetti

I = 0.03Ω

Soluzione b): R = VmorsettiI = 0.21Ω; Perogata = IVmorsetti = 525

W; Pdissipata = I2Ri = 75 W

4.3 Il circuito in figura si trova in con-dizioni stazionarie. Calcolare: a)La corrente che attraversa la re-sistenza R1 e la potenza P dissi-pata in R2; b) La carica Q de-positata sul condensatore C. Dati:V = 20 V, R1= 18 Ω, R2 = 12 Ω,R3 = 8 Ω, C = 14 pF.

Soluzione a): i1 =V R2

R3(R1+R2)+R1R2= 0.53 A; P2 =

V 2R2R21

[R3(R1+R2)+R1R2]2=

7.5 W

Soluzione b): Q = CV

1+R1R2

R3(R1+R2)

= 147 pC

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4.4 Consideriamo un circuito RC, cioe,un condensatore di capacita C col-legato in serie ad una resistenza divalore R. I due elementi sono colle-gati ad una batteria che eroga unadifferenza di potenziale costanteV0. Il circuito puo essere chiuso oaperto tramite un interruttore.

Si consideri prima la situazione appena dopo la chiusura dell’interruttore(diciamo al tempo t = 0): il condensatore e inizialmente scarico el’unico elemento a limitare la corrente nel circuito e la resistenzaR: a) determinare intensita, differenza di potenziale tra le armaturedel condensatore e carica del condensatore in funzione del tempo.Il condensatore, viene poi scaricato staccandolo dal circuito e chiu-dendolo su di una resistenzaR (come in figura ma senza la batteria):b) determinare intensita, differenza di potenziale tra le armaturedel condensatore e carica del condensatore in funzione del tempo.

Soluzione a) per la carica: i(t) = V0R exp(−t/RC), Vc(t) =

V0 [1− exp(−t/RC)], Q(t) = CV0 [1− exp(−t/RC)]

Soluzione b) per la scarica: i(t) = −V0R exp(−t/RC) nella scar-

ica l’intensita va nel senso opposto a quello della carica, Vc(t) =V0 exp(−t/RC), Q(t) = CV0 exp(−t/RC)

5. Magnetostatica nel vuoto5.1 Trovare le equazioni del moto per

una particella con carica q e massam somessa all’azione di un campomagnetico uniforme lungo la di-rezione dell’asse z, ~B = Bk. Con-siderare che all’istante t = 0 s laparticella e nell’origine di coordi-nate: x(t = 0) = 0, y(t = 0) = 0,z(t = 0) = 0; e ha una velocita~v(t = 0) = 0i+ v0j + 0k.Soluzione:x(t) = −mv0

qB cos( qBm t) + mv0qB

y(t) = mv0qB sin( qBm t)

z(t) = 0

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Questa soluzione corrisponde ad un moto circolare nel piano XYcon centro in x = mv0

qB e raggio R = mv0qB .

5.2 Dimostrare che la frequenza di rotazione della particella del prob-lema precedente non dipende dalla velocita o dal raggio dell’orbita.Trovare la relazione tra raggio dell’orbita e velocita della stessa par-ticella. Nella figura (sopra) c’e disegnato lo schema di un ciclotrone,calcolare la velocita di uscita della stessa particella considerandoprima che questa sia un eletrone e, poi, un protone. L’intensitadel campo magnetico e di B = 10−4 T e il ciclotrone ha un raggioR = 1 m. Discuttere se l’approccio non relativistico adottato perdescrivere il moto della particella nel ciclotrone e realistico.

Soluzione: fc = ωc2π = qB

2πm ; v = qRBm ; ve = 0.6c e vp = 0.0003c

dove c e la velocita della luce.

5.3 Considerare due elementi d~l1 e d~l2 di un circuito percorso da unaintensita I. Nel caso in cui esista un piano di simetria tra loro, di-mostrare che il campo magnetico creato nei punti di questo pianoe perpendicolare (o zero) al medessimo piano.

Soluzione: Considerando la distanza al punto del piano di simetriagenerico ~r ≡ ~a+~b, dove 2~a e il vettore che unisce d~l1 e d~l2 e, quindi,~b e contenuto nel piano di simmetria: d ~Bpiano = µ0I

4π[(a2+b2)]3/2|~b ×

(d~l1 +~l2)|e⊥.5.4 Calcolare il campo magnetico creato da un filo infinito percorso da

un conrrente I: a) per calcolo diretto; e b) applicando il Teoremadi Ampere.Soluzione: ~B = µ0I

2πr θ

5.5 Una spira rettangolare di lati a e b e appesa dal punto medio dellato b. Per la spira circola un corrente I e c’e un campo magneticouniforme che forma un angolo α con il vettore ~S che define il pianodella spira (nota: prendere alpha contenuto nel piano perpendico-lare a quello della spira): a) determinare la forza in ogni lato dellaspira dovuta al campo esterno ~B; e b) la forza risultante e il mo-mento orientatore ( ~M = ~m× ~B dove ~m = I ~S).

Soluzione a): ~Fa1 = −~Fa2 = IaB e ~Fb1 = −~Fb2 = IbB cosα

Soluzione b): ~Ftot = 0 e | ~M | = IabB sinα

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5.6 Calcolare il campo magnetico creato da una spira circolare di raggioR e percorasa da un corrente I nei punti del suo asse (che prendiamosia l’asse Z).

Soluzione: ~B = µ0I2

R2

(R2+z2)3/2k

5.7 Dimostrare che il campo magnetico dentro di un solenoide e uni-forme (non dipende della posizione) e diretto lungo l’asse del solenoide( ~B = 0i+ 0j +Bk).

Aiuto: i) usare il teorema di Ampere per dimostrare che non c’ecomponente θ, poi ii) usare il fatto che il campo magnetico at-traverso una superfice chiusa e zero per dimostrare che non hacomponente in r; infine iii) usare di nuovo il teorema di Ampereper dimostrare che il campo deve essere uniforme.

5.8 Calcolare il campo magnetico lungo l’asse di un solenoide di raggioR, lunghezza l (l = z2 − z1), percorso da una intensita I e densitalineare di spire n = N/l. Trovare la soluzione nel caso in cui ilsolenoide sia infinito e usare il teorema di Ampere per comprovarequest’ultimo risultato.

Soluzione: ~B = µ0In2

(

z2√R2+z22

− z1√R2+z21

)

k; ~B∞ = µ0Ink

5.9 Un disco di raggio R, ha una densita superficiale di carica σ. Ildisco gira, attorno ad un’asse che passa per il suo centro ed e per-pendicolare, con una frequenza angolare ω costante. Calcolare a) ilcampo magnetico in un punto generico del suo asse; e b) il momentomagnetico ~m = I ~S.

Soluzione a): ~B = µ0ωσ2

(

2z2+R2√R2+z2

− 2|z|)

k

Soluzione b): ~m = 14πωσR

4k

5.10 Considerare un piano infinito a z = 0 percorso da un correntesuperficiale ~js = js~i uniforme. Calcolare il campo magnetico lungol’asse z per z > 0.

Soluzione: ~B = −µ0js2 j

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5.11 Una spira rettangolare rigida, di latia e b = 2a, ha una masa per unitadi lunghezza ρ = 0.05 g/cm. Essapuo ruotare attorno ad uno dei lattidi lunghezza a ed e percorsa di uncorrente i = 10 A in senso antiorario(vedere figura). La spira ruota versoil lettore dovuto alla presenza di uncampo magnetico B = 10−3 T, uni-forme e parallello all’asse y. Calcolarel’angolo di equilibrio, l’energia e illavoro compiuto dal campo sulla spiraper produrre detta rotazione.

Soluzione: tanα = iBgρ

11+b/a ; W = iΦ = iBab sinα; L = iBab sinα

5.12 Una sbarra metallica condutrice, prismatica a sezione rettangolare(a, b) e percorsa da un corrente i ed e immersa in un campo mag-netico uniforme B (vedere figura). Calcolare modulo e verso delcampo elettrico traverso EH , diretto secondo l’asse y, che comparenella sbarra. Il numero di elettroni di conduzione per unita di vol-ume e n.

Soluzione: ~EH = − iBenab j dove e e

il modulo della carica del elettrone.Questo effetto corrisponde al cosidettoEffetto Hall trasverso. Misurandola differenza di potenziale (lungo y)∆V = EHb, l’intensita i e secondo ilvalore del campo B, si puo determinareesperimentalmente la desnita di porta-tori di corente n = iB

e∆V a .

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5.13 Due fili rettilinei indefiniti parallelidistanti d sono percorsi in versi oppostidalle correnti i1 e i2. Tra i due fili ecoplanare con essi si trova una spiraquadrata, di lato a, percorsa dallacorrente i3. Determinare le eventualiposizioni di equilibrio della spira per ilcaso in qui i2 = 2i1.

Soluzione:∑ ~F = 0 ⇒ yeq. =

12

[

−(a+ 2d)±√a2 + 8d2

]

5.14 Due fili indefiniti paralleli all’asse z,distanti 2l, sono percorsi entrambi dauna stessa corrente i concorde all’assez. Un tratto di filo, lungo a, e postosull’asse x ad una distanza a del pianoche contiene i due fili ed e percorso daun corrente i′ diretta verso i. Calcolarein modulo, direzione e verso la forza Fsul tratto di filo su l’asse x.

Soluzione: ~F = µ0ii′

2π ln(

4a2+l2

a2+l2

)

k

5.15 Un cavo coassiale indefinito e costituito da un conduttore cilin-drico rettilineo di raggio R1, contenuto entro una guaina condut-trice cilidrica, coassiale al conduttore interno, di raggi R2 ed R3

con R2 < R3. Calcolare e fare il grafico del campo magnetico B intutto lo spazio se il conduttore interno e percorso da una correntei, nei casi a) la corrente e distribuita uniformemente su tutta lasezione del conduttore e b) la corrente e distribuita uniformementesulla superficie del conduttore. Si assuma che la stessa correntepercorre in senso uguale e verso opposto la guaina, uniformementedistribuita su la sezione di questa. Calcolare l’energia totale perunita di lunghezza e la pressione risentita dal conduttore esterno

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(assumendo R3 → R2 per il calcolo della pressione).

Soluzione a): B(r < R1) = µ0ir2πR2

1; B(R1 < r < R2) = µ0i

2πr ;

B(R2 < r < R3) =µ0i2πr

R23−r2

R23−R2

2; Wa

L = µ0i2

16π + WbL

Soluzione b): B(r < R1) = 0; B(R1 < r < R2) =µ0i2πr ; B(R2 <

r < R3) =µ0i2πr

R23−r2

R23−R2

2; Wb

L = µ0i2

ln(

R2R1

)

+R4

3

(R23−R2

2)2 ln

(

R3R2

)

− R23

R23−R2

2+

R43−R4

2

4(R23−R2

2)2

P = B2(r=R2)2µ0

5.16 Entro un conduttore cilindrico di raggio R e praticato un foro cilin-drico parallelo all’asse, di raggio r. L’asse del foro dista dall’assedel conduttore d. Se il conduttore e percorso da una corrente didensita j, uniforme su tutta la sezione, dare l’espressione del campomagnetico lungo la congiungente i due centri e in particolare nelcentro del foro.

Soluzione: 0 < y < d− r → ~B = 12µ0j

(

y + r2

d−y

)

k

d− r < y < d+ r → ~B = 12µ0jdk

d+ r < y < R → ~B = 12µ0j

(

y + r2

d−y

)

k

y > R → ~B = 12µ0j

(

R2

y + r2

d−y

)

k

5.17 Una sfera conduttrice di raggio R, massa M, carica q ruota convelocita angolare costante ω attorno ad un asse che passa per ilsuo centro. Calcolare il valore del campo magnetico nel centro,il momento magnetico e il rapporto tra il momento magnetico eil momento angolare, detto anche rapporto giromagnetico g dellasfera.

Soluzione: ~B = µ0

6πqωR k; ~m = 1

3qωR2k; e g = 5

3q

2M

6. Magnetostatica nella materia

6.1 Un cilindro di materiale omogeneo ed isotropo, di diametro moltopiccolo rispetto alla sua altezza e disposto parallelamente alle li-nee di forza di un campo di induzione magnetica ~B0 (nel vuoto).Discuttere la configurazione assunta dai campi vettoriali ~B, ~H e ~M .

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Soluzione: considerando che la circuitazione di ~H e il flusso di~B uscente da una superficie chiusa sono nulli, si ottengono le con-dizioni di raccordo tra due mezzi di queste quantita: B1n = B2n

e H1t = H2t. Poi usando ~B = µ ~H si ottengono B1tµ1

= B2tµ2

eH1nµ1 = H2nµ2

Esternamente al materiale: ~B0, ~M0 = 0 e ~H0 =~B0µ0

.

Nel materiale: H0t = Ht = H0; Hn = µ0

µ H0n = 0; B0n = Bn = 0;

Bt =µµ0B0t = µrB0 e ~M = µr−1

µ0

~B0.

6.2 Un cilindro molto lungo di ferro (e quindi un matteriale ferromag-netico), lungo d ≡ z2 − z1 e di raggio R, e magnetizzato uniforme-mente, con magnetizzazione M e parallela all’asse del cilindro. De-terminare come varia il campo B generato da questo cilindro e inparticolare nel limite d → ∞. Calcolare la circuitazione di B, H eM lungo una linea chiusa Γ1 che attraversa il cilindro in tutta lasua lunghezza e lungo un’altra linea chiusa Γ2 che passa nel ma-teriale solamente per meta della sua lunghezza. In fine discutterela configurazione assunta dai campi vettoriali ~B e ~H assumanedoche ~B( ~H) e nel secondo quadrante del ciclo di isteresi dove ~B e ~Hhanno versi opposti.

Soluzione: ~B = 12µ0M

(

z2√z22+R2

− z1√z21+R2

)

k; ~B∞ = µ0Mk;∮

Γ1,2

~H · ~dl = 0;∮

Γ1

~M · ~dl = Md;∮

Γ2

~M · ~dl = Md/2;∮

Γ1

~B · ~dl = µ0Md;∮

Γ2

~B · ~dl = µ0Md/2;

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6.3 Un cilindro di lunghezza indefinitapossiede una magnetizzazione perma-nente M = 6 × 105 A/m uniforme ediretta ortogonalmente al proprio asse.In figura e rappresentata una sezionedel cilindro. Determinare: a) le densitavolumetriche e superficiali delle correntidi magnetizzazione; b) i vettori ~B e ~Hsull’asse del cilindro; e c) i vettori ~B e ~Hnei punti A e C indicati in figura, postiimmediatamente all’esterno del cilindro,supponendo che ~B e ~H siano uniformiall’interno del cilindro.

Soluzione a): ~jv = 0 e ~js = −M cos θk

Soluzione b): ~B = µ0

2~M e ~H = −1

2~M

Soluzione c): ~BA = µ0

2~M ; ~HA = 1

2~M ; ~BC = −µ0

2~M ; e ~HC =

−12~M .

6.4 Un avvolgimento di N spire, percorse dalla corrente i, e dispostosu di una superficie toroidale circolare a sezione quadrata di areaS e lunghezza media l. Lo spazio interno a tale solenoide e com-pletamente riempito di un materiale con permeabilita relativa µr

costante per un largo intervallo di valori di ~H. Calcolare i valoridei campi ~B, ~H and ~M entro il solenoide nonche il flusso di ~B.

Soluzione: ~H = iNl θ,

~B = µiNl θ, ~M = (µr−1) iNl θ and Φ = µiN2S

l

6.5 Ripetere il problema 6.4 nel caso in cui il mezzo presenti un tagliocon le facce ortogonali alle linee di ~B, di lunghezza d. Si supongatrascurabile il flusso disperso e si considerino i campi uniformi sullasezione.

Soluzione: ~B = µiNl−d+µrd

θ, ~Hes = µriN

l−d+µrdθ, ~Hin = iN

l−d+µrdθ,

~M = (µr − 1) iNl−d+µrd

θ and Φ = µiN2Sl−d+µrd

6.7 Un cilindro di lunghezza l e raggio R e magnetizzato uniformementelungo la direzione del suo asse (k). Il suo momento magnetico e m.Fare una stima di ~B al interno del cilindro.

Soluzione: ~B = µ0m

lπR2 k = µ0mV k

6.8 Un magnete permanente e costituito da un anello tagliato di materi-ale ferromagnetico in cui il traferro ha spessore d = 5 mm. Si vuoleottenere nel traferro un campo di induzione B = 0.3 T diretto per-

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pendicolare alla superficie del taglio. I materiale ha le seguenti pro-prieta: lunghezza media del matteriale l, magnetizzazione residuaMr = 3 × 105 A/m, campo coercitivo Hc = 7.5 × 104 A/m, ciclodi isteresi lineare nella zona di interesse. Determinare, assumendopositivo il verso di ~B: a) ~H nel materiale; b) la lunghezza media l;e c) ~M e la corrente totale di magnetizzazione.

Soluzione a): ~Hin = −Hc +Hc

µ0MrBθ = −1.53× 104θ A/m

Soluzione b): l =(

1 + | ~Hest|| ~Hint|

)

= d

(

1 + Bµ0

1|−Hc+

Hcµ0Mr

B|

)

= 83

mm

Soluzione c): ~M =[

Hc +Bµ0

(

1− HcMr

)]

θ = 2.5 × 105θ A/m e

i = M(l − d) = 2.1× 104 A.

7. Induzione elettromagnetica

7.1 Una sottile sbarra conduttrice, lunga l, si muove di moto traslatorionel piano xy con velocita v costante; la normale alla sbarra forma unangolo α con l’asse x. La sbarra e immersa in un campo magneticouniforme e costante di modulo B, che non ha componente lungol’asse y e forma un angolo β con l’asse x. Calcolare la tensione checompare ai capi della sbarra in seguito al moto.

Soluzione: ε = vBl sinβ cosα

7.2 Una sottile sbarra rettilinea conduttrice, lunga l, e incernierata adun estremo attorno al quale ruota con velocita angolare costanteω. Essa e immersa in un campo magnetico uniforme e costante, dimodulo B, parallelo e concorde a ω. Calcolare il valore e il segnodella tensione che compare ai capi della sbarra.

Soluzione: ε = −12ωBl2 (carica negativa si concentra nel estremo

incernierato e carica positiva nel estremo opposto)

7.3 Un conduttore metallico di resistenza trascurabile e piegato a Ue contenuto nel piano xy; i tratti paralleli distano l. Su di essopuo spostarsi senza attrito una sbarra conduttrice di resistenza Rortogonale ai tratti paralleli. Se tale conduttore viene mantenutoin moto secondo il verso positivo dell’asse x con velocita costantedi modulo v e se il dispositivo e immerso in un campo magneticouniforme e costante, ortogonale al circuito e diretto verso z positivi,di modulo B, calcolare il valore della corrente indotta nel circuitoe la potenza che occorre spendere per mantenere in movimento ilconduttore mobile.

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Soluzione: i = BlvR e P = B2l2v2

R

7.4 Nella stessa configurazione del problema 7.3, la sbarra viene messain moto, con velocita parallela all’asse x, tramite l’applicazione inun tempo trascurabile di un impulso ~J = Ji. Dare l’equazione delmoto della sbarra e la legge di variazione nel tempo della correnteindotta nel circuito. La massa della sbarra valem. Calcola l’energiadissipata per effetto Joule.

Soluzione: v = Jm exp

(

−B2l2

mR t)

; i = JBLmR exp

(

−B2l2

mR t)

e W =

12m

(

Jm

)2

7.5 Una spira conduttrice quadrata contenuta nel piano xy, di lato l,massa m e resistenza R, si muove con velocita costante v0 (perx < 0) lungo l’asse x. Nel semipiano x ≥ 0 esiste un campomagnetico B, uniforme e costante, lungo l’asse z e con verso pos-itivo. Nel semipiano x < 0 il campo magnetico e zero. Si calcolila velocita v della spira dopo che essa e entrata completamente nelsemipiano x ≥ 0 e il tempo t che occorre perche cio avvenga, apartire dell’istante t = 0 in cui la spira entra nella zona con campomagnetico. Discuttere l’andametento della velocita nelle diversezone.

Soluzione: v = v0 − B2l3

mR e t = mRB2l2

ln

(

1

1− B2l3

mRv0

)

7.6 Due sbarre condutrici di massam e resistenza R si possono muoverelungo la direzione dell’asse x sopra a due fili conduttori, che nonhanno resistenza, e con attrito trascurabile. Il circuito e contenutonel piano xy e la sbarra a sinistra si muove verso quella di destra,inizialmente ferma, con velocita costante v. Il circuito e ancheimmerso in un campo magnetico uniforme di modulo B e direttolungo valori positivi dell’asse z. Calcolare la velocita della secondasbarra.

Soluzione: v = v0

[

1− exp(

−B2l2

2mR t)]

7.7 Un cilindro di materiale conduttore, inizialmente neutro, di raggioR = 5 cm viene posto in rotazione attorno al proprio asse confrequenza f = 50 Hz. E presente un campo magnetico costanteB = 0.1 T diretto lungo l’asse del cilindro. Determinare: a) ilcampo elettrico E nel materiale e la ddp tra un punto sull’asse eil bordo del cilindro; b)la distribuzione di carica di volume e disuperficie; e c) la energia elettrostatica per unita di lunghezza.

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Soluzione a): ~E = 2πfB~r e ∆V = πfBR2 (carica negativa siconcentra nel centro e la positiva nella superficie laterale del cilin-dro)

Soluzione b): ρ = −4πε0fB e σ = 2πε0fBR (e la carica totaleQ = 0).

Soluzione c): Wl = π3ε0f

2B2R4

7.8 Una spira circolare di raggio R1 = 10 cm giace sul piano xy, ed epercorsa in verso antiorario da una corrente stazionaria I1 = 50 A.Sull’asse z della spira, a distanza z0 = 1 cm, si trova una secondaspira il cui raggio R2 = 0.5 cm puo essere preso come molto piccolorispetto a R1. La seconda spira ha una resistenza R = 0.01 Ω. a)Si calcoli quanto vale il campo magnetico nel punto in cui si trovala spira; b) La seconda spira viene trascinata da z0 = 1 cm a z1 =11 cm. Si calcoli quanta carica totale ha attraversato la secondaspira in questo intervallo di tempo. Si calcoli la corrente mediache attraversa la spira in questo intervallo assumendo che la spirae stata trascinata a velocita costante v = 0.02 m/s; e c) Si scrival’espressione della corrente nella seconda spira (assumendo velocitacostante v = 0.02 m/s), e se ne calcoli il valore quando la stessa sitrova a z2 = 2 cm.

Soluzione a): ~B = µ0i12

R21

(z20+R21)

3/2 k

Soluzione b): Q2 =π2µ0i1R

[

R21R

22

(z20+R21)

3/2 − R21R

22

(z21+R21)

3/2

]

e i2 =Q2vz1−z0

Soluzione c): i2 =3π2

µ0i1vR

R21R

22z2

(z22+R21)

5/2

7.9 Una spira quadrata di lato l = 5 cm e massa m = 60 g si trova sulpiano xy, e nella stessa regione e presente un campo B, ortogonaleal piano, con modulo non uniforme ma variabile secondo la leggeB(x) = B0x/x0 con B0 = 2 T e x0 = 10−2 m. La spira quadrata simuove con velocita v = 1 m/s (costante) nella direzione dell’asse xpartendo all’istante t = 0 completamente nel semipiano x > 0 macon un lato perpendicolare a x e nella posizione x = 0. a) Calcolarela corrente indotta nella spira sapendo che la resistenza della stessae 0.25 Ω; b) Calcolare le forze agenti sui lati della spira a causa dellapresenza di B, e la forza necessaria dall’esterno per mantenere vcostante; e c) Calcolare la carica totale che fluisce nella spira neltragitto tra 0 e 20 cm, la potenza dissipata per effetto Joule e illavoro compiuto dall’esterno.

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Soluzione a): i = B0vl2

x0R

Soluzione b): ~FTOT = −B20vl

4

x20R

i e ~FEST = −~FTOT

Soluzione c): Q = B0l2

x0R∆x; P =

B20v

2l4

x20R

; e L =B2

0vl4

x20R

∆x

7.10 Una lamina sottile di conduttore, le cui basi A e B sono parallele alpiano yz ed hanno superficie S =100 cm2, e il cui spessore e d =0.5cm, si muove con velocita v = 0.3 m/s sull’asse y. Lungo l’asse ze presente un campo di induzione magnetica B = 1 T, uniforme ecostante. Si determini, assumendo che non vi siano effetti di bordonella lamina: a) la distribuzione di carica elettrica presente nellalamina; b) la differenza di potenziale elettrostatico che si crea trale basi A e B; e c) ad un dato istante t0 il moto della lamina vieneinterrotto. Sapendo che la resistivita del materiale e ρ = 3.010−8

Ωm, si scriva la corrente elettrica che si crea nella lamina in funzionedi t > t0.

Soluzione a): σA = ε0vB; σB = −ε0vB (non c’e distribuzionevolumica di carica)

Soluzione b): VA − VB = vBd

Soluzione c): i = ε20vBSρ exp(

− t−t0ε0ρ

)

7.11 La sbarretta conduttrice AB di lunghezza L = 5 cm scivola priva diattrito con velocita costante ~v = 2i m/s lungo due guide conduttricia U, mantenendosi ortogonale ad esse. La guida condutrice ad U haresistenza R = 2 Ω, mentre la sbarretta ha resistenza trascurabile.A distanza d = 3 cm da una delle guide e posto un filo rettilineoindefinito che giace nel piano del sistema guida-sbarreta, e paral-lelo alle guide ed e percorso da una corrente I =100 A verso −i.Calcolare: a) il valore e il verso della corrente indotta nella sbar-retta; b) la forza da applicare alla sbarretta per mantenere costantela sua velocita; c) l’energia dissipata sulla resistenza R e il lavorofatto dalla forza applicata, nel tempo impiegato dalla sbarretta apercorrere una distanza pari a 10 m.

Soluzione a): i = µ0Iv2πR ln

(

L+dd

)

Soluzione b): ~Fapp =(

µ0I2π

)2vR

[

ln(

L+dd

)]2i = i2R

v i

Soluzione c): W = i2R∆xv e L = Fapp∆x (i due risultati coinci-

dono)

7.12 Una sbarra conduttrice di massam= 100 g e resistenza lineare RL=0.2 Ω/m scorre nel piano xy su due guide conduttrici, di resistenza

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trascurabile, connesse nellorigine degli assi e formanti un angoloα= 20o. In tutto lo spazio e presente il campo magnetico lungol’asse z B0= 0.1 T. Allistante iniziale t =0 la sbarra si trova nellaposizione x0 = 0.5 m con velocita v0= 1 m/s. Determinare: a)la corrente indotta in funzione della distanza e indicarne il verso(orario o antiorario); b) lespressione della velocita v(x) in funzionedella distanza e la posizione di arresto della sbarra; e c) la energiadissipata durante il percorso da x0 a x0+2m.

Soluzione a): i = BvRL

= BRL

[

v0 − B2 tanαmRL

(

x2 − x20)

]

(orario)

Soluzione b): v(x) = v0−B2 tanαmRL

(

x2 − x20)

e xarresto =√

x20 +mRLv0B2 tanα

Soluzione c): W = 12m

(

v20 − v2)

7.13 Nel circuito in figura, all’istante t = 0s, l’interruttore S viene chiuso nella po-sizione A. Una volta raggiunta la con-dizione di regime esso viene spostatoin un tempo trascurabile nella po-sizione B. Dare l’andamento nel tempodella corrente attraverso l’induttore sesi conoscono V0, R1, R2 e L. Deter-minare inoltre nella prima connessionel’espressione dell’energia spesa dal gen-eratore e verificare che, avvenuta lachiusura nella posizione B, nel resistoreR2 viene dissipata tutta l’energia mag-netica immagazzinata nell’induttore.

R1

R2 L

V0

SA

B

Soluzione: S chiuso nella posizione A: i(t) = V0R1

[

1− exp(

−R1L t

)]

per la condizione di regime i(t → ∞) ≡ i∞ = V0R1

; Wgen =V 20

R21L[

R1L t+ exp

(

−R1L t

)

− 1]

S chiuso nella posizione B (prendendo t = 0 s nel momento subitodopo la chiusura nella posizione B): i(t) = V0

R1exp

(

−R2L t

)

, WR2 =V 20

2R21L = 1

2Li∞

7.14 Su un piano orizzontale si trovano un filo indefinito percorso da unacorrente i1, e una spira quadrata di lato L percorsa da una correntei2. La spira ha un lato parallelo al filo che si trova ad una distanzad dal filo stesso; su questo lato, le correnti nel filo e nella spira sonoconcordi. a) Si calcolino le forze che il filo esercita sui diversi latidella spira, e la risultante di tale forza; b) Si scrivano le espressioni

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analitiche del coefficiente di mutua induzione e dell’energia mag-netica di interazione tra filo e spira; c) Si mostri che dall’energiamagnetica scritta al punto b) si ricava la stessa espressione dellaforza risultante sulla spira gia ricavata a a).

Soluzione a): ~Ftot = − µ0i1i2L2

2πd(d+L) i dove la forza per ogni pezzo difilo della spira e:

• Filo spira parallelo al filo indefinito e lontano d: ~F = −µ0i1i2L2πd i

• Filo spira parallelo al filo indefinito e lontano L + d: ~F =µ0i1i2L2π(d+L) i

• Filo spira perpendicolare (sotto) al filo indefinito: ~F = −µ0i1i2L2π ln

(

d+Ld

)

j

• Filo spira perpendicolare (sopra) al filo indefinito: ~F = µ0i1i2L2π ln

(

d+Ld

)

j

Soluzione b): M12 =µ0L2π ln

(

d+Ld

)

e Wint(d) =µ0Li1i2

2π ln(

d+Ld

)

Soluzione c): ~F = ~∇Wint(x).

7.15 Un cavo coassiale di raggi a e b e percorso da una corrente I. Cal-colare l’energia immagazzinata per unita di lunghezza nei casi: a)il conduttore interno e vuoto; e b) il conduttore interno e riempito(materiale con permitivita relativa µr) e la corrente che lo percorree’ volumica; c) se il coefficiente di auto induzione Lb = 2La deter-minare il valore di µr.

Soluzione a): Wl = µ0I2

4π ln(

ba

)

Soluzione b): Wl = µ0I2

[µr

4 ln(

ba

)]

Soluzione c): µr = 4 ln(

bs

)

7.16 Per due induttori qualsiasi percorsi da una corrente diversa, deter-minare a) il valore massimo del coefficiente di mutua induzione; eb) l’energia massima d’interazione.

Soluzione a): M ≡ M12 = M21 ≤√L1L2 Soluzione b): Wint ≤√

L1L2i1i2

7.17 Due solenoidi coassiali molto lunghi sono percorsi da intensita di-verse ma costanti e nello stesso verso. I due solenoidi hanno sezionidiverse e densita di spire per unita di lunghezza anche diverse. Ilsolenoide con sezione piu piccola e messo un tratto x dentro l’altrosolenoide di sezione maggiore. Determinare la forza con cui si at-tragono/respingono assumendo che il campo magnetico creato daisolenoidi fuori sia trascurabile.

Soluzione: F = µ0n1n2S1I1I2

8. Fenomeni dipendenti del tempo

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8.1 Un condensatore piano con armature cicolari di sezione S e dis-tanti h, viene caricato a una d.d.p. V0, poi viene lasciato scaricareattarverso un resistore di resistenza R0. Calcolare il flusso totaledi energia, atraverso il calcolo del vettore di Poynting, dall’internoall’esterno del conduttore durante la scarica.

Soluzione: W = ε0πhR2(

V0h

)2

8.2 Ad un capo di un cavo coassiale (R1 < R2) viene applicata tra i dueconduttori una tensione V (t) = V0 cos(ωt). Trovare le equazionidifferenziali a cui obediscono la tensione tra i conduttori e la cor-rente lungo di essi in un punto generico del cavo (prendere l’assedel cilindro lungo z).

Soluzione: V (z, t) = V0 cos(ωt + ω zc ) e i(z, t) = V0

cL0cos(ωt + ω z

c )dove L0 e il coefficiente di autoinduzione per unita di lunghezza

L0 =µ0

2π ln(

R2R1

)

.

8.3 Un condensatore piano con armature circolari di raggio R distantid, tra le quali e presente un dielettrico di costante dielettrica εr, einizialmente carico e la d.d.p. tra le armature vale ∆V0. A partiredall’istante t = 0 s la d.d.p. viene fatta variare con la legge ∆V =∆V0 − αt con α costante. Utilizzando un sistema di coordinatecilindriche il cui asse z e perpendicolare alle armature e passa per ilsuo centro, calcolare all’istante t generico: a) il campo elettrico nelcondensatore; b) la corrente di spostamento e il campo d’induzionemagnetica per 0 < r < R; e c) il vettore di Poynting e il flussototale di energia per unita di tempo ai bordi del condensatore.

Soluzione a): E(t) = ∆V0−αtd

Soluzione b): ~js = −εαd k e ~B = −12 = µ0ε

αd rθ

Soluzione c): ~S = 12∆V0−αt

d εαd rr e φ(R) = ∆V0−αtd πR2εα

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8.4 Alle armature circolari di uncondensatore piano di rag-gio R e distanza reciprocad e applicata come in figurauna d.d.p. VA − VB =V0 sin(ωt) con V0 costante eT = 2π/ω. Trascurando glieffetti di bordo e utilizzandoun sistema di coordinate cilin-driche, determinare: a) il vet-tore induzione magnetica e ilvettore di Poynting all’internodel condensatore; b) il val-ore del flusso totale di ener-gia (specificando se entrante ouscente) attraverso la superfi-cie delimitante il condensatoredall’istante t = 0all’istante t = T/4; e c) l’espressione della f.e.m. indotta nella spirarettangolare orientata come in figura di altezza h e base R posta trale armature del condensatore con il lato minore sull’asse di questocalcolandone il valore a t = T/2.

Soluzione a): ~B = −12ωrc2

V0d cos(ωt)θ e ~S = −1

2ε0ωrV 20d2

cos(ωt) sin(ωt)r

Soluzione b): ∆φ = −12πR

2ε0V 20d (flusso entrante)

Soluzione c): f.e.m. = ω2V0hR2

4c2dsin(π) = 0

9. Onde elettromagnetiche

9.1 Un’onda elettromagnetica pi-ana si propaga lungo x inun mezzo con εr = 1.5. Ilcampo magnetico dell’onda edato dalla relazione: By =B0 cos(8×108t−4x), con B0 =1.8 × 10−6 T e x e t espressi,rispettivamente, in m e s. De-terminare: a) i valori difrequenza e lunghezza d’onda della radiazione, nonche la sua ve-locita di propagazione e il valore della permeabilita magnetica delmezzo; b) l’equazione del campo elettrico in funzione di x e t, e

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il valore della sua ampiezza; e c) la potenza che incide su di unasuperficie piana di area A = 2.3m2, perpendicolare al piano xz eche forma un angolo di θ = 30 gradi col piano xy. Si calcoli an-che la pressione di radiazione sulla stessa superficie, supponendolaperfettamente riflettente.

Soluzione a): f = 1.27× 108 s−1, λ = 1.57 m, v = 2× 108 m/s eµr = 1.5Soluzione b): ~E = −vB0 cos(ωt− kx)k

Soluzione c): P = 12vB2

0µ sin θA = 198 W e p =

B20µ sin θ = 8.6 ×

10−7 N/m2

9.2 Il campo di induzione magnetica di un’onda piana, che propaga inun dielettrico caratterizzato da εr e µr, con lunghezza d’onda λ, hala seguente espressione:~B(y, t) = B0

[

cos(ky − ωt)i− sin(ky − ωt)k]

conB0 costante e uni-

formeDeterminare: a) la frequenza, il tipo di polarizzazione dell’onda el’espressione del campo elettrico; b) la quantita media di energiaelettromagnetica che e contenuta nel volume (parallelepipedo disezione A perpendicolare all’asse y e altezza h) e quella che l’ondatrasporta attraverso la base A in un tempo ∆t; e c) la forza es-ercitata dall’onda sulla base A nell’ipotesi che essa sia totalmenteassorbente.

Soluzione a: f = cλ√εrµr

, polarizzazione circolare,

e ~E = cB0√εrµr

[

sin(ky − ωt)i+ cos(ky − ωt)k]

Soluzione b: 〈Wvol〉 = 〈u〉V = 12B2

0µ Ah e 〈Wsup(∆t)〉 = 1

2B2

c√εrµr

A∆t

Soluzione c: F = 12B2

0µ A

9.3 Il campo elettrico di un’onda piana, di frequenza f , che propaga inun dielettrico trasparente caratterizzato da εr e µr, ha la seguenteespressione:~E(x, t) = E0

[

sin(kx− ωt)j − cos(kx− ωt)k]

Determinare: a) il vettore d’onda k e le espressioni del campo~B(x, t) e del vettore di Poynting ~S(x, t); b) il valore di E0 sapendoche nell’intervalo di tempo ∆t, su una superficie di area A giacentenel piano x = 0 incide una quantita di energia W ; e c) la forz es-ercitata sulla superficie del punto b) supponendo che la stessa siatotalmente assorbente.

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Soluzione a): k = 2πf√εrµr

c

~B(x, t) = E0v

[

cos(kx− ωt)j + sin(kx− ωt)k]

~S(x, t) =√

εµE

20 i

Soluzione b): E0 =[

µε

W 2

A2∆t2

]1/4

Soluzione c): F =√εµW

∆t

9.4 Un’onda elettromagnetica propaga nella direzione positiva dell’assex, e il campo elettrico associato ha l’espressione:~E(x, t) = E0 cos(kx− ωt)j + E0 sin(kx− ωt)k,e il valore della pulsazione e ν. La propagazione dell’onda avvienein un mezzo assimilabile al vuoto. Determinare: a) i valori di ke λ, nonche l’espressione analitica del campo B in funzione di x et; b) sapendo che una misura dell’intensita media della radiazionesul piano x = 0 fornisce il valore I, si determinino i valori delmodulo dei campi E e di B; e c) una sbarretta di metallo e dispostalungo la bisettrice del piano yz, ovvero ha come estremi (yA, zA) =(0, 0) e (yB, zB) = (l, l). Si calcoli l’espressione della differenza dipotenziale VA − VB in funzione del tempo e il suo valore massimo.

Soluzione a): k = 2πνc e λ = c

ν~B(x, t) = −E0

v sin(kx− ωt)j + E0v cos(kx− ωt)k,

Soluzione b): E0 =(

2Iε0c

)1/2e B0 =

(

2µ0Ic

)1/2

Soluzione c): VA−VB = −E0l sin(ωt−π/4) e il suo valore massimosara per valori del sin(ωt−π/4) = ±1 e quindi ωt = −π/4, 3π/4 ...e VA − VB|max = ±E0l.

9.5 Un’onda piana di frequenza νpropaga in un mezzo dielet-trico, caratterizzato da εr µr,nel verso positivo dell’asse y.L’onda e polarizzata linear-mente lungo una direzione cheforma un angolo α = 30rispetto all’asse x e ha inten-sita (media) I. Assumendoche in y = 0 a t = 0 il campo elettrico dell’onda sia nullo de-terminare: a) le espressioni del campo elettrico E e del campo

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magnetico B dell’onda e il valore delle ampiezze; b) il valore dellalunghezza d’onda λ; c) la f.e.m. indotta in una spira quadrata dilato a = λ/2 disposta come in figura.

Soluzione a): ~E(y, t) = E0 sin(ky − ωt)(√

32 i+ 1

2 k)

,

~B(y, t) = E0v sin(ky − ωt)

(

12 i−

√32 k

)

,

E0 =(

4I2 µε)1/4

e B0 =E0v

Soluzione b): λ = 1ν

c√εrµr

Soluzione c): f.e.m. = −√32

E0vν sin(ωt)