Επιμέλεια: Κοντομάρης Στέλιος 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Για ποιο λόγο η εύρεση εμβαδού σε διάγραμμα υ-t είναι η καλύτερη

λύση για τον υπολογισμό της μετατόπισης.

Έστω ότι η ταχύτητα ενός σωματίου μεταβάλλεται όπως στο παρακάτω σχήμα:

Όπως βλέπουμε, η κλίση της καμπύλης δεν είναι σταθερή (η γραφική παράσταση δεν

είναι ευθεία), που σημαίνει ότι η επιτάχυνση είναι μεταβαλλόμενη και συγκεκριμένα

εδώ αυξανόμενη με τον χρόνο. Χωρίζουμε το χρονικό διάστημα από 1t ως 2t σε

πολλά μικρότερα διαστήματα t . Η συνολική μετατόπιση, τώρα, μεταξύ των

στιγμών 1t και 2t θα είναι το άθροισμα όλων των μετατοπίσεων που έγιναν στα

μικρά χρονικά διαστήματα και άρα ίση με το εμβαδόν όλου του χωρίου που

περιέχεται μεταξύ της καμπύλης και του άξονα του χρόνου. Για να το

προσδιορίσουμε, θα πρέπει να μειώσουμε τα χρονικά διαστήματα σε απειροστά

μικρά, δηλαδή σε dt . Τότε σε κάθε ένα από αυτά, η μέση ταχύτητα θα ταυτίζεται με

την αντίστοιχη στιγμιαία . Στη συνέχεια, θα αθροίσουμε όλα αυτά τα απειροστά

μικρά εμβαδά ή με άλλα λόγια θα σαρώσουμε όλη την επιφάνεια. Σε αυτή την

περίπτωση, μιλάμε για το ολοκλήρωμα της ταχύτητας από 1t ως 2t . Αν 1x και 2x

οι θέσεις του σωματίου τις χρονικές στιγμές 1t και 2t αντίστοιχα, έχουμε:

2

1

2

112

t

t

x

xdtdxxxx (1)

Πως όμως καταλήγουμε στη σχέση 2

02

1attx με τη βοήθεια της γενικής

σχέσης (1);

Η απάντηση είναι απλή.

Στην περίπτωση ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης με αρχική ταχύτητα το

διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου παρουσιάζεται παρακάτω, δηλαδή η κλίση είναι

σταθερή.

t

t

1t

2t

Επιμέλεια: Κοντομάρης Στέλιος 2

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Στην περίπτωση αυτή ισχύει t 0 (2)

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (2) στην (1) προκύπτει:

2

10

t

tdtatx

2

1

2

10

t

t

t

tatdtdtx

2

1120

t

ttdtattx

2

1

2

2

120

t

t

tattx 212120

2

1ttattx

Αν θεωρήσουμε ότι 01 t και tt 2 καταλήγουμε στη σχέση του σχολικού βιβλίου:

2

02

1attx

Συμπέρασμα: Προτιμητέα λύση για τον υπολογισμό της μετατόπισης αποτελεί η

εύρεση του εμβαδού σε διάγραμμα t αφενός λόγω της απλότητας και αφετέρου

λόγω της γενικότητας της λύσης.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΟΝΤΟΜΑΡΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ

Το εμβαδόν του τραπεζίου που περικλείεται μεταξύ

της γραμμής της ταχύτητας και του άξονα των

χρόνων ισούται με τη μετατόπιση του κινητού.

t

t

0

Ε=Δx