ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΕ ΘΕΜΑ ‘ΤΗΝ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΚΕΝΤΡΗ ΓΩΝΙΑ ΣΕ ΕΝΑ ΚΥΚΛΟ’ , ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SKETCHPAD 

ΑΡΓΥΡΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑΣ 18 , ΤΚ 17235, ΔΑΦΝΗ, ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ.

ΤΗΛΕΦΩΝΟ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ : 6974815879, 2117258027

Ε-ΜΑIL : ARGIRY@MAIL.GR , ARGIRY @ GMAIL . COM

 

 

 

Με τον όρο ‘σενάριο’, αναφερόμαστε σε ένα σύνολο διδακτικών και μαθησιακών  δραστηριοτήτων και διαδικασιών, οι οποίες περιγράφουν την χρήση της υπολογιστικής τεχνολογίας στο σύνολό της μέσα στην σχολική μαθηματική τάξη. Αποτελεί μία εκ βαθέων διείσδυση στη διδακτική πρακτική και έχει ως βασικό στόχο να προβάλλει τις καινοτομίες και την προστιθέμενη αξία στην διδασκαλία και την μάθηση των μαθηματικών εννοιών που επιτυγχάνεται με την χρήση του λογισμικού της δυναμικής γεωμετρίας Sketchpad. Με βασική ιδέα την διδασκαλία ' της εγγεγραμμένης και της επίκεντρης γωνίας σε ένα κύκλο' για τους μαθητές της Β τάξης γυμνασίου παρουσιάζονται οι διαφορές της παραδοσιακής διδακτικής πρακτικής και της διδασκαλίας με την χρήση των νεών τεχνολογιών, καθώς και το θεωρητικό πλαίσιο και το πλαίσιο εφαρμογής μέσα στο οποίο θα υλοποιηθεί το σενάριο. Μέσα απο την ανάλυση του σεναρίου διδασκαλίας αναδεικνύονται οι νέοι ρόλοι που αναλαμβάνουν οι μαθητές και ο εκπαιδευτικός. Επίσης, παρουσιάζονται οι διδακτικοί στόχοι του σεναρίου, οι κοινωνικοί στόχοι, όπως και οι στόχοι που τίθενται απο την χρήση της νέας τεχνολογίας. Επιπλέον, επισυνάπτεται και το φύλλο εργασίας, που περιλαμβάνει τις οδηγίες για τις μαθηματικές δραστηριότητες που θα εκτελέσουν οι μαθητές, αυτενεργώντας με την βοήθεια του λογισμικού. Από την αναλυτική περιγραφή της ροής των δραστηριοτήτων του σεναρίου παρουσιάζεται ο τρόπος με τον οποίο η αλληλεπίδραση του μαθητή με το λογισμικό, με τον εκπαιδευτικό και με τα υπόλοιπα μέλη της ομάδας της τάξης του οδηγεί στην ανακάλυψη της νέας γνώσης. Κατά αυτόν τον τρόπο επικυρώνονται τα οφέλη από την χρήση της νέας τεχνολογίας στη μάθηση και την διδασκαλία των μαθηματικών, ώστε να αποτελέσει κίνητρο για όλους τους εκπαιδευτικούς : ' η ένταξη των νέων τεχνολογιών στην διδασκαλία των μαθηματικών ' .        

1. ΤΙΤΛΟΣ : Η ΕΓΓΕΓΡΑΜΕΝΗ ΚΑΙ Η ΕΠΙΚΕΝΤΡΗ ΓΩΝΙΑ ΣΕ ΕΝΑΝ ΚΥΚ2. ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Συγγραφέας : ΑΡΓΥΡΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ :Η εγγεγραμμένη και η επίκεντρη γωνία σε ένα κύκλο.ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ : Μέσα από καθοδηγούμενες κατασκευές και δραστηριότητες που θα υλοποιηθούν με την βοήθεια των ιδιοτήτων που προσφέρει το λογισμικό Sketchpad θα γίνει προσπάθεια οι μαθητές να κατασκευάσουν και να κατανοήσουν την έννοια της εγγεγραμμένης και της επίκεντρης γωνίας σε ένα κύκλο και τις σχέσεις μεταξύ : α) του μέτρου της επίκεντρης γωνίας και του μέτρου του αντίστοιχου τόξου τους β) του μέτρου της εγγεγραμμένης γωνίας και του μέτρου του αντίστοιχου τόξου τους γ) του μέτρου της εγγεγραμμένης γωνίας και του μέτρου της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επίσης θα πρέπει να κατανοήσουν ότι : ‘στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους ίσες εγγεγραμμένες ή ίσες επίκεντρες βαίνουν σε ίσα τόξα’. Η αξία της παρακάτω πρότασης διδασκαλίας έγκειται στο γεγονός ότι η νέα γνώση ανακαλύπτεται από όλους τους μαθητές με ενεργητικό τρόπο, οι οποίοι συνεργάζονται και μεταξύ τους , αλλά και με τον διδάσκοντα. Οι μαθητές πειραματίζονται και αυτενεργούν για την οργάνωση των πληροφοριών που προκύπτουν και την τελική διατύπωση των γενικών συμπερασμάτων.3.ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣΠαρακάτω παρουσιάζονται εκτενώς οι καινοτομίες και η προστιθέμενη διδακτική αξία του προτεινόμενου σεναρίου διδασκαλίας σε σχέση με τον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας, ώστε να δοθούν κίνητρα σε όλους τους εκπαιδευτικούς να εντάξουν την χρήση νέων τεχνολογιών στην καθημερινή διδακτική πρακτική.ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΕΣ :

Σύμφωνα με τον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας , ο εκπαιδευτικός ορίζει στον πίνακα την έννοια της εγγεγραμμένης και της επίκεντρης γωνίας ενός κύκλου και διατυπώνει τις σχέσεις με τα αντίστοιχα τόξα τους,καθώς και την σχέση μεταξύ τους στη περίπτωση που βαίνουν στο ίδιο τόξο.Η έλλειψη κατάλληλων αναπαραστασιακών μέσων δεν επιτρέπει την βαθύτερη εννοιολογική κατανόηση των μαθηματικών εννοιών. Η διδασκαλία περιορίζεται στην εργαλειακή ή διαδικαστική κατανόηση και οδηγεί τους μαθητές στην μηχανική αφομοίωση και στην απλή εφαρμογή κανόνων, τύπων και αλγοριθμικών διαδικασιών.

Οι μαθητές με βάση αυτή την παραδοσιακή διδακτική διαδικασία αναπτύσσουν λανθασμένες στάσεις και πεποιθήσεις για την μάθηση των μαθηματικών:

Όλα τα προβλήματα μπορούν να λυθούν το πολύ σε δέκα λεπτά. Αν δεν μπορέσεις να λύσεις ένα πρόβλημα σε δέκα λεπτά, τότε δεν μπορείς να το λύσεις , επομένως πάψε να ασχολείσαι με αυτό.

Μετά από χρόνια απομνημόνευσης αλγορίθμων, κανόνων και τύπων οι μαθητές θεωρούν τους εαυτούς τους ως παθητικούς δέκτες γνώσεων, που άλλοι πολύ πιο έξυπνοι από αυτούς τις έχουν βρει.

Για πολλούς μαθητές η απόδειξη δεν τίποτα άλλο παρά μία «τελετουργική» δραστηριότητα που έχει σκοπό να επιβεβαιώσει αυτό που ήδη είναι γνωστό χιλιάδες χρόνια πρίν!

Τα μαθηματικά δεν έχουν σχέση με τον πραγματικό κόσμο. Όμως η αξιοποίηση των νέων τεχνολογιών στην εκπαίδευση βελτιώνει τις διδακτικές

προσεγγίσεις και εισάγει νέες μορφές και ευκαιρίες στη μάθηση. Οι νέες τεχνολογίες δημιουργούν ένα ανοιχτό μαθησιακό περιβάλλον κατά το οποίο οι μαθητές ‘’κάνουν οι ίδιοι μαθηματικά’’ , καθώς συνεργάζονται μεταξύ τους, με το λογισμικό και με το διδάσκοντα, διερευνούν και πειραματίζονται για την ανακάλυψη της νέας γνώσης. Κατά αυτόν τον τρόπο στη μαθηματική τάξη διδασκαλίας κυριαρχεί ‘’ατμόσφαιρα ερευνητικού εργαστηρίου’’ με κύριο χαρακτηριστικό την διερευνητική μάθηση. Επιπλέον καλλιεργείται σε μεγάλο βαθμό η κριτική σκέψη και η δημιουργικότητα των μαθητών, ενώ διευρύνεται και η φαντασία τους, καθώς εμπλέκονται σε διαδικασίες διατύπωσης εικασιών και κατασκευής υποθέσεων, στην σταδιακή διατύπωση κανόνων και γενικεύσεων και στην εξαγωγή συμπερασμάτων.

Οι ανακαλυπτικές προσεγγίσεις για τη μάθηση, που εισάγονται με τη βοήθεια του λογισμικού Sketchpad στη διδασκαλία, απαιτούν από τους μαθητές την αξιοποίηση ενός μεγάλου εύρους και ποικιλίας γνώσεων, μέσω των οποίων αναπτύσσουν στρατηγικές επίλυσης του προβλήματος.

Ο μαθητής πλέον δεν εξαρτάται αποκλειστικά από το δάσκαλο ως μοναδική πηγή γνώσης μέσα στην τάξη. Αντίθετα, οι μαθητές συμμετέχουν δραστήρια και δημιουργικά στην εύρεση των αποτελεσμάτων για τον εαυτό τους. Ο Bruner θεωρούσε ότι η πραγματική κατανόηση ενός πεδίου γνώσης περιλαμβάνει την ανάπτυξη μιας στάσης προς τη μάθηση και αναζήτησης, προς την δημιουργία υποθέσεων και εικασιών, προς τη δυνατότητα επίλυσης προβληματικών καταστάσεων. « Η πονηρή υποψία, η γόνιμη υπόθεση, το θαρραλέο άλμα σε ένα δοκιμαστικό συμπέρασμα, είναι τα πολυτιμότερα όργανα του στοχασμού, όποια και αν είναι η κατεύθυνση της σκέψης του».

Μέσα από τις μαθηματικές δραστηριότητες με τη χρηση του λογισμικού, τη συμμετοχική προσπάθεια, τη συλλογή και την οργάνωση κάποιων δεδομένων, καθώς επίσης και η δημιουργία κάποιων εικασιών γύρω από τα αποτελέσματα που προκύπτουν στην οθόνη του υπολογιστή, δίνεται στους μαθητές η ευκαιρία να ακούσουν την σκέψη των συμμαθητών τους, να συνεισφέρουν σε μία συλλογική προσπάθεια και να ασκήσουν τις δεξιότητες επικοινωνίας.

Το μαθηματικό περιεχόμενο που αποκτιέται μέσω των ανακαλυπτικών προσεγγίσεων είναι πιο ισχυρό από διανοητικής απόψεως. Αφού ο μαθητής συμμετέχει ενεργητικά στη διαμόρφωση αυτής της γνώσης, λογικό είναι να είναι σε θέση να τη χρησιμοποιήσει, μεταφέροντας και εφαρμόζοντας την σε άλλες προβληματικές καταστάσεις, πιο αποτελεσματικά από το εάν τη μάθαινε μηχανικά.

Η δημιουργία πολλαπλών αναπαραστάσεων και η σύνδεση τους με εικονικό , ενεργητικό και συμβολικό τρόπο (Bruner) , δημιουργεί κίνητρα για μάθηση.

Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι η διδασκαλία μετατρέπεται σε ένα παιχνίδι με τις μαθηματικές έννοιες , κατά το οποίο ενεργοποιούνται όλοι οι μαθητές (ακόμα και οι αδύνατοι ) , καθώς τους δίνεται η δυνατότητα να ασχοληθούν με διαισθητικό και δυναμικό τρόπο για την ανακάλυψη της νέας γνώσης ,που αφορά την έννοια της εγγεγραμμένης και επίκεντρης γωνίας ενός κύκλου.

Μέσα από το παρόν σενάριο δεν επιδιώκεται μόνο η απόκτηση γνώσεων, αλλά και η πρόοδος της λειτουργίας της σκέψης ,όπως και η ανάπτυξη της προσωπικότητας των μαθητών.

Το προτεινόμενο εκπαιδευτικό σενάριο δεν αποτελεί μόνο μια καινοτομία στο παραδοσιακό πλαίσιο της διδασκαλίας της συγκεκριμένης ενότητας των Μαθηματικών, αλλά φιλοδοξεί να έχει και ευρύτερες επιρροές, αλλάζοντας τη στάση των μαθητών για τα μαθηματικά και την και τη μάθηση τους.

ΠΡΟΣΤΙΘΕΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΑΞΙΑ : Οι μαθητές επιλέγουν από ένα πλήθος εργαλείων που θεωρούν κατάλληλα για τις

διερευνήσεις τους, ενώ στην συνέχεια με τις ευκολίες σχεδίασης που διαθέτει το λογισμικό, έχουν την δυνατότητα να κατασκευάσουν οι ίδιοι βήμα βήμα το γεωμετρικό σχήμα και όχι να τους παρουσιαστεί από τον διδάσκοντα στον πίνακα. 

Οι υπολογιστικές δυνατότητες του λογισμικού ( διαθέτει δυνατότητα μέτρησης τόξου και γωνίας) βοηθά τους μαθητές να κάνουν απεριόριστο αριθμό δοκιμών με μετρήσεις και να πειραματίζονται.

Άλλη μία σημαντική ιδιότητα που διαθέτει το λογισμικό είναι η δυνατότητα του ‘συρσίματος’ (drag mode) . Ο μαθητής μπορεί να μετασχηματίζει συνεχώς και σε πραγματικό χρόνο το γεωμετρικό σχήμα, δηλαδή να κινεί ορισμένα στοιχεία του σχήματος που έχει σχεδιαστεί και να παρατηρεί πως ανταποκρίνονται τα υπόλοιπα στοιχεία σε αυτές τις αλλαγές.

Για την ταξινόμηση, την οργάνωση και την εξαγωγή των συμπερασμάτων, των γενικεύσεων και των κανόνων που προκύπτουν, οι μετρήσεις μπορούν να πινακοποιηθούν. Κατά αυτόν

τον τρόπο ο μαθητής μπορεί να παρατηρεί μέσα από απεριόριστες δοκιμές ποια στοιχεία του γεωμετρικού σχήματος μεταβάλλονται, το πως και το γιατί μεταβάλλονται.

Ο μαθητής κάνει υποθέσεις και μπορεί ταυτόχρονα να τις ελέγχει, χωρίς το άγχος οτι μπορεί να κάνει λάθος. Σε αυτό συμβάλει και η ταχύτητα ανταπόκρισης του λογισμικού, όπου δίνει την δυνατότητα μέσα από απεριόριστο αριθμό δοκιμών να ελέγχεται η ορθότητα των διαισθητικών αντιλήψεων των μαθητών, προκειμένου να επιτευχθεί η γενικεύση των κανόνων από τον ίδιο το μαθητή.

Τα εργαλεία εμφάνισης των γεωμετρικών αντικειμένων στην επιφάνεια εργασίας, για παράδειγμα η επιλογή χρώματος ή η επιλογή για διαφορετικό πάχος γραμμών επιτρέπει στο μαθητή μέσα στην διαδικασία της διευρενητικής μάθησης να εστιάσει σε συγκεκριμένες πτυχές του σχήματος που έχει κατασκευάσει.

Δίνεται και η δυνατότητα αναστοχασμού και ανάπτυξης μεταγνωστικών δεξιοτήτων καθώς το λογισμικό διαθέτει την προβολή αρχείου εντολών και το πρωτόκολλο των στοιχείων κατασκευής. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μπορεί να επανεξεταστεί, να τροποποιηθεί και να μετασχηματιστεί η στρατηγική που ακολουθήθηκε.

Αξίζει να τονιστεί οτι όταν μία γεωμετρική κατασκευή περάσει από την δοκιμή του συρσίματος (δημιουργία εικασιών και υποθέσεων) δημιουργείται η ανάγκη να αιτιολογηθεί γιατί η συγκεκριμένη κατασκευή ‘δουλεύει’. Η ανάγκη ενισχύεται μέσω της συλλογικής συζήτησης για να εξηγηθεί γιατί και πως λειτουργεί. Κάθε βήμα της διαδικασίας της κατασκευής αντιστοιχεί σε μία γεωμετρική ιδιότητα και ολόκληρο το σύνολο των ιδιοτήτων που δίνονται αποτελεί μία παρουσίαση της απόδειξης της ακριβούς κατασκευής (θεώρημα).

Όλες οι παραπάνω δραστηριότητες, που δεν μπορούν να υλοποιηθούν σε μία συμβατική τάξη, ενθαρρύνουν την εξερεύνηση και τον πειραματισμό με στόχο την επανακάλυψη των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων. Έτσι επιτυγχάνεται ένας από τους βασικούς στόχους της σύγχρονης διδακτικής ‘ να μυηθούν οι μαθητές στον πλήρη κύκλο της μαθησιακής δημιουργίας με στόχο την βελτίωση και την κατοχύρωση της μαθησιακής διαδικασίας’ . ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ – ΔΙΔΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ :Οι βασικότεροι λόγοι για τους οποίους οι μαθητές συναντούν δυσκολίες στην αφηγηματική προσέγγιση διδασκαλίας είναι οι ακόλουθοι:-     Ο δάσκαλος υποθέτει ότι όλοι οι μαθητές κατέχουν ένα βασικό επίπεδο μαθηματικής γνώσης και εμπειρίας. Αυτό όμως δεν είναι αληθές. Υπάρχει μεγάλη διαφοροποίηση στο μαθηματικό υπόβαθρο των μαθητών μιας τάξης.-     Ο ρυθμός διδασκαλίας είναι ο ίδιος για όλους τους μαθητές και έτσι δεν μπορούν να τον παρακολουθήσουν οι πιο αδύνατοι μαθητές.-    Ο δάσκαλος των μαθηματικών προσπαθεί συνήθως με την προσέγγιση αυτή να καλύψει όσο το δυνατόν περισσότερη ύλη, χωρίς να δίνει βαρύτητα στην διαδικασία μάθησης. Οι μαθητές αποδίδονται σε έναν αγώνα ταχύτητας απομνημονεύοντας κανόνες, χωρίς να γνωρίζουν το γιατί. Έτσι είναι δύσκολο να τους εφαρμόσουν αργότερα σε προβληματικές καταστάσεις.Όσον αφορά το συγκεκριμένο θέμα διδασκαλίας, κάποιοι μαθητές δυσκολεύονται να διακρίνουν στα σχήματα ποιο είναι το αντίστοιχο τόξο της εγγεγραμμένης ή της επίκεντρης γωνίας. Δυσκολεύονται και σε υπολογιστικές ασκήσεις εγγεγραμμένων και επίκεντρων γωνιών ενός κύκλου.Επίσης κάποιοι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι και δεν έχουν μεγάλη ευχέρεια στο να διαχειρίζονται τις δυνατότητες του λογισμικού. Έτσι χρειάζονται περισσότερο χρόνο για την ολοκλήρωση των δραστηριοτήτων του φύλλου εργασίας.ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ :Το κατασκευαστικό μοντέλο (κονστρουκτιβισμός) θα αποτελέσει το πλαίσιο μέσα στο οποίο θα δομηθεί ο διδακτικός σχεδιασμός. Ο μαθητής εκλαμβάνεται αφενός ως ένα εργαστήριο κατασκευής της γνώσης και αφετέρου ως μέρος μίας ομάδας με την οποία επικοινωνεί και διαπραγματεύεται. Αυτό σημαίνει ότι τόσο το ατομικό στοιχείο όσο και η κοινωνική υπόσταση λαμβάνονται υπόψιν. Το κοινό φύλλο εργασίας και η κοινή οθόνη αποτελούν τον πυρήνα επικοινωνίας στην ομάδα και προσδιορίζουν την κοινωνική συνιστώσα, ενώ ο τρόπος με τον οποίο ο διδάσκων επικοινωνεί

προσωπικά με τον καθένα υπογραμμίζει την ατομική συνιστώσα.Στο πλαίσιο της κοινωνικής μάθησης που κατά κανόνα συντελείται σε μια σχολική τάξη στην οποία κυριαρχεί η κονστρουκτιβιστική προσέγγιση στη μάθηση, η διδασκαλία δίνει ευκαιρίες σε κάθε μαθητή να αναπτύσσει εικασίες, να διατυπώνει υποθέσεις και να τις εκθέτει στην τάξη. Ακόμα, η διδασκαλία «φέρνει όλη την τάξη μαζί», να προσφέρει πλούσιες σε μαθηματικά νοήματα συζητήσεις, να δημιουργεί συνθήκες για κατάλληλα δομημένη αλληλεπίδραση μεταξύ των μαθητών, μεταξύ μαθητών και εκπαιδευτικού και να δίνει αρκετές ευκαιρίες για αλληλεπίδραση μεταξύ μαθητών και του υπολογιστικού μικρόκοσμου που χρησιμοποιείται στο σενάριο. Καθώς η κοινωνική μάθηση είναι άμεσα συνδεδεμένη με την ατομική μάθηση, η εξασφάλιση ευκαιριών για ενεργό συμμετοχή κάθε μαθητή ατομικά στα δρώμενα της τάξης, κάτω από την καθοδήγηση του εκπαιδευτικού και την ύπαρξη κατάλληλου εκπαιδευτικού λογισμικού, μπορεί να εξασφαλίσει πλούσιες συζητήσεις μεταξύ των μαθητών. Αυτές μπορούν να βασίζονται στις προσωπικές εμπειρίες των μαθητών αλλά και στην ανάλυση, σύνθεση και δόμηση των πληροφοριών που αντλούν από τους πόρους της όλης ρύθμισης με αποτέλεσμα κάθε μαθητής να αναπτύσσει νοήματα σχετικά με το θέμα διδασκαλίας.4. ΠΛΑΙΣΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Σε ποιους απευθύνεται. Σε μαθητές της Β΄ Γυμνασίου .Χρόνος υλοποίησης. (3) διδακτικές ώρες.Χώρος υλοποίησης. Η υλοποίηση του σεναρίου θα πραγματοποιηθεί στο εργαστήριο υπολογιστών.Προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών.Ως προς το γνωστικό επίπεδο1.    Η έννοια του κύκλου και των στοιχείων του : ακτίνα, διάμετρος , χορδή, τόξο.2.    Η έννοια και η ισότητα των κατακορυφήν γωνιών.  Ως προς την τεχνολογίαΕπίσης είναι πολύ σημαντικό οι μαθητές να είναι εξοικειωμένοι με τις βασικές εντολές του λογισμικού Sketchpad. Αν κάτι τέτοιο δεν είναι ισχύει θα προηγηθεί η διδασκαλία τους μέσα σε μία διδακτική ώρα με την βοήθεια του διδάσκοντα ή εναλλακτικά κατά τη διάρκεια του μαθήματος ο εκπαιδευτικός θα δώσει φύλλο οδηγιών.Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία.Η εγκατάσταση του προγράμματος Sketchpad στο δίκτυο υπολογιστών του εργαστηρίου.Το φύλλο εργασίας με τις δραστηριότητες που θα υλοποιήσουν οι μαθητές.Το τετράδιο εργασιών για οτιδήποτε θελήσουν οι μαθητές να σημειώσουν.Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης .Οι μαθητές θα εργαστούν σε ομάδες των 3 ατόμων , όπου θα συνεργαστούν για την διαξαγωγή των δραστηριοτήτων του φύλλου εργασίας , θα επικοινωνήσουν και θα ανταλλάξουν τις απόψεις τους για την οργάνωση και γενίκευση των ζητούμενων συμπερασμάτωνΟ διδάσκων θα είναι ο συντονιστής αυτής της προσπάθειας, μέσω των οδηγιών που παρέχει το φύλλο εργασίας. Θα παρακολουθεί την διεξαγωγή των κατασκευών των μαθητών στον υπολογιστή και θα είναι ο βοηθός, ο καθοδηγητής και ο διαμεσολαβητής για την οικοδόμηση της νέας γνώσης σε κάθε ομάδα μαθητών .Δεν είναι ο μεταφορέας της νέας γνώσης, όπου οι μαθητές θα λαμβάνουν μηχανικά και παθητικά. . Σε καμία περίπτωση δεν συμπεριφέρεται ως αυθεντία στη γνώση, δεν επιχειρεί να διδάξει με μακρόσυρτους μονολόγους, αγνοώντας τις δυνατότητες που προσφέρουν τα σύγχρονα μέσα, κάνοντας π.χ. Χρήση του πίνακα ως κλασικού μαυροπίνακα. Κυρίως οφείλει να ενθαρρύνει την προσπάθεια κάθε ομάδας.Ο ρόλος του εκπαιδευτικού είναι σημαντικός υπό την έννοια ότι πρέπει να εξασφαλίζει διαδικασίες και κίνητρα για τη συμμετοχή όλων των μαθητών, να θέτει τον τόνο και την εστίαση των συζητήσεων και να δομεί το περιεχόμενό των αλληλεπιδράσεων της τάξης. Ακόμα, φροντίζει να εκμεταλλεύεται όλες τις δυνατότητες που προσφέρουν τα συγκεκριμένα τεχνολογικά εργαλεία και μέσα προκειμένου όλοι οι μαθητές να έχουν πρόσβαση στις πληροφορίες και στις διαπραγματεύσεις. Μπορεί, ακόμα να αποθηκεύει, να τυπώνει και να μοιράζει σε όλους τους μαθητές όσα διατυπώθηκαν σε κάθε φάση ώστε να μπορούν να τα ανακαλέσουν ανά πάσα στιγμή

οι μαθητές.Τέλος, ο εκπαιδευτικός που θα διδάξει με τη βοήθεια της συγκεκριμένης ρύθμισης πρέπει να λάβει υπόψη του ότι τα νοήματα που αναμένεται να αναπτύξει ατομικά κάθε μαθητής προέρχονται από τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των εικόνων ή των αναπαραστάσεων που εμφανίζονται στην τάξη.Στόχοι της δραστηριότητας :Διδακτικοί στόχοι :1. Να κατανοήσουν οι μαθητές την έννοια της εγγεγραμμένης και της επίκεντρης γωνίας ενός κύκλου και να μπορούν να τις κατασκευάζουν.2. Να κατανοήσουν οι μαθητές τις σχέσεις μεταξύ : α) του μέτρου της επίκεντρης γωνίας και του μέτρου του αντίστοιχου τόξου τους , δηλαδή οτι ‘το μέτρο της επίκεντρης γωνίας ορίζει το μέτρο του αντίστοιχου τόξου της και το αντίστροφο’ β) του μέτρου της εγγεγραμμένης γωνίας και του μέτρου του αντίστοιχου τόξου τους , δηλαδή ότι ‘το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της και το αντίστροφο το μέτρο ενός τόξου ισούται με το διπλάσιο του μέτρου της αντίστοιχης εγγεγραμμένης γωνίας’ γ) του μέτρου της εγγεγραμμένης γωνίας και του μέτρου του αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο, η οποία απορρέει και ως συμπέρασμα από τις σχέσεις των μέτρων τους με τα αντίστοιχα τόξα τους.3. Να κατανοήσουν ότι ‘στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους ίσες επίκεντρες ή εγγεγραμμένες γωνίες έχουν ίσα και τα αντίστοιχα τόξα τους και το αντίστροφο’.4. Να μπορούν να εφαρμόζουν και να συνδυάζουν τις γνώσεις αυτές για τον υπολογισμό των μέτρων των επίκεντρων , των μέτρων των εγγεγραμμένων γωνιών και των αντίστοιχων τόξων τους σε γεωμετρικά προβλήματα ( ερωτήσεις κατανόησης σχολικού βιβλίου σελ. 177-178, εφαρμογή 1-3 σελ.177, ασκήσεις σχολικού βιβλίου 1, 5, 7, 9  σελ.179) Ως προς την χρήση του λογισμικούΕπιδιώκεται οι μαθητές μετά τις μετρήσεις τόξων και γωνιών του κύκλου, που επιτυγχάνονται από τον δυναμικό χειρισμό της μετακίνησης σημείων πάνω στον κύκλο και της πινακοποίησης των αποτελεσμάτων αυτών, να μπορούν να παρατηρούν τις μεταβολές των ζητούμενων και να τις διατυπώνουν με μαθητικό τρόπο. Με άλλα λόγια μέσα από την εικονική αναπαράσταση επιδιώκεται να αναπτυχθεί η ικανότητα μαθηματικού συλλογισμού.Καθώς οι μαθητές θα πειραματίζονται και θα διερευνούν για να καταλήξουν στα συμπεράσματά τους , επιδιώκεται να βελτιωθεί και η στάση τους απέναντι στα μαθηματικά και τη μάθηση τους.Να χρησιμοποιήσουν τα εργαλεία του λογισμικού ως νοητικά εργαλεία.Κοινωνικοί στόχοι :Επιδιώκεται :Οι μαθητές να συνεργαστούν, να ανταλλάξουν τις απόψεις τους, που θα προσπαθήσουν να τεκμηριώσουν με επιχειρήματα, να αναπτύξουν εικασίες και υποθέσεις σχετικές με τις έννοιες και τις δραστηριότητες που προτείνονται στο φύλλο εργασίας (δηλαδή σχετικά με τις σχέσεις των μέτρων της εγγεγραμμένης και της επικέντρης γωνίας με τα αντίστοιχα τόξα τους) μέσα σε ένα μαθησιακό περιβάλλον που χαρακτηρίζεται από δημιουργία, διερεύνηση και πειραματισμό.Να μάθουν να υπερασπίζονται τα συμπεράσματά τους σε όλη την τάξη.Να μάθουν να συμμετέχουν στον διάλογο όλης της τάξης και να συνεισφέρουν με τις ιδέες και τις εκτιμήσεις τους.Να οικοδομούν κώδικες επικοινωνίας ώστε να γίνονται αντιληπτοί από τους συμμαθητές τους και τον καθηγητή τους.Η ανάπτυξη συνθετικής και δημιουργικής ικανότητας και η ανάπτυξη αναλυτικής και συνθετικής σκέψης των μαθητών.Η καλλιέργεια πνεύματος αναζήτησης και έρευνας Η προώθηση ειδικών κλίσεων και ενδιαφερόντων.Ο εθισμός των μαθητών στη συστηματική και υπεύθυνη εργασία.Η ανάπτυξη της ικανότητας του μαθητή να ‘ μαθαίνει μόνος του’.Η ανάπτυξη γνωστικών και μεταγνωστικών δεξιοτήτων.Επιδιώκεται η ανατροφοδότηση των επιχειρημάτων τους μέσα από τον διάλογο με τα μέλη της ομάδας τους.

5.ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣΔραστηριότητα 1η Ο στόχος της φάσης αυτής (Δραστηριότητα 1η.gsp.) είναι οι μαθητές να κατασκευάσουν γωνίες σε κύκλο με κορυφή ένα σημείο του κύκλου ή το κέντρο του κύκλου και μέσα από αυτή την κατασκευή να κατανοήσουν την έννοια-ορισμό της εγγεγραμμένης και της επίκεντρης γωνίας αντίστοιχα. Ο εκπαιδευτικός καθοδηγεί με αναλυτικά κατασκευαστικά στάδια τους μαθητές στο φύλλο εργασίας, δίνοντας τις ακόλουθες οδηγίες.Να θεωρήσετε ένα σημείο, που θα ονομάσετε Κ . Να κατασκευάσετε κύκλο με κέντρο το Κ. Να θεωρήσετε πάνω στον κύκλο τρία σημεία, που θα ονομάσετε Α , Β και Γ. Τέλος να κατασκευάσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ , ΒΓ , ΚΒ , ΚΑ.Μετά από αυτή την κατασκευή και με τη βοήθεια του φύλλου εργασίας τίθεται η βασική ερώτηση : Ποιες γωνίες έχουν κατασκευαστεί ;Μετά από τις απαντήσεις των ομάδων ο εκπαιδευτικός καθοδηγεί την κάθε ομάδα μαθητών για να διαπιστώσουν τι κοινό παρατηρούν να έχουν αυτές οι γωνίες και σε τι διαφέρουν.Τα μέλη της κάθε ομάδας αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, ανταλλάξουν απόψεις και μετά από σύντομους διαλόγους και συζητήσεις παρατηρούν ότι οι γωνίες έχουν διαφορετική κορυφή. Οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μελών των ομάδων των μαθητών, με το λογισμικό και με τον εκπαιδευτικό και των ομάδων μεταξύ τους μέσα στο πνεύμα της αναζήτησης , της έρευνας, του πειραματισμού και των παρατηρήσεων καταλήγουν στη διατύπωση των ακόλουθων συμπερασμάτων:Συμπέρασμα- Ορισμός1 : Η γωνία που η κορυφή της είναι ένα σημείο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου.Συμπέρασμα- Ορισμός2 : Η γωνία που η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο ονομάζεται επίκεντρη γωνία του κύκλου.Για να γίνουν κατανοητές οι μετρήσεις και τα συμπεράσματα που θα προκύψουν στη συνέχεια πρέπει να διευκρινιστεί και τι κοινό χαρακτηριστικό έχουν οι γωνίες αυτές.Πριν ακολουθήσει η 2η δραστηριότητα ο εκπαιδευτικός ρωτά μέσω του φύλλου εργασίας και καλεί τα μέλη των ομάδων να συνεργαστούν για να απαντήσουν :Σε ποιο τόξο του κύκλου βαίνει η εγγεγραμμένη γωνία ΒΑΓ και σε ποιο η επίκεντρη γωνία AΚB; Έτσι μετά από τις αλληλεπιδράσεις των μελών της ομάδας και την αλληλεπίδραση που συντελείται από τον εκπαιδευτικό με την κάθε ομάδα εξάγεται Συμπέρασμα :   ‘ Η εγγεγραμμένη γωνία ΒΓA και η επίκεντρη γωνία AΚB βαίνουν στο ίδιο τόξο’

Δραστηριότητα 2η Αποτελεί πολύ βασική δραστηριότητα της διδασκαλίας.

K

A

B

Γ

Η βοήθεια που προσφέρει το λογισμικό είναι καθοριστική καθώς διαθέτει τη δυνατότητα για μετρήσεις τόξων σε κύκλο, για μετρήσεις γωνιών, για μετακίνηση σημείων πάνω στον κύκλο και μέσα από την πινακοποίηση των μεταβολών που προκύπτουν από την μετακίνηση του σημείου πάνω στον κύκλο, να εξαχθούν τα συμπέρασμα για την σχέση των μέτρων της επίκεντρης και του αντίστοιχου τόξου της, της εγγεγραμμένης και του αντίστοιχου τόξου της και τέλος της επίκεντρης και της εγγεγραμμένης που βαίνουν στο ίδιο τόξο.Ο εκπαιδευτικός μέσω των δραστηριοτήτων του φύλλου εργασίας ζητά από τους μαθητές να μετρήσουν το μέτρο της επίκεντρης γωνίας (ΑΚΒ )και της εγγεγραμμένης γωνίας (ΑΓΒ ), καθώς και τα μέτρα των αντίστοιχων τόξων τους.Ο εκπαιδευτικός καλεί τα μέλη των ομάδων να συνεργαστούν για να διαπιστώσουν τι παρατηρούν.(Δραστηριότητα 2η.Φαση 1η.gsp)

Διατυπώνεται από τις ομάδες των μαθητών μία πρώτη βασική παρατήρηση ότι ‘το μέτρο της επίκεντρης γωνίας είναι ίσο με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου της’ , ενώ ‘το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της’.Μετά από τις παρατηρήσεις των μαθητών ο εκπαιδευτικός θέλει να ανακαλύψουν τη νέα γνώση και να εξαχθούν τα αναγκαία συμπεράσματα για τις σχέσεις των μέτρων τους. Για αυτό τους δίνεται η ακόλουθες οδηγίες :Να μετακινήσετε το ένα άκρο του τόξου , έστω το Α ή το Β κατά μήκος του κύκλου Πινακοποιείστε σε δύο πίνακες τα αποτελέσματα α) των γωνιών ΑΓΒ , ΑΚΒ και β) των γωνιών και του αντίστοιχου τόξου ΑΒ.Μετά από αυτές τις ενέργειες των μαθητών η διδασκαλία συντελείται με διερεύνηση, πειραματισμό, συνεχή αλληλεπίδραση μεταξύ των μαθητών ,οι μαθητές αυνενεργούν και προσπαθούν με ενθουσιασμό και περιέργεια, που μετατρέπεται σε ευχάριστη διάθεση για μάθηση να απαντήσουν στην ερώτηση του εκπαιδευτικού :Τι παρατηρείτε ; Ισχύει η αρχική σας παρατήρηση ; (Δραστηριότητα 2η  Φάση 2η.gsp)Τέλος μετά από εποικοδομητικούς διαλόγους, ανταλλαγή απόψεων και πειραματισμό καλούνται να διατυπώσουν λεκτικά και με μαθηματικό τρόπο τα συμπεράσματα τους στο φύλλο εργασίας.

κ 1

30 ,7

60,9

μέτροAΓB = 30 ,46 μέτροAKB = 60 ,91

μέτρο AB επάνω σε κ 1 = 60 ,91

K

A

B

Γ

Για την εφαρμογή των ιδιοτήτων ( πυθαγόρειο θεώρημα, τριγωνομετρικοί αριθμοί ) ενός ορθογωνίου τριγώνου και στην προσπάθεια του εκπαιδευτικού για τη σύνδεση γνώσεων ( μέτρηση κύκλου και ιδιότητες ορθογωνίου τριγώνου ) οι ομάδες καλούνται να μετακινήσουν το άκρο του τόξου ΑΒ, ώστε το τόξο ΑΒ να είναι ημικύκλιο , δηλ. 180 μοίρες.Στην συνέχεια ρωτιούνται από τον εκπαιδευτικό :Τι παρατηρείτε για το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας ΑΓΒ ; Ομόφωνα και με την δυνατότητα της γρήγορης μέτρησης με τη βοήθεια του λογισμικού διαπιστώνουν ότι είναι ορθή.Δραστηριότητα 3η Η φάση αυτή ολοκληρώνει την ύλη που σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του Π.Ι πρέπει να διδάξει ο διδάσκων από την συγκεκριμένη διδακτική ενότητα (3.1 του σχολικού βιβλίου της Β Γυμνασίου).Πιο συγκεκριμένα οτι : α) ‘’ στον ίδιο κύκλο ή και σε ίσους κύκλους ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα και τα αντίστοιχα τόξα τους και το αντίστροφο’’ β) στον ίδιο κύκλο ή και σε ίσους κύκλους ίσες εγγεγραμμένες γωνίες έχουν ίσα και τα αντίστοιχα τόξα τους και το αντίστροφο’’Στα πλαίσια της κοινωνικής μάθησης που στηρίζεται το συγκεκριμένο σενάριο διδασκαλίας ο εκπαιδευτικός δίνει την ακόλουθες οδηγίες :Να κατασκευάσετε κύκλο με κέντρο Κ .Να θεωρήσετε δύο ακόμα σημεία στον κύκλο το Α και Β. Κατασκευάσετε τις δύο ευθείες που διέρχονται από τα δύο αυτά ζεύγη σημείων K και Α , Κ και Β αντίστοιχα .Να ονομάσετε τα σημεία τομής των ευθειών με τον κύκλο Γ και Δ .Ο εκπαιδευτικός μεθοδεύει τη διδασκαλία και καθοδηγεί τις ομάδες με τις ακόλουθες ερωτήσεις : Ποιες από τις επίκεντρες γωνίες που έχουν κατασκευαστεί είναι κατακορυφήν γωνίες; Τα μέλη των ομάδων με την βοήθεια της αναπαράστασης στην οθόνη του υπολογιστή απαντούν στο φύλλο εργασίας.Για να προχωρήσει η διδασκαλία ίσως χρειαστεί να γίνει υπενθύμιση οτι οι ‘οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες’.Μετά από την ελάχιστη βοήθεια που προσφέρθηκε από τον εκπαιδευτικό οι μαθητές καθοδηγούνται στο φύλλο εργασίας :Να μετρήσετε τα μέτρα των αντίστοιχων τόξων των κατακορυφήν – επίκεντρων γωνιών που έχουν κατασκευαστείΚαι καλούνται να γράψουν την παρατήρηση τους στο φύλλο εργασίας.Στην συνέχεια , όμοια με την δραστηριότητα 2,τους ζητείται να επιλέξετε την μετακίνηση του

κ 1

μέ τροAΓ B μέ τρο AB ε πάνω σε κ1

6 2 ,2 2 1 2 4 ,4 4

4 4 ,5 2 8 9 ,0 4

3 3 ,4 6 6 6 ,9 2

1 5 ,4 0 3 0 ,8 0

1 2 ,3 2 2 4 ,6 4

2 7 ,0 8 5 4 ,1 7

μέ τροAKB μέ τρο AB ε πάνω σε κ1

1 2 4 ,4 4 1 2 4 ,4 4

8 9 ,0 4 8 9 ,0 4

6 6 ,9 2 6 6 ,9 2

3 0 ,8 0 3 0 ,8 0

2 4 ,6 4 2 4 ,6 4

5 4 ,1 7 5 4 ,1 7

μέ τροA KB μέ τροAΓ B μέ τρο AB ε πάνω σε κ1

6 0 ,9 1 3 0 ,4 6 6 0 ,9 1

1 0 4 ,2 7 5 2 ,1 3 1 0 4 ,2 7

1 1 7 ,3 1 5 8 ,6 5 1 1 7 ,3 1

1 4 3 ,6 6 7 1 ,8 3 1 4 3 ,6 6

1 4 2 ,5 6 7 1 ,2 8 1 4 2 ,5 6

1 0 7 ,2 0 5 3 ,6 0 1 0 7 ,2 0

8 3 ,6 8 4 1 ,8 4 8 3 ,6 8

4 8 ,6 7 2 4 ,3 4 4 8 ,6 7

4 6 ,1 0 2 3 ,0 5 4 6 ,1 0

5 4 ,1 7 2 7 ,0 8 5 4 ,1 7

9,8

54 ,2

μέτροAΓB = 27 ,08 μέτροAKB = 54 ,17

μέτρο AB επάνω σε κ 1 = 54 ,17

K

A

B

Γ

άκρου Γ και να πινακοποιήσουν τα αποτελέσματα των μετρήσεων.Οι αλληλεπιδράσεις και η ανταλλαγή απόψεων μεταξύ των μελών των ομάδων καταλήγουν να συμπληρώσουν τις διαπιστώσεις τους στο φύλλο εργασίας :Για την επίτευξη και του δεύτερου στόχου της φάσης τους ζητείται μέσω του φύλλου εργασίας : Να θεωρήσετε ένα σημείο Ε πάνω στον κύκλο και να κατασκευάσετε δύο εγγεγραμμένες γωνίες την ΔΕΑ και την ΓΕΑ που βαίνουν αντίστοιχα στα ίσα τόξα ΑΔ και ΒΓ.Να μετρήσετε τα μέτρα αυτών των εγγεγραμμένων γωνιών και να πινακοποιήσετε τα αποτελέσματα των μετρήσεων τους και των μετρήσεων των αντίστοιχων ίσων τόξων κατά την μετακίνηση του σημείου Γ.(Δραστηριότητα 3η.gsp)

Μετά την διεξαγωγή και των παραπάνω ενεργειών και έχοντας καλλιεργήσει την κριτική τους σκέψη., καλούνται να διατυπώσουν όμοια με παραπάνω το συμπέρασμά τους λεκτικά και μαθηματικό τρόπο στο φύλλο εργασίας.6. Επέκταση της δραστηριότηταςΓια την μέτρηση τόξου και την μέτρηση εμβαδόν κυκλικού τομέα.7. ΒιβλιογραφίαΣχολικό βιβλίο της Β΄γυμνασίου.Επιμορφωτικό υλικό-ειδικό μέρος για τα ΚΣΕ του ΙΤΥΕπιμορφωτικό υλικο-ειδικό μέρος ΠΕ03 για τα ΠΑΚΕ του ΙΤΥΕπιμορφωτικό υλικο- ειδικό μέρος ΠΕ03 για τα ΠΑΚΕ του Π.Ι.Οδηγίες για τη διδακτέα ύλη Γυμνάσιο –Λύκειο,2002-2003.8. ΑξιολόγησηΩς προς τις επιδιώξεις του σεναρίου:Ο εκπαιδευτικός ελέγχει κατά πόσο επιτεύχθηκαν οι στόχοι του σεναρίου και εξετάζει του λόγους για τους οποίους κάποιοι δεν επιτεύχθηκαν ώστε να παρέμβει ανάλογα στο σενάριο. Για αυτό το λόγο για να ελέγξει την επίτευξη των γνωστικών στόχων καλεί τους μαθητές να ανοίξουν το αρχείο αξιολόγηση.gsp και υπολογίσουν στο τετράδιο εργασιών τους τις σημειωμένες γωνίες.

κ 1

μέ τρο ΔA ε πάνω σε κ1 μέ τρο ΒΓ ε πάνω σε κ1 μέ τροΓ EΒ μέ τροΔEA

8 8 ,4 8 8 8 ,4 8 4 4 ,2 4 4 4 ,2 4

1 0 3 ,5 5 1 0 3 ,5 5 5 1 ,7 7 5 1 ,7 7

1 2 1 ,2 7 1 2 1 ,2 7 6 0 ,6 4 6 0 ,6 4

1 3 9 ,0 0 1 3 9 ,0 0 1 1 0 ,5 0 6 9 ,5 0

1 5 7 ,6 1 1 5 7 ,6 1 1 0 1 ,1 9 7 8 ,8 1

1 1 7 ,9 5 1 1 7 ,9 5 5 8 ,9 8 1 2 1 ,0 2

μέ τροΔKA μέ τροΒKΓ μέ τρο ΔA ε πάνω σε κ1 μέ τρο ΒΓ ε πάνω σε κ1

5 5 ,1 1 5 5 ,1 1 5 5 ,1 1 5 5 ,1 1

8 2 ,5 9 8 2 ,5 9 8 2 ,5 9 8 2 ,5 9

1 1 1 ,8 4 1 1 1 ,8 4 1 1 1 ,8 4 1 1 1 ,8 4

1 1 6 ,2 7 1 1 6 ,2 7 1 1 6 ,2 7 1 1 6 ,2 7

1 1 7 ,9 5 1 1 7 ,9 5 1 1 7 ,9 5 1 1 7 ,9 5

μέτροΔEA = 121 ,02 μέτροΓE Β = 58 ,98

μέτρο ΒΓ επάνω σε κ 1 = 117 ,95

μέτρο ΔA επάνω σε κ 1 = 117 ,95

μέτροΒK Γ = 117 ,95 μέτροΔKA = 117 ,95

Ν α μετακ ινήσετε το σημείο Γ πάνω στον κ ύκ λο

A

Β

K

Γ

Δ

E

Ως προς τα εργαλεία:Ο εκπαιδευτικός ελέγχει αν και πως τα εργαλεία του προτεινόμενου λογισμικού σε συνδυασμό με τη σαφήνεια των οδηγιών του και των περιγραφών του φύλλου εργασίας διευκόλυναν στην ανάπτυξη των νοημάτων των μαθητών. Αφού αξιολογήσει τα δεδομένα του επεμβαίνει ανάλογα στο σενάριο για την επόμενη εφαρμογή.Ως προς την διαδικασία υλοποίησης:Ο εκπαιδευτικός αξιολογεί την διαδικασία υλοποίησης του σεναρίου αξιολογώντας τα στοιχεία που δεν δούλεψαν καλά και προσαρμόζει το σενάριο. Ιδιαίτερη έμφαση δίνει στις δικές του παρεμβάσεις και αξιολογεί κατά πόσο αυτές διευκόλυναν τον διάλογο και την αλληλεπίδραση στην τάξη.Ως προς την προσαρμογή και επεκτασιμότητα:Η δυνατότητα επέκτασης του σεναρίου και η ευκολία προσαρμογής σε ένα σχολικό περιβάλλον ή στην διδακτική ατζέντα ενός εκπαιδευτικού ή στην κουλτούρα μιας σχολικής τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σημαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραμέτρους και να προσαρμόσει το σενάριο ανάλογα.    

ζ

ω

φ

μέτρο BΓ επάνω σε KΕ = 123 ,36

μέτρο AB επάνω σε KΕ = 80,84

K

A

BΓ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣΤΑΞΗ ΒΘΕΜΑ : ΚΕΦ. 3.1 ΕΠΙΚΕΝΤΡΕΣ – ΕΓΓΕΓΡΑΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΕΝΟΣ ΚΥΚΛΟΥ (Mε χρήση του λογισμικού Sketchpad)ΟΝΟΜΑ : ...................................................................................ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : .......................................................................Δραστηριότητα 1η· Να θεωρήσετε ένα σημείο, που θα ονομάσετε Κ . Να κατασκευάσετε κύκλο με κέντρο το Κ. Να θεωρήσετε πάνω στον κύκλο τρία σημεία, που θα ονομάσετε Α , Β και Γ. Τέλος να κατασκευάσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ , ΒΓ , ΚΒ , ΚΑ.Ερώτηση 1:Ποιες γωνίες έχουν κατασκευαστεί πάνω στον κύκλο ;Απάντηση:……………………………………………………………………………Ερώτηση 2:Που βρίσκεται η κορυφή της γωνίας ΒΓA και ποια είναι η κορυφή της γωνίας ΒΚA.Συμπέρασμα- Ορισμός1 : Η γωνία που η κορυφή της είναι ένα σημείο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου.Συμπέρασμα- Ορισμός2 : Η γωνία που η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο ονομάζεται επίκεντρη γωνία του κύκλου.Ερώτηση 3: Σε ποιο τόξο του κύκλου βαίνει η εγγεγραμμένη γωνία ΒΓA και σε ποιο η επίκεντρη γωνία ΒΚA ;Απάντηση :Το αντίστοιχο τόξο της εγγεγραμμένης γωνίας ΒΓA είναι ..........................Το αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας ΒΚA είναι ..........................Συμπέρασμα ‘Η εγγεγραμμένη γωνία ΒΓA και η επίκεντρη γωνία AΚB βαίνουν στο ίδιο τόξο’ Δραστηριότητα 2η·         Να μετρήσετε το μέτρο της επίκεντρης γωνίας ΒΚA και της εγγεγραμμένης γωνίας ΒΓA ·         Να μετρήσετε το μέτρο του αντίστοιχου τόξου της επίκεντρης γωνίας ΒΚA και της εγγεγραμμένης γωνίας BΓΑ Ερώτηση 4 : Τι παρατηρείτε ;Απάντηση :...................................................................................................................................................................................................................................................................................·         Να μετακινήσετε το ένα άκρο του τόξου , έστω το Α ή το Β κατά μήκος του κύκλου ·         Πινακοποιείστε σε δύο πίνακες τα αποτελέσματα των γωνιών ΒΓΑ , ΒΚΑ και β) των γωνιών και του αντίστοιχου τόξου ΑΒ .Ερώτηση 5 : Τι παρατηρείτε ; Ισχύει η αρχική σας παρατήρηση ;Απάντηση : ....................................................................................................................Συμπέρασμα 1 Το μέτρο κάθε επίκεντρης γωνίας ισούται με ...............................................................................................................................................................................................................................και αντίστροφα το μέτρο ενός τόξου ισούται με το ..............................................................................................................................................................................................................................................Συμπέρασμα 2 Το μέτρο κάθε εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με .......................................................................................................................................................................................................................και αντίστροφα το μέτρο ενός τόξου ισούται με το ..............................................................................................................................................................................................................................................Συμπέρασμα 3  Το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το .....................................................του μέτρου της αντίστοιχης .............................γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο και αντίστροφα  το μέτρο της επίκεντρης γωνίας ισούται με το ..........................................................................................του μέτρου της αντίστοιχης .............................γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο.·         Να μετακινήσετε το άκρο του του τόξου ΑΒ, ώστε το ΑΒ να είναι ημικύκλιο , δηλ. 180 μοίρες.Ερώτηση 6 : Τι παρατηρείτε για το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας ΒΓΑ ; Συμπέρασμα   Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ......................Δραστηριότητα 3η·Να κατασκευάσετε κύκλο με κέντρο Κ . Να θεωρήσετε δύο ακόμα σημεία στον κύκλο το Α και το Β . Στην συνέχεια να κάνετε κλικ στα σημεία Κ και Α και στα σημεία Κ και Β και να

κατασκευάσετε τις δύο ευθείες που διέρχονται από τα δύο αυτά ζεύγη σημείων . Να ονομάσετε τα σημεία τομής των ευθειών με τον κύκλο Γ και Δ .Ερώτηση 1:  Ποιες από τις επίκεντρες γωνίες που έχουν κατασκευαστεί είναι κατακορυφήν γωνίες;Απάντηση : ...................................................................................................................Υπενθύμιση Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.·         Να μετρήσετε τα μέτρα των αντίστοιχων τόξων των κατακορυφήν – επίκεντρων γωνιών που έχουν κατασκευαστεί.Ερώτηση 2: Τι παρατηρείτε ;Απάντηση : ....................................................................................................................·         Όμοια με την δραστηριότητα 1, να επιλέξετε την μετακίνηση του άκρου Γ και να πινακοποιήσετε τα αποτελέσματα των μετρήσεων.Συμπέρασμα Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους ίσες επίκεντρες γωνίες αντιστοιχούν σε ............................................................και το αντίστροφο ................................................................................................................................................................................................................................·         Να θεωρήσετε ένα σημείο Ε πάνω στον κύκλο και να κατασκευάσετε δύο εγγεγραμμένες γωνίες την ΔΕΓ και την ΒΕΑ που βαίνουν αντίστοιχα στα ίσα τόξα ΑΔ και ΑΒ.·         Να μετρήσετε τα μέτρα αυτών των εγγεγραμμένων γωνιών και να πινακοποιήσετε τα αποτελέσματα των μετρήσεων τους και των μετρήσεων των αντίστοιχων ίσων τόξων  κατά την μετακίνηση του σημείου Γ.Συμπέρασμα Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους ίσα τόξα αντιστοιχούν σε  ...........εγγεγραμμένες γωνίες και το αντίστροφο.......................................................................................................................................................................................................................................................................................