Κύκλωμα RC

Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός

Άσκηση 5: Κύκλωμα RC

Σελίδα 1 από 13 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980

Σχήμα 1

Σχήμα 2

ΣΣκκοοππόόςς ττηηςς άάσσκκηησσηηςς:: Στο πείραμα αυτό θα μελετήσουμε την συμπεριφορά κυκλωμάτων που περιλαμβάνουν μια αντίσταση και ένα πυκνωτή σε σειρά ( )RC . Στην αρχή θα μελετήσουμε την συμπεριφορά του κυκλώματος σε μια σταθερή εξωτερική τάση (ή τετραγωνικό παλμό) και στην συνέχεια τη συμπεριφορά του σε μια ημιτονοειδή εξωτερική τάση.

ΘΘεεωωρρίίαα::

ΣΣυυμμππεερριιφφοορράά ττοουυ κκυυκκλλώώμμααττοοςς σσεε ττεεττρρααγγωωννιικκόό ππααλλμμόό::

Αρχικά, θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος 1, τύπου RC με τάση τετραγωνικού παλμού. Όταν κλείνουμε τον διακόπτη, ο πυκνωτής φορτίζεται, μέχρι ότου αποκτήσει το δυναμικό 0V της πηγής. Έτσι, το φορτίο που αποκτά έκαστος οπλισμός του πυκνωτή είναι:

00 CVQ = (1)

Όταν ανοίξουμε τον διακόπτη (Σχήμα 2), η διαφορά δυναμικού στα άκρα του πυκνωτή εμφανίζεται και στα άκρα του κλάδου αντίστασης – βολτομέτρου με αποτέλεσμα ηλεκτρικό ρεύμα να διαρρέει τον κλάδο. Το ρεύμα αυτό ενεργεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε το φορτίο του πυκνωτή ελαττώνεται και κατά συνέπεια ελαττώνεται και η τάση στα άκρα του. Τελικά, η πτώση τάσης στα άκρα του πυκνωτή προκαλεί ελάττωση του ίδιου του ρεύματος. Έτσι, το φορτίο Q ελαττώνεται γρήγορα στην αρχή και μετά πιο αργά. Αντίστοιχα, το ρεύμα έχει μια σχετικά μεγάλη αρχική τιμή (μόλις ανοιχτεί ο διακόπτης), στη συνέχεια ελαττώνεται και τείνει στο μηδέν, όταν ο πυκνωτής έχει σχεδόν εκφορτιστεί. Γνωρίζουμε, ότι, το ρεύμα I δίδεται από τις σχέσεις

dtdQI = (2) και

RVI = (3),

ενώ, το δυναμικό V συνδέεται με το φορτίο Q του πυκνωτή, για οποιαδήποτε χρονική στιγμή με την σχέση

CQV = (4).

Από τις 2, 3 & 4 έχουμε:




Σχήμα 3

RCQ

dtdQ

−= (5)

Λύνοντας την παραπάνω διαφορική εξίσωση (5), έχουμε:

RCt

eQQ−

= 0. (6)

Έτσι, για ένα κύκλωμα RC , η παραπάνω σχέση (6), αποτελεί την εξίσωση που εκφράζει την χρονική εξάρτηση του φορτίου του πυκνωτή, με χρόνο αποκατάστασης φορτίου

RC=τ (7).

Αν 21T , ο χρόνος που απαιτείται ώστε 2

0QQ = , δηλ. ο χρόνος υποδιπλασιασμού, τότε

έχουμε

2ln21

21

21

RCTe RCT

=⇔=−

(8)

ΣΣυυμμππεερριιφφοορράά ττοουυ κκυυκκλλώώμμααττοοςς σσεε ηημμιιττοοννοοεειιδδήή ττάάσσηη::

Αρχικά, θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος 3, τύπου RC με εναλλασσόμενη τάση. Η τάση V είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου με πλάτος 0V και κυκλική συχνότητα ω . Περιμένουμε το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα να έχει ημιτονοειδή μορφή, αλλά με πλάτος και φάση που να μεταβάλλονται με την συχνότητα. Ο

συλλογισμός αυτός ευσταθεί, καθώς αν η τάση μεταβάλλεται αργά, ώστε η περίοδος της ταλάντωσης να είναι πολύ μεγαλύτερη από την σταθερά χρόνου RC , το φορτίο στον πυκνωτή θα δίδεται από την σχέση Q CV= , όπως ακριβώς στην περίπτωση που το V είναι σταθερό. Στις υψηλές συχνότητες όμως (περίοδος ταλάντωσης πολύ

μικρότερη της σταθεράς χρόνου) μπορεί να μην είναι δυνατό να φορτίζεται και να εκφορτίζεται ο πυκνωτής μέσω της αντίστασης R αρκετά γρήγορα, ώστε να ακολουθεί τις μεταβολές τις τάσης. Εδώ να σημειώσουμε, ότι, για κάθε συχνότητα f , η διαφορά φάσης μεταξύ CV και

RV είναι 2π . Έτσι, δεδομένου της σχέσης (9), που είδαμε στην εργαστηριακή άσκηση 2, έχουμε:

( )tan RCφ ω= − ή ( )tan φτ

ω= − (9)

( ) 1tan tan2 RCπψ φ

ω = + =

ή ( )

1tan

τω ψ

= (10)




ΠΠεειιρρααμμααττιικκήή ΔΔιιααδδιικκαασσίίαα κκααιι ΑΑννάάλλυυσσηη ΜΜεεττρρήήσσεεωωνν:: ΓΓρρήήγγοορρηη ααπποοκκααττάάσστταασσηη::

Στο πρώτο μέρος του πειράματος, θεωρούμε τέσσερις (4) συνολικά εκδοχές του παρακάτω κυκλώματος (σχήμα 4).

1η εκδοχή:

[ ]10,04 0,01R K= ± Ω

50rπηγης = Ω

[ ]120 5%C nF= ±

[ ]1,0 0,1f KHzπηγης = ±

Με την βοήθεια του παλμογράφου, μετρήσαμε το πειραματικό 1 2T και το βρήκαμε:

[ ]1 2 7, 2 0,2 0,72 0,02T DIV DIV ms= ± = ± , 0,1DIV ms= Επομένως, η πειραματική τιμή τ , είναι:

[ ]1 21 2 ln 2 1,04 0,03

ln 2T

T msτ τ= ⇔ = = ±

2

1 2 1 21 2

1 0,03ln 2

T T msTττ

∂∆ = ± ∆ = ± ∆ = ± ∂

Η θεωρητική τιμή θτ , είναι: ( ) [ ]6 31090 120 10 1,2108 10 1,2108 0,0606R C R r C msθ ολ πηγηςτ − −= = + = ⋅ ⋅ = ⋅ = ±

Σχήμα 4




( ) ( )2 2

2 2 0,0606R C C R R C msR C

θ θθ ολ ολ ολ

ολ

τ ττ ∂ ∂ ∆ = ± ∆ + ∆ = ± ∆ + ∆ = ± ∂ ∂

Συγκρίνοντας την πειραματική τ με την θεωρητική θτ , έχουμε:

1 1, 21 1,04% 100% 100% 14,0%

1,21θ

θ

τ τδ

τ− −

= ⋅ = ⋅ =

Εν κατακλείδι, μετρώντας την τάση στα άκρα του πυκνωτή με τον παλμογράφο, προκύπτει το παρακάτω ποιοτικό διάγραμμα 1:

2η εκδοχή:

[ ]2,70 0,01R K= ± Ω

50rπηγης = Ω

[ ]120 5%C nF= ±

[ ]1,0 0,1f KHzπηγης = ±

Με την βοήθεια του παλμογράφου, μετρήσαμε το πειραματικό 1 2T και το βρήκαμε:

[ ]1 2 1,0 0,2 0,2 0,04T DIV DIV ms= ± = ± , 0, 2DIV ms= Επομένως, η πειραματική τιμή τ , είναι:

[ ]1 21 2 ln 2 0, 28 0,06

ln 2T

T msτ τ= ⇔ = = ±

2

1 2 1 21 2

1 0,06ln 2

T T msTττ

∂∆ = ± ∆ = ± ∆ = ± ∂

Ποιοτικό Διάγραμμα 1




Η θεωρητική τιμή θτ , είναι: ( ) [ ]6 32750 120 10 0,33 10 0,33 0,02R C R r C msθ ολ πηγηςτ − −= = + = ⋅ ⋅ = ⋅ = ±

( ) ( )2 2

2 2 0,02R C C R R C msR C


ολ

τ ττ ∂ ∂ ∆ = ± ∆ + ∆ = ± ∆ + ∆ = ± ∂ ∂

Εν κατακλείδι, συγκρίνοντας την πειραματική τ με την θεωρητική θτ , έχουμε:

1 0,33 0,28% 100% 100% 15,1%

0,33θ

θ

τ τδ

τ− −

= ⋅ = ⋅ =

Εν κατακλείδι, μετρώντας την τάση στα άκρα του πυκνωτή με τον παλμογράφο, προκύπτει το παρακάτω ποιοτικό διάγραμμα 2:

3η εκδοχή:

[ ]102,5 0,1R K= ± Ω 50rπηγης = Ω [ ]470 5%C nF= ± [ ]1,0 0,1f KHzπηγης = ±

Μετρώντας την τάση στα άκρα του πυκνωτή με τον παλμογράφο, προκύπτει το παρακάτω ποιοτικό διάγραμμα 3:






4η εκδοχή:

[ ]1,268 0,001R K= ± Ω

50rπηγης = Ω

[ ]120 5%C nF= ±

[ ]1,0 0,1f KHzπηγης = ±

Μετρώντας την τάση στα άκρα του πυκνωτή με τον παλμογράφο, προκύπτει το παρακάτω ποιοτικό διάγραμμα 4:

Στο ποιοτικό διάγραμμα 1 και 2, μπορούμε και παρατηρούμε την φόρτιση και εκφόρτιση του πυκνωτή, καθώς οι αντίστοιχες τιμές τ αποκλίνουν από την περίοδο 1T msπηγης = της πηγής σε ανεκτά για την ομαλή διεξαγωγή του φαινομένου όρια. Όμως, στο ποιοτικό διάγραμμα 3, όπου για το κύκλωμα 3 ισχύει Tπηγηςτ >> , παρατηρούμε ότι, ο πυκνωτής δεν προλαβαίνει να φορτίσει και αμέσως εκφορτίζεται. Αυτό συμβαίνει, διότι, η αντίσταση R του κυκλώματος 3, σε σχέση με τα κυκλώματα 1,2, έχει αυξηθεί κατά μια τάξη μεγέθους και η χωρητικότητα C του πυκνωτή έχει σχεδόν τετραπλασιαστεί. Έτσι, αν λάβουμε υπόψη τις σχέσεις 6 και 8, παρατηρούμε ότι το εκθετικό μειώνεται πολύ πιο γρήγορα από τα αντίστοιχα των κυκλωμάτων 1,2. Όσον αφορά το ποιοτικό διάγραμμα 4, απλά επειδή Tπηγηςτ << , το εκθετικό της σχέσης 6 μειώνεται σχετικά με τα υπόλοιπα αργά. Έτσι, το φαινόμενο εξελίσσεται πολύ πιο αργά.

ΗΗμμιιττοοννοοεειιδδήήςς ττάάσσηη::

Στο δεύτερο μέρος του πειράματος, θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος 3 με τα εξής στοιχεία:





[ ]10,04 0,01R K= ± Ω

50rπηγης = Ω

[ ]120 5%C nF= ±

Διαλέγουμε μια συχνότητα 0f τέτοια, ώστε 0

12

CVV , προς υπολογισμό της διαφοράς

φάσης των δύο τάσεων και κατά επέκταση της πειραματικής RCτ = . Έτσι, έχουμε:

Μετρήσαμε το t∆ και το βρήκαμε:

[ ]3,4 0,2 0,68 0,04t DIV DIV ms∆ = ± = ± , 0, 2DIV ms= Ακόμη, βρήκαμε την περίοδο:

[ ]4,4 0,2 4,4 0,2T DIV DIV ms= ± = ± , 1DIV ms=

Άρα η διαφορά φάσης είναι:

[ ]0,682 2 0,3 0,0724,4

t radϕ π φ π π∆= ⇔ = = ±

Τ

( ) ( )2 2 2 2

2

2 2 0,072tt T t T radt T T Tφ φ π πφ ∂ ∂ ∆ ∆ = ± ∆ ∆ + ∆ = ± ∆ ∆ + − ∆ = ± ∂∆ ∂

Επομένως, η πειραματική 1τ , από την σχέση 9, είναι:

( ) ( ) ( ) [ ]1

tan tan tan 0,3 1,375 0,9629 0,15242 2 24,4 4,4

ms

T

φ φ πτ π π πω= − = − = − = = ±

2 22 2

1 11 2

tan 0,15242 cos 2

TT T msT

τ τ φτ φ φφ π φ π

∂ ∂ ∆ = ± ∆ + ∆ = ± ∆ + ∆ = ± ∂ ∂

Ενώ, η πειραματική 2τ , από την σχέση 10, είναι:

( ) [ ]21 1 1 1 0,963 0,15222 2tan 0,727tan tan 0,3

4,42 4,4 2

ms

T

τ ππ π π πω ψ φ π= = = = = ±

+ +




Σχετικά, με την θεωρητική θτ , από την σχέση 7, έχουμε:

( ) [ ]6 310090 120 10 1,2108 10 1,2108 0,0606R C R r C msθ ολ πηγηςτ − −= = + = ⋅ ⋅ = ⋅ = ±

( ) ( )2 2

2 2 0,0606R C C R R C msR C


ολ

τ ττ ∂ ∂ ∆ = ± ∆ + ∆ = ± ∆ + ∆ = ± ∂ ∂

Εν κατακλείδι, συγκρίνοντας τις πειραματικές 1τ και 2τ με την θεωρητική θτ , έχουμε:

1 1, 2108 0,9629% 100% 100% 20,47%

1,2108θ

θ

τ τδ

τ− −

= ⋅ = ⋅ =

2 1, 2108 0,9632

% 100% 100% 20,44%1,2108

θ

θ

τ τδ

τ− −

= ⋅ = ⋅ =

ΔΔιιααφφοορράά φφάάσσηηςς::

Στο τρίτο μέρος του πειράματος, θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος 3 με τα εξής στοιχεία:

[ ]10,04 0,01R K= ± Ω

50rπηγης = Ω

[ ]120 5%C nF= ±

Πραγματοποιήσαμε μετρήσεις του T , t∆ για 14 συνολικά τιμές συχνότητας f . Με την βοήθεια του παλμογράφου και των παρακάτω μαθηματικών σχέσεων, προκύπτει ο πίνακας 1 και κατά επέκταση τα διαγράμματα 1, 2.

1f fT

= ± ∆ , 2 2

2 2

1 1ff T T TT T T∂ ∆ = ± ∆ = ± − ∆ = ± ∆ ∂

2 2

2 22 2

22 2

2 2

2

1 1 12 tan cos 2 tan

2 2 2

1 0,1522 sin 2 tan

2 2

TT TT

T T ms

τ ττ φ φπ π πφ π φ φ π φ

φπ ππ φ π φ

∂ ∂ ∆ = ± ∆ + ∆ = ± − ⋅ ⋅ ∆ + ∆ = ∂ ∂ + + +

= ± − ∆ + ∆ = ±

+ +




2Tπω ω= ± ∆ ,

2 2

2 2

1 12 2T T TT T Tωω π π∂ ∆ = ± ∆ = ± − ∆ = ± ∆ ∂

1 12T

ω π ω = ± ∆

,

2

2

2 2

11 1 1ω ω ω ωω ω ω ω

∂ ∆ = ± ∆ = ± − ∆ ± ∆ ∂

2 tϕ π φ∆= ± ∆

Τ, ( ) ( )

2 2 2 2

2

2 2 tt T t Tt T T Tφ φ π πφ ∂ ∂ ∆ ∆ = ± ∆ ∆ + ∆ = ± ∆ ∆ + − ∆ ∂∆ ∂

( )tan tanϕ φ± ∆ , ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2 2

tan tantan

1 2 1 2cos cos

t Tt T

tt TT T

φ φφ

π πφ φ

∂ ∂ ∆ = ± ∆ ∆ + ∆ = ∂∆ ∂

∆ = ± ⋅ ∆ ∆ + − ∆

tan tan2 2π πϕ ϕ + ± ∆ +

( )

( )

2 2

2 2

22 2

tan tan2 2tan

2

1 2 1 2

cos cos2 2

t Tt T

tt TT T

π πφ φπφ

π ππ πφ φ

∂ + ∂ + ∆ + = ± ∆ ∆ + ∆ = ∂∆ ∂

∆ = ± ⋅ ∆ ∆ + − ∆ + +

∆

−

=∑ ∑ ∑∑= = ==

n

i

n

i

n

i i

ii

i

in

i i

i

i

i

syx

sx

sy

sx

a 1 1 122

122

2

∆

−

=∑ ∑ ∑∑= = ==

n

i

n

i

n

i i

i

i

in

i i

ii

i sy

sx

syx

sb 1 1 1

221

22

1

∆±=∆∑=

n

i i

i

sx

a 12

2

∆

±=∆∑=

n

i isb 1

2

1

∑ ∑∑= ==

−=∆

n

i

n

i i

i

i

in

i i sx

sx

s 1

2

122

2

12

1




Δt (ms)

Δ(Δt) (ms)

f (KHz)

Δf (KHz)

ω (rad/ms)

Δω (rad/ms)

1/ω (ms/rad)

Δ(1/ω) (ms/rad)

φ (rad)

Δφ (rad) |tan(φ)| Δ(tan(φ)) Δ(tan(φ)) Δ(tan(θ))

1,0 0,2 0,12 0,0028 0,75 0,018 1,337 0,03183 0,75 0,15 0,93 0,033 0,033 0,0385 0,8 0,2 0,14 0,0039 0,87 0,024 1,146 0,03183 0,70 0,18 0,84 0,033 0,033 0,0469 0,8 0,2 0,16 0,0049 0,98 0,031 1,019 0,03183 0,79 0,20 1,00 0,049 0,049 0,0491 0,8 0,2 0,18 0,0064 1,12 0,040 0,891 0,03183 0,90 0,23 1,25 0,082 0,082 0,0524 0,7 0,1 0,20 0,0042 1,28 0,026 0,780 0,01592 0,90 0,13 1,25 0,047 0,047 0,0300 0,68 0,04 0,23 0,0103 1,43 0,065 0,700 0,03183 0,97 0,07 1,46 0,139 0,139 0,0648 0,4 0,1 0,57 0,0129 3,57 0,081 0,280 0,00637 1,43 0,36 6,96 1,602 1,602 0,0331 0,28 0,04 0,76 0,0230 4,76 0,144 0,210 0,00637 1,33 0,19 4,12 0,727 0,727 0,0428 0,24 0,04 0,96 0,0370 6,04 0,232 0,166 0,00637 1,45 0,25 8,24 3,838 3,838 0,0566 0,20 0,02 1,16 0,0270 7,31 0,170 0,137 0,00318 1,46 0,15 9,09 2,841 2,841 0,0344 0,18 0,02 1,25 0,0313 7,85 0,196 0,127 0,00318 1,41 0,16 6,31 1,444 1,444 0,0362 0,16 0,02 1,35 0,0365 8,49 0,229 0,118 0,00318 1,36 0,17 4,64 0,827 0,827 0,0384 0,14 0,02 1,61 0,0520 10,13 0,327 0,099 0,00318 1,42 0,21 6,53 1,996 1,996 0,0468

Πίνακας 1




y bx a= + 0,0950b∆ = ± και 0,009a∆ = ±

|tan(φ)|=f(ω)

y = 0,732x + 0,9739

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00

ω (rad/ms)

tan(

φ)

|tan(θ)|=f(1/ω)

y = 0,9003x + 0,0295

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400 1,600

1/ω (ms/rad)

tan(θ)

y bx a= + 0, 285b∆ = ± και 0,15a∆ = ±

Διάγραμμα 1

Διάγραμμα 2




Εν συνεχεία, δεδομένου ότι η κλίση των παραπάνω διαγραμμάτων 1, 2 δεν είναι άλλη από την πειραματική τιμή τ , έχουμε:

[ ]1 1 0,732 0,285 msδκλιση τ= = ±

[ ]2 2 0,9003 0,0950 msδκλιση τ= = ±

Σχετικά, με την θεωρητική θτ , από την σχέση 7, έχουμε:

( ) [ ]6 310090 120 10 1,2108 10 1,2108 0,0606R C R r C msθ ολ πηγηςτ − −= = + = ⋅ ⋅ = ⋅ = ±

( ) ( )2 2

2 2 0,0606R C C R R C msR C


ολ

τ ττ ∂ ∂ ∆ = ± ∆ + ∆ = ± ∆ + ∆ = ± ∂ ∂

Εν κατακλείδι, συγκρίνοντας τις πειραματικές 1τ και 2τ με την θεωρητική θτ , έχουμε:

1 1, 2108 0,732% 100% 100% 47,88%

1,2108θ

θ

τ τδ

τ− −

= ⋅ = ⋅ =

2 1, 2108 0,9003

% 100% 100% 25,6%1,2108

θ

θ

τ τδ

τ− −

= ⋅ = ⋅ =

Ερωτήσεις:

1. Από το γεγονός ότι η Ρ έχει μονάδες διαφοράς δυναμικού ανά μονάδα

ρεύματος, δείξτε ότι η RC έχει μονάδες χρόνου.

Η χωρητικότητα του πυκνωτή μετριέται σε CVolt

και η μονάδα του

ρεύματος ισούται με sec

Coulomb άρα:

s

s

Volt Coulomb CoulombRC CoulombAmber Volt= ⋅ = =

2. Πως θα μπορούσατε να μετρήσετε την αντίσταση της γεννήτριας των κυματομορφών;

Η αντίσταση της γεννήτριας των κυματομορφών μπορεί να υπολογιστεί με το πολύμετρο αν χρησιμοποιήσουμε τις κατάλληλες κλίμακες για υπολογισμό αντιστάσεων. Ένας άλλος τρόπος προσδιορισμού της αντίστασης της γεννήτριας είναι η εκτέλεση του πειράματος σε κύκλωμα RC αν γνωρίζουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του κυκλώματος.




3. Ποια είναι η διαφορά φάσης σε ένα κύκλωμα RC , όταν εφαρμόζεται μια

ημιτονοειδής τάση με συχνότητα 1RC

ω = ; Επίσης ποιος είναι ο λόγος της

τάσης του πυκνωτή προς την τάση της γεννήτριας;

Τη διαφορά φάσης την βρίσκουμε από τον τύπο: 1tanRC

ϕω

=

Εφόσον 1RC

ω = , παίρνουμε ότι: tan 14πϕ ϕ= ⇔ =

Για να βρούμε τον λόγο μεταξύ της τάσης του πυκνωτή προς τη τάση της γεννήτριας θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

0 cosCV V ϕ=

Άρα:

0

0 0

cos cosCV VV V

ϕ ϕ= =

Και εφόσον 4πϕ = παίρνουμε ότι:

0

22

cVV

=

Κύκλωμα RC

Documents

Transcript of Κύκλωμα RC