T S LE DIPÔLE RC P 07

Intro : Peut-on faire circuler le courant électrique dans un circuit comportant un isolant ?

1. Le condensateur

Rappels d’électricité : pour un générateur PNU E rI= −

1.1. Description et structure

Schéma conventionnel :

1.2. Principe de fonctionnement

Expérience   : E = 12 V, R = 220 Ω, C = 1000 µF et une DEL et un interrupteur.Observation   : Lorsqu’on ferme le circuit, la DEL émet de la lumière pendant quelques secondes, puis s’éteint progressivement.Conclusion   : Un courant électrique circule dans le sens passant imposé par la DEL. L’intensité de ce courant décroît au cours du temps jusqu’à s’annuler.Problème   : Comment expliquer le passage du courant malgré la présence d’un isolant dans le condensateur ?

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isolant(air, mica, papier paraffiné, film plastique, huile …)

Armatures métalliques

fils de connexion

N P

PNU

I + −

2décharge

1charge

R

C

E

Rappels sur le courant électrique :Le courant électrique résulte d’un déplacement de porteurs de charges électriques (électrons dans les métaux et ions dans les solutions). Le rôle du générateur est de mettre en mouvement les porteurs de charges.

Explication : les charges (électrons) qui ont quitté le pôle négatif du générateur se sont accumulées sur l’armature B du condensateur et simultanément un même nombre de charge a quitté l’armature A pour rejoindre la borne positive du générateur.

Lorsque le condensateur ne peut plus ni céder des charges vers la borne + du générateur (car plus de ddp entre le générateur et le condensateur, donc plus de circulation de courant), ni stocker de charges supplémentaires provenant de la borne – du générateur, on dit qu’il est chargé.Les armatures A et B du condensateur portent donc, à chaque instant, des charges électriques opposées +q et  q. Ces charges sont responsables de la tension aux bornes du condensateur.

1.3. Relation entre charge et intensité

On utilise la convention récepteur pour flécher la tension aux bornes du condensateur par rapport au sens de la flèche représentant le courant (et l’intensité). Convention d’écriture et de schématisation :

pour l’intensitépour la tensionpour les charges portées par les armatures

Expérience   : même dispositif qu’au 1.2, mais avec deux DEL (jaune et verte) montées tête-bêche.Observation : Interrupteur en position 1 : une seule des deux DEL est allumée, on charge le condensateur.

On bascule l’interrupteur en position 2 : l’autre DEL s’allume, on décharge le condensateur.

Comme une DEL ne laisse passer le courant que dans un seul sens, on en déduit que le courant change de sens.L’intensité est une grandeur algébrique (signée). Le signe dépend du sens choisi.

Rappels sur l’intensité du courant électrique :En courant continu, l’intensité du courant électrique est constante et elle correspond au débit des charges

électriques à travers une section d’un conducteur : I =

∆q∆t

(pendant la durée t, la charge d’une armature

du condensateur varie aussi de q car les charges ne peuvent traverser l’isolant).

En courant variable, cette relation reste vraie pour des temps très courts (pendant lesquels on peut considérer

que le débit reste constant) et t 0

dq(t)i(t) lim I

dt →= = que l’on écrit le plus souvent

dt

dqi = .

L’intensité du courant qui arrive sur une armature d’un condensateur est la dérivée par rapport au temps de la charge électrique portée par cette armature (armature sur laquelle arrive le courant).

dt

dqi = Attention à la notation en minuscule pour les valeurs instantanées i  i(t).

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−e −e

A B

2décharge

1charge

R

C

E

−eA B

+ q – q

i

Cu

En convention récepteur :Quand le courant circule effectivement dans le sens choisi, l’intensité i est positive, la charge q

augmente au cours du temps et la dérivée dq

dtest également positive.

Quand le courant circule en sens inverse du sens choisi, l’intensité est négative, la charge q diminue

au cours du temps et la dérivée dq

dt est également négative.

1.4. Capacité d’un condensateur

1.4.1. Charge d’un condensateur à intensité constante

Expérience   : on charge un condensateur par un courant d’intensité constante. L’intensité dans le circuit et la tension aux bornes du condensateur sont mesurées via un ordinateur interfacé.

Schéma du montage :

On utilise la convention récepteur pour le condensateur

Observation   : l’intensité i est positive et reste sensiblement constante pendant l’expérience (avant de s’effondrer), la tension aux bornes du condensateur augmente proportionnellement à la durée de la charge.

Interprétation   : Le graphique montre que uC = k.t, avec k une constante positive. L’intensité est constante, c’est donc qu’elle est la dérivée d’une fonction proportionnelle au temps : q = i.t.

L’ensemble de ces deux relations donne Cu qt

k i= = soit C C

iq u C u

k= = , car i et k sont des constantes

positives.

Conclusion   : la charge d’un condensateur est proportionnelle à la tension à ses bornes.

1.4.2. La capacité d’un condensateur   :

On appelle capacité du condensateur le coefficient de proportionnalité entre la charge et la tension

Cq C u= .(formule assez mnémotechnique).

CC

C : capacité en farads (F)q

C q : charge du condensateur en coulombs (C)u

u : tension aux bornes du condensateur en volts (V)

= (La charge est celle de l’armature A recevant i.)

On emploie souvent des sous multiples du farad.Ordre de grandeur des capacités : de quelques picofarads 1210− à quelques millifarads 310− .

Les relations Cq C u= et dt

dqi = conduisent à : Cdu

i Cdt

=

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AK

R

Cq−q+Générateur

idéal de courant

Cu V

2. Énergie emmagasinée dans un condensateur Lors de l’expérience avec les deux DEL, on constate que le condensateur fournit du courant électrique au reste du circuit, il se comporte comme un générateur et restitue l’énergie électrique emmagasinée pendant la charge.

Expérience complémentaire   : on charge un condensateur avec un générateur de tension de f.e.m. E E = 24 V (ou 82 000 µF sous 6 V). On déconnecte le condensateur du générateur et on le branche aux bornes d’un moteur pouvant soulever une masse par l’intermédiaire d’un fil.Exp : Vérifier que condE  = mgh (opposé du travail du poids).

Observation   : On constate que le condensateur peut restituer l’énergie électrique qu’il a accumulée.

On peut montrer que cette énergie est proportionnelle à la capacité et au carré de la tension aux bornes du condensateur :

(V) en voltsur condensatedu bornesaux tension : u

(F) faradsen capacité : C

(J) joulesen eemmagasiné énergie : E

u C2

1E

C

cond2Ccond =

2cond C

1E C u

2= et Cq C u= donc cond C

1E q u

2= ou

2

cond

1 qE

2 C= car C

qu

C= .

Démonstration (facultative)   :

2condcond

cond u C2

1Esoit uu C dérivéepour a E donc ,

dt

dE P(t)et

dt

duu C

dt

dqu iu P(t) =′==== .

Conséquences importantes   : Comme tout réservoir, on ne peut pas le remplir (ni le vider) instantanément, donc la charge (et la décharge) du condensateur n’est pas instantanée mais plus ou moins rapide.Comme l’énergie stockée ne peut pas varier brutalement, la tension (et la charge) aux bornes du condensateur ne le peut pas non plus.

La tension aux bornes d’un condensateur est donc une fonction continue du temps.

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E

2décharge

1charge

R

C

E

1 2

C

M

déchargecharge

3. Le dipôle RC Rappel : Il faut toujours représenter le schéma du circuit, flécher le sens du courant puis les tensions en respectant et en citant les conventions utilisées.

Loi des mailles   : Pour une maille d’un circuit,on oriente le circuit (mettre une flèche de rotation sur le schéma) ;les tensions fléchées dans le sens choisi sont comptées positivement, celle

dans le sens contraire sont comptées négativement ;On additionne toutes les tensions et leur somme est égale à zéro, car on

revient au point de départ.Exemple : PN PA AB BN PN AP BA NBU U U U 0 U U U U 0− − − = ⇔ + + + = .

3.1. Réponse à un échelon de tension

Lorsqu’on bascule l’interrupteur, la tension aux bornes du dipôle RC passe brutalement de 0 à E et elle reste égale à E. On dit que le dipôle RC est soumis à un échelon de tension (front montant). Si la tension passe brutalement de E à 0 et reste égale à 0, le circuit RC est soumis à un échelon de tension (front descendant).

3.2. Charge

Évolution de la tension : On utilise la convention récepteur pour le condensateur.Le condensateur est initialement déchargé.Au cours de la charge du condensateur, la loi des mailles donne : C Ru u E 0+ − = , la loi d’additivité des tensions

donne C RE u u= + soit RiuE C += car Ru Ri= .

L’étude du condensateur fournit dt

dqi = et Cu Cq = , ce qui

donne Cdui C

dt= , car la capacité du condensateur est une constante.

La combinaison des deux relations donne : dt

duRCuE C

C += , c’est une équation différentielle car elle fait

intervenir la tension Cu et sa dérivée.

La solution de ce type d’équation est u

C=A e

− t

τ + B dans laquelle A, B et τ sont des constantes à déterminer.

On dérive l’expression de la solution,

duC

dt=−

Aτ e

− t

τ + 0 puis on remplace Cdu

dtet Cu par leurs expressions

dans l’équation différentielle, cela donne E =A e

− t

τ + B−RCAτ e

− t

τ ⇔ E =A 1−RCτ

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟e−

t

τ + B .

Cette équation doit être vérifiée à chaque instant (quelque soit t), le terme devant t

e−τ doit être nul mais A

ne peut pas être nulle donc : 1 −

RCτ

=0 soit RCτ = et E B=

Utilisation des conditions initiales pour déterminer A   : À t = 0, le condensateur a une charge nulle 0q(0) = et donc 0)0(u C = .

u

C(0) =A e

− 0τ + B=0 ⇔ A + B=0 et donc A =  B.

Donc finalement : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+−=

−−RC

t

RC

t

C e1 EEe Eu

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M

P N

A B

PNU

PAU

ABU

BNU

Ru

Eq

C

RK

Cu+

La tension aux bornes du condensateur en fonction du temps est ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−RC

t

C e1 E(t)u .

Évolution de l’intensité :

RiuE C += donc RC

t

RC

t

C eR

E

R

e1 EE

R

(t)uEi(t)

−

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−

=.

L’intensité du courant lors de la charge du condensateur est : RC

t

eR

Ei(t)

−= .

Évolution de la charge du condensateur :

La charge du condensateur en fonction du temps est : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

−RC

t

C e1 E . C(t)Cu q(t) .

Remarque :t t

RC RCdq(t) CE Ei(t) e e

dt RC R

− −= = =

3.3. Décharge

Évolution de la tension : On utilise la convention récepteur pour le condensateur.Initialement le condensateur est chargé et E(0)u C = .Au cours de la décharge du condensateur, la loi des mailles et la loi d’additivité des tensions donne : 0RiuC =+ .

Comme dt

dqi = et Cu Cq = donc Cdu

i Cdt

= alors 0dt

duRCu C

C =+ .

C’est la même forme d’équation différentielle mais avec E = 0.

La solution de ce type d’équation est u

C=A e

− t

τ + B dans laquelle A, B et τ sont des constantes à déterminer.

duC

dt=−

Aτ e

− t

τ + 0 et u

C=A e

− t

τ + B , l’équation différentielle devient :

A e

− t

τ + B−RCAτ e

− t

τ =0 et A(1 −

RCτ

)e−

t

τ + B=0

Cette équation doit être vérifiée à chaque instant (quelque soit t), le terme devant t

e−τ doit être nul mais A

ne peut pas être nulle donc : 1 −

RCτ

=0 soit RCτ = et B 0= soit u

C=A e

− t

τ .

Utilisation des conditions initiales   : à l’instant initial t = 0, le condensateur est chargé et E(0)u C = donc

u

C(0) =A e

− 0τ =A =E .

Donc finalement : RC

t

C e E(t)u−

=

La tension aux bornes du condensateur en fonction du temps est RC

t

C e E(t)u−

= .

Évolution de l’intensité :

0RiuC =+ donc RC

t

C eR

E

R

(t)ui(t)

−−=−= . (Attention au signe moins.)

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qCR

K

Ru Cu+

L’intensité du courant lors de la charge du condensateur est : RC

t

eR

Ei(t)

−−= . On a un signe – car on est

resté en convention récepteur alors que le condensateur se comporte comme un générateur.

Évolution de la charge du condensateur :

La charge du condensateur en fonction du temps est : RC

t

C e E . C(t)Cu q(t)−

== .

Remarque : Si on utilise la convention générateur pour le condensateur : dq

idt

=− car dq 0< (décharge) et

i 0> (fléchage dans le sens réel).La loi des mailles donne alors C Ru u 0− = et

CR

duu R i RC

dt= =−

On retrouve la même équation différentielle donc la même expression de Cu (t) .

Mais pour l’intensité, comme Cu Ri 0− = alors t

C RCu (t) E

i(t) eR R

−= = .

Il est très important de préciser la convention utilisée.

3.4. Comparaison avec l’expérience ( conclusion du TP )

Cf. TP. Courbes montrant l’influence de R et C et l’effet de E.

On a constaté que l’évolution de la tension aux bornes du condensateur dépend de la valeur de la résistance R, de la valeur de la capacité C. En effet, l’évolution est plus lente si ces valeurs augmentent (séparément ou ensemble). Par contre, la force électromotrice E du générateur est sans influence sur l’évolution temporelle, mais joue un rôle sur la valeur de la charge maximale stockée dans le condensateur : E est une asymptote

pour la tension Cu et Ct

ulimE∞→

= .

Les modélisations proposées par loggerpro sont très proches des points mesurés expérimentalement lors de l’acquisition. On vérifie également que l’exposant vaut – 1/RC.

3.5. Constante de temps du dipôle RC

Le calcul montre que la constante τ qui apparaît dans l’exponentielle est égale à RC. Le terme exponentiel devant être sans dimension, on en déduit que le produit RC est homogène à un temps.

On peut le vérifier par l’analyse dimensionnelle : (entre crochet = dimension des grandeurs)[u]

u Ri donc [R][i]

= = et C

[q]q C u donc [C]

[u]= =

On a : [u] [q] [q]

[RC] [i] [u] [i]

= = , or dq [q]

i donc [i]dt [t]

= = et 1 [t]

[i] [q]= on obtient donc

[q] [t] [RC] [q] [t]

[i] [q]= = = .

La constante de temps d’un dipôle RC est caractéristique de l’évolution de la charge ou de la décharge du condensateur à travers la résistance.

À la date t = τ, le condensateur est chargé (ou déchargé) à 63 % de sa valeur maximale.

Car 1RC

Cu ( ) E(1 e ) E(1 e ) 0,63 Eτ

− −τ = − = − = pour la charge.

Car 1RC

Cu ( ) E e E e 0,37 Eτ

− −τ = = = pour la décharge (la charge à diminuée de 63%).

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qCR

K

Ru Cu+

À la date t = 3 τ, le condensateur est chargé (ou déchargé) à 95 % de sa valeur maximale.

On considère souvent que le condensateur est complètement chargé (ou déchargé) au bout d’un temps égal à cinq fois la constante de temps du dipôle RC, 5 τ , l’intensité dans le circuit est alors quasi nulle.

Car à la date t = 5 τ, le condensateur est chargé (ou déchargé) à 99 % de sa valeur maximale.

On peut déterminer expérimentalement la constante de temps d’un dipôle RC : voir graphiquesen mesurant le temps correspondant à l’abscisse du point d’intersection de la tangente à l’origine de

la courbe (t)uC et de la courbe asymptote E dans le cas de la charge d’un condensateuren mesurant le temps correspondant à l’abscisse du point d’intersection de la tangente à l’origine de

la courbe (t)uC et l’axe des abscisses c'est-à-dire Cu 0= .

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RCτ =

Détermination de la constante de temps lors de la charge d’un condensateur

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t (ms)

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0um , u3, u2, u4 (V)

0,63 E

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t (ms)

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0 um , u2 (V)

RCτ =

0,37 E

Détermination de la constante de temps lors de la décharge d’un condensateur

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