@ r vecourse.uoi.gr/pluginfile.php/96117/mod_resource... · 1: Παράδειγμα 2: Στο...

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Ηλεκτρισμός & ΜαγνητισμόςΜέθοδοι επίλυσης ηλεκτρικών κυκλωμάτωνΔιδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative Commons. • Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

©Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) 85

7.Μέθοδοιεπίλυσηςηλεκτρικώνκυκλωμάτων

Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα συμπεριλαμβάνει μία ή περισσότερες πηγέςσυνδεδεμένεςμεδιάφοραεξαρτήματαόπωςαντιστάσεις,πυκνωτές,κ.α.

Σεένακύκλωμαδιακρίνουμεκόμβους,κλάδουςκαιβρόχους.

• Κόμβοςείναιτοσημείοσύνδεσηςτριώνήπερισσοτέρωναγωγών.

• Κλάδος είναι μια ακολουθία εξαρτημάτων συνδεδεμένων με αγωγό, ηοποίαξεκινάαπόένακόμβοκαικαταλήγεισεάλλο.

• Βρόχοςείναιοποιαδήποτεκλειστήακολουθίαεξαρτημάτων.

• Γραμμικάανεξάρτητοςβρόχοςείναιοβρόχοςπουδενμπορείνααναλυθείσεαπλούστερους.

Για παράδειγμα, το «κύκλωμα» του επομένου Σχήματος έχει 6 κόμβους, 9κλάδουςκαι4γραμμικάανεξάρτητουςβρόχους.

Μετονόρο“επίλυσηκυκλώματος”εννοούμετονπροσδιορισμότουρεύματοςσεκάθεκλάδοκαιπτώσητάσηςσεόλαταστοιχείατουκυκλώματος.

7.1Αναγωγήσεαπλόκύκλωμα

Έστω ότι ένα ηλεκτρικό κύκλωμα περιλαμβάνει μία πηγή και αντιστάσειςσυνδεδεμένες με διάφορους τρόπους. Εάν υπολογίσουμε την ισοδύναμηαντίστασηκαταλήγουμεσε ένααπλόκύκλωμαόπουμίααντίστασησυνδέεταιμεμίαπηγή.Τότε,τοσυνολικόρεύμαυπολογίζεταιάμεσαμετοννόμοτουOhm.Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τα ρεύματα και τάσεις σε όλα τα ισοδύναμακύκλώματα ξεκινώντας από το απλούστερο προς το περισσότερο σύνθετομέχριςότουφτάσουμεστοαρχικό.


Παράδειγμα Να προσδιορίσετε το ηλεκτρικό ρεύμα σε κάθε κλάδο τουκυκλώματος.Δίδεται

€

R1 = 50kΩ ,

€

R2 =100kΩ ,

€

R3 = 20kΩ και

€

E1 = 250V .

ΤοαρχικόκύκλωμαμετασχηματίζεταισταισοδύναμακυκλώματαΚ1,Κ2καιΚ3.

Έχουμε

€

R23 =R2R3R2 + R3

=100 ⋅ 20120

kΩ =16.67kΩ

€

R0 = R1 + R23 = 50kΩ+16.67kΩ = 66.67kΩ

€

I1 =E1R0

=250V66.67kΩ

= 3.75mA

€

VAB = I1R23 = 3.75mA ⋅16.67kΩ = 62.5V

€

I2 =VAB

R2=62.5V100kΩ

= 0.625mA

€

I3 =VAB

R3=62.5V20kΩ

= 3.125mA


7.2ΗμέθοδοςτωνκανόνωντουKirchhoffΣύμφωναμετηνμέθοδοτωνκανόνωντουKirchhoff,ταηλεκτρικάρεύματαπουδιαρρέουν τους κλάδους ενός κυκλώματος προσδιορίζονται από την επίλυσηενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων με αγνώστους τις εντάσεις τωνρευμάτων.Τοσύστηματωνεξισώσεωνπροκύπτειαπόδύοκανόνες.

1ος Κανόνας: Σε κάθε κόμβο του κυκλώματος, το αλγεβρικό άθροισμα τωνεντάσεωντωνρευμάτωνείναιμηδέν.Δηλαδή

€

I∑ = 0

ΟπρώτοςκανόναςτουKirchhoff είναιαποτέλεσματηςαρχήςδιατήρησηςτουηλεκτρικούφορτίου. Για την εφαρμογή του1ου κανόνα, ορίζουμεσυνήθωςωςθετική την ένταση του εισερχομένου ρεύματος και αρνητική την ένταση τουεξερχομένου.

Γιαπαράδειγμα,έστωότιπέντεκλάδοιενόςκυκλώματοςσυνδέονταισεκόμβοόπωςστοεπόμενοΣχήμακαιδιαρρέονταιαπόρεύματα

€

I1 =1A ,

€

I2 = 4A ,

€

I3 = 3A και

€

I4 = 2A .Πόσηείναιηέντασητουρεύματος

€

I5 ;

Εφαρμόζονταςτον1οκανόνατουKirchhoff,

€

I∑ = 0 ⇒ I1 − I2 + I3 − I4 − I5 = 0 ⇒ I5 = I1 − I2 + I3 − I4 ⇒ I5 = −2A

Άρα,το

€

I5 στηνπραγματικότηταεισέρχεταιστονκόμβο.

2ος Κανόνας: Σε κάθε βρόχο, το αλγεβρικό άθροισμα των ηλεκτρεγερτικώνδυνάμεων ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των πτώσεων τάσης στιςαντιστάσειςτωνκλάδωντουβρόχου.Δηλαδή

€

E∑ = IR∑

Ο 2ος κανόνας τουKirchhoff είναι αποτέλεσμα της διατήρησης της ηλεκτρικήςενέργειαςστονβρόχο.

Γιατηνεφαρμογήτου2ουκανόνατουKirchhoff

1. Ορίζουμεμίααυθαίρετηθετικήφοράδιαγραφήςτουβρόχου.


2. Στοάθροισμα

€

E∑ ,εάνμιαπηγήπροκαλείρεύμακατάτηνθετικήφοράδιαγραφής γράφεται με θετικό πρόσημο. Σε αντίθετη περίπτωση τοπρόσημοείναιαρνητικό.

3. Στο άθροισμα

€

IR∑ , μία πτώση τάσης που προκαλείται από ρεύμαομόρροπομετηνθετικήφοράδιαγραφήςλαμβάνεταιμεθετικόπρόσημο.Σεαντίθετηπερίπτωσητοπρόσημοείναιαρνητικό.

Για παράδειγμα, έστω ο βρόχος του Σχήματος, μέρος ενός μεγαλύτερουκυκλώματος.

Εφαρμόζονταςτον2οκανόνατουKirchhoff

€

E∑ = IR∑ βρίσκουμε

€

E1 + E2 − E3 = I1 ⋅ 0 + I2 ⋅ 0 − I3R1 − I4 ⋅ 0 − I5R2ή

€

E1 + E2 − E3 = −I3R1 − I5R2

Γιατηνεπίλυσηκυκλωμάτωνακολουθούμετηνεξήςπορεία:

1. Αναγνωρίζουμετουςκλάδους,κόμβουςκαιβρόχουςτουκυκλώματος.

2. Σημειώνουμεαυθαίρετατηνφοράτουρεύματοςσεκάθεκλάδο.

3. Εάν το κύκλωμα έχει Κ κόμβους, εφαρμόζουμε τον 1ο κανόνα τουKirchhoffσεΚ‐1κόμβους.

4. Σχεδιάζουμε μία θετική φορά διαγραφής σε κάθε γραμικά ανεξάρτητοβρόχο του κυκλώματος. Θυμηθήτε ότι γραμμικά ανεξάρτητοι είναι οιβρόχοιπουδενεπικαλύπτονται.

5. Εφαρμόζουμετον2οκανόνατουKirchhoffσεκάθεγραμμικάανεξάρτητοβρόχο.

6. Απόταβήματα3και5,προκύπτειέναγραμμικόσύστημαΚ+1εξισώσεωνμε αγνώστους τις εντάσεις των ρευμάτων. Επιλύουμε το σύστημα τωνγραμμικώνεξισώσεων.


7. Εάνέχουμεπροσδιορίσειόλαταρεύματα,ηδιαφοράδυναμικούμεταξύδύο σημείων Α και Β, κατά μήκος μίας αγώγιμης διαδρομής του

κυκλώματος,δίδεταιαπότηνσχέση:

€

VAB = IRA

B

∑ − EA

B

∑ .

Άσκηση:ΝαδείξετεότιηδιαφοράδυναμικούμεταξύδύοσημείωνΑκαιΒ,κατάμήκος μίας αγώγιμης διαδρομής ενός κυκλώματος, δίδεται από την σχέση:

€

VAB = IRA

B

∑ − EA

B

∑ . (Υπόδειξη: Εφαρμόσατε κατάλληλα τον 2ο κανόνα του

Kirchhoff)

Παράδειγμα1:

Παράδειγμα 2: Στο κύκλωμα του Σχήματος, να υπολογίσετε την ένταση τουρεύματοςσεκάθεκλάδο,καθώςκαιτηντάση

€

VAB μεταξύτωνκόμβωνΑκαιΒ.Δίδεται:

€

E1 = 6V ,

€

E2 = 2V ,

€

R1 = 4Ω ,

€

R2 = 2Ωκαι

€

R3 = 2Ω.


Το κύκλωμα αυτό έχει μόνο τους δύο κόμβους Α και Β. Εφαρμόζουμε τον 1οκανόνατουKirchhoffστονκόμβοΑ:

€

I∑ = 0 ⇒ I2 − I1 − I3 = 0 (1)

Γραμμικάανεξάρτητοιβρόχοιείναιοι(ΑΓΒΑ)και(ΑΒΔΑ).Εφαρμόζουμετον2οκανόνατουKirchhoff:

€

E∑ = IR∑

Βρόχος(ΑΓΒΑ):

€

E1 = I1R1 − I3R3 (2)

Βρόχος(ΑΒΔΑ):

€

E2 = I2R2 + I3R3 (3)

Προκύπτει το ακόλουθο γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρείςαγνώστους:

€

−I1 + I2 − I3 = 0I1R1 + I2 ⋅ 0 − I3R3 = E1I1 ⋅ 0 + I2R2 + I3R3 = E2

(S)

Έχουμε

€

Δ =

−1 +1 −1R1 0 −R30 R2 R3

= −10 −R3R2 R3

− R1+1 −1R2 R3

+ 0+1 −10 −R3

=

= −R2R3 − R1 R3 + R2( ) = − R1R2 + R2R3 + R3R1( ) = −20Ω2

€

Δ1 =

0 +1 −1E1 0 −R3E2 R2 R3

= 00 −R3R2 R3

− E1+1 −1R2 R3

+ E2

+1 −10 −R3

=

= −E1 R3 + R2( ) − E2R3 = −28VΩ

€

Δ 2 =

−1 0 −1R1 E1 −R30 E2 R3

= −1E1 −R3E2 R3

− R10 −1E2 R3

+ 00 −1E1 −R3

=

= −E1R3 − E2R3 − E2R1 = −24VΩ

Επομένως,

€

I1 =Δ1Δ

=−28VΩ−20Ω2 =1.4 A ⇒ I1 =1.4 A και

€

I2 =Δ 2

Δ=−24VΩ−20Ω2 ⇒ I2 =1.2A

Απότην(1),

€

I3 = I2 − I1 ⇒ I3 = −0.2A


Λόγωτουαρνητικούπροσήμου,το

€

I3 έχειαντίθετηφοράαπόεκείνηπουέχεισημειωθείστοΣχήμα.

Η τάση μεταξύ των σημείων Α και Β βρίσκεται εφαρμόζοντας την σχέση

€

VAB = IRA

B

∑ − EA

B

∑ στονκλάδοΑΒ.Έχουμε

€

VAB = I3R3 = −0.2A ⋅ 2Ω = −0.4V .

Ο αναγνώστης μπορεί να διαπιστώσει ότι το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει εάνεφαρμόσουμετηνσχέσηαυτήχρησιμοποιώνταςγιαδιαδρομήτονκλάδοΑΓΒήτονΑΔΒ.

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα

πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου

Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις:• Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1298.

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής. «Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός. Μέθοδοι επίλυσης ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1298.

Σημείωμα Αδειοδότησης

• Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης CreativeCommons Αναφορά Δημιουργού -Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη.

• [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

@ r vecourse.uoi.gr/pluginfile.php/96117/mod_resource... · 1: Παράδειγμα 2: Στο...

Documents

Transcript of @ r vecourse.uoi.gr/pluginfile.php/96117/mod_resource... · 1: Παράδειγμα 2: Στο...