Κύκλωμα LR
-
Upload
nikos-zacharioudakis -
Category
Documents
-
view
262 -
download
3
description
Transcript of Κύκλωμα LR
Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός
Άσκηση 6: Κύκλωμα LR
Σελίδα 1 από 12 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980
Σχήμα 1
ΣΣκκοοππόόςς ττηηςς άάσσκκηησσηηςς:: Στο πείραμα αυτό θα μελετήσουμε ένα κύκλωμα που περιέχει μια αντίσταση και μια αυτεπαγωγή. Θα βρούμε πολλές ομοιότητες αλλά και διαφορές από τα κυκλώματα RC .
ΘΘεεωωρρίίαα::
ΣΣυυμμππεερριιφφοορράά ττοουυ κκυυκκλλώώμμααττοοςς σσεε ττεεττρρααγγωωννιικκόό ππααλλμμόό::
Θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος 1, τύπου LR με τάση τετραγωνικού παλμού. Αν 0V η τάση της πηγής και το πηνίο είναι ιδανικό, τότε ένα σταθερό ρεύμα 0I διαρρέει το κύκλωμα. Το τελευταίο δίδεται από την σχέση:
RV
I 00 = (1)
Για st 0= , απομακρύνουμε την πηγή από το κύκλωμα μετακινώντας τον διακόπτη από την θέση 1 στην 2. Τότε, αναπτύσσεται διαφορά δυναμικού στα άκρα του
πηνίου L , ανάλογη του dtdI . Κατά συνέπεια μεταβλητό ρεύμα ( )tI διαρρέει το
κύκλωμα, που λόγω της πτώσης τάσης στα άκρα του πηνίου L , σταδιακά ελαττώνεται. Εφαρμόζοντας τον νόμο του Kirchhoff στον βρόχο LR , δεδομένου ότι η πτώση δυναμικού στα άκρα της αντίστασης είναι IR και στα άκρα του πηνίου L
είναι dtdIL , προκύπτει η παρακάτω διαφορική εξίσωση:
0=+dtdILRI (2)
Λύνοντας την παραπάνω διαφορική, δεδομένου της αρχικής συνθήκης ( ) 00 ItI == , παίρνουμε:
( ) tLR
eItI−
= 0 (3)
Ακολουθώντας την ίδια πορεία όπως και στην άσκηση 5, βλέπουμε πως ο χαρακτηρισμός χρόνου ή σταθερά χρόνου, είναι
RL
=τ . (4)
Αναλόγως, ο χρόνος υποδιπλασιασμού 21T του ρεύματος ( )tI δίδεται από την σχέση:
( )RLT 2ln21 = (5)
Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός
Άσκηση 6: Κύκλωμα LR
Σελίδα 2 από 12 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980
Σχήμα 2
ΣΣυυμμππεερριιφφοορράά ττοουυ κκυυκκλλώώμμααττοοςς σσεε ηημμιιττοοννοοεειιδδήή ττάάσσηη::
Θωρούμε το κύκλωμα του σχήματος 2, τύπου LR , με εναλλασσόμενη τάση. Όταν η κυκλική συχνότητα ω είναι πολύ μικρή, το ρεύμα αλλάζει πολύ αργά και η πτώση του δυναμικού στα άκρα του πηνίου είναι μικρή, επειδή είναι ίση με
dtdIL . Επομένως το κύκλωμα
συμπεριφέρεται σαν να υπάρχει μόνο η αντίσταση R , οπότε το ρεύμα βρίσκεται σε φάση με την τάση και έχει μέγεθος
RV
I 00 = . Αντίστροφα στις πολύ υψηλές συχνότητες η διαφορά δυναμικού στα άκρα
του πηνίου είναι δυνατόν να είναι πολύ μεγαλύτερη από την διαφορά δυναμικού στα άκρα της αντίστασης R και τότε η R μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα. Στην
περίπτωση αυτή το μέγιστο ρεύμα είναι πολύ μικρότερο από R
V0 και υπάρχει
διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και του ρεύματος. Η εξίσωση του κυκλώματος 2, βρίσκεται από την σχέση 3, αν προστεθεί ένας όρος για την εξωτερική τάση. Εάν η εξωτερική τάση δίδεται από την σχέση
( ) tVtV ωcos0= (6),
τότε η εξίσωση του κυκλώματος είναι
( ) ( )φω += tItI cos0 (7).
Κατά συνέπεια, αφού κοινό ρεύμα ( )xI διαρρέει το κύκλωμα, η διαφορά φάσης μεταξύ LV και RV , για κάθε τιμή συχνότητας f , είναι 2π . Από την εργαστηριακή αναφορά 2, γνωρίζουμε ότι:
( )RLωφ −=tan (8)
Εν κατακλείδι, έχουμε:
( )ωφτ tan
−= (9)
ΠΠεειιρρααμμααττιικκήή ΔΔιιααδδιικκαασσίίαα κκααιι ΑΑννάάλλυυσσηη ΜΜεεττρρήήσσεεωωνν::
ΕΕκκθθεεττιικκήή ααύύξξηησσηη::
Στο πρώτο μέρος του πειράματος, θεωρούμε τρεις (3) συνολικά εκδοχές του παρακάτω κυκλώματος (σχήμα 3).
Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός
Άσκηση 6: Κύκλωμα LR
Σελίδα 3 από 12 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980
1η εκδοχή:
[ ] Ω±= KR 01,019,2
50rπηγης = Ω
[ ]Ω1,05,25 ±=πηνιουr
[ ]mHL 7,22%57,22 ⋅±=
Με την βοήθεια του παλμογράφου, μετρήσαμε το πειραματικό 1 2T και το βρήκαμε:
[ ]DIVDIVT 2,04,021 ±= , s20µ=DIV Επομένως, η πειραματική τιμή τ , είναι:
[ ] s755112ln
82ln
2ln 2121 µ,,
TττT ±===⇔=
s752ln
121
2
21
μ,TTττ ±=∆±=
∂∂
±=∆
Η θεωρητική τιμή θτ , από την σχέση 4, είναι:
[ ]μs,,
,Rrr
LRLτ
πηνιουπηγηςολθ 50,0010
5226510722 3
±=⋅
=++
==−
μs,RR
LLR
RRτ
LLτ
τ ολολολ
ολολ
θθθ 5001
2
2
222
=
∆
−+
∆±=
∆
∂∂
+
∆∂∂
±=∆
Σχήμα 3
Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός
Άσκηση 6: Κύκλωμα LR
Σελίδα 4 από 12 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980
( ) ( ) Ω=∆+∆±=
∆∂∂
+
∆
∂∂
±=∆ 00,102222
RrRR
Rr
rR
R ολολολ πηνιουπηνιου
πηνιου
Συγκρίνοντας την πειραματική τ με την θεωρητική θτ , έχουμε:
%15%1000,10
5,110,10%100% =⋅
−=⋅
−=
θ
θ
τττ
δ
Εν κατακλείδι, μετρώντας την τάση στα άκρα του πηνίου με τον παλμογράφο, προκύπτει το παρακάτω ποιοτικό διάγραμμα 1:
2η εκδοχή:
[ ] Ω±= KR 01,036,9
50rπηγης = Ω
[ ]Ω1,05,25 ±=πηνιουr
[ ]mHL 7,22%57,22 ⋅±=
Εν κατακλείδι, μετρώντας την τάση στα άκρα του πηνίου με τον παλμογράφο, προκύπτει το παρακάτω ποιοτικό διάγραμμα 2:
Ποιοτικό Διάγραμμα 1
Ποιοτικό Διάγραμμα 2
Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός
Άσκηση 6: Κύκλωμα LR
Σελίδα 5 από 12 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980
Σε αυτήν την εκδοχή, ενώ το L παρέμεινε σταθερό, η αντίσταση R έχει αυξηθεί,
οπότε από την σχέση RL
=τ , το τ μειώνεται. Επιπλέον, επειδή T<<τ , το εκθετικό
της σχέσης 3 μειώνεται σχετικά με τα υπόλοιπα αργά. Έτσι, το φαινόμενο εξελίσσεται πολύ πιο αργά, πράγμα που διαπιστώνουμε από το ποιοτικό διάγραμμα 2. 3η εκδοχή:
[ ] Ω±= KR 001,0986,0
50rπηγης = Ω
[ ]Ω1,05,25 ±=πηνιουr
[ ]mHL 7,22%57,22 ⋅±=
Εν κατακλείδι, μετρώντας την τάση στα άκρα του πηνίου με τον παλμογράφο, προκύπτει το παρακάτω ποιοτικό διάγραμμα 3:
Σε αυτήν την εκδοχή, ενώ το L παρέμεινε σταθερό, η αντίσταση R έχει μειωθεί,
οπότε από την σχέση RL
=τ , το τ αυξάνεται. Επιπλέον, επειδή, T>>τ , το
εκθετικό της σχέσης 3 αυξάνεται σχετικά με τα υπόλοιπα γρήγορα. Έτσι, το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο δεν προλαβαίνει να πάρει την μέγιστη τιμή του 0I και μηδενίζεται πολύ πιο γρήγορα σε σχέση με τις εκδοχές 1,2, πράγμα που διαπιστώνουμε από το ποιοτικό διάγραμμα 3.
ΗΗμμιιττοοννοοεειιδδήήςς ααππόόκκρριισσηη::
Στο δεύτερο μέρος του πειράματος, θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος 2 με τα εξής στοιχεία:
[ ] Ω±= KR 01,070,2
50rπηγης = Ω
Ποιοτικό Διάγραμμα 3
Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός
Άσκηση 6: Κύκλωμα LR
Σελίδα 6 από 12 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980
[ ]Ω1,05,25 ±=πηνιουr
[ ]mHL 7,22%57,22 ⋅±=
Διαλέγουμε μια συχνότητα 0f τέτοια, ώστε 21
0
≈VVR , προς υπολογισμό της
διαφοράς φάσης των δύο τάσεων και κατά επέκταση της πειραματικής τ . Έτσι, έχουμε:
Μετρήσαμε το t∆ και το βρήκαμε: DIV,DIV,t 2001 ±=∆ , s5µ=DIV
Ακόμη, βρήκαμε την περίοδο:
DIV,DIV,Τ 2041 ±= , s20µ=DIV
Άρα η διαφορά φάσης είναι:
[ ]radπ,π,T
tπφ 0903602 ±=∆
=
( ) ( ) π,ΤΤ
tπtΤπΤ
Tφt
tφφ 09022 2
2
222
±=
∆
∆−+
∆∆±=
∆∂∂
+
∆∆∆∂∂
±=∆ rad
Επομένως, η πειραματική τ , από την σχέση 8, είναι:
[ ] s15,34792
tantan µ±==−= ,
Tπφ
ωφτ
μs,Tπφφ
φπTT
Tτφ
φττ 153
2tan
cos2
22
2
22
±=
∆+
∆±=
∆∂∂
+
∆
∂∂
±=∆
Η θεωρητική τιμή θτ , από την σχέση 4, είναι:
[ ]μs,Rrr
LRLτ
πηνιουπηγηςολθ 41,019,8
1070,25,255010722
3
3
±=⋅++
⋅=
++==
−
μs,RR
LLR
RRτ
LLτ
τ ολολολ
ολολ
θθθ 4101
2
2
222
=
∆
−+
∆±=
∆
∂∂
+
∆∂∂
±=∆
Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός
Άσκηση 6: Κύκλωμα LR
Σελίδα 7 από 12 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980
( ) ( ) Ω=∆+∆±=
∆∂∂
+
∆
∂∂
±=∆ 00,102222
RrRR
Rr
rR
R ολολολ πηνιουπηνιου
πηνιου
Συγκρίνοντας την πειραματική τ με την θεωρητική θτ , έχουμε:
%63,15%10019,8
47,919,8%100% =⋅
−=⋅
−=
θ
θ
τττ
δ
ΔΔιιααφφοορράά φφάάσσηηςς::
Στο τρίτο μέρος του πειράματος, θεωρούμε το κύκλωμα του σχήματος 2 με τα εξής στοιχεία:
[ ] Ω±= KR 01,070,2
50rπηγης = Ω
[ ]Ω1,05,25 ±=πηνιουr
[ ]mHL 7,22%57,22 ⋅±=
Πραγματοποιήσαμε μετρήσεις του T , t∆ για 13 συνολικά τιμές συχνότητας f . Με την βοήθεια του παλμογράφου και των παρακάτω μαθηματικών σχέσεων, προκύπτει ο πίνακας 1 και κατά επέκταση το διάγραμμα 1:
1f fT
= ± ∆ , 2 2
2 2
1 1ff T T TT T T∂ ∆ = ± ∆ = ± − ∆ = ± ∆ ∂
2Tπω ω= ± ∆ ,
2 2
2 2
1 12 2T T TT T Tωω π π∂ ∆ = ± ∆ = ± − ∆ = ± ∆ ∂
1 12T
ω π ω = ± ∆
,
2
2
2 2
11 1 1ω ω ω ωω ω ω ω
∂ ∆ = ± ∆ = ± − ∆ ± ∆ ∂
2 tϕ π φ∆= ± ∆
Τ, ( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 tt T t Tt T T Tφ φ π πφ ∂ ∂ ∆ ∆ = ± ∆ ∆ + ∆ = ± ∆ ∆ + − ∆ ∂∆ ∂
Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός
Άσκηση 6: Κύκλωμα LR
Σελίδα 8 από 12 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980
( )tan tanϕ φ± ∆ , ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
tan tantan
1 2 1 2cos cos
t Tt T
tt TT T
φ φφ
π πφ φ
∂ ∂ ∆ = ± ∆ ∆ + ∆ = ∂∆ ∂
∆ = ± ⋅ ∆ ∆ + − ∆
∆
−
=∑ ∑ ∑∑= = ==
n
i
n
i
n
i i
ii
i
in
i i
i
i
i
syx
sx
sy
sx
a 1 1 122
122
2
∆
−
=∑ ∑ ∑∑= = ==
n
i
n
i
n
i i
i
i
in
i i
ii
i sy
sx
syx
sb 1 1 1
221
22
1
∆±=∆∑=
n
i i
i
sx
a 12
2
∆
±=∆∑=
n
i isb 1
2
1
∑ ∑∑= ==
−=∆
n
i
n
i i
i
i
in
i i sx
sx
s 1
2
122
2
12
1
|tan(φ)| = f(ω)
y = 9,380x + 0,215
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
11,00
12,00
0,00 0,09 0,18 0,27 0,36 0,45 0,54 0,63 0,72 0,81
ω (rad/μs)
|tan(
φ)|
Διάγραμμα 1 y bx a= + 0, 285b∆ = ± και 0,15a∆ = ±
Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός
Άσκηση 6: Κύκλωμα LR
Σελίδα 9 από 12 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980
Δt(μs) Δ(Δt)(μs) f(MHz) Δf(ΜHz) ω(rad/μs) Δω(rad/μs) φ(rad) Δφ(rad) |tan(φ)| Δ(|tan(φ)|) 6,00 2,0 0,03 0,0014 0,17 0,009 0,99 0,33 1,53 0,175 8,00 4,0 0,02 0,0013 0,11 0,008 0,90 0,45 1,25 0,165 8,00 4,0 0,01 0,0006 0,08 0,004 0,63 0,32 0,90 0,048 10,00 10,0 0,00 0,0003 0,02 0,002 0,22 0,22 0,23 0,017 8,00 4,0 0,00 0,0004 0,01 0,003 0,10 0,05 1,10 0,020 4,00 2,0 0,05 0,0041 0,29 0,026 1,14 0,58 3,00 0,602 4,00 2,0 0,06 0,0062 0,35 0,039 1,40 0,72 5,67 0,125 3,00 1,0 0,06 0,0078 0,39 0,049 1,18 0,42 2,41 1,006 4,00 2,0 0,07 0,0051 0,45 0,032 1,80 0,91 4,38 2,590 3,00 1,0 0,08 0,0139 0,52 0,087 1,57 0,59 3,50 1,940 2,00 1,0 0,10 0,0200 0,63 0,126 1,26 0,68 3,08 2,632 2,40 0,4 0,11 0,0123 0,70 0,078 1,68 0,34 9,51 2,260 2,00 1,0 0,13 0,0313 0,79 0,196 1,57 0,88 8,45 1,830
Πίνακας 1
Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός
Άσκηση 6: Κύκλωμα LR
Σελίδα 10 από 12 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980
Εν συνεχεία, δεδομένου ότι η κλίση του παραπάνω διαγράμματος 1, δεν είναι άλλη από την πειραματική τιμή τ , έχουμε:
[ ]μs285,0380,91 ±== τκλισηδ
Η θεωρητική τιμή θτ , από την σχέση 4, είναι:
[ ]μs,Rrr
LRLτ
πηνιουπηγηςολθ 41,019,8
1070,25,255010722
3
3
±=⋅++
⋅=
++==
−
μs,RR
LLR
RRτ
LLτ
τ ολολολ
ολολ
θθθ 4101
2
2
222
=
∆
−+
∆±=
∆
∂∂
+
∆∂∂
±=∆
( ) ( ) Ω=∆+∆±=
∆∂∂
+
∆
∂∂
±=∆ 00,102222
RrRR
Rr
rR
R ολολολ πηνιουπηνιου
πηνιου
Συγκρίνοντας την πειραματική τ με την θεωρητική θτ , έχουμε:
%53,14%10019,8
38,919,8%100% =⋅
−=⋅
−=
θ
θ
τττ
δ
Παρατηρούμε τα εξής: Στις πολύ χαμηλές συχνότητες η φ είναι περίπου μηδέν,
ενώ R
VI 0
0 = . Στις πολύ υψηλές συχνότητες η φ τείνει στο 2π
− και το 0I στο L
Vω
0 .
Στις ενδιάμεσες τιμές η τάση προηγείται του ρεύματος κατά 2π . Επιπλέον αν το ίδιο
ρεύμα διαρρέει τα R , L , τότε η τάση στα άκρα του πηνίου L πάντα προηγείται της
τάσης στα άκρα της R κατά 2π . Στις πολύ χαμηλές συχνότητες η L ενεργεί σαν
βραχυκύκλωμα, ενώ στις πολύ υψηλές ενεργεί σαν ανοιχτό κύκλωμα.
Ερωτήσεις:
1. Δείξτε, ότι, η ποσότητα RL έχει διαστάσεις χρόνου.
Γνωρίζουμε, ότι:
AsVH ⋅
=1
Επομένως, έχουμε:
Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός
Άσκηση 6: Κύκλωμα LR
Σελίδα 11 από 12 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980
ss
AVA
sVH
RL
==
⋅
=Ω
= −1
2. Όταν σε ένα κύκλωμα LR εφαρμόζεται μια ημιτονοειδής τάση με συχνότητα
LR
ω ολ= , ποια είναι διαφορά φάσης; Ποιος ο λόγος της τάσης στα άκρα του
πηνίου προς την εξωτερική τάση;
Έχουμε:
431tantan π
=⇔−=⇔−= φφRωLφ
Rout VV =
RL VVV +=0
( ) 21
220 LR
RVVR
ω+
=
( )212 2
21
22=+⇔=
+⇔
+=
+ out
L
out
outL
RL
out
VV
RR
VVV
RR
RVV
V
Άρα, η διαφορά φάσης, είναι:
12 −=out
L
VV
3. Δείξτε ότι παίρνοντας την παράγωγο ως προς τον χρόνο μιας ημιτονοειδούς
συνάρτησης (όπως π.χ το ( )φωt +cos ) πάντα προκύπτει ως αποτέλεσμα η
αύξηση της διαφοράς φάσης κατά 2π .
Έχουμε:
( )( ) ( )φωtωdt
φωtd+−=
+ sincos
( )
++=+−
2πφωtcossin φωt
Άρα, προκύπτει, ότι,
2πφφ' += .
Εργαστήριο Φυσικής II – Ηλεκτρομαγνητισμός
Άσκηση 6: Κύκλωμα LR
Σελίδα 12 από 12 Ομάδα 1 Ζαγοριανός Αποστόλης 3020 Ζαχαριουδάκης Νίκος 2980
4. Αν η σε σειρά εσωτερική αντίσταση του πηνίου δεν είναι αμελητέα, πώς θα αλλάζει η σχετική φάση της τάσης και του ρεύματος στο πηνίο;
Έχουμε:
RωLφ −=tan
Αν 0≠Lr , τότε:
LrRωLφ+
−=tan
5. Αν η εξωτερική τάση στην εξίσωση 6, δίδεται από την σχέση tV ωsin0 αντί της
tV ωcos0 , πώς αλλάζει η μετέπειτα ανάλυση; Θα είναι τα αποτελέσματα της εξίσωσης 6 τα ίδια ή διαφορετικά;
Οι εξισώσεις μετά την 6, θα παραμείνουν αμετάβλητες. Το μόνο που αλλάζει είναι η φάση φ , καθώς η καινούργια ΄φ θα διαφέρει από την παλιά φ κατά
2π .
6. Υποθέστε πως στο κύκλωμα του σχήματος 1, η πηγή δεν είναι συνδεμένη και
ότι συνδέεται στον χρόνο st 0= . Βρείτε το ρεύμα ως συνάρτηση του χρόνου.
Γνωρίζουμε, ότι:
0=+dtdILRI
Επιλύνοντας την παραπάνω διαφορική, έχουμε:
00=+⇔=
+I
LR
dtdI
LLdtdILRI
( ) ctLRdt
LR
eetI+−−
=∫=
( ) 00 ItI ==
( ) 00 ln0 IcIetI c =⇔===
Άρα, το ρεύμα ως συνάρτηση του χρόνου, δίδεται από την σχέση:
( ) tLR
eItI−
= 0