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DIAGRAMMI DI BODE Pag. 1 Vi Vo Calcolo dell’uscita del circuito di figura: i i i i C C o V RC j V C j RC j C j V C j R C j V X R X V ω ω ω ω ω ω + = + = + = + = 1 1 1 1 1 1 Si definisce Funzione di Trasferimento il rapporto tra Uscita ed Ingresso: [1] + = = = RC j V V j G FdT i o ω ω 1 1 ) ( - = = i o i o V V G V V G + = = G V V V G V i o i o MODULO della F. di T.: [2] = ) ( ω j G = + RC jω 1 1 2 2 2 1 1 C R ω + Se ( ) 1 1 0 2 2 2 = + = C R ω ω 1 1 1 ) ( = = ω j G Se ( ) + 2 2 2 1 C R ω ω 0 1 ) ( = = ω j G Alla frequenza = 0 il modulo di |G| vale 1 dunque |Vo|=|Vi|cioè il segnale in uscita non viene attenuato dal filtro. Ad alta frequenza il modulo di |G| vale 0 Dunque |Vo|= 0 cioè non c’è segnale in uscita. Per valori di frequenza intermedi |G| è compreso tra 0 ed 1 Dunque l’ uscita |Vo|= |G||vi| è minore dell’ingresso; in uscita si ha un segnale attenuato Il circuito è dunque un PASSA BASSO: “passano” i segnali in bassa freq. vengono attenuati quelli in alta freq.

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DIAGRAMMI DI BODE

Pag. 1

Vi Vo

Calcolo dell’uscita del circuito di figura:

iiii

C

C

o VRCj

V

Cj

RCj

CjV

CjR

CjV

XR

XV

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+=

+=

+

=+

=1

1

1

1

1

1

Si definisce Funzione di Trasferimento il rapporto tra Uscita ed

Ingresso:

[1] ⇒+

===RCjV

VjGFdT

i

o

ωω

1

1)(

∠−∠=∠

=

io

i

o

VVG

V

VG

∠+∠=∠

⋅=

GVV

VGV

io

io

MODULO della F. di T.:

[2] =)( ωjG =+ RCjω1

1

2221

1

CRω+

Se ( ) 110 222=+⇒= CRωω 1

1

1)( ==ωjG

Se ( ) ∞→+⇒∞→2221 CRωω 0

1)( =

∞=ωjG

Alla frequenza = 0 il modulo di |G| vale 1

dunque |Vo|=|Vi|cioè il segnale in uscita

non viene attenuato dal filtro.

Ad alta frequenza il modulo di |G| vale 0

Dunque |Vo|= 0 cioè non c’è segnale in

uscita.

Per valori di frequenza intermedi |G| è

compreso tra 0 ed 1

Dunque l’ uscita |Vo|= |G||vi| è minore

dell’ingresso; in uscita si ha un segnale

attenuato

Il circuito è dunque un PASSA BASSO:

“passano” i segnali in bassa freq. vengono

attenuati quelli in alta freq.

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DIAGRAMMI DI BODE

Pag. 2

FASE della F. di T.:

[3] =∠ )( ωjG ( ) ( ) =−°=+∠−∠ RCarctgRCj ωω 011 ( )RCarctg ω−

Se °=−⇒= 0)0(0 arctgω °=∠ 0))(( ωjG

Se °−=∞−⇒∞→ 90)(arctgω °−=∠ 90))(( ωjG

Alla frequenza = 0 la fase di G vale 0°

dunque fase di Vo = fase di Vi cioè il segnale in

uscita non viene sfasato dal filtro.

Ad alta frequenza la fase di G vale -90°

Dunque la fase di Vo = fase di Vi -90° cioè

l’uscita è sfasata di 90° in ritardo.

Per valori di frequenza intermedi la fase di

G è compresa tra 0 ed -90°

Dunque in uscita si ha un segnale

ritardato di un angolo compreso tra 0° e 90°.

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DIAGRAMMI DI BODE

Pag. 3

DECIBEL ED ASSI LOGARITMICI

ioVGV ⋅= esempio:

ioVV ⋅=

100

1

L’ amplificazione e l’attenuazione (in generale: Guadagno) possono essere espresse:

• come numero puro:

[4] i

o

V

VG = esempio: 01.0

100

1==G

• in decibel:

[5] GGdB

log20= esempio: dBGdB

4010log2001.0log20 2−===

Noto il guadagno in decibel, per calcolare il guadagno come numero puro:

⇒=⇒=20

loglog20 dB

dB

GGGG

[6] 2010

dBG

G =

Guadagno Guadagno Guadagno

Numero puro decibel Numero puro decibel Numero puro decibel

1 0dB 0.707 -3dB

10 20dB 0.1 -20dB 1.414 +3dB

100 40dB 0.01 -40dB 2 +6dB

1000 60dB 0.001 -60dB 0.5 -6dB

N.B.

|G|dB = 0dB corrisponde a |G| = 1

quindi iiio

VVVGV =⋅=⋅= 1 cioè uscita = ingresso

|G|dB =-3dB corrisponde a |G| ≅ 0.7 quindi ioVV ⋅= 7.0 cioè uscita = 70% ingresso

|G|dB =20dB corrisponde a |G| =10 quindi io

VV ⋅=10 cioè uscita = 10 volte ingresso

Assi logaritmici:

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DIAGRAMMI DI BODE

Pag. 4

DIAGRAMMI DI BODE

sono una rappresentazione approssimata realizzata su assi logaritmici.

Diagramma di BODE del MODULO:

2221

1log20

1

1log20)(

CRRCjjG

dBωω

ω+

=+

=

Se ωωωω2R2C2 << 1 ⇔ RC

1<<ω

in ( ) ⇒+2222221 CRtrascuroCR ωω 1log20

1

1log20)( =≅

dBjG ω = 0dB

Se ωωωω2R2C2 >> 1 ⇔ RC

1>>ω

in ( ) ⇒+ 11 222trascuroCRω

dBRCRCCR

jGdB

)log(201

log201

log20)(222

ωωω

ω −==≅

Calcoliamo la differenza tra|G| alla generica pulsazione ωωωωx >>1 e |G| 1 decade dopo cioè

in 10⋅⋅⋅⋅ωωωωx :

=−⇒−≅

−≅

dBxdBx

xdBx

xdBxjGjG

dBRCjG

dBRCjG)()10(

)10log(20)10(

)log(20)(ωω

ωω

ωω

dBCR

CRRCRC

x

xxx 20)1(20

10log20)log(20)10log(20 −=−⋅=

=+−

ω

ωωω

quindi dB

jG )( ω cala di 20dB ogni decade

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DIAGRAMMI DI BODE

Pag. 5

Approssimando, ritengo vere le considerazioni precedenti anche per:

RC

1<ω ed

RC

1>ω .

Prolungando la retta di pendenza -20dB/dec verso sinistra, toccherà l’asse delle ascisse

in RC

1=ω , infatti:

dB

CRRC

RCjG

dB

01log201

1log20)

1(

22

2==

ωωωω=1/RC prende il nome di PULSAZIONE di TAGLIO (ωωωωt)

Il valore esatto di |G| in 1/RC è:

dB

CRCR

RCjG

dB

32

1log20

11

1log20)

1(

22

22

−=

=

+

= ⇔ 707.010 20

3

==

G

Quindiio

VV 7.0≅ anziché io

VV = come indicato dal valore approssimato (0dB)

Dunque utilizzando il diagramma di Bode si compie un errore massimo pari al 30% (-

3dB) del valore esatto.

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DIAGRAMMI DI BODE

Pag. 6

DIAGRAMMA DI BODE DELLA FASE

( )RCarctgjG ωω −=∠ )(

°−=∠→∞=

°−=

−=∠→=

°=∠→=

=∠

90

4511

00

)(

ω

ω

ω

ω CRCR

arctgRC

jG

1 decade prima di 1/RC °−=

⋅−=∠→⋅= 71,5

10

11

10

1CR

CRarctg

RCω

1 decade dopo di 1/RC °−=

−=∠→⋅= 29,84

10110 CR

CRarctg

RCω

Quindi risulta accettabile approssimare l’andamento della fase a:

>→°−

≤≤

→°−

<→°

=∠

RCse

RCRCse

dec

RCse

jG

11090

110

1

10

145

1

10

10

)(

ω

ω

ω

ω

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DIAGRAMMI DI BODE

Pag. 7

DIAGRAMMI DI BODE DI CASI PARTICOLARI

Quindi una F. di T. dalla forma: ωτ

ω

ωω

jj

jG

t

+=

+

=1

1

1

1)(1 dove

tωτ

1=

τ

ω

sssG

t

+=

+

=1

1

1

1)(1 dove s = jωωωω ha il seguente diagramma di Bode:

τssG +=1)(2

)(

1)(

1

2sG

sG = →

−∠=

∠=∠

−=−===

)()(

1)(

)()(log20)(

1log20

)(

1)(

1

1

2

11

11

2

sGsG

sG

sGsGsGsG

sGdB

dB

dB

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DIAGRAMMI DI BODE

Pag. 8

τssG +=1)(2

Rappresentando G2 = 1+jωτ sul piano di

Gauss si vede che:

se ω = 0:

G2 giace sull’asse dei reali ed ha modulo 1

(0 dB) e fase 0°

se ω → ∞ :

G2 si allunga e tende alla verticale quindi

avrà modulo ∞ (∞ dB) e fase 90°

Queste considerazioni coincidono con

quanto indicato dai diagrammi di Bode

τssG −= 1)(3

Rappresentando G3 = 1-jωτ sul piano di

Gauss si vede che:

se ω = 0:

G3 giace sull’asse dei reali ed ha modulo

1 (0 dB) e fase 0°

se ω → ∞ :

G2 si allunga e tende alla verticale “in

giù” quindi avrà modulo ∞ (∞ dB) e

fase -90°

Quindi il modulo di G3 ha lo stesso

andamento del modulo di G2 mentre la

fase di G3 è “il negativo” di quella di G2

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DIAGRAMMI DI BODE

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G2

Re

Im

G3

τssG −= 1)(3

Oppure possiamo dire che G3 essendo il complesso coniugato di G2:

)()( *

23 sGsG = →

−∠=∠

=

23

23

GG

GGdBdB

Quindi:

τssG

−=

1

1)(4

−∠=∠

−=

34

34

GG

GGdBdB

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DIAGRAMMI DI BODE

Pag. 10

G5=jωτ

Re

Im τssG =)(6 Im→∈= ωτj

°=∠

=

90

log20

5

6

G

GdB

ωτ τω log20log20 +=

Ponendo:

cxy

c

x

GydB

+=

=

=

=

20

log20

log

6

τ

ω

Sul diagramma di Bode

1. Il modulo risulta essere una retta di pendenza 20 dB/dec

2. taglia l’asse y in 20logτ

3. taglia l’asse x in ω = 1/τ

Infatti:

1. Se calcolo |G6|dB in ωx ed ad 1 decade dopo cioè in 10ωx:

( ) ( ) =+−+=− τωτωωω log20log20log2010log20)()10( 66 xxdBxdBxGG

dBx

xxx 20

10log20log2010log20 ==−=

ω

ωωω

2. Per trovare l’intersezione con l’asse delle ordinate si pone logω=0 in:

τω log20log206 +=dB

G risulta τlog206 =dB

G

3. Per trovare l’intersezione con l’asse delle ascisse si pone 06 =dB

G in:

τω log20log206 +=dB

G risulta ⇒+= τω log20log200

τωωτωττω

110log0loglog =⇒=⇒=⇒=+⇒

N.B.

Dal diagramma risulta che, se logω → -∞

(cioè ωωωω →→→→ 0) ⇒|G6|dB → -∞ quindi

G6=10-∞ = 0 ⇒

Vo = 0⋅Vi = 0

a frequenza 0 l’uscita è 0

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DIAGRAMMI DI BODE

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G5

Re

Im

k>0 k<0

Re)(7 →∈= ksG

>°=∠

=

0180

00

log20

7

7

kse

kseG

kGdB

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DIAGRAMMI DI BODE

Pag. 12

DIAGRAMMI DI FUNZIONI COMPOSTE

Se la F. di T. si può esprimere come prodotto o rapporto di F. di T. più semplici di cui sono

noti i diagrammi di Bode,

)()(

)()()(

sGsG

sGsGsG

DC

BA

⋅=

dato che:

dBDdBCdBBdBAdBsGsGsGsGsG )()()()()( −−+=

)()()()()( sGsGsGsGsG DCBA ∠−∠−∠+∠=∠

i diagrammi di Bode di G si possono ottenere per via grafica sommando o sottraendo i

diagrammi di Bode delle F. di T. componenti.

Risulta però più semplice eseguire le somme: quindi è preferibile fare:

dBDdBC

dBBdBAdB sGsGsGsGsG

)(

1

)(

1)()()( +++=

∠+

∠+∠+∠=∠

)(

1

)(

1)()()(

sGsGsGsGsG

DC

BA

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DIAGRAMMI DI BODE

Pag. 13

Es. ( ) )()(11

1

1

1)( 212

11

2 sGsGsss

ssG ⋅=+⋅

+=

+

+= τ

ττ

τ → si sommano moduli e fasi di G1

e G2 anziché eseguire la sottrazione grafica di 2 G del “tipo 2” con diversa pulsazione di taglio

( 21 ττ ≠ )