Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)loukas/courses/grad/Algorithmic... ·...

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους

1 2

3 4

1 2

3 4

Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)


Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές προκύπτουν γραφήματα που είναι επίπεδα ή

σχεδόν επίπεδα (δηλαδή υπάρχουν λίγες τομές των ακμών).

Η δομή των επίπεδων γραφημάτων επιτρέπει πιο την αποδοτική επίλυση

ορισμένων προβλημάτων.

Επίπεδα Γραφήματα


Αυτό το γράφημα δεν είναι επίπεδο

1 2

4 5

3

1 2

4 5

3



α β

ζ η

ε

γ

θ

όψη επίπεδου γραφήματος: περιοχή που φράσσεται από ακμές



α β

ζ η

ε

γ

θ


εξωτερική όψη επίπεδου γραφήματος: όψη με άπειρο εμβαδό



α β

ζ η

ε

γ

θ


εξωτερική όψη επίπεδου γραφήματος: όψη με άπειρο εμβαδό

Έστω κορυφές

ακμές και

όψεις

Αν το επίπεδο γράφημα

είναι συνεκτικό τότε ισχύει

(φόρμουλα του Euler)

Επίπεδα Γραφήματα: Φόρμουλα του Euler

και όψεις ισχύει

Θεώρημα Για κάθε συνεκτικό επίπεδο γράφημα με κορυφές, ακμές


Απόδειξη

Με επαγωγή ως προς τον αριθμό των ακμών…

ή

Άρα ισχύει η βάση της επαγωγής.




Απόδειξη

Υποθέτουμε ότι ισχύει για κάθε συνεκτικό επίπεδο γράφημα με

Θα δείξουμε ότι ισχύει και για α β

ζ η

ε

θ

Αν υπάρχει κορυφή με βαθμό 1 τότε η αφαίρεση

της μαζί με την ακμή που προσπίπτει σε αυτή δίνει

επίπεδο συνεκτικό γράφημα με κορυφές,

ακμές και όψεις, άρα

γ




Απόδειξη



ζ η

ε

γ

θ



Αν υπάρχει κορυφή με βαθμό 1 τότε η αφαίρεση

της μαζί με την ακμή που προσπίπτει σε αυτή δίνει

επίπεδο συνεκτικό γράφημα με κορυφές,

ακμές και όψεις, άρα


Απόδειξη



ζ η

ε

γ

θ

Διαφορετικά, η αφαίρεση οποιαδήποτε ακμής

δίνει επίπεδο συνεκτικό γράφημα με ακμές,

κορυφές και όψεις, άρα




Απόδειξη



ζ η

ε

γ

θ



Διαφορετικά, η αφαίρεση οποιαδήποτε ακμής

δίνει επίπεδο συνεκτικό γράφημα με ακμές,

κορυφές και όψεις, άρα


Πόρισμα Αν και δεν υπάρχουν βρόχοι και παράλληλες ακμές τότε

βρόχος παράλληλες ακμές




ζ η

ε

θ

Κάθε πεπερασμένη περιοχή έχει

τουλάχιστον 3 ακμές στο σύνορο της.

Απόδειξη α β γ





ζ η

ε

θ

Κάθε πεπερασμένη περιοχή έχει


Κάθε ακμή βρίσκεται στο σύνορο το πολύ

2 περιοχών.

Επομένως

Από τη φόρμουλα του Euler

Απόδειξη α β γ





Πόρισμα Τα παρακάτω γραφήματα δεν είναι επίπεδα.






Έχουμε

Απόδειξη






Απόδειξη Ένα γράφημα είναι διμερές εάν

και

Ισχύει ότι ένα γράφημα είναι διμερές

εάν και μόνο εάν δεν έχει κύκλους

περιττού μήκους.






Είναι διμερές γράφημα και επομένως δεν έχει

κύκλους περιττού μήκους.

Άρα κάθε πεπερασμένη περιοχή έχει


Επομένως


Απόδειξη






Άρα κάθε πεπερασμένη περιοχή έχει


Επομένως


Απόδειξη

Έχουμε




Είναι διμερές γράφημα και επομένως δεν έχει

κύκλους περιττού μήκους.


Μετασχηματισμοί που δεν επηρεάζουν την «επιπεδότητα»

Διαίρεση ακμής

Σύμπτυξη ακμών



Διαίρεση ακμής

Σύμπτυξη ακμών

Ισόμορφα γραφήματα

μέχρι κορυφών βαθμού 2



Διαίρεση ακμής Σύμπτυξη ακμών

περιέχει υπογράφημα που να είναι ισόμορφο μέχρι κορυφές βαθμού 2

Θεώρημα (του Kuratowski) Ένα γράφημα είναι επίπεδο εάν και μόνο εάν δεν

με το ή το .

Ισόμορφα γραφήματα μέχρι κορυφών βαθμού 2: το ένα μπορεί να

μετασχηματιστεί στο άλλο με μία ακολουθία διαιρέσεων και συμπτύξεων.

Επίπεδα Γραφήματα: Αλγοριθμικά Θέματα

Έλεγχος επιπεδότητας

α β

ζ η

ε

γ

θ

Το γράφημα εισόδου δίνεται ως ακολουθία ακμών:

π.χ. (α,β), (β,γ), (α,ε), (β,η), (θ,ζ), (η,ε), (ζ,α), (γ,θ),

(θ,β), (ε,ζ), (η,θ), (ζ,η)

Ο έλεγχος μπορεί να γίνει σε γραμμικό χρόνο

(προσεχώς!)


Αναπαράσταση επίπεδου γραφήματος

α β

ζ η

ε

γ

θ

Αναπαράσταση με ευθείες γραμμές :

Αναθέτουμε σε κάθε κορυφή συντεταγμένες στο

επίπεδο, έτσι ώστε οι ακμές να αντιστοιχούν σε

ευθύγραμμα τμήματα που δεν τέμνονται.


Συνδυαστική αναπαράσταση :

Για κάθε κορυφή δίνουμε μια κυκλική διάταξη των

γειτονικών της ακμών, π.χ. δεξιόστροφα (κατά τη

φορά των δεικτών του ρολογιού). α β

ζ η

ε

γ

θ

α : (α,β), (α,ε), (α,ζ)

β : (β,α), (β,γ), (β,θ), (β,η)

γ : (γ,β), (γ,θ)

ε : (ε,α), (ε,η), (ε,ζ)

ζ : (ζ,α), (ζ,ε), (ζ,η)

η : (η,ζ), (η,ε), (η,β), (η,θ)

θ : (θ,η), (θ,β), (θ,γ), (θ,ζ)



α β

ζ η

ε

γ

θ

α : (α,β), (α,ε), (α,ζ)

β : (β,α), (β,γ), (β,θ), (β,η)

γ : (γ,β), (γ,θ)

ε : (ε,α), (ε,η), (ε,ζ)

ζ : (ζ,α), (ζ,ε), (ζ,η)

η : (η,ζ), (η,ε), (η,β), (η,θ)

θ : (θ,η), (θ,β), (θ,γ), (θ,ζ)

Αν ξεκινήσουμε από μια ακμή (u,v) και ακολουθήσουμε κάθε φορά την επόμενη ακμή

(v,w) στην κυκλική διάταξη του κόμβου w, τότε θα επισκεφτούμε (κυκλικά) όλες τις ακμές

μιας όψης.

Συνδυαστική αναπαράσταση :

Για κάθε κορυφή δίνουμε μια κυκλική διάταξη των

γειτονικών της ακμών, π.χ. δεξιόστροφα (κατά τη

φορά των δεικτών του ρολογιού).



Όταν μας δίνεται ένα επίπεδο γράφημα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχουμε

ένα σχέδιο του στο επίπεδο, μαζί με αντίστοιχη συνδυαστική αναπαράσταση.

Συνδυαστική αναπαράσταση

α β

ζ η

ε

γ

θ

α : (α,β), (α,ε), (α,ζ)

β : (β,α), (β,γ), (β,θ), (β,η)

γ : (γ,β), (γ,θ)

ε : (ε,α), (ε,η), (ε,ζ)

ζ : (ζ,α), (ζ,ε), (ζ,η)

η : (η,ζ), (η,ε), (η,θ)

θ : (θ,η), (θ,β), (θ,γ)

Σχέδιο στο επίπεδο




α β

ζ η

ε

γ

θ

Μπορούμε να μετατρέψουμε οποιαδήποτε

όψη σε εξωτερική: Αρκεί να αλλάξουμε την

κυκλική διάταξη ορισμένων ακμών.




α β

ζ η

ε

γ

θ




Έστω p ένα σημείο μέσα στην όψη f. Έστω

r μια ακτίνα που πηγάζει από το p και δεν

τέμνει καμία κορυφή. Αλλάζουμε το σχέδιο

της ακμής της τρέχουσας εξωτερικής όψης

που τέμνεται από την r.

p

f r







Έστω p ένα σημείο μέσα στην όψη f. Έστω

r μια ακτίνα που πηγάζει από το p και δεν

τέμνει καμία κορυφή. Αλλάζουμε το σχέδιο

της ακμής της τρέχουσας εξωτερικής όψης

που τέμνεται από την r.

α β

ζ η

ε

γ

θ

p

f r

Επίπεδα Γραφήματα: Δυϊκό Γράφημα

Έστω συνεκτικό επίπεδο γράφημα με δεδομένο σχέδιο στο επίπεδο. Το δυϊκό

γράφημα του έχει μια κορυφή για κάθε όψη του και μια ακμή

για κάθε ακμή που προσπίπτει στις όψεις και .





Κορυφή του δυϊκού γραφήματος η

οποία αντιστοιχεί στην εξωτερική όψη

του αρχικού επίπεδου γραφήματος.

• To δυϊκό γράφημα είναι επίπεδο.

• Οι ακμές που προσπίπτουν σε

μία κορυφή του αντιστοιχούν στις

ακμές μιας όψης του .

• Αν το είναι συνεκτικό τότε το δυϊκό

γράφημα του είναι το : .





Το μπορεί να μην είναι απλό γράφημα (χωρίς

βρόχους και παράλληλες ακμές) ακόμα και αν το

είναι απλό.


Για μη συνεκτικά γραφήματα έχουμε διαφορετικούς ορισμούς του δυϊκού

γραφήματος, που έχουν ορισμένα μειονεκτήματα!

Κορυφές του δυϊκού γραφήματος οι οποίες αντιστοιχούν στις

εξωτερικές όψεις των συνεκτικών συνιστωσών.

α) Ένωση των δυϊκών γραφημάτων κάθε συνεκτικής συνιστώσας : Ουσιαστικά

δεν υπάρχει εξωτερική όψη!


Για μη συνεκτικά γραφήματα έχουμε διαφορετικούς ορισμούς του δυϊκού

γραφήματος, που έχουν ορισμένα μειονεκτήματα!

Κορυφή του δυϊκού γραφήματος που αντιστοιχεί στην εξωτερική όψη.

β) Ένωση των δυϊκών γραφημάτων κάθε συνεκτικής συνιστώσας, συγχωνεύοντας

σε μία τις κορυφές που αντιστοιχούν στις εξωτερικές όψεις. Όμως !


Έστω συνεκτικό επίπεδο γράφημα με δεδομένο σχέδιο στο επίπεδο και έστω

ένα συνδετικό δένδρο του . Κάθε κύκλος του περιέχει μια ακμή

τέτοια ώστε .

Ιδιότητες


Έστω συνεκτικό επίπεδο γράφημα με δεδομένο σχέδιο στο επίπεδο και έστω

ένα συνδετικό δένδρο του . Οι δυϊκές ακμές του σχηματίζουν ένα

συνδετικό δένδρο του .

Ιδιότητες

Επίπεδα Γραφήματα: Εξωεπίπεδο Γράφημα

Μπορεί να σχεδιαστεί έτσι ώστε όλοι οι κόμβοι του να βρίσκονται στην

εξωτερική όψη.

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)loukas/courses/grad/Algorithmic... ·...

Documents

Transcript of Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)loukas/courses/grad/Algorithmic... ·...