Αριθμοθεωρητικοί...

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς

Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση

των ακεραίων.

Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο

Ο αλγόριθμος είναι πολυωνυμικού χρόνου εάν ο χρόνος εκτέλεσης είναι

πολυωνυμικός ως προς το


Σύνολο ακεραίων

Σύνολο φυσικών

Έστω ακέραιοι . Συμβολισμός: - ο διαιρεί τον

Πρώτος αριθμός : μοναδικοί διαιρέτες του:

π.χ.

Θεώρημα της διαίρεσης

Έστω ακέραιοι και . Τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι και

τέτοιοι ώστε και


Θεώρημα της διαίρεσης

Έστω ακέραιοι και . Τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι και

τέτοιοι ώστε και

πηλίκο υπόλοιπο

Κλάση ισοδυναμίας modulo n

κλάση ισοδυναμίας του

π.χ.

Για απλότητα γράφουμε όπου υπονοείται


Κοινοί διαιρέτες

Έστω και . Τότε για οποιαδήποτε

μέγιστος κοινός διαιρέτης των

Θεώρημα

Έστω το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών

δύο ακεραίων όπου τουλάχιστον ένας είναι . Τότε

Απόδειξη

Έστω και έστω

Έχουμε

Αφού , πρέπει

Ομοίως, πρέπει . Επομένως


Κοινοί διαιρέτες

Έστω και . Τότε για οποιαδήποτε

μέγιστος κοινός διαιρέτης των

Θεώρημα

Έστω το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών

δύο ακεραίων όπου τουλάχιστον ένας είναι . Τότε

Απόδειξη

Όμως και

Επομένως

Προηγουμένως δείξαμε ότι , άρα συνεπάγεται


Ιδιότητες

• και

• για οποιοδήποτε μη αρνητικό

• και

•

•


Αμοιβαία Πρώτοι Ακέραιοι

π.χ.

για κάποιους

Θεώρημα

Αν και τότε

Θεώρημα

Έστω πρώτος αριθμός. Αν τότε ή (ή και τα δύο).


Θεώρημα Μοναδικής Παραγοντοποίησης

Οποιοσδήποτε σύνθετος ακέραιος μπορεί να γραφτεί με έναν και μόνο τρόπο

ως γινόμενο της μορφής

όπου τα είναι πρώτοι αριθμοί, , και τα θετικοί ακέραιοι.

Η παραγοντοποίηση σύνθετων ακέραιων είναι δύσκολο πρόβλημα, (ειδικά για

αριθμούς της μορφής όπου μεγάλοι πρώτοι αριθμοί)


Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης

Έστω θετικοί ακέραιοι με παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς

και

Τότε



Αλγόριθμος του Ευκλείδη

Βασίζεται στον κανόνα

Ευκλείδης (300 πΧ)

int Euclid(int a, int b)

{

if b==0 return a;

return Euclid(b, a%b);

}

Euclid (128,40)=

Euclid (40,8)=

Euclid (8,0)=

8

Παράδειγμα

όπου είναι θετικοί ακέραιοι







Απόδειξη

Έστω και

Έχουμε







Ιδιότητα: Αν τότε

a mod b

a a/2 b

a mod b

a a/2 b

0

0

Απόδειξη:







Ιδιότητα: Αν τότε

a mod b

a a/2 b

a mod b

a a/2 b

0

0

χρειάζονται αναδρομικές κλήσεις

κλήσεις για αριθμούς των bits







Λήμμα: Αν και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη

πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις, τότε

και , όπου οι αριθμοί Fibonacci

Απόδειξη Με επαγωγή ως προς . Βάση

Τότε










Απόδειξη Επαγωγικό βήμα .

. Επιπλέον










Απόδειξη Επαγωγικό βήμα .

. Επιπλέον

Άρα







Θεώρημα του Lame

Για οποιοδήποτε ακέραιο , αν και

, τότε ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί

αναδρομικές κλήσεις







Θεώρημα του Lame

Για οποιοδήποτε ακέραιο , αν και

, τότε ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί

αναδρομικές κλήσεις

Χειρότερη περίπτωση:



Αλγόριθμος του Ευκλείδη - Επέκταση

Υπολογίζει τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού




Αλγόριθμος του Ευκλείδη - Επέκταση

Υπολογίζει τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού


Άρα


Πρόσθεση modulo n


Ομάδα

σύνολο στοιχείων διμελής πράξη επί του

Ιδιότητες

1. Κλειστότητα: Για όλα τα ισχύει

2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει τέτοιο ώστε

3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα , ισχύει ότι

4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε


Ομάδα


Ιδιότητες





Αβελιανή Ομάδα: Ικανοποιεί επιπλέον

5. Αντιμεταθετικότητα: Για όλα τα ισχύει


Ομάδα


Ιδιότητες





Αβελιανή Ομάδα: Ικανοποιεί επιπλέον

5. Αντιμεταθετικότητα: Για όλα τα ισχύει

Πεπερασμένη Ομάδα:


Ομάδες επί του

Έστω και

Έχουμε

Πρόσθεση modulo n :

προσθετική ομάδα modulo n

Είναι πεπερασμένη ομάδα με

Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα




Ιδιότητες

1. Κλειστότητα:

2. Ουδέτερο στοιχείο:

3. Προσεταιριστικότητα:

4. Αντίστροφο στοιχείο:

5. Αντιμεταθετικότητα:



Έστω και

Έχουμε

Πολλαπλασιασμός modulo n :

πολλαπλασιαστική ομάδα modulo n

όπου





Ιδιότητες

1. Κλειστότητα:

2. Ουδέτερο στοιχείο:

3. Προσεταιριστικότητα:


5. Αντιμεταθετικότητα:




Ιδιότητες


π.χ.

έχουμε

άρα

πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του

Διαίρεση στο :

π.χ.




π.χ.

Για πρώτο αριθμό :

Για σύνθετο αριθμό :

Συνάρτηση φ του Euler



Απλοποιημένες αναπαραστάσεις


Υποομάδες

Ομάδα Σύστημα

Αν το είναι ομάδα τότε λέμε ότι το είναι υποομάδα του

Θεώρημα

Αν το είναι πεπερασμένη ομάδα και τέτοιο ώστε

για όλα τα , τότε το είναι υποομάδα του

π.χ. και


Υποομάδες



Θεώρημα



Θεώρημα του Lagrange

Αν είναι πεπερασμένη ομάδα και είναι υποομάδα της

τότε το είναι διαιρέτης του


Υποομάδες



Θεώρημα



Θεώρημα του Lagrange

Αν είναι πεπερασμένη ομάδα και είναι υποομάδα της

τότε το είναι διαιρέτης του

Γνήσια υποομάδα

Πόρισμα Αν είναι πεπερασμένη ομάδα και είναι γνήσια υποομάδα

της τότε


Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία

Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης από ένα

που έχουμε επιλέξει

Ομάδα

π.χ.

τότε για έχουμε την ακολουθία





Ομάδα

Υποομάδα που γεννάται από το :

Από την προσεταιριστικότητα της έχουμε

π.χ. στο





Ομάδα

Υποομάδα που γεννάται από το :

Από την προσεταιριστικότητα της έχουμε

Τάξη του :

δηλαδή ο μικρότερος θετικός ακέραιος που δίνει το ουδέτερο στοιχείο

Θεώρημα Έστω πεπερασμένη ομάδα και . Τότε




Απόδειξη

Έστω άρα

Συνεπάγεται ότι για κάθε υπάρχει τέτοιο ώστε

Επομένως

Απομένει να δείξουμε ότι τα στοιχεία είναι όλα διαφορετικά

Έστω όπου . Τότε ισχύει

οπότε για έχουμε

Όμως άρα πρέπει , δηλαδή καταλήγουμε σε άτοπο




Πόρισμα

Η ακολουθία είναι περιοδική με περίοδο

Δηλαδή

Ορίζουμε

Πόρισμα Έστω πεπερασμένη ομάδα και . Τότε


Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις

Δίνονται ακέραιοι όπου

Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις της εξίσωσης





Υπό ποιες προϋποθέσεις υπάρχει λύση;

Έστω η υποομάδα της που γεννάται από το

Παρατηρούμε ότι

επομένως για να υπάρχει λύση πρέπει





Έστω η υποομάδα της που γεννάται από το . Πρέπει

Θεώρημα

Έστω , όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε

και επομένως



Θεώρημα



Απόδειξη

Έστω η τριάδα που επιστρέφει η κλήση

Άρα



Θεώρημα



Απόδειξη

Έστω η τριάδα που επιστρέφει η κλήση

Άρα

Απομένει να δείξουμε

Έστω . Τότε υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε

και . Όμως και άρα



Θεώρημα



Πόρισμα

Η εξίσωση είναι επιλύσιμη ως προς το εάν και μόνο εάν

Πόρισμα

Η εξίσωση είτε έχει διαφορετικές λύσεις modulo n

είτε καμία



Θεώρημα

Έστω , και ακέραιοι τέτοιοι ώστε

Εάν τότε μια από τις λύσεις της εξίσωσης

είναι η

Θεώρημα

Έστω , και μια λύση της εξίσωσης

Τότε αυτή η εξίσωση έχει ακριβώς λύσεις, modulo n, οι οποίες δίνονται από

τη σχέση



Πόρισμα

Για οποιοδήποτε , εάν , τότε η εξίσωση

Πόρισμα

έχει μοναδική λύση, modulo n.

Για οποιοδήποτε , εάν , τότε η εξίσωση

έχει μοναδική λύση, modulo n. Σε αντίθετη περίπτωση δεν έχει καμία λύση.

Εάν η εξίσωση έχει λύση τότε η μοναδική λύση της είναι ο

πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του

Έστω

Τότε


Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου

Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί.

Η απεικόνιση όπου και

είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός)

Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του μπορούν να μεταφερθούν

στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα.

Δηλαδή, εάν και τότε








Μετασχηματισμός : Πραγματοποιείται εύκολα με διαιρέσεις








Μετασχηματισμός :

Θέτουμε για :

Για έχουμε:

ενώ

άρα








Πόρισμα


Τότε για οποιουσδήποτε ακέραιους το σύνολο των εξισώσεων

έχει μοναδική λύση modulo n για τον άγνωστο








Πόρισμα


Τότε για οποιουσδήποτε ακέραιους

εάν και μόνο εάν


Δυνάμεις ενός στοιχείου

Ακολουθία δυνάμεων

Π.χ.

υποομάδα της που γεννάται από το με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό

τάξη του στο




Π.χ.



Εάν τότε το είναι γεννήτορας (ή αρχική ρίζα) του

Εάν το έχει γεννήτορα τότε ονομάζεται κυκλική ομάδα






Εάν τότε το είναι γεννήτορας (ή αρχική ρίζα) του

Εάν το έχει γεννήτορα τότε ονομάζεται κυκλική ομάδα

Θεώρημα

Οι τιμές του για τις οποίες η ομάδα είναι κυκλική είναι οι και

για κάθε πρώτο αριθμό και κάθε θετικό ακέραιο






Θεώρημα του Euler

Για οποιοδήποτε ακέραιο για κάθε

Θεώρημα του Fermat (Fermat’s little theorem)

Εάν ο είναι πρώτος αριθμός, τότε για κάθε


Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm)

Έστω ένας γεννήτορας του . Ο διακριτός λογάριθμος ή δείκτης του

είναι ένας αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση

διακριτός λογάριθμος του στη βάση

Θεώρημα του διακριτού λογαρίθμου

Έστω ένας γεννήτορας του . Τότε η ισότητα ισχύει


Απόδειξη

Έχουμε






Θεώρημα του διακριτού λογαρίθμου

Έστω ένας γεννήτορας του . Τότε η ισότητα ισχύει


Απόδειξη

Έχουμε άρα η ακολουθία δυνάμεων του

έχει περίοδο . Επομένως






Θεώρημα

Αν ο είναι περιττός πρώτος αριθμός και τότε οι μοναδικές λύσεις της

εξίσωσης είναι

Απόδειξη Έστω γεννήτορας του Τότε

Έχουμε

άρα υπάρχουν 2 λύσεις



Αν και ικανοποιεί την εξίσωση τότε ο

είναι μη τετριμμένη τετραγωνική ρίζα του

Πόρισμα

Εάν υπάρχει μη τετριμμένη τετραγωνική ρίζα του τότε ο αριθμός

είναι σύνθετος

Το παραπάνω πόρισμα χρησιμοποιείται για τον έλεγχο αν ο είναι πρώτος


Υπολογισμός δύναμης με επαναληπτικό τετραγωνισμό

Γρήγορος υπολογισμός του

Έστω η δυαδική αναπαράσταση του

Πριν την κάθε επανάληψη του βρόχου


Κρυπτογράφηση

Bob Alice

Eavesdropper

κρυπτογράφηση αποκρυπτογράφηση


Κρυπτοσύστημα Δημόσιου Κλειδιού

Bob Alice

Eavesdropper

κρυπτογράφηση αποκρυπτογράφηση

Κάθε συμμετέχων έχει ένα δημόσιο κλειδί και ένα κρυφό κλειδί


Κρυπτοσύστημα Δημόσιου Κλειδιού

Bob

• Προμηθεύεται το δημόσιο κλειδί της Alice

• Υπολογίζει το κρυπτογράφημα

• Στέλνει το στην Alice

Alice

• Λαμβάνει το

• Εφαρμόζει το κρυφό της κλειδί

• Υπολογίζει το αρχικό μήνυμα


Ψηφιακή Υπογραφή

υπογραφή επαλήθευση

αποδοχή

Bob Alice

Κάθε συμμετέχων έχει ένα δημόσιο κλειδί και ένα κρυφό κλειδί


Bob

• Προμηθεύεται το δημόσιο κλειδί της Alice

• Υπολογίζει τo

• Εάν τότε αποδέχεται το μήνυμα

Alice

• Θέλει να στείλει ένα ψηφιακά υπογεγραμμένο μήνυμα

• Υπολογίζει την ψηφιακή της υπογραφή

• Στέλνει το ζεύγος μήνυμα/υπογραφή

Ψηφιακή Υπογραφή


Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman)

Διαδικασία υπολογισμού δημόσιου κλειδιού και κρυφού κλειδιού

1. Επιλέγει τυχαία δύο μεγάλους πρώτους αριθμούς

2. Υπολογίζει το γινόμενο

3. Επιλέγει μικρό περιττό ακέραιο αμοιβαία πρώτο με το

4. Υπολογίζει το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του

5. Δημοσιοποιεί ως προσωπικό δημόσιο κλειδί το ζεύγος

6. Κρατάει μυστικό ως προσωπικό κρυφό κλειδί το ζεύγος

Κρυπτογράφηση :

Αποκρυπτογράφηση :



Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA)

Οι εξισώσεις και ορίζουν

αντίστροφους μετασχηματισμούς στο :






Απόδειξη

Έχουμε

όπου

για κάποιον ακέραιο .

Έστω . Τότε

Όμως , άρα






Απόδειξη

Έχουμε

όπου


Έστω . Τότε

Όμως , άρα

Έστω . Τότε και πάλι






Απόδειξη

Έχουμε

όπου


Άρα δείξαμε ότι για κάθε

Ομοίως έχουμε, για κάθε

Από το κινέζικο θεώρημα υπολοίπου συνεπάγεται


Έλεγχος Πρώτευσης

Πως μπορούμε να ελέγξουμε αποδοτικά εάν ένας ακέραιος είναι πρώτος;

πλήθος πρώτων αριθμών Συνάρτηση κατανομής πρώτων αριθμών

Θεώρημα των πρώτων αριθμών

Ένας τυχαία επιλεγμένος αριθμός έχει πιθανότητα να είναι πρώτος

Απλοϊκός έλεγχος πρώτευσης : Επιχειρούμε να διαιρέσουμε το με κάθε

ακέραιο


Έλεγχος Ψευδοπρώτευσης

Εάν ο είναι πρώτος τότε

τότε ονομάζεται ψευδοπρώτος ως προς βάση

Εάν ο είναι σύνθετος αλλά ικανοποιεί την σχέση

Εάν για κάθε είναι πρώτος

Γρήγορος έλεγχος : Επιλέγουμε και ελέγχουμε αν

Αν δεν ισχύει δηλώνουμε ότι σύνθετος

Διαφορετικά δηλώνουμε ότι πρώτος







Γρήγορος έλεγχος : Επιλέγουμε και ελέγχουμε αν

Αν δεν ισχύει δηλώνουμε ότι σύνθετος

Διαφορετικά δηλώνουμε ότι πρώτος

υπάρχει (μικρή)

πιθανότητα

σφάλματος







Αριθμοί Carmichael : Σύνθετοι αριθμοί που ικανοποιούν για κάθε


Έλεγχος Πρώτευσης Miller-Rabin

όπου και περιττός ακέραιος

Η παραπάνω ρουτίνα ελέγχει αν ο αποδεικνύει ότι ο είναι σύνθετος

Εκτελεί την ακόλουθη ρουτίνα για τυχαίες τιμές του



όπου και περιττός ακέραιος

Εκτελεί την ακόλουθη ρουτίνα για τυχαίες τιμές του

Η παραπάνω ρουτίνα ελέγχει αν ο αποδεικνύει ότι ο είναι σύνθετος

Αν καμία κλήση δεν επιστρέψει τότε ο είναι πρώτος με μεγάλη πιθανότητα



Αν μια τιμή του δεν αποτελεί τεκμήριο ότι ο είναι σύνθετος τότε

Επιπλέον μπορεί να δειχθεί ότι όπου υποομάδα της

Άρα από το θεώρημα του Lagrange

Επομένως, η πιθανότητα ο να μην αποτελεί τεκμήριο ότι ο είναι σύνθετος

είναι , άρα μετά από δοκιμές τυχαίων τιμών του

Αριθμοθεωρητικοί...

Documents

Transcript of Αριθμοθεωρητικοί...