Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Μονοπάτια και κύκλοι

Θεωρία ΓράφωνΘεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-

Εφαρμογές

Κεφάλαιο 2: Μονοπάτια Και Κύκλοι


Εισαγωγή (1)

• Περίπατος (walk): ακολουθία από κορυφές και ακμές, που αρχίζει και τελειώνει με κορυφή, έτσι ώστε η ακμή ej να προσπίπτει στις κορυφές vj και vj+1, για

• Ίχνος (trail): περίπατος που μια ακμή δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά.

• Μονοπάτι (path): ίχνος που μια κορυφή δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά (δεν τέμνεται με τον εαυτό του και δεν περιέχει βρόχους).

• Αρχή-τέρμα περιπάτου, ίχνους, μονοπατιού

• Τερματικές και εσωτερικές κορυφές

),,...,,,,( 12211 ii veevevW

ij 1



e5

e3

e1

e6

e4e2

v4v3

v2v5

v1

e7e8

ΠερίπατοςΊχνοςΜονοπάτι

),,,,,,,,( 322543322 vevevevev),,,,,,,,( 562233452 vevevevev

),,,,( 54452 vevev



• Αρχή=τέρμα: κλειστό ίχνος (κύκλωμα), κλειστό μονοπάτι (κύκλος)

• Αρχή<>τέρμα: ανοικτό ίχνος, μονοπάτι• Κάθε κύκλος είναι κύκλωμα, ενώ κάθε κύκλωμα

δεν είναι απαραίτητα κύκλος• Τα δένδρα είναι άκυκλοι συνδεδεμένοι γράφοι,

ενώ δάσος είναι ένας γράφος που έχει ως συνιστώσες δένδρα



e5

e3

e1

e6

e4e2

v4v3

v2v5

v1

e7e8

ΚύκλωμαΚύκλος

),,,,,,,,,,,,( 2117562233452 vevevevevevev),,,,,,( 2654452 vevevev



• Δύο μονοπάτια λέγονται ξένα ως προς τις ακμές, αν δεν έχουν καμία κοινή ακμή (παρότι μπορεί να τέμνονται).

• Δύο κορυφές ονομάζονται συνδεδεμένες αν υπάρχει κάποιο μονοπάτι από τη μια κορυφή στην άλλη.

• Δεχόμαστε ότι κάθε κορυφή είναι συνδεδεμένη με τον εαυτό της.



e5

e3

e1

e6

e4e2

v4v3

v2v5

v1

e7e8

Μονοπάτια ξένα ως προς τις ακμές και

),,,,( 45211 vevev),,,,( 56223 vevev


Αποστάσεις (1)• Μήκος περιπάτου, ίχνους, μονοπατιού: αριθμός

ακμών που περιέχονται• Μονοπάτι μήκους n: Pn

• Ένας κύκλος μήκους k λέγεται άρτιος ή περιττός αν το k είναι άρτιο ή περιττό αντίστοιχα

• Απόσταση dist(u,v): μήκος συντομότερου μονοπατιού από τη u στη v (γεωδεσικό μονοπάτι)

• Μη αρνητικότητα: dist(u,v)>0 (dist(u,v)=0, αν u=v)

• Συμμετρική: dist(u,v)=dist(v,u)• Ανισοϊσότητα τριγώνου: dist(u,v)+dist(v,z)>=dist(u,z)


Αποστάσεις (2)

• Εκκεντρικότητα (eccentricity) μιας κορυφής v: η απόσταση από την κορυφή v προς την πλέον απομακρυσμένη κορυφή του γράφου

• Κέντρο ενός συνδεδεμένου γράφου G ονομάζεται ο υπογράφος που επηρεάζεται από το σύνολο των κορυφών του G με την ελάχιστη εκκεντρικότητα

)()),,(max()( GVuuvdistvE



• Θεώρημα: κάθε γράφος είναι κέντρο ενός συνδεδεμένου γράφου

Δοθέντος γράφου Η, κατασκευάζουμε υπεργράφο G, όπου οι v1 και v2 ενώνονται προς όλες τις κορυφές του H. Στο γράφο G, η εκκεντρικότητα κάθε κορυφής v είναι Ε(v)=2, ενώ ακόμη ισχύει Ε(v1)=Ε(v2)=3 και Ε(u1)=Ε(u2)=4. Συνεπώς ο υπογράφος H είναι κέντρο του γράφου G.

v2u1 v1

Hu2



• Ακτίνα: η εκκεντρικότητα των κορυφών του κέντρου (rad(G)=min(E(v)))

• Διάμετρος: η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο κορυφών (diam(G)=max(E(v)))

• Ποια η διάμετρος των Kn, Wn, Pn, Km,n?


Αποστάσεις (5)3

33

3 2

2

3

3

33

Κέντρο Γράφου: 2 κορυφέςΑκτίνα: 2Διάμετρος: 3



10 10

2

10

8 10 11

11

3

1

2

1

7

4

5

6

Κέντρο Γράφου: 1 κορυφή με εκκεντρότητα 8• Εφαρμογή: Αν ένας γράφος αναπαριστά μια αστική περιοχή,

τότε μία κρατική υπηρεσία πρέπει να τοποθετηθεί στην περιοχή που αντιστοιχεί στο κέντρο του γράφου.



• Θεώρημα: rad(G) <= diam(G) <= 2rad(G)

Η αριστερή ανισοϊσότητα είναι προφανής από τους ορισμούς της ακτίνας και της διαμέτρου.

Για να αποδείξουμε τη δεξιά ανισοϊσότητα ας θεωρήσουμε δύο κορυφές έτσι ώστε

Επιπλέον, έστω ότι z είναι μία κορυφή έτσι ώστε το μεγαλύτερο γεωδεσικό μονοπάτι από την z να έχει ακτίνα rad(G). Με βάση την ανισοϊσότητα τριγώνου

)(, GVyx )(),( Gdiamyxdist

)(2),(),(),()( GradyzdistzxdistyxdistGdiam



• Εφαρμογή: Από το κεντρικό ταχυδρομείο μιας πόλης η αλληλογραφία μεταφέρεται στα περιφερειακά γραφεία με ένα όχημα, ενώ από εκεί μεταφέρεται με τους διανομείς στις κατοικίες. Το όχημα μπορεί να μεταφέρει την αλληλογραφία ενός μόνο περιφερειακού γραφείου κάθε φορά. Στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των αποστάσεων που το όχημα πρέπει να καλύψει από το κεντρικό προς το σύνολο των περιφερειακών ταχυδρομείων.

• Απόσταση μιας κορυφής v, dist(v), ζυγισμένου γράφου G ονομάζουμε το άθροισμα των αποστάσεων της κορυφής v από όλες τις υπόλοιπες κορυφές του G.

• Μέσο ενός γράφου είναι ο υπογράφος που επηρεάζεται από το σύνολο των κορυφών με ελάχιστη απόσταση.



26 26

2

38

29 35 59

31

3

1

2

1

7

4

5

6

Οι επιγραφές των κορυφών αντιπροσωπεύουν τις αντίστοιχες αποστάσεις.Το μέσο του γράφου είναι ο υπογράφος που επηρεάζεται από τις κορυφές με επιγραφή 26.



• Η n-οστή δύναμη ενός γράφου G(V,E) είναι ένας γράφος που συμβολίζεται με και αποτελείται από το ίδιο σύνολο κορυφών V, ενώ δύο κορυφές u και v ενώνονται με μία ακμή στον , αν για τις κορυφές αυτές στο

γράφο G ισχύει η σχέση:

nG

nGnvudist ),(1


Γράφοι Euler (1)

• Leonard Euler, Ελβετός, πατέρας Θεωρίας Γράφων, 1736 πρόβλημα γεφυρών Koenigsburg

• Πρόβλημα: είναι δυνατόν σε κάθε γράφο να βρεθεί κύκλωμα (=κλειστό ίχνος) που να περνά από όλες τις ακμές?

• Γράφος Euler: περιέχει γραμμή Euler• Γράφος ημι-Euler: περιέχει ανοικτό ίχνος Euler



όχι γράφος Euler ημι-Euler γράφος Eulerή ημι-Euler



Γέφυρες του Konigsberg

A B

C

D

A B

C

D



• Θεώρημα: Ένας συνδεδεμένος απλός γράφος G(V,E) είναι γράφος Euler αν και μόνο αν δεν έχει κορυφές περιττού βαθμού. Είναι γράφος ημι-Euler αν και μόνο αν έχει ακριβώς δύο κορυφές περιττού βαθμού.Οι συνθήκες είναι αναγκαίες γιατί προφανώς αν υπάρχει ένα ίχνος Euler, τότε ο γράφος πρέπει να είναι συνδεδεμένος και ο αριθμός των κορυφών περιττού βαθμού να είναι 0 (αντίστοιχα 2). Σε διαφορετική περίπτωση δε θα υπήρχε δυνατότητα να περάσει ένα ίχνος από όλες τις ακμές (από μία τουλάχιστο θα περνούσε δύο φορές, οπότε δε θα ήταν ίχνος).


Γράφοι Euler (5)Οι συνθήκες είναι και ικανές γιατί:Ισχύουν προφανώς για |Ε|=2Έστω ότι ισχύουν και για |Ε|>2

Ας θεωρήσουμε έναν περίπατο W ξεκινώντας από μία κορυφή vi. Έστω ότι ο περίπατος W θέλουμε να περνά από διάφορες κορυφές, έως ότου φτάσει σε μία κορυφή vj χωρίς αχρησιμοποιήτες ακμές (θεωρούμε vi = vj αν δεν υπάρχει κορυφή περιττού βαθμού).Έστω λοιπόν ότι υπάρχουν αχρησιμοποίητες ακμές. Αν οι χρησιμοποιημένες ακμές αγνοηθούν, τότε απομένει ένας υπογράφος G’ που δεν είναι απαραίτητα συνδεδεμένος.Συνάγεται ότι ο υπογράφος G’ περιέχει μόνο κορυφές άρτιου βαθμού και σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής κάθε συνιστώσα του περιέχει ένα ίχνος Euler.Εφόσον ο γράφος G είναι συνδεδεμένος πρέπει ο περίπατος W να περνά τουλάχιστον από μία κορυφή κάθε συνιστώσας του G’. Συνεπώς, μπορεί να κατασκευασθεί ένα ίχνος Euler για το γράφο G εισάγοντας στον περίπατο και τα ίχνη των συνιστωσών του υπογράφου.



• Για να ελέγξουμε αν ένας γράφος είναι γράφος Euler ελέγχουμε πρώτα αν είναι συνδεδεμένος (με μία αναζήτηση προτεραιότητας πλάτους) και μετά αν όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό (Ο(|Ε|)).

• Θεώρημα: Ένας συνδεδεμένος απλός γράφος G(V,E) είναι γράφος Euler αν και μόνο αν κάθε ακμή ανήκει σε περιττό αριθμό κύκλων.


Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (1)

• Απλοϊκή μέθοδος: Ξεκινάμε από οποιαδήποτε κορυφή και προχωράμε λαμβάνοντας οποιαδήποτε ακμή δεν έχει ακόμη εξετασθεί.

• Δεν υπάρχει εγγύηση ότι με τη μέθοδο αυτή μπορούμε πάντα να βρούμε ένα ίχνος Euler.

• Ένας γράφος ονομάζεται αυθαίρετα εξιχνιάσιμος από την κορυφή v αν είναι βέβαιο ότι μπορούμε να σχηματίσουμε ένα ίχνος Euler από την κορυφή αυτή.



Αυθαίρετα αυθαίρετα δεν είναι αυθαίρεταεξιχνιάσιμος εξιχνιάσιμος εξιχνιάσιμος απόμόνο από την από κάθε κορυφή κάθε κορυφήκεντρική κορυφή



• Αλγόριθμοι:– Fleury (<1921): με σταδιακή επέκταση του ίχνους Τ

αποφεύγοντας τις γέφυρες (αποκόπτουσε ακμές) στον υπογράφο G-T, εκτός αν δεν υπάρχει άλλη επιλογή

– Hierholtzer (1873): με συγκόλληση από επιμέρους ίχνη

– Tucker (1976): με διάσπαση κορυφών ώστε να σχηματιστούν ξένοι επιμέρους κύκλοι, και συγκόλληση κύκλων



Αλγόριθμος Fleury1. Επιλέγουμε μία κορυφή ως πρώτη κορυφή

του ίχνους. Θέτουμε και 2. Έστω το ίχνος

Από την κορυφή vi επιλέγεται τυχαία μία ακμή που δεν είναι αποκόπτουσα στον υπογράφο εκτός αν δεν υπάρχει άλλη επιλογή.Ορίζεται το ίχνοςΘέτουμε

3. Αν i=|E|, τότε C=Ti, είναι ένα ίχνος Euler,αλλιώς πήγαινε στο βήμα 2.

Vv 0)( 00 vT 0i

),,...,,,( 110 iii vevevT ii Te 1

)( iTEG

),,( 111 jjii veTT1 ii


Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (5)Παράδειγμα Αλγόριθμου Fleury

• Βήμα 1ο: 1

• Βήμα 2ο: επιλέγεται τυχαία η 2. Ίχνος 1, 2

• Βήμα 3ο: επιλέγεται τυχαία η 6. Ίχνος 1, 2, 6

• Βήμα 4ο-5ο: δεν μπορεί να επιλεγεί η 1 γιατί

στον υπογράφο G-(1,2)-(2,6) είναι αποκόπτουσα

Ίχνος 1, 2, 6, 5, 3

• Βήμα 6ο-9ο: δεν μπορεί να επιλεγεί η 6 γιατί

στον υπογράφο G-(1,2)-(2,6)-(6,5)-(5,3) η (3,6)

είναι αποκόπτουσα

Ίχνος 1,2,6,5,3,4,5,2,3

• Βήμα 10ο: επιλέγεται αναγκαστικά η 6

Ίχνος 1,2,6,5,3,4,5,2,3,6

• Βήμα 11ο: επιλέγεται η 1 αναγκαστικα. Ίχνος 1,2,6,5,3,4,5,2,3,6,1



Αλγόριθμος Hierholtzer

1. Επιλέγουμε μία κορυφή και δημιουργείται ένα ίχνος C0 λαμβάνοντας κάθε φορά οποιαδήποτε ακμή Θέτουμε

2. Αν , τότε είναι ένα ίχνος Eulerαλλιώς επιλέγεται μία κορυφή vi του Ci που είναι προσκείμενη σε ακμή

και η διαδικασία προχωρεί κτίζοντας ένα άλλο ίχνος Ci’ με αρχή την κορυφή vi και μέσα στον υπογράφο

3. Από τα ίχνη Ci, Ci’ δημιουργείται ένα υπερ-ίχνος Ci+1 ξεκινώντας από την κορυφή vi-1, διασχίζοντας το ίχνος Ci, συνεχίζοντας στο ίχνος Ci’ και τελειώνοντας στην κορυφή vi

ΘέτουμεΠηγαίνουμε στο βήμα 2.

Vv0C

0i)()( GECE i iCC

iC)( iCEG

1 ii



• Παράδειγμα αλγορίθμου Hierholtzer• Αρχικά:

– 1261– 23652– 3543

• Ενώνουμε διαδοχικά:– 12365261

• Τελικά:– 12354365261



Αλγόριθμος Tucker1. Διασπούμε τις κορυφές του G μέχρι να υπάρξουν κορυφές βαθμού 2

Ο γράφος που προκύπτει ονομάζεται G1.Θέτουμε Έστω ότι ci είναι ο αριθμός των συνιστωσών του γράφου Gi.

2. Αν ci=1, τότε C=Gi είναι ένα ίχνος Euler,

αλλιώς αναζητώνται δύο συνιστώσες Τ και T’ του Gi με κοινή την κορυφή vi.

Σχηματίζεται το ίχνος Ci+1 αρχίζοντας από την κορυφή vi, διασχίζοντας τις συνιστώσες Τ και Τ’ και καταλήγοντας πάλι στην vi.

1. Ορίζεται ο γράφος

Θεωρείται ότι το ίχνος Ci+1 είναι συνιστώσα του υπογράφου Gi+1

Θέτουμε Τ=Ci+1 και

Έστω ότι ci είναι ο αριθμός των συνιστωσών του υπογράφου Gi

Πηγαίνουμε στο Βήμα 2

1i

1'

1 , iii CTTGG

1 ii



• Παράδειγμα για τον αλγόριθμό Tucker



• Αρχικά:– 1251– 5465– 2342

• Τελικά:– 123425465


Πρόβλημα Κινέζου Ταχυδρόμου (1)

• Τέθηκε από κινέζο μαθηματικό (1962)

• Πρόβλημα: ένας ταχυδρόμος ξεκινάει από το γραφείο του, επισκέπτεται όλους τους δρόμους και επιστρέφει στο γραφείο του. Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή?

• Θεωρούμε απλό γράφο και αναζητούμε ένα ίχνος Euler. Αν ο γράφος δεν είναι Euler, τότε πρέπει κάποιες γραμμές να διασχισθούν περισσότερο από μία φορές. Πόσες?

• Το μήκος l της βέλτιστης λύσης είναι |Ε| <= 1 <= 2|Ε|


Πρόβλημα Κινέζου Ταχυδρόμου (2)

• Έστω ότι ένας ζυγισμένος γράφος G με βάρη τα μήκη των μεταξύ των κορυφών διαδρομών, δεν είναι γράφος Euler.

• Σύμφωνα με θεώρημα που είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο, ο αριθμός των κορυφών περιττού βαθμού είναι άρτιος. Έτσι, όλα τα ζεύγη των κορυφών περιττού βαθμού ενώνονται με μία ακμή με βάρος ίσο προς το μήκος του συντομότερου μεταξύ τους μονοπατιού. Έτσι, ο γράφος γίνεται γράφος Euler.

• Στην τελική λύση, οι ακμές που τοποθετήθηκαν εκ των υστέρων πρέπει να αντικατασταθούν με το αντίστοιχο μονοπάτι.

• Η αρχική φάση εύρεσης των συντομότερων μονοπατιών απαιτεί την εφαρμογή του σχετικού αλγορίθμου του Dijkstra πολυπλοκότητας O(n2), όπου n το πλήθος των κορυφών περιττού βαθμού.

• Υπάρχουν πάντως και πιο αποτελεσματικές λύσεις.


Γράφοι Hamilton (1)

• Sir William Rowan Hamilton, Ιρλανδός, 1856 «Γύρος του κόσμου», 12εδρο

• Πρόβλημα: είναι δυνατόν σε κάθε γράφο να βρεθεί κύκλος (=κλειστό μονοπάτι) που να περνά από όλες τις κορυφές?

• Γράφος Hamilton, κύκλος, μονοπάτι• Ψυχαγωγικά προβλήματα• Κίνηση ίππων (knight tour)



• Eξιχνιάσιμος Hamilton (έχει μονοπάτι Hamilton)

• Oμογενώς Hamilton εξιχνιάσιμος (εξιχνιάσιμος από κάθε κορυφή)

• Γράφος υπο-Hamilton αν δεν είναι Hamilton αλλά ο γράφος G-v είναι Hamilton για κάθε κορυφή v του G

• Συνδεδεμένος κατά Hamilton (δύο οποιεσδήποτε κορυφές συνδέονται με ένα μονοπάτι Hamilton)

• Κάθε γράφος συνδεδεμένος κατά Hamilton με αριθμό κορυφών ίσο ή μεγαλύτερο του 3, είναι γράφος Hamilton. Το αντίθετο δεν ισχύει.



• Κάθε κύκλος Hamilton είναι ένας 2-παράγοντας, επειδή κάθε κύκλος Hamilton είναι ένας ζευγνύων υπογράφος που είναι και τακτικός βαθμού 2.

• Κάθε 2-παράγοντας δεν είναι κατ΄ ανάγκη κύκλος Hamilton.

Κύκλος Hamilton C=(v1,v2,v3,v4,v8,v7,v6,v5,v1)

2-παράγοντας (όχι Hamilton) οι συνιστώσες: (v1,v2,v6,v5,v1) και (v3,v4,v8,v7,v3)

v1 v2

v5 v6

v7v8

v3v4



• Πρόβλημα: ποιά είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε να είναι ένας γράφος Hamilton? (NP-complete)

• Θεώρημα: κάθε πλήρης γράφος είναι Hamilton• Θεώρημα: κάθε πλήρης γράφος έχει (n-1)/2

Hamilton κύκλους ξένους ως προς ακμές• Θεώρημα: κάθε απλός γράφος με n>=3 και

d(G)>=n/2 είναι Hamilton



• Θεώρημα: κάθε απλός γράφος με n>=3 και d(x)+d(y)>=n για κάθε ζεύγος μη γειτονικών κορυφών x,y είναι γράφος Hamilton

• Θεώρημα: κάθε απλός γράφος με n>=3 και d(x)+d(y)>=n για δύο διακριτές μη γειτονικές κορυφές x,y είναι Hamilton, αν ο γράφος G+(x,y) είναι Hamilton

• Κλείσιμο γράφου είναι ένας γράφος c(G) με επιπλέον ακμές για τα ζεύγη μη γειτονικών ακμών x και y, όπου ισχύει d(x)+d(y)>=n.

• Θεώρημα: κάθε απλός γράφος είναι γράφος Hamilton, αν και μόνον αν το κλείσιμό του είναι Hamilton.



G c(G)


Αλγόριθμος εύρεσης κύκλων Hamilton (1)

• To (i,j) στοιχείο της k-οστής δύναμης του πίνακα γειτνιάσεων δίνει τον αριθμό μονοπατιών μήκους k που συνδέουν τις δύο κορυφές i και j.

• Θεωρούμε τον κατευθυνόμενο γράφο τουσχήματος και τον πίνακα γειτνιάσεων,όπου αντί για μονάδες έχει ως στοιχείατις συμβολοσειρές ij αν οι κορυφές i και jείναι γειτονικές.

• Θεωρούμε επίσης έναν πίνακα, που προκύπτει από τον προηγούμενο πίνακα, θέτοντας για κάθε μη μηδενικό στοιχείο του στην αντίστοιχη θέση του νέου πίνακα, μόνο το δεύετερο σύμβολο της συμβολοσειράς ij.



0 0 ABC 0 0

0 0 0 BCD BCE

CEA CEB 0 CED CDE

DEA DEB 0 0 0

0 EAB EBC 0 0

0 B 0 0 0

0 0 C 0 0

0 0 0 D E

0 0 0 0 E

A B 0 D 0

0 0 0 ABCED ABCDE

BCDEA 0 0 0 0

0 CDEAB 0 0 0

0 0 DEABC 0 0

0 0 0 EABCD 0

0 ΑB 0 0 0

0 0 ΒC 0 0

0 0 0 CD CE

0 0 0 0 DE

EA EB 0 ED 0

M1 M M2

M4

Mj=Mj-1*MΌπου το * δηλώνει παράθεση των αντιστοίχων στοιχείων των δύο πινάκων αν κανένα από τα δύο στοιχεία δεν είναι μηδενικάκαι το σύμβολο του πίνακα Μ δεν συμπεριλαμβάνεται στην αντίστοιχη συμβολοσειρά του Mj-1



• Αν στην k δύναμη του πίνακα προκύψουν μονοπάτια τέτοια έτσι ώστε να υπάρχει ακμή που να ενώνει το πρώτο και το τελευταίο σύμβολο κάθε συμβολοσειράς, τότε αυτά είναι μονοπάτια Hamilton.

• Το πρόβλημα αυτό μπορεί να λυθεί εναλλακτικά χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο που στηρίζεται στη φιλοσοφία της Οπισθοδρόμησης, του Δυναμικού Προγραμματισμού ή της μεθόδου της Διακλάδωσης με Περιορισμό από τη Θεωρία Αλγορίθμων.


Περιοδεύων Πωλητής

• Ευκλείδειος γράφος: όταν ισχύει η ανισοϊσότητα του τριγώνου

• Πρόβλημα: με ποια σειρά πρέπει να επισκεφθεί τις πόλεις ο πωλητής και να επιστρέψει στη δική του διανύοντας τη μικρότερη δυνατή συνολική απόσταση;

• Χρησιμοποιούμε ένα ζυγισμένο απλό γράφο.

• Αν ο γράφος δεν είναι Ευκλείδειος, τότε μπορεί ο πωλητής να περνά από την ίδια πόλη περισσότερες από μία φορές και μία τέτοια λύση μπορεί να είναι η βέλτιστη.

• Σε διαφορετική περίπτωση το πρόβλημα ανάγεται σε πρόβλημα εύρεσης κύκλων Hamilton με το ελάχιστο βάρος.


Περιοδεύων Πωλητής (2)

• Σε έναν πλήρη γράφο ο συνολικός αριθμός κύκλων Hamilton ισούται με

Αυτό προκύπτει αν θεωρήσουμε ότι από την αρχική πόλη ο πωλητής μπορεί να μεταβεί σε n-1 πόλεις, από κει σε n-2, σε n-3 κ.λ.π. και λάβουμε υπόψη ότι με τον τρόπο αυτό κάθε μονοπάτι προσμετράται δύο φορές.

• Η λύση όμως ενός πορβλήματος αυτού του μεγέθους έχει πολυπλοκότητα O(nn), είναι δηλαδή δυσχείριστο.

• Ακόμη όμως και αν χρησιμοποιηθεί η μέθοδος του δυναμικού προγραμματισμού ή η μέθοδος της διακλάδωσης με περιορισμό η πολυπλοκότητα του προβλήματος παραμένει μεγάλη: O(n22n).

2/)!1( n

Μονοπάτια και κύκλοιΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Για Το Προβλήματος Περιοδεύοντος Πωλητή (1)

• Επίλυση με ευριστικές υποβέλτιστες λύσεις

• Μέτρο σύγκρισης είναι η ποσότητα 1<L/Lopt=a



Μέθοδος του πλησιέστερου γείτονα1. Θέτουμε

Επιλέγουμε μία τυχαία κορυφή v0 και θεωρούμε το μονοπάτι Pi=v0

2. Αν i=n, τότε C=Pn είναι ένας κύκλος Hamilton,αλλιώς αναζητείται η ακμή e με το μικρότερο βάρος ώστε να προσπίπτει σε μία από τις δύο τερματικές κορυφές του Pi και αν είναι δυνατόν, να μη δημιουργείται κύκλος με τις κορυφές του Pi.

3. Σχηματίζεται το μονοπάτι ΘέτουμεΠηγαίνουμε στο βήμα 2.

Έχει αποδειχθεί ότι α=(|ln n|+1)/2 και άρα για μεγάλα n έχει σημαντική απόκλιση από τη βέλτιστη λύση

1i

)(1 ePP ii 1 ii



Μέθοδος της μικρότερης εισαγωγής1. Θέτουμε

Επιλέγουμε μία τυχαία κορυφή v0 και θεωρούμε το μονοπάτι Ci=v0

2. Αν i=n, τότε C=Cn είναι ένας κύκλος Hamilton,

αλλιώς αναζητείται μία κορυφή vi που δεν υπάρχει στον κύκλο Ci και είναι πλησιέστερα προς ένα ζεύγος διαδοχικών κορυφών

του Ci.

3. Σχηματίζεται ο κύκλος Ci+1 εισάγοντας την κορυφή vi μεταξύ των wi και wi+1 ΘέτουμεΠηγαίνουμε στο βήμα 2.

Στο βήμα 2 ελαχιστοποιείται η ποσότηταΑπλούστερη εκδοχή: αναζητείται εκείνη η κορυφή που ελαχιστοποιεί την

Έχει αποδειχθεί ότι α<=2 και η πολυπλοκότητα του συγκεκριμένου αλγορίθμου είναι O(n3).

1i

1, ii ww

1 ii

),(),(),( 11 iiiiii wwdistwvdistwvdist),( ii vwdist



Προσεγγιστική μέθοδος στηριζόμενη στα ελάχιστα ζευγνύωντα δένδρα

1. Βρίσκουμε ένα ελάχιστο ζευγνύων δένδρο Τ του G.

2. Εκτελούμε μία αναζήτηση με προτεραιότητα βάθους.

Αν από μία κορυφή v0 προσπελασθεί η v1, τότε η διαδικασία συνεχίζεται προς κάποια νέα γειτονική κορυφή της v1 και όχι της v0. Αν προσεγγισθεί κάποια κορυφή από όπου είναι αδύνατο η διαδικασία να συνεχισθεί σε μία μη ήδη επισκεφθείσα κορυφή, τότε η διαδικασία συνεχίζει από την προηγούμενη της τρέχουσας κορυφής με την ίδια τεχνική.

3. Αν είναι η σειρά επίσκεψης των κορυφών του T από το Βήμα 2, τότε ο κύκλος Hamilton είναι

piii vvv ,...,,21

121,,...,, iiii vvvv

p



Προσεγγιστική μέθοδος με διαδοχικές ανταλλαγές ακμών

1. Θεωρείται ένας κύκλος Hamilton

2. Για κάθε i,j, τέτοια ώστε 1<i+1<j<n, λαμβάνεται ένας νέος κύκλος Hamilton

διαγράφοντας τις ακμές (vi,vi+1) και (vj,vj+1) και προσθέτοντας τις ακμές (vi,vj) και (vi+1,vj+1).

3. Αν για κάποια i,j προκύψει

τότε θέτουμε

Πηγαίνουμε στο Βήμα 2.

),,...,,( 121 vvvvC n

),,...,,,,...,,,,...,,( 1211121 vvvvvvvvvvC njjijjiij

),(),(),(),( 1111 jjiijiji vvwvvwvvwvvw

ijCC



• Mέθοδος πλησιέστερου γείτονα (άπληστη)

(3,6,5,4,2,1,3), βάρος 193,

• Mέθοδος μικρότερης εισαγωγής (άπληστη) (3) (3)

(3,6,3) (3,6,3)

(3,6,5,3) (3,5,6,3)

(3,6,5,4,3) (3,5,4,6,3)

(3,6,1,5,4,3) (3,1,5,4,6,3)

(3,6,2,1,5,4,3) βάρος 192 (3,1,2,5,4,6,3) βάρος 212



• Μέθοδος με ελάχιστα ζευγνύοντα δένδρα Εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο του Prim προκύπτει το ζευγνύον δένδρο που φαίνεται και ακολούθως με μία αναζήτηση με προτεραιότητα βάθους το αποτέλεσμα

(3,1,2,4,5,6,3) βάρος 212

1 2

3

45

6 2

35

21

51

13

3

45

6 2

35

21

51

13

68

57



• Μέθοδος με διαδοχικές ανταλλαγές ακμών

(3,4,5,6,1,2,3) βάρος 237

(3,6,5,4,1,2,3) βάρος 210

(3,6,5,4,2,1,3) βάρος 193

(3,6,1,2,4,5,3) βάρος 192

Ο τελευταίος κύκλος δε βελτιώνεται περισσότερο όμως είναι δυνατό να βρεθεί μικρότερος κύκλος αν ληφθεί άλλη κορυφή ως αφετηρία.



• Μέθοδος πρακτικής εύρεσης κάτω ορίου σε πρόβλημα tsp:– Θεωρούμε ελάχιστο ζευγνύον δένδρο σε γράφο

G-v με βάρος w(T)– Λαμβάνουμε δύο ακμές προσπίπτουσες στο v

έτσι ώστε το άθροισμα των βαρών τους να είναι ελάχιστο

– Aν v=5, τότε w(T)=122, 122+21+35=178=κάτω όριο

1 2

3

45

6 2

35

21

51

13

56


Άπειροι Γράφοι

• Οι κορυφές είναι σημεία του επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες, ενώ οι ακμές ενώνουν κορυφές σε απόσταση 1

• Σε άπειρο γράφο δεν υπάρχει ίχνος Euler ή κύκλος Hamilton, αλλά υπάρχουν τα αντίστοιχα μονοπάτια

• Ένα μονοπάτι Hamilton που είναι άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις είναι ένας δύο παράγοντας

• Μονοπάτι Euler είναι το μονοπάτι που είναι άπειρο προς τις δύο κατευθύνσεις και περνά από όλες τις ακμές.

• Μονοδρομικό (one-way) μονοπάτι Euler/Hamilton είναι το μονοπάτι που ξεκινά από μία κορυφή και επεκτείνεται επ’άπειρο (space filling curve)


Μαγικά Τετράγωνα (1)

• Γραμμές, στήλες και διαγώνιοι έχουν ίσο άθροισμα

• Μεγάλη προϊστορία/ιστορία-Dührer

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

23 1 2 20 19

22 16 9 14 4

5 11 13 15 21

8 12 17 10 18

7 25 24 6 3



5

4 10

3 9 15

2 8 14 20

1 7 13 19 25

6 12 18 24

11 17 23

16 22

21

3 16 9 22 15

20 8 21 14 2

7 25 13 1 19

24 12 5 18 6

11 4 17 10 23



• Αλγόριθμοι κατασκευής μαγικών τετραγώνων (περιττής τάξης):– Μέθοδος Bachet (με ρόμβο)– Προσθέτοντας σε κάθε θέση του βασικού μαγικού τετραγώνου τον ίδιο

τυχαίο αριθμό– Αντικαθιστώντας τους αριθμούς [1..9] διαδοχικά με τους εννέα περιττούς

αριθμούς [3..17]– με άλλα τεχνάσματα.

• Μαγικός λέγεται ο γράφος όπου το άθροισμα των επιγραφών των ακμών που προσπίπτουν σε όλες τις κορυφές είναι ίσο

8 1 6

3 5 7

4 9 2



81 6

35

7 4

9

2

11

3 5

8

136 2 9

16

1210

14

1

15

74

Κ3,3 Κ4,4



• Θεώρημα: αν ένας διμερής γράφος μπορεί να αποσυντεθεί σε 2 κύκλους Hamilton, τότε ο γράφος είναι μαγικός.

• Αντιμαγικός λέγεται ο γράφος όπου τα αθροίσματα των επιγραφών των ακμών που προσπίπτουν σε όλες τις κορυφές είναι διάφορα μεταξύ τους.

• Πλήθος μαγικών αντικειμένων (ομόκεντρα τετράγωνα, τετράγωνα με ντόμινο, πολύγωνα κλπ)


Εφαρμογές

• Κίνηση αλόγων (knight tour) σε σκακιέρα ή κάθε είδους πλαίσιο – Μονοπάτια και κύκλοι Hamiltonian– DeMoivre (κίνηση περιμετρικά)– Εuler (μαγικό τετράγωνο), κλπ

• Τοποθέτηση προσώπων σε τραπέζι

• Στιγμιαία παραφροσύνη

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Documents

Transcript of Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές