1

Παράδειγμα 1

Έστω το Γ.Χ.Α. σύστημα ευθέως κλάδου με συνάρτηση μεταφοράς:

Η συνάρτηση μεταφοράς του κάτωθι συστήματος κλειστού βρόχου

X(s) + Y(s)

_

Σχήμα 1

είναι η:

Εδώ επικεντρωνόμαστε μόνο στον παρονομαστή:

Θέτοντας στην λαμβάνουμε

Για την εφαρμογή του κριτηρίου Nyquist επικεντρωνόμαστε μόνο στη συνάρτηση , υπολογίζοντας το πραγματικό και φανταστικό μέρος αυτής:

Βρίσκουμε τις ρίζες του φανταστικού μέρους άρα εν προκειμένω

Κρατάμε μόνο τις ρίζες οι οποίες πληρούν τις εξής προϋποθέσεις: α) είναι θετικές ή μηδέν

διότι το είναι κυκλική συχνότητα άρα εννοείται πάντα ότι είναι μη αρνητική. Tο νόημα

αυτής της επιλογής έγκειται στο γεγονός ότι το είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα

των και επομένως είναι περιττό να ελέγξουμε και τις αρνητικές τιμές του και β) δεν

2

αντιστοιχούν σε πόλους της επί του φανταστικού άξονος δηλαδή σε πόλους της

μορφής .

Εν προκειμένω τις ανωτέρω ιδιότητες ικανοποιούν οι ρίζες και . Γι’ αυτές τις

ρίζες, το πραγματικό μέρος της είναι αντίστοιχα:

και .

Στο σημείο αυτό προς το παρόν θεωρούμε δεδομένο το διάγραμμα Nyquist, δηλαδή το

σύνολο των σημείων , το οποίον δίδεται παρακάτω.

Τονίζουμε ότι τα σημεία στα οποία το διάγραμμα Nyquist συναντά τον πραγματικό άξονα

είναι τα ακριβώς τα , και πρακτικά το .

Τώρα φανταζόμαστε ότι κινούμεθα επί του άξονα των πραγματικών αριθμών από το

έως το και σε κάθε σημείο του πραγματικού άξονος κοιτάμε αν μας περιβάλλουν

κλειστοί βρόχοι και αν ναι πόσοι και με τι φορά. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα διακρίνουμε

τέσσερεις περιοχές και άρα τέσσερεις περιπτώσεις:

Περιοχή 1: Όταν βρισκόμαστε από το έως το δε μας περιβάλλει κανένας βρόχος άρα

πλήθος βρόχων .

Περιοχή 2: Όταν βρισκόμαστε από το έως το μας περιβάλλει ένας βρόχος με

ωρολογιακή φορά. Άρα το πλήθος βρόχων λογίζεται λόγω της ωρολογιακής φοράς θετικό

και έχει τιμή .

3

Περιοχή 3: Όταν βρισκόμαστε από το έως το μας περιβάλλει ένας βρόχος με

ανθωρολογιακή φορά, άρα το πλήθος των βρόχων λογίζεται αρνητικό λόγω της

ανθωρολογιακής φοράς και παίρνει την τιμή .

Περιοχή 4: Όταν βρισκόμαστε από το έως το + δε μας περιβάλλει κανένας βρόχος

άρα πλήθος βρόχων .

Εδώ απαιτείται προσοχή: Α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της συνάρτησης μεταφοράς

του ΓΧΑ συστήματος κλειστού βρόχου είναι ο αριθμητής του , εν

προκειμένω το , το οποίον έστω ότι έχει ακριβώς ρίζες στο δεξί

ημιεπίπεδο που είναι οι πόλοι του συστήματος κλειστού βρόχου που προκαλούν αστάθεια.

Β) Το σύστημα ευθέως κλάδου έχει εν γένει το πλήθος πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο (εν

προκειμένω ).

Γ) Σε κάθε υποπεριοχή του πραγματικού άξονος του διαγράμματος Nyquist ισχύει η

σχέση

ή σε λεκτική διατύπωση:

(αριθμός βρόχων που μας περιβάλλουν σε κάθε σημείο = αριθμός πόλων της στο

δεξί ημιεπίπεδο – αριθμός πόλων της στο δεξί ημιεπίπεδο)

Δ) ) Σε μία περιοχή έχω προφανώς αστάθεια BIBO για το σύστημα κλειστού βρόχου

όταν . Σε αυτή τη περίπτωση, το δείχνει το πλήθος των πόλων στο δεξί

ημιεπίπεδο.

Ε) Τα όρια κάθε περιοχής είναι και όρια του

Εφαρμόζοντας τα ανωτέρω στο συγκεκριμένο παράδειγμα όπου έχουμε

συμπεραίνουμε ότι ισχύουν τα ακόλουθα

Περιοχή 1: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας πάντα έναν πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα

που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Με άλλα λόγια για τo σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές έχοντας πάντα

έναν πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο.

Περιοχή 2: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας πάντα δύο πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα

που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Ισοδυνάμως για τo σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές έχοντας πάντα

δύο πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο.

4

Περιοχή 3: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

ασυμπτωτικά ευσταθές σε αυτή την περιοχή μην έχοντας πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα

που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Υπενθυμίζουμε ότι για την πλήρη γνώση της ευστάθειας του συστήματος κλειστού βρόχου

κατά ΒΙΒΟ, πρέπει να βρούμε και τις ρίζες του , οι οποίες είναι αμιγώς

φανταστικές.

Περιοχή 4: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας πάντα έναν πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα

που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Με άλλα λόγια για

τo σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές έχοντας

πάντα έναν πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο.

Ελέγχουμε την ευστάθεια και με τις προηγούμενες μεθόδους: Το χαρακτηριστικό

πολυώνυμο της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου είναι το

Για να είναι το σύστημα ευσταθές και επειδή είναι δευτέρας τάξεως πρέπει και αρκεί οι

συντελεστής του και ο σταθερός όρος να είναι θετικοί, δηλαδή πρέπει να ισχύει,

Άρα τελικά πρέπει και αρκεί, για να είναι το σύστημα ευσταθές, να ισχύει

Παράδειγμα 2

Έστω το Γ.Χ.Α. σύστημα ευθέως κλάδου με συνάρτηση μεταφοράς:

Η συνάρτηση μεταφοράς του κάτωθι συστήματος κλειστού βρόχου

5

X(s) + Y(s)

_

Σχήμα 2

είναι η:

Εδώ επικεντρωνόμαστε μόνο στον παρονομαστή:

Θέτοντας στην λαμβάνουμε

Εκ νέου για το κριτήριο Nyquist επικεντρωνόμαστε μόνο στο και υπολογίζουμε το πραγματικό και φανταστικό μέρος του πολλαπλασιάζοντας με το συζυγή του παρονομαστή που είναι το γινόμενο των συζυγών των μονωνύμων. Δηλαδή

Βρίσκουμε τις ρίζες του φανταστικού μέρους άρα εν προκειμένω

Άρα

Κρατάμε μόνο τις ρίζες οι οποίες πληρούν τις εξής προϋποθέσεις: α) είναι θετικές ή μηδέν

διότι το είναι κυκλική συχνότητα άρα εννοείται πάντα ότι είναι μη αρνητική. Όμως, εκ

νέου τονίζουμε ότι το νόημα αυτής της επιλογής έγκειται στο γεγονός ότι το είναι

συμμετρικό ως προς τον άξονα των όπως θα δείξουμε στα επόμενα, για τη γενική

k

6

περίπτωση, και επομένως είναι περιττό να ελέγξουμε τις αρνητικές τιμές του και β) δεν

αντιστοιχούν σε πόλους της επί του φανταστικού άξονος δηλαδή σε πόλους της

μορφής .

Εν προκειμένω τις ανωτέρω ιδιότητες ικανοποιούν οι ρίζες και . Γι’

αυτές τις ρίζες, το πραγματικό μέρος της είναι αντίστοιχα:

και .

Στο σημείο αυτό προς το παρόν θεωρούμε πάλι δεδομένο το διάγραμμα Nyquist, δηλαδή

το σύνολο των σημείων , το οποίον δίδεται παρακάτω.

Επαναλαμβάνουμε ότι τα σημεία στα οποία το διάγραμμα Nyquist συναντά τον πραγματικό

άξονα είναι τα ακριβώς τα , και πρακτικά το .

Τώρα φανταζόμαστε ότι κινούμεθα επί του άξονα των πραγματικών αριθμών από το

έως το και σε κάθε σημείο του πραγματικού άξονος κοιτάμε αν μας περιβάλλουν

κλειστοί βρόχοι και αν ναι πόσοι και με τι φορά. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα διακρίνουμε

τέσσερεις περιοχές και άρα τέσσερεις περιπτώσεις:

Περιοχή 1: Όταν βρισκόμαστε από το έως το δε μας περιβάλλει κανένας

βρόχος άρα πλήθος βρόχων .

Περιοχή 2: Όταν βρισκόμαστε από το έως το μας περιβάλλει ένας βρόχος με

ωρολογιακή φορά. Άρα το πλήθος βρόχων λογίζεται λόγω της ωρολογιακής φοράς θετικό

και έχει τιμή .

Περιοχή 3: Όταν βρισκόμαστε από το έως το μας περιβάλλουν δύο βρόχοι

με ωρολογιακή φορά, άρα το πλήθος των βρόχων λογίζεται θετικό λόγω της ωρολογιακής

φοράς και παίρνει την τιμή .

Περιοχή 4: Όταν βρισκόμαστε από το έως το + δε μας περιβάλλει κανένας

βρόχος άρα πλήθος βρόχων .

7

Επαναλαμβάνουμε το βασικό περιεχόμενο του κριτηρίου Nyquist: Α) Το χαρακτηριστικό

πολυώνυμο της συνάρτησης μεταφοράς του ΓΧΑ συστήματος κλειστού βρόχου είναι ο

αριθμητής του , εν προκειμένω το

το οποίον έστω ότι έχει ακριβώς ρίζες στο δεξί ημιεπίπεδο που είναι οι πόλοι του

συστήματος κλειστού βρόχου που προκαλούν αστάθεια.

Β) Το σύστημα ευθέως κλάδου έχει εν γένει το πλήθος πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο (εν

προκειμένω ).

Γ) Σε κάθε υποπεριοχή του πραγματικού άξονα του διαγράμματος Nyquist ισχύει η σχέση

ή σε λεκτική διατύπωση:

(αριθμός βρόχων που μας περιβάλλουν σε κάθε σημείο = αριθμός πόλων της στο

δεξί ημιεπίπεδο – αριθμός πόλων της στο δεξί ημιεπίπεδο)

Δ) Σε μία περιοχή έχω προφανώς αστάθεια BIBO για το σύστημα κλειστού βρόχου

όταν . Σε αυτή τη περίπτωση, το δείχνει το πλήθος των πόλων στο δεξί

ημιεπίπεδο.

Ε) Τα όρια κάθε περιοχής είναι και όρια του

Εφαρμόζοντας τα ανωτέρω στο συγκεκριμένο παράδειγμα όπου έχουμε

συμπεραίνουμε ότι ισχύουν τα ακόλουθα

Περιοχή 1: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

ασυμπτωτικά ευσταθές σε αυτή την περιοχή. Τα που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή

καθορίζονται από τις ανισώσεις

Με άλλα λόγια για τo σύστημα κλειστού βρόχου δεν έχει πόλους στο δεξί

ημιεπίπεδο, για όλα τα αυτής της περιοχής.

Περιοχή 2: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή, έχοντας ένα πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα που

αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Ισοδυνάμως για τo σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές έχοντας ένα

πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο.

Περιοχή 3: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή, έχοντας δύο πόλους στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο. Τα

που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

8

Περιοχή 4: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι ασυμπτωτικά

ευσταθές σε αυτή την περιοχή, μην έχοντας πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα που

αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Ισοδυνάμως για τo σύστημα κλειστού βρόχου δεν έχει πόλους στο δεξί

ημιεπίπεδο.

Υπολογίστε το περιθώριο ενίσχυσης και φάσης για:

Α) . Β) Γ) . Δ)

A) To βρίσκεται στην περιοχή 1 το κρίσιμο σημείο της οποίας είναι το διότι

στο σημείο αυτό μεταβαίνουμε από ευστάθεια σε αστάθεια. Άρα το αντίστοιχο περιθώριο

ενίσχυσης είναι

B) To βρίσκεται στην περιοχή 2 το κρίσιμο σημείο της οποίας είναι εκ νέου το

διότι πάλι στο σημείο αυτό μεταβαίνουμε από ευστάθεια σε αστάθεια. Άρα το

αντίστοιχο περιθώριο ενίσχυσης είναι

Γ) To βρίσκεται στην περιοχή 3 το κρίσιμο σημεία της οποίας είναι το

διότι στο σημείο αυτό μεταβαίνουμε από ευστάθεια σε αστάθεια. Άρα το αντίστοιχο

περιθώριο ενίσχυσης είναι

Δ) To βρίσκεται στην περιοχή 4 το κρίσιμο σημείο της οποίας είναι το

διότι στο σημείο αυτό μεταβαίνουμε από ευστάθεια σε αστάθεια. Άρα το αντίστοιχο

περιθώριο ενίσχυσης είναι

Για να βρούμε το περιθώριο φάσης, εντοπίζουμε το τέτοιο ώστε και έστω

η γωνία της . Τότε το περιθώριο φάσης .

9

Ελέγχουμε την ευστάθεια και με τις προηγούμενες μεθόδους: Το χαρακτηριστικό

πολυώνυμο της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου είναι το

Για το πολυώνυμο αυτό θα εφαρμόσουμε το κριτήριο Routh:

0

0

Για να είναι ευσταθές το σύστημα πρέπει

και

Άρα από την πρώτη ανίσωση έχουμε

Και από τη δεύτερη ανίσωση έχουμε

Διαπιστώνουμε ότι τα όρια ευστάθειας για το είναι ίδια.

Παράδειγμα 3

Έστω το κάτωθι Γ.Χ.Α. σύστημα κλειστού βρόχου

+

_

Όπου:

Οπότε,

Η συνάρτηση μεταφοράς του ανωτέρω συστήματος κλειστού βρόχου είναι η:

10

Στην ανωτέρω συνάρτηση μεταφοράς θέτουμε , λαμβάνοντας:

Για την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου απαιτείται η εύρεση των ριζών του

παρονομαστή (δηλαδή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της )

Για το κριτήριο Nyquist επικεντρωνόμαστε μόνο στη συνάρτηση στον

παρονομαστή.

Περίπτωση 1 :

Δηλαδή, εν προκειμένω:

Επικεντρωνόμαστε πάντα μόνο στην ποσότητα , την οποία

και υπολογίζουμε αναλυτικά ευθύς αμέσως:

Παρατηρούμε ότι τα πραγματικά μέρη τόσο του αριθμητή, όσο και του παρονομαστή είναι,

όπως αναμενόταν, άρτιες πολυωνυμικές συναρτήσεις του , ενώ οι πραγματικοί

συντελεστές των φανταστικών μερών είναι περιττές πολυωνυμικές συναρτήσεις και

μάλιστα της μορφής

Πολλαπλασιάζοντας κατά τα γνωστά αριθμητή και παρονομαστή στην ανωτέρω σχέση με

τον συζυγή του παρονομαστή λαμβάνουμε :

Τονίζουμε ότι δεν χρειάζεται να πραγματοποιηθεί ανάπτυξη του παρονομαστή του

ούτε του αριθμητή του , αλλά μόνο του αριθμητή του όπως θα

φανεί στα παρακάτω.

11

Τονίζουμε ότι ο παρονομαστής θα είναι τώρα πάντα άρτια πολυωνυμική συνάρτηση του ,

διότι θα είναι της μορφής:

δεδομένου ότι μια περιττή πολυωνυμική συνάρτηση, υψωμένη στο τετράγωνο, παράγει

πάντα άρτια πολυωνυμική συνάρτηση.

Αντιστοίχως, ο αριθμητής θα έχει πάντα άρτιο πραγματικό μέρος και πάντα περιττό

πραγματικό συντελεστή του φανταστικού μέρους, όπως προκύπτει από τον

πολλαπλασιασμό των μιγάδων. ( Γιατί?).

Υπόδειξη:

.

Συνεπώς, το πραγματικό μέρος του είναι πάντα άρτια ρητή

πολυωνυμική συνάρτηση , ενώ το θα είναι πάντα

περιττή ρητή συνάρτηση .

Ο αριθμητ ς του ί αι μ ρίζ ς ,

Κρατάμε μόνο τις ρίζες οι οποίες πληρούν τις εξής προϋποθέσεις: α) είναι θετικές ή

μηδέν, διότι το είναι κυκλική συχνότητα άρα εννοείται πάντα ότι είναι μη αρνητική. Πάλι,

το νόημα αυτής της επιλογής έγκειται στο γεγονός ότι το είναι συμμετρικό ως προς

τον άξονα των και επομένως είναι περιττό να ελέγξουμε και τις αρνητικές τιμές του και

β) δεν αντιστοιχούν σε πόλους της επί του φανταστικού άξονος δηλαδή σε

πόλους της της μορφής . Στο προκείμενο, οι ρίζες που ικανοποιούν τις

ανωτέρω ιδιότητες είναι οι και . Γι’ αυτές τις ρίζες, το

πραγματικό μέρος της είναι αντίστοιχα:

, ,

.

Στο σημείο αυτό προς το παρόν θεωρούμε πάλι δεδομένο το διάγραμμα Nyquist, δηλαδή

το σύνολο των σημείων το οποίον δίδεται παρακάτω.

12

Τώρα εκ νέου φανταζόμαστε ότι κινούμεθα επί του άξονα των πραγματικών αριθμών από

το έως το και σε κάθε σημείο του πραγματικού άξονος κοιτάμε αν μας

περιβάλλουν κλειστοί βρόχοι και αν ναι πόσοι και με ποιά φορά. Στο συγκεκριμένο

παράδειγμα διακρίνουμε 5 περιοχές, δεδομένου ότι έχουμε 3 αποδεκτές ρίζες του

και δεδομένου ότι η αρχή Ο(0,0) ανήκει πάντα στο διάγραμμα Nyquist, όταν ο βαθμός

του πολυωνύμου του παρονομαστή του είναι μεγαλύτερος από τον βαθμό του

αριθμητή αυτού . Αυτές οι 5 περιοχές και οι αντίστοιχες περιπτώσεις είναι οι εξής:

Περιοχή 1: Όταν βρισκόμαστε από το έως το δε μας περικλείει κανένας

βρόχος άρα πλήθος βρόχων .

Περιοχή 2: Όταν βρισκόμαστε από το έως το μας περικλείουν 2 βρόχοι με

ωρολογιακή φορά. Άρα το πλήθος βρόχων λογίζεται λόγω της ωρολογιακής φοράς θετικό

και έχει τιμή .

Περιοχή 3: Όταν βρισκόμαστε από το έως το

μας περιβάλλουν τρείς βρόχοι με

ωρολογιακή φορά, άρα το πλήθος των βρόχων λογίζεται θετικό λόγω της ωρολογιακής

φοράς και παίρνει την τιμή .

Περιοχή 4: Όταν βρισκόμαστε από το

έως το μας περιβάλλουν 2 βρόχοι

ωρολογιακής φοράς, άρα το πλήθος των βρόχων λογίζεται θετικό λόγω της ωρολογιακής

φοράς και παίρνει την τιμή .

Περιοχή 5: Όταν βρισκόμαστε από το έως το δε μας περικλείει κανένας βρόχος

άρα πλήθος βρόχων .

Επαναλαμβάνουμε το βασικό περιεχόμενο του κριτηρίου Nyquist: Α) Το χαρακτηριστικό

πολυώνυμο της συνάρτησης μεταφοράς του ΓΧΑ συστήματος κλειστού βρόχου είναι ο

αριθμητής του , εν προκειμένω το

13

το οποίον έστω ότι έχει ακριβώς ρίζες στο δεξί ημιεπίπεδο που είναι οι πόλοι του

συστήματος κλειστού βρόχου που προκαλούν αστάθεια.

Β) Το σύστημα «ανοιχτού βρόχου» έχει εν γένει το πλήθος πόλους στο δεξί

ημιεπίπεδο (εν προκειμένω

οπότε ). Σημειώνουμε ότι το μπορεί να βρεθεί αριθμητικά την εξίσωση του

παρονομαστή ( ή με εφαρμογή του κριτηρίου Routh.

Γ) Σε κάθε υποπεριοχή του πραγματικού άξονα του διαγράμματος Nyquist ισχύει η σχέση

ή σε λεκτική διατύπωση:

(αριθμός βρόχων που μας περιβάλλουν σε κάθε σημείο = αριθμός πόλων της στο

δεξί ημιεπίπεδο – αριθμός πόλων της στο δεξί ημιεπίπεδο), για το συγκεκριμένο k

που αντιστοιχεί σε αυτό το σημείο.

Δ) Σε μία περιοχή δεν έχω προφανώς ευστάθεια BIBO για το σύστημα κλειστού βρόχου

όταν . Τότε το δείχνει το πλήθος των πόλων στο δεξί ημιεπίπεδο.

Ε) Τα όρια κάθε περιοχής είναι και όρια του

Εφαρμόζοντας τα ανωτέρω στο συγκεκριμένο παράδειγμα όπου έχουμε

συμπεραίνουμε ότι ισχύουν τα ακόλουθα

Περιοχή 1: , . To σύστημα κλειστού βρόχου δεν έχει

πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο σε αυτή την περιοχή. Τα που αντιστοιχούν σε αυτή την

περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Με άλλα λόγια για τo σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασυμπτωτικά

ευσταθές.

Περιοχή 2: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας 2 πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα που

αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Με άλλα λόγια για τo σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές έχοντας

ένα πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο.

14

Περιοχή 3: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας τρείς πόλους στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο. Τα

που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Με άλλα λόγια για τo σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές με 3 πόλους

στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο.

Περιοχή 4: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές σε

αυτή την περιοχή έχοντας 2 πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα που αντιστοιχούν σε αυτή

την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

αι

Ισοδυνάμως για τo σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές με

2 πόλους στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο.

Περιοχή 5: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ευσταθές

σε αυτή την περιοχή. Τα που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις

ανισώσεις

Ισοδυνάμως για τo σύστημα κλειστού βρόχου είναι ασυμπτωτικά

ευσταθές, με την έννοια ότι το σύστημα κλειστού βρόχου δεν έχει πόλους στο δεξί

ημιεπίπεδο.

Υπενθυμίζεται ότι για την πλήρη γνώση της ευστάθειας του συστήματος κλειστού βρόχου

απαιτείται να ευρεθούν και οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου , οι

οποίες ευρίσκονται επί του φανταστικού άξονα, δηλαδή είναι αμιγώς φανταστικές.

Περιθώριο ενίσχυσης και φάσης

Υπολογίστε το περιθώριο ενίσχυσης και φάσης για .

To έχει κοντινότερη περιοχή ευστάθειας την περιοχή 1, το κρίσιμο σημείο της

οποίας είναι το διότι στο σημείο αυτό μεταβαίνουμε από ευστάθεια σε

αστάθεια. Άρα το αντίστοιχο περιθώριο ενίσχυσης είναι

Περίπτωση 2 : Προσθέτουμε στην πόλο στο που συχνά λέγεται ολοκληρωτικός

παράγοντας, οπότε

H ποσότητα στην περίπτωση αυτή γίνεται:

15

Χωρίζο τας πραγματι από φα ταστι μέρη τόσο στο αριθμητ όσο αι στο

παρο ομαστ αι αφού πολλαπλασι σουμ αριθμητ αι παρο ομαστ μ το συζυγ

μιγ δα του παρο ομαστ λαμβ ουμ τ λι

Ο αριθμητ ς του ί αι μ ρίζ ς ,

Κρατάμε μόνο τις ρίζες οι οποίες πληρούν τις εξής προϋποθέσεις: α) είναι θετικές ή μηδέν

διότι το είναι κυκλική συχνότητα άρα εννοείται πάντα ότι είναι μη αρνητική. Πάλι, το

νόημα αυτής της επιλογής έγκειται στο γεγονός ότι το είναι συμμετρικό ως προς τον

άξονα των και επομένως είναι περιττό να ελέγξουμε και τις αρνητικές τιμές του και β)

δεν αντιστοιχούν σε πόλους της επί του φανταστικού άξονος δηλαδή σε πόλους

της μορφής . Στο προκείμενο, επειδή υπάρχει ο όρος στον παρονομαστή της οι

μόνες ρίζες που ικανοποιούν τις ανωτέρω ιδιότητες είναι οι και .

Γι’ αυτές τις ρίζες, το πραγματικό μέρος της ) είναι αντίστοιχα:

και .

Στο σημείο αυτό προς το παρόν θεωρούμε πάλι δεδομένο το διάγραμμα Nyquist , που

παρέχεται από το MATLAB και δίδεται παρακάτω.

16

Εδώ απαιτείται μεγάλη προσοχή, εάν το διάγραμμα Nyquist έχει παραχθεί από το

MATLAB. Πράγματι ο διερμηνέας MATLAB εμφανίζει ένα πολύ σοβαρό bug, όταν

εκτυπώνει ένα διάγραμμα Nyquist μίας συναρτήσεως που έχει πόλο στο 0.

Μία τέτοια συνάρτηση γεννά ένα διάγραμμα Nyquist που έχει ένα νοητό «τόξο»

στο άπειρο, το οποίο εντοπίζεται δεξιά του φανταστικού άξονα, μεταβαίνοντας

ωρολογιακά από το στο αυτού. Το MATLAB, δυστυχώς δεν εμφανίζει ένα τέτοιο

νοητό τόξο, ούτε βγάζει κάποιο προειδοποιητικό μήνυμα ( Warning )!!. Έχουμε

προσθέσει ένα τέτοιο τόξο με το χέρι στο κάτωθι ορθό διάγραμμα Nyquist. Ο λόγος για

τον οποίο το τόξο αυτό πρέπει πάντα να προστίθεται όταν η έχει μονό πόλο

στο 0, θα γίνει κατανοητός παρακάτω , όταν περιγράψουμε τον δρόμο του Nyquist που

γεννά το διάγραμμα Nyquist.

17

Επαναλαμβάνουμε ότι τα σημεία στα οποία το διάγραμμα Nyquist συναντά τον πραγματικό

άξονα είναι τα ακριβώς τα , και πρακτικά το .

Τώρα εκ νέου φανταζόμαστε ότι κινούμεθα επί του άξονα των πραγματικών αριθμών από

το έως το και σε κάθε σημείο του πραγματικού άξονος κοιτάμε αν μας

περιβάλλουν κλειστοί βρόχοι και αν ναι πόσοι και με τι φορά. Στο συγκεκριμένο

παράδειγμα διακρίνουμε τέσσερεις περιοχές και άρα τέσσερεις περιπτώσεις:

Περιοχή 1: Όταν βρισκόμαστε από το έως το δε μας περικλείει κανένας

βρόχος άρα πλήθος βρόχων .

Περιοχή 2: Όταν βρισκόμαστε από το έως το μας περικλείουν 2 βρόχοι με

ωρολογιακή φορά. Άρα το πλήθος βρόχων λογίζεται λόγω της ωρολογιακής φοράς θετικό

και έχει τιμή , συμπεριλαμβανομένου του βρόχου, ο οποίος κλείνει με το νοητό

ημικύκλιο άπειρης ακτίνας.

Περιοχή 3: Όταν βρισκόμαστε από το έως το μας περιβάλλουν τρείς βρόχοι με

ωρολογιακή φορά, άρα το πλήθος των βρόχων λογίζεται θετικό λόγω της ωρολογιακής

φοράς και παίρνει την τιμή , , συμπεριλαμβανομένου του βρόχου, ο οποίος κλείνει

με το νοητό ημικύκλιο άπειρης ακτίνας.

18

Περιοχή 4: Όταν βρισκόμαστε από το έως το + μας περιβάλλει o βρόχος

ωρολογιακής φοράς που κλείνει από το ημικύκλιο άπειρης ακτίνας. Άρα πλήθος βρόχων

.

Επαναλαμβάνουμε το βασικό περιεχόμενο του κριτηρίου Nyquist: Α) Το χαρακτηριστικό

πολυώνυμο της συνάρτησης μεταφοράς του ΓΧΑ συστήματος κλειστού βρόχου είναι ο

αριθμητής του , εν προκειμένω το

το οποίον έστω ότι έχει ακριβώς ρίζες στο δεξί ημιεπίπεδο που είναι οι πόλοι του

συστήματος κλειστού βρόχου που προκαλούν αστάθεια.

Β) Το σύστημα «ανοιχτού βρόχου» έχει εν γένει το πλήθος πόλους στο δεξί

ημιεπίπεδο (εν προκειμένω

οπότε ).

Γ) Σε κάθε υποπεριοχή του πραγματικού άξονα του διαγράμματος Nyquist ισχύει η σχέση

ή σε λεκτική διατύπωση:

(αριθμός βρόχων που μας περιβάλλουν σε κάθε σημείο = αριθμός πόλων της στο

δεξί ημιεπίπεδο – αριθμός πόλων της στο δεξί ημιεπίπεδο)

Δ) Σε μία περιοχή έχω προφανώς αστάθεια BIBO για το σύστημα κλειστού βρόχου

όταν . Σε αυτή τη περίπτωση, το δείχνει το πλήθος των πόλων στο δεξί

ημιεπίπεδο.

Ε) Τα όρια κάθε περιοχής είναι και όρια του

Εφαρμόζοντας τα ανωτέρω στο συγκεκριμένο παράδειγμα όπου έχουμε

συμπεραίνουμε ότι ισχύουν τα ακόλουθα

Περιοχή 1: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

ασυμπτωτικά ευσταθές σε αυτή την περιοχή. Τα που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή

καθορίζονται από τις ανισώσεις

Με άλλα λόγια για τo σύστημα κλειστού βρόχου δεν έχει ρίζες στο δεξί

ημιεπίπεδο.

19

Περιοχή 2: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας 2 πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα που

αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Περιοχή 3: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας τρείς πόλους στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο. Τα

που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

αι

Περιοχή 4: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές σε

αυτή την περιοχή έχοντας 1 πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα που αντιστοιχούν σε αυτή την

περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Παράδειγμα 4

Έστω το κάτωθι Γ.Χ.Α. σύστημα κλειστού βρόχου

+

_

Όπου:

Η συνάρτηση μεταφοράς του ανωτέρω συστήματος κλειστού βρόχου είναι η :

Στην ανωτέρω συνάρτηση μεταφοράς θέτουμε , λαμβάνοντας:

20

Για την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου απαιτείται η εύρεση των ριζών του

παρονομαστή (δηλαδή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της )

Για το κριτήριο Nyquist επικεντρωνόμαστε μόνο στη συνάρτηση στον

παρονομαστή.

Περίπτωση 1 :

Δηλαδή, εν προκειμένω:

ό

Παρατηρούμε ότι τα πραγματικά μέρη τόσο του αριθμητή, όσο και του παρονομαστή είναι,

όπως αναμενόταν, άρτιες πολυωνυμικές συναρτήσεις του , ενώ οι πραγματικοί

συντελεστές των φανταστικών μερών είναι περιττές πολυωνυμικές συναρτήσεις και

μάλιστα της μορφής

Πολλαπλασιάζοντας κατά τα γνωστά αριθμητή και παρονομαστή στην ανωτέρω σχέση με

τον συζυγή του παρονομαστή λαμβάνουμε :

Όπου

Τονίζουμε ότι ο κοινός παρονομαστής των , αλλά ενδεχομένως και ο αριθμητής

του δεν χρειάζεται να αναπτυχθούν αναλυτικά, αφού στο κριτήριο Nyquist θα

απαιτηθούν μόνο οι αριθμητικές τους τιμές.

21

Σύμφωνα με τους νόμους περί αρτιότητας που περιεγράφησαν στο Παράδειγμα 3

επιβεβαιώνουμε ότι και .

Υπενθυμίζουμε ότι το διάγραμμα Nyquist είναι το σύνολο των σημείων

, το οποίο σύμφωνα με τα ανωτέρω είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα των πραγματικών

αριθμών.

Οι ρίζ ς του αριθμητ του ί αι οι :

Κρατάμε μόνο τις ρίζες οι οποίες πληρούν τις εξής προϋποθέσεις: α) είναι θετικές ή

μηδέν, διότι το είναι κυκλική συχνότητα άρα εννοείται πάντα ότι είναι μη αρνητική. Πάλι,

το νόημα αυτής της επιλογής έγκειται στο γεγονός ότι το είναι συμμετρικό ως προς

τον άξονα των και επομένως είναι περιττό να ελέγξουμε και τις αρνητικές τιμές του και

β) δεν αντιστοιχούν σε πόλους της επί του φανταστικού άξονος δηλαδή σε

πόλους της της μορφής . Στο προκείμενο, οι ρίζες που ικανοποιούν τις

ανωτέρω ιδιότητες είναι οι , και . Γι’ αυτές τις ρίζες, το

πραγματικό μέρος της είναι αντίστοιχα:

, , .

Στο σημείο αυτό προς το παρόν θεωρούμε πάλι δεδομένο το διάγραμμα Nyquist, δηλαδή

το σύνολο των σημείων το οποίο δίδεται παρακάτω.

Τώρα εκ νέου φανταζόμαστε ότι κινούμεθα επί του άξονα των πραγματικών αριθμών από

το έως το και σε κάθε σημείο του πραγματικού άξονος κοιτάμε αν μας

περιβάλλουν κλειστοί βρόχοι και αν ναι πόσοι και με τι φορά. Στο συγκεκριμένο

παράδειγμα διακρίνουμε τέσσερεις περιοχές, δεδομένου ότι έχουμε δύο αποδεκτές ρίζες

του και δεδομένου ότι η αρχή Ο(0,0) ανήκει πάντα στο διάγραμμα Nyquist, όταν ο

βαθμός του πολυωνύμου του παρονομαστή του είναι μεγαλύτερος από τον

βαθμό του αριθμητή αυτού . Συνεπώς:

-20 -15 -10 -5 0 5 10-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

22

Περιοχή 1: Όταν βρισκόμαστε από το έως το δε μας περικλείει κανένας

βρόχος άρα πλήθος βρόχων .

Περιοχή 2: Όταν βρισκόμαστε από το έως το μας περικλείουν 2 βρόχοι με

ανθωρολογιακή φορά. Άρα το πλήθος βρόχων λογίζεται αρνητικό λόγω της

ανθωρολογιακής φοράς και έχει τιμή .

Περιοχή 3: Όταν βρισκόμαστε από το έως το μας περιβάλλει ένας βρόχος με

ανθωρολογιακή φορά, άρα το πλήθος των βρόχων λογίζεται αρνητικό λόγω της

ανθωρολογιακής φοράς και παίρνει την τιμή .

Περιοχή 4: Όταν βρισκόμαστε από το έως το μας περιβάλλει ένας

βρόχος ωρολογιακής φοράς άρα το πλήθος των βρόχων λογίζεται θετικό λόγω της

ωρολογιακής φοράς και παίρνει την τιμή .

Περιοχή 5: Όταν βρισκόμαστε από το έως το δε μας περικλείει κανένας

βρόχος άρα πλήθος βρόχων .

Επαναλαμβάνουμε το βασικό περιεχόμενο του κριτηρίου Nyquist: Α) Το χαρακτηριστικό

πολυώνυμο της συνάρτησης μεταφοράς του ΓΧΑ συστήματος κλειστού βρόχου είναι ο

αριθμητής του , το οποίον έστω ότι έχει ακριβώς ρίζες στο δεξί

ημιεπίπεδο που είναι οι πόλοι του συστήματος κλειστού βρόχου που προκαλούν αστάθεια.

Β) Το σύστημα «ανοιχτού βρόχου» έχει εν γένει το πλήθος πόλους στο δεξί

ημιεπίπεδο (εν προκειμένω

Για να βρούμε τις ρίζες του που βρίσκονται στο δεξί ημιεπίπεδο εφαρμόζουμε

μία από τις εξής δύο μεθόδους :

i. Λύνουμε αριθμητικά την πολυωνυμική εξίσωση

και προσμετρούμε μόνο τις ρίζες που έχουν θετικό πραγματικό μέρος. Πράγματι, η

εντολή “roots” του MATLAB δίνει

γεγονός που σημαίνει .

ii. Εφαρμόζουμε το κριτήριο Routh στον παρονομαστή του και μετράμε τις

εναλλαγές προσήμου στην πρώτη στήλη της διάταξης Routh, οπότε πάλι προκύπτει

.

Γ) Σε κάθε υποπεριοχή του πραγματικού άξονα του διαγράμματος Nyquist ισχύει η σχέση

ή σε λεκτική διατύπωση:

(αριθμός βρόχων που μας περιβάλλουν σε κάθε σημείο = αριθμός πόλων της στο

δεξί ημιεπίπεδο – αριθμός πόλων της στο δεξί ημιεπίπεδο)

23

Δ) Σε μία περιοχή έχω προφανώς αστάθεια BIBO για το σύστημα κλειστού βρόχου

όταν . Σε αυτή τη περίπτωση, το δείχνει το πλήθος των πόλων στο δεξί

ημιεπίπεδο.

Ε) Τα όρια κάθε περιοχής είναι και όρια του

Εφαρμόζοντας τα ανωτέρω στο συγκεκριμένο παράδειγμα όπου έχουμε

συμπεραίνουμε ότι ισχύουν τα ακόλουθα

Περιοχή 1: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας 2 πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα που

αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Ισοδυνάμως για τo σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές

έχοντας δύο πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο.

Περιοχή 2: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

ασυμπτωτικά ευσταθές σε αυτή την περιοχή. Τα που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή

καθορίζονται από τις ανισώσεις

Με άλλα λόγια για τo σύστημα κλειστού βρόχου δεν έχει κανένα πόλο στο δεξί

ημιεπίπεδο.

Περιοχή 3: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας έναν πόλο στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο. Τα

που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Περιοχή 4: ,

. To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας τρεις πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα που

αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Περιοχή 5: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές σε

αυτή την περιοχή έχοντας 2 πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα που αντιστοιχούν σε αυτή

την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

24

Ισοδυνάμως για τo σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές με

δύο πόλους στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο.

Ελέγχουμε την ευστάθεια και με τις προηγούμενες μεθόδους : Το χαρακτηριστικό

πολυώνυμο της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου είναι το

Αναφορικά με το πολυώνυμο αυτό μπορούμε να εφαρμόσουμε το κριτήριο Routh για κάθε

περιοχή επιλέγοντας ένα τυχαίο (εντός αυτής) ώστε να ελέγξουμε την ορθότητα των

αποτελεσμάτων . Για παράδειγμα ελέγχουμε την πρώτη περιοχή θέτοντας ,

Οπότε

το χαρακτηριστικό πολυώνυμο γίνεται :

.

Και η διάταξη Routh είναι η εξής:

1 -34 88

9.2 104 0

-45.3 88 0

121.9 0 0

88 0 0

Παρατηρούμε ότι έχουμε δυο εναλλαγές στη πρώτη στήλη του πίνακα, γεγονός που

επιβεβαιώνει πως το σύστημα κλειστού βρόχου έχει δυο πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο.

Περίπτωση 2 : Προσθέτουμε στην πόλο στο που λέγεται,συχνά, ολοκληρωτικός

παράγοντας, οπότε

Δηλαδή, εν προκειμένω:

25

ό

Παρατηρούμε ότι τα πραγματικά μέρη τόσο του αριθμητή, όσο και του παρονομαστή είναι,

όπως αναμενόταν, άρτιες πολυωνυμικές συναρτήσεις του , ενώ οι πραγματικοί

συντελεστές των φανταστικών μερών είναι περιττές πολυωνυμικές συναρτήσεις και

μάλιστα της μορφής

Πολλαπλασιάζοντας κατά τα γνωστά αριθμητή και παρονομαστή στην ανωτέρω σχέση με

τον συζυγή του παρονομαστή λαμβάνουμε :

Όπου

Τονίζουμε ότι ο κοινός παρονομαστής των , αλλά ενδεχομένως και ο αριθμητής

του δεν χρειάζεται να αναπτυχθούν αναλυτικά, αφού στο κριτήριο Nyquist θα

απαιτηθούν μόνο οι αριθμητικές τους τιμές.

Σύμφωνα με τους νόμους περί αρτιότητας που περιεγράφησαν στο Παράδειγμα 3

επιβεβαιώνουμε ότι και .

Υπενθυμίζουμε ότι το διάγραμμα Nyquist είναι το σύνολο των σημείων

, το οποίο σύμφωνα με τα ανωτέρω είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα των πραγματικών

αριθμών.

Οι ρίζ ς του αριθμητ του ί αι οι :

Κρατάμε μόνο τις ρίζες οι οποίες πληρούν τις εξής προϋποθέσεις: α) είναι θετικές ή

μηδέν, διότι το είναι κυκλική συχνότητα άρα εννοείται πάντα ότι είναι μη αρνητική.

Πάλι, το νόημα αυτής της επιλογής έγκειται στο γεγονός ότι το είναι συμμετρικό ως

προς τον άξονα των και επομένως είναι περιττό να ελέγξουμε και τις αρνητικές τιμές του

και β) δεν αντιστοιχούν σε πόλους της επί του φανταστικού άξονος δηλαδή σε

πόλους της της μορφής . Στο προκείμενο, η ρίζα που ικανοποιεί τις

ανωτέρω ιδιότητες είναι η . Γι’ αυτή τη ρίζα, το πραγματικό μέρος της

είναι :

26

Στο σημείο αυτό προς το παρόν θεωρούμε πάλι δεδομένο το διάγραμμα Nyquist όπως το

δίνει το MATLAB.

Εδώ απαιτείται μεγάλη προσοχή, εφόσον το διάγραμμα Nyquist έχει παραχθεί από το

MATLAB. Πράγματι ο διερμηνέας MATLAB εμφανίζει ένα πολύ σοβαρό bug, όταν

εκτυπώνει ένα διάγραμμα Nyquist μίας συναρτήσεως που έχει πόλο στο 0.

Μία τέτοια συνάρτηση γεννά ένα διάγραμμα Nyquist που έχει ένα νοητό «τόξο»

στο άπειρο, το οποίο εντοπίζεται δεξιά του φανταστικού άξονα, μεταβαίνοντας

ωρολογιακά από το στο αυτού. Το MATLAB, δυστυχώς δεν εμφανίζει ένα τέτοιο

νοητό τόξο, ούτε βγάζει κάποιο προειδοποιητικό μήνυμα ( Warning )!!. Έχουμε

προσθέσει ένα τέτοιο τόξο με το χέρι στο κάτωθι ορθό διάγραμμα Nyquist. Ο λόγος για

τον οποίο το τόξο αυτό πρέπει πάντα να προστίθεται όταν η έχει μονό πόλο

στο 0, θα γίνει κατανοητός παρακάτω , όταν περιγράψουμε τον δρόμο του Nyquist που

γεννά το διάγραμμα Nyquist.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inary A

xis

27

Τονίζουμε πάλι ότι το ανωτέρω πλήρες διάγραμμα Nyquist είναι το σύνολο των σημείων

Τώρα εκ νέου φανταζόμαστε ότι κινούμεθα επί του άξονα των πραγματικών αριθμών από

το έως το και σε κάθε σημείο του πραγματικού άξονος κοιτάμε αν μας

περιβάλλουν κλειστοί βρόχοι και αν ναι πόσοι και με τι φορά. Στο συγκεκριμένο

παράδειγμα διακρίνουμε τέσσερεις περιοχές, δεδομένου ότι έχουμε μία αποδεκτή ρίζα

του και δεδομένου ότι η αρχή Ο(0,0) ανήκει πάντα στο διάγραμμα Nyquist, όταν ο

βαθμός του πολυωνύμου του παρονομαστή του είναι μεγαλύτερος από τον

βαθμό του αριθμητή αυτού . Επομένως διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις :

Περιοχή 1: Όταν βρισκόμαστε από το έως το δε μας περικλείει κανένας βρόχος άρα

πλήθος βρόχων .

Περιοχή 2: Όταν βρισκόμαστε από το έως το μας περικλείει 1 βρόχος, ο

οποίος είναι με ωρολογιακή φορά. Άρα το πλήθος βρόχων λογίζεται αρνητικό, λόγω της

ανθωρολογιακής φοράς, και έχει τιμή .

Περιοχή 3: Όταν βρισκόμαστε από το έως το μας περιβάλλει ένας βρόχος , ο

οποίος κλείνει με το νοητό ημικύκλιο άπειρης ακτίνας , με ωρολογιακή φορά που έχει

σχεδιαστεί με το χέρι, άρα το πλήθος των βρόχων λογίζεται θετικό λόγω της ωρολογιακής

φοράς και παίρνει την τιμή .

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inary A

xis

28

Επαναλαμβάνουμε το βασικό περιεχόμενο του κριτηρίου Nyquist: Α) Το χαρακτηριστικό

πολυώνυμο της συνάρτησης μεταφοράς του ΓΧΑ συστήματος κλειστού βρόχου είναι ο

αριθμητής του , το οποίον έστω ότι έχει ακριβώς ρίζες στο δεξί

ημιεπίπεδο που είναι οι πόλοι του συστήματος κλειστού βρόχου που προκαλούν αστάθεια.

Β) Το σύστημα «ανοιχτού βρόχου» έχει εν γένει το πλήθος πόλους στο δεξί

ημιεπίπεδο (εν προκειμένω

Για να βρούμε τις ρίζες του που βρίσκονται στο δεξί ημιεπίπεδο εφαρμόζουμε

μία από τις εξής δύο μεθόδους :

i. Λύνουμε αριθμητικά την πολυωνυμική εξίσωση

και προσμετρούμε μόνο τις ρίζες που έχουν θετικό πραγματικό μέρος. Πράγματι, η

εντολή “roots” του MATLAB δίνει

και γεγονός που σημαίνει . Το μηδέν δεν προσμετράται διότι

το αφορά μόνο τους πόλους αυστηρά στο δεξί ημιεπίπεδο.

ii. Εφαρμόζουμε το κριτήριο Routh στον παρονομαστή του και μετράμε τις

εναλλαγές προσήμου στην πρώτη στήλη της διάταξης Routh, επομένως πάλι .

Γ) Σε κάθε υποπεριοχή του πραγματικού άξονα του διαγράμματος Nyquist ισχύει η σχέση

ή σε λεκτική διατύπωση:

(αριθμός βρόχων που μας περιβάλλουν σε κάθε σημείο = αριθμός πόλων της στο

δεξί ημιεπίπεδο – αριθμός πόλων της στο δεξί ημιεπίπεδο)

Δ) Σε μία περιοχή έχω προφανώς αστάθεια BIBO για το σύστημα κλειστού βρόχου

όταν . Σε αυτή τη περίπτωση, το δείχνει το πλήθος των πόλων στο δεξί

ημιεπίπεδο.

Ε) Τα όρια κάθε περιοχής είναι και όρια του

Εφαρμόζοντας τα ανωτέρω στο συγκεκριμένο παράδειγμα όπου έχουμε

συμπεραίνουμε ότι ισχύουν τα ακόλουθα

Περιοχή 1: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας 2 πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα που

αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Περιοχή 2: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας 1 πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο. Τα που

αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

29

Με άλλα λόγια για τo σύστημα κλειστού βρόχου είναι πάντα ασταθές με 1

πόλο στο δεξί ημιεπίπεδο.

Περιοχή 3: , . To σύστημα κλειστού βρόχου είναι

πάντα ασταθές σε αυτή την περιοχή έχοντας 3 πόλους στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο. Τα

που αντιστοιχούν σε αυτή την περιοχή καθορίζονται από τις ανισώσεις

Παρατηρείται, επομένως, ότι το σύστημα είναι πάντα ασταθές για όλες τις τιμές του

Πως και γιατί παράγεται το διάγραμμα Nyquist.

Α) Όταν δεν υπάρχουν πόλοι επί του φανταστικού άξονα σχεδιάζω το κάτωθι ημικύκλιο και

αφήνω την ακτίνα του να τείνει στο άπειρο.

Επειδή ακριβώς , τελικά αυτός ο δρόμος (του Nyquist) θα συμπεριλάβει όλους τους

ενδεχόμενους πόλους του συστήματος κλειστού βρόχου στο δεξί ημιεπίπεδο.

Το διάγραμμα Nyquist προκύπτει ως εξής: για κάθε σημείο του δρόμου Nyquist υπολογίζω

το του ανοικτού βρόχου. Επειδή ο δρόμος Nyquist τελικά περιλαμβάνει όλο το

φανταστικό άξονα, το υποχρεωτικά θα παίρνει τις τιμές για κάθε πραγματικό μη

30

αρνητικό . Γι’ αυτά τα το διάγραμμα Nyquist θα είναι το πολικό διάγραμμα

του μετασχηματισμού Fourier του ανοικτού βρόχου , αφού ο Fourier είναι

ακριβώς o για . Το ημικύκλιο είναι . Καθώς το , το

διάγραμμα Nyquist πλησιάζει ασυμπτωτικά το Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο

στις περιοχές υπολογισμού του , προσμετράμε πάντα και το .

Περίπτωση όπου έχουμε πόλους επί του φανταστικού άξονος

Στη περίπτωση αυτή, ο δρόμος του Nyquist παρακάμπτει αυτούς του αμιγώς φανταστικούς

πόλους, διαγράφοντας ανθωρολογιακά κύκλους πολύ μικρής ακτίνας με κέντρο τον

εκάστοτε αμιγώς φανταστικό πόλο. Παραδείγματος χάριν, εάν η έχει πόλο τον

, τότε ο δρόμος Nyquist θα περιλαμβάνει τον κύκλο

και

απείρως μικρή θετική ποσότητα.

Ειδική μνεία πρέπει να γίνει για την περίπτωση που η έχει πόλο ή πολλαπλούς

πόλους στο 0. Στη περίπτωση απλού πόλου, ο κύκλος παράκαμψης που χρησιμοποιεί ο

δρόμος του Nyquist είναι ,

και απείρως μικρή θετική ποσότητα.

Αντικαθιστώντας τα σημεία αυτού του κύκλου στην συνάρτηση προκύπτει ,

λόγω του απλού πόλου στο 0, ο όρος

. Αλλά αυτό είναι ουσιαστικά ένα

ημικύκλιο κέντρου με άπειρη ακτίνα, διότι το οποίο διαγράφεται

ωρολογιακά, λόγω του μείον στον εκθέτη, για

Αυτό είναι ακριβώς το

ημικύκλιο που προσθέσαμε με το χέρι στο διάγραμμα που δίνει το MATLAB, ώστε να

προκύψει το πλήρες, διορθωμένο, διάγραμμα Nyquist.