ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ•ΠΑΝAΛΗΨΗ... · 41 21 3 0+−⋅−=2 ¤ 00= που...

Γιώργος Πρέσβης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο :

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

Φροντιστήρια

2 Φροντιστήρια

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Εξίσωση ευθείας – Β ́Λυκείου

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής

1.1 Να εξετάσετε αν τα σηµεία ( )Α 1,3 και ( )B 4,1 ανήκουν στη γραµµή c µε

εξίσωση 2x y 2 y 3 0+ − − =

Λύση:

Το σηµείο ( )Α 1,3 θα ανήκει στη γραµµή c, αν, και µόνο αν:

21 3 2 3 3 0+ − ⋅ − = ¤ 1 0= άτοπο. Άρα το σηµείο ( )Α 1,3 δεν ανήκει στη γραµµή c, δηλαδή ( )Α 1,3 cœ .

Σ ΧΟ Λ Ι Ο

Γνωρίζουµε ότι: ένα σηµείο ( )0 0M x , y ανήκει στη γραµ-

µή c µε εξίσωση ( )=φ x , y 0 ,

αν, και µόνο αν, ισχύει ( ) =0 0φ x , y 0 . (δηλαδή αν, και µόνο αν, οι συντεταγµένες του σηµείου Μ ικανοποιούν την εξίσωση της γραµµής c).

Όµοια το σηµείο ( )B 4,1 ανήκει στη γραµµή c, αν, και µόνο αν:

24 1 2 1 3 0+ − ⋅ − = ¤ 0 0= που ισχύει. Άρα το σηµείο ( )B 4,1 ανήκει στη γραµµή c, δηλαδή ( )B 4,1 cŒ .

Φροντιστήρια 3

Εξίσωση Ευθείας – Β ́Λυκείου Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2η Κατηγορία : Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας και Γωνία που

σχηματίζει με τον άξονα x΄x

1.2 Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x γωνία:

i) πω 3= ii) 2πω 3= iii) πω 2= iv) ω 0=

Λύση:

i) πλ εφ 33= = ii) 2πλ εφ 33= = −

iii) ∆εν ορίζεται iv) λ εφ0 0= =

Σ ΧΟ Λ Ι Ο Γνωρίζουµε ότι αν π πω 2 , τότε =λ εφω

1.3 Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x µια ευθεία ε που έχει συντελεστή διεύθυνσης:

i) λ 3= ii) λ 3= − iii) 3λ 3= iv) λ 1=

Λύση:

i) λ 3= ¤ εφω 3= ¤ πω 3=

ii) λ 3= − ¤ εφω 3= − ¤ π 2πω π 3 3= − =

iii) 3λ 3= ¤ 3εφω 3= ¤ πω 6=

iv) λ 1= ¤ εφω 1= ¤ πω 4=

Σ ΧΟ Λ Ι Ο

Για τη γωνία ω που σχη-µατίζει µια ευθεία ε µε τον άξονα ¢χ χ , γνωρί-ζουµε ότι είναι πάντοτε: £ <0 ω π .



1.4 Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης και τη γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x µια ευθεία:

i) η οποία είναι παράλληλη στο διάνυσµα ( )a 6 , 12= − .

ii) η οποία είναι παράλληλη στο διάνυσµα ( )β 3,0= .

Λύση:

i) ε α2 3 312λ λ 6 6 3= = = − = −

−,

άρα π 5πω π 6 6= − =

ii) ε β0λ λ 03= = = , άρα ω 0=

Σ ΧΟ Λ Ι Ο

Γνωρίζουµε ότι: όταν µια ευθεία ε και ένα διάνυσµα δ ( x , y )= , x 0π , είναι

παράλληλα, τότε έχουν τον ίδιο συντελε-

στή διεύθυνσης: ε δy

λ λ x= = .



3η Κατηγορία : Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας από δυο γνωστά

σημεία της

1.5 *Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης: i) Της ευθείας, η οποία διέρχεται από τα σηµεία Α( 1,4 )− και Β(1,6 ) ii) Της ευθείας, η οποία τέµνει τους άξονες στα σηµεία Γ( 1,0 )− και ∆(0,2 ) .

Λύση:

i) Eίναι: ΑΒ6 4 2λ 1

1 ( 1 ) 2−

= = =− −

ii) Eίναι: Γ∆2 0 2λ 2

0 ( 1) 1−

= = =− −

Σ ΧΟ Λ Ι Ο

Γνωρίζουµε ότι: Αν ( )1 1A x , y , ( )2 2B x , y ,

µε π1 2x x , τότε -

=-

2 1

2 1

y yλ

x x.

4η Κατηγορία : Συνθήκες Παραλληλίας και Καθετότητας Ευθειών

1.6 ∆ίνονται τα σηµεία Γ( 1,0 )− και ∆(0,2 ) . Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας, η οποία διέρχεται από το Ο και είναι i) παράλληλη στη Γ∆ ii) κάθετη στη Γ∆.

Λύση:

i) Είναι ( )Γ∆2 0λ 20 1−= =−−

.

Η ευθεία ε είναι παράλληλη στη Γ∆, µόνο όταν ε Γ∆λ λ 2= = .

ii) Η ευθεία ε είναι κάθετη στη Γ∆, µόνο

όταν ε Γ∆λ λ 1⋅ =− ¤ Γ∆

ε1 1

2λλ −= =− .

Σ ΧΟ Λ Ι Ο

Αν ε1 , ε2 είναι δύο ευθείες µε συντε-λεστές διεύθυνσης λ1 , λ2 , τότε: 1 2ε // ε <==> =1 2λ λ και ^1 2ε ε <==> ◊ = -1 2λ λ 1



5η Κατηγορία : Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας

1.7 Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο ( )Α 4, 1− −

και i) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 3= − . ii) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 0= . iii) δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης.

Λύση:

i) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο ( )Α 4, 1− − και έχει

συντελεστή διεύθυνσης λ 3= − , είναι: ( ) ( )( )y 1 3 x 4− − =− ⋅ − −

¤ ( )y 1 3 x 4+ =− ⋅ + ¤ y 3x 13=− −

ii) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο ( )Α 4, 1− − και έχει

συντελεστή διεύθυνσης λ 0= , είναι: ( ) ( )( )y 1 0 x 4− − = ⋅ − −

¤ y 1=−

iii) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο ( )Α 4, 1− − και δεν έχει

συντελεστή διεύθυνσης, είναι: x 4=−

Σ ΧΟ Λ Ι Ο

Αν έχουµε το σηµείο ( )1 1A x , y τότε:

‣ Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυν-σης λ, είναι: ( )- = ◊ -1 1y y λ χ x .

‣ Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης, είναι: = 1x x



6η Κατηγορία : Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας που διέρχεται από δυο

γνωστά σημεία

1.8 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία: i) Α( 2,3 )− και Β(4, 2 )− ii) Α( 1, 5 )− − και Β(4, 5 )− iii) Α( 3,7 )− και Β( 3, 4 )− −

Λύση:

i) Είναι ( )ΑΒ2 3 5λ 64 2− −= = −− −

, άρα

η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι:

( )( )5y 3 x 26− = − ⋅ − −

¤ 5 4y x6 3=− +

ii) Είναι ( )( )ΑΒ

5 5λ 0

4 1− − −

= =− −

, άρα

η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι: ( )( )y 3 0 x 2− = ⋅ − − ¤ y 3=

Σ ΧΟ Λ Ι Ο

Αν έχουµε τα σηµεία ( )1 1A x , y και

( )2 2B x , y , τότε:

‣ Αν π1 2x x , τότε -

=-

2 1ΑΒ

2 1

y yλ

x x και η

εξίσωση της ΑΒ είναι ( )- = ◊ -1 1y y λ χ x .

‣ Αν =1 2x x , τότε η ΑΒ δεν έχει συντελε-

στή διευθύνσεως γιατί ^ ¢ΑΒ x x . Η εξίσω-ση της ΑΒ είναι = 1x x

iii) Η ΑΒ δεν έχει συντελεστή διεύθυσνης, γιατί τα σηµεία Α και Β έχουν την ίδια τετµηµένη: 1 2x x 3= = − . Άρα η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι: x 3=− .



7η Κατηγορία : Κοινά σημεία δύο ή περισσοτέρων ευθειών

1.9 Να βρείτε το κοινό σηµείο των ευθειών µε εξισώσεις y 3x 2= − και y 2x 8= − +

Λύση:

Λύνουµε το σύστηµα:

y 3x 2

y 2 x 8= −⎧ ⎫

⎨ ⎬= − +⎩ ⎭

¤ 3x 2 2x 8

y 2x 8− = − +⎧ ⎫

⎨ ⎬= − +⎩ ⎭

¤ 5x 10

y 2 x 8=⎧ ⎫

⎨ ⎬= − +⎩ ⎭

¤ x 2

y 2 2 8=⎧ ⎫

⎨ ⎬= − ⋅ +⎩ ⎭

¤ x 2y 4=⎧ ⎫

⎨ ⎬=⎩ ⎭

Μ ΕΘ Ο ∆ Ο Σ

Για να βρούµε το κοινό σηµείο δυο ευ-θειών, λύνουµε το σύστηµα των εξισώ-σεών τους. Αν βέβαια το σύστηµα αυτό είναι αδύνα-το, τότε οι δυο αυτές ευθείες δεν έχουν κοινά σηµεία (δηλ. είναι παράλληλες) ενώ αν το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, τότε οι ευθείες αυτές ταυτίζονται.

. Άρα το κοινό σηµείο των ευθειών αυτών, είναι το σηµείο ( )Μ 2,4



8η Κατηγορία : Τρείς ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σημείο

1.10 Να αποδείξετε ότι οι ευθείες µε εξισώσεις y 5x 8= + , y 3x 6= + και y 2x 1= − + διέρχονται από το ίδιο σηµείο του οποίου να βρείτε τις συ-

ντεταγµένες

Λύση:

Λύνοντας το σύστηµα y 5x 8y 3x 6= +⎧ ⎫

⎨ ⎬= +⎩ ⎭

βρίσκουµε το

σηµείο ( )Α 1,3- που είναι το σηµείο τοµής των δυο

πρώτων ευθειών. Το σηµείο αυτό όµως ανήκει και στην τρίτη ευθεία µε εξίσωση y 2x 1= − + γιατί ισχύ-

ει ( )3 2 1 1= − − + . Εποµένως και οι τρείς ευθείες

διέρχονται από το σηµείο ( )Α 1,3- .


Για να αποδείξουµε ότι τρείς ευθείες διέρχονται (και οι τρείς) από το ίδιο σηµείο, αρ-κεί να αποδείξουµε ότι το ση-µείο τοµής των δύο πρώτων ανήκει και στην τρίτη.

1.11 *Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο ( )Μ 2,1 και τέµνει τις ευθείες y x 1= + και y x 1=- + στα σηµεία Α και

Β αντιστοίχως, έτσι ώστε το Μ να είναι µέσο του ΑΒ .

Λύση:

Οι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο Μ( 2,1 ) είναι:

‣ η κατακόρυφη µε εξίσω-

ση x 2= και

‣ οι µη κατακόρυφες ευθεί-

ες µε εξισώσεις της µορ-φής

( )y 1 λ x 2- = - , λŒ .


Όταν σε µια άσκηση, θέλουµε να εξετάσουµε ΟΛΕΣ τις ευθείες που διέρχονται από κάποιο σηµείο

( )0 0Μ χ , y , πρέπει να εξετάσουµε χωριστά:

‣ την κατακόρυφη ευθεία µε εξίσωση = 0x χ (που δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης) και

‣ τις µη κατακόρυφες ευθείες µε εξισώσεις της µορ-φής ( )- = ◊ -0 0y y λ x χ , Œλ



• Εξετάζουµε πρώτα αν η ευθεία x 2= , είναι λύση του προβλήµατος: Εύκολα βρίσκουµε ότι η ευθεία x 2= τέµνει την y x 1= + στο σηµείο Β(2,3) και την y x 1=- + στο σηµείο Γ( 2, 1)- . Άρα το ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ έχει

µέσο το σηµείο µε συντεταγµένες ( )3 ( 1)2 2 ,2 2+ -+ δηλαδή ( )2,1 , που είναι οι

συντεταγµένες του σηµείου Μ. Άρα, η κατακόρυφη x 2= είναι µια από τις ζητούµενες ευθείες.

• Εξετάζουµε τώρα αν υπάρχει τιµή του λŒ , ώστε η ευθεία ( )y 1 λ x 2- = ◊ -

να είναι επίσης λύση του προβλήµατος. ‣ Για το σηµείο τοµής Β της ( )y 1 λ x 2- = ◊ - µε την y x 1= + , λύνουµε το

σύστηµα: ( )y 1 λ x 2

y x 1- = ◊ -Ï ¸

Ì ˝= +Ó ˛ ¤

x 1 1 λx 2λy x 1

+ - = -Ï ¸Ì ˝= +Ó ˛

¤ 2λ λx x

y x 1= -Ï ¸

Ì ˝= +Ó ˛

¤ ( )λ 1 x 2λ

y x 1- =Ï ¸

Ì ˝= +Ó ˛ λ 1π¤

2 λx λ 1y x 1

Ï ¸=Ô Ô-Ì ˝= +Ô ÔÓ ˛

¤ 2λx λ 1

2λ 2λ λ 1 3λ 1y 1λ 1 λ 1 λ 1

Ï ¸=Ô Ô-Ì ˝+ - -= + = =Ô ÔÓ ˛- - -

.

Άρα ( )2λ 3λ 1Β ,λ 1 λ 1-

- - , µε τον περιορισµό βέβαια λ 1π .

(Αν λ 1= το σύστηµα είναι αδύνατο, οπότε οι ευθείες δεν τέµνονται). ‣ Για το σηµείο τοµής Γ της ( )y 1 λ x 2- = ◊ - µε την y x 1=- + , λύνουµε το

σύστηµα: ( )y 1 λ x 2

y x 1- = ◊ -Ï ¸

Ì ˝= - +Ó ˛ και όµοια βρίσκουµε ( )2λ 1 λΓ ,λ 1 λ 1

-+ + , λ 1π- .

‣ Το σηµείο Μ(2,1) θα είναι µέσο του ΒΓ, αν και µόνο αν

( )

( )

2λ 2λ1 22 λ 1 λ 1και

3λ 1 1 λ1 12 λ 1 λ 1

Ï ¸+ =- +Ô ÔÔ ÔÌ ˝Ô Ô- -+ =Ô ÔÓ ˛- +

¤

2 λ 2λ 4λ 1 λ 1και

3λ 1 1 λ 2λ 1 λ 1

Ï ¸+ =- +Ô ÔÔ ÔÌ ˝Ô Ô- -+ =Ô ÔÓ ˛- +

¤ ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

2λ λ 1 2 λ λ 1 4 λ 1 λ 1και

3λ 1 λ 1 1 λ λ 1 2 λ 1 λ 1

+ + - = + -Ï ¸Ô ÔÌ ˝Ô Ô- + + - - = + -Ó ˛

.

Οι εξισώσεις όµως αυτές δεν συναληθεύουν για καµία τιµή του λ, αφού η

πρώτη γράφεται 22λ 2λ+ 22 λ+ 2λ- 24 λ= 4- ¤ 0 4=- (αδύνατη).

Έτσι η µόνη λύση του προβλήµατός µας, είναι η κατακόρυφη ευθεία x 2= .



9η Κατηγορία : Κοινά σημεία μιας ευθείας με τους άξονες

1.12 Να βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής της ευθείας ε µε εξίσω-ση y 3x 5= − µε τους άξονες x΄x και y΄y .

Λύση:

Για τον άξονα x x′ : Λύνουµε το σύ-

στηµα y 3x 5

y 0= −⎧ ⎫

⎨ ⎬=⎩ ⎭

¤ 5x 3

y 0

⎧ ⎫=⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪=⎩ ⎭

.

Άρα η ευθεία ε τέµνει τον άξονα

x x′ στο σηµείο ( )5A ,03 .

Για τον άξονα y y′ : Λύνουµε το σύ-

στηµα x 0

y 3x 5=⎧ ⎫

⎨ ⎬= −⎩ ⎭

¤ x 0

y 5=⎧ ⎫

⎨ ⎬= −⎩ ⎭

.

Άρα η ευθεία ε τέµνει τον άξονα y y′ στο σηµείο ( )B 0, 5- .


Για τους άξονες ¢x x και ¢y y γνωρίζουµε ότι:

‣ Ο ¢x x έχει εξίσωση =y 0

‣ Ο ¢y y έχει εξίσωση =x 0 . Εποµένως για να βρούµε τα σηµεία τοµής µιας ευθείας ε µε τους άξονες,

‣ για τον άξονα ¢x x : θέτουµε =y 0 στην εξίσωση της ευθείας.

‣ για τον άξονα ¢y y : θέτουµε =x 0 στην εξίσωση της ευθείας.



10η Κατηγορία : Συνευθειακά Σημεία

1.13 *Να δείξετε ότι τα σηµεία Α(1, 1 )− , Β( 2,0 ) και Γ( 1, 3 )− − είναι συ-νευθειακά.

Λύση:

1ος τρόπος:Έχουµε AB0 ( 1 )λ 1

2 1- -= =-

και

AΓ3 ( 1)λ 1

1 1- - -= =- -

. Εποµένως, AB AΓλ λ= ,

οπότε οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ είναι παράλλη-λες και εφόσον έχουν κοινό το σηµείο Α θα ταυτίζονται. Άρα, τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.


Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α , Β και Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να α-ποδείξουµε ότι οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ είναι παράλληλες, δηλαδή =ΑΒ AΓλ λ (υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι ορίζο-νται οι συντελεστές διευθύνσεως)

2ος τρόπος:

Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης

AB0 ( 1 )λ 1

2 1- -= =-

και αφού διέρχεται από

το σηµείο Β( 2,0 ) έχει εξίσωση

( )y 0 1 x 2- = - ¤ y x 2= - . Το σηµείο Γ( 1, 3 )− − ανήκει στην ευθεία αυτή , γιατί 3 1 2- =- - . Εποµένως, τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.


Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α , Β και Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να α-ποδείξουµε ότι το ένα από τα τρία αυτά σηµεία (π.χ. το Γ) ανήκει στην ευθεία που ορίζουν τα άλλα δυο σηµεία Α και Β.



1.14 Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(α 1,2α 1)− + , Β( 2β 3,4β 9 )+ + και

Γ(3 γ ,9 2γ )− − είναι συνευθειακά για κάθε τιµή των α,β,γ∈ .

Λύση:

Έχουµε ΑΒ ( ) ( )( )2β 3 α 1 ,4β 9 2α 1= + − − + − +

( )2β α 4,4β 2α 8= − + − +

( )( )2β α 4,2 2β α 4= − + − +

( ) ( )2β α 4 1,2= − + ⋅ , άρα ( )ΑΒ // 1,2 .

και ΑΓ ( ) ( )( )3 γ α 1 ,9 2γ 2α 1= − − − − − +

( )γ α 4, 2γ 2α 8= − − + − − +

( )( )γ α 4,2 γ α 4= − − + − − +

( ) ( )γ α 4 1,2= − − + ⋅ , άρα ( )ΑΓ // 1,2 .

Εποµένως, τα διανύσµατα ΑΒ και ΑΓ είναι και τα δυο παράλληλα προς το διάνυσµα ( )1,2 , οπότε είναι

και µεταξύ τους παράλληλα.


Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α , Β και Γ είναι συ-νευθειακά, αρκεί να αποδείξου-µε ότι τα διανύσµατα AB και

AΓ είναι παράλληλα, δηλα-δή ότι ( )=det AB ,AΓ 0

(ο τρόπος αυτός εφαρµόζεται και στην περίπτωση που δεν ορίζονται οι συντελεστές διευ-θύνσεως των διανυσµάτων)

Άρα οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ είναι παράλληλες και εφόσον έχουν κοινό το σηµείο Α θα ταυτίζονται. Άρα, τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.



11η Κατηγορία : Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας

1.15 Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των παρακάτω ευθειών: i) 1ε : 2x 3y 5 0− − = ii) 2ε : 3x 2 y 5− + =

iii) 31ε : 2x 4 y 02+ − = iv) 4ε : 2 x 3 0− =

Λύση:

i) Είναι A 2= και B 3 0= - π ,

οπότε Αλ Β=- 2 23 3=- =- .

ii) Είναι A 3= - και B 2 0= π ,

οπότε Αλ Β=- 3 32 2-=- = .

iii) Είναι A 2= και B 4 0= π , οπότε Αλ Β=- 2 1

4 2=- = - .

iv) Είναι A 2= και B 0= οπότε δεν έχει συντελε-στή διεύθυνσης (είναι κάθετη στον άξονα x x¢ ).


Γνωρίζουµε ότι η ευθεία µε εξίσωση + + =Ax By Γ 0 :

‣ Αν πB 0 έχει συντελε-στή διεύθυνσης = - Αλ Β .

‣ Αν =B 0 είναι κάθετη στον άξονα ¢x x και δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης.

1.16 Για ποιες τιµές του λ∈ παριστάνει ευθεία η εξίσωση

( ) ( )2 2 2λ 4 x 3λ 4 λ 4 y λ λ 0− − − − + − = (1);

Λύση: Η εξίσωση (1) ∆ΕΝ παριστάνει ευθεία µόνο όταν ισχύουν και οι δυο παρακάτω σχέσεις:

2

2

λ 4 0και

3λ 4λ 4 0

⎧ ⎫− =⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪

− − =⎩ ⎭

¤ λ 2 ή λ 2

και2λ 2 ή λ 3

= = −⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪= = −⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Σ ΧΟ Λ Ι Ο Γνωρίζουµε ότι η εξίσωση

+ + =Ax By Γ 0 ∆ΕΝ πα-ριστάνει ευθεία µόνο όταν =A 0 και =B 0 .

Παρατηρούµε ότι για λ 2= ισχύουν και οι δυο παραπάνω σχέσεις, οπότε για την τιµή αυτή του λ, η δοσµένη εξίσωση, δεν παριστάνει ευθεία. Εποµένως για κάθε { }λ 2Œ - η (1) παριστάνει ευθεία.



12η Κατηγορία : Ζεύγη Ευθειών

1.17 *Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 2x 4xy 4 y 1 0+ + - = παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε;

Λύση:

Έχουµε: 2 2x 4xy 4 y 1 0+ + - = ¤ ( )2x 2y 1 0+ - = ¤ ( )( )x 2y 1 x 2 y 1 0+ - + + = ¤ x 2 y 1 0+ - = ή x 2 y 1 0+ + = Οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν δύο παράλληλες µεταξύ τους ευθείες.

1.18 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 22x 3xy 2 y x 2y 0+ - + + = παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε;

Λύση:

Η εξίσωση 2 22x 3xy 2 y x 2y 0+ - + + = γράφεται ισοδύναµα

( ) ( )2 22x 3y 1 x 2 y 2 y 0+ + + - + = και θεωρούµενη ως εξίσωση β΄βαθµού ως προς τον άγνωστο x, έχει διακρίνουσα

2∆ β 4αγ= - ( ) ( )2 23 y 1 4 2 2 y 2 y= + - ◊ ◊ - + 2 29 y 6 y 1 16 y 16 y= + + + -

225y 10 y 1= - + ( )25 y 1 0= - ≥

οπότε ( ) ( )23 y 1 5y 1x 2 2- + ± -= ◊

¤ ( ) ( )3 y 1 5 y 1x 4- + ± -=

¤ 3y 1 5 y 1x 4- - + -= ή 3y 1 5 y 1x 4

- - - +=

¤ 2 y 2 y 1x 4 2- -= = ή 8 yx 2 y4

-= =-

¤ 2x y 1 0- + = ή x 2 y 0+ =

Οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν δύο κάθετες µεταξύ τους ευθείες.



13η Κατηγορία : Διάνυσμα Παράλληλο ή Κάθετο σε Ευθεία

1.19 ∆ίνεται η ευθεία ε µε εξίσωση 3x 2 y 5 0- + = . Να βρεθούν τρία διανύ-σµατα παράλληλα και τρία διανύσµατα κάθετα στην ευθεία ε.

Λύση:

Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 3λ 2 2=- =- .

Εποµένως κάθε διάνυσµα παράλληλο προς την ε θα έχει επίσης συντελεστή διεύ-

θυνσης 32 . Τέτοια διανύσµατα είναι: ( )α 2,3= , ( )β 4,6= και ( )γ 8, 12= - - .

Επίσης κάθε διάνυσµα κάθετο στην ε θα έχει συντελεστή διεύθυνσης 23- .

Τέτοια διανύσµατα είναι: ( )δ 3, 2= - , ( )ε 9,6= - και ( )ζ 300, 200= - .



14η Κατηγορία : Γωνία δυο Ευθειών

1.20 Na βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών

1ε : 3 x 3y 5 0− − = και 2ε : 2 3 x 2y 1 0− + =

Λύση:

Η ευθεία 1ε : 3 x 3y 5 0− − = έχει συντελεστή διεύ-

θυνσης 13 3λ 3 3=- =- , οπότε είναι παράλληλη στο

διάνυσµα ( )1δ 3, 3= .

Όµοια η ευθεία 2ε : 2 3 x 2y 1 0− + = έχει συντελε-

στή διεύθυνσης 22 3λ 32=- =- , οπότε είναι παράλ-

ληλη στο διάνυσµα ( )2δ 1, 3= .


Για να προσδιορίσουµε το συνηµί-τονο της γωνίας δυο ευθειών, θε-ωρούµε δυο διανύσµατα παράλληλα µε τις ευθείες αυτές και προσδιο-ρίζουµε το συνηµίτονο της γωνίας των δυο αυτών διανυσµάτων.

Υπολογίζουµε το συνηµίτονο της γωνίας φ των διανυσµάτων 1δ και 2δ :

( ) ( )1 2

2 22 21 2

δ δ 3 1 3 3συνφ|δ | |δ | 3 3 1 3

◊ ◊ + ◊= =◊ + ◊ +

6 6 3 3 3 32 3 212 4 4 3 2 2 3

= = = = =◊◊ ◊ ◊

.

Εποµένως οφ 30= . Η γωνία αυτή των δι-

ανυσµάτων 1δ και 2δ είναι ίση µε την ο-

ξεία γωνία των ευθειών 1ε και 2ε .

ε1

ε2

δ1

δ2

φ

φ



15η Κατηγορία : Γεωμετρικοί Τόποι

1.21 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων ( )Μ λ 1,3λ 2+ + , λ∈ .

Λύση:

Έστω ( )Μ x, y , τυχαίο σηµείο του γεω-

µετρικού τόπου.

Τότε είναι: x λ 1

y 3λ 2= +⎧ ⎫

⎨ ⎬= +⎩ ⎭

και απαλείφοντας τον αριθµό λ∈ από τις δυο αυτές εξισώσεις, έχουµε:

( )λ x 1

y 3 x 1 2= −⎧ ⎫

⎨ ⎬= − +⎩ ⎭

¤ λ x 1

y 3x 1= −⎧ ⎫

⎨ ⎬= −⎩ ⎭

.


Για να προσδιορίσουµε το γεωµετρικό τό-πο ενός µεταβλητού σηµείου Μ, θεωρούµε τυχαίο σηµείο ( )Μ x , y του ζητούµενου

γεωµετρικού τόπου και προσπαθούµε να προσδιορίσουµε την εξίσωση που ικανο-ποιούν οι συντεταγµένες x και y του ση-µείου Μ.

∆ηλαδή οι συντεταγµένες του τυχαίου σηµείου ( )Μ x, y του γεωµετρικού τόπου

ικανοποιούν την εξίσωση y 3x 1= - . Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η ευθεία µε εξίσωση y 3x 1= - .



16η Κατηγορία : Απόσταση σημείου από Ευθεία

1.22 Να βρεθούν οι αποστάσεις του σηµείου ( )Ρ 2,3− από τις ευθείες µε

εξισώσεις 1ε : 5x 12 y 3 0+ − = και 22ε : y x 53= − .

Λύση:

‣ Η απόσταση του σηµείου ( )Ρ 2,3− από την

ευθεία 1ε : 5x 12 y 3 0+ − = είναι:

( )1d P,ε ( )2 2

|5 2 12 3 3|

5 12

◊ - + ◊ -=+

| 10 36 3|25 144

- + -=+

|23|169

= 2313

=


Γνωρίζουµε ότι η απόσταση του

σηµείου ( )0 0M x , y από την ευ-θεία + + =ε : Ax By Γ 0 είναι

( )+ +

=+2 2

0 0Ax By Γd M,ε

A B

‣ Η εξίσωση της ευθείας 22ε : y x 53= − γράφεται ισοδύναµα

3y 2x 15= − ¤ 2x 3 y 15 0− − = και η απόσταση του σηµείου

( )Ρ 2,3− από την ευθεία αυτή είναι:

( )2d P,ε ( )( )22

|2 2 3 3 15|

2 3

◊ - - ◊ -=+ -

| 4 9 15|13

- - -= | 28|13-= 28

13= 28 13

13=



17η Κατηγορία : Απόσταση δυο Παραλλήλων Ευθειών

1.23 Να βρεθεί η απόσταση των παραλλήλων ευθειών 1ε : 4 x 3y 7 0− + = και 2ε : 4 x 3y 5 0− + = .

Λύση:

Βρίσκουµε πρώτα ένα τυχαίο σηµείο της 1ε : Για x 0= , από την εξίσωση

1ε : 4 x 3y 7 0− + = βρίσκουµε ότι

3 y 7 0− + = ¤ 7y 3= .

Άρα, το σηµείο ( )7Α 0,3 ανήκει στην 1ε .

Η απόσταση των 1ε και 2ε είναι ίση µε την

απόσταση του σηµείου ( )7Α 0,3 της 1ε


Για να υπολογίσουµε την απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών 1ε και 2ε , βρί-σκουµε πρώτα ένα σηµείο Α της ευθεί-ας 1ε και υπολογίζουµε την απόσταση του σηµείου Α από την ευθεία 2ε .

∆ηλαδή: ( ) ( )=1 2 2d ε ,ε d A,ε .

από την ευθεία 2ε : 4 x 3y 5 0− + = . ∆ηλαδή:

( ) ( )1 2 2d ε ,ε d A,ε=( )22

74 0 3 534 3

◊ - ◊ +=

+ -

7 516 9- +=

+2

25-= 2

5= .



18η Κατηγορία : Εμβαδόν Τριγώνου

1.24 Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές ( )Α 2,7− , ( )Β 3, 8− και

( )Γ 1,5− .

Λύση:

Έχουµε ( )( ) ( )ΑΒ 3 2 , 8 7 5, 15= - - - - = -

και ( )( ) ( )ΑΓ 1 2 ,5 7 1, 2= - - - - = - .

Άρα ( )ABΓ ( )1 det ΑΒ, ΑΓ2=

5 151| |2 1 2-

=-

( ) ( )1 5 2 1 152= ◊ - - ◊ -

1 10 152= - +

51 52 2= =

τετραγωνικές µονάδες.


Για το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ µε

( )1 1Α x , y , ( )2 2B x , y και ( )3 3Γ x , y ,

‣προσδιορίζουµε πρώτα τις συντεταγµένες δυο οποιωνδήποτε διανυσµάτων που ορίζονται από αυτά τα τρία σηµεία: π.χ. ( )= - -2 1 2 1ΑB x x , y y και

( )= - -3 1 3 1ΑΓ x x , y y .

‣Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε τον τύπο:

( )AΒΓ ( )= 1 det AB ,AΓ2

- -

= - -2 1 2 1

3 1 3 1

x x y y1x x y y2



19η Κατηγορία : Διχοτόμοι των γωνιών δυο τεμνομένων ευθειών

1.25 *Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατί-ζουν οι ευθείες 1ε : 3x 4 y 1 0− + = και 2ε : 5x 12 y 4 0+ + = .

Λύση: Ένα σηµείο ( , )M x y ανήκει σε µια από τις διχοτόµους των γωνιών που ορίζουν οι ευθείες 1ε : 3x 4 y 1 0− + = και 2ε : 5x 12 y 4 0+ + = , αν και µόνο αν ισαπέχει από τις δύο ευ-θείες, δηλαδή, αν και µόνο αν ισχύει: ( ) ( ), ,1 2d M ε d M ε=

¤ | | | |

( )2 2 2 2

3x 4 y 1 5 x 12 y 4

3 4 5 12

- + + +=+ - +

¤ | | | |3x 4 y 1 5x 12y 45 13

- + + +=

¤ ( ) ( )

( ) ( )

13 3x 4 y 1 5 5x 12y 4ή

13 3x 4 y 1 5 5x 12 y 4

- + = + +Ï ¸Ô ÔÌ ˝Ô Ô- + =- + +Ó ˛


Οι διχοτόµοι των γωνιών που σχηµατίζουν δυο τεµνόµενες ευθείες 1ε και 2ε , είναι ο γεωµε-τρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από τις ευθείες 1ε και 2ε .

∆ηλαδή ( ) ( )=1 2d M,ε d M ,ε

ε1

ε2

1 234M

M

¤ )39x 52 y 13 25x 60 y 20ή

39x 52 y 13 25x 60 y 20

- + = + +Ï ¸Ô ÔÌ ˝Ô Ô- + = - - -Ó ˛

¤ 2x 16 y 1 0

ή64 x 8 y 33 0

- - =Ï ¸Ô ÔÌ ˝Ô Ô+ + =Ó ˛

.

Άρα, οι εξισώσεις των διχοτόµων είναι οι: 2x 16 y 1 0- - = και 64x 8 y 33 0+ + = .



20η Κατηγορία : Μεσοπαράλληλος δυο παραλλήλων ευθειών

1.26 Να βρεθεί η εξίσωση της µεσοπαραλλήλου των ευθειών

1ε : 3x 5 y 12 0− + = και 2ε : 3x 5 y 6 0− + = .

Λύση:

Ένα σηµείο ( , )M x y ανήκει στη µεσο-παράλληλη των ευθειών 1ε : 3x 5 y 12 0− + = και

2ε : 3x 5 y 6 0− + = , αν και µόνο αν ισαπέχει από τις δύο ευθείες, δηλαδή, αν και µόνο αν ισχύει: ( ) ( ), ,1 2d M ε d M ε=

¤ | | | |

( ) ( )2 2 2 2

3x 5 y 12 3x 5 y 6

3 5 3 5

- + - +=+ - + -

¤ ( )

3x 5y 12 3x 5 y 6ή

3x 5 y 12 3x 5 y 6

- + = - +Ï ¸Ô ÔÌ ˝Ô Ô- + =- - +Ó ˛

¤ ( )12 6 αδύνατηή

6 x 10 y 18 0

=Ï ¸Ô ÔÌ ˝Ô Ô- + =Ó ˛

¤ 3x 5 y 9 0- + =


Η µεσοπαράλληλος δυο παραλλήλων ευθειών

1ε και 2ε , είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από τις ευθείες 1ε και 2ε .

∆ηλαδή ( ) ( )=1 2d M,ε d M ,ε

ε

ε1

ε2

M

Άρα η µεσοπαράλληλη των ευθειών 1ε και 2ε έχει εξίσωση 3x 5 y 9 0- + = .



21η Κατηγορία : Συμμετρικό σημείου ως προς ευθεία

1.27 ∆ίνονται η ευθεία ε µε εξίσωση 1y x 12= + και το σηµείο A( 2,1 ) .

Να βρεθούν οι συντεταγµένες του συµµετρικού του σηµείου Α ως προς την ευθεία ε.

Λύση:

Αν A ( µ,ν )¢ είναι το συµµετρικό του Α ως προς την ε, τότε το µέσον Μ του AA¢ ανήκει στην ε

µε εξίσωση 1y x 12= + (άρα οι συντεταγµένες του

Μ ικανοποιούν την εξίσωση της ε) και το γινόµε-νο των συντελεστών διεύθυνσης των ε και AA¢ είναι -1, αφού ε AA^ ¢ .

Ο x

y ε Μ

Α(2,1)

Α (́ µ,ν)

Οι συντεταγµένες του µέσου Μ είναι µ 2 ν 1,2 2+ +Ê ˆ

Ë ¯ και ο συντελεστής διεύθυνσης

του AA¢ είναι ν 1µ 2--

. Έτσι έχουµε το σύστηµα

ν 1 1 µ 2 12 2 21 ν 1 12 µ 2

+ +Ï ¸= ◊ +Ô ÔÔ ÔÌ ˝-Ô Ô◊ = -Ô Ô-Ó ˛

, το οποίο µετά

την εκτέλεση των πράξεων γράφεται µ 2ν 42µ ν 5- = -Ï ¸

Ì ˝+ =Ó ˛.

Από τη λύση του συστήµατος αυτού βρίσκουµε 6µ5

= και 13ν5

= .

Εποµένως, το συµµετρικό σηµείο του Α ως προς την ε είναι το 6 13A ,5 5Ê ˆ¢Ë ¯ .



22η Κατηγορία : Οικογένειες Ευθειών

1.28 Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της µορφής

( ) ( ) ( )2 22λ λ 3 x λ λ 1 y 3λ 1 0+ + + - + + + = , λŒ

διέρχονται από το ίδιο σηµείο.

Απόδειξη:

‣ Για να παριστάνει η εξίσωση ( ) ( ) ( )2 22λ λ 3 x λ λ 1 y 3λ 1 0+ + + - + + + = (1)

ευθεία γραµµή, για τις διάφορες τιµές του α, πρέπει να αρκεί οι συντελεστές

των x και y δηλαδή οι παραστάσεις 22λ λ 3+ + και 2λ λ 1- + , να µην είναι ταυτόχρονα µηδέν. Αυτό συµβαίνει, αφού ο συντελεστής του x δεν µηδενίζε-ται για καµία πραγµατική τιµή του α (έχει διακρίνουσα ∆ 23 0=- < ) .

‣ Θεωρούµε τώρα δυο οποιεσδήποτε

από τις ευθείες που έχουν εξίσωση της µορφής (1). Γιαυτό θεωρούµε δύο τιµές της παραµέτρου λ (έστω λ 0= και λ 1= ) και λύνουµε το σύστη-µα των εξισώσεων των ευθειών που προκύπτουν για να βρούµε το σηµείο

τοµής τους: 3x y 1 06 x y 4 0

+ + =Ï ¸Ì ˝+ + =Ó ˛

( )-¤

3x y 1 03x 3 0+ + =Ï ¸

Ì ˝+ =Ó ˛ ¤

y 2x 1=-Ï ¸

Ì ˝=-Ó ˛.

Το σύστηµα των εξισώσεων αυτών έ-χει µοναδική λύση την ( ) ( )x,y 1,2= - . Άρα οι δυο αυτές ευθείες τέµνονται στο σηµείο ( )A 1, 2- .

‣ ∆είχνουµε τώρα, ότι όλες οι ευθείες

που έχουν εξίσωση της µορφής (1) (δηλαδή για κάθε λŒ ) διέρχονται από το σηµείο Α.


Έστω ότι έχουµε µια οικογένεια ευθειών, η εξίσωση των οποίων εκφράζεται συ-ναρτήσει ενός µεταβλητού αριθµού λ (πα-ράµετρος). Για να αποδείξουµε ότι όλες οι ευθείες µιάς οικογένειας, διέρχονται από το ίδιο σηµείο:

‣ Θεωρούµε δυο οποιεσδήποτε ευθεί-ες 1ε και 2ε από τις ευθείες της οικο-γένειας. Αυτό γίνεται δίνοντας δυο τυ-χαίες τιµές στην παράµετρο λ.

‣ Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσε-ων των δυο αυτών ευθειών και προσδιο-ρίζουµε τις συντεταγµένες 0 0x , y( ) του

σηµείου τοµής τους M.



Πράγµατι, η εξίσωση (1) επαληθεύε-ται από τις συντεταγµένες του σηµείου Α, αφού ισχύει:

( )( ) ( ) ( )2 22λ λ 3 1 λ λ 1 2 3λ 1+ + - + - + ◊ + +2 22λ λ 3 2λ 2λ 2 3λ 1 0=- - - + - + + + = .

Άρα, όλες οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από το ( )A 1,2- .

‣ Αποδεικνύουµε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το σηµείο Μ, δηλαδή ότι η εξίσωση των ευθειών της οικογένειας επαληθεύεται για κάθε αριθµό λ, από τις συντεταγµένες

0 0x , y( ) του σηµείου Μ.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ•ΠΑΝAΛΗΨΗ... · 41 21 3 0+−⋅−=2 ¤ 00= που...

Documents

Transcript of ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ•ΠΑΝAΛΗΨΗ... · 41 21 3 0+−⋅−=2 ¤ 00= που...