Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

24
Company LOGO Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ § Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β΄ ΒΑΘΜΟΥ ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ

Transcript of Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Page 1: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

CompanyLOGO

Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ§ Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β΄ ΒΑΘΜΟΥ

ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ

Page 2: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Δευτεροβάθμια εξίσωση

Company Logo

www.themegallery.com

Page 3: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1

Άνοιξε το αρχείο:Η ΒΕΡΑΝΤΑ.gsp

Page 4: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Company Logo

ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Μια εξίσωση της μορφής: αχ2 + βχ + γ = 0 (α≠0)

λέγεται εξίσωση β΄ βαθμού.

Οι αριθμοί α,β,γ λέγονται συντελεστές, το γ ειδικά λέγεται και σταθερός ορος ενώ πάντα ισχύει ότι α≠0

Page 5: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Company Logo

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Β΄ΒΑΘΜΟΥ

Η αχ2+βχ+γ =0(α≠0)

Α ΜΕΘΟΔΟΣΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ

(Αν αβ=0 τότε

α=0 ή β = 0)

Β ΜΕΘΟΔΟΣΜΕ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟ ΡΙΖΩΝ

(Δ = β2 – 4αγ)

Page 6: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Α΄ ΜΕΘΟΔΟΣ

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Παραγοντοποιούμε την εξίσωση και δημιουργούμε γινόμενο παραγόντων. Με βάση την ιδιότητα:

Αν αβ = 0 τότε α=0 ή β=0 Βάζουμε κάθε παράγοντα ισο με το 0 και

λύνουμε την κάθε μια πρωτοβάθμια εξίσωση που προκύπτει.

Page 7: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Company Logo

ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

1 2 3

αχ2 + βχ = 0 αχ2 + γ = 0 αχ2+βχ+γ = 0

Page 8: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

1. αχ2 + βχ = 0

αχ2 + βχ = 0 → χ(αχ+β) = 0 → χ=0 ή αχ+β=0 → χ=0 ή χ = -β/αΠαράδειγμα3χ2=6χ → 3χ2 - 6χ = 0 → χ(3χ-6)=0 →χ=0 ή 3χ-6=0 → χ=0 ή χ= 6/3 →χ=0 ή χ=2

Page 9: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

2. αχ2+γ = 0

Αν α, γ ομοσημοι τότε η αχ2+γ = 0 είναι αδύνατη.

Αν α, γ ετερόσημοι τότε η αχ2+γ = 0 μετατρέπεται σε διαφορά τετραγώνων και παραγοντοποιείται.

Παραδειγματα1. χ2+4 = 0 είναι αδύνατη2. Χ2-4 = 0→(χ-2)(χ+2) = 0→χ-2=0 ή χ+2=0

→χ=2 ή χ=-2☻

Page 10: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

3. αχ2+βχ+γ=0

Χρησιμοποιούμε την παραγοντοποιηση τριωνύμου δηλ την ισότητα:

χ2 + (α+β)χ +αβ = (χ+α)(χ+β)και μετά κάθε παράγοντα ισο με μηδέν.παράδειγμα 1. χ2-8χ+12 = 0 → (χ-2)∙(χ-6) = 0→ χ-2=0 ή χ-6=0→ χ = 2 ή χ = 6

Βρίσκω δυο αριθμούς ώστε(-2)∙(-6)=12, (-2)+(-6)=-8 οπότε

Page 11: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Company Logo

ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

1 23

4χ2 = 9 4χ2-9 = 0(2χ-3)(2χ+3)=02χ-3=0 ή 2χ+3=0 οποτεχ = 3/2 ή χ = -3/2

χ2 = 8χ χ2-8χ=0χ(χ-8)=0χ=0 ή χ-8=0χ=0 ή χ=8

5χ2 – 15χ=05χ(χ-3)=05χ= 0 ή χ-3=0χ=0 ή χ = 3

Page 12: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

δ) χ2-4χ = -4 ε) χ2+5χ+6 = 0χ2-4χ + 4=0 χ2+(2+3)χ+2∙3=0(χ-2)2=0 (χ+2)(χ+3) = 0χ-2=0 χ+2 = 0 ή χ+3 = 0χ = 2 χ = -2 ή χ = - 3

Page 13: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Company Logo

Β΄ ΜΕΘΟΔΟΣ

Δ>0 Δ=0 Δ<0

ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ: Δ = β2 – 4αγ

Η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες

Η εξίσωση έχει δυο ρίζες ίσες (διπλή ρίζα)

Η εξίσωση δεν έχει ρίζες (αδύνατη)

Page 14: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Company Logo

- β + √ΔΧ1 = ----------------

Αν Δ = β2 – 4αγ > 0 οι ρίζες είναι:

ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ

- β - √ΔΧ2 = ----------------

Page 15: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Company Logo

- β χ1 = χ2 = ---------

Αν Δ = β2 – 4αγ = 0 Η διπλή ρίζα είναι:

ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ

Page 16: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Company Logo

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

5. χ(8-χ) – (3χ+1)(χ+2) = 1

4. 3χ2 – 12(χ-1) = 12

3. 3χ2 – 2(χ-1) = 2χ+1

2. -2χ2 + χ + 6 = 0

1. 2χ2 – 3χ + 1 = 0

Page 17: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. 2χ2 – 3χ + 1 = 0 ΛΥΣΗΔ= (-3)2 – 4∙2∙1 = 9-8 = 1 > 0Οπότε έχουμε τις λύσεις

413

2213

2,1xχ1 = 4/4 = 1

χ2 = 2/4 = 1/2

Page 18: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

2. -2χ2 + χ + 6 = 0ΛΥΣΗΔ = 12 – 4∙(-2)∙6 = 1+48 = 49 > 0 οπότε έχουμε τις λύσεις:

471

)2(2491

2,1xχ1= 6/(-4) = -3/2

χ2= -8(-4) = 2

Page 19: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

3. 3χ2 – 2(χ-1) = 2χ+1ΛΥΣΗ3χ2 – 2(χ-1) = 2χ+1 3χ2-2χ+2-2χ-1 = 0 3χ2-4χ+1=0 και Δ=(-4)2-4∙3∙1=16-12 = 4Οπότε έχουμε τις λύσεις:

624

3244

2,1xχ1 = 6/6 = 1

χ2 =2/6 = 1/3

Page 20: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

4. 3χ2 – 12(χ-1) = 12 ΛΥΣΗ 3χ2 – 12(χ-1) = 12 3χ2 – 12χ + 12 -12 = 0 3χ2 – 12χ = 03χ(χ-4) = 0

3χ=0 ή χ-4 = 0

χ =0 ή χ = 4

Page 21: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

5. χ(8-χ) – (3χ+1)(χ+2) = 1

ΛΥΣΗ χ(8-χ) – (3χ+1)(χ+2) = 18χ –χ2 –(3χ2+6χ+χ+2) = 1 8χ –χ2 –3χ2-6χ-χ-2 -1 = 0-4χ2 +χ – 3 = 04χ2-χ+3=0 έχει Δ = (-1)2 – 4∙4∙3 = 1-48 = -47 < 0 ΑΡΑ είναι αδύνατη

Page 22: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Το συντριβανι

Ανοίξτε το αρχείο: ΣΥΝΤΡΙΒΑΝΙ.gsp

Company Logo

www.themegallery.com

Page 23: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

Company Logo

ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΚΑΝΟΝΑΣ

Αν ρ1, ρ2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης:

αχ2+βχ+γ=0 με α≠0 τότε το τριώνυμο παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο:

αχ2+βχ+γ =α(χ-ρ1)(χ-ρ2)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

3χ2–8χ +5 = 3(χ-2)(χ-2/3)

Αφού έχει ρίζες το 2 και το 2/3

2χ2+5χ+3 = 2(χ+1)(χ+3/2)

Αφου εχει ριζες το -1 και το -3/2

Page 24: Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ

ΤΕΛΟΣ