Σελίδα 1 από 32

Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία – Παράρτηµα Νοµού Ευβοίας

1η Μαθηµατική Κατασκήνωση στην Εύβοια - 2009

Α. Μια σύντοµη αναφορά

Από τις 5 έως τις 12 Ιουλίου έγινε στην περιοχή Παπάδες της Βόρειας Εύβοιας η 1η µαθηµατική κατασκήνωση

για παιδιά 11 και 12 χρονών(θα πάνε το φθινόπωρο στην ΣΤ΄ ή Α΄ γυµν. αντίστοιχα). Τα παιδιά φιλοξενήθηκαν

στο πανέµορφο ∆ασικό χωριό , µέσα στα πεύκα , σε υψόµετρο 700 περίπου µέτρων και έµεναν ανά 4 σε ξύλινα

σπιτάκια µε πλήρη εξοπλισµό και εντελώς καινούρια. Το τοπίο ήταν ιδανικό, τόσο για την διαµονή όσο και για

µαθήµατα. Πήραµε 46 παιδιά , 23 της µιας και 23 της άλλης τάξης. Τα παιδιά της ΣΤ τα χωρίσαµε σε δύο

τµήµατα. Το πρόγραµµα σπουδών για κάθε τµήµα περιείχε :

α) βασική αριθµητική = 3 µαθήµατα των 90 λεπτών

β) Νέα ύλη = 2 µαθήµατα

γ) Θεωρία αριθµών = 1 µάθηµα

δ) Γεωµετρία = 2 µαθήµατα

ε) Στρατηγικές επίλυσης προβληµάτων και διαγωνισµοί = 2 µαθήµατα

Στα παιδιά δώσαµε τσάντα µε τρία βιβλία(το ένα µε µαθηµατικές προκλήσεις για διαγωνισµούς ), γραφική ύλη,

διαβήτη, τρίγωνο(υπέροχα σε κατασκευή και αισθητική) αλλά και καπελάκι µε το σήµα του math camp , καθώς

και το τετράδιο εργασιών µε 156 σελίδες που περιείχε τα φύλλα εργασίας όλων των µαθηµάτων και τα

διαγνωστικά κριτήρια των δύο τάξεων.

Τα µαθήµατα γίνονταν σε πάγκους , κυκλικά διατεταγµένους , κάτω από τα σκιερά πεύκα και διαρκούσαν από

τις 9 το πρωί έως τις 12 : 30 το µεσηµέρι. Στις 1:30 είχε γεύµα και µέχρι τις 5:30 τα παιδιά ήταν ελεύθερα. Στις

5:30 µέχρι τις 7:30 είχανε απογευµατινή µελέτη στο χώρο µπροστά στο εστιατόριο. Έρχονταν όλα τα παιδιά,

κάθονταν στα τραπεζάκια ανά 4 και διάβαζε το καθένα ό,τι ήθελε, µε την επίβλεψη όλων ηµών των εκπαιδευτών.

Σελίδα 2 από 32

Λύνανε ασκήσεις που είχαν από το πρωινό µάθηµα, βάζαµε και µείς συµπληρωµατικά προβλήµατα και η ώρα

περνούσε ευχάριστα και πολύ γρήγορα.

Τα βραδάκια είχαµε ωραίες οµιλίες για τα µαθηµατικά, για πρώτες βοήθειες , για την ιστορία του τόπου,

βραδιά αφιερωµένη σε µεγάλους µαθηµατικούς της αρχαιότητας , βραδιά αστρονοµίας µε τηλεσκόπια (τα παιδιά

είδαν σµήνη αστέρων , έναν γαλαξία, τη σελήνη ολόγιοµη αλλά και τον ∆ία), περίπατο στο δάσος µε ξεναγό τον

∆ασάρχη Λίµνης κλπ. Στη βόλτα αυτή ζητήσαµε από τα παιδιά να εκτιµήσουν το ύψος µερικών ψηλών δέντρων

και να υπολογίσουν τη διάµετρο µιας µεγάλης σε πάχος βελανιδιάς αν έχουν µαζί τους ένα σχοινί και ένα µέτρο.

Είναι τροµερό να βλέπει κανείς πόσες ικανότητες έχουν τα παιδιά αυτής της ηλικίας και πως δεν αφήνουν

αναπάντητη καµία ερώτηση! Ο ∆ασάρχης µάλιστα κάποια στιγµή τους έβαλε το πρόβληµα :'' αν έχουµε

αποµακρυνθεί 1000 µέτρα σε οριζόντια απόσταση από το ∆ασικό χωριό και ο δρόµος έχει κλίση 10 %,πόσο

υψόµετρο έχει το σηµείο που βρισκόµαστε ; ''. Φυσικά δυο πιτσιρικάδες το βρήκαν τελείως µε το µυαλό µέσα σε

τρία λεπτά.(το υψόµετρο του χωριού ήταν γνωστό).

Οργανώσαµε µια ελεύθερη µίνι µαθηµατική ολυµπιάδα µε προαιρετική συµµετοχή και 5 δύσκολα

προβλήµατα( οι µαθητές µπορούσαν να κάνουν και οµάδες , αν το ήθελαν), αλλά και διαγωνισµό γρίφου µε

έπαθλο 50 ευρώ που έδωσε συνάδελφος(του άρεσε ιδιαίτερα και του ίδιου ο γρίφος αυτός και αποφάσισε να τον

αθλοθετήσει!).Μέγιστο σκορ ήταν το 18 µε άριστα το 20 και επετεύχθη από οµάδα. Αλλά και κατά άτοµο

φτάσαµε στο βαθµό 14.

Όλα κύλησαν υπέροχα, τα παιδιά ήταν ευγενικά και πρόθυµα , τα µαθήµατα ολοκληρώθηκαν ικανοποιητικά

και όλα έκλεισαν ήρεµα. Την τελευταία βραδιά είχαµε καλέσει τους γονείς, δόθηκε φαγητό πάνω στο λόφο του

εστιατορίου και παίχθηκε µουσική από την ορχήστρα του Λυκείου Κανήθου µε µαέστρο το συνάδελφο

µαθηµατικό και κιθαρίστα Βαγγέλη Πίσχινα.

Την τελευταία ηµέρα οι µαθητές αξιολόγησαν σε ειδικό έντυπο όλο το πρόγραµµα, συνθήκες διαβίωσης,

εκπαιδευτές , την ύλη που διδάχτηκαν κλπ .Ευτυχώς για µας δεν πήραµε καµία αρνητική απάντηση, µε εξαίρεση

έναν µαθητή ο οποίος συγκρίνοντας τη µαγειρική τέχνη του πατέρα του µε τον µάγειρα του εστιατορίου δήλωσε

ότι την επόµενη φορά θέλει καλύτερο φαγητό. Ορίστε τι µας έγραψε σε ένα µεταγενέστερο µήνυµα ο µαθητής

αυτός του 3ου

∆ηµοτικού Σχολείου Χαλκίδας :

΄΄ Πριν σας αναφέρω την άποψή µου για την εµπειρία µου από την Μαθηµατική

Κατασκήνωση στην οποία συµµετείχα, θα ήθελα για ακόµη µια φορά να σας ευχαριστήσω για

όσα µου προσφέρατε.

Τόσο εγώ όσο και όλοι οι υπόλοιποι συµµετέχοντες βρήκαµε πολλά οφέλη από τη

Μαθηµατική Κατασκήνωση. Μάθαµε να συνεργαζόµαστε, πολλαπλασιάστηκαν οι γνώσεις µας

κ.α. Αλλά το µεγαλύτερο όφελος είναι το πώς µας έκαναν να δούµε τα µαθηµατικά.

Εγώ προσωπικά ( δεν ξέρω για τους υπόλοιπους ) πριν πάω στη Μαθηµατική.

Κατασκήνωση. έβλεπα τα µαθηµατικά σαν κάτι το πρακτικό που το χρειάζεται ο άνθρωπος.

Στην πραγµατικότητα όµως, τα µαθηµατικά έχουν ένα βαθύτερο νόηµα. Τα µαθηµατικά είναι

το ίδιο το σύµπαν. Χωρίς τα µαθηµατικά το σύµπαν δεν θα µπορούσε να υπάρξει. Με

επιστηµονικούς όρους θα µπορούσαµε να πούµε ότι τα µαθηµατικά είναι ο διαγαλαξιακός και

διασυµπαντικός κώδικας DNA. Και µόνο αυτό να καταλάβαινα από την κατασκήνωση, και

πάλι θα ήταν πολύ σηµαντικό για µένα.

Σελίδα 3 από 32

Θα ήθελα, βέβαια, να συνεχίσω αυτήν την ευχάριστη συζήτηση αλλά θα ξέφευγα από το

θέµα. Ας ξαναγυρίσουµε ,λοιπόν, πίσω γιατί για να γίνει η περιγραφή πλήρης πρέπει να

περιγράψουµε και τα αρνητικά. Τα µόνα αρνητικά ήταν ότι εµένα δεν µου άρεσε τόσο πολύ το

φαγητό, η κούραση και ότι µας έλειπαν οι οικογένειές µας. Βέβαια, το να µας λείπουν οι δικοί

µας γίνεται σε όλες τις κατασκηνώσεις και έπειτα δεν µπορείς να πετύχεις στη ζωή αν δεν

κουραστείς.

Και αφού δεν υπάρχουν ούτε πολλά ούτε µεγάλα αρνητικά, µπορούµε να

βγάλουµε ένα πολύ ωραίο συµπέρασµα. Και το συµπέρασµα είναι ότι από αυτό και κάθε

καλοκαίρι η κατασκήνωση αυτή πρέπει να λειτουργεί γιατί µπορεί να δώσει σε πολλά παιδιά,

όπως πιστεύω ότι έδωσε και σε µένα, εφόδια για τη ζωή και γιατί µπορεί να τα βοηθήσει να

καταλάβουν το βαθύ νόηµα των

µαθηµατικών και να τα οδηγήσει στα ανώτερα επίπεδα γνώσης και κατανόησης.΄΄

Αντώνης Καρβελάς

Μαθητής ΣΤ τάξης του 3ου ∆ηµοτικού Σχολείου Χαλκίδας

Την Κυριακή το πρωί έφυγαν και όσα παιδιά δεν αναχώρησαν το Σάββατο βράδυ , µετά την εκδήλωση. Τα

παιδιά έφυγαν συγκινηµένα και οι γονείς κατευχαριστηµένοι που είδαν τα παιδιά τους να αποκοµίζουν ωραίες

εντυπώσεις. Όλοι ευχήθηκαν να γίνει και του χρόνου η κατασκήνωση για να ξαναέρθουν .

Εµείς , εκπαιδευτές και διοργανωτές συγχρόνως , από το παράρτηµα της ΕΜΕ Ν. Εύβοιας αποκοµίσαµε

πολλές εµπειρίες και γνωρίσαµε καλύτερα από διδακτικής πλευράς αυτή την ηλικία. Περάσαµε 7 όµορφα

βράδια µαζί µε τα παιδιά , γνωριστήκαµε καλύτερα µεταξύ µας, κάναµε διάφορα σχέδια για το µέλλον της

κατασκήνωσης . Ωστόσο, σιωπηρά και µε διάχυτη την αγωνία το βλέµµα ήταν διαρκώς στραµµένο στο

συνέδριο της ΕΜΕ του 2010 που γίνεται στη Χαλκίδα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Τα παιδιά αυτής της ηλικίας είναι υπέροχα και δεκτικά στη γνώση. Αξίζει, φορείς , πολιτεία και

εκπαιδευτικοί , να στρέψουµε το βλέµµα µας σε αυτά και να γεµίσουµε την Ελλάδα µε τέτοιες κατασκηνώσεις

που συνδυάζουν ψυχαγωγία , παιγνίδι και µαθηµατικά .

Γιάννης Παπαλουκάς –

Υπεύθυνος οργάνωσης και προβολής της 1ης Μαθηµατικής Κατασκήνωσης

Μπάµπης Στεργίου -

Υπεύθυνος προγράµµατος σπουδών για το 1st math camp - Eyvoia 2009

Σελίδα 4 από 32

Β. Οργάνωση και υλο2οίηση του 2ρογράµµατος

Το πρόγραµµα για την µαθηµατική κατασκήνωση εκπονήθηκε πάνω σε τρεις βασικούς άξονες :

1. Σχεδιασµός – Οργάνωση

2. Υλοποίηση

3. Αξιολόγηση

1ο Μέρος : Σχεδιασµός- οργάνωση

Στο στάδιο αυτό µας απασχόλησαν τα εξής σηµεία :

Α) Ο σκοπός και οι στόχοι της κατασκήνωσης

Β) Η επιλογή του χώρου πραγµατοποίησης της κατασκήνωσης

Γ) Ο τρόπος επικοινωνίας µε τους ενδιαφερόµενους και η προβολή της κατασκήνωσης

@) Ο τρόπος επιλογής των µαθητών

Ε) Το αναλυτικό πρόγραµµα και οι διδάσκοντες καθηγητές

Στ) Ο τρόπος διδασκαλίας και το διδακτικό υλικό

2ο Μέρος : Υλοποίηση

Στο στάδιο αυτό µας απασχόλησαν τα εξής σηµεία :

Α) Υποδοχή των µαθητών και τακτοποίηση ζητηµάτων διαµονής.

Β) Το πρόγραµµα διδασκαλίας και των λοιπών δραστηριοτήτων της κάθε ηµέρας αλλά και όλης της περιόδου.

Γ) Η ασφάλεια διαµονής των παιδιών και ο σχεδιασµός εκκένωσης της κατασκήνωσης σε περίπτωση

πυρκαγιάς, λόγω της πυκνής κάλυψης της περιοχής από πεύκα.

@) Η ιατρική κάλυψη των αναγκών της κατασκήνωσης.

Ε) Η ψυχαγωγία των µαθητών .

ΣΤ) Η επικοινωνία µε τους γονείς .

3ο Μέρος : Αξιολόγηση

Στο στάδιο αυτό µας απασχόλησαν τα εξής σηµεία :

Α) Η αποτίµηση του µαθηµατικού – διδακτικού έργου

Β) Η αξιολόγηση τους προγράµµατος από τους ίδιους τους µαθητές

Γ) Η καταγραφή της γνώµης των γονέων µετά τη λήξη της κατασκήνωσης

9εν θα εισέλθουµε σε λεπτοµέρειες για τον τρόπο αντιµετώπισης όλων αυτών των επιµέρους θεµάτων.

Είµαστε ωστόσο πρόθυµοι να προσφέρουµε απλόχερα την εµπειρία που αποκτήσαµε σε όσους µας το ζητήσουν

ή θέλουν να επιχειρήσουν παρόµοιο πρόγραµµα.

Σελίδα 5 από 32

Γ. Μερικά στοιχεία α2ό το τεχνικό – οργανωτικό σκέλος της κατασκήνωσης

1. Κανονισµός

1. Οι µαθητές δεν αποµακρύνονται από το χώρο της κατασκήνωσης για κανέναν απολύτως λόγο και χωρίς τη συνοδεία δύο τουλάχιστον εκπαιδευτών τους.

2. Οι µαθητές τηρούν αυστηρά το πρόγραµµα των µαθηµάτων και προσέρχονται έγκαιρα στους χώρους διδασκαλίας.

3. Οι µαθητές προσέρχονται υποχρεωτικά και κατά τις ορισµένες ώρες στο χώρο του εστιατορίου για πρωινό , γεύµα ή δείπνο ,µε την παράκληση να µην ξεχνούν να δηλώσουν από το προγραµµατισµένο µενού τις επιλογές τους για την επόµενη µέρα.

4. Οι µαθητές επιδεικνύουν σε όλες τις δραστηριότητες του προγράµµατος της κατασκήνωσης την δέουσα συµπεριφορά, τόσο προς τους δασκάλους τους όσο και προς το προσωπικό του δασικού χωριού.

5. Οι µαθητές διατηρούν καθαρούς όλους τους χώρους που διαµένουν ή κινούνται, χωρίς να προξενούν την παραµικρή ζηµιά εντός ή εκτός των δωµατίων τους.

6. Οι µαθητές παρακαλούνται να δείχνουν ιδιαίτερη προσοχή στη φύλαξη των προσωπικών τους αντικειµένων(κινητών, φωτογραφικών µηχανών κλπ) αλλά και στα αντικείµενα των συµµαθητών ή συγκάτοικών τους.

7. Οι µαθητές επικοινωνούν αµέσως και χωρίς δισταγµό - για οποιοδήποτε πρόβληµα, παρατήρηση ή επιθυµία - µε τους καθηγητές τους ή τους υπεύθυνους της ΕΜΕ που βρίσκονται στο χώρο της κατασκήνωσης.

8. Κατά τις ώρες 3µµ – 5µµ το µεσηµέρι και 11µµ- 7πµ οι µαθητές µένουν στα δωµάτιά τους ή στα καταλύµατά τους χωρίς να ενοχλούν τα άλλα παιδιά του ίδιου η γειτονικών κατοικιών .

9. Κατά τη διάρκεια των αθλητικών δραστηριοτήτων του math camp όλα τα παιδιά επιδεικνύουν πνεύµα άµιλλας ή οµαδικότητας και αποφεύγουν κάθε υπερβολή που θα οδηγούσε σε τραυµατισµό ή σωµατική βλάβη των ιδίων ή των συµµαθητών τους.

10. ∆εν επιτρέπεται η φωτογράφηση ή βιντεοσκόπηση µαθητών από άλλους µαθητές χωρίς την άµεση συγκατάθεσή τους καθώς και κάθε άλλη δραστηριότητα που προσβάλει την προσωπικότητά τους.

11. Απαγορεύεται η ανάρτηση στο διαδίκτυο φωτογραφικού υλικού ή video που αφορούν την προσωπική ζωή µαθητών ή εκπαιδευτών.

Το σύνθηµα των µαθητών µας :

Προθυµία – ευγένεια – υπευθυνότητα !

Από το συµβούλιο του math camp

Σελίδα 6 από 32

2. Πρόγραµµα Μαθηµατικής Κατασκήνωσης - 2009

Ηµέρα ∆ευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέµπτη Παρασκευή Σάββατο

Στεργίου ΣΤ-1 ΣΤ-2 ΣΤ-1 Α Α΄ ΣΤ-2

Γκάγκαρη Α΄ ΣΤ-1 Α΄ ΣΤ-1 Α΄ ΣΤ-1

Μπεληγιάννης ΣΤ-2 ΣΤ-2

Πετράκης ΣΤ-1 ΣΤ-2 ΣΤ-1

Ιωάννου ΣΤ-1 ΣΤ-2 Α΄ ΣΤ-1 ΣΤ-2

∆αµιανός Α΄ Α΄

Αθανασίου ΣΤ-2 ΣΤ-2 ΣΤ-2

∆ερβεντζή Α΄ Α΄

Αλεξίου ΣΤ-1

Γενικό Κριτήριο

Γενικό Κριτήρι

ο

Τσώκας

Από-γευµα

Στ Α΄

∆ιδάσκοντες – Αντικείµενο

Στεργίου Μπάµπης :

Στρατηγικές επίλυσης προβληµάτων – ∆ιαγωνισµοί και Ολυµπιάδες

( ΣΤ-1 , ΣΤ- 2 , Α΄) =2 + 2 + 2= 6 µαθήµατα .

Γκάγκαρη Νικολέτα : Άλγεβρα 1 ( ΣΤ-1 , Α΄) = 3 + 3 = 6 µαθήµατα

Μπεληγιάννης Αθανάσιος : Γεωµετρία (ΣΤ-2) = 2 µαθήµατα

Πετράκης Ευάγγελος : Γεωµετρία (ΣΤ-1) – Θεωρία Αριθµών (ΣΤ-2) = 2 +1 = 3 µαθήµατα

Ιωάννου ∆ηµήτριος : Άλγεβρα 2 (Στ-1 , ΣΤ-2) , Θεωρία αριθµών (Α΄) = 2 + 2 + 1 = 5 µαθήµατα

∆αµιανός Ιωάννης : Άλγεβρα 2 (Α΄) = 2 µαθήµατα

Αθανασίου Βασίλειος: Άλγεβρα 1 (ΣΤ-2) = 3 µαθήµατα

∆ερβεντή Αικατερίνη : Γεωµετρία (Α΄) = 2 µαθήµατα

Αλεξίου Ιωάννης : Θεωρία Αριθµών (Στ – 1) = 1 µάθηµα

Τσώκας Αθανάσιος : Ιστορία των αριθµών και δυαδικό σύστηµα(ΣΤ) , Ακέραιοι αριθµοί(µε πολυπίνακα)

(Α΄) = 2 διαλέξεις

Παπαλουκάς Ιωάννης : Η χρήση των γεωµετρικών οργάνων (ΣΤ΄‘ και Α ΄ , από ένα µάθηµα)

Σελίδα 7 από 32

3. ∆ιαγνωστικό κριτήριο

ΤΑΞΗ ΣΤ ΄

Πόσο καλά τα πάω µε τα µαθηµατικά ;Πόσο καλά τα πάω µε τα µαθηµατικά ;Πόσο καλά τα πάω µε τα µαθηµατικά ;Πόσο καλά τα πάω µε τα µαθηµατικά ;

Φίλε µαθητή!

Με χαρά σε καλωσορίζουµε στα θρανία της 1ης µαθηµατικής κατασκήνωσης. Ξέρουµε ότι

αγαπάς τα µαθηµατικά και είµαστε περήφανοι για σένα.. Είµαστε σίγουροι πως σου αρέσει

και να µαθαίνεις καινούρια πράγµατα αλλά και να παίζεις µε αυτά που ξέρεις. Σε αυτή τη

δοκιµαστική συνάντηση σου ζητάµε να λύσεις µε ηρεµία και χωρίς κανένα άγχος µερικές

ασκησούλες. Θέλουµε να µην είσαι βιαστικός, όσο απλά και να είναι τα ερωτήµατα. Με

αυτόν τον τρόπο θα µας βοηθήσεις να σχηµατίσουµε µια πιο ολοκληρω-µένη εικόνα για το

επίπεδο των µαθηµατικών που κατέχεις.

Πιάσε λοιπόν το µολύβι και ξεκίνα ! Κι αν βρεις κάτι που δεν το ξέρεις, συνέχισε στο άλλο

ερώτηµα !

Θέµα 1ο

Να κάνεις τις πράξεις στο χώρο του φύλλου ή στο πρόχειρο και να συµπληρώσεις το

αποτέλεσµα :

α) 821 – 289 = …..

β) 876 ⋅ 49 = ……..

γ) 6392 : 68 = …….

Θέµα 2ο

Να βρεις το αποτέλεσµα :

α) 2 3 5

3 4 12+ − = ……………………..

β) 2009 + 2,009 + 20,09 + 200,9 = ………………………………

Θέµα 3ο

Πόσες ώρες είναι τα 10800 δευτερόλεπτα ;

Θέµα 4ο

Ένα τετράγωνο έχει περίµετρο 36 εκ. Πόσο είναι το εµβαδόν του ;

Θέµα 5ο

Σελίδα 8 από 32

Ποιον αριθµό θα προσθέσουµε στο 765 για να βρούµε άθροισµα το µισό 2004 ;

Θέµα 6ο

Ένα φύλλο χαρτί µε πάχος 1 χιλιοστό το διπλώνουµε 5 φορές. Πόσα χιλιοστά πάχος έχει

το διπλωµένο χαρτί ;

Θέµα 7ο

Αν ο τριψήφιος αριθµός 89α (το α είναι το ψηφίο των µονάδων) διαιρείται ακριβώς µε το

9 , ποιο είναι το ψηφίο α ;

Απάντηση:………………

Θέµα 8ο

Σε ένα τρίγωνο µία γωνία είναι 65ο και µια άλλη είναι 45ο . Πόσες µοίρες είναι η Τρίτη

γωνία ;

Θέµα 9ο

Η διπλανή ταινία δείχνει τον πενταψήφιο

κωδικό (Pin) του κινητού µιας κυρίας .Η κυρία έχει

ξεχάσει τα τρία ενδιάµεσα ψηφία του κωδικού , θυµάται όµως ότι το γινόµενο τριών

οποιωνδήποτε συνεχόµενων ψηφίων του κωδικού είναι πάντα ίσο µε 30. Ο γιος της

κυρίας , που είναι µαθητής της ΣΤ τάξης , µπόρεσε και βρήκε ολόκληρο τον αριθµό.

Ποιο είναι το ψηφίο των δεκάδων του πενταψήφιου αυτού κωδικού ;

Θέµα 10ο

Από πόσους µικρούς κύβους είναι φτιαγµένο το

διπλανό στερεό σχήµα ;

Σελίδα 9 από 32

4. ∆ιαγνωστικό κριτήριο ΤΑΞΗ Α΄ Γυµνασίου

Πόσο καλά ταΠόσο καλά ταΠόσο καλά ταΠόσο καλά τα πάω µε τα µαθηµατικά ; πάω µε τα µαθηµατικά ; πάω µε τα µαθηµατικά ; πάω µε τα µαθηµατικά ;

Φίλε µαθητή !

Με χαρά σε καλωσορίζουµε στα θρανία της 1ης µαθηµατικής κατασκήνωσης. Ξέρουµε

ότι αγαπάς τα µαθηµατικά και είµαστε περήφανοι για σένα.. Είµαστε σίγουροι πως σου

αρέσει να µαθαίνεις καινούρια πράγµατα αλλά και να διασκεδάζεις µε αυτά που ήδη

ξέρεις. Σε αυτή τη δοκιµαστική συνάντηση ζητάµε να λύσεις µε ηρεµία και χωρίς κανένα

άγχος µερικά προβλήµατα.. Θέλουµε να προσπαθήσεις να λύσεις όσο πιο πολλά θέµατα

µπορείς .Γράψε τη σκέψη σου, ακόµα και σε εκείνα τα ερωτήµατα που ίσως να µη λύσεις

µέχρι το τέλος. Με αυτόν τον τρόπο θα µας βοηθήσεις να σχηµατίσουµε µια πιο

ολοκληρωµένη εικόνα για το επίπεδο των µαθηµατικών που κατέχεις, ώστε στη συνέχεια

να προσαρµόσουµε τα µαθήµατα σε αυτά ακριβώς που χρειάζεσαι !Σε αυτό το ΄τεστ’’

Πιάσε λοιπόν το µολύβι και ξεκίνα ! Κι αν βρεις κάτι που δεν το ξέρεις, συνέχισε σε άλλο

ερώτηµα !

Θέµα 1ο

Να κάνεις τις πράξεις στο χώρο του φύλλου ή στο πρόχειρο και να συµπληρώσεις το

αποτέλεσµα :

α) 876 ⋅ 49 = ……..

β) 6392 : 68 = …….

Θέµα 2ο

Να βρεις το αποτέλεσµα στις παρακάτω παραστάσεις :

α) 3 2 17

10 15 30+ + = ……………………………………………………………………….

Β) 2009 + 2,009 + 20,09 + 200,9 = ………………………………

Θέµα 3ο

Πόσες ώρες είναι τα 21600 δευτερόλεπτα ;

α)

γ)

Σελίδα 10 από 32

Απάντηση: …………………………

Θέµα 4ο

Ποιον αριθµό θα προσθέσουµε στο 2009 έτσι , ώστε ο αριθµός που θα βρούµε να

είναι πολλαπλάσιο του 66 ;

Απάντηση : ……………….

Θέµα 5ο

Ένα ορθογώνιο έχει περίµετρο 70 εκ και το µήκος του είναι 15 εκ µεγαλύτερο από το

πλάτος του. Πόσο είναι το εµβαδόν του ;

Απάντηση :………………………

Θέµα 6ο

Αν ο τετραψήφιος αριθµός 8α94 διαιρείται ακριβώς µε τον αριθµό 9 , ποιο είναι το

ψηφίο α ;

Απάντηση:………………

Θέµα 7ο

Αν το 40 % ενός αριθµού είναι ίσο µε 50 , πόσο είναι το 60 % του αριθµού αυτού ;

Απάντηση :…………………………

Θέµα 8ο

Σε ένα τουρνουά τένις συµµετέχουν 100 αθλητές και παίζουν ανά δύο. Σε κάθε παιγνίδι , ο χαµένος αποχωρεί. Τα παιγνίδια ορίζονται µε κλήρωση. Αν ένας αθλητής περισσεύει σε κάποιο γύρο , περνάει στον άλλο γύρο χωρίς να παίξει. Πόσα παιγνίδια θα γίνουν µέχρι να αναδειχθεί ο νικητής ; Απάντηση:……………………..

Θέµα 9ο

Πόσες µοίρες είναι η γωνία που σχηµατίζουν οι δείκτες ενός ρολογιού τοίχου στις 15 :

10 ;

Απάντηση:…………………..

Θέµα 8ο

Σε έναν µάστορα που στρώνει πλακάκια του αρέσει να κάνει σταυρούς , όπως δείχνει το σχήµα. Πόσα πλακάκια χρειάζεται για να κάνει το σχήµα X50;

Απάντηση:……………………..

Σελίδα 11 από 32

5.Ο πρόλογος από το Βιβλίο Εργασιών (156 σελίδες)

Φίλε µαθητή !

Αυτό που κρατάς στα χέρια σου δεν είναι ένα βιβλίο για να το διαβάσεις µε τον τρόπο που διαβάζεις κάποιο

άλλο βιβλίο. ∆εν είναι όµως ακριβώς ούτε τετράδιο, όπως γράφει το εξώφυλλο. Είναι απλά ένας οδηγός για να

βλέπεις κάθε στιγµή που βρίσκεσαι, τι διδάχθηκες τη µέρα που κύλησε και τι θα διδαχθείς τις επόµενες µέρες.

Συγχρόνως όµως αυτό το βιβλιο –τετράδιο που κρατάς είναι το εργαστήρι σου. Άλλοτε µε τους καθηγητές σου

και άλλοτε µόνος σου είτε θα συµπληρώνεις κάποιες λέξεις ή αριθµούς που λείπουν, είτε θα λύνεις κάποια

άσκηση, είτε θα οργανώνεις κάποιες σκέψεις σου , ώστε να κρατήσεις στο µυαλό σου ορισµένα βασικά

συµπεράσµατα. Όπως και να έχει όµως το πράγµα, αυτό το τετράδιο – ας το λέµε έτσι για να συνεννοούµαστε –

είναι η καρδιά των µαθηµάτων που θα ακούσεις στην κατασκήνωση.

Γνωρίζουµε ότι µερικά πράγµατα που περιέχονται στο τετράδιο είναι αρκετά πολλά και ίσως χρειαστεί

να καταβάλλεις αρκετή προσπάθεια για να αφοµοιώσεις. Όµως το ραντεβού αυτό µε τα µαθηµατικά δεν

τελειώνει µε τη λήξη των µαθηµάτων της κατασκήνωσης. Έχοντας αυτές τις σηµειώσεις ως οδηγό µαζί σου ,

µπορείς στη διάρκεια του καλοκαιριού ή στη σχολική χρονιά που ακολουθεί , όταν το επιθυµείς , να τις

ξεφυλλίζεις , να φρεσκάρεις αυτά που άκουσες , να λύνεις ξανά όποια ερωτήµατα σου προξένησαν εντύπωση ή σε

δυσκόλεψαν και να συµπληρώσεις τη µελέτη σου.Έτσι και περισσότερα θα µαθαίνεις αλλά θα θυµάσαι τις

όµορφες (έστω και καµιά φορά κουραστικές) στιγµές που θα περάσουµε όλοι µαζί σε αυτό τον χώρο.

Θέλουµε να σου τονίσουµε ότι όλοι οι δάσκαλοί σου – αλλά και κάθε εκπαιδευτικός που βρίσκεται στο

χώρο αυτό , θα είµαστε συνεχώς δίπλα σου . Μην διστάσεις ούτε στιγµή να συζητήσεις µαζί µας τις απορίες

σου ή να µας εκφράσεις τις σκέψεις σου πάνω σε οποιοδήποτε θέµα που αφορά τα µαθηµατικά, τη ζωή σου στην

κατασκήνωση ή τις ανησυχίες σου για το µέλλον, το δικό σου , του πλανήτη µας ή του κόσµου γενικότερα.

Ξεκίνα λοιπόν µε πείσµα, θέληση και αισιοδοξία . Είµαστε εδώ για να γνωριστούµε καλά κάτω από το φως

του ήλιου , κάτω από τον ίσκιο των πεύκων και τα αστέρια του καλοκαιρινού ουρανού. Ανταµώσαµε εδώ για να

ανταλλάξουµε ιδέες και να βιώσουµε όλοι µαζί µια υπέροχη εβδοµάδα γεµάτη γνώση, φύση, άρωµα πεύκου

και γεύση γαλάζιου ! Το δικό σου χαµόγελο και η δική ευχαρίστηση που θα βλέπουµε στο πρόσωπό σου θα

είναι για µας αληθινή πηγή έµπνευσης και θα µας θυµίζει πώς όλη αυτή η προσπάθεια να οργανώσουµε τούτη

τη συνάντηση θα πιάσει τόπο. Σου ευχόµαστε λοιπόν καλή διαµονή και καλή µελέτη !

Οι καθηγητές σου

Σελίδα 12 από 32

6.Αναλυτικό πρόγραµµα για την σύνταξη των φύλλων εργασίας

Άλγεβρα 1. της ΣΤ ΄ τάξης.

Α) ΣΤ΄- ΑΛΓΕΒΡΑ 1 – Μάθηµα 1ο

Παρόµοιο πρόγραµµα συντάχτηκε και για τις δύο τάξεις, σε Άλγεβρα, Γεωµετρία

και θεωρία αριθµώ . Με βάση αυτές τις γενικές οδηγίες, ο κάθε εκπαιδευτής , σε

συνεργασία µε τον υπεύθυνο προγράµµατος σπουδών , συνέταξαν τα σχετικά φύλλα

εργασίας, τα οποία συµπεριελήφθησαν στο Τετράδιο Εργασιών (156 σελίδες) και

µοιράστηκαν στους µαθητές. Τα φύλλα εργασίας αποτέλεσαν τον βασικό κορµό γύρω από

τον οποίο ξετυλίχθηκε η διδασκαλία όλων των ενοτήτων.

7. Είδη αριθµών :

♦ Φυσικοί – κλασµατικοί – δεκαδικοί

♦ Μετατροπή δεκαδικού σε κλάσµα ή σε ποσοστό και αντιστρόφως

♦ Οι φυσικοί γράφονται και ως κλάσµα :

2 3 4......

1 2 3 4

α α α αα= = = = = ,

0 0 0 00 .....

1 2 3 4= = = = =

2. Πράξεις µε αριθµούς :

♦ Πρόσθεση φυσικών , κλασµάτων , δεκαδικών(να δοθεί από ένα παράδειγµα στο

φύλλο εργασίας)

Εφαρµογή:

Ένας µαθητής έσβησε από τον πίνακα ορισµένα ψηφία από τη διπλανή αφαίρεση

και στη θέση τους έβαλε κουτάκια. Αν κάνετε ξανά την αφαίρεση συµπληρώνοντας

τα κουτάκια, ποιο είναι το αποτέλεσµα της αφαίρεσης αυτής;

♦ Αφαίρεση φυσικών , κλασµάτων , δεκαδικών(να δοθεί από ένα

παράδειγµα στο φύλλο εργασίας)

Εφαρµογή :

Ποιον αριθµό πρέπει να αφαιρέσουµε από τον 379, ώστε να βρούµε το ίδιο αποτέλεσµα

που προκύπτει αν προσθέσουµε στον 127 τον αριθµό 99;

♦Πολλαπλασιασµός φυσικών , κλασµάτων , δεκαδικών(να δοθεί από ένα παράδειγµα

στο φύλλο εργασίας)

Σελίδα 13 από 32

Πρόκληση :

Ποιον αριθµό θα βρούµε, αν πολλαπλασιάσουµε όλους τους αριθµούς:

2

1,

3

2,

4

3,

5

4, …,

2004

2003,

2005

2004;

♦ ∆ιαίρεση φυσικών , κλασµάτων , δεκαδικών(να δοθεί από ένα παράδειγµα στο φύλλο

εργασίας)

Να τονιστούν οι όροι : άθροισµα – διαφορά – γινόµενο – πηλίκο , προσθετέος, µειωτέος

, αφαιρετέος , διαιρετέος, διαιρέτης , πηλίκο , υπόλοιπο.

Εφαρµογή: Να βρεθεί η τιµή της παράστασης

2 5 13 11 8 73

7 9 7 9 7 9Α = + + + + − −

3. Ιδιότητες των πράξεων( Αντιµεταθετική – προσεταιριστική – επιµεριστική(για

πρόσθεση και πολλαπλασιασµό ). [Να γίνει σύντοµη αναφορά και αναγραφή των

ιδιοτήτων. Στην Α΄ Γυµνασίου να γίνει η επιµεριστική και από την ανάποδη , δηλαδή

ως µέθοδος παραγοντοποίησης]

4.Πολλαπλασιαµός και διαίρεση µε 10 , 100 , 1000 ή και µε 0,1 – 0, 01 – 0 , 001

κλπ.

Εφαρµογή : Να γίνει η πράξη :

1 2 3 4

0,1 0,02 0,003 0,0004Α= + + +

5.Οι αντίθετες πράξεις – οι αντίστροφες πράξεις και εισαγωγή στις εξισώσεις :

ή+ = = −χ α β χ β α , ή− = = +χ α β χ β α , ή− = = −α χ β χ α β

ή= =β

αχ β χα

, : ή= = ⋅χ α β χ β α , : ή := =α χ β χ α β

Εφαρµογή:

Ποιον αριθµό πρέπει να τοποθετήσουµε στην αρχή της << αλυσίδας >> ;

ΑΡΧΗ Πολλαπλασι-άζω µε 3

Προσθέτω 50

∆ιαιρώ µε 5

Βρίσκω αποτέλεσµα 37

Εφαρµογή : Ποιος αριθµός πρέπει να µπει στο κουτάκι, ώστε η παρακάτω ισότητα:

Σελίδα 14 από 32

(10 + 5) · ( + 4) =225

να είναι σωστή;

6. Αριθµητικές παραστάσεις – προτεραιότητα των πράξεων (να γραφούν στο φύλλο

εργασίας 4-5 παραδείγµατα , από απλά έως και πιο πονηρά.

Να γίνει φύλλο εργασίας

Γενική παρατήρηση :

Όλα τα φύλλα εργασίας να έχουν επαγωγικό χαρακτήρα. Τα παραδείγµατα να είναι

απλά και διδακτικά. Οι πιο πονηρές ασκήσεις να είναι σχετικά λίγες και να είναι

τελευταίες. Μερικές δύσκολες ασκήσεις µπορεί να δοθούν στο τέλος του φύλλου

εργασίας για όσους θέλουν να ασχοληθούν περισσότερο ή έχουν διαφορά γνώσεων από

τους άλλους.

Ασκήσεις για αξιοποίηση

1. Να συµπληρώσετε τα κενά , ώστε να πάρουµε ισότητες

2. Τι ποσοστό παριστάνουν στα παρακάτω σχήµατα τα σηµειωµένα µέρη ;

Μαθηµατική κατασκήνωση – Εύβοια 2009

Σελίδα 15 από 32

β) ΣΤ΄- ΑΛΓΕΒΡΑ 1 – Μάθηµα 2ο

1.∆υνάµεις αριθµών – Ιδιότητες[να δοθούν αρκετά παραδείγµατα και να αναφερθούν οι

ιδιότητες και γενικά αλλά και µε παράδειγµα. Στο φύλλο εργασίας οι µαθητές θα

εφαρµόσουν την κάθε ιδιότητα τουλάχιστον 2 φορές.

Εφαρµογή – Πρόκληση : Να γραφεί ως µία δύναµη η παράσταση :

2009 2011

209 211

2 2

2 2Α

+=

+

2. Περίεργες προσθέσεις – αφαιρέσεις µε πολλούς όρους.

Εφαρµογή : Να βρείτε την τιµή της παράστασης :

2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 ... 2010 2009Α = − + − + − + − + − + + −

Εφαρµογή: Να βρεθεί η παράσταση

(2 3 4 5 ... 2008 2009) (1 2 3 4 ...42007 2008)Α = + + + + + + − + + + + +

Εφαρµογή : Να βρείτε την τιµή της παράστασης :

3 4 5 6 2009 1 1 1 1 1( ... ) ( ... )2 3 4 5 2008 2 3 4 5 2008

Β = + + + + + − + + + + +

3. Γινόµενα κλασµάτων µε πολλούς όρους και απλοποιήσεις .

Εφαρµογή: Να υπολογιστεί η παράσταση :

1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 )...(1 ) (1 )

2 3 4 2008 2009Α= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

4. Ισοδύναµα κλάσµατα και πώς τα δηµιουργούµε. Έλεγχος (χιαστί) αν δύο κλάσµατα

είναι ισοδύναµα.

Εφαρµογή: Να βρείτε το γράµµα α , ώστε τα κλάσµατα 2 6,

5 9 α+ να είναι ισοδύναµα

Υπόδειξη: και µε δοκιµές αλλά και µε εξίσωση.

5. Αφαιρέσεις µε πολλούς όρους :

♦ ( )α β γ δ α β γ δ− + + = − − − , ( )α β γ δ α β γ δ− − − = − + +

6. Απλά προβλήµατα και εφαρµογές – Συµπλήρωση των γνώσεων του µαθήµατος 1.

Σελίδα 16 από 32

Μαθηµατική κατασκήνωση – Εύβοια 2009

γ) ΣΤ΄- ΑΛΓΕΒΡΑ 1 – Μάθηµα 3ο 1. Προβλήµατα τεσσάρων πράξεων µε φυσικούς αριθµούς. 2. Προβλήµατα τεσσάρων πράξεων µε δεκαδικούς αριθµούς. 3. Προβλήµατα τεσσάρων πράξεων µε κλασµατικούς αριθµούς. 4. ∆ιάφορα προβλήµατα τεσσάρων πράξεων. Εφαρµογή: Ο Σταύρος είχε να µελετήσει σκληρά για το διαγώνισµα και διάβασε 1000 σελίδες σε 5 µέρες. Αν κάθε µέρα , εκτός φυσικά από την πρώτη µέρα, διάβαζε 60 σελίδες περισσότερες από ότι την προηγούµενη µέρα, πόσες σελίδες διάβασε την πρώτη µέρα ; Υπόδειξη Κατά µέσο όρο διάβασε 200 σελίδες, οπότε την Τρίτη µέρα διάβασε 200 , την δεύτερη 140 και την πρώτη 80 σελίδες. Άλλος τρόπος : Τη δεύτερη, Τρίτη, τέταρτη και Πέµπτη µέρα έχει διαβάσει παραπάνω από την πρώτη : 60 + ( 60+ 60) + (60 + 60 + 60) + ( 60 + 60 + 60 + 60) = 60 + 120 + 180 + 240 = 600 σελίδες. Άρα τις υπόλοιπες 400 σελίδες τις διάβασε ισοµερώς στις 5 µέρες κλπ

Σηµείωση :

Θα γίνουν ασκήσεις από το σχολικό , από το βοήθηµα ή διαγωνισµούς κλπ. Καλό είναι

να συγκεντρώσουµε και περίπου 20 προβλήµατα µε ενδιαφέρον από άλλες πηγές. Να

βάλουµε αρχικά(10) βασικά προβλήµατα σχολικού πνεύµατος και στη συνέχεια

άλλα(10) πιο ελκυστικά ή σύνθετα προβλήµατα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ για Χρήση

1.Για 3 τόστ και 4 χυµούς πληρώσαµε 10 Ευρώ , ενώ η διπλανή παρέα πλήρωσε για 4 ίδια τόστ και 5 ίδιους χυµούς 13 Ευρώ. Πόσο κοστίζει το τόστ και πόσο ο χυµός ; 2. Μόλις τελείωσαν τα Χριστουγεννιάτικα κάλαντα, ο Ανδρέας είπε στο Βασίλη:

«Τα χρήµατα που µαζέψαµε και οι δυο µαζί είναι 190 ευρώ. Όµως εγώ µάζεψα 80 ευρώ περισσότερα από σένα».Πόσα χρήµατα µάζεψε ο Ανδρέας; 3. Μια γεµάτη κανάτα µε νερό ζυγίσει 1340 γραµµάρια. Η ίδια κανάτα, αλλά µε το µισό νερό, ζυγίζει 720 γραµµάρια. Πόσο ζυγίσει η κανάτα όταν είναι άδεια;

4. Το ταξίδι ενός πλοίου µε πλήρωµα από 40 άτοµα θα διαρκέσει 20 µέρες. Αν µετά από 6 ηµέρες ταξίδι µαζέψει 16 ναυαγούς και δεν ελαττωθεί η µερίδα φαγητού , πόσες µέρες θα ταξιδέψει το πλοίο χωρίς τρόφιµα;

Σελίδα 17 από 32

5. Τρεις φοιτητές - ο Α , ο Β και ο Γ – παίζουν ένα παιγνίδι µαθηµατικών γνώσεων µε την εξής συµφωνία : Θα ξεκινήσει ο καθένας µε ένα τυχαίο ποσό χρηµάτων , όχι υποχρεωτικά ίδιο µε το ποσό των άλλων. Όµως κάθε φορά , εκείνος που θα χάνει , θα διπλασιάζει τα χρήµατα που έχουν µπροστά τους οι άλλοι δύο. Παίχτηκαν τρία παιγνίδια. Πρώτος έχασε ο Α , δεύτερος ο Β και τρίτος ο Γ. Στο τέλος βρέθηκαν όλοι να έχουν από 24 ευρώ. Πόσα χρήµατα είχε ο καθένας στην αρχή του παιγνιδιού;

6. Πόσες φορές θα χρησιµοποιήσουµε το ψηφίο 1 για να αριθµήσουµε ένα βιβλίο 300

σελίδων, αριθµώντας τις σελίδες µε τη σειρά: 1, 2, 3, …, 300;

7. Ο Μάριος, µαθητής της ΣΤ΄ τάξης, ήθελε να πάρει µέρος στο διαγωνισµό της Ε.Μ.Ε. Την προηγούµενη µέρα από το διαγωνισµό ο θείος του, που είναι µα-θηµατικός, του έθεσε για εξάσκηση το εξής πρόβληµα: «Να πολλαπλασιάσεις όλους τους αριθµούς από το 1 έως και το 50 και να µου βρεις

πόσα µηδενικά έχει ο αριθµός που θα προκύψει».

«Τι θα κερδίσω, να το βρω», ρώτησε ο Μάριος.

«Ωραία, θα σου δώσω τόσα ευρώ, όσα είναι και η σωστή απάντηση», του απάντησε ο θείος. Το βράδυ, ο Μάριος τηλεφωνεί στο θείο του και λέει: «Το βρήκα! Χωρίς να κάνω κανένα πολλαπλασιασµό!».

Αλήθεια, εσείς πόσα µηδενικά νοµίζετε ότι έχει ο αριθµός:

1 · 2 · 3 · · · 48 · 49 · 50;

8. Στη διπλανή αφαίρεση τα γράµµατα Γ και ∆ παριστάνουν δύο διαφορετικά ψηφία. Πόσο είναι το άθροισµα Γ + ∆ των ψηφίων Γ και ∆ ;

9. Ποιο είναι το αποτέλεσµα που θα βρούµε , αν κάνουµε τις παρακάτω πράξεις ;

2004 2 3 3 1 2004

2008 2009 2008 2009 2008 2009+ + + + +

10. Στο διπλανό διάγραµµα βλέπετε έναν πολλαπλασιασµό. Πολλά από τα ψηφία έχουν σβηστεί και στη θέση τους υπάρχουν αστερίσκοι. Πόσο είναι το άθροισµα των ψηφίων στο γινόµενο που προκύπτει ;

Γ ∆ - 8

2 Γ

3 9

Χ

∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ 2

∗ ∗ ∗ 3

Σελίδα 18 από 32

7. Problem Solving***

♦ Στρατηγικές για τη λύση Προβληµάτων

♦ Μαθηµατικοί διαγωνισµοί –

Ολυµπιάδες Μαθηµατικών

Μπάµπης Στεργίου - Μαθηµατικός

*** Το άρθρο είναι από το Τετράδιο Εργασιών που δόθηκε σε όλους τους µαθητές .Μέσα στις 156

σελίδες του περιέχονταν τα φύλλα εργασίας σε όλα τα µαθήµατα και τα διαγνωστικά τεστ .Τα φύλλα

εργασίας έγιναν από τους διδάσκοντες καθηγητές µε βάση το αναλυτικό πρόγραµµα που εκπονήθηκε

από τους διοργανωτές.

Σελίδα 19 από 32

Θεωρία – Τι πρέπει να γνωρίζω

Η σηµασία που έχει η επίλυση προβληµάτων για την ανάπτυξη της µαθηµατικής σκέψης, οδήγησε πολλούς

µαθηµατικούς και παιδαγωγούς στην έρευνα για την ανακάλυψη ορισµένων βασικών αλλά γενικών

µεθόδων που θα χρησίµευαν για το σκοπό αυτό. Τονίζουµε ότι µέθοδος - συνταγή που να λύνει

µαθηµατικά προβλήµατα δεν υπάρχει. Αυτό που υπάρχει είναι ένας µικρός κατάλογος που περιγράφει τους

γενικούς άξονες γύρω από τους οποίους περιστρέφεται συνήθως η προσπάθεια για την αναζήτηση της

λύσης ενός προβλήµατος. ∆εν είναι σκοπός του µαθήµατος αυτού η λεπτοµερής ανάλυση αυτών των

αξόνων και των µεθόδων επίλυσης. Ορισµένες ωστόσο περιπτώσεις φαίνονται στα προβλήµατα που

ακολουθούν.

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Πριν ξεκινήσουµε την προσπάθειά µας για να λύσουµε ένα πρόβληµα, πρέπει να το διαβάσουµε

αρκετές φορές, ώστε να βεβαιωθούµε ότι καταλαβαίνουµε όλες τις πληροφορίες (δεδοµένα) και τις

ερωτήσεις του (ζητούµενα). Μπορούµε να µεταφέρουµε το πρόβληµα σε µια πιο απλή µορφή, ώστε

να το καταλαβαίνουµε γρηγορότερα, να καταγράψουµε τα δεδοµένα και τα ζητούµενα και

γενικότερα, πριν ακόµα ξεκινήσουµε να το λύνουµε, να έχουµε σχηµατίσει ένα δικό µας διάλογο µε

το πρόβληµα.

Για τη λύση ενός προβλήµατος πρέπει να οργανώσουµε ένα σχέδιο. Αυτά τα σχέδια τα λέµε

στρατηγικές. Ορισµένες από τις πιο βασικές στρατηγικές είναι οι επόµενες:

Λύνω ένα πιο απλό πρόβληµα

Βρίσκω ένα µοτίβο

Φτιάχνω σχήµα ή διάγραµµα

Φτιάχνω έναν κατάλογο ή µια οργανωµένη λίστα

Σκέφτοµαι αντίστροφα

Κάνω συλλογισµούς - Κάνω απόδειξη

Αφού διαλέξουµε µια κατάλληλη στρατηγική ή πιθανόν ανακαλύψουµε ένα συνδυασµό τους,

ξεκινάµε τη λύση.

∆ε βιαζόµαστε, κοιτάζουµε συνεχώς τα δεδοµένα, δεν αποµακρυνόµαστε από το στόχο µας. Κάνουµε

µε προσοχή τις πράξεις. Αν αντιληφθούµε ότι η στρατηγική µας δεν βοηθάει άλλο, επιλέγουµε µια

άλλη. ∆εν εγκαταλείπουµε, µέχρι να µας το επιβάλλει ο χρόνος. Αν δεν µπορούµε να λύσουµε το

συγκεκριµένο πρόβληµα και είµαστε σε διαγωνισµό, περνάµε στη λύση άλλου προβλήµατος.

Μέθοδος 1η: Λύνω ένα πιο απλό πρόβληµα

Αν το πρόβληµα που έχουµε να λύσουµε είναι αρκετά σύνθετο, προσπαθούµε να λύσουµε ένα πιο απλό,

αλλά παρόµοιο πρόβληµα, ώστε να αντιληφθούµε τον τρόπο που πρέπει να το προσεγγίσουµε.

Σελίδα 20 από 32

1. Να βρεθεί η τιµή της παράστασης:

Α = (2 + 4 + 6 + … + 2.010) – (1 + 3 + 5 + … + 2.009)

Λύση

Θα προσπαθήσουµε να δώσουµε µερικά παρόµοια, αλλά πιο απλά προβλήµατα, στα οποία οι

παρενθέσεις να έχουν λιγότερους αριθµούς.

Α1 = 2 – 1 = 1

Α2 = (2 + 4) – (1 + 3) = 6 – 4 = 2

Α3 = (2 + 4 + 6) – (1 + 3 + 5) = 12 – 9 = 3

Α4 = (2 + 4 + 6 + 8) – (1 + 3 + 5 + 7) = 20 – 16 = 4

Αν ρίξουµε µια προσεκτική µατιά στο αποτέλεσµα της κάθε πράξης, θα διαπιστώσουµε ότι η τιµή της

κάθε παράστασης είναι τόση, όσοι είναι οι αριθµοί (προσθετέοι) στην κάθε παρένθεση. Κάθε

παρένθεση της παράστασης Α που θέλουµε να υπολογίσουµε έχει τόσους αριθµούς, όσοι είναι οι

αριθµοί:

2, 4, 6, 8, 10, …, 2.010

Αλλά οι αριθµοί αυτοί είναι τα πολλαπλάσια του 2, ξεκινώντας από το 2 2 1= ⋅ . Επειδή 2.010 : 2 = 1.005, το

πλήθος των αριθµών αυτών είναι 1.005. Τόσοι όµως είναι και οι αριθµοί 1, 3, 5, 7, 9, …, 2.009.

Εποµένως η τιµή της παράστασης Α είναι 1.005, δηλαδή Α = 1.005.

Άλλος τρόπος

Ας δούµε πάλι την περίπτωση όπου κάθε παρένθεση έχει 2 αριθµούς:

Α2 = (2 + 4) – (1 + 3)

Αντί να κάνουµε τις πράξεις µπορούµε να αλλάξουµε τη σειρά των αριθµών και να γράψουµε:

Α2 = (2 – 1) + (4 – 3) = 1 + 1 = 2

Όµοια µπορούµε να γράψουµε:

Α3 = (2 + 4 + 6) – (1 + 3 + 5) = (2 – 1) + (4 – 3) + (6 – 5) = 1 + 1 + 1 = 3

Εύκολα πια τώρα βλέπουµε ότι:

Α = (2 + 4 + 6 + … + 2.010) – (1 + 3 + 5 + … + 2.009) =

(2 1) (4 3) (6 5) ... (2.010 2.009)= − + − + − + + − =

=

= + + + + + =2.010 : 2 1.005 αριθµοί

1 1 1 1 ... 1 1.005

Μέθοδος 2η: Βρίσκω το µοτίβο

Μια εξαιρετική µέθοδος, χρήσιµη για την επίλυση πολλών προβληµάτων, είναι η προσπάθεια να

µαντέψουµε τη λύση, µέσα από αρκετές δοκιµές, µε συγκεκριµένους αριθµούς και απλές πράξεις. Στη

συνέχεια προσπαθούµε να βρούµε µια σχέση που να συνδέει τα αποτελέσµατα της κάθε περίπτωσης.

2. Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης:

1 1 1 1 1A ...

1 2 2 3 3 4 4 5 9 10= + + + + += + + + + += + + + + += + + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Λύση

Θα ξεκινήσουµε να κάνουµε ορισµένες δοκιµές µε λιγότερους προσθετέους:

=⋅1 1

1 2 2

+ = + = + = =⋅ ⋅1 1 1 1 3 1 4 2

1 2 2 3 2 6 6 6 6 3

Σελίδα 21 από 32

⋅ + + = + + = + = + = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 1 1 1 1 1 2 1 8 1 9 3 3 3

1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 3 4 3 12 12 12 12 3 4 4

+ + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 4 5

= + + + = + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 1 1 1 3 1

1 2 2 3 3 4 4 5 4 20

⋅

= + = = =⋅

15 1 16 4 4 4

20 20 20 4 5 5

Τα παραδείγµατα αυτά είναι αρκετά για να µαντέψουµε το αποτέλεσµα. Παρατηρούµε ότι το

αποτέλεσµα είναι ένα κλάσµα, που αριθµητής και παρονοµαστής είναι οι όροι του γινοµένου του

παρονοµαστή στο τελευταίο κλάσµα της παράστασης. Για παράδειγµα:

Στην τέταρτη περίπτωση, το τελευταίο κλάσµα είναι το ⋅1

4 5 και το αποτέλεσµα ήταν το

4

5.

Στην τρίτη περίπτωση, το τελευταίο κλάσµα είναι το ⋅1

3 4 και βρίσκουµε αποτέλεσµα

3

4.

Είναι λογικό λοιπόν να υποψιαστούµε ότι, αφού στην παράσταση Α το τελευταίο κλάσµα είναι το

⋅1

9 10, η τιµή της παράστασης θα είναι

9

10.

Να σηµειώσουµε ότι η παραπάνω διαδικασία δεν είναι µια πλήρης αιτιολόγηση αλλά µια ικανοποιητική

“λύση”, που για παιδιά αυτής της ηλικίας είναι σπουδαία επιτυχία!

Μέθοδος 3η: Φτιάχνω σχήµα ή διάγραµµα

Σε πολλά προβλήµατα η δηµιουργία σχηµάτων, διαγραµµάτων ή οργανωµένων πινάκων µπορεί να

βοηθήσει αποτελεσµατικά στην εύρεση της λύσης.

3. Σε πόσα το πολύ κοµµάτια µπορούµε να χωρίσουµε µια ορθογώνια πίτσα µε

τέσσερις ευθύγραµµες µαχαιριές;

Λύση

Θα κάνουµε ορισµένες δοκιµές:

Σχήµα α Σχήµα β

Σχήµα γ

Από τις δοκιµές αυτές παρατηρούµε ότι τα σχήµατα (α), (β), (γ) µπορούµε να τα χωρίσουµε σε 5, 5, 8

κοµµάτια αντίστοιχα.

Με µια ακόµη προσπάθεια, στην οποία όλες οι µαχαιριές είναι ευθείες που

τέµνονται, παίρνουµε το διπλανό σχήµα.

Στην περίπτωση αυτή παίρνουµε 11 κοµµάτια. Αυτός λοιπόν είναι ο µέγιστος

αριθµός που ζητάµε.

Κάνοντας πολλές δοκιµές, παρατηρούµε ότι για να χωρίσουµε το ορθογώνιο στο µέγιστο αριθµό

κοµµατιών θα πρέπει:

οι δυο πρώτες ευθείες να τέµνονται σε ένα σηµείο,

η τρίτη ευθεία να τέµνει και τις δύο ευθείες,

η τέταρτη ευθεία να τέµνει και τις τρεις ευθείες.

Σελίδα 22 από 32

Σχόλιο

Η εξίσωση λύνεται ως εξής:

( )− = ⋅ −15 x 2 10 x ή − = − ⋅15 x 20 2 x ή

⋅ − = −2 x x 20 15 ή =x 5

Άρα η Ελένη έµαθε να κολυµπά όταν ήταν − −10 x = 10 5 = 5 ετών.

Μέθοδος 4η: Φτιάχνω ένα κατάλογο ή µια οργανωµένη λίστα

4. Η Ελένη είναι 10 χρονών και η Μαρία είναι 15 χρονών. Η Μαρία έµαθε την

Ελένη κολύµπι, όταν η ηλικία της ήταν διπλάσια της Ελένης. Σε ποια

ηλικία έµαθε να κολυµπά η Ελένη;

Λύση

Η Μαρία είναι µεγαλύτερη από την Ελένη − =15 10 5 χρόνια.

Σχηµατίζουµε λοιπόν τον παρακάτω βοηθητικό πίνακα.

Ελένη 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Μαρία 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Από τον πίνακα συµπεραίνουµε ότι η Ελένη έµαθε να κολυµπά όταν ήταν 5 ετών.

Άλλος τρόπος

Έστω ότι αυτό έγινε πριν x χρόνια.

Η Ελένη ήταν τότε −10 x και η Μαρία −15 x ετών. Πρέπει:

( )15 x 2 10 x− = ⋅ −

Λύνουµε την εξίσωση ή δοκιµάζουµε αριθµούς, οπότε βρίσκουµε =x 5 .

Μέθοδος 5η: Σκέφτοµαι αντίστροφα

5. Ο Γιάννης πήγε στο βιβλιοπωλείο και το 1

3 των χρηµάτων του το έδωσε για

βιβλία. Αγόρασε µετά ένα στυλό µε 3 ευρώ και τα 2

3 των χρηµάτων που του

περίσσεψαν τα έδωσε για τετράδια. Αν δεν αγόραζε στο δρόµο ένα παγωτό µε

3 ευρώ, θα γύριζε στο σπίτι έχοντας πάνω του 19 ευρώ. Πόσα χρήµατα είχε

ο Γιάννης τη στιγµή που µπήκε στο βιβλιοπωλείο;

Λύση

Θα λύσουµε το πρόβληµα ακολουθώντας αντίστροφη πορεία. Θα ξεκινήσουµε δηλαδή

από τη στιγµή που ο Γιάννης φτάνει στο σπίτι και χρησιµοποιώντας κατάλληλα

τα δεδοµένα του προβλήµατος θα καταλήξουµε στη στιγµή πριν µπει στο

βιβλιοπωλείο. Έχουµε λοιπόν:

• Ο Γιάννης έφυγε από το βιβλιοπωλείο και είχε 19 €.

• Τα 19 € του έµειναν αφού έδωσε τα 2

3 των χρηµάτων του για τετράδια. Τότε

λοιπόν το 1

3 των χρηµάτων αυτών είναι 19 €. Άρα όλο το ποσό που είχε πριν

αγοράσει τα τετράδια ήταν ⋅ =3 19 57 €.

Σελίδα 23 από 32

• Πριν αγοράσει το στιλό µε 3 €, είχε 57 + 3 = 60 €.

• Τα 60 € του έµειναν αφού είχε αγοράσει βιβλία, για τα οποία ξόδεψε το 1

3 των

χρηµάτων του. Τα 60 € είναι λοιπόν τα 2

3 των χρηµάτων που είχε πριν

ξεκινήσει να ψωνίζει. Άρα το 1

3 των χρηµάτων του είναι 60 : 2 = 30 €. Συνεπώς

όλα τα χρήµατα που είχε µπαίνοντας στο βιβλιοπωλείο ήταν ⋅ =3 30 90 €.

6. Η Άννα, η Βίκυ και η Γιάννα έχουν συνολικά 30 µπίλιες. Αν η Βίκυ δώσει 5

µπίλιες στη Γιάννα, η Γιάννα δώσει 4 µπίλιες στην Άννα και η Άννα δώσει

2 µπίλιες στη Βίκυ, τότε όλες θα έχουν τον ίδιο αριθµό από µπίλιες.

Πόσες µπίλιες είχε στην αρχή η Γιάννα;

Λύση

Σκεφτόµαστε µε την αντίστροφη πορεία, δηλαδή από το τέλος προς την αρχή. Όλες µαζί έχουν 30

µπίλιες και στο τέλος βρέθηκαν µε τον ίδιο αριθµό από µπίλιες, άρα στο τέλος η καθεµιά έχει 10

µπίλιες.

3ο βήµα

Η Άννα έδωσε 2 µπίλιες στη Βίκυ. Άρα πριν δώσει η Άννα τις µπίλιες στη Βίκυ, η Άννα είχε + =10 2 12

και η Βίκυ είχε − =10 2 8 µπίλιες. Η Γιάννα είχε 10 µπίλιες.

2ο βήµα

Στο βήµα αυτό η Γιάννα έδωσε 4 µπίλιες στην Άννα. Η Γιάννα έχει 10 µπίλιες και η Άννα 12. Άρα η

Γιάννα είχε + =10 4 14 και η Άννα − =12 4 8µπίλιες. Στο βήµα αυτό η Βίκυ είχε 8 µπίλιες.

1ο βήµα

Η Βίκυ έδωσε 5 µπίλιες στη Γιάννα. Άρα η Βίκυ είχε + =8 5 13µπίλιες και η Γιάννα είχε

− =14 5 9 µπίλιες. Εποµένως στην αρχή η Άννα είχε 8, η Βίκυ 13 και η Γιάννα 9 µπίλιες.

Τα βήµατα αυτά φαίνονται και στον παρακάτω πίνακα.

Άννα Βίκυ Γιάννα

Τέλος 10 10 10 3ο βήµα 12 8 10 2ο βήµα 8 8 14 1ο βήµα 8 13 9

Μέθοδος 6η: Κάνω συλλογισµούς – Κάνω απόδειξη

Η απόδειξη είναι η καρδιά και η ψυχή συγχρόνως των Μαθηµατικών. Προβλήµατα µε απόδειξη

(αιτιολόγηση) θα συναντάµε κυρίως σε µεγαλύτερες τάξεις.

7. Ένα σχολείο έχει 61 µαθητές. Να αποδείξετε ότι ανάµεσα στους µαθητές

υπάρχουν τουλάχιστον 6 που έχουν γενέθλια τον ίδιο µήνα.

Λύση

Οι µήνες είναι 12 και οι µαθητές 61. Όµως = ⋅ +61 12 5 1. Αν λοιπόν θεωρήσουµε ότι οι µήνες είναι 12

κουτάκια, οι 61 µαθητές είναι 61 µπίλιες και θελήσουµε να βάλουµε τις µπίλιες στα κουτάκια, τότε σε

ένα τουλάχιστον κουτάκι θα µπουν 6 µπίλιες. Πραγµατικά:

Μοιράζουµε τις µπίλιες στα κουτάκια, βάζοντας από µία σε κάθε κουτάκι. Τότε κάποια στιγµή όλα τα

κουτάκια θα έχουν από 5 µπίλιες και θα περισσεύει µία (διότι 61 = 12 · 5 + 1).

Σελίδα 24 από 32

Αυτή τη µπίλια που περισσεύει θα τη βάλουµε σε ένα από τα 12 κουτάκια και αµέσως αυτό το κουτί θα

περιέχει 6 µπίλιες.

Εποµένως, ανάµεσα στους 61 µαθητές, τουλάχιστον οι 6 έχουν γενέθλια τον

ίδιο µήνα.

8. Μια δεξαµενή καυσίµων είναι γεµάτη κατά τα 5

8. Ρίχνουµε στη δεξαµενή 135

λίτρα και τώρα η δεξαµενή είναι γεµάτη κατά τα 8

11. Πόσα λίτρα χωράει η

δεξαµενή;

Λύση

Τα 135 λίτρα αποτελούν, σύµφωνα µε το πρόβληµα, τα:

−− = − = =

8 5 64 55 64 55 9

11 8 88 88 88 88της δεξαµενής

Το 1

88 της δεξαµενής είναι

135

9 λίτρα. Άρα όλη η δεξαµενή χωράει:

13588 88 15 1.320

9⋅ = ⋅ = λίτρα

Σχόλιο

Επειδή ο µήνας έχει 4 εβδοµάδες, µε τους ίδιους συλλογισµούς συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν

τουλάχιστον δύο µαθητές που έχουν γενέθλια την ίδια εβδοµάδα!

Σελίδα 25 από 32

Λυµένες ασκήσεις και προβλήµατα

9. Ο Βασίλης προσπαθεί να γράψει τον πιο µικρό αριθµό που έχει 20 ψηφία και

το άθροισµα όλων των ψηφίων του αριθµού αυτού να είναι 20. Πόσες φορές

θα περιέχεται το ψηφίο 0 στον αριθµό αυτό;

.... Λύση Για να είναι ο αριθµός όσο γίνεται πιο µικρός, πρέπει να αρχίζει µε το ψηφίο 1 και να τελειώνει σε 9. Η

διαίρεση 20 : 9 δίνει πηλίκο 2 και υπόλοιπο 2.

Εποµένως θα χρησιµοποιήσουµε 2 φορές το 9 και 2 φορές το 1.

Με απλές δοκιµές βλέπουµε ότι ο αριθµός που ψάχνουµε έχει τη µορφή:

16

1000...0199

που ξεκινάει µε 1, ακολουθείται από 16 µηδενικά και τελειώνει σε 199.

10. Να υπολογιστεί το άθροισµα:

(((( )))) (((( ))))A 1 2 3 ... 24 25 49 48 47 ... 26 25= + + + + + + + + + + += + + + + + + + + + + += + + + + + + + + + + += + + + + + + + + + + +

.... Λύση Αλλάζουµε τη σειρά των προσθετέων, παίρνοντας έναν αριθµό από τη µία παρένθεση και έναν από την

άλλη:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + + + + + + + + =A 1 49 2 48 3 47 ... 24 26 25 25

−

= + + + + + =

25 προσθετέοι

50 50 50 ... 50 50

= ⋅ =25 50 1.250

11. Στη διπλανή πρόσθεση τριών διψήφιων αριθµών τα διαφορετικά

γράµµατα παριστάνουν διαφορετικά ψηφία. Να βρείτε το

άθροισµα

Α + Β + Γ.

Βρετανία - 2002

.... Λύση Το άθροισµα + +Α Β Γ από τη στήλη των δεκάδων πρέπει να δώσει κρατούµενο 1 ή 2,

διότι ο ΑΒΓ είναι τριψήφιος. Το κρατούµενο αυτό δεν µπορεί να είναι 3 ή µεγαλύτερο,

γιατί αν δώσουµε τη µεγαλύτερη τιµή στα Α, Β, Γ τότε:

+ + =9 9 9 27 και + =27 2 29

Εποµένως το ψηφίο Α στο άθροισµα ΑΒΓ είναι 1 ή 2.

Σελίδα 26 από 32

• Έστω =Α 1. Πρέπει τότε + =1 Β 10 , ώστε το άθροισµα + +1 Β Γ από τη στήλη των

µονάδων να λήγει σε Γ. Άρα =Β 9. Τότε η πρόσθεση παίρνει τη µορφή του

διπλανού σχήµατος.

Η στήλη των µονάδων θα δώσει το κρατούµενο 1. Από τη στήλη

των δεκάδων πρέπει:

( )κρατούµενο + + + =1 1 9 Γ 19 , οπότε =Γ 8

Άρα οι αριθµοί είναι:

=ΑΑ 11, =ΒΒ 99 , =ΓΓ 88

Εποµένως η πρόσθεση + +ΑΑ ΒΒ ΓΓ δίνει άθροισµα 198, οπότε:

+ + =Α Β Γ 18

• Έστω =Α 2. Τότε, σκεπτόµενοι όπως στην προηγούµενη περίπτωση

βρίσκουµε ότι πρέπει =Β 8.

Αλλά για =Α 2 και =Β 8 προκύπτει ότι =Γ 7 . Η περίπτωση όµως

αυτή τελικά απορρίπτεται, διότι + + =22 88 77 187 και όχι 287,

που είναι ο τριψήφιος ΑΒΓ.

Εποµένως, η µοναδική απάντηση στο πρόβληµα

είναι + + = + + =Α Β Γ 1 9 8 18 .

12. Σε ένα σχολικό πρωτάθληµα µε 30 οµάδες τα ζευγάρια ορίζονται µε κλήρωση. Η

οµάδα που χάνει το παιχνίδι αποχωρεί και ισοπαλίες δεν επιτρέπονται. Πόσα

παιχνίδια θα γίνουν µέχρι να αναδειχθεί ο πρωταθλητής;

∆ιαγωνισµός, Ρωσία

.... Λύση Αφού κάθε οµάδα, εκτός από την πρωταθλήτρια, θα χάσει σε ένα ακριβώς παιχνίδι, συνολικά θα γίνουν

29 παιχνίδια!!!

6.13 Ένας ουρανοξύστης έχει 100 ορόφους. Σ’ αυτόν εργάζεται µόνιµα ένας

ελαιοχρωµατιστής, ο οποίος βάφει µε τη σειρά έναν όροφο τον κάθε µήνα,

από τον Ιανουάριο µέχρι και το Νοέµβριο, ενώ το ∆εκέµβριο παίρνει άδεια.

Αν ο όροφος που µένει ο κύριος Γεωργίου βάφτηκε τον Αύγουστο 2007, πότε

θα ξαναβαφτεί για πρώτη φορά;

Αυστραλία - 2000

.... Λύση Ο ελαιοχρωµατιστής βάφει 11 ορόφους το χρόνο. Για να ξαναβάψει έναν όροφο, πρέπει πρώτα να

ξαναβάψει τους υπόλοιπους − =100 1 99 ορόφους. Όµως = ⋅99 11 9 , οπότε αυτό θα διαρκέσει 9 χρόνια.

Άρα ο όροφος που µένει ο κύριος Γεωργίου θα βαφτεί ύστερα από 9 χρόνια, δηλαδή το Σεπτέµβριο του

2016.

14. Ο παππούς της Κατερίνας κοίταζε το ηµερολόγιο ενός περασµένου χρόνου και

πρόσεξε ότι εκείνο το χρόνο ο Ιανουάριος είχε ακριβώς 4 ∆ευτέρες και 4

ακριβώς Παρασκευές! Τι ηµέρα έπεφτε η Πρωτοχρονιά το χρόνο εκείνο;

Σελίδα 27 από 32

.... Λύση Ο Ιανουάριος έχει 31 ηµέρες. Επειδή = ⋅ +31 4 7 3 , όλες οι ηµέρες πέφτουν 4 φορές εκτός από 3

συνεχόµενες, αφού το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 3.

Η Πρωτοχρονιά και οι δύο επόµενες ηµέρες θα πέσουν από 5 φορές.

Η Πρωτοχρονιά:

• δεν µπορεί να είναι Παρασκευή, διότι ο µήνας αυτός έχει µόνο 4 Παρασκευές,

• δε µπορεί να είναι Σάββατο, διότι τότε η Κυριακή και η ∆ευτέρα θα έπεφταν

5 φορές,

• δε µπορεί να είναι επίσης Κυριακή ή ∆ευτέρα,

• δε µπορεί να είναι Τετάρτη ή Πέµπτη, διότι τότε η Παρασκευή θα έπεφτε 5

φορές.

Άρα η Πρωτοχρονιά ήταν ηµέρα Τρίτη.

15. Ο κωδικός ασφαλείας ενός χρηµατοκιβωτίου είναι ένας αριθµός µε 100

ψηφία. Ο αριθµός αυτός είναι γραµµένος στη µορφή:

Ο ιδιοκτήτης του γνωρίζει ότι το άθροισµα τριών οποιωνδήποτε συνεχόµενων

αριθµών είναι πάντοτε 20. Ποιο είναι το πρώτο ψηφίο του κωδικού

ασφαλείας;

.... Λύση Το δεύτερο από το τέλος ψηφίο είναι το − − =20 8 7 5 . Άρα οι τρεις τελευταίοι αριθµοί σχηµατίζουν

τον τριψήφιο αριθµό 857.

Συνεχίζοντας να βρίσκουµε τα ψηφία από το τέλος προς την αρχή έχουµε ότι:

• τέταρτο είναι το 20 – 8 – 5 = 7,

• πέµπτο είναι το 20 – 7 – 8 = 5,

• έκτο είναι το 20 – 5 – 7 = 8.

Παρατηρούµε ότι ο αριθµός 857 επαναλαµβάνεται συνεχώς, από το τέλος προς την αρχή (ή ο αριθµός

758, αν διαβάζουµε τα ψηφία προς τα αριστερά).

Αλλά, η διαίρεση 100 : 3 δίνει υπόλοιπο 1. Άρα στη θέση Α βρίσκεται το πρώτο από το τέλος ψηφίο

του αριθµού 758, δηλαδή =Α 8 .

Σελίδα 28 από 32

Ασκήσεις για εξάσκηση

1ΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

16. Παρατηρώντας τα παρακάτω σχήµατα, να βρείτε την τιµή του x.

17. Να γράψετε:

α) τον µεγαλύτερο φυσικό αριθµό, του οποίου τα ψηφία έχουν γινόµενο 270

και κανένα από αυτά δεν είναι το 1.

β) τον µικρότερο φυσικό αριθµό, του οποίου τα ψηφία έχουν γινόµενο 240.

18. Ποιο είναι το πρώτο ψηφίο του µικρότερου αριθµού, του οποίου το άθροισµα

των ψηφίων του είναι 2.006;

19. Ένας χωρικός έχει στο κτήµα του τον ίδιο αριθµό από κουνέλια, πάπιες και

κότες. Όλα αυτά µαζί - κουνέλια, πάπιες, κότες - έχουν 144 πόδια. Πόσες

πάπιες έχει ο χωρικός αυτός;

20. Να γράψετε τον µικρότερο αριθµό, του οποίου το άθροισµα των ψηφίων είναι

ίσο µε 20.

21. Ποιος αριθµός λείπει από το κουτάκι στην παρακάτω ισότητα:

2 + 4 + 6 + ... + 2.006 = (1 + 3 + 5 + ... + 2.005) + ;

22. Σε µια σειρά γράφουµε όλους τους αριθµούς από τον 1 έως τον 2.007:

α = 1234567891011121314....2004200520062007

Πόσα ψηφία έχει ο αριθµός αυτός;

23. Να βρείτε την τιµή της παράστασης:

= − − − −

1 1 1 1A 1 1 1 ... 1

2 3 4 100

Σελίδα 29 από 32

24. Η Αλίκη διαβάζει µία σελίδα σε 2 λεπτά, ενώ η Άννα δύο σελίδες σε 3

λεπτά. Σε πόσες ώρες η Άννα θα έχει διαβάσει 20 σελίδες περισσότερες από

την Αλίκη;

25. Στη διπλανή πρόσθεση τριών τριψήφιων αριθµών τα γράµµατα

παριστάνουν ψηφία. ∆ιαφορετικά γράµµατα παριστάνουν

διαφορετικά ψηφία. Να βρεθούν τα ψηφία Α, Β, Γ.

26. Στη διπλανή πρόσθεση τριών τριψήφιων αριθµών τα ψηφία

είναι κρυµµένα. ∆ιαφορετικά σχήµατα κρύβουν διαφορετικά

ψηφία. Να βρείτε όλα τα ψηφία που παριστάνουν τα

σχήµατα.

2ΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

27. Το έτος 2003 ο Ιανουάριος είχε ακριβώς 4 Τρίτες και 4 ακριβώς Σάββατα.

Τι ηµέρα ήταν στις 9 Ιανουαρίου αυτού του χρόνου;

28. Αν 7 µεγάλες και 11 µικρές µπάλες ζυγίζουν 97 γραµµάρια, ενώ 9 µικρές

και 13 µεγάλες µπάλες ζυγίζουν 123 γραµµάρια, πόσο ζυγίζουν µαζί µία

µικρή µε µία µεγάλη µπάλα;

29. Ο Βαγγέλης µε το Γιώργο, χρόνια ψαράδες, πήραν µαζί τους για ψάρεµα και

το φίλος τους το ∆ηµήτρη που φοβάται τις βάρκες. Ο Βαγγέλης έπιασε 3

τσιπούρες, ο Γιώργος 4 και ο ∆ηµήτρης … καµία! Το βράδυ τις ψήσανε σε

ένα µαγαζί της γειτονιάς τους και τις φάγανε. Φεύγοντας όµως, ο ∆ηµήτρης

έβγαλε από την τσέπη του 7 € και τα έδωσε στους φίλους του για να τους

πειράξει. Πώς πρέπει να µοιράσει ο Βαγγέλης µε το Γιώργο τα 7 €;

30. Σε δύο καλάθια Α και Β υπάρχουν από 13 µήλα. Η

Ανδριάνα παίρνει από το καλάθι Α ορισµένα µήλα, ενώ

η φίλη της η Ελευθερία παίρνει από το καλάθι Β τόσα

µήλα όσα απέµειναν στο καλάθι Α. Πόσα µήλα έχουν

αποµείνει συνολικά στα καλάθια Α και Β;

Σελίδα 30 από 32

31. Ένας άνθρωπος στην ύπαιθρο παρατήρησε ότι οι 6 κότες του γεννάνε σε 3

ηµέρες 8 αυγά. Πόσα αυγά γεννάνε οι 3 κότες σε 9 ηµέρες;

∆ιαγωνισµός Καγκουρό - 2000

32. Να υπολογιστεί το άθροισµα:

Α = 2 – 1 + 3 – 2 + 4 – 3 + 5 – 4 + ... + 1.000 – 999

33. Να γράψετε τον µεγαλύτερο και τον µικρότερο φυσικό αριθµό µε ψηφία

διαφορετικά από το 1, του οποίου το γινόµενο των ψηφίων είναι ίσο µε 120.

34. Ποιο είναι το πρώτο από αριστερά ψηφίο του µικρότερου ακέραιου αριθµού,

του οποίου το άθροισµα των ψηφίων είναι 2.005;

35. Ένας µαθητής έγραψε στο σχολείο του µερικά τεστ στα Μαθηµατικά. Η

βαθµολογία του σε καθένα από αυτά ήταν ένας φυσικός αριθµός. Ο µέσος

όρος σε όλα τα τεστ ήταν 15,25. Πόσα τουλάχιστον τεστ έχει γράψει ο

µαθητής αυτός;

36. Μια κότα γεννάει 1 αυγό σε 1 λεπτό. Πόσα λεπτά θα χρειαστούν 3 κότες για

να γεννήσουν 6 αυγά, αν γεννούν ταυτόχρονα;

37. Ένας παππούς έδωσε στα τρία εγγόνια του συνολικά 47 €. Ο µεγάλος εγγονός

πήρε 10 € περισσότερα από το µεσαίο και ο µεσαίος πήρε 8 € περισσότερα

από τον µικρότερο εγγονό. Πόσα ευρώ πήρε ο καθένας;

38. Κάποιοι φίλοι διασκέδαζαν σε ένα ταβερνάκι. Όταν ήρθε ο λογαριασµός,

όλοι άφησαν στο τραπέζι από 10 €. Με αυτόν τον τρόπο όµως, όχι µόνο

περίσσεψαν χρήµατα, αλλά ένας έπρεπε να πάρει πίσω όλα τα χρήµατά του.

Επειδή λοιπόν τα χρήµατα που συγκεντρώθηκαν ήταν πολλά, πήρε ο καθένας

πίσω από 2 €. Με τα υπόλοιπα χρήµατα πλήρωσαν το λογαριασµό και άφησαν

και 2 € φιλοδώρηµα στο γκαρσόν. Πόσοι φίλοι αποτελούσαν την παρέα αυτή;

39. Το διπλανό αστέρι που πάνω του έχει όλους τους

αριθµούς από το 1 έως το 12 είναι µαγικό. Αυτό

σηµαίνει ότι το άθροισµα των αριθµών σε κάθε

γραµµή είναι παντού το ίδιο. Κάποιοι όµως αριθµοί

αντικαταστάθηκαν µε γράµµατα. Ποιο γράµµα κρύβει

τον αριθµό 7, αν διαφορετικά γράµµατα κρύβουν

διαφορετικούς αριθµούς;

40. Η Χιονάτη µάζεψε στο καλάθι της 70 µήλα και τα

έδωσε στους 7 νάνους σύµφωνα µε την επόµενη

διαδικασία. Έβαλε τους νάνους να καθίσουν σε µια σειρά, από τον πιο µικρό

προς τον πιο µεγάλο. Στον πιο µικρό έδωσε ορισµένα µήλα, στον επόµενο,

αφού ήταν ψηλότερος, έδωσε 1 µήλο παραπάνω, στον επόµενο έδωσε ξανά ένα

Σελίδα 31 από 32

µήλο παραπάνω από τον προηγούµενο και ούτω καθεξής. Πόσα µήλα έδωσε στον

πιο µεγάλο νάνο;

41. Στο χρόνο που ο Θωµάς τρώει 2 παγωτά, ο φίλος του ο Ανέστης τρώει 3

παγωτά. Μέσα σε µια ηµέρα οι δύο φίλοι έχουν φάει συνολικά 15 παγωτά!

Πόσα παγωτά έφαγε ο Θωµάς την ηµέρα αυτή;

42. Η τάξη µου έχει 27 παιδιά. Από αυτά τα 9 είναι στη χορωδία, τα 6 παίζουν

κάποιο όργανο και τα 14 δεν κάνουν τίποτα από τα παραπάνω. Πόσα από τα

παιδιά της τάξης µου που παίζουν όργανο είναι και στη χορωδία;

43. Μια τίγρη µε το τιγράκι της ξεκινάνε συγχρόνως να κυνηγήσουν έναν λαγό.

Η τίγρη κάνει σε κάθε άλµα της 3 µέτρα και χρειάζεται γι’ αυτό 1

δευτερόλεπτο. Το τιγράκι κάνει σε κάθε άλµα του 1 µέτρο και χρειάζεται

γι’ αυτό µισό δευτερόλεπτο. Αν η καταδίωξη έγινε για 180 µέτρα, πόσο

πρέπει να περιµένει η τίγρη το παιδί της;

44. Για να φτιάξει κανείς µπετόν χρειάζεται 4 µέρη χαλίκι, 2 µέρη άµµο και 1

µέρος τσιµέντο. Πόσες φτυαριές χαλίκι θα χρειαστεί κάποιος για να

φτιάξει 350 φτυαριές µπετόν;

45. Για να φάνε 7 παιδιά 7 σοκολάτες χρειάζονται 6 λεπτά. Πόσα παιδιά

χρειάζονται για να φάνε 24 σοκολάτες σε 36 λεπτά;

46. Ένα αθλητικό σωµατείο έδωσε 330 € και αγόρασε 5 µπάλες του βόλεϊ και 3

µπάλες του µπάσκετ. Αν κάθε µπάλα του µπάσκετ κοστίζει όσο δύο µπάλες

του βόλεϊ, πόσο κοστίζει µία µπάλα του βόλεϊ;

47. Η Μαρία έχει 3 καραµέλες παραπάνω απ’ ότι έχουν µαζί η Κατερίνα και η

Χρυσούλα. Η Χρυσούλα έχει 6 καραµέλες περισσότερες από την Κατερίνα. Και

τα τρία παιδιά µαζί έχουν 27 καραµέλες. Πόσες καραµέλες έχει η Κατερίνα;

48. Στο διπλανό πολλαπλασιασµό τα γράµµατα παριστάνουν ψηφία.

∆ιαφορετικά γράµµατα παριστάνουν διαφορετικά ψηφία. Ποιον

αριθµό παριστάνει η λέξη ΚΡΙΣΗ;

49. Μερικά παιδιά της ΣΤ΄ τάξης έβαλαν από 10 € και µάζεψαν ορισµένα χρήµατα

για να αγοράσουν από ένα βιβλίο µαθηµατικών διαγωνισµών. Όταν έδωσαν τα

χρήµατα στο βιβλιοπώλη αυτός τους έδωσε πίσω ένα χαρτονόµισµα των 10 €,

διότι τα λεφτά ήταν παραπάνω. Επειδή τα παιδιά δεν µπορούσαν να

µοιράσουν τα 10 €, ο βιβλιοπώλης, που τα συµπάθησε, παίρνοντας πίσω το

χαρτονόµισµα, τους είπε:

«Ορίστε! Σας κάνω έκπτωση 2 € και πάρτε και από 3 € ο καθένας για να µη

ψάχνετε για κέρµατα». Πόσα ήταν τα παιδιά που αγόρασαν βιβλία;

Σελίδα 32 από 32

50. Να βρείτε το άθροισµα:

Α = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2.007

51. Ο Βαγγέλης, ο Νίκος και ο Σπύρος αγόρασαν δύο λαχεία των 3 €. Ο Βαγγέλης

έδωσε 1 €, ο Νίκος 2 € και ο Σπύρος 3 €. Τα παιδιά ήταν τυχερά και

κέρδισαν 66 €. Πώς πρέπει να µοιραστούν τα κέρδη;