ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

Α. ∆ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο .

Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων

• Πρώτο κριτήριο

Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου είναι ίσες µε τις πλευρές του άλλου τριγώνου, τότε τα δύο τρίγωνα είναι ίσα

Συµβολισµός : Π - Π - Π

( Π - Π - Π )

• ∆εύτερο Κριτήριο

Αν οι δύο πλευρές του ενός τριγώνου και η περιεχόµενη απ’ αυτές γωνία του, είναι ίσες µε δυο πλευρές και την περιεχόµενη γωνία τους, του άλλου τριγώνου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Συµβολισµός : Π - Γ - Π

( Π - Γ - Π )

• Τρίτο κριτήριο

Αν δύο τρίγωνα έχουν από µία πλευρά ίση και από δύο αντίστοιχες γωνίες ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Συµβολισµός: Π - Γ - Γ

( Π - Γ - Γ )

Γ. Ισότητα ορθογωνίων τριγώνων

Ισότητα ορθογωνίων τριγώνων

• ∆υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν από µια αντίστοιχη πλευρά και από µια αντίστοιχη γωνία ίσες είναι ίσα.

Συµβολισµός: Π - Γ ορθογώνιο τρίγωνο

( Π - Γ ορθογώνιο τρίγωνο )

• ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δυο αντίστοιχες πλευρές ίσες , είναι ίσα

Συµβολισµός: Π - Π ορθογώνιο τρίγωνο

( Π - Π ορθογώνιο τρίγωνο )

Γενικά: ∆υο ορθογώνια τρίγωνα, που εκτός από τις ορθές τους γωνίες, έχουν δυο αντίστοιχα στοιχεία ίσα, από τα οποία το ένα τουλάχιστον είναι πλευρά, είναι ίσα.

∆υο ορθογώνια τρίγωνα, που εκτός από τις ορθές τους γωνίες, έχουν δυο αντίστοιχα στοιχεία ίσα, από τα οποία το ένα τουλάχιστον είναι πλευρά, είναι ίσα.

∆. Ιδιότητες ισοσκελών τριγώνων

Ιδιότητες ισοσκελών τριγώνων

Σε οποιοδήποτε ισοσκελές τρίγωνο ισχύει:

• Οι δύο πλευρές του είναι ίσες

• Οι παρά τη βάση γωνίες του είναι ίσες

• Η διάµεσος, το ύψος και η διχοτόµος που φέρουµε προς τη βάση ταυτίζονται

Αντίστροφα:

Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν :

• έχει δύο πλευρές ίσες

ισοσκελές

• έχει δύο γωνίες ίσες

• δύο από τα διάµεσος, ύψος και διχοτόµος προς τη βάση ταυτίζονται

Ε. Ανισοτικές σχέσεις στα τρίγωνα

Ε. Ανισοτικές σχέσεις στα τρίγωνα

• Κάθε πλευρά τριγώνου είναι µικρότερη από το άθροισµα και µεγαλύτερη από τη διαφορά των δυο άλλων πλευρών.

• Σε κάθε τρίγωνο, απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται οµοίως άνισες πλευρές.

• Σε δύο τρίγωνα που έχουν από δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόµενες από αυτές τις πλευρές γωνίες άνισες, τότε και οι τρίτες πλευρές των δύο τριγώνων είναι οµοίως άνισες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α. 1. Να εξετάσετε ποιά από τα πιο κάτω ζεύγη τριγώνων είναι ίσα . Αν είναι ίσα να γράψετε συµβολικά το κριτήριο που ισχύει, αν δεν είναι ίσα να γράψετε “ΟΧΙ”.

(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

2. Ποια άλλα στοιχεία πρέπει να έχουν ίσα τα πιο κάτω τρίγωνα ώστε να είναι ίσα σύµφωνα µε το αντίστοιχο κριτήριο;

(α) Π - Γ - Π :

(β) Π - Π - Π :

(γ) Π - Γ - Γ :

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Β.1. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (προς τη βάση ΒΓ) παίρνουµε τα τµήµατα ΒΕ = ΓΖ. Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των σηµείων Ε και Ζ από τη βάση ΒΓ είναι ίσες.

2. Να δείξετε ότι οι διάµεσοι ισοσκελούς τριγώνου που φέρουµε από τις κορυφές των παρά τη βάση γωνιών του είναι ίσες.

3. Σε τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ να φέρετε το ύψος Α∆. Στην προέκταση της Α∆ να πάρετε τµήµα ∆Ε = Α∆. Να δείξετε ότι:

(α)

4. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ να φέρετε την προέκταση της πλευράς ΓΑ (προς το Α) και τη διχοτόµο ΑΧ της εξωτερικής γωνίας της Α που σχηµατίζεται. Να φέρετε τη ΒΗ ^ ΑΧ που τέµνει την προέκταση της ΓΑ στο Ε και να αποδείξετε ότι ΑΕ = ΑΓ.

5. Σε τετράγωνο ΑΒΓ∆ να πάρετε τα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα στις πλευρές Α∆ και ∆Γ τέτοια ώστε ∆Ε = ∆Ζ. Να δείξετε

ότι και αν Μ είναι το µέσο της ΕΖ να δείξετε ότι ΒΜ ^ ΕΖ.

6. Να προεκτείνετε και προς τις δύο πλευρές της τη βάση ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, να πάρετε τµήµατα Β∆ = ΓΕ και πάνω στις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ τα σηµεία Ζ και Η αντίστοιχα έτσι ώστε ΑΖ = ΑΗ. Να δείξετε ότι Ζ∆ = ΕΗ και να συγκρίνετε τις αποστάσεις των σηµείων Ζ και Η από τη βάση ΒΓ.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Α. 1.Να εξετάσετε ποιά από τα πιο κάτω ζεύγη τριγώνων είναι ίσα . Αν είναι ίσα να γράψετε συµβολικά το κριτήριο που ισχύει, αν δεν είναι ίσα να γράψετε “ΟΧΙ”.

(α)

(β)

(γ)

(δ)

(ε)

2.Ποια άλλα στοιχεία πρέπει να έχουν ίσα τα πιο κάτω τρίγωνα ώστε να είναι ίσα σύµφωνα µε το αντίστοιχο κριτήριο;

(α) Π - Γ - Π : ΒΓ = ΕΖ

(β) Π - Π - Π : ΒΓ = ΕΖ και ΑΒ = ∆Ζ

(γ) Π - Γ - Γ : ή

3.

Απόδειξη

4.

Απόδειξη

5.

Απόδειξη

(α)

(β)

6.

Απόδειξη

(α)

(β)

7.

Απόδειξη

(α)

(β)

8.

Απόδειξη

(α)

(β)

Β.1. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (προς τη βάση ΒΓ) παίρνουµε τα τµήµατα ΒΕ = ΓΖ. Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των σηµείων Ε και Ζ από τη βάση ΒΓ είναι ίσες.

Απόδειξη

(Απόσταση σηµείου από ευθεία είναι το µήκος της κάθετης που φέρνουµε από το σηµείο στην ευθεία)

Συγκρίνω τα τρίγωνα ΗΕΒ και ΘΖΓ

2. Να δείξετε ότι οι διάµεσοι ισοσκελούς τριγώνου που φέρουµε από τις κορυφές των παρά τη βάση γωνιών του είναι ίσες.

Απόδειξη

Συγκρίνω τα τρίγωνα ΒΓΕ και ΒΓ∆

3. Σε τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ να φέρετε το ύψος Α∆. Στην προέκταση της Α∆ να πάρετε τµήµα ∆Ε = Α∆. Να δείξετε ότι:

(α)

Απόδειξη

(α) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΕΒ∆

(β) Συγκρίνω τα τρίγωνα Α∆Γ και Ε∆Γ

Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΒΓ

4.

Απόδειξη

5. Σε τετράγωνο ΑΒΓ∆ να πάρετε τα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα στις πλευρές Α∆ και ∆Γ τέτοια ώστε ∆Ε = ∆Ζ. Να δείξετε

ότι και αν Μ είναι το µέσο της ΕΖ να δείξετε ότι ΒΜ ^ ΕΖ.

Απόδειξη

(α) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΒΖΓ

(β)

6. Να προεκτείνετε και προς τις δύο πλευρές της τη βάση ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, να πάρετε τµήµατα Β∆ = ΓΕ και πάνω στις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ τα σηµεία Ζ και Η αντίστοιχα έτσι ώστε ΑΖ = ΑΗ. Να δείξετε ότι Ζ∆ = ΕΗ και να συγκρίνετε τις αποστάσεις των σηµείων Ζ και Η από τη βάση ΒΓ.

Απόδειξη

(α) Συγκρίνω τα τρίγωνα Β∆Ζ και ΓΕΗ

(β) (Απόσταση σηµείου από ευθεία είναι το µήκος της κάθετης που φέρνουµε από το σηµείο στην ευθεία)

Συγκρίνω τα τρίγωνα ΒΘΖ και ΓΚΗ