2ο ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΑΤΕΡΟΥ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ

Διαβάζοντας Μαθηματική

Λογοτεχνία

Συγγραφική Ομάδα

Βάθης Χαράλαμπος Θεακού Γεωργία

Καραχάλιου - Καραγιάννη Νεφέλη

Κόλλια Αθανασία Κωστοπούλου Χαρά

Λιάκος Παναγιώτης Λιγνού Κατερίνα

Μπάκουλη Καλλιρόη Μπουρνιά Σοφία

Νικολαΐδης Παναγιώτης Παράλαιμος Νικόλαος

Πυλαρινού Διονυσία Σιάρκου Κρυσταλλινή

Τόλιας Δημήτρης Χατζηιορδάνου Άννα

ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΕΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ

ΠΑΛΛΗ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ (ΠΕ 02)

ΛΥΚΕΡΙΔΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ (ΠΕ 03)

ΚΑΜΑΤΕΡΟ

ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2013

1

Μαθηματική Λογοτεχνία

Ο κόσμος των μαθηματικών φαντάζει ως ένα σύμπαν ερμητικά κλειστό για

τους μη μυημένους. Η μόδα όμως της «μαθηματικής λογοτεχνίας», συνέβαλε ώστε να

ανατραπεί αυτό το στερεότυπο: όσοι δεν έχουν καλή σχέση με τους αριθμούς,

μπορούν να απολαύσουν ένα μαθηματικό μυθιστόρημα. Η ανάγνωση, θα τους

βοηθήσει να εκτιμήσουν την επιρροή των μαθηματικών στη λογοτεχνία, τη φιλοσοφία

και την τέχνη. Η ιστοσελίδα του Άλεξ Κάσμαν, «Mathematical fiction», έχει

συγκεντρώσει από όλο τον κόσμο 885 έργα μυθοπλασίας που σχετίζονται με τα

μαθηματικά από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Πρώτος ο Αριστοφάνης σατίρισε την

εκκεντρικότητα των μαθηματικών στις Όρνιθες. Στους πρόδρομους της μαθηματικής

λογοτεχνίας ανήκουν ο Κάρολ Λιούις και ο Τζόναθαν Σουιφτ. Ο συγγραφέας της

«Αλίκης στη Χώρα των θαυμάτων», ήταν χαρισματικός μαθηματικός και συναντούμε

στο δημοφιλές παραμύθι του αναφορές στην επιστήμη της λογικής. Στον ίδιο

οφείλουμε επίσης, τη σειρά διηγημάτων του «Τangled Tale» με μαθηματικές

σπαζοκεφαλιές. Ο Τζόναθαν Σουιφτ στα «Ταξίδια του Γκιούλιβερ» έστειλε τον ήρωά

του στη χώρα των Λαπούτα, όπου βασίλευαν τα μαθηματικά και η μουσική. Από τον

κατάλογο του Κάσμαν διαπιστώνουμε ότι το ενδιαφέρον για τη μαθηματικά αυξάνεται

με …γεωμετρική πρόοδο: τη δεκαετία ’80 – ’90 κυκλοφόρησαν 81 έργα μυθοπλασίας,

από το ’90 ως το 2000, 212 τίτλοι, και από το 2001 μέχρι σήμερα, είχαμε πάνω από

277 νέες εγγραφές.

Τον όρο της «μαθηματικής λογοτεχνίας» τον εισήγαγε ο Βρετανός

δημοσιογράφος Gilbert Adair, με αφορμή την έκδοση του μυθιστορήματος του

Απόστολου Δοξιάδη «Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ». Το βιβλίο

γνώρισε μεγάλη εμπορική επιτυχία πρώτα στο εξωτερικό, και μετά στη χώρα μας,

ξεπερνώντας τα 100.000 αντίτυπα. Το μυθιστόρημα τιμά τους ανώνυμους ρομαντικούς

της επιστήμης: ο κεντρικός ήρωας, ο Πέτρος, πολλά υποσχόμενος μαθηματικός

«σπατάλησε», σύμφωνα με την οικογένειά του, τη ζωή του για να λύσει την περίφημη

Εικασία του Γκόλντμπαχ. Ο ανιψιός του θείου Πέτρου, αποκαλύπτει το μεγαλείο αλλά

και την αλαζονεία μιας παρεξηγημένης ιδιοφυίας που επιζητεί με κάθε κόστος την

αλήθεια.

2

Ο θείος Πέτρος σπούδασε σε ιεραποστολικό σχολείο.

Ο ανιψιός και ο φίλος του ο Σαμ συζητούν στην καφετέρια του πανεπιστημίου.

3

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ

του Απόστολου Δοξιάδη

Βιογραφικά στοιχεία του συγγραφέα

Ο Απόστολος Δοξιάδης γεννήθηκε το 1953 στο Μπισμπέιν της

Αυστραλίας, αλλά μεγάλωσε και ζει στην Αθήνα. Σε ηλικία δεκαπέντε

ετών έγινε δεκτός στο Πανεπιστήμιο Columbia της Νέας Υόρκης για

να σπουδάσει μαθηματικά, ενώ συνέχισε τις μεταπτυχιακές του

σπουδές στα εφαρμοσμένα μαθηματικά στην Ecole Pratique des Hautes Etudes στο

Παρίσι.

Έχει γράψει 4 μυθιστορήματα, τα Βίος Παράλληλος, Μακαβέττας, Ο θείος

Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ και Τα τρία Ανθρωπάκια. Το μυθιστόρημα «Ο

θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ» κυκλοφόρησε το 2000 στην Αγγλία από

τους Faber and Faber και στην Αμερική από το Βloomsbury, σε μετάφραση του

συγγραφέα, και έχει μεταφραστεί σε 22 γλώσσες. Το 1999, ο Α. Δοξιάδης έγραψε, στα

αγγλικά, σχεδίασε και σκηνοθέτησε τη μουσική παράσταση Θεάτρου Σκιών «The

Tragical History of Jackson Pollock, Abstract Expressionist», που παρουσιάστηκε στη

Γκαλερί Ζουμπουλάκη, στην Αθήνα. Έχει γράψει και έχει σκηνοθετήσει επίσης δύο

ταινίες μεγάλου μήκους, τις «Υπόγεια διαδρομή» (1983) και «Τεριρέμ» (1988), που

τιμήθηκε με το Βραβείο του Διεθνούς Κέντρου Καλλιτεχνικού Κινηματογράφου στο

Διεθνές Φεστιβάλ Κινηματογράφου του Βερολίνου, την ίδια χρονιά. Συνεργάστηκε με

το Εθνικό Θέατρο γράφοντας το λιμπρέτο της μουσικής διασκευής του έργου του

Σαίξπηρ «Όνειρο θερινής νύχτας».

Διεθνείς διακρίσεις: «Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ» βρέθηκε

στην τελική εξάδα για το Prix Medicis 2000. Στο μυθιστόρημα αυτό απονεμήθηκε τον

Μάιο του 2001 το Primo Peano από το Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου του

Τορίνο.

4

Εκφραστικά Μέσα

«Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ» είναι ένα βιβλίο γεμάτο

εκφραστικά μέσα. Ιδιαίτερα χαρακτηριστική είναι η χρήση εσωτερικού μονολόγου

καθώς συναντούμε συνεχώς τον ήρωα του βιβλίου να αναρωτιέται και να σκέφτεται

κάθε στοιχείο που έχει συγκεντρώσει στο μυαλό του. Επιπλέον κάνει διάφορες

υποθέσεις σχετικά με την περίεργη ίσως και περίπλοκη ιστορία του θείου του.

Εντοπίζουμε πολλές αναδρομές του μικρού ήρωα, δίνοντάς μας πολλά στοιχεία του

παρελθόντος αρκετά σημαντικά για την εξέλιξη της υπόθεσης. Ο διάλογος κυριαρχεί

μέσα στο βιβλίο καθώς βλέπουμε τον ανιψιό του Πέτρου να κάνει διάφορες

συζητήσεις με άτομα τόσο του οικογενειακού όσο και του φιλικού του περιβάλλοντος.

Έρχεται σε επαφή επίσης με ανθρώπους που βοηθούν αρκετά στην κατάληξη της

ιστορίας συζητά μαζί τους και έτσι ανακαλύπτουμε νέες παραμέτρους για να

οδηγηθούμε στο τέλος του βιβλίου. Τέλος περιέχει αρκετές παραστατικές εικόνες που

προσθέτουν έμφαση στην ιστορία, αποφεύγουν την μονοτονία και ταξιδεύουν τον

αναγνώστη σε μία διαφορετική χρονική περίοδο από αυτή που βιώνει τώρα!!!

Πρωταγωνιστές του βιβλίου

Αφηγητής: Είναι ένας νέος ο οποίος θέλει να μοιάσει στο θείο του και να γίνει

ένας καλός μαθηματικός. Τα αισθήματα του ποικίλλουν ανάλογα με τα νέα

πράγματα που ανακαλύπτει για αυτόν, άλλοτε θαυμασμό, άλλοτε θυμό και

άλλοτε συμπόνια. Προσπαθεί με κάθε τρόπο να ανακαλύψει γιατί ο θείος

παράτησε τα μαθηματικά.

Πέτρος: Είναι ο θείος του αφηγητή, ο οποίος ως νέος ήταν ένας επιτυχημένος

μαθηματικός που δίδασκε σε ένα πανεπιστήμιο στη Γερμανία. Παρόλα αυτά

για τα μάτια μιας γυναίκας χαράμισε το ταλέντο και τη ζωή του προσπαθώντας

να λύσει ένα εξαιρετικά δύσκολο πρόβλημα με αποτέλεσμα να τα παρατήσει.

Το πάθος του ξαναγεννιέται όταν ο ανιψιός αρχίσει να ασχολείται με τα

μαθηματικά.

Πατέρας: Ο πατέρας του αφηγητή φαίνεται αδιάφορος ως προς την ψυχική

υγεία του αδερφού του και αδιάλλακτος στη στάση του προς αυτόν. Μέσω της

αφήγησής του φαίνεται ότι μετά από τόσα χρόνια είναι ακόμη θυμωμένος με

τον Πέτρο, λόγω της αποτυχίας του.

5

Χάρντυ - Λίτλγουντ: Οι δύο αυτοί μεγάλοι μαθηματικοί συνεργάστηκαν με

τον Πέτρο, κυρίως μέσω αλληλογραφίας.

Κων/νος Καραθεοδωρή : Βοήθησε τον Πέτρο να εισαχθεί στο πανεπιστήμιο

και γενικά σε όλη την καριέρα του.

Σάμι: Ο φίλος του αφηγητή στο πανεπιστήμιο που τον βοήθησε πολύ στο να

μάθει πράγματα για τον θείο του.

Περίληψη του βιβλίου

Το βιβλίο αυτό ασχολείται με την ζωή ενός φανταστικού προσώπου, του

μαθηματικού Πέτρου Παπαχρήστου, που, αν και είχε πολύ μεγάλες δυνατότητες,

ξόδεψε όλη τη ζωή του προσπαθώντας να αποδείξει την εικασία του Γκόλντμπαχ,

χωρίς να έχει κοινοποιήσει κάποια σημαντική ανακάλυψη.

Η ιστορία μας δίνεται από τον ανιψιό του Πέτρου, ο οποίος είναι το μόνο

πρόσωπο στην οικογένεια που του είναι συμπαθής. Ο ανιψιός γοητεύεται από το

μυστήριο του θείου του και θέλει και αυτός από μικρή ηλικία να ασχοληθεί με τα

μαθηματικά. Ο Πέτρος όμως τον αναγκάζει να μην ασχοληθεί, βάζοντάς τον να

αποδείξει την εικασία του Γκόλντμπαχ, την οποία όμως ο ίδιος δεν είχε καταφέρει να

την αποδείξει. Όταν πλέον το καταλαβαίνει, βρίσκεται σε πανεπιστήμιο στην Αμερική

προκειμένου να σπουδάσει Οικονομικά. Ο συγκάτοικός του, Σάμυ, ο οποίος σπουδάζει

μαθηματικά, τον βοηθά να ανακαλύψει ό,τι μπορεί για τον Πέτρο και τι μπορεί να

προκάλεσε αυτή του τη συμπεριφορά. Εκεί ανακαλύπτουν ότι δεν έχει δημοσιεύσει

καμία σημαντική εργασία, πράγμα που τους οδηγεί να πιστέψουν ότι έχει χάσει την

μαθηματική του ικανότητα. Επιπλέον, ο Σάμι πείθει τον αφηγητή να σπουδάσει

μαθηματικά. Γυρίζοντας πίσω στην Αθήνα για τις καλοκαιρινές του διακοπές

επισκέπτεται τον Πέτρο στο σπίτι του στην Εκάλη, όπου αυτός του εξιστορεί τη ζωή

του, γιατί έγινε μαθηματικός και γιατί δεν αναφέρεται πουθενά στην ιστορία των

μαθηματικών.

Ο πατέρας του Πέτρου τον έστελνε σε ένα ιεραποστολικό σχολείο, όπου

έδειξε την μαθηματική του διάνοια. Ο δάσκαλός του, σύστησε στον πατέρα του, να

τον στείλει στην Γερμανία για περεταίρω σπουδές. Εκεί, με δάσκαλο τον Κ.

Καραθεοδωρή μαθαίνει για τη θεωρία των αριθμών και ανακαλύπτει τη «μέθοδο

επίλυσης διαφορικών εξισώσεων Παπαχρήστου». Εκεί έχει και τον πρώτο του και

μοναδικό έρωτα, ο οποίος όμως τον άφησε για έναν στρατηγό. Αποφασισμένος να την

6

ξανακερδίσει αποφασίζει να λύσει ένα από τα 3 δυσκολότερα προβλήματα που

υπάρχουν, τη Εικασία του Γκόλντμπαχ. Μετά την αποφοίτηση του, περνά 3 χρόνια

μελετώντας με τους Λίντλγουντ, Χάρντυ και Ραμάνατζαν στο Κολέγιο Τρίνιντυ του

Κέιμπριτζ, θεωρία αριθμών. Όμως εγκαταλείπει το Πανεπιστήμιο και αποφασίζει να

διδάξει στο Μόναχο, όπου θα μπορούσε να ασχοληθεί και με την απόδειξη της

Εικασίας. Ο Πέτρος θέλει να είναι ο μόνος που θα αποδείξει την Εικασία και γι’ αυτό

κρύβει το θέμα της έρευνας του και χαίρεται όταν πεθαίνει ο Ραμάνατζαν, γιατί

θεωρούσε ότι μόνο αυτός θα μπορούσε (εκτός από τον ίδιο) να αποδείξει τη Εικασία.

Αποδεικνύει στο ενδιάμεσο στάδιο 2 θεωρήματα, όμως δεν τα δημοσιεύει,

γιατί φοβάται ότι αυτό ίσως οδηγήσει άλλους μαθηματικούς στη λύση. Παίρνει 2

χρόνια άδεια, έτσι ώστε να προσπαθήσει να αποδείξει την Εικασία σε ένα

απομονωμένο χωρίο, όπου αρχίζει να ασχολείται με το σκάκι, ως ένα τρόπο να

ξεκουράζει το μυαλό του. Στο τέλος της άδειας αποφασίζει να αλλάξει τη μέθοδο

προσέγγισης του προβλήματος από την αναλυτική στη στοιχειώδη αλγεβρική και γι’

αυτό στέλνει τις αποδείξεις των δυο θεωρημάτων που είχε επιλύσει στους Λίτλγουντ

και Χάρντυ. Απ’ αυτούς δυστυχώς πληροφορείται ότι αυτά έχουν ήδη αποδειχθεί.

Όμως δεν πτοείται καθώς κατά τη γνώμη του αυτά δεν ήταν και τόσο σημαντικά.

Επιστρέφει στο Κέιμπριτζ όπου συνεργάζεται με τους Λίτλγουντ και Χάρντυ για την

απόδειξη της Εικασίας, παρόλο που αυτοί είχαν ξεπεράσει την εποχή της μαθηματικής

τους δημιουργικότητας. Συνεχίζει πάντως να πιστεύει χωρίς αμφιβολία ότι βρίσκεται

κοντά στη απόδειξη. Επιστρέφοντας στη Γερμάνια, ένας φοιτητής, ο Τούρινγκ του

ζητά να τον βοηθήσει στη μετάφραση του Θεωρήματος της μη Πληρότητας, για το

οποίο ο Πέτρος δεν είχε πληροφορηθεί μέχρι τότε. Βάση αυτού ο Πέτρος είναι

πεπεισμένος ότι η Εικασία είναι μη αποδείξιμη και γι ’αυτό σταματά την έρευνα, αφού

πρώτα πληροφορείται ότι δεν υπάρχει τρόπος να ξέρεις αν κάποιο θεώρημα είναι μη

αποδείξιμο. Μετά από αυτό δεν ασχολείται ξανά με τα μαθηματικά και φεύγει από τη

Γερμανία για την Ελλάδα, λόγω του Β’ Παγκοσμίου Πολέμου. Εκεί ζει σε ένα

εγκαταλελειμμένο σπίτι στην Εκάλη γιατί δεν αντέχει να ζει με τον αδελφό του.

Μετά από την αφήγηση των γεγονότων, ο Πέτρος εξηγεί στον ανιψιό του ότι

προσπάθησε να τον αποτρέψει από το να ακολουθήσει σπουδές στα μαθηματικά

επειδή κατ’ αυτόν δεν είχε την απαραίτητη διάνοια, διαίσθηση και επιμονή. Έτσι θα

κατέληγε μια μετριότητα. Ο αφηγητής γυρίζει πίσω στην Αμερική για να συνεχίσει τις

σπουδές του στα μαθηματικά. Εκεί συναντά τον Σάμυ, στον οποίον εξιστορεί ό,τι του

είπε ο Πέτρος. Την επόμενη μέρα επισκέπτονται το Ίδρυμα Προχωρημένων Σπουδών,

7

όπου βλέποντας το πώς έχουν καταλήξει μεγάλοι και σπουδαίοι μαθηματικοί, ο

αφηγητής καταλαβαίνει ότι όποιος φτάνει κοντά στην αλήθεια τείνει να τρελαίνεται.

Γι’ αυτό, και επειδή δεν ήθελε να καταλήξει σαν αυτούς, αλλά και επειδή δεν

μπορούσε να ανεχτεί το μέτριο, αποφασίζει να μην ασχοληθεί με τα μαθηματικά, αλλά

να σπουδάσει Οικονομικά και να συνεχίσει την οικογενειακή επιχείρηση.

Το μόνο πράγμα που προσπαθεί να κάνει όταν επιστρέψει στην Ελλάδα είναι

να κάνει το Πέτρο να αποδεχτεί την μικρή επιτυχία του και τους καρπούς των κόπων

του. Γι’ αυτό τον πείθει να αποδεχτεί ένα βραβείο της χούντας και προσπαθεί να τον

φέρει αντιμέτωπο με τα πραγματικά, κατά τη γνώμη του, αίτια που οδήγησαν τον

Πέτρο στην παραίτηση του. Τον πείθει λοιπόν να ξεκινήσουν μαθήματα για να του

διδάξει όσα ξέρει για τα μαθηματικά και κυρίως για την εικασία του Γκόλντμπαχ.

Σταδιακά μαθαίνει πολλά πράγματα όχι μόνο για τα μαθηματικά αλλά και για τον θείο

του αλλά και στον τελευταίο αναγεννιέται το πάθος του να αποδείξει την εικασία

χρησιμοποιώντας φασόλια(μια μέθοδο που είχε χρησιμοποιήσει και παλιότερα).

Κάποιο βράδυ όμως ο θείος του τού τηλεφωνεί λέγοντάς του ασυναρτησίες σχετικά με

ένα περίεργο όνειρο που είδε όπου 2 γυναίκες του φανέρωσαν τη λύση της εικασίας

και τελικά την έλυσε και αυτές οι 2 θα τον έπαιρναν μακριά. Του είπε μάλιστα πως

έπρεπε να πάει σπίτι του μαζί με ένα μάρτυρα για να το επιβεβαιώσουν και ξαφνικά το

τηλέφωνο κλείνει. Πάει γρήγορα ο αφηγητής αλλά ήταν πια αργά , είχε πεθάνει και

γύρω υπήρχαν πολλά φασόλια σκορπισμένα λόγω της βροχής Άραγε να έλυσε την

εικασία ή όχι; Ένα όμως είναι σίγουρο πως εκείνη τη μέρα πέθανε ένας μεγάλος

μαθηματικός.

Χαρακτηρισμός του θείου Πέτρου σε τρία στάδια

Α) Μετά το πρώτο μέρος γνωρίζοντας μόνο την άποψη των αδελφών του

Ο θείος Πέτρος παρουσιάζεται ως ένας αποτυχημένος, που κατά τα λεγόμενα

των αδελφών του χαράμισε όλη του τη ζωή για το τίποτα κυνηγώντας ένα άπιαστο

όνειρο, την «Εικασία του Γκόλντμπαχ», ώσπου τελικά απέτυχε, απελπίστηκε και τα

παράτησε. Επίσης διακρίνουμε μια σκληρή και ασυναίσθητη συμπεριφορά απέναντι

στον ανιψιό του, ο όποιος τον θαύμαζε παρά τις απόψεις τον αδελφών του και όταν

ήρθε για να ζητήσει την βοήθεια του να γίνει ένας σπουδαίος μαθηματικός σαν και

αυτόν, εκείνος αντί να τον ενθαρρύνει του είπε πως για να γίνει μαθηματικός έπρεπε

8

να περάσει μια δοκιμασία και πως αν δεν την πέρναγε θα του ορκίζονταν πως δεν θα

ασχολιόταν με τα μαθηματικά. Αυτή η δοκιμασία δεν ήταν άλλη παρά την εικασία του

Γκόλντμπαχ. Έτσι ο ανιψιός δεν κατάφερε να τη λύσει, πράγμα αναμενόμενο για τον

θείο και απογοητεύτηκε αφ’ ενός γιατί δεν πέρασε την δοκιμασία και αφ’ έτερου γιατί

δεν θα μπορούσε να ασχοληθεί με τα μαθηματικά. Με αυτό τον τρόπο ο άκαρδος θειος

με ένα πονηρό σχέδιο κατάφερε τον ανιψιό να χάσει την αγάπη του για τα

μαθηματικά.

Β) Από τη δική του οπτική γωνία

Κατά τη δική του άποψη, ο Θείος Πέτρος πίστευε πως έκανε το σωστό για τον

ανιψιό του προσπαθώντας να τον προστατέψει από μία αποτυχία σαν την δική του,

ενώ τον απομόνωνε από την πραγματικότητα και του στέρησε την δυνατότητα να

ασχοληθεί με αυτό που αληθινά επιθυμούσε. Μπορεί να χαρακτηριστεί επίσης ως

κοντόφθαλμος, καθώς είδε μόνο την προσωρινή βοήθεια που θα προσέφερε στον

ανιψιό του και όχι τις μελλοντικές συνέπειες.

Γ) Στο τέλος του βιβλίου

Τελικά η θέση του Θείου Πέτρου φωτίζεται και αρχίζουμε να

αντιλαμβανόμαστε κατά κάποιο τρόπο γιατί το έκανε αυτό και να βλέπουμε τα

πράγματα από μια άλλη οπτική γωνία. Στόχος του Θείου Πέτρου ήταν η προστασία

του ανιψιού του από μια πιθανή αποτυχία του στα μαθηματικά. Δεν ήθελε ο ανιψιός

του να χαραμίσει όλη τη ζωή του στα μαθηματικά και τελικά να καταλήξει ένας

«αποτυχημένος» σαν και αυτόν. Δηλαδή ο θείος ήθελε να βοηθήσει με αυτή του την

πράξη τον ανιψιό πράγμα που μας φαίνεται λάθος αφού δεν μπορεί κανένας να

αποκόψει κάποιον άλλο από ένα συγκεκριμένο κομμάτι της ζωής του μόνο και μόνο

για να μην τον αφήσει να αποτύχει. Έτσι χάνει όλη την ουσία και τις εμπειρίες που

είναι ζωτικής αξίας για μας, και μόνο όταν μας συμβαίνουν μαθαίνουμε πώς να

ξεπερνάμε δυσκολίες.

9

Διατύπωση του κεντρικού μαθηματικού προβλήματος

Ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ (Christian Goldbach) (18

Μαρτίου 1690 – 20 Νοεμβρίου 1764) ήταν Γερμανός

μαθηματικός, ο οποίος σπούδασε επίσης νομικά.

Είναι γνωστός για την εικασία που φέρει το όνομά

του.

Βιογραφικά στοιχεία

Γεννήθηκε στο Κόνιγκσμπεργκ, την πρωτεύουσα του Δουκάτου της Πρωσίας,

τμήμα του Βραδεμβούργου – Πρωσίας και ήταν γιος πάστορα. Φοίτησε στο

Πανεπιστήμιο του Κόνιγκσμπεργκ (Royal Albertus University). Μετά το τέλος των

σπουδών του, έκανε για αρκετό καιρό εκπαιδευτικά ταξίδια στην Ευρώπη, από το

1710 έως το 1724, επισκεπτόμενος άλλα κρατίδια της Γερμανίας, την Αγγλία, την

Ολλανδία, την Ιταλία και τη Γαλλία, συναντώντας άλλους διάσημους μαθηματικούς,

όπως ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, ο Λέοναρντ Όιλερ και ο Νικόλαους Α'

Μπερνούλι. Στο Κόνιγκσμπεργκ γνώρισε τον Γκέοργκ Μπέρναρντ Μπίλφινγκερ και

τον Γιάκομπ Χέρμαν. Εργάστηκε στην Ακαδημία Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης,

η οποία είχε μόλις ανοίξει. Αργότερα, υπήρξε εκπαιδευτής του Τσάρου Πέτρου ΙΙ το

1728. Το 1742 μπήκε στο Ρωσικό Υπουργείο Εξωτερικών.

Συνεισφορά

Ο Γκόλντμπαχ είναι κυρίως γνωστός για την αλληλογραφία του με τον

Λάιμπνιτς, τον Όιλερ και το Μπερνούλι, και ειδικά για το γράμμα του προς τον Όιλερ

το 1742, στο οποίο περιέγραφε την εικασία του. Επίσης μελέτησε και απέδειξε

θεωρήματα των τέλειων δυνάμεων, όπως το θεώρημα Γκόλντμπαχ – Όιλερ, και

πρόσφερε κάποια αποτελέσματα στην ανάλυση.

Θεωρία Αριθμών

Θεωρία Αριθμών είναι ο κλάδος των θεωρητικών μαθηματικών που ασχολείται

με τις ιδιότητες των ακεραίων αριθμών, καθώς και με προβλήματα που προκύπτουν

από τη μελέτη αυτή. Ανάλογα από το είδος των προβλημάτων και από τις μεθόδους

10

επίλυσης τους η Θεωρία Αριθμών χωρίζεται σε επιμέρους κλάδους. Η Θεωρία

Αριθμών, από τη σκοπιά του ευρύτερου κλάδου της Άλγεβρας, συχνά αποκαλείται ως

Αριθμητική. Σημαντικοί κλάδοι της θεωρίας αριθμών είναι η Αλγεβρική Θεωρία

Αριθμών, η Αναλυτική Θεωρία Αριθμών, η Γεωμετρική Θεωρία Αριθμών, η

Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και η Πιθανοθεωρητική Θεωρία Αριθμών.

Η Στοιχειώδης Θεωρία Αριθμών ασχολείται με τη μελέτη του δακτυλίου των

ακεραίων αριθμών και επεκτάσεων του χωρίς όμως τη χρήση εργαλείων από άλλους

κλάδους των μαθηματικών. Σημαντικά θεωρήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι το

μικρό θεώρημα του Φερμά, το θεώρημα του Όιλερ, το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων,

το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής. Βασικό αντικείμενο μελέτης της θεωρίας

αριθμών είναι οι πρώτοι αριθμοί. Η θεωρία αριθμών βρίσκει ευρεία εφαρμογή στην

Κρυπτογραφία. Ο Gauss, ο γνωστός γίγαντας μαθηματικός, ανέφερε ότι τα

μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η θεωρία αριθμών η βασίλισσα των

μαθηματικών. Είναι πολύ γνωστή η πρώτη εικασία που διατύπωσε ο Κρίστιαν

Γκόλντμπαχ 1690 – 1764, η οποία σχετίζεται με τους πρώτους αριθμούς. Ο

Γκόλντμπαχ υποστήριξε ότι κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2, μπορεί να γραφεί

ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Η απόδειξη της παραπάνω εικασίας ταλανίζει

ακόμα και σήμερα τους μαθηματικούς, καθώς παράλληλα οι υπολογιστές

επιβεβαιώνουν την εικασία για όλο και μεγαλύτερους αριθμούς. Το 1998, η εικασία

επιβεβαιώθηκε για αριθμούς μέχρις και της τάξης του 1014

.

Εικασία του Γκόλντμπαχ

Η εικασία του Γκόλντμπαχ είναι ένα από τα παλιότερα άλυτα προβλήματα της

θεωρίας αριθμών και γενικότερα των μαθηματικών. Εκφράζεται ως εξής:

Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο

πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≧ 2, 2n = p + q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.

Για παράδειγμα,

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7 κτλ.

11

Ιστορική αναδρομή

Στις 7 Ιουνίου 1742 ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ έστειλε μία επιστολή στον

Λέοναρντ Όιλερ, στην οποία έκανε μια πρώτη αναφορά στην εξής εικασία: Κάθε

άρτιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων. Θεωρούσε

βέβαια ως δεδομένο ότι το 1 είναι πρώτος αριθμός, σύμβαση που μεταγενέστερα

εγκαταλείφθηκε. Έτσι σήμερα η αρχική θεωρία του Goldbach θα γραφόταν ως εξής:

«Κάθε περιττός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων».

Ο Όιλερ απάντησε με μία ισοδύναμη εκδοχή της εικασίας:

Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων,

προσθέτοντας ότι το δέχεται ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα («ein ganz gewisses

Theorema»), παρά το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να το αποδείξει. Αυτή η

προγενέστερη εικασία είναι σήμερα γνωστή ως «τριαδική» εικασία του Γκόλντμπαχ,

ενώ η μεταγενέστερη ως «ισχυρή» ή «δυαδική» εικασία του Γκόλνμπαχ. Η εικασία ότι

όλοι οι περιττοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 9 μπορούν να γραφτούν ως άθροισμα τριών

περιττών πρώτων αριθμών καλείται ως η «αδύναμη» εικασία του Γκόλντμπαχ. Και οι

δύο παραμένουν άλυτες μέχρι σήμερα.

Προσπάθειες απόδειξης

Όπως με πολλές άλλες εικασίες των μαθηματικών, υπάρχει ένας μεγάλος

αριθμός από διαδεδομένες αποδείξεις της εικασίας του Γκόλντμπαχ, από τις οποίες

όμως καμία δεν έχει γίνει ακόμα αποδεκτή από την μαθηματική κοινότητα. Ο

εκδοτικός οίκος Faber and Faber προσέφερε το βραβείο του ενός εκατομμυρίου

δολαρίων σε όποιον αποδείκνυε την εικασία του Γκόλντμπαχ μέσα στο χρονικό

διάστημα από τις 10 Μαρτίου 2000 μέχρι τις 20 Μαρτίου 2002, αλλά κανείς δεν τα

κατάφερε και έτσι η εικασία παραμένει ακόμα και μέχρι σήμερα ανοιχτή.

Δεύτερη Εικασία του Γκόλντμπαχ

Η δεύτερη εικασία αναφέρει ότι κάθε περιττός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος

του 3 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών πρώτων. Η δεύτερη εικασία του

Γκόλντμπαχ έγκειται στο ότι κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 6 είναι άθροισμα

τριών πρώτων αριθμών. Και αυτή η εικασία παραμένει αναπόδεικτη, αν και

επιβεβαιώνεται από ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Τυχόν απόδειξη της πρώτης εικασίας

του Γκόλντμπαχ θα αποδείκνυε αμέσως και τη δεύτερη εικασία.

12

Εικασία Ρήμαν

Τον Αύγουστο του 1859, όταν ο

Μπέρναρντ Ρήμαν έγινε μέλος στην ακαδημία

του Βερολίνου, γεγονός πολύ σημαντικό για έναν

τόσο νέο και άσημο μαθηματικό, μόλις 32 ετών.

Όπως συνηθιζόταν σε τέτοιες περιπτώσεις, ο

Ρήμαν υπέβαλε στην Ακαδημία μια εργασία με

την οποία διερευνούσε το φλέγον μαθηματικό

πρόβλημα της εποχής, «σχετικά με το πλήθος

των Πρώτων Αριθμών που είναι μικρότεροι από

κάποιον δεδομένο αριθμό».

Μέσα στο άρθρο, ο Ρήμαν διερευνούσε

ένα γνωστό πρόβλημα της κλασικής αριθμητικής. Για να καταλάβουμε το πρόβλημα

ας αναρωτηθούμε: Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν, μικρότεροι από το 20; Η

απάντηση είναι οκτώ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 και 19. Πόσοι μικρότεροι από το χίλια; Από

το ένα εκατομμύριο; Από το ένα δισεκατομμύριο; Υπάρχει κάποιος γενικός τύπος που

να μας δίνει το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από ένα δοσμένο

αριθμό χωρίς να χρειάζεται να τους μετρήσουμε;

Στην εργασία του, περιέλαβε μια συμπτωματική αλλά πολύ κρίσιμη εικασία -

μια Υπόθεση. Δήλωσε ότι είναι πέρα για πέρα αληθινή και, μάλιστα, ότι μέσα από την

Υπόθεσή του προκύπτει ο γενικός τύπος παραγωγής Πρώτων Αριθμών.

Ο Ρήμαν προσέγγισε το πρόβλημα μέσα από τα πιο προχωρημένα μαθηματικά της

εποχής του. Δήλωνε με πείσμα ότι η «Υπόθεσή» του επιλύει το πρόβλημα και ότι είναι

πέρα για πέρα αληθινή, όμως, λίγο αργότερα πέθανε. Αμέσως μετά το θάνατό του, η

σπιτονοικοκυρά του έκαψε όλα τα προσωπικά χαρτιά του και μέχρι σήμερα, κανείς

δεν έμαθε αν ο Ρήμαν είχε όντως ανακαλύψει την απόδειξη. Οι σημαντικότερες

ιδιοφυΐες του πλανήτη μας έχουν συνειδητοποιήσει ότι η επίλυσή της είναι το κλειδί

για τις σύγχρονες μαθηματικές και ευρύτερα επιστημονικές ανησυχίες μας. Από τη

σύγχρονη κρυπτογραφία, τους πανταχού παρόντες κωδικούς ασφαλείας, μέχρι τη

φυσική των ατομικών πυρήνων, η εξάρτηση από τις ιδιότητες των πρώτων αριθμών

είναι δεδομένη και συνυφασμένη με την απόδειξη της Υπόθεσης Ρήμαν. Ολόκληρος ο

εικοστός αιώνας χαρακτηρίστηκε από τη μονομανία των μαθηματικών να αποδείξουν

την Εικασία του Γερμανού μαθηματικού. Σήμερα η Υπόθεση του Ρήμαν, είναι η

μεγάλη λευκή φάλαινα, το πιο περιζήτητο θήραμα της μαθηματικής έρευνας.

Μπέρναρντ Ρήμαν

(17 Σεπτεμβρίου 1826- 20 Ιουλίου 1866)

13

Πυθαγόρειοι (βότσαλα και αριθμοί)

Κατά τους Πυθαγόρειους οι αριθμοί διαθέτουν ένα πνευματικό στοιχείο ικανό

να τους μετατρέπει σε αληθινές υπάρξεις, μη αναγώγιμες σε απλές μετρήσεις. Μερικά

παραδείγματα:

Μονάς

Ήταν το ένα και αντιπροσωπεύει πολλές μεταφυσικές κυριότητες και έννοιες.

Ήταν γνωστή ως Είδος, Πηγή, ευδαιμονία, δημιουργός, ευτυχία, αρμονία, τάξη, φιλία.

Εξισώθηκε με τον Απόλλωνα και τον Υπερίωνα.

Δυάς

Το πρώτο στάδιο προς την διαδρομή της δημιουργίας. Αντιπροσώπευσε την

πόλωση, την αντίθεση, την απόκλιση, την ανισότητα και την αστάθεια. Καλείται

συχνά τόλμη και διασκορπίζει την τελειότητα και την ενότητα της μονάδας.

Τριάς

Το τρία είναι ο πρώτος αληθινός αριθμός. Αντιπροσωπεύει την αρχή, την μέση

και το τέλος, τις τρεις διαστάσεις και την τριμερή ψυχή. Υπονοεί το παρελθόν, το

παρόν και το μέλλον. Ο πρώτος περίεργος άρρεν αριθμός.

Τετράς.

Ο αριθμός 4 αντιπροσωπεύει την ολοκλήρωση. Για τους Πυθαγόρειους όλα και

φυσικά και αριθμητικά ολοκληρώθηκαν μέχρι το 4. Το εξέφρασαν με τις 4 εποχές, 4

στοιχεία της φύσης, 4 μουσικά διαστήματα, 4 είδη πλανητικής κίνησης. Απεικόνιζε

την ευθύτητα και σταθερότητα. 4 ικανότητες του ατόμου

Τετρακτύς είναι ένας ιδιαίτερος τρίγωνος αριθμός όμοιος με αυτόν του δέκα.

Το όνομά της σημαίνει σύνολο από τέσσερα πράγματα πάνω στην οποία δομήθηκε το

Δένδρο της Ζωής. Η Τετρακτύς είναι δέκα συμβολικές στιγμές (τελείες). Η Τετρακτύς

συνέδεσε την ύπαρξη των δέκα σωμάτων του Ηλιακού μας συστήματος. Αυτό το

σχήμα αποτελείται από 10 στιγμές τακτοποιημένες σε ένα τρίγωνο. Συνθέτοντας τις

στιγμές με διαφορετικούς τρόπους προκύπτουν πολλά τρίγωνα κα ορθογώνια σχήματα

όλα συνδυασμένα με το Πυθαγόρειο μαθηματικό σύστημα με νοήματα και όρους

μέσω των οποίων εξηγούσε το πώς αντιλαμβάνονταν και κατανοούσε τις αλήθειες της

Παγκοσμιότητας.

14

Πεντάς.

Το 5 είναι συνδυασμός περιττού και άρτιου. Αντιπροσωπεύει τον γάμο, την ένωση της

αρσενικής και θηλυκής συμφιλίωσης και την αρμονία. Ήταν αφιερωμένη στην

Αφροδίτη. Οι Πυθαγόρειοι έλεγαν ότι η πεντάς περιέχει τα φυσικά φαινόμενα του

σύμπαντος.

Εξάς.

Ο αριθμός 6 είναι ο πρώτος τέλειος αριθμός. Αντιπροσώπευε τις καταστάσεις της

υγείας και της ισορροπίας, την πληρότητα, την ειρήνη, την θυσία. Συνδέθηκε επίσης

με τον Ερμαφρόδιτο. Είναι ο πρώτος θήλυ αριθμός γάμου.

Επτάς.

Ο αριθμός 7 είναι ο αριθμός που δεν μπορεί να παραχθεί από οποιονδήποτε άλλον που

αποτελεί την αρχική δεκάδα. Αντιπροσώπευε την χαρά, την αγάπη, την ευκαιρία, την

παρθενία και ήταν αφιερωμένος στην θεά Αθηνά.

Οκτάς.

Ο αριθμός 8 ήταν σημαντικός για τους Πυθαγόρειους επειδή ήταν ο πρώτος κύβος.

Συνδέθηκε με την ασφάλεια, την σταθερότητα, όλα όσα ήσαν ισορροπημένα στο

σύμπαν. Είναι πηγή μουσικής αναλογίας και τον αποκαλούσαν

Εννεάς.

Ο αριθμός 9 κλήθηκε επίσης ορίζοντας επειδή χαρακτήρισε την γραμμή μεταξύ της

δεκάδας και των αριθμών που κατέληξαν σε αυτήν. Οι Πυθαγόρειοι τον έβλεπαν ως

αριθμό ολοκλήρωσης. Αυτό οφειλόταν στους 9 μήνες της κύησης, την ύπαρξη των 9

μουσών. Είναι το πρώτο άρρεν τετράγωνο.

Δεκάς.

Ο αριθμός 10 ήταν ο πιο ιερός όλων των αριθμών για τους Πυθαγόρειους. Είναι το

σύνολο των θείων επιρροών που κράτησαν το σύμπαν μαζί και ήταν οι προφανείς

νόμοι της φύσης. Είναι επίσης ο κόσμος, ο ουρανός, ο θεός και η μοίρα. Η Δεκάς

περιέχει όλους τους αριθμούς.

15

Φίλοι αριθμοί. Δυο αριθμοί λέγονται φίλοι αν ο καθένας ισούται με το άθροισμα των

γνήσιων διαιρετών του άλλου. Για παράδειγμα το 220 και το284.

284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110(όλοι οι διαιρέτες του 220).

220=1+2+4+71+142(όλοι οι διαιρέτες του 284).

Δεν γνωρίζουμε σήμερα αν τα ζευγάρια των φίλων αριθμών είναι άπειρα ή πεπερασμένα.

* Ο Pierre Fermat το 1636 βρήκε το ζεύγος 17.296, 18.416

* Ο Renè Descartes βρήκε ένα τρίτο ζεύγος, 9.363.584, 9.437.056

* Ο Nicolò Paganini, το 1866 βρήκε το 1.184, 1.210

Τα μαθηματικά του Μεσαίωνα

Με την πτώση της Δυτικής Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας το σκοτάδι απλώνεται

στη Δυτική Ευρώπη. Όχι μόνο δεν μπορούμε να μιλάμε για ανάπτυξη των θετικών

επιστημών, αλλά έχουν πια χαθεί και στοιχειώδεις γνώσεις. Οι λιγοστοί ερευνητές

πέφτουν συνήθως θύματα του άγριου κυνηγητού ηγετών της Εκκλησίας, που γεμάτοι

αντιεπιστημονική προκατάληψη εναντιώνονται σε οτιδήποτε δεν αναφέρεται στα Ιερά

Κείμενα. Αλλά και στο Βυζάντιο δεν μπορούμε να μιλήσουμε για ανάπτυξη των

θετικών επιστημών. Οι μελετητές του Βυζαντίου ακολουθούν σχεδόν αποκλειστικά

θεολογικές – θεωρητικές κατευθύνσεις. Αμυδρές αντανακλάσεις των θετικών

επιστημών παρουσιάζονται με κάποια μικρής σχετικά σημασίας τεχνολογικά

επιτεύγματα (π.χ. το «υγρό πυρ» των βυζαντινών). Κάθε έρευνα αποθαρρύνεται. Για

παράδειγμα, οι λανθασμένες απόψεις του Γαληνού για την κυκλοφορία του αίματος

και την ανθρώπινη ανατομία επικρατούν αφού η νεκροτομή είναι κάτι που απαγόρευε

η Δυτική Εκκλησία (εκτός εξαιρετικών περιπτώσεων).

Οι φυσικοί επιστήμονες των μεσαιωνικών χρόνων ασχολούνται σχεδόν

αποκλειστικά με προβλήματα Μηχανικής, βασισμένοι σ’ ένα αριστοτελικό πρότυπο

και επιδιώκοντας να ικανοποιήσουν καθημερινές, πρακτικές ανάγκες. Σχολιάζουν και

προσπαθούν ν’ αποδείξουν προτάσεις της Φυσικής του Αριστοτέλη. Για παράδειγμα

ένα πρόβλημα Μηχανικής που απασχόλησε τους φυσικούς του Μεσαίωνα ήταν αυτό

της κίνησης βαλλόμενων βλημάτων, καθώς και άλλα προβλήματα κίνησης των

σωμάτων.

16

Στον τομέα της Ιατρικής δεν σημειώνεται κάποια αξιοσημείωτη πρόοδος.

Παρόλα αυτά τίθενται τα θεμέλια των πρώτων ιατρικών σχολών. Η πρώτη

οργανωμένη Ιατρική Σχολή στην Ευρώπη είναι αυτή του Σαλέρνο που φιλοξένησε

τους πιο σημαντικούς γιατρούς της εποχής (όπως τον Κωνσταντίνο τον Αφρικανό). Η

σχολή το Σαλέρνο δημιούργησε δική της βιβλιογραφία με γνωστότερο έργο της το

«Οδηγός Υγείας του Σαλέρνο». Ο τίτλος της κορυφαίας Ιατρικής Σχολής

παραχωρείται στη συνέχεια στη σχολή του Μονπελιέ της Γαλλίας (1200).

Μορφές της Ιατρικής κατά τον Μεσαίωνα (ουσιαστικά δύο αιώνες πριν την

«επίσημη» έναρξη της Αναγέννησης, θεωρούνται ο Ρογήρος Βάκων (Roger

Bacon) και ο Αλβέρτος ο Μέγας (μέσα του 13ου αι.) που ασχολείται και με τη

Βοτανική. Επίσης στην Μπολόνια διδάσκει ο Μοντίνο ντι Λιούτσι με σημαντικό έργο

στον χώρο της Ανατομίας. Η Ανατομική του που δημοσιεύθηκε το 1316 αποτέλεσε το

πρώτο εγχειρίδιο Ανατομικής. Αξιοσημείωτη είναι και η παρουσία του Γκυ ντε

Σωλιάκ του πιο γνωστού χειρούργου της εποχής, του οποίου η «Μεγάλη Χειρουργική»

άφησε εποχή στον τομέα.

Όμως κάποια άλλα θέματα δεν μπορούσε να τα αγγίξει η Επιστήμη του

Μεσαίωνα. Το 1277 ο πάπας Ιωάννης ΚΑ’ καταδίκασε 219 επιστημονικές προτάσεις

(περισσότερες απ’ τις οποίες ανήκαν στον Αριστοτέλη [1]) επειδή θεωρούνταν καθαρά

θεολογικές (π.χ. για το αν η πρώτη Αιτία μπορούσε να δημιουργήσει παραπάνω από

έναν κόσμους).

Το σπίτι στην Εκάλη.

17

Μαθηματικά και Σκάκι

Τα μαθηματικά και το σκάκι έχουν μια αλληλένδετη σχέση εδώ και πολλά

χρόνια. Τα μαθηματικά βοηθούν στην βελτίωση των επιδόσεων στο σκάκι και

αντίστοιχα το σκάκι βοηθά στην βελτίωση των επιδόσεων στα μαθηματικά, καθώς και

σε άλλους τομείς.

Πρώτα απ 'όλα, τα μαθηματικά παρέχουν στα παιδιά απαραίτητα εφόδια για

την ζωή τους. Αν νομίζετε ότι τα βασικά είναι πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό

και διαίρεση – ξανασκεφτείτε το. Φυσικά και αυτά είναι απαραίτητα για την

απλοποίηση και την εύκολη λύση προβλημάτων, αλλά σήμερα, ζούμε σε μια εποχή

της πληροφορίας, όπου χρειάζονται ορισμένες δεξιότητες για να τα καταφέρει ένας

απλός άνθρωπος στον εργασιακό του χώρο και κατ’ επέκταση στην ζωή του. Κάποιες

από αυτές είναι η λήψη αποφάσεων, η επίλυση προβλημάτων, η κριτική σκέψη,

δηλαδή το φιλτράρισμα των πληροφοριών, η ικανότητα προβλέψεων βασισμένων σε

δεδομένα, η χρήση της λογικής, και οι σωστοί, γρήγοροι υπολογισμοί, είτε εκείνοι

είναι απλοί είτε σύνθετοι . Και κάπου εδώ έρχεται το σκάκι στο προσκήνιο.

Το σκάκι είναι μια άσκηση των απείρων δυνατοτήτων του μυαλού. Είναι ένα

παιχνίδι το οποίο απαιτεί επίλυση προβλημάτων. Επίσης, και τα μαθηματικά απαιτούν

ακριβώς το ίδιο, συνεπώς είναι απλή λογική ότι αν κάποιος είναι καλός στο σκάκι

είναι και στα μαθηματικά. Το σκάκι χρειάζεται πνευματική κόπωση, ο παίκτης πρέπει

να σκέπτεται μπροστά, να σχεδιάζει, να είναι συστηματικός, και να προβλέπει τα

αποτελέσματα ορισμένων κινήσεων. Με εξαίρεση τις κινήσεις των κομματιών, και

κάποιες θέσεις και συστήματα, στο σκάκι δεν χρησιμοποιείται η μνήμη. Η αδυναμία

στα μαθηματικά αρκετές φόρες πηγάζει από την έμφαση που δίνεται στην

απομνημόνευση αντί της σκέψης. Η ACF (American Chess Foundation) είχε διεξάγει

μια έρευνα σε ένα πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης, με την οποία διαπίστωσε το εξής:

Μέσα σε ένα σχολικό χρόνο τα αποτελέσματα στα τεστ και διαγωνίσματα

μαθηματικών βελτιώθηκαν κατά 17.3% στους μαθητές που έπαιζαν σκάκι, είτε το

ξεκίνησαν εκείνη τη χρονιά είτε παλιότερα, σε σύγκριση με το 4.56% των μαθητών

που συμμετείχαν γενικά σε άλλες δραστηριότητες. Η ACF αναφέρει ότι το σκάκι

βελτιώνει την οπτική μνήμη, την προσοχή και την συγκέντρωση, την λογική, τις

ικανότητες πρόβλεψης και αναμονής συγκεκριμένων συνεπειών, καθώς και λήψης

αποφάσεων μέσω κριτικής σκέψης και την δημιουργία εναλλακτικών λύσεων σε

περίπτωση ενός αδιεξόδου. Επιπλέον, άλλες έρευνες έχουν δείξει πως το σκάκι

18

βελτιώνει την αναγνώριση μοτίβων, την στρατηγική και αναλυτική σκέψη, την

δημιουργικότητα, και την εκτίμηση καταστάσεων.

Ο θείος Πέτρος αναλύει τη μέθοδο των φασολιών.

Ο θείος Πέτρος νεκρός ανάμεσα στα φασόλια.

19

Βιογραφικά στοιχεία μαθηματικών που

αναφέρονται στο βιβλίο

Ο Φερμά γεννήθηκε στο Μπομόν ντε Λομάνι της περιφέρειας

Ταρν-ε-Γκαρόν του Νομού Μέσων Πυρηναίων στη νότια Γαλλία στις

17 Αυγούστου 1601 και ήταν βασκικής καταγωγής. Ο πατέρας του,

Ντομινίκ Φερμά, ήταν ευκατάστατος έμπορος δερμάτων και κατείχε το

αξίωμα “second consul” στο «παλαιό καθεστώς» της Γαλλίας, κυβερνητική θέση

ισοδύναμη με του σημερινού δημάρχου. Ο Ντομινίκ νυμφεύτηκε δύο φορές, αρχικά

την Φρανσουάζ Καζενέβ και στην συνέχεια την Κλερ ντε Λον. Δεν είναι

εξακριβωμένο ποια από τις δύο ήταν η μητέρα του Πιέρ, φαίνεται όμως πιθανότερο να

ήταν η Κλερ ντε Λον. Δεν είναι επίσης σαφής η χρονολογία γέννησής του, καθώς

έχουν ανευρεθεί στα αρχεία της Μοντωμπάν και της γενέτειράς του δύο εγγραφές με

το όνομα «Πιέρ Φερμά», η μία χρονολογούμενη το 1601 και η άλλη το 1607.

Δεν είναι γνωστές πολλές λεπτομέρειες σχετικά με τα πρώτα στάδια της

μόρφωσής του. Πιθανόν να έλαβε τη στοιχειώδη εκπαίδευση στο μοναστήρι των

Φραγκισκανών «Grandsl ve» που βρισκόταν στην περιοχή της γενέτειράς του.

Ολοκληρώνοντας τις βασικές σπουδές του γράφτηκε αρχικά στο Πανεπιστήμιο

της Τουλούζης και στην συνέχεια στο Πανεπιστήμιο του Μπορντώ (περίπου το

δεύτερο ήμισυ του 1620). Εκεί άρχισε το 1629 τις πρώτες του έρευνες επί των

μαθηματικών, όταν έδωσε σε ένα μαθηματικό ένα αντίγραφο του Plane Loci του

Απολλωνίου το οποίο είχε αποκαταστήσει. Την ίδια περίοδο, επίσης, συνέγραψε

αρκετά κείμενα σχετικά με το μέγιστο και το ελάχιστο των συναρτήσεων, τα οποία

έδωσε στον Ετιέν ντ' Εσπανιέ, λάτρη των μαθηματικών και γιο του προέδρου του

Κοινοβουλίου του Μπορντώ που είχε τα ίδια ενδιαφέροντα με αυτόν και είχε

δημιουργήσει ένα μικρό κύκλο με τους Φιλόν και Πραντ , τους οποίους μνημονεύει ο

Φερμά στην αλληλογραφία του.

Από το Μπορντώ μετακόμισε στην Ορλεάνη για να σπουδάσει Νομικά στο

πανεπιστήμιο της πόλης. Λαμβάνοντας το πτυχίο του αγόρασε τον τίτλο του

συμβούλου στο Κοινοβούλιο της πόλης. Το 1631, έχοντας το επάγγελμα του

δικηγόρου, το οποίο του εξασφάλιζε κοινωνική άνοδο αλλά και άνοιγε τους δρόμους

της πολιτικής εξουσίας, και κυβερνητικό αξίωμα άλλαξε το όνομά του από Πιέρ

Φερμά σε Πιέρ ντε Φερμά. Το ίδιο έτος νυμφεύτηκε στο Μπωμόν την τέταρτη

εξαδέλφη του Λουίζ ντε Λον, με την οποία απέκτησαν πέντε παιδιά: τον Κλεμάν-

20

Σαμυέλ, τον Ζαν, την Κλερ, την Λουίζ και την Κατρίν. Η οικογένεια Φερμά

απολάμβανε μεγάλης εκτίμησης στην πόλη και, καθώς ο πεθερός του, ως ένας από

τους παλαιότερους νομοθέτες ανήκε στην Αριστοκρατία, εντάχθηκε σε αυτήν και η

οικογένεια Φερμά.

Ο Φερμά χειριζόταν άψογα, εκτός από τα γαλλικά, τα λατινικά, τα Αρχαία

ελληνικά, τα ισπανικά, τα ιταλικά και πιθανόν και την βασκική διάλεκτο. Για το λόγο

αυτό ήταν περιζήτητος για την απόδοση των κλασικών ελληνικών κειμένων. Παρά την

ενασχόλησή του με τη μαθηματική επιστήμη, κράτησε για τον εαυτό του τον τίτλο του

"ερασιτέχνη", ενώ παράλληλα κατάφερε να πετύχει την επιθυμητή αναγνώρισή του.

Το γεγονός αυτό οδήγησε σε διαμάχες με συγχρόνους του μαθηματικούς, όπως ο Ρενέ

Ντεκάρτ, ενώ είχε αναπτύξειφιλία με τον Μπλεζ Πασκάλ. Ο Φερμά απεβίωσε στις 12

Ιανουαρίου 1665 στην πόλη Καστρ.

Το έργο του

Κύριο λήμμα: Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Η πρωτοπόρος εργασία του Φερμά

στην Αναλυτική Γεωμετρία κυκλοφόρησε σε χειρόγραφη μορφή το 1636, πριν ο

Ντεκάρτ κυκλοφορήσει την περίφημη Γεωμετρία του. Το χειρόγραφο εκδόθηκε μετά

τον θάνατο του Φερμά, το 1679, σε συμπίλημα υπό τον τίτλο "Varia opera

mathematica" (ποικίλα μαθηματικά έργα) υπό τον τίτλο Ad Locos Planos et Solidos

Isagoge (Εισαγωγή στους επίπεδους και στερεούς (γεωμετρικούς) τόπους).

Στο έργο του In Methodus ad disquirendam maximam et minima and in De

tangentibus linearum curvarum ο Φερμά αναπτύσσει μια μέθοδο προσδιορισμού των

ελαχίστων, μεγίστων και εφαπτομένων σε καμπύλες ποικίλων συναρτήσεων,

ισοδύναμη με αυτή του διαφορικού λογισμού. Με αυτές τις εργασίες ο Φερμά επινοεί

μια τεχνική για τον εντοπισμό του κέντρου βάρους πολλών επίπεδων και στερεών

σωμάτων και οδήγησε σε περισσότερες αναλύσεις επί των ολοκληρωμάτων.

Σημαντική συμβολή είχε επίσης στον ολοκληρωτικό λογισμό, όπου με ευφυές

τέχνασμα κατόρθωσε να επινοήσει τύπο υπολογισμού του ολοκληρώματος ανάγοντάς

το σε άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου. Ο τύπος αυτός πιθανότατα χρησίμευσε

τόσο στον Νεύτωνα όσο και στον Λάιμπνιτς οι οποίοι, ανεξάρτητα ο ένας από τον

άλλο, παρουσίασαν το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού.

Στη Θεωρία αριθμών ο Φερμά μελέτησε την ειδική περίπτωση της διοφαντικής

εξίσωσης που αποκλήθηκε «εξίσωση του Πελ»: τους τέλειους αριθμούς, τους

«φιλικούς» αριθμούς και τους αριθμούς που θα γίνουν αργότερα γνωστοί ως «αριθμοί

του Φερμά»: όπου n είναι μη αρνητικός ακέραιος. Ενώ ερευνούσε τους τέλειους

21

αριθμούς, επινόησε και το αντίστοιχο θεώρημα. Επινόησε επίσης μέθοδο

παραγοντοποίησης (μέθοδος παραγοντοποίησης Φερμά) και την τεχνική της

«κατάβασης εις άπειρο», μια ειδική περίπτωση της απαγωγής σε άτοπο, την οποία

χρησιμοποίησε για να αποδείξει το Τελευταίο Θεώρημα για n = 4.

Αν και ο ίδιος ισχυριζόταν ότι είχε αποδείξει όλα του τα θεωρήματα, ελάχιστες

καταγραφές αυτών των αποδείξεων. Πολλοί μαθηματικοί, ανάμεσά τους και ο Καρλ

Φρίντριχ Γκάους αμφέβαλλαν για αρκετούς από τους ισχυρισμούς του, ειδικά αν

λάμβανε κανείς υπόψη τόσο τη δυσκολία ορισμένων από τα προβλήματα που

αντιμετώπισε όσο και τα περιορισμένα μαθηματικά "εργαλεία" που ήταν γνωστά στην

εποχή του.

Το περίφημο θεώρημά του ανακαλύφθηκε από τον γιο του στα περιθώρια μιας

έκδοσης του Διόφαντου, με την παρατήρηση ότι το περιθώριο ήταν πολύ μικρό για να

χωρέσει και την απόδειξή του. Το θεώρημα αποδείχθηκε μόλις το 1994, με

μαθηματικές τεχνικές άγνωστες στον Φερμά.

Μολονότι μελέτησε πολύ προσεκτικά και εμπνεύστηκε από την εργασία του

Διόφαντου, ο Φερμά δημιούργησε τη δική του «σχολή» επί του θέματος. Ο Διόφαντος

ήταν ικανοποιημένος αν έβρισκε μια μόνο λύση στις εξισώσεις του, ακόμη κι αν αυτή

ήταν κλασματική (και άρα μη επιθυμητή). Ο Φερμά ενδιαφέρθηκε μόνο για τις

ακέραιες λύσεις στις διοφαντικές εξισώσεις του και ερεύνησε όλες τις πιθανές γενικές

λύσεις. Συχνά αποδείκνυε ότι ορισμένες εξισώσεις δεν είχαν λύση, κάτι που

προκαλούσε σύγχυση στους συγχρόνους του. Μέσω της αλληλογραφίας του με τον

Πασκάλ, έθεσαν, το 1664, τα βασικά θεμέλια της θεωρίας των πιθανοτήτων. Από αυτή

τη σύντομη αλλά πολύ παραγωγική συνεργασία επί του προβλήματος των ακρότατων,

θεωρούνται σήμερα συνδημιουργοί της θεωρίας των πιθανοτήτων. Στον Φερμά επίσης

αποδίδεται και η πρώτος ακριβής υπολογισμός πιθανότητας: Ένας επαγγελματίας

παίκτης τον ρώτησε γιατί αν στοιχημάτιζε πως σε τέσσερις ρίψεις ενός ζαριού θα

ερχόταν μια φορά τουλάχιστον το 6 κέρδιζε σε βάθος χρόνου, ενώ αν στοιχημάτιζε ότι

θα έρχονταν τουλάχιστον μια φορά «εξάρες» σε 24 ταυτόχρονες ρίψεις δύο ζαριών

έχανε. Ο Φερμά απέδειξε ότι αυτός ήταν ο κανόνας βάσει των μαθηματικών.

22

Ο Σρινιβάσα Ραμανούτζαν (Srinivasa Ramanujan,

22 Δεκεμβρίου 1887 – 26 Απριλίου 1920) ήταν αυτοδίδακτος Ινδός

μαθηματικός. Παρότι είχε ελάχιστη έως καθόλου τυπική εκπαίδευση στα

καθαρά μαθηματικά, κατάφερε σημαντικά επιτεύγματα στους τομείς της

μαθηματικής ανάλυσης, την θεωρία αριθμών, τις απειροστικές σειρές και τα συνεχή

κλάσματα. Σύμφωνα με τον μαθηματικό Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι το ταλέντο του

Ραμανούντζαν ήταν της κλάσης των Όιλερ, Γκάους, Νεύτωνα και του Αρχιμήδη.

Αν και απεβίωσε σε ηλικία μόλις 32 ετών, το έργο που άφησε πίσω του ο

Ραμανούτζαν απαριθμεί σχεδόν 3900 αποτελέσματα. Αν και ένας μικρός αριθμός από

αυτά ήταν εσφαλμένα και μερικά ήδη γνωστά, οι περισσότερες από τις εργασίες του

αποδείχθηκαν ορθές.

Πολλά από τα συμπεράσματά του ήταν πρωτότυπα αλλά και αντισυμβατικά

ταυτόχρονα, όπως οι πρώτοι αριθμοί Ραμανούτζαν και η συναρτήση θήτα

Ραμανούτζαν, και ενέπνευσαν έναν τεράστιο αριθμό περαιτέρω ερευνών. Είναι

χαρακτηριστικό πως μερικές από τις πιο σημαντικές ανακαλύψεις του άργησαν πολύ

να ενταχθούν στο ρεύμα των σύγχρονων μαθηματικών. Πρόσφατα, εξισώσεις του

βρήκαν εφαρμογή στην κρυσταλλογραφία και την θεωρία χορδών.

Ο Δαβίδ Χίλμπερτ γεννήθηκε στο Κένιξμπεργκ της Πρωσίας στις 23

Ιανουαρίου 1862 και πέθανε στην πολη Γκέτινγκεν της Γερμανίας στις

14 Φεβρουαρίου του 1943. Ήταν Γερμανός μαθηματικός, που από

αρκετούς θεωρείται ο πιο σημαντικός του 19ου και 20ου αιώνα. Η πιο

γνωστή εργασία του περιλαμβάνει τα Αξιώματα Χίλμπερτ για τη γεωμετρία καθώς καi

την περιγραφή των χώρων Χίλμπερτ με εφαρμογές στην Κβαντομηχανική και τη

Θεωρία της Σχετικότητας.

Γκόντφεϊ Χάρολντ Χάρντι (αγγλ. Godfrey Harold Hardy, 7

Φεβρουαρίου 1877 – 1 Δεκεμβρίου 1947), σημαντικός Άγγλος

μαθηματικός, γνωστός για την συμβολή του στην θεωρία αριθμών

και την μαθηματική ανάλυση. Στο ευρύ κοινό είναι κυρίως γνωστός

για το δοκίμιο "Η Απολογία ενός Μαθηματικού", μία από τις πιο

προσβάσιμες αναλύσεις όσον αφορά τον τρόπο σκέψης ενός μαθηματικού. Από

τις αρχές του 1914 υπήρξε ο πνευματικός πατέρας του Iνδού μαθηματικού Σρινιβάσα

Ραμανούτζαν, την ξεχωριστή διάνοια του οποίου αναγνώρισε σχεδόν αμέσως. Στα

23

πλαίσια συνέντευξης που παραχώρησε στον Πολ Έρντος, στην ερώτηση ποια ήταν η

μεγαλύτερη του συνεισφορά στα μαθηματικά, ο Χάρντι απάντησε «η ανακάλυψη του

Ραμανούτζαν».

Ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (Βερολίνο, 13 Σεπτεμβρίου 1873 –

Μόναχο, 2 Φεβρουαρίου 1950) ήταν κορυφαίος σύγχρονος Έλληνας

μαθηματικός που διακρίθηκε σε παγκόσμιο επίπεδο. Ο Καραθεοδωρή

ήταν γνωστός εκτός Ελλάδας ως Constantin Carathéodory και

συχνά αναφέρεται (λανθασμένα) ως Καραθεοδωρής.

Το επιστημονικό έργο του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή επεκτείνεται σε

πολλούς τομείς των Μαθηματικών, της Φυσικής και της Αρχαιολογίας. Είχε

σημαντικότατη συνεισφορά ιδιαίτερα στους τομείς της πραγματικής ανάλυσης,

συναρτησιακής ανάλυσης και θεωρίας μέτρου και ολοκλήρωσης.

Ο πατέρας του Καραθεοδωρή, Στέφανος Καραθεοδωρή, ήταν νομικός από την

Κωνσταντινούπολη με καταγωγή από το Μποσνοχώρι ή Βύσσα της Δυτικής Θράκης.

Εργάστηκε ως διπλωμάτης για την Οθωμανική Αυτοκρατορία, αρχικά ως γραμματέας

και κατόπιν ως πρέσβης του Σουλτάνου στις Βρυξέλλες, την Αγία Πετρούπολη και το

Βερολίνο. Η μητέρα του Καραθεοδωρή, Δέσποινα το γένος Πετροκοκκίνου,

κατάγονταν από τη Χίο.

Η μητέρα του πέθανε όταν ο Κωνσταντίνος ήταν μόλις έξι ετών και ο νεαρός

Καραθεοδωρή ανατράφηκε από την γιαγιά του, Ευθαλία Πετροκόκκινου. Μεγάλωσε

σε ένα ευρωπαϊκό, επιστημονικό και αριστοκρατικό περιβάλλον, με ζωντανά τα

στοιχεία της ελληνορθόδοξης οικογενειακής καταγωγής. Πέρασε τα παιδικά του

χρόνια στις Βρυξέλλες, όπου ο πατέρας του ήταν πρέσβης της Υψηλής Πύλης από το

1875, με αποτέλεσμα να έχει ως μητρική γλώσσα τα ελληνικά και τα γαλλικά. Πριν

ακόμη μπει στην εφηβεία μιλούσε τουρκικά και γερμανικά.

Από το 1883 έως το 1885 φοίτησε σε σχολεία της Ριβιέρα και του Σαν Ρέμο.

Ένα χρόνο φοίτησε σε γυμνάσιο των Βρυξελλών, όπου στο μάθημα της Γεωμετρίας

αισθάνθηκε την αγάπη και την κλίση που είχε για τα Μαθηματικά. Το 1886 γράφτηκε

στο γυμνάσιο Ατενέ Ρουαγιάλ των Βρυξελλών, από όπου αποφοίτησε το 1891. Στο

Βέλγιο τότε γινόταν διαγωνισμός μαθηματικών στον οποίο κλήθηκε η τάξη του να

διαγωνιστεί για δύο χρονιές κατά σειρά και ο Καραθεοδωρή πήρε την πρώτη θέση και

τις δύο χρονιές.

24

Από το 1891 έως το 1895, σπούδασε πολιτικός μηχανικός στη Στρατιωτική

Σχολή του Βελγίου στις Βρυξέλλες. Με την αποφοίτησή του, το 1895, αποδέχτηκε την

πρόσκληση του θείου του, Αλέξανδρου Στεφάνου Καραθεοδωρή, ο οποίος ήταν

γενικός διοικητής της Κρήτης, και τον επισκέφθηκε στα Χανιά. Εκεί γνωρίστηκε με

τον Ελευθέριο Βενιζέλο. Στην συνέχεια πήγε στην Λέσβο, όπου μετείχε στην

κατασκευή έργων οδοποιίας, ενώ το 1898 πήγε στην Αίγυπτο, για να εργαστεί ως

μηχανικός στην βρετανική εταιρεία που κατασκεύαζε το φράγμα στο Ασουάν. Στην

Αίγυπτο συνέχισε να μελετά μαθηματικά συγγράμματα, ενώ έκανε και μετρήσεις στην

κεντρική είσοδο της πυραμίδας του Χέοπα, τις οποίες και δημοσίευσε.

Στην Αίγυπτο, ο Καραθεοδωρή κατάλαβε πόσο μεγάλη γοητεία και επιρροή

ασκούσαν επάνω του τα Μαθηματικά και συνειδητοποίησε πως η δουλειά του

μηχανικού δεν ήταν εκείνη που αναζητούσε το ανήσυχο πνεύμα του. Έτσι το 1900, ο

27χρονος πια Καραθεοδωρή, προς μεγάλη έκπληξη των δικών του, αποφάσισε να

εγκαταλείψει το επάγγελμα του μηχανικού και να πάει στην Γερμανία για να

σπουδάσει Μαθηματικά. Για δύο χρόνια παρακολούθησε μαθήματα Μαθηματικών στο

Πανεπιστήμιο του Βερολίνου.

Στο Βερολίνο ο Καραθεοδωρή είχε την τύχη να παρακολουθήσει μαθήματα

από μεγάλους μαθηματικούς όπως ο Χέρμαν Σβαρτς, ο Γκέοργκ Φρομπένιους, ο

Έρχαρντ Σμιτ και ο Λάζαρος Φουξ. Ο Σμιτ το φθινόπωρο του 1901 έφυγε για το

πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν και παρακίνησε τον Καραθεοδωρή να αποφασίσει να

εγκατασταθεί κι εκείνος εκεί. Έτσι το 1902, ο Καραθεοδωρή μεταγράφηκε στο

Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν για να κάνει διδακτορική διατριβή υπό την επίβλεψη

του Χέρμαν Μινκόφσκι.

Το Γκέτινγκεν εκείνη την εποχή είχε θεωρηθεί σαν το μεγαλύτερο κέντρο των

Μαθηματικών και δύο διάσημοι καθηγητές, ο Νταβίντ Χίλμπερτ και ο Φέλιξ Κλάιν,

δίδασκαν εκεί. Αυτοί οι δύο σπουδαίοι μαθηματικοί επέδρασαν πολύ στη ζωή και στη

σταδιοδρομία του ως μαθηματικού. Ο Καραθεοδωρή αναγορεύτηκε διδάκτορας στο

Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν το 1904 και αμέσως μετά ζήτησε να εργαστεί στην

Ελλάδα. Οι αρμόδιοι όμως του απάντησαν ότι είχε ελπίδες να διοριστεί μόνο σαν

δάσκαλος σε σχολεία της επαρχίας. Τότε γύρισε στη Γερμανία, όπου τον επόμενο

χρόνο (Μάρτιος 1905) αναγορεύτηκε υφηγητής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο

του Γκέτινγκεν. Στο ίδιο πανεπιστήμιο δίδαξε μέχρι το 1908. Την ίδια χρονιά

παντρεύτηκε την τότε 24χρονη Ευφροσύνη, με την οποία απέκτησε δύο παιδιά, τον

Στέφανο και τη Δέσποινα.

25

Από το 1909 έως το 1920 δίδαξε Μαθηματικά σε διάφορα γερμανικά

ακαδημαϊκά ιδρύματα: Αννόβερο, Μπρέσλαου, Γκέτινγκεν και Βερολίνο. Η φήμη του

ως μαθηματικού τον έφερε σε φιλική και επαγγελματική επαφή με άλλους μεγάλους

ομολόγους της εποχής του όπως ο Μαξ Πλανκ, ο Άλμπερτ Αϊνστάιν, ο Σβαρτς, ο

Φρομπένιους, ο Σμιτ, ο Ντάβιντ Χίλμπερτ, ο Κλάιν, κ.ά.

Ιδιαίτερη ήταν η σχέση που συνέδεε τον Καραθεοδωρή με τον Άλμπερτ

Αϊνστάιν. Οι δύο άνδρες γνωρίσθηκαν το 1915 διατήρησαν μια επιστημονική σχέση,

στηριγμένη στην αλληλοεκτίμηση και σεβασμό. Τότε άρχισε και το ενδιαφέρον του

Καραθεοδωρή για την Θεωρία της Σχετικότητας.

Το 1911, μετά από πρόσκληση του Ελευθέριου Βενιζέλου, ο Καραθεοδωρή

συμμετείχε στην επιτροπή επιλογής καθηγητών για το Πανεπιστήμιο Αθηνών. Το 1913

έγινε καθηγητής της Α΄ έδρας της μαθηματικής επιστήμης του Πανεπιστημίου του

Γκεντινγκεν, θέση στην οποία παρέμεινε μέχρι το 1918. Το 1920, πάλι με πρόσκληση

του Βενιζέλου, ανέλαβε να οργανώσει το Ιώνιο Πανεπιστήμιο στη Σμύρνη. Η

απόφαση του Καραθεοδωρή να επιστρέψει στην πατρίδα του προκειμένου να της

φανεί χρήσιμος, παρόλο που μεσουρανούσε στη Γερμανία, είναι μάλλον ενδεικτική

της αγάπης του για την Ελλάδα.

Στην Σμύρνη ο Καραθεοδωρή έμεινε μέχρι την κατάρρευση του μικρασιατικού

μετώπου τον Αύγουστο του 1922. Όταν οι Τούρκοι εισέβαλαν στην πόλη, ο 49χρονος

Καραθεοδωρή κατόρθωσε να διασώσει τη βιβλιοθήκη και πολλά από τα εργαστηριακά

όργανα του Ιωνίου Πανεπιστημίου και να τα μεταφέρει στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Η

δωρεά Καραθεοδωρή βρίσκεται μέχρι τις μέρες μας στο Μουσείο Φυσικών Επιστημών

του Πανεπιστημίου Αθηνών. Το 1922 διορίστηκε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο

Αθηνών και το 1923 διορίσθηκε καθηγητής στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο.

Μάλλον απογοητευμένος από την μίζερη κατάσταση των ελληνικών

πανεπιστημίων, εγκατέλειψε την Ελλάδα το 1924, για να αναλάβει καθηγητική θέση

στο Πανεπιστήμιο του Μονάχου, που εκείνο τον καιρό ήταν το δεύτερο μεγαλύτερο

πανεπιστήμιο της Γερμανίας και δίδασκαν σ' αυτό κορυφαία ονόματα. Το Νοέμβριο

του 1926, έγινε μέλος στη νεοϊδρυθείσα Ακαδημία Αθηνών για την τάξη των Θετικών

Επιστημών. Το 1928, ανταποκρινόμενος σε πρόσκληση από το Πανεπιστήμιο

Χάρβαρντ και την Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία, επισκέφθηκε τις ΗΠΑ μαζί με

την γυναίκα του για έναν σχεδόν χρόνο, για να δώσει διαλέξεις σε διάφορα

αμερικανικά πανεπιστήμια, ανάμεσά στα οποία το Πανεπιστήμιο Πρίνστον, το

Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια, το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ώστιν και άλλα.

26

Το 1930, πάλι μετά από πρόσκληση του Ελευθέριου Βενιζέλου, ανέλαβε

καθήκοντα κυβερνητικού επιτρόπου στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και το Πανεπιστήμιο

Θεσσαλονίκης για να βοηθήσει στην αναδιοργάνωση του πρώτου και στην οργάνωση

του (νεοσύστατου) δεύτερου. Το 1932, επέστρεψε στην έδρα του στο Μόναχο και

παρέμεινε στην πόλη αυτή, ακόμα και μέσα στα δύσκολα χρόνια του Β΄ Παγκοσμίου

Πολέμου. Το 1945, διάφορα αμερικανικά πανεπιστήμια τον προσκάλεσαν για να

εγκατασταθεί και να διδάξει στις ΗΠΑ, αλλά προτίμησε να μείνει στη Γερμανία, αφού

ήταν ηλικιωμένος και είχε ήδη χάσει την σύντροφό του. Τον Δεκέμβριο του 1949

έδωσε την τελευταία του διάλεξη στο Μόναχο. Πέθανε δύο μήνες αργότερα. Η σορός

του ενταφιάστηκε στο Κοιμητήριο Waldfriedhof του Μονάχου.

27

ΕΡΕΥΝΑ ΜΕ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Σκοπός και στόχος της έρευνας

Στα πλαίσια της ερευνητικής εργασίας, αποφασίσαμε να πραγματοποιήσουμε

μια έρευνα μέσω ερωτηματολογίου.

Αρχικά συζητήσαμε σχετικά με το στόχο που θα είχε η έρευνά μας και με τα

ερωτήματα στα οποία θα θέλαμε να μας απαντήσει. Ερωτήματα τα οποία θέλαμε να

είναι σημαντικά, ουσιαστικά και, αν είναι δυνατό, ενδεικτικά των θεμάτων με τα οποία

ασχοληθήκαμε κατά τη διάρκεια της χρονιάς.

Ο σκοπός της έρευνας αυτής ήταν διττός. Αφ’ ενός μεν θέλαμε να

πραγματοποιήσουμε μια υποδειγματική ερευνητική εργασία, ανακαλύπτοντας τις

μεθόδους και τις διαδικασίες σε όλο το φάσμα, από το σχεδιασμό μέχρι την εξαγωγή

συμπερασμάτων. Το ταξίδι αυτό, αν και σύντομο, υπήρξε δημιουργικό. Αφ’ ετέρου δε

θέλαμε να μάθουμε τη σχέση των μαθητών του σχολείου μας με τα βιβλία και την

ανάγνωση και το αν γνωρίζουν τη μαθηματική λογοτεχνία. Τα βασικά μας ερωτήματα,

όπως αυτά διατυπώθηκαν από την ολομέλεια του τμήματος, ήταν δύο:

1) Πως διαμορφώνεται η συμπεριφορά των μαθητών ως προς το διάβασμα και το

βιβλίο κατά φύλο, τάξη και ανάλογα με την κατεύθυνση που ακολουθεί;

Σχετίζεται αυτή η συμπεριφορά με την οικογενειακή πρακτική;

2) Γνωρίζουν οι μαθητές του σχολείου μας τι είναι η μαθηματική λογοτεχνία;

Στο δεύτερο στάδιο της διαδικασίας επιλέξαμε το δείγμα μας και τον τρόπο

επιλογής του. Επειδή ο πληθυσμός που μελετούσαμε αποτελούνταν από 312 άτομα,

ακολουθώντας τη βιβλιογραφία, επιλέξαμε ως δείγμα το 25%, δηλαδή 78 άτομα.

Επειδή όμως μας ενδιέφεραν δύο ακόμη ανεξάρτητες παράμετροι, η τάξη και το φύλο,

κατά την εκλογή του δείγματος ακολουθήσαμε στρωσιγενή δειγματοληψία. Δηλαδή

αφού βρήκαμε πόσοι μαθητές υπάρχουν σε κάθε τάξη και πόσοι από αυτούς είναι

αγόρια και πόσα κορίτσια, μοιράσαμε το δείγμα μας ανάλογα σε αυτές τις έξι

κατηγορίες. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει, κατά τάξη και κατά φύλο, πόσοι μαθητές

φοιτούν στο σχολείο μας και ποιος ήταν ο αριθμός κάθε κατηγορίας που επιλέχθηκε. Η

επιλογή σε κάθε κατηγορία έγινε με τυχαίο τρόπο.

28

Αγόρια Κορίτσια Σύνολο

Α΄ τάξη 47 12 56 14 103 26

Β΄ τάξη 44 11 52 13 96 24

Γ΄ τάξη 59 15 54 13 113 28

Το τρίτο στάδιο ήταν η κατασκευή του ερωτηματολογίου. Κάθε ομάδα

συνεδρίασε και πρότεινε, με βάση τα θέματα που είχε διαπραγματευτεί, αλλά και τα

κεντρικά ερωτήματα που είχαν επιλεγεί, περίπου πέντε ερωτήσεις, δικαιολογώντας

ταυτόχρονα την πρότασή της. Η ολομέλεια, αφού συζήτησε, κατέληξε στη

διαμόρφωση του ερωτηματολογίου.

Το ερωτηματολόγιο χωρίζεται θεματικά σε δύο μέρη: στο πρώτο μέρος

(ερωτήσεις 1 – 4) υπάρχουν τα δημογραφικά στοιχεία ενώ στο δεύτερο μέρος

(ερωτήσεις 5 – 20) υπάρχουν ερωτήσεις συμπεριφοράς, στάσεων – απόψεων σχετικά

με το βιβλίο και το διάβασμα.

Το ερωτηματολόγιο συμπληρώθηκε από τους μαθητές του δείγματος με τη

μέθοδο της συνέντευξης και αφού συλλέχθηκαν, καταγράφηκαν οι απαντήσεις

κωδικοποιημένες σε αρχείο Excel ώστε να είναι πιο εύκολη η επεξεργασία τους.

Συνολικά απάντησαν 69 μαθητές (88,5% του δείγματος), ενώ εννέα μαθητές δεν

απάντησαν είτε γιατί έλειπαν από το σχολείο τις ημέρες συλλογής και συμπλήρωσης

των ερωτηματολογίων είτε γιατί αρνήθηκαν να συμμετάσχουν στην έρευνα. Οι

μαθητές αυτοί ήταν διάσπαρτοι στο δείγμα και δεν αλλοίωσαν σημαντικά τη δομή του.

29

2ο ΓΕΛ ΚΑΜΑΤΕΡΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012 – 13

Ερευνητική Εργασία A΄ Λυκείου:

Διαβάζοντας Μαθηματική Λογοτεχνία

Ερωτηματολόγιο

1.Φύλο Αγόρι [ ] Κορίτσι [ ]

2.Τάξη Α΄ Λυκείου [ ] Β΄ Λυκείου [ ] Γ΄ Λυκείου [ ]

3. Ποια κατεύθυνση έχεις επιλέξει ή σκοπεύεις να επιλέξεις;

Τεχνολογική [ ] Θεωρητική [ ] Θετική [ ]

4.Τι βαθμό πήρες στο α΄ τετράμηνο:

στα μαθηματικά 18-20 [ ] 15-17 [ ] 12-14 [ ] 8-11 [ ]

στη λογοτεχνία 18-20 [ ] 15-17 [ ] 12-14 [ ] 8-11 [ ]

5. Τι σχέση έχουν τα μέλη της οικογένειάς σου με το διάβασμα;

Καμία [ ] Μέτρια [ ] Καλή [ ] Άριστη [ ]

6. Εσύ διαβάζεις εξωσχολικά βιβλία; ΝΑΙ [ ] ΟΧΙ [ ]

7. Αν ναι, πόσο συχνά; Σπάνια [ ] Αρκετά [ ] Πάρα πολύ [ ]

8. Τι είδους βιβλία διαβάζεις;

Μυθιστορήματα [ ] Εργασίες-Δοκίμια [ ] Ποιήματα [ ]

Ιστορικά [ ] Επιστημονικά [ ] Κόμικς [ ]

9.Με ποιο κριτήριο επιλέγεις κυρίως τα βιβλία που διαβάζεις;

Εξώφυλλο [ ] Οπισθόφυλλο [ ] Τίτλος [ ] Συγγραφέας [ ]

Διαφήμιση [ ] Πρόταση από κάποιον άλλο [ ]

30

10.Πώς προμηθεύεσαι συνήθως τα βιβλία που διαβάζεις;

από βιβλιοπωλείο [ ] από δανειστική βιβλιοθήκη [ ] από το διαδίκτυο [ ]

από γνωστούς [ ] από δώρα που σου κάνουν [ ]

11. Πόσα βιβλία διαβάζεις περίπου το χρόνο;

0-1 [ ] 2-5 [ ] 6-10 [ ] περισσότερα από 10 [ ]

12. Ποια εποχή προτιμάς να διαβάζεις;

Άνοιξη [ ] Καλοκαίρι [ ] Φθινόπωρο [ ] Χειμώνας [ ]

13. Ολοκληρώνεις πάντοτε τα βιβλία που διαβάζεις;

Ναι [ ] Όχι [ ] Τις πιο πολλές φορές [ ]

14. Τι πιστεύεις ότι σου προσφέρουν τα βιβλία;

Χαλάρωση [ ] Ψυχαγωγία [ ] Μόρφωση [ ] Ανάπτυξη Συναισθημάτων [ ]

15. Προσφέρεις βιβλία για δώρα; Ναι [ ] Όχι [ ]

16. Ποιο ήταν το τελευταίο λογοτεχνικό βιβλίο που διάβασες ή που τώρα διαβάζεις;

[ ___________________________________________________________________ ]

17. Ποιο είναι το αγαπημένο σου λογοτεχνικό βιβλίο;

[ __________________________________________________________________ ]

18.Γνωρίζεις τι είναι η μαθηματική λογοτεχνία; Ναι [ ] Όχι [ ]

19. Πιστεύεις ότι υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ μαθηματικών και λογοτεχνίας ;

Ναι [ ] Όχι [ ]

20. Γνωρίζεις κάποιο βιβλίο μαθηματικής λογοτεχνίας; Ναι [ ] Όχι [ ]

Αν, ναι ποιο είναι αυτό; [ _____________________________________________ ]

31

Παρουσίαση αποτελεσμάτων

Πληθυσμός : 312 μαθητές του 2ου ΓΕΛ Καματερού

Δείγμα : 78 μαθητές (25% του πληθυσμού)

Συμπληρωμένα ερωτηματολόγια: 69 (88,5% του δείγματος – 22,1% του πληθυσμού)

Αγόρια 36

52%

Κορίτσια 33

48%

Κατά φύλο

0

5

10

15

20

25

Α΄ τάξη Β΄ τάξη Γ΄ τάξη

Αγόρια 12 11 13

Κορίτσια 13 11 9

Σύνολο 25 22 22

Κατά φύλο και τάξη

32

Καμία 5

7%

Μέτρια 12

17%

Καλή 41

60%

Άριστη 11

16%

Τι σχέση έχει η οικογένειά σου με το διάβασμα;

NAI 50

72%

OXI 19

28%

Διαβάζεις εξωσχολικά βιβλία;

Σπάνια 34%

Αρκετά 33%

Πάρα πολύ 33%

Αν ναι, πόσο συχνά;

33

43

2

15

14

17

19

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Μυθιστορήματα

Εργασίες-Δοκίμια

Ποιήματα

Ιστορικά

Επιστημονικά

Κόμικς

Μυθιστορήματα

Εργασίες-Δοκίμια

Ποιήματα Ιστορικά Επιστημον

ικά Κόμικς

Τι είδους βιβλία διαβάζεις; 43 2 15 14 17 19

Τι είδους βιβλία διαβάζεις;

7

18

28

16

3

15

0 5 10 15 20 25 30

Εξώφυλλο

Οπισθόφυλλο

Τίτλος

Συγγραφέας

Διαφήμιση

Πρόταση από άλλον

Εξώφυλλο Οπισθόφυλλο Τίτλος Συγγραφέας Διαφήμιση Πρόταση από

άλλον

Κριτήριο 7 18 28 16 3 15

Με ποιο κριτήριο επιλέγεις;

37

5

15

17

7

0 5 10 15 20 25 30 35 40

βιβλιοπωλείο

βιβλιοθήκη

διαδίκτυο

γνωστοί

δώρα

βιβλιοπωλείο βιβλιοθήκη διαδίκτυο γνωστοί δώρα

Στήλη1 37 5 15 17 7

Πώς προμηθεύεσαι βιβλία;

34

0 - 1 20

31%

2 - 5 24

38%

6 - 10 13

20%

10 και πλέον 7

11%

Πόσα βιβλία διαβάζεις το χρόνο;

Χαλάρωση 17

Ψυχαγωγία 29

Μόρφωση 25

Ανάπτυξη συναισθημάτων

13

Τι πιστεύεις ότι σου προσφέρουν τα βιβλία;

NAI 36

55%

OXI 30

45%

Προσφέρεις βιβλία για δώρα;

35

NAI 23

34%

OXI 44

66%

Γνωρίζεις τι είναι η μαθηματική λογοτεχνία;

NAI 33

49% OXI 34

51%

Υπάρχει σχέση μεταξύ μαθηματικών και λογοτεχνίας;

NAI 13

19%

OXI 55

81%

Γνωρίζεις κάποιο βιβλίο μαθηματικής λογοτεχνίας;

36

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Δοξιάδης Α., «Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ», εκδόσεις

Καστανιώτη, 2001.

2. http://www.esoterica.gr/articles/sciences/medieval/medieval.htm

3. http://omakoeio.blogspot.gr/p/blog-page_24.html

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Οι χειρόγραφες εικόνες, που κοσμούν την εργασία, σχεδιάστηκαν από

μαθητές και αναπαριστούν κάποιες χαρακτηριστικές στιγμές, κατά τη

γνώμη των μαθητών, στην πλοκή του έργου.

37

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ……………………………………………………. 1

Ο ΘΕΙΟΣ ΠΕΤΡΟΣ ΚΑΙ Η ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΟΥ ΓΚΟΛΝΤΜΠΑΧ

Βιογραφικά Στοιχεία του Συγγραφέα ………………………………………... 3

Εκφραστικά Μέσα ……………………………………………………………. 4

Πρωταγωνιστές του βιβλίου ………………………………………………….. 4

Περίληψη του βιβλίου ………………………………………………………… 5

Χαρακτηρισμός του θείου Πέτρου σε τρία στάδια …………………………… 7

Διατύπωση του Κεντρικού Μαθηματικού Προβλήματος …………………… 9

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ (Βότσαλα και Αριθμοί) …………………………………………… 13

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΜΕΣΑΙΩΝΑ …………………………………………… 15

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΚΑΚΙ ……………………………………………………… 17

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΟΥ ΑΝΑΦΕΡΟΝΤΑΙ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ……………… 19

ΕΡΕΥΝΑ ΜΕ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Σκοπός και στόχος της έρευνας ……………………………………………... 27

Ερωτηματολόγιο …………………………………………………………….. 29

Παρουσίαση Αποτελεσμάτων ……………………………………………….. 31

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ……………………………………………………………………. 36