. 1 Τρίγωναusers.sch.gr/kpratsoli/images/documents/alyk/epan_trigona_st.pdf · 1.3...

9
. . . 1 Τρίγωνα 1.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 1.1.1 Κύρια στοιχεία τριγώνου Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Συγκρίνοντας τις πλευρές του τριγώνου μεταξύ τους προκύπτουν τα ακόλουθα τρία είδη τριγώνων: . . Σκαληνό λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του άνισες. Ισοσκελές λέγεται το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές του ίσες. α. Το σημείο τομής των ίσων πλευρών του λέγεται κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου. β. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση. Ισοπλευρο λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Αν εξετάσουμε ένα τρίγωνο ως προς τις γωνίες του θα προκύψουν τα ακόλουθα τρία είδη τριγώνων: . . Οξυγώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες του οξείες. Ορθογώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει μία ορθή γωνία. • Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα. Αμβλυγώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει μία αμβλεία γωνία. 1.1.2 Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου . . . Διάμεσος . Διάμεσος ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. . . . Διχοτόμος . Διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, από την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά. . . . Ύψος . Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. http://users.sch.gr/kpratsoli 1 Το Μήλο

Transcript of . 1 Τρίγωναusers.sch.gr/kpratsoli/images/documents/alyk/epan_trigona_st.pdf · 1.3...

Page 1: . 1 Τρίγωναusers.sch.gr/kpratsoli/images/documents/alyk/epan_trigona_st.pdf · 1.3 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.. Πόρισμα

1 Τρίγωνα11 Στοιχεία και είδη τριγώνων

111 Κύρια στοιχεία τριγώνου

Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου Συγκρίνοντας τιςπλευρές του τριγώνου μεταξύ τους προκύπτουν τα ακόλουθα τρία είδη τριγώνων

bull Σκαληνό λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του άνισες

bull Ισοσκελές λέγεται το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές του ίσες

α Το σημείο τομής των ίσων πλευρών του λέγεται κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου

β Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείταιβάση

bull Ισοπλευρο λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες

Αν εξετάσουμε ένα τρίγωνο ως προς τις γωνίες του θα προκύψουν τα ακόλουθα τρία είδη τριγώνων

bull Οξυγώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες του οξείες

bull Ορθογώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει μία ορθή γωνία

bull Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα

bull Αμβλυγώνιο λέγεται το τρίγωνο που έχει μία αμβλεία γωνία

112 Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου

Διάμεσος

Διάμεσος ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου μετο μέσο της απέναντι πλευράς

Διχοτόμος

Διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου της γωνίαςαπό την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά

Ύψος

Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρεται από μια κορυφή προς τηνευθεία της απέναντι πλευράς

httpusersschgrkpratsoli 1 Το Μήλο

12 Κριτήρια ισότητας τριγώνωνΣτην ενότητα αυτή θα δώσουμε προτάσεις που θα μας εξασφαλίζουν την ισότητα δύο τριγώνων από

την ισότητα τριών μόνο κατάλληλων στοιχείων τους

1ο Κριτήριο (ΠΓΠ)

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσεςτότε είναι ίσα

2ο Κριτήριο (ΓΠΓ)

Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία τότεείναι ίσα

3ο Κριτήριο (ΠΠΠ)

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε τα τρίγωνα είναι ίσα

121 Πορίσματα

Πόρισμα

Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσεςΑπόδειξη

Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε τη διχο-τόμο του ΑΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αυτά έχουνΑΔΒ ΑΔΓΑΒ=ΑΓΑΔ κοινή11140241198601113568 =11140241198601113569

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα

υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα οπότε 1114022119861 = 1114022Γ

Πόρισμα

Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες

httpusersschgrkpratsoli 2 Το Μήλο

Πόρισμα

Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι διάμεσος και ύψος

ΑπόδειξηΘεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε τη διχο-τόμο του ΑΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αυτά έχουνΑΔΒ ΑΔΓΑΒ=ΑΓΑΔ κοινή11140241198601113568 = 11140241198601113569

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα

υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα οπότε 119861Δ = ΔΓ που σημαίνει

ότι η ΑΔ είναι διάμεσος και 1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569 Έχουμε ότι1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569

1114024Δ1113568 +1114024Δ1113569 = 180∘⎫⎪⎬⎪⎭⟹

1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569 = 90∘ Επομένως το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου

Πόρισμα

Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση του είναι διχοτόμος και ύψος

ΑπόδειξηΘεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμετη διάμεσο ΑΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ

Αυτά έχουν

ΑΔΒ ΑΔΓΑΒ=ΑΓΑΔ κοινήΒΔ=ΔΓ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΠΠ⟹ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι

ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους

ίσα οπότε

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

11140241198601113568 = 11140241198601113569 που σημαίνει ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της 1114023119860και1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569

Έχουμε ότι1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569

1114024Δ1113568 +1114024Δ1113569 = 180∘⎫⎪⎬⎪⎭⟹ 1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569 = 90∘ Επομένως το ΑΔ

είναι ύψος του τριγώνου

httpusersschgrkpratsoli 3 Το Μήλο

Πόρισμα

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του

Απόδειξη

Έστω ε η μεσοκάθετος ενός τμήματος ΑΒ και Μ ένα ση-μείο της Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΚΑ και ΜΚΒ Αυτά έχουν

ΜΚΑ ΜΚΒΑΚ=ΚΒΜΚ κοινή

1114024Κ1113568 = 1114024Κ1113569 = 90∘

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και

τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒ

Πόρισμα

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ανήκει στη μεσοκά-θετό τουΑπόδειξη

Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Μ ένα σημείο ώστε ΜΑ=ΜΒ και Κ τομέσο του ΑΒ Τότε το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές και η ΜΚ είναιδιάμεσός του Όμως γνωρίζουμε ότι σε ισοσκελές τρίγωνο η διάμε-σος που αντιστοιχεί στη βάση είναι και ύψος Έχουμε λοιπόν ότι

ΚΑ=ΚΒκαι

ΜΚ ⟂ ΑΒ

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⟹ Συνεπώς η ΜΚ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ

H μεσοκάθετος ως γεωμετρικός τόπος

Η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τό-πος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα τουτμήματος

httpusersschgrkpratsoli 4 Το Μήλο

Πόρισμα

Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα τότε και οι χορδές τους είναι ίσεςΑπόδειξη

Έστω119860119861 και

ΓΔ δύο ίσα τόξα ενός κύκλου (Ορ) Συγκρίνουμε τα

τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ Αυτά έχουν

ΑΟΒ ΓΟΔΑΟ=ΟΓ=ρΟΒ=ΟΔ=ρΑ1114023ΟΒ = Γ1114023ΟΔ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΑΒ=ΓΔ

Πόρισμα

Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μικρότερων του ημικυκλίου είναι ίσες τότε και τατόξα είναι ίσαΑπόδειξη

Έστω δύο τόξα119860119861 και

ΓΔ ενός κύκλου (Ορ) μικρότερα του ημι-

κυκλίου που έχουν τις χορδές τους ίσες δηλαδή ΑΒ=ΓΔ Συγκρίνουμε

τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ Αυτά έχουν

ΑΟΒ ΓΟΔΑΟ=ΟΓ=ρΟΒ=ΟΔ=ρΑΒ=ΓΔ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΠΠ⟹ τα τρίγωνα

είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα

οπότε Α1114023ΟΒ = Γ1114023ΟΔ οπότε119860119861 =

ΓΔ

Πόρισμα

Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μεγαλύτερων του ημικυκλίου είναι ίσες τότε και τα τόξαείναι ίσα

httpusersschgrkpratsoli 5 Το Μήλο

13 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Πόρισμα του θεωρήματος ΠΓΠ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα

Θεώρημα

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μίαπρος μία τότε είναι ίσα

Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα δύο πλευρών των ορθογωνίωντριγώνων Έτσι αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο

ΣυνοπτικάΚριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο ομόλογες πλευρέςτους ίσες μία προς μία

Πόρισμα του θεωρήματος ΓΠΓ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνίαίσες μία προς μία τότε είναι ίσα

Θεώρημα

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προςμία τότε είναι ίσα

Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα μίας πλευράς και μιας οξείαςγωνίας των ορθογωνίων τριγώνων Έτσι αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο

ΣυνοπτικάΚριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μία αντίστοιχη πλευράκαι την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία

httpusersschgrkpratsoli 6 Το Μήλο

131 Πορίσματα

Πόρισμα

Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος τηςγωνίας της κορυφήςΑπόδειξη

Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε το ύψος ΑΔΤα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ κοινήΓνωρίζουμε ότι αν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσακαι μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία τότε εί-ναι ίσα Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι ίσα και επομέ-νως έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα Θα

ισχύειΒΔ=ΓΔ δηλαδή η ΑΔ είναι διάμεσος1114024Α1113568 = 1114024Α1113569 δηλαδή η ΑΔ είναι διχοτόμος

Συγκεντρωτικά οι διότητες του ισοσκελούς τριγώνου που έχουμε αναφέρει

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνοbull Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες

bull Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος

bull Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι διχοτόμος και ύψος

bull Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής

Πόρισμα

Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τηχορδή και το αντίστοιχο τόξο τηςΑπόδειξηΘεωρούμε έναν κύκλο (Ορ) και μια χορδή του ΑΒ Θεωρούμε τηνκάθετη ΟΚ της ΑΒ που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ Στο ισο-σκελές τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ=ΟΒ) η ΟΚ είναι ύψος Γνωρίζουμε ότι τούψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσοςκαι διχοτόμος της γωνίας της κορυφής δηλαδή το Κ είναι μέσο του

ΑΒ και 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 Αφού 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 προκύπτει ότιΑΜ =

119872119861

httpusersschgrkpratsoli 7 Το Μήλο

Θεώρημα

Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσαΑπόδειξηΈστω κύκλος (Ορ) Οι ΑΒ ΓΔ είναι χορδές αυτού του κύκλου και ΟΚΟΛ τα αντίστοιχα αποστήματά τους Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒκαι ΟΓΔ είναι ισοσκελή με ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=ΟΔ=ρ Τα ύψη τους επομένωςθα είναι και διάμεσοι δηλαδή

ΑΚ = 111368211136831113569 = ΚΒ και ΛΓ = 11136541113655

1113569 = ΛΔ ()

rArr Έστω ΑΒ=ΓΔ=λ Θα αποδείξουμε ότι ΟΚ=ΟΛ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΑΚ = 11136821113683

1113569 = 1205821113569 = 11136541113655

1113569 = ΓΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΟΚ=ΟΛlArr Έστω ΟΚ=ΟΛ Θα αποδείξουμε ότι ΑΒ=ΓΔ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΟΚ = ΟΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρίγωνα εί-

ναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσαοπότε ΚΑ=ΛΓ δηλαδή () 11136821113683

1113569 = 111365411136551113569 ⟺ 119860Β = ΓΔ

httpusersschgrkpratsoli 8 Το Μήλο

Θεώρημα

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφακάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμουΑπόδειξη

rArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ Θααποδείξουμε ότι ΜΑ=ΜΒΦέρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΜ

και ΒΟΜ έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒlArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας Φέ-ρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 και υποθέτουμε ότι ΜΑ=ΜΒ Θα απο-δείξουμε ότι Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΜΟΒ

Αυτά έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜΑ = ΜΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρί-

γωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τουςίσα άρα Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ

Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι

Η διχοτόμος γωνίας ως γεωμετρικός τόπος

Διχοτόμος γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίαςπου ισαπέχουν από τις πλευρές της

httpusersschgrkpratsoli 9 Το Μήλο

Page 2: . 1 Τρίγωναusers.sch.gr/kpratsoli/images/documents/alyk/epan_trigona_st.pdf · 1.3 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.. Πόρισμα

12 Κριτήρια ισότητας τριγώνωνΣτην ενότητα αυτή θα δώσουμε προτάσεις που θα μας εξασφαλίζουν την ισότητα δύο τριγώνων από

την ισότητα τριών μόνο κατάλληλων στοιχείων τους

1ο Κριτήριο (ΠΓΠ)

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσεςτότε είναι ίσα

2ο Κριτήριο (ΓΠΓ)

Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία τότεείναι ίσα

3ο Κριτήριο (ΠΠΠ)

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε τα τρίγωνα είναι ίσα

121 Πορίσματα

Πόρισμα

Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσεςΑπόδειξη

Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε τη διχο-τόμο του ΑΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αυτά έχουνΑΔΒ ΑΔΓΑΒ=ΑΓΑΔ κοινή11140241198601113568 =11140241198601113569

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα

υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα οπότε 1114022119861 = 1114022Γ

Πόρισμα

Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες

httpusersschgrkpratsoli 2 Το Μήλο

Πόρισμα

Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι διάμεσος και ύψος

ΑπόδειξηΘεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε τη διχο-τόμο του ΑΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αυτά έχουνΑΔΒ ΑΔΓΑΒ=ΑΓΑΔ κοινή11140241198601113568 = 11140241198601113569

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα

υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα οπότε 119861Δ = ΔΓ που σημαίνει

ότι η ΑΔ είναι διάμεσος και 1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569 Έχουμε ότι1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569

1114024Δ1113568 +1114024Δ1113569 = 180∘⎫⎪⎬⎪⎭⟹

1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569 = 90∘ Επομένως το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου

Πόρισμα

Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση του είναι διχοτόμος και ύψος

ΑπόδειξηΘεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμετη διάμεσο ΑΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ

Αυτά έχουν

ΑΔΒ ΑΔΓΑΒ=ΑΓΑΔ κοινήΒΔ=ΔΓ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΠΠ⟹ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι

ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους

ίσα οπότε

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

11140241198601113568 = 11140241198601113569 που σημαίνει ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της 1114023119860και1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569

Έχουμε ότι1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569

1114024Δ1113568 +1114024Δ1113569 = 180∘⎫⎪⎬⎪⎭⟹ 1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569 = 90∘ Επομένως το ΑΔ

είναι ύψος του τριγώνου

httpusersschgrkpratsoli 3 Το Μήλο

Πόρισμα

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του

Απόδειξη

Έστω ε η μεσοκάθετος ενός τμήματος ΑΒ και Μ ένα ση-μείο της Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΚΑ και ΜΚΒ Αυτά έχουν

ΜΚΑ ΜΚΒΑΚ=ΚΒΜΚ κοινή

1114024Κ1113568 = 1114024Κ1113569 = 90∘

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και

τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒ

Πόρισμα

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ανήκει στη μεσοκά-θετό τουΑπόδειξη

Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Μ ένα σημείο ώστε ΜΑ=ΜΒ και Κ τομέσο του ΑΒ Τότε το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές και η ΜΚ είναιδιάμεσός του Όμως γνωρίζουμε ότι σε ισοσκελές τρίγωνο η διάμε-σος που αντιστοιχεί στη βάση είναι και ύψος Έχουμε λοιπόν ότι

ΚΑ=ΚΒκαι

ΜΚ ⟂ ΑΒ

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⟹ Συνεπώς η ΜΚ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ

H μεσοκάθετος ως γεωμετρικός τόπος

Η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τό-πος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα τουτμήματος

httpusersschgrkpratsoli 4 Το Μήλο

Πόρισμα

Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα τότε και οι χορδές τους είναι ίσεςΑπόδειξη

Έστω119860119861 και

ΓΔ δύο ίσα τόξα ενός κύκλου (Ορ) Συγκρίνουμε τα

τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ Αυτά έχουν

ΑΟΒ ΓΟΔΑΟ=ΟΓ=ρΟΒ=ΟΔ=ρΑ1114023ΟΒ = Γ1114023ΟΔ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΑΒ=ΓΔ

Πόρισμα

Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μικρότερων του ημικυκλίου είναι ίσες τότε και τατόξα είναι ίσαΑπόδειξη

Έστω δύο τόξα119860119861 και

ΓΔ ενός κύκλου (Ορ) μικρότερα του ημι-

κυκλίου που έχουν τις χορδές τους ίσες δηλαδή ΑΒ=ΓΔ Συγκρίνουμε

τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ Αυτά έχουν

ΑΟΒ ΓΟΔΑΟ=ΟΓ=ρΟΒ=ΟΔ=ρΑΒ=ΓΔ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΠΠ⟹ τα τρίγωνα

είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα

οπότε Α1114023ΟΒ = Γ1114023ΟΔ οπότε119860119861 =

ΓΔ

Πόρισμα

Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μεγαλύτερων του ημικυκλίου είναι ίσες τότε και τα τόξαείναι ίσα

httpusersschgrkpratsoli 5 Το Μήλο

13 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Πόρισμα του θεωρήματος ΠΓΠ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα

Θεώρημα

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μίαπρος μία τότε είναι ίσα

Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα δύο πλευρών των ορθογωνίωντριγώνων Έτσι αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο

ΣυνοπτικάΚριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο ομόλογες πλευρέςτους ίσες μία προς μία

Πόρισμα του θεωρήματος ΓΠΓ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνίαίσες μία προς μία τότε είναι ίσα

Θεώρημα

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προςμία τότε είναι ίσα

Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα μίας πλευράς και μιας οξείαςγωνίας των ορθογωνίων τριγώνων Έτσι αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο

ΣυνοπτικάΚριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μία αντίστοιχη πλευράκαι την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία

httpusersschgrkpratsoli 6 Το Μήλο

131 Πορίσματα

Πόρισμα

Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος τηςγωνίας της κορυφήςΑπόδειξη

Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε το ύψος ΑΔΤα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ κοινήΓνωρίζουμε ότι αν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσακαι μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία τότε εί-ναι ίσα Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι ίσα και επομέ-νως έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα Θα

ισχύειΒΔ=ΓΔ δηλαδή η ΑΔ είναι διάμεσος1114024Α1113568 = 1114024Α1113569 δηλαδή η ΑΔ είναι διχοτόμος

Συγκεντρωτικά οι διότητες του ισοσκελούς τριγώνου που έχουμε αναφέρει

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνοbull Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες

bull Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος

bull Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι διχοτόμος και ύψος

bull Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής

Πόρισμα

Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τηχορδή και το αντίστοιχο τόξο τηςΑπόδειξηΘεωρούμε έναν κύκλο (Ορ) και μια χορδή του ΑΒ Θεωρούμε τηνκάθετη ΟΚ της ΑΒ που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ Στο ισο-σκελές τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ=ΟΒ) η ΟΚ είναι ύψος Γνωρίζουμε ότι τούψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσοςκαι διχοτόμος της γωνίας της κορυφής δηλαδή το Κ είναι μέσο του

ΑΒ και 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 Αφού 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 προκύπτει ότιΑΜ =

119872119861

httpusersschgrkpratsoli 7 Το Μήλο

Θεώρημα

Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσαΑπόδειξηΈστω κύκλος (Ορ) Οι ΑΒ ΓΔ είναι χορδές αυτού του κύκλου και ΟΚΟΛ τα αντίστοιχα αποστήματά τους Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒκαι ΟΓΔ είναι ισοσκελή με ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=ΟΔ=ρ Τα ύψη τους επομένωςθα είναι και διάμεσοι δηλαδή

ΑΚ = 111368211136831113569 = ΚΒ και ΛΓ = 11136541113655

1113569 = ΛΔ ()

rArr Έστω ΑΒ=ΓΔ=λ Θα αποδείξουμε ότι ΟΚ=ΟΛ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΑΚ = 11136821113683

1113569 = 1205821113569 = 11136541113655

1113569 = ΓΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΟΚ=ΟΛlArr Έστω ΟΚ=ΟΛ Θα αποδείξουμε ότι ΑΒ=ΓΔ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΟΚ = ΟΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρίγωνα εί-

ναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσαοπότε ΚΑ=ΛΓ δηλαδή () 11136821113683

1113569 = 111365411136551113569 ⟺ 119860Β = ΓΔ

httpusersschgrkpratsoli 8 Το Μήλο

Θεώρημα

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφακάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμουΑπόδειξη

rArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ Θααποδείξουμε ότι ΜΑ=ΜΒΦέρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΜ

και ΒΟΜ έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒlArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας Φέ-ρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 και υποθέτουμε ότι ΜΑ=ΜΒ Θα απο-δείξουμε ότι Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΜΟΒ

Αυτά έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜΑ = ΜΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρί-

γωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τουςίσα άρα Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ

Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι

Η διχοτόμος γωνίας ως γεωμετρικός τόπος

Διχοτόμος γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίαςπου ισαπέχουν από τις πλευρές της

httpusersschgrkpratsoli 9 Το Μήλο

Page 3: . 1 Τρίγωναusers.sch.gr/kpratsoli/images/documents/alyk/epan_trigona_st.pdf · 1.3 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.. Πόρισμα

Πόρισμα

Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι διάμεσος και ύψος

ΑπόδειξηΘεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε τη διχο-τόμο του ΑΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ Αυτά έχουνΑΔΒ ΑΔΓΑΒ=ΑΓΑΔ κοινή11140241198601113568 = 11140241198601113569

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα

υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα οπότε 119861Δ = ΔΓ που σημαίνει

ότι η ΑΔ είναι διάμεσος και 1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569 Έχουμε ότι1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569

1114024Δ1113568 +1114024Δ1113569 = 180∘⎫⎪⎬⎪⎭⟹

1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569 = 90∘ Επομένως το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου

Πόρισμα

Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση του είναι διχοτόμος και ύψος

ΑπόδειξηΘεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμετη διάμεσο ΑΔ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ

Αυτά έχουν

ΑΔΒ ΑΔΓΑΒ=ΑΓΑΔ κοινήΒΔ=ΔΓ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΠΠ⟹ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι

ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους

ίσα οπότε

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

11140241198601113568 = 11140241198601113569 που σημαίνει ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της 1114023119860και1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569

Έχουμε ότι1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569

1114024Δ1113568 +1114024Δ1113569 = 180∘⎫⎪⎬⎪⎭⟹ 1114024Δ1113568 = 1114024Δ1113569 = 90∘ Επομένως το ΑΔ

είναι ύψος του τριγώνου

httpusersschgrkpratsoli 3 Το Μήλο

Πόρισμα

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του

Απόδειξη

Έστω ε η μεσοκάθετος ενός τμήματος ΑΒ και Μ ένα ση-μείο της Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΚΑ και ΜΚΒ Αυτά έχουν

ΜΚΑ ΜΚΒΑΚ=ΚΒΜΚ κοινή

1114024Κ1113568 = 1114024Κ1113569 = 90∘

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και

τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒ

Πόρισμα

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ανήκει στη μεσοκά-θετό τουΑπόδειξη

Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Μ ένα σημείο ώστε ΜΑ=ΜΒ και Κ τομέσο του ΑΒ Τότε το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές και η ΜΚ είναιδιάμεσός του Όμως γνωρίζουμε ότι σε ισοσκελές τρίγωνο η διάμε-σος που αντιστοιχεί στη βάση είναι και ύψος Έχουμε λοιπόν ότι

ΚΑ=ΚΒκαι

ΜΚ ⟂ ΑΒ

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⟹ Συνεπώς η ΜΚ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ

H μεσοκάθετος ως γεωμετρικός τόπος

Η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τό-πος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα τουτμήματος

httpusersschgrkpratsoli 4 Το Μήλο

Πόρισμα

Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα τότε και οι χορδές τους είναι ίσεςΑπόδειξη

Έστω119860119861 και

ΓΔ δύο ίσα τόξα ενός κύκλου (Ορ) Συγκρίνουμε τα

τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ Αυτά έχουν

ΑΟΒ ΓΟΔΑΟ=ΟΓ=ρΟΒ=ΟΔ=ρΑ1114023ΟΒ = Γ1114023ΟΔ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΑΒ=ΓΔ

Πόρισμα

Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μικρότερων του ημικυκλίου είναι ίσες τότε και τατόξα είναι ίσαΑπόδειξη

Έστω δύο τόξα119860119861 και

ΓΔ ενός κύκλου (Ορ) μικρότερα του ημι-

κυκλίου που έχουν τις χορδές τους ίσες δηλαδή ΑΒ=ΓΔ Συγκρίνουμε

τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ Αυτά έχουν

ΑΟΒ ΓΟΔΑΟ=ΟΓ=ρΟΒ=ΟΔ=ρΑΒ=ΓΔ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΠΠ⟹ τα τρίγωνα

είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα

οπότε Α1114023ΟΒ = Γ1114023ΟΔ οπότε119860119861 =

ΓΔ

Πόρισμα

Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μεγαλύτερων του ημικυκλίου είναι ίσες τότε και τα τόξαείναι ίσα

httpusersschgrkpratsoli 5 Το Μήλο

13 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Πόρισμα του θεωρήματος ΠΓΠ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα

Θεώρημα

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μίαπρος μία τότε είναι ίσα

Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα δύο πλευρών των ορθογωνίωντριγώνων Έτσι αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο

ΣυνοπτικάΚριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο ομόλογες πλευρέςτους ίσες μία προς μία

Πόρισμα του θεωρήματος ΓΠΓ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνίαίσες μία προς μία τότε είναι ίσα

Θεώρημα

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προςμία τότε είναι ίσα

Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα μίας πλευράς και μιας οξείαςγωνίας των ορθογωνίων τριγώνων Έτσι αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο

ΣυνοπτικάΚριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μία αντίστοιχη πλευράκαι την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία

httpusersschgrkpratsoli 6 Το Μήλο

131 Πορίσματα

Πόρισμα

Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος τηςγωνίας της κορυφήςΑπόδειξη

Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε το ύψος ΑΔΤα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ κοινήΓνωρίζουμε ότι αν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσακαι μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία τότε εί-ναι ίσα Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι ίσα και επομέ-νως έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα Θα

ισχύειΒΔ=ΓΔ δηλαδή η ΑΔ είναι διάμεσος1114024Α1113568 = 1114024Α1113569 δηλαδή η ΑΔ είναι διχοτόμος

Συγκεντρωτικά οι διότητες του ισοσκελούς τριγώνου που έχουμε αναφέρει

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνοbull Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες

bull Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος

bull Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι διχοτόμος και ύψος

bull Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής

Πόρισμα

Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τηχορδή και το αντίστοιχο τόξο τηςΑπόδειξηΘεωρούμε έναν κύκλο (Ορ) και μια χορδή του ΑΒ Θεωρούμε τηνκάθετη ΟΚ της ΑΒ που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ Στο ισο-σκελές τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ=ΟΒ) η ΟΚ είναι ύψος Γνωρίζουμε ότι τούψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσοςκαι διχοτόμος της γωνίας της κορυφής δηλαδή το Κ είναι μέσο του

ΑΒ και 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 Αφού 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 προκύπτει ότιΑΜ =

119872119861

httpusersschgrkpratsoli 7 Το Μήλο

Θεώρημα

Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσαΑπόδειξηΈστω κύκλος (Ορ) Οι ΑΒ ΓΔ είναι χορδές αυτού του κύκλου και ΟΚΟΛ τα αντίστοιχα αποστήματά τους Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒκαι ΟΓΔ είναι ισοσκελή με ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=ΟΔ=ρ Τα ύψη τους επομένωςθα είναι και διάμεσοι δηλαδή

ΑΚ = 111368211136831113569 = ΚΒ και ΛΓ = 11136541113655

1113569 = ΛΔ ()

rArr Έστω ΑΒ=ΓΔ=λ Θα αποδείξουμε ότι ΟΚ=ΟΛ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΑΚ = 11136821113683

1113569 = 1205821113569 = 11136541113655

1113569 = ΓΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΟΚ=ΟΛlArr Έστω ΟΚ=ΟΛ Θα αποδείξουμε ότι ΑΒ=ΓΔ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΟΚ = ΟΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρίγωνα εί-

ναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσαοπότε ΚΑ=ΛΓ δηλαδή () 11136821113683

1113569 = 111365411136551113569 ⟺ 119860Β = ΓΔ

httpusersschgrkpratsoli 8 Το Μήλο

Θεώρημα

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφακάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμουΑπόδειξη

rArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ Θααποδείξουμε ότι ΜΑ=ΜΒΦέρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΜ

και ΒΟΜ έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒlArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας Φέ-ρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 και υποθέτουμε ότι ΜΑ=ΜΒ Θα απο-δείξουμε ότι Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΜΟΒ

Αυτά έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜΑ = ΜΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρί-

γωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τουςίσα άρα Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ

Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι

Η διχοτόμος γωνίας ως γεωμετρικός τόπος

Διχοτόμος γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίαςπου ισαπέχουν από τις πλευρές της

httpusersschgrkpratsoli 9 Το Μήλο

Page 4: . 1 Τρίγωναusers.sch.gr/kpratsoli/images/documents/alyk/epan_trigona_st.pdf · 1.3 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.. Πόρισμα

Πόρισμα

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του

Απόδειξη

Έστω ε η μεσοκάθετος ενός τμήματος ΑΒ και Μ ένα ση-μείο της Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΚΑ και ΜΚΒ Αυτά έχουν

ΜΚΑ ΜΚΒΑΚ=ΚΒΜΚ κοινή

1114024Κ1113568 = 1114024Κ1113569 = 90∘

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και

τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒ

Πόρισμα

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ανήκει στη μεσοκά-θετό τουΑπόδειξη

Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Μ ένα σημείο ώστε ΜΑ=ΜΒ και Κ τομέσο του ΑΒ Τότε το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές και η ΜΚ είναιδιάμεσός του Όμως γνωρίζουμε ότι σε ισοσκελές τρίγωνο η διάμε-σος που αντιστοιχεί στη βάση είναι και ύψος Έχουμε λοιπόν ότι

ΚΑ=ΚΒκαι

ΜΚ ⟂ ΑΒ

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⟹ Συνεπώς η ΜΚ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ

H μεσοκάθετος ως γεωμετρικός τόπος

Η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τό-πος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα τουτμήματος

httpusersschgrkpratsoli 4 Το Μήλο

Πόρισμα

Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα τότε και οι χορδές τους είναι ίσεςΑπόδειξη

Έστω119860119861 και

ΓΔ δύο ίσα τόξα ενός κύκλου (Ορ) Συγκρίνουμε τα

τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ Αυτά έχουν

ΑΟΒ ΓΟΔΑΟ=ΟΓ=ρΟΒ=ΟΔ=ρΑ1114023ΟΒ = Γ1114023ΟΔ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΑΒ=ΓΔ

Πόρισμα

Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μικρότερων του ημικυκλίου είναι ίσες τότε και τατόξα είναι ίσαΑπόδειξη

Έστω δύο τόξα119860119861 και

ΓΔ ενός κύκλου (Ορ) μικρότερα του ημι-

κυκλίου που έχουν τις χορδές τους ίσες δηλαδή ΑΒ=ΓΔ Συγκρίνουμε

τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ Αυτά έχουν

ΑΟΒ ΓΟΔΑΟ=ΟΓ=ρΟΒ=ΟΔ=ρΑΒ=ΓΔ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΠΠ⟹ τα τρίγωνα

είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα

οπότε Α1114023ΟΒ = Γ1114023ΟΔ οπότε119860119861 =

ΓΔ

Πόρισμα

Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μεγαλύτερων του ημικυκλίου είναι ίσες τότε και τα τόξαείναι ίσα

httpusersschgrkpratsoli 5 Το Μήλο

13 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Πόρισμα του θεωρήματος ΠΓΠ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα

Θεώρημα

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μίαπρος μία τότε είναι ίσα

Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα δύο πλευρών των ορθογωνίωντριγώνων Έτσι αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο

ΣυνοπτικάΚριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο ομόλογες πλευρέςτους ίσες μία προς μία

Πόρισμα του θεωρήματος ΓΠΓ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνίαίσες μία προς μία τότε είναι ίσα

Θεώρημα

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προςμία τότε είναι ίσα

Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα μίας πλευράς και μιας οξείαςγωνίας των ορθογωνίων τριγώνων Έτσι αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο

ΣυνοπτικάΚριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μία αντίστοιχη πλευράκαι την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία

httpusersschgrkpratsoli 6 Το Μήλο

131 Πορίσματα

Πόρισμα

Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος τηςγωνίας της κορυφήςΑπόδειξη

Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε το ύψος ΑΔΤα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ κοινήΓνωρίζουμε ότι αν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσακαι μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία τότε εί-ναι ίσα Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι ίσα και επομέ-νως έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα Θα

ισχύειΒΔ=ΓΔ δηλαδή η ΑΔ είναι διάμεσος1114024Α1113568 = 1114024Α1113569 δηλαδή η ΑΔ είναι διχοτόμος

Συγκεντρωτικά οι διότητες του ισοσκελούς τριγώνου που έχουμε αναφέρει

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνοbull Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες

bull Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος

bull Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι διχοτόμος και ύψος

bull Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής

Πόρισμα

Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τηχορδή και το αντίστοιχο τόξο τηςΑπόδειξηΘεωρούμε έναν κύκλο (Ορ) και μια χορδή του ΑΒ Θεωρούμε τηνκάθετη ΟΚ της ΑΒ που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ Στο ισο-σκελές τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ=ΟΒ) η ΟΚ είναι ύψος Γνωρίζουμε ότι τούψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσοςκαι διχοτόμος της γωνίας της κορυφής δηλαδή το Κ είναι μέσο του

ΑΒ και 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 Αφού 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 προκύπτει ότιΑΜ =

119872119861

httpusersschgrkpratsoli 7 Το Μήλο

Θεώρημα

Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσαΑπόδειξηΈστω κύκλος (Ορ) Οι ΑΒ ΓΔ είναι χορδές αυτού του κύκλου και ΟΚΟΛ τα αντίστοιχα αποστήματά τους Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒκαι ΟΓΔ είναι ισοσκελή με ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=ΟΔ=ρ Τα ύψη τους επομένωςθα είναι και διάμεσοι δηλαδή

ΑΚ = 111368211136831113569 = ΚΒ και ΛΓ = 11136541113655

1113569 = ΛΔ ()

rArr Έστω ΑΒ=ΓΔ=λ Θα αποδείξουμε ότι ΟΚ=ΟΛ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΑΚ = 11136821113683

1113569 = 1205821113569 = 11136541113655

1113569 = ΓΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΟΚ=ΟΛlArr Έστω ΟΚ=ΟΛ Θα αποδείξουμε ότι ΑΒ=ΓΔ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΟΚ = ΟΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρίγωνα εί-

ναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσαοπότε ΚΑ=ΛΓ δηλαδή () 11136821113683

1113569 = 111365411136551113569 ⟺ 119860Β = ΓΔ

httpusersschgrkpratsoli 8 Το Μήλο

Θεώρημα

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφακάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμουΑπόδειξη

rArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ Θααποδείξουμε ότι ΜΑ=ΜΒΦέρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΜ

και ΒΟΜ έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒlArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας Φέ-ρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 και υποθέτουμε ότι ΜΑ=ΜΒ Θα απο-δείξουμε ότι Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΜΟΒ

Αυτά έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜΑ = ΜΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρί-

γωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τουςίσα άρα Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ

Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι

Η διχοτόμος γωνίας ως γεωμετρικός τόπος

Διχοτόμος γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίαςπου ισαπέχουν από τις πλευρές της

httpusersschgrkpratsoli 9 Το Μήλο

Page 5: . 1 Τρίγωναusers.sch.gr/kpratsoli/images/documents/alyk/epan_trigona_st.pdf · 1.3 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.. Πόρισμα

Πόρισμα

Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα τότε και οι χορδές τους είναι ίσεςΑπόδειξη

Έστω119860119861 και

ΓΔ δύο ίσα τόξα ενός κύκλου (Ορ) Συγκρίνουμε τα

τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ Αυτά έχουν

ΑΟΒ ΓΟΔΑΟ=ΟΓ=ρΟΒ=ΟΔ=ρΑ1114023ΟΒ = Γ1114023ΟΔ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΓΠ⟹ Συνεπώς τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΑΒ=ΓΔ

Πόρισμα

Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μικρότερων του ημικυκλίου είναι ίσες τότε και τατόξα είναι ίσαΑπόδειξη

Έστω δύο τόξα119860119861 και

ΓΔ ενός κύκλου (Ορ) μικρότερα του ημι-

κυκλίου που έχουν τις χορδές τους ίσες δηλαδή ΑΒ=ΓΔ Συγκρίνουμε

τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ Αυτά έχουν

ΑΟΒ ΓΟΔΑΟ=ΟΓ=ρΟΒ=ΟΔ=ρΑΒ=ΓΔ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

ΠΠΠ⟹ τα τρίγωνα

είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα

οπότε Α1114023ΟΒ = Γ1114023ΟΔ οπότε119860119861 =

ΓΔ

Πόρισμα

Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μεγαλύτερων του ημικυκλίου είναι ίσες τότε και τα τόξαείναι ίσα

httpusersschgrkpratsoli 5 Το Μήλο

13 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Πόρισμα του θεωρήματος ΠΓΠ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα

Θεώρημα

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μίαπρος μία τότε είναι ίσα

Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα δύο πλευρών των ορθογωνίωντριγώνων Έτσι αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο

ΣυνοπτικάΚριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο ομόλογες πλευρέςτους ίσες μία προς μία

Πόρισμα του θεωρήματος ΓΠΓ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνίαίσες μία προς μία τότε είναι ίσα

Θεώρημα

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προςμία τότε είναι ίσα

Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα μίας πλευράς και μιας οξείαςγωνίας των ορθογωνίων τριγώνων Έτσι αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο

ΣυνοπτικάΚριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μία αντίστοιχη πλευράκαι την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία

httpusersschgrkpratsoli 6 Το Μήλο

131 Πορίσματα

Πόρισμα

Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος τηςγωνίας της κορυφήςΑπόδειξη

Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε το ύψος ΑΔΤα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ κοινήΓνωρίζουμε ότι αν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσακαι μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία τότε εί-ναι ίσα Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι ίσα και επομέ-νως έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα Θα

ισχύειΒΔ=ΓΔ δηλαδή η ΑΔ είναι διάμεσος1114024Α1113568 = 1114024Α1113569 δηλαδή η ΑΔ είναι διχοτόμος

Συγκεντρωτικά οι διότητες του ισοσκελούς τριγώνου που έχουμε αναφέρει

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνοbull Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες

bull Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος

bull Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι διχοτόμος και ύψος

bull Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής

Πόρισμα

Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τηχορδή και το αντίστοιχο τόξο τηςΑπόδειξηΘεωρούμε έναν κύκλο (Ορ) και μια χορδή του ΑΒ Θεωρούμε τηνκάθετη ΟΚ της ΑΒ που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ Στο ισο-σκελές τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ=ΟΒ) η ΟΚ είναι ύψος Γνωρίζουμε ότι τούψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσοςκαι διχοτόμος της γωνίας της κορυφής δηλαδή το Κ είναι μέσο του

ΑΒ και 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 Αφού 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 προκύπτει ότιΑΜ =

119872119861

httpusersschgrkpratsoli 7 Το Μήλο

Θεώρημα

Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσαΑπόδειξηΈστω κύκλος (Ορ) Οι ΑΒ ΓΔ είναι χορδές αυτού του κύκλου και ΟΚΟΛ τα αντίστοιχα αποστήματά τους Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒκαι ΟΓΔ είναι ισοσκελή με ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=ΟΔ=ρ Τα ύψη τους επομένωςθα είναι και διάμεσοι δηλαδή

ΑΚ = 111368211136831113569 = ΚΒ και ΛΓ = 11136541113655

1113569 = ΛΔ ()

rArr Έστω ΑΒ=ΓΔ=λ Θα αποδείξουμε ότι ΟΚ=ΟΛ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΑΚ = 11136821113683

1113569 = 1205821113569 = 11136541113655

1113569 = ΓΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΟΚ=ΟΛlArr Έστω ΟΚ=ΟΛ Θα αποδείξουμε ότι ΑΒ=ΓΔ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΟΚ = ΟΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρίγωνα εί-

ναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσαοπότε ΚΑ=ΛΓ δηλαδή () 11136821113683

1113569 = 111365411136551113569 ⟺ 119860Β = ΓΔ

httpusersschgrkpratsoli 8 Το Μήλο

Θεώρημα

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφακάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμουΑπόδειξη

rArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ Θααποδείξουμε ότι ΜΑ=ΜΒΦέρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΜ

και ΒΟΜ έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒlArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας Φέ-ρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 και υποθέτουμε ότι ΜΑ=ΜΒ Θα απο-δείξουμε ότι Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΜΟΒ

Αυτά έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜΑ = ΜΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρί-

γωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τουςίσα άρα Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ

Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι

Η διχοτόμος γωνίας ως γεωμετρικός τόπος

Διχοτόμος γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίαςπου ισαπέχουν από τις πλευρές της

httpusersschgrkpratsoli 9 Το Μήλο

Page 6: . 1 Τρίγωναusers.sch.gr/kpratsoli/images/documents/alyk/epan_trigona_st.pdf · 1.3 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.. Πόρισμα

13 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Πόρισμα του θεωρήματος ΠΓΠ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα

Θεώρημα

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μίαπρος μία τότε είναι ίσα

Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα δύο πλευρών των ορθογωνίωντριγώνων Έτσι αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο

ΣυνοπτικάΚριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο ομόλογες πλευρέςτους ίσες μία προς μία

Πόρισμα του θεωρήματος ΓΠΓ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνίαίσες μία προς μία τότε είναι ίσα

Θεώρημα

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προςμία τότε είναι ίσα

Παρατηρούμε ότι τα δύο προηγούμενα κριτήρια απαιτούν την ισότητα μίας πλευράς και μιας οξείαςγωνίας των ορθογωνίων τριγώνων Έτσι αυτά τα δύο συνοψίζονται στο ακόλουθο

ΣυνοπτικάΚριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μία αντίστοιχη πλευράκαι την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία

httpusersschgrkpratsoli 6 Το Μήλο

131 Πορίσματα

Πόρισμα

Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος τηςγωνίας της κορυφήςΑπόδειξη

Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε το ύψος ΑΔΤα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ κοινήΓνωρίζουμε ότι αν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσακαι μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία τότε εί-ναι ίσα Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι ίσα και επομέ-νως έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα Θα

ισχύειΒΔ=ΓΔ δηλαδή η ΑΔ είναι διάμεσος1114024Α1113568 = 1114024Α1113569 δηλαδή η ΑΔ είναι διχοτόμος

Συγκεντρωτικά οι διότητες του ισοσκελούς τριγώνου που έχουμε αναφέρει

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνοbull Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες

bull Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος

bull Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι διχοτόμος και ύψος

bull Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής

Πόρισμα

Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τηχορδή και το αντίστοιχο τόξο τηςΑπόδειξηΘεωρούμε έναν κύκλο (Ορ) και μια χορδή του ΑΒ Θεωρούμε τηνκάθετη ΟΚ της ΑΒ που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ Στο ισο-σκελές τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ=ΟΒ) η ΟΚ είναι ύψος Γνωρίζουμε ότι τούψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσοςκαι διχοτόμος της γωνίας της κορυφής δηλαδή το Κ είναι μέσο του

ΑΒ και 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 Αφού 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 προκύπτει ότιΑΜ =

119872119861

httpusersschgrkpratsoli 7 Το Μήλο

Θεώρημα

Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσαΑπόδειξηΈστω κύκλος (Ορ) Οι ΑΒ ΓΔ είναι χορδές αυτού του κύκλου και ΟΚΟΛ τα αντίστοιχα αποστήματά τους Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒκαι ΟΓΔ είναι ισοσκελή με ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=ΟΔ=ρ Τα ύψη τους επομένωςθα είναι και διάμεσοι δηλαδή

ΑΚ = 111368211136831113569 = ΚΒ και ΛΓ = 11136541113655

1113569 = ΛΔ ()

rArr Έστω ΑΒ=ΓΔ=λ Θα αποδείξουμε ότι ΟΚ=ΟΛ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΑΚ = 11136821113683

1113569 = 1205821113569 = 11136541113655

1113569 = ΓΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΟΚ=ΟΛlArr Έστω ΟΚ=ΟΛ Θα αποδείξουμε ότι ΑΒ=ΓΔ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΟΚ = ΟΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρίγωνα εί-

ναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσαοπότε ΚΑ=ΛΓ δηλαδή () 11136821113683

1113569 = 111365411136551113569 ⟺ 119860Β = ΓΔ

httpusersschgrkpratsoli 8 Το Μήλο

Θεώρημα

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφακάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμουΑπόδειξη

rArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ Θααποδείξουμε ότι ΜΑ=ΜΒΦέρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΜ

και ΒΟΜ έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒlArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας Φέ-ρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 και υποθέτουμε ότι ΜΑ=ΜΒ Θα απο-δείξουμε ότι Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΜΟΒ

Αυτά έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜΑ = ΜΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρί-

γωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τουςίσα άρα Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ

Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι

Η διχοτόμος γωνίας ως γεωμετρικός τόπος

Διχοτόμος γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίαςπου ισαπέχουν από τις πλευρές της

httpusersschgrkpratsoli 9 Το Μήλο

Page 7: . 1 Τρίγωναusers.sch.gr/kpratsoli/images/documents/alyk/epan_trigona_st.pdf · 1.3 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.. Πόρισμα

131 Πορίσματα

Πόρισμα

Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος τηςγωνίας της κορυφήςΑπόδειξη

Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ Φέρουμε το ύψος ΑΔΤα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ κοινήΓνωρίζουμε ότι αν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσακαι μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία τότε εί-ναι ίσα Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι ίσα και επομέ-νως έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα Θα

ισχύειΒΔ=ΓΔ δηλαδή η ΑΔ είναι διάμεσος1114024Α1113568 = 1114024Α1113569 δηλαδή η ΑΔ είναι διχοτόμος

Συγκεντρωτικά οι διότητες του ισοσκελούς τριγώνου που έχουμε αναφέρει

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνοbull Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες

bull Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος

bull Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι διχοτόμος και ύψος

bull Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής

Πόρισμα

Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τηχορδή και το αντίστοιχο τόξο τηςΑπόδειξηΘεωρούμε έναν κύκλο (Ορ) και μια χορδή του ΑΒ Θεωρούμε τηνκάθετη ΟΚ της ΑΒ που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ Στο ισο-σκελές τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ=ΟΒ) η ΟΚ είναι ύψος Γνωρίζουμε ότι τούψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσοςκαι διχοτόμος της γωνίας της κορυφής δηλαδή το Κ είναι μέσο του

ΑΒ και 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 Αφού 1114024Ο1113568 = 1114024Ο1113569 προκύπτει ότιΑΜ =

119872119861

httpusersschgrkpratsoli 7 Το Μήλο

Θεώρημα

Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσαΑπόδειξηΈστω κύκλος (Ορ) Οι ΑΒ ΓΔ είναι χορδές αυτού του κύκλου και ΟΚΟΛ τα αντίστοιχα αποστήματά τους Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒκαι ΟΓΔ είναι ισοσκελή με ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=ΟΔ=ρ Τα ύψη τους επομένωςθα είναι και διάμεσοι δηλαδή

ΑΚ = 111368211136831113569 = ΚΒ και ΛΓ = 11136541113655

1113569 = ΛΔ ()

rArr Έστω ΑΒ=ΓΔ=λ Θα αποδείξουμε ότι ΟΚ=ΟΛ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΑΚ = 11136821113683

1113569 = 1205821113569 = 11136541113655

1113569 = ΓΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΟΚ=ΟΛlArr Έστω ΟΚ=ΟΛ Θα αποδείξουμε ότι ΑΒ=ΓΔ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΟΚ = ΟΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρίγωνα εί-

ναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσαοπότε ΚΑ=ΛΓ δηλαδή () 11136821113683

1113569 = 111365411136551113569 ⟺ 119860Β = ΓΔ

httpusersschgrkpratsoli 8 Το Μήλο

Θεώρημα

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφακάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμουΑπόδειξη

rArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ Θααποδείξουμε ότι ΜΑ=ΜΒΦέρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΜ

και ΒΟΜ έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒlArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας Φέ-ρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 και υποθέτουμε ότι ΜΑ=ΜΒ Θα απο-δείξουμε ότι Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΜΟΒ

Αυτά έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜΑ = ΜΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρί-

γωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τουςίσα άρα Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ

Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι

Η διχοτόμος γωνίας ως γεωμετρικός τόπος

Διχοτόμος γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίαςπου ισαπέχουν από τις πλευρές της

httpusersschgrkpratsoli 9 Το Μήλο

Page 8: . 1 Τρίγωναusers.sch.gr/kpratsoli/images/documents/alyk/epan_trigona_st.pdf · 1.3 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.. Πόρισμα

Θεώρημα

Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσαΑπόδειξηΈστω κύκλος (Ορ) Οι ΑΒ ΓΔ είναι χορδές αυτού του κύκλου και ΟΚΟΛ τα αντίστοιχα αποστήματά τους Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒκαι ΟΓΔ είναι ισοσκελή με ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=ΟΔ=ρ Τα ύψη τους επομένωςθα είναι και διάμεσοι δηλαδή

ΑΚ = 111368211136831113569 = ΚΒ και ΛΓ = 11136541113655

1113569 = ΛΔ ()

rArr Έστω ΑΒ=ΓΔ=λ Θα αποδείξουμε ότι ΟΚ=ΟΛ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΑΚ = 11136821113683

1113569 = 1205821113569 = 11136541113655

1113569 = ΓΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΟΚ=ΟΛlArr Έστω ΟΚ=ΟΛ Θα αποδείξουμε ότι ΑΒ=ΓΔ Συ-γκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΚ και ΓΟΛ Αυτά έχουν

ΑΟΚ ΓΟΛ1114023Κ = 1114023Λ = 90∘

ΟA=ΟΓ=ρΟΚ = ΟΛ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρίγωνα εί-

ναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσαοπότε ΚΑ=ΛΓ δηλαδή () 11136821113683

1113569 = 111365411136551113569 ⟺ 119860Β = ΓΔ

httpusersschgrkpratsoli 8 Το Μήλο

Θεώρημα

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφακάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμουΑπόδειξη

rArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ Θααποδείξουμε ότι ΜΑ=ΜΒΦέρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΜ

και ΒΟΜ έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒlArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας Φέ-ρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 και υποθέτουμε ότι ΜΑ=ΜΒ Θα απο-δείξουμε ότι Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΜΟΒ

Αυτά έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜΑ = ΜΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρί-

γωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τουςίσα άρα Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ

Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι

Η διχοτόμος γωνίας ως γεωμετρικός τόπος

Διχοτόμος γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίαςπου ισαπέχουν από τις πλευρές της

httpusersschgrkpratsoli 9 Το Μήλο

Page 9: . 1 Τρίγωναusers.sch.gr/kpratsoli/images/documents/alyk/epan_trigona_st.pdf · 1.3 Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.. Πόρισμα

Θεώρημα

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφακάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμουΑπόδειξη

rArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ Θααποδείξουμε ότι ΜΑ=ΜΒΦέρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΜ

και ΒΟΜ έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα

τρίγωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχείατους ίσα οπότε ΜΑ=ΜΒlArr Έστω μια γωνία 1199091114023119874119910 και Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας Φέ-ρουμε ΜΑ ⟂ 119874119909 και ΜΒ ⟂ 119874119910 και υποθέτουμε ότι ΜΑ=ΜΒ Θα απο-δείξουμε ότι Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΜΟΒ

Αυτά έχουν

ΑΟΜ ΒΟΜ1114023Α = 1114022Β = 90∘

ΟΜ κοινήΜΑ = ΜΒ

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

Κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων⟹ τα τρί-

γωνα είναι ίσα και θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τουςίσα άρα Μ1114023ΟΑ = Μ1114023ΟΒ οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ

Από το παραπάνω θεώρημα συμπεραίνουμε ότι

Η διχοτόμος γωνίας ως γεωμετρικός τόπος

Διχοτόμος γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίαςπου ισαπέχουν από τις πλευρές της

httpusersschgrkpratsoli 9 Το Μήλο