ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΠΑΡΑΣΑΗ ii

Ο μιγαδικός αριθμός:

z x yi , με ,x y R (1)

μπορεί να γραφεί με τη μορφή:

iz re (2)

όπου:

2 2r x y (3.1) και arctan( )

y

x

(3.2)

Σο όρισμα δεν προσδιορίζεται μοναδικά από τον z: πχ. το

1 2 είναι επίσης όρισμα του z επειδή η πρόσθεση 2π ακτινίων

(ή 360 μοιρών) στο όρισμα αντιστοιχεί με αριστερόστροφη

περιστροφή γύρω από την αρχή των αξόνων κατά γωνία 2π. Ο

μιγαδικός αριθμός που προκύπτει έτσι είναι πάλι ο z. Γενικότερα το

όρισμα: 2k k με k είναι επίσης όρισμα του μιγαδικού z.

Ειδικότερα όμως το όρισμα με 0 ονομάζεται πρωτεύον ή

κύριο όρισμα του μιγαδικού αριθμού z.

Για το (μιγαδικό) λογάριθμο του αριθμού z, έχουμε:

ln( ) ln( ) ( 2 )z r i k , k (4)

Βλέπουμε λοιπόν ότι ο μιγαδικός λογάριθμος παίρνει άπειρες

τιμές σε αντίθεση με τον κοινό λογάριθμο που είναι μονότιμη

συνάρτηση. Η κύρια τιμή του λογαρίθμου (principal branch)

ορίζεται:

ln( ) ln( )z r i , 0 (5)

Σώρα, αν 1 2,z z είναι μιγαδικοί αριθμοί ( 1 0z ), εξ ορισμού

ισχύει:

2 2 1ln

1

z z zz e (6)

τη σχέση (6), θέτοντας: 1 2z z i , θα έχουμε:

ln 2 2 0,208ii

i i ii e e e (7)

την (7) για τον υπολογισμό του ln i , έχουμε:

2i

i e , οπότε: 2ln ln( )2

i

i e i .

Έτσι λοιπόν έχουμε:

0,208ii

ΑΤΓΟΤΣΟ 2013

ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ ΓΙΑΝΝΗ