Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α Hugh D. Young Μέρος Α -...

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΜΕΡΟΣ Α: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ

(Οι σημειώσεις βασίζονται στο βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α (Hugh

D. Young).

Sir Isaac Newton, 25 Δεκεμβρίου 1642 - 20 Μαρτίου 1727

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΟΝΤΟΜΑΡΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ

www.sciencephysics4all.weebly.com



Οι σημειώσεις αυτές απευθύνονται σε πρωτοετείς φοιτητές ΑΕΙ και ΤΕΙ που

διδάσκονται το μάθημα Φυσική Ι – Μηχανική σε πρώτο πανεπιστημιακό επίπεδο.

Είναι βασισμένες στο βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α (Hugh D. Young).

Περιέχουν σύνοψη της θεωρίας των κεφαλαίων 4 και 5, καθώς και χαρακτηριστικά

παραδείγματα με τις λύσεις τους.

Δεν αποτελούν σε καμία περίπτωση υποκατάστατο πανεπιστημιακού βιβλίου.

Αποτελούν όμως ένα χρήσιμο βοήθημα για το φοιτητή που χρειάζεται λυμένα

παραδείγματα για την περεταίρω κατανόηση της θεωρίας.

Επικοινωνία

Αν θέλετε να επικοινωνήσετε μαζί μας για οποιοδήποτε λόγο (παρατηρήσεις,

διορθώσεις κ.τ.λ) στείλτε τα μας το μήνυμά σας σε ένα από τα παρακάτω mail:

[email protected]

[email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]



ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ .................................................................. 1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ......................... 4

Επαλληλία δυνάμεων ................................................................................................. 4

Ανάλυση δύναμης σε συνιστώσες ............................................................................. 4

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ .................................................................................................... 6

ΕΝΟΤΗΤΑ Α: ΝΟΜΟI ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ................................................................... 9

Α.1) 1ος Νόμος του Νεύτωνα ..................................................................................... 9

Διατύπωση 1ου Νόμου του Νεύτωνα ..................................................................... 9

Αδράνεια ................................................................................................................ 9

Ισορροπία υλικού σημείου ..................................................................................... 9

Αδρανειακά συστήματα αναφοράς ........................................................................ 9

Α.2) 2ος Νόμος του Νεύτωνα ................................................................................... 10

Διατύπωση 2ου Νόμου του Νεύτωνα ................................................................... 10

Μάζα και βάρος ................................................................................................... 11

Αδρανειακή μάζα ................................................................................................. 12

Βαρυτική μάζα ..................................................................................................... 12

Α.3) 3ος Νόμος του Νεύτωνα ................................................................................... 13

Διατύπωση 3ου Νόμου του Νεύτωνα ................................................................... 13

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ......... 14

ΜΕΡΟΣ Α: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΩΡΙΣ ΤΡΙΒΗ......................................................... 14

1) 1ος Νόμος του Νεύτωνα - Ισορροπία υλικού σημείου ..................................... 14

2) 2ος Νόμος του Νεύτωνα ................................................................................... 18

Α.4) Δυνάμεις επαφής και τριβή .............................................................................. 27

Τριβή ολίσθησης .................................................................................................. 27

Στατική τριβή ....................................................................................................... 28


ΜΕΡΟΣ Β: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΒΗ............................................................... 30

1) 1ος Νόμος του Νεύτωνα - Ισορροπία υλικού σημείου ..................................... 30

2) 2ος Νόμος του Νεύτωνα ................................................................................... 36

Α.5) Φαινόμενα τριβής από υγρά και αέρια ............................................................ 40


ΜΕΡΟΣ Γ: ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΡΕΥΣΤΑ ......................................................................... 43

ΕΝΟΤΗΤΑ Β: ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ...................................... 47

Β.1) Κίνηση σε οριζόντιο κύκλο ............................................................................. 47

Β.2) Κίνηση σε κατακόρυφο κύκλο......................................................................... 47

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Β: ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ49



ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΥΛΙΚΟ

ΣΗΜΕΙΟ

Η έννοια της δύναμης προσδιορίζει ποσοτικά την αλληλεπίδραση μεταξύ δύο σωμάτων ή

μεταξύ ενός σώματος και του περιβάλλοντός του.

Επαλληλία δυνάμεων

Όταν ένας αριθμός δυνάμεων δυνάμεις 1F

, 2F

, 3F

,… δρουν ταυτόχρονα στο ίδιο σημείο ενός

σώματος, το αποτέλεσμα είναι ακριβώς ίδιο με το αποτέλεσμα μίας μόνο δύναμης, του

διανυσματικού αθροίσματος (δηλαδή της συνισταμένης) F

των δυνάμεων 1F

, 2F

, 3F

,…:

...321 FFFF

(Ε.1)

Ανάλυση δύναμης σε συνιστώσες

Η ανάλυση δύναμης σε δύο συνιστώσες είναι η αντίστροφη διεργασία της εύρεσης της

συνισταμένης. Στην περίπτωση αυτή μία δύναμη αναλύεται σε δύο δυνάμεις οι οποίες

επιφέρουν ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα με την αρχική δύναμη. Οι δύο δυνάμεις στις οποίες

αναλύεται η αρχική δύναμη ονομάζονται συνιστώσες. Οποιαδήποτε δύναμη μπορεί να

αντικατασταθεί από τις συνιστώσες της, οι οποίες ασκούνται στο ίδιο σημείο όπως φαίνεται

στο παρακάτω σχήμα.

Προσοχή! Δεν είναι απαραίτητο οι άξονες συντεταγμένων να είναι οριζόντιος και

κατακόρυφος.

Η μορφή της (Ε.1) σε συνιστώσες είναι το ζεύγος εξισώσεων:

....321 xxxx FFFF

....321 yyyy FFFF

, όπου xF

είναι το διανυσματικό άθροισμα των x συνιστωσών και yF

το διανυσματικό

άθροισμα των y συνιστωσών.

To μέτρο και η κατεύθυνση της F

προσδιορίζεται από τη σχέση:

Τα μέτρα των συνιστωσών, xF και

yF

προκύπτουν με τη βοήθεια της γωνίας από τις

σχέσεις:

FFx

FFy

x

y

F

xF

yF

yF

xF



22

yx FFF (Ε.2)

Και η κατεύθυνση από τη γωνία μεταξύ της F

και του άξονα x από τη σχέση:

x

y

F

F

(Ε.3)

Προσοχή! Οι συνιστώσες xF και

yF μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές. Επίσης η γωνία

μπορεί να καταλήγει σε οποιοδήποτε από τα 4 τεταρτημόρια.

Στην περίπτωση τρισδιάστατων προβλημάτων έχουμε και z συνιστώσες οπότε η μορφή της

(Ε.1) σε συνιστώσες είναι το σύνολο των παρακάτω εξισώσεων:

....321 xxxx FFFF

....321 yyyy FFFF

....321 zzzz FFFF

Στην περίπτωση αυτή το μέτρο του διανυσματικού αθροίσματος είναι:

222

zyx FFFF (Ε.4)



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Άσκηση 4-27 σελ. 105 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική, τόμος Α (Hugh D.

Young)

Δύο άλογα τραβούν οριζόντια σχοινιά που είναι δεμένα σε έναν κορμό δέντρου. Οι δύο

δυνάμεις 1F

και 2F

που ασκούν στον κορμό δρουν έτσι ώστε η συνισταμένη δύναμης

FR

έχει μέτρο ίσο με αυτό της 1F

και σχηματίζει γωνία 90 με την 1F

. Έστω ότι

NF 12001 και NR 1200 επίσης. Βρείτε το μέτρο της 2F

και την κατεύθυνσή της ως προς

την 1F

.

ΛΥΣΗ

Από το παραπάνω σχήμα προκύπτουν οι σχέσεις:

yy FFR 2 (Α)

xx FFF 21 (Β)

Επίσης για τη συνισταμένη δύναμη ισχύει:

1F

2F

R

2F

1F

yF2

xF2

φ θ

y

x



222

yx FFR (Γ)

Αντικαθιστούμε τις σχέσεις (Α) και (Β) στη (Γ):

2

2

2

21

2

yx FFFR 22

21

2 RFFR x 02

21 xFF xFF 21

NF x 12002

Επομένως,

2

2

2

22 yx FFF 22

2 12001200 NNF NF 2

2 10288 NF 17002

Επίσης από το σχήμα προκύπτει:

4511200

1200

2

2

x

y

F

F

Επομένως η 2F

σχηματίζει γωνία 135180 ως προς την 1F

.


Young)

Δύο ενήλικοι και ένα παιδί θέλουν να σπρώξουν ένα κιβώτιο στην κατεύθυνση που

σημειώνεται ως x . Οι δύο ενήλικες σπρώχνουν με οριζόντιες δυνάμεις 1F

και 2F

, των

οποίων τα μέτρα και οι κατευθύνσεις φαίνονται στο σχήμα. Βρείτε Το μέτρο και την

κατεύθυνση της ελάχιστης δύναμης που πρέπει να ασκήσει το παιδί.

ΛΥΣΗ

2F

1F

yF2

yF1

xF1

xF2

60

30

3F



Για να κινηθεί το κιβώτιο κατά την κατεύθυνση του άξονα x θα πρέπει:

00 321 FFFF yyy yy FFF 123 6030 123 FFF

2

3100

2

11403 NNF NF 6,163

Επομένως το παιδί πρέπει να ασκήσει δύναμη μέτρου NF 6,163 στην κατεύθυνση του

άξονα y .



ΕΝΟΤΗΤΑ Α: ΝΟΜΟI ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ

Α.1) 1ος Νόμος του Νεύτωνα

Διατύπωση 1ου Νόμου του Νεύτωνα

Κάθε σώμα διατηρεί την κατάσταση ακινησίας ή την κατάσταση ευθύγραμμης ομαλής

κίνησης εκτός αν υποχρεωθεί να μεταβάλλει την κατάσταση αυτή εξαιτίας των

δυνάμεων που επιβάλλονται σε αυτό.

Επομένως, όταν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα είναι μηδέν το

σώμα κινείται με σταθερή διανυσματική ταχύτητα η οποία μπορεί να είναι και

μηδενική.

Αδράνεια

Η ιδιότητα των σωμάτων (και γενικότερα της ύλης) να αντιστέκονται στη μεταβολή της

κινητικής τους κατάστασης, ονομάζεται αδράνεια.

Μέτρο της αδράνειας ενός σώματος είναι η μάζα του. Δηλαδή όσο μεγαλύτερη η μάζα του,

τόσο μεγαλύτερη θα είναι και η αδράνειά του.

Ισορροπία υλικού σημείου

Όταν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα (με αμελητέες διαστάσεις

συγκριτικά με το περιβάλλον του έτσι ώστε να μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο) είναι

μηδέν, τότε το σώμα βρίσκεται σε ισορροπία.

Για κάθε σώμα που ισορροπεί λοιπόν ισχύει:

0

F (Α.1.1)

, ή ισοδύναμα,

0 xF , 0 yF (Α.1.2)

Προσοχή! Στην παραπάνω ανάλυση θεωρήσαμε προσεγγιστικά το σώμα σαν υλικό σημείο.

Αν το σώμα έχει μη αμελητέο μέγεθος τότε πρέπει να γνωρίζουμε και τα σημεία εφαρμογής

των δυνάμεων.

Αδρανειακά συστήματα αναφοράς

Ένα σύστημα αναφοράς στο οποίο ισχύει ο 1ος Νόμος του Νεύτωνα ονομάζεται αδρανειακό

σύστημα αναφοράς. Η Γη είναι κατά προσέγγιση αδρανειακό σύστημα αναφοράς.



Επίσης, έστω Α ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς (για το οποίο ισχύει ο 1ος Νόμος του

Νεύτωνα). Οποιοδήποτε σύστημα αναφοράς Β κινείται με σταθερή διανυσματική ταχύτητα

/

ως προς το Α είναι και αυτό αδρανειακό και ισχύει και για αυτό ο 1ος Νόμος του

Νεύτωνα. Η πρόταση αυτή αποδεικνύεται ως εξής:

Έστω ένας παρατηρητής P που κινείται με ταχύτητα /P

ως προς το σύστημα αναφοράς Α

και με ταχύτητα /P

ως προς το σύστημα αναφοράς Β.

Όμως γνωρίζουμε ότι ισχύει:

///

PP (Α.1.3)

Παραγωγίζοντας την Α.3 ως προς το χρόνο προκύπτει:

dt

d

dt

d

dt

d PP ///

(Α.1.4)

Ο όρος dt

d P /

είναι η επιτάχυνση του παρατηρητή P ως προς το Α και ο όρος dt

d P /

η

επιτάχυνση του παρατηρητή P ως προς το Β. Αν η σχετική ταχύτητα /

είναι σταθερή,

τότε 0/

dt

d.

Άρα η Α.4 γράφεται:

dt

d

dt

d PP //

(Α.1.5)

Επομένως αν ο παρατηρητής P έχει σταθερή διανυσματική ταχύτητα ως προς το Α πρέπει να

έχει και σταθερή διανυσματική ταχύτητα ως προς το Β. Δηλαδή αν το Α είναι αδρανειακό

πρέπει και το Β ένα είναι αδρανειακό.

Επίσης από τη σχέση Α.5 προκύπτει ότι η επιτάχυνση του παρατηρητή ως προς το Α και ως

προς το Β είναι η ίδια.

Επομένως από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει το ακόλουθο συμπέρασμα:

Αν ένα σύστημα αναφοράς Α είναι αδρανειακό, τότε αδρανειακό θα είναι και οποιοδήποτε

άλλο σύστημα που κινείται ως προς το Α με σταθερή ταχύτητα.



Η επιτάχυνση που αποκτά ένα σώμα έχει μέτρο ανάλογο της συνισταμένης των

δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα και κατεύθυνση ίδια με αυτή της συνισταμένης

δύναμης.

Η πρόταση αυτή διατυπώνεται μαθηματικά ως εξής:



amF

(Α.2.1)

Η διανυσματική εξίσωση Α.2.1 μπορεί να αναλυθεί σε τρεις αλγεβρικές συνιστώσες:

xx maF , yy maF , zz maF (Α.2.2)

Προσοχή! Οι εξισώσεις Α.2.1 και Α.2.2 ισχύουν μόνο σε περίπτωση όπου η μάζα του

σώματος παραμένει σταθερή. Σε περίπτωση σωμάτων μεταβλητής μάζας χρησιμοποιείται η

έννοια της ορμής που θα παρουσιαστεί στο κεφάλαιο 4.

Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα ισχύει μόνο για αδρανειακά συστήματα αναφοράς όπως

συμβαίνει και με τον πρώτο νόμο. Επαναλαμβάνουμε ότι η Γη αποτελεί κατά προσέγγιση

αδρανειακό σύστημα αναφοράς.

Η μονάδα μέτρησης της δύναμης στο S.I. είναι το 1 Newton που ορίζεται ως:

2

11s

mkgN (Α.2.3)

Ένα Newton είναι η δύναμη που δίνει επιτάχυνση ίση με 2/1 sm σε σώμα μάζας kg1 .

Μάζα και βάρος

Πολλές φορές στην καθημερινότητα οι έννοιες μάζα και βάρος συγχέονται παρά το γεγονός

ότι αποτελούν διαφορετικά μεγέθη.

Μάζα ενός υλικού σώματος είναι το μέτρο της αδράνειας του.

Βάρος ενός υλικού σώματος είναι η ελκτική βαρυτική δύναμη που του ασκεί η Γη.

Όταν στα υλικά σώματα κινούνται μόνο υπό την επίδραση του βάρους τους (δηλαδή

εκτελούν ελεύθερη πτώση) αποκτούν επιτάχυνση ίση με 2/8,9 smg .

Η τιμή 2/8,9 smg δεν παραμένει σταθερή. Μειώνεται όσο μεγαλώνει το ύψος του

σώματος από την επιφάνεια της Γης ενώ διαφοροποιείται ανάλογα με τον τόπο στον οποίο

βρίσκεται το σώμα λόγω του γεγονότος ότι η Γη δεν είναι απόλυτα σφαιρική καθώς και λόγω

του γεγονότος ότι κινείται σε τροχιά και περιστρέφεται.

Οι τιμές που παίρνει στην επιφάνεια της Γης κυμαίνονται από 2/78,9 sm έως 2/82,9 sm .

Το βάρος του σώματος όπως προαναφέραμε είναι η ελκτική δύναμη που του ασκεί η Γη και

g είναι η επιτάχυνση που αποκτά.

Η σχέση του βάρους λοιπόν αποτελεί εφαρμογή του 2ου Νόμου του Νεύτωνα:

gmwamF

(Α.2.4)

Προσοχή! Η επιτάχυνση g

που αποκτά ένα σώμα που εκτελεί ελεύθερη πτώση είναι

ανεξάρτητη της μάζας του.



ΒΑΣΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΒΑΡΟΥΣ

ΜΑΖΑ

ΒΑΡΟΣ

Είναι το μέτρο της αδράνειας ενός σώματος με

μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1kg

Είναι η βαρυτική δύναμη που ασκεί η Γη στο

σώμα με μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1N

Παραμένει παντού ίδια (σε οποιοδήποτε σημείο

του Σύμπαντος).

Εξαρτάται από το σημείο που βρίσκεται το

σώμα

Είναι μονόμετρο μέγεθος

Είναι διανυσματικό μέγεθος

Αδρανειακή μάζα

Για δεδομένο σώμα το πηλίκο του μέτρου της συνισταμένης δύναμης που του ασκείται προς

το μέτρο της επιτάχυνσης που αποκτά είναι σταθερό, ανεξάρτητα από το μέτρο της

συνισταμένης δύναμης. Το πηλίκο αυτό ονομάζεται αδρανειακή μάζα ( η πιο απλά μάζα του

σώματος).

Δηλαδή:

Αδρανειακή μάζα = a

Fm (Α.2.5)

Βαρυτική μάζα

Ένας εναλλακτικός τρόπος μέτρησης της μάζας γίνεται με τη βοήθεια της βαρυτικής

δύναμης. Μπορούμε δηλαδή να βρούμε τη μάζα του σώματος μετρώντας τη βαρυτική δύναμη

που ασκείται σε αυτό και συγκρίνοντας την με τη γνωστή βαρυτική δύναμη που δέχεται

κάποια άλλη πρότυπη μάζα.

Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι δύο σώματα βρίσκονται στον ίδιο τόπο και τα οποία

έχουν μάζες 1m , 2m και βάρη που έχουν μέτρα 1 , 2 .

Όπως γνωρίζουμε η επιτάχυνση που προκαλεί η βαρύτητα στα σώματα θα είναι η ίδια γιατί

βρίσκονται στον ίδιο τόπο.

Επομένως:

gm

gm

22

11 Διαιρούμε αυτές τις δύο σχέσεις κατά μέλη και παίρνουμε:

2

1

2

1

m

m

(Α.2.6)

Επομένως το πηλίκο των βαρυτικών δυνάμεων που δέχονται δύο σώματα στον ίδιο τόπο

ισούται με το πηλίκο των μαζών τους.



Σημείωση: Η παραπάνω ιδιότητα χρησιμοποιείται για την εύρεση της μάζας ενός σώματος

με ζυγό, συγκρίνοντας το βάρος του με το βάρος των σταθμών.

Η μάζα που προκύπτει από τη μέτρηση της βαρυτικής δύναμης πάνω σε αυτήν ονομάζεται

βαρυτική μάζα. Μετά από πολύχρονα πειράματα αποδείχθηκε ότι η βαρυτική μάζα και η

αδρανειακή μάζα είναι ίσες (εκτός από τις περιπτώσεις κίνησης κοντά στην ταχύτητα του

φωτός). Επομένως μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον όρο μάζα είτε για την αδρανειακή μάζα

είτε για τη βαρυτική μάζα.



Όταν δύο σώματα αλληλεπιδρούν και το πρώτο ασκεί μία δύναμη στο δεύτερο, τότε και

το δεύτερο ασκεί μία δύναμη ίσου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης στο πρώτο.

Επομένως εάν ένα σώμα Α ασκεί σε ένα σώμα Β δύναμη F

τότε και το Β ασκεί δύναμη F

στο Α . Για τις δύο δυνάμεις ισχύει:

FF

(Α.3.1)

Προσοχή! Το ζεύγος δυνάμεων δράση – αντίδραση δεν ασκείται ποτέ στο ίδιο σώμα.



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΟΥ

ΝΕΥΤΩΝΑ

ΜΕΡΟΣ Α: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΩΡΙΣ ΤΡΙΒΗ

1) 1ος Νόμος του Νεύτωνα - Ισορροπία υλικού σημείου

Άσκηση 5-5 σελ. 134-135 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική, τόμος Α (Hugh D.

Young)

Μια σφαίρα κατεδαφίσεων συγκρατείται στη θέση της από δύο ελαφρά ατσάλινα

συρματόσχοινα. Αν η τάση T στο οριζόντιο συρματόσχοινο είναι 460 Ν, πόση είναι:

a) Η τάση T στο άλλο συρματόσχοινο, το οποίο σχηματίζει γωνία 40 με την κατακόρυφο;

b) Πόση είναι η μάζα m της σφαίρας κατεδαφίσεων;

ΛΥΣΗ

Η σφαίρα ισορροπεί. Άρα,

0xF 0TT x TT x 460xT 46064,0 T 75,718T

0yF 0wT y wT y wT77,0 75,71877,0w 44,553w

44,553mg

280,9

44,553

s

mm kgm 47,56

Υπολογίζουμε τα μέτρα των συνιστωσών xT

και

yT

:

TTT x 64,040sin

TTT y 77,040cos

T

xT

yT

T

w

40



Άσκηση 5-7 σελ. 135 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική, τόμος Α (Hugh D. Young)

Στο παρακάτω σχήμα η τάση στο διαγώνιο νήμα είναι 40,0 Ν.

a) Βρείτε τα μέτρα των οριζόντιων δυνάμεων 1F

και 2F

που πρέπει να ασκούνται ώστε το

σύστημα να συγκρατείται στη θέση που καταδεικνύεται στο σχήμα.

b) Πόσο είναι το βάρος του αναρτώμενου σώματος;

ΛΥΣΗ

Για να έχουμε ισορροπία θα πρέπει να ισχύει σε κάθε σημείο:

0 xF , 0 yF

Σημείο Α: 0yF 0wTy yTw NNw 3,28220

Σημείο Β: 0xF 02 xTF xTF2 NNF 3,282202

Αν θεωρήσουμε το νήμα άκαμπτο και

αβαρές τότε η δύναμη yT

είναι ίση με τη

δύναμη yT

που ασκείται στο σημείο

πρόσδεσης του νήματος με το σώμα.

Υπολογίζουμε τα μέτρα των συνιστωσών

xT

και yT

:

NNTTx 2202

24045cos

NNTTy 2202

24045sin

T

yT

xT

w

45

Σημείο Α

Σημείο Β

Σημείο Γ

yT



Σημείο Γ: 0xF 01FTx 1FTx NNF 3,282201

Άσκηση 5-9 σελ. 135 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική, τόμος Α (Hugh D. Young)

Δύο σώματα το καθένα βάρους w , συγκρατούνται ακίνητα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο χωρίς

τριβή. Υπολογίστε την τάση ως συνάρτηση του βάρους w και της γωνίας κλίσης του

επιπέδου, .

a) στο νήμα που συνδέει μεταξύ τους τα δύο σώματα

b) στο νήμα πρόσδεσης του σώματος Α στον τοίχο.

ΛΥΣΗ

ΛΥΣΗ

Η δύναμη T

που ασκείται στο σημείο Γ

είναι η αντίδραση της T

. Επομένως,

ισχύει:

NTT 40

Υπολογίζουμε τα μέτρα των συνιστωσών

xT

και yT

:

NNTTx 2202

24045cos

NNTTy 2202

24045sin

xT

T

yT

Σημείο Γ

A

B

AT

BT

BT

w

yw

xw

w

yw

xw

N

N



a) Ισχύει: BB TT

(δράση - αντίδραση)

Επίσης,

sinwwx

coswwy

Σώμα Β:

0xF 0xB wT xB wT sinwTB sinwTT BB

b) Σώμα Α:

0xF 0xB wTT xB wTT xB wTT sinsin wwT

sin2wT



2) 2ος Νόμος του Νεύτωνα


Young)

Δύο κιβώτια το ένα με μάζα 4,00kg και το άλλο με μάζα 6,00kg, βρίσκονται ακίνητα πάνω σε

επιφάνεια παγωμένης λίμνης όπου δεν υπάρχει τριβή. Τα κιβώτια είναι δεμένα μεταξύ τους

με ελαφρό σχοινί. Μια γυναίκα που φορά παπούτσια του γκολφ (ώστε να μπορεί να κρατηθεί

στον πάγο και να τραβήξει κάτι) έλκει οριζοντίως το κιβώτιο των 6,00kg με δύναμη F

και

δίνει στα κιβώτια επιτάχυνση 2/50,2 sm .

a) Πόσο είναι το μέτρο της F

;

b) Πόση είναι η τάση T του σχοινιού που συνδέει τα δύο κιβώτια;

ΛΥΣΗ

a) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στα κιβώτια και εφαρμόζουμε το 2ο Νόμο του

Νεύτωνα σε καθένα από αυτά.

Σώμα μάζας kgm 61 :

amFTamTFamFx 111 (1)

Σώμα μάζας kgm 42 :

amTamFx 22 (2)

Όμως, TT (δράση – αντίδραση)

Άρα,

amamF 21 ammF 21 ammF 21 NF 25

b) Από τη σχέση (2) προκύπτει:

NamTT 102

T

F

T

2N

1N

2w

1w




Young)

Σώμα μάζας m κινείται κατά μήκος του άξονα x . Η θέση τους ως συνάρτηση του χρόνου

δίνεται από τη συνάρτηση: 3)( BtAttx , όπου A και B είναι σταθερές. Υπολογίστε τη

συνισταμένη δύναμη στο σώμα ως συνάρτηση του χρόνου.

ΛΥΣΗ

a) Από το 2ο νόμο του Νεύτωνα προκύπτει:

xx maF 2

2

dt

xdmFx mBtFx 6


Young)

Φρενάρισμα πάνω σε μια δραχμή. Σε μια διαφήμιση διαβεβαιώνεται ότι ένα συγκεκριμένο

αυτοκίνητο μπορεί φρενάροντας να ‘ακινητοποιηθεί σε μια δραχμή’. Πόση δύναμη θα

χρειαζόταν για να σταματήσει αυτοκίνητο 950kg που κινείται αρχικά με ταχύτητα 13,4m/s,

σε απόσταση ίση με τη διάμετρο μιας δραχμής, που είναι 1,8cm;

ΛΥΣΗ

a) Υποθέτοντας προσεγγιστικά σταθερή επιβράδυνση, χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις της

ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης:

2

02

1tatx xx (1)

x

xxxx

atta 0

0

(2)

Αντικαθιστώντας την (2) στην (1) προκύπτει:

xa

ax x

x

x

x

22

2

0

2

0 (3)

Άρα αντικαθιστώντας την (3) στο 2ο Νόμο του Νεύτωνα προκύπτει:

Nm

s

m

kgx

mmaF xxx

6

2

2

2

0 1074,4108,12

4,13

9502

0




Young)

Ένας φοιτητής της φυσικής βάρους 560Ν είναι ανεβασμένος σε ένα ζυγό λουτρού που

βρίσκεται μέσα σε έναν ανελκυστήρα. Καθώς ο ανελκυστήρας αρχίζει να κινείται, η ζυγαριά

δείχνει 800Ν.

a) Βρείτε την επιτάχυνση του ανελκυστήρα (μέτρο και κατεύθυνση).

b) Πόση είναι η επιτάχυνση αν η ζυγαριά δείχνει 450Ν;

c) Αν δείχνει μηδέν πρέπει να ανησυχήσει ο φοιτητής; Εξηγείστε.

ΛΥΣΗ

Η ένδειξη της ζυγαριάς είναι η κάθετη αντίδραση στήριξης (υπολογίζεται βάσει της

συσπείρωσης εσωτερικού ελατηρίου)

a) Θέτουμε σαν θετική τη φορά προς τα πάνω. Η συνισταμένη δύναμη στον φοιτητή θα είναι:

yyy mawFmaF

m

wFa y

gw

wFa y

/

g

w

wFa y

2/8,9560

560800sm

N

NNa y

2/2,4 sma y (με φορά προς τα πάνω, αφού το πρόσημο

προέκυψε θετικό).

b) Θέτουμε σαν θετική τη φορά προς τα πάνω. Η συνισταμένη δύναμη στον φοιτητή θα είναι:

yyy amwFamF

m

wFa y

gw

wFa y

/

g

w

wFa y

2/8,9560

560450sm

N

NNa y

2/925,1 sma y (με φορά προς τα κάτω, αφού το

πρόσημο προέκυψε αρνητικό).

c) Ναι διότι στην περίπτωση αυτή ο φοιτητής εκτελεί ελεύθερη πτώση:

yyy amwFamF

m

wa y

gw

wa y

/ga y (Η επιτάχυνση

προκύπτει αρνητική διότι θεωρήσαμε τη φορά προς τα πάνω σαν θετική).

0




Young)

Τα δύο σώματα του παρακάτω σχήματος είναι δεμένα μεταξύ τους με βαρύ ομοιόμορφο

σχοινί μάζας 4,00kg. Ασκείται όπως φαίνεται στο σχήμα δύναμη προς τα πάνω ίση με 200Ν.

a) Ποια είναι η επιτάχυνση του συστήματος;

b) Πόση είναι η τάση στο πάνω άκρο του βαριού σχοινιού;

c) Πόση είναι η τάση στη μέση του σχοινιού;

ΛΥΣΗ

Θέτουμε:

kgm 61

kgm 42

kgm 53

a) Από το 2ο Νόμο του Νεύτωνα προκύπτει:

yy ammmF 321 yammmgmmmF 321321

321

321

mmm

gmmmFa y

kg

s

mkgN

a y15

8,9152002

2/53,3 sma y

b,c) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε περίπτωση:

F

gm

1

T

gm

m

2

21

ya

T

F

ya



Για το πάνω άκρο του σχοινιού ισχύει:

yy amF 1 yamgmTF 11

gamFT y1 2

33,136200s

mkgNT NT 120

Για το μέσο του σχοινιού ισχύει:

yy am

mF2

21

ya

mmg

mmTF

22

21

21

gam

mFT y2

21

2

33,138200s

mkgNT NT 36,93


Young)

Σώμα μάζας m αρχικά ακίνητο δέχεται την επίδραση μιας δύναμης jtkikF

2

21 , όπου

1k και 2k είναι σταθερές. Υπολογίστε την ταχύτητα t

του σώματος ως συνάρτηση του

χρόνου.

ΛΥΣΗ

Από το 2ο νόμο του Νεύτωνα προκύπτει:

jm

tki

m

k

m

Fa

2

21

Το σώμα μάζας m είναι αρχικά ακίνητο. Άρα 00

Επομένως, η ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου προκύπτει από τη σχέση:

t

dtat0

0

t

dtjm

tki

m

kt

0

2

21

t

dtjtkikm

t0

2

21

1

j

tkitk

mt

3

1 3

21 jm

tki

m

tkt

3

3

21

0




Young)

Σώμα μάζας m είναι ακίνητο στην αρχή των αξόνων τη χρονική στιγμή 0t . Τότε ασκείται

μία δύναμη tF

με συνιστώσες:

ykktFx 21 , tktFy 3

, όπου 21 ,kk και

3k είναι σταθερές. Υπολογίστε τα διανύσματα θέσης tr

και ταχύτητας

t

ως συναρτήσεις του χρόνου.

ΛΥΣΗ

Γνωρίζουμε ότι αρχικά,

0

00

0

0

0y

xr

και

0

00

0

0

0

y

x

.

Επομένως:

jdtyidtxjyixtr

t

y

t

x

0

0

0

0 jdtidttr

t

y

t

x

00

(1)

jdtaidtajit

t

yy

t

xxyx

0

0

0

0 jdtaidtat

t

y

t

x

00

(2)

Με τη βοήθεια της σχέσης (2) προκύπτει:

jdtFm

idtFm

t

t

y

t

x

00

11

jtdtk

midtykk

mt

tt

0

3

0

21

11

jtm

kidtyktk

mt

t

23

0

212

1 (3)

Επομένως,

dtyktk

m

t

x

0

21

1 (4)

και

23

2t

m

ky (5)

Όμως από τις σχέσεις (1), (5) προκύπτει:

0 0

0 0



t

ydty0

t

dttm

ky

0

23

2

33

6t

m

ky (6)

Αντικαθιστούμε την (6) στην (3) και προκύπτει:

jt

m

kidtyktk

mt

t 23

0

212

1

jt

m

kidtt

m

kktk

mt

t 23

0

3321

26

1

jtm

kit

m

kkt

m

kt

234

2

321

224 (7) (διάνυσμα ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου)

Από τη σχέση (7) προκύπτει::

4

2

321

24t

m

kkt

m

kx

Όμως,

t

xdtx0

dtt

m

kkt

m

kx

t

0

4

2

321

24

5

2

3221

1202t

m

kkt

m

kx (8)

Επομένως αντικαθιστώντας τις σχέσεις (6) και (8) στην (1) προκύπτει:

jtm

kit

m

kkt

m

ktr

335

2

3221

61202 (διάνυσμα θέσης συναρτήσει του χρόνου)


Young)

Μηχανή του Atwood. Ένα φορτίο από τούβλα μάζας 15,0kg αναρτάται από το ένα άκρο

σχοινιού το οποίο διέρχεται από μικρή τροχαλία χωρίς τριβή. Από το άλλο άκρο του σχοινιού

αναρτάται ένα αντίβαρο μάζας 28,0kg. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο ενώ αρχικά ακινητεί.

a) Πόσο είναι το μέτρο της επιτάχυνσης προς τα πάνω του φορτίου των τούβλων;

b) Πόση είναι η τάση του σχοινιού καθώς το φορτίο κινείται;



ΛΥΣΗ

a) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται σε καθένα από τα 2 σώματα:

Επειδή δεν υπάρχει τριβή στην τροχαλία και το νήμα θεωρείται αβαρές, η τάση του νήματος

είναι ίδια σε όλο το μήκος του και ασκεί δύναμη μέτρου T σε καθένα από τα δύο σώματα.

Φορτίο με τούβλα:

yyy amgmTamF 111 yamgmT 11 (1)

Αντίβαρο:

yyy amgmTamF 222 yamgmT 22 (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει:

yy amgmamgm 2211 yammgmm 2121 yammgmm 2112

21

12

mm

gmma y

28,9

1528

1528

s

m

kgkg

kgkga y

2/96,2 sma y

b) Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) προκύπτει:

yamgmT 11 yagmT 1

2296,28,915s

m

s

mkgT NT 191

T

gm

1

Δυνάμεις που ασκούνται στο φορτίο με τα τούβλα.

T

gm

2

Δυνάμεις που ασκούνται στο αντίβαρο.

ya

ya




Young)

Ένας άνδρας ωθεί ένα ψυγείο, με οριζόντια δύναμη F

, κατά μήκος ανωφερούς κεκλιμένου

επιπέδου (ράμπας), που σχηματίζει γωνία με την οριζόντιο. Το ψυγείο κινείται κατά μήκος

της ράμπας με σταθερή ταχύτητα. Αγνοήστε την τριβή μεταξύ του ψυγείου και του

κεκλιμένου επιπέδου. Υπολογίστε το μέτρο της δύναμης συναρτήσει των ,m .

ΛΥΣΗ

Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο ψυγείο.

Το ψυγείο κινείται με σταθερή ταχύτητα, άρα

0 xF και 0 yF

Από το σχήμα προκύπτει ότι: cosFFx και sinsin mgwwx

Επομένως:

.

00 xxx wFF

xx wF

sincos mgF

cos

sinmgF

tanmgF

N

w

xw

yw

x

y

xF

yF

F



Α.4) Δυνάμεις επαφής και τριβή

Όταν δύο σώματα αλληλεπιδρούν λόγω απευθείας επαφής μεταξύ των επιφανειών τους,

ονομάζουμε τις δυνάμεις αλληλεπίδρασής τους δυνάμεις επαφής. Οι κάθετες δυνάμεις και οι

δυνάμεις επαφής ανήκουν σε αυτή την κατηγορία.

Όταν ένα σώμα ακινητεί η ολισθαίνει σε μία επιφάνεια, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τη

δύναμη επαφής που ασκεί η επιφάνεια στο σώμα με δύο κάθετες συνιστώσες. Η μία

συνιστώσα η οποία είναι κάθετη στην επιφάνεια, ονομάζεται κάθετη δύναμη και

συμβολίζεται με N

και η άλλη συνιστώσα η οποία είναι παράλληλη στην επιφάνεια

ονομάζεται τριβή και συμβολίζεται με

. Οι δυνάμεις N

και

είναι πάντα κάθετες μεταξύ

τους.

Οι δυνάμεις τριβής αναπτύσσονται όταν μία επιφάνεια ολισθαίνει σε σχέση με μία άλλη η

ακόμα και όταν δεν υπάρχει σχετική κίνηση αλλά μία δύναμη τείνει να οδηγήσει το σώμα σε

ολίσθηση.

Στην πρώτη περίπτωση η τριβή ονομάζεται τριβή ολίσθησης και θα τη συμβολίζουμε

.

Στη δεύτερη περίπτωση η τριβή ονομάζεται στατική τριβή και θα τη συμβολίζουμε:

Προσοχή! Η τριβή έχει πάντα κατεύθυνση αντίθετη προς τη σχετική κίνηση των

εφαπτόμενων επιφανειών. Συνήθως το μέτρο της τριβής αυξάνεται όσο αυξάνεται η κάθετη

δύναμη.

Τριβή ολίσθησης

Σε μερικές περιπτώσεις το μέτρο της τριβής ολίσθησης είναι ανάλογο του μέτρου της

κάθετης δύναμης, δηλαδή:

N (Α.4.1)

Προσοχή! Η σχέση (Α.4.1) δεν είναι διανυσματική καθώς τα διανύσματα τριβής και κάθετης

δύναμης είναι πάντα κάθετα μεταξύ τους. Επίσης δεν είναι μια γενική σχέση. Είναι μόνο μια

προσεγγιστική σχέση ενός ιδιαίτερα πολύπλοκου φαινομένου. Η τριβή και η κάθετη δύναμη

σε μικροσκοπικό επίπεδο οφείλονται σε διαμοριακές δυνάμεις. Η πραγματική επιφάνεια

επαφής σε μικροσκοπικό επίπεδο είναι πολύ μικρότερη από τη φαινομενική μακροσκοπική

επιφάνεια επαφής. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι δυνάμεις τριβής μπορεί να εξαρτώνται και από

τη σχετική ταχύτητα των σωμάτων που έρχονται σε επαφή.

Ο συντελεστής είναι μια σταθερά που ονομάζεται συντελεστής κινητικής τριβής και

είναι αδιάστατος αριθμός καθώς αποτελεί το πηλίκο δύο μέτρων δυνάμεων. Όσο πιο

‘ολισθηρή’ (δηλαδή όσο πιο πολύ ‘γλιστράει’) είναι η επιφάνεια τόσο μικρότερη είναι η τιμή

του .



Στατική τριβή

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση όπου δεν υπάρχει σχετική κίνηση. Έστω ότι ασκούμε

μία οριζόντια δύναμη F

σε ένα κιβώτιο, αλλά παρά το γεγονός αυτό το κιβώτιο δεν κινείται.

Αυτό συμβαίνει διότι το δάπεδο ασκεί στο κιβώτιο μία δύναμη ίσου μέτρου και αντίθετης

κατεύθυνσης. Η δύναμη αυτή ονομάζεται στατική τριβή. Στην περίπτωση αυτή το κιβώτιο

ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους και της κάθετης αντίδρασης του δαπέδου (δύο

δυνάμεις ίσου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης) καθώς και υπό την επίδραση της F

και

της στατικής τριβής (δύο δυνάμεων που επίσης έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες κατευθύνσεις).

Αν τώρα αρχίσουμε να αυξάνουμε σταδιακά το μέτρο της F

το κιβώτιο θα συνεχίσει να

παραμένει ακίνητο καθώς αυξάνεται και το μέτρο της στατικής τριβής. Κάποια στιγμή όμως

το μέτρο της F

θα υπερβεί το μέτρο της στατικής τριβής που μπορεί να ασκήσει το

συγκεκριμένο δάπεδο. Εκείνη τη στιγμή το κιβώτιο θα αρχίσει να ολισθαίνει.

Για δεδομένο ζεύγος επιφανειών η μέγιστη τιμή της στατικής τριβής

εξαρτάται από την

κάθετη δύναμη N

. Σε μερικές περιπτώσεις η μέγιστη τιμή της )(MAX

είναι κατά

προσέγγιση ανάλογη της N

, δηλαδή:

NMAX )( (Α.4.2)

Ο συντελεστής είναι μια σταθερά που ονομάζεται συντελεστής στατικής τριβής και είναι

αδιάστατος αριθμός καθώς αποτελεί το πηλίκο δύο μέτρων δυνάμεων.

Γενικά, η τιμή της στατικής τριβής μπορεί να πάρει τιμές από μηδέν έως )(MAX . Δηλαδή:

NMAX 00 )( (Α.4.3)

Η ισότητα NMAX )( ισχύει μόνο όταν η εφαρμοζόμενη δύναμη F

που τείνει να

κινήσει το σώμα (και είναι παράλληλη προς την επιφάνεια) έχει την κρίσιμη τιμή για την

οποία μόλις που επιτυγχάνεται η έναρξη της κίνησης.

Στην περίπτωση που ισχύει η ανισότητα N η στατική τριβή προσδιορίζεται από τις

συνθήκες ισορροπίας 0

F .

Παρατήρηση: Μόλις αρχίσει η ολίσθηση, συνήθως η τριβή ελαττώνεται διότι συνήθως ο

συντελεστής κινητικής τριβής είναι μικρότερος από το συντελεστή στατικής τριβής για

δεδομένο ζεύγος επιφανειών.

Έστω τώρα ότι τη χρονική στιγμή 0t εφαρμόσουμε τη δύναμη F

στο κιβώτιο που

προαναφέραμε και αυξάνουμε σταδιακά το μέτρο της F

. Στην περίπτωση αυτή η τριβή

μεταβάλλεται όπως στο παρακάτω διάγραμμα:

)(

t Απουσία σχετικής κίνησης

Σχετική κίνηση



Παρατήρηση: Όλοι έχουμε παρατηρήσει ότι είναι ευκολότερο να μετακινήσουμε ένα

κιβώτιο που βρίσκεται πάνω σε καρότσι με τροχούς παρά να το αναγκάσουμε να ολισθήσει

στο δάπεδο. Στην περίπτωση λοιπόν των τροχοφόρων οχημάτων μπορούμε να ορίσουμε το

συντελεστή τριβής κυλίσεως . Ο συντελεστής τριβής κυλίσεως ισούται με το πηλίκο

του μέτρου της οριζόντιας δύναμης που απαιτείται για μετακίνηση επί επίπεδης επιφάνειας με

σταθερή ταχύτητα προς το μέτρο της κάθετης δύναμης που ασκείται από την επιφάνεια στους

τροχούς. Οι τιμές του είναι πολύ μικρότερες από τις τιμές του .




ΝΕΥΤΩΝΑ

ΜΕΡΟΣ Β: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΒΗ

1) 1ος Νόμος του Νεύτωνα - Ισορροπία υλικού σημείου


Young)

Δύο ξυλοκιβώτια συνδεδεμένα με σχοινί, βρίσκονται σε οριζόντια επιφάνεια. Το ξυλοκιβώτιο

Α έχει μάζα m και το ξυλοκιβώτιο Β έχει μάζα m . Ο συντελεστής κινητικής τριβής

μεταξύ των κιβωτίων και της επιφάνειας είναι . Τα κιβώτια έλκονται με σταθερή δύναμη

F

προς τα δεξιά και κινούνται με σταθερή ταχύτητα. Υπολογίστε συναρτήσει των m , m

και :

a) Το μέτρο της δύναμης F

b) Την τάση του σχοινιού που συνδέει τα δύο σώματα.

ΛΥΣΗ

Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που δέχονται τα δύο σώματα:

a,b) Τα δύο σώματα κινούνται με σταθερή ταχύτητα. Άρα και για τα δύο σώματα ισχύει:

0

00

y

x

F

FF

Σώμα Α:

gmNwNwNF

gmTNTTTFF

y

x

00

000

)(

)(

N

N

T

T

F

w

w

Δράση-αντίδραση

1



Σώμα Β:

gmNwNwNF

gmTFTFFF

y

x

00

000

)(

)(

Αντικαθιστώντας την (1) στη (2) προκύπτει:

gmgmF gmmF


Young)

Ένα μεγάλο ξυλοκιβώτιο μάζας m ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο. Οι συντελεστές τριβής

μεταξύ του κιβωτίου και του δαπέδου είναι και . Μια γυναίκα ωθεί το κιβώτιο υπό

γωνία προς τα κάτω (ως προς την οριζόντια κατεύθυνση) ασκώντας δύναμη F

.

a) Πόσο πρέπει να είναι το μέτρο της δύναμης F

για να διατηρηθεί η κίνηση του κιβωτίου

με σταθερή ταχύτητα;

b) Αν ο έχει τιμή μεγαλύτερη από μια κρίσιμη τιμή, η γυναίκα δεν μπορεί να επιτύχει την

εκκίνηση του κιβωτίου ανεξάρτητα από το πόσο δυνατή ώθηση ασκεί. Υπολογίστε αυτή την

κρίσιμη τιμή του .

ΛΥΣΗ

a) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που δέχεται το κιβώτιο:

cosFFx

sinFFy

Για να έχουμε κίνηση με σταθερή ταχύτητα θα πρέπει:

sin00

cos000

FmgNFmgNmgFNF

NFNFFFFF

yyy

xxxx

Αντικαθιστώντας την (2) στην (1) προκύπτει:

sincos FmgF sincos FmgF

2

F

xF

yF

N

gm

N

gm

F

xF

yF

1

2



mgF sincos

sincos

mgF

b) Επειδή τόσο στην περίπτωση ακινησίας όσο και στην περίπτωση κίνησης με σταθερή

ταχύτητα ισχύει: 0

F , με ανάλογη ανάλυση καταλήγουμε στη σχέση:

sincos

mgF

Η δύναμη της γυναίκας δεν αρκεί για την εκκίνηση όποια τιμή και αν πάρει.

Άρα για F ,

0sincos

tan

1


Young)

a) To σώμα Α στο παρακάτω σχήμα ζυγίζει 80,0Ν. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ

του σώματος και της επιφάνειας πάνω στην οποία ακινητεί το σώμα είναι 0,30. Το βάρος w

είναι 20,0Ν και το σύστημα ισορροπεί. Βρείτε τη δύναμη τριβής που ασκείται στο σώμα Α.

b) Βρείτε το μέγιστο βάρος w για το οποίο το σύστημα εξακολουθεί να παραμένει σε

ισορροπία.

ΛΥΣΗ

a) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που δέχεται το κάθε σώμα:

Σώμα Α

gm

xT

N



TTT x2

245cos

TTT y2

245sin

Για να ισορροπεί το σώμα Α θα πρέπει:

8000

2

200

0

)(

)(

NwNwNF

TTFF

y

xx

Σώμα Β

Για να ισορροπεί το σώμα Β θα πρέπει:

NwTwTwTFF yy 22022

2000 )()(

Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) προκύπτει η τριβή στο Α

202202

2T

b) Η μέγιστη τιμή της τριβής που μπορεί να ασκηθεί στο Α είναι:

N 803,0 24

Στην περίπτωση αυτή:

242

2T 224T

Άρα,

NTw 242

2

1

w

)( yT




Young)

Ένας καθαριστής υαλοπινάκων ωθεί προς τα πάνω τη βούρτσα τριψίματος που χρησιμοποιεί

με σταθερή ταχύτητα στην επιφάνεια ενός κατακόρυφου υαλοπίνακα, ασκώντας δύναμη F

όπως φαίνεται στο σχήμα. Η βούρτσα ζυγίζει 8,00Ν και ο συντελεστής κινητικής τριβής είναι

40,0 . Υπολογίστε:

a) To μέτρο της δύναμης F

.

b) Την κάθετη δύναμη που ασκείται από τον υαλοπίνακα στη βούρτσα.

ΛΥΣΗ

a) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στη βούρτσα:

FFFx 6,01,53cos

FFFy 8,01,53sin

Επειδή έχουμε κίνηση με σταθερή ταχύτητα ισχύει:

NwFTwFF

NFNFNFFF

yy

xxx

8,000

6,0000

Αντικαθιστώντας την (1) στη (2) προκύπτει:

F

yF

xF

N

w

1,53

1

2



FwF 6,08,0

6,08,0

wF

56,0

00,8F 3,14F

b) Από τη σχέση (2) προκύπτει:

NwF 8,0

wFN

8,0

4,0

83,148,0N 6,8N



2) 2ος Νόμος του Νεύτωνα


Young)

Σε ένα πείραμα εργαστηριακής φυσικής ένα κουτί μάζας 6,00kg ωθείται κατά μήκος

επίπεδου τραπεζιού με οριζόντια δύναμη F

.

a) Αν το κουτί κινείται με σταθερή ταχύτητα sm /350,0 και ο συντελεστής κινητικής τριβής

είναι 0,14, πόσο είναι το μέτρο της F

;

b) Πόσο είναι το μέτρο της F

αν το κουτί έχει σταθερή επιτάχυνση 2/220,0 sm ;

c) Ποια απάντηση θα δίνεται στα (a) και (b) αν τα πειράματα αυτά γίνονταν στην επιφάνεια

της Σελήνης όπου 2/62,1 smg ;

ΛΥΣΗ

a) Αν το κουτί κινείται με σταθερή ταχύτητα: 0

F .

Άρα,

mgNwNFy 00

NsmkgFmgFNFTFTFFx 2,8/8,9614,000

b) mamgFmaTFmaTFmaFx

magF

kg

s

m

s

mF 622,08,914,0

22NF 6,9

c) Στην περίπτωση του ερωτήματος a:

NsmkgFmgF 4,1/62,1614,0

Στην περίπτωση του ερωτήματος b:

magF

kg

s

m

s

mF 622,062,114,0

22NF 7,2


Young)

Το πρόβλημα του πιθήκου με τις μπανάνες. Ένας πίθηκος μάζας 20kg κρατιέται γερά από

ελαφρύ σχοινί το οποίο διέρχεται από άτριβη τροχαλία και στο άλλο άκρο του έχει προσδεθεί

ένα τσαμπί με μπανάνες μάζας 20kg. Ο πίθηκος κοιτάζει προς τα πάνω, βλέπει τις μπανάνες

και αρχίζει να ανέρχεται στο σχοινί για να τις φτάσει.

a) Καθώς ο πίθηκος αναρριχάται, οι μπανάνες κινούνται προς τα πάνω, προς τα κάτω, ή

ακινητούν;

b) Καθώς ο πίθηκος αναρριχάται, η απόστασή τους από τις μπανάνες ελαττώνεται, αυξάνεται

ή παραμένει σταθερή;

c) Ο πίθηκος αφήνει το σχοινί. Τι συμβαίνει με την απόστασή τους από τις μπανάνες καθώς

πέφτει;



d) Πριν φθάσει στο έδαφος ο πίθηκος αρπάζεται από το σχοινί για να ανακόψει την πτώση

του. Με τι είδους κίνηση αντιδρά το τσαμπί των μπανανών στην τελευταία αυτή προσπάθεια

του πιθήκου;

ΛΥΣΗ

Ο πίθηκος και οι μπανάνες έχουν το ίδιο βάρος και δέχονται την ίδια τάση από το νήμα (αφού

δεν υπάρχει τριβή στην τροχαλία). Επομένως ο πίθηκος και οι μπανάνες δέχονται την ίδια

συνισταμένη δύναμη και σαν αποτέλεσμα θα έχουν την ίδια επιτάχυνση τόσο σε μέτρο όσο

και σε κατεύθυνση.

a) Για να αναρριχηθεί ο πίθηκος ισχύει: mgT . Επομένως αναρριχώνται και μπανάνες για

τις οποίες επίσης ισχύει: mgT .

b) Οι μπανάνες και ο πίθηκος έχουν την ίδια επιτάχυνση επομένως η μεταξύ τους απόσταση

παραμένει σταθερή.

c) Τόσο ο πίθηκος θα εκτελέσουν ελεύθερη πτώση έχοντας την ίδια αρχική ταχύτητα.

Επομένως και πάλι η μεταξύ τους απόσταση δεν αλλάζει.

d) Η επιβράδυνση του πιθήκου και των μπανανών θα είναι η ίδια. Όταν σταματήσει ο

πίθηκος θα σταματήσουν και οι μπανάνες.


Young)

Οι μάζες των σωμάτων Α και Β στο παρακάτω σχήμα είναι 20,0 kg και 10,0 kg αντιστοίχως.

Τα σώματα βρίσκονται αρχικά σε ηρεμία στο δάπεδο και συνδέονται μεταξύ τους με έμαζο

νήμα διερχόμενο από άμαζη και άτριβη τροχαλία. Στην τροχαλία ασκείται δύναμη F

προς

τα πάνω και παραλλήλως προς την κατακόρυφο. Βρείτε την επιτάχυνση 1a του σώματος Α

και την επιτάχυνση 2a του σώματος Β αν η F είναι:

a) 124N

b) 294N

c) 424N



ΛΥΣΗ

Αρχικά σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σώμα.

Επειδή η τροχαλία είναι άτριβη θα ισχύει: TT . Επίσης επειδή η τροχαλία θεωρείται

άμαζη θα ισχύει:

TTF TTF 222

FTT

a) Σώμα Α:

gmTgmTF 0 , επομένως για NF

T 622

, 01 a

Σώμα Β:


T 622

, 02 a

b) Σώμα A:


T 1472

, 01 a

Σώμα B:

2amgmTF

m

gmTa2

m

gmF

a 22

kg

s

mkg

a10

8,9101472

2

22 9,4s

ma

T

T

T

T



c) Σώμα A:

1amgmTF

m

gmTa1

m

gmF

a 21

kg

s

mkg

a20

8,9202122

1 21 8,0s

ma

Σώμα B:

2amgmTF

m

gmTa2

m

gmF

a 22

kg

s

mkg

a10

8,9102122

2 22 4,11s

ma



Α.5) Φαινόμενα τριβής από υγρά και αέρια

Τα υγρά και τα αέρια εμφανίζουν επίσης φαινόμενα τριβής. Η τριβή μεταξύ δύο επιφανειών

που διαχωρίζονται από στρώμα υγρού ή αερίου καθορίζεται από το ιξώδες του υγρού ή του

αερίου (δηλαδή από την εσωτερική τριβή).

Ας δούμε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα

Κίνηση σώματος σε υγρό με μικρές ταχύτητες

Αν αφήσουμε μία μικρή σφαίρα στην επιφάνεια μιας λίμνης τότε η σφαίρα θα δεχτεί δύναμη

αντίστασης από το νερό την οποία συμβολίζουμε ως T

. Για μικρές ταχύτητες η

αντίσταση του υγρού έχει μέτρο κατά προσέγγιση ανάλογο της ταχύτητας της σφαίρας,

δηλαδή:

T (1)

, όπου είναι μια σταθερά αναλογίας που εξαρτάται από το σχήμα και το μέγεθος του

σώματος που βυθίζεται και από τις ιδιότητες του ρευστού. Αν αγνοήσουμε την άνωση

(θεωρώντας τις διαστάσεις της σφαίρας πολύ μικρές) και αν θεωρήσουμε σαν θετική τη φορά

προς τα κάτω, ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα δίνει:

maTmgmaFy mamg

Τη στιγμή εκκίνησης της σφαίρας όπου 0 ισχύει ga . Όμως όσο η ταχύτητα της

σφαίρας αυξάνεται, τόσο μεγαλώνει η T ώσπου σε κάποια στιγμή προκύπτει:

mgmg (2)

Η είναι η τελική (δηλαδή η μέγιστη) ταχύτητα μέσα στο υγρό.

Τώρα θα προσδιορίσουμε τη σχέση μεταξύ ταχύτητας και χρόνου όταν ισχύει: .

Από το 2ο Νόμο του Νεύτωνα σε μία τυχαία χρονική στιγμή προκύπτει:

maTmgmaFy dt

dmmg

mg

dt

dm

dt

dm

mdt

d dtm

d

dtm

d

dtm

d

t

dtm

d

00

tm

ln

tme

1



tme

1 (εξίσωση ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου)

Εξίσωση επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου

tme

dt

d

dt

da

tme

ma

tme

m

mga

tmgea

mg (2)

Εξίσωση θέσης συναρτήσει του χρόνου

tt

m

t

dteydty00

1

t

tm

t

dtedty00

t

tme

mty

0

me

mty

tm

Η ταχύτητα του σώματος αυξάνεται με όλο και

μικρότερο ρυθμό μέχρι να φτάσει τη σταθερή

οριακή ταχύτητα.

Η επιτάχυνση του σώματος μειώνεται μέχρι να

μηδενιστεί όταν το σώμα αποκτήσει τη σταθερή

οριακή ταχύτητα.

t

a

g

t



1t

mem

ty

tme

mty

1

Στις κινήσεις μεγάλης ταχύτητας εντός ρευστού η ταχύτητα είναι κατά προσέγγιση ανάλογη

του 2 , δηλαδή,

2 ύT , όπου σταθερά

Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να πραγματοποιήσουμε ανάλογη ανάλυση.

Βλ. άσκηση 5-86 σελ. 144 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική, τόμος Α (Hugh D.

Young)

Η μετατόπιση του σώματος γίνεται ανάλογη του

χρόνου (γραμμικό τμήμα γραφικής παράστασης)

όταν το σώμα αποκτήσει τη σταθερή οριακή

ταχύτητα.

y

t




ΝΕΥΤΩΝΑ

ΜΕΡΟΣ Γ: ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΡΕΥΣΤΑ


Young)

Μία πέτρα μάζας kgm 00,3 βυθίζεται εκκινώντας από την ηρεμία μέσα σε μέσο με ιξώδες

(εσωτερική τριβή). Στην πέτρα ασκείται ολική σταθερή δύναμη προς τα κάτω ίση με 20,0 Ν

(συνδυασμός της βαρύτητας και της άνωσης που ασκείται από το μέσο) καθώς και η

επιβραδύνουσα δύναμη αντίστασης εξαιτίας του ιξώδους R , όπου η ταχύτητα της

πέτρας σε sm / και m

s 00,4 .

a) Βρείτε την αρχική επιτάχυνση 0a .

b) Βρείτε την επιτάχυνση όταν η ταχύτητα είναι 3,00 sm / .

c) Βρείτε την ταχύτητα όταν η επιτάχυνση ισούται με 01,0 a .

d) Βρείτε την οριακή ταχύτητα .

e) Βρείτε τη θέση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση μετά από χρόνο 2,00s από τη στιγμή

εκκίνησης.

f) Βρείτε το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει η ταχύτητα την τιμή 9,0 .

g) Σχεδιάστε το γράφημα της ως προς t για τα πρώτα 3,00 s της κίνησης.

ΛΥΣΗ

a) H πέτρα ξεκινάει από την ηρεμία 0 , επομένως τη στιγμή εκκίνησης 00 t ,

0 aR

Επομένως,

0maF

m

Fa0

kg

a3

200

2

0 /67,6 sma

b) Στην περίπτωση αυτή ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα γράφεται:

1maRF 1maF

m

Fa

1

kg

s

m

m

s

a3

3420

1

2

1 /67,2 sma

c) 01,0 amRF 11,0 maF

01,0 maF

m

ss

mkg

4

3

2031,020

2

m

s4

18 sm /5,4



d) Το σώμα αποκτά την οριακή ταχύτητα όταν: 0RF RF F

F

m

s4

20 sm /5

e) Θεωρώντας θετική τη φορά προς τα κάτω και αρχική θέση τη θέση 00 y προκύπτει:

tme

mtyy

10

skg

m

s

e

m

s

kgs

s

my

23

4

1

4

325

sess

my 3

8

175,025 my 95,075,025 my 45,6

tme

1

3

8

15 es

m

s

m73,4

tmgea

23

8

8,9s

mea

2/5,0 sma

f)

tme

1

tme

1

tme

9,01

tme

9,01

tse

1

3

4

1,0 ts

1

3

41,0ln t

s

1

3

410ln

st 10ln4

3st 73,1

g)

)/( sm

5

3 )(st 0,0




Young)

Ένας βώλος (μπίλια) βυθίζεται εκκινώντας από τη ηρεμία εντός μέσου το οποίο ασκεί

δύναμη αντίστασης που μεταβάλλεται ανάλογα προς το τετράγωνο της ταχύτητας

(2CR ).

a) Σχεδιάστε διάγραμμα που να δείχνει την κατεύθυνση της κίνησης και σημειώστε με τη

βοήθεια διανυσμάτων όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο βώλο.

b) Να εφαρμόσετε το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα και να συναγάγετε, από την προκύπτουσα

εξίσωση τις γενικές ιδιότητες της κίνησης.

c) Δείξτε ότι ο βώλος αποκτά οριακή ταχύτητα ίση με C

mg .

d) Να εξάγετε την εξίσωση που δίνει την ταχύτητα ως συνάρτηση του χρόνου.

(Σημείωση:

a

xh

axa

dxarctan1

22

Όπου η σχέση 1

1tanh

2

2

x

x

xx

xx

e

e

ee

eex ορίζει τη συνάρτηση tanh , που ονομάζεται

υπερβολική εφαπτομένη).

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε σαν θετική τη φορά προς τα κάτω.

a)

b) Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα:

maCmgmaTwmaFy 2 (1)

Αρχικά η ταχύτητα είναι μηδενική καθώς το σώμα ξεκινάει από την ηρεμία και η επιτάχυνση

ισούται με g

με αποτέλεσμα το μέτρο της ταχύτητας να αυξάνεται. Καθώς η ταχύτητα

αυξάνεται, αυξάνεται και η αντίσταση του ρευστού με αποτέλεσμα να μειώνεται το μέτρο της

επιτάχυνσης. Αυτή η κατάσταση συνεχίζεται μέχρι τη ταχύτητα να γίνει ίση με την οριακή

ταχύτητα.

c) Όταν επιτευχθεί η οριακή ταχύτητα (η οποία έχει σταθερή τιμή) 0a . Αντικαθιστώντας

στη σχέση (1) προκύπτει:

C

mgCmg 02

d) Από τη σχέση (1) έχουμε:

T

w



maCmg 2 dt

dm

mgmg

2

2

dt

dgg

2

2

dt

dg

2

2

1

dt

dg

22

2

dt

gd222

dtgd222

2arctan

1

gth

gtharctan

gt

tanh

Παρατήρηση:

1

1tanh

2

2

gt

gt

e

egt

Όταν 0t , 0tanh

gt και 0

Όταν t , 1tanh

gt και



ΕΝΟΤΗΤΑ Β: ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Β.1) Κίνηση σε οριζόντιο κύκλο

Η κυκλική κίνηση υπακούει στο 2ο Νόμο του Νεύτωνα. Η κεντρομόλος επιτάχυνση του

σωματίου που εκτελεί κυκλική κίνηση (που είναι υπεύθυνη για τη συνεχή αλλαγή της

κατεύθυνσης του σωματίου και έχει κατεύθυνση το κέντρο του κύκλου) οφείλεται σε κάποια

δύναμη ή στη συνισταμένη κάποιων δυνάμεων F

με σταθερό μέτρο και με κατεύθυνση

προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. Η δύναμη που αναγκάζει κάποιο σώμα να εκτελέσει

κυκλική κίνηση είναι κάποια από τις γνωστές μας δυνάμεις (π.χ. τριβή, βάρος, τάση του

νήματος) που κάτω από προϋποθέσεις μπορεί να εκτελέσει χρέη κεντρομόλου, όπως π.χ. η

τάση νήματος στην οριζόντια κυκλική κίνηση σώματος προσδεμένου σε αυτό.

Από το 2ο νόμο του Νεύτωνα προκύπτει η σχέση για το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης:

radmaFR

mF2

(Β.1.1)

Χαρακτηριστικό παράδειγμα κυκλικής κίνησης σε οριζόντιο επίπεδο

Σώμα δεμένο στην άκρη σχοινιού που κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο.

Σημείωση: Αν το ένα σώμα δεμένο σε σχοινί εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε οριζόντιο

επίπεδο και το νήμα κοπεί, τότε το σώμα κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με στη διεύθυνση

της ταχύτητας που είχε στο σημείο που κόπηκε το νήμα. Αυτό βέβαια ισχύει με την

προϋπόθεση ότι δεν θα ασκείται άλλη δύναμη στο σώμα.

Β.2) Κίνηση σε κατακόρυφο κύκλο

Στην περίπτωση αυτή χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στη μεταχείριση του βάρους του

σώματος. Οι Φυσικές αρχές που διέπουν την περίπτωση αυτή όμως είναι ακριβώς οι ίδιες.

Δηλαδή:

Το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων με κατεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής

τροχιάς αποτελεί την κεντρομόλο δύναμη.

Επομένως αν η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα έχει τυχαία κατεύθυνση (και όχι

προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς) την αναλύουμε σε δύο κάθετες συνιστώσες. Η

συνιστώσα προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς θα είναι η κεντρομόλος δύναμη που είναι

υπεύθυνη για την κεντρομόλο επιτάχυνση (που προκαλεί δηλαδή την αλλαγή της

κατεύθυνσης στην κίνηση του σώματος) και η συνιστώσα που είναι εφαπτομενική στην

Στην περίπτωση αυτή η μόνη δύναμη που

ασκείται στο σώμα στη διεύθυνση της ακτίνας

της κυκλικής τροχιάς είναι η τάση του σχοινιού.

Επομένως:

RmTF

2

T



τροχιά θα είναι υπεύθυνη για την επιτρόχιο επιτάχυνση (που προκαλεί την αλλαγή του

μέτρου της ταχύτητας του σώματος).

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι γενικά η ταχύτητα σώματος που εκτελεί κυκλική κίνηση σε

κατακόρυφο κύκλο δεν είναι σταθερή.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα κυκλικής κίνησης σε κατακόρυφο επίπεδο

Σώμα δεμένο στην άκρη σχοινιού που κάνει κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο.

Και στο ανώτατο και στο κατώτατο σημείο θεωρήσαμε σαν θετική φορά, τη φορά προς το

κέντρο της κυκλικής τροχιάς.

Οι 1F

και 2F

εκτελούν χρέη κεντρομόλου στα σημεία Α και Β αντίστοιχα.

Σε μια τυχαία θέση του σώματος:

Στην περίπτωση αυτή το σώμα κάνει κυκλική

κίνηση, αλλά όχι ομαλή. Οι δυνάμεις που

ασκούνται στο σώμα είναι το βάρος του και η

τάση του σχοινιού.

Στην κατώτατη θέση (θέση Α), όπου η ταχύτητα

του σώματος είναι 1

θα ισχύει:

RmmgTF

2

111

Στην ανώτατη θέση (θέση Β), όπου η ταχύτητα

του σώματος είναι 2

θα ισχύει:

RmmgTF

2

222

Στην τυχαία θέση η συνισταμένη δύναμη στη

διεύθυνση της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς

εκτελεί χρέη κεντρομόλου δύναμης:

RmwTF x

2

Η ακτινική συνιστώσα xw

προκαλεί την

επιτρόχιο επιτάχυνση του σώματος.

//mawx

2

2T

gm

1T

gm

1

T

w

yw

xw



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Β: ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ

ΚΙΝΗΣΗΣ


Young)

Μια στροφή εθνικής οδού ακτίνας 350 m πρόκειται να κατασκευαστεί με τόση κλίση, ώστε

το αυτοκίνητο που κινείται με 24,6 m/s να μην ντεραπάρει ακόμη και με συνθήκες

Θεωρητικής ανυπαρξίας τριβής). Πόση πρέπει να είναι αυτή γωνία κλίσης;

ΛΥΣΗ

Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο αυτοκίνητο:

Η κεντρομόλος δύναμη είναι η xN

. Άρα:

mgNmgNF yy cos0 (1)

RmN

RmN

RmF xx

222

sin

(2)

Διαιρώντας κατά μέλη τις (2) και (1) προκύπτει:

gR

2

cos

sin

gR

2

tan

ms

m

s

m

3508,9

6,24

tan

2

2

10

N

yN

xN

gm




Young)

Ένα σχοινί είναι δεμένο σε έναν κάδο (κουβά) με νερό και ο κάδος τίθεται σε κατακόρυφη

κυκλική περιφορά ακτίνας 0,800m. Πόση πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα του κάδου στο

ανώτατο σημείο του κύκλου ώστε να μη χυθεί καθόλου νερό από τον κάδο;

ΛΥΣΗ


Young)

Θεωρήστε αυτοκινητόδρομο με κλίση στη στροφή με συντελεστή στατικής τριβής 0,35 και

συντελεστή κινητικής τριβής 0,25 μεταξύ των τροχών και του δρόμου. Η ακτίνα

καμπυλότητας της διαγραφόμενης καμπύλης είναι R=36m.

a) Αν η γωνία κλίσης είναι 25 , πόση είναι η μέγιστη δυνατή ταχύτητα του αυτοκινήτου

ώστε μόλις να αποφεύγεται η ολίσθηση προς την εξωτερική (πάνω) πλευρά της στροφής;

b) Πόση είναι η ελάχιστη δυνατή ταχύτητα του αυτοκινήτου ώστε μόλις να αποφεύγεται η

ολίσθηση προς την εσωτερική (κάτω) πλευρά της στροφής;

ΛΥΣΗ

a)

Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο αυτοκίνητο:

Για να μην χυθεί το νερό θα πρέπει να ασκείται

σε αυτό η κάθετη δύναμη από τον κουβά N

.

Στην οριακή περίπτωση 0N και το βάρος

παίζει το ρόλο της κεντρομόλου:

gRR

mmg

2

ms

m8,08,9

2 sm /8,2

Για να μην ολισθήσει το αυτοκίνητο προς τα

πάνω θα πρέπει η στατική τριβή να ασκείται

προς την καθοδική πλευρά του κεκλιμένου

επιπέδου.

N

gm

N

yN

xN

gm

)( x

)( y



Επομένως,

00 )( mgNF yyy 0sincos mgN 0sincos mgNN

sincos

mgN (1)

Επίσης:

R

mNR

mF xxx

2

)(

2

RmN

2

cossin

R

mNN2

cossin

R

mN2

cossin

(2)

Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) και προκύπτει:

R

mmg 2

cossinsincos

cossinsincos

Rg

25cos35,025sin

25sin35,025cos

8,9362s

mm

sm /6,18

b)

00 )( mgNF yyy 0sincos mgN 0sincos mgNN

sincos

mgN (3)

Επίσης:

R

mNR

mF xxx

2

)(

2

RmN

2

cossin

R

mNN2

cossin

R

mN2

cossin

(2)

Για να μην ολισθήσει το αυτοκίνητο προς τα

πάνω θα πρέπει η στατική τριβή να ασκείται

προς την ανοδική πλευρά του κεκλιμένου

επιπέδου.

yN

xN

N

)( x

)( y

gm



Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) και προκύπτει:

R

mmg 2

cossinsincos

cossinsincos

Rg

25cos35,025sin

25sin35,025cos

8,9362s

mm

sm /9,5


Young)

Μια μικρή χάντρα μπορεί να γλιστρά χωρίς τριβή σε κυκλικό δακτύλιο που βρίσκεται σε

κατακόρυφο επίπεδο και έχει ακτίνα 0,100m. Ο δακτύλιος περιστρέφεται με σταθερό ρυθμό

4,00rev/s περί την κατακόρυφη διάμετρό του.

a) Βρείτε τη γωνία θ για την οποία η χάντρα βρίσκεται σε κατακόρυφη ισορροπία. (Φυσικά

έχει ακτινική επιτάχυνση προς τον άξονα περιστροφής).

b) Είναι δυνατόν η χάντρα να εκτελεί περιστροφή σε οριζόντιο επίπεδο που περνά από το

κέντρο του στεφανιού;

c) Τι θα συμβεί αν το στεφάνι περιστρέφεται με συχνότητα 1,00rev/s;

ΛΥΣΗ

a) Η χάντρα κινείται σε κύκλο ακτίνας sinR .

Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στη χάντρα.

N

xN

yN

gm



Αφού θέλουμε τη γωνία για την οποία η χάντρα βρίσκεται σε κατακόρυφη ισορροπία, πρέπει

να ισχύει (για τη γωνία αυτή):

mgNmgNF yy cos00 (1)

Επίσης η χάντρα εκτελεί κυκλική κίνηση με ακτίνα sinR . Επομένως έχει κεντρομόλο

επιτάχυνση:

radradxradx maNmaNmaF sin (2)

Διαιρώντας τις σχέσεις (2) και (1) κατά μέλη προκύπτει:

g

aradtan g

R

sintan

2

sintan

2

Rg

sin

sin2

tan

2

Rg

T

R

sin

sin4

tan2

222

Rg

T

R

sin4

tan2

2

gT

R

2

24

cos

1

gT

R

R

gT2

2

4cos

(3)

Ο δακτύλιος περιστρέφεται με σταθερό ρυθμό 4,00rev/s περί την κατακόρυφη διάμετρό του

δηλαδή εκτελεί 4 περιστροφές το δευτερόλεπτο. Άρα η περίοδος περιστροφής της χάντρας

προκύπτει ως εξής:

t

Nf

t

N

T

1

N

tT sT

4

1sT 25,0

Αντικαθιστώντας στη σχέση (3) προκύπτει:

R

gT2

2

4cos

m

ss

m

1,04

25,08,9

cos2

2

2

1,81

b) Στην περίπτωση αυτή θα ισχύει 90 .

Όμως, 090cos . Από τη σχέση (3) προκύπτει: 004 2

2

TR

gT

Επομένως η γωνία αυξάνεται όσο μειώνεται η περίοδος περιστροφής, δηλαδή όσο

αυξάνεται η ταχύτητα περιστροφής, Όμως η τιμή 90 είναι αδύνατη καθώς θα απαιτούσε

μηδενική περίοδο δηλαδή άπειρη ταχύτητα περιστροφής.

c) Στην περίπτωση αυτή:



t

Nf

t

N

T

1

N

tT sT

1

1sT 1

Από τη σχέση (3) προκύπτει:

R

gT2

2

4cos

48,2

1,04

18,9

cos2

2

2

m

ss

m

που είναι αδύνατο διότι 1cos1 .

Ο μόνος τρόπος να ικανοποιείται ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα είναι αν 00sin

Δηλαδή η χάντρα ακινητεί στο κατώτατο σημείο.

Η μεγαλύτερη τιμή του T προκύπτει για 1cos . Οπότε από την εξίσωση (3) προκύπτει:

14 2

2

R

gT

g

RT 2

g

RT 2

28,9

1,02

s

m

mT sT 635,0

Άρα, για sT 635,0 η μοναδική λύση είναι η 0 δηλαδή η χάντρα ακινητεί στο κατώτατο

σημείο.


Young)

Ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι μάζας 1,50kg κινείται με ταχύτητα σταθερού μέτρου

sm /0,12 σε κατακόρυφο κύκλο μέσα σε κοίλο μεταλλικό κύλινδρο ακτίνας 5,00m.

a) Πόσο είναι το μέτρο της κάθετης δύναμης που ασκείται στο αυτοκινητάκι από τα

τοιχώματα του κυλίνδρου στο σημείο Α (στο κατώτατο σημείο του κατακόρυφου κύκλου);

b) Στο σημείο Β (στο ανώτατο σημείο του κατακόρυφου κύκλου);

ΛΥΣΗ

Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο αυτοκινητάκι στα σημεία Α και Β:

Σημείο Α:

N

gm



Σημείο Β:

Και στις δύο περιπτώσεις θα θεωρήσουμε σαν θετική τη φορά προς το κέντρο του κύκλου:

Σημείο Α:

R

mmgN2

R

gmN2

m

s

m

s

mkgN

5

12

8,95,1

2

2

9,57N

Σημείο Β:

R

mmgN2

g

RmN

2

2

2

8,95

12

5,1s

m

m

s

m

kgN 5,28N


Young)

Μια μπάλα συγκρατείται ακίνητη στη θέση Α με τη βοήθεια δύο ελαφρών νημάτων. Το

οριζόντιο νήμα αποκόπτεται και η μάζα αρχίζει να ταλαντώνεται ως εκκρεμές. Το σημείο Β

είναι το πιο απομακρυσμένο προς τα δεξιά σημείο της τροχιάς της μπάλας καθώς συνεχίζεται

η παλινδρομική κίνηση της μπάλας που εξομοιώνεται με την ταλάντωση εκκρεμούς. Ποιος

είναι ο λόγος της τάσης του νήματος στήριξης στη θέση Β διά της τιμής της τάσης του ίδιου

νήματος στη θέση Α πριν αποκοπεί το οριζόντιο νήμα;

ΛΥΣΗ

Οι δυνάμεις που ασκούνται στη μπάλα στη θέση Α είναι:

gm

N



Οι δυνάμεις που ασκούνται στη μπάλα στη θέση Β είναι η τάση του νήματος και το βάρος.

Αναλύουμε το βάρος σε μία ακτινική συνιστώσα yw

(στη διεύθυνση του νήματος) και μία

εφαπτομενική στην τροχιά συνιστώσα xw

που είναι υπεύθυνη για την αλλαγή του μέτρου

της ταχύτητας της μπάλας.:

Διαιρώντας τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει:

cos

cos

w

wT

cos

1cosT

2cos

1T2cos

T

Αρχικά στη θέση Α έχουμε ισορροπία:

wTwTF yy cos0 (1)

Στο σημείο Β η ταχύτητα είναι μηδέν ( 0 ).

Άρα, δεν υπάρχει κεντρομόλος δύναμη καθώς:

02

R

mFy

(Όμως το μέτρο της ταχύτητας στη συνέχεια

αλλάζει λόγω της xw

και δημιουργείται

κεντρομόλος δύναμη που δικαιολογεί την

αλλαγή της κατεύθυνσης της μπάλας που θα

ακολουθήσει).

cos0 wTwTF yy (2)

T

yT

`xT

T

w

yw

T

w

xw

Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α Hugh D. Young Μέρος Α -...

Documents

Transcript of Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α Hugh D. Young Μέρος Α -...