Περιεχόμενα - Public · 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.5 Δεύτερος νόμος του...

Περιεχόμενα

Πρόλογος 11

Για τον διδάσκοντα 15

Κατάλογος παραδειγμάτων 17

1 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ 21

11 Εισαγωγή 22

12 Διανύσματα 22

13 Διανυσματική άλγεβρα 23

14 Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων 25

15 Συνιστώσες διανύσματος 30

16 Διανύσματα βάσης 32

17 Διάνυσμα θέσης r και μετατόπιση 34

18 Ταχύτητα και επιτάχυνση 36

19 Τυπική λύση των κινηματικών εξισώσεων 41

110 Περισσότερα σχετικά με τη χρονική παράγωγο ενός διανύσματος 45

111 Κίνηση σε πολικές συντεταγμένες 49

Σημείωση 11 Προσεγγιστικές μέθοδοι 60

Σημείωση 12 Σειρά Taylor 61

Σημείωση 13 Αναπτύγματα κοινών συναρτήσεων σε σειρές 62

Σημείωση 14 Διαφορικά 63

Σημείωση 15 Σημαντικά ψηφία και αβεβαιότητα 65

Προβλήματα 65

2 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ 71


22 Νευτώνεια μηχανική και σύγχρονη φυσική 72

23 Νόμοι του Νεύτωνα 73

24 Πρώτος νόμος του Νεύτωνα ndash αδρανειακά συστήματα 74

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

25 Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα 75

26 Τρίτος νόμος του Νεύτωνα 78

27 Θεμελιώδεις μονάδες και πρότυπα μέτρα 83

28 Η άλγεβρα των διαστάσεων 86

29 Εφαρμογές των νόμων του Νεύτωνα 88

210 Δυναμική με χρήση πολικών συντεταγμένων 96


3 ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 107


32 Οι θεμελιώδεις δυνάμεις της φυσικής 108

33 Βαρύτητα 109

34 Μερικές φαινομενολογικές δυνάμεις 115

35 Εμβόλιμη αναφορά στις διαφορικές εξισώσεις 122

36 Ιξώδες 126

37 Ο νόμος του Hooke και η απλή αρμονική κίνηση 130

Σημείωση 31 Η βαρυτική δύναμη ενός σφαιρικού φλοιού 136


4 ΟΡΜΗ 147


42 Δυναμική ενός συστήματος σωματιδίων 148

43 Κέντρο μάζας 151

44 Συντεταγμένες του κέντρου μάζας 157

45 Διατήρηση της ορμής 163

46 Ώθηση και επαναδιατύπωση της σχέσης της ορμής 164

47 Ορμή και ροή μάζας 169

48 Κίνηση πυραύλων 172

49 Ροή ορμής και δύναμη 176

410 Ροή ορμής 179

Σημείωση 41 Κέντρο μάζας διδιάστατων και τριδιάστατων αντικειμένων 185


5 ΕΝΕΡΓΕΙΑ 197


52 Ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης σε μία διάσταση 198

53 Έργο και ενέργεια 201

54 Αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας 216

55 Δυναμική ενέργεια 218

56 Τι δείχνει η δυναμική ενέργεια για τη δύναμη 222

57 Διαγράμματα ενέργειας 222

58 Μη συντηρητικές δυνάμεις 224

59 Η αρχή διατήρησης της ενέργειας και ο νόμος των ιδανικών αερίων 226

510 Αρχές διατήρησης 229

511 Παγκόσμια κατανάλωση ενέργειας 231

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7

Σημείωση 51 Διόρθωση στην περίοδο του εκκρεμούς 236

Σημείωση 52 Δύναμη δυναμική ενέργεια και ο διανυσματικός τελεστής nabla 237


6 ΘΕΜΑΤΑ ∆ΥΝΑΜΙΚΗΣ 249


62 Μικρές ταλαντώσεις σε δέσμιο σύστημα 250

63 Ευστάθεια 256

64 Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης 258

65 Συγκρούσεις και αρχές διατήρησης 264


7 ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ 279


72 Στροφορμή σωματιδίου 281

73 Περιστροφή γύρω από σταθερό άξονα 285

74 Ροπή 291

75 Ροπή και στροφορμή 294

76 Δυναμική της περιστροφής γύρω από σταθερό άξονα 302

77 Κίνηση εκκρεμούς και περιστροφή γύρω από σταθερό άξονα 305

78 Συνδυασμός μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης 310

79 Το θεώρημα έργου-ενέργειας και η περιστροφική κίνηση 318

710 Το άτομο του Bohr 321

Σημείωση 71 Θεώρημα του Chasles 325

Σημείωση 72 Σύνοψη της δυναμικής της περιστροφής γύρω από σταθερό άξονα 327


8 ΚΙΝΗΣΗ ΑΚΑΜΠΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 339


82 Η διανυσματική φύση της γωνιακής ταχύτητας και της στροφορμής 340

83 Το γυροσκόπιο 349

84 Παραδείγματα κίνησης άκαμπτων σωμάτων 354

85 Διατήρηση της στροφορμής 360

86 Περιστροφή άκαμπτου σώματος και ο τανυστής αδράνειας 363

87 Θέματα δυναμικής του άκαμπτου σώματος για προχωρημένους 372

Σημείωση 81 Πεπερασμένες και απειροστές περιστροφές 383

Σημείωση 82 Επιπλέον στοιχεία σχετικά με γυροσκόπια 386


9 ΜΗ Α∆ΡΑΝΕΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ∆ΥΝΑΜΕΙΣ 397


92 Ο μετασχηματισμός του Γαλιλαίου 398

93 Ομαλώς επιταχυνόμενα συστήματα 400

94 Η αρχή της ισοδυναμίας 403

95 Αρχές της φυσικής σε περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων 412


Σημείωση 91 Η αρχή της ισοδυναμίας και η βαρυτική μετατόπιση προς το ερυθρό 428


10 ΚΙΝΗΣΗ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ 435


102 Κίνηση υπό την επίδραση κεντρικών δυνάμεων ως πρόβλημα ενός σώματος 436

103 Γενικές ιδιότητες της κίνησης υπό την επίδραση κεντρικών δυνάμεων 438

104 Η εξίσωση της ενέργειας και τα διαγράμματα ενέργειας 441

105 Κίνηση των πλανητών 449

106 Μερικά τελικά σχόλια για την κίνηση των πλανητών 466

Σημείωση 101 Υπολογισμός του ολοκληρώματος της τροχιάς 467

Σημείωση 102 Ιδιότητες έλλειψης 468


11 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 475


112 Ανασκόπηση της απλής αρμονικής κίνησης 476

113 Ο αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση 478

114 Εξαναγκασμένος αρμονικός ταλαντωτής 485

115 Μεταβατική συμπεριφορά 490

116 Χρονική και συχνοτική απόκριση 491

Σημείωση 111 Μιγαδικοί αριθμοί 495

Σημείωση 112 Λύση της εξίσωσης κίνησης του αρμονικού ταλαντωτή με απόσβεση 496

Σημείωση 113 Λύση της εξίσωσης κίνησης για τον εξαναγκασμένο αρμονικό ταλαντωτή 499


12 Η ΕΙ∆ΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 503


122 Η πιθανότητα ύπαρξης ατελειών στη νευτώνεια φυσική 504

123 Το πείραμα των Michelson-Morley 505

124 Η ειδική θεωρία της σχετικότητας 509

125 Μετασχηματισμοί 511

126 Ταυτοχρονισμός και αλληλουχία γεγονότων 514

127 Μετασχηματισμός Lorentz 515

128 Σχετικιστική κινηματική 518

129 Σχετικιστική πρόσθεση ταχυτήτων 526

1210 Φαινόμενο Doppler 530

1211 Το παράδοξο των διδύμων 535


13 ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ∆ΥΝΑΜΙΚΗ 543


132 Σχετικιστική ορμή 544

133 Σχετικιστική ενέργεια 547

134 Πώς συνδέεται η σχετικιστική ενέργεια με τη σχετικιστική ορμή 553


135 Το φωτόνιο Ένα σωματίδιο χωρίς μάζα 554

136 Πώς ο Einstein απέδειξε τη σχέση E = mc2 564


14 ΦΥΣΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΧΡΟΝΟΥ 569


142 Μετασχηματισμοί διανυσμάτων 570

143 Κοσμικές γραμμές στον χωροχρόνο 571

144 Ένα αναλλοίωτο μέγεθος στον χωροχρόνο 574

145 Τετραδιανύσματα 575

146 Το τετραδιάνυσμα ενέργειας-ορμής 578

147 Επίλογος Γενική σχετικότητα 580


Συμβουλές υποδείξεις και απαντήσεις για επιλεγμένα προβλήματα 585

Παράρτημα Α Διάφορα φυσικά και αστρονομικά δεδομένα 593

Παράρτημα B Προθέματα του συστήματος SI 594

Ευρετήριο 595

Πρόλογος

Το βιβλίο Εισαγωγή στη μηχανική προέκυψε από το μάθημα της Φυσικής 8012 που διδασκόταν στο Ιν-

στιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης (MIT) Αυτό ήταν ένα μάθημα διάρκειας ενός εξαμήνου για

φοιτητές που ήθελαν να κατανοήσουν τη φυσική βαθύτερα από το συνηθισμένο επίπεδο των πρωτοετών

Στις τέσσερις δεκαετίες που πέρασαν από την εποχή που γράφτηκε το βιβλίο η φυσική εξελίχθηκε σε

πολλά μέτωπα αλλά η μηχανική συνεχίζει να είναι το βασικό θεμέλιο για πολλές έννοιες όπως η αδρά-

νεια η ορμή και η ενέργεια από τη σκοπιά των επιστημόνων που ασχολούνται με τη φυσική η ευχέρεια

και η ευελιξία στην επίλυση προβλημάτων ndashμια προσέγγιση που κυριαρχεί στο βιβλίοndash ήταν και συνεχίζει

να είναι ανεκτίμητη Τα θετικά σχόλια που λάβαμε όλα αυτά τα χρόνια από φοιτητές μερικοί από τους

οποίους έχουν σημειώσει σημαντική πρόοδο στη σταδιοδρομία τους καθώς και από τους διδάσκοντες

στο MIT και σε άλλα ιδρύματα μας κάνουν να πιστεύουμε ότι η προσέγγιση που ακολουθούμε στο βιβλίο

είναι κατά βάση σωστή Δεχτήκαμε πολλές υποδείξεις από συναδέλφους και επωφεληθήκαμε από αυτές

για να ενσωματώσουμε τις ιδέες τους και να ενημερώσουμε την ανάλυση που κάνουμε σε ορισμένα ση-

μεία

Θεωρούμε ότι έχετε επαρκείς γνώσεις διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού ώστε να μπορείτε

να βρίσκετε παραγώγους και ολοκληρώματα απλών πολυωνυμικών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Δεν θεωρούμε δεδομένη την εξοικείωση με τις διαφορικές εξισώσεις Η πείρα μας μάς έχει δείξει ότι οι

περισσότεροι φοιτητές δεν δυσκολεύονται κυρίως στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών αλλά στο

να μάθουν πώς τις εφαρμόζουν σε προβλήματα φυσικής Αυτό έρχεται με την εξάσκηση τίποτα δεν μπο-

ρεί να υποκαταστήσει την πείρα που έρχεται από την επίλυση απαιτητικών προβλημάτων Γιrsquo αυτό και η

επίλυση προβλημάτων έχει για εμάς υψηλή προτεραιότητα Στο βιβλίο έχουμε συμπεριλάβει πολλά λυ-

μένα παραδείγματα για να σας καθοδηγήσουμε Όπου είναι δυνατό προσπαθούμε να συνδέσουμε τα πα-

ραδείγματα με ενδιαφέροντα φυσικά φαινόμενα αλλά δεν παραλείπουμε και την παιδαγωγική πλευρά

Το κλασικό παράδειγμα του σώματος που κατέρχεται ολισθαίνοντας σε ένα κεκλιμένο επίπεδο αναφέρε-

ται πολλές φορές περιπαικτικά ως το πιο βαρετό πρόβλημα της φυσικής αλλά το συγκεκριμένο σύστημα

αποκτά νέο ενδιαφέρον όταν το επίπεδο κινείται με επιτάχυνση

Τα προβλήματα που περιέχονταν στην πρώτη έκδοση προκάλεσαν το ενδιαφέρον δίδαξαν και μερι-

κές φορές αποθάρρυναν γενιές φυσικών Μερικοί από τους παλιότερους φοιτητές μας είπαν ότι η επίλυση

αυτών των προβλημάτων τους γέμισε με την αυτοπεποίθηση που χρειάζονταν για να σταδιοδρομήσουν

στη φυσική Γιrsquo αυτό κρατήσαμε τα περισσότερα από τα προβλήματα της πρώτης έκδοσης και προσθέ-

12 ΠΡΟΛΟΓΟΣ

σαμε αρκετά νέα Σεβόμαστε πάντα τη σοφία της ρήσης του Δανού μαθηματικού και εφευρέτη Piet Hein1

(σε ελεύθερη απόδοση)

laquoΤα προβλήματα με τα οποία αξίζει να ασχοληθούμε

μας εκδικούνται για να μας αποδείξουν την αξία τουςraquo

Πέρα από αυτή τη σκέψη που εμπνέει θα θέλαμε να δώσουμε στους φοιτητές μερικές πρακτικές

συμβουλές Πρέπει να λύνετε τα προβλήματα με μολύβι και χαρτί Σε γενικές γραμμές στα προβλήματα

χρειάζονται λύσεις μόνο με μαθηματικές εκφράσεις Η επίλυση με αριθμητικές τιμές έρχεται μετά αν και

εφόσον χρειάζεται Μόνο όταν εξετάζουμε τη γενική λύση μπορούμε να αποφανθούμε αν η απάντηση

ευσταθεί Χρήσιμα είναι και τα διαγράμματα Για μερικά από τα προβλήματα δίνουμε υποδείξεις και

απαντήσεις Στο βιβλίο δεν συμπεριλάβαμε λύσεις επειδή πολλές φορές είναι δύσκολο να αντισταθεί

κανείς στον πειρασμό να ελέγξει αν η προσέγγισή του είναι σωστή προτού κάνει ότι καλύτερο μπορεί

για να λύσει το πρόβλημα Η συνεργασία σε ομάδες μπορεί να είναι επωφελής για όλους όσους συμμε-

τέχουν Ωστόσο υπάρχει και ένα ξεχωριστό εγχειρίδιο λύσεων που διατίθεται από τον εκδοτικό οίκο

Cambridge University Press στους διδάσκοντες

Σε αυτό το σημείο αξίζει να αναφέρουμε δύο επαναστατικές εξελίξεις στη φυσική οι οποίες σημειώ-

θηκαν μετά την πρώτη έκδοση του βιβλίου Η πρώτη είναι η ανακάλυψη ndashακριβέστερα η εκ νέου ανα-

κάλυψηndash του χάους το 1970 και κατόπιν αυτής η ανάδειξη της θεωρίας του χάους ως ζωτικού κλάδου της

δυναμικής Επειδή δεν ήταν δυνατόν να αναπτύξουμε πλήρως αυτή τη θεωρία μέσα σε λογική έκταση

ύλης δεν επιχειρήσαμε καν να επεκταθούμε επί του θέματος Όμως σε επιστημονικό επίπεδο θα ήταν

παράλειψη από μέρους μας να παρουσιάζουμε στοιχεία τα οποία αποδεικνύουν πόσο εκπληκτικά ακρι-

βείς είναι οι νόμοι του Kepler χωρίς να αναφέρουμε ότι το ηλιακό σύστημα είναι χαοτικό αν και σε

χρονική κλίμακα πολύ μεγάλη για να είναι άμεσα αντιληπτό αυτό το φαινόμενο γιrsquo αυτό αρκεστήκαμε

απλώς σε μια φευγαλέα αναφορά στο χάος Η δεύτερη επαναστατική εξέλιξη είναι ο ηλεκτρονικός υπο-

λογιστής Η υπολογιστική φυσική είναι πλέον καθιερωμένος κλάδος της φυσικής οπότε στη φαρέτρα

των καθιερωμένων εργαλείων των φυσικών οπωσδήποτε χρειάζεται και κάποια ικανότητα στην εκτέλεση

τέτοιου είδους υπολογισμών Ωστόσο προτιμήσαμε να μη συμπεριλάβουμε προβλήματα αριθμητικών υ-

πολογισμών επειδή δεν είναι απαραίτητα για την κατανόηση των εννοιών του βιβλίου και επειδή συχνά

μας παρασέρνουν να καταναλώνουμε τον χρόνο μας χωρίς σπουδαίο λόγο

Συνοπτικά η δεύτερη έκδοση περιλαμβάνει τα εξής Το Κεφάλαιο 1 είναι μια εισαγωγή στα μαθη-

ματικά των διανυσμάτων και της κινηματικής Η σημειογραφία των διανυσμάτων είναι τυποποιημένη όχι

μόνο σε αυτό το βιβλίο αλλά και σε όλη τη φυσική γιrsquo αυτό και την εξηγούμε επιμελώς Περιγράφουμε

τη μεταφορική κίνηση με φυσικό τρόπο χρησιμοποιώντας τις γνώριμες καρτεσιανές συντεταγμένες Η

περιστροφική κίνηση είναι εξίσου σημαντική αλλά οι συντεταγμένες που ενδείκνυνται για την περιγραφή

της δεν είναι το ίδιο οικείες στους περισσότερους Επομένως δίνουμε ιδιαίτερη έμφαση στην κινηματική

με τη χρήση πολικών συντεταγμένων Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουμε τους νόμους του Νεύτωνα αρχί-

ζοντας με την (σε καμία περίπτωση τετριμμένη) έννοια των αδρανειακών συστημάτων Στη δεύτερη έκ-

δοση αυτό το κεφάλαιο έχει χωριστεί σε δύο μέρη Στο πρώτο (Κεφάλαιο 2) παρουσιάζουμε τις βασικές

αρχές ενώ στο δεύτερο (Κεφάλαιο 3) μελετούμε πώς αυτές εφαρμόζονται σε διάφορα συστήματα Στο

Κεφάλαιο 4 εισάγουμε τις έννοιες της ορμής της ροής ορμής και τη διατήρηση της ορμής Το Κεφάλαιο

5 παρουσιάζει τις έννοιες της κινητικής ενέργειας της δυναμικής ενέργειας και της διατήρησης της ενέρ-

γειας συμπεριλαμβανόμενης της θερμότητας και άλλων μορφών Στο Κεφάλαιο 6 εφαρμόζουμε τις πα-

ραπάνω έννοιες σε φαινόμενα γενικού ενδιαφέροντος στη μηχανική ταλαντώσεις μικρού πλάτους ευ-

στάθεια συζευγμένοι ταλαντωτές και κανονικοί τρόποι ταλάντωσης καθώς και συγκρούσεις Στο Κεφά-

λαιο 7 τις επεκτείνουμε στην περιστροφική κίνηση Εδώ ασχολούμαστε με την περιστροφή γύρω από

1 Πηγή Grooks 1 Piet Hein 1966 MIT Press

ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13

σταθερό άξονα ενώ στο Κεφάλαιο 8 ακολουθεί η πιο γενική περίπτωση της κίνησης του άκαμπτου σώ-

ματος Στο Κεφάλαιο 9 επιστρέφουμε στο θέμα των αδρανειακών συστημάτων και πιο συγκεκριμένα

στο πώς κατανοούμε παρατηρήσεις που γίνονται σε μη αδρανειακά συστήματα Στα Κεφάλαια 10 και 11

παρουσιάζουμε δύο θέματα γενικού ενδιαφέροντος στη φυσική την κίνηση υπό την επίδραση κεντρικών

δυνάμεων και τον εξαναγκασμένο αρμονικό ταλαντωτή αντίστοιχα Τέλος στα Κεφάλαια 12-14 κά-

νουμε μια μικρή εισαγωγή σε μία από τις πτυχές της μη νευτώνειας φυσικής την ειδική θεωρία της σχε-

τικότητας

Όταν καταρτίσαμε το μάθημα Φυσική 8012 το ακαδημαϊκό εξάμηνο στο MIT ήταν μεγαλύτερο

απrsquo όσο σήμερα οπότε συνήθως οι διδακτικές ώρες δεν είναι αρκετές ώστε να καλυφθεί όλη η ύλη του

βιβλίου Τα Κεφάλαια 1-9 αποτελούν τον επιστημονικό πυρήνα του βιβλίου Συνήθως ανάλογα με τα

ενδιαφέροντα κάθε διδάσκοντος παρουσιάζονται και κάποια από τα Κεφάλαια 9-14

Θα θέλαμε να μνημονεύσουμε τη διαχρονική συνεισφορά πολλών συναδέλφων μας στο MIT η οποία

συνέβαλε στη βελτίωση του βιβλίου Αυτοί είναι μεταξύ άλλων οι R Aggarwal GB Benedek A Bur-

gasser S Burles DD Chakrabarty L Dreher TJ Greytak HT Imai HJ Kendall (αποβιώσας)

W Ketterle S Mochrie DE Pritchard P Rebusco SW Stahler JW Whitaker FA Wilczek και

M Zwierlein Ειδική μνεία θα θέλαμε να κάνουμε στον P Doumarshkin για τη βοήθειά του

Daniel Kleppner

Robert J Kolenkow

Για τον διδάσκοντα

Αυτή η έκδοση του βιβλίου Εισαγωγή στη μηχανική όπως και η πρώτη έκδοση έχει καταρτιστεί με σκοπό

να καλύψει τις ανάγκες ενός μαθήματος διάρκειας ενός εξαμήνου Και πάλι υπάρχουν 14 κεφάλαια αλλά

μεγάλο μέρος της ύλης έχει γραφεί από την αρχή και δύο κεφάλαια είναι εντελώς καινούργια Η μελέτη

των νόμων του Νεύτωνα που είναι η βάση του μαθήματος παρουσιάζεται σε δύο κεφάλαια σε αυτή την

έκδοση Επίσης η μελέτη της ενέργειας και της διατήρησής της έχει εμπλουτιστεί και παρουσιάζεται τώρα

σε δύο κεφάλαια Το Κεφάλαιο 5 της πρώτης έκδοσης που είχε ως θέμα τον διανυσματικό λογισμό δεν

έχει συμπεριληφθεί στη δεύτερη έκδοση επειδή η σχετική ύλη δεν ήταν απαραίτητη και η μαθηματική

ανάλυση μάλλον προκαλούσε άγχος Ένα μέρος εκείνης της ύλης έχει ενταχθεί σε ένα παράρτημα του

Κεφαλαίου 5

Σε αυτή την έκδοση μελετούμε πιο εκτενώς την ενέργεια Εισάγουμε την έννοια της θερμότητας

συνδέοντας τον νόμο των ιδανικών αερίων με την έννοια της ροής ορμής Έτσι ενσωματώνουμε τη θερ-

μότητα στην αρχή διατήρησης της ενέργειας και ταυτόχρονα διευκρινίζουμε τη θεμελιώδη διαφορά με-

ταξύ θερμότητας και κινητικής ενέργειας Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζουμε μερικά στατιστικά

στοιχεία για την κατανάλωση ενέργειας σε διεθνές επίπεδο ένα θέμα που μπορεί να δώσει τροφή για

σκέψη σχετικά με τον ρόλο της φυσικής στην κοινωνία

Η μόνη άλλη σημαντική αλλαγή ήταν η αναδιάρθρωση της αναφοράς μας στη θεωρία της σχετικό-

τητας με περισσότερη έμφαση στην περιγραφή του χωροχρόνου Σε όλη την έκταση του βιβλίου προ-

σπαθήσαμε να κάνουμε τα μαθηματικά περισσότερο φιλικά στον αναγνώστη λύνοντας προβλήματα με

σκεπτικό φυσικής προτού παρουσιάσουμε τη μαθηματική λύση Εξάλλου έχουμε συμπεριλάβει αρκετά

νέα προβλήματα

Ο ρυθμός με τον οποίο πρέπει να γίνεται η παρουσίαση της ύλης στο αμφιθέατρο είναι χονδρικά ένα

κεφάλαιο την εβδομάδα Τα πρώτα εννέα κεφάλαια είναι απαραίτητα για να δημιουργηθεί το απαραίτητο

υπόβαθρο στη μηχανική τα υπόλοιπα καλύπτουν ύλη η οποία μπορεί να διδαχθεί στο μέλλον Το πρώτο

κεφάλαιο παρουσιάζει τη laquoγλώσσαraquo των διανυσμάτων και παρέχει τις απαραίτητες γνώσεις κινηματικής

που χρησιμοποιούνται σε όλο το βιβλίο Μπορείτε να ανατρέχετε ανά πάσα στιγμή στο Κεφάλαιο 1 χρη-

σιμοποιώντας το ως σημείο αναφοράς για επόμενα κεφάλαια

16 ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ

Σε μερικές περιπτώσεις μας δίνεται η ευκαιρία να παρουσιάσουμε έννοιες χρησιμοποιώντας παρα-

δείγματα βασισμένα σε σχετικά πρόσφατες εξελίξεις στη φυσική για παράδειγμα τους εξωπλανήτες την

επιβράδυνση ατόμων με λέιζερ τον διαστημικό αετό που προωθείται μέσω της πίεσης της ηλιακής ακτι-

νοβολίας καθώς και αστέρες που περιφέρονται γύρω από την κοσμική μελανή οπή στο κέντρο του γα-

λαξία μας

Συχνά ανακύπτει το ερώτημα για το ποια είναι τα προαπαιτούμενα μαθήματα για το μάθημα της

Φυσικής 8012 στο MIT Διαπιστώσαμε ότι η πιο αξιόπιστη διαδικασία για την εκτίμηση της μελλοντικής

επίδοσης των φοιτητών στο μάθημα είναι ένα διαγώνισμα πολλαπλών επιλογών στον στοιχειώδη διαφο-

ρικό και διανυσματικό λογισμό Στο άλλο άκρο μερικές φορές κάποιοι φοιτητές εγγράφονται στο μάθημα

της Φυσικής 8012 έχοντας ήδη ολοκληρώσει επιτυχώς δύο εξαμηνιαία εισαγωγικά μαθήματα φυσικής

Το να παρακολουθήσει κανείς ένα τρίτο μάθημα εισαγωγικής φυσικής μπορεί να φαίνεται ασυνήθιστο

και σκληρό όμως απrsquo όσο γνωρίζουμε όλοι αυτοί οι φοιτητές θεώρησαν ότι άξιζε τον κόπο

Κατάλογος παραδειγμάτων

Κεφάλαιο 1

11 Νόμος των συνημιτόνων 25 12 Έργο και εσωτερικό γινόμενο 26 13 Παραδείγματα του διανυσματικού (εξωτερικού)

γινομένου στη φυσική 28 14 Το εμβαδόν ως διάνυσμα 29 15 Διανυσματική άλγεβρα 31 16 Εύρεση διανύσματος

κάθετου σε δεδομένο διάνυσμα 32 17 Εύρεση της ταχύτητας από τη θέση 39 18 Ομαλή κυκλική κίνηση 40

19 Εύρεση της ταχύτητας από την επιτάχυνση 42 110 Κίνηση σε ομογενές βαρυτικό πεδίο 43 111 Επίδραση ραδιο-

κύματος σε ηλεκτρόνιο της ιονόσφαιρας 44 112 Κυκλική κίνηση και περιστρεφόμενα διανύσματα 47 113 Εύρεση

των ˆ d dtr και ˆ d dtθ με γεωμετρικό τρόπο 53 114 Κυκλική κίνηση σε πολικές συντεταγμένες 55 115 Ευθύγραμμη

κίνηση σε πολικές συντεταγμένες 55 116 Ταχύτητα χάντρας που κινείται επί της ακτίνας ενός τροχού 56 117 Κίνηση

κατά μήκος έκκεντρου κύκλου 57 118 Επιτάχυνση χάντρας που κινείται επί της ακτίνας ενός τροχού 59 119 Ακτινική

κίνηση χωρίς επιτάχυνση 60

Κεφάλαιο 2

21 Αδρανειακά και μη αδρανειακά συστήματα 78 22 Μετατροπή μονάδων 87 23 Η διελκυστίνδα των αστροναυτών

90 24 Πολλαπλές μάζες Αμαξοστοιχία 92 25 Παραδείγματα κίνησης που υπόκειται σε κινηματικούς περιορισμούς

94 26 Μάζες και τροχαλία 95 27 Σώμα και νήμα 1 96 28 Σώμα και νήμα 2 97 29 Περιστρεφόμενο σώμα 98

210 Το κωνικό εκκρεμές 100

Κεφάλαιο 3

31 Χελώνα μέσα σε ανελκυστήρα 113 32 Σώμα και νήμα 115 33 Αιωρούμενο σχοινί 116 34 Σώμα και σφήνα με

τριβή 120 35 Ο laquoπεριστρεφόμενος θάλαμος του τρόμουraquo 121 36 Περιστρεφόμενο σχοινί 123 37 Τροχαλίες 124 38 Τελική ταχύτητα 126 39 Σταγόνα βροχής που πέφτει 129 310 Κίνηση του εκκρεμούς 133 311 Όπλο με

ελατήριο και αρχικές συνθήκες 134

Κεφάλαιο 4

41 Το laquoμπόλαraquo 150 42 Η μπαγκέτα του αρχιμουσικού της μπάντας 152 43 Κέντρο μάζας μη ομογενούς ράβδου

154 44 Κέντρο μάζας τριγωνικής πλάκας 155 45 Κίνηση του κέντρου μάζας 156 46 Εξωπλανήτες 157

47 Σπρώξε με να σε τραβώraquo 161 48 Ανάκρουση κανονιού με ελατήριο 163 49 Μέτρηση της ταχύτητας μιας σφαίρας

165 410 Αναπήδηση λαστιχένιας μπάλας 166 411 Πώς μπορείτε να αποφύγετε κατάγματα του αστραγάλου 168

412 Ροή μάζας και ορμή 169 413 Φορτηγό βαγόνι και χοάνη φόρτωσης 171 414 Φορτηγό με διαρροή 171

18 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΩΝ

415 Κέντρο μάζας και η εξίσωση κίνησης του πυραύλου 173 416 Κίνηση πυραύλου σε κενό 173 417 Πύραυλος

που κινείται μέσα σε σταθερό πεδίο βαρύτητας 174 418 ldquoSaturn Vrdquo 175 419 Επιβράδυνση ατόμων με τη βοήθεια

λέιζερ 177 420 Ανάκλαση από αντικείμενο ακανόνιστου σχήματος 180 421 Διαστημικό σκάφος με ηλιακά ιστία 181 422 Πίεση αερίου 182 423 Ανάχωμα στην καμπή ενός ποταμού 184

Κεφάλαιο 5

51 Μάζα που βάλλεται προς τα επάνω σε ομογενές πεδίο βαρύτητας 199 52 Λύση της εξίσωσης της απλής αρμονικής

κίνησης 200 53 Κατακόρυφη κίνηση σε πεδίο αντιστρόφου τετραγώνου 202 54 Κωνικό εκκρεμές 207 55 Ταχύτητα

διαφυγής ndash η γενική περίπτωση 207 56 Ανάβαση στο Empire State Building 209 57 Αντεστραμμένο εκκρεμές 210

58 Έργο σταθερής δύναμης 212 59 Έργο κεντρικής δύναμης 213 510 Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα που εξαρτάται

από τη διαδρομή 214 511 Παραμετρικός υπολογισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος 215 512 Λύση προβλήματος

δυναμικής βασισμένη στην ενέργεια 217 513 Δυναμική ενέργεια ομογενούς πεδίου δυνάμεων 219 514 Δυναμική

ενέργεια κεντρικής δύναμης 219 515 Δυναμική ενέργεια της τριδιάστατης δύναμης ελατηρίου 220 516 Χάντρα

στεφάνι και ελατήριο 221 517 Σώμα που ολισθαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο 225 518 Θερμοχωρητικότητα αερίου 228 519 Αρχές διατήρησης και νετρίνα 230 520 Ενέργεια και ροή νερού από το φράγμα Hoover 232

Κεφάλαιο 6

61 Μοριακές δονήσεις 251 62 Δυναμικό Lennard-Jones 252 63 Μικρές ταλαντώσεις μηχανικού ισορροπιστή 255 64 Ευστάθεια του μηχανικού ισορροπιστή 257 65 Μεταφορά ενέργειας μεταξύ συζευγμένων ταλαντωτών 260

66 Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης διατομικού μορίου 261 67 Γραμμικές δονήσεις του διοξειδίου του άνθρακα 263

68 Ελαστική σύγκρουση δύο σφαιρών 267 69 Περιορισμοί στη γωνία σκέδασης στο σύστημα αναφοράς του

εργαστηρίου 271

Κεφάλαιο 7

71 Στροφορμή ολισθαίνοντος σώματος 283 72 Στροφορμή του κωνικού εκκρεμούς 284 73 Ροπές αδράνειας

μερικών απλών αντικειμένων 288 74 Ροπή που οφείλεται στη βαρύτητα 292 75 Ροπή και δύναμη σε κατάσταση

ισορροπίας 293 76 Κίνηση υπό την επίδραση κεντρικής δύναμης και ο νόμος των ίσων εμβαδών 294 77 Ενεργός

διατομή πλανήτη για οριακή βαρυτική έλξη διαστημοπλοίου 296 78 Στροφορμή ολισθαίνοντος σώματος 2 298

79 Δυναμική του κωνικού εκκρεμούς 300 710 Η μηχανή του Atwood με μη αβαρή τροχαλία 304 711 Εκκρεμές του

Kater 307 712 Δρύφρακτο σιδηροδρομικής διασταύρωσης 308 713 Στροφορμή κυλιόμενου τροχού 312

714 Δίσκος στον πάγο 315 715 Κύλινδρος που κατέρχεται σε κεκλιμένο επίπεδο 316 716 Κύλινδρος που κατέρχεται

σε κεκλιμένο επίπεδο ndash λύση με μελέτη της ενέργειας 319 717 Ράβδος που πέφτει 320

Κεφάλαιο 8

81 Περιστροφές κατά πεπερασμένες γωνίες 340 82 Περιστροφή στο επίπεδο xndashy 343 83 Η διανυσματική φύση της

γωνιακής ταχύτητας 344 84 Στροφορμή μαζών σε περιστρεφόμενη λοξή ράβδο 345 85 Ροπή στην περιστρεφόμενη

λοξή ράβδο 346 86 Ροπή στην περιστρεφόμενη λοξή ράβδο (γεωμετρική μέθοδος) 347 87 Μετάπτωση γυροσκοπίου

352 88 Γιατί μεταπίπτει το γυροσκόπιο 352 89 Μετάπτωση των ισημεριών 354 810 Γυροσκοπική πυξίδα 356

811 Κίνηση της γυροσκοπικής πυξίδας 357 812 Ευστάθεια περιστρεφόμενων αντικειμένων 359 813 Περιστρε-

φόμενος αλτήρας 366 814 Ο τανυστής αδράνειας μιας περιστρεφόμενης λοξής ράβδου 367 815 Γιατί ένας ιπτάμενος

δίσκος είναι καλύτερος από ένα ιπτάμενοhellip πούρο 370 816 Δυναμική ευστάθεια της κίνησης άκαμπτου σώματος 379 817 Περιστρεφόμενη ράβδος 380 818 Εξισώσεις του Euler και μετάπτωση χωρίς ροπή 381

Κεφάλαιο 9

91 Η φαινόμενη δύναμη της βαρύτητας 401 92 Κύλινδρος σε επιταχυνόμενη σανίδα 402 93 Εκκρεμές σε επιταχυ-

νόμενο αυτοκίνητο 403 94 Η δύναμη που προκαλεί τις παλίρροιες 405 95 Ύψος ισορροπίας των παλιρροιών 408 96 Επιφάνεια περιστρεφόμενου υγρού 417 97 Χάντρα που ολισθαίνει και δύναμη Coriolis 418 98 Εκτροπή μάζας

που πέφτει 419 99 Κίνηση στην περιστρεφόμενη Γη 421 910 Καιρικά συστήματα 422 911 Το εκκρεμές του

Foucault 425

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΩΝ 19

Κεφάλαιο 10

101 Περιγραφή της κίνησης ελεύθερων σωματιδίων με κεντρικές δυνάμεις 442 102 Πώς το ηλιακό μας σύστημα

συλλαμβάνει βαρυτικά τους κομήτες 445 103 Διαταραγμένη κυκλική τροχιά 446 104 Σκέδαση Rutherford (Coulomb)

452 105 Γεωστατική τροχιά 458 106 Μετάθεση δορυφόρου σε νέα τροχιά 1 458 107 Μετάθεση δορυφόρου σε

νέα τροχιά 2 461 108 Τρωικοί αστεροειδείς και σημεία Lagrange 462 109 Κοσμικές τροχιές Kepler και μάζα μελανής

οπής 464

Κεφάλαιο 11

111 Ενσωμάτωση των αρχικών συνθηκών 477 112 Φυσικοί περιορισμοί στην κίνηση με απόσβεση 482 113 Το Q

δύο απλών ταλαντωτών 483 114 Ανάλυση ταλαντωτή με απόσβεση σε γράφημα 484 115 Επίδειξη εξαναγκασμένου

αρμονικού ταλαντωτή 487 116 Αρμονικός αναλυτής 490 117 Μειωτήρας δονήσεων 492

Κεφάλαιο 12

121 Εφαρμογή του μετασχηματισμού του Γαλιλαίου 512 122 Περιγραφή ενός παλμού φωτός με τον μετασχηματισμό

του Γαλιλαίου 514 123 Ταυτοχρονισμός 515 124 Ο ρόλος της διαστολής χρόνου σε ένα ατομικό ρολόι 520

125 Διαστολή του χρόνου συστολή του μήκος και διάσπαση των μιονίων 524 126 Μια εφαρμογή του μετασχημα-

τισμού Lorentz 525 127 Αλληλουχία γεγονότων χρονοειδή και χωροειδή διαστήματα 526 128 Η ταχύτητα του φωτός

σε κινούμενο μέσο 529 129 Ναυσιπλοΐα με το φαινόμενο Doppler 533

Κεφάλαιο 13

131 Εξάρτηση της μάζας του ηλεκτρονίου από την ταχύτητα 546 132 Σχετικιστική ενέργεια και ορμή σε μη ελαστική

κρούση 549 133 Ισοδυναμία μάζας και ενέργειας 551 134 Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο 555 135 Η πίεση του

φωτός 556 136 Φαινόμενο Compton 558 137 Δίδυμη γένεση 560 138 Το φαινόμενο Doppler στο μοντέλο των

φωτονίων 561 139 Η βαρυτική μετατόπιση προς το ερυθρό στο μοντέλο των φωτονίων 563

Κεφάλαιο 14




121 Ορισμός διανύσματος 22


131 Πολλαπλασιασμός διανύσματος με βαθμωτή ποσότητα 23

132 Πρόσθεση διανυσμάτων 24

133 Αφαίρεση διανυσμάτων 24

134 Αλγεβρικές ιδιότητες διανυσμάτων 24


141 Βαθμωτό γινόμενο (ή εσωτερικό γινόμενο) 25

142 Διανυσματικό γινόμενο (ή εξωτερικό γινόμενο) 26





181 Κίνηση σε μία διάσταση 36

182 Κίνηση σε περισσότερες από μία διαστάσεις 37



1101 Περιστρεφόμενα διανύσματα 46


1111 Πολικές συντεταγμένες 50

1112

ˆ d dtr και ˆ d dtθ σε πολικές συντεταγμένες 52

1113 Η ταχύτητα σε πολικές συντεταγμένες 54

1114 Η επιτάχυνση σε πολικές συντεταγμένες 57







ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΑΙ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ

11 Εισαγωγή

Η μηχανική αποτελεί τον κεντρικό πυρήνα της φυσικής Οι έννοιες που περιγράφει είναι απαραίτητες για

την κατανόηση του κόσμου που μας περιβάλλει καθώς και των φαινομένων κάθε κλίμακας από το ατο-

μικό έως το κοσμικό επίπεδο Έννοιες όπως η ορμή η στροφορμή και η ενέργεια διαδραματίζουν σημα-

ντικό ρόλο πρακτικά σε κάθε τομέα της φυσικής Στόχος του βιβλίου είναι να σας βοηθήσει να κατανο-

ήσετε σε βάθος τις αρχές της μηχανικής

Ξεκινάμε με τη μελέτη των διανυσμάτων και της κινηματικής ndashκαι όχι απευθείας με τις έννοιες της

δυναμικήςndash επειδή θέλουμε να είμαστε σε θέση να χρησιμοποιούμε άμεσα αυτά τα εργαλεία κατά τη

μελέτη των φυσικών αρχών Για να μη διακόπτουμε τη ροή της μελέτης θα μελετήσουμε τα διανύσματα

και την κινηματική ευθύς εξαρχής ώστε να είναι στη διάθεσή μας όταν θα μας χρειαστούν στη συνέχεια

12 ∆ιανύσματα

Τα διανύσματα μας εισάγουν με απλό τρόπο στον ρόλο των μαθηματικών στη φυσική Με τη βοήθεια

της διανυσματικής σημειογραφίας οι νόμοι της φυσικής γράφονται με απλές και περιληπτικές εκφράσεις

Η σύγχρονη διανυσματική σημειογραφία επινοήθηκε από τον φυσικό Willard Gibbs του Πανεπιστημίου

Yale με κύριο σκοπό να απλουστεύσει τον τρόπο γραφής των εξισώσεων Για παράδειγμα με τη σημειο-

γραφία του 19ου αιώνα ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα γράφεται ως εξής

x xF ma=

y yF ma=

z zF ma=

Με τη διανυσματική σημειογραφία γράφουμε απλώς

mF a=

όπου τα σύμβολα F και a τα οποία είναι γραμμένα με έντονη γραφή αντιπροσωπεύουν διανύσματα

Το βασικό κίνητρο πίσω από τη χρήση των διανυσμάτων είναι η γραφή των εξισώσεων σε πιο απλή

μορφή Όμως όπως θα διαβάσουμε στο Κεφάλαιο 14 τα διανύσματα έχουν πολύ βαθύτερη σημασία

Είναι στενά συνδεδεμένα με τις βασικές αρχές της συμμετρίας και η χρήση τους μπορεί να οδηγήσει σε

πολύτιμες διαπιστώσεις για τις διάφορες πιθανές μορφές άγνωστων νόμων

121 Ορισμός διανύσματος

Οι μαθηματικοί θεωρούν το διάνυσμα ως ένα σύνολο αριθμών που διέπεται από κανόνες οι οποίοι ορί-

ζουν πώς αυτοί οι αριθμοί μεταβάλλονται όταν αλλάζει το σύστημα συντεταγμένων Για τους δικούς μας

σκοπούς αρκεί ένας πιο απλός γεωμετρικός ορισμός Μπορούμε να θεωρήσουμε το διάνυσμα ως ένα

προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα Σχηματικά απεικονίζουμε το διάνυσμα με ένα βέλος το οποίο δεί-

χνει το μήκος και την κατεύθυνσή του Μερικές φορές τα διανύσματα επισημαίνονται με γράμματα ε-

πάνω από τα οποία υπάρχει το σύμβολο του βέλους ndashπχ A

ndash αλλά για τον συμβολισμό των διανυσμά-

των εμείς θα χρησιμοποιούμε την εξής σύμβαση Κάθε διάνυσμα θα συμβολίζεται με ένα γράμμα γραμ-

μένο με έντονη γραφή πχ A

Για να περιγράψουμε ένα διάνυσμα πρέπει να καθορίσουμε τόσο το μήκος όσο και την κατεύθυνσή

του Εφόσον δεν επισημαίνεται κάτι επί τούτου θα θεωρούμε ότι σε μια παράλληλη μετατόπισή του το

διάνυσμα δεν μεταβάλλεται Επομένως όλα τα βέλη που φαίνονται στο επόμενο σχήμα αντιστοιχούν στο

ίδιο διάνυσμα


Αν δύο διανύσματα έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση τότε είναι ίσα Για παράδειγμα τα

διανύσματα B και C είναι ίσα

B C=

Το μέτρο του διανύσματος συμβολίζεται με κάθετες γραμμές ή εφόσον δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυ-

σης με πλάγια γραφή Για παράδειγμα το μέτρο του A γράφεται A ή απλώς A Αν το μήκος του A

είναι 2 τότε 2AA = = Τα διανύσματα έχουν διαστάσεις πχ μονάδες απόστασης ταχύτητας ε-

πιτάχυνσης δύναμης ή ορμής

Αν το μήκος ενός διανύσματος είναι ίσο με μονάδα τότε ονομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα (unit vec-

tor) Το μοναδιαίο διάνυσμα συμβολίζεται με ένα γωνιώδες σύμβολο επάνω από το γράμμα Για παρά-

δειγμα το μοναδιαίο διάνυσμα που είναι παράλληλο ως προς το διάνυσμα A είναι το ˆ A Έπεται ότι

ˆ

A

AA =

και ισοδύναμα

ˆAA A=

Το μέτρο κάθε διανύσματος συνοδεύεται από τη μονάδα μέτρησής του (ή αλλιώς τη φυσική του διά-

σταση) Τα μοναδιαία διανύσματα είναι αδιάστατα

13 ∆ιανυσματική άλγεβρα

Πρέπει να έχουμε τη δυνατότητα να κάνουμε πράξεις με διανύσματα όπως να προσθέτουμε να αφαι-

ρούμε και να πολλαπλασιάζουμε δύο διανύσματα Δεν θα κάνουμε διαίρεση διανυσμάτων αφού δεν πρό-

κειται να προκύψει τέτοια ανάγκη αλλά για να αντισταθμίσουμε αυτή την laquoπαράλειψηraquo θα ορίσουμε

δύο μορφές πολλαπλασιασμού διανυσμάτων που είναι χρήσιμες αμφότερες Αναφέρουμε συνοπτικά τις

βασικές αλγεβρικές πράξεις με διανύσματα

131 Πολλαπλασιασμός διανύσματος με βαθμωτή ποσότητα

Αν πολλαπλασιάσουμε το διάνυσμα A με μια βαθμωτή ποσότητα δηλαδή με έναν απλό αριθμό b το

αποτέλεσμα της πράξης είναι ένα νέο διάνυσμα bC A= Αν 0b gt τότε το διάνυσμα C είναι παράλληλο

ως προς το A και το μέτρο του είναι b φορές μεγαλύτερο Έτσι ˆ ˆC A= και C bA=

Αν 0b lt τότε το διάνυσμα bC A= έχει αντίθετη κατεύθυνση από το A (είναι αντιπαράλληλο) και

το μέτρο του είναι C b A= Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνονται και οι δύο περιπτώσεις

C

B


132 Πρόσθεση διανυσμάτων

Η πρόσθεση δύο διανυσμάτων ερμηνεύεται γεωμετρικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Ο κανόνας

είναι ο εξής Για να προσθέσουμε το διάνυσμα B στο διάνυσμα A μετατοπίζουμε παράλληλα το B και

τοποθετούμε την αρχή του στο τέλος του A (στη μύτη του βέλους του) Το άθροισμα είναι ένα διάνυσμα

που ξεκινά από την αρχή του διανύσματος A και καταλήγει στο τέλος του διανύσματος B

133 Αφαίρεση διανυσμάτων

Επειδή ( )A B A Bminus = + minus για να αφαιρέσουμε το διάνυσμα B από το A απλώς πολλαπλασιάζουμε το B

με ndash1 και μετά κάνουμε πρόσθεση Η διαδικασία φαίνεται στο σχήμα

Ισοδύναμα για να κάνουμε την πράξη A Bminus και να βρούμε το αντίστοιχο διάνυσμα τοποθετούμε

το τέλος (τη μύτη του βέλους) του B στο τέλος του A Έτσι το διάνυσμα A Bminus ξεκινά από την αρχή του

A και καταλήγει στην αρχή του B όπως φαίνεται και στο σχήμα

134 Αλγεβρικές ιδιότητες διανυσμάτων

Εύκολα αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες πράξεων

Αντιμεταθετική ιδιότητα

A B B A+ = +

Προσεταιριστική ιδιότητα

( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=

Επιμεριστική ιδιότητα

( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +

Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η γεωμετρική απόδειξη της αντιμεταθετικής ιδιότητας A B B A+ = +

Προσπαθήστε να αποδείξετε τις υπόλοιπες

AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A

A + (minusB) = A minus B A minus B

A BminusB minusB


14 Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων

Ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με ένα άλλο διάνυσμα μπορεί να δώσει ως αποτέλεσμα διάνυσμα

βαθμωτή ποσότητα ή κάποια άλλη ποσότητα Το αποτέλεσμα εξαρτάται από το τι ζητάμε Στη φυσική

αποδεικνύονται πολύ χρήσιμα τα δύο είδη πολλαπλασιασμού διανυσμάτων που αναφέρουμε στη συνέχεια

141 Βαθμωτό γινόμενο (ή εσωτερικό γινόμενο)

Το πρώτο είδος πολλαπλασιασμού διανυσμάτων ονομάζεται βαθμωτό γινόμενο (scalar product) ακριβώς ε-

πειδή το αποτέλεσμα της πράξης είναι βαθμωτή ποσότητα δηλαδή ένας αριθμός Το βαθμωτό γινόμενο είναι

δηλαδή μια πράξη που παράγει έναν αριθμό από δύο διανύσματα Το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων

A και B γράφεται A Bsdot και συχνά ονομάζεται και εσωτερικό γινόμενο (dot product) Το A Bsdot ορίζεται ως

εξής

cosAB θA Bsdot equiv

Στην τελευταία εξίσωση το θ είναι η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα A και B όταν μετατε-

θούν ώστε να ξεκινούν από το ίδιο σημείο (δηλαδή όταν οι αρχές των βελών τους συμπίπτουν) Επειδή

το cosB θ είναι η προβολή του διανύσματος B στη διεύθυνση του Α έπεται ότι

φορές την προβολή του επί του


A

B

A B B A

A B

sdot =

=

Να σημειωθεί ότι 2

2AA A Asdot = = Επίσης A B B Asdot = sdot δηλαδή η σειρά των διανυσμάτων δεν αλλάζει

το αποτέλεσμα Άρα στην πράξη του εσωτερικού γινομένου ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα

Αν είτε το A είτε το B είναι μηδενικό τότε το εσωτερικό γινόμενό τους είναι ίσο με μηδέν Ωστόσο

επειδή cos 2 0π = το εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι πάντα ίσο με μηδέν αν

τα διανύσματα είναι μεταξύ τους κάθετα

Πολλά στοιχεία βασικής τριγωνομετρίας απορρέουν από τις ιδιότητες των διανυσμάτων Θα παρα-

θέσουμε μια σχεδόν τετριμμένη απόδειξη του νόμου των συνημιτόνων με τη βοήθεια του εσωτερικού

γινομένου

Παράδειγμα 11 Νόμος των συνημιτόνων

Ο νόμος των συνημιτόνων συσχετίζει τα μήκη των τριών πλευρών ενός τριγώνου με το συνημίτονο

μίας από τις γωνίες του Ακολουθούμε τη σημειογραφία του παρακάτω σχήματος και έτσι ο νόμος

των συνημιτόνων γράφεται ως εξής

2 2 22 cosC A B AB= + minus

A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A

Προβολή τουΒ επί του Α

θ


Ο νόμος αποδεικνύεται με διάφορες τριγωνομετρικές ή γεωμετρικές μεθόδους αλλά καμία από αυ-

τές δεν είναι τόσο απλή και στρωτή όσο η απόδειξη με τη βοήθεια των διανυσμάτων στην οποία

απλώς υψώνουμε στο τετράγωνο το άθροισμα δύο διανυσμάτων

2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +

= sdot + sdot + sdot

= + +

Αφού όμως cos cos θφ = minus έχουμε καταλήξει στο ζητούμενο

Παράδειγμα 12 Έργο και εσωτερικό γινόμενο

Το εσωτερικό γινόμενο βρίσκει εφαρμογή στη φυσική Περιγράφει το έργο που παράγει μια δύναμη

Ως γνωστόν το έργο W που παράγει μια σταθερή δύναμη F σε ένα σώμα ορίζεται ως το γινόμενο

του μήκους της μετατόπισης d με τη συνιστώσα της F κατά μήκος της διεύθυνσης μετατόπισης Αν

η δύναμη εφαρμόζεται με γωνία θ ως προς τη μετατόπιση όπως φαίνεται στο σχήμα τότε

( cos )W F θ d=

Αν υποθέσουμε ότι η δύναμη και η μετατόπιση μπορούν να γραφούν και οι δύο ως διανύσματα

τότε η εξίσωση γράφεται ως εξής

W F d= sdot

142 ∆ιανυσματικό γινόμενο (ή εξωτερικό γινόμενο)

Το δεύτερο είδος γινομένου που είναι χρήσιμο στη φυσική είναι το διανυσματικό γινόμενο (vector prod-

uct) στο οποίο από δύο διανύσματα A και B προκύπτει ένα τρίτο διάνυσμα το C Το σύμβολο που

χρησιμοποιείται για την πράξη του διανυσματικού γινομένου που ονομάζεται και εξωτερικό γινόμενο

(cross product) είναι το εξής

C A B= times

Σε σχέση με το εσωτερικό γινόμενο το διανυσματικό γινόμενο είναι πιο σύνθετη πράξη επειδή πρέ-

πει να προσδιορίσουμε το μέτρο και την κατεύθυνση του διανύσματος A Btimes Το μέτρο του ορίζεται ως

εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=

όπου θ είναι η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ των A και B όταν αυτά μετατεθούν ώστε να ξεκινούν από

το ίδιο σημείο (δηλαδή όταν οι αρχές των βελών τους συμπίπτουν)

Για να μην υπάρχει ασάφεια η γωνία θ θεωρείται πάντα ότι είναι εκείνη που είναι μικρότερη από π

Ακόμα και αν κανένα από τα δύο διανύσματα δεν είναι μηδενικό τότε το διανυσματικό γινόμενο μπορεί

να είναι ίσο με μηδέν αν 0θ = ή θ π= δηλαδή αν τα διανύσματα είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα

Έπεται ότι

0A Atimes =

για οποιοδήποτε διάνυσμα A

Κάθε ζεύγος διανυσμάτων A και B που έχουν κοινή αρχή ορίζουν ένα επίπεδο Προφανώς από το

ένα διάνυσμα πχ το A διέρχεται ένα οποιοδήποτε επίπεδο Αρκεί να περιστρέψουμε αυτό το επίπεδο

ώστε να περιέχει και το διάνυσμα B

Ορίζουμε τη διεύθυνση του διανύσματος C ως κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν τα A και B Τα τρία

διανύσματα A B και C ορίζουν την τριάδα του κανόνα του δεξιού χεριού Φανταστείτε ένα σύστημα

συντεταγμένων με τα διανύσματα Α και Β να βρίσκονται στο επίπεδο xndashy όπως φαίνεται στο σχήμα Ο

προσανατολισμός του συστήματος συντεταγμένων καθορίζεται από τον μνημονικό κανόνα του δεξιού

χεριού

Το διάνυσμα A βρίσκεται επί του άξονα x και το B μεταξύ των αξόνων x και y Στην τριάδα του

κανόνα του δεξιού χεριού που ορίζουν τα διανύσματα A B και C το διάνυσμα C βρίσκεται στο θετικό

τμήμα του άξονα z Θα χρησιμοποιούμε πάντα τέτοια συστήματα συντεταγμένων των οποίων ο προσα-

νατολισμός καθορίζεται από τον μνημονικό κανόνα του δεξιού χεριού όπως είναι αυτό που φαίνεται στο

σχήμα

Υπάρχει και ένας άλλος τρόπος για να προσδιορίσουμε την κατεύθυνση του διανύσματος του εξωτε-

ρικού γινομένου Ας φανταστούμε ότι έχουμε έναν δεξιόστροφο κοχλία με τον άξονά του κάθετο ως προς

τα A και B Αν τον περιστρέψουμε κατά την κατεύθυνση προς την οποία κινείται το A ώστε να συμπέσει

με το B τότε το διάνυσμα C βρίσκεται στην κατεύθυνση προς την οποία προχωρά ο κοχλίας

Απόρροια του ορισμού του εξωτερικού γινομένου είναι το εξής

B A A Btimes = minus times

A

B

θ

AB

C

z

y

x


Επομένως στο διανυσματικό (εξωτερικό) γινόμενο η σειρά πολλαπλασιασμού έχει σημασία Στην πράξη

του διανυσματικού γινομένου δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα αφού αν αντιστραφεί η σειρά πολ-

λαπλασιασμού το αποτέλεσμα έχει αντίθετο πρόσημο

Παράδειγμα 13 Παραδείγματα του διανυσματικού (εξωτερικού) γινομένου στη φυσική

Το διανυσματικό γινόμενο βρίσκει πολλές εφαρμογές στη φυσική Για παράδειγμα στην αλληλεπί-

δραση ενός φορτισμένου σωματιδίου με ένα μαγνητικό πεδίο η δύναμη είναι ανάλογη του φορτίου q

της έντασης B του μαγνητικού πεδίου και της ταχύτητας v του σωματιδίου Η δύναμη μεταβάλλεται

όταν αλλάζει το ημίτονο της γωνίας μεταξύ v και B και είναι κάθετη ως προς στο επίπεδο που

σχηματίζουν τα διανύσματα v και B στην κατεύθυνση που επισημαίνεται

Όλοι αυτοί οι κανόνες συνδυάζονται και αποτυπώνονται στην παρακάτω εξίσωση

qF v B= times

Άλλη περίπτωση στην οποία εφαρμόζεται το διανυσματικό γινόμενο είναι ο ορισμός της ροπής τον

οποίο θα διατυπώσουμε στο Κεφάλαιο 7 Προς το παρόν θα αναφέρουμε επιγραμματικά ότι το

διάνυσμα της ροπής τ ορίζεται από την εξίσωση

τ r F= times

όπου r είναι το διάνυσμα της απόστασης από τον άξονα ως προς τον οποίο πρόκειται να υπολογιστεί

η ροπή έως το σημείο εφαρμογής της δύναμης F Αυτός ο ορισμός συνάδει με αυτό που μας είναι

ήδη γνωστό Η ροπή δείχνει αν η εφαρμοζόμενη δύναμη μπορεί να προκαλέσει στροφή Επισημαί-

νουμε ότι μια μεγάλη δύναμη η οποία είναι παράλληλη με το r δεν προκαλεί στροφή αλλά απλώς

ασκεί έλξη τραβά Μόνο η sin F θ δηλαδή η συνιστώσα της δύναμης που είναι κάθετη στο r

προκαλεί ροπή

A

(Το Α είναι κάθετο στο επίπεδο τηςσελίδας και έχει φορά προς τα μέσα)

B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ


Έστω ότι ανοίγουμε την πόρτα του φράκτη ενός κήπου Ο άξονας περιστροφής είναι η κατακόρυφη

ευθεία που διέρχεται από τους μεντεσέδες της πόρτας Όταν σπρώχνουμε την πόρτα ώστε να ανοί-

ξει ενστικτωδώς εφαρμόζουμε μια δύναμη με τέτοιον τρόπο ώστε η F να ασκείται σχεδόν κάθετα

ως προς το r προκειμένου να δημιουργηθεί η μέγιστη δυνατή ροπή Επειδή η ροπή αυξάνεται όσο

μεγαλώνει ο μοχλοβραχίονας σπρώχνουμε το άκρο της πόρτας δηλαδή όσο πιο μακριά γίνεται από

την ευθεία που ορίζουν οι μεντεσέδες

Όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 7 η φυσική κατεύθυνση της τ είναι κατά μήκος του άξονα της περι-

στροφής που τείνει να προκαλέσει η ροπή Όλα τα παραπάνω συνοψίζονται στην απλή εξίσωση

τ r F= times

Παράδειγμα 14 Το εμβαδόν ως διάνυσμα

Μπορούμε να χρησιμοποιούμε το διανυσματικό γινόμενο για να περιγράφουμε επιφάνειες Συνήθως

σκεφτόμαστε το εμβαδό απλώς ως την τιμή του μεγέθους μιας επιφάνειας Όμως σε πολλές εφαρ-

μογές στη φυσική είναι απαραίτητο να καθορίσουμε και τον προσανατολισμό της εκάστοτε επιφά-

νειας Για παράδειγμα αν θέλουμε να υπολογίσουμε τον ρυθμό της ροής του νερού ενός υδάτινου

ρεύματος δια μέσου ενός συρμάτινου βρόχου ορισμένης επιφάνειας προφανώς υπάρχει διαφορά αν

το επίπεδο του βρόχου είναι κάθετο ή παράλληλο ως προς τη ροή (Αν είναι παράλληλο η ροή δια

μέσου του βρόχου είναι μηδενική) Ας δούμε πώς λύνεται αυτό το πρόβλημα με τη βοήθεια του

διανυσματικού γινομένου

Θεωρούμε την επιφάνεια του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν δύο διανύσματα C και D Η επι-

φάνεια A του παραλληλεπιπέδου δίνεται από την εξίσωση

βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times

Το μέτρο του διανύσματος του εξωτερικού γινομένου μας δίνει το εμβαδό της επιφάνειας του πα-

ραλληλογράμμου αλλά πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε προσανατολισμό σε μια επιφάνεια Στο

επίπεδο του παραλληλογράμμου μπορούμε να θεωρήσουμε άπειρα διαφορετικά διανύσματα προς

όλες τις κατευθύνσεις άρα κανένα από αυτά δεν είναι μοναδικό Η χαρακτηριστική μοναδική κα-

τεύθυνση που προτιμούμε είναι η κάθετος ως προς το επίπεδο όπως καθορίζεται από το μοναδιαίο

διάνυσμα ˆn Άρα θεωρούμε ότι η επιφάνεια περιγράφεται από το διάνυσμα A που είναι παράλληλο

στο μοναδιαίο διάνυσμα ˆn Έτσι το μέτρο και η κατεύθυνση του διανύσματος A δίνονται συνο-

πτικά από την εξίσωση του εξωτερικού γινομένου

A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ


Απομένει μια μικρή ασάφεια καθώς το μοναδιαίο διάνυσμα n μπορεί να έχει φορά προς οποιαδή-

ποτε από τις δύο πλευρές της επιφάνειας Κάλλιστα θα μπορούσαμε να έχουμε ορίσει την επιφάνεια

ως εξής A D C C D= times = minus times Γενικά πάντως αρκεί να τηρούμε με συνέπεια όποια από τις δύο μορ-

φές διαλέξουμε

15 Συνιστώσες διανύσματος

Και μόνο το γεγονός ότι έχουμε αναφερθεί στα διανύσματα χωρίς να ορίσουμε ένα συγκεκριμένο σύ-

στημα συντεταγμένων δείχνει γιατί τα διανύσματα είναι τόσο χρήσιμα Οι πράξεις με διανύσματα ορίζο-

νται ανεξαρτήτως του συστήματος συντεταγμένων Όμως τελικά θα χρειαστεί να μετατρέψουμε τα αφη-

ρημένα αποτελέσματα σε απτά οπότε σε εκείνο το σημείο θα πρέπει να επιλέξουμε ένα σύστημα συντε-

ταγμένων στο οποίο θα εργαστούμε

Η αναλυτική γεωμετρία δηλαδή ο συνδυασμός της άλγεβρας και της γεωμετρίας είναι ένα ισχυρό

εργαλείο το οποίο χρησιμοποιούμε σε πολλούς υπολογισμούς Περιγράφει αξιόπιστα και με συνέπεια

γεωμετρικά αντικείμενα μέσω ενός συνόλου από αριθμούς και έτσι διευκολύνει σε μεγάλο βαθμό την

εκτέλεση ποσοτικών υπολογισμών Με τη βοήθεια της αναλυτικής γεωμετρίας ακόμα και μαθητές σχο-

λείου μπορούν να λύσουν με ευκολία προβλήματα τα οποία θα δυσκόλευαν τον αρχαίο Έλληνα γεωμέτρη

Ευκλείδη Η αναλυτική γεωμετρία αναπτύχθηκε ως πλήρης μαθηματικός κλάδος κατά το πρώτο μισό του

17ου αιώνα από τον Γάλλο μαθηματικό Καρτέσιο αλλά και ανεξάρτητα από τον σύγχρονό του επίσης

Γάλλο Pierre Fermat

Για λόγους απλότητας καταρχήν θα περιοριστούμε σε ένα διδιάστατο σύστημα συντεταγμένων το

γνωστό επίπεδο xndashy Στο σχήμα φαίνεται ένα διάνυσμα A στο επίπεδο xndashy

Οι προβολές του διανύσματος A στους άξονες συντεταγμένων x και y ονομάζονται συνιστώσες του

διανύσματος A και συμβολίζονται με xA και yA αντίστοιχα Το μέτρο του A είναι 2 2x yA A A= + ενώ

ο φορέας του A σχηματίζει γωνία arctan ( )y xθ A A= με τον άξονα x

Αφού οι συνιστώσες ορίζουν ένα διάνυσμα αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα προσδιορίζεται πλήρως

από τις συνιστώσες του Έτσι

( )x yA AA =

ή γενικότερα σε τρεις διαστάσεις

( )x y zA A AA =

Να αποδείξετε μόνοι σας ότι 2 2 2x y zA A A A= + +

Αν δύο διανύσματα είναι ίσα ( A B= ) τότε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων οι αντίστοιχες συνι-

στώσες τους είναι ίσες

x x y y z zA B A B A B= = =

θ

Ax

Ay

x

y

A


Δηλαδή η μία και μόνη διανυσματική εξίσωση A B= αντιστοιχεί στην πραγματικότητα σε τρεις αριθ-

μητικές εξισώσεις (εξισώσεις με βαθμωτές ποσότητες)

Το διάνυσμα A υφίσταται ανεξάρτητα του συστήματος συντεταγμένων Όμως οι συνιστώσες του A

εξαρτώνται από το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται Για να γίνει αυτό σαφές ας μελετή-

σουμε το διάνυσμα A σε δύο διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων

Στην πρώτη περίπτωση

σύστημ( 0 α ) ( )A x yA =

ενώ στην περίπτωση του δεύτερου συστήματος συντεταγμένων

σύστημα(0 ) ( ) A x yA

prime prime= minus

Όλες οι διανυσματικές πράξεις μπορούν να γραφούν σε μορφή εξισώσεων που περιλαμβάνουν τις συνι-

στώσες Για παράδειγμα ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με μια βαθμωτή ποσότητα γράφεται ως

εξής

( )x y zc cA cA cAA =

Η εξίσωση που περιγράφει την πρόσθεση διανυσμάτων είναι

( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +

Αν γράψουμε τα διανύσματα A και B ως αθροίσματα διανυσμάτων σε καθέναν από τους άξονες συντε-

ταγμένων θα επαληθεύσουμε ότι

x x y y z zA B A B A BA Bsdot = + +

Θα δούμε τον υπολογισμό του εξωτερικού γινομένου στην επόμενη ενότητα

Παράδειγμα 15 Διανυσματική άλγεβρα

Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =

Να βρείτε τα A B+ A Bminus A Β A Bsdot καθώς και το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζουν τα

A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)

A Bminus = minus minus minus minus

= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A


25 Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα 75

26 Τρίτος νόμος του Νεύτωνα 78

27 Θεμελιώδεις μονάδες και πρότυπα μέτρα 83

28 Η άλγεβρα των διαστάσεων 86

29 Εφαρμογές των νόμων του Νεύτωνα 88

210 Δυναμική με χρήση πολικών συντεταγμένων 96


3 ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 107


32 Οι θεμελιώδεις δυνάμεις της φυσικής 108

33 Βαρύτητα 109

34 Μερικές φαινομενολογικές δυνάμεις 115

35 Εμβόλιμη αναφορά στις διαφορικές εξισώσεις 122

36 Ιξώδες 126

37 Ο νόμος του Hooke και η απλή αρμονική κίνηση 130

Σημείωση 31 Η βαρυτική δύναμη ενός σφαιρικού φλοιού 136


4 ΟΡΜΗ 147


42 Δυναμική ενός συστήματος σωματιδίων 148

43 Κέντρο μάζας 151

44 Συντεταγμένες του κέντρου μάζας 157

45 Διατήρηση της ορμής 163

46 Ώθηση και επαναδιατύπωση της σχέσης της ορμής 164

47 Ορμή και ροή μάζας 169

48 Κίνηση πυραύλων 172

49 Ροή ορμής και δύναμη 176

410 Ροή ορμής 179

Σημείωση 41 Κέντρο μάζας διδιάστατων και τριδιάστατων αντικειμένων 185


5 ΕΝΕΡΓΕΙΑ 197


52 Ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης σε μία διάσταση 198

53 Έργο και ενέργεια 201

54 Αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας 216

55 Δυναμική ενέργεια 218

56 Τι δείχνει η δυναμική ενέργεια για τη δύναμη 222

57 Διαγράμματα ενέργειας 222

58 Μη συντηρητικές δυνάμεις 224

59 Η αρχή διατήρησης της ενέργειας και ο νόμος των ιδανικών αερίων 226

510 Αρχές διατήρησης 229

511 Παγκόσμια κατανάλωση ενέργειας 231
















74 Ροπή 291






















































































Πρόλογος













μεία

















12 ΠΡΟΛΟΓΟΣ














































ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13







τικότητας










Daniel Kleppner

Robert J Kolenkow

































λαξία μας









Κεφάλαιο 1










Κεφάλαιο 2





Κεφάλαιο 3




Κεφάλαιο 4










Κεφάλαιο 5









Κεφάλαιο 6





Κεφάλαιο 7









Κεφάλαιο 8








Κεφάλαιο 9




Foucault 425


Κεφάλαιο 10





οπής 464

Κεφάλαιο 11




Κεφάλαιο 12






Κεφάλαιο 13





Κεφάλαιο 14
























1112











ΚΑΙ



11 Εισαγωγή
















x xF ma=

y yF ma=

z zF ma=


mF a=























B C=








ˆ

A

AA =


ˆAA A=















C

B
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A
















74 Ροπή 291






















































































Πρόλογος













μεία

















12 ΠΡΟΛΟΓΟΣ














































ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13







τικότητας










Daniel Kleppner

Robert J Kolenkow

































λαξία μας









Κεφάλαιο 1










Κεφάλαιο 2





Κεφάλαιο 3




Κεφάλαιο 4










Κεφάλαιο 5









Κεφάλαιο 6





Κεφάλαιο 7









Κεφάλαιο 8








Κεφάλαιο 9




Foucault 425


Κεφάλαιο 10





οπής 464

Κεφάλαιο 11




Κεφάλαιο 12






Κεφάλαιο 13





Κεφάλαιο 14
























1112











ΚΑΙ



11 Εισαγωγή
















x xF ma=

y yF ma=

z zF ma=


mF a=























B C=








ˆ

A

AA =


ˆAA A=















C

B
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A




























































Πρόλογος













μεία

















12 ΠΡΟΛΟΓΟΣ














































ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13







τικότητας










Daniel Kleppner

Robert J Kolenkow

































λαξία μας









Κεφάλαιο 1










Κεφάλαιο 2





Κεφάλαιο 3




Κεφάλαιο 4










Κεφάλαιο 5









Κεφάλαιο 6





Κεφάλαιο 7









Κεφάλαιο 8








Κεφάλαιο 9




Foucault 425


Κεφάλαιο 10





οπής 464

Κεφάλαιο 11




Κεφάλαιο 12






Κεφάλαιο 13





Κεφάλαιο 14
























1112











ΚΑΙ



11 Εισαγωγή
















x xF ma=

y yF ma=

z zF ma=


mF a=























B C=








ˆ

A

AA =


ˆAA A=















C

B
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A

12 ΠΡΟΛΟΓΟΣ














































ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13







τικότητας










Daniel Kleppner

Robert J Kolenkow

































λαξία μας









Κεφάλαιο 1










Κεφάλαιο 2





Κεφάλαιο 3




Κεφάλαιο 4










Κεφάλαιο 5









Κεφάλαιο 6





Κεφάλαιο 7









Κεφάλαιο 8








Κεφάλαιο 9




Foucault 425


Κεφάλαιο 10





οπής 464

Κεφάλαιο 11




Κεφάλαιο 12






Κεφάλαιο 13





Κεφάλαιο 14
























1112











ΚΑΙ



11 Εισαγωγή
















x xF ma=

y yF ma=

z zF ma=


mF a=























B C=








ˆ

A

AA =


ˆAA A=















C

B
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A

ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13







τικότητας










Daniel Kleppner

Robert J Kolenkow

































λαξία μας









Κεφάλαιο 1










Κεφάλαιο 2





Κεφάλαιο 3




Κεφάλαιο 4










Κεφάλαιο 5









Κεφάλαιο 6





Κεφάλαιο 7









Κεφάλαιο 8








Κεφάλαιο 9




Foucault 425


Κεφάλαιο 10





οπής 464

Κεφάλαιο 11




Κεφάλαιο 12






Κεφάλαιο 13





Κεφάλαιο 14
























1112











ΚΑΙ



11 Εισαγωγή
















x xF ma=

y yF ma=

z zF ma=


mF a=























B C=








ˆ

A

AA =


ˆAA A=















C

B
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A

































λαξία μας









Κεφάλαιο 1










Κεφάλαιο 2





Κεφάλαιο 3




Κεφάλαιο 4










Κεφάλαιο 5









Κεφάλαιο 6





Κεφάλαιο 7









Κεφάλαιο 8








Κεφάλαιο 9




Foucault 425


Κεφάλαιο 10





οπής 464

Κεφάλαιο 11




Κεφάλαιο 12






Κεφάλαιο 13





Κεφάλαιο 14
























1112











ΚΑΙ



11 Εισαγωγή
















x xF ma=

y yF ma=

z zF ma=


mF a=























B C=








ˆ

A

AA =


ˆAA A=















C

B
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A


Κεφάλαιο 1










Κεφάλαιο 2





Κεφάλαιο 3




Κεφάλαιο 4










Κεφάλαιο 5









Κεφάλαιο 6





Κεφάλαιο 7









Κεφάλαιο 8








Κεφάλαιο 9




Foucault 425


Κεφάλαιο 10





οπής 464

Κεφάλαιο 11




Κεφάλαιο 12






Κεφάλαιο 13





Κεφάλαιο 14
























1112











ΚΑΙ



11 Εισαγωγή
















x xF ma=

y yF ma=

z zF ma=


mF a=























B C=








ˆ

A

AA =


ˆAA A=















C

B
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A





Κεφάλαιο 5









Κεφάλαιο 6





Κεφάλαιο 7









Κεφάλαιο 8








Κεφάλαιο 9




Foucault 425


Κεφάλαιο 10





οπής 464

Κεφάλαιο 11




Κεφάλαιο 12






Κεφάλαιο 13





Κεφάλαιο 14
























1112











ΚΑΙ



11 Εισαγωγή
















x xF ma=

y yF ma=

z zF ma=


mF a=























B C=








ˆ

A

AA =


ˆAA A=















C

B
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A


Κεφάλαιο 10





οπής 464

Κεφάλαιο 11




Κεφάλαιο 12






Κεφάλαιο 13





Κεφάλαιο 14
























1112











ΚΑΙ



11 Εισαγωγή
















x xF ma=

y yF ma=

z zF ma=


mF a=























B C=








ˆ

A

AA =


ˆAA A=















C

B
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A























1112











ΚΑΙ



11 Εισαγωγή
















x xF ma=

y yF ma=

z zF ma=


mF a=























B C=








ˆ

A

AA =


ˆAA A=















C

B
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A


11 Εισαγωγή
















x xF ma=

y yF ma=

z zF ma=


mF a=























B C=








ˆ

A

AA =


ˆAA A=















C

B
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A




B C=








ˆ

A

AA =


ˆAA A=















C

B
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A
















A B B A+ = +


( ) ( )A B C A B C+ + = + +

( ) ( )c d cdA A=


( )c c cA B A B+ = +

( )c d c dA A A+ = +



AminusA

C = bA

A + B B

A

A

B

A


A BminusB minusB











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A











εξής







A

B

A B B A

A B

sdot =

=









γινομένου






A

BB B

A

A + B = B + A

A

B

A

B + A

A + B

A

B

θ

B

A


θ





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A





2 2 2

( ) ( )

2( )

2 cosC A B AB θ

C A B

C C A B A B

A A B B A B

= +

sdot = + sdot +


= + +







( cos )W F θ d=



W F d= sdot






C A B= times



εξής Αν

C A B= times

A

B

C φ

θ

F

d

θ


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A


τότε

sinC AB θ=






Έπεται ότι

0A Atimes =









χεριού





σχήμα







A

B

θ

AB

C

z

y

x












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A












qF v B= times




τ r F= times







A


B

C = A times B

F

B

vq

F

r

t = r times F

θ

Κάτοψη

F

rθ

F sin θ










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A










τ r F= times












βάση ύψο

sin

ςA

CD θ

C D

= times

=

= times









A C D= times

C

DD sin θ

θ

C

n

A

Dˆ



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A



























( )x yA AA =


( )x y zA A AA =





θ

Ax

Ay

x

y

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A











prime prime= minus



εξής



( )x x y y z zA B A B A BA B+ = + + +






Έστω

(35 7)A = minus

(271)B =


A και B

(3 25 7 7 1)

(512 6)

A B+ = + + minus +

= minus

(3 25 7 7 1)

(1 2 8)


= minus minus

A

x

y x prime

y prime

A

Περιεχόμενα - Public · 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.5 Δεύτερος νόμος του...

Documents

Transcript of Περιεχόμενα - Public · 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.5 Δεύτερος νόμος του...