Ανάλυση και σχεδιασµός πλακών sandwich από οπλισµένο σκυρόδεµα και αφρώδες υλικό

Analysis and design of sandwich plates composed of reinforced concrete and a foam material

Γεώργιος ΠΑΠΑΚΑΛΙΑΤΑΚΗΣ1, Βασίλης ΠΑΝΟΣΚΑΛΤΣΗΣ2, Λάζαρος ΒΑΣΙΛΕΙΑ∆ΗΣ3

Λέξεις κλειδιά: Πλάκες sandwich, Αφρώδη υλικά, Πεπερασµένα στοιχεία, Ελαστοπλαστική ανάλυση

ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στην εργασία αυτή αναλύονται πλάκες sandwich µεγάλων διαστάσεων που αποτελούνται από οπλισµένο σκυρόδεµα στο άνω και κάτω πέλµα αυτών και αφρώδες υλικό (divinycell H80) ενδιάµεσα. Ο υπολογισµός του τασικού και παραµορφωσιακού πεδίου επιτυγχάνεται µε τη χρήση του εξελιγµένου λογισµικού πεπερασµένων στοιχείων ABAQUS, µε ειδική προσοµοίωση του οπλισµένου σκυροδέµατος (elastoplastic damage). Το αφρώδες υλικό προσοµοιώνεται ως ένα ισότροπο, συµπιεστό υλικό (crushable foam). Με βάση αυτές τις προσοµοιώσεις µελετήθηκαν, µια πλάκα sandwich 8x8m καθώς και µία συµπαγής ιδίων διαστάσεων και µία πλάκα sandwich 12x12m. Τα αποτελέσµατα του ABAQUS για την συµπαγή πλάκα συγκρίνονται µε τα αντίστοιχα που προκύπτουν από το πρόγραµµα RESPONSE 2000. Επιπλέον, όλες οι περιπτώσεις µελετήθηκαν µε τη θεώρηση µιας µακρορωγµής στη θέση της µέγιστης ροπής. Για όλες τις περιπτώσεις υπολογίζονται οι αναπτυσσόµενες ορθές και διατµητικές τάσεις και εξάγονται συµπεράσµατα σχετικά µε τη δυνατότητα χρησιµοποιήσεως του αφρώδους υλικού divinycell H80, ως υλικού κορµού σε πλάκες µεγάλων διαστάσεων. ABSTRACT : Large sandwich plates composed from reinforced concrete and the crushable foam material are extensively studied. The constitutive behavior of concrete was described by means of a non-associative elastoplastic model, while crushable foam was studied as an isotropic compressible elastoplastic material. The finite element environment ABAQUS was used for the required non linear analysis.

1 Αναπληρωτής Καθηγητής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, ∆ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης, email: gpapakal@civil.duth.gr 2 Αναπληρωτής Καθηγητής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, ∆ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης, email: vpanoska@civil.duth.gr 3 Επίκουρος Καθηγητής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, ∆ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης, email: lvasilia@civil.duth.gr

16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Για την µείωση του ιδίου βάρους πλακών από σκυρόδεµα µε µεγάλες διαστάσεις, έχουν χρησιµοποιηθεί πλάκες µε νευρώσεις. Επίσης η περίπτωση των πλακών µε νευρώσεις που διαθέτουν πλάκα και στο κάτω πέλµα των διαδοκίδων, έχει ερευνηθεί επαρκώς από υπολογιστική άποψη. Οι παραπάνω πλάκες παρουσιάζουν, σε σχέση µε τις συµπαγείς πλάκες, το πλεονέκτηµα του αρκετά µικρότερου ιδίου βάρους. Περαιτέρω πλεονεκτήµατα µπορούν να προκύψουν από την κατάργηση των νευρώσεων και τη χρησιµοποίηση ενός αφρώδους υλικού ως ενδιάµεσης στρώσης µεταξύ των δύο στρώσεων του σκυροδέµατος. Τα πλεονεκτήµατα αυτά συνοψίζονται στην περαιτέρω µείωση του βάρους της πλάκας και σε σηµαντική κατασκευαστική διευκόλυνση λόγω της κατάργησης των νευρώσεων. Τα αφρώδη πολυµερή υλικά έχουν βρει ποικίλες εφαρµογές σε δοµικές κατασκευές. Κοινά πολυµερή είναι το PVC και η πολυουρεθάνη. Η µηχανική συµπεριφορά αυτών των αφρωδών υλικών είναι πολύ διαφορετική από τα συνήθη πλαστικά. Η ιδιαιτερότητά τους έγκειται για µεν την περίπτωση της θλίψης στην αυξηµένη δυνατότητα του υλικού να παραµορφώνεται µε την συµπίεση του αέρα και τον λυγισµό των τοιχωµάτων των κυψελίδων µέχρι την επαφή τους, όπως περιέγραψε ο Gibson et al. (1982). Απεναντίας, στον εφελκυσµό, τα τοιχώµατα των κυψελίδων θραύονται εύκολα και αυτό έχει σαν αποτέλεσµα τη µειωµένη δυνατότητα τους να φέρουν εφελκυστικά φορτία. Ένα ισοτροπικό µοντέλο κράτυνσης για τα αφρώδη υλικά έχει προταθεί από τους Deshpande και Fleck (2000). Οι Plantema (1996), Allen (1969) και ο Zenkert (1996) έχουν συνοψίσει τη βιβλιογραφία για δοκούς sandwich, συµπεριλαµβάνοντας µια συστηµατική στρατηγική σχεδιασµού για ακαµψία και αντοχή. Η καµπτική συµπεριφορά δοκών sandwich µε πέλµατα από συνθετικό υλικό ή µεταλλικά φύλλα έχει µελετηθεί αρκετά από πολλούς ερευνητές όπως ο Gdoutos et al.(2001), που µελέτησε πειραµατικά και αναλυτικά τη µη γραµµική συµπεριφορά σε δοκούς sandwich µε κορµό από αφρώδες υλικό και πέλµατα από συνθετικό υλικό. Στην εργασία αυτή εξετάζεται η δυνατότητα να χρησιµοποιηθεί το αφρώδες υλικό divinycel H80 (Divinycell, 1997), σαν υλικό κορµού σε πλάκες µεγάλων ανοιγµάτων. Για την περιγραφή της συµπεριφοράς του σκυροδέµατος σε εφελκυσµό και θλίψη χρησιµοποιήθηκε ένα µοντέλο ελαστοπλαστικότητας, το οποίο λαµβάνει υπόψη την τοπική µικρορωγµάτωση του σκυροδέµατος (elastoplastic damage (Panoskaltsis et al.,1999). Με βάση αυτή την προσοµοίωση γίνεται η διαστασιολόγηση, και ο υπολογισµός των αναπτυσσόµενων τάσεων στον οπλισµό, στο σκυρόδεµα και στο αφρώδες υλικό. Επίσης για την

16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 2

ικανοποίηση της απαίτησης του ΕΚΩΣ 2000 για µηδενική εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος, θεωρήσαµε επί το δυσµενέστερο µια µακρορωγµή στη θέση της µέγιστης ροπής, η οποία εκτείνεται από το κάτω µέρος µέχρι τον άνω οπλισµό και υπολογίσαµε τις αναπτυσσόµενες τάσεις.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ ΠΛΑΚΑΣ, ΦΟΡΤΙΣΗ ΚΑΙ Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ

ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Στην παρούσα µελέτη θεωρήσαµε αρχικά µια τετραγωνική πλάκα 8x8 m, πάχους 30 cm, αποτελούµενη από µία κάτω στρώση πάχους 8 cm, µία άνω στρώση πάχους 8 cm και µία ενδιάµεση στρώση από αφρώδες υλικό divynicell H80. Επίσης µελετήσαµε µία µεγαλύτερη πλάκα διαστάσεων 12x12 m και συνολικού πάχους 45 cm, αποτελούµενη από µία κάτω στρώση πάχους 12 cm, µία άνω στρώση πάχους 10 cm και µία ενδιάµεση στρώση πάχους 23 cm από αφρώδες υλικό divynicell H80. Και στις δύο περιπτώσεις χρησιµοποιήσαµε σκυρόδεµα κατηγορίας C30/37, του οποίου τα διαγράµµατα τάσεων παραµορφώσεων σε θλίψη και εφελκυσµό φαίνονται στο σχήµα.1(α). Για τον οπλισµό όλων των πλακών που µελετήθηκαν χρησιµοποιήσαµε χάλυβα S500 του οποίου το διάγραµµα τάσεων παραµορφώσεων φαίνεται στο σχήµα 1(β). Το αφρώδες υλικό που χρησιµοποιήθηκε έχει ίδιο βάρος 80 Kg/m3, δηλαδή είναι ιδιαίτερα ελαφρύ σε σχέση µε το σκυρόδεµα. Τα διαγράµµατα τάσεων παραµορφώσεων του divynicell H80 εικονίζονται στο σχήµα 2(α). Σηµειώνουµε ότι η καµπύλη θλίψης του divynicell H80 συνεχίζει το πλάτωµα µέχρι την παραµόρφωση 60% και ακο-λουθεί ανερχόµενος κλάδος µε µέτρο ελαστικότητας παραπλήσιο του αρχικού

0 1 2 3 4Παραµόρφωση (x10-3)

(α)

0

10

20

30

Τάση

(MP

a)

ΕφελκυσµόςΘλίψη

0 5 10 15 20Παραµόρφωση (x10-3)

(β)

0

200

400

600

Τάση

(MP

a)

Σχήµα 1. ∆ιαγράµµατα τάσεων – παραµορφώσεων (α) του σκυροδέµατος και (β) του σιδηρού οπλισµού.

16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 3

0 2 4 6 8 10Παραµόρφωση (x10-2)

(α)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Τάση

(MP

a)

Σχήµα 2.(α) ∆ιαγράµµατα τάσεων – παραµορφώσεων του αφρώδους υλικού divinycell H80 σε θλίψη (συνεχής γραµµή) κα εφελκυσµό (διακεκοµ. γραµµή) (β)∆ιακριτοποίηση τµήµατος της δοκού σε πεπερ. στοιχεία

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΤΑΣΙΚΟΥ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΑΚΟΥ ΠΕ∆ΙΟΥ

Για τον υπολογισµό του τασικού και παραµορφωσιακού πεδίου χρησιµοποιήθηκε το λογισµικό πεπερασµένων στοιχείων ABAQUS. Για την προσοµοίωση µε το ABAQUS θεωρήθηκε δοκός πλάτους 1 m και µήκους 8 και 12 m αντίστοιχα. Το πρόβληµα προσοµοιώθηκε µε µία αµφιέρειστη δοκό σε επίπεδη παραµορφωσιακή κατάσταση. Η διακριτοποίηση σε πεπερασµένα στοιχεία σε τµήµα µήκους 0.37 m από τον άξονα συµµετρίας παρουσιάζεται στο σχήµα 2(β). Χρησιµοποιήθηκαν τετρακοµβικά στοιχεία (CPE4R) επίπεδης παραµόρφωσης. Στη διεπιφάνεια σκυροδέµατος – divinycell τα δύο υλικά θεωρήθηκαν στερεά συνδεδεµένα. Στην υλοποίηση αυτής της θεώρησης συµβάλει και η συµπαγής περιµετρική ζώνη που εγκιβωτίζει το divinycell και εµποδίζει τη ολίσθηση των δύο υλικών. Για την περιγραφή της συµπεριφοράς του σκυροδέµατος χρησιµοποιήθηκε το ελαστοπλαστικό µοντέλο «Concrete Damage Plastisity» (Panoskaltsis et al.,1999), σύµφωνα µε το οποίο το πλαστικό προσοµoίωµα, το οποίο χρησιµοποιείται για την περιγραφή της συµπεριφοράς του σκυροδέµατος, λαµβάνει επίσης υπόψη τις βλάβες του υλικού (elasto-plastic damage model). Συγκεκριµένα η επιφάνεια διαρροής δίνεται από µια τροποποιηµένη συνάρτηση Drucker-Prager και ως επιφάνεια πλαστικής ροής χρησιµοποιείται η επιφάνεια Mohr-Coulomb. Το

(β)

16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 4

προσοµοίωµα αυτό λαµβάνει υπόψη την θλιπτική καθώς και την εφελκυστική συµπεριφορά του σκυροδέµατος Για την περιγραφή της συµπεριφοράς του σιδηρού οπλισµού χρησιµοποιήθηκε το ελαστοπλαστικό µοντέλο µε κριτήριο διαρροής του von Misses και µε ισοτροπική κράτυνση. Χρησιµοποιήθηκε η καµπύλη πραγµατικών τάσεων( trueσ )-πλαστικών παραµορφώσεων ( plε ), η οποία προέκυψε από την συµβατική καµπύλη τάσεων παραµορφώσεων σύµφωνα µε τις παρακάτω σχέσεις

(1 )

ln(1 ) true

true nom nom

plnom E

σ

σ σ ε

ε ε

= +

= + −

Για την προσοµοίωση της συµπεριφοράς του αφρώδους υλικού (divnycell H80) χρησιµοποιήθηκε το crushable foam µοντέλο του ABAQUS µε ισοτροπική κράτυνση. Το µοντέλο αυτό απαιτεί την καµπύλη πραγµατικών τάσεων-ογκικών λογαριθµικών πλαστικών παραµορφώσεων εv ( ln(1 )v plε ε= + ) σε θλίψη, που υπολογίζονται από τη συµβατική καµπύλη τάσεων παραµορφώσεων του σχήµατος 2(α). Από µικροµηχανική σκοπιά, η συµπεριφορά του αφρώδους υλικού σε διαρροή σχετίζεται µε την προοδευτική συµπίεση του αέρα εντός των τοιχωµάτων των κελιών του υλικού µέχρι την πλήρη επαφή των τοιχωµάτων. Η περαιτέρω συµπεριφορά σε θλίψη ακολουθεί τις µηχανικές ιδιότητες του υλικού των τοιχωµάτων των κελιών. Η περίπτωση συµπαγούς τετραγωνικής πλάκας πλευράς 8 m Προκειµένου να συγκρίνουµε τα αποτελέσµατα της συµβατικής επίλυσης µιας συµπαγούς τετραγωνικής πλάκας πλευράς 8 m, µε τα αντίστοιχα που προκύπτουν από την επίλυση της ίδιας πλάκας µε το πρόγραµµα πεπερασµένων στοιχείων ABAQUS, χρησιµοποιήσαµε ως οπλισµό τον απαιτούµενο οπλισµό (Αs=4.12cm2/m), που προέκυψε από την συµβατική επίλυση σύµφωνα µε τον ΕΚΩΣ 2000. Ως θλιβόµενο οπλισµό χρησιµοποιήσαµε τον ελάχιστο θλιβόµενο οπλισµό σύµφωνα µε τον ΕΚΩΣ 2000, Φ8/25 cm (Αs=2.01 cm2/m). Η συµβατική επίλυση των συµπαγών πλακών έγινε κατά Marcus µε συνολικό κατανεµηµένο φορτίο = ίδιο βάρος+επικάλυψη 1.2 kΝ/m2+κινητό φορτίο 5 kΝ/m2. Οι ροπές ανοιγµάτων προέκυψαν από την επίλυση αρθρωτών ανεξάρτητων διασταυρούµενων λωρίδων κατά τις δύο διευθύνσεις, µε τα φορτία px=kx·p και py=ky·p , kx=ky=0.50. Η ευνοϊκή επίδραση των ροπών συστροφής στις ροπές των ανοιγµάτων λαµβάνεται υπ’ όψιν µε τους συντελεστές συστροφής vx και vy (vx=vy=0.583 για λόγο πλευρών ly/lx=1). Η ευνοϊκή επίδραση των ροπών

16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 5

συστροφής υλοποιείται κατά την επίλυση µε το ABAQUS µε κατάλληλη µείωση της φόρτισης ώστε να προκύπτουν οι ίδιες µειωµένες ροπές ανοιγµάτων. Για την ανάλυση της µεσαίας διατοµής της δοκού, η οποία καταπονείται µε ροπή κάµψης Μ=44.91 kNm/m εκτός από τη συµβατική επίλυση σύµφωνα µε τον ΕΚΩΣ 2000, χρησιµοποιήσαµε επίσης το πρόγραµµα RESPONSE 2000, τόσο για την περίπτωση µηδενικής εφελκυστικής αντοχής του σκυροδέµατος, όσο και για την περίπτωση εφελκυστικής αντοχής ίσης µε 2.9 MPa. Η κατανοµή των ορθών τάσεων σx που προέκυψαν στην µεσαία διατοµή παρίσταται στο σχήµα 3(β) για την περίπτωση της θεώρησης της πραγµατικής εφελκυστικής αντοχής του σκυροδέµατος 2.9 MPa, και στο σχήµα 4(β) για την περίπτωση µηδενικής εφελκυστικής αντοχής. Για τις δύο αυτές περιπτώσεις, η τάση στον οπλισµό είναι 18.5 MPa και 423.8MPa αντίστοιχα. Επισηµαίνουµε επίσης, ότι στην δεύτερη περίπτωση η θλιβόµενη ζώνη έχει ύψος 26 cm. Η ίδια πλάκα επιλύθηκε µε το πρόγραµµα ABAQUS και τα αποτελέσµατα, όσον αφορά την κατανοµή των ορθών τάσεων στο σκυρόδεµα, στη µεσαία διατοµή, φαίνονται στο σχήµα 3(α). Η αναπτυσσόµενη τάση του οπλισµού είναι ίση µε 15.4 MPa. Προκειµένου να συγκρίνουµε την αριθµητική επίλυση µε πεπερασµένα στοιχεία µε την συµβατική επίλυση (ή επίλυση RESPONSE µε µηδενική εφελκυστική αντοχή), θεωρήσαµε µια µακρορωγµή, η οποία εκτείνεται από το κάτω µέρος της διατοµής µέχρι το κάτω µέρος του θλιβόµενου οπλισµού (η δυσµενέστερη περίπτωση). Η κατανοµή των ορθών τάσεων σx στο σκυρόδεµα για την περίπτωση αυτή φαίνεται στο σχήµα 4(α), ενώ η αναπτυσσόµενη τάση στον οπλισµό προέκυψε ίση µε 429.6 MPa Από την παραπάνω διερεύνηση παρατηρούµε πολύ ικανοποιητική σύµπτωση των αποτελεσµάτων για τις δύο περιπτώσεις µεταξύ ABAQUS και RESPONSE. Επισηµαίνουµε επίσης την µεγάλη επιρροή της εφελκυστικής αντοχής του σκυροδέµατος στην αναπτυσσόµενη τάση του οπλισµού, η οποία οφείλεται στο µεγάλο εµβαδόν της εφελκυόµενης επιφάνειας. Η περίπτωση τετραγωνικής πλάκας sandwich πλευράς 8 m Στη συνέχεια µελετήσαµε την πλάκα sandwich των ιδίων διαστάσεων µε τη χρήση του προγράµµατος ABAQUS. Τα αποτελέσµατα όσον αφορά στην κατανοµή των ορθών τάσεων σx στο σκυρόδεµα και στο αφρώδες υλικό, στη µεσαία διατοµή, φαίνονται στο σχήµα 5(α) και σ’ όλα τα υλικά της διατοµής στο σχήµα 5(β). Επίσης στα σχήµατα 6(α) και 6(β) φαίνεται η κατανοµή των ορθών τάσεων σy στη µεσαία διατοµή και των διατµητικών τάσεων τxy στη διατοµή αµέσως µετά το συµπαγές ακραίο τµήµα µήκους 1 m αντίστοιχα.

16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 6

-4 -2 0 2 4Τάση σx(Mpa)

(α)

0

0.1

0.2

0.3

Πάχος

Πλάκας

(m)

σx

Σχήµα 3. Κατανοµή των ορθών τάσεων σx στο σκυρόδεµα, στη µεσαία διατοµή συµπαγούς πλάκας µε L=8m, υπολογισµένη (α) µε το ABAQUS και (β) µε το Response 2000 (Τιµές σε MPa) .

-1 0 1 2 3 4 5Τάση σx(x102 Mpa)

(α)

0

0.1

0.2

0.3

Πάχος

Πλάκας

(m)

σx

οπλισµός

Σχήµα 4. Κατανοµή των ορθών τάσεων σx στη µεσαία διατοµή πλάκας µε L=8m και ρωγµή µήκους 26.9 cm υπολογισµένη (α) µε το ABAQUS και (β) µε το Response 2000 (στο σκυρόδεµα), (Τιµές σε MPa) Oι αναπτυσσόµενες τάσεις σx στον οπλισµό κυµαίνονται µεταξύ +15.35 και -15.4 MPa, στο σκυρόδεµα µεταξύ +2.94 και -3.13 MPa, και στο αφρώδες υλικό µεταξύ +2.1x10-2 και -2.03x10-2 MPa όπως φαίνεται και στις ισοϋψείς καµπύλες σx του σχήµατος (7). Οι µέγιστες ορθές τάσεις σy στο αφρώδες υλικό και στο

(β)

(β)

16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 7

σκυρόδεµα είναι πολύ µικρότερες από το όριο διαρροής του σκυροδέµατος. Η µέγιστη διατµητική τάση στο σκυρόδεµατος είναι µικρότερη από την επιτρεπόµενη (τcr=0.34 MPa), όµως χωρίς την συµπαγή ζώνη, πολύ οριακά θα εκαλύπτετο στην παρειά.

-4 -2 0 2 4Τάση σx(Mpa)

(α)

0

0.1

0.2

0.3

Πάχος

Πλάκας

(m)

σx

-20 -10 0 10 20Τάση σx(Mpa)

(β)

0

0.1

0.2

0.3

Πάχος

∆ιατο

µής

(m)

σx

Σχήµα 5. Κατανοµή των ορθών τάσεων σx, στη µεσαία διατοµή πλάκας sandwich µε L=8m, (α) στο σκυρόδεµα και στο αφρώδες υλικό και (β) σε όλα τα υλικά της διατοµής.

-5 -4 -3 -2 -1 0Τάση σx (x10-3Mpa)

(α)

0

0.1

0.2

0.3

Πάχος

Πλάκας

(m)

σy

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1Τάση τxy(Mpa)

(β)

0

0.1

0.2

0.3

Πάχος

Πλάκας

(m)

τxy

Σχήµα 6. Στην πλάκα sandwich µε L=8m (α) Κατανοµή των ορθών τάσεων σy στη µεσαία διατοµή και (β) Κατανοµή των διατµητικών τάσεων τxy στη διατοµή που βρίσκεται σε απόσταση 1.05 m από το άκρο της πλάκας.

16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 8

Για να προσοµοιώσουµε µε το ABAQUS την απαίτηση του ΕΚΩΣ για µηδενική εφελκυστική αντοχή, θεωρήσαµε µια µακρορωγµή στη µεσαία διατοµή, η οποία επί το δυσµενέστερο, εκτείνεται από το κάτω µέρος της διατοµής, ως τον άνω οπλισµό.

(Avg: 75%)S, S11

−3.131e+06−2.624e+06−2.118e+06−1.611e+06−1.105e+06−5.980e+05−9.148e+04+4.151e+05+9.216e+05+1.428e+06+1.935e+06+2.441e+06+2.948e+06

Σχήµα 7. Ισότιµες καµπύλες της σx στο σκυρόδεµα και στο αφρώδες υλικό για πλάκα 8x8 m.( Τιµές σε N/m2, Συντελ. µεγέθυνσης µετατοπίσεων=50) Το αφρώδες υλικό το θεωρήσαµε µη ρηγµατωµένο, δεδοµένου του µικρού µέτρου ελαστικότητας και των µεγάλων παραµορφώσεων που µπορεί να δεχτεί, όπως προκύπτει από το διάγραµµα τάσεων παραµορφώσεων και επιβεβαιώνεται από τα αποτελέσµατα του ABAQUS.

-1 0 1 2 3 4 5Τάση σx(x102Mpa)

(α)

0

0.1

0.2

0.3

Πάχος

Πλάκας

(m)

σx

0 1 2 3 4 5Βύθιση (mm)

(β)

0

2

4

6

Οµοιό

µ. φορτίο

(KN

/m2 )

συµπαγήςsandwich

Σχήµα 8. (α) Κατανοµή των ορθών τάσεων σx στη µεσαία διατοµή στην πλάκα sandwich µε L=8m και ρωγµή µήκους 26.9cm και (β) ∆ιάγραµµα φόρτισης-βυθίσεων για την συµπαγή και την πλάκα sandwich αντίστοιχα, µε L=8m.

16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 9

Επίσης, οι αναπτυσσόµενες ορθές τάσεις σx στη µεσαία διατοµή εικονίζονται στο σχήµα 8(α), ενώ το σχήµα 8(β) παριστάνει τις βυθίσεις σαν συνάρτηση της φόρτισης Από το σχήµα 8(α) παρατηρούµε, ότι η µέγιστη αναπτυσσόµενη εφελκυστική τάση στον οπλισµό (σx =428.1 MPa), είναι µικρότερη από 500/1.15=434.78 MPa. Επίσης, η µέγιστη θλιπτική τάση στο σκυρόδεµα (σx =-6.18 MPa) είναι πολύ µικρότερη από το όριο διαρροής του σκυροδέµατος 30/1.5=20 MPa. Τέλος, στο αφρώδες υλικό οι αναπτυσσόµενες ορθές και διατµητικές τάσεις παραµένουν πολύ µικρότερες από τα αντίστοιχα όρια διαρροής. Η περίπτωση τετραγωνικής πλάκας sandwich πλευράς 12 m Στη συνέχεια εφαρµόσαµε την ανωτέρω περιγραφείσα διαδικασία για τον υπολογισµό και τον έλεγχο της αντοχής µιας τετραγωνικής πλάκας πλευράς 12 m. Τα αποτελέσµατα κατ’ αντιστοιχία µε τα σχήµατα 5(β),7 και 8(α) της πλάκας πλευράς 8 m, εικονίζονται στα σχήµατα 9(α), 10 και 9(β). Σηµειώνουµε επίσης, ότι τοποθετήσαµε 6.03 cm2/m κάτω οπλισµό και 2.01 cm2/m άνω οπλισµό. Για την περίπτωση που λαµβάνουµε υπόψη την εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος ίση µε 2.9 MPa, οι αναπτυσσόµενες τάσεις σx στη µεσαία διατοµή, για µεν τον οπλισµό κυµαίνονται µεταξύ +24 και -23 MPa (σχήµα 9(α)) και για το σκυρόδεµα µεταξύ +2.95 και -4.3 MPa, όπως φαίνεται και στις ισοϋψείς καµπύλες σx του σχήµατος 10

-30 -20 -10 0 10 20 30Τάση σx(Mpa)

(α)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Πάχος

Πλάκας

(m)

σx

-2 0 2 4 6Τάση σx(x102Mpa)

(β)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Πάχος

Πλάκας

(m)

σx

Σχήµα 9. Κατανοµή των ορθών τάσεων σx στη µεσαία διατοµή πλάκας sandwich µε L=12m (α) χωρίς µακρορωγµή και (β) µε µακρορωγµή µήκους 41.9m

16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 10

(Avg: 75%)S, S11

−4.305e+06−3.700e+06−3.095e+06−2.490e+06−1.885e+06−1.280e+06−6.745e+05−6.941e+04+5.357e+05+1.141e+06+1.746e+06+2.351e+06+2.956e+06

Σχήµα 10 Ισότιµες καµπύλες της σx στο σκυρόδεµα και στο αφρώδες υλικό για πλάκα 12x12 m. (Τιµές σε N/m2, Συντελ. µεγέθυνσης µετατοπίσεων=50) Οι µικρορωγµατώσεις σε αυτή την πλάκα εκτείνονται σε ύψος 6 cm και αυτό οφείλεται στη µεγαλύτερη αναλογία αφρώδους υλικού σε σύγκριση µε την πλάκα των 8 m. Επίσης, οι αναπτυσσόµενες ορθές τάσεις σx στο αφρώδες υλικό κυµαίνονται µεταξύ +3.52x10-2 και -2.56x10-2 MPa, όπως φαίνεται στο σχήµα 10. Η µέγιστη διατµητική τάση στο σκυρόδεµα τmax=0.3<0.34 MPa όµως χωρίς την συµπαγή ζώνη δεν θα εκαλύπτετο στην παρειά. Για την περίπτωση θεώρησης µακρορωγµής 41.9 cm στη µεσαία διατοµή, η µέγιστη αναπτυσσόµενη εφελκυστική τάση στον οπλισµό (σx =430 MPa), είναι µικρότερη από τη επιτρεπόµενη από τον ΕΚΩΣ (434.78 MPa).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Από την όλη µελέτη προέκυψαν τα παρακάτω γενικά συµπεράσµατα σχετικά µε τη δυνατότητα να χρησιµοποιείται το αφρώδες υλικό divinycell H80 σαν υλικό κορµού σε πλάκες µεγάλων διαστάσεων: Για την περίπτωση της συµπαγούς πλάκας παρατηρούµε πολύ ικανοποιητική σύµπτωση των αποτελεσµάτων των επιλύσεων µεταξύ ABAQUS και RESPONSE 2000, τόσο στην περίπτωση που λαµβάνεται υπόψη η εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος, όσο και στην περίπτωση που, αγνοείται από το RESPONSE 2000 ενώ εισάγεται µια µακρορωγµή στη θέση της µέγιστης ροπής κάµψης στο ABAQUS. Η χρήση του «elasto-plastic damage» µοντέλου έδειξε την µεγάλη επιρροή της εφελκυστικής αντοχής του σκυροδέµατος στην αναπτυσσόµενη τάση του οπλισµού, η οποία οφείλεται στο µεγάλο εµβαδόν της εφελκυστικής επιφάνειας.

16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 11

Οι αναπτυσσόµενες ορθές και διατµητικές τάσεις στο divinycell H80 είναι πολύ µικρότερες από τα αντίστοιχα όρια διαρροής σε εφελκυσµό, θλίψη και διάτµηση του υλικού, µε αποτέλεσµα να µην υπάρχει πρόβληµα αστοχίας. Για το λόγο αυτό στην ανάλυση µπορεί να χρησιµοποιηθεί µε ακρίβεια το ελαστικό µοντέλο. Η δηµιουργία περιµετρικής συµπαγούς ζώνης κρίνεται απαραίτητη για τον εγκιβωτισµό του divinycell που εµποδίζει τη ολίσθηση ων δύο υλικών αλλά και την κάλυψη της διάτµησης του σκυροδέµατος για µεγάλες διαστάσεις πλακών. Επισηµαίνουµε όµως ότι θα πρέπει να µελετηθεί η επίδραση του χρόνου στην αντοχή του αφρώδους υλικού, επειδή είναι πιθανό να υποστεί περιβαλλοντικές επιδράσεις, λόγω των µικρορωγµατώσεων ή ενδεχοµένως και µακρορωγµών του σκυροδέµατος

ΑΝΑΦΟΡΕΣ Άρθρα σε επιστηµονικά περιοδικά

Deshpande, V.S., Fleck, N.A., “Isotropic constitutive models for metallic foams”. J. Mech. Phys. Solids 48, (2000) 1253–1283.

Gdoutos E. E., Daniel I. M., Wang K.-A. and Abot J. L., “Nonlinear behavior of composite sandwich beams in three-point bending”,Experimental Mechanics Vol. 41 (2001) 182-189

Βιβλία

Plantema F. «Santwich construction», Wiley, New York (1994) Allen H. . «Analysis and design of strauctual sandwich panels», Pergamon

Press, Oxford (1969) Zenkert D. «An introduction to sandwich constraction», Engineering Materials

Advisory Service , Shelfield UK (1995)

Άρθρα σε διεθνή επιστηµονικά συνέδρια (δηµοσιευµένα σε πρακτικά) Gibson L.J.,Ashby M.F., Schajer G.S., and Robertson C.I., “The Mechanics of

two-dimensional cellular materials, in Proceedings of the Royal Society, London, A 382, (1982) 25–42.

Panoskaltsis, V.P., Bahuguna, S., Papoulia, K.D., and Lubliner, J. “Finite element analysis of rate dependence and failure of concrete”, in Proceedings of the European Conference on Computational Mechanics (Solids, Structures and Coupled Problems in Engineering), H.A. Mang et al. eds., 31 August- 3 September, 1999, Munich, Germany. Τεχνικές εκθέσεις

Divinycell. “Divinycell Technical Specification H Grade”, Technical report, DIAB, 1997.

16ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, 21-23/10/ 2009, Πάφος, Κύπρος 12