Εφαρμογή Ορισμών Πιθανοτήτων

• Κλασσικός ορισμός

Μόνο για ισοπίθανα πειράματα με πεπερασμένο Ω

• Στατιστικός ορισμός

Και για ισοπίθανα αλλά κυρίως για μη ισοπίθανα πειράματα

• Αξιωματικός ορισμός

Ειδικές μαθηματικές περιπτώσεις

Στατιστικός ορισμός

• Χρειάζεται η παρατήρηση του πειράματος τύχης πολλές φορές και η δημιουργία πίνακα συχνοτήτων. (όσο μεγαλύτερο το πλήθος, τόσο σωστότερος ο υπολογισμός της πιθανότητας).

• Η σχετική συχνότητα είναι η αντίστοιχη πιθανότητα να συμβεί μια τιμή στο μέλλον.

• Χρησιμότητα στατιστικών παρατηρήσεων για προβλέψεις.

Ιδιότητες Πιθανότητας

• 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1 ή 0% ≤ Ρ(Α) ≤ 100%

• Ρ(Ω)=1 «βέβαιο ενδεχόμενο»

• Ρ({})=0 «αδύνατο ενδεχόμενο»

Πράξεις ενδεχομένων

• Ένωση Α U Β να συμβεί ή το Α ή το Β

• Τομή Α∩Β

να συμβεί και το Α και το Β

• Συμπλήρωμα Α’ Να μη συμβεί το Α

Πράξεις πιθανοτήτων

• Ένωση Α U Β

Ρ(Α U Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α∩Β)

• Τομή Α∩Β

Ρ(Α ∩ Β)=Ρ(Α)*Ρ(Β) (ανεξάρτητα ΑΒ)

Ρ(Α ∩ Β)=Ρ(Α)*Ρ(Β|Α) (Β εξαρτάται από Α)

• Συμπλήρωμα Α’ Ρ(Α’)=1-Ρ(Α)

Πιθανότητα να συμβεί το Β, αν ξέρουμε ότι συνέβη ήδη το Α

Ρ(Β|Α) =Ρ(Α ∩ Β)/Ρ(Α)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ • Ρίχνουμε ένα κέρμα 3 φορές. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω

του πειράματος. α) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε ακριβώς 2 κεφαλές; β) Ποια πιθανότητα να φέρουμε το πολύ 2 κεφαλές; γ) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε 1 κεφαλή την πρώτη φορά; δ) Ποια η πιθανότητα να φέρουμε μόνο γράμματα και τις 3 φορές;

Δειγματικός χώρος Ω={ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ,ΓΚΚ,ΓΚΓ,ΓΓΚ,ΓΓΓ} Διαγραμματικά μπορεί να απεικονισθεί το ρίξιμο 3 φορές: αντίστοιχο γεγονός του Ω • Κ Κ ΚΚΚ • Κ Γ ΚΚΓ

Γ Κ ΚΓΚ Γ ΚΓΓ

• Γ Κ Κ ΓΚΚ • Γ ΓΚΓ • Γ Κ ΓΓΚ • Γ ΓΓΓ

• Ω={ 3Κ, 2Κ1Γ. 1Κ2Γ, 3Γ}

• α) Ρ(2Κ ακριβώς) = ΕΥΝΟΙΚΕΣ για 2Κ/ΔΥΝΑΤΕΣ= 3/8

• β) Ρ (2Κ το πολύ) = Ρ (όχι 3Κ)= 1-1/8=7/8

• γ) Ρ (Κ την πρωτη φορά) =4/8=50%

• δ) Ρ(ΓΓΓ)=1/8

ΑΣΚΗΣΕΙΣ • Αν παίξουμε 3 φορές παιχνίδι με πιθανότητα 30% να κερδίσουμε

κάθε φορά. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. α) Ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε ακριβώς 2 φορές; β) Ποια πιθανότητα να κερδίσουμε το πολύ 2 φορές; γ) Ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε την πρώτη φορά;

Δειγματικός χώρος Κ κερδίζω, Χ χάνω Ω={ΚΚΚ, ΚΚΧ, ΚΧΚ, ΚΧΧ,ΧΚΚ,ΧΚΧ,ΧΧΚ,ΧΧΧ} Διαγραμματικά μπορεί να απεικονισθεί 3 φορές ως εξής: αντίστοιχο γεγονός του Ω πιθανότητα • Κ Κ ΚΚΚ • Κ Χ ΚΚΧ

Χ Κ ΚΧΚ Χ ΚΧΧ

• Χ Κ Κ ΧΚΚ • Χ ΧΚΧ • Χ Κ ΧΧΚ • Χ ΧΧΧ

• α) Ρ(2Κ ακριβώς) =

• β) Ρ (2Κ το πολύ) = Ρ (όχι 3Κ)= 1-

• γ) Ρ (Κ την πρώτη φορά) =

– Προσοχή όχι ισοπίθανα τα 8 ενδεχόμενα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ • Αν παίξουμε 3 φορές παιχνίδι με πιθανότητα 30% να κερδίσουμε

κάθε φορά. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. α) Ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε ακριβώς 2 φορές; β) Ποια πιθανότητα να κερδίσουμε το πολύ 2 φορές; γ) Ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε την πρώτη φορά;

Δειγματικός χώρος Κ κερδίζω, Χ χάνω Ω={ΚΚΚ, ΚΚΧ, ΚΧΚ, ΚΧΧ,ΧΚΚ,ΧΚΧ,ΧΧΚ,ΧΧΧ} Διαγραμματικά μπορεί να απεικονισθεί 3 φορές ως εξής: αντίστοιχο γεγονός του Ω πιθανότητα • Κ Κ ΚΚΚ 0,3*0,3*0,3=0,027 • Κ Χ ΚΚΧ 0,3*0,3*0,7=0,063

Χ Κ ΚΧΚ 0,3*0,7*0,3=0,063 Χ ΚΧΧ 0,3*0,7*0,7=0,147

• Χ Κ Κ ΧΚΚ 0,7*0,3*0,3=0,063 • Χ ΧΚΧ 0,7*0,3*0,7=0,147 • Χ Κ ΧΧΚ 0,7*0,7*0,3=0,147 • Χ ΧΧΧ 0,7*0,7*0,7=0,343

α) Ρ(2Κ ακριβώς) =Ρ(ΚΚΧ U ΚΧΚ U ΧΚΚ )= = Ρ(ΚΚΧ)+Ρ(ΚΧΚ )+Ρ(ΧΚΚ )= • = 0,063+ 0,063 + 0,063=0,189=18,9%

β) Ρ (2Κ το πολύ) = Ρ (όχι 3Κ)= 1-Ρ(ΚΚΚ)=1-0,027=0,973=97,3%

• γ) Ρ (Κ την πρώτη φορά) =Ρ(ΚΚΚ U ΚΚΧ U ΚΧΚ U ΚΧΧ)= • =0,027+0,063+0,063+0,147=0,300=30%

ΑΣΚΗΣΕΙΣ • Στην εταιρεία ΑΛΦΑ-ΒΗΤΑ, υπάρχουν 400 εργαζόμενοι και οι 120

καπνίζουν. Οι 150 είναι άνδρες και οι 80 απ’ αυτούς καπνίζουν. Υπολογίστε τις παρακάτω πιθανότητες για ένα εργαζόμενο που επιλέγεται στην τύχη.

α) Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα; β) Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας καπνιστής; γ) Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας ή να καπνίζει; δ) Ποια η πιθανότητα να καπνίζει δεδομένου ότι είναι γυναίκα; ε) Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα δεδομένου ότι καπνίζει;

Λύση

α) Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα; Ρ(Γ)= 250/400 β) Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας καπνιστής;

Ρ(Α п Κ)=80/400 γ) Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας ή να καπνίζει;

Ρ(Α U Κ)=Ρ(Α)+Ρ(Κ)- Ρ(Α п Κ)= =150/400+120/400 -80/400 = 190/400 δ) Ποια η πιθανότητα να καπνίζει δεδομένου ότι είναι γυναίκα;

Ρ(Κ|Γ)= Ρ(Κ п Γ)/ Ρ(Γ) =40/400/250/400= 40/250=16%

ε) Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα δεδομένου ότι καπνίζει;

Ρ(Γ|Κ)= Ρ(Γ п Κ)/Ρ(Κ) =40/400 /120/400=40/120= 33,3%

Καπνιστές μηΚαπνιστές σύνολο

Ανδρας 80 70 150

Γυναίκα 40 210 250

σύνολο 120 280 400

ΑΣΚΗΣΕΙΣ • Έστω τα ενδεχόμενα Α κα Β ενός δειγματικού χώρου Ω, τα

οποία είναι ανεξάρτητα, και Ρ(Α)= 0,15 Ρ(Β)=0,45. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες:

Ρ(όχι Α), Ρ(Α και Β), Ρ(Α ή Β) , Ρ(όχι Α και όχι Β), Ρ(Α|Β)

Λύση Ρ(όχι Α)= 1- Ρ(Α)=1-0,15= 0,85 Ρ(Α και Β)= Ρ(Α) *Ρ(Β)= 0,15*0,45= Ρ(Α ή Β) )= Ρ(Α) +Ρ(Β)- Ρ(Α και Β)= 0,15+0,45 -0,15*0,45= Ρ(όχι Α και όχι Β)= 1- Ρ(Α και Β)= 1- 0,15*0,45 Ρ(Α|Β) = Ρ(Α και Β)/Ρ(Β)= 0,15*0,45/0,45=0,15

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Έστω σε ένα χαρτοφυλάκιο υπάρχουν 4 μετοχές κερδοφόρες και 6

μη κερδοφόρες, χωρίς να γνωρίζουμε ποιες είναι. Αν πάρουμε τυχαία μια μετοχή και κατόπιν πάρουμε πάλι τυχαία και

μια δεύτερη μετοχή (διαφορετική από την πρώτη), υπολογίστε την πιθανότητα

α) να είναι και η πρώτη και η δεύτερη κερδοφόρα β) να μην είναι καμία κερδοφόρα γ) να είναι μόνο η μία από τις δύο κερδοφόρα Λύση Ρ(Κ πρώτη)= ευνοικές/δυνατές= 4/10 =0,4=40% Ρ(Κ δεύτερη)= ευνοικές/δυνατές= 4/9 ή 3/9 Ρ(ΚΚ)= Ρ(Κ πρώτη και Κ δεύτερη )= Ρ(Κ πρώτη) *Ρ(Κ δεύτερη) = 4/10

* 3/9= 12/90=0,133=13,3% Ρ(ΧΧ)= Ρ(Χ πρώτη και Χ δεύτερη )= Ρ(Χ πρώτη) *Ρ(Χ δεύτερη) = 6/10

* 5/9= 30/90= 0,333=33,3% Ρ(μία μόνο Κ)= Ρ(Κ πρώτη και Χ δεύτερη ή Χ πρώτη και Κ δεύτερη )= Ρ(Κ Χ) +Ρ(ΧΚ ) - Ρ(Κ Χ και ΧΚ) = Ρ(Κ Χ) +Ρ(ΧΚ ) – 0= 4/10 *6/9 + 6/10*4/9=24/90 +24/90=48/90= 53,3%

Πλήθος μετοχων Κ

πιθανότητα

0 33,3%

1 53,3%

2 13,3%

ΑΣΚΗΣΕΙΣ • Ρίχνουμε ένα κέρμα 3 φορές. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω

του πειράματος.

• Να υπολογισθούν οι πιθανότητες για το πλήθος φορών που φέρνουμε Κ, όταν παίζουμε το παιχνίδι 3 φορές

Δειγματικός χώρος Ω={ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ,ΓΚΚ,ΓΚΓ,ΓΓΚ,ΓΓΓ} Διαγραμματικά μπορεί να απεικονισθεί το ρίξιμο 3 φορές: αντίστοιχο γεγονός του Ω • Κ Κ ΚΚΚ • Κ Γ ΚΚΓ

Γ Κ ΚΓΚ Γ ΚΓΓ

• Γ Κ Κ ΓΚΚ • Γ ΓΚΓ • Γ Κ ΓΓΚ • Γ ΓΓΓ

Ρ(1 Κ ακριβώς) = ΕΥΝΟΙΚΕΣ για 2Κ/ΔΥΝΑΤΕΣ= 3/8 Ρ(2Κ ακριβώς) = ΕΥΝΟΙΚΕΣ για 2Κ/ΔΥΝΑΤΕΣ= 3/8

Ρ(3Κ ακριβώς) = ΕΥΝΟΙΚΕΣ για 2Κ/ΔΥΝΑΤΕΣ= 1/8 Ρ(0Κ ακριβώς) = ΕΥΝΟΙΚΕΣ για 2Κ/ΔΥΝΑΤΕΣ= 1/8

ΑΣΚΗΣΕΙΣ • Αν παίξουμε 3 φορές παιχνίδι με πιθανότητα 30% να κερδίσουμε

κάθε φορά. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. Να υπολογισθούν οι πιθανότητες για το πλήθος φορών που κερδίζουμε, όταν παίζουμε το παιχνίδι 3 φορές.

Δειγματικός χώρος Κ κερδίζω, Χ χάνω Ω={ΚΚΚ, ΚΚΧ, ΚΧΚ, ΚΧΧ,ΧΚΚ,ΧΚΧ,ΧΧΚ,ΧΧΧ} Διαγραμματικά μπορεί να απεικονισθεί 3 φορές ως εξής: αντίστοιχο γεγονός του Ω πιθανότητα • Κ Κ ΚΚΚ 0,3*0,3*0,3=0,027 • Κ Χ ΚΚΧ 0,3*0,3*0,7=0,063

Χ Κ ΚΧΚ 0,3*0,7*0,3=0,063 Χ ΚΧΧ 0,3*0,7*0,7=0,147

• Χ Κ Κ ΧΚΚ 0,7*0,3*0,3=0,063 • Χ ΧΚΧ 0,7*0,3*0,7=0,147 • Χ Κ ΧΧΚ 0,7*0,7*0,3=0,147 • Χ ΧΧΧ 0,7*0,7*0,7=0,343

Ρ(1Κ ακριβώς) =Ρ(ΚΧΧ U ΧΚΧ U ΧΧΚ )= = Ρ(ΚΚΧ)+Ρ(ΚΧΚ )+Ρ(ΧΚΚ )= • = 0,147+ 0,147 + 0,147 =0,441=44,1% Ρ(2Κ ακριβώς) =Ρ(ΚΚΧ U ΚΧΚ U ΧΚΚ )= = Ρ(ΚΚΧ)+Ρ(ΚΧΚ )+Ρ(ΧΚΚ )= • = 0,063+ 0,063 + 0,063=0,189=18,9%

Ρ(3Κ ακριβώς) =Ρ(ΚΚΚ) = 0,027= 2,7% Ρ(0Κ ακριβώς) =Ρ(ΧΧΧ) = 0,343= 34,3%