Κεφάλαιο 9 –...

Click here to load reader

  • date post

    10-Jun-2020
  • Category

    Documents

  • view

    2
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Κεφάλαιο 9 –...

  • 129

    Κεφάλαιο 9 – Πειράματα ταλαντώσεων, κυματικής και οπτικής

    Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η μελέτη της απλής αρμονικής κίνησης, καθώς και της ταλάντωσης με απόσβεση, μέσω των πειραμάτων ταλάντωσης ενός συστήματος μάζας-ελατηρίου και του απλού εκκρεμούς. Επίσης, παρουσιάζονται πειράματα κυματικής, όπως ο υπολογισμός της ταχύτητας διάδοσης των ηχητικών κυμάτων με τη μέθοδο των στάσιμων κυμάτων και η συμβολή ηχητικών κυμάτων. Τέλος, παρουσιάζονται πειράματα γεωμετρικής οπτικής με λεπτούς φακούς και η ανάλυση του φωτός με τη χρήση του οπτικού φασματοσκοπίου.

    Προαπαιτούμενη γνώση Μετρήσεις θεμελιωδών φυσικών μεγεθών (Κεφ. 4), μέση τιμή και αβεβαιότητα (Κεφ. 3), στοιχεία άλγεβρας και διαφορικού λογισμού.

    9.1. Μελέτη απλής αρμονικής ταλάντωσης 9.1.1. Σύντομη ανασκόπηση της θεωρίας

    Οποιαδήποτε κίνηση επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα ονομάζεται περιοδική κίνηση ή ταλάντωση. Ο χρόνος που απαιτείται για να ολοκληρωθεί μία πλήρης κίνηση ονομάζεται περίοδος , ενώ ο αριθμός των πλήρων κινήσεων στη μονάδα του χρόνου (1 s) ονομάζεται συχνότητα της ταλάντωσης και μετράται σε Hz (κύκλοι/s). Η απλούστερη περιοδική κίνηση που μπορούμε να μελετήσουμε είναι αυτή της απλής αρμονικής κίνησης, όπου η μετατόπιση του σώματος που την εκτελεί, μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση ημίτονου ή συνημίτονου ως προς το χρόνο (Αλεξόπουλος, 1986α . Halliday & Resnick, 1976).

    Ένα σύστημα που μπορεί να εκτελέσει απλή αρμονική κίνηση (ταλάντωση) απεικονίζεται στο Σχήμα 9.1. Σώμα μάζας m, συνδεδεμένο με ελατήριο που μπορεί είτε να τεντώνεται είτε να συσπειρώνεται, κινείται σε λείο (χωρίς τριβές) οριζόντιο επίπεδο, υπό την επίδραση του ελατηρίου. Η κίνηση αυτή χωρίς τριβές θα μπορούσε για παράδειγμα να πραγματοποιηθεί με τη χρήση της αεροτροχιάς (βλ Κεφ. 8.1).

    Σχήμα 9.1 Σώμα μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, υπό την επίδραση της δύναμης του ελατηρίου, .

  • 130

    Στη θέση ισορροπίας το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος και η δύναμη που εξασκείται

    πάνω στο σώμα είναι μηδέν. Εάν ωστόσο το ελατήριο επιμηκυνθεί (ή συμπιεστεί) κατά x, τότε ασκείται πάνω στο σώμα μία δύναμη που τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας (δύναμη επαναφοράς). Η δύναμη αυτή δίνεται από το νόμο του Hooke

    · 9.1

    όπου k είναι μια σταθερά που ονομάζεται σταθερά δυνάμεως του ελατηρίου και είναι ένα μέτρο της σκληρότητας του ελατηρίου. Το αρνητικό πρόσημο υποδηλώνει ότι η δύναμη είναι πάντα αντίθετη προς τη μετατόπιση του άκρου του ελατηρίου από τη θέση ισορροπίας. Η παραπάνω σχέση αναλογίας μεταξύ δυνάμεως και μετατόπισης ισχύει για μικρές επιμηκύνσεις (ή συμπιέσεις) του ελατηρίου, ώστε να ισχύει η ελαστική συμπεριφορά του ελατηρίου. Εφαρμόζοντας το 2ο νόμο του Newton στην κίνηση του σώματος μάζας m, θα προκύψει

    ·

    0 9.2

    Η τελευταία εξίσωση ονομάζεται διαφορική εξίσωση κίνησης ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή και αποδεικνύεται εύκολα με τη μέθοδο της αντικατάστασης ότι έχει ως λύση συναρτήσεις της μορφής

    cos 9.3

    όπου

    9.4

    είναι η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης. Στη σχέση 9.3, η σταθερά Α ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης και είναι η μέγιστη απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας (Σχήμα 9.2), ενώ το φ είναι η αρχική φάση της ταλάντωσης.

    Σχήμα 9.2 Γραφική παράσταση της θέσης ενός αρμονικού ταλαντωτή συναρτήσει του χρόνου, x=x(t) για φ=0.

  • 131

    Αν στη σχέση 9.3 ο χρόνος αυξηθεί κατά t=2π/ω, παρατηρούμε ότι η 9.3 δεν αλλάζει μορφή, αφού ισχύει

    2

    cos 2

    cos 2 cos

    Το σώμα δηλαδή έχει εκτελέσει έναν πλήρη κύκλο, και επομένως η περίοδος Τ της κίνησης ισούται με

    2 2 9.5

    Παρατηρούμε ότι η περίοδος κίνησης εξαρτάται μόνο από τα χαρακτηριστικά του ταλαντευόμενου συστήματος, δηλαδή τη μάζα m του σώματος και τη σταθερά k του ελατηρίου και γι αυτό ονομάζεται ιδιο- περίοδος ή φυσική περίοδος ταλάντωσης.

    Επειδή η δύναμη του ελατηρίου είναι η μόνη οριζόντια δύναμη που ασκείται στο σώμα και εφόσον οι κάθετες στη διεύθυνση της κίνησης δυνάμεις δεν παράγουν έργο, η μηχανική ενέργεια του συστήματος μάζας – ελατηρίου παραμένει σταθερή. Η μηχανική ενέργεια του συστήματος κάθε χρονική στιγμή ισούται με το άθροισμα της αντίστοιχης κινητικής και δυναμικής ενέργειας του συστήματος, την ίδια χρονική στιγμή. Ισχύει δηλαδή

    µ 1 2

    1 2

    9.6

    Σε κάθε απλή αρμονική ταλάντωση έχουμε συνεχή εναλλαγή κινητικής και δυναμικής ενέργειας με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμά τους, δηλαδή η μηχανική ενέργεια, να παραμένει συνεχώς σταθερή. Όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης , στο σημείο αυτό η ταχύτητα είναι μηδέν (το σώμα στιγμιαία ακινητεί) οπότε η μηχανική ενέργεια Εμηχ θα ισούται με

    µ 1 2

    9.7

    Συνδυάζοντας τις σχέσεις 9.6 και 9.7 έχουμε την τελική έκφραση για τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας στο σύστημα ελατηρίου-μάζας

    1 2

    1 2

    1 2

    9.8

    9.1.2. Σκοπός του πειράματος

    Σκοπός του πειράματος είναι ο υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου k σε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή που ταλαντώνεται σε κατακόρυφο επίπεδο, καθώς επίσης και η επαλήθευση της αρχής διατήρησης της μηχανικής ενέργειας του ταλαντευόμενου συστήματος (Καμαράτος, 2002).

    Η κατακόρυφη απλή αρμονική κίνηση δε διαφέρει ουσιαστικά από αυτή που έχει ήδη αναφερθεί. Σώμα μάζας m αναρτημένο από ελατήριο φυσικού μήκους l και σταθεράς k, ισορροπεί στη θέση x = 0, έχοντας επιμηκύνει το ελατήριο κατά μήκος Δl (Σχήμα 9.3β). Στη θέση αυτή, η ισορροπία του σώματος επιβ