ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ 1ο

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: x

f(x) 2 1, x .2

A. Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της και να κάνετε τη γραφική

της παράσταση.

Β. Να βρείτε για ποιες τιμές του x, όπου x 0,4 παρουσιάζονται η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της

συνάρτησης και να βρείτε το 5

f2

.

Γ. Να δικαιολογήσετε ότι οι τιμές 8 64

f f7 7

είναι ίσες μεταξύ τους και αρνητικοί αριθμοί.

Δ. Να λυθεί η εξίσωση: f(2 x) f(x) , x 4 ,0 .

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P(x) 2x (a 3)x 2bx b, a,b .

A. Αν γνωρίζετε ότι το P(x) διαιρούμενο με 2x 1 , αφήνει υπόλοιπο (x) 10x 5 , να αποδείξετε

ότι a=-2 και b=-4.

B. Για τις τιμές των a, b που βρήκατε παραπάνω, να λύσετε την ανίσωση: P(x) 0

Γ. Να λύσετε την ανίσωση: xP(e 1) 0

Δ. Να λύσετε την εξίσωση: P(ln2x) 0

ΘΕΜΑ 3ο

Για μια γωνία α στο τρίτο τεταρτημόριο γνωρίζουμε ότι: 3

5 .

Α. Να υπολογίσετε τα συνα, εφα, σφα.

Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

715 5 7

2

196

2

Γ. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 2α.

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνεται το πολυώνυμο: 3 2P(x) ax x 5x b 1, a,b . Αν γνωρίζετε ότι το πολυώνυμο

2Q(x) x x 2 , είναι παράγοντας του P(x), τότε:

Α. Να αποδείξετε ότι a=2 και b=3.

B. Για τις τιμές των α, b που βρήκατε , να κάνετε τη διαίρεση P(x):(1-x2) και να γράψετε την ταυτότητα της

αντίστοιχης διαίρεσης.

Γ. Να λύσετε την ανίσωση: P(x) 3(x 1) 0

Δ. Να δείξετε ότι η λύση της εξίσωσης: 1 xP(e ) 0 είναι θετικός αριθμός.

ΘΕΜΑ 5ο

Δίνεται η εκθετική συνάρτηση με τύπο:

xa

f(x) 1 ln , x .2

A. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η συνάρτηση ορίζεται και είναι γνήσια αύξουσα.

Β. Να συγκρίνετε τις τιμές e e

f 2 f 22 3

. Δικαιολογήστε τον ισχυρισμό σας.

Γ. Για α=1, να λύσετε την εξίσωση: 2x xf(x 1) f(ln(e e ) 1)

Δ. Για 2

2a ,

e να λυθεί η εξίσωση:

1f(2x)

81 .

ΘΕΜΑ 6ο

Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους: f(x) 3 2x g(x) 2x.

Α. Να βρείτε την περίοδό τους, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή τους και να δείξετε ότι

f(x) g(x) ά x .

B. Να βρείτε , με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων, για ποιες τιμές του χ από

το διάστημα [0,π], η διαφορά f(x)-g(x) παίρνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της.

Γ. Να υπολογίσετε τη διαφορά: 7 9

f f4 4

Δ. Να βρείτε τιμή o o

x , x 2 ,3 , ώστε το σημείο o

7M x ,

2 2

ανήκει στη γραφική παράσταση της

συνάρτησης f(x).

ΘΕΜΑ 7ο

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : x xf(x) ln e 5 6e

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να δείξετε ότι μπορεί να γραφτεί στη μορφή:

2x xf(x) ln e 5e 6 x

Β. Να λύσετε την ανίσωση: f(x) x

Γ. Βρείτε την τιμή της παράστασης: K 2f(ln6) f(ln8)

ΘΕΜΑ 8ο

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: x xe 2

f(x)lnx 1

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

Β. Να λύσετε την ανίσωση: x

2e 1 2

f (x)lnx 1

Γ. Να λύσετε την εξίσωση: ln2x 2 f(1)