ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ · - 2 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ...

- 1 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ ΑΑΘΘΑΑΝΝΑΑΣΣΙΙΟΟΣΣ http://mathhmagic.blogspot.com 1

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ


2

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

•Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής νχ⋅α με R∈χ και

Ν∈ν .

•Πολυώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής .

P (x)= 011

1 ....... α+χα++χα+χα −ν−ν

νν με R,......,,, 021 ∈αααα −ν−νν και Ν∈ν .

Προσοχή :Είναι σαφές από τον ορισμό του πολυώνυμου ότι πρέπει οπωσδήποτε Ν∈ν

,για παράδειγμα οι παραστάσεις 22

14 x2x3x +− , 2x2x4x4 233 +++ δεν είναι

πολυώνυμα .

Οι αριθμοί 021 ,......,,, αααα −ν−νν λέγονται συντελεστές του πολυώνυμου.

Τα μονώνυμα 011

1 ,,......,, αχαχαχα −ν−ν

νν λέγονται όροι του πολυώνυμου.

Ειδικότερα ο όρος 0α λέγεται σταθερός όρος του πολυώνυμου.

Κάθε πολυώνυμο της μορφής P(x)= R0 ∈α ονομάζεται σταθερό πολυώνυμο ενώ το

πολυώνυμο

P(x)=0 ονομάζεται το μηδενικό πολυώνυμο.

•Αριθμητική τιμή πολυώνυμου ή τιμή ενός πολυώνυμου

P(x)= 011

1 ....... α+χα++χα+χα −ν−ν

νν

για χ=κ καλείται ο πραγματικός αριθμός P(κ)= 011

1 ....... α+κα++κα+κα −ν−ν

νν . Π.χ η τιμή

του πολυώνυμου P(x)= 3 22 2 3χ χ χ+ − − για χ=1 είναι P(1)= 3 22 1 1 2 1 3 2⋅ + − ⋅ − = −

Το σταθερό πολυώνυμο P(x)= R0 ∈α έχει τιμή P(κ)= 0α για κάθε τιμή R∈κ .

Ρίζα ενός πολυώνυμου P(χ) ονομάζουμε κάθε R∈ρ ώστε P(ρ)=0. Π.χ το 3 είναι ρίζα του

πολυώνυμου P(x)= 9x2x 23 −− γιατί P(3)= 09323 23 =−⋅−

Κάθε σταθερό μηδενικό πολυώνυμο έχει ρίζες του όλους τους πραγματικούς αριθμούς.

•Βαθμός του μη μηδενικού πολυώνυμου P(x) ονομάζεται ο μεγαλύτερος έκθετης της

μεταβλητής χ με την προϋπόθεση ότι ο συντελεστής της είναι διάφορος του μηδενός.

Ο βαθμός ενός μη μηδενικού πολυώνυμου P(χ) συμβολίζεται με degP(x) ή degP.

Π.χ ο βαθμός του P(x)= 9x2x 23 −− είναι degP=3 ενώ του P(x)=4 είναι βαθμού μηδενικού.

Βαθμός του μηδενικού πολυώνυμου P(x)=0 δεν ορίζεται.

Ο βαθμός κάθε σταθερού πολυώνυμου P(x)=α είναι το 0 γιατί το P(χ) γράφεται ως

P(χ)= 0χ⋅α

Ισχύει ότι για κάθε πολυώνυμο νιοστου βαθμού έχει το πολύ ν ρίζες .Αν έχει περισσότερες

από ν , τότε πρόκειται για το μηδενικό πολυώνυμο.

•Ίσα λέγονται δυο πολυώνυμα P(x) και G(x) του ίδιου βαθμού αν οι συντελεστές των

ομοιοβάθμιων όρων τους είναι ίσοι , δηλαδή:

011

1 ....... α+χα++χα+χα −ν−ν

νν = 01

11 ....... β+χβ++χβ+χβ −ν−ν

νν

αν και μόνο αν 001111 ,,.......,, β=αβ=αβ=αβ=α −ν−ννν .


3

Οι πράξεις μεταξύ πολυώνυμων είναι οι εξής :πρόσθεση , αφαίρεση , πολλαπλασιασμός

και διαίρεση.

Ιδιαίτερη μνεία απαιτείται για την διαίρεση στην οποία θα αναφερθούμε εκτενώς.

Οσο αφορά τον βαθμό του πολυώνυμου που προκύπτει από πρόσθεση (αφαίρεση) ή

πολλαπλασιασμό μεταξύ δυο πολυώνυμων P(x) ,Q(x) ισχύει:

deg[P(x)+Q(x)]≤ maxdegP(x),degQ(x)

deg[P(x).Q(x)]= degP(x)+degQ(x)

deg[P(x)ν]=ν. degP(x), Ν∈ν .

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1)Δίνονται τα πολυώνυμα P(x)= 1x2 2 + , Q(x)= 1x4x4 24 −−− , F(x)= 22 5x− + .

Να βρεθούν :

i)[P(x)]2+Q(x)

ii) P(x) +F(x)

iii) P(x) .F(x)

iv)F(P(x)), καθώς και ο βαθμός των πολυωνύμων που προκύπτουν.

Λύση

i)[P(x)]2+Q(x)=( 1x2 2 + )2 1x4x4 24 −−− = 01x4x4x41x4 2424 =−−−++

Το πολυωνυμο που προέκυψε είναι το μηδενικό δεν έχει βαθμό.

ii) P(x) +F(x)= 1x2 2 + 22 5x− + =6 . Το πολυώνυμο που προέκυψε είναι το σταθερό έχει βαθμό

0.

iii) P(x) .F(x)= ( 1x2 2 + ).( 22 5x− + ) 4 2 2 4 24 10 2 5 4 8 5x x x x x= − + − + = − + +

Το πολυώνυμο που προέκυψε έχει βαθμό 4.

iv)F(P(x))= 2 2 4 2 4 2 4 22(2 1) 5 2(4 4 1) 5 8 8 2 5 8 8 3x x x x x x x− + + = − + + + = − − − + = − − −

Το πολυώνυμο που προέκυψε έχει βαθμό 4.

2)Τα πολυώνυμα P(x), Q(x) έχουν βαθμούς 6 και 3 αντίστοιχα.Να βρείτε τους βαθμούς

των πολυώνυμων:

i) 2.P(x) ii)( Q(x))2 iii) 2.P(x)+( Q(x))2

Λύση

i)Το σταθερό πολυώνυμο 2 έχει βαθμό 0 ενώ το P(x) έχει βαθμό 6. Άρα το γινόμενο 2.P(x)

έχει βαθμό 0+6=6

ii)Το πολυώνυμο Q(x) έχει βαθμό 3. Άρα το ( Q(x))2 = Q(x) .Q(x) έχει βαθμό 3+3=6

iii)Τα πολυώνυμα 2.P(x) και ( Q(x))2 έχουν και τα δυο βαθμό 6.Άρα το άθροισμα τους έχει

βαθμό το πολύ 6.

3)Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς που δίνονται είναι ρίζες των αντιστοιχών

πολυώνυμων

i)P(x)= 1x2x 2 +− , x1=1 , x2= -1 , x3=2

1

ii) F(x)= 1x8 −− , x1=1 , x2= -1 , x3=2

Λύση


4

i) P(1)= 011212 =+⋅−

P(-1)= 041211)1(2)1( 2 ≠=++=+−−−

P(2

1)= 0

4

111

4

11

2

12)

2

1( 2 ≠=+−=+−

Άρα μόνο το 1 είναι ρίζα του P.

ii) F(1)= 02118 ≠−=−−

F(-1)= 8( 1) 1 2 0− − − = − ≠

F(2)= 01)2( 8 ≠−−

Κανένας από τους τρεις αριθμούς είναι ρίζα του F(x) .

4)Για ποιες τιμές των R∈α η τιμή του πολυώνυμου

P(x)= 12323 234 −α+αχ+χ−χ για χ=2 είναι ίση με 27;

Λύση

P(2)= 12232223 234 −α+α+⋅−⋅ =27 ⇔=−α+α+−⇔ 271261648 2

023....273162 22 =+α+α⇔⇔=+α+α όπου 1,2 21 −=α−=α .

5)Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β , γ για τους οποίους το

πολυώνυμο

P(x)= 12)5()23( 3 −β+α−χγ+β+χβ+α

είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

Λύση

Το P(x) είναι ίσο με το μηδενικό πολυώνυμο αν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με το 0,

δηλαδή αν

023 =β+α

05 =γ+β

012 =−β+α−

6)Να προσδιορίσετε τους αριθμούς Α, Β , Γ ώστε για κάθε 2x ≠ να ισχύει:

2 2

3

( 2)( 4) 2 4

χ χχ χ χ χ

+ Α Β +Γ= +

− + − +

Λύση

Είναι : =+χ−χ

Γ+χΒ−χ++χΑ=

+χ

Γ+χΒ+

−χΑ

)4)(2(

)(2()4(

42 2

2

2 )4)(2(

24)2()(2

2

+χ−χ

Γ−Α+χΒ−Γ+χΒ+Α

Άρα η σχέση 42)4)(2(

322 +χ

Γ+χΒ+

−χΑ

=−χ−χ

+χ γράφεται ισοδύναμα:

2

3

( 2)( 4)

χχ χ

+=

− + )4)(2(

24)2()(2

2

+χ−χ

Γ−Α+χΒ−Γ+χΒ+Α

Παρατήρηση:Για να είναι

ρίζα ενός πολυώνυμου P(x)

o αριθμός ρ πρέπει

P(ρ)=0

Η πρώτη και η τρίτη από αυτές τις εξισώσεις απαρτίζουν ένα

σύστημα , από το οποίο βρίσκουμε :

7

3,

7

2=β−=α . Τότε η δεύτερη εξίσωση δίνει:

7

155 −=β⋅=γ


5

Παρατηρούμε ότι οι ρητές παραστάσεις των δυο μελών έχουν των ίδιο παρανομαστή.Άρα θα

είναι ίσες αν και τα πολυώνυμα στους δυο αριθμητές είναι ίσα μεταξύ τους , δηλαδή αν:

Γ−Α+χΒ−Γ+χ+=+χ 24)2()BA(3 2

Από όπου προκύπτε

0BA =+

12 =Β−Γ 324 =Γ−Α

7)i)Να βρείτε το βαθμό και τους συντελεστές του πολυώνυμου

P(λ)= )43()13( 22 −λ−λ−ψ−χ+λ−λ

ii)Η εξίσωση )43()13( 22 −λ−λ−ψ−χ+λ−λ =0 παριστάνει ευθεία για κάθε R∈λ .

Να αποδείξετε ότι οποίο και αν είναι το λ, η ευθεία αυτή διέρχεται από το ίδιο πάντα

σημείο, το οποίο και να το προσδιορίσετε.

Λύση

i)Παρατηρούμε ότι η μεταβλητή του πολυώνυμου είναι το λ.Είναι:

P(λ)= 04)33()1()43()13( 222 =+ψ−χ+λ+χ−+λ−χ=−λ−λ−ψ−χ+λ−λ

Αν χ=1 τότε το πολυώνυμο P(λ) γράφεται :

P(λ)= ψ−+λ⋅+λ⋅ 500 2

άρα αν ψ=5 τότε το P(λ) είναι το μηδενικό πολυώνυμο και ο βαθμός του δεν ορίζεται.

Αν 5≠ψ τότε το P(λ) είναι το σταθερό πολυώνυμο P(λ)=5-ψ και επομένως ο βαθμός του είναι

το 0.

Αν 1x ≠ τοτε ο συντελεστής του λ2 είναι μη μηδενικός και επομένως ο βαθμός του P(λ)

είναι 2.

ii)Έστω (χ,ψ) σημείο που ανήκει στην ευθεία για κάθε R∈λ .Είναι:

⇔=−λ−λ−ψ−χ+λ−λ 0)43()13( 22 ⇔=+ψ−χ+λ+χ−+λ−χ 04)33()1( 2

⇔ P(λ)=0

Όμως η σχέση αυτή ισχύει για κάθε R∈λ , πράγμα που σημαίνει ότι το P(λ) είναι το

μηδενικό πολυώνυμο και οι συντελεστές του όλοι είναι ίσοι με μηδέν, δηλαδή:

01=−χ

033 =+χ−

04 =+ψ−χ

Από όπου προκύπτει εύκολα : χ=1 , ψ=5 .

Άρα η εξίσωση: 04)33()1( 2 =+ψ−χ+λ+χ−+λ−χ επαληθεύεται για κάθε R∈λ αν χ=1 ,

ψ=5 , και συνεπώς το σημείο (1,5) ανήκει σε όλες τις ευθείες με εξίσωση την παραπάνω.

8)Για ποιες τιμές των R, ∈µλ για το πολυώνυμο ισχύει :

P(x)= 1)(3)1(23 23 −µ+χµ+λ+χ+λ−χ ισχύει:

P(-1)=-23 και P(2)=16.

Λύση

Λύνουμε το σύστημα και βρίσκουμε:

4

1,

8

5,

8

5−=Γ−=Β=Α


6

Αναζητούμε τα R, ∈µλ για το πολυώνυμο ώστε P(-1)=-23 και P(2)=16.

Άρα τα R, ∈µλ θα μας τα δώσει η λύση του συστήματος :

⇔

=−⋅µ+λ+⋅+λ−

−=−µ+−µ+λ+−+λ−−⇔

=

−=−

1612)(32)1(22.3

231)1)((3)1)(1(2)1(3

16)2(P

23)1(P23

23

=µ

=λ⇔

−=µ−λ

=µ+λ⇔

=−µ+µ+λ+−λ−

−=−µ+µ−λ−−λ−−

1

3

172

1725

161668824

23133223

9)Δίνονται τα πολυώνυμα f(x),g(x),p(x), για τα οποία ισχύει: f 2(x)-x g2(x)-x.p2(x)=0 για κάθε

Rx∈ .Να δειχθεί ότι τα πολυώνυμα f(x),g(x),p(x) είναι μηδενικά.

Λύση

⇔=⋅−⋅− 0)x(px)x(gx)x(f 222 )x(p)x(g(x)x(f 222 +⋅= Για κάθε . Rx∈

Επειδή 0)x(p)x(g 22 ≥+ Για κάθε Rx∈

αν χ<0 τότε 0)x(p)x(g(x 22 ≤+⋅ .

Άρα 0)x(f 2 ≤ .

Επειδή όμως 0)x(f 2 ≥ , έχουμε 0)x(f 2 = για κάθε αρνητικό αριθμό χ , άρα

0)x(f = για κάθε αρνητικό αριθμό.

Επομένως το f(x) θα έχει άπειρες ρίζες .

Έτσι αναγκαστικά το f(x) θα είναι εκ ταυτότητος μηδέν.

Άρα 0)x(p)x(g 22 =+ . Για κάθε Rx∈

Επομένως 0)x(p)x(g == . Για κάθε Rx∈ .

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1)Δίνονται τα πολυώνυμα

P(x)= 13 23 +χ−χ Q(χ)= 154 2 −χ−χ H(χ)= χ+χ−χ 23 2

Να βρείτε τα πολυώνυμα:

i) P(x)-3 Q(χ) ii) 2.P(x)+ 5.H(χ) ii) -3Q(χ) +4H(χ)

2)Να βρείτε το βαθμό και τους συντελεστές για καθένα από τα παρακάτω πολυώνυμα

i) P(x)= )]14()64([))]14(6(4[ 234234 −χ−χ+χ+χ−−χ−χ−χ−χ

ii) Q(x)= ]4)733(8)3(7[ 524345 −−χ+χ−χ−χ−χ−χ−−χ

iii) Η(x)= )]()[(2)]()[(7 χ+α−χ−α−χ−χ−α−χ+α−χ

iv) Φ(x)= ))]14(6(4[]2)1)46(4([ 23234 −χ−χ−χ−χ−−−χ−χ−−χ−χ

3)Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου μ ώστε το πολυώνυμο

P(x)= 26)13()19( 32 +µ+χ+µ+χ−µ να είναι το μηδενικό.

4)Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β , γ,δ ώστε το πολυώνυμο

P(x)= δ+β+γ−α+χγ−β+α+χ+α−β+χ−α 2)()12()1( 23 να έχει περισσότερες από τρεις

ρίζες .


7

5) Να βρείτε το βαθμό και τους συντελεστές για καθένα από τα παρακάτω πολυώνυμα

i)P(χ)= )12()13()13( 222 +χ−χ−−−χ+χ−++χ+χ

ii) Q(χ)= )13()1722()2534( 22232232 +χα−−−χα−αχ+χα−+−αχ+αχ−χα

Η(χ)= +α+χα+χα+αχ+χ −ν−ν−νν )1066( 422331 )35353( 334221 −νν−ν−ν χα−α−χ+χα+αχ+ ,

3, >νΝ∈ν .

6)Για ένα πολυώνυμο P(χ) ξέρουμε ότι P(1)=12 , P(0) =2 , P(-1)=-4.

i) Ποιος είναι ο σταθερός όρος του πολυώνυμου;

ii) Ποιο είναι το άθροισμα των συντελεστών του πολυώνυμου;

iii) Έστω S1 το άθροισμα των συντελεστών των όρων με άρτιες δυνάμεις

(συμπεριλαμβανόμενου και του σταθερού όρου) και S2 το άθροισμα των

συντελεστών των όρων με περιττές δυνάμεις .Να συγκρίνετε τα S1,S2 .

7)Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς που δίνονται είναι ρίζες των αντιστοιχών

πολυώνυμων:

i)P(χ)= 463 34 −χ+χ−χ , χ1=2 , χ2= 2 , χ3=1

ii)Q(χ)= 2345 5353 χ−χ−χ+χ , χ1=0 , χ2=3

5− , χ3=2

iii) F(χ)= 2223 2)32()31( α+χα−α+χα−+χ , χ1=-1 , χ2=2α, χ3=2

1.

8)Αν P(χ)= 23 2 +λχ−χ και P(-1)+λ+3=0 , να βρεθεί το λ.

9)Να προσδιορίσετε πολυώνυμο P(χ) τέτοιο ώστε:

(2χ+5)P(χ)= 5336 23 +χ−χ+χ

10)Να προσδιορίσετε πολυώνυμο P(χ) τέτοιο ώστε :

132699)(P))(P( 22 +χ+χ=χ+χ

11)Να βρείτε το βαθμό του πολυώνυμου:

P(χ)= 214)1125( 26750269 −χ+χ−+χ−χ+χ−χ

12)Τα πολυώνυμα P(χ) ,Q(χ) έχουν βαθμούς 10 και 5 αντίστοιχα.Nα βρείτε τους βαθμούς των

πολυώνυμων.

i)P(χ)Q(χ) ii) P(χ)+Q(χ) iii) P(χ)+3Q(χ) iv) (P(χ))2

v) (Q(χ))2 -6P(χ) vi) ( P(χ))4Q(χ)

13)Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό α ώστε το πολυώνυμο

P(χ)= 2)4()6( 22272 −α−α+χ−α+χ−α+α να είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

14)Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β,για τους οποίους το πολυώνυμο

P(χ)= 3127 2 +χ−χ παίρνει την μορφή γ+−χβ+−χαχ )2()2( .


8

15)Αν P(3χ-1)= 124 23 −χ−χ+χ , να βρείτε το P(-10).

17)Να προσδιορίσετε πολυώνυμο P(χ) τέτοιο ώστε:

21525)(P))(P( 22 +χ+χ=χ+χ

18)Να προσδιορίσετε πολυώνυμο P(χ) δεύτερου βαθμού τέτοιο ώστε P(0)=0 και

( ) ( 1)P Pχ χ χ− − = για κάθε R∈χ

19) Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = x2 + 2x + 5. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός α αν

ισχύει: Ρ (α - 1) = 13.

20)Να προσδιορίσετε τους αριθμούς Α και Β ώστε για κάθε χ ≠ 1, χ≠ -3 , να ισχύει :

31)3)(1(

7

+χΒ

+−χΑ

=+χ−χ

+χ

21) i)Να βρείτε πολυώνυμο P(χ) 3ου βαθμού τέτοιο ώστε να είναι P(0)=0 και 2)1(P)(P χ=−χ−χ .

ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα *,.....321 2222 Ν∈νν++++

22) i)Να βρείτε τα Α, Β ώστε να είναι :1)1(

1

+χΒ

+χΑ=

+χχ

ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα )1(

1......

43

1

32

1

21

1

+νν++

⋅+

⋅+

⋅

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

1) Το πολυώνυμο P (x) = 3 (x - 1)2 - 3x2 + 5 είναι:

Α. μηδενικού βαθμού Β. πρώτου βαθμού Γ. δευτέρου βαθμού

Δ. το μηδενικό πολυώνυμο Ε. τρίτου βαθμού

2) Αν το πολυώνυμο P (x) = (λ2 - 4) x2 + (λ - 2) x - (λ + 2), λ ∈ R είναι πρώτου βαθμού τότε το

λ μπορεί να είναι:

Α. - 2 Β. - 1 Γ. 0 Δ. 1 Ε. 2

3) Το πολυώνυμο P (x) = (λ2 - 1) x3 + (1 - λ) x2 - (λ + 1) x + λ + 8 είναι σταθερό πολυώνυμο, όταν

το λ ισούται με:

Α. - 1 Β. 0 Γ. 1

Δ. για κάθε λ ∈ R Ε. για καμία τιμή του λ ∈ R


9

4) Το πολυώνυμο P (x) = (λ5 - 1) x3 + (λ2 - 3λ + 2) x + λ - 1 είναι το μηδενικό πολυώνυμο όταν ο

πραγματικός αριθμός λ ισούται με:

Α. - 1 Β. 0 Γ. 1 Δ. - 5 Ε. 5

5) Αν το πολυώνυμο P (x) = (λν - 1) x5 + (1 - λ) x + 8, λ ∈ R είναι μηδενικού βαθμού, τότε το

πολυώνυμο q (x) = (λ3 - 1) x3 - (1 - λ2) x2 + (λ + 1) x - (1 - λ) είναι:

Α. τρίτου βαθμού Β. δευτέρου βαθμού Γ. πρώτου βαθμού

Δ. μηδενικού βαθμού Ε. το μηδενικό πολυώνυμο

6) Τα πολυώνυμα P (x) = x3 - βx + 5 και Q (x) = x3 + βx2 + 5 - β, β ∈ R είναι ίσα όταν ο β

ισούται με:

Α. - 1 Β. 0 Γ. 1 Δ. 5 Ε. - 5

7) Αν τα πολυώνυμα P (x) = λν+1 xν + (2λ - 3) x2 + x - 1 και

q (x) = λx1998 - 3x2 + x - (λ + 1)

είναι ίσα, τότε ο πραγματικός αριθμός λ είναι:

Α. 1 Β. - 1 Γ. 0 Δ. 1998

Ε. κάθε πραγματικός αριθμός

8) Το πολυώνυμο P (x) = ανxν + αν-1xν+1 + ... + α0 έχει για ρίζα το μηδέν. Τότε για το α0 ισχύει:

Α. α0 > 0 Β. α0 < 0 Γ. α0 = αν Δ. α0 = 0

Ε. κανένα από τα προηγούμενα

9) Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι ψευδής:

Α. Αν Ρ (ρ) = 0 τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ (x)

Β. Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0

Γ. Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός

Δ. Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το γινόμενο των

βαθμών των πολυωνύμων αυτών.

Ε. Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x

10) Έστω Ρ (x) σταθερό πολυώνυμο και Ρ (2) = 5. Τότε το Ρ (- 2) ισούται με:

Α. 5 Β. - 5 Γ. 2 Δ. - 2 Ε. 0

11) Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = x1998 + 1. Αν Ρ (α + 1997) = 1, τότε για τον

πραγματικό αριθμό α ισχύει:

Α. α > 1997 Β. α > 1998 Γ. α = 1997

Δ. α = - 1997 Ε. κανένα από τα προηγούμενα

12) Αν για το πολυώνυμο Ρ (x) ισχύει: (x2 - 1) . P (x) = x6 - 2x4 + 5x - 8, τότε το Ρ (x) είναι:

Α. τρίτου βαθμού Β. τέταρτου βαθμού Γ. πέμπτου βαθμού

Δ. έκτου βαθμού Ε. κανένα από τα προηγούμενα


10

ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Από το γυμνάσιο γνωρίζουμε την ευκλείδεια διαίρεση δυο αριθμών .Την είχαμε ορίσει ως

εξής::

Ευκλείδεια διαίρεση: για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών Δ και δ, με δ, υπάρχουν

μοναδικοί φυσικοί αριθμοί π και υ ώστε:

Δ=δπ+υ και δ<υ≤0

Την παραπάνω ισότητα την ονομάσαμε ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης .

Ανάλογη με την ευκλείδεια διαίρεση είναι και η διαίρεση μεταξύ πολυώνυμων.

Θεώρημα (Ταυτότητα της διαίρεσης ).Για κάθε ζεύγος πολυώνυμων Δ(χ) και δ(χ) , με

δ(χ) 0≠ ,υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα π(χ) και υ(χ) για τα οποία ισχύει:

Δ(χ)=δ(χ)π(χ)+υ(χ) και δ<υ≤0

Το υ(χ) είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(χ).

Το Δ(χ) λέγεται διαιρετέος , το δ(χ) διαιρέτης , το π(χ) πηλίκο και το υ(χ) υπόλοιπο της

διαίρεσης .

Η πιο πάνω ισότητα λέγεται ταυτότητα της διαίρεσης των πολυώνυμων Δ(χ) και δ(χ).

Παραγοντας ή διαιρέτης ενός πολυωνύμου Δ(χ) θα λέγεται το πολυώνυμο δ(χ) αν το

υπόλοιπο της διαίρεσης του Δ(χ) : δ(χ) είναι υ(χ)=0 .Η ταυτότητα της διαίρεσης τότε

γράφεται Δ(χ)=δ(χ).π(χ) και η διαίρεση λέγεται τέλεια. Θα λέμε ακόμα , στην περίπτωση

αυτή, ότι το δ(χ) διαιρεί το Δ(χ) ή το Δ(χ) διαιρείται με το δ(χ).

Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(χ) με ένα πολυώνυμο της μορφής χ-ρ είναι υ=P(ρ).

Το χ-ρ θα είναι παράγοντας αν υ=P(ρ)=0


11

ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Υπάρχει συγκεκριμένη αλγοριθμική μέθοδος για την εκτέλεση της διαίρεσης

πολυωνυμων.Για να δούμε με ένα παράδειγμα την εφαρμογή αυτής της μεθόδου .

Π.χ η διαίρεση )4(:)292( 23 +χ+χ−χ+χ

Στην συνέχεια επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 και 3 θεωρώντας ως διαιρετέο το μερικό

υπόλοιπο .

1ο Βήµα Ξεκινάµε την διαίρεση σηµειώνοντας σε κατάλληλη σχηµατική διάταξη το διαιρετέο κα το διαιρετή όπως και στους φυσικούς αριθµούς .

)292( 23 +χ−χ+χ )4( +χ

2ο Βήµα ∆ιαιρούµε τον µεγιστοβάθµιο όρο του διαιρετέου ( δηλαδή το χ2) µε τον µεγιστοβάθµιο όρο του διαιρετή(δηλ το χ) και βρίσκουµε έτσι :

23 χ=χ:χ

Γράφουµε το αποτέλεσµα (δηλαδή τα ο χ2) στην θέση του πηλίκου.

292 23 +χ−χ+χ 4+χ

2χ

3ο βήµα Πολλαπλασιάζουµε το χ2 που γράψαµε στην θέση του πηλίκου µε το διαιρέτη

(δηλ µε το χ+4).Προκύπτει το πολυώνυµο 23 4χ+χ το οποίο αφαιρούµε από το διαιρετέο

.Βρίσκουµε έτσι το 292 2 +χ−χ− το οποίο ονοµάζεται µερικό υόλοιο.

292 23 +χ−χ+χ 4+χ

23 4χ−χ− 2χ

292 2 +χ−χ− ← Μερικό υόλοιο


12

Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι το πολυώνυμο που προκύπτει ως μερικό

υπόλοιπο να γίνει ίσο με το μηδενικό ή ο βαθμός του να γίνει μικρότερος από το βαθμό του

διαιρετή.

Θεωρώντας λοιπόν ως διαιρετέο το μερικό υπόλοιπο 292 2 +χ−χ− και επαναλαμβάνοντας

τα βήματα 2 και 3 προκύπτει :

Επειδή το μερικό υπόλοιπο 297 +χ δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο ούτε έχει βαθμό

μικρότερο από το βαθμό του διαιρετή, χρειάζεται να επαναλάβουμε τα βήματα 2 και 3

θεωρώντας ως διαιρετέο το 297 +χ .Τότε έχουμε:

2ο βήµα

292 23 +χ−χ+χ 4+χ

23 4χ−χ− χ−χ 22

292 2 +χ−χ−

∆ιαιρούµε το 2χ2- µε το χ και γράφουµε το αποτέλεσµα (δηλαδή το –2χ) στην θέση του

πηλίκου.

3ο βήµα

292 23 +χ−χ+χ 4+χ

23 4χ−χ− χ−χ 22

292 2 +χ−χ−

χ+χ 82 2

297 +χ ← Μερικό υόλοιο

Πολλαπλασιάζουµε το –2χ µε το διαιρέτη και αφαιρούµε το αποτέλεσµα από το προηγούµενο µερικό υπόλοιπο.Προκύπτει έτσι το νέο µερικό υπόλοιπο 297 +χ .

2ο βήµα

292 23 +χ−χ+χ 4+χ

23 4χ−χ− 722 +χ−χ

292 2 +χ−χ−

χ+χ 82 2

297 +χ

∆ιαιρούµε το 7χ µε το χ και γράφουµε το αποτέλεσµα (δηλ το 7) στην θέση του πηλίκου.


13

Επειδή το 1 είναι πολυώνυμο βαθμού 0 (μικρότερου βαθμού από το βαθμό του διαιρετή) σε

αυτό το στάδιο η διαίρεση τερματίζεται. Το πηλίκο της διαίρεσης είναι το 722 +χ−χ ενώ το

υπόλοιπο είναι το 1.Το αποτέλεσμα αυτό εκφράζεται από την ταυτότητα της διαίρεσης :

292 23 +χ−χ+χ = 1)72()4( 2 ++χ−χ⋅+χ

Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την διαίρεση δυο οποιωνδήποτε

πολυώνυμων.

2ο βήµα

292 23 +χ−χ+χ 4+χ

23 4χ−χ− 722 +χ−χ ← Πηλίκο

292 2 +χ−χ−

χ+χ 82 2

297 +χ

287 −χ−

1 ← υόλοιο Πολλαπλασιάζουµε το 7 µε το διαιρετή και αφαιρούµε το αποτέλεσµα από το προηγούµενο µερικό υπόλοιπο.Προκύπτει το 1.

∆ιαιρετέος Διαιρετης

υπόλοιπο


ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ ΑΑΘΘΑΑΝΝΑΑΣΣΙΙΟΟΣΣ http://mathhmagic.blogspot.com 14

ΣΧΗΜΑ HORNER

Ένας άλλος πιο σύντομος τρόπος να εκτελέσουμε την διαίρεση ενός πολυώνυμου με ένα

παράγοντα της μορφής (χ-ρ) είναι το σχήμα HORNER. Έχει αποδειχθεί ότι με τον κλασικό

τρόπο της διαίρεσης όταν διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο βαθμού κ απαιτούνται 2κ-1

πολλαπλασιασμοί , ενώ με την χρήση του σχήματος HORNER απαιτούνται μόνο κ

πολλαπλασιασμοί.

Ας δούμε την μέθοδο.

Έστω ότι θέλουμε να διαιρέσουμε το πολυώνυμο P(χ)= 533 +χ−χ με το 2+χ .

1 0 -3 5 -2

1

Κάνουμε τον διπλανό πίνακα που

αποτελείται από τρεις γραμμές:

Στην πρώτη γραμμή γράφουνε τους

συντελεστές του P(χ) (η δύναμη του χ

που λείπει συμπληρώνεται με μηδέν

)και το –2.

Επίσης γράφουμε τον πρώτο

συντελεστή , το 1 ,στην πρώτη θέση

της τρίτης γραμμής .

Η δεύτερη γραμμή συμπληρώνεται

ως εξής :

-Πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο συντελεστή της τρίτης γραμμής , το 1, με το –2, το αποτέλεσμα

το βάζουμε κάτω από το μηδέν(δεύτερη θέση της δεύτερης γραμμής ) και κάνουμε την

πρόσθεση. Το άθροισμα, που είναι ο –2, το γράφουμε στην δεύτερη θέση της τρίτης γραμμής.

-στη συνεχεία πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το –2 ,(-2).(-2)=4, και το βάζουμε κάτω από

το –3 (τρίτη θέση της δεύτερης γραμμής).Στην τρίτη θέση της τρίτης γραμμής γράφουμε το

άθροισμα τους που είναι το 1.

-τέλος , πολλαπλασιάζουμε το 1 με το –2 και το αποτέλεσμα το βάζουμε κάτω από το

5(Τετάρτη θέση της δεύτερης γραμμής ).Στην τέταρτη θέση της τρίτης γραμμής γράφουμε

το άθροισμα τους που είναι ο 3.

Η διαδικασία σταματά εδώ δηλ έχουμε:

1 0 -3 5 -2

1(-2) = -2 (-2)(-2)= 4

1(-2)=-2

1 -2 1 3

Συντελεστές του πολυώνυµου υπόλοιπο

Οι αριθμοί που βρίσκονται στις τρεις πρώτες θέσεις της τρίτης γραμμής

παριστάνουν τους συντελεστές του πηλίκου και ο αριθμός που βρίσκεται

στην τελευταία θέση το υπόλοιπο.

Επειδή το P(χ) είναι τρίτου βαθμού και το χ+2 είναι πρώτου βαθμού, θα έχουμε ότι το

πηλίκο της διαίρεσης του 533 +χ−χ με το χ+2 είναι το 122 +χ−χ και το υπόλοιπο ο 3,

δηλαδή :

533 +χ−χ = (χ+2)( 122 +χ−χ )+3

1η γραµµη

3η γραµµη

2η γραµµη

1η θεση 2η θεση 4η θεση 3η θεση


15

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1)Να γίνει η διαίρεση )17532( 234 +χ−χ+χ−χ : )32( 2 +χ−χ και να γραφεί η ταυτότητα

της διαίρεσης:

Λύση

Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι:

)17532( 234 +χ−χ+χ−χ =( 12 2 +χ+χ )( 322 +χ−χ )+( 28 −χ ).

2)Αν P(χ)= 20391012403 234 +χ−χ+χ+χ , να βρεθεί η τιμή P(-13).

Λύση

Η τιμή P(-13) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(χ) με το χ+13.

Χρησιμοποιώ το σχήμα HORNER :

Άρα P(-13)=2000.

3)Να βρείτε το πολυώνυμο Δ(χ)το οποίο όταν διαιρεθεί με το χ2+1 δίνει πηλίκο 3χ-1 και

υπόλοιπο

2χ+5.

Λύση

Η ισότητα που εκφράζει την ταυτότητα της διαίρεσης των πολυώνυμων είναι η:

Δ(χ)=δ(χ).π(χ)+υ(χ) (1)

Εδώ μας δίνεται το δ(χ)=χ2+1 , το π(χ)=3χ-1 και το υ(χ)=2χ+5.

Με αντικατάσταση λοιπόν στην σχέση (1) έχουμε:

Δ(χ)=(χ2+1)(3χ-1)+(2χ+5)=3χ2-χ2+3χ-1+2χ+5=3χ3-χ2+5χ+4.

3 40 12 -10 2039 ρ=-13

-39

-13

13

-39

3 1 -1 3 3

17532 234 +χ−χ+χ−χ 322 +χ−χ 234 642 χ−χ+χ−

1723 +χ−χ−χ 12 2 +χ+χ

χ−χ+χ− 32 23

1102 +χ−χ

322 −χ+χ−

8 2χ− −

Παρατήρηση:Μπορούμε να υπολογίσουμε

το P(-13) θέτοντας όπου χ το –13 , αλλά

αυτό απαιτεί παρά πολλές αριθμητικές

πράξεις και για αυτό χρησιμοποιούμε

HORNER


16

4)Να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α και β αν είναι γνωστό ότι το

πολυώνυμο f(x)=χ3+αχ2+βχ+4 διαιρείται ακριβώς με το χ-2 και επιπλέον ισχύει f(1)=8 .

Λύση

Επειδή το πολυώνυμο f(x) διαιρείται ακριβώς με το χ-2 , θα ισχύει f(2)=0.

Από τις δυο ισότητες f(2)=0 και f(1)=8 έχουμε αντίστοιχα :

(23+α.22+β2+4=0 και 13+α.12+β.1+4=8) ή

(4α+2β=-12 και α+β+5=8) ή

(2α+β=-6 (1) και α+β=3 (2))

Η λύση του συστήματος των σχέσεων (1) και (2) δίνει τελικά α= -9 και β=12.

5)Το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το χ-5 .Να αποδείξετε ότι το P(2x-3) έχει

παράγοντα το χ-4.

Λύση

Αφού το P(x) έχει παράγοντα το χ-5 θα ισχύει P(5)=0.

Για να έχει το P(2x-3) παράγοντα το χ-4 πρέπει P(2.4-3)=0 δηλ P(5)=0 που ισχύει.

6)i)Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυμου P(x) με το αχ-β , α≠ 0,

είναι υ=P(αβ

).

ii)Να βρείτε τις συνθήκες για τις οποίες το πολυώνυμο P(x)=αχ3-β διαιρείται με το αχ-β.

Λύση

i)Αν είναι π(χ) και υ(χ) το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το αχ-β , α≠ 0

αντίστοιχα, θα έχουμε:

P(x)=(αχ-β).π(χ)+υ(χ) (1)

Επειδή το αχ-β είναι 1ου βαθμού , το υπόλοιπο θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο, όποτε η

σχέση (1) θα γράφεται:

P(x)=(αχ-β)π(χ)+υ (2)

Για χ=αβ

( που είναι η μοναδική ρίζα του διαιρετή) η σχέση (2) δίνει

P (αβ

)=(α. αβ

-β)π(αβ

)+υ ή υ=P(αβ

)

ii)Το P(x)= αχ3-β διαιρείται με το αχ-β αν και μονο αν υ= P(αβ

)=0.

Έχουμε ισοδύναμα :

P(αβ

)=0⇔ α.( αβ

)3-β=0⇔2

3

α

β-β=0⇔ β3-α2β=0⇔ β(β2-α2)=0⇔ (β=0 ή α=β ή α=-β).


17

7)Έστω ότι ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται με καθένα από τους παράγοντες χ-1 και

χ-2.Να αποδείξετε ότι το P(x) θα διαιρείται ακριβώς και με το γινόμενο (χ-1)(χ-2).

(αντίστροφα)

Αν ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται ακριβώς με το γινόμενο (χ-1)(χ-2) θα διαιρείται και

ξεχωριστά με καθέναν από τους παράγοντες χ-1 και χ-2.

Λύση

Αφού το P(χ) διαιρείται με καθέναν από τους παράγοντες χ-1 και χ-2 , θα ισχύουν P(1)=0 (1)

και P(2)=0 (2) .

Γράφουμε τώρα την ισότητα που εκφράζει την ταυτότητα της διαίρεσης του P(x) με το (χ-

1)(χ-2)

Είναι:

P(x)=(χ-1) (χ-2) π(χ)+υ(χ) (3)

όπου π(χ) το πηλίκο και υ(χ) το υπόλοιπο .

Επειδή ο διαιρετής είναι δεύτερου βαθμού , το υ(χ) θα είναι το πολύ πρώτου βαθμού όποτε

θα έχει την μορφή κχ+λ , όπου κ και λ πραγματικοί αριθμοί.Η σχέση (3) τότε γράφεται :

P(x)=(x-1)(x-2)π(χ)+κχ+λ (4)

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι το υ(χ)=κχ+λ είναι ίσο με το μηδέν.

Για χ=1 η σχέση (4) γράφεται P(1)=(1-1)(1-2)π(1)+κ.1+λ και λόγω (1) έχω:

κ+λ=0 (5)

Για χ=2 η σχέση (4) γράφεται P(2)=(2-1)(2-2)π(2)+2κ+λ και λόγω της (2) έχω :

2κ+λ=0 (6)

Το σύστημα των (1) και (2) δίνει κ=0 και λ=0 , δηλαδή υ(χ)=0.

(Αντίστροφα)

Επειδή το P(x) διαιρείται ακριβώς με το (χ-1)(χ-2), θα έχουμε την ισότητα :

P(x)=(x-1)(x-2)π(χ)

Για χ=1 έχω:

P(1)=(1-1)(1-2)π(1) ή P(1)=0

Άρα το P(x) διαιρείται με το χ-1

Για χ=2 έχω:

P(2)=(2-1)(2-2)π(2) ή P(2)=0

Δηλαδή το P(x) διαιρείται με το χ-2

8) Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ και λ , ώστε το πολυώνυμο

P(x)=χ3-κχ2+(λ-1)χ+5 να έχει παράγοντα το (χ-1)(χ+2).

Λύση

Το P(x) έχει ως παράγοντα το (χ-1)(χ+2) μόνο όταν ο 1 και -2 είναι ρίζες του , δηλ όταν

ισχύει :

P(1)=0 και P(-2)=0

Είναι :

P(1)=0 , δηλαδή 1-κ+(λ-1)+5=0 ή κ-λ=5 (1)

και

P(-2)=0 , δηλαδή (-2)3-κ(-2)2+(λ-1)(-2)+5=0 ή 4κ+2λ=-1 (2)


18

Η λύση του συστήματος των σχέσεων (1) και (2) δίνει τελικά :

κ=2

3 και λ=

2

7−

9) Το πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με το χ-2 αφήνει υπόλοιπο 10 , ενώ διαιρούμενο με το

χ+3 αφήνει υπόλοιπο 5.Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το (χ-2)(χ+3).

Λύση

Αρχικά έχουμε :P(2)=10 και P(-3)=5.

Έστω π(χ) και υ(χ) το πηλίκο και το υπόλοιπο αντίστοιχα της διαίρεσης του P(x) με το (χ-

2)(χ+3) Τότε θα ισχύει:

P(x) = (χ-2)(χ+3) π(χ) + υ(χ) (1)

Επειδή ο διαιρετής είναι δεύτερου βαθμού, το υπόλοιπο υ(χ) θα είναι το πολύ πρώτου

βαθμού , δηλ θα είναι της μορφής κχ +λ , όπου κ και λ πραγματικοί αριθμοί.Όποτε η (1)

γράφεται:

P(x) = (χ-2)(χ+3) π(χ) + κ.χ +λ (2)

Για χ=2 έχω:

P(2) = (2-2)(2+3) π(2) + κ.2 +λ ή 2κ +λ=10 (3)

Για χ=-3 έχω:

P(-3) = (-3-2)(-3+3). π(-3) + κ.(-3) +λ ή -3κ+λ=5 (4)

Από (3) και (4) έχω κ=1 και λ=8.

9)Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β , ώστε το πολυώνυμο

P(x)=x3-x2-(3+α)x+β+10 να έχει παράγοντα το (χ-2)2.

Λύση

Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν το P(x) θα έχει παράγοντα το (x-2)2 μόνο όταν ισχύει:

P(2)=0, δηλ το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το χ-2 είναι μηδέν.

Το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το χ-2 έχει επίσης ρίζα το 2.

Κάνουμε την διαίρεση με το σχήμα HORNER .

Με την βοήθεια του παρακάτω πίνακα προκύπτει ότι το πηλίκο και το υπόλοιπης διαίρεσης

είναι αντίστοιχα :

1 1 -(3+α) β+10 2

2

2

-2-2α

1 1 -1-α β-2α+8

π(χ)=χ2+χ-1-α και υ=β-2α+8

Πρέπει λοιπόν

π(2)=0 , δηλαδή (4+2-1-α =0 (1) και υ=β-2α+8=0 (2))

Το σύστημα των σχέσεων (1) και (2) δίνει τελικά

α=5 και β=2.


19

10)Να αποδείξετε ότι το (χ-1)2 είναι παράγοντας του πολυώνυμου.

1χ8+χ18χ18+χ9χ2=)χ(P 2345 ---

Λύση

Διαιρούμε με την βοήθεια του σχήματος HORNER το P(χ) με το χ-1 :

2 -9 18 -18 8 -1 ρ=1

2

-7

11

-7

1

2 -7 11 -7 1 0

11)Δίνεται το πολυώνυμο 2)( 23 −++= xxxxP βα , του οποίου δύο ρίζες είναι οι αριθμοί 1 και

-2.

α) Να βρεθούν οι αριθμοί α και β.

β) Να βρεθούν όλες οι ρίζες του )(xP .

Λύση:

α) Επειδή οι αριθμοί 1=x και 2−=x είναι ρίζες του )(xP , θα ισχύει:

10210)1( =+⇔=−++⇔= βαβαP (1)

521024022480)2( =−⇔=−⇔=−−+−⇔=− βαβαβαP (2)

Οι σχέσεις (1) και (2) δίνουν:

=

−=⇔

=

=+⇔

=−

=+

2

1

63

1

52

1

αβ

αβα

βαβα

β) Για 2=α και 1−=β το πολυώνυμο )(xP γίνεται: 22)( 23 −−+= xxxxP .

Έτσι έχουμε: ( ) ( ) ( )( )122222)( 2223 −+=+−+⇔−−+= xxxxxxxxxP .

Άρα: ( )( ) 020120)( 2 =+⇔=−+⇔= xxxxP ή 012 =−x ⇔

2−=⇔ x ή 1=x ή 1−=x

2 -7 11 -7 1 ρ=1

2

-5

6

-1

2 -5 6 -1 0

Παρατήρηση:Το (χ-ρ)2 είναι

παράγοντας του P(χ) όταν η

διαίρεση P(χ):(χ-ρ) είναι τέλεια και

το πηλίκο Π(χ) αυτής να έχει

παράγοντα το χ-ρ, δηλαδή P(ρ)=0

και Π(ρ)=0.

Άρα P(χ)=(χ-1).Π(χ) , όπου

Π(χ)= 171172 234 +χ−χ+χ−χ

Διαιρούμε το Π(χ) με το χ-1

Άρα Π(χ)=(χ-1)(2χ3-5χ2+6χ-1) και

επομένως

P(χ)=(χ-1)2(2χ3-5χ2+6χ-1)

δηλ το (χ-1)2 είναι παράγοντας του P(χ).


20

12): Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + αx2 + βx + 4 διαιρείται ακριβώς με το x – 2 και το υπόλοιπο

της διαίρεσης του με το 1−x είναι 8, να προσδιοριστούν τα α , β.

Λύση:

Επειδή το πολυώνυμο )(xf διαιρείται ακριβώς με το 2−x , θα ισχύει:

621224042480)2( −=+⇔−=+⇔=+++⇔= βαβαβαf .(1) Επίσης, επειδή το

υπόλοιπο της διαίρεσης του )(xf με το 1−x είναι 8, έχουμε

38418)1( =+⇔=+++⇔= βαβαf .(2)

Οι σχέσεις (1) και (2) δίνουν:

=

−=⇔

−=

−=+⇔

=+

−=+

12

9

9

62

3

62

βα

αβα

βαβα


1)Σε καθεμία πω τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του

πολυώνυμου P(χ) με το Q(χ).

i) P(χ)= 423 +χ−χ , Q(χ)= 1−χ

ii) P(χ)= 263 23 +χ−χ−χ , Q(χ)= 2+χ

iii) P(χ)= 79 23 +χ−χ , Q(χ)= 5−χ

iv) P(χ)= 25 511 χ−χ , Q(χ)= 12 +χ

v) P(χ)= 4 25χ χ− , Q(χ)= 1+χ

2)Να αποδείξετε ότι το P(χ)= 123 +χ−χ δεν διαιρείται ακριβώς με το 122 +χ+χ χωρίς να

κάνετε την διαίρεση.

3) Αν πολλαπλασιάσουμε το πολυώνυμο P(χ) με 732 +χ−χ τότε θα πάρουμε ως

αποτέλεσμα το πολυώνυμο :

74554142 2345 +χ−χ+χ−χ+χ

Να προσδιορίσετε το P(χ).

4)Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εξετάσετε αν το πολυώνυμο Q(χ) είναι

παράγοντας του P(χ).

i) P(χ)= 673 +χ−χ , Q(χ)= 1−χ

ii) P(χ)= 2663 −χ+χ−χ , Q(χ)= 2−χ

iii) P(χ)= 3223 α−χα−αχ+χ , Q(χ)= α+χ


21

5)Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)= 13453 234 +χ+χ+χ+χ .

i)Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(χ) με το χ-1 χρησιμοποιώντας

σχήμα HORNER.

ii)Να αποδείξετε ότι το P(χ) γράφεται με την μορφή

13]4)53[()(P +χ+χ+χ+χ=χ (1)

iii)Με την βοήθεια της (1) να βρείτε το P(1).Τι παριστάνει η τιμή αυτή;Να την συγκρίνετε με

το αποτέλεσμα του ερωτήματος (i).

iv)Έχοντας υπόψη το πηλίκο που βρήκατε στο (i),να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα:

α)Τι παριστάνει η τιμή του 3χ+5 για χ=1;

β)Τι παριστάνει η τιμή της παράστασης 4)53[( +χ+χ για χ=1.;

γ)Τι παριστάνει η τιμή της παράστασης 3]4)53[( +χ+χ+χ για χ=1;

6)Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυώνυμου

P(χ)= 2424 +χ+κχ+χ

με το χ+3 είναι ίσο με το 8.Να βρεθεί το κ.

7)Δίνεται το πολυώνυμο:

P(χ) = 354 23 −χ−αχ+χ

Αν είναι γνωστό ότι το 2χ+1 είναι παράγοντας του P(χ) τότε να προσδιορίσετε τον

πραγματικό αριθμό α και στην συνέχεια να γράψετε το P(χ) ως γινόμενο πρωτοβάθμιων

παραγόντων.

8)Να προσδιορίσετε τις σταθερές α, β ώστε το χ-1 να είναι κοινός παράγοντας των

πολυώνυμων:

22 24 +αχ−χ και β−χ+χ 24 .

9) Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = 2x3 + αx2 - 13x + β. Αν το Ρ (x) διαιρείται με το x2 - x - 6, να

προσδιορίσετε τα α, β ∈ R.

10) Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = λ2x2 + 2 (λ2 - 3λ + 1) x - 3 (4λ + 1). Δείξτε ότι το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ (x) : (x + 2) είναι ανεξάρτητο του λ.

11) Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο Ρ (x) έχει παράγοντα το x - 5, τότε το πολυώνυμο P

(2x - 3) έχει παράγοντα το x - 4.

12) Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο

P (x) = x3 - x2 - (3 + α) x + β + 10 να έχει για παράγοντα το (x - 2)2.

13) Το πολυώνυμο P (x) διαιρούμενο με x + 2 αφήνει υπόλοιπο 3 και διαιρούμενο με x2 - 4x + 3

αφήνει υπόλοιπο 2x + 7. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης: Ρ (x) : (x + 2) (x2 - 4x + 3).


22

14)Τα πολυώνυμα P(χ) και Q(x) έχουν βαθμούς 6 και 2 αντίστοιχα .

Έστω φ(χ) το πηλίκο της διαίρεσης (P(χ))2:(Q(χ))2.

Να βρείτε τον βαθμό του φ(χ).

15) Το πολυώνυμο P(χ)= β−χ+αχ−χ 235 έχει παράγοντα το χ-1 ενώ αν διαιρεθεί με το χ-2

δίνει υπόλοιπο 3.

Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.

16)Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε τα πολυώνυμα

P(χ)= 12 −αχ−χ , Q(χ)= α+βχ−χ2 .

να έχουν κοινό παράγοντα το χ-3.

17)Μια ρίζα του πολυώνυμου

P(χ)= 362 23 +βχ+αχ−χ

είναι ο αριθμός 3 και αν το P(χ) διαιρεθεί με το χ+2 δίνει υπόλοιπο –30.

i)Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β.

ii)Να γράψετε το P(χ) ως γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.

18)Με βάση το παρακάτω σχήμα HORNER να βρείτε τους αριθμούς α, β, γ, δ

19)Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυώνυμου

P(χ)= 765 234 −χ+χ−χ με το (χ-1)(χ-3).

14)Να προσδιορίσετε την σταθερά α ώστε το 12 +χ να είναι παράγοντας του πολυώνυμου

124 −χ+αχ .

20)Δίνονται τα πολυώνυμα P(χ)= 232 2 −χ−χ και Q(χ)= 492 23 +κχ+χ−χ

όπου R∈κ .

i)Να παραγοντοποιήσετε το P(χ).

ii)Να προσδιορίσετε τις τιμές του κ για τις οποίες τα πολυώνυμα P(χ) , Q(χ) έχουν κοινό

παράγοντα.

21)Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(χ)= αβγ−χβα+γα+βγ+χγ+β+α−χ )()( 23

διαιρείται με το Q(χ)=(χ-α)(χ-β).

22)Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(χ)= 12)1( 22 −χ−χ−+χ νν , όπου *R∈ν διαιρείται

από το χ(χ+1)(2χ+1).

23)Δίνεται το πολυώνυμο 4qxx11px)(P 23 ++−=χ το οποίο έχει παράγοντα το χ-1 ενώ

δίνει υπόλοιπο 70 ν διαιρεθεί με το χ-3.

Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(χ) με το 12 +χ .

7 6 γ 20 α

14

δ

-20

7 20 ε 0


23

24)Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης P(χ) δια χ2-α2 ισούται με:

+χαα−−α

2

)(P)(P

αα−+α

2

)(P)(P

25)Να δείξετε ότι η διαίρεση )2(:]1)1()[( 2 −χ−−χ+α−χ νν είναι τέλεια και να βρείτε το

πηλίκο της διαίρεσης .

26)Να βρεθούν τα P(χ) πολυώνυμα 2ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές ,έτσι ώστε 33 )]x(P[)x(P = .

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

1) Αν ένα πολυώνυμο P (x) έχει ρίζα το - 2, τότε διαιρείται με το διώνυμο:

Α. x - 2 Β. x + 2 Γ. 2x + 1 Δ. 2x - 1 Ε. 2 - x

2) Αν ένα πολυώνυμο Ρ (x) έχει ρίζες τους αριθμούς 2 και - 1, τότε διαιρείται με τα διώνυμα:

Α. x - 2 και x - 1 Β. x + 2 και x - 1 Γ. x + 2 και x + 1

Δ. x - 2 και x + 1 Ε. 2x - 1 και 2x + 1

3) Αν η διαίρεση ενός πολυωνύμου Ρ (x) με το διώνυμο 2x + 1 είναι τέλεια, τότε το Ρ (x) έχει

ρίζα του τον αριθμό:

Α. 2 Β. - 2 Γ. 1

Δ. - 1

2 Ε.

1

2

4) Αν ένα πολυώνυμο πέμπτου βαθμού διαιρείται με ένα τρίτου βαθμού, τότε το πηλίκο

είναι:

Α. το πολύ δευτέρου βαθμού

Β. τουλάχιστον δευτέρου βαθμού

Γ. ακριβώς δευτέρου βαθμού

Δ. ακριβώς τρίτου βαθμού

Ε. τουλάχιστον τρίτου βαθμού

5) Αν σε μια διαίρεση πολυωνύμων που δεν είναι τέλεια, ο διαιρέτης είναι τρίτου βαθμού,

τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι:

Α. τουλάχιστον τρίτου βαθμού

Β. ακριβώς τρίτου βαθμού

Γ. ακριβώς δευτέρου βαθμού

Δ. το πολύ δευτέρου βαθμού

Ε. τουλάχιστον δευτέρου βαθμού


24

6) Το πολυώνυμο Ρ (x) = x8 + x4 + x2 + 3 το διαιρούμε με το διώνυμο x - ρ.

Αν είναι υ το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης, τότε:

Α. υ > 0 Β. υ < 0 Γ. υ = 0 Δ. υ ≤ 0

Ε. κανένα από τα προηγούμενα

7) Αν ένα πολυώνυμο Ρ (x) διαιρεθεί με το x - ρ και η διαίρεση είναι τέλεια, τότε το υπόλοιπο

της διαίρεσης του Ρ (x) : κ (x - ρ), κ ∈ R* είναι:

Α. κ Β. - κ Γ. 0

Δ. - κρ Ε. κρ

8) Αν ένα πολυώνυμο Ρ (x) διαιρούμενο με το Q (x) δίνει υπόλοιπο 0

[ο βαθμός του P (x) είναι μεγαλύτερος του βαθμού του Q (x)], τότε:

Α. Κάθε ρίζα του Ρ (x) είναι και ρίζα του Q (x)

Β. Αν ρ δεν είναι ρίζα του Q (x) τότε δεν είναι ρίζα και του Ρ (x)

Γ. Ο ρ είναι ρίζα του Q (x) αν και μόνο αν ο ρ είναι ρίζα του Ρ (x)

Δ. Κάθε ρίζα του Q (x) είναι και ρίζα του Ρ (x)

Ε. Το Ρ (x) έχει ρίζες μόνο τις ρίζες του Q (x)

9) Για ποιο από τα παρακάτω πολυώνυμα μπορείτε με βεβαιότητα και χωρίς δοκιμή να

πείτε ότι δεν μπορεί να έχει παράγοντα της μορφής x - ρ;

Α. x3 - 2x2 + x - 1

Β. 4x5 - 1

Γ. 2x4 - x2 + x - 7

Δ. x6 - x4 + 2x2 - 9

Ε. x8 + 2x6 + 5

10) Το πολυώνυμο Ρ (x) (βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του τρία) διαιρείται με το (x - ρ)3 και η

διαίρεση είναι τέλεια. Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ (x) : (x - ρ) είναι:

Α. - 3 Β. - 1 Γ. 0 Δ. 1 Ε. 3


25

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Αν P(χ) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού ν, τότε η εξίσωση P(χ)=0 λέγεται πολυωνυμικη

εξίσωση βαθμού ν.

π.χ η εξίσωση 08723 23 =−χ+χ−χ είναι πολυωνυμικη εξίσωση 4ου βαθμού.

Αν P(ρ)=0, ο αριθμός ρ λέγεται ρίζα της εξίσωσης P(χ)=0.

Έστω P(χ) ένα πολυώνυμο ν βαθμού .Θα λέμε ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα του P(χ)

βαθμού πολλαπλότητας ν≤κ όταν και μόνο όταν το (χ- ρ)κ είναι παράγοντας του P(χ)

και το (χ- ρ)κ+1 δεν είναι παράγοντας του P(χ) ή ισοδύναμα όταν ισχύει:

P(χ)= (χ- ρ)κ π(χ) και π(ρ) 0≠

Η ρίζα ρ του πολυώνυμου P(χ) λέγεται ειδικά:

απλή όταν κ=1

διπλή όταν κ=2

τριπλη όταν κ=3

ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Με την μέθοδο της παραγοντοποιήσης

Η βασική μέθοδος για να λύσουμε μια πολυωνυμικη εξίσωση βαθμού ν>2 είναι η

παραγοντοποιήση.

Π.χ ⇔=−χ+χ⇔=+χ−+χχ⇔=−χ−χ+χ 0)1)(1(0)1()1(01 43334347

013 =+χ ή 101 34 −=χ⇔=−χ ή 114 −=χ⇔=χ ή χ=1.

Εύρεση ακέραιων ριζών

Θεωρούμε την πολυωνυμικη εξίσωση με ακέραιους συντελεστές :

0,0... 011

1 ≠α=α+χα++χα+χα ν−ν

−νν

ν

Αν ο ακεραιος ρ≠ 0 είναι ρίζα της τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α0 .

(Θεωρ. ακέραιων ριζών)

Π.χ Θα λύσουμε την 0211052 23 =+χ−χ−χ (1)

Πιθανές ακέραιες ρίζες της (1) είναι οι διαιρετές του 21, δηλαδή οι αριθμοί

21,7,3,1 ±±±± . Το 3 είναι ρίζα της (1) γιατί

02130455421)3(10)3(5)3(2 23 =+−−=+−−

Διαιρούμε με την χρήση HORNER το πρώτο μέλος της (1) με το χ-3

2 -5 -10 21 ρ=3

6

3

-21

2 1 -7 0

Η (1) γράφεται : 0)72)(3( 2 =−χ+χ−χ

Το τριώνυμο 072 2 =−χ+χ έχει διακρίνουσα Δ=57 και ριζες 4

571±.

Άρα οι ρίζες της (1) είναι οι αριθμοί 3, 4

571+,

4

571−.

Εύρεση ρητών ριζών


26

Θεωρούμε την πολυωνυμικη εξίσωση με ακέραιους συντελεστές

0,0... 011

1 ≠α=α+χα++χα+χα ν−ν

−νν

ν

Αν ο ρητός 0≠λκ

είναι ρίζα της (λκ

ανάγωγο κλάσμα), τότε ο κ είναι διαιρετής του αο

και ο λ είναι διαιρετής του αν.

Π.χ Θα λύσουμε την 012 23 =−χ+χ+χ (1)

Η (1) δεν έχει ακέραιες ρίζες , αφού κανένας από τους διαιρετές 1± του –1 δεν είναι

ρίζα της. πιθανές ρίζες της (1) είναι τα ανάγωγα κλάσματα λκ

όπου κ= 1± και λ= 2± ,

δηλαδή οι αριθμοί 2

1 και

2

1− .Το

2

1 είναι ρίζα της γιατί την επαληθεύει ( αυτό το

διαπιστώνουμε άλλωστε και με το σχήμα HORNER).

Διαιρούμε το πρώτο μέλος της (1) με το χ-2

1.

2 1 1 1 ρ=

2

1

1

1

1

2 2 2 0

Η (1) γράφεται 0)222)(2

1( 2 =+χ+χ−χ .Το 222 2 +χ+χ δεν έχει ρίζες αφού έχει

Δ=-12<0. Άρα η μοναδική ρίζα της (1) είναι το 2

1.

ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ P(Χ)>0 Η P(Χ)<0

Αν P(χ) είναι πολυώνυμο , για να λύσουμε ανισωση της μορφής P(χ)>0 ή P(χ)<0 ,

εργαζόμαστε ως εξής :

Αναλύουμε το P(χ) σε γινόμενο.

Τοποθετούμε τις ρίζες του P(χ) σε άξονα και βρίσκουμε το πρόσημο του σε κάθε διάστημα .

Από τον προηγούμενο πίνακα παίρνουμε τις λύσεις της ανίσωση.

Π.χ θα λύσουμε την ανισωση 03 ≥χ−χ .

Η (1) γράφεται :χ(χ2-1) 0)1)(1(0 ≥+χ−χχ⇔≥

χ ∞− -1 0 1 ∞+

χ - - + +

χ-1 - - - +

χ+1 - + + +

χ(χ-1)(χ+1) - + - +


27

∞− -1 0 1 ∞+

- + - +

Οι λύσεις της ανίσωσης είναι τα R∈χ με 01 ≤χ≤− ή χ≤1 .

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ)

1)Να λυθούν οι εξισώσεις

i) 24 217 χχχχ====χχχχ

ii) 0463 34 ====−−−−χχχχ++++χχχχ−−−−χχχχ

iii) 123)65)(1(162 223 −−−−χχχχ++++++++χχχχ++++χχχχ−−−−χχχχ====++++χχχχ

Λύση

i) 00)3(70217217 2222424 =χ⇔=−χχ⇔=χ−χ⇔χ=χ ή 3032 =χ⇔=−χ ή

3−=χ .

ii) ⇔=χ+χ−+−χ⇔=−χ+χ−χ 0)63()2(0463 32434

⇔=−χχ−+χ−χ⇔=−χχ−−χ 0)2(3)2)(2(0)2(3)2)(( 2222222

0)23)(2(0)32)(2( 2222 =+χ−χ−χ⇔=χ−+χ−χ όπου

2022 ±=χ⇔=−χ ή 0232 =+χ−χ με διακρίνουσα Δ=1 και 21 =χ ή 12 =χ .

iii) Το τριώνυμο 652 +χ+χ έχει ρίζες -2 και –3 , όποτε γράφεται (χ+2)(χ+3).

Η εξίσωση γράφεται:

⇔−χ++χ+χ−χ=+χ 123)65)(1(162 223 ⇔−χ++χ+χ−χ=+χ 123)2)(3)(1(162 23

⇔−χ++χ+χ−χ=+χ )4(3)2)(3)(1()8(2 23

⇔+χ−χ++χ+χ−χ=+χ−χ+χ )2)(2(3)2)(3)(1()42)(2(2 2

⇔=+χ−χ−+χ+χ−χ−+χ−χ+χ 0)2)(2(3)2)(3)(1()42)(2(2 2

⇔=−χ−+χ−χ−+χ−χ+χ 0))2(3)3)(1()42(2)(2( 2

⇔=++χ+χ−χ−+χ−χ+χ 0)633842)(2( 22

20)179)(2( 2 =χ⇔=+χ−χ+χ ή 2

139+=χ ή

2

139−=χ .

2)Να λυθούν οι εξισώσεις :

i) 0783 ====++++χχχχ−−−−χχχχ

ii) 012872 234 ====++++χχχχ++++χχχχ−−−−χχχχ−−−−χχχχ

iii) 01502531 234 ====++++χχχχ−−−−χχχχ−−−−χχχχ++++χχχχ

Λύση

i)Θα λύσουμε τις εξισώσεις με την βοήθεια του θεωρήματος των ακέραιων ριζών .

Έγινε χρήση των ταυτοτήτων:

))((

))((2233

22

ββββ++++αβαβαβαβ−−−−ααααββββ++++αααα====ββββ++++αααα

ββββ++++ααααββββ−−−−αααα====ββββ−−−−αααα


28

Αρχικά βρίσκουμε τους διαιρετές του σταθερού όρου ,όποτε οι πιθανές ακέραιες ρίζες της

εξίσωσης θα αναζητηθούν μέσω αυτών.

Οι διαιρετές του 7 είναι 1± και 7± .

Εξετάζουμε με το σχήμα HORNER αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το πολυώνυμο

P(χ)= 783 +χ−χ .

1 0 -8 7 ρ=1

1

1

-7

1 1 -7 0

P(χ)= )7)(1(78 23 +χ+χ−χ=+χ−χ .

και η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα :

10)7..(ή)..01(0)7)(1( 22 =χ⇔=+χ+χ=−χ⇔=+χ+χ−χ ή 2

291−−=χ ή

2

291+−=χ .

ii)Αρχικά βρίσκουμε τους διαιρέτες του σταθερού όρου, οι οποίοι είναι :

1± , 2± , 3± , 4± , 6± και 12± .

Με την βοήθεια του σχήματος HORNER προκύπτει ότι το –1 είναι ρίζα του P(χ).

1 -2 -7 8 12 ρ= -1

-1

3

4

-12

1 -3 -4 12 0

Άρα )1243)(1(12872)(P 23234 +χ−χ−χ+χ=+χ+χ−χ−χ=χ

Παραγοντοποιούμε τώρα το πολυώνυμο 1243)(Q 23 +χ−χ−χ=χ

Πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του 12 δηλαδή :

1± , 2± , 3± , 4± , 6± και 12± .

Με την βοήθεια του σχήματος HORNER προκύπτει ότι το 2 είναι ρίζα του Q(χ).

1 -3 -4 12 ρ=2

2

-2

-12

1 -1 -6 12

Άρα )6)(2(1243)(Q 223 −χ−χ−χ=+χ−χ−χ=χ

Όποτε η αρχική εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

010)6)(2)(1( 2 =+χ⇔=−χ−χ−χ+χ ή 02 =−χ ή ⇔=−χ−χ 062

Προκύπτει ότι το 1 είναι ρίζα του

πολυώνυμου P(χ).Άρα το πολυώνυμο

γράφεται:


29

1−=χ ή 2=χ ή χ=3 ή χ= -2

iii) 01502531 234 =+χ−χ−χ+χ (1).

Από τους διαιρέτες του 150 , το 2 είναι ρίζα της (1).

1 1 -31 -25 150 ρ= 2

2

6

-50

-150

1 3 -25 -75 0

Η (1) γράφεται: ⇔=−χ−χ+χ−χ⇔=+χ−χ−χ+χ 0)75253)(2(01502531 23234

⇔=+χ−+χχ−χ 0)]3(25)3()[2( 2 )3)(2( +χ−χ ⇔=−χ 0)25( 2

02 =−χ ή 03 =+χ ή ⇔=−χ 0252 2=χ ή 3−=χ ή 5=χ

ή 5−=χ .

3)Να λύσετε την εξίσωση : 01566424 234 ====++++χχχχ−−−−χχχχ−−−−χχχχ++++χχχχ (1)

Λύση

Πιθανές ακέραιες ρίζες της (1) είναι οι διαιρέτες 1± , 3± , 5± και 15± .του σταθερού όρου

15.Εύκολα διαπιστώνουμε(με χρήση HORNER) ότι κανένας από αυτούς δεν επαληθεύει την

(1).Άρα η (1) δεν έχει καμία ακέραιη ρίζα.

Πιθανές ρητές ρίζες της (1) είναι τα ανάγωγα κλάσματα λκ

, όπου κ είναι διαιρετής του 15

και λ διαιρετής του 24.

Το 2

1 είναι ένας από αυτούς τους ρητούς και είναι ρίζα της (1):

24 4 -66 -1 15 ρ=

2

1

12

8

-29

-15

24 16 -58 -30 0

Η (1) γράφεται : ⇔=−χ−χ+χ−χ 0)30581624)(2

1( 23

0)1529812)(12( 23 =−χ−χ+χ−χ (2)

Με την ίδια μέθοδο τώρα συνεχίζουμε για την εξίσωση:

01529812 23 =−χ−χ+χ (3)

Από τις πιθανές ρίζες της (3), το 2

3 την επαληθεύει.

Παρατήρηση:Όταν το πηλίκο ης διαίρεσης

του P(χ)=0 , είναι πολυώνυμο βαθμού

μεγαλύτερου από 2 , τότε συνεχίζουμε την

παραγοντοποιήση με την βοήθεια του

θεωρήματος των ακέραιων ριζών μέχρι να

καταλήξουμε σε πολυώνυμο το πολύ 2ου

βαθμου.


30

12 8 -29 15 ρ=

2

3

18

39

-15

12 26 10 0

Η (3) γράφεται : 0)5136)(32(0)102612)(2

3( 22 =+χ+χ−χ⇔=+χ+χ−χ

Η (2) γράφεται : 0)5136)(32)(12( 2 =+χ+χ−χ−χ

Το τριώνυμο 5136 2 +χ+χ έχει Δ=49 και ρίζες 2

11 −=χ και

3

51 −=χ

Άρα η αρχική εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς : 2

1 ,

2

3,

2

1− ,

3

5− .

4)Να λυθούν οι ανισωσεις :

i) 0323 ≥≥≥≥−−−−χχχχ++++χχχχ

ii) 045 24 <<<<++++χχχχ−−−−χχχχ

iii) 646 >>>>χχχχ

iv) χχχχ++++χχχχ≤≤≤≤++++χχχχ 168)2( 23

Λύση

i) =−χ++χ−χχ=−χ+−χχ=−χ+χ−χ=−χ+χ )1(3)1)(1()1(3)1(3332 233

)3)(1(]3)1()[(1( 2 +χ+χ−χ=++χχ−χ

Η ανισωση γράφεται: 0)3)(1( 2 ≥+χ+χ−χ

Το τριώνυμο 32 +χ+χ είναι πάντα θετικό (Δ<0 και α>0), όποτε η (1) γράφεται

01≥−χ ,δηλαδή χ 1≥ .

ii)To ,45 24 +χ−χ αν θέσουμε ψ=χ2 γράφεται ,452 +ψ−ψ με ρίζες 1 και 4.

Άρα είναι :

)2)(2)(1)(1()4)(1()4)(1(45 2224 −χ+χ+χ−χ=−χ−χ=−ψ−ψ=+χ−χ

-∞ -2 -1 1 2 -∞

+ - + - +

Οι λύσεις της ανίσωση είναι: 21,12 <χ<−<χ<− .

iii)Είναι:

0)42)(2)(42)(2(0)8)(8(06464 223366 >+χ−χ+χ+χ+χ−χ⇔>+χ−χ⇔>−χ⇔>χ (1)

Τα τριώνυμα 422 +χ+χ και 422 +χ−χ είναι πάντα θετικά (Δ<0 και α>0), όποτε η

(1) γράφεται: 0)2)(2( >+χ−χ


31

-∞ -2 2 -∞

+ - +

iv) ⇔≤+χχ−+χ⇔+χχ≤+χ⇔χ+χ≤+χ 0)2(8)2()2(8)2(168)2( 3323

⇔≤+χ−χ+χ⇔≤χ−+χ+χ⇔≤+χχ−+χ 0)44)(2(0]8)2)[(2(0)2(8)2( 223

0)2)(2( 2 ≤−χ+χ

Βρίσκουμε αναλυτικά το πρόσημο του γινόμενου 2)2)(2( −χ+χ

χ

∞− -2 2 ∞+

χ+2 - + +

(χ-2)2 + + +

(χ+2) (χ-2)2 - + +

Οι λύσεις της ανίσωση είναι: 2,2 =χ−≤χ .

5)Να λύσετε την ανισωση: 03029222 234 ≤≤≤≤++++χχχχ−−−−χχχχ−−−−χχχχ++++χχχχ

Λύση

Η ανισωση αυτή είναι πολυωνυμικη τέταρτου βαθμού .Πρώτα θα γράψουμε το πολυώνυμο:

3029222 234 +χ−χ−χ+χ σε παραγοντοποιημένη μορφή και για αυτό το λόγο θα πρέπει να

βρούμε τις ρίζες του.Πιθανες ακέραιες ρίζες είναι οι αριθμοί :

30,15,10,6,5,3,2,1 ±±±±±±±± . Κάνοντας χρήση του σχήματος HORNER, εύκολα

προκύπτει ότι μια ρίζα είναι ο αριθμός –2.Πράγματι , είναι :

1 2 -22 -29 30 ρ=-2

-2

0

44

-30

1 0 -22 15 0

Άρα )1522)(2(3029222 3234 +χ−χ+χ=+χ−χ−χ+χ

Προκείμενου να συνεχίσουμε την παραγοντοποιήση, βρίσκουμε τώρα ότι μια ρίζα του

πηλίκου

15223 +χ−χ

Πιθανές ακέραιες ρίζες είναι : 15,5,3,1 ±±±±

Εύκολα βλέπουμε ότι μια ρίζα είναι ο αριθμός -5.

Πράγματι έχουμε:

1 0 -22 -15 ρ=-5

-5

25

-15

1 -5 3 0


32

Άρα : )35)(5(1522 23 +χ−χ+χ=+χ−χ και συνεπώς

)35)(5)(2(3029222 2234 +χ−χ+χ+χ=+χ−χ−χ+χ

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η αρχική ανισωση γράφεται ισοδύναμα:

0)35)(5)(2( 2 ≤+χ−χ+χ+χ

Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι ρίζες του πολυώνυμου )35)(5)(2( 2 +χ−χ+χ+χ είναι οι

-2, -5 , 2

135+,

2

135.

Κατασκευάζουμε τον εξής πίνακα:

χ ∞− -5 -2

2

135+

2

135 ∞+

χ+2 - - + + +

χ+5 - + + + +

352 +χ−χ + + + - +

)35)(5)(2( 2 +χ−χ+χ+χ + - + - +

Οι λυσεις της ανίσωσης είναι: 25 −≤χ≤− και . 2

135

2

135 +≤χ≤

−.

6) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

P(χ)= 15239 23 ++++χχχχ++++χχχχ++++χχχχ με τον άξονα χ΄χ.

Λύση

Κάθε σημείο του άξονα χ΄χ έχει συντεταγμένες ( χ,0) με R∈χ .Αρκεί λοιπόν να βρούμε

όλους τους πραγματικούς αριθμούς χ για τους οποίους ισχύει P(χ)=0.

Δηλαδή να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης P(χ)=0.

Έχω: 15239 23 +χ+χ+χ =0 (1)

Οι διαιρέτες του σταθερού όρου 15 είναι οι αριθμοί :

15,5,3,1 ±±±± .Καταρχήν η εξίσωση (1) δεν έχει θετικές ακέραιες ρίζες .

Από το σχήμα HORNER προκύπτει ότι η εξίσωση (1) έχει ως ρίζα ο -1 και επιπλέον έχουμε:

1 9 23 -15 ρ=-1

-1

-8

-15

1 8 15 0

⇔=+χ+χ+χ=+χ+χ+χ 0)158)(1(15239 223

χ= -1 ή χ= -3 ή χ= -5.

Άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(χ) τέμνει τον άξονα χ΄χ στα σημεία

Α( -1,1) ,Β(-3,0) και Γ( -5,0).


33

7)Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης

P(χ)= χ−χ+χ−χ 6116 234 βρίσκεται

i)Πάνω από τον άξονα χ΄χ.

ii)κάτω από τον άξονα χ΄χ.

Λύση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

P(χ)= χ−χ+χ−χ 6116 234

είναι πάνω από τον άξονα χ΄χ όταν και µόνο όταν ισχύει P(χ) >0 και είναι κάτω από τον

άξονα χ΄χ όταν και µόνο όταν P(χ)<0.Εποµένως πρέπει να βρούµε τις λύσεις των ανισώσεων

P(χ) >0 και P(χ)<0.

Βρίσκουµε πρώτα τις ρίζες του πολυώνυµου P(χ).

Είναι: P(χ)= )6116(6116 23234 −χ+χ−χχ=χ−χ++χ−χ .

Εφαρµόζω HORNER για ρ=1.

1 -6 11 -6 ρ=1

1

-5

6

1 -5 6 0

P(χ)= )3)(2)(1()65)(1()6116( 223 −χ−χ−χχ=+χ−χ−χχ=−χ+χ−χχ .

Λύνω τώρα την P(χ) >0 µε την κατασκευή του παρακάτω πίνακα.

χ ∞− 0 1 2 3 ∞+

χ - + + + +

χ-1 - - + + +

χ-2 - - - + +

χ-3 - - - - +

)3)(2)(1( −χ−χ−χχ + - + - +

i)Η ανισωση P(χ)>0 αληθεύει για όλα τα χ που ικανοποιούν τις σχέσεις :

1x0 << ή 3x2 << .

ii) Η ανισωση P(χ)<0 αληθεύει για όλα τα χ που ικανοποιούν τις σχέσεις :

0x < ή 2x1 << ή 3x > .

Παρατήρηση:Έστω C η γραφική παράσταση µιας

συνάρτησης f και Α ένα σηµείο της C.Οι

συντεταγµένες του Α είναι τότε(χ,f(x)).To A είναι

πάνω από τον άξονα χ΄χ όταν f(χ)>0 και είναι κάτω

από τον άξονα χ΄χ όταν f(χ) < 0.


34


1)Να λυθούν οι εξισώσεις :

i) 02 23 =χ−χ v) 04423 =+χ−χ−χ

ii) 084 =χ−χ vi) 03232 23 =+χ+χ+χ

iii) 04123 234 =χ−χ−χ+χ

iv) 0134 =−χ+χ−χ

2) Να λυθούν οι εξισώσεις :

i) 0224 =−χ+χ

ii) 08643 23 =−χ−χ+χ

iii) 0893 =+χ−χ

v) 012)1( 244 =−χ+χ−+χ

vi) )8(3)2(5 32 +χ=+χ

vii) )3)(49()23)(9( 2323 χ+χχ−χ=χ+χχ−χ

3) Να λυθούν οι εξισώσεις :

i) 01765 24 =−χ−χ

ii) 40)1()5( 2222 =−χ+−χ

4)Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες των εξισώσεων:

i) 012113 =+χ+χ

ii) 01643 =+χ+χ

5)Να λυθούν οι ανισωσεις :

i) 03106 23 ≥+χ+χ+χ

ii) 953 23 −χ≥χ+χ

iii) 043 23 <+χ−χ

iv) 0724 23 ≥+χ+χ+χ

6)Να βρείτε τα σηµεία τοµής του άξονα χ΄χ και της γραφικής παράστασης καθεµίας από

τις συναρτήσεις :

i) f(χ)= 15239 23 +χ+χ+χ ii) f(χ)= 145 3 −χ−χ

7)Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε

f(χ)= 673 +χ−χ βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ.

8) Δίνεται το πολυώνυµο ( ) 18911 234 ++−−=Ρ xxxxx .

α) να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης του ( )xΡ δια του ( )1−x .

β) να λύσετε την εξίσωση ( )xΡ =0.

γ) να κάνετε γινόµενο το ( )xΡ .

δ) να λύσετε την ανίσωση ( )xΡ <0.


35

ε) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( )xΡ με το 32)( 2 −−= xxxQ .

9)Να βρείτε τα σημεία τομής των καμπυλών 26 24 −χ−χ=ψ και

χ+χ=ψ 510 3

10)Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση 042 23 =+αχ+χ−χ έχει μια

τουλάχιστον ρίζα .

12)Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις :

i) 0252 23 =+ηµχ+χηµ−χηµ

ii) 3 22 3 2 3 0συν χ συν χ συνχ− − + =

13)Δίνεται το πολυώνυμο P(χ)= 16485427 23 +χ+χ+χ

i)Αν P(χ)= 23 )(4)( β+αχ+β+αχ τότε να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.

ii) Να λυθεί η εξίσωση P(χ)=0.

14)Να βρείτε τα α και β ώστε το πολυώνυμο P(χ)= 623 −βχ+αχ+χ να έχει παράγοντες τα

διώνυμα χ-1 και χ+2. Μετά να λύσετε την εξίσωση P(χ)=0.

15)Να γράψετε το πολυώνυμο P(χ)= 2414132 234 +χ+χ−χ−χ στην μορφή

γ+αχ+χβ+αχ+χ )()( 222 και στην συνεχεία να βρείτε τις ρίζες του.

16)Να λύσετε την εξίσωση ψλ+ψ+λ=+ψ+λψ 22334 )1(4 αν είναι γνωστό ότι έχει ρίζα το

-1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Κλασματικες εξισώσεις

Για την επίλυση μιας κλασματικής εξίσωσης, κάνουμε τους απαραίτητους περιορισμούς και

κατόπιν απαλοιφή παρανομαστων.Έτσι καταλήγουμε σε μια πολυωνυμικη εξίσωση

Αρρητες εξισώσεις

Όταν λέμε άρρητη εξίσωση , εννοούμε μια εξίσωση που περιέχει ένα τουλάχιστον ριζικό

όπου στο υπόριζο υπάρχει παράσταση με τον άγνωστο.

Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων εξισώσεων φαίνεται στα παραδείγματα που ακολουθούν:

1)Να λυθεί η εξίσωση22

)1(3

1

22

23

12322 ++++χχχχ−−−−χχχχ−−−−χχχχ

−−−−χχχχ====

−−−−χχχχ

−−−−χχχχ−−−−

++++χχχχ−−−−χχχχ

−−−−χχχχ (1).

Λύση

Αναλύουμε τους παρανομαστές σε γινόμενο:

το 232 +χ−χ έχει ρίζες 1,2 και γράφεται(χ-1)(χ-2).

χ2-1=(χ-1)(χ+1)


36

)1)(1)(2()1)(2()2()2(22 2223 +χ−χ−χ=−χ−χ=−χ−−χχ=+χ−χ−χ

Έτσι η (1) γράφεται:

)1)(1)(2(

)1(3

)1)(1(

22

)2)(1(

1

+χ−χ−χ−χ

=+χ−χ

−χ−

−χ−χ−χ

(2)

Πρέπει να είναι : 2,1,1 ≠χ≠χ−≠χ .

Η (2) γράφεται:

1 2 3 1 2 3( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1)

2 1 ( 2)( 1) 2 1 ( 2)( 1)χ χ χ χ χ χ

χ χ χ χ χ χ χ χ− = ⇔ − + − − + = − +

− + − + − + − +234213)2(2)1( =χ⇔=+χ−+χ⇔=−χ−+χ⇔ Απορρίπτεται.

Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

2)Να λυθεί η ανισωση 22

12

χχχχ≥≥≥≥

++++χχχχ

χχχχ++++χχχχ

(1)

Λύση

Πρέπει να είναι 02(0 2 >+χ≠χ για κάθε )R∈χ

Η (1) γράφεται:

⇔≥+χχ

+χχ−χ++χ⇔≥

χ−

+χ

χ+χ

0)2(2

)2(2)2(20

22

12

2222

2

⇔≥χ−χ−χ++χ+χχ 0)2242)(2(2 24222

⇔≥−χ+χ−+χχ 0)42)(2(2 242

0)42)(2(2 242 ≤−χ−χ+χχ

Ο παράγοντας 22 +χ είναι πάντα θετικός , όποτε η ανισωση γράφεται:

0)42(2 24 ≤−χ−χχ (2)

Βρίσκουμε τις ρίζες του 4242 224 −ψ−ψ=−χ−χ (όπου 2χ=ψ )

Είναι : Δ=20 και οι ρίζες 512

2022,1 ±=

±=ψ .

Άρα : =+−χ−−χ=−χ−χ )]51()][51([42 2224

)51)(51)(51( 2 +−χ++χ+−χ

Ο παράγοντας 512 +−χ είναι θετικός και η ανισωση γράφεται:

0)51)(51(2 ≤++χ+−χχ

∞− 51+− 0 51+ ∞+

- + - +

Άρα οι λύσεις είναι τα R∈χ με 51+−≤χ ή 510 +≤χ< .

Παρατήρηση :Γενικά σε κλασματικές

παραστάσεις δεν κάνουμε απαλοιφή

παρανομαστών.


37

3)Να λύσετε τις εξισώσεις:

i) 2329 −−−−χχχχ====−−−−χχχχ ii) 393 23 ++++χχχχ====χχχχ++++χχχχ

Λύση

i)Πρέπει να είναι 023 ≥−χ , δηλαδή 3

2≥χ


⇔+χ−χ=−χ⇔−χ=−χ 4129292)23(29 2

20273 2 =χ⇔=+χ−χ ή 3

1=χ

Δεκτή είναι η ρίζα χ=2.

ii)Πρέπει να είναι 03≥+χ δηλαδή 3−≥χ .

Η εξίσωση γράφεται: ⇔+χ+χ+χ=χ+χ⇔+χ=χ+χ 272799)3(9 2323323

27 27 0 1( )ήχ χ δεκτ+ = ⇔ = −

4)Να λύσετε τις εξισώσεις:

i) 10191 ====−−−−χχχχ++++++++χχχχ ii) 1)1(2211 −−−−====++++χχχχ−−−−χχχχ−−−−

Λύση

i)Πρέπει να είναι :

( 01≥+χ και 019≥−χ ) 1( −≥χ⇔ και 19)19 ≥χ⇔≥χ .


⇔=−χ+χ+−χ++χ⇔=−χ++χ 1001912191100)191( 2

⇔χ−=−χ−χ⇔+χ−−χ−=−χ+χ 211819182191100)19)(1(2 2

χ−=−χ−χ 5919182 (1)

Τώρα πρέπει να είναι 059 ≥χ− ,δηλαδή 59≤χ .Έτσι πρέπει να είναι 5919 ≤χ≤ .

Η (1) γράφεται :

⇔=χ⇔χ+χ−=−χ−χ⇔χ−=−χ−χ 350010011834811918)59(1918 2222

35=χ (δεκτή).

ii)Πρέπει να είναι 0211 ≥χ− και 0)1(2 ≥+χ , δηλαδή 2

111 ≤χ≤−


⇔+χ=+χ−⇔+χ=+χ− 22 ))1(2()1211()1(21211

11 2 1 2 11 2 2( 1) 2 11 2 4 10 11 2 2 5χ χ χ χ χ χ χ− + + − = + ⇔ − = − ⇔ − = − (1)

Πρέπει τώρα να είναι 052 ≥−χ δηλαδή 2

5≥χ .Επομένως ο περιορισμός είναι :

2

11

2

5≤χ≤ .

Η (1) γράφεται: ⇔+χ−χ=χ−⇔−χ=χ− 25204211)52(211 22

1014184 2 =χ⇔=+χ−χ ή 2

7=χ . Αλλά

51

2χ = ≤ απορρίπτεται.

Παρατήρηση1:Για να λύσουμε εξίσωση της

μορφής

)()( χΒ=χΑκ κάνουμε τον περιορισμό

0)( ≥χΒ και η εξίσωση γράφεται: κχΒ=χΑ )]([)( (1)

Παρατηρηση2:Όταν έχουμε να κάνουμε με

άρρητη εξίσωση με ένα ριζικό, απομονώνουμε το

ριζικό στο ένα μέλος και συνεχίζουμε όπως

παραπάνω.

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ · - 2 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ...

Documents

Transcript of ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ · - 2 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ...