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    1/94

    ,

    , 2006

  • 5/21/2018 . -

    2/94

    Copyright by E Kappos, 2006

    .

    LaTEX

    kerkis.

    , , 10/2006.

  • 5/21/2018 . -

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    iv

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    .

    -

    , (

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    ,

    . ,

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    , Gauss

    2. -

    ( Gauss),

    , LU (

    .).

    ,

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    ,

    .

    -

    2 .

  • 5/21/2018 . -

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    ,

    .

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    . ,

    v, u, w, . . . , ai, bi, . . .

    , , . . . , , c, . . . .

    (+ )v, ca + b, (u + v)

    .

    .

    , , .

    v , v, v

    v.

    .

    ,

    . , v .

  • 5/21/2018 . -

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    vi

  • 5/21/2018 . -

    7/94

    vii

    1 1

    2 3

    2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2.2 . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.4.3 R3 . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.5 . . . . . . . . . . 30

    2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3 33

    3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.2 R2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.3 R3: . . . . . . . . . . . . 35

    4 37

    4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    4.3 ;

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    4.5 , 52

    4.6 : . . . 54

    4.6.1 . 56

    4.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    4.6.3 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  • 5/21/2018 . -

    8/94

    viii

    4.7 . . . . . . . . . . 62

    4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    5 65

    5.1 . . . . . . . 65

    5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.5 . . . . . . . . . . 74

    5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    I 77

    : 79

    .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    85

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    1

    , ,

    .

    (-

    ) , -

    .

    (.. -

    )

    .

    -

    :

    :

    -

    .

    :

    s1, s2, . . . , s30 m1, m2, . . . , m45. sicij

    mj . Si , ;

    Xj, j = 1, . . . , 45 , :

    c11X1+ c12X2+ + c1,45X45 = S1c21X1+ c22X2+ + c2,45X45 = S2

    c30,1X1+ c30,2X2+ + c30,45X45 = S30

  • 5/21/2018 . -

    10/94

    2 1.

    ,

    .

    : , -

    ,

    (inventory allocation and control.) -

    ,

    .

    (Linear Programming.)

    :

    (

    Descartes), -

    .

    ,

    Rn.

    :

    .

    ,

    , .

    : -

    ( -

    )

    . -

    :

    , Googlec,

    -

    !

  • 5/21/2018 . -

    11/94

    2

    2.1

    v , . -

    ( ,

    .)

    ,

    . -

    0. , , . -

    , . -

    , . ,

    v1 + (v2 +v3) = (v1 +v2) +v3. , :

    v+ w= (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2).

    v -

    v( .) ,

    v= (x,y,z) = (x,y,z).

    : -

    n- (n = 2 , n = 4...),

    a= (a1, a2, . . . , an),

  • 5/21/2018 . -

    12/94

    4 2.

    a b n-, , ,

    a + b= (a1+ b1, a2+ b2, . . . , an+ bn).

    a= (a1, a2, . . . , an).

    2.1. -

    : R3 (

    .) , -

    ( .) , ,

    , . -

    ,

    .

    ,

    . 2.3.

    2.1. F= R C. V F-- (.. F = R .. F = C)

    v, w V v + wV v V, F, v V :

    1. v, w V,v + w= w + v,2. v, w, u V,(v+ w) + u= v+ (w+ u),3. V 0, 0 + v= v

    v V,

    4. , F,v, w V,(v+ w) =v + w, ( + )v= v+ v, (v) = ()v,

    5. 1 F, v V: 1v= v,6. 0 F, v V: 0v= 0.

    2.2. 0 0.

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    13/94

    2.1 5

    . , :

    0= 0v= (1 + (1))v= 1v+ (1)v= v + (1)v,

    (1)v, v, v v V.

    1

    Rn: , n- n- . - 0 = (0, 0, . . . , 0)(n.) n. - R2 () R3 (

    ), n 3 .

    Cn: n- n- v = (z1, z2, . . . , z n)(zi C i), , C

    v= (z1, z2, . . . , z n).

    n = 1 C. C ,

    !

    z= 0 w

    w= z = w/z.

    , ( )

    ( ): -

    z C z:

    C= {z, C}.

    2.1. C ,

    R C, .

    1 - , .

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    14/94

    6 2.

    n = 2 , Cn , , -

    2n(.. n = 2, C2 4.) -

    ,

    Fourier

    .

    2.3.

    -

    !

    : -

    n(n >0).

    p(x) =a0+ a1x+ a2x2 + . . .+ anx

    n

    (n+ 1)-v = (a0, a1, a2, . . . , an) Rn+1. , , p(x) + q(x) p(x) v.

    Rn+1.

    -

    :

    : -

    ,

    : f, g , x f(x)+g(x) f(x). . : f x,f(x), .

    , .

    : ( )

    ( v = {a0, a1, . . . , an, . . .}) , - ( .)

  • 5/21/2018 . -

    15/94

    2.2 7

    2.2

    0 -

    R3: v - , v

    L(v) ={v; R}. - R3,v1, v2. :

    := {1v1+ 2v2; 1, 2 R}.

    .

    (), v2=v1 R, = 0. .

    R3 :

    1. 0 (1, 2 = 0.)2. w < v1, v2 >, w < v1, v2 >(

    1, 2.)3. w1, w2 , w1+w2 ( v= 1v1+2v2,

    w= 1v1+ 2v2 1+ 1, 2+ 2.)

    4. v < v1, v2 >, R, v < v1, v2 >(:1, 2.)

    < v1, v2> .

    2.2. W V V V V.

    , v, w W, R, v + wv W.

    . R3

    R3,

    .

    2.1. v1, v2, . . . , vk - V. ,< v1, v2, . . . , vk >, V.

  • 5/21/2018 . -

    16/94

    8 2.

    .

    v1

    -. v2,

    v1, v2

    v1. : v1, v2 , v3, v1, v2, ( ) v3 < v1, v2>. :

    2.3.

    . v1, v2, . . . , vk , -

    vk+1, v1, v2, . . . , vk, vk+1 vk+1 / . v1, v2, . . . , vk , k

    < v1, v2, . . . , vk>.

    -

    , -.

    :

    2.4. v1, v2, . . . , vk 1, 2, . . . , k

    F, , -

    1v1+ 2v2+ . . .+ kvk =0.

    v1, v2, . . . , vk . ,

    v1, v2, . . . , vk , i.

    ! -

    , -,

    . , -

    -, : (1, 2) = (0, 0)

    1v1+ 2v2 = 0.

    ( , 2. v2=v1, = 1/2.)

    ,

    ,

    :

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    17/94

    2.2 9

    2.1.

    (0, 1, 0), (0, 0, 1)(0, 1, 1) R3;,

    (1) (0, 1, 0) + (1) (0, 0, 1) + (1) (0, 1, 1) = (0, 0, 0), .

    2.2. -

    (1, 1, 0), (0, 1, 1) (2, 1, 1)? x, y,z i :

    x(1, 1, 0) +y(0, 1, 1) +z(2, 1, 1) = (0, 0, 0) - -

    :x + 0 + 2z = 0x y z = 00 + y+ z = 0

    2.2. .

    ; ;

    2.5. V (..). V,dim V, .

    V.

    0 - (.. .) ..

    ..

    ,

    , -

    .

    :

    2.2. -

    . ,

    ..V .{b1, b2, . . . , bn} ..V