Ε. ΚΑΠΠΟΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΗ...
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,
, 2006
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Copyright by E Kappos, 2006
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LaTEX
kerkis.
, , 10/2006.
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, Gauss
2. -
( Gauss),
, LU (
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2 .
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v
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(
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. ,
v, u, w, . . . , ai, bi, . . .
, , . . . , , c, . . . .
(+ )v, ca + b, (u + v)
.
.
, , .
v , v, v
v.
.
,
. , v .
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vi
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vii
1 1
2 3
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.3 R3 . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 . . . . . . . . . . 30
2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 33
3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 R2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 R3: . . . . . . . . . . . . 35
4 37
4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 , 52
4.6 : . . . 54
4.6.1 . 56
4.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6.3 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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viii
4.7 . . . . . . . . . . 62
4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 65
5.1 . . . . . . . 65
5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 . . . . . . . . . . 74
5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
I 77
: 79
.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
85
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1
, ,
.
(-
) , -
.
(.. -
)
.
-
:
:
-
.
:
s1, s2, . . . , s30 m1, m2, . . . , m45. sicij
mj . Si , ;
Xj, j = 1, . . . , 45 , :
c11X1+ c12X2+ + c1,45X45 = S1c21X1+ c22X2+ + c2,45X45 = S2
c30,1X1+ c30,2X2+ + c30,45X45 = S30
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2 1.
,
.
: , -
,
(inventory allocation and control.) -
,
.
(Linear Programming.)
:
(
Descartes), -
.
,
Rn.
:
.
,
, .
: -
( -
)
. -
:
, Googlec,
-
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2
2.1
v , . -
( ,
.)
,
. -
0. , , . -
, . -
, . ,
v1 + (v2 +v3) = (v1 +v2) +v3. , :
v+ w= (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2).
v -
v( .) ,
v= (x,y,z) = (x,y,z).
: -
n- (n = 2 , n = 4...),
a= (a1, a2, . . . , an),
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4 2.
a b n-, , ,
a + b= (a1+ b1, a2+ b2, . . . , an+ bn).
a= (a1, a2, . . . , an).
2.1. -
: R3 (
.) , -
( .) , ,
, . -
,
.
,
. 2.3.
2.1. F= R C. V F-- (.. F = R .. F = C)
v, w V v + wV v V, F, v V :
1. v, w V,v + w= w + v,2. v, w, u V,(v+ w) + u= v+ (w+ u),3. V 0, 0 + v= v
v V,
4. , F,v, w V,(v+ w) =v + w, ( + )v= v+ v, (v) = ()v,
5. 1 F, v V: 1v= v,6. 0 F, v V: 0v= 0.
2.2. 0 0.
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2.1 5
. , :
0= 0v= (1 + (1))v= 1v+ (1)v= v + (1)v,
(1)v, v, v v V.
1
Rn: , n- n- . - 0 = (0, 0, . . . , 0)(n.) n. - R2 () R3 (
), n 3 .
Cn: n- n- v = (z1, z2, . . . , z n)(zi C i), , C
v= (z1, z2, . . . , z n).
n = 1 C. C ,
!
z= 0 w
w= z = w/z.
, ( )
( ): -
z C z:
C= {z, C}.
2.1. C ,
R C, .
1 - , .
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6 2.
n = 2 , Cn , , -
2n(.. n = 2, C2 4.) -
,
Fourier
.
2.3.
-
!
: -
n(n >0).
p(x) =a0+ a1x+ a2x2 + . . .+ anx
n
(n+ 1)-v = (a0, a1, a2, . . . , an) Rn+1. , , p(x) + q(x) p(x) v.
Rn+1.
-
:
: -
,
: f, g , x f(x)+g(x) f(x). . : f x,f(x), .
, .
: ( )
( v = {a0, a1, . . . , an, . . .}) , - ( .)
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2.2 7
2.2
0 -
R3: v - , v
L(v) ={v; R}. - R3,v1, v2. :
:= {1v1+ 2v2; 1, 2 R}.
.
(), v2=v1 R, = 0. .
R3 :
1. 0 (1, 2 = 0.)2. w < v1, v2 >, w < v1, v2 >(
1, 2.)3. w1, w2 , w1+w2 ( v= 1v1+2v2,
w= 1v1+ 2v2 1+ 1, 2+ 2.)
4. v < v1, v2 >, R, v < v1, v2 >(:1, 2.)
< v1, v2> .
2.2. W V V V V.
, v, w W, R, v + wv W.
. R3
R3,
.
2.1. v1, v2, . . . , vk - V. ,< v1, v2, . . . , vk >, V.
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8 2.
.
v1
-. v2,
v1, v2
v1. : v1, v2 , v3, v1, v2, ( ) v3 < v1, v2>. :
2.3.
. v1, v2, . . . , vk , -
vk+1, v1, v2, . . . , vk, vk+1 vk+1 / . v1, v2, . . . , vk , k
< v1, v2, . . . , vk>.
-
, -.
:
2.4. v1, v2, . . . , vk 1, 2, . . . , k
F, , -
1v1+ 2v2+ . . .+ kvk =0.
v1, v2, . . . , vk . ,
v1, v2, . . . , vk , i.
! -
, -,
. , -
-, : (1, 2) = (0, 0)
1v1+ 2v2 = 0.
( , 2. v2=v1, = 1/2.)
,
,
:
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2.2 9
2.1.
(0, 1, 0), (0, 0, 1)(0, 1, 1) R3;,
(1) (0, 1, 0) + (1) (0, 0, 1) + (1) (0, 1, 1) = (0, 0, 0), .
2.2. -
(1, 1, 0), (0, 1, 1) (2, 1, 1)? x, y,z i :
x(1, 1, 0) +y(0, 1, 1) +z(2, 1, 1) = (0, 0, 0) - -
:x + 0 + 2z = 0x y z = 00 + y+ z = 0
2.2. .
; ;
2.5. V (..). V,dim V, .
V.
0 - (.. .) ..
..
,
, -
.
:
2.2. -
. ,
..V .{b1, b2, . . . , bn} ..V