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1/94

,

, 2006

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Copyright by E Kappos, 2006

.

LaTEX

kerkis.

, , 10/2006.

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.

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( .)

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) () ,

, -

,

,

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,

. 1

1,

.. ..!

5/21/2018 . -

4/94

iv

. -

. -

.

, ,

.

,

-

.

( ) .

, -

( ) . -

, ,

. ,

,

.

-

, (

.)

,

. ,

.

, Gauss

2. -

( Gauss),

, LU (

.).

,

: -

,

.

-

2 .

5/21/2018 . -

5/94

v

.

-

,

, .

, , -

, ,

. ,

, . , -

,

( , ; .)

(

.)

,

.

, -

. ,

v, u, w, . . . , ai, bi, . . .

, , . . . , , c, . . . .

(+ )v, ca + b, (u + v)

.

.

, , .

v , v, v

v.

.

,

. , v .

5/21/2018 . -

6/94

vi

5/21/2018 . -

7/94

vii

1 1

2 3

2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.3 R3 . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 . . . . . . . . . . 30

2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 33

3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 R2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 R3: . . . . . . . . . . . . 35

4 37

4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5 , 52

4.6 : . . . 54

4.6.1 . 56

4.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6.3 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5/21/2018 . -

8/94

viii

4.7 . . . . . . . . . . 62

4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 65

5.1 . . . . . . . 65

5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.5 . . . . . . . . . . 74

5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

I 77

: 79

.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

85

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9/94

1

, ,

.

(-

) , -

.

(.. -

)

.

-

:

:

-

.

:

s1, s2, . . . , s30 m1, m2, . . . , m45. sicij

mj . Si , ;

Xj, j = 1, . . . , 45 , :

c11X1+ c12X2+ + c1,45X45 = S1c21X1+ c22X2+ + c2,45X45 = S2

c30,1X1+ c30,2X2+ + c30,45X45 = S30

5/21/2018 . -

10/94

2 1.

,

.

: , -

,

(inventory allocation and control.) -

,

.

(Linear Programming.)

:

(

Descartes), -

.

,

Rn.

:

.

,

, .

: -

( -

)

. -

:

, Googlec,

-

!

5/21/2018 . -

11/94

2

2.1

v , . -

( ,

.)

,

. -

0. , , . -

, . -

, . ,

v1 + (v2 +v3) = (v1 +v2) +v3. , :

v+ w= (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2).

v -

v( .) ,

v= (x,y,z) = (x,y,z).

: -

n- (n = 2 , n = 4...),

a= (a1, a2, . . . , an),

5/21/2018 . -

12/94

4 2.

a b n-, , ,

a + b= (a1+ b1, a2+ b2, . . . , an+ bn).

a= (a1, a2, . . . , an).

2.1. -

: R3 (

.) , -

( .) , ,

, . -

,

.

,

. 2.3.

2.1. F= R C. V F-- (.. F = R .. F = C)

v, w V v + wV v V, F, v V :

1. v, w V,v + w= w + v,2. v, w, u V,(v+ w) + u= v+ (w+ u),3. V 0, 0 + v= v

v V,

4. , F,v, w V,(v+ w) =v + w, ( + )v= v+ v, (v) = ()v,

5. 1 F, v V: 1v= v,6. 0 F, v V: 0v= 0.

2.2. 0 0.

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13/94

2.1 5

. , :

0= 0v= (1 + (1))v= 1v+ (1)v= v + (1)v,

(1)v, v, v v V.

1

Rn: , n- n- . - 0 = (0, 0, . . . , 0)(n.) n. - R2 () R3 (

), n 3 .

Cn: n- n- v = (z1, z2, . . . , z n)(zi C i), , C

v= (z1, z2, . . . , z n).

n = 1 C. C ,

!

z= 0 w

w= z = w/z.

, ( )

( ): -

z C z:

C= {z, C}.

2.1. C ,

R C, .

1 - , .

5/21/2018 . -

14/94

6 2.

n = 2 , Cn , , -

2n(.. n = 2, C2 4.) -

,

Fourier

.

2.3.

-

!

: -

n(n >0).

p(x) =a0+ a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n

(n+ 1)-v = (a0, a1, a2, . . . , an) Rn+1. , , p(x) + q(x) p(x) v.

Rn+1.

-

:

: -

,

: f, g , x f(x)+g(x) f(x). . : f x,f(x), .

, .

: ( )

( v = {a0, a1, . . . , an, . . .}) , - ( .)

5/21/2018 . -

15/94

2.2 7

2.2

0 -

R3: v - , v

L(v) ={v; R}. - R3,v1, v2. :

:= {1v1+ 2v2; 1, 2 R}.

.

(), v2=v1 R, = 0. .

R3 :

1. 0 (1, 2 = 0.)2. w < v1, v2 >, w < v1, v2 >(

1, 2.)3. w1, w2 , w1+w2 ( v= 1v1+2v2,

w= 1v1+ 2v2 1+ 1, 2+ 2.)

4. v < v1, v2 >, R, v < v1, v2 >(:1, 2.)

< v1, v2> .

2.2. W V V V V.

, v, w W, R, v + wv W.

. R3

R3,

.

2.1. v1, v2, . . . , vk - V. ,< v1, v2, . . . , vk >, V.

5/21/2018 . -

16/94

8 2.

.

v1

-. v2,

v1, v2

v1. : v1, v2 , v3, v1, v2, ( ) v3 < v1, v2>. :

2.3.

. v1, v2, . . . , vk , -

vk+1, v1, v2, . . . , vk, vk+1 vk+1 / . v1, v2, . . . , vk , k

< v1, v2, . . . , vk>.

-

, -.

:

2.4. v1, v2, . . . , vk 1, 2, . . . , k

F, , -

1v1+ 2v2+ . . .+ kvk =0.

v1, v2, . . . , vk . ,

v1, v2, . . . , vk , i.

! -

, -,

. , -

-, : (1, 2) = (0, 0)

1v1+ 2v2 = 0.

( , 2. v2=v1, = 1/2.)

,

,

:

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17/94

2.2 9

2.1.

(0, 1, 0), (0, 0, 1)(0, 1, 1) R3;,

(1) (0, 1, 0) + (1) (0, 0, 1) + (1) (0, 1, 1) = (0, 0, 0), .

2.2. -

(1, 1, 0), (0, 1, 1) (2, 1, 1)? x, y,z i :

x(1, 1, 0) +y(0, 1, 1) +z(2, 1, 1) = (0, 0, 0) - -

:x + 0 + 2z = 0x y z = 00 + y+ z = 0

2.2. .

; ;

2.5. V (..). V,dim V, .

V.

0 - (.. .) ..

..

,

, -

.

:

2.2. -

. ,

..V .{b1, b2, . . . , bn} ..V