ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … ·...

25
1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Δίνεται το σύστημα 2 1 1 x y x y , λR α) Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μία μόνο λύση; β) Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και γ) Για ποιες είναι αδύνατο; 2. Δίνεται το σύστημα : ( 1) 3 1 3 ( 1) 3 x y x y . Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε : α) το σύστημα να έχει μοναδική λύση, η οποία να βρεθεί β) το σύστημα να είναι αδύνατο γ) το σύστημα να είναι αόριστο. 3. Δίνεται το σύστημα : x y 1 y x . α) Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση (x0,y0) β) Να βρείτε αυτή τη λύση γ) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ,ώστε να ισχύει x0-y0=1 4. Δίνεται το σύστημα : ( 2) x 5 5 ( 2) y 5 y x . α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού μ για να έχει το σύστημα άπειρες λύσεις β) Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση (x0,y0) i. να βρείτε αυτή τη λύση ii. να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού μ ,ώστε να ισχύει 2x0+y0>5 5. Δίνεται το σύστημα : ( 4) x 3 3 3 ( 4) y 3 y x . α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για να έχει το σύστημα άπειρες λύσεις β) Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση (x0,y0) i. να βρείτε αυτή τη λύση ii. να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ ,ώστε να ισχύει 4 2 0 0 6 x y 2x0+y0>5 6. Δίνονται οι επόμενοι αριθμοί : 3 6 22 2 2 και 5 3 12 2 2 26 39 (5 ) :5 5 :50 (4 8 :4 ):5 4 α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β β) Να λύσετε το σύστημα : x y x y 0

Transcript of ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … ·...

Page 1: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1 Δίνεται το σύστημα 2

1

1

x y

x y

λR

α) Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μία μόνο λύση

β) Για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και

γ) Για ποιες είναι αδύνατο

2 Δίνεται το σύστημα ( 1) 3 1

3 ( 1) 3

x y

x y

Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε

α) το σύστημα να έχει μοναδική λύση η οποία να βρεθεί

β) το σύστημα να είναι αδύνατο

γ) το σύστημα να είναι αόριστο

3 Δίνεται το σύστημα x

y 1

y

x

α) Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση (x0y0)

β) Να βρείτε αυτή τη λύση

γ) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε να ισχύει x0-y0=1

4 Δίνεται το σύστημα ( 2) x 5 5

( 2) y 5

y

x

α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού μ για να έχει το σύστημα άπειρες λύσεις

β) Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση (x0y0)

i να βρείτε αυτή τη λύση

ii να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού μ ώστε να ισχύει 2x0+y0gt5

5 Δίνεται το σύστημα ( 4) x 3 3

3 ( 4) y 3

y

x

α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για να έχει το σύστημα άπειρες λύσεις

β) Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση (x0y0)

i να βρείτε αυτή τη λύση

ii να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε να ισχύει 4 2

0 0 6x y 2x0+y0gt5

6 Δίνονται οι επόμενοι αριθμοί 3 62 2 2 2 και

53 12 2 2

26 39

(5 ) 5 5 50

(4 8 4 ) 5 4

α) Να βρείτε τους αριθμούς α και β

β) Να λύσετε το σύστημα x y

x y 0

2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

5

4

3

2

1

1

4 2 2

Cf

y

y

x x3-3 1-1 0

7 Δίνεται η ορίζουσα 3

6

15 3

4

22( 5 3)

2

α) Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας α

β) Να βρείτε τα λ μ R ώστε το σύστημα x y

2 x ( 5)y 3 5

να έχει άπειρες λύσεις

όπου α η ορίζουσα του ερωτήματος α)

8 Δίνεται το σύστημα ( 1)x y 2

x ( 1)y 1

το οποίο έχει ορίζουσα DΕπίσης η εξίσωση

2x (D 5)x 4(D 1) 0 έχει μία διπλή ρίζα

α) Να βρείτε την ορίζουσα D και τη διπλή ρίζα της εξίσωσης

β) να λύσετε το σύστημα

9 Για τις ορίζουσες D Dx και Dy ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους

ισχύουν οι σχέσεις

x

x y

y

D D 2

D D 2

D D 8

10 Η εξίσωση 22x ( 3)x 5 3 0 έχει 2 ρίζες x1x2 για τις οποίες ισχύει 1 2x x 5 και

1 2x x 6

α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ

β) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση

11 Η εξίσωση 2x ( )x 0 έχει ρίζες x1x2Ισχύουν οι σχέσεις

1 2 1 2x x 3 x x 2 και 2 2

1 2x x 3

Να βρείτε τους αριθμούς λ μ και ν

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

12 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση fC μιας

άρτιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού το διάστημα

33 fD

α) Να βρείτε τα διαστήματα του 33x για τα οποία η f

είναι γνησίως αύξουσα και για εκείνα που η f είναι

γνησίως φθίνουσα

β) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f καθώς και οι

τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x που τα παρουσιάζει

γ) Να βρείτε το είδος της συμμετρίας που παρουσιάζει η fC

δ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f

3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

13 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τις τιμές f(-1)f(0) και f(f(1))

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(x)lt0

ε) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της f

στ) Να βρείτε τα ακρότατα της f

14 Δίνεται η συνάρτηση 2( )f x x x με βγ Rτης οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται

από τα σημεία Μ(1-5) και Ν(37)Να βρείτε

α) τις τιμές των β και γ

β) την κορυφή της Cf

γ) τα διαστήματα για τα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

15 Δίνεται η συνάρτηση 2( )f x x x με α β γ R για την οποία ισχύουν

f(1)=6f(-1)=-8 και f(-2)=12

α) τις τιμές των α β γ

β) να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες

γ) να λύσετε την εξίσωση ( ) ( 1) 20f x f x

16 Έστω περιττή συνάρτηση f

α) Από τα 4 4 5 1 1 5 5 7 να επιλέξετε εκείνο το

οποίο μπορεί να είναι πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Δικαιολογήστε την απάντησή σας

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων

γ) Αν η f έχει ελάχιστη τιμή στο 0 2x και ισχύει 2 4f να δείξετε ότι

έχει μέγιστη τιμή στο 1 2x το οποίο να βρείτε

δ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 2 2 να λύσετε

την ανίσωση 22

xf f

ε) Θεωρούμε τη συνάρτηση h με 2 4h x f x Να προσδιορίσετε το πεδίο

ορισμού της h και να διαπιστώσετε ότι δεν είναι συμμετρική

17 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) =x2 - 3|x| και g(x) = 2|x| - 4

α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή

β) Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της g είναι κάτω από τον άξονα χχ

γ)Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g

18 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

2

12( )

36

x xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = 1

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον άξονα

χχ

δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή

4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

19 Δίνεται η συνάρτηση 2

3

3( )

25

x af x

x x

με α R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται

από το σημείο Μ(-1-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι α = -27

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χχ

δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή

20 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + 6x + 1 Έστω επίσης g(x) η συνάρτηση της οποίας η γραφική

παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f κατά 2

μονάδες προς τα δεξιά και κατά 4 μονάδες προς τα πάνω

α) Να βρείτε τον τύπο της g

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g

γ) Έστω (ε) η ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 2 και διέρχεται από το σημείο

Μ(-2 g(-2))Να βρείτε

i την εξίσωση της ευθείας (ε)

ii τα σημεία τομής της ευθείας (ε) και της γραφικής παράστασης της f

iiiτα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της g είναι πάνω από την ευθεία (ε)

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

21 α) Να λύσετε την εξίσωση 2συν2x-5συνx+2=0

β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης που βρίσκονται στο διάστημα [02π]

22 Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x

α)) Να λυθεί η εξίσωση 2

( )2

f x

β) Να βρείτε την περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

( ) 2 (4 )g x f x

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει ( ) 1g x

23 Αν η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (x) = x2 + 3 είναι ίση με την μέγιστη τιμή της

συνάρτησης g(x) = αημ(βπx) α β gt 0 και η g είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2

α να βρείτε τα α και β

β να δείξετε ότι 1 9

05 5

g g

24 Έστω η συνάρτηση x 1

f (x)x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β Να λύσετε την εξίσωση f (x) x

γ Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

25 Έστω συνάρτηση f με π

αημ 2 β6

f x x

α β Αν η γραφική παράσταση της

συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία π

Α 3 Β 0 06

τότε

α) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α β

β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό

της

γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση

του ημιτόνου και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας

δ) Να λύσετε την εξίσωση 3π

64

f x

26 Δίνεται η συνάρτηση ( )4

xf x a

όπου R Αν γνωρίζετε ότι η γραφική

παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0-2) και 4

τότε

α) να αποδείξετε ότι α=-2 και β=2

β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1

27 Η συνάρτηση f(x)=α+β∙συν2x με βgt0 έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφική της παράσταση

Διέρχεται από το σημείο Μ(3

-5)

α) Να βρείτε τα α και β

β) Για α=-2 και β=6

i Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f

ii Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f

iii Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει την ελάχιστη και τη

μέγιστη τιμή της

ivΝα βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με την ευθεία

y=1

28 Δίνεται η συνάρτηση 22 3f x x x

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

β) Αν 2

f x f x

και 4

x k

k να αποδείξετε ότι

i 1

2x x ii

3

8x x

29 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

2 2 1

2 1

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να λύσετε την εξίσωση 1f x

6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

30 Δίνεται η συνάρτηση 1 1

1 1

f x x xx x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να λύσετε την εξίσωση 2f x στο διάστημα 0

31 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 f x x και g x x 0

Αν οι συναρτήσεις fg έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο τότε

α) να αποδείξετε ότι 1

β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 4

f g

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 f x g x στο διάστημα 2

32 Η συνάρτηση f x x έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο 34

α) Να βρείτε τα ρ ω

β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 6

f x f x

33 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x

α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f

β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 3

0 4 2 4

x

και να σχεδιάσετε την γραφική

παράσταση της f για 0 x

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 5

2y

δ) Να λύσετε την εξίσωση 2

2 4 0f x f x

34 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βημ2x διέρχεται από τα σημεία

31

M 212

και 53

412

τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f

γ) να λύσετε την εξίσωση f(x)=1

δ) να Λύσετε την εξίσωση 3

f (x) f x4

ε) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [02π]

35 Έστω η συνάρτηση f (x) = (α - β)συνγx α gt β γ gt 0

Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 4 η f έχει μέγιστο το 2α και περίοδο Τ = π

α) να βρείτε τα α β γ και την f

β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f

7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2

πx είναι άρτια

36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR

α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)

β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR

γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0

Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2

lt χ π

Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x

37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της

β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f

γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x

38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx

α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α

β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4

x πf f x

39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x

α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

δ) Να λύσετε την εξίσωση

f x f x4

στο διάστημα 0

ε) Να αποδείξετε ότι 13

log2 log 3log log1284 12 12

f f f

στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα

x f4

και

x f12

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x

α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ

β) Για λ=1

i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)

ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3

iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ

βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3

8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x

α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα

β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια

γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η

γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x

42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2

α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης

β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)

γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2

είναι 2x -1 να βρείτε

i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2

ii το πολυώνυμο Ρ(x)

43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι

περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3

α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0

β) Να βρείτε το Ρ(-2)

γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x

44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε

α) τα Ρ(0) και Ρ(1)

β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x

45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1

α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών

του Q(x)

β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός

46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του

οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2

α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x

β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2

2 2 2x x x

47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2

+λ) +κx2

+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3

α) Να βρείτε τα κ λ

β) Αν κ=-1 και λmdash5

i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8

48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2

α) Να βρείτε το α

β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0

49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β

α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4

β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0

γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0

9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x

α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1

β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0

51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30

10 20 30P x x x x

α) Να βρείτε το βαθμό του

β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x

γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x

52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2

3 2

3 3 6

2 3 3 2

x x

x x x

α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της g(x) =x2

53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6

α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ

β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από

τον άξονα χ΄χ

54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ

55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2

είναι το υ(x) = 5x + 8

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8

56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε

α) να βρείτε το α

β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ

να ισχύει υ gt -4

57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς

ακέραιους

α) να βρείτε τα α και β

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0

10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα

σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε

α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ

β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η

γραφική παράσταση της f(x)

α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ

β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ

60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το

x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β

β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=7

2

i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0

ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την

ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης

iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x

63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2

α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0

β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε

i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y

ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ

64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει

3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5

β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4

i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

α) με τον άξονα y΄y

β) με την ευθεία y=2

ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)

είναι πάνω από την ευθεία y=2

65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0

β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x

66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3

32 3

xx

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3

67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους

συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα

α να βρείτε τα θ και α

β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

68 Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) 3

x

f x

όπου x πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x

69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2

( )3

x

f x

α) να ορίζεται σε όλο το R

β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R

δ) να είναι 1-1

70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x

f x

για κάθε x

α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα

β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f

i Nα υπολογίσετε το α

ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x

71 Δίνεται η συνάρτηση 6

( )4 9

x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθεί η εξίσωση 12

( ) (0)13

f x f

72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x

f x για κάθε x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x

δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2

2 2 24( )

4 6 2 8

x x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα δείξετε ότι 6

( ) 122 2

xf x x R

γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3

( )7

f x

δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x

g x f a να είναι σταθερή στο

R

ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6

( )( )

h xf x

74 Δίνεται η συνάρτηση 2

( )1

x

f x

α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του

β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2

2

2( )

3 4 2f x

γ) Αν 1 1

3 3

να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )

x x x xf f e

δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Α(f(0)3)

ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και

h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x

στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

( 4)( ( ) 4)(x)

(3 3 )( ( ) 2)x

x f x

e f x

75 Δίνεται η συνάρτηση ln3

f x x k

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Αν 2

ln 16

f

να βρείτε το k

γ) Αν 1k τότε

i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36

x f f

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 2: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

5

4

3

2

1

1

4 2 2

Cf

y

y

x x3-3 1-1 0

7 Δίνεται η ορίζουσα 3

6

15 3

4

22( 5 3)

2

α) Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας α

β) Να βρείτε τα λ μ R ώστε το σύστημα x y

2 x ( 5)y 3 5

να έχει άπειρες λύσεις

όπου α η ορίζουσα του ερωτήματος α)

8 Δίνεται το σύστημα ( 1)x y 2

x ( 1)y 1

το οποίο έχει ορίζουσα DΕπίσης η εξίσωση

2x (D 5)x 4(D 1) 0 έχει μία διπλή ρίζα

α) Να βρείτε την ορίζουσα D και τη διπλή ρίζα της εξίσωσης

β) να λύσετε το σύστημα

9 Για τις ορίζουσες D Dx και Dy ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους

ισχύουν οι σχέσεις

x

x y

y

D D 2

D D 2

D D 8

10 Η εξίσωση 22x ( 3)x 5 3 0 έχει 2 ρίζες x1x2 για τις οποίες ισχύει 1 2x x 5 και

1 2x x 6

α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ

β) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση

11 Η εξίσωση 2x ( )x 0 έχει ρίζες x1x2Ισχύουν οι σχέσεις

1 2 1 2x x 3 x x 2 και 2 2

1 2x x 3

Να βρείτε τους αριθμούς λ μ και ν

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

12 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση fC μιας

άρτιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού το διάστημα

33 fD

α) Να βρείτε τα διαστήματα του 33x για τα οποία η f

είναι γνησίως αύξουσα και για εκείνα που η f είναι

γνησίως φθίνουσα

β) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f καθώς και οι

τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x που τα παρουσιάζει

γ) Να βρείτε το είδος της συμμετρίας που παρουσιάζει η fC

δ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f

3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

13 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τις τιμές f(-1)f(0) και f(f(1))

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(x)lt0

ε) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της f

στ) Να βρείτε τα ακρότατα της f

14 Δίνεται η συνάρτηση 2( )f x x x με βγ Rτης οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται

από τα σημεία Μ(1-5) και Ν(37)Να βρείτε

α) τις τιμές των β και γ

β) την κορυφή της Cf

γ) τα διαστήματα για τα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

15 Δίνεται η συνάρτηση 2( )f x x x με α β γ R για την οποία ισχύουν

f(1)=6f(-1)=-8 και f(-2)=12

α) τις τιμές των α β γ

β) να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες

γ) να λύσετε την εξίσωση ( ) ( 1) 20f x f x

16 Έστω περιττή συνάρτηση f

α) Από τα 4 4 5 1 1 5 5 7 να επιλέξετε εκείνο το

οποίο μπορεί να είναι πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Δικαιολογήστε την απάντησή σας

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων

γ) Αν η f έχει ελάχιστη τιμή στο 0 2x και ισχύει 2 4f να δείξετε ότι

έχει μέγιστη τιμή στο 1 2x το οποίο να βρείτε

δ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 2 2 να λύσετε

την ανίσωση 22

xf f

ε) Θεωρούμε τη συνάρτηση h με 2 4h x f x Να προσδιορίσετε το πεδίο

ορισμού της h και να διαπιστώσετε ότι δεν είναι συμμετρική

17 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) =x2 - 3|x| και g(x) = 2|x| - 4

α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή

β) Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της g είναι κάτω από τον άξονα χχ

γ)Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g

18 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

2

12( )

36

x xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = 1

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον άξονα

χχ

δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή

4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

19 Δίνεται η συνάρτηση 2

3

3( )

25

x af x

x x

με α R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται

από το σημείο Μ(-1-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι α = -27

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χχ

δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή

20 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + 6x + 1 Έστω επίσης g(x) η συνάρτηση της οποίας η γραφική

παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f κατά 2

μονάδες προς τα δεξιά και κατά 4 μονάδες προς τα πάνω

α) Να βρείτε τον τύπο της g

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g

γ) Έστω (ε) η ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 2 και διέρχεται από το σημείο

Μ(-2 g(-2))Να βρείτε

i την εξίσωση της ευθείας (ε)

ii τα σημεία τομής της ευθείας (ε) και της γραφικής παράστασης της f

iiiτα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της g είναι πάνω από την ευθεία (ε)

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

21 α) Να λύσετε την εξίσωση 2συν2x-5συνx+2=0

β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης που βρίσκονται στο διάστημα [02π]

22 Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x

α)) Να λυθεί η εξίσωση 2

( )2

f x

β) Να βρείτε την περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

( ) 2 (4 )g x f x

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει ( ) 1g x

23 Αν η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (x) = x2 + 3 είναι ίση με την μέγιστη τιμή της

συνάρτησης g(x) = αημ(βπx) α β gt 0 και η g είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2

α να βρείτε τα α και β

β να δείξετε ότι 1 9

05 5

g g

24 Έστω η συνάρτηση x 1

f (x)x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β Να λύσετε την εξίσωση f (x) x

γ Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

25 Έστω συνάρτηση f με π

αημ 2 β6

f x x

α β Αν η γραφική παράσταση της

συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία π

Α 3 Β 0 06

τότε

α) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α β

β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό

της

γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση

του ημιτόνου και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας

δ) Να λύσετε την εξίσωση 3π

64

f x

26 Δίνεται η συνάρτηση ( )4

xf x a

όπου R Αν γνωρίζετε ότι η γραφική

παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0-2) και 4

τότε

α) να αποδείξετε ότι α=-2 και β=2

β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1

27 Η συνάρτηση f(x)=α+β∙συν2x με βgt0 έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφική της παράσταση

Διέρχεται από το σημείο Μ(3

-5)

α) Να βρείτε τα α και β

β) Για α=-2 και β=6

i Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f

ii Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f

iii Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει την ελάχιστη και τη

μέγιστη τιμή της

ivΝα βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με την ευθεία

y=1

28 Δίνεται η συνάρτηση 22 3f x x x

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

β) Αν 2

f x f x

και 4

x k

k να αποδείξετε ότι

i 1

2x x ii

3

8x x

29 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

2 2 1

2 1

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να λύσετε την εξίσωση 1f x

6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

30 Δίνεται η συνάρτηση 1 1

1 1

f x x xx x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να λύσετε την εξίσωση 2f x στο διάστημα 0

31 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 f x x και g x x 0

Αν οι συναρτήσεις fg έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο τότε

α) να αποδείξετε ότι 1

β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 4

f g

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 f x g x στο διάστημα 2

32 Η συνάρτηση f x x έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο 34

α) Να βρείτε τα ρ ω

β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 6

f x f x

33 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x

α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f

β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 3

0 4 2 4

x

και να σχεδιάσετε την γραφική

παράσταση της f για 0 x

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 5

2y

δ) Να λύσετε την εξίσωση 2

2 4 0f x f x

34 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βημ2x διέρχεται από τα σημεία

31

M 212

και 53

412

τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f

γ) να λύσετε την εξίσωση f(x)=1

δ) να Λύσετε την εξίσωση 3

f (x) f x4

ε) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [02π]

35 Έστω η συνάρτηση f (x) = (α - β)συνγx α gt β γ gt 0

Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 4 η f έχει μέγιστο το 2α και περίοδο Τ = π

α) να βρείτε τα α β γ και την f

β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f

7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2

πx είναι άρτια

36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR

α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)

β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR

γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0

Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2

lt χ π

Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x

37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της

β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f

γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x

38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx

α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α

β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4

x πf f x

39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x

α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

δ) Να λύσετε την εξίσωση

f x f x4

στο διάστημα 0

ε) Να αποδείξετε ότι 13

log2 log 3log log1284 12 12

f f f

στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα

x f4

και

x f12

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x

α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ

β) Για λ=1

i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)

ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3

iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ

βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3

8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x

α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα

β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια

γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η

γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x

42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2

α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης

β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)

γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2

είναι 2x -1 να βρείτε

i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2

ii το πολυώνυμο Ρ(x)

43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι

περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3

α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0

β) Να βρείτε το Ρ(-2)

γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x

44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε

α) τα Ρ(0) και Ρ(1)

β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x

45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1

α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών

του Q(x)

β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός

46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του

οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2

α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x

β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2

2 2 2x x x

47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2

+λ) +κx2

+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3

α) Να βρείτε τα κ λ

β) Αν κ=-1 και λmdash5

i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8

48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2

α) Να βρείτε το α

β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0

49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β

α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4

β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0

γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0

9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x

α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1

β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0

51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30

10 20 30P x x x x

α) Να βρείτε το βαθμό του

β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x

γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x

52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2

3 2

3 3 6

2 3 3 2

x x

x x x

α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της g(x) =x2

53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6

α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ

β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από

τον άξονα χ΄χ

54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ

55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2

είναι το υ(x) = 5x + 8

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8

56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε

α) να βρείτε το α

β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ

να ισχύει υ gt -4

57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς

ακέραιους

α) να βρείτε τα α και β

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0

10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα

σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε

α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ

β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η

γραφική παράσταση της f(x)

α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ

β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ

60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το

x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β

β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=7

2

i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0

ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την

ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης

iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x

63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2

α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0

β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε

i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y

ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ

64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει

3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5

β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4

i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

α) με τον άξονα y΄y

β) με την ευθεία y=2

ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)

είναι πάνω από την ευθεία y=2

65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0

β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x

66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3

32 3

xx

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3

67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους

συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα

α να βρείτε τα θ και α

β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

68 Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) 3

x

f x

όπου x πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x

69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2

( )3

x

f x

α) να ορίζεται σε όλο το R

β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R

δ) να είναι 1-1

70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x

f x

για κάθε x

α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα

β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f

i Nα υπολογίσετε το α

ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x

71 Δίνεται η συνάρτηση 6

( )4 9

x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθεί η εξίσωση 12

( ) (0)13

f x f

72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x

f x για κάθε x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x

δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2

2 2 24( )

4 6 2 8

x x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα δείξετε ότι 6

( ) 122 2

xf x x R

γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3

( )7

f x

δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x

g x f a να είναι σταθερή στο

R

ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6

( )( )

h xf x

74 Δίνεται η συνάρτηση 2

( )1

x

f x

α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του

β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2

2

2( )

3 4 2f x

γ) Αν 1 1

3 3

να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )

x x x xf f e

δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Α(f(0)3)

ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και

h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x

στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

( 4)( ( ) 4)(x)

(3 3 )( ( ) 2)x

x f x

e f x

75 Δίνεται η συνάρτηση ln3

f x x k

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Αν 2

ln 16

f

να βρείτε το k

γ) Αν 1k τότε

i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36

x f f

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 3: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

13 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τις τιμές f(-1)f(0) και f(f(1))

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(x)lt0

ε) Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της f

στ) Να βρείτε τα ακρότατα της f

14 Δίνεται η συνάρτηση 2( )f x x x με βγ Rτης οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται

από τα σημεία Μ(1-5) και Ν(37)Να βρείτε

α) τις τιμές των β και γ

β) την κορυφή της Cf

γ) τα διαστήματα για τα οποία η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

15 Δίνεται η συνάρτηση 2( )f x x x με α β γ R για την οποία ισχύουν

f(1)=6f(-1)=-8 και f(-2)=12

α) τις τιμές των α β γ

β) να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες

γ) να λύσετε την εξίσωση ( ) ( 1) 20f x f x

16 Έστω περιττή συνάρτηση f

α) Από τα 4 4 5 1 1 5 5 7 να επιλέξετε εκείνο το

οποίο μπορεί να είναι πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Δικαιολογήστε την απάντησή σας

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων

γ) Αν η f έχει ελάχιστη τιμή στο 0 2x και ισχύει 2 4f να δείξετε ότι

έχει μέγιστη τιμή στο 1 2x το οποίο να βρείτε

δ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 2 2 να λύσετε

την ανίσωση 22

xf f

ε) Θεωρούμε τη συνάρτηση h με 2 4h x f x Να προσδιορίσετε το πεδίο

ορισμού της h και να διαπιστώσετε ότι δεν είναι συμμετρική

17 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) =x2 - 3|x| και g(x) = 2|x| - 4

α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή

β) Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της g είναι κάτω από τον άξονα χχ

γ)Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g

18 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

2

12( )

36

x xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = 1

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον άξονα

χχ

δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή

4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

19 Δίνεται η συνάρτηση 2

3

3( )

25

x af x

x x

με α R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται

από το σημείο Μ(-1-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι α = -27

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χχ

δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή

20 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + 6x + 1 Έστω επίσης g(x) η συνάρτηση της οποίας η γραφική

παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f κατά 2

μονάδες προς τα δεξιά και κατά 4 μονάδες προς τα πάνω

α) Να βρείτε τον τύπο της g

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g

γ) Έστω (ε) η ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 2 και διέρχεται από το σημείο

Μ(-2 g(-2))Να βρείτε

i την εξίσωση της ευθείας (ε)

ii τα σημεία τομής της ευθείας (ε) και της γραφικής παράστασης της f

iiiτα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της g είναι πάνω από την ευθεία (ε)

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

21 α) Να λύσετε την εξίσωση 2συν2x-5συνx+2=0

β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης που βρίσκονται στο διάστημα [02π]

22 Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x

α)) Να λυθεί η εξίσωση 2

( )2

f x

β) Να βρείτε την περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

( ) 2 (4 )g x f x

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει ( ) 1g x

23 Αν η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (x) = x2 + 3 είναι ίση με την μέγιστη τιμή της

συνάρτησης g(x) = αημ(βπx) α β gt 0 και η g είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2

α να βρείτε τα α και β

β να δείξετε ότι 1 9

05 5

g g

24 Έστω η συνάρτηση x 1

f (x)x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β Να λύσετε την εξίσωση f (x) x

γ Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

25 Έστω συνάρτηση f με π

αημ 2 β6

f x x

α β Αν η γραφική παράσταση της

συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία π

Α 3 Β 0 06

τότε

α) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α β

β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό

της

γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση

του ημιτόνου και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας

δ) Να λύσετε την εξίσωση 3π

64

f x

26 Δίνεται η συνάρτηση ( )4

xf x a

όπου R Αν γνωρίζετε ότι η γραφική

παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0-2) και 4

τότε

α) να αποδείξετε ότι α=-2 και β=2

β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1

27 Η συνάρτηση f(x)=α+β∙συν2x με βgt0 έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφική της παράσταση

Διέρχεται από το σημείο Μ(3

-5)

α) Να βρείτε τα α και β

β) Για α=-2 και β=6

i Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f

ii Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f

iii Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει την ελάχιστη και τη

μέγιστη τιμή της

ivΝα βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με την ευθεία

y=1

28 Δίνεται η συνάρτηση 22 3f x x x

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

β) Αν 2

f x f x

και 4

x k

k να αποδείξετε ότι

i 1

2x x ii

3

8x x

29 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

2 2 1

2 1

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να λύσετε την εξίσωση 1f x

6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

30 Δίνεται η συνάρτηση 1 1

1 1

f x x xx x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να λύσετε την εξίσωση 2f x στο διάστημα 0

31 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 f x x και g x x 0

Αν οι συναρτήσεις fg έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο τότε

α) να αποδείξετε ότι 1

β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 4

f g

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 f x g x στο διάστημα 2

32 Η συνάρτηση f x x έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο 34

α) Να βρείτε τα ρ ω

β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 6

f x f x

33 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x

α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f

β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 3

0 4 2 4

x

και να σχεδιάσετε την γραφική

παράσταση της f για 0 x

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 5

2y

δ) Να λύσετε την εξίσωση 2

2 4 0f x f x

34 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βημ2x διέρχεται από τα σημεία

31

M 212

και 53

412

τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f

γ) να λύσετε την εξίσωση f(x)=1

δ) να Λύσετε την εξίσωση 3

f (x) f x4

ε) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [02π]

35 Έστω η συνάρτηση f (x) = (α - β)συνγx α gt β γ gt 0

Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 4 η f έχει μέγιστο το 2α και περίοδο Τ = π

α) να βρείτε τα α β γ και την f

β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f

7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2

πx είναι άρτια

36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR

α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)

β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR

γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0

Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2

lt χ π

Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x

37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της

β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f

γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x

38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx

α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α

β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4

x πf f x

39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x

α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

δ) Να λύσετε την εξίσωση

f x f x4

στο διάστημα 0

ε) Να αποδείξετε ότι 13

log2 log 3log log1284 12 12

f f f

στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα

x f4

και

x f12

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x

α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ

β) Για λ=1

i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)

ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3

iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ

βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3

8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x

α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα

β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια

γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η

γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x

42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2

α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης

β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)

γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2

είναι 2x -1 να βρείτε

i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2

ii το πολυώνυμο Ρ(x)

43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι

περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3

α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0

β) Να βρείτε το Ρ(-2)

γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x

44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε

α) τα Ρ(0) και Ρ(1)

β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x

45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1

α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών

του Q(x)

β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός

46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του

οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2

α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x

β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2

2 2 2x x x

47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2

+λ) +κx2

+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3

α) Να βρείτε τα κ λ

β) Αν κ=-1 και λmdash5

i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8

48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2

α) Να βρείτε το α

β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0

49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β

α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4

β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0

γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0

9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x

α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1

β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0

51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30

10 20 30P x x x x

α) Να βρείτε το βαθμό του

β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x

γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x

52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2

3 2

3 3 6

2 3 3 2

x x

x x x

α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της g(x) =x2

53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6

α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ

β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από

τον άξονα χ΄χ

54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ

55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2

είναι το υ(x) = 5x + 8

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8

56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε

α) να βρείτε το α

β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ

να ισχύει υ gt -4

57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς

ακέραιους

α) να βρείτε τα α και β

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0

10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα

σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε

α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ

β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η

γραφική παράσταση της f(x)

α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ

β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ

60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το

x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β

β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=7

2

i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0

ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την

ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης

iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x

63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2

α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0

β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε

i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y

ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ

64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει

3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5

β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4

i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

α) με τον άξονα y΄y

β) με την ευθεία y=2

ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)

είναι πάνω από την ευθεία y=2

65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0

β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x

66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3

32 3

xx

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3

67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους

συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα

α να βρείτε τα θ και α

β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

68 Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) 3

x

f x

όπου x πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x

69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2

( )3

x

f x

α) να ορίζεται σε όλο το R

β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R

δ) να είναι 1-1

70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x

f x

για κάθε x

α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα

β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f

i Nα υπολογίσετε το α

ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x

71 Δίνεται η συνάρτηση 6

( )4 9

x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθεί η εξίσωση 12

( ) (0)13

f x f

72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x

f x για κάθε x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x

δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2

2 2 24( )

4 6 2 8

x x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα δείξετε ότι 6

( ) 122 2

xf x x R

γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3

( )7

f x

δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x

g x f a να είναι σταθερή στο

R

ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6

( )( )

h xf x

74 Δίνεται η συνάρτηση 2

( )1

x

f x

α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του

β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2

2

2( )

3 4 2f x

γ) Αν 1 1

3 3

να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )

x x x xf f e

δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Α(f(0)3)

ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και

h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x

στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

( 4)( ( ) 4)(x)

(3 3 )( ( ) 2)x

x f x

e f x

75 Δίνεται η συνάρτηση ln3

f x x k

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Αν 2

ln 16

f

να βρείτε το k

γ) Αν 1k τότε

i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36

x f f

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 4: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

19 Δίνεται η συνάρτηση 2

3

3( )

25

x af x

x x

με α R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται

από το σημείο Μ(-1-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι α = -27

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χχ

δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή

20 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 + 6x + 1 Έστω επίσης g(x) η συνάρτηση της οποίας η γραφική

παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f κατά 2

μονάδες προς τα δεξιά και κατά 4 μονάδες προς τα πάνω

α) Να βρείτε τον τύπο της g

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g

γ) Έστω (ε) η ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 2 και διέρχεται από το σημείο

Μ(-2 g(-2))Να βρείτε

i την εξίσωση της ευθείας (ε)

ii τα σημεία τομής της ευθείας (ε) και της γραφικής παράστασης της f

iiiτα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της g είναι πάνω από την ευθεία (ε)

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

21 α) Να λύσετε την εξίσωση 2συν2x-5συνx+2=0

β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης που βρίσκονται στο διάστημα [02π]

22 Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x

α)) Να λυθεί η εξίσωση 2

( )2

f x

β) Να βρείτε την περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

( ) 2 (4 )g x f x

γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει ( ) 1g x

23 Αν η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (x) = x2 + 3 είναι ίση με την μέγιστη τιμή της

συνάρτησης g(x) = αημ(βπx) α β gt 0 και η g είναι περιοδική με περίοδο Τ = 2

α να βρείτε τα α και β

β να δείξετε ότι 1 9

05 5

g g

24 Έστω η συνάρτηση x 1

f (x)x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β Να λύσετε την εξίσωση f (x) x

γ Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

25 Έστω συνάρτηση f με π

αημ 2 β6

f x x

α β Αν η γραφική παράσταση της

συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία π

Α 3 Β 0 06

τότε

α) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α β

β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό

της

γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση

του ημιτόνου και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας

δ) Να λύσετε την εξίσωση 3π

64

f x

26 Δίνεται η συνάρτηση ( )4

xf x a

όπου R Αν γνωρίζετε ότι η γραφική

παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0-2) και 4

τότε

α) να αποδείξετε ότι α=-2 και β=2

β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1

27 Η συνάρτηση f(x)=α+β∙συν2x με βgt0 έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφική της παράσταση

Διέρχεται από το σημείο Μ(3

-5)

α) Να βρείτε τα α και β

β) Για α=-2 και β=6

i Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f

ii Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f

iii Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει την ελάχιστη και τη

μέγιστη τιμή της

ivΝα βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με την ευθεία

y=1

28 Δίνεται η συνάρτηση 22 3f x x x

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

β) Αν 2

f x f x

και 4

x k

k να αποδείξετε ότι

i 1

2x x ii

3

8x x

29 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

2 2 1

2 1

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να λύσετε την εξίσωση 1f x

6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

30 Δίνεται η συνάρτηση 1 1

1 1

f x x xx x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να λύσετε την εξίσωση 2f x στο διάστημα 0

31 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 f x x και g x x 0

Αν οι συναρτήσεις fg έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο τότε

α) να αποδείξετε ότι 1

β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 4

f g

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 f x g x στο διάστημα 2

32 Η συνάρτηση f x x έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο 34

α) Να βρείτε τα ρ ω

β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 6

f x f x

33 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x

α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f

β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 3

0 4 2 4

x

και να σχεδιάσετε την γραφική

παράσταση της f για 0 x

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 5

2y

δ) Να λύσετε την εξίσωση 2

2 4 0f x f x

34 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βημ2x διέρχεται από τα σημεία

31

M 212

και 53

412

τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f

γ) να λύσετε την εξίσωση f(x)=1

δ) να Λύσετε την εξίσωση 3

f (x) f x4

ε) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [02π]

35 Έστω η συνάρτηση f (x) = (α - β)συνγx α gt β γ gt 0

Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 4 η f έχει μέγιστο το 2α και περίοδο Τ = π

α) να βρείτε τα α β γ και την f

β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f

7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2

πx είναι άρτια

36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR

α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)

β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR

γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0

Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2

lt χ π

Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x

37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της

β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f

γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x

38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx

α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α

β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4

x πf f x

39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x

α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

δ) Να λύσετε την εξίσωση

f x f x4

στο διάστημα 0

ε) Να αποδείξετε ότι 13

log2 log 3log log1284 12 12

f f f

στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα

x f4

και

x f12

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x

α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ

β) Για λ=1

i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)

ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3

iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ

βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3

8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x

α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα

β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια

γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η

γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x

42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2

α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης

β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)

γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2

είναι 2x -1 να βρείτε

i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2

ii το πολυώνυμο Ρ(x)

43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι

περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3

α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0

β) Να βρείτε το Ρ(-2)

γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x

44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε

α) τα Ρ(0) και Ρ(1)

β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x

45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1

α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών

του Q(x)

β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός

46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του

οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2

α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x

β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2

2 2 2x x x

47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2

+λ) +κx2

+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3

α) Να βρείτε τα κ λ

β) Αν κ=-1 και λmdash5

i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8

48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2

α) Να βρείτε το α

β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0

49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β

α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4

β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0

γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0

9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x

α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1

β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0

51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30

10 20 30P x x x x

α) Να βρείτε το βαθμό του

β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x

γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x

52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2

3 2

3 3 6

2 3 3 2

x x

x x x

α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της g(x) =x2

53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6

α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ

β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από

τον άξονα χ΄χ

54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ

55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2

είναι το υ(x) = 5x + 8

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8

56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε

α) να βρείτε το α

β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ

να ισχύει υ gt -4

57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς

ακέραιους

α) να βρείτε τα α και β

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0

10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα

σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε

α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ

β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η

γραφική παράσταση της f(x)

α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ

β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ

60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το

x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β

β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=7

2

i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0

ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την

ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης

iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x

63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2

α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0

β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε

i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y

ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ

64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει

3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5

β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4

i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

α) με τον άξονα y΄y

β) με την ευθεία y=2

ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)

είναι πάνω από την ευθεία y=2

65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0

β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x

66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3

32 3

xx

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3

67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους

συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα

α να βρείτε τα θ και α

β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

68 Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) 3

x

f x

όπου x πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x

69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2

( )3

x

f x

α) να ορίζεται σε όλο το R

β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R

δ) να είναι 1-1

70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x

f x

για κάθε x

α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα

β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f

i Nα υπολογίσετε το α

ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x

71 Δίνεται η συνάρτηση 6

( )4 9

x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθεί η εξίσωση 12

( ) (0)13

f x f

72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x

f x για κάθε x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x

δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2

2 2 24( )

4 6 2 8

x x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα δείξετε ότι 6

( ) 122 2

xf x x R

γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3

( )7

f x

δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x

g x f a να είναι σταθερή στο

R

ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6

( )( )

h xf x

74 Δίνεται η συνάρτηση 2

( )1

x

f x

α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του

β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2

2

2( )

3 4 2f x

γ) Αν 1 1

3 3

να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )

x x x xf f e

δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Α(f(0)3)

ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και

h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x

στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

( 4)( ( ) 4)(x)

(3 3 )( ( ) 2)x

x f x

e f x

75 Δίνεται η συνάρτηση ln3

f x x k

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Αν 2

ln 16

f

να βρείτε το k

γ) Αν 1k τότε

i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36

x f f

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 5: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

25 Έστω συνάρτηση f με π

αημ 2 β6

f x x

α β Αν η γραφική παράσταση της

συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία π

Α 3 Β 0 06

τότε

α) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α β

β) Να προσδιορίσετε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό

της

γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση

του ημιτόνου και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας

δ) Να λύσετε την εξίσωση 3π

64

f x

26 Δίνεται η συνάρτηση ( )4

xf x a

όπου R Αν γνωρίζετε ότι η γραφική

παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0-2) και 4

τότε

α) να αποδείξετε ότι α=-2 και β=2

β) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1

27 Η συνάρτηση f(x)=α+β∙συν2x με βgt0 έχει μέγιστη τιμή το 4 και η γραφική της παράσταση

Διέρχεται από το σημείο Μ(3

-5)

α) Να βρείτε τα α και β

β) Για α=-2 και β=6

i Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f

ii Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f

iii Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει την ελάχιστη και τη

μέγιστη τιμή της

ivΝα βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με την ευθεία

y=1

28 Δίνεται η συνάρτηση 22 3f x x x

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

β) Αν 2

f x f x

και 4

x k

k να αποδείξετε ότι

i 1

2x x ii

3

8x x

29 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

2 2 1

2 1

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να λύσετε την εξίσωση 1f x

6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

30 Δίνεται η συνάρτηση 1 1

1 1

f x x xx x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να λύσετε την εξίσωση 2f x στο διάστημα 0

31 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 f x x και g x x 0

Αν οι συναρτήσεις fg έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο τότε

α) να αποδείξετε ότι 1

β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 4

f g

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 f x g x στο διάστημα 2

32 Η συνάρτηση f x x έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο 34

α) Να βρείτε τα ρ ω

β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 6

f x f x

33 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x

α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f

β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 3

0 4 2 4

x

και να σχεδιάσετε την γραφική

παράσταση της f για 0 x

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 5

2y

δ) Να λύσετε την εξίσωση 2

2 4 0f x f x

34 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βημ2x διέρχεται από τα σημεία

31

M 212

και 53

412

τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f

γ) να λύσετε την εξίσωση f(x)=1

δ) να Λύσετε την εξίσωση 3

f (x) f x4

ε) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [02π]

35 Έστω η συνάρτηση f (x) = (α - β)συνγx α gt β γ gt 0

Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 4 η f έχει μέγιστο το 2α και περίοδο Τ = π

α) να βρείτε τα α β γ και την f

β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f

7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2

πx είναι άρτια

36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR

α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)

β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR

γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0

Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2

lt χ π

Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x

37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της

β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f

γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x

38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx

α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α

β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4

x πf f x

39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x

α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

δ) Να λύσετε την εξίσωση

f x f x4

στο διάστημα 0

ε) Να αποδείξετε ότι 13

log2 log 3log log1284 12 12

f f f

στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα

x f4

και

x f12

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x

α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ

β) Για λ=1

i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)

ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3

iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ

βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3

8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x

α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα

β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια

γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η

γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x

42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2

α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης

β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)

γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2

είναι 2x -1 να βρείτε

i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2

ii το πολυώνυμο Ρ(x)

43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι

περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3

α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0

β) Να βρείτε το Ρ(-2)

γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x

44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε

α) τα Ρ(0) και Ρ(1)

β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x

45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1

α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών

του Q(x)

β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός

46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του

οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2

α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x

β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2

2 2 2x x x

47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2

+λ) +κx2

+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3

α) Να βρείτε τα κ λ

β) Αν κ=-1 και λmdash5

i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8

48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2

α) Να βρείτε το α

β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0

49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β

α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4

β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0

γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0

9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x

α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1

β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0

51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30

10 20 30P x x x x

α) Να βρείτε το βαθμό του

β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x

γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x

52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2

3 2

3 3 6

2 3 3 2

x x

x x x

α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της g(x) =x2

53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6

α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ

β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από

τον άξονα χ΄χ

54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ

55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2

είναι το υ(x) = 5x + 8

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8

56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε

α) να βρείτε το α

β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ

να ισχύει υ gt -4

57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς

ακέραιους

α) να βρείτε τα α και β

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0

10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα

σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε

α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ

β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η

γραφική παράσταση της f(x)

α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ

β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ

60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το

x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β

β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=7

2

i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0

ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την

ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης

iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x

63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2

α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0

β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε

i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y

ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ

64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει

3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5

β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4

i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

α) με τον άξονα y΄y

β) με την ευθεία y=2

ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)

είναι πάνω από την ευθεία y=2

65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0

β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x

66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3

32 3

xx

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3

67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους

συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα

α να βρείτε τα θ και α

β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

68 Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) 3

x

f x

όπου x πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x

69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2

( )3

x

f x

α) να ορίζεται σε όλο το R

β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R

δ) να είναι 1-1

70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x

f x

για κάθε x

α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα

β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f

i Nα υπολογίσετε το α

ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x

71 Δίνεται η συνάρτηση 6

( )4 9

x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθεί η εξίσωση 12

( ) (0)13

f x f

72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x

f x για κάθε x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x

δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2

2 2 24( )

4 6 2 8

x x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα δείξετε ότι 6

( ) 122 2

xf x x R

γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3

( )7

f x

δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x

g x f a να είναι σταθερή στο

R

ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6

( )( )

h xf x

74 Δίνεται η συνάρτηση 2

( )1

x

f x

α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του

β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2

2

2( )

3 4 2f x

γ) Αν 1 1

3 3

να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )

x x x xf f e

δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Α(f(0)3)

ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και

h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x

στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

( 4)( ( ) 4)(x)

(3 3 )( ( ) 2)x

x f x

e f x

75 Δίνεται η συνάρτηση ln3

f x x k

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Αν 2

ln 16

f

να βρείτε το k

γ) Αν 1k τότε

i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36

x f f

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 6: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

30 Δίνεται η συνάρτηση 1 1

1 1

f x x xx x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να λύσετε την εξίσωση 2f x στο διάστημα 0

31 Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2 f x x και g x x 0

Αν οι συναρτήσεις fg έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο τότε

α) να αποδείξετε ότι 1

β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης 3 4

f g

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 f x g x στο διάστημα 2

32 Η συνάρτηση f x x έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο 34

α) Να βρείτε τα ρ ω

β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 6

f x f x

33 Δίνεται η συνάρτηση 2 2f x x x

α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f

β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 3

0 4 2 4

x

και να σχεδιάσετε την γραφική

παράσταση της f για 0 x

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία 5

2y

δ) Να λύσετε την εξίσωση 2

2 4 0f x f x

34 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βημ2x διέρχεται από τα σημεία

31

M 212

και 53

412

τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f

γ) να λύσετε την εξίσωση f(x)=1

δ) να Λύσετε την εξίσωση 3

f (x) f x4

ε) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα [02π]

35 Έστω η συνάρτηση f (x) = (α - β)συνγx α gt β γ gt 0

Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 4 η f έχει μέγιστο το 2α και περίοδο Τ = π

α) να βρείτε τα α β γ και την f

β) να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f

7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2

πx είναι άρτια

36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR

α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)

β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR

γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0

Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2

lt χ π

Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x

37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της

β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f

γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x

38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx

α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α

β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4

x πf f x

39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x

α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

δ) Να λύσετε την εξίσωση

f x f x4

στο διάστημα 0

ε) Να αποδείξετε ότι 13

log2 log 3log log1284 12 12

f f f

στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα

x f4

και

x f12

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x

α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ

β) Για λ=1

i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)

ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3

iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ

βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3

8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x

α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα

β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια

γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η

γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x

42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2

α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης

β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)

γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2

είναι 2x -1 να βρείτε

i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2

ii το πολυώνυμο Ρ(x)

43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι

περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3

α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0

β) Να βρείτε το Ρ(-2)

γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x

44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε

α) τα Ρ(0) και Ρ(1)

β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x

45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1

α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών

του Q(x)

β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός

46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του

οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2

α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x

β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2

2 2 2x x x

47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2

+λ) +κx2

+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3

α) Να βρείτε τα κ λ

β) Αν κ=-1 και λmdash5

i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8

48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2

α) Να βρείτε το α

β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0

49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β

α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4

β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0

γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0

9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x

α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1

β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0

51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30

10 20 30P x x x x

α) Να βρείτε το βαθμό του

β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x

γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x

52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2

3 2

3 3 6

2 3 3 2

x x

x x x

α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της g(x) =x2

53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6

α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ

β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από

τον άξονα χ΄χ

54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ

55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2

είναι το υ(x) = 5x + 8

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8

56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε

α) να βρείτε το α

β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ

να ισχύει υ gt -4

57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς

ακέραιους

α) να βρείτε τα α και β

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0

10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα

σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε

α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ

β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η

γραφική παράσταση της f(x)

α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ

β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ

60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το

x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β

β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=7

2

i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0

ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την

ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης

iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x

63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2

α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0

β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε

i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y

ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ

64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει

3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5

β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4

i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

α) με τον άξονα y΄y

β) με την ευθεία y=2

ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)

είναι πάνω από την ευθεία y=2

65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0

β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x

66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3

32 3

xx

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3

67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους

συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα

α να βρείτε τα θ και α

β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

68 Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) 3

x

f x

όπου x πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x

69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2

( )3

x

f x

α) να ορίζεται σε όλο το R

β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R

δ) να είναι 1-1

70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x

f x

για κάθε x

α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα

β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f

i Nα υπολογίσετε το α

ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x

71 Δίνεται η συνάρτηση 6

( )4 9

x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθεί η εξίσωση 12

( ) (0)13

f x f

72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x

f x για κάθε x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x

δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2

2 2 24( )

4 6 2 8

x x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα δείξετε ότι 6

( ) 122 2

xf x x R

γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3

( )7

f x

δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x

g x f a να είναι σταθερή στο

R

ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6

( )( )

h xf x

74 Δίνεται η συνάρτηση 2

( )1

x

f x

α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του

β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2

2

2( )

3 4 2f x

γ) Αν 1 1

3 3

να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )

x x x xf f e

δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Α(f(0)3)

ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και

h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x

στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

( 4)( ( ) 4)(x)

(3 3 )( ( ) 2)x

x f x

e f x

75 Δίνεται η συνάρτηση ln3

f x x k

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Αν 2

ln 16

f

να βρείτε το k

γ) Αν 1k τότε

i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36

x f f

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 7: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f2

πx είναι άρτια

36 Α Δίνεται η παράσταση f(x) = ημ2x -2συνx +2 χ εR

α) Να κάνετε γινόμενο την f(x)

β) Να δείξετε ότι f(x) 0 x εR

γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες f(x) = 0

Β Δίνεται η εξίσωση 23 x ( 3 1) x 1 0 με 2

lt χ π

Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του x

37 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της

β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f

γ) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+συν2x=3+ημ2x

38 Έστω η συνάρτηση f (x) = α + εφ2πx

α) Αν η Cf τέμνει τον άξονα yy στο 2 να βρείτε το α

β) Για α = 2 να λύσετε την εξίσωση 02 4

x πf f x

39 Δίνεται η συνάρτηση 2 2 1 f x x x

α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

δ) Να λύσετε την εξίσωση

f x f x4

στο διάστημα 0

ε) Να αποδείξετε ότι 13

log2 log 3log log1284 12 12

f f f

στ) Να βρείτε τα για τα οποία το πολυώνυμο 3 2P x x 6x x έχει παράγοντες τα

x f4

και

x f12

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

40 Δίνεται το πολυώνυμο 3 3 2 2( 4 ) ( 2 ) 2 λx x x

α) Να βρείτε το βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ

β) Για λ=1

i να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σημείο Α(1-3)

ii να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Ρ με την ευθεία y=-3

iii να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ

βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=-3

8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x

α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα

β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια

γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η

γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x

42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2

α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης

β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)

γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2

είναι 2x -1 να βρείτε

i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2

ii το πολυώνυμο Ρ(x)

43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι

περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3

α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0

β) Να βρείτε το Ρ(-2)

γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x

44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε

α) τα Ρ(0) και Ρ(1)

β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x

45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1

α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών

του Q(x)

β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός

46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του

οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2

α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x

β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2

2 2 2x x x

47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2

+λ) +κx2

+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3

α) Να βρείτε τα κ λ

β) Αν κ=-1 και λmdash5

i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8

48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2

α) Να βρείτε το α

β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0

49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β

α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4

β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0

γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0

9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x

α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1

β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0

51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30

10 20 30P x x x x

α) Να βρείτε το βαθμό του

β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x

γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x

52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2

3 2

3 3 6

2 3 3 2

x x

x x x

α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της g(x) =x2

53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6

α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ

β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από

τον άξονα χ΄χ

54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ

55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2

είναι το υ(x) = 5x + 8

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8

56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε

α) να βρείτε το α

β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ

να ισχύει υ gt -4

57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς

ακέραιους

α) να βρείτε τα α και β

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0

10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα

σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε

α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ

β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η

γραφική παράσταση της f(x)

α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ

β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ

60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το

x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β

β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=7

2

i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0

ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την

ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης

iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x

63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2

α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0

β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε

i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y

ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ

64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει

3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5

β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4

i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

α) με τον άξονα y΄y

β) με την ευθεία y=2

ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)

είναι πάνω από την ευθεία y=2

65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0

β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x

66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3

32 3

xx

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3

67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους

συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα

α να βρείτε τα θ και α

β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

68 Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) 3

x

f x

όπου x πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x

69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2

( )3

x

f x

α) να ορίζεται σε όλο το R

β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R

δ) να είναι 1-1

70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x

f x

για κάθε x

α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα

β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f

i Nα υπολογίσετε το α

ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x

71 Δίνεται η συνάρτηση 6

( )4 9

x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθεί η εξίσωση 12

( ) (0)13

f x f

72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x

f x για κάθε x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x

δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2

2 2 24( )

4 6 2 8

x x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα δείξετε ότι 6

( ) 122 2

xf x x R

γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3

( )7

f x

δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x

g x f a να είναι σταθερή στο

R

ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6

( )( )

h xf x

74 Δίνεται η συνάρτηση 2

( )1

x

f x

α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του

β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2

2

2( )

3 4 2f x

γ) Αν 1 1

3 3

να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )

x x x xf f e

δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Α(f(0)3)

ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και

h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x

στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

( 4)( ( ) 4)(x)

(3 3 )( ( ) 2)x

x f x

e f x

75 Δίνεται η συνάρτηση ln3

f x x k

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Αν 2

ln 16

f

να βρείτε το k

γ) Αν 1k τότε

i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36

x f f

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 8: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

41 Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 28 5 1 8 3 6 αx x x x x

α) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 ndash 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα

β) Να βρείτε τη τιμή του α ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια

γ) Για 3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η

γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x

42 Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x2 + 2x είναι 3x - 2

α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης

β Να βρείτε τα Ρ(0) και Ρ(-2)

γ Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 ndash 2

είναι 2x -1 να βρείτε

i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x2-2

ii το πολυώνυμο Ρ(x)

43 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = x3 ndash 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι

περιττή και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x-2 είναι3

α) Να δείξετε ότι Ρ(0) = 0

β) Να βρείτε το Ρ(-2)

γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x3 ndash 4x

44 Αν για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύει P(x)-2P(1-x) = 4x2-1 να βρείτε

α) τα Ρ(0) και Ρ(1)

β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο 2x2 ndash 2x

45 Έστω τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) = Ρ2 (x) - 4Ρ(x) + x2 +1

α)Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ(x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών

του Q(x)

β) Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 2 είναι θετικός αριθμός

46 Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το 2x 1 έχει ρίζα το 0 και του

οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2

α) Να αποδείξετε ότι 3(x) x x

β) Να λύσετε την ανίσωση 3 2

2 2 2x x x

47 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x(x2

+λ) +κx2

+5 με παράγοντα το x-1 και P(-2)=3

α) Να βρείτε τα κ λ

β) Αν κ=-1 και λmdash5

i Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

ii Nα λύσετε την ανίσωση P(x)8

48 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = α3x3 + 5α2x2 - 10αx - 104 έχει παράγοντα το x - 2

α) Να βρείτε το α

β) Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) gt 0

49 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+αx-α +β

α) Αν έχει παράγοντες το x-2 και το x να δείξετε ότι α=β=-4

β) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να λυθεί η εξίσωση Ρ(x)=0

γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x)gt0

9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x

α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1

β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0

51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30

10 20 30P x x x x

α) Να βρείτε το βαθμό του

β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x

γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x

52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2

3 2

3 3 6

2 3 3 2

x x

x x x

α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της g(x) =x2

53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6

α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ

β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από

τον άξονα χ΄χ

54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ

55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2

είναι το υ(x) = 5x + 8

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8

56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε

α) να βρείτε το α

β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ

να ισχύει υ gt -4

57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς

ακέραιους

α) να βρείτε τα α και β

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0

10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα

σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε

α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ

β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η

γραφική παράσταση της f(x)

α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ

β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ

60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το

x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β

β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=7

2

i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0

ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την

ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης

iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x

63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2

α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0

β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε

i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y

ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ

64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει

3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5

β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4

i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

α) με τον άξονα y΄y

β) με την ευθεία y=2

ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)

είναι πάνω από την ευθεία y=2

65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0

β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x

66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3

32 3

xx

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3

67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους

συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα

α να βρείτε τα θ και α

β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

68 Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) 3

x

f x

όπου x πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x

69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2

( )3

x

f x

α) να ορίζεται σε όλο το R

β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R

δ) να είναι 1-1

70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x

f x

για κάθε x

α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα

β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f

i Nα υπολογίσετε το α

ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x

71 Δίνεται η συνάρτηση 6

( )4 9

x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθεί η εξίσωση 12

( ) (0)13

f x f

72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x

f x για κάθε x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x

δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2

2 2 24( )

4 6 2 8

x x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα δείξετε ότι 6

( ) 122 2

xf x x R

γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3

( )7

f x

δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x

g x f a να είναι σταθερή στο

R

ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6

( )( )

h xf x

74 Δίνεται η συνάρτηση 2

( )1

x

f x

α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του

β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2

2

2( )

3 4 2f x

γ) Αν 1 1

3 3

να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )

x x x xf f e

δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Α(f(0)3)

ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και

h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x

στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

( 4)( ( ) 4)(x)

(3 3 )( ( ) 2)x

x f x

e f x

75 Δίνεται η συνάρτηση ln3

f x x k

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Αν 2

ln 16

f

να βρείτε το k

γ) Αν 1k τότε

i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36

x f f

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 9: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

50 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 2 9 10 3P x x x x

α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης με το 2x+1

β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) le 0

51 Δίνεται το πολυώνυμο 20 30

10 20 30P x x x x

α) Να βρείτε το βαθμό του

β) Να λύσετε την εξίσωση 0P x

γ) Να λύσετε την εξίσωση 10P x x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 0P x

52 Έστω η συνάρτηση f(x) = 2

3 2

3 3 6

2 3 3 2

x x

x x x

α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της g(x) =x2

53 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6x2+11x-6

α Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) με τον άξονα χ΄χ

β Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από

τον άξονα χ΄χ

54 Αν το πολυώνυμο x2 - 2 διαιρεί το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 ndash 2x2 - αx + β

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χχ

55 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x5 + 3x2 + αx + β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2-2

είναι το υ(x) = 5x + 8

α) Να βρείτε τα α και β

β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x2 - 2

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

Ρ(x) βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x + 8

56 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3-αx-2 αR Αν το Ρ(x) έχει ρίζα άρτιο θετικό ακέραιο τότε

α) να βρείτε το α

β) για α = 3 να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ

να ισχύει υ gt -4

57 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 - αx3 + βx2 - 2 α β RΑν το Ρ(x) έχει ρίζες δύο περιττούς

ακέραιους

α) να βρείτε τα α και β

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) ge 0

10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα

σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε

α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ

β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η

γραφική παράσταση της f(x)

α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ

β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ

60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το

x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β

β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=7

2

i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0

ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την

ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης

iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x

63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2

α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0

β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε

i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y

ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ

64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει

3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5

β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4

i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

α) με τον άξονα y΄y

β) με την ευθεία y=2

ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)

είναι πάνω από την ευθεία y=2

65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0

β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x

66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3

32 3

xx

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3

67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους

συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα

α να βρείτε τα θ και α

β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

68 Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) 3

x

f x

όπου x πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x

69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2

( )3

x

f x

α) να ορίζεται σε όλο το R

β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R

δ) να είναι 1-1

70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x

f x

για κάθε x

α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα

β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f

i Nα υπολογίσετε το α

ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x

71 Δίνεται η συνάρτηση 6

( )4 9

x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθεί η εξίσωση 12

( ) (0)13

f x f

72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x

f x για κάθε x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x

δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2

2 2 24( )

4 6 2 8

x x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα δείξετε ότι 6

( ) 122 2

xf x x R

γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3

( )7

f x

δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x

g x f a να είναι σταθερή στο

R

ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6

( )( )

h xf x

74 Δίνεται η συνάρτηση 2

( )1

x

f x

α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του

β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2

2

2( )

3 4 2f x

γ) Αν 1 1

3 3

να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )

x x x xf f e

δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Α(f(0)3)

ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και

h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x

στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

( 4)( ( ) 4)(x)

(3 3 )( ( ) 2)x

x f x

e f x

75 Δίνεται η συνάρτηση ln3

f x x k

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Αν 2

ln 16

f

να βρείτε το k

γ) Αν 1k τότε

i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36

x f f

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 10: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

58 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x) x x 2 x 2 3 διέρχεται από τα

σημεία Α(16) και Β(-112)Να βρείτε

α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ

β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες

59 Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 2 9 18f x x x x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η

γραφική παράσταση της f(x)

α) βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄ χ

β) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄ χ

60 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 1) 3 2 6P x ax x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α)Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το

x+1 είναι ίσο με 2 να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

61 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) 3 (2 1) 2P x x ax x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με 20να βρείτε τα α και β

β) Aν α=8 και β=4 να βρείτε

i) τα σημεία στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) τέμνει τον άξονα χ΄χ

ii) τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

62 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( 3) (2 1) 2P x x a x x όπου α β πραγματικοί αριθμοί

α) Αν ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

Ρ(x) με το 1x είναι ίσο με -18να βρείτε τα α και β

β) Aν α=2 και β=7

2

i) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) =0

ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) με το πολυώνυμο x2+1 και να γραφεί το Ρ(x) με την

ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης

iii) Να λυθεί η ανίσωση ( ) 7 1P x x

63 Έστω πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+βx+4 με αβ R το οποίο έχει παράγοντες τους x+1x-2

α) Να αποδείξετε ότι α=-3 και β=0

β) Για τις παραπάνω τιμές των α β να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

γ) Έστω C η γραφική παράσταση συνάρτησης f(x)=P(x) με α=-3 και β=0 να βρείτε

i το σημείο τομής της C με τον άξονα y΄y

ii τις τιμές του x για τις οποίες ή C είναι πάνω από τον χ΄χ

64 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) βαθμού 2 για το οποίο ισχύει

3 28( 1) ( ) (2 3) 52 8 6 16x P x x P x x x x για κάθε x

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι 2

α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5

β)Αν το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2

x 6x 5 είναι το Π(x)=x+4

i Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης P(x)

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

α) με τον άξονα y΄y

β) με την ευθεία y=2

ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)

είναι πάνω από την ευθεία y=2

65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0

β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x

66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3

32 3

xx

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3

67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους

συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα

α να βρείτε τα θ και α

β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

68 Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) 3

x

f x

όπου x πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x

69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2

( )3

x

f x

α) να ορίζεται σε όλο το R

β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R

δ) να είναι 1-1

70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x

f x

για κάθε x

α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα

β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f

i Nα υπολογίσετε το α

ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x

71 Δίνεται η συνάρτηση 6

( )4 9

x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθεί η εξίσωση 12

( ) (0)13

f x f

72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x

f x για κάθε x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x

δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2

2 2 24( )

4 6 2 8

x x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα δείξετε ότι 6

( ) 122 2

xf x x R

γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3

( )7

f x

δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x

g x f a να είναι σταθερή στο

R

ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6

( )( )

h xf x

74 Δίνεται η συνάρτηση 2

( )1

x

f x

α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του

β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2

2

2( )

3 4 2f x

γ) Αν 1 1

3 3

να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )

x x x xf f e

δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Α(f(0)3)

ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και

h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x

στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

( 4)( ( ) 4)(x)

(3 3 )( ( ) 2)x

x f x

e f x

75 Δίνεται η συνάρτηση ln3

f x x k

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Αν 2

ln 16

f

να βρείτε το k

γ) Αν 1k τότε

i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36

x f f

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 11: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

α) με τον άξονα y΄y

β) με την ευθεία y=2

ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)

είναι πάνω από την ευθεία y=2

65 α) Να λυθεί η εξίσωση y6-3y2+2 = 0

β) Να λυθεί η εξίσωση ημ6x = 1 - 3συν2x

66 Δίνεται η συνάρτηση f(x) =3

32 3

xx

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =3

67 Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = (3α - 1)x3 + x2ημπθ +1 θ (0 1) έχει θετικούς ακέραιους

συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα

α να βρείτε τα θ και α

β για α = 1 και θ = 12 να βρείτε το λ ώστε το Ρ(x) να έχει παράγοντα το x + λ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

68 Δίνεται η συνάρτηση 1

( ) 3

x

f x

όπου x πραγματικός αριθμός

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η ( )f x

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του η ( )f x είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν 7 να λύσετε την εξίσωση ( ) (2 ) 2f x f x

69 Να προσδιορισθεί ο αR ώστε η συνάρτηση 1 2

( )3

x

f x

α) να ορίζεται σε όλο το R

β) να είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ) να είναι γνησίως φθίνουσα στο R

δ) να είναι 1-1

70 Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x

f x

για κάθε x

α) Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα

β) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και (2) 4f

i Nα υπολογίσετε το α

ii Για 2a να λύσετε την ανίσωση ( 1) 8f x

71 Δίνεται η συνάρτηση 6

( )4 9

x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι άρτια

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθεί η εξίσωση 12

( ) (0)13

f x f

72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x

f x για κάθε x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x

δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2

2 2 24( )

4 6 2 8

x x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα δείξετε ότι 6

( ) 122 2

xf x x R

γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3

( )7

f x

δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x

g x f a να είναι σταθερή στο

R

ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6

( )( )

h xf x

74 Δίνεται η συνάρτηση 2

( )1

x

f x

α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του

β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2

2

2( )

3 4 2f x

γ) Αν 1 1

3 3

να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )

x x x xf f e

δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Α(f(0)3)

ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και

h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x

στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

( 4)( ( ) 4)(x)

(3 3 )( ( ) 2)x

x f x

e f x

75 Δίνεται η συνάρτηση ln3

f x x k

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Αν 2

ln 16

f

να βρείτε το k

γ) Αν 1k τότε

i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36

x f f

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 12: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθεί η εξίσωση 12

( ) (0)13

f x f

72 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 3 2x x

f x για κάθε x

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 4 6f x

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της ( ) ( 2014)g x f x

δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ

73 Δίνεται η συνάρτηση 1 2

2 2 24( )

4 6 2 8

x x

x xf x

για κάθε x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Nα δείξετε ότι 6

( ) 122 2

xf x x R

γ) Nα λυθεί η ανίσωση 3

( )7

f x

δ) Να βρείτε τις τιμές του έτσι ώστε η συνάρτηση ( ) ( )x

g x f a να είναι σταθερή στο

R

ε) Να λυθεί η εξίσωση h(x)+3h(x+1)=-f(3) όπου 6

( )( )

h xf x

74 Δίνεται η συνάρτηση 2

( )1

x

f x

α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του

β) Αν λ=1 να λυθεί η ανίσωση 2

2

2( )

3 4 2f x

γ) Αν 1 1

3 3

να λυθεί η ανίσωση 2 1(e 2 ) ( 2 )

x x x xf f e

δ) Να βρείτε τις τιμές το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο

Α(f(0)3)

ε) Για λ=0 να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και

h όπου ( ) 3 ( 1) 4g x f x ( ) (2 3) 5h x f x

στ) Για λ=0 να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

( 4)( ( ) 4)(x)

(3 3 )( ( ) 2)x

x f x

e f x

75 Δίνεται η συνάρτηση ln3

f x x k

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Αν 2

ln 16

f

να βρείτε το k

γ) Αν 1k τότε

i να λύσετε την εξίσωση ln 2ln 2 ln36

x f f

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 13: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

13 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ii να λύσετε την εξίσωση 1 1f x f x

e e

76 Δίνεται η συνάρτηση 1 ln 0 f x x x x

α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα

x΄x στο σημείο 10A

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 51

x xf e e x

γ) Αν 0 1 x να δείξετε ότι 0f x

δ) Να δείξετε ότι για κάθε 02

ισχύει ότι ln

e

77 Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 68f (x) ln

100 x

α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β Να λύσετε την εξίσωση f (x)e log50 log5

γ Να λύσετε την ανίσωση f(x) ge 0

78 Δίνεται η συνάρτηση 21( ) 2ln 4ln 1 0

4f x x a x a a

α Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η εξίσωση f(x)=0 να έχει διπλή ρίζα

β Να λυθεί η εξίσωση 2(0) ln 2ln 4f a a

γ Να λυθεί η ανίσωση 2( 2)ln( 2 )

8

afa e a a

79 Δίνεται η συνάρτηση 2x xf x ln e 4e 3 της οποίας η

γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f

με τον άξονα x x

γ) Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της

γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x x

80 Δίνεται η συνάρτηση 2log 11 9 18 2log 1 f x x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες

81 Δίνεται η συνάρτηση log log 1f x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την ανίσωση 0f x

δ) Να αποδείξετε ότι 3 101 2 1001 10001 log18f f f

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 14: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

82 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(ex - 1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα χ χ

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln2) και f(l)

δ) Να λυθεί η εξίσωση f(2x)-f(x) = f(1)

83 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(ex-2)-ln(ex-1)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να αποδείξετε ότι f(x)=ln (1-1

1xe

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=-ln2

δ) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=x

84 Δίνονται οι συναρτήσεις f g με τύπους f(x) = ln(ex minus 1 ) και g(x) = ln(ex + 2)

α Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β Να συγκρίνετε τις τιμές f(ln2) και g( minus1)

γ Να λύσετε την εξίσωση x + f(x) = ln2 + g(x)

85 Έστω η συνάρτηση f(x) = k +log(x2-3) k

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να υπολογίσετε την τιμή του k ώστε f(2)= log100

γ) Για k=2

i Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία

1

log1000

y

i i Nα λυθεί η ανίσωση f(x) gt2

86 Δίνονται οι συναρτήσεις 22log 2 1 log 3 2f x x x x και log 4 3 logg x x x

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λύσετε τις εξισώσεις i 0f x και ii 0g x

δ) Να αποδείξετε ότι 2 2log 2 1g

87 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 1

f(x)= +1+lnx 1-lnx

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xΑ ισχύει 1

f(x)=fx

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1

f(x)+f gt4x

88 Α Να λύσετε την εξίσωση y3 + y - 2 = 0 (1)

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 15: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Β Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 27x + 1

2middot 12x lnα2 -2∙8x lnα διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

α να αποδείξετε ότι α = e

β να βρείτε το διάστημα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx

89 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = (α - ln2)x3 - (2e - β)x + 3

ln2

Q(x) = (1 ndash lnβ)x3 - (2e - 2)x + 3

ln2

Αν τα πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) είναι ίσα

α Να βρείτε τα α και β

β να αποδείξετε ότι Ρ(-1)gt0

90 Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x3lnα + (2 - lnα)x2 + αlnβx +1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές

και αρνητική ακέραια ρίζα

α Να βρείτε τα α και β

β Για α = e και β = 1 να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f(x) = P(ex) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = ex + 3

91 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αlnx +β

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R αν γνωρίζετε ότι η γραφική της παράσταση

διέρχεται από τα σημεία Α(10) και B(e2)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)+f(2x)=61n2

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(2x+1)gt f(x)

ε) Να λυθεί το σύστημα x y

f (x) f (y) 2

e e

92 Έστω η συνάρτηση f (x) = x -1 + 2ln(αx) x gt0

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(1 0)

α) να βρείτε το α

β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0+)

γ) να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

93 Δίνεται η συνάρτηση 2

1( )

1

nxf x

n x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χ΄χ

γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία y =1

94 Δίνεται η f( x ) = log ( 102x ndash 10x )

α) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=( 0 + )

β) Να δειχθεί ότι f( x ) = x + log ( 10x ndash 1 )

γ) Να λυθεί η εξίσωση f( x ) = x

δ) Να λυθεί η ανίσωση f( x ) le x + 2log 2

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 16: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

95 Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 5 6

x xf x n e e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 2f x n

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 2 f x x n

96 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(3e2xshyex-2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της γραφικής παράστασης με τετμημένη ln2 και να

βρείτε τη θέση του σημείου ως προς τον άξονα χ΄χ

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=3x ως προς x

97 Δίνεται η συνάρτηση 1

( )1

x

x

ef x a

e που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο

A(ln2 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να αποδείξετε ότι α = 1

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

δ) Να λυθεί η ανίσωση f(x) gt 2

98 Δίνεται η συνάρτηση

11 2log( 1)

log( 1) 2( ) 10 100 80x

xf x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 10

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ψ = f(x) με την ευθεία ψ = x-20

99 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(ex - 2)

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

Β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(ln3 1) middot

α) να αποδείξετε ότι α = 1

β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα xx

γ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

100 Δίνεται η συνάρτηση

ln 3 11( )

ln 5

xf x

x

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2

γ) Αν x gt 6 να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 1

101 Δίνεται η συνάρτηση ln 1

( )ln 2

xg x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )f x g x

β) Να βρείτε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει και σε ποια σημεία τους

άξονες χ΄χ και y΄y

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 1x

f e

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 17: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

102 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2(x-1)+lnx

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=2(x-1)+(lnx)2

103 α) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + lnx ndash 5Να βρείτε το f(1) και να δείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα

β) Να λύσετε την εξίσωση 2x+ lnx = 5-3x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + lnx lt 5-2x

104 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2ln 1 x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι για κάθε x R f(x) + f(- x) = 0 και ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και f(- 1)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f(ex) gt x + ln3

105 Δίνεται η συνάρτηση 3

ln3

xf x

x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1

3f

δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 0f x f x

106 Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

100 10( ) ( )

10100

x xf x og g x og

xx

α) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών τους παραστάσεων

γ) Να λυθεί η ανισότητα f(x)gt0

107 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln 9 3 x x xe

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να δείξετε ότι f(1)lt0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από την ευθεία ε y= 2x + ln2

108 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x + 6x - 40

α) Να βρείτε το f(4)

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) =0

109 Έστω η συνάρτηση f (x) = 3x + 2ex-κ -1 που η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

σημείο Α(0 1)

α) Να βρείτε το κ

β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να λύσετε την εξίσωση 3x + 2ex = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση 3x + 2ex gt 2

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 18: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

110 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (ln 1)x

a

α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες

i η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

ii η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα

β) Για α = e3 να λύσετε την εξίσωση ln 2 ln 1 f εφx f σφx

111 Δίνεται η συνάρτηση 1

ln5

x

f x

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το

β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

στο

γ) Αν 11 να λύσετε την εξίσωση f f 1 6x x

112 Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x + ln(ex - 3)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να δείξετε ότι f(ln4) lt f(ln5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt lη2 + ln(ex - 2)

113 Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln( 1) x

f x x e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς log 2f και log5f

δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας

ln 2y

114 Δίνεται η συνάρτηση 4 2

log 8 log log 100 0f x x x x x

α) Αν f(10)=25 να δείξετε ότι α = 1

β) Για την τιμή α = 1 να

i δείξετε ότι η f(x) γράφεται στη μορφή 2

2log 4 logf x x x

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

115 Δίνονται οι συναρτήσεις ln x

f x e e και 1ln 2 2

xg x e

α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων fg

β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των fg δεν τέμνονται

γ) Να λύσετε την ανίσωση 1f x

116 Δίνονται οι συναρτήσεις x xf(x) ln e e

και x

g(x) ln ln e

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 2g(x

117 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x-ex-2) και g(x) = ln2+ln(ex-l)

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt g(x)

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 19: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

118 Δίνεται η συνάρτηση 2

1ln

5

x

x

ef x

e

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x)

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2

γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) gt 0

119 Έστω η συνάρτηση f(x) = log(225x-54x) και η ευθεία ε y = x + log3

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε

γ) Να δείξετε ότι το σημείο Α3 3

2 2

f βρίσκεται πάνω από το σημείο Β με τετμημένη 3

2

της ευθείας ε

120 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln 2 3 xf x και ( ) ln(2 3) xg x

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3) και g(3)

121 α) Να δείξετε ότι ln ln a για κάθε α β gt 0

β) Να λυθεί η ανίσωση 1

lnln 22 2 1

xx

γ) Έστω η συνάρτηση f(x) = ln xa Να βρείτε το α ώστε 5f (3) - 3f (5) gt 0

122 Δίνεται το πολυώνυμο 2 1 4 3 2 2( ) 1 ln ln 1f x e x x x x θ (0 π) το

οποίο είναι 3ου βαθμού και διαιρείται με το x-1

α) Να αποδείξετε ότι θ = 2

3

και κ =

1

e

β) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης [f(x)x2] είναι το ίδιο

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης f(x)

με την ευθεία (ε) y = 5x-5

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

123 Δίνεται το σύστημα 2x y 7

7x 2y 11

α) Να βρείτε τη λύση (x0y0) του συστήματος

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x x έχει κορυφή το σημείο Κ(x0y0)

i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ

ii) να λύσετε την ανίσωση f (x) 0

iii) να λύσετε το σύστημα y f (x)

x y 6

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 20: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

124 Το σύστημα ( 1)x 8y 4

x ( 3)y 3 1

έχει τη μοναδική λύση (x0y0) για την οποία ισχύει

0 0x y 1

α) Να βρείτε τον αριθμό λ

β) Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2 x 6

i Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον χ΄χ

iiΝα λύσετε το σύστημα y f (x)

2y f (x 1) 10x

125 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = α + βσυν2x διέρχεται από τα σημεία

Α(0 1) και Β 24

π τότε

α) να βρείτε τα α και β

β) να βρείτε την f

γ) να δείξετε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον yy

δ) να δείξετε ότι f (-x) - f4

πx = ημ2x - συν2x

126 Δίνεται το πολυώνυμο f (x) = 2x3 middot συν2θ - x3ημθ - x2 + 3eλ - 2

Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x και x - 1

α) να βρείτε τους λ και θ θ [0 2

π]

β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x - 1 όπου

P(x) = x∙f(3x-2) + (2-3x)21

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από

τον άξονα χ χ

127 Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = 8x3-4x2 + 2x-l

α) Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - συνθ θ 02

π να βρείτε το θ

β) Να λύσετε την ανίσωση f(lnx) lt 0

γ) Να βρείτε τα διαστήματα του χ που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την

ευθεία y = 10x - 5

128 Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) 2 1P x x x x

α) Αν έχει παράγοντα το 2

1x να βρείτε τα και

β) Για τις τιμές των και που βρήκατε να λύσετε την ανίσωση ( ) 0P x

γ) Για τις ίδιες τιμές των και να λύσετε την εξίσωση ( ) 0P x

129 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P x x x x α β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης

2 2P x x x είναι (x) 9x 3 τότε

α) να αποδείξετε ότι 3 και 3

β) να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης

P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα xrsquox

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 21: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

21 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) να λύσετε την ανίσωση 10 2 0xP

130 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 +αx3 +βx2 ndash2x + 4 όπου α βIR Το P(x) έχει παράγοντα το

x ndash 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1 είναι το 6

α) Να δείξετε ότι α = ndash1 και β = ndash2

β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) gt 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση συν4x ndashσυν3x + 2ημ2x ndash2συνx + 2 = 0 στο διάστημα [ndashπ

2 π)

131 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 1P x x x x που έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 8

α) Να αποδείξετε ότι 2 και 7

β) Να λύσετε την ανίσωση 0x

γ) Αν 2

x

να λύσετε την εξίσωση 3 22 7 2 3 0

132 To πολυώνυμο f(x)=x3+2αx2-βx-1 έχει παράγοντα το x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης

f (x) (x 1) είναι 4

α) Να βρείτε τις τιμές των α β R

β) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 2x x1e e

2

133 Δίνεται το πολυώνυμο 3 22 7P x x x x το οποίο έχει παράγοντα το 1x και το

υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 1x είναι 18

α) Να αποδείξετε ότι 7 και 2

β) Να λύσετε την εξίσωση 3 22 2 7 2 7 2 2 0x x x

γ) Να λύσετε την ανίσωση 2 8 7 4 7 2 2 0x x x

134 Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) (log 2) log 0P x x x k x k k

α) Να αποδείξετε ότι το 1x είναι παράγοντας του ( )P x

β) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το πολυώνυμο ( )P x έχει τρεις

πραγματικές ρίζες

γ) Για 10k να λύσετε

i την ανίσωση ( ) 0P x

ii την εξίσωση 2( ) [0 ]P x x x

135 Δίνεται το πολυώνυμο

4 3 22ln 1 2 0 0 x x x x x x

α) Αν το πολυώνυμο x είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το 1x να βρεθούν τα

β) Αν 3 2 1x x x x x να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0x

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 22: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

γ) Να λυθούν

i η εξίσωση 2 0 0 ό

ii η ανίσωση 2 ln 0

136 Δίνεται η συνάρτηση log 2 4 5 2 2x xf x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε στο διάστημα 0 2 την εξίσωση 2 0f x

137 Έστω η συνάρτηση ( ) ln 2 xf x ημ

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 στο (- π π)

138 Έστω η συνάρτηση f(x) = ημx + ex - 1

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α= 2 2

π π

β) Να βρείτε το f(0)

γ) Να λύσετε

i την εξίσωση ημx + ex=1 στο 2 2

π π

ii την ανίσωση ημx + ex lt1 στο 2 2

π π

139 Έστω η συνάρτηση f (x) = (3 ndash 2lnα)x

α) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως φθίνουσα

γ) Για α = e να λύσετε την εξίσωση f(2συν2θ)-f(2ημ2θ) = 3

140 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (2lnα - 1)x

α) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R

β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

γ) Αν α = e2 να βρείτε το θ ώστε 2 2 2 4( ) ( )

3 f συν θ ημ θ f συν θ

141 Δίνεται η συνάρτηση 2

log logf x x x

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 0f x

δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α β με ισχύει ότι f f να αποδείξετε ότι

10000

142 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(4x ndash 2)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει

μοναδικό κοινό σημείο με την ευθεία y = 1 ndash log5

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 23: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

-12

4 64 - 2 0

5 5

xx

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(2

x) = 1 + log

1-

124 6

4 - 25 5

xx

δ) Να λύσετε την εξίσωση ημ2x = f(5

2) + f(1) ndash f(

3

2)

143 Δίνεται το πολυώνυμο 1

4 2 1 3 225 2 3 25 1 λf x x x x x

α) Αν το (x ndash 1) είναι παράγοντας του f(x) να βρείτε το λ

β) Για 1

2

i να δείξετε ότι το (x -1)2 είναι παράγοντας του f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα x΄x

144 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (21lnκ - 1)x4 + x3 + (e - 1)x2 ndash e∙x +1 + 2ημθ θ (0 2π)

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) είναι 3ου βαθμού και έχει παράγοντα το x - 1

α) να βρείτε τα κ και θ

β) να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) lt 0

γ) να βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) με

f(x) = e3x+(e-1)e2x-ex+1 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

145 Δίνεται η συνάρτηση ln ln 3

( )ln ln

x

f x

με 3lt α lt β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο

σύνολο των πραγματικών αριθμών

α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ln και ln

β) Να αποδείξετε ότι 23

γ) Αν 6 και 24 τότε

i) να αποδείξετε ότι 1

( )2

x

f x

ii) να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα 22

f f f

δ)Να λυθεί η εξίσωση 2 2( ) ( ) 3f x f x

146 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x - 1 + lnx x gt 0

α) Να δείξετε ότι για κάθε x με 0 lt x lt 1 f(x) lt 0

β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x-1-ln2x

γ) Να λύσετε την ανίσωση f (ex) gt x + 2x -1

δ) Να δείξετε ότι για κάθε θ 02

lne

147 Δίνεται το πολυώνυμο f(x) όπου f(x) = x3-2x2lnα2 + 5xlnα-2 αgt0

α) Αν το x-1 είναι παράγοντας του f(x) τότε να βρείτε το α

β) Για α = e

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 24: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

i να δείξετε ότι το (x-1)2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου f(x)

ii να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής

συνάρτησης f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

148 Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(2 - ex)

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

β) Έστω ότι ο αριθμοί α = 2x β = f(x) γ = ln4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

i Να βρείτε το x

ii Αν ο αριθμός α είναι ο 3ος όρος της αριθμητικής προόδου να βρείτε ποιος όρος της προόδου

ισούται με 2ln2 + 5ln3

149 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +x2 + x + 2λ2 ndashλ +1

α) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση Ρ(x) (x -1 ) δεν είναι τέλεια

β) Αν υ(λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) (x -1 ) να βρεθεί το λ ώστε το υ(λ) να γίνεται

ελάχιστο και την ελάχιστη τιμή του υ(λ)

γ) Για την τιμή του λ που το υ(λ) γίνεται ελάχιστο

i να λύσετε την εξίσωση 425x-2λ-16x-2λ=48λx

ii να λύσετε την εξίσωση

2ln x 1ln

21

4 5 x2

αφού πρώτα αποδείξετε ότι

ln x ln 22 x

δ) Να λύσετε την ανίσωση 8 x 4 x 4 x 1 4 x 13 9 11 4 4

150 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = log(e2x-kex +λ) με f(0) = log2 f(ln6) = log12

α) Να δείξετε ότι κ = 5 και λ = 6

β) Αν κ = 5 και λ = 6

i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

ii Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 1minuslog(ex + 1)

iii Να δείξετε ότι οι αριθμοί f(ln5)minusf(0) f(ln5) f(ln6) είναι διαδοχικοί όροι

αριθμητικής προόδου

151 Αν το πολυώνυμο f(x) = x3 + 2αx2 - βx - 1 έχει παράγοντα το x - 1 και το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ(x)(x + 1) είναι 4

α) να βρείτε τους α και β

β) να λύσετε την εξίσωση 2συν4

βx- 2ημ2 x

2

= -2

γ) να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (αν) με α1 = α και

ω = β που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 150

δ) να λύσετε την εξίσωση β2lnx =5 + 4∙xln2α

152 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3+λx2+23x-15 (λR ) διέρχεται από το σημείο

Α(10)

α) Να βρεθεί ο λ R

β) Για ποιες τιμές του xR η ψ = f(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

γ) οι τετμημένες των σημείων στα οποία η ψ = f(x) τέμνει τον άξονα x΄x είναι κατά αύξουσα

τάξη οι 3 πρώτοι όροι μιας προόδου Αν το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι 400 να

βρεθεί ο ν

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων

Page 25: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ … · ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

153 α) Έστω η συνάρτηση f (x) = 2 middot 3x + 3x - 24

i να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το f(2)

ii να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0

β) Δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β έχουν αρχικά 24 και 2 βακτηρίδια αντίστοιχα

Η κοινωνία των βακτηριδίων Α μειώνεται σε αριθμό κάθε μια ώρα κατά 3 βακτηρίδια

Η κοινωνία των βακτηριδίων Β τριπλασιάζεται κάθε μία ώρα Να βρείτε μετά από πόσες

ώρες οι κοινωνίες των βακτηριδίων θα έχουν τον ίδιο αριθμό βακτηριδίων