ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄...

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Σελίδα 1 από 25

Επιμέλεια : Μπρέστας Σταύρος

17833

α) Πρέπει :

8 0 8

& 8 8

8 0 8

x x

x

x x

,άρα 8,8f .

β)

8,8 :

8,8 & 8 8 8 8

8 8

x

x f x x x x x

x x f x

γ) Γνησίως φθίνουσα είναι η III γραφική παράσταση.

Έχει μέγιστο στο -8 το 8 16 0 4f .

Έχει ελάχιστο στο 8 το 8 0 16 4f .




δ) Γραφικά :

Επειδή ηγραφική παράσταση της 3g x f x προκύπτει από αυτή

της f x με μετατόπιση 3 μονάδων κάτω δεν έχει κέντρο συμμετρίας το

0,0 , ούτε άξονα συμμετρίας τον y’y. Επίσης, επειδή ηγραφική

παράσταση της 3h x f x προκύπτει από αυτή της f x με

μετατόπιση 3 μονάδων αριστερά δεν έχει κέντρο συμμετρίας το 0,0

, ούτε άξονα συμμετρίας τον y’y.




17834

α) Έστω x η ηλικία της μητέρας, y η ηλικία του παιδιού και z η ηλικία

του πατέρα. Τότε ισχύει :

3

11

3

115

x y

z

y

x y z

β)

3

11 113 115 9 3 11 345 23 345

3 3

115

15

1115 55

3

45

x y

z y y y y y y y y

x y z

y

z

x

Άρα η ηλικία της μητέρας είναι 45 έτη, η ηλικία του παιδιού είναι 15 έτη

και η ηλικία του πατέρα είναι 55 έτη.




17835

α)

2 3

2 5 3

x y

x y

2 21 25 2 2 5 4 9 3 3

2 5D

3 2

15 3 2 15 3 6 9 3 3 33 5

xD

1 3

3 3 2 3 3 6 9 3 3 32 3

yD

0 3 3 0 3 3D

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Αν 0 3 & 3D

Έχουμε μοναδική λύση δηλαδή οι ευθείες τέμνονται.

Αν 0 3 3D

Για 3 0 & 0x yD D οι ευθείες ταυτίζονται.

Για 3 18 0 & 18 0x yD D οι ευθείες είναι παράλληλες.




β) Για 0 3 & 3D

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

x

y

Dx

D

Dy

D

δηλαδή οι ευθείες τέμνονται στο

3 3,3 3

.

γ)

3 3 3 3, : 2 3 2 33 3 3 3

3 33 3 1 3 3 0

3 3

x y




17837

α) max

max

1 3 1 311 3

2 43

f

f

2 20 2 1

42

4

β) 32

xf x

3 3 3 12 2

2 2

2 22 2 2 2

12 2

2 2 2 2

4 1 , .

x xf x

x

x x

x x

x




17838

α)

2

2 2

21,2

5 2 28 21 0 5 2 1 28 21 0

10 28 16 0 5 14 8 0

:

202 1 .

14 6 105 14 8 0

8 410

10 5

y

y y y

άρα 4

5

β) i)2

2 2 2 24 9 31 1

35 25 55

02

2 2

2 2 4 3 16 9 72

5 5 25 25 25

3 4 242 2 2

5 5 25

.

ii) 13 1 12 25

2524 7 18 17

18 1 2525 25

.




17839

α) 2 21 31 3 4 2 2

1 1D

3 33 3 9 3 6 3 2

3 1

1 33 3 3 3 6 3 2

1 3

x

y

D

D

Αν 0 2 2 0 2D το σύστημα έχει μοναδική λύση :

3 2 3

2 2 2

3 2 3

2 2 2

xo

y

o

Dx

D

Dy

D

άρα : o ox y .




β) Αν 0 2 2 0 2D .

Για 2 0 & 0x yD D άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

3 33 3 3 3

3 3

x yx y x y

x y

.

Επομένως οι άπειρες λύσεις είναι : , 3 3 , ,x y .

Για 2 12 0 & 12 0x yD D άρα το σύστημα είναι

αδύνατο. Δηλαδή δεν έχει λύση.

γ)

Για 3 το σύστημα έχει μοναδική λύση. Άρα οι ευθείες τέμνονται.

Για 2 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Άρα οι ευθείες

ταυτίζονται.

Για 2 το σύστημα είναι αδύνατο. Άρα οι ευθείες είναι

παράλληλες.




17840

α) 1 2

2 21

D

1 22

1 11 1

1

x

y

D

D

Αν 0 2 0 2D το σύστημα έχει μοναδική λύση :

2 2

1 1

2 2

x

y

Dx

D

Dy

D

Αν 0 2 0 2D 2 0 & 1 0x yD D είναι αδύνατο.

β) Για 1

11 011 & .0

0 0,21

x

y




γ) Για 1 1

1

1 1

3 3

2 2

3 3

x

y

αλλά

2 2

2 2 1 2 1 4 51 1 1 1

3 3 9 9 9

άτοπο.




17841




α) max min8 6 14 & 8 6 2h m h m

max 14 8 6 14 130 30

2 230 2 30 2 30 2

12 2 60 15 , .

30 2 30 2

t th t h h t

t t t

t tt

Αλλά 0 180t , άρα : 15 , 75 , 135t s t s t s

min 2 8 6 2 130 30

2 230 2 30 2 30 2

12 2 60 15 , .

30 2 30 2

t th t h h t

t t t

t tt

Αλλά 0 180t , άρα : 45 , 105 165t s t s t s

β) max min 14 2 126

2 2 2

h hR m

.

γ) 2 60

60

30

s

. Άρα θα κάνουν 3 γύρους.

δ)

t 0 15 30 45 60 75 90

h(t) 8 14 8 2 8 14 8




17842




α) 2 21 1

0 16 0 16 16 12 2

f c d c d και

21

4 0 4 0 22

f c d

2 2

22

2 2

22 2 2 2 2

2

1 116 16

1 1 12 2 4 162 1 1 2 2

4 0 42 2

4 32 16 8 32 16 8 32

8 48 6

1& 4 6 2

2

c d c d

c c

c d c d

c c c c c c c c

c c

d

Άρα 21

6 22

f x x

i.

2 210 6 2 0 6 4 6 2

2

8 4

f x x x x

x x

Άρα τέμνει τον x’x στο 8,0 και στο 4,0 .

Για 0x 21

0 0 6 2 18 2 162

f

Άρα τέμνει τον y’y στο 0,16 .




ii. Η f προκύπτει από τη g με μετατόπιση 6 μονάδες δεξιά και2

μονάδες κάτω.

iii. Η f έχει ελάχιστο στο 6 το 6 2f .

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , 6 και γνησίως αύξουσα στο

6, .




17843

α)

i. max min5 & 1f f

ii. 4

β) max

min

552 4 2 & 3 2 & 3

11

f

f

Από το σχήμα συμπεραίνουμε ότι : 2 & 3 .

2 14 4

2

.

γ) Για 1

3 22

f x x

, ισχύει :




7 1 7 1 3

3 2 32 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2 6

1 12 2 ,

2 6 2 6

54 4 ,

3 3

f x x x

x x

x x

x x

Αλλά από το σχήμα βλέπουμε 5 6x άρα : 5 17

43 3

x x

.




17844

α)

22

2 2 2 2

2 2 2

1 11 1

1 1

2 1 1 0 2 2 0 0 1

x y y xx x

x y x y

x x x x x x x

Για 0 1x y

Για 1 0x y

β)

2 2

0 & 1 11

1 & 0 21

0 20

11

x

0 21 3

10 2

x




17846

α)

x 0 4

2

3

4

5

4

3

2

7

4

2

f x 1 2

2

0 2

2

-1 2

2

0 2

2

1

g x 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1




β)

Από τη γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι έχουμε 4 λύσεις.

2 2 2 2 2 ,

22 1 2 ,

3

x x x x x x

x x

1

0,2 0 2 0 2 2

0 1

& 0 1

x x

άρα 0 0

1 2

x

x

2 2

0,2 0 2 0 2 0 2 63

0 3

& 0 1 2 3

x x

άρα

0 0

21

3

42

3

3 2

x

x

x

x

Δηλαδή 2 4

0 23 3

x x x x

.




17850

α) Έστω x η ηλικία από τα δίδυμα κορίτσια και y η ηλικία του αγοριού.

Τότε ισχύει :

1. 14 2 14 1

2. 24 2

3. 2 3

x x y x y

x y

x y

β)

2 21,2

2 141 2 14 24

2 14242 24

47 12 24 14 7 12 0

32

3 8

4 6 3 2

x yx y

xx y xy

x

x x x x x

x y

x y x y

Άρα τα δίδυμα κοριτσια είναι από 3 ετών και το αγόρι 8 ετών.




17852

α) Ισχύει : max min100 , 20 & 6sech cm h cm .

62

623

β) max

min

60100100 60

402020 40

h cm

h cm

( Επειδή η ταλάντωση γίνεται ( ελάχιστο – ηρεμία – μέγιστο – ηρεμία –

ελάχιστο 0 ). Άρα : 40

60

γ) Άρα 40 603

th t

14 6 2 2

14sec 14 40 60 40 603 3

2 2 140 2 2 60 40 60 40 60 20 60 80 .

3 3 2

t h

cm




17855

α) 2 8

8

4

h

β)

5 2

5 5 12 13 12 13 12 13 12 13 13 6 24 4 4 2

t f cm

8

8 8 12 13 12 2 13 12 2 13 12 0 13 134

t f cm

γ) min 12 13 1f cm

min 1 12 13 1 12 124 4

3 3 31 2 2

4 4 2 4 2 4 2

8 6 8 4 6

8 6 1 8 2 2 ,

t tf t f f t

t t t t

t t

t t

0 8

0 8

1 8 6 6sec

2 8 2 6sec

t

t

t t

t t

Άρα για 6sect έχουμε min 1f cm .

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄...

Documents

Transcript of ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄...