Από ψηφιακό σχολείο

Ταλαντώσεις Παμπέρης ∆ήμος, Φυσικός

-1-

Κινηματική και ∆υναμική Προσέγγιση Ταλάντωσης

ΘΕΜΑ Α

1. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και πραγματοποιεί 10 ταλαντώσεις σε χρόνο 5 s. Η συχνότητα ταλάντω-

σης του είναι:

a. 0,5 Hz b. 2 Hz c. 4π Hz d. 5 Hz

2. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και η συχνότητα με την οποία διέρχεται από τη θέση ισορροπίας είναι 0,5

Hz. Η περίοδος της Α.Α.Τ. είναι ίση με:

a. 1 s b. 2 s c. 0,5 s d. 4 s

3. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και μετά από τρεις πλήρεις ταλαντώσεις το συνολικό μήκος της διαδρομής

είναι 6m. Η απόσταση μεταξύ των ακραίων θέσεων είναι:

a. 1 m b. 2 m c. 0,5 m d. 6 m

4. Η περίοδος του ωροδείκτη ενός ρολογιού είναι:

a. 1 h b. 24 h c. 12 h d. 2 h

5. Η περιστροφή της γης γύρω από τον άξονά της είναι: Επιλέξτε τουλάχιστον μία απάντηση.

a. Περιοδική κίνηση

b. Ταλάντωση

c. Περιοδικό φαινόμενο

d. Γραμμική Ταλάντωση

6. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και ο χρόνος για να μεταβεί από τη Θέση Ισορροπίας σε μία ακραία θέση

είναι 0,25 s. Η γωνιακή συχνότητα είναι:

a. 2π rad/s b. 8π rad/s c. 0,5π rad/s d. π rad/s

7. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και τη χρονική στιγμή t=0 είναι στη θέση x=-A. Η επιτάχυνση του θα πά-

ρει την τιμή α=+αmax μετά από χρόνο:

a. Τ/4 b. Τ c. Τ/2 d. 3Τ/4

8. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με α<0 και επιβραδύνεται. Το σώμα κινείται:

a. Από τη θέση x=0 στη θέση x=-A

b. Από τη θέση x=0 στη θέση x=+A

c. Από τη θέση x=+A στη θέση x=0

d. Από τη θέση x=-A στη θέση χ=0

9. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις μας δίνει το πλάτος της ταχύτητας σε μία Α.Α.Τ.

a. υmax=ω2∙Α

b. υmax=2πΤΑ

c. υmax=2πΑ

d. υmax=2πfΑ


10. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και κινείται από τη Θέση Ισορροπίας σε μία από τις ακραίες θέσεις με θετι-

κή ταχύτητα. Η επιτάχυνση του σώματος είναι:

a. α>0 b. α<0 c. α=0 d. α=+αmax

11. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και διέρχεται από μία θέση της τροχιάς του στην οποία η ταχύτητα είναι

μέγιστη. Η δύναμη επαναφοράς σε αυτή τη θέση είναι:

a. F=Fmax b. F=0 c. F=-Fmax d. F<0

12. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Το διάγραμμα επιτάχυνσης-

χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Τη χρονική στιγμή

t1:

a. x=0

b. u=-umax

c. F=-Fmax

d. x=-A

13. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η σταθερά επαναφοράς του D υπολογίζεται από τη σχέση:

a. D=mω b. D=f/α c. D=m2πf d. D=m4π2/Τ2

14. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα δύναμης Επαναφοράς-

Απομάκρυνσης.

Η σταθερά επαναφοράς D του συστήματος είναι ίση με:

a. 5 N/m b. 1 N/m c. 25 N/m d. 2 N/m

15. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η μάζα του σώματος είναι m=4kg και η σταθερά επαναφοράς του συ-

στήματος είναι D=100 N/m. Το σώμα για να εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση χρειάζεσαι χρόνο

ίσο με:

a. 0,5π s b. 0,4π s c. 2π s d. 0,25π s

16. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ με περίοδο Τ. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος Α της ταλάντωσης τότε η συ-

χνότητά του f θα:

a. παραμείνει σταθερή

-2-


-3-

b. διπλασιαστεί

c. υποδιπλασιαστεί

d. υποτετραπλασιαστεί

17. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση απομάκρυνσης της μορφής x=A∙ημωt. Ποιά από τις παρακάτω

σχέσεις είναι σωστή; Επιλογή μίας απάντησης.

a. α = ω∙x b. α = -ω2∙x c. α = -ω∙x2 d. α = -ω∙x

18. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορ-

ροπίας του είναι:

a. διαρκώς ομόρροπη με την ταχύτητα.

b. ομόρροπη με τη δύναμη επαναφοράς.

c. γραμμική συνάρτηση του χρόνου.

d. αρμονική συνάρτηση του χρόνου.

19. Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση υπό την επίδραση συνισταμένης δύναμης F. Αν χ εί-

ναι η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του, για τη δύναμη F ισχύει ότι:

a. F = -50∙x

b. F = 20∙x

c. F = 10∙x2

d. F = 50-10∙x

20. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α και γωνιακής συχνότητας ω.

Επιλέξτε τις σωστές από τις παρακάτω προτάσεις.

a. Σε κάθε περίοδο το σώμα διανύει διάστημα 4Α.

b. Η ταχύτητα και η δύναμη επαναφοράς είναι διαρκώς αντίρροπες.

c. Η φάση της ταχύτητας είναι μεγαλύτερη της φάσης της απομάκρυνσης κατά π rad.

d. Η απομάκρυνση χ από τη Θέση Ισορροπίας του και η επιτάχυνση του α συνδέονται με τη

σχέση: α=-ω2∙x.

e. Το διάνυσμα της απομάκρυνσης έχει διαρκώς φορά προς τις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης.

21. Σωστό – Λάθος. Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και κάποια χρονική στιγμή βρίσκε-

ται στη θέση x=+A. Μετά από χρόνο Τ/2:

a. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας θα είναι μηδέν

b. Η δύναμη επαναφοράς θα είναι μέγιστη κατά απόλυτη τιμή

c. Η ταχύτητα του σώματος θα είναι μηδέν

d. Η απομάκρυνση θα είναι μηδέν

22. Σωστό – Λάθος. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με πλάτος Α. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλά-

ντωσης θα μεταβληθούν:

a. H σταθερά επαναφοράς

b. H γωνιακή συχνότητα

c. Tο πλάτος της ταχύτητας

d. Tο πλάτος της δύναμης επαναφοράς


23. Σωστό – Λάθος. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα επιτάχυνσης – χρόνου

a. Η χρονική στιγμή t1αντιστοιχεί σε απομάκρυνση όπου η ταχύτητα του σώματος είναι μηδε-

νική

b. Η χρονική στιγμή t2 αντιστοιχεί στη Θέση Ισορροπίας

c. Η χρονική στιγμή t3 αντιστοιχεί σε θέση όπου ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος

είναι μηδέν

d. Η χρονικές στιγμές t1 και t2 διαφέρουν χρονικά Τ/2

24. Σωστό – Λάθος. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. ∆ιατηρώντας σταθερή τη μάζα του σώματος τετραπλα-

σιάζουμε τη σταθερά επαναφοράς του D. Το πλάτος της ταλάντωσης Α παραμένει σταθερό.

a. Η συχνότητα ταλάντωσης διπλασιάζεται

b. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής στις ακραίες θέσεις τετραπλασιάζεται

c. Το πλάτος της ταχύτητας υποδιπλασιάζεται

d. Το πλάτος της επιτάχυνσης διπλασιάζεται

25. Σωστό – Λάθος. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ.

a. Η σχέση F=-Dx είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη Α.Α.Τ.

b. Η δύναμη επαναφοράς είναι μέγιστη στο κέντρο της τροχιάς

c. Η σταθερά D εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης

d. Η σταθερά D εξαρτάται από μεγέθη χαρακτηριστικά του ταλαντούμενου συστήματος

-4-


ΘΕΜΑ Β

26. ∆ύο σώματα με μάζες m1=2m και m1=m αντίστοιχα, εκτελούν Α.Α.Τ. και έχουν την ίδια γωνι-

ακή συχνότητα. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις για τις σταθερές επαναφοράς D1 και D2 αντί-

στοιχα των δύο συστημάτων είναι σωστή;

α. D1=D2/2

β. D1=2D2

γ. D1=D2

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (ΘΕΜΑ Β)

27. Στο παρακάτω διάγραμμα απομάκρυνσης-

χρόνου φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις

για δύο σώματα 1 και 2 τα οποία εκτελούν

Α.Α.Τ.

Ποια από τις παρακάτω σχέσεις για τις μέγι-

στες επιταχύνσεις ταλάντωσης των δύο σωμά-

των είναι σωστή;

α. αmax,1=αmax,2/2

β. αmax,1=αmax,2

γ. αmax,1=2∙αmax,2


28. ∆ύο σώματα 1 και 2 με ίσες μάζες εκτελούν

Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα δια-

γράμματα ταχύτητας-χρόνου για τα δύο σώμα-

τα. Ο λόγος της μέγιστης δύναμης επαναφοράς

του σώματος 1 προς τη μέγιστη δύναμη επανα-

φοράς του σώματος 2 είναι:

α. 3 β.9 γ.1/3

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(ΘΕΜΑ Β)

29. Σώμα μάζας m εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο Τ και πλάτος Α. Τετραπλασιάζουμε το πλάτος της τα-

λάντωσής του και διπλασιάζουμε τη μάζα του ενώ διατηρούμε αμετάβλητη τη σταθερά επανα-

φοράς D. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής στις ακραίες θέσεις θα:

α. τετραπλασιαστεί

β. υποτετραπλασιαστεί

γ. διπλασιαστεί


-5-


30. ∆ύο σώματα με μάζες m1=m και m1=4m εκτελούν Α.Α.Τ.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις

δύναμης επαναφοράς, απομάκρυνσης για τα δύο σώματα.

Ο λόγος των συχνοτήτων ταλάντωσης των δύο σωμάτων

f1/f2είναι ίσος με:

α. 2∙√2 β. √2 γ. 4∙√2


31. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο T=4s. Η συχνότητα μεγιστοποίησης του μέτρου του ρυθμού

μεταβολής της ταχύτητας είναι f' ίση με:

α. 4 Hz β. 2 Hz γ. 0,5 Hz


32. Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής ταλαντώνεται, με πλάτος ταχύτητας υmax , πλάτος επιτά-

χυνσης αmax και αρχική φάση φ0. Σε ένα τυχαίο σημείο της τροχιάς του έχει ταχύτητα μέτρου υ

και επιτάχυνση μέτρου α. Η σχέση που συνδέει τη στιγμιαία ταχύτητα υ με τη στιγμιαία επιτά-

χυνση α, είναι η:

α. 12max

2

2max

2

β. 12max

2

2max

2

γ. 1max

2

max

Να επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέ-

μα Β)

33. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώμα-

τος, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α, σε

συνάρτηση με το χρόνο. Τη χρονική στιγμή t1=3 s το σημειακό

αντικείμενο βρίσκεται στη θέση:

α) x1=0. β) x1=+Α. γ) x1=-Α.

Να επιλέξετε τις σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλο-

γή σας. (Θέμα B)

34. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο 4s. Όταν το σώμα διέρχεται από τη Θέση Ισορροπίας η ταχύ-

τητά του είναι 1 m/s. Οι ακραίες θέσεις απέχουν απόσταση που είναι ίση με:

a. 2/π m b. π m c. 4/π m

Να επιλέξετε τις σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα B)

-6-


35. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Το διάγραμμα απομάκρυνσης-

χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης είναι ίση με:

a. 0,2 m/s

b. 5 m/s

c. π m/s


36. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Το διάγραμμα τα-

χύτητας-χρόνου φαίνεται στο παρακά-

τω σχήμα:

Το πλάτος της ταλάντωσης είναι:

a. 2 m

b. 4 m

c. 8π m

Να επιλέξετε τις σωστή απάντηση και

να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα B)

37. Το διάγραμμα απομάκρυνσης - χρόνου φαί-

νεται στο παρακάτω σχήμα:

Η επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t1 είναι:

α) -2m/s2.

β) 0.

γ)-0,5m/s2.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αι-

τιολογήσετε την επιλογή σας.

38. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα

δύναμης Επαναφοράς-Απομάκρυνσης.

Η σταθερά επαναφοράς D του συστήματος είναι ίση με:

a. 5 N/m b. 1 N/m c. 25 N/m

Να επιλέξετε τις σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επι-

λογή σας. (Θέμα B)

39. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η μάζα του σώματος είναι m=4kg και η σταθερά επαναφοράς του συ-

στήματος είναι D=100 N/m. Το σώμα για να εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση χρειάζεσαι χρόνο

ίσο με:

-7-


-8-

a. 0,5π s b. 0,4π s c. 2π s



ΘΕΜΑ Γ

40. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και η ταχύτητα μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση υ=2∙συν4πt (S.I.)

Να υπολογιστεί:

α. Η απόσταση των δύο ακραίων θέσεων [1/π]

β. Η επιτάχυνση όταν η απομάκρυνση του σώματος είναι x=+A. [-8π]

γ. Η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t=1/12 s [1]

δ. Αν η μάζα του ταλαντούμενου σώματος είναι m=0,2 Kg να υπολογιστεί η σταθερά επανα-

φοράς του συστήματος και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής τη χρονική στιγμή που η απομά-

κρυνση είναι x= -A/2. [32 , 8/π] ∆ίνεται συν(π/3)=1/2 και π2≈10 (ΘΕΜΑ Γ)

41. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση επιτάχυνσης-

χρόνου

Να υπολογιστούν:

α. Το πλάτος της ταλάντωσης [0,1]

β. Η συχνότητα και η γωνιακή συχνότητα [5 , 10π]

γ. Να βρεθεί η εξίσωση ταχύτητας-χρόνου και να σχεδιαστεί το αντίστοιχο ποσοτικό διάγραμμα

δ. Να κάνετε το διάγραμμα επιτάχυνσης-απομάκρυνσης (ποσοτικό) (ΘΕΜΑ Γ)

42. Στο παρακάτω διάγραμμα παριστάνεται η επιτάχυνση ενός σώμα-

τος, μάζας m=2 kg, σε συνάρτηση με το χρόνο, που εκτελεί απλή

αρμονική ταλάντωση.

α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα ω και το πλάτος ταλά-

ντωσης Α. [5 , 0,2]

β) Να γράψετε την εξίσωση που δίνει τη φάση της ταλάντωσης φ

σε συνάρτηση με το χρόνο t.

γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση της επιτάχυνσης α σε

συνάρτηση με την απομάκρυνση χ, σε κατάλληλα βαθμολογημέ-

νους άξονες.

-9-

δ) Να υπολογίσετε την αλγεβρική τιμή της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t1=π/30 s.


-10-

[-1] ∆ίνεται ότι: ημ(2π/3)=√3/2 και συν(2π/3)=-1/2 (Θέμα Γ)

43. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο Τ=2s και πλάτος ταλάντωσης A=0,1m. Να υπολογιστούν:

α. η συχνότητα και η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης, [0,5 , π]

β. το πλάτος της ταχύτητας και το πλάτος της επιτάχυνσης, [0,1π , 0,1π2]

γ. να γραφούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε σχέση

με το χρόνο x=f(t), υ=f(t) και α=f(t)αντίστοιχα. (ΘΕΜΑ Γ)

44. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και η εξίσωση της απομάκρυνσης σε σχέση με το χρόνο είναι x=0,2ημ2t

(S.I.) Να υπολογιστούν:

α. η γωνιακή συχνότητα, η περίοδος και η συχνότητα ταλάντωσης,

β. το πλάτος της ταλάντωσης, το πλάτος της ταχύτητας και το πλάτος της επιτάχυνσης,

γ. η απομάκρυνση τη χρονική στιγμή t=π/8 s.

∆ίνεται ημ(π/4)=√2/2 (ΘΕΜΑ Γ)

45. Σώμα μάζας m=4 Kg εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση απομάκρυνσης της μορφής x=A∙ημωt ενώ η

σταθερά επαναφοράς του συστήματος είναι 400 N/m Το σώμα μετά από 3 πλήρεις ταλαντώσεις

έχει διαγράψει τροχιά μήκους d=0,6m.Να υπολογιστούν:

α. η συχνότητα ταλάντωσης, [5/π]

β. το πλάτος της επιτάχυνσης, [5]

γ. ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t=π/40 s, [-2,5√2]

δ. το έργο της δύναμης επαναφοράς καθώς το σώμα μεταβαίνει από τη θέση ισορροπίας στην

ακραία αρνητική θέση. [-0,5]

∆ίνεται ημ(π/4)=√2/2 (ΘΕΜΑ Γ)

46. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση απομάκρυνσης της μορφής x=A∙ημωt. Η συχνότητα διέλευσης

του σώματος από τη Θέση Ισορροπίας είναι 2 Hz ενώ η ακραία θέση ταλάντωσης απέχει από τη

Θέση Ισορροπίας απόσταση d=0.4. Η σταθερά επαναφοράς του συστήματος είναι D=100 N/m.


α. η περίοδος της ταλάντωσης, [1]

β. η μάζα του ταλαντούμενου σώματος, [2,5]

γ. οι χρονικές στιγμές κατά τη διάρκεια της πρώτης περίοδου στις οποίες η απομάκρυνση είναι

x=+0,2 m, [1/12 , 5/12]

δ. η ταχύτητα τις ίδιες χρονικές στιγμές. [±0,4√3π]

∆ίνεται : π2=10 (ΘΕΜΑ Γ)

47. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση απομάκρυνσης x=20ημ10πt (x σε cm και t σε s )


α. ο ρυθμός μεταβολής της φάσης, [10π]

β. η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t=1/60 s . [π√3]

γ. Να γίνει το διάγραμμα φάσης-χρόνου για τις τρεις πρώτες ταλαντώσεις.

∆ίνεται συν(π/6)=√3/2 (ΘΕΜΑ Γ)


48. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση απομάκρυνσης της μορφής x=A∙ημωt. Το σώμα μετά από

χρόνο 5 s έχει πραγματοποιήσει 50 πλήρεις ταλαντώσεις. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το δι-

άγραμμα δύναμης επαναφοράς-απομάκρυνσης.

Να υπολογιστούν

α. η μάζα του ταλαντούμενου σώματος, [2,5∙10-3-]

β. το πλάτος της ταχύτητας, [10π]

γ. η διαφοράς φάσης για τις χρονικές στιγμές t1=0,15s και t2=0.5s, [7π]

δ. το μέτρο της απομάκρυνσης όταν η επιτάχυνση είναι α=αmax/4. [0,125]

∆ίνεται π2≈10 (ΘΕΜΑ Γ)

-11-


Ενεργειακή προσέγγιση, Αρχική φάση,

Σύστημα ελατηρίου σώματος, Ορμή)

1. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με ενέργεια ταλάντωσης Ε=8J. Αν τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα βρί-

σκεται στη Θέση Ισορροπίας μετά από χρόνο t=Τ/4 η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση

με:

a. 4 J b. 0 J c. 8 J d. 2 J

2. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η ενέργεια ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση:

α. 2 2 21E m4π f A

2 β. 2

2

1muE γ. 22

2

1AmfE δ. Am 2

2

1 E

3. Ποιά από τις παρακάτω σχέσεις εκφράζει τη χρονική μεταβολή της κινητικής ενέργειας;

a. Κ=mω2Α2∙συν2ωt b. Κ = Ε∙συνωt c. Κ=Ε∙συν2ωt d. Κ=Ε∙ημ2ωt

4. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και στο παρα-

κάτω διάγραμμα φαίνεται η μετα-

βολή της δυναμικής ενέργειας τα-

λάντωσης σε σχέση με το χρόνο.Η

συχνότητα ταλάντωσης είναι ίση

με:

a. 0,4 Hz

b. 2,5 Hz

c. 5 Hz

d. 0,2 Hz

5. Σώμα μάζας m είναι συνδεδεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k το άλλο άκρο

του οποίου είναι σταθερά στερεωμένο. Το σύστημα ελατηρίου σώματος εκτελεί Α.Α.Τ. πάνω σε

λείο οριζόντιο δάπεδο. Η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης είναι ίση με:

a. m

k2 b. m

k c.

k

m2 d. k

m

6. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με ενέργεια ταλάντωσης Ε = 10 J. Αν την χρονική στιγμή t η κινητική ε-

νέργεια είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης, τότε η δυναμική ενέργεια ταλά-

ντωσης είναι:

a. 2,5 J b. 7,5 J c. 30 J d. 10 J

7. Στη θέση ισορροπίας ενός σώματος, που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση:

a. η επιτάχυνση μεγιστοποιείται.

b. η δύναμη επαναφοράς μηδενίζεται.

c. η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης μεγιστοποιείται.

d. η κινητική ενέργεια μηδενίζεται.

-12-


-13-

8. Ένα υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Στην ακραία αρνητική του θέση:

a. η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης είναι μέγιστη.

b. το μέτρο της δύναμης επαναφοράς είναι μηδέν.

c. το μέτρο της επιτάχυνσης είναι μέγιστο.

d. η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι μηδέν.

9. Ένα σώμα, μάζας m, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, γωνιακής συχνότητας ω, περιόδου Τ

και πλάτους Α. Επιλέξτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές.

a. Η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά το μικρό σώμα ισούται με 2πΑ/Τ.

b. Η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το μικρό σώμα ισούται με ω2Α2.

c. Η μέγιστη δύναμη που δέχεται το μικρό σώμα ισούται με mω2Α.

d. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης ισούται με mω2Α2/2.

e. Η χρονική διάρκεια μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της κινητικής ενέργειας είναι T/2.

10. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση απομάκρυνσης x = Α ημωt. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της

αριστερής με τα στοιχεία της δεξιάς στήλης.

α. x=0 1. K=3E/4

β. x=+A 2. U=0

γ. x=-A 3. K=0

δ. x= +A/2 4. α=-αmax.

11. Σωστό – Λάθος. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση x

= -A

a. Η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι 3π/2

b. Μετά από χρόνο Τ/2 η κινητική ενέργεια θα είναι μέγιστη

c. Μετά από δύο πλήρεις ταλαντώσεις η ενέργεια ταλάντωσης θα έχει υποδιπλασιαστεί

d. Μετά από χρόνο Τ/4 η δυναμική ενέργεια θα είναι 0

12. Σωστό – Λάθος. Σύστημα ελατηρίου-σώματος εκτελεί Α.Α.Τ.

a. Η σταθερά επαναφοράς του συστήματος είναι η σταθερά του ελατηρίου

b. Η δύναμη επαναφοράς και η δύναμη του ελατηρίου δεν είναι πάντα ίσες

c. Η περίοδος της ταλάντωσης εξαρτάται από την μάζα του ταλαντούμενου σώματος

d. Η περίοδος της ταλάντωσης είναι διαφορετική αν το ελατήριο είναι οριζόντιο ή κατακόρυφο

13. Στον παρακάτω πίνακα να συμπληρώσετε τις τιμές που λείπουν για την ενέργεια ταλάντωσης

και τη δυναμική και κινητική ενέργεια. Το σύστημα στο οποίο αναφέρεται ο πίνακας εκτελεί

Α.Α.Τ.

υ U K E

υmax

υ1 2 5

υ2 3

0


-14-

14. Σε μία Α.Α.Τ. η ενέργεια ταλάντωσης είναι ………………. και το συνολικό έργο της δύναμης επα-

ναφοράς σε κάθε περίοδο είναι …………………….

15. Σε μία Α.Α.Τ. όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, η κινητική ενέργεια είναι

…………………. και η δυναμική ενέργεια είναι ……………..…….


ΘΕΜΑ Β

16. Σε μία Α.Α.Τ. η κινητική ενέργεια γίνεται ίση με τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης κατά τη δι-

άρκεια μίας περιόδου

α. ∆ύο φορές

β. Μία φορά

γ. Τέσσερις φορές


17. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και η ταχύτητά

του έχει αρνητικό πρόσημο. Η αρχική φάση είναι:

α. 0 β. π/2 γ. π


18. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και στο παρακάτω σχήμα δίνεται το

διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου. Η αρχική φάση ταλάντω-

σης είναι:

α. 3π/2

β. π/2

γ. π


19. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται

στη θέση x=+A/2 όπου A το πλάτος της ταλάντωσης και επιβραδύνεται. Η αρχική φάση της

ταλάντωσης είναι:

α. π/3 β. 5π/6 γ. π/6


20. Να υπολογιστεί η απομάκρυνση σε μια Α.Α.Τ. όταν η δυναμική ενέργεια και η κινητική ενέρ-

γεια είναι ίσες. [±√2/2]

21. Ένα σώμα συνδέεται στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλό-

νητα στερεωμένο. Το σύστημα εκτελεί Α.Α.Τ. με πλάτος ταλάντωσης Α1. Η σταθερά επαναφο-

ράς του συστήματος είναι D. Αντικαθιστούμε το σώμα με ένα άλλο τετραπλάσιας μάζας το ο-

ποίο εκτελεί επίσης Α.Α.Τ. αλλά με διπλάσιο πλάτος. Η σχέση που συνδέει την ενέργεια ταλά-

ντωσης E1 του πρώτου σώματος με την αντίστοιχη ενέργεια ταλάντωσης E2 του δεύτερου σώ-

ματος είναι:

α. E2=4E1 β. E2=16E1 γ. E2=E1/4


-15-


22. ∆ύο σώματα με μάζες m1 και m2 συνδέονται στο ελεύθερο κάτω ά-

κρο δύο κατακόρυφων ελατηρίων των οποίων τα πάνω άκρα είναι

σταθερά στερεωμένα. Για τις σταθερές των δύο ελατηρίων ισχύει

k1=4k2. Παρατηρούμε ότι το πρώτο ελατήριο, όταν ισορροπεί το σώ-

μα, έχει επιμηκυνθεί κατά d1, ενώ το δεύτερο κατά d2=2d1. Ποια από

τις παρακάτω σχέσεις ισχύει για τις συχνότητες ταλάντωσης των δύο

σωμάτων (Θεωρούμε ότι και τα δύο σώματα εκτελούν Α.Α.Τ.).

α. f1=√2f2

β. f1=√2f2/2

γ. f1=4f2


23. Ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγμή t η απομάκρυνση του

σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι x=-A/2 όπου A το πλάτος της ταλάντωσης. Ο λόγος της

κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t είναι:

α. 1/2 β. 1/4 γ. 3


24. ∆ύο σώματα με ίσες μάζες m1=m2 εκτελούν

Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα δια-

γράμματα U-x για τα δύο συστήματα. Ο λόγος

των περιόδων ταλάντωσης T1/T2 είναι ίσος με:

α. 2

β. 1/2

γ. 1/4


25. Μικρό σώμα μάζας m εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση x=+A/2 και

επιταχύνεται. Η αρχική του φάση είναι:

α. π/6 β. 5π/6 γ. π/3


26. Να βρεθεί ο λόγος της κινητικής ενέργειας προς τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης ενός σώμα-

τος το οποίο εκτελεί Α.Α.Τ. όταν η ταχύτητά του είναι η μισή της μέγιστης ταχύτητας ταλά-

ντωσης. [1/3]

27. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντω-

ση με αρχική φάση μηδέν. Η γραφική πα-

ράσταση δείχνει τις μεταβολές της κινητικής

Κ, της δυναμικής U και της ολικής ενέργειας

Ε, σε συνάρτηση με το χρόνο. Η κινητική

του ενέργεια Κ εξισώνεται με τη δυναμική

του ενέργεια U, 120 φορές ανά λεπτό. Η

-16-


συχνότητα της ταλάντωσης είναι:

α) 30 Hz β) 2 Ηz γ) 0,5 Hz.

Να επιλέξετε τις σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα Β)

28. Σύστημα ελατηρίου σταθεράς k - μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση περιόδου Τ και

συχνότητας f. Αντικαθιστούμε τη μάζα με άλλη m΄=m/4 και διπλασιάζουμε το πλάτος της τα-

λάντωσης A′=2A.

Α) Για τη συχνότητα f΄ ισχύει:

α) f΄= 2f β) f΄= f γ) f΄= f/2.

Β) Η ενέργεια της ταλάντωσης E΄:

α) παραμένει η ίδια. β) διπλασιάζεται. γ) τετραπλασιάζεται

Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις και να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας. (Θέμα Β)

29. ∆ύο σημειακά σώματα, που έχουν ίσες μάζες (m1=m2=m), εκτελούν απλή αρμονική ταλάντω-

ση Οι συχνότητες των δύο ταλαντώσεων ικανοποιούν τη σχέση f1 > f2 και τα πλάτη τη σχέση

Α2 <Α1. Oι ενέργειες ταλάντωσης Ε1 και Ε2 των δύο σωμάτων 1 και 2 αντίστοιχα ικανοποιούν

τη σχέση:

α) E1 = E2 β) Ε1 > E2 γ) E2 > E1.


30. Σώμα εκτελεί αμείωτη απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους Α. Σε κάποια θέση της τροχιάς του,

η κινητική ενέργεια είναι το 50% της ολικής του ενέργειας και η δύναμη επαναφοράς έχει θε-

τική τιμή. Η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας, ισούται με:

α) -Α√3/2 β) Α√2/2 γ) -Α√2/2


31. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας Κ

ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με

την απομάκρυνση x από τη Θέση Ισορροπίας του. Η γραφική παρά-

σταση της δυναμικής ενέργειας U σε συνάρτηση με το τετράγωνο της

απομάκρυνσης x2 είναι η:

Να επιλέξετε τις σωστή γραφική παράσταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.(Θέμα Β)

-17-


32. Ένα σώμα, μάζας m, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχοντας ολική ενέργεια Ε. Χωρίς να

αλλάξουμε τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, προσφέρουμε στο σώμα επιπλέον ε-

νέργεια 3Ε. Τότε η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης:

α) μένει σταθερή. β) διπλασιάζεται. γ) τετραπλασιάζεται.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα Β)

33. Η γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας ενός απλού αρ-

μονικού ταλαντωτή σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο

παρακάτω σχήμα. Τη χρονική στιγμή t1 η ταχύτητα του σώμα-

τος έχει θετικό πρόσημο. Η γραφική παράσταση της απομά-

κρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο είναι η:

Να επιλέξετε τη σωστή γραφική παράσταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα Β)

34. ∆ύο αρμονικοί ταλαντωτές (1) και (2), είναι μικρά σώματα με μάζες m1 και m2 (m1=4m2) , που

είναι δεμένα σε δύο διαφορετικά ελατήρια με σταθερές k1 και k2 αντίστοιχα. Οι δύο ταλαντω-

τές έχουν ίδια ενέργεια Ε και ίδια περίοδο Τ. Με βάση τα δεδομένα αυτά, το σωστό διάγραμμα

συνισταμένης δύναμης F - απομάκρυνσης x είναι το:

(Θέμα Β)

35. Σώμα Α είναι δεμένο σε κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεω-

μένο σε ακλόνητο σημείο στην οροφή. Εκτρέπουμε κατακόρυφα το σώμα Α από τη θέση ισορ-

ροπίας του κατά d, προσφέροντας ενέργεια Ε1 και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί από τη

θέση εκτροπής, οπότε αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Αντικαθιστούμε το σώμα Α με

-18-


-19-

σώμα Β, που έχει μεγαλύτερη μάζα και εκτρέπουμε το σώμα Β από τη θέση ισορροπίας του κα-

τά ίση απομάκρυνση d με τον ίδιο τρόπο. Η ενέργεια Ε2 που προσφέραμε για να εκτρέψουμε

το σώμα Β είναι:

α) ίση με την Ε1. β) μικρότερη από την E1. γ) μεγαλύτερη από την E1.


36. Σώμα Σ1 μάζας m είναι δεμένο σε κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο και εκτελεί απλή αρμονική τα-

λάντωση πλάτους Α. Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς, που δέχεται στη διάρκεια της ταλάντω-

σης είναι Fmax και η μέγιστη επιτάχυνση αmax. Αντικαθιστούμε το Σ1 με άλλο σώμα Σ2, που έχει

μεγαλύτερη μάζα m2 από το Σ1 και διεγείρουμε το σύστημα ώστε να εκτελέσει ταλάντωση ίδιου

πλάτους Α. Τότε το σώμα Σ2 θα ταλαντώνεται με απλή αρμονική ταλάντωση και:

Α) η μέγιστη δύναμη που θα δέχεται θα είναι :

α) μικρότερη απ’ του Σ1. β) ίση με του Σ1. γ) μεγαλύτερη απ’ του Σ1.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Β) η μέγιστη επιτάχυνση του θα είναι:

α) μικρότερη απ’ του Σ1. β) ίση με του Σ1. γ) μεγαλύτερη απ’ του Σ1.



ΘΕΜΑ Γ

37. Ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η σταθερά επαναφοράς συστήματος είναι D=100N/m. Η ενέργεια τα-

λάντωσης είναι E=2J. Αν η μάζα του ταλαντευόμενου σώματος είναι m=1Kg, να υπολογι-

στούν:

α. Η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης [10]

β. Το πλάτος της επιτάχυνσης [20]

γ. Η απομάκρυνση του σώματος όταν η κινητική του ενέργεια είναι K=0,5J [±0,1√3]

δ. Η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή όπου η απομάκρυνση είναι x1=0,1√2 m

[±0√2] (ΘΕΜΑ Γ)

38. Ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και τη χρονική στιγμή t1 έχει απομάκρυνση x1=5cm και ταχύτητα

υ1=10√3 m/s ενώ τη χρονική στιγμή t2 έχει απομάκρυνση x2=5√2 cm και ταχύτητα υ2=10√2

m/s. Αν η μάζα του σώματος είναι m=0,5Kg να υπολογιστούν:

α. Η σταθερά επαναφοράς του συστήματος [2.104]

β. Το πλάτος της ταλάντωσης [0,1]

γ. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας τη χρονική στιγμή t1. [-√3∙104] (ΘΕΜΑ Γ)

39. Σώμα μάζας m=0,2Kg εκτελεί Α.Α.Τ. Η συ-

χνότητα μεγιστοποίησης της δυναμικής ενέρ-

γειας είναι f΄=2Hz. Στο παρακάτω σχήμα φαί-

νεται η μεταβολή της κινητικής ενέργειας τα-

λάντωσης σε σχέση με την απομάκρυνση.

α. Αφού ξανασχεδιάσετε το διάγραμμα να συ-

μπληρώσετε τις αριθμητικές τιμές που λείπουν

και να φτιάξετε και την γραφική παράσταση

της δυναμικής της ενέργειας ταλάντωσης, σε σχέση με την απομάκρυνση.

β. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος την χρονική στιγμή όπου η απομάκρυνση είναι

x=0,25m [±√7,5]

γ. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας τη χρονική στιγμή όπου η τα-

χύτητα του σώματος είναι υ=π/2 m/s και η επιτάχυνση του σώματος είναι θετική (α>0) [-π√3] ∆ίνεται π2=10.

40. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και τη χρονική στιγμή t=0 έχει απομάκρυνση x=+√2 m και ταχύτητα υ=-

√2 m/s. Το σώμα μετά από μία πλήρη ταλάντωση έχει διαγράψει τροχιά μήκους d=8m.


α. Η περίοδος της ταλάντωσης [2π]

β. Η αρχική φάση της ταλάντωσης [3π4]

γ. Να βρεθεί η εξίσωση της επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο []

δ. Να υπολογιστεί ο λόγος της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης τη χρονική

στιγμή t=0. [1] (ΘΕΜΑ Γ)

-20-


41. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της κινητικής και της δυναμικής ενέργει-

ας ταλάντωσης σε σχέση με το χρόνο. Τη χρονική στιγμή t=0 η επιτάχυνση είναι α=+αmax. Αν

η σταθερά επαναφοράς είναι D=100 N/m να υπολογιστούν:

α. Το πλάτος της ταλάντωσης [0,4]

β. Η μάζα του ταλαντευόμενου σώματος [25]

γ. Η χρονική στιγμή στην οποία η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης γίνονται ίσες

για 1η φορά μετά τη στιγμή t=0. [π/8]

δ. Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς και να γραφεί η συνάρτηση δύναμης επαναφοράς-χρόνου.

[40] (ΘΕΜΑ Γ)

42. Μια σφαίρα μάζας m=2 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση γωνιακής συχνότητας

ω=10rad/s. Τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση όπου έχει τη μέγιστη τιμή της δύναμης

επαναφοράς της ταλάντωσης Fmax=+20 N.

α) Να υπολογίσετε τη περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης. [0,1 , 200]

β) Να γράψετε τη συνάρτηση απομάκρυνσης – χρόνου και να την παραστήσετε γραφικά σε

κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες. Η αρχική φάση έχει πεδίο τιμών [0,2π). []

γ) Να βρείτε την ταχύτητα της σφαίρας τη στιγμή t1=π/4s. [1]

δ) Να βρείτε τη δυναμική και την κινητική ενέργεια ταλάντωσης της σφαίρας τη στιγμή t1.

[1 , 0] (Θέμα Γ)

43. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα σε συ-

νάρτηση με το χρόνο ενός σώματος μάζας m=0,5 kg, που

εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα ω και το πλάτος Α

της ταλάντωσης. [π , 0,4]

β) Να βρείτε την αρχική φάση της ταλάντωσης. Η αρχική

φάση έχει πεδίο τιμών [0,2π). [π/2]

γ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της συνισταμένης δύνα-

μης, που δέχεται το σώμα. ∆ίνεται:π2=10. []

δ) Να βρείτε το μέτρο της επιτάχυνσης στις θέσεις όπου η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης

είναι το 75% της ολικής ενέργειας. [2] (Θέμα Γ)

44. Ένα σώμα με μάζα m=0,1 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, μεταξύ δύο ακραίων θέσεων

που απέχουν d=40 cm. Ο ελάχιστος χρόνος μετάβασης του σώματος από τη μια ακραία θέση

-21-


στην άλλη είναι ∆t=0,1π s. Τη χρονική στιγμή t0=0 το σώμα διέρχεται από τη θέση x=0,1√2

m και το μέτρο της ταχύτητάς του μειώνεται.

α) Να βρείτε το πλάτος Α και τη γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης. [0,2 , 10]

β) Πόση ενέργεια Ε προσφέραμε στο σώμα για να το θέσουμε σε ταλάντωση; [0,2]

γ) Να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια του σώματος, κάποια χρονική στιγμή, όταν έχει μέτρο

ταχύτητας υ1=√3 m/s. [0,05]

δ) Να υπολογίσετε την αρχική φάση φ0 ταλάντωσης. Η αρχική φάση έχει πεδίο τιμών [0,2π).

[π/4] (Θέμα Γ)

45. Ένα σώμα, μάζας m=0,5 kg, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα f=5/π Ηz, ενώ

διανύει σε κάθε περίοδο της ταλάντωσής του διάστημα d=2 m. Το σώμα δέχεται κατά τη διάρ-

κεια της ταλάντωσής του, και στη διεύθυνση της κίνησής του, δύο δυνάμεις F1 και F2, εκ των

οποίων η F2 είναι σταθερή με μέτρο F2=10 Ν και φορά αρνητική. Τη χρονική στιγμή t=0 το

σημείο διέρχεται επιταχυνόμενο από τη θέση x1=-√3/4 m

1) Να υπολογίσετε το πλάτος και τη σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης. [0,5 , 50]

2) Να υπολογίσετε την αρχική φάση φ0 της ταλάντωσης. [5π/3]

3) Να υπολογίσετε το ποσοστό % της κινητικής ενέργειας του σώματος ως προς την ολική ε-

νέργεια ταλάντωσης, τη χρονική στιγμή t=0. [25%]

4) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης F1 σε συνάρτηση με το χρόνο.

[ ] (Θέμα Γ)

46. Το κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς

k=100 Ν/m, είναι ακλόνητα στερεωμένο στη βάση

λείου κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλίσης θ=30°.

Στο πάνω άκρο του ισορροπεί δεμένο σώμα, αμελη-

τέων διαστάσεων, μάζας m=1 kg. Συμπιέζουμε το ε-

λατήριο επιπλέον κατά x0=0,1 m και τη χρονική

στιγμή t=0, εκτοξεύουμε το σώμα με ταχύτητα μέ-

τρου υ0=√3 m/s με φορά προς τα κάτω παράλληλη

προς το κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχή-

μα.

α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και να βρείτε τη συ-

χνότητά της.

β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης Α. [0,2]

γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Θεω-

ρήστε θετική φορά την προς τα κάτω. Η αρχική φάση έχει πεδίο τιμών [0,2π).

[ ]

δ) Να υπολογίσετε τη δύναμη του ελατηρίου στις θέσεις όπου μηδενίζεται η κινητική ενέργεια

του σώματος. [15 , 25]

∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2. (Θέμα Γ)

-22-


ΘΕΜΑ ∆

47. Σφαίρα μάζας m=1 kg ισορροπεί δεμένη στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου

σταθεράς k=400 N/m, του οποίου το κάτω άκρο είναι στερεωμένο στο δάπεδο. Ανεβάζουμε τη

σφαίρα κατακόρυφα προς τα πάνω και την αφήνουμε ελεύθερη, οπότε αυτή εκτελεί απλή αρ-

μονική ταλάντωση με πλάτος Α=0,5 m.

α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα ω καθώς και το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας υmax

της σφαίρας. [20 , 10]

β) Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας της σφαίρας σε συνάρτηση

με το χρόνο. Θεωρήστε θετική φορά την προς τα πάνω και ως χρονική στιγμή t=0, η στιγμή

που περνά από τη θέση ισορροπίας της με φορά κίνησης προς τα κάτω. []

γ) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης ελατηρίου στη σφαίρα σε συνάρτηση με την απομά-

κρυνση x. Στη συνέχεια να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης ελατηρίου στα δύο ακρότατα

της ταλάντωσης. [+210, -190]

δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας τη χρονική στιγ-

μή t1=T/8. [-1000]

∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g=10 m/s2. (Θέμα ∆)

48. ∆ίσκος μάζας Μ=1 kg είναι συνδεδεμένος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού

ελατηρίου σταθεράς k=200 N/m. Το κάτω άκρο του ελατηρίου στερεώνεται σε

ακλόνητο σημείο του δαπέδου. Από ύψος h=0,15 m πάνω από το δίσκο αφήνεται

να πέσει ελεύθερο ένα σφαιρίδιο πλαστελίνης μάζας m=1 kg, το οποίο συγκρούε-

ται με το δίσκο μετωπικά και πλαστικά. Το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική

ταλάντωση. Θεωρείστε την αντίσταση του αέρα και τη διάρκεια της κρούσης αμε-

λητέες.

α) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου ελάχιστα πριν την κρο-

ύση. [√3]

β) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος. [0,1]

γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης επαναφοράς καθώς και το μέτρο της δύναμης του

ελατηρίου στο κατώτερο σημείο της ταλάντωσης του συσσωματώματος. [20 , 40]

δ) Να γράψετε την εξίσωση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης του συσσωματώματος σε

συνάρτηση με τον χρόνο. []

∆ίνεται η g=10 m/s2. (Θέμα ∆)

49. Ένα σώμα μάζας m1=4Kg εκτελεί α-

πλή αρμονική ταλάντωση πλάτους

5

4 m πάνω σε λείο οριζόντιο επί-

πεδο δεμένο στην άκρη οριζόντιου ι-

δανικού ελατηρίου σταθεράς

k=16N/m. Τη χρονική στιγμή t0=0

-23-


που το σώμα βρίσκεται στη θέση x1=1m και κινείται από τη θέση ισορροπίας προς τη θέση μέ-

γιστης απομάκρυνσης συγκρούεται ελαστικά με δεύτερο σώμα μάζας m2=12Kg που κινείται με

ταχύτητα μέτρου υ2=1m/s αντίθετης φοράς από αυτή της υ1.

Να υπολογίσετε:

α) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος m1 ελάχιστα πριν την κρούση. [υ1=1m/s]

β) τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την ελαστική κρούση. [υ1'=2m/s , υ2'=0]

γ) το νέο πλάτος της ταλάντωσης του σώματος m1. [Α'=2m]

δ) το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του m1 όταν αυτό βρίσκεται στη νέα

ακραία θέση της ταλάντωσής του. [0]

50. Ένα σώμα, μάζας m=2 kg, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η απόσταση των ακραίων θέ-

σεων του υλικού σημείου είναι d=0,4 m και τη χρονική στιγμή t0=0 διέρχεται απ’ τη θέση

x1=0,1 m, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ=2√3 m/s με φορά προς τη θέση ισορροπίας του.

α) Να υπολογίσετε το πλάτος Α και τη σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης. [0,2 , 800]

β) Να παραστήσετε γραφικά την Κινητική του ενέργεια σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x

από τη θέση ισορροπίας του, σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες στο S.I. []

γ) Να υπολογίσετε την γωνιακή συχνότητα ω και την αρχική φάση της φ0 ταλάντωσης. Η αρ-

χική φάση έχει πεδίο τιμών [0,2π). [20 , 5π/6]

δ) Nα βρείτε ποια χρονική στιγμή περνά, για πρώτη φορά, από την ακραία θετική θέση.

[π/12] (Θέμα ∆)

51. Ένα σώμα, αμελητέων διαστάσεων, μάζας m ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου

ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, το πάνω άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Στη

Θέση Ισορροπίας το ελατήριο ασκεί στο μικρό σώμα δύναμη μέτρου F0=1 Ν. Ανεβάζουμε το

σώμα από τη Θέση Ισορροπίας του κατακόρυφα προς τα πάνω έως τη Θέση Φυσικού Μήκους

του ελατηρίου και τη χρονική στιγμή t=0, το εκτοξεύουμε με κατακόρυφη προς τα κάτω ταχύ-

τητα μέτρου υ0. Το σώμα μετά την εκτόξευσή του εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Tο διά-

στημα που διανύει μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων απ’ τη Θέση Ισορροπίας του είναι s=0,4

m σε χρόνο ∆t=10πs.

α) Να υπολογίσετε το πλάτος Α και τη σταθερά k του ελατηρίου. [0,2 , 10]

β) Να βρείτε τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στη θέση, που η δυναμική ενέργεια της τα-

λάντωσης είναι μηδέν. [0,05]

γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της αρχικής ταχύτητας υ0. [√3]

δ) Να υπολογίσετε τα ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη χρονική στιγ-

μή t=0. Θεωρήστε θετική φορά την προς τα πάνω. [√3]

∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2. (Θέμα ∆)

52. Καλή Μικρή μεταλλική σφαίρα μάζας m=100 g εί-

ναι δεμένη στο δεξιό ελεύθερο άκρο ενός οριζόντι-

ου ελατηρίου σταθεράς k=10 Ν/cm, του οποίου το

αριστερό άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Η

σφαίρα δέχεται σταθερή δύναμη μέτρου F=2·102 Ν,

-24-


της οποίας η διεύθυνση είναι παράλληλη με τον άξονα του ελατηρίου και η φορά προς τ’ αρι-

στερά, οπότε το ελατήριο συσπειρώνεται. Εκτρέπουμε τη σφαίρα από τη θέση ισορροπίας της

κατά d=0,1 m προς τ’ αριστερά και τη χρονική στιγμή t=0 την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί.

α) Να υπολογίσετε την απόσταση x0 της θέσης ισορροπίας της σφαίρας από τη θέση φυσικού

μήκους του ελατηρίου. [0,2]

β) Να αποδείξετε ότι η σφαίρα θα εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε

τη γωνιακή συχνότητα καθώς και την ολική ενέργεια της ταλάντωσης. [100 , 5]

γ) Σε ποιο σημείο της τροχιάς έχει ταυτόχρονα μέγιστο μέτρο δύναμης επαναφοράς και δύνα-

μης ελατηρίου; Βρείτε τότε το λόγο των μέτρων της μέγιστης δύναμης επαναφοράς προς τη

μέγιστη δύναμη ελατηρίου. [στο x=-A και 1/3]

δ) Τη στιγμή που η σφαίρα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της και κινείται κατά τη θετική

φορά, καταργείται ακαριαία η δύναμη F. Βρείτε το λόγο της ολικής ενέργειας E′ της νέας τα-

λάντωσης προς την ολική ενέργεια Ε της αρχικής ταλάντωσης. [5] (Θέμα ∆)

53. Καλή Μικρό σώμα, μάζας m=0,5 kg, είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου

σταθεράς k=200 N/m και μπορεί να κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα εκτελεί γραμ-

μική αρμονική ταλάντωση δεχόμενο σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=50 Ν προς τα δεξιά,

μέσω νήματος. Όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση, που μηδενίζεται η δυναμική ενέργεια του

ελατηρίου, μεγιστοποιείται η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης.

α) Να προσδιορίσετε τη θέση ισορροπίας του σώματος και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η

σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης είναι ίση με τη σταθερά k του ελατηρίου. [0,25]

β) Να υπολογίσετε την ενέργεια ταλάντωσης Ε του σώματος. [6,25]

Κάποια στιγμή, που τη θεωρούμε ως t=0, κόβεται το νήμα, στη θέση όπου η δυναμική ενέρ-

γεια του ελατηρίου είναι μέγιστη. Το σύστημα εκτελεί νέα απλή αρμονική ταλάντωση με πλά-

τος A′.

γ) Θεωρώντας θετική τη φορά προς τα δεξιά, γράψτε την εξίσωση της απομάκρυνσης σα συ-

νάρτηση με το χρόνο. Η αρχική φάση έχει πεδίο τιμών [0,2π).

[ ] δ) Να υπολογίσετε το λόγο των ενεργειών ταλάντωσης του σώματος E/E′, πριν και μετά την

κατάργηση της δύναμης F. [1/4] (Θέμα ∆)

54. Καλή Το σύστημα των δύο σωμάτων Σ1 και Σ2, ίσων μαζών m1=m2=10 kg, ι-

σορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς

k=100N/m.Tα σώματα έχουν αμελητέες διαστάσεις. Το Σ1 είναι δεμένο στο ελα-

τήριο, ενώ αβαρές νήμα μικρού μήκους συνδέει τα Σ1 και Σ2. Τη χρονική στιγμή

t=0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τα δύο σώματα, οπότε το Σ1 αρχίζει να εκτε-

λεί απλή αρμονική ταλάντωση.

α) Να προσδιορίσετε τη θέση ισορροπίας του συστήματος των Σ1-Σ2 και στη συ-

νέχεια τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης του Σ1 μετά το κόψιμο του νήματος.

-25-


[από ΘΦΜ : 2 , 1] β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης Α καθώς και την ολική της ενέργεια Ε. [1 , 50] γ) Θεωρώντας θετική φορά την προς τα πάνω, να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης x –

χρόνου t. Στη συνέχεια να την παραστήσετε γραφικά σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες,

στη διάρκεια της 1ης περιόδου.

Θεωρήστε ότι:√10=π. [ ]

δ) Αν το σώμα Σ2 έχει ως προς το δάπεδο, που βρίσκεται κάτω του, στη θέση ισορροπίας του

συστήματος, βαρυτική δυναμική ενέργεια Uβαρ=180J, να βρείτε ποιο απ’ τα δύο θα φτάσει

πρώτο: το Σ2 στο έδαφος ή το Σ1 στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του. ∆ίνεται g=10 m/s2.

[Το Σ2] (Θέμα ∆)

55. Το κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 Ν/m είναι στερεωμένο σε

οριζόντιο δάπεδο. Στο πάνω άκρο του είναι δεμένος δίσκος Σ1 μάζας m1=0,8 kg. Πάνω στο δί-

σκο είναι τοποθετημένος κύβος Σ2 μάζας m2=0,2 kg. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί. Πιέζουμε

το σύστημα κατακόρυφα προς τα κάτω μεταφέροντας ενέργεια στο σύστημα ίση με Ε=2 J και

το αφήνουμε ελεύθερο.

α) Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης Α του συστήματος, τη γωνιακή συχνότητα ω καθώς και το

χρόνο ∆t στον οποίο θα περάσει για 1η φορά απ’ τη θέση ισορροπίας του. [0,2 , 10 , 0.05π

β) Να γράψετε τη συνάρτηση της δύναμης επαφής Ν, που δέχεται ο κύβος από το δίσκο Σ1, σε

συνάρτηση με την απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας του. [Ν=2-20x]

γ) Να υπολογίσετε την απόσταση y από τη Θέση ισορροπίας του, στην οποία ο κύβος θα χάσει

την επαφή με το δίσκο. [0,1]

δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κύβου τη χρονική στιγμή, που εγκαταλείπει το δίσκο και

το ύψος στο οποίο θα φθάσει πάνω από τη θέση που εγκαταλείπει το δίσκο. [√3 , 0,15]

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και g=10 m/s2. (Θέμα ∆)

56. ∆ύσκολη Το αριστερό άκρο οριζόντιου ιδανικού ελα-

τηρίου σταθεράς k=400 Ν/m στερεώνεται ακλόνητα

και στο δεξιό άκρο του προσδένεται σώμα Σ1 μάζας

m1=3 kg, το οποίο μπορεί να κινείται σε λείο οριζό-

ντιο δάπεδο. Πάνω στο Σ1 τοποθετείται δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2=1 kg. Εκτοξεύουμε προς

τα δεξιά το σύστημα από τη θέση ισορροπίας του, με ταχύτητα μέτρου V και παράλληλη με το

οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα, οπότε το σύστημα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση.

Τα δυο σώματα διατηρούν την επαφή στη διάρκεια της ταλάντωσης.

α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης καθώς και τις σταθερές ταλάντωσης

Dολ, D1 και D2 του συστήματος και των σωμάτων Σ1 και Σ2 αντίστοιχα. [10-400-300-100]

β) Να τοποθετήσετε το σύστημα σε μια τυχαία θέση της ταλάντωσής του, να σχεδιάσετε και να

περιγράψετε σε τρία κατάλληλα σχήματα τις δυνάμεις, που δέχονται:

i) το σύστημα Σ1 – Σ2, ii) το Σ1 και iii) το Σ2.

γ) Να παραστήσετε γραφικά την αλγεβρική τιμή της στατικής τριβής από το Σ1 στο Σ2 σε συ-

-26-


νάρτηση με την απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας του, για πλάτος ταλάντωσης Α=3 cm. [Τ=-100x] δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης Vmax, ώστε το σώμα Σ2

να μην ολισθήσει πάνω στο σώμα Σ1. [0,5]

∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2 και ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ των

δύο σωμάτων Σ1 και Σ2 είναι μσ=0,5. (Θέμα ∆)

57. Τα ιδανικά ελατήρια του σχήματος

έχουν σταθερές k1=300 N/m και

k2=600 N/m και τα σώματα Σ1 και

Σ2, αμελητέων διαστάσεων, που εί-

ναι δεμένα στα άκρα των ελατηρίων, έχουν μάζες m1=3 kg και m2=1 kg. Τα δύο ελατήρια

βρίσκονται αρχικά στο φυσικό τους μήκος και τα σώματα σε επαφή. Εκτρέπουμε από τη θέση

ισορροπίας του το σώμα Σ1 κατά d=0,4 m συμπιέζοντας το ελατήριο k1 και το αφήνουμε ελεύ-

θερο. Κάποια στιγμή συγκρούεται με το Σ2 και κολλά σ’ αυτό. Τα σώματα κινούνται σε λείο ο-

ριζόντιο επίπεδο και η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.

α) Να υπολογίσετε σε πόσο χρόνο και με τι ταχύτητα το σώμα Σ1 θα συγκρουστεί με το σώμα

Σ2. [π/20 - 4]

β) Να δείξετε ότι το συσσωμάτωμα Σ1 – Σ2 θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υ-

πολογίσετε την σταθερά της. [900]

γ) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. [0,2]

δ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το

χρόνο, θεωρώντας ως αρχή του χρόνου τη στιγμή αμέσως μετά την κρούση. [x΄=0,2ημ(15t) (S.I.)]

ε) Σε πόσο χρόνο από τη στιγμή που αφήσαμε το σώμα m1 θα μηδενιστεί η ταχύτητα του συσ-

σωματώματος για 2η φορά και πόση απόσταση θα έχει διανύσει το m1 μέχρι τότε;

[3π/20 - 1] (Θέμα ∆)

58. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα μάζας m=10 kg ισορροπεί δεμένο στο κάτω

άκρο του αβαρούς νήματος το πάνω άκρο του οποίου είναι δεμένο στο κάτω

άκρο του κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=10 N/cm.

α) Σχεδιάστε τις δυνάμεις, που ασκούνται στο σώμα και αιτιολογήστε γιατί η

δύναμη ελατηρίου στο νήμα είναι ίση με την τάση του νήματος στο σώμα.

β) Υπολογίστε την επιμήκυνση ∆ℓ του ελατηρίου. [0,1] Θεωρήστε ότι g=10 m/s2.

Τραβάμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω από τη Θ.Ι. του, μεταφέροντας

ενέργεια στο σώμα Εμετ=5 J και το αφήνουμε να ταλαντωθεί.

γ) Να αποδείξετε ότι θα εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση και να βρείτε το πλάτος τα-

λάντωσης. [0,1]

δ) Γράψτε την εξίσωση της τάσης του νήματος στο σώμα σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x

απ’ τη Θέση Ισορροπίας και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της τάσης του νήματος Τ σε συ-

-27-


νάρτηση με την απομάκρυνση x, σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες. [T=100-1000x] ε) Να βρείτε το σημείο της ταλάντωσης στο οποίο η τάση του νήματος θα μηδενισθεί. [0,1]

(Θέμα ∆)

59. Κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k, έχει το κάτω άκρο του δεμένο στο έδαφος και στο

άνω άκρο του έχουμε δέσει μικρό σώμα Σ2 μάζας m2=3kg. Το σώμα ισορροπεί με το ελατήριο

συσπειρωμένο κατά d=0,3m. Στην ίδια κατακόρυφο με τον άξονα του ελατηρίου και σε ύψος

d0=0,2m πάνω από το Σ2 αφήνουμε ένα μικρό σώμα μάζας m1=1kg. Τα δύο σώματα συγκρού-

ονται κεντρικά και πλαστικά. Το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση των σωμά-

των. [υ=0,5m/s]

β) Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του ελατηρίου και την περίοδο ταλάντωσης που θα

εκτελέσει το συσσωμάτωμα. [k=100N/m, T=0,4π s]

γ) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος. [E=1J]

δ) Να γράψετε την εξίσωση της επιτάχυνσης του συσσωματώματος σε σχέση με το χρόνο, θε-

ωρώντας θετική φορά κατακόρυφη προς τα επάνω και λαμβάνοντας ως χρονική στιγμή t=0 τη

στιγμή αμέσως μετά την κρούση. [ ]

∆ίνεται: g=10m/s2

-28-


-29-

Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις

ΘΕΜΑ Α

1. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και τη χρονική στιγμή t=0 το

φορτίο του πυκνωτή είναι μέγιστο. Η εξίσωση της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με το

χρόνο έχει τη μορφή:

a. i=ωQημ(ωt) b. i=ωQσυν(ωt) c. i=-ωQημ(ωt) d. i=-ωQσυν(ωt)

2. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και τη χρονική στιγμή t=0 το

φορτίο του πυκνωτή είναι μέγιστο. Ο πυκνωτής:

a. φορτίζεται στο χρονικό διάστημα 0 ως Τ/4.

b. εκφορτίζεται στο χρονικό διάστημα 0 ως Τ/4.

c. φορτίζεται στο χρονικό διάστημα 0 ως Τ/2.

d. εκφορτίζεται στο χρονικό διάστημα 0 ως Τ/2.

3. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τις στιγμές που το φορτίο του

πυκνωτή είναι μηδέν:

a. η ένταση του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή είναι μέγιστη.

b. ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου είναι μηδέν.

c. η ΗΕ∆ από αυτεπαγωγή στα άκρα του πηνίου ισούται με μηδέν.

d. η ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι μηδέν.

4. Σωστό-Λάθος Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τη χρονική

στιγμή t=0 το φορτίο του πυκνωτή είναι μέγιστο και το ρεύμα του κυκλώματος μηδέν.

a. Το πλάτος Ι της έντασης του ρεύματος και το πλάτος Q του φορτίου του πυκνωτή ικανοποι-

ούν τη σχέση: Ι=Q/2π√LC.

b. Θετική θεωρείται η φορά του ρεύματος όταν αυτό κατευθύνεται προς τον οπλισμό του πυ-

κνωτή ο οποίος τη χρονική στιγμή t=0 ήταν θετικά φορτισμένος.

c. Για την ενέργεια UΕ του πυκνωτή και την ενέργεια UΒ του πηνίου ισχύει κάθε στιγμή η σχέ-

ση: UE+UB=LI2/2

d. Η ενέργεια του πυκνωτή γίνεται ίση με την ενέργεια του πηνίου 4 φορές σε μία περίοδο τα-

λάντωσης του κυκλώματος.

e. Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης είναι κάθε στιγμή ίση με το μισό της αρχικής ενέργειας

του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή.

5. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της πρώτης στήλης με τα στοιχεία της δεύτερης στήλης.

Στήλη Ι Στήλη ΙΙ

A. δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U 1. ένταση ρεύματος i

B. κινητική ενέργεια K 2. φορτίο q


Γ. απομάκρυνση x 3. χωρητικότητα C

∆. ταχύτητα υ 4. ρυθμός μεταβολής έντασης ρεύματος di/dt

Ε. επιτάχυνση α 5. ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή UE

ΣΤ. σταθερά ελατηρίου k 6. ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου UB

Ζ. μάζα m 7. αντίστροφο χωρητικότητας 1/C

8. συντελεστής αυτεπαγωγής L

ΘΕΜΑ Β

6. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές τα-

λαντώσεις, με περίοδο Τ. Τη χρονική στιγμή t0 ο πυκνωτής είναι αφόρ-

τιστος και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα με τη φορά που έχει σχε-

διαστεί στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t1=t0+T/2, η ένταση του

ρεύματος θα είναι:

α) μέγιστη με τη φορά του σχήματος.

β) μηδέν.

γ) μέγιστη με φορά αντίθετη από αυτήν του σχήματος.

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα B)

7. Ένα ιδανικό κύκλωμα LC (1) έχει πυκνωτή με χωρητικότητα C και πηνίο με συντελεστή αυτε-

παγωγής L, ενώ ένα άλλο ιδανικό κύκλωμα LC (2) έχει τον ίδιο πυκνωτή, αλλά πηνίο με συ-

ντελεστή αυτεπαγωγής 4L. Φορτίζουμε τον πυκνωτή του κυκλώματος (1) με πηγή τάσης V και

τον πυκνωτή του κυκλώματος (2) με πηγή τάσης 2V και τα διεγείρουμε ώστε να εκτελούν α-

μείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Ο λόγος των πλατών των εντάσεων των ρευμάτων στα δύο

κυκλώματα I1/I2 ισούται με:

α) 1/2. β) 1. γ) 2.

Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα Β)

8. Στο σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των χρονι-

κών εξισώσεων φορτίου q - t , στη χρονική διάρκεια 0 έως

t0, για δύο ιδανικά κυκλώματα LC. Οι συντελεστές αυτε-

παγωγής των πηνίων στα δύο κυκλώματα συνδέονται με

τη σχέση L2=4L.

Η σχέση που συνδέει τις χωρητικότητες των δύο πυκνω-

τών είναι η:

α) C2=C/9. β) C2=C/4. γ) C2=C/3.

Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα Β)

9. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Αν κάποια χρονική στιγμή t

μειώσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή τότε πώς θα μεταβληθούν τα παρακάτω μεγέθη;

α) Ολική ενέργεια του κυκλώματος

β) Συχνότητα της ταλάντωσης

-30-


γ) Πλάτος του ρεύματος

Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. (Θέμα Β)

10. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Να αποδείξετε ότι η στιγμιαία

τιμή i της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα δίνεται σε συνάρτηση με το στιγμιαίο φορτίο q

του πυκνωτή από τη σχέση: 22 qQi (Θέμα Β)

11. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές

ταλαντώσεις, με περίοδο Τ. Τη χρονική στιγμή t0 ο πυκνωτής είναι

αφόρτιστος και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα με τη φορά που

έχει σχεδιαστεί στο σχήμα. Το φορτίο του οπλισμού Λ του πυκνωτή,

τη χρονική στιγμή t2=t0+3T/4, θα είναι:

α) μέγιστο θετικό. β) μηδέν. γ) μέγιστο αρ-

νητικό.

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα Β)

12. Ένα ιδανικό κύκλωμα LC (1) έχει πυκνωτή με χωρητικότητα C και πηνίο με συντελεστή αυτε-

παγωγής L, ενώ ένα άλλο ιδανικό κύκλωμα LC (2) έχει τον ίδιο πυκνωτή, αλλά πηνίο με συ-

ντελεστή αυτεπαγωγής 4L. Φορτίζουμε τον πυκνωτή του κυκλώματος (1) με πηγή τάσης V και

τον πυκνωτή του κυκλώματος (2) με πηγή τάσης 2V και τα διεγείρουμε ώστε να εκτελούν α-

μείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Ο λόγος των ολικών ενεργειών στα δύο κυκλώματα E2/E1 ι-

σούται με:

α) 1. β) 2. γ) 4.


13. Στο σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των χρο-

νικών εξισώσεων φορτίου q - t , στη χρονική διάρκεια 0

έως t0, για δύο ιδανικά κυκλώματα LC.

Ο λόγος των μεγίστων εντάσεων ρεύματος στα δύο κυ-

κλώματα I2/I1 ισούται με:

α) 3/4 β) 4/3 γ) 4/9

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση.

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα Β)

-31-


ΘΕΜΑ Γ,∆

14. Σε ένα ιδανικό ηλεκτρικό κύκλωμα LC το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=4mH, ενώ ο

πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=160μF. Στο κύκλωμα υπάρχει διακόπτης ∆, ο οποίος αρχικά

είναι ανοικτός. Ο πυκνωτής φορτίζεται πλήρως και τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης κλείνει,

οπότε το κύκλωμα κάνει αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Η ολική ενέργεια του κυκλώματος εί-

ναι E=2∙10-5.


α) Την περίοδο T της ταλάντωσης. [16π∙10-4]

β) Τη μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα. [0,1]

γ) Το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t1 , κατά την οποία η ενέργεια του ηλεκτρικού

πεδίου του πυκνωτή γίνεται για δεύτερη φορά ίση με την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο

πηνίο. [4√2∙10-5]

δ) Την παραπάνω χρονική στιγμή t1. [6π∙10-4] (Θέμα Γ)

15. Στο κύκλωμα του σχήματος το πηνίο έχει συντε-

λεστή αυτεπαγωγής L=10mH, ο πυκνωτής 1 έχει

χωρητικότητα C1=4μF, ενώ ο πυκνωτής 2 έχει

χωρητικότητα C2=16μF. Αρχικά ο μεταγωγός μ

βρίσκεται στη θέση (Α) και το κύκλωμα LC1 εκτε-

λεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με ολική ενέρ-

γεια E1=8∙10-6J , ενώ ο πυκνωτής 2 είναι αφόρτι-

στος. Τη χρονική στιγμή t1 ο πυκνωτής 1 είναι πλήρως φορτισμένος, με τον οπλισμό K να είναι

θετικά φορτισμένος. Τη χρονική στιγμή, όπου, t2=t1+3T1/4 όπου T1 η περίοδος της ηλεκτρικής

ταλάντωσης του κυκλώματος , μεταφέρουμε ακαριαία τον μεταγωγό στη θέση (Β) χωρίς να

προκληθεί σπινθήρας και το κύκλωμα LC2 ξεκινά αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση.


α) το πλάτος φορτίου Q1 στον πυκνωτή 1. [8∙10-6]

β) το πλάτος I2 της έντασης στο κύκλωμα . [0,04]

γ) τη μέγιστη ΗΕ∆ από αυτεπαγωγή στα άκρα του πηνίου στο κύκλωμα LC2. [1]

Να εξηγήσετε:

δ) ποιός από τους οπλισμούς M,N του πυκνωτή 2 φορτίζεται πρώτος θετικά, όταν το κύκλωμα

LC2 ξεκινήσει ηλεκτρική ταλάντωση. [M] (Θέμα Γ)

16. Ιδανικό κύκλωμα περιλαμβάνει πυκνωτή χωρητικότητας C=40μF, ιδανικό πηνίο με συντελεστή

αυτεπαγωγής L=4mH και διακόπτη, που είναι αρχικά ανοικτός. Φορτίζουμε τον πυκνωτή σε

τάση V=100V και τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη, οπότε το κύκλωμα εκτελεί

αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις.

α) Να υπολογίσετε την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης. [2500]

β) Να υπολογίσετε την μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο. [10]

-32-


γ) Να γράψετε τις εξισώσεις q=f(t) και i=f(t). [q= , i= ]

δ) Να υπολογίσετε την (ολική) ενέργεια της ταλάντωσης. [0,2] (Θέμα Γ)

17. Πυκνωτής χωρητικότητας C φορτίζεται από ηλεκτρική πηγή συνεχούς τάσης που έχει Ηλεκτρε-

γερτική ∆ύναμη Ε=50 V. Στη συνέχεια αποσυνδέουμε την πηγή φόρτισης και συνδέουμε τα

άκρα του με αγωγούς μηδενικής αντίστασης σε ιδανικό πηνίο, που έχει συντελεστή αντεπαγω-

γής L=0,5 H, μέσω διακόπτη. Τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη, οπότε το κύκλω-

μα αρχίζει να εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις συχνότητας f=500/π Hz.

α) Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα C του πυκνωτή. [2μF]

β) Να γράψετε τις εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που δι-

αρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο. []

γ) Να υπολογίσετε τις χρονικές στιγμές που μηδενίζεται η τάση αυτεπαγωγής του πηνίου στο

χρονικό διάστημα από 0 έως 2π 10-3 s . [0,5π∙10-3 - 1,5π∙10-3]

δ) Να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος τις στιγμές, που το φορτίο του πυκνωτή έχει τιμή

5√3∙10-5 C και το ρεύμα έχει φορά προς τον αρχικά αρνητικά φορτισμένο οπλισμό του πυ-

κνωτή. [-0,05] (Θέμα ∆)

18. Ιδανικό κύκλωμα περιλαμβάνει πυκνωτή χωρητικότητας C, ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτε-

παγωγής L και διακόπτη, που είναι αρχικά ανοικτός. Φορτίζουμε τον πυκνωτή με φορτίο

Q=1/2π mC και τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη, οπότε το κύκλωμα εκτελεί α-

μείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις με περίοδο Τ=1 ms.

α) Να βρείτε τη μέγιστη ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα. [1]

β) Να υπολογίσετε το φορτίο του πυκνωτή τις στιγμές, που η ένταση του ρεύματος έχει τιμή

√3/2 A. [±10-3/4π]

γ) Να βρείτε ποιες χρονικές στιγμές στη διάρκεια της 1ης περιόδου, η ενέργεια μαγνητικού πε-

δίου στο πηνίο είναι ίση με το 75% της ολικής ενέργειας του κυκλώματος; [Τ/6, 2Τ/6, 4Τ/6, 5Τ/6] δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της έντασης του ρεύματος di/dt στο κύκλωμα τη χρο-

νική στιγμή t=Τ/3. [1000π] (Θέμα ∆)

19. Στο κύκλωμα του σχήματος η ηλεκτρική πηγή έχει ΗΕ∆ Ε=20

V, ο πυκνωτής χωρητικότητα C=2 μF και το πηνίο συντελεστή

αυτεπαγωγής L=80 mΗ.

1) Αρχικά ο μεταγωγός διακόπτης βρίσκεται στη θέση (1).

α) Πόση είναι η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα και πόση η

τάση στα άκρα του πυκνωτή; [0 και 20]

β) Να υπολογίσετε την ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου που είναι

αποθηκευμένη στον πυκνωτή. [4∙10-4]

2) Τη χρονική στιγμή t=0 μετακινούμε ακαριαία το διακόπτη στη θέση (2), χωρίς να δημιουρ-

γηθεί σπινθήρας (δηλαδή χωρίς απώλεια ενέργειας), οπότε «αποκόπτεται» η ηλεκτρική πηγή

και το ιδανικό κύκλωμα L-C αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις.

α) Να γράψετε τις εξισώσεις του φορτίου q του πυκνωτή καθώς και του ρυθμού μεταβολής του

-33-


dq/dt σε συνάρτηση με το χρόνο t. [q= , dq/dt=i= ]

β) Να υπολογίσετε την απόλυτη τιμή της τάσης στα άκρα του πυκνωτή τη χρονική στιγμή που

η ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου ισούται με UB=3∙10-4 J. [10] (Θέμα ∆)

20. Ιδανικό κύκλωμα περιλαμβάνει πυκνωτή χωρητικότητας C, ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτε-

παγωγής L και διακόπτη, που είναι αρχικά ανοικτός. Φορτίζουμε τον πυκνωτή με φορτίο

Q=100μC και κλείνουμε το διακόπτη, οπότε το κύκλωμα εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλα-

ντώσεις. Κάποια χρονική στιγμή t το φορτίο του αρχικά θετικά φορτισμένου οπλισμού του πυ-

κνωτή είναι q= 60μC και συνεχίζει να αυξάνεται. Την ίδια στιγμή η ένταση του ρεύματος στο

κύκλωμα είναι i=80mA.


α) την κυκλική (γωνιακή) συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης. [1000]

β) το ρυθμό με τον οποίο το φορτίο αποθηκεύεται στον θετικό οπλισμό του πυκνωτή τη χρονι-

κή στιγμή t. [80mA]

γ) το ρυθμό μεταβολής της έντασης του ρεύματος di/dt στο κύκλωμα τη χρονική στιγμή t.

[-60] (Θέμα Γ)

21. Πυκνωτής χωρητικότητας C φορτίζεται από ηλεκτρική πηγή συνεχούς τάσης. Στη συνέχεια α-

ποσυνδέουμε την πηγή φόρτισης και συνδέουμε τα άκρα του με αγωγούς μηδενικής αντίστα-

σης σε ιδανικό πηνίο, που έχει συντελεστή αντεπαγωγής L=0,4 H, μέσω διακόπτη. Τη χρονική

στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη, οπότε το κύκλωμα αρχίζει να εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώ-

σεις. Η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση: q=0,4συν1000t μC.

α) Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα C του πυκνωτή. [2,5μF]

β) Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση

με το χρόνο. [i=-0,4ημ1000t (mA)]

γ) Να υπολογίσετε την τιμή της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή όταν η τιμή της

έντασης του ρεύματος είναι 0,2∙10-3 Α. [24∙10-9] (Θέμα Γ)

22. Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος η ηλεκτρική πηγή

έχει ΗΕ∆ Ε=20 V και εσωτερική αντίσταση r=1 Ω, ο αντι-

στάτης έχει αντίσταση R=9 Ω, ο πυκνωτής έχει χωρητικό-

τητα C=10 μF και το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής

L=16 mH. O μεταγωγός διακόπτης είναι αρχικά στη θέση

(1) και το πηνίο διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα σταθερής

έντασης. Τη χρονική στιγμή t=0, μεταφέρουμε απότομα το

διακόπτη στη θέση (2) χωρίς να δημιουργηθεί σπινθήρας, οπότε στο ιδανικό κύκλωμα L-C διε-

γείρεται αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. α) Να βρείτε τη σταθερή ένταση του ρεύματος που δι-

αρρέει το πηνίο καθώς και την αποθηκευμένη ενέργεια μαγνητικού πεδίου όταν ο διακόπτης

βρίσκεται στη θέση (1). [2 - 32∙10-3]

β) Ποιος οπλισμός του πυκνωτή θα φορτιστεί πρώτος θετικά και γιατί; Ποιά χρονική στιγμή ο

οπλισμός ∆ του πυκνωτή θα αποκτήσει για πρώτη φορά μέγιστο φορτίο με αρνητική πολικότη-

τα; Ποιά χρονική στιγμή το πηνίο για πρώτη φορά θα διαρρέεται από ρεύμα μέγιστης τιμής και

-34-


φοράς από το Β προς το Α; [∆ – 6π∙10-4 - 4π∙10-4]

γ) Να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν πως μεταβάλλονται σε σχέση με το χρόνο στο

S.I. το φορτίο του οπλισμού ∆ του πυκνωτή και η ένταση του ρεύματος.

[ ] δ) Να βρείτε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος τη στιγμή που η έ-

νταση του ρεύματος στο κύκλωμα είναι μηδέν. [5000] (Θέμα ∆)

23. Στο κύκλωμα του σχήματος, ο πυκνωτής C1 έχει χωρητικότητα

C1=16 μF και είναι φορτισμένος από πηγή με ΗΕ∆ Ε=50 V, και

πολικότητα όπως στο σχήμα. Το πηνίο έχει συντελεστή αυτε-

παγωγής L=10 mH, ενώ ο πυκνωτής C2, με χωρητικότητα

C2=4 μF, είναι αρχικά αφόρτιστος.

1) Τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης μεταφέρεται στη θέση

(1) και το κύκλωμα L-C1 αρχίζει να εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική

ταλάντωση.

α) Να γράψετε την εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με τον χρόνο για το κύ-

κλωμα L-C1. [ ]

β) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t1=3π∙10-4 s, την ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα L-C1 κα-

θώς και την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. [-√2 - 10-2]

2)Τη χρονική στιγμή t1 ο διακόπτης μεταφέρεται ακαριαία στη θέση (2) χωρίς να ξεσπάσει

σπινθήρας και ταυτόχρονα μηδενίζουμε το χρονόμετρο. Το κύκλωμα L-C2 αρχίζει να εκτελεί

αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση.

α) Να βρείτε σε πόσο χρονικό διάστημα θα φορτιστεί πλήρως ο πυκνωτής C2 καθώς και ποιος

οπλισμός του, ο Μ ή ο Ν, θα αποκτήσει πρώτος θετικό φορτίο [π∙10-4 - Μ]

β) Για το κύκλωμα L-C2, να γράψετε τις εξισώσεις που δίνουν σε σχέση με το χρόνο το φορτίο

του οπλισμού Μ καθώς και την ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή C2.

[ ] (Θέμα ∆)

24. Στο κύκλωμα του σχήματος, ο πυκνωτής C έχει χωρητικότητα

C=20 μF και είναι φορτισμένος από πηγή με ΗΕ∆ Ε=10 V, και

πολικότητα όπως στο σχήμα. Τα πηνία έχουν συντελεστή αυ-

τεπαγωγής L1=8 mH και L2=2 mH.

1)Τη χρονική στιγμή t=0 ο μεταγωγός διακόπτης δ μεταβαίνει

στη θέση (1) και το κύκλωμα L1C αρχίζει να εκτελεί αμείωτη

ηλεκτρική ταλάντωση.

α) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις, που δίνουν το φορτίο του πυκνωτή και την ένταση του

ρεύματος, στο S.I. Πόση είναι η ολική ενέργεια Ε1 της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώμα-

τος L1C;

-35-


[ , , 10-3] β) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t1=16π/3 ∙ 10−4 s:

(i) Την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το 1ο πηνίο. [√3/4]

(ii) Το φορτίο κάθε οπλισμού του πυκνωτή. [±10-4]

2)Τη χρονική στιγμή t1 ο διακόπτης μεταβαίνει ακαριαία στη θέση (2), χωρίς να ξεσπάσει ηλε-

κτρικός σπινθήρας.

α) Θεωρώντας πάλι ως t=0 τη χρονική στιγμή που αλλάζει θέση ο διακόπτης, να γράψετε τη

σχέση έντασης ρεύματος-χρόνου για το κύκλωμα L2C. Πόση είναι τώρα η ολική ενέργεια Ε2

του κυκλώματος L2C ; [ , 25∙10-5]

β) Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της ενέργειας μαγνητικού πεδίου του πηνίου L2, τη

χρονική στιγμή t2=5π/4∙10-4 s. ∆ίνεται ημ2φ=2ημφσυνφ [-0,625√2]

(Θέμα ∆)

25. Στο παρακάτω κύκλωμα η ηλεκτρική πηγή έχει ΗΕ∆

Ε=50 V και εσωτερική αντίσταση r=1 Ω, οι αντιστάτες

έχουν αντίσταση R1=4 Ω και R2=5 Ω, ο πυκνωτής έχει

χωρητικότητα C=10 μF και το πηνίο έχει συντελεστή αυ-

τεπαγωγής L=4 mH. Αρχικά ο μεταγωγός διακόπτης δ

είναι στη θέση (1) και οι αντιστάτες διαρρέονται από

ρεύμα σταθερής έντασης. Τη χρονική στιγμή t=0

μετακινούμε το διακόπτη στη θέση (2), χωρίς να δημιουργηθεί σπινθήρας, οπότε το ιδανικό

κύκλωμα L-C αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις.

α) Να βρείτε την ένταση i0 του ρεύματος, που διαρρέει την πηγή καθώς και το φορτίο, που έ-

χει αποθηκευτεί στον πυκνωτή όταν οι αντιστάτες διαρρέονται από σταθερό ρεύμα.[5 - 2∙10-4]

β) Να βρείτε το λόγο της έντασης του ρεύματος i0, που διέρρεε αρχικά την πηγή προς τη μέγι-

στη ένταση Ι του ρεύματος, που διαρρέει το κύκλωμα L-C της ηλεκτρικής ταλάντωσης. [5]

γ) Να γράψετε τις εξισώσεις, που δίνουν τις ενέργειες του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και

του μαγνητικού πεδίου του πηνίου σε συνάρτηση με το χρόνο.

[ ] δ) Να βρείτε τις χρονικές στιγμές στις οποίες οι ενέργειες ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου

είναι ίσες στη διάρκεια της πρώτης περιόδου της ταλάντωσης.

[0,5∙10-4 , 1,5∙10-4 , 2,5∙10-4 , 3,5∙10-4 ,] (Θέμα ∆)

-36-


-37-

Φθίνουσες Ταλαντώσεις

1. Σε σύστημα ελατηρίου - σώματος, εκτός από τη δύναμη επαναφοράς ενεργεί και δύναμη αντί-

στασης F=-bu, όπου b η σταθερά απόσβεσης και u η ταχύτητα του σώματος.

Να επιλέξετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές.

a. Το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται γραμμικά σε συνάρτηση με τον χρόνο.

b. Η μηχανική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή.

c. Ο ρυθμός ελάττωσης του πλάτους εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης b.

d. Η περίοδος της ταλάντωσης παραμένει σταθερή, ανεξάρτητη από το πλάτος της ταλάντω-

σης.

2. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση η σταθερά απόσβεσης b εξαρτάται από:

a. την ταχύτητα του σώματος που ταλαντώνεται.

b. την πυκνότητα και το μέγεθος του αντικειμένου που κινείται.

c. τις ιδιότητες του μέσου, το σχήμα και το μέγεθος του αντικειμένου που κινείται.

d. τις ιδιότητες του μέσου, την πυκνότητα και τον όγκο του αντικειμένου που κινείται.

3. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση στην οποία ενεργεί δύναμη αντίστασης F=-bu, όπου b η σταθερά

απόσβεσης και u η ταχύτητα, διαπιστώνουμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται με το

χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α=Α0e-Λt .


a. Ο λόγος δύο διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση διατηρείται

σταθερός.

b. Η σταθερά Λ εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης b και το σχήμα του ταλαντούμενου σώ-

ματος.

c. Όταν η σταθερά απόσβεσης b μεγαλώνει, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο αργά.

d. Στις ακραίες περιπτώσεις στις οποίες η σταθερά απόσβεσης παίρνει πολύ μεγάλες τιμές, η

κίνηση γίνεται απεριοδική.

4. Ποιά από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;

a. Σε όλα τα συστήματα που ταλαντώνονται επιδιώκεται η ελαχιστοποίηση της απόσβεσης.

b. Σε όλα τα συστήματα που ταλαντώνονται επιδιώκεται η μεγάλη απόσβεση.

c. Στο σύστημα ανάρτησης του αυτοκινήτου (αμορτισέρ) είναι επιθυμητή η μεγάλη απόσβεση.

d. Σε ένα εκκρεμές ρολόι επιδιώκεται η μεγιστοποίηση της απόσβεσης.

5. Στη σχέση Α=Α0e-Λt , η σταθερά Λ εξαρτάται από:

Επιλέξτε ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;

a. τη σταθερά απόσβεσης b και τη μάζα του ταλαντούμενου σώματος.

b. τη σταθερά απόσβεσης b και την πυκνότητα του ταλαντούμενου σώματος.

c. τη σταθερά απόσβεσης b και το σχήμα του ταλαντούμενου σώματος.

d. την ταχύτητα του ταλαντούμενου σώματος.


6. Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά με μία ή περισσότερες λέξεις.

Στην περίπτωση των ηλεκτρικών ταλαντώσεων, ο κύριος λόγος της απόσβεσης είναι

………………., η αύξηση της οποίας συνεπάγεται πιο …………………… απόσβεση της ταλάντωσης και

μικρή …………………. της περιόδου της. Η περίοδος μπορεί να θεωρηθεί ………………………… σταθε-

ρή για ορισμένη τιμή της αντίστασης ενώ η ταλάντωση γίνεται απεριοδική στην περίπτωση που

……………………………….. υπερβεί κάποιο όριο.

7. Στον πίνακα που ακολου-

θεί δίνονται οι μέγιστες

απομακρύνσεις μιας μηχα-

νικής ταλάντωσης για δύο

χρονικές στιγμές.

Αν γνωρίζουμε ότι η περίοδος της ταλάντωσης είναι 1s και η δύναμη αντίστασης είναι της

μορφής F=-bu να συμπληρωθεί ο πίνακας. (Θέμα Β)

Χρόνος (s) 0 1 2 3

Μέγιστη απομάκρυν-

ση(cm)

Α0=; Α1=12 Α2=9 Α3=;

8. Ένα σύστημα ξεκινά φθίνουσες ταλαντώσεις με αρχική ενέργεια 100J και αρχικό πλάτος Α0. Το

έργο της δύναμης αντίστασης μετά από Ν ταλαντώσεις είναι 84J. Άρα το πλάτος ταλάντωσης

μετά από Ν ταλαντώσεις είναι:

α) Α0/4. β) 4Α0/16. γ) 4Α0/10.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα Β)

9. Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση Α=Α0e-Λt. Ο χρόνος που απαιτεί-

ται ώστε η ολική ενέργεια της ταλάντωσης να γίνει η μισή της αρχικής (Ε=Ε0/2) είναι:

α) t= ln2/Λ. β) t=ln2/2Λ. γ) t= Λ/ln2.

Ποιά είναι η σωστή πρόταση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα Β)

10. Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση Α=Α0e-Λt. Ο χρόνος που απαιτεί-

ται ώστε το πλάτος της ταλάντωσης να γίνει το μισό του αρχικού (Α=Α0/2) είναι:

α) t= ln2/Λ. β) t= ln4/Λ. γ) t= Λ/ln2.

Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα Β)

11. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση, οι μονάδες της σταθεράς απόσβεσης b στο S.I. είναι:

α) kg s. β) s/kg. γ) kg/s.

Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα Β)

12. Σώμα μάζας 1kg εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση και το πλάτος μειώνεται με το χρόνο

σύμφωνα με τη σχέση Α=0,1e-Λt (S.I.), με t=NT (N=0,1,2,3,…) , όπου Τ είναι η περίοδος της

φθίνουσας ταλάντωσης. Τη στιγμή t=0 η ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος είναι ίση με

2J, ενώ τη στιγμή t1 το πλάτος της ταλάντωσης είναι το μισό του αρχικού. Να βρεθούν:

α) Το πλάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t2=4t1. [1/160]

β) Η περίοδος Τ της ταλάντωσης. [π/10]

γ) Το ποσοστό % της αρχικής ενέργειας που μετετράπη σε θερμότητα κατά τη διάρκεια της

φθίνουσας ταλάντωσης από την αρχή μέχρι τη χρονική στιγμή t=2t1. [93,75]

(Θέμα Γ)

-38-


-39-

13. Το πλάτος μιας φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με

τη σχέση Α=Α0e-Λt και υποδιπλασιάζεται σε χρόνο t=5s.

α) Ποια είναι η τιμή της σταθεράς Λ της ταλάντωσης; [0,14]

β) Πόσος χρόνος χρειάζεται ώστε το πλάτος της ταλάντωσης να μείνει το 1/8 του αρχικού; [15]

γ) Ποιο κλάσμα της αρχικής του ενέργειας χάνει το ταλαντούμενο σύστημα στο χρονικό διά-

στημα που πρέπει να περάσει για να γίνει το πλάτος το 1/8 του αρχικού; [63/64]

∆ίνεται ln2=0,7. (Θέμα Γ)


τη σχέση Α=Α0e-Λt. Το πλάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t=0 είναι Α0=8cm και τη

χρονική στιγμή t=20s είναι Α1=2cm.

α) Ποια είναι η τιμή της σταθεράς Λ της ταλάντωσης; [0,07]

β) Πόσος χρόνος χρειάζεται ώστε το πλάτος της ταλάντωσης να μείνει το 1/2 του αρχικού; [10] γ) Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t=30s; [1cm]

∆ίνεται ln2=0,7. (Θέμα Γ)


τη σχέση Α=Α0e-Λt. Η σταθερά Λ της ταλάντωσης ισούται με Λ=0,014 s-1.

α) Να βρείτε μετά από πόσο χρονικό διάστημα το σύστημα θα έχει χάσει τα ¾ της αρχικής του

ενέργειας . [50]

β)Να υπολογιστεί ο αριθμός των ταλαντώσεων Ν που πραγματοποιεί το σύστημα μέχρι να υπο-

τετραπλασιαστεί η αρχική του ενέργεια. [100]

∆ίνεται ότι η περίοδος των ταλαντώσεων είναι Τ=0,5s και ln2=0,7. (Θέμα Γ)


τη σχέση Α=Α0e-ln4·t. Σε χρονικό διάστημα 10Τ, όπου Τ η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης,

το πλάτος ελαττώνεται κατά 50%. Να υπολογίσετε:

α) την περίοδο Τ της φθίνουσας ταλάντωσης. [0,05]

β) τον αριθμό των ταλαντώσεων Ν που πρέπει να πραγματοποιηθούν ώστε το πλάτος να μειω-

θεί από A0/4 σε A0/16. [20]

γ) Το κλάσμα της αρχικής ενέργειας που έχασε ο ταλαντωτής καθώς το πλάτος μειώνεται από

A0/4 σε A0/16. [15/256] (Θέμα Γ)


Εξαναγκασμένη Ταλάντωση-Συντονισμός

ΘΕΜΑ Α

1. Σύστημα κατακόρυφου ελατηρίου-σώματος που παρουσιάζει μικρή σταθερά απόσβεσης b εκτε-

λεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι f0 και η συχνότητα του

διεγέρτη είναι f. Η συχνότητα ταλάντωσης είναι (επιλέξτε τη σωστή απάντηση):

a. Ελάχιστα μικρότερη της f0.

b. Ίση με f0.

c. Ίση με f.

d. Ίση με τη διαφορά |f-f0|.

2. Σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με σταθερά απόσβεσης b. Στο συντονισμό το πλάτος

της ταλάντωσης είναι (επιλέξτε τη σωστή απάντηση):

a. Μέγιστο. b. Ελάχιστο. c. Μηδέν. d. Άπειρο.

3. Σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Παρατηρείται ότι για δύο διαφορετικές συχνότητες f1

και f2 του διεγέρτη με f1<f2 το πλάτος της ταλάντωσης είναι το ίδιο. Για την ιδιοσυχνότητα f0

του συστήματος ισχύει (επιλέξτε τη σωστή απάντηση):

a. f0<f1..

b. f0>f1.

c. f1<f0<f2..

d. f0=f1.

4. Ένα κύκλωμα LC παρουσιάζει αντίσταση R και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση υπό την επί-

δραση μίας πηγής εναλλασσόμενης τάσης συχνότητας f. Αν η συχνότητα f γίνει ίση με την ιδι-

οσυχνότητα του κυκλώματος LC , τότε (επιλέξτε τη σωστή απάντηση):

a. Το ρεύμα μηδενίζεται.

b. Το ρεύμα σταδιακά μειώνεται μέχρι να μηδενιστεί.

c. Το ρεύμα γίνεται μέγιστο.

d. Μεγαλώνει η αντίσταση του κυκλώματος.

5. Σύστημα κατακόρυφου ελατηρίου-σώματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με σταθερά

απόσβεσης b. Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι f0=10Hz. Η συχνότητα του διεγέρτη είναι

αρχικά f=15Hz και την μειώνουμε σταδιακά μέχρι την τιμή f=7Hz. Το πλάτος της εξαναγκα-

σμένης ταλάντωσης (επιλέξτε την σωστή απάντηση):

a. Αρχικά αυξάνεται, παίρνει μία μέγιστη τιμή και μετά μειώνεται.

b. Αυξάνεται συνεχώς.

c. Μειώνεται συνεχώς.

d. Είναι ανεξάρτητο της συχνότητας του διεγέρτη.

6. Ένα μηχανικό σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Με κατάλληλη διάταξη μεταβάλ-

λουμε την σταθερά απόσβεσης b του συστήματος. Αυξάνοντας τη σταθερά απόσβεσης b , πα-

ρατηρούμε στο συντονισμό (επιλέξτε τη σωστή απάντηση):

-40-


a. Αύξηση του πλάτους.

b. Μείωση του πλάτους.

c. Το πλάτος γίνεται άπειρο.

d. Το πλάτος στο συντονισμό δεν εξαρτάται από το b.

7. Σύστημα κατακόρυφου ελατηρίου-σώματος με μικρή σταθερά απόσβεσης b εκτελεί εξαναγκα-

σμένη ταλάντωση. Η συχνότητα του διεγέρτη f είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα f0 του συστήμα-

τος. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λανθασμένες;

a. Το σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό.

b. Το σύστημα αποδέχεται την ενέργεια με τον βέλτιστο τρόπο.

c. Το πλάτος της ταλάντωσης απειρίζεται.

d. Οι μονάδες της σταθεράς απόσβεσης b είναι Νm/s.

8. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση ισχύει:


a. Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι ίση με την συχνότητα του διεγέρτη.

b. Όταν αυξάνεται συνεχώς η συχνότητα του διεγέρτη, αυξάνεται συνεχώς και το πλάτος της

ταλάντωσης.

c. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο στην κατάσταση συντονισμού.

d. Όταν η σταθερά απόσβεσης b αυξάνεται, το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται.

e. Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται με το χρόνο.

9. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση κατά τον συντονισμό ισχύει: Να επιλέξετε τη σωστή

πρόταση.

a. Ο διεγέρτης προσφέρει ανά περίοδο στο σύστημα ενέργεια ίση με Ε0=DA2/2 , όπου Α το

πλάτος της ταλάντωσης κατά τον συντονισμό.

b. Όταν η σταθερά απόσβεσης είναι b=0, το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται θεωρητικά ίσο με

μηδέν.

c. Ελαχιστοποιούνται οι απώλειες ενέργειας λόγω τριβών, αντιστάσεων κτλ.

d. Η ενέργεια μεταφέρεται από τον διεγέρτη στο ταλαντούμενο σύστημα κατά τον βέλτιστο

τρόπο.

10. Σε μια εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση ισχύει:


a. Ως διεγέρτης χρησιμοποιείται μια πηγή σταθερής τάσης.

b. Όταν αυξάνεται συνεχώς η συχνότητα της τάσης της πηγής - διεγέρτη, αυξάνεται συνεχώς

και το πλάτος του ρεύματος.

c. Το πλάτος του ρεύματος είναι μέγιστο στην κατάσταση συντονισμού.

d. Το κύκλωμα διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα.

e. Το πλάτος του ρεύματος αυξάνεται με το χρόνο.

11. Αν θέλουμε να διατηρείται σταθερό το πλάτος της ταλάντωσης ενός συστήματος, πρέπει να:

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. ασκείται στο σύστημα συνεχώς μια σταθερή εξωτερική δύναμη.

-41-


b. ασκείται στο σύστημα μια περιοδική εξωτερική δύναμη.

c. ασκείται στο σύστημα μια δύναμη που το μέτρο της να αυξάνεται με το χρόνο.

d. ασκηθεί στο σύστημα στιγμιαία μια δύναμη μεγάλου μέτρου.

12. Η επιλογή ενός σταθμού στο ραδιόφωνο στηρίζεται στο φαινόμενο του συντονισμού. Το κύ-

κλωμα επιλογής σταθμών στο ραδιόφωνο είναι ένα κύκλωμα LC που εξαναγκάζεται σε ηλε-

κτρική ταλάντωση από την κεραία. Στην περίπτωση αυτήν ισχύει:


a. Στην κεραία ενός ραδιοφώνου κάθε στιγμή φθάνουν πολλά ηλεκτρομαγνητικά κύματα ίδιας

συχνότητας.

b. Όταν γυρίζουμε το κουμπί επιλογής των σταθμών, μεταβάλλουμε την χωρητικότητα ενός

μεταβλητού πυκνωτή και ταυτόχρονα την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος LC του ραδιοφώνου.

c. Το κύκλωμα LC του ραδιοφώνου βρίσκεται σε επαγωγική σύζευξη με την κεραία του.

d. Η κίνηση των ηλεκτρονίων στην κεραία δημιουργεί σ’ αυτήν ένα πολύ ασθενές σταθερό ρε-

ύμα.

e. Όταν η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος LC του ραδιοφώνου συμπέσει με κάποια από τις συ-

χνότητες των κυμάτων που εκπέμπουν οι ραδιοφωνικοί σταθμοί και φτάνουν στην κεραία, τό-

τε το κύκλωμα διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα μέγιστου πλάτους.

13. Σύστημα ελατηρίου – μάζας εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η συχνότητα του διεγέρτη

είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Αν τετραπλασιάσουμε τη μάζα στο σύστημα,

τότε η ιδιοσυχνότητά του: Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση.

a. γίνεται μέγιστη.

b. υποδιπλασιάζεται.

c. διπλασιάζεται.

d. υποτετραπλασιάζεται.

14. Να επιλέξετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές.

a. Στη διάρκεια ενός σεισμού τα κτήρια εξαναγκάζονται να εκτελέσουν ταλάντωση με συχνό-

τητα ίση με την ιδιοσυχνότητά τους f0.

b. Μία γέφυρα μπορεί να συντονιστεί με τη συχνότητα βηματισμού μιας ομάδας ανθρώπων

που κινούνται πάνω της και να καταρρεύσει.

c. Η βαρυτική έλξη της Σελήνης εξαναγκάζει τη μάζα του νερού στην επιφάνεια της γης σε τα-

λάντωση (φαινόμενο παλίρροιας).

d. Το φαινόμενο του συντονισμού μπορεί να προκαλέσει το σπάσιμο ενός κρυστάλλινου ποτη-

ριού.

e. Στην κούνια δεν είναι δυνατό να επιτευχθεί συντονισμός γιατί οι αποσβέσεις είναι αμελητέ-

ες.

15. Συμπληρώστε τα παραπάνω κενά με μία ή περισσότερες λέξεις.

Στις εξαναγκασμένες μηχανικές ταλαντώσεις με απόσβεση η συχνότητα συντονισμού είναι λίγο

…………………….. από την ιδιοσυχνότητα f0. H αύξηση της σταθεράς απόσβεσης συνεπάγεται

…………….. του μέγιστου πλάτους και ταυτόχρονα μικρή ……………..της συχνότητας συντονισμού.

-42-


-43-

Για πολύ μικρές τιμές της απόσβεσης (b=0) το μέγιστο πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντω-

σης θεωρητικά γίνεται ……………………

ΘΕΜΑ Β

16. Ένα σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας f=15Ηz. Η ιδιοσυ-

χνότητα του συστήματος είναι 17 Ηz. Αν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει 16Ηz τότε το πλάτος

της εξαναγκασμένης ταλάντωσης:

Α) θα γίνει μικρότερο από Α.

Β) θα γίνει μεγαλύτερο από Α.

Γ) θα παραμείνει Α.


17. Ένα σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση συχνότητας f=30Ηz και πλάτους Α. Η ιδιοσυ-

χνότητα του συστήματος είναι 25 Ηz. Αν αυξήσουμε τη σταθερά απόσβεσης b του συστήματος

χωρίς να μεταβάλλουμε τη συχνότητα του διεγέρτη, τότε:

α) πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα μειωθεί.

β) η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα γίνει λίγο μικρότερη από 30Ηz.

γ) η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα γίνει λίγο μικρότερη από 25Ηz.


18. Για ένα σύστημα που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα f=10Ηz, βρίσκεται σε

κατάσταση συντονισμού και έχει πλάτος ταλάντωσης Α=8cm, ισχύουν τα εξής:

α) έχει σταθερά απόσβεσης b=0.

β) έχει απώλειες ενέργειας ανά περίοδο λιγότερες, από αυτές που θα είχε αν η συχνότητα του

διεγέρτη γίνει 6 Ηz.

γ) το πλάτος ταλάντωσης μπορεί να γίνει μεγαλύτερο από αυτό που έχει, αρκεί να ελαττώσου-

με τη σταθερά απόσβεσης.


ΘΕΜΑ Γ

19. Σύστημα κατακόρυφου ελατηρίου-σώματος που παρουσιάζει μικρή απόσβεση εκτελεί εξανα-

γκασμένη ταλάντωση. Η συχνότητα του διεγέρτη είναι f=5/π Hz. Η μάζα του ταλαντούμενου

σώματος είναι m=1 kg και η σταθερά του ελατηρίου είναι k=400N/m.

α) Να υπολογιστεί η συχνότητα του διεγέρτη ώστε να έχουμε συντονισμό. [10/π]

β) Αν αυξήσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη από την τιμή f=5/π Hz σταδιακά ως την τιμή

f=15/π Hz να περιγράψετε τι συμβαίνει σε σχέση με το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντω-

σης. (Θέμα Γ)

20. Σύστημα ελατηρίου-σώματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Το σύστημα παρουσιάζει

σταθερά απόσβεσης b. Το σώμα περνάει από τη θέση ισορροπίας κάθε 0,5 s. Η μάζα του σώ-

ματος είναι m=1Kg και η σταθερά του ελατηρίου k=400 N/m.Να υπολογιστεί:

α) Η συχνότητα f του διεγέρτη. [1]


β) Η ιδιοσυχνότητα f0 του συστήματος. [10/π]

γ) Η σταθερά του ελατηρίου, το οποίο θα αντικαταστήσει το αρχικό ώστε να επιτευχθεί συντο-

νισμός.

[40] ∆ίνεται π2=10. (Θέμα Γ)

21. Κύκλωμα LC χρησιμοποιείται για τη λήψη ραδιοφωνικών κυμάτων. Ένας ραδιοφωνικός σταθ-

μός εκπέμπει σε συχνότητα f=103 MHz. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L=2mH.

α) Να υπολογιστεί η χωρητικότητα C του πυκνωτή για την οποία συντονίζεται ο δέκτης στο

συγκεκριμένο σταθμό. [11,7∙10-16]

β) Πόσο πρέπει να μεταβληθεί η χωρητικότητα C του πυκνωτή για να ακούσουμε ένα σταθμό

που εκπέμπει σε συχνότητα f΄=100 MHz; [0,8∙10-16]

∆ίνεται π2=10. (Θέμα Γ)

22. Ένας ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει στα 100MHz . Αν για τη λήψη αυτού του ηλεκτρομαγνη-

τικού κύματος χρησιμοποιείται δέκτης με κύκλωμα LC, στο οποίο το πηνίο έχει συντελεστή αυ-

τεπαγωγής L=2mH, για ποιά τιμή της χωρητικότητας του πυκνωτή συντονίζεται ο δέκτης; [12,5∙10-16] ∆ίνεται π2=10. (Θέμα Γ)

23. Σώμα μάζας m=2kg ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς

k=32N/m, το πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Το σώμα εκτελεί

φθίνουσα ταλάντωση και η δύναμη απόσβεσης που επενεργεί πάνω του είναι της μορφής F=-

0,5υ (S.I.). Εφαρμόζουμε στο σύστημα περιοδική δύναμη διέγερσης με συχνότητα 5/π Hz, ο-

πότε αποκαθίσταται ταλάντωση σταθερού πλάτους που είναι ίσο με 0,2 m. Αν η αρχική φάση

της ταλάντωσης σταθερού πλάτους είναι φ0=0, τότε:

α) Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας της εξαναγκασμένης ταλά-

ντωσης. [x=0,2ημ10t (SI), u=2 συν10t (SI)]

β) Να υπολογίσετε το μέγιστο ρυθμό απορρόφησης ενέργειας του ταλαντωτή από τον διεγέρ-

τη. [2]

γ) Αν αυξήσουμε τη συχνότητα του διεγέρτη το πλάτος της ταλάντωσης θα αυξηθεί ή θα ελατ-

τωθεί; [θα ελαττωθεί] (Θέμα Γ)

-44-


Σύνθεση Ταλαντώσεων -∆ιακροτήματα

Σύνθεση ταλαντώσεων

ΘΕΜΑ Α

1. Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ. της ίδιας συχνότητας, που γίνονται γύρω από το ίδιο ση-

μείο και στην ίδια διεύθυνση. Οι δύο Α.Α.Τ. έχουν διαφορά φάσης φ. Σε αυτή την περίπτωση η

σύνθετη ταλάντωση είναι (επιλέξτε το σωστό):

a. Ταλάντωση με μεταβαλλόμενη συχνότητα.

b. Απλή Αρμονική Ταλάντωση.

c. Ταλάντωση με πλάτος που μεταβάλλεται.

d. Κυκλική κίνηση.

2. Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ. που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυν-

ση και περιγράφονται από τις εξισώσεις x1=5ημ10πt (S.I.) και x2=2ημ10πt (S.I). Η σύνθετη

ταλάντωση περιγράφεται από την εξίσωση (επιλέξτε τη σωστή απάντηση):

a. x=7ημ5πt (S. I.)

b. x=7ημ20πt (S. I.)

c. x=3ημ10πt (S. I.)

d. x=7ημ10πt (S. I.)


μείο στην ίδια διεύθυνση με εξισώσεις: x1=2ημ5πt (S.I.) και x2=5ημ(5πt+π) (S.I.). Ποιές από

τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.

a. Η σύνθετη ταλάντωση έχει πλάτος Α=3 m.

b. Η σύνθετη ταλάντωση έχει εξίσωση x=Aημ5πt (S. I.).

c. Η σύνθετη ταλάντωση δεν είναι Α.Α.Τ.

d. Η σύνθετη ταλάντωση έχει την ίδια συχνότητα με τις επιμέρους ταλαντώσεις.

4. Από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο

και έχουν την ίδια διεύθυνση και συχνότητα, προκύπτει μια κίνηση που: Να επιλέξετε τη σω-

στή πρόταση

a. έχει μεταβλητό πλάτος.

b. είναι ανεξάρτητη από τα πλάτη των επιμέρους αρμονικών ταλαντώσεων.

c. είναι ανεξάρτητη από τη διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων.

d. έχει σταθερό πλάτος που εξαρτάται από τα πλάτη και τη διαφορά φάσης των δύο επιμέρους

ταλαντώσεων.

5. Ένα σώμα εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσε-

ων, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο, με εξισώσεις x1=Α1ημωt και x2=A2ημ(ωt+φ). Η

σύνθετη ταλάντωση που προκύπτει: Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

a. έχει πλάτος 2122

21 AAAAA .

-45-


b. έχει αρχική φάση θ με συνφ

ημφεφθ

21

2

.

c. έχει εξίσωση της μορφής x=A'ημωt.

d. έχει ενέργεια ίση με το άθροισμα των ενεργειών των επιμέρους ταλαντώσεων.

6. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της πρώτης στήλης με τα στοιχεία της δεύτερης στήλης.


A. φ=0 1. 2122

21 AAAAA

B. φ=π/3 2. 21 AAA

Γ. φ=π/2 3. 2

21 AAA

∆. φ=π 4. 21 AA

5.

A

22 21 AAA

ΘΕΜΑ Β


ων ίδιας διεύθυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο, με εξισώσεις

x1=0,3ημ2πt και x2=0,4ημ(2πt+π/2) (όλα τα μεγέθη στο S.I.).

Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης, είναι :

α) 0,1 m. β) 0,5 m. γ) 0,7 m.

Ποιό από τα παραπάνω είναι το σωστό; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα Β)

8. Ένα σώμα μάζας m=1kg εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονι-

κών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο, με εξισώσεις x1=0,8ημ10t και

x2=0,2ημ(10t+π). (όλα τα μεγέθη στο S.I.) Η ενέργεια της σύνθετης ταλάντωσης είναι:

Α) 18J. Β) 34J. Γ) 50J.

Ποιό από τα παραπάνω είναι το σωστό;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα Β)


ων ίδιας διεύθυνσης, με την ίδια συχνότητα και γύρω από το ίδιο σημείο. Η ολική ενέργεια της

σύνθετης ταλάντωσης είναι ίση με το άθροισμα των ενεργειών των δύο ταλαντώσεων

(Ε=Ε1+Ε2), όταν η διαφορά φάσης των δύο Α.Α.Τ. είναι:

α) 00. β) 900. γ) 1800.



μείο και στην ίδια διεύθυνση. Αν οι εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων είναι:x1=A1ημωt

(S.I.) και x2=A2ημ(ωt+φ) (S.I.) με Α1=Α2, τότε η αρχική φάση φ, ώστε η σύνθετη ταλάντωση

να έχει πλάτος Α=Α1=Α2 είναι:

α) φ=0.

-46-


-47-

β) φ=π.

γ) φ=π/2.

δ) φ=2π/3.

Επιλέξτε την σωστή απάντηση και αιτιολογήστε. (Θέμα Β)


ων, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο, με εξισώσεις x1=0,7ημ2πt και x2=0,4ημ2πt (ό-

λα τα μεγέθη στο S.I.). Η σύνθετη ταλάντωση περιγράφεται (στο S.I.) από την εξίσωση:

α) x=0,3ημ2πt. β) x=1,1ημ4πt. γ) x=1,1ημ2πt.




ων, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο, με εξισώσεις x1=0,3ημ2πt και

x2=0,8ημ(2πt+π) (όλα τα μεγέθη στο S.I.) Η σύνθετη ταλάντωση περιγράφεται από την εξί-

σωση:

α) x=1,1ημ(2πt+π) β) x=0,5ημ2πt γ) x=0,5ημ(2πt+π)




ων, γύρω από το ίδιο σημείο και έχουν ίδια ενέργεια (Ε1=Ε2), ίδια συχνότητα και ίδια διεύθυν-

ση. Η ολική ενέργεια της σύνθετης ταλάντωσης είναι ίση με την ενέργεια των δύο ταλαντώσε-

ων (Ε=Ε1=Ε2), όταν η διαφορά φάσης των δύο Α.Α.Τ.. είναι:

α) 00. β) 600. γ) 1200.



ΘΕΜΑ Γ

14. Μικρό σώμα μάζας m=0,1Kg εκτελεί ταυτοχρόνως δύο Α.Α.Τ. οι οποίες γίνονται στην ίδια διε-

ύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι εξισώσεις της απομάκρυνσης σε σχέση με

το χρόνο για τις δύο Α.Α.Τ. είναι x1=0,3ημ10πt και x2=0,4ημ(10πt+π/2) και οι δύο εξισώσεις

είναι στο (S.I.).

α) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης για τη σύνθετη ταλάντωση. [x=0,5ημ(10πt+3π/10)] β) Να βρεθεί η εξίσωση της δύναμης επαναφοράς συναρτήσει του χρόνου για τη σύνθετη τα-

λάντωση. [F=-50ημ(10πt+3π/10)]

γ) Να υπολογιστεί η περίοδος της σύνθετης ταλάντωσης. [0,2]

δ) Αν τη χρονική στιγμή t η απομάκρυνση της σύνθετης ταλάντωσης είναι x=0,25m να υπο-

λογιστεί η ταχύτητα του σώματος. [±√187,5]

∆ίνεται εφ(3π/10)=4/3 και π2=10. (Θέμα Γ)


15. Σώμα μάζας m=0,5Kg εκτελεί ταυτοχρόνως δύο Α.Α.Τ. της ίδιας συχνότητας που γίνονται γύ-

ρω από το ίδιο σημείο και στην ίδια διεύθυνση. Οι δύο Α.Α.Τ. περιγράφονται από τις εξισώσεις:

x1=0,5ημ20πt (S. I.) και x1=0,7ημ(20πt+π) (S. I.)

α) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης και της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο για τη

σύνθετη ταλάντωση. [x=0,2ημ(20πt+π) , υ=4πσυν(20πt+π)]

β) Να υπολογιστεί η περίοδος της σύνθετης ταλάντωσης. [0,1]

γ) Να υπολογιστεί το πλάτος της δύναμης επαναφοράς για τη σύνθετη ταλάντωση. [400]

δ) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος όταν η απομάκρυνσή του είναι x=0,1m. [±2π√3] ∆ίνεται π2=10 (Θέμα Γ)

16. Ένα σώμα μάζας m=0,2Kg εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονι-

κών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο, με εξισώσεις και

x1=0,4ημ(2πt+π/6) και x2=0,4ημ(2πt+2π/3) (όλα τα μεγέθη στο S.I.).

α) Να υπολογισθεί η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων. [π/2]

β) Να υπολογισθεί το πλάτος Α της συνισταμένης απλής αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το

σώμα. [0,4√2]

γ) Να υπολογιστεί η περίοδος και η αρχική φάση της σύνθετης ταλάντωσης. [1 - 5π/12]

δ) Να γραφεί η εξίσωση της δύναμης επαναφοράς της ταλάντωσης, που εκτελεί το σώμα, σε

συνάρτηση με το χρόνο. [Fεπ=-3,2√2ημ(2πt+5π/12)]

∆ίνεται: π2=10. (Θέμα Γ)

17. Ένα σώμα μάζας m=1kg εκτελεί κίνηση που προέρχεται από

τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύ-

θυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο και οι απομακρύνσεις τους

παριστάνονται στο παρακάτω διάγραμμα.

α) Να υπολογισθεί η γωνιακή συχνότητα της συνισταμένης

ταλάντωσης. [2π]

β) Να γραφούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης των δύο επι-

μέρους ταλαντώσεων, σε συνάρτηση με το χρόνο. [x1=0,6ημ2πt και x2=0,4ημ2πt] γ) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης και να παρασταθεί

γραφικά στο ίδιο διάγραμμα με τις δύο προηγούμενες εξισώσεις. [x=ημ2πt] δ) Να υπολογισθεί η κινητική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t=1s. [20]

∆ίνεται: π2=10 (Θέμα Γ)

18. Ένα σώμα μάζας m=20g εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονι-

κών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, ίδιας συχνότητας και γύρω από το ίδιο σημείο. Η δεύτερη

ταλάντωση έχει διπλάσιο πλάτος από την πρώτη και η φάση της προηγείται κατά γωνία φ=600.

Η πρώτη ταλάντωση έχει αρχική φάση μηδέν. Η συνισταμένη ταλάντωση έχει εξίσωση:

x=√7ημ(2πt+θ) (x σε cm, t σε s).

α) Να υπολογισθεί η σταθερά D της σύνθετης ταλάντωσης [0,8]

-48-


β) Να γραφούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης των δύο αρχικών ταλαντώσεων. [x1=ημ2πt και x2=2ημ(2πt+π/3) (xcm, ts)]

γ) Να συγκρίνετε την ενέργεια της σύνθετης ταλάντωσης με το άθροισμα των ενεργειών των

δύο επιμέρους ταλαντώσεων. [E>E1+E2]

δ) Να υπολογίσετε το λόγο της δυναμικής ενέργειας του σώματος προς την κινητική, τη χρονι-

κή στιγμή t=0. [3/4]

∆ίνεται: π2=10. (Θέμα ∆)

19. Ένα σώμα μάζας 250g εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών

ταλαντώσεων, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο, με x1=0,08ημ(4πt-π/2) και

x2=0,08√3ημ4πt (S.I.)

α) Να υπολογισθεί το πλάτος Α της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα. [0,16] β) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα. [x=0,16ημ(4πt-π/6)] γ) Να βρεθεί η δύναμη επαναφοράς τη στιγμή που το σώμα περνά από τη θέση x=0,1m. [-4]

δ) Να υπολογισθεί ο λόγος της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του υλι-

κού σημείου τη στιγμή που περνά από τη θέση x=0,08m. [3]


20. Υλικό σημείο Σ εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλα-

ντώσεων, οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι

ταλαντώσεις περιγράφονται από τις εξισώσεις: x1=2ημ10t και x2=2ημ(10t + π/3), (x1 και x2 σε

cm, t σε s)

α) Να υπολογισθεί το πλάτος Α της συνισταμένης απλής αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το

Σ. [2√3cm]

β) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που εκτελεί το Σ. [x=2√3ημ(10t+π/6)] γ) Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του Σ. [υ=20√3συν(10t+π/6)]

δ) Να υπολογισθεί η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t = π/15 s μετά από τη

στιγμή t=0. [-30cm/s] (Θέμα Γ)

21. Ένα σώμα μάζας m=0,1kg εκτελεί κίνηση που προέρχεται από

τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, ίδιας διεύ-

θυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο και οι απομακρύνσεις τους

δίνονται από το παρακάτω διάγραμμα.

α) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης των δύο ταλαντώ-

σεων. [x1=0,8ημ4πt και x2=0,4ημ(4πt+π) (S.I.)]

β) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της συνισταμένης

ταλάντωσης και να παρασταθεί γραφικά στο ίδιο διάγραμμα με

τις δύο επιμέρους ταλαντώσεις. [x=0,4ημ(4πt)]

γ) Να υπολογισθεί η ενέργεια της συνισταμένης ταλάντωσης. [1,28]

δ) Να βρεθεί η απομάκρυνση της σύνθετης ταλάντωσης, τη χρονική στιγμή που η κινητική ε-

-49-


νέργεια γίνει τριπλάσια της δυναμικής, για πρώτη φορά. [0,2]


22. Ένα σώμα μάζας m=0,2kg εκτελεί κίνηση που προέρχεται

από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, ίδιας

διεύθυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο. Στο παρακάτω διά-

γραμμα, φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης

της πρώτης ταλάντωσης x1(t) και της συνισταμένης ταλά-

ντωσης x(t).

α) Να υπολογισθεί η σταθερά της συνισταμένης ταλάντω-

σης. [8]

β) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της πρώτης και της συνισταμένης ταλάντωσης. [x=0,4ημ2πt]

γ) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της δεύτερης ταλάντωσης και να παρασταθεί γρα-

φικά στο ίδιο διάγραμμα. [x=0,2ημ(2πt+π)]

δ) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t=1/8 s [0,32]


Θέμα ∆


κών ταλαντώσεων, ίδιας διεύθυνσης, ίδιας συχνότητας, ίδιου πλάτος Α και γύρω από το ίδιο

σημείο. Η πρώτη ταλάντωση έχει αρχική φάση μηδέν και υστερεί φασικά από τη δεύτερη. Η

συνισταμένη κίνηση που προκύπτει έχει το ίδιο πλάτος Α με κάθε μια από τις επιμέρους ταλα-

ντώσεις. Η κάθε μια ταλάντωση έχει ενέργεια 0,1J, ενώ η δύναμη επαναφοράς έχει μέγιστη τι-

μή 2Ν.

α) Να υπολογισθεί η διαφορά φάσης της:

α1) δεύτερης ταλάντωσης με την πρώτη και [2π/3]

α2) της σύνθετης ταλάντωσης με την πρώτη. [π/3]

β) Να γραφούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης των δύο αρχικών ταλαντώσεων. [x1=0,1ημ(10t) και x2=0,1ημ(10t+2π/3)] γ) Να γραφεί η εξίσωση της επιτάχυνσης – χρόνου για την συνισταμένη ταλάντωση.

[α=-10ημ(10t+π/3)] δ) Να υπολογισθεί η ταχύτητα ταλάντωσης του σώματος τη στιγμή που η δυναμική ενέργεια

του σώματος είναι τριπλάσια της κινητικής. [±0,5] (Θέμα ∆)


κών ταλαντώσεων, ίδιας διεύθυνσης, ίδιας συχνότητας και γύρω από το ίδιο σημείο. Η δεύτερη

ταλάντωση έχει τριπλάσιο πλάτος από την πρώτη και η φάση της προηγείται κατά γωνία

φ=600. Η πρώτη ταλάντωση έχει αρχική φάση μηδέν. Η συνισταμένη ταλάντωση έχει εξίσωση:

x=0,2√13ημ(2πt+θ) (S.I.).

α. Να υπολογισθεί η αρχική φάση θ της συνισταμένης ταλάντωσης. [π/4]

-50-


-51-

β. Να γραφούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης των δύο αρχικών ταλαντώσεων. [x1=0,2ημ2πt και x2=0,6ημ(2πt+π/3)]

γ. Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας - χρόνου της συνισταμένης ταλάντωσης. [υ=0,4π√13συν(2πt+π/4)]

δ. Να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος όταν περνά από τη θέση

x=0,2m. [-0,8]

Να θεωρήσετε ότι : π2=10 και 0,6√3=1. (Θέμα ∆)


-52-

∆ιακροτήματα

ΘΕΜΑ Α

25. Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ. της ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο ση-

μείο, με το ίδιο πλάτος Α και συχνότητες που διαφέρουν ελάχιστα. Σε αυτήν την περίπτωση η

σύνθετη ταλάντωση έχει (επιλέξτε τη σωστή απάντηση):

a. Σταθερό πλάτος Α.

b. Σταθερό πλάτος 2A.

c. Πλάτος που μεταβάλλεται από 0 έως 2A.

d. Πλάτος που μεταβάλλεται από Α έως 2A.

26. Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ. του ίδιου πλάτους Α που γίνονται γύρω από το ίδιο ση-

μείο στην ίδια διεύθυνση. Οι συχνότητες f1 και f2 των επιμέρους ταλαντώσεων διαφέρουν ελά-

χιστα.

Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιές είναι λάθος;

a. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης μεταβάλλεται από 0 έως 2Α.

b. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους είναι σταθερός και μειώνεται αν

αυξηθεί η διαφορά f1-f2.

c. Σε αυτή την περίπτωση δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας.

d. Η σύνθετη ταλάντωση είναι φθίνουσα.

27. Σώμα εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων,

που περιγράφονται από τις σχέσεις x1=Αημω1t και x2=Aημω2t, των οποίων οι συχνότητες ω1

και ω2 διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Η συνισταμένη κίνηση έχει: Να επιλέξετε τη σωστή πρό-

ταση.

a. πλάτος που μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών μηδέν και Α και γωνιακή συχνότητα |ω1-ω2|/2.

b. πλάτος που μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών μηδέν και 2Α και γωνιακή συχνότητα |ω1-

ω2|/2.

c. πλάτος που μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών μηδέν και Α και γωνιακή συχνότητα (ω1+ω2)/2.

d. πλάτος που μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών μηδέν και 2Α και γωνιακή συχνότητα

(ω1+ω2)/2.


γύρω από το ίδιο σημείο, ίδιου πλάτους και διεύθυνσης με συχνότητες f1=199Hz και f2=201Hz,

με αποτέλεσμα να παρουσιάζονται διακροτήματα. Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδε-

νισμούς του πλάτους της σύνθετης κίνησης είναι: Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

a. 1s b. 0,5s c. 1/200 s d. 1/400 s.


29. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο μιας

σύνθετης κίνησης που παρουσιάζει διακροτήματα. Η περίοδος των διακροτημάτων είναι:

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

a. 0,5 s. b. 1s. c. 1,5s. d.2s.

ΘΕΜΑ Β

30. Σώμα εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδι-

ου πλάτους και διεύθυνσης και γύρω από το ίδιο σημείο. Οι συχνότητες f1 και f2 (f2 > f1) αντί-

στοιχα των δύο ταλαντώσεων διαφέρουν λίγο μεταξύ τους, με αποτέλεσμα να παρουσιάζεται

διακρότημα. Αν η διαφορά των συχνοτήτων (f2 – f1) μικρύνει, ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμε-

σα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους θα:

α. παραμείνει ο ίδιος.

β. μειωθεί.

γ. αυξηθεί.

δ. αυξηθεί ή θα μειωθεί ανάλογα με την τιμή της f1.



31. ∆ύο διαπασών παράγουν ήχους με παραπλήσιες συχνότητες f1 και f2 με (f2 > f1), οπότε παρα-

τηρούνται 4 μέγιστα της έντασης του ήχου ανά δευτερόλεπτο. Αν f1=1000Hz, η συχνότητα f2

είναι:

α) 1002 Ηz. β) 1004 Ηz. γ) 1008 Ηz.



ων ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο με το ίδιο πλάτος Α και συχνότητες

που διαφέρουν πολύ λίγο. Αν Τ1 και Τ2 είναι αντίστοιχα οι περίοδοι των δύο ταλαντώσεων, τό-

τε η περίοδος Τ∆ των διακροτημάτων δίνεται από τον τύπο:

α) Τ∆=|Τ2-Τ1| β) Τ∆=(Τ2+Τ1)/2 γ) Τ∆=Τ1Τ2/|Τ2-Τ1|

Ποιο από τα παραπάνω είναι το σωστό; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα Β)

-53-


-54-

33. Ένας παρατηρητής ακούει τον ήχο από δύο διαπασών που λειτουργούν ταυτόχρονα και παρά-

γουν ήχους με συχνότητες f1=1000Hz και f2. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τα διακροτήματα

που παράγονται ενώ ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ήχου είναι

0,25 s. Παρατηρούμε ότι αν αυξηθεί η συχνότητα f2 του δεύτερου διαπασών κατά 2Hz τότε ο

χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ήχου αυξάνεται. Η συχνότητα f2

του δεύτερου διαπασών είναι:

α) 4 Hz

β) 1004 Hz

γ) 996 Hz

δ) 0,5 Hz (Θέμα Β)


ων, ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο. Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσε-

ων είναι:

x1=0,4ημ(1998πt) και x2=0,4ημ(2002πt) (S.I.)

Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους της ιδιόμορφης ταλάντωσης

(διακροτήματος) του σώματος είναι:

α) 0,5 s. β) 1 s. γ) 2 s.

Να επιλέξετε το σωστό.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα Β)


ίδιου πλάτους και διεύθυνσης. Οι συχνότητες f1 και f2 (f2 > f1) αντίστοιχα των δύο ταλαντώσε-

ων διαφέρουν μεταξύ τους 4Hz, με αποτέλεσμα να παρουσιάζεται διακρότημα. Αν η συχνότητα

f1 αυξηθεί κατά 8Hz, ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του

πλάτους θα:

α) παραμείνει ο ίδιος. β) μειωθεί κατά 4s. γ) αυξηθεί κατά 4s.




ων, ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο με το ίδιο πλάτος Α και συχνότητες

που διαφέρουν πολύ λίγο. Αν Τ1 και Τ2 είναι αντίστοιχα οι περίοδοι των δύο ταλαντώσεων, τό-

τε η περίοδος της περιοδικής κίνησης που προκύπτει δίνεται από τον τύπο:

α) T=|T2-T1|

β) T=(T2+T1)/2

γ) T=2T1T2/(T2+T1)



37. Ένας παρατηρητής ακούει τον ήχο από δύο διαπασών που λειτουργούν ταυτόχρονα και παρά-

γουν ήχους με συχνότητες f1 =1000Ηz και f2. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τα παραγόμενα

διακροτήματα να έχουν περίοδο 0,25 s. Παρατηρούμε ότι αν αυξηθεί η


συχνότητα f2 του δεύτερου διαπασών κατά 2 Ηz τότε ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενι-

σμών της έντασης του ήχου αυξάνεται. Η συχνότητα f2 του δεύτερου διαπασών είναι:

α) 4Ηz. β) 1004 Hz. γ) 996Ηz.

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογήστε.

ΘΕΜΑ Γ,∆

38. Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ. της ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο ση-

μείο, με το ίδιο πλάτος και συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο. Οι επιμέρους ταλαντώσεις

περιγράφονται από τις εξισώσεις x1=0,2ημ100πt (S. I.) και x2=0,2ημ102πt (S. I.).

α) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε σχέση με το χρόνο για τη σύνθετη ταλάντωση. [x=0,4συν(πt)ημ(101πt)] β) Να υπολογιστεί η χρονική στιγμή που μηδενίζεται το πλάτος για πρώτη φορά. [0,5]

γ) Να υπολογιστεί ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους. [1]

(Θέμα Γ)

39. Ένα σώμα εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση

δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, ίδιας διεύθυνσης, ίδι-

ου πλάτους Α, που πραγματοποιούνται γύρω από το ίδιο

σημείο με συχνότητες f1=16Hz και f2 (f2 < f1) αντίστοιχα, οι

οποίες διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Στο σχήμα φαίνεται η

γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με

το χρόνο της σύνθετης κίνησης που εκτελεί το σώμα.

α) Να υπολογισθεί η συχνότητα και η περίοδος των διακροτημάτων καθώς και η συχνότητα f2. [1Hz, 1s, 15Hz] β) Να γραφούν οι εξισώσεις απομάκρυνσης των δύο επιμέρους ταλαντώσεων. [x1=0,5ημ32πt και x1=0,5ημ30πt]

γ) Να γραφεί η εξίσωση του πλάτους της σύνθετης κίνησης. [|Α΄|=|συνπt|]

δ) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της σύνθετης κίνησης σε σχέση με το χρόνο. [x=10-2∙συν(πt)ημ(31πt)]

(Θέμα ∆)

40. Ένα διαπασών παράγει ήχο συχνότητας f1=1001Hz. Αν φέρουμε πολύ κοντά ένα δεύτερο δια-

πασών, περίπου ίδιο με το πρώτο, παράγεται και ένας δεύτερος ήχος συχνότητας f2 που είναι

λίγο μικρότερη από την πρώτη. Ο σύνθετος ήχος που ακούει τότε ένας παρατηρητής έχει συ-

χνότητα f=1000Hz. Να υπολογισθεί:

α) η συχνότητα f2. [999]

β) η συχνότητα μεταβολής του πλάτους της σύνθετης κίνησης. [2]

γ) πόσες φορές μηδενίζεται η ένταση του ήχου που ακούει ο παρατηρητής σε χρόνο ∆t=2s. [4] δ) Ένα μόριο του αέρα ταλαντώνεται εξαιτίας του ήχου που παράγουν τα διαπασών. Να υπο-

-55-


-56-

λογισθεί πόσες φορές περνά από τη θέση ισορροπίας του σε χρόνο ίσο με τη περίοδο των δια-

κροτημάτων. [1000] (Θέμα Γ)


ων, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο που περιγράφονται από τις εξισώσεις:

x1=Αημ199πt και x2=Αημ201πt (S.I.). Η εξίσωση που περιγράφει την συνισταμένη ταλάντωση

είναι: x=0,04∙συν2πf3∙ημ2πf4t (S.I.).

α) Να υπολογισθεί το πλάτος Α και οι συχνότητες f1 και f2 των δύο επιμέρους Α.Α.Τ. [0,02 και 99,5 και 100,5] β) Τι εκφράζουν η ημιδιαφορά και το ημιάθροισμα των συχνοτήτων των επιμέρους Α.Α.Τ.. και

ποια είναι η τιμή τους; [0,5 και 100]

γ) Να υπολογισθεί η περίοδος των διακροτημάτων Τ∆ και ο αριθμός των ταλαντώσεων που ε-

κτελεί το σώμα στο χρόνο αυτό. [1 και 100]

δ) Να σχεδιάσετε ποιοτικά τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης της σύνθετης ταλάντω-

σης με το χρόνο. (Θέμα ∆)

42. Οι ήχοι που παράγονται από δύο ακίνητα διαπασών, έχουν την ίδια ένταση, βρίσκονται πολύ

κοντά το ένα με το άλλο και έχουν συχνότητες f1=499Hz και f2=501Hz, αντίστοιχα. Οι ήχοι

αναγκάζουν το τύμπανο ενός αυτιού να ταλαντώνεται. Οι επιμέρους ταλαντώσεις που ενεργο-

ποιούν το τύμπανο έχουν μηδενική αρχική φάση και ίδιο πλάτος Α.

α) Να υπολογισθεί η συχνότητα:

α1) των διακροτημάτων. [2]

α2) μεταβολής του πλάτους της σύνθετης κίνησης. [2]

α3) της σύνθετης κίνησης. [500]

β) Να υπολογισθεί ο αριθμός των μεγιστοποιήσεων του πλάτους των διακροτημάτων σε χρόνο

20 s. [40]

γ) Να υπολογισθεί ο αριθμός των ταλαντώσεων που εκτελεί το τύμπανο σε χρόνο 1 s. [500]

δ) Να υπολογισθεί, σαν συνάρτηση του χρόνου, η διαφορά φάσης των δύο επιμέρους ταλα-

ντώσεων που ενεργοποιούν το τύμπανο και να παρασταθεί γραφικά. Στο διάγραμμα να φαίνο-

νται οι χρονικές στιγμές Τ∆/2 και Τ∆ (όπου Τ∆ η περίοδος των διακροτημάτων). Να εξηγήσετε

με τη βοήθεια της διαφοράς φάσης, γιατί στις στιγμές αυτές το πλάτος είναι μηδέν και μέγιστο

αντίστοιχα. [∆φ=4πt] (Θέμα ∆)


ων, ίδιας διεύθυνσης, ίδιου πλάτους Α, που πραγματοποιούνται γύρω από το ίδιο σημείο με

παραπλήσιες συχνότητες f1 και f2 (f2 < f1). Οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση μηδέν. Η

απομάκρυνση σε συνάρτηση με το χρόνο της σύνθετης κίνησης που παρουσιάζει διακροτήματα

είναι: x=0,02∙συν2πt∙ημ50πt (S.I.)

α) Να υπολογισθούν οι συχνότητες f1 και f2 και το πλάτος Α των δύο ταλαντώσεων.[26 και 24]

β) Να γραφεί η εξίσωση του πλάτους Α’ της παραπάνω σύνθετης ταλάντωσης με το χρόνο. [Α΄=0,02|συν2πt|] γ) Να γραφούν οι εξισώσεις απομάκρυνσης – χρόνου των δύο επιμέρους ταλαντώσεων και να

γίνουν τα αντίστοιχα διαγράμματα καθώς και το διάγραμμα της συνισταμένης ταλάντωσης για


-57-

χρονικό διάστημα από 0 έως 1s. [x1=0,01ημ52πt και x2=0,01ημ48πt ]

δ) Να υπολογισθεί πόσες φορές μηδενίζεται η απομάκρυνση της σύνθετης κίνησης σε χρόνο

ίσο με την περίοδο των διακροτημάτων. [25] (Θέμα ∆)

Κύματα Παμπέρης ∆ήμος, Φυσικός

-58-

Η έννοια του κύματος. Μηχανικά κύματα

ΘΕΜΑ Α

1. Αν λ το μήκος κύματος, Τ η περίοδος και u ταχύτητα διάδοσης ενός μηχανικού αρμονικού κύ-

ματος, τότε η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής είναι: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. υ=λ∙f

b. υ=λ∙Τ

c. υ=λ/f

d. υ=f/λ

2. Αν λ το μήκος κύματος και Τ η περίοδος ενός γραμμικού μηχανικού αρμονικού κύματος που

διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο προς την θετική κατεύθυνση του άξονα x’x τότε η φάση

αυτού του κύματος θα είναι: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. φ=2π(t/T+x/λ)

b. φ=2π(t/T-x/λ)

c. φ=2π(Τ/t-λ/x)

d. φ=π(t/T-x/λ)

3. Αν Α το πλάτος, λ το μήκος κύματος και Τ η περίοδος ενός γραμμικού μηχανικού αρμονικού

κύματος που διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα

x’x, τότε η εξίσωση αυτού του κύματος είναι: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση:

a. y=Aημ2π(t/T-x/λ)

b. y=2Aημ2π(t/T+x/λ)

c. y=Aημ2π(Τ/t-λ/x)

d. y=Aημ2π(t/T+x/λ)

4. Η ταχύτητα διάδοσης ενός γραμμικού μηχανικού αρμονικού κύματος σε ένα ομογενές ελαστικό

μέσο:


a. είναι σταθερή.

b. ταυτίζεται με την ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του μέσου.

c. αυξάνει συνεχώς με την απόσταση.

d. μειώνεται καθώς το κύμα διαδίδεται στο ελαστικό μέσο.

ΘΕΜΑ Β

5. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται σε ομογενές γραμμικό ελαστικό μέσο και προς την θετική

κατεύθυνση του άξονα x’x. Θεωρούμε ότι η πηγή παραγωγής του κύματος βρίσκεται στο ση-

μείο Ο, αρχή του άξονα x’x. ∆ύο σημεία Α και Β του ελαστικού μέσου, έχουν κάποια χρονική

στιγμή φάσεις φΑ=11·π/6 rad και φΒ=10π rad αντίστοιχα.

Η απόσταση του σημείου Β από την πηγή παραγωγής του κύματος είναι:

Α) μεγαλύτερη από αυτή του Α


Β) μικρότερη από αυτή του Α

Γ) ίση με αυτή του Α


6. ∆ύο αρμονικά εγκάρσια κύματα διαδίδονται σε ελαστική χορδή κατά την θετική κατεύθυνση.

Αν είναι γνωστό ότι το πλάτος του δεύτερου κύματος είναι διπλάσιο του πρώτου (A2=2A1) ενώ

τα μήκη κύματος των δύο αυτών κυμάτων είναι ίσα (λ1=λ2), τότε για τα μέτρα των μέγιστων

ταχυτήτων ταλάντωσης των μορίων της ελαστικής χορδής θα ισχύει:

α) υmax,1/υmax,2=2

β) υmax,1/υmax,2=1

γ) υmax,1/υmax,2=1/2 (Θέμα Β)

7. Η παρακάτω γραφική παράσταση, αναφέρεται

στη ταλάντωση ενός σημείου Α ενός ομογενούς

ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται εγκάρσιο

αρμονικό κύμα με ταχύτητα u=4 m/s.

α) Η περίοδος του κύματος είναι:

1) 6 s.

2) 8 s.

3) 6∙10-2 s.

β) Το μήκος του κύματος είναι:

1) 24 m.

2) 2/3 m.

3) 2 m.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. (Θέμα Β)

8. ∆ίνεται η εξίσωση της φάσης ενός γραμμικού αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε γραμμικό

ομογενές ελαστικό μέσον: xt 263

2

στο S.I. Ένα σημείο Σ απέχει 6 m από την πηγή

δημιουργίας του κύματος. Το κύμα τη χρονική στιγμή t=1 s:

α) δεν έχει φτάσει στο σημείο Σ.

β) μόλις έφτασε στο σημείο Σ.

γ) έχει προσπεράσει το σημείο Σ.


9. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός

γραμμικού αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε ομογε-

νές ελαστικό μέσο κάποια χρονική στιγμή. Η απευθείας

απόσταση των σημείων Κ και Μ εκείνη τη χρονική στιγ-

μή είναι ίση με

α) 10 cm.

β) 8 cm.

γ) 6 cm.

-59-



10. Οι παρακάτω γραφικές παραστάσεις ανα-

φέρονται σε στιγμιότυπα δύο εγκάρσιων

αρμονικών κυμάτων (1) και (2), που δια-

δίδονται στο ίδιο ομογενές ελαστικό μέσον

κάποια χρονική στιγμή t1.

Α) Να μεταφέρετε στο τετράδιο σας το

παραπάνω διάγραμμα και να σχεδιάσετε

τη φορά του διανύσματος της ταχύτητάς του σημείου Σ τη χρονική στιγμή t1, για τις δύο αυτές

περιπτώσεις.

Β) Αν umax,1 και umax,2 τα μέτρα των μέγιστων ταχυτήτων ταλάντωσης του σημείου Σ από τα

δύο κύματα, τότε ισχύει ότι:

α) umax,1/umax,2= 2

β) umax,1/umax,2= 1

γ) umax,1/umax,2= 4 (Θέ-

μα Β)

11. ∆ίνονται οι εξισώσεις δύο εγκάρσιων μηχανικών αρμονικών κυμάτων στο (S.I.). που διαδίδο-

νται σε ομογενές γραμμικό ελαστικό μέσο.

1) y1=5∙10-1ημπ(t/5-x)

2) y2=2∙10-2ημ2π(t/4+x)

Α) H ταχύτητα διάδοσης του πρώτου κύματος είναι

α) μεγαλύτερη της ταχύτητας διάδοσης του δεύτερου.

β) μικρότερη της ταχύτητας διάδοσης του δεύτερου.

γ) ίση με τη ταχύτητα διάδοσης του δεύτερου.

Β) το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης που έχουν τα μόρια του ελαστικού μέσου στο οποίο δια-

δίδεται το πρώτο κύμα είναι:

α) μεγαλύτερο

β) μικρότερο

γ) ίσο με αυτό των μορίων του ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το δεύτερο κύμα.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. (Θέμα Β)

12. ∆ίνεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρ-

μονικού κύματος που διαδίδεται σε ομογε-

νές γραμμικό ελαστικό μέσον και προς τη

θετική κατεύθυνση. Η πηγή παραγωγής αυ-

τού του κύματος βρίσκεται στην αρχή του

άξονα x’x. Για τις φάσεις των σημείων Μ

και Κ ισχύει:

α) φΜ>φΚ.

β) φΜ=φΚ.

-60-


-61-

γ) φΜ<φΚ.


13. ∆ύο μηχανικά κύματα ίδιας συχνότητας διαδίδονται σε ελαστική χορδή. Αν λ1 και λ2 τα μήκη

κύματος αυτών των κυμάτων ισχύει:

α) λ1<λ2 β) λ1>λ2 γ) λ1=λ2

∆ικαιολογήστε την απάντησή σας. (Θέμα Β)

14. Η γραφική παράσταση της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα σημείο (διαφορετικό της

πηγής Ο) ενός ελαστικού γραμμικού μέσου στο οποίο διαδίδεται ένα εγκάρσιο γραμμικό αρμο-

νικό κύμα, κατά τη θετική φορά, είναι μία ευθεία:

α) αύξουσα. β) φθίνουσα. γ) παράλληλη στον άξονα t.


15. Η γραφική παράσταση της φάσης των διαφόρων σημείων ενός γραμμικού ελαστικού μέσου

στο οποίο διαδίδεται, προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x'x, ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα,

σε συνάρτηση με την απόστασή τους x από την πηγή Ο, κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή,

είναι μία ευθεία:

α) παράλληλη στον άξονα x.

β) φθίνουσα.

γ) αύξουσα.


16. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό εγκάρσιο κύμα προς τη θετική κατεύθυνση. Αν

λ το μήκος κύματος και Τ η περίοδος αυτού του κύματος, τότε η διαφορά φάσης ∆φ μεταξύ

δύο χρονικών στιγμών t1 και t2 με t2 >t1, ενός σημείου του μέσου δίνεται από τη σχέση:

α) ∆φ = 2π(t2-t1)/Τ.

β) ∆φ = π(t2-t1)/Τ.

γ) ∆φ = 2π(t2-t1)/λ.


17. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό εγκάρσιο κύμα προς τη θετική κατεύθυνση. Αν

λ το μήκος κύματος και Τ η περίοδος αυτού του κύματος, τότε η διαφορά φάσης ∆φ την ίδια

χρονική στιγμή μεταξύ δύο σημείων του μέσου που απέχουν απόσταση ∆x δίνεται από την

σχέση:

α) ∆φ = 2π∆x/λ.

β) ∆φ = π∆x/λ.

γ) ∆φ = π∆x/2Τ.


18. ∆ύο αρμονικά εγκάρσια κύματα διαδίδονται σε ελαστική χορδή κατά την θετική κατεύθυνση.

Αν είναι γνωστό ότι το πλάτος και το μήκος του δεύτερου κύματος είναι διπλάσια του πρώτου

(A2=2A1,λ2=2λ1), τότε για τα μέτρα των μέγιστων επιταχύνσεων ταλάντωσης των μορίων της

ελαστικής χορδής θα ισχύει:

α) αmax,1/αmax,2=2


β) αmax,1/αmax,2=4

γ) αmax,1/αmax,2=1/2


19. Οι διπλανές γραφικές παραστάσεις αναφέρονται στη μετα-

βολή της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο δύο σημείων Α

και Β ενός γραμμικού ελαστικού ομογενούς μέσου στο οποίο

διαδίδεται αρμονικό εγκάρσιο κύμα. Αν τα σημεία Α και Β

θεωρηθούν υλικά σημεία ίδιας μάζας, για την κινητική ενέρ-

γεια ταλάντωσης Κ την χρονική στιγμή t=8 s, θα ισχύει:

α) ΚΑ<ΚΒ

β) ΚΑ=ΚΒ

γ) ΚΑ>ΚΒ

∆ίνονται : συν0=1 , συν(π/3)=1/2


20. Η παρακάτω γραφική παράσταση αναφέρεται στη μεταβολή της

φάσης φ σε συνάρτηση με την απόσταση x από την πηγή γραμμι-

κού αρμονικού κύματος τη χρονική στιγμή t1=14 s.

Α) Η περίοδος του κύματος είναι ίση με:

α) 1 s. β) 2 s. γ) 4 s.

Β) Το μήκος του κύματος είναι ίσο με:

α) 10 cm. β) 12 cm. γ) 14 cm.

Να θεωρήσετε ότι η πηγή του κύματος βρίσκεται στην θέση x0 = 0 και την χρονική στιγμή t0 =

0 είναι y = 0 και u > 0. (Θέμα Β)

-62-


ΘΕΜΑ Γ,∆

21. Μια πηγή Ο που βρίσκεται στην αρχή του άξονα x’x, αρχίζει να εκτελεί τη χρονική στιγμή t=0,

απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση yο=6·10-2ημπt (S.I.). Το παραγόμενο γραμμικό αρμονι-

κό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x’x με ταχύτητα u=8 m/s σε γραμμι-

κό ομογενές ελαστικό μέσο.

α) Να βρείτε την περίοδο, τη συχνότητα και το μήκος κύματος. [2 και 0,5 και 16]

β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. [y=6∙10-2ημ2π(t/2-x/16)]

γ) Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει να κινείται ένα σημείο Μ του άξονα x’x που βρίσκεται στη

θέση x=20 m; [2,5]

δ) Να βρείτε τη φάση του σημείου Μ τις χρονικές στιγμές: t1=1,5 s και t2= 2,5 s. [-π (…) και 0]

ε) Να γράψετε για το σημείο M την εξίσωση της απομάκρυνσης y σε συνάρτηση με το χρόνο

και να γίνει η γραφική της παράσταση. [yM=6∙10-2ημ2π(t/2-20/16) t≥2,5] (Θέμα Γ)

22. Μια πηγή Ο αρχίζει να εκτελεί, τη χρονική στιγμή t=0, απλή αρμονική ταλάντωση. Το παραγό-

μενο από την πηγή αρμονικό γραμμικό κύμα διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο κατά τη θε-

τική κατεύθυνση χ΄χ και έχει εξίσωση: y=5∙10-2ημπ(t/2-x/5) (S.I.).

α) Να υπολογίσετε την περίοδο, το μήκος κύματος και την ταχύτητα διάδοσης αυτού του κύ-

ματος. [4 και 10 και 2,5]

β) Να υπολογίσετε την απόσταση στην οποία θα έχει φθάσει το κύμα τη χρονική στιγμή t1=13

s; [32,5]

γ) Να βρείτε τις φάσεις των σημείων xN=32,5 m και xK=36m τη χρονική στιγμή t1=13 s. [0 και (-)] δ) Να γράψετε τις εξισώσεις της φάσης φ=f(x), της απομάκρυνσης y=f(x), και της δυναμικής

ενέργειας ταλάντωσης U=f(x) σε συνάρτηση με την απόσταση x από την πηγή Ο, τη χρονική

στιγμή t1=13s. [Για x≤32,5m : φ(t1)=2π(13/4-x/10) , y(t1)=5∙10-2ημ2π(13/4-x/10), U(t1)=6,25π2∙10-7ημ2 π(13/4-

x/10) ]

Να θεωρήσετε ότι κάθε στοιχειώδες τμήμα του σχοινιού έχει μάζα m=2·10-3 kg.

ε) Τη χρονική στιγμή t1=13 s να βρείτε για το σημείο Λ με απόσταση από την πηγή xΛ=20 m:

i) τη φάση του. [5π/2]

ii) την απομάκρυνσή του y από τη θέση ισορροπίας του. [5∙10-2]

iii) τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης μάζας του σχοινιού m=2·10-3 kg που ταλαντώνεται

στο παραπάνω σημείο. [6,25π2∙10-7] (Θέμα Γ)

2

23. Η πηγή Ο που βρίσκεται στην

αρχή των άξονα x’x, αρχίζει τη

χρονική στιγμή t=0 να εκτελεί

απλή αρμονική ταλάντωση,

που περιγράφεται από την εξί-

σωση y=Aημωt. Το κύμα που

-63-


δημιουργεί, διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου και κατά τη θετική

φορά. Ένα σημείο Σ απέχει από την πηγή Ο απόσταση 12 m και αρχίζει να ταλαντώνεται τη

χρονική tΣ. Στη γραφική παράσταση που ακολουθεί φαίνεται η απομάκρυνση του σημείου Σ

από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο. ∆ίνεται π2=10. Να υπολογίσετε:

α) Την περίοδο του κύματος. [2]

β) Τη χρονική στιγμή tΣ και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. [2 και 6]

γ) Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης ταλάντωσης του σημείου Σ. [3]

δ) Tο μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Σ όταν θα βρίσκεται στη θέση y= -0,15 m

από τη θέση ισορροπίας του. [±0,15π√3]

ε) Tη διαφορά φάσης του σημείου Σ μεταξύ των χρονικών στιγμών t1=12 s και t2=15 s. [3π]

(Θέμα Γ)

24. Η πηγή κύματος Ο αρχίζει τη χρονική στιγ-

μή t0=0s να εκτελεί απλή αρμονική ταλά-

ντωση πλάτους Α=0,2 m. Το αρμονικό κύ-

μα που δημιουργείται διαδίδεται κατά μή-

κος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέ-

σου, κατά τον άξονα Οx. Στο παρακάτω

διάγραμμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο

του κύματος μετά από χρόνο t1=10 s.

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ διάδοσης του κύματος στο ελαστικό μέσο. [0,4]

β) Να βρείτε την περίοδο T του αρμονικού κύματος. [5]

γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού

μέσου. [8π∙10-2]

δ) Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος. [y=0,2ημ2π(t/5-x/2)]

ε) Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Κ και Λ τη χρονική στιγμή t1.

[π/2] (Θέμα Γ)

25. Το σχήμα παρουσιάζει τη γραφική παράσταση

φ=f(x) της φάσης των σημείων μιας ομογενούς

ελαστικής χορδής, στην οποία διαδίδεται ένα

εγκάρσιο αρμονικό κύμα, τη χρονική στιγμή

t1=4s. Το πλάτος της ταλάντωσης των σημείων

από τα οποία περνά το κύμα είναι A=0,2m. ∆ύο

σημεία Κ και Λ της χορδής βρίσκονται στις θέ-

σεις xK=+1m και xΛ=+1,5m , αντίστοιχα.

α) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. [y=0,2ημ(πt-2πx)]

β) Να γραφεί η εξίσωση υ=f(x,t) της ταχύτητας ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέ-

σου. [υ=0,2πσυν(πt-2πx)]

γ) να βρεθούν οι χρονικές στιγμές t(K) και t(Λ), στις οποίες τα σημεία Κ και Λ ξεκινούν ταλά-

ντωση. [2 και 3]

δ) Να υπολογιστεί η διαφορά φάσης μεταξύ των ταλαντώσεων των σημείων Κ και Λ την ίδια

-64-


-65-

χρονική στιγμή. [π]

ε) Να γίνει η γραφική παράσταση φ=f(t) του σημείου Λ, μέχρι τη στιγμή που το σημείο Λ έχει

εκτελέσει μία πλήρη ταλάντωση. [φ=πt-3π]

στ) Να γίνει η γραφική παράσταση y=f(t) του σημείου Λ, μέχρι τη στιγμή που το σημείο Λ έχει

εκτελέσει 2 πλήρεις ταλαντώσεις.

ζ) Να βρεθεί η φορά κίνησης του σημείου Λ, τη χρονική στιγμή t1. [-]

η) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t2=8s.

[μέχρι x=4] (Θέμα Γ)

26. Σημειακή πηγή παραγωγής γραμμικού εγκάρσιου αρμονικού κύματος βρίσκεται στην αρχή Ο

του άξονα x’x. Τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο Ο βρίσκεται στη θέση μηδενικής απομάκρυν-

σης από τη θέση ισορροπίας του και κινείται κατά την αρνητική φορά. Το παραγόμενο κύμα

διαδίδεται προς την θετική κατεύθυνση του άξονα x’x και έχει γωνιακή συχνότητα ω=4π

rad/s.

∆ίνεται ότι:

i) όταν το σημείο Ο περνάει από τη θέση ισορροπίας του για τέταρτη φορά, το κύμα που παρά-

γεται έχει διαδοθεί σε απόσταση d=20 cm.

ii) η απόσταση μεταξύ των δύο μέγιστων απομακρύνσεων της ταλάντωσης της πηγής από τη

θέση ισορροπίας της είναι ℓ=10 cm.

α) Να υπολογίσετε την αρχική φάση, το πλάτος A και την ταχύτητα διάδοσης u του κύματος. [π και 5∙10-2 και 0,2] β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. [y=5∙10-2ημ[2π(t/0,5-x/0,1)+π]]

γ) Για ένα μόριο του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση x=10 cm, να γράψετε την εξί-

σωση που δίνει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο, και να

κάνετε την γραφική της παράσταση όπως και αυτή της φάσης του. [y=5∙10-2ημ[2π(t/0,5-1)+π] και φ=2π(t/0,5-1)+π, t≥0,5s] δ) Να γράψετε τις εξισώσεις που δίνουν την ταχύτητα ταλάντωσης και την επιτάχυνση σε συ-

νάρτηση με το χρόνο, για ένα μόριο του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στην παραπάνω θέση

x=10 cm. [υ=20π∙10-2συν[2π(t/0,5-1)+π] και α=-80π∙10-2ημ[2π(t/0,5-1)+π] , t≥0,5s] ε) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=1,625s.[μέχρι x=32,5m]

(Θέμα ∆)

27. Το σημείο Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή t=0 να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, που περι-

γράφεται από την εξίσωση y=Aημωt. Το κύμα που δημιουργεί, διαδίδεται κατά μήκος ομογε-

νούς γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική φορά. Αν είναι γνωστό ότι:

1) το σημείο Ο περνάει από τη θέση ισορροπίας του 30 φορές το λεπτό,

2) η ολική ενέργεια ταλάντωσης της πηγής Ο είναι 2∙10-4 J,

3) κάθε στοιχειώδες τμήμα του ελαστικού μέσου θεωρείται υλικό σημείο μάζας m=1 g και

4) το κύμα φτάνει στο σημείο Σ, που απέχει από το Ο απόσταση 4 m, τη χρονική στιγμή t=2 s,

να υπολογίσετε:

α) την περίοδο του κύματος. [4]


-66-

β) το πλάτος του κύματος. [0,4]

γ) την ταχύτητα διάδοσης και το μήκος κύματος. [2 και 8]

δ) Να γράψετε την εξίσωση αυτού του κύματος. [y=0,4ημ2π(t/4-x/8)]

∆ίνεται π2=10. (Θέμα Γ)

28. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ομογενές ελαστικό μέσον και κατά την θετική

κατεύθυνση έχει εξίσωση y = 4·10-2·ημ(πt-5πx), (S.I.). Η πηγή O δημιουργίας αυτού του κύ-

ματος βρίσκεται στη θέση x=0 του άξονα x΄x.

Θεωρούμε ότι ένα σημείο Σ του ελαστικού μέσου βρίσκεται σε απόσταση d=0,3 m από το Ο.

α) Nα υπολογισθούν το πλάτος Α, η περίοδος Τ και το μήκος λ του κύματος. [0,04 και 2

και 0,4] β) Αν η πηγή του κύματος αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t = 0:

1) Ποιά χρονική στιγμή φτάνει το κύμα στο σημείο Σ που απέχει από την πηγή απόσταση d =

0,3 m; [1,5] 2) Να βρεθεί η φάση και η απομάκρυνση του Σ τη στιγμή t1 = 2 s. [π/2 και 0,04]

γ) Nα γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συ-

νάρτηση με το χρόνο. [y = 4·10-2·ημ2π(t/2-0,3/0,4), t≥1,5]

δ) Να βρεθεί η απόσταση κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος ενός ελαχίστου (κοιλάδας)

και του μεθεπόμενου μεγίστου (όρους). [0,6] (Θέμα Γ)

29. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ελαστικό ομογενές μέσον και κατά την θετική

κατεύθυνση έχει εξίσωση: y = 6·10-2·ημ(2πt-10πx), (S.I.). Η πηγή O παραγωγής αυτού του

κύματος βρίσκεται στη θέση x=0 του άξονα x’x.

α) Nα υπολογισθούν το πλάτος Α, η περίοδος Τ, το μήκος λ και η ταχύτητα διάδοσης u του

κύματος. [0,06 και 1 και 0,2 και 0,2]

β) Nα γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης και της φάσης ενός σημείου Σ που απέχει

xΣ=0,4m από το Ο σε συνάρτηση με τον χρόνο και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις. [υΣ=12π∙10-2συν2π(t-2), t≥2s και φΣ=2π(t-2), t≥2s]

γ) Αν το Σ θεωρηθεί υλικό σημείο με μάζα m = 10-3 Kg να εκφραστεί η κινητική του ενέργεια

σε συνάρτηση με το χρόνο. [Κ=72π2∙10-7συν2 π(t-2), t≥2s]

δ) Πόσο απέχουν μεταξύ τους δύο σημεία Μ και Ν που έχουν την ίδια χρονική στιγμή φάσεις

φΜ=2π/3 rad και φΝ=π/2 rad; [1/60]

ε) Να παρασταθεί το στιγμιότυπο του κύματος y=f(x) την χρονική στιγμή t=2,75 s.

[μέχρι x=0,55m] (Θέμα ∆)

2

30. Η φάση γραμμικού αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο με πλάτος

A=0,4 m, δίνεται από τη σχέση: φ=(5πt-5πx/3) (S.I.). Κάποια χρονική στιγμή t1 η φάση ενός

σημείου Κ με απόσταση από την πηγή xΚ=3,9 m, είναι ίση με 2,5·π rad.

α) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t1. [1,8]

β) Μέχρι που θα έχει διαδοθεί το κύμα εκείνη τη στιγμή; [5,4]

γ) Αν τα στοιχειώδη τμήματα του ελαστικού μέσου θεωρηθούν υλικά σημεία μάζας m=2∙10-3

kg το καθένα, πόση είναι η ολική ενέργεια ταλάντωσης καθενός από αυτά; [4π2∙10-3]


δ) Να παρασταθεί το στιγμιότυπο του κύματος y=f(x) τη χρονική στιγμή t1 και να υπολογίσετε

την απευθείας απόσταση μεταξύ του σημείου Κ και ενός άλλου σημείου Λ με xΛ=3,6 m τότε.

[0,5] (Θέμα Γ)

31. Μια πηγή Ο αρχίζει να εκτελεί, τη χρονική στιγμή t=0, απλή αρμονική ταλάντωση. Το παραγό-

μενο από την πηγή γραμμικό αρμονικό κύμα, διαδίδεται σε ελαστικό ομογενές μέσο, προς τη

θετική φορά x’x και έχει εξίσωση επιτάχυνσης:α=-π2∙10-4ημ2π(t/2-x/4) (S.I.).

α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα του κύματος. [π]

β) Να βρείτε την μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου και την τα-

χύτητα διάδοσης αυτού του κύματος. [π∙10-4 και 2]

γ) Πότε θα βρίσκεται για 1η φορά στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του ένα σημείο Κ που

βρίσκεται σε απόσταση xK=10 m από την πηγή Ο; [5,5]

δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης ενός άλλου σημείου Λ που βρίσκεται σε απόστα-

ση xΛ=13m από την πηγή Ο, κάποια στιγμή που το Κ θα βρίσκεται στην ανώτερη θέση της τα-

λάντωσής του; [-π∙10-4] (Θέμα ∆)

32. Η διπλανή γραφική παράσταση αναφέρεται στη μεταβολή

της φάσης φ σε συνάρτηση με το χρόνο ενός σημείου Μ

ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό

κύμα πλάτους Α=10 cm προς τη θετική κατεύθυνση. Το

σημείο Μ απέχει από την πηγή Ο παραγωγής κυμάτων α-

πόσταση xM=18 cm και μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο

μάζας m=2·10-3 kg. H πηγή του κύματος βρίσκεται στην

θέση x0 = 0 και την χρονική στιγμή t0 = 0 είναι y = 0 και

u > 0.

α) Να υπολογίσετε την περίοδο και το μήκος του κύματος. [16 και 0,48]

β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. [y=0,1∙ημ2π(t/16-25x/12)]

γ) Να παρασταθεί γραφικά η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ καθώς και ενός άλλου

σημείου Ν, που βρίσκεται δεξιά του Μ και απέχει από αυτό απόσταση d=λ/2, από την θέση ι-

σορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο σε κοινό διάγραμμα.

δ) Να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t=8 s.

[7,81∙10-8π2] (Θέμα ∆)

33. Η διπλανή γραφική παράσταση αναφέρεται στη μεταβολή

της φάσης φ σε συνάρτηση με την απόσταση x από την πη-

γή γραμμικού αρμονικού κύματος, που διαδίδεται σε ομογε-

νές ελαστικό μέσο κατά τη θετική κατεύθυνση x’x, πλάτους

Α=2 cm κάποια χρονική στιγμή t1.

H ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι u=0,5 cm/s.

α)Να υπολογίσετε την περίοδο και το μήκος του κύματος. [8 και 0,04] β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. [y=2∙10-2ημ2π(t/8-25x) (S.I.)]

γ) Να προσδιοριστεί η χρονική στιγμή t1. [18]

-67-


δ) Να γίνει η γραφική παράσταση

1) της ταχύτητας ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση

με την θέση τους x την χρονική στιγμή t1 και [υ(t1)=(π/2)∙10-2συν2π(18/8-25x)]

2) της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο για το σημείο M με xΜ=5 cm. [φΜ=2π(t/8-5/4)]

Σημείωση: Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην θέση x0=0 και την χρονική στιγμή t=0, είναι

y=0 και u>0. (Θέμα ∆)

34. Οι παρακάτω γραφικές παραστάσεις

αναφέρονται στη ταλάντωση δύο ση-

μείων Α και Β ενός ομογενούς γραμ-

μικού ελαστικού μέσου στο οποίο δια-

δίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα προς

την θετική κατεύθυνση με ταχύτητα

u=2 m/s.

α) Να υπολογίσετε το πλάτος Α του

κύματος [0,04]

β) Να προσδιορίσετε τις θέσεις xA και xB των σημείων Α και Β. [12 και 24]

γ) Να βρείτε το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του σημείου Α. [2,5∙10-2]

δ) Ποια είναι η φάση του σημείου Α την χρονική στιγμή t1=12 s; [3π/2]

∆ίνεται: π2=10. (Θέμα Γ)

35. Γραμμικό αρμονικό εγκάρσιο κύμα με πλάτος Α=4∙10-3 m και περίοδο Τ=2 s, διαδίδεται σε ο-

μογενές ελαστικό μέσο με ταχύτητα u=2 cm/s. Η πηγή παραγωγής αυτού του κύματος βρίσκε-

ται στη θέση x=0 αρχή του άξονα x’x Κάθε μόριο του ελαστικού μέσου μπορεί να θεωρηθεί υ-

λικό σημείο μάζας m=1·10-3 kg.

α) Να γράψετε την εξίσωση αυτού του κύματος. [y=4∙10-3ημ2π(t/2-25x)]

β) Να υπολογίσετε τη φάση του σημείου Σ που βρίσκεται στη θέση xΣ=3 cm την στιγμή t1=4,5

s. [3π]

γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή t1 καθώς και την χρονική

στιγμή t2=t1+T/4. [μέχρι 9 και μέχρι 10m]

δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας των διαφόρων σημείων του

ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t1 σε συνάρτηση με την απόστασή τους x από το σημείο O

τη χρονική στιγμή t1. (Θέμα ∆)

36. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντω-

σης ενός μορίου K ενός ομογενούς ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται γραμμικό αρμονικό

εγκάρσιο κύμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι u=2 m/s

-68-


-69-

και έχει μηδενική αρχική φάση. Κάθε μικρό τμήμα του σχοινιού μπορεί να θεωρηθεί υλικό ση-

μείο μάζας m=2·10-3 kg.

α) Πόσο απέχει από την πηγή του κύματος το σημείο Κ στο οποίο αναφέρεται η παραπάνω

γραφική παράσταση; [12]

β) Να βρείτε το πλάτος και το μήκος κύματος αυτού του κύματος. [0,04 και 16]

γ) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. [y=4∙10-2ημ2π(t/8-x/16)]

δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με

το χρόνο και για ένα άλλο μόριο Μ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση x=16 m. [UM=10-6ημ2 π(t/8-1), t≥8s]

Να θεωρήσετε: π2≈10. (Θέμα ∆) 2


-70-

Συμβολή κυμάτων

ΘΕΜΑ Α

1. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Α και Β ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού με

το ίδιο πλάτος Α. Τα σημεία της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ της επιφάνειας του υγρού, με-

τά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτά, θα ταλαντώνονται με πλάτος:

a. 0 b. Α/2 c. Α d. 2Α

2. Όταν δύο κύματα διαδίδονται ταυτόχρονα στην ίδια περιοχή ενός ελαστικού μέσου, η αρχή της

επαλληλίας των κυμάτων:

a. ισχύει μόνο αν έχουν το ίδιο πλάτος.

b. δεν ισχύει στις περιπτώσεις που η ισχύς των κυμάτων μεταβάλλει τις ιδιότητες του μέσου.

c. καθορίζει το ποσοστό συνεισφοράς του κάθε κύματος, ανάλογα με την ταχύτητα διάδοσης.

d. ορίζει ότι τα υλικά σημεία του μέσου ακολουθούν τη συχνότητα του κύματος με το μεγαλύ-

τερο πλάτος.

3. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1, Π2 ταλαντώνονται κάθετα στην ελαστική επιφάνεια ενός

υγρού με το ίδιο πλάτος Α, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ. Τα κύματα συμβάλλουν

στη επιφάνεια του υγρού. Σημείο (Σ) της επιφάνειας του υγρού: Να επιλέξετε τη σωστή

πρόταση.

a. θα παραμείνει ακίνητο μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό, εάν ισαπέχει από τις πηγές

Π1 και Π2.

b. θα είναι σημείο ενίσχυσης αν οι αποστάσεις του (Σ) από τις πηγές Π1 και Π2 διαφέρουν κατά

1,5λ.

c. θα είναι σημείο απόσβεσης αν οι αποστάσεις του (Σ) από τις πηγές Π1 και Π2 διαφέρουν κατά

1,5λ.

d. θα ταλαντώνεται με πλάτος Α, μετά τη συμβολή των κυμάτων, αν οι αποστάσεις του (Σ) από

τις πηγές Π1, Π2 διαφέρουν κατά λ/2.

4. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1, Π2 ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού με

το ίδιο πλάτος Α. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά r1=35λ/6 από την πηγή Π1 και κατά

r2=11λ/6 από την πηγή Π2, όπου λ το μήκος κύματος των κυμάτων. Να επιλέξετε τη σωστή

πρόταση.

a. Το (Σ) είναι σημείο ενίσχυσης.

b. Το (Σ) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό ταλαντώνεται με πλάτος √3Α.

c. Τα κύματα φτάνουν στο (Σ) με χρονική διαφορά Τ/2.

d. Το (Σ) είναι σημείο απόσβεσης.



στη επιφάνεια του υγρού. Να επιλέξετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές.

a. Αν r1, r2 οι αποστάσεις ενός σημείου της επιφάνειας από τις κυματικές πηγές, τότε το πλάτος


ταλάντωσής του σημείου μετά τη συμβολή των κυμάτων ισούται με

222 21 rr

A .

b. Τα υλικά σημεία που ταλαντώνονται έχουν την ίδια συχνότητα.

c. ∆ύο οποιαδήποτε σημεία της επιφάνειας, αν κινούνται μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυ-

τά, τότε ταλαντώνονται είτε σε αντίθεση είτε σε συμφωνία φάσης.

d. Τα υλικά σημεία όπου τα κύματα συμβάλλουν ενισχυτικά ταλαντώνονται με ενέργεια ταλά-

ντωσης διπλάσια από την ενέργεια ταλάντωσης των πηγών.


το ίδιο πλάτος Α, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ. Τα κύματα συμβάλλουν στη επιφά-

νεια του υγρού. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες;

a. Όλα τα σημεία που ταλαντώνονται με πλάτος 2Α ισαπέχουν από τις πηγές.

b. Αν η διαφορά των αποστάσεων ενός σημείου της επιφάνειας από τις κυματικές πηγές ισού-

ται με ακέραιο πολλαπλάσιο του λ/2, τότε το σημείο είναι σημείο απόσβεσης.

c. Αν τα κύματα φτάνουν σε ένα σημείο της επιφάνειας με χρονική διαφορά 3Τ/2, όπου Τ πε-

ρίοδος των κυμάτων, τότε το σημείο είναι σημείο ενίσχυσης.

d. Αν τα κύματα φτάνουν σε ένα σημείο της επιφάνειας με διαφορά φάσης 12π τότε το σημείο

είναι σημείο ενίσχυσης.

ΘΕΜΑ Β


το ίδιο πλάτος Α, παράγοντας κύματα συχνότητας f και μήκους κύματος λ. Σημείο (Σ) της επι-

φάνειας του υγρού απέχει κατά r1=4λ από την πηγή Π1 και κατά r2=17λ/6 από την πηγή Π2. Η

μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου (Σ) αφού συμβάλλουν σε αυτό τα κύματα ισούται

με:

α. υmax=2π√3fA.

β. υmax=4πfA..

γ. υmax=πfA..

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα Β)


το ίδιο πλάτος, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ=0,8m . Σημείο Σ της επιφάνειας του

υγρού απέχει κατά r1=2,6m από την πηγή Α και μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό παρα-

μένει ακίνητο. Η απόσταση r2 του Σ από την πηγή Β μπορεί να είναι ίση με:

α. 4,4m.

β. 0,6m.

γ. 2m (Θέμα Β)


το ίδιο πλάτος, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ. Αν η απόσταση των πηγών ισούται με

λ, τότε μεταξύ των πηγών διέρχονται:

α. δύο υπερβολές ενίσχυσης και δύο υπερβολές απόσβεσης.

-71-


-72-

β. μία υπερβολή ενίσχυσης και δύο υπερβολές απόσβεσης.

γ. μία υπερβολή ενίσχυσης και καμία υπερβολή απόσβεσης.

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα Β)


το ίδιο πλάτος Α=0,4m και περίοδο T=0,1s. Τα παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύματος λ.

Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά r1 από την πηγή Π1 και κατά r2 από την πηγή Π2 , με

r1>r2. Τα κύματα φτάνουν στο σημείο (Σ) με χρονική καθυστέρηση ∆t=31/60s.Το σημείο (Σ),

μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό, έχει μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης μέτρου:

α. 16π m/s.

β. 8π√3 m/s.

γ. 2π m/s.




στη επιφάνεια του υγρού. Το πλήθος των υπερβολών ενίσχυσης που τέμνουν το τμήμα που

συνδέει τις πηγές:

α. είναι άρτιο.

β. είναι περιττό.

γ. είναι άρτιο αν οι πηγές απέχουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του λκαι περιττό αν οι πηγές α-

πέχουν περιττό πολλαπλάσιο του λ/2.


12. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1, Π2 βρίσκονται στα σημεία (Α) και (Β) αντίστοιχα της ελα-

στικής επιφάνειας ενός υγρού. Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού με

το ίδιο πλάτος Α, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ. Αν (ΑΒ)=2,4λ , τότε μεταξύ των

(Α) και (Β) και επί του (ΑΒ) το πλήθος των σημείων απόσβεσης είναι:

α. 4. β. 5. γ. 6.

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. (Θέμα Β)



το ίδιο πλάτος Α, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ.

Αν (ΑΒ)=2,4λ, τότε μεταξύ των (Α) και (Β) και επί του (ΑΒ) το πλήθος των σημείων ενίσχυσης

είναι:

α. 3. β. 4. γ. 5.




το ίδιο πλάτος Α, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει

κατά r1=4λ από την πηγή Π1 και κατά r2 (r2>r1) από την πηγή Π2. Τα κύματα των πηγών συμ-

βάλλουν στο (Σ) με χρονική διαφορά ∆t=T.


Η μέγιστη ταχύτητα του υλικού σημείου (Σ) μετά τη συμβολή των κυμάτων είναι:

α. ίση με τη μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης των πηγών.

β. διπλάσια από τη μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης των πηγών.

γ. τριπλάσια από τη μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης των πηγών.


15. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1, Π2 βρίσκονται στα σημεία (Α) και (Β) αντίστοιχα της ήρε-

μης επιφάνειας ενός υγρού. Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού με το

ίδιο πλάτος Α, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ.Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών

σημείων απόσβεσης που ανήκουν στο τμήμα (ΑΒ) ισούται με:

α. λ. β. λ/2. γ. λ/4.


ΘΕΜΑ Γ,∆

16. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1, Π2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα της επιφά-

νειας ενός υγρού. Οι πηγές απέχουν μεταξύ τους κατά d=2m και ταλαντώνονται κάθετα στην

επιφάνεια του υγρού, σύμφωνα με την y0=0,2ημ(3πt) (S.I.).Τα παραγόμενα κύματα διαδίδο-

νται με ταχύτητα υ=1,2m/s. Σημείο (Γ) της επιφάνειας του υγρού απέχει απόσταση r1=3m από

την Π1 και r2(r2<r1) από την Π2. Στο σημείο (Γ) τα κύματα φτάνουν με χρονική διαφορά

∆t=1s.

α) Να υπολογίσετε την απόσταση r2. [1,8m]

β) Να εξετάσετε αν το σημείο (Γ) είναι σημείο ενίσχυσης ή απόσβεσης. [Απόσβ]

γ) Να γράψετε την εξίσωση χρονικής εξέλιξης της απομάκρυνσης του σημείου (Γ) από τη θέση

ισορροπίας του και να σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση σε κατάλληλα βαθμολο-

γημένο σύστημα αξόνων.

[ ] δ) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων ενίσχυσης που βρίσκονται πάνω στο ευθύγραμμο

τμήμα ΑΒ. [5]

ε) Αν (∆) σημείο του τμήματος ΑΒ, το οποίο ανήκει στην ίδια υπερβολή ενίσχυσης ή απόσβε-

σης με το σημείο (Γ) και (Ζ) σημείο του ΑΒ το οποίο είναι το πλησιέστερο στην πηγή Π1 σημείο

ενίσχυσης, να υπολογίσετε την απόσταση (∆Ζ). [1,4m] (ΘΕΜΑ ∆)

17. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1και Π2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ελα-

στικής επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά ΑΒ=4,4m. Τη χρονική στιγμή t=0 οι πηγές

ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να

περιγράφεται από την εξίσωση y=Aημ(20πt) (S.I.). Τα παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύ-

ματος λ=0,4m. Σημείο (∆) απέχει κατά r1=2,8mαπό την πηγή Π1 και κατά r2=7,2m από την

πηγή Π2. Το πλάτος ταλάντωσης του σημείου (∆) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό ισού-

ται με Α∆=1m.

α) Να εξετάσετε εάν στο σημείο (∆) συμβαίνει ενισχυτική ή ακυρωτική συμβολή [Ε]

-73-


β) Να υπολογίσετε το πλάτος Α των κυμάτων [0,5]

γ) Να γράψετε την εξίσωση χρονικής εξέλιξης της απομάκρυνσης του σημείου (∆) μετά τη

συμβολή των κυμάτων σε αυτό. [y∆=-ημπ(20t-25) (S.I.)

δ) Να σχεδιάσετε σε κατάλληλα βαθμολογημένο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της

ταχύτητας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο του σημείου (Μ), το οποίο είναι το μέσο του

ΑΒ. (Θέμα Γ)

18. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1

και Π2 βρίσκονται στα σημεία Α και

Β αντίστοιχα, της ελαστικής επιφά-

νειας ενός υγρού και απέχουν κατά

d=0,65m. Τη χρονική στιγμή t=0 οι

πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται

κάθετα στην επιφάνεια του υγρού,

με την απομάκρυνση τους να περι-

γράφεται από την εξίσωση

y=Aημωt. Τα παραγόμενα κύματα

έχουν μήκος κύματος λ=0,2m. Στο ακόλουθο διάγραμμα παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη της

απομάκρυνσης ενός σημείου (Σ) της επιφάνειας, το οποίο απέχει κατά r1 από την πηγή Π1 και

κατά r2 από την πηγή Π2, με r1>r2.

α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις r1 και r2. [1,3 και 0,9]

β) Να γράψετε την εξίσωση της δυναμικής ενέργειας ενός σημειακού φελλού μάζας m=1g, ο

οποίος βρίσκεται στο σημείο Σ της επιφάνειας, σε συνάρτηση με το χρόνο.

[ ]

γ) Να υπολογίσετε τον αριθμό υπερβολών ενίσχυσης που τέμνουν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. [7] δ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου (Σ) από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική

στιγμή t΄ κατά την οποία το σημείο Μ, το οποίο είναι το μέσο του ΑΒ, βρίσκεται σε ακραία αρ-

νητική απομάκρυνση για τέταρτη φορά. [-0,05√2]

(Θεωρήστε ότι π2=10). (Θέμα ∆)

yΣ(m)

-74-

19. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1 και Π2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ελα-

στικής επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά d=0,4m. Τη χρονική στιγμή t=0 οι πηγές ξε-

κινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να πε-

ριγράφεται από την εξίσωση y=0,4ημ10πt (S.I.) . Τα παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύμα-

τος λ=0,1m. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά r1 από την πηγή Π1 και κατά r2 από την

πηγή Π2, με r1>r2. Τα κύματα φτάνουν στο (Σ) με χρονική διαφορά ∆t=0,7s.

α)Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου (Σ) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε

αυτό. [0]

0,1

0,8 1,6

0,2

0,4 1,2 2,0 2,4 2,8 3,2 t(s)


β) Η υπερβολή σταθερής διαφοράς αποστάσεων στην οποία ανήκει το (Σ) τέμνει το ευθύγραμ-

μο τμήμα ΑΒ που συνδέει τις πηγές σε σημείο (Γ). Να υπολογίσετε την απόσταση του (Γ) από

το σημείο (Μ) το οποίο είναι το μέσο του ΑΒ. [0,175]

γ) Να υπολογίσετε το πλήθος σημείων ενίσχυσης του τμήματος ΜΓ. [3]

δ) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μέσο Μ φτάνει σε απομάκρυνση 0,4m

για πρώτη φορά. [5/12] (Θέμα ∆)

20. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1, Π2 ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος Α=0,2m , κάθετα

στην ελαστική επιφάνεια ενός υγρού, παράγοντας κύματα με μήκος κύματος λ=0,6m. Οι πη-

γές ξεκινούν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t=0 με θετική ταχύτητα. Σημείο (Σ) της ε-

πιφάνειας απέχει κατά r1=7,6m από την πηγή Π1 και κατά r2=4,8m από την πηγή Π2. Το (Σ)

ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t=12s.

α) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του (Σ) μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό. [0,2] β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο, αφού συμ-

βάλλουν σε αυτό τα κύματα. [yΣ=-0,2ημ2π(2t-31)/3]

γ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του (Σ) τη χρονική στιγμή t΄=707/16 s. [16√2/9]

δ) Να υπολογίσετε το πηλίκο της κινητικής ενέργειας του σημείου Σ προς την ενέργεια ταλά-

ντωσης του, τη χρονική στιγμή t΄. [1/2]

(Θεωρήστε ότι π2=10) (Θέμα Γ)

21. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1 και Π2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της επι-

φάνειας ενός υγρού. Τη χρονική στιγμή t=0 οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται κάθετα στην

επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση

y=0,2ημ4πt (S.I.). Τα παραγόμενα κύματα έχουν μήκος κύματος λ=0,1m. Σημείο (Σ) της επι-

φάνειας απέχει κατά r1=0,3m από την πηγή Π1 και κατά r2=0,8m από την πηγή Π2.

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των ταλαντώσεων που υποχρεώνεται να εκτελέσει το σημείο (Σ).

[ ] β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου (Σ), μετά τη συμβολή των κυμάτων σε

αυτό. [0,4]

γ) Να γράψετε την εξίσωση επιτάχυνσης του υλικού σημείου (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο

για t≥0.

(Θεωρήστε ότι π2=10) (Θέμα ∆)




y=0,2ημ10πt (S.I.). Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει κατά r1=4,2m από την πηγή Π1 και κατά

r2>r1 από την πηγή Π2. Το (Σ) ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t1=1,05s ενώ από τη

χρονική στιγμή t2=1,55s και έπειτα σταματά να κινείται.

-75-


α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα των κυμάτων και την απόσταση r2. [4 και 6,2]

β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο, αλλά και

της ταχύτητας ταλάντωσης του σε συνάρτηση με το χρόνο.

γ) Να σχεδιάσετε την επιτάχυνση του (Σ) ως συνάρτηση του χρόνου σε κατάλληλα βαθμολο-

γημένο σύστημα αξόνων.

δ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα των κυμάτων που μπορούμε να προκαλέσουμε

ώστε το (Σ) να μεταβληθεί σε σημείο ενίσχυσης. [2]

(Θεωρήστε ότι π2=10) (Θέμα ∆)

23. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1 και Π2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ήρε-

μης επιφάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά d=4m . Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην ε-

πιφάνεια του υγρού χωρίς αρχική φάση, δημιουργώντας κύματα μήκους λ=0,8m τα οποία δια-

δίδονται με ταχύτητα 2m/s . H πηγή Π1 ισαπέχει από το σημείο (Σ) της επιφάνειας και από το

μέσο Μ του ΑΒ. Στο (Σ) τα κύματα φτάνουν με χρονική διαφορά ∆t=0,8s . Το σημείο Μ ταλα-

ντώνεται με πλάτος 0,8m.

α) Να εξετάσετε το είδος της συμβολής που συμβαίνει στο (Σ). [E]

β) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις r1 και r2. [2 και 3,6]

γ) Να προσδιορίσετε τις θέσεις των σημείων απόσβεση μεταξύ των Α και Β. [3,8 – 3,4 . . . - 0,2]

(Θέμα Γ)



επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση y=Aημωt.

Τα κύματα που δημιουργούν διαδίδονται με ταχύτητα 2m/s. Σημείο (Σ) της επιφάνειας απέχει

κατά r1 από την πηγή Π1 και κατά r2=2m (r2>r1) από την πηγή Π2. Εξαιτίας του κύματος που

προέρχεται από την πηγή Π1 το (Σ) εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση

y1S=0,4ημ2π(2t-1,75) (S.I.).

α) Να υπολογίσετε την απόσταση r1. [1,75]

β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σημείου (Σ).

[ ] γ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των πηγών, ώστε το (Σ) να είναι ση-

μείο απόσβεσης. [4] (Θέμα Γ)

-76-




επιφάνεια του υγρού, με την απομάκρυνση τους να περιγράφεται από την εξίσωση y=Aημωt

(S.I.). Τα κύματα που δημιουργούν έχουν μήκος κύματος λ=0,4m . Σημείο (Σ) της επιφάνειας

απέχει κατά r1=2,5m από την πηγή Π1 και κατά r2=4m από την πηγή Π2. Αφού τα κύματα

συμβάλλουν στο (Σ) αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συχνότητα 5HZ και πλάτος

1m.

α) Να υπολογίσετε τη χρονική διαφορά άφιξης των κυμάτων στο (Σ) καθώς και τη διαφορά

φάσης με την οποία φτάνουν. [0,75s και 7,5π rad]

β) Να υπολογίσετε το πλάτος των κυμάτων. [√2/2]

γ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, μετά τη συμβολή

των κυμάτων σε αυτό. [ ]

δ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των πηγών, ώστε το (Σ) να είναι ακί-

νητο μετά τη συμβολή των κυμάτων. [2/3] (Θέμα Γ)




y=0,2ημ(10πt) (S.I.). Τα κύματα που δημιουργούν έχουν μήκος κύματος λ=0,4m. Σημείο (Σ)

της επιφάνειας απέχει κατά r1=2,5m από την πηγή Π1 και κατά r2>r1 από την πηγή Π2. Τα δύο

κύματα φτάνουν στο (Σ) με χρονική διαφορά 0,3s.

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων. [2]

β) Να υπολογίσετε την απόσταση r2. [3,1]

γ) Να εξετάσετε το είδος της συμβολής που συμβαίνει στο σημείο (Σ). [Α]

δ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δύναμης επαναφοράς που δέχεται ένα σημειακό κομ-

μάτι ξύλου μάζας m=5g που αρχικά ισορροπούσε στο σημείο (Σ).

[ ] (Θεωρήστε ότι π2=10) (Θέμα Γ)


φάνειας ενός υγρού και απέχουν κατά d=2m . Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια

του υγρού χωρίς αρχική φάση, δημιουργώντας κύματα μήκους κύματος λ=1,2m και πλάτους

A=1m. Σημείο (Λ) του ΑΒ ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t΄=0,2s και είναι το

πλησιέστερο σημείο στην πηγή Π2 το οποίο μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό ταλαντώ-

νεται με μέγιστο πλάτος.

α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις του (Λ) από τις κυματικές πηγές. [1,6 και 0,4]

β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του (Λ) τη στιγμή που τα κύματα συμβάλλουν

στο μέσο Μ του ΑΒ. [-10π/3]

γ) Να υπολογίσετε την απόσταση (ΚΛ) όπου (Κ) το πλησιέστερο στην Π1 ακίνητο σημείο του

ΑΒ. [1,5]

-77-


δ) Σημείο (Ζ) της επιφάνειας ανήκει στην ίδια υπερβολή απόσβεσης με το (Κ). Αν αυξήσουμε

κατά 20% τη συχνότητα των πηγών, να υπολογίσετε το νέο πλάτος ταλάντωσης του σημείου

(Ζ). [1,62]

∆ίνεται συν(4π/5)≈-0,81. (Θέμα Γ)

28. ∆ύο σύγχρονες ηχητικές πηγές Π1 και Π2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, και απέ-

χουν κατά d=5m. Οι πηγές εκπέμπουν ηχητικά σήματα συχνότητας f=550 Hz , τα οποία διαδί-

δονται στον αέρα με ταχύτητα 330 m/s. Σημείο (Σ) απέχει κατά r1(Σ)=3m από την πηγή Π1 και

κατά r2(Σ)>r1(Σ) από την πηγή Π2. Μετά τη συμβολή των κυμάτων σε αυτό, το (Σ) ταλαντώνεται

σύμφωνα με την εξίσωση: yΣ=0,4ημπ(1100t-35/3).

α) Να υπολογίσετε την απόσταση του (Σ) από την Π2. [4]

β) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων ενίσχυσης που βρίσκονται πάνω στο τμήμα ΑΒ. [17] γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του σημείου (Κ) το οποίο βρίσκεται επί του ΑΒ και ανήκει στο ε-

πίπεδο που ορίζουν τα Α, Β, Σ, αν το (Κ) ανήκει στην ίδια υπερβολή σταθερής διαφοράς απο-

στάσεων από τις πηγές με το (Σ). [x1K=2m, x2k=3m]

δ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σημείου (Κ) σε συνάρτηση με το χρόνο. (Θέ-

μα ∆)


φάνειας υγρού και απέχουν κατά d=4,8m. Οι πηγές ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του

υγρού χωρίς αρχική φάση, δημιουργώντας κύματα μήκους κύματος λ=0,8m και πλάτους

A=0,5m , τα οποία και συμβάλλουν στην επιφάνεια του υγρού. Σημείο (Σ) της επιφάνειας α-

πέχει κατά r1Σ από την πηγή Π1 και κατά r2Σ>r1Σ από την πηγή Π2 . Το (Σ) ξεκινά να ταλαντώ-

νεται τη χρονική στιγμή t1=1,1s και τη χρονική στιγμή t2 αφού εκτελέσει 2,5 ταλαντώσεις ακι-

νητοποιείται. Το κύμα από την Π2 φτάνει στην Π1 επίσης τη χρονική στιγμή t2 .

α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις r2Σ και r1Σ. [2,8 και 4,8]

β) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων του τμήματος ΑΣ που είναι ακίνητα τη χρονική

στιγμή t1. [7]

γ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του σημείου (Σ) σε συνάρτηση με το χρόνο.

δ) Να υπολογίσετε το πλήθος των υπερβολών ενίσχυσης που τέμνουν το τμήμα ΑΣ μετά τη

συμβολή των κυμάτων στο (Σ). [3] (Θέμα ∆)

30. ∆ύο σύγχρονες κυματικές πηγές Π1 και Π2 βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, της ελα-

στικής επιφάνειας ενός υγρού και ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, σύμφωνα

με τις:

-78-


Τα δημιουργούμενα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα 2m/s.

α) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του ενός σημείου (Σ) της επιφάνειας το οποίο

απέχει κατά r1 από την πηγή Π1 και κατά r2 από την πηγή Π2, αφού συμβάλλουν τα κύματα σε

αυτό.

[ ]

β) Να γράψετε τη συνθήκη ενίσχυσης για το (Σ). [ ]

γ) Αν r1=r2 ποιο είναι το πλάτος ταλάντωσης του (Σ) μετά τη συμβολή; [0,2√3]

δ) Αν r1=r2 ποιά θα έπρεπε να είναι η αρχική φάση της y1, ώστε το (Σ) να είναι σημείο από-

σβεσης; [π] (Θέμα ∆)

-79-


-80-

Στάσιμα

ΘΕΜΑ Α

1. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδονται προς αντίθετες κατευθύνσεις τα εγκάρσια αρμονικά

κύματα: y1=Aημ2π(t/T-x/λ) και y2=Aημ2π(t/T+x/λ) δημιουργώντας στάσιμο κύμα. Ποια από

τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή;

a. Οι θέσεις που εμφανίζονται κοιλίες είναι: x=(2k+1)λ/2 με κ=0, ±1, ±2, ±3, ...

b. Οι θέσεις που εμφανίζονται δεσμοί είναι: x=(2k+1)λ/4 με κ=0, ±1, ±2, ±3, ...

c. Οι θέσεις που εμφανίζονται κοιλίες είναι: x=2kλ με κ=0, ±1, ±2, ±3, ...

d. Οι θέσεις που εμφανίζονται δεσμοί είναι: x=(2k+1)λ/2 με κ=0, ±1, ±2, ±3, ...

2. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδονται προς αντίθετες κατευθύνσεις δύο εγκάρσια αρμο-

νικά κύματα με το ίδιο πλάτος Α και το ίδιο μήκος κύματος λ, με αποτέλεσμα στη χορδή να έ-

χει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Τα σημεία Α και Β του μέσου είναι κοιλίες ενώ ΑΒ=3λ. Στη

χορδή έχουν δημιουργηθεί:

a. 6 κοιλίες. b. 6 δεσμοί. c. 5 δεσμοί. d. 2 κοιλίες.


κύματα: y1=Aημ2π(t/T-x/λ) και y2=Aημ2π(t/T+x/λ) δημιουργώντας στάσιμο κύμα. Όλα τα

σημεία του μέσου που ταλαντώνονται: Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση.

a. έχουν ίσα πλάτη.

b. βρίσκονται σε συμφωνία φάσης.

c. διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας.

d. έχουν την ίδια ενέργεια ταλάντωσης.


κύματα: y1=Aημ2π(t/T-x/λ) και y2=Aημ2π(t/T+x/λ) δημιουργώντας στάσιμο κύμα. Το πλάτος

ταλάντωσης των σημείων του μέσου: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. εξαρτάται από τη θέση του υλικού σημείου.

b. εξαρτάται από τη θέση του σημείου και τη χρονική στιγμή.

c. εξαρτάται από τη χρονική στιγμή.

d. είναι το ίδιο για όλα τα σημεία του μέσου

5. Σε μια ελαστική χορδή διαδίδονται προς αντίθετες κατευθύνσεις τα εγκάρσια αρμονικά κύματα:

y1=Aημ2π(t/T-x/λ) και y2=Aημ2π(t/T+x/λ) δημιουργώντας στάσιμο κύμα. Ποιες από τις παρα-

κάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες;

a. Η συχνότητα ταλάντωσης των σημείων της χορδής εξαρτάται από τη θέση τους.

b. Η χορδή ευθυγραμμίζεται ανά Τ/2 όπου Τ η περίοδος των κυμάτων.

c. Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο δεσμών ισούται με λ/2.

d. ∆ύο διαδοχικές κοιλίες ταλαντώνονται εν φάση.


κύματα: y1=Aημ2π(t/T-x/λ) και y2=Aημ2π(t/T+x/λ) δημιουργώντας στάσιμο κύμα. Ποιες από


-81-

τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες;

a. Η διαφορά φάσης δύο σημείων που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι μηδε-

νική.

b. Το πλάτος των σημείων που ταλαντώνονται μεταβάλλεται περιοδικά με το χρόνο.

c. Η ενέργεια δεν διαδίδεται στη χορδή αλλά παραμένει εντοπισμένη.

d. Η απόσταση μίας κοιλίας από τον πλησιέστερο δεσμό ισούται με λ/4, όπου λ το μήκος κύμα-

τος των κυμάτων.

ΘΕΜΑ Β

7. Κατά μήκος μίας ελαστικής χορδής που ταυτίζεται με τον άξονα xΌx έχει δημιουργηθεί στάσι-

μο κύμα, ως αποτέλεσμα της συμβολής δύο αντίθετα διαδιδόμενων αρμονικών κυμάτων με το

ίδιο πλάτος και το ίδιο μήκος κύματος λ=0,8m. Στο σημείο Ο (x=0) έχει δημιουργηθεί κοιλία.

Τα σημεία Α (xA=0,4m) και Β (xB=1,6m) παρουσιάζουν διαφορά φάσης:

α) ∆φ=π

β) ∆φ=π/2 rad

γ) ∆φ=0 rad

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.


νικά κύματα με το ίδιο πλάτος A και το ίδιο μήκος κύματος λ , με αποτέλεσμα στη χορδή να

έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Τα σημεία Α και Β του μέσου είναι κοιλίες ενώ ΑΒ=3λ.

Μεταξύ των Α και Β εμφανίζονται:

α. 6 κοιλίες. β. 6 δεσμοί. γ. 5 δεσμοί.



νικά κύματα με πλάτος Α=0,2m και συχνότητα f=5Hz. Τα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα

u=2m/s και δημιουργούν στάσιμο κύμα, με κοιλία στο σημείο Ο(x=0). Το στάσιμο κύμα έχει

εξίσωση:

a. y=0,4συν(5πx)ημ(10πt) (S.I.)

b. y=0,4συν(10πx)ημ(5πt) (S. I.)

c. y=0,4συν(5πx)ημ(5πt) (S. I.)




ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα. Τα σημεία Α και Β της χορδής είναι διαδοχικές κοιλίες σε

συμφωνία φάσης. Μεταξύ των Α και Β υπάρχουν:

a. δύο δεσμοί. b. δύο κοιλίες. c. ένας δεσμός. d. τρείς δεσμοί.


νικά κύματα με ίσα πλάτη και ίσες συχνότητες. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στά-

σιμο κύμα. ∆ύο υλικά σημεία Κ, Λ του μέσου βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών.


-82-

α. Τα Κ, Λ έχουν μηδενική διαφορά φάσης.

β. Τα Κ, Λ έχουν διαφορά φάσης ίση με π/2.

γ. Τα Κ, Λ έχουν διαφορά φάσης ίση με π.



νικά κύματα με πλάτος Α και μήκος κύματος λ=1,2m . Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουρ-

γούν στάσιμο κύμα, με κοιλία στο σημείο O(x=0). Τα υλικά σημεία Ο και A(xA>0) είναι διαδο-

χικά σημεία με μέγιστο πλάτος ταλάντωσης που βρίσκονται σε συμφωνία φάσης.

Η συντεταγμένη της θέσης του σημείου Α είναι:

α. xA=0,3 m.

β. xA=0,6 m.

γ. xA=1,2 m.



νικά κύματα με πλάτος Α και μήκος κύματος λ. Το σημείο Α του μέσου είναι δεσμός ενώ το

σημείο Β είναι κοιλία. Μεταξύ των Α και Β εμφανίζονται τρείς κοιλίες.

Η απόσταση μεταξύ των Α και Β ισούται με:

α. 5λ/4. β. 7λ/4. γ. 7λ/2.


14. Κατά μήκος μιας οριζόντιας ελαστικής χορδής μήκους L=3,6m της οποίας τα άκρα είναι ακλό-

νητα στερεωμένα σε ακίνητα εμπόδια, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα ως αποτέλεσμα της

συμβολής δύο αντίθετα διαδιδόμενων αρμονικών κυμάτων με το ίδιο πλάτος και την ίδια συ-

χνότητα f. Τα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα 7,2m/s. Αν μεταξύ των άκρων της χορδής εμ-

φανίζονται 4 δεσμοί, τότε η συχνότητα των κυμάτων είναι:

α. f=2,5 Hz. β. f=5 Hz. γ. f=7,5 Hz.




ίδιο πλάτος A=0,4m και το ίδιο μήκος κύματος λ. Το στάσιμο κύμα έχει εξίσωση

y=2Aσυν(2πx/λ)ημ(2πt/T).

Η απομάκρυνση του σημείου A(xA=λ/3) τη χρονική στιγμή που το σημείο Β(xB=6λ/5) βρίσκε-

ται σε μέγιστη θετική απομάκρυνση ισούται με:

α. 0,4m. β. -0,4m. γ. 0,2m .



μο κύμα, ως αποτέλεσμα της συμβολής δύο αντίθετα διαδιδόμενων αρμονικών κυμάτων ίδιας

συχνότητας και ίδιου πλάτους, έτσι ώστε στο σημείο O(x=0) να δημιουργείται κοιλία. Τα ση-

μεία A(xA=4,5λ) και Β(xB=6λ):

α. ταλαντώνονται σε αντίθεση φάσης.


β. ταλαντώνονται σε συμφωνία φάσης.

γ. είναι ακίνητα.


ΘΕΜΑ Γ,∆

17. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x’Ox διαδίδονται

ταυτόχρονα δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με εξισώσεις:

y1=0,25ημ2π(t-x) (S.I.) και y2=0,25ημ2π(t+x) (S.I.)

Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα.

α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. [y=0,5∙συν(2πx)∙ημ(2πt) (S..I.)]

β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, των σημείων

Α(xA=0,5m) και B(xB=1m). [υΑ=-π∙συν(2πt), υB=π∙συν(2πt)]

γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος Α∆ της χορδής, όπου ∆(x∆=1,75m) τη χρονική

στιγμή t1=1,25sσε κατάλληλα βαθμολογημένο σύστημα αξόνων.

δ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου Z(xZ=5/6 m) όταν η απομάκρυνση του ση-

μείου A είναι μέγιστη θετική. [-0,25m]

18. ∆ύο εγκάρσια αρμονικά κύματα πλάτους Α=0,2m και μήκους κύματος λ=0,4m διαδίδονται με

αντίθετες κατευθύνσεις και ταχύτητα 2m/s σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με

τον οριζόντιο άξονα x΄Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με κοιλία

στο σημείο Ο x=0.

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο.

[ ] β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. [y=0,4συν(5πx)ημ(10πt)]

γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, των σημείων Α

(xA=1,2m) και B (xB=1,9m). [A: yA=0,4ημ(10πt) B: ∆εσμός]

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΑΒ της χορδής τις χρονικές στιγμές t0=0 και

t1=0,15s.

19. Σε μία οριζόντια ελαστική χορδή (ΟΛ) μήκους L, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, ως αποτέλε-

σμα της ταυτόχρονης διάδοσης δύο εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων με το ίδιο πλάτος και την

ίδια συχνότητα, αλλά αντίθετες κατευθύνσεις. Το δεξί άκρο (Λ) της χορδής είναι στερεωμένο

σε ακλόνητο εμπόδιο, ενώ το αριστερό άκρο Ο (x0=0) είναι κοιλία που ταλαντώνεται με πλά-

τος 0,2m. Μεταξύ των σημείων (Ο) και (Λ) εμφανίζονται 3 ακίνητα σημεία, ενώ η μέγιστη α-

πόσταση μεταξύ των θέσεων δύο κοιλιών ισούται με 1,2m.

α) Να υπολογίσετε το μήκος L της χορδής. [1,4]

β) Να προσδιορίσετε τις θέσεις των ακίνητων σημείων. [0,2 – 0,6 – 1 – 1,4]

γ) Να υπολογίσετε την ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων της χορδής, τα οποία ταλα-

ντώνονται με πλάτος 0,1m. [2/15]

δ) Έστω ότι μεταβάλλουμε τη συχνότητα των κυμάτων, με αποτέλεσμα μεταξύ των (Ο) και (Λ)

-83-


να εμφανίζονται 6 ακίνητα σημεία. Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής της συχνότητας. [600/7%]

20. ∆ύο εγκάρσια αρμονικά κύματα πλάτους Α και μήκους κύματος λ διαδίδονται με αντίθετες κα-

τευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x΄Οx. Το

κάθε κύμα αναγκάζει το σημείο Ο(x=0) σε ταλάντωση της μορφής y=Aημωt. Τα κύματα συμ-

βάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με εξίσωση y=0,4συν(10πx)ημ(40πt) (S.I.)

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο.

[ ] β) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του υλικού σημείου ∆(x∆>0) της χορδής σε συνάρ-

τηση με το χρόνο, αν το ∆ είναι κοιλία και μεταξύ του Ο και του ∆ παρεμβάλλονται τρείς δε-

σμοί. [ ]

γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος Ο∆ της χορδής, τη χρονική στιγμή t=0.

δ) Να εξετάσετε αν το σημείο ∆ και το υλικό σημείο Γ(xΓ=0,125m) βρίσκονται σε συμφωνία ή

αντίθεση φάσης. [Συμφωνία] (Θέμα ∆)

21. Οριζόντια ελαστική χορδή μήκους L=1,2m έχει τα άκρα της στερεωμένα σε ακλόνητα εμπόδια.

Στη χορδή έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, ως αποτέλεσμα της ταυτόχρονης διάδοσης στη

χορδή δύο αντίρροπα διαδιδόμενων κυμάτων, με το ίδιο πλάτος A=0,2m και το ίδιο μήκος κύ-

ματος λ=0,4m.

α) Πόσες κοιλίες εμφανίζονται στη χορδή; [6]

β) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο της χορδής τη χρονική στιγμή κατά την οποία η πλησιέστερη

κοιλία στο αριστερό άκρο της χορδής βρίσκεται σε μέγιστη θετική απομάκρυνση.

γ) Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής της συχνότητας των κυμάτων που πρέπει να επιφέ-

ρουμε, ώστε στη χορδή να εμφανίζονται 5 κοιλίες. [16.7%] (Θέμα Γ)

22. ∆ύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται με αντί-

θετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα

x΄Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με κοιλία στο σημείο O(x=0). Η

εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι: y=0,4συν(2,5πx)ημ(20πt) (S.I.)

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των οδεύοντων κυμάτων. [8]

β) Να γράψετε τις εξισώσεις των οδεύοντων κυμάτων.

[ ] γ) Να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ του 3ου δεσμού του θετικού ημιάξονα και της 2ης κοι-

λίας του θετικού ημιάξονα η οποία βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με την κοιλία που σχηματίζε-

ται στο σημείο O(x=0). [0,6m]

δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Z(xZ>0) του οποίου η από-

σταση από το O(x=0) είναι μεγαλύτερη από την απόσταση του 2ου δεσμού του θετικού ημιάξο-

να από το O(x=0) κατά d=1/3m. [4π] (Θέμα Γ)

-84-


23. ∆ύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος Α, μήκος κύματος λ=0,4m και συχνότητα 1Hz δια-

δίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε χορδή η οποία ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x΄Οx.

Τα κύματα συμβάλλουν δημιουργώντας στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση O(x=0) της χορδής

εμφανίζει κοιλία. Το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης των σημείων του μέσου ισούται με 1,6m.

α) Να γράψετε την εξίσωση του δημιουργούμενου στάσιμου κύματος.

[ ] β) Αν ∆(x∆=8/15 m) υλικό σημείο της χορδής με μάζα m=2g , να υπολογίσετε τη μέγιστη δύ-

ναμη επαναφοράς που δέχεται το ∆ κατά την ταλάντωσή του. [0,064]

γ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σημείου Α(xA=4,25m) τη στιγμή που το σημείο

Β(xB=4,65m) διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. [1,6π√2]

(∆ίνεται π2=10) (Θέμα Γ)

24. ∆ύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος Α=0,4m, μήκος κύματος λ=0,4m και συχνότητα

f=4Hz διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε ελαστική χορδή η οποία ταυτίζεται με τον ορι-

ζόντιο άξονα x΄Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση

O(x=0) εμφανίζει κοιλία. Τα σημεία Α και Β της χορδής ταλαντώνονται με πλάτος A΄=0,8m

και μεταξύ τους παρεμβάλλονται 3 δεσμοί.

α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. [ ]

β) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ. [0,6]

γ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση και την ταχύτητα του σημείου Α όταν η απομάκρυνση

του σημείου Β είναι yB=0,2√7m και η ταχύτητα του θετική. [-0,2√7 και -4,8π]

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΑΒ τη χρονική στιγμή t2=t1+T/4, όπου t1 χρο-

νική στιγμή κατά την οποία το σημείο Α διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα.

(Θέμα Γ)

25. ∆ύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται με αντί-


x΄Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση Ο(x=0) εμ-

φανίζει κοιλία. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι: y=0,4συν(2,5πx)ημ(20πt) (S.I.).

α) Να προσδιορίσετε τη θέση του δεσμού A(xA) του θετικού ημιάξονα μεταξύ του οποίου και

του O(x=0) παρεμβάλλονται 2 ακόμα δεσμοί. [1]

β) Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Β(xB=3,2m). [y=0,4ημ(20πt)]

γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των δεσμών μεταξύ των Α και Β. [5] (Θέμα Γ)

26. ∆ύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με εξισώσεις διαδίδονται με αντίθετες

κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x΄Οx. Τα

κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα το οποίο στη θέση O(x=0) εμφανίζει κοι-

λία. Στο σημείο Α(xA=0,45m) είναι ο πέμπτος δεσμός του θετικού ημιάξονα. Το σημείο

Β(xB=1,025m) διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του ανά 0,2s.

-85-


-86-

. ,5] α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων [0

β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. [ ]

γ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου Γ(xΓ=13/30m) τη χρ νική στιγμή

σημείο ∆(x∆=0,2m) βρίσκεται σε ακραία θετική απομάκρυνση. [0,2]

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του τμήματος ΑΒ της χορδής τη χρονική στιγμή που η απ

ο που το

ο-

27.

σης του Ο ισούται με υmax,O=16π m/s, ενώ μεταξύ των Ο και Α εμ-

ά-

[0,8]

μάκρυνση του Ο ισούται με yO=0,4m. (Θέμα ∆)

Οριζόντια ελαστική χορδή μήκους L=1m έχει το δεξί άκρο της Α(xA=1m) στερεωμένο σε α-

κλόνητο εμπόδιο. Το αριστερό άκρο Ο(x=0) είναι ελεύθερο να κινηθεί. Στη χορδή έχει δημι-

ουργηθεί στάσιμο κύμα, με το Ο να είναι κοιλία, η οποία ταλαντώνεται με πλάτος A0=1,6m. Η

μέγιστη ταχύτητα ταλάντω

φανίζονται δύο δεσμοί.

α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος των κυμάτων των οποίων η συμβολή παρήγαγε το στ

σιμο.


υ Β(xΒ=0,9 κό

28.

ά 0,2m.

ν κυμάτων. [2]

γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο της χορδής τη χρονική στιγμή t1=0,325s.

δ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του υλικού σημείο m) τη στιγμή που το υλι

σημείο Ο βρίσκεται σε ακραία αρνητική απομάκρυνση. [-0,8√2] (Θέμα ∆)

∆ύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος 0,8m και συχνότητα 5Hz διαδίδονται με αντίθετες

κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x΄Οx. Το

κάθε κύμα εξαναγκάζει το σημείο O(x=0) σε ταλάντωση της μορφής yo=Aημωt. Τα κύματα

συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα όπου δύο διαδοχικές κοιλίες απέχουν κατ

α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των οδεύοντω


γ Να [] δ) Να σχεδιά

) υπολογίσετε το πλήθος των ακίνητων σημείων του τμήματος Ο∆, όπου ∆(x∆=0,8m).

σετε το στιγμιότυπο του τμήματος Ο∆ της χορδής τη χρονική στιγμή t1=0,35s.

29.

Το υλικό σημείο Γ(xΓ=7/15 m) εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους AΓ=0,5m.

(Θέμα Γ)

∆ύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται με αντί-


x΄Οx. Το κάθε κύμα εξαναγκάζει το σημείο O(x=0) σε ταλάντωση της μορφής y0=Aημωt. Τα

κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με εξίσωση: y=2Aσυν(5πx)ημ(8πt) (S.I.).

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των οδεύοντων κυμάτων. [ ]

β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του υλικού σημείου Γ, τη στιγμή που το O(x=0) β

στη μέγιστη θετική του απομάκρυνση. [0]

γ) Υλικό σημείο ∆ του θετικού ημιάξονα έχει εξίσωση ταχύτητας υ∆=-4π√2συν(8πt) (S.I.). Αν

το σημείο ∆ βρίσκεται μεταξύ της 6ης κοιλίας και του 6ου δεσμού του θετικού ημιάξον

ρίσκεται

α, να


-87-

ης χο νι-

30. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα xΌx, διαδίδονται

προσδιορίσετε τη συντεταγμένη της θέσης του ∆. [1,05]

δ) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων του τμήματος Ο∆ τ ρδής, τα οποία κάθε χρο

κή στιγμή έχουν ίση απομάκρυνση και ίση ταχύτητα με το ∆. [5] (Θέμα ∆)

τα:

Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύ α

α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. [

μ .

]

τη συνθήκη κοιλιών και δεσμών. β) Να γράψετε τη συνθήκη

[Κοιλίες : ∆εσμοί : ] γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των δεσμών μεταξύ του σημείου O(x=0) και του σημείου

A(xA=5m). [24] (Θέμα Γ)


Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα

ΘΕΜΑ Α

1. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα:

a. διαδίδονται σε όλα τα υλικά με ταχύτητα .

b. είναι διαμήκη κύματα.

c. μπορούν να δημιουργηθούν κατά την επιβράδυνση νετρονίων όταν αυτά συγκρούονται με

μεταλλικό στόχο.

d. μεταφέρουν ενέργεια ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου.

2. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα συχνότητας f και μήκους κύματος λ0 διαδίδεται στο κενό. Αν το κύμα

διαδιδόταν σε ένα υλικό μέσο, τότε το μήκος κύματος λ που θα είχε κατά τη διάδοση του στο

υλικό μέσο θα ήταν:

a. μικρότερο του λ0. b. μεγαλύτερο του λ0.

c. ίσο με το λ0. d. διπλάσιο του λ0.


Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα:

a. είναι εγκάρσια.

b. διαδίδονται στη διεύθυνση του διανύσματος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου.

c. διαδίδονται σε διεύθυνση που είναι κάθετη στη διεύθυνση του διανύσματος της έντασης

του μαγνητικού πεδίου.

d. δεν ικανοποιούν τη θεμελιώδη κυματική εξίσωση.

4. Να επιλέξετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστες.

a. Το ορατό φάσμα εκτείνεται μεταξύ μερικών mm και 700nm.

b. Η ακτινοβολία γ χρησιμοποιείται στις τηλεπικοινωνίες.

c. Η ακτινοβολία Röntgen παράγεται κατά την επιβράδυνση ταχέως κινούμενων ηλεκτρονίων,

όταν προσκρούουν σε μεταλλικό στόχο.

d. Το φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας εκτείνεται μεταξύ 400nm και 700nm.

5. Αν το ζεύγος εξισώσεων E=Emaxημ2π(t/T-x/λ) και Β=Βmaxημ2π(t/T-x/λ)

περιγράφει ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται στο κενό με ταχύτητα c, τότε:

a. Βmax=c∙Emax

b. Βmax=Emax.

c. Emax=c∙Bmax

d. Emax=(T/λ)∙Emax


Ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα παράγεται από ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο και διαδίδεται στο

κενό. Μακριά από το δίπολο:

a. τα διανύσματα των εντάσεων του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου είναι παράλληλα στη

-88-


-89-

διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

b. η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου παρουσιάζει διαφορά φάσης π/2 rad με την ένταση του

μαγνητικού πεδίου.

c. το πηλίκο Εmax/Bmax ισούται με 3∙108m/s.

d. η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σχηματίζει γωνία π/2 rad με την ένταση του μαγνητικού

πεδίου.


a. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα δεν υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας.

b. Μονοχρωματική ονομάζεται η ακτινοβολία που ανήκει στο ορατό φάσμα.

c. Τα ραδιοκύματα έχουν μικρότερη συχνότητα από την υπεριώδη ακτινοβολία.

d. Οι ακτίνες Röntgen έχουν γενικά μήκος κύματος μεγαλύτερο από αυτό των ακτίνων γ.

8. Να αντιστοιχίσετε της ακτινοβολίες της πρώτης στήλης με τις ιδιότητες ή εφαρμογές τους της

δεύτερης:


A. ορατό φάσμα 1. Παράγεται κατά την αποδιέγερση ραδιενεργών πυρήνων.

B. ακτίνες Rontgen 2. Παράγονται από ηλεκτρονικά κυκλώματα.

Γ. μικροκύματα 3. Απορροφούνται από την οζονόσφαιρα.

∆. ακτινοβολία γ 4. Το μήκος κύματος κυμαίνεται μεταξύ 400nm και 700nm.

5. Χρησιμεύουν στην Ιατρική για διαγνωστικούς σκοπούς.


Η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων:

a. ισούται πάντα με c=3∙108m/s.

b. είναι ανάλογη της συχνότητας του κύματος.

c. εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου διάδοσης.

d. είναι παράλληλη στην ένταση του ηλεκτρικού πεδίου.

ΘΕΜΑ Β

10. ∆ίνεται η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Ε=4∙10-2ημ4∙106π(3∙108t-x)ενός ηλε-

κτρομαγνητικού κύματος το οποίο διαδίδεται στο κενό, με ταχύτητα c=3∙108m/s. Ποια από τις

ακόλουθες προτάσεις είναι η σωστή;

Η ακτινοβολία ανήκει:

α. στο ορατό φάσμα.

β. στο υπεριώδες φάσμα.

γ. στο υπέρυθρο φάσμα.

Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

11. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται σε υλικό με ταχύτητα 2∙108m/s. Ποιο από τα παρακάτω ζε-

ύγη εξισώσεων μπορεί να περιγράφει το κύμα;

α. E=8∙10-4ημ2π(6∙1014t-6∙106x)

B=4∙10-12ημ2π(6∙1014t-6∙106x) (S.I.).


-90-

β. E=8∙10-4ημπ(24∙1014t-12∙106x)

B=4∙10-12ημπ(24∙1014t-12∙106x) (S.I.).

γ. E=4∙10-4ημ2π(12∙1014t-6∙106x)

B=4∙10-12ημ2π(12∙1014t-6∙106x) (S.I.).


12. ∆ύο διαφορετικά ηλεκτρομαγνητικά κύματα, συχνοτήτων f1 και f2, ώστε f1=4f2, διαδίδονται σε

διαφορετικά υλικά με ταχύτητες c1 και c2=2c1 αντίστοιχα. Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις

είναι η σωστή;

Τα μήκη κύματος των ακτινοβολιών στα υλικά που διαδίδονται θα ικανοποιούν τη σχέση:

α. λ1=λ2. β. 4λ1=λ2. γ. 8λ1=λ2.


13. Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι η σωστή;

Ηλεκτρομαγνητικό κύμα μπορεί να δημιουργηθεί όταν:

α. τα ηλεκτρόνια μίας δέσμης ηλεκτρονίων κινούνται ευθύγραμμα ομαλά.

β. τα νετρόνια μίας δέσμης νετρονίων επιβραδύνονται.

γ. τα πρωτόνια μιας δέσμης πρωτονίων επιταχύνονται.

14. Μονοχρωματική ακτινοβολία με μήκος κύματος λ διαδίδεται σε υλικό, με ταχύτητα u. Αν η ίδια

ακτινοβολία διαδιδόταν στο κενό, τότε το μήκος κύματος λ΄ θα ήταν:

α. μεγαλύτερο του λ. β. μικρότερο του λ. γ. ίσο του λ.

15. Μονοχρωματική ακτινοβολία με μήκος κύματος λ=9∙10-7m διαδίδεται σε υλικό, με ταχύτητα

2,7∙108 m/s. Αν η ίδια ακτινοβολία διαδιδόταν στο κενό, τότε το μήκος κύματος λ΄ θα ήταν:

α. 2,7∙10-8m. β. 9∙10-8m. γ. 10∙10-7m.

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης στο κενό c=3∙108m/s.

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

16. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται σε υλικό μέσο με ταχύτητα μέτρου 2∙108m/s. Ποια από τις

παρακάτω εξισώσεις μπορεί να περιγράφει την εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου

κατά τη διάδοση του στον οριζόντιο άξονα;

α. E=Emax∙ημ2π(1014t-106x/3) (S.I.)

β. E=Emax∙ημπ(2∙1014t-5∙105x) (S.I.)

γ. E=Emax∙ημ2π(1014t-5∙105x) (S.I.)

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

17. Η εξίσωση η οποία περιγράφει την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου κατά τη διάδοση του στον

οριζόντιο άξονα ενός υλικού μέσου είναι: Ε=2∙10-2ημ2π(1014t-5∙105x). Το πλάτος της έντασης

του διαδιδόμενου μαγνητικού πεδίου ισούται με:

α. Bmax=10-10T β. Bmax=(2/3)∙10-10T γ. Bmax=1,5∙10-10T

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.


ΘΕΜΑ Γ,∆

18. Μονοχρωματική ακτινοβολία συχνότητας f=3

2∙1015Hz διαδίδεται στην οριζόντια διεύθυνση,

εντός υλικού μέσου με ταχύτητα υ=2∙108 m/s. Η μέγιστη τιμή της έντασης του μαγνητικού

πεδίου είναι Bmax=2∙10-10T. Η ακτινοβολία εξέρχεται από το υλικό στο κενό, με αποτέλεσμα η

μέγιστη ένταση του μαγνητικού πεδίου να αυξηθεί κατά 2%, σε σχέση με την τιμή που είχε

κατά τη διάδοση της ακτινοβολίας στο υλικό.

α. Να γράψετε τις εξισώσεις της έντασης του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου κατά τη

διάδοση της ακτινοβολίας στο υλικό μέσο.

[ , ] β. Να εξετάσετε εάν η ακτινοβολία ανήκει στο ορατό φάσμα. [ναι]

γ. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου κατά τη διάδοση της ακτινοβο-

λίας στο κενό. [ ]

19. Μονοχρωματική ακτινοβολία διαδίδεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x και η εξίσωση της έ-

ντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναι:E=5∙10-2ημπ(1015t-4∙106x) (S.I.).

α. Να αποδείξετε ότι η ακτινοβολία δεν διαδίδεται στο κενό.

β. Να εξετάσετε αν η ακτινοβολία ανήκει στο ορατό φάσμα. [ναι]

γ. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου. [ ]

δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου τις χρονικές στιγμές που η έ-

νταση του μαγνητικού πεδίου έχει μέτρο 10-10T. [2,5∙10-2]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης στο κενό c= 3∙108m/s.

20. Η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου μονοχρωματικής ακτινοβολίας κατά τη διάδοση

της στον οριζόντιο άξονα είναι: E=6∙10-3ημ2π(6∙1014t-2∙106x) (S.I.).

α. Να εξετάσετε αν η ακτινοβολία είναι ορατή και να υπολογίστε την ταχύτητα διάδοσης του

κύματος. Να θεωρήσετε γνωστό ότι το ορατό φάσμα αφορά την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβο-

λία της οποίας το μήκος κύματος στο κενό κυμαίνεται περίπου από τα 400nm έως τα 700nm. [ναι] β. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του διαδιδόμενου μαγνητικού πεδίου. [B=2∙10-11ημ2π(6∙1014t-2∙106x) (S.I.)] γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου τις χρονικές στιγμές που το

μέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ισούται με 3√3∙10-3V/m. [3∙10-11]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης στο κενό: c=3∙108 m/s.

21. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται σε υλικό μέσο. Η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πε-

δίου κατά τη διάδοση του κύματος στον οριζόντιο άξονα είναι: E=5∙10-5ημ(4π∙1010t-kx)

(S.I.),

όπου k θετική σταθερά (σε m-1). Σε χρονικό διάστημα 10-10s το κύμα διαδίδεται κατά 5mm.

α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. [5∙107]

-91-


β. Να υπολογίστε τη σταθερά k. [800π]

γ. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του διαδιδόμενου μαγνητικού πεδίου στην οριζόντια

διεύθυνση, εντός του υλικού μέσου. [ ]

δ. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του διαδιδόμενου ηλεκτρικού πεδίου στην οριζόντια

διεύθυνση, όταν το κύμα διαδίδεται στον αέρα, αν γνωρίζουμε ότι σε αυτή την περίπτωση το

πλάτος της έντασης του διαδιδόμενου μαγνητικού πεδίου ισούται με .

[ ] ∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης στο κενό: c=3∙108 m/s.

22. Ένας ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει ραδιοκύματα που έχουν μήκος κύματος 3m, ενώ το

πλάτος της έντασης του διαδιδόμενου μαγνητικού πεδίου είναι Bmax=0,5∙10-10T.

α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα των εκπεμπόμενων κυμάτων. [100ΜHz]

β. Να υπολογίσετε το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. [1,5∙10-2]

γ. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του κύματος κατά τη διάδοση

του στην οριζόντια διεύθυνση. [ ]

δ. Για τη λήψη του ραδιοφωνικού σήματος, ένας δέκτης χρησιμοποιεί κύκλωμα LC στο οποίο ο

συντελεστής αυτεπαγωγής έχει τιμή L=1μH. Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα C του πυκνωτή,

έτσι ώστε ο δέκτης να συντονιστεί με το εκπεμπόμενα ραδιοκύματα. [2,5∙10-12]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης στο κενό:c=3∙108 m/s και π2≈10.

23. Μονοχρωματική ακτινοβολία διαδίδεται εντός υλικού μέσου κατά τη διεύθυνση του οριζόντιου

άξονα και η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του είναι:

E=4∙10-2ημ(2π/3)∙107 (2∙108t-x) (S.I.)

α. Να υπολογίστε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. [2∙108]

β. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του διαδιδόμενου μαγνητικού πεδίου. [Β=2∙10-10ημ(2π/3)∙107 (2∙108t-x) (S.I.)] γ. Να βρείτε το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο κενό και να εξετάσετε αν η ακτινοβολία

είναι ορατή. Να θεωρήσετε γνωστό ότι το ορατό φάσμα αφορά την ηλεκτρομαγνητική ακτινο-

βολία της οποίας το μήκος κύματος στο κενό κυμαίνεται περίπου από τα 400nm έως τα

700nm. [450nm]

δ. Αν το κύμα διέλθει από το υλικό μέσο στον αέρα, τότε το πλάτος της έντασης του μαγνητι-

κού πεδίου αυξάνεται κατά 2%. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου

όταν το κύμα διαδίδεται στο κενό. [Ε0=6,12∙10-2ημ(4π/3)∙107 (108t-x/3) (S.I.)]]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης στο κενό: c=3∙108 m/s.

-92-


-93-

Ανάκλαση-∆ιάθλαση-Ολική ανάκλαση

Ανάκλαση - ∆ιάθλαση

1. Φωτεινή ακτίνα διαδίδεται σε ένα οπτικό μέσο και συναντά τη λεία διαχωριστική επιφάνεια με

δεύτερο οπτικό μέσο.

Να επιλέξετε τις σωστές προτάσεις:

a. Η ανακλώμενη ακτίνα διαδίδεται ταχύτερα σε σχέση με την προσπίπτουσα.

b. Η γωνία ανάκλασης εξαρτάται από το δείκτη διαθλάσεως του υλικού της διαχωριστικής επι-

φάνειας των μέσων.

c. Η γωνία ανάκλασης και η γωνία πρόσπτωσης είναι ίσες μεταξύ τους.

d. Η ανακλώμενη ακτίνα έχει το ίδιο μήκος κύματος με την προσπίπτουσα.

2. Όταν μία φωτεινή ακτίνα ανακλάται τότε η ανακλώμενη ακτίνα σε σχέση με την προσπίπτουσα

έχει:

a. διαφορετική διεύθυνση.

b. διαφορετική ταχύτητα διάδοσης.

c. διαφορετική συχνότητα.

d. διαφορετικό μέσο διάδοσης.

3. Όταν μια δέσμη παράλληλων φωτεινών ακτίνων προσπίπτουν σε μία ανακλώσα επιφάνεια, τό-

τε:


a. αν η ανακλώσα επιφάνεια είναι τραχιά, συμβαίνει κατοπτρική ανάκλαση.

b. αν η ανακλώσα επιφάνεια είναι λεία, οι ανακλώμενες ακτίνες παραμένουν παράλληλες με-

ταξύ τους.

c. το μήκος κύματος της ανακλώμενης δέσμης είναι διαφορετικό από αυτό της προσπίπτουσας.

d. η ανακλώμενη δέσμη εκτρέπεται σε σχέση με την προσπίπτουσα κατά γωνία ίση με την κρί-

σιμη γωνία του οπτικού μέσου.

4. Μονοχρωματική ακτινοβολία διαδίδεται από οπτικό μέσο Α με δείκτη διαθλάσεως nα προς οπτι-

κό μέσο (Β) με δείκτη διαθλάσεως nβ. Αν με θa συμβολίσουμε τη γωνία πρόσπτωσης και θβ τη

γωνία διάθλασης, τότε ισχύει:

a. θα=θβ b. nαημθα=nβημθβ c. nα/nβ=ημθα/ημθβ d. ημθβ=1/nα

5. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπίπτει σε ανακλαστική επιφάνεια, έτσι ώστε η προσπίπτου-

σα ακτίνα να είναι κάθετη στην ανακλώμενη. Η γωνία ανάκλασης ισούται με:

α. 30o. β. 45o. γ.60o.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.


6. Οριζόντια μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπίπτει σε

επίπεδη ανακλαστική επιφάνεια, η οποία σχηματίζει γωνία

θ με τον ορίζοντα. Αν η ανακλώμενη δέσμη είναι κατακό-

ρυφη τότε η γωνία θ ισούται με:

α. 30o.

β. 45o.

γ. 60o.


7. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός διαδίδεται σε οπτικό μέσο

(Α) και διέρχεται σε οπτικό μέσο (Β). Το πηλίκο του πλάτους της έντασης του ηλεκτρικού πε-

δίου προς το πλάτος της ένταση του μαγνητικού πεδίου όταν το φως διαδίδεται στο μέσο (Α)

είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο όταν διαδίδεται στο μέσο (Β). Ο δείκτης διαθλάσεως του

μέσου (Α) σε σχέση με τον αντίστοιχο του μέσου (Β) είναι:

α. μεγαλύτερος. β. μικρότερος. γ. ίσος.


8. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός διαδίδεται σε οπτικό μέσο (Α) προσπίπτει στη διαχωριστική επι-

φάνεια με οπτικό μέσο (Β). Η προσπίπτουσα με την ανακλώμενη ακτίνα σχηματίζουν γωνία

120o ενώ η διαθλώμενη εκτρέπεται κατά 30o σε σχέση με την προσπίπτουσα. Αν nb>na τότε ο

λόγος na/nb ισούται με:

α. 2/2 . β. 3/3. γ. 1/2.


∆ίνονται: ημ30ο=1/2, ημ60ο3/2.

9. ∆ύο παράλληλα πλακίδια έχουν δείκτες διαθλάσεως na

και nb αντίστοιχα. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπί-

πτει στην επιφάνεια του ενός και ακολουθεί την πορεία

του σχήματος. Για τις γωνίες θα και θd ισχύει:

α. θα=θd. β. θα<θd. γ. θα>θd.


10. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπίπτει κάθετα σε δια-

φανές πλακίδιο πάχους d και δείκτη διαθλάσεως na. Ε-

ξερχόμενη από το πλακίδιο προσπίπτει ομοίως κάθετα σε

δεύτερο διαφανές πλακίδιο πάχους 2d και δείκτη δια-

θλάσεως nb. Ο χρόνος παραμονής της ακτίνας στο πρώτο πλακίδιο είναι διπλάσιος του αντί-

στοιχου στο δεύτερο πλακίδιο. Ο λόγος na/nb ισούται με:

α.1/4. β. 4. γ. 2.


11. Μονοχρωματική φωτεινή ακτίνα μεταβαίνει από τον αέρα σε οπτικό μέσο με δείκτη διαθλάσεως

n(n>1). Η διαθλώμενη ακτίνα:

α. εκτρέπεται σε σχέση με την προσπίπτουσα ώστε η γωνία διάθλασης να είναι μεγαλύτερη της

-94-


-95-

γωνίας πρόσπτωσης.

β. έχει μήκος κύματος μικρότερο από το αντίστοιχο της προσπίπτουσας.

γ. ενδέχεται να είναι παράλληλη στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο οπτικών μέσων.

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

12. Ένας μαθητής παρατηρεί ένα ψάρι που κολυμπά στη γυάλα του. Ο μαθητής βλέπει το ψάρι:

α. σε μικρότερο βάθος από αυτό στο οποίο βρίσκεται το ψάρι.

β. στη θέση που πράγματι βρίσκεται το ψάρι.

γ. σε μεγαλύτερο βάθος από αυτό στο οποίο βρίσκεται το ψάρι.

13. Μονοχρωματική φωτεινή ακτίνα διαδίδεται σε οπτικό μέσο (1) δείκτη διαθλάσεως n1. Η ακτίνα

συναντά τη διαχωριστική επιφάνεια του μέσου με οπτικό μέσο (2) δείκτη διαθλάσεως

n2(n1>n2) υπό γωνία πρόσπτωσης 300. Μέρος της ακτινοβολίας ανακλάται και η υπόλοιπη δια-

θλάται, έτσι ώστε η ανακλώμενη ακτίνα να σχηματίζει με τη διαθλώμενη γωνία φ=105ο.

α. Να σχεδιάσετε την προσπίπτουσα, την ανακλώμενη και τη διαθλώμενη ακτίνα στο σημείο

πρόσπτωσης. []

β. Να υπολογίσετε τη γωνία κατά την οποία εκτρέπεται η διαθλώμενη ακτίνα σε σχέση με την

προσπίπτουσα ακτίνα. [15]

γ. Να υπολογίσετε το λόγο των δεικτών διαθλάσεως n1/n2. [2]

δ. Να υπολογίσετε το λόγο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας στο μέσο (1) προς το μήκος

κύματος της ακτινοβολίας στο μέσο (2), λ1/λ2. [2/2]

14. Μονοχρωματική ακτινοβολία συχνότητας f=12∙1014Hz διαδίδεται σε οπτικό μέσο (1) με δείκτη

διαθλάσεως n1. Η ακτίνα συναντά τη διαχωριστική επιφάνεια του μέσου με οπτικό μέσο (2)

που έχει δείκτη διαθλάσεως n2. Το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο μέσο (2) είναι κατά

20% μικρότερο από το αντίστοιχο στο μέσο (1).

α. Να υπολογίσετε το λόγο των δεικτών διαθλάσεως n1/n2. [0,8]

β. Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής της ταχύτητας διάδοσης της ακτινοβολίας κατά την

αλλαγή μέσου διάδοσης. [-20%]

γ. Αν η ακτινοβολία διαδίδεται αντίστροφα, δηλαδή από το μέσο (2) προς το μέσο (1) και συ-

ναντά την διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων υπό γωνία πρόσπτωσης θ1=60ο, να υπολο-

γίσετε τη γωνία κατά την οποία εκτρέπεται. [60]

δ. Να εξετάσετε αν η ακτινοβολία είναι ορατή, αν θεωρήσετε γνωστό ότι το ορατό φάσμα αφο-

ρά την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία της οποίας το μήκος κύματος στο κενό κυμαίνεται περί-

που από τα 400nm έως τα 700nm. [όχι]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα c=3∙108 m/s και ημ600=0,87.

15. Μονοχρωματική ακτίνα συχνότητας f=6∙1014Hz προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ

του αέρα και ενός οπτικού μέσου με δείκτη διαθλάσεως n=√3, χωρίς να γνωρίζουμε από ποιο

μέσο προέρχεται. Η διαθλώμενη ακτίνα εκτρέπεται σε σχέση με τη διεύθυνση της προσπίπτου-

σας κατά γωνία θε=300, ενώ η γωνία διάθλασης είναι μικρότερη της γωνίας πρόσπτωσης.

α. Να εξετάσετε αν η ακτινοβολία διέρχεται από τον αέρα στο μέσο ή αντίστροφα και να σχε-

διάσετε την πορεία των ακτινών. []


β. Να υπολογίσετε τη γωνία πρόσπτωσης και τη γωνία διάθλασης. [60]

γ. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος της ακτινοβολίας όταν διαδίδεται στον αέρα και όταν δια-

δίδεται στο οπτικό μέσο. [500, 5003/3]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα .

Επίσης: ημ300=1/2, συν300=√3/2 και ημ(Α+Β)=ημΑσυνΒ+ημΒσυνΑ.

16. Μονοχρωματική φωτεινή ακτίνα διαδίδεται στο κενό με μήκος κύματος και προσπίπτει στη

λεία επιφάνεια ενός υαλότουβλου, με δείκτη διαθλάσεως n=√2. Η ανακλώμενη δέσμη είναι

κάθετη με την προσπίπτουσα. Να υπολογίσετε:

α. την ταχύτητα διάδοσης της φωτεινής ακτίνας εντός του υαλότουβλου. [1,52∙108]

β. τη γωνία διάθλασης. [30]

γ. την επί τοις εκατό μεταβολή του μήκους κύματος της ακτινοβολίας κατά την είσοδο της στο

υαλότουβλο. [-30%]

δ. την επί τοις εκατό μεταβολή της μέγιστης έντασης του διαδιδόμενου ηλεκτρικού πεδίου κα-

τά την είσοδο της ακτινοβολίας στο υαλότουβλο, αν το πλάτος της έντασης του μαγνητικού

πεδίου μειώθηκε κατά 5% σε σχέση με το κενό. [-32,14%]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα c=3∙108 m/s..

Για τις πράξεις να θεωρήσετε ότι √2≈1,4.

17. Μονοχρωματική φωτεινή ακτινοβολία διαδίδεται στον αέρα

και συναντά υπό γωνία πρόσπτωσης 450 την έδρα ΚΛ ενός

γυάλινου πλακιδίου πάχους d=27√2mm. Εντός του πλα-

κιδίου το φώς διαδίδεται με ταχύτητα u=(3√2/2)∙108m/s.


α. το λόγο του μήκους κύματος της ακτινοβολίας όταν δι-

αδίδεται στον αέρα, προς το αντίστοιχο μήκος κύματος όταν διαδίδεται στο πλακίδιο. [2] β. τη γωνία διαθλάσεως θβ κατά την είσοδο της ακτινοβολίας από τον αέρα στο πλακίδιο. [30]

γ. το απαιτούμενο χρονικό διάστημα για να διασχίσει η ακτινοβολία το πλακίδιο. [36∙10-11]

δ. τη γωνία που σχηματίζεται μεταξύ της ακτίνας που εισέρχεται στο πλακίδιο και της ακτίνας

που εξέρχεται από αυτό. [0]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα c=3∙108 m/s.

Ολική Ανάκλαση

18. Μονοχρωματική φωτεινή ακτίνα διαδίδεται σε οπτικό μέσο με δείκτη διαθλάσεως n και προσπί-

πτει στη διαχωριστική επιφάνεια του υλικού με τον περιβάλλοντα αέρα υπό γωνία πρόσπτωσης

θα τέτοια ώστε ημθα>1/n.Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση.

a. Στο σημείο πρόσπτωσης συμβαίνει ανάκλαση και διάθλαση.

b. Η φωτεινή ακτίνα υφίσταται ολική ανάκλαση.

c. Η φωτεινή ακτίνα εξέρχεται στον αέρα παράλληλα στη διαχωριστική επιφάνεια.

d. Η γωνία διάθλασης είναι μικρότερη από τη γωνία πρόσπτωσης.

-96-


-97-


a. Η λειτουργία του περισκοπίου βασίζεται στην ολική ανάκλαση του φωτός.

b. Η ολική ανάκλαση μπορεί να συμβεί ακόμα και αν το φώς προσπίπτει κάθετα στη διαχωρι-

στική επιφάνεια δύο οπτικών μέσων, αρκεί το φώς να προέρχεται από το οπτικά αραιότερο και

να κατευθύνεται σε οπτικά πυκνότερο μέσο.

c. Η κρίσιμη γωνία είναι η μεγαλύτερη δυνατή γωνία πρόσπτωσης μιας φωτεινής ακτίνας που

διέρχεται από οπτικά πυκνότερο μέσο προς οπτικά αραιότερο, ώστε να συμβεί ανάκλαση και

διάθλαση.

d. Αν μια φωτεινή ακτίνα υποστεί ολική ανάκλαση, τότε μεταβάλλεται το μήκος κύματος της

χωρίς να μεταβληθεί η ταχύτητα διάδοσης, αφού παραμένει στο ίδιο οπτικό μέσο.

20. Μονοχρωματική φωτεινή ακτινοβολία διέρχεται από τον αέρα σε οπτικό μέσο. Να επιλέξετε πο-

ιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές.

a. Το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο υλικό μέσο είναι μεγαλύτερο από το μήκος κύματος

της ακτινοβολίας στον αέρα.

b. Η γωνία πρόσπτωσης είναι μεγαλύτερη από τη γωνία διάθλασης.

c. Η ταχύτητα διάδοσης υ της ακτινοβολίας εντός του υλικού μέσου υπολογίζεται από τη σχέση

υ=c/n όπου n o δείκτης διάθλασης και c η ταχύτητα διάδοσης στο κενό.

d. Η ακτινοβολία δεν είναι δυνατόν να ανακλαστεί ολικά.

21. Μονοχρωματική φωτεινή ακτίνα που διαδίδεται στον αέρα προσπίπτει πλάγια στην ήρεμη επι-

φάνεια μιας λίμνης.

α. Η φωτεινή ακτίνα είναι δυνατό να υποστεί ολική ανάκλαση.

β. Το μήκος κύματος της διαθλώμενης ακτίνας είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο της προ-

σπίπτουσας.

γ. Η γωνία διάθλασης θα είναι μικρότερη από τη γωνία πρόσπτωσης.

22. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπίπτει σε πρίσμα του οποίου η τομή είναι ορθογώνιο ισο-

σκελές τρίγωνο. Το φως προσπίπτει κάθετα στη μία κάθετη πλευρά του πρίσματος και διαθλά-

ται. Η κρίσιμη γωνία της ακτινοβολίας για το συγκεκριμένο πρίσμα ισούται με 40o. Η εξερχόμε-

νη ακτίνα σε σχέση με την προσπίπτουσα σχηματίζει γωνία:

α. 60o. β. 180o. γ. 90o.


23. Μονοχρωματική δέσμη παράλληλων ακτίνων φωτός διαδίδεται στον αέρα όπου έχει μήκος κύ-

ματος λ0=600nm. Η δέσμη συναντά την ήρεμη επιφάνεια μίας λίμνης υπό γωνία πρόσπτωσης

60ο, όπου μέρος της διαθλάται. Η γωνία διάθλασης ισούται με 30o.

α. Να υπολογίσετε τη γωνία κατά την οποία η διαθλώμενη ακτίνα εκτρέπεται σε σχέση με την

προσπίπτουσα, καθώς και το δείκτη διαθλάσεως του νερού. [√3]

β. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο νερό. [200√3]

γ. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης της ακτινοβολίας στο νερό. [√3∙108 m/s ]

δ. Αν το φως διαδιδόταν από το νερό προς τον αέρα με την ίδια γωνία πρόσπτωσης να υπολο-


γίσετε ποια θα ήταν τότε η γωνία εκτροπής της δέσμης. [60o]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο κενό: c= 3∙108 m/s

24. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός διαδίδεται στο κενό με μήκος

κύματος λ0=520nm και προσπίπτει σε γυάλινο πρίσμα του ο-

ποίου η τομή είναι ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

(ΑΒ=ΑΓ=0,39m). Το φώς προσπίπτει κάθετα στη μία κάθετη

πλευρά του πρίσματος, στο μέσο αυτής και διαθλάται. Η κρίσι-

μη γωνία της ακτινοβολίας για το συγκεκριμένο πρίσμα ισούται

με 40,5ο (ημ40,5ο≈0,65 & συν40,5ο≈0,76).


α. τη γωνία κατά την οποία έχει εκτραπεί η εξερχόμενη από το

πρίσμα ακτίνα σε σχέση με τη διεύθυνση της προσπίπτουσας στην πλευρά ΑΓ. [90o]

β. το μήκος κύματος της ακτινοβολίας όσο αυτή βρίσκεται εντός του πρίσματος. [338nm]

γ. το χρόνο που χρειάζεται η ακτίνα από τη στιγμή που εισέρχεται στο πρίσμα μέχρι να εξέλ-

θει. [2ns]

δ. τη γωνία που πρέπει να σχηματίζει η προσπίπτουσα δέσμη με την πλευρά ΑΓ, ώστε το φώς

να διέρχεται εφαπτομενικά της ΒΓ. [83o]

∆ίνονται: c= 3∙108 m/s, ημ7ο=112/130 και η ταυτότητα ημ(Α+Β)=ημΑσυνΒ+ημΒσυνΑ

25. Μονοχρωματική φωτεινή ακτίνα διαδίδεται στον αέρα

όταν προσπίπτει στην έδρα ΑΒ του πρίσματος του

σχήματος υπό γωνία θα=45o. Ο δείκτης διαθλάσεως

ισούται με n=2, ενώ το πρίσμα περιβάλλεται από αέ-

ρα.

α. Να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ ανακλώμενης και

διαθλώμενης στο σημείο (Σ). [105o]

β. Να εξετάσετε αν το φώς προσπίπτοντας στην ∆Γ του

πρίσματος, εξέρχεται στον αέρα. [ναι]

γ. Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής της ταχύτη-

τας της ακτινοβολίας όταν αυτή εισέρχεται από τον αέρα στο πρίσμα. [29%]

∆ίνεται: 29,02

22

.

26. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός διαδίδεται εντός γυάλινου πλακιδίου δείκτη διαθλάσεως nα=2 το

οποίο είναι βυθισμένο σε υγρό. Το πλακίδιο είναι οπτικά πυκνότερο του νερού. Το φώς συνα-

ντά τη διαχωριστική επιφάνεια των μέσων υπό γωνία πρόσπτωσης θα=30o και συναντά τη δια-

χωριστική επιφάνεια με το νερό. Η κρίσιμη γωνία ισούται με θcr=45o. Να υπολογίσετε:

α. το δείκτη διαθλάσεως του νερού. [√2]

β. τη γωνία διαθλάσεως και τη γωνία εκτροπής της ακτίνας. [45]

γ. το ποσοστό μεταβολής του μήκους κύματος της ακτίνας, καθώς αυτή διέρχεται από το πλα-

κίδιο στο νερό. [41%]

-98-


27. Μονοχρωματική φωτεινή ακτινοβολία διαδίδεται σε γυάλινο σώμα, όπου το μήκος κύματος της

ακτινοβολίας ισούται με λ=500nm. Η ακτινοβολία προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια του

σώματος με τον αέρα με γωνία πρόσπτωσης θα=300 και ένα μέρος της διαθλάται. Η διαθλώμε-

νη ακτινοβολία διαδίδεται με ταχύτητα κατά 40% μεγαλύτερη από την αντίστοιχη εντός του

γυάλινου σώματος. Να υπολογίσετε:

α. το δείκτη διαθλάσεως του γυάλινου σώματος. [2]

β. το μήκος κύματος της ακτινοβολίας όταν αυτή διαδίδεται στον αέρα. [700nm]

γ. τη γωνία διάθλασης. [45]

δ. την τιμή που θα έπρεπε να έχει η γωνία πρόσπτωσης, ώστε η ακτίνα να διαθλαστεί εφαπτό-

μενα της διαχωριστικής επιφάνειας. [45]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα c=3∙108 m/s..


28. Μονοχρωματική φωτεινή ακτίνα διαδίδεται στο κενό όπου έχει μήκος κύμα-

τος λ0=700nm. H ακτίνα προσπίπτει κάθετα στην έδρα ενός πρίσματος ό-

πως φαίνεται στο σχήμα. Εντός του πρίσματος, το μήκος κύματος της ακτι-

νοβολίας ισούται με 500nm.


i. τη συχνότητα της ακτινοβολίας. [3∙1015/7]

ii. το δείκτη διαθλάσεως του πρίσματος. [2]

iii. την ταχύτητα διάδοσης της ακτινοβολίας εντός του πρίσματος. [32∙1082]

Β) Να σχεδιάσετε την πορεία της φωτεινής ακτίνας και να υπολογίσετε την γωνία κατά την ο-

ποία εκτρέπεται τελικά η φωτεινή ακτίνα σε σχέση με την ακτίνα που εισέρχεται στο πρίσμα. [45] ∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα c=3∙108 m/s.


29. ∆ύο πρίσματα με ίσες ορθογώνιες τριγωνικές τομές ε-

φάπτονται όπως φαίνεται στο σχήμα, σχηματίζοντας ένα

«διπλό» πρίσμα με τομή ισόπλευρου τριγώνου. Το πρί-

σμα (1) έχει δείκτη διαθλάσεως n1=3 ενώ το πρίσμα (2)

έχει δείκτη διαθλάσεως n2. Βυθίζουμε το πρίσμα σε δο-

χείο το οποίο περιέχει υγρό με δείκτη διαθλάσεως n=n1.

Μονοχρωματική ακτινοβολία συχνότητας f=6∙1014Hz

που διαδίδεται στο υγρό, προσπίπτει κάθετα στην έδρα

ΑΒ του πρίσματος (1) και ακολουθεί την πορεία που

φαίνεται στο σχήμα.

Α. Να υπολογίσετε το δείκτη διαθλάσεως n2. [3/2]

Β. Αλλάζουμε το πρίσμα με δείκτη διαθλάσεως n2 με άλλο πρίσμα που έχει δείκτη διαθλάσεως

n3(n3<n) έτσι ώστε η ακτινοβολία να διέρχεται σε αυτό και συναντώντας την έδρα ΜΓ να δια-

θλάται στο υγρό με γωνία διαθλάσεως θβ΄=450.

i. Να υπολογίσετε το δείκτη διαθλάσεως n3. [33/2]

-99-


ii. Να υπολογίσετε το ποσοστό μεταβολής του μήκους κύματος της ακτινοβολίας κατά τη διέ-

λευση της από το πρίσμα (1) στο πρίσμα (2) [15%]

(Για τις πράξεις να θεωρήσετε ότι √3≈1,725).

iii. Να εξετάσετε αν και σε ποιο οπτικό μέσο η ακτινοβολία είναι ορατή αν θεωρήσετε γνωστό

ότι το ορατό φάσμα αφορά την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία της οποίας το μήκος κύματος

στο κενό κυμαίνεται περίπου από τα 400nm έως τα 700nm. [ορατή παντού]

∆ίνονται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα c=3∙108 m/s και η τριγωνομετρική ιδιότη-

τα x1

xx

2

22

.

-100-

Ρευστά σε κίνηση Παμπέρης ∆ήμος, Φυσικός

Ρευστά σε ισορροπία

ΘΕΜΑ Α

1. Ένας άνθρωπος στέκεται όρθιος πάνω σε οριζόντιο έδαφος. Αν ο άνθρωπος σταθεί όρθιος μό-

νο στο ένα πόδι του θα

a. διπλασιαστεί η δύναμη που ασκείται στο έδαφος και θα παραμείνει σταθερή η πίεση.

b. διπλασιαστούν και η δύναμη που ασκείται στο έδαφος και η πίεση.

c. διπλασιαστεί η πίεση στο έδαφος και θα παραμείνει σταθερή η δύναμη.

d. παραμείνουν σταθερές και η δύναμη και η πίεση στο έδαφος

2. Επειδή τα υγρά είναι ασυμπίεστα δεν μεταβάλλουν

a. τον όγκο τους.

b. το σχήμα τους.

c. την πίεσή τους.

d. τη μάζα τους

3. Στο σχήμα φαίνεται ένα κλειστό διαφανές δοχείο που είναι σχεδόν

γεμάτο με νερό. Με pο συμβολίζουμε την πίεση που επικρατεί στον

ατμοσφαιρικό αέρα εκτός δοχείου κοντά στην οπή και με p την πίεση

που επικρατεί στον παγιδευμένο αέρα μέσα στο δοχείο. Στο πλευρικό

τοίχωμα του δοχείου και σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια του

νερού ανοίγουμε μία μικρή τρύπα, οπότε παρατηρούμε ότι το νερό

δεν εξέρχεται και η στάθμη του νερού στο δοχείο παραμένει ακίνητη.

Αυτό συμβαίνει διότι ισχύει

Επιλογή μίας απάντησης.

a. p0 = p + ρgh

b. p0 > p + ρgh

c. h>y1

d. y2>y1

4. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα υδραυλικό πιε-

στήριο. Στο αριστερό έμβολο μικρής διατομής Α1

ασκούμε μια δύναμη F1, οπότε το δεξιό έμβολο

μεγάλης διατομής Α2 δέχεται δύναμη F2 και ανυ-

ψώνεται. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι

σωστή;


a. Οι δυνάμεις F1 και F2 έχουν ίσα μέτρα.

b. Η δύναμη F1 μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα

σημεία του ρευστού, άρα και στο έμβολο μεγάλης διατομής.

c. Οι πιέσεις που επικρατούν στο υγρό που βρίσκεται σε επαφή με τα δύο έμβολα του σχήμα-

-101-


τος είναι ίσες.

d. Η επιπλέον πίεση που δημιουργεί η δύναμη F1 μεταδίδεται και στο έμβολο διατομής Α2.

5. Σωστό-Λάθος.

Στο σχήμα φαίνονται τρία δοχεία με πυθμένες της ίδιας επι-

φάνειας που περιέχουν το ίδιο υγρό. Το υγρό και στα τρία

δοχεία έχει το ίδιο ύψος h. Ποιες από τις παρακάτω προτά-

σεις είναι σωστές;

a. Η πίεση στην επιφάνεια του υγρού στο δοχείο (α) είναι μεγαλύτερη, λόγω μεγαλύτερης επι-

φάνειας.

b. Η πίεση στο πυθμένα του δοχείου (α) είναι μεγαλύτερη, γιατί το βάρος του υπερκείμενου

υγρού είναι μεγαλύτερο.

c. Η δύναμη στο πυθμένα του δοχείου (α) είναι μεγαλύτερη, γιατί το βάρος του υπερκείμενου

υγρού είναι μεγαλύτερο.

d. Η πίεση στο πυθμένα και των τριών δοχείων είναι ίδια.

e. Το βάρος του υγρού στο δοχείο (β) είναι το μικρότερο.

ΘΕΜΑ Β

6. Στο σχήμα φαίνεται ένα κλειστό δοχείο που είναι σχεδόν γεμά-

το με νερό. Με pο συμβολίζουμε την πίεση που επικρατεί στον

ατμοσφαιρικό αέρα εκτός δοχείου κοντά στην οπή και με p την

πίεση που επικρατεί στον παγιδευμένο αέρα μέσα στο δοχείο.

Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου και σε βάθος h από την ε-

λεύθερη επιφάνεια του νερού ανοίγουμε μία μικρή οπή, απ’

όπου αρχίζει να τρέχει νερό. ∆εδομένου ότι δεν εισέρχεται αέ-

ρας από την οπή στο δοχείο, το νερό θα τρέχει από την οπή

μέχρις ότου

α) συμβεί y2=y1.

β) συμβεί p0=p+ρgh, όπου ρ η πυκνότητα του νερού.

γ) οι πιέσεις p και p0 γίνουν ίσες.


7. Ο σούπερμαν της διπλανής εικόνας θα μπορούσε να ρουφήξει τη πορτοκαλά-

δα του από ένα δοχείο με κατακόρυφο καλαμάκι οσοδήποτε μεγάλου μήκους;

α) Ναι, γιατί ο σούπερμαν μπορεί να ρουφήξει με απεριόριστη δύναμη.

β) Ναι, γιατί το ίδιο μπορεί να κάνει και κάθε κοινός άνθρωπος.

γ) Όχι, γιατί η ατμοσφαιρική πίεση έχει ορισμένη πεπερασμένη τιμή με αποτέ-

λεσμα να ανυψώνει το υγρό μέχρι ένα ορισμένο ύψος.


-102-


8. Στο διπλανό σχήμα το έμβολο έχει βάρος Β, διατομή Α και

ισορροπεί. Η δύναμη που ασκείται από το υγρό στο έμβολο

είναι

α) F=ρghA

β) F=B+ρghA

γ) F=pατΑ+ ρgh A

9. Στο διπλανό υδραυλικό πιεστήριο τα δύο έμβολα αρχικά

βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Πιέζουμε το αριστε-

ρό έμβολο με μία δύναμη F1 προκαλώντας μία μικρή μετα-

τόπιση ∆x1, οπότε το δεξιό έμβολο δέχεται μία δύναμη F2

και μετακινείται κατά ∆x2. Για τα έργα των δύο δυνάμεων

ισχύει

α) W1 = W 2

β) W1 < W2

γ) W1 > W2

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση δικαιολογώντας την επιλογή σας.

10. Κατά την διεξαγωγή ενός πειράματος, ο Pascal τοποθέτησε ένα στενό κατακόρυφο σωλήνα

μεγάλου μήκους μέσα σε ένα ξύλινο βαρέλι κρασιού. Όταν γέμισε το βαρέλι και το σωλήνα με

νερό, το βαρέλι εξερράγη. Αυτό συνέβη διότι το νερό του κατακόρυφου σωλήνα αύξησε πολύ

α) τον όγκο του νερού του βαρελιού.

β) την πίεση στα τοιχώματα του βαρελιού.

γ) μόνο την κατακόρυφη δύναμη που ασκείται στον πυθμένα του βαρελιού.


11. Βάζουμε ένα καλαμάκι σε ένα ψηλό ποτήρι με νερό. Εφαρμόζουμε το δάκτυλο μας στο πάνω

μέρος από το καλαμάκι, παγιδεύοντας μια ποσότητα αέρα πάνω από το νερό, χωρίς να επιτρέ-

ψουμε να εισέλθει ή να εξέλθει επιπλέον αέρας. Στη συνέχεια σηκώνουμε το καλαμάκι από το

νερό. Παρατηρούμε ότι το καλαμάκι συγκρατεί το μεγαλύτερο μέρος της αρχικής ποσότητας

του νερού και πάνω από το νερό υπάρχει αέρας. Αυτό συμβαίνει διότι τελικά η πίεση του αέρα

μέσα στο καλαμάκι γίνεται

α) ίση με την ατμοσφαιρική πίεση

β) μικρότερη από την ατμοσφαιρική πίεση

γ) μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική πίεση


12. Τα δύο ανοιχτά σκέλη του δοχείου του παρακάτω σχήματος

γεμίζονται με υγρό πυκνότητας ρ, μέχρι τα σημεία Α και Β

αντίστοιχα, ενώ η βαλβίδα είναι κλειστή. Το δεξιό σκέλος

του δοχείου είναι κεκλιμένο με γωνία κλίσης φ, όπως φαίνε-

ται στο σχήμα.

Αν p0 η ατμοσφαιρική πίεση

-103-


α) η πίεση στο κάτω μέρος της βαλβίδας είναι p0+ρgLημφ.

β) οι πιέσεις στο πάνω και στο κάτω μέρος της βαλβίδας είναι ίσες.

γ) η πίεση στο πάνω μέρος της βαλβίδας είναι ρgh.

-104-

ΘΕΜΑ Γ,∆

13. Στον κατακόρυφο σωλήνα του σχήματος έχει αφαιρεθεί όλος ο αέρας και το

δοχείο περιέχει νερό πυκνότητας ρ=1 g/cm3.

Να βρεθεί το ύψος της στήλης νερού που μπορεί να «σηκώσει» η ατμοσφαιρική

πίεση, p0=1,013∙105 N/m2. [h≈10,32m]

∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,81 m/sec2.

14. Στο διπλανό δοχείο σχήματος U ρίχνουμε υ-

δράργυρο όπως φαίνεται στο σχήμα (α). Οι

διατομές των δύο σκελών του δοχείου έχουν

εμβαδά Α1= 10 cm2 και Α2= 5 cm2 (αριστερό

και δεξιό αντίστοιχα). Στη συνέχεια ρίχνουμε

100 g νερού στο δεξιό σκέλος του σωλήνα

όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα δύο υγρά δεν

αναμειγνύονται.

Α) Να υπολογιστεί το ύψος της στήλης του

νερού που δημιουργήθηκε. [h2=20cm]

Β) Να υπολογιστεί η ανύψωση h, της ελεύθερης επιφάνειας του υδραργύρου στο αριστερό

σκέλος του σωλήνα. [h≈0,49cm]

∆ίνονται: η πυκνότητα του υδραργύρου ρ1=13,6 g/cm3 και η πυκνότητα του νερού

ρ2=1g/cm3.

15. Ένα δωμάτιο έχει διαστάσεις 4m x 5m x 3m (μήκος x πλάτος x ύψος) και περιέχει αέρα πυ-

κνότητας ρ=1,2Kg/m3. Αν η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=9,81m/sec2 να βρεθούν:

α) η μάζα και το βάρος του αέρα του δωματίου και [m=72Kg, Wαερ 706,32N]

β) η δύναμη που ασκεί η ατμόσφαιρα πάνω στο δάπεδο. [Fατ=2∙106Ν]

γ) Γιατί το δάπεδο δεν καταρρέει; []

16. Μία δεξαμενή αποθήκευσης νερού έχει ύψος 10m και ο πυθμένας της βρίσκεται σε ύψος 30m

από το έδαφος. Η δεξαμενή τροφοδοτεί μία αγροικία που η βρύση βρίσκεται σε ύψος 1m πάνω

από το έδαφος.

α) Πόση είναι η διαφορά της πίεσης του νερού μεταξύ βρύσης και επιφάνειας νερού στη δεξα-

μενή; [3,9∙105Pa]


β) Πόση είναι η διαφορά της πίεσης του νερού μεταξύ βρύσης και πυθμένα δεξαμενής;

∆ίνονται g=10 m/sec2 και πυκνότητα νερού ρ=1 g/cm3. [2,9∙105Pa]

17. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η σχηματική παράσταση του συστή-

ματος πέδησης ενός οχήματος. Το έμβολο του κύριου κυλίνδρου

έχει διατομή εμβαδού Α1=2 cm2 ενώ το έμβολο του κυλίνδρου

των φρένων Α2=6,5 cm2. O δίσκος στον οποίο εφαρμόζεται η δύ-

ναμη από τα τακάκια παρουσιάζει με τα τακάκια συντελεστή τρι-

βής ολίσθησης μ=0,5. Αν ο οδηγός πατήσει το πεντάλ του φρέ-

νου με δύναμη μέτρου F1=40 Ν, να βρεθούν:

α) η πρόσθετη πίεση που προκαλείται στο υγρό του κύριου κυλίνδρου. [2∙105Pa]

β) το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο μεγάλο έμβολο. [130N]

γ) το μέτρο της εφαρμοζόμενης δύναμης τριβής στο δίσκο του τροχού. [65N]

18. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο συγκοινωνούντα δοχεία που

περιέχουν νερό και κλείνονται με έμβολα εμβαδών Α1=4 cm2 και

Α2=40 cm2 που ισορροπούν στο ίδιο ύψος. Το αριστερό έμβολο

έχει βάρος W1=10 Ν.

α) Ποιο είναι το βάρος του δεξιού εμβόλου; [w2100N]

β) Ασκώντας κατάλληλη δύναμη μέτρου Fα μετακινούμε κατά

∆x1=20 cm προς τα κάτω το αριστερό έμβολο και το ακινητοποιούμε στη νέα θέση. Πόση είναι

τώρα η υψομετρική διαφορά των δύο εμβόλων; [22cm]

γ) Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης Fα; []

δ) Να βρείτε τα μέτρα των δυνάμεων που δέχονται τα δύο έμβολα στη νέα θέση τους από το

νερό.

∆ίνονται pατμ=105 Pa, η πυκνότητα του νερού ρ=103 Kg/m3 και η επιτάχυνση της βαρύτητας

g=10 m/s2. [0,88N]

-105-


-106-

∆ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

ΘΕΜΑ Α

1. Ένα ρευστό χαρακτηρίζεται ως πραγματικό όταν

a. κατά τη ροή του δεν παρουσιάζει εσωτερικές τριβές.

b. κατά τη ροή του δεν παρουσιάζονται τριβές με τα τοιχώματα του σωλήνα μέσα στον οποίο

ρέει.

c. είναι ασυμπίεστο.

d. παρουσιάζει τυρβώδη ροή.

2. Ως δυνάμεις συνάφειας χαρακτηρίζονται οι δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ των μορίων

ενός

a. ιδανικού ρευστού.

b. πραγματικού ρευστού και των τοιχωμάτων του σωλήνα μέσα στον οποίο πραγματοποιείται η

ροή.

c. πραγματικού ρευστού και των μορίων του αέρα.

d. ιδανικού ρευστού και των τοιχωμάτων του σωλήνα μέσα στον οποίο πραγματοποιείται η

ροή.

3. Οι ρευματικές γραμμές

a. είναι οι γραμμές που ορίζουν τα τοιχώματα του σωλήνα όπου ρέει ένα ρευστό.

b. στα σημεία που είναι πιο πυκνές δείχνουν ότι η ταχύτητα ροής του ρευστού είναι πιο μεγά-

λη.

c. είναι δυνατόν να τέμνονται μεταξύ τους.

d. είναι κάθετες στις ταχύτητες των μορίων του ρευστού.

4. Η παροχή ενός σωλήνα ή μιας φλέβας όπου ρέει κάποιο ρευστό


a. εκφράζει το ρυθμό διέλευσης της μάζας του ρευστού από μια διατομή του σωλήνα ή της

φλέβας.

b. παραμένει σταθερή ως συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας.

c. εκφράζει το χρονικό ρυθμό διέλευσης του όγκου του ρευστού από μια διατομή του σωλήνα

ή της φλέβας.

d. ισούται με το πηλίκο του εμβαδού διατομής προς την ταχύτητα ροής.

5. Η εξίσωση συνέχειας


a. είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης της ύλης.

b. αναφέρει ότι η παροχή ενός σωλήνα αυξάνεται όταν αυτός είναι κατηφορικός.

c. εξηγεί γιατί οι ρευματικές γραμμές πυκνώνουν όταν μειώνεται η ταχύτητα ροής ενός ρευ-

στού.

d. είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας.


6. Σωστό – Λάθος

Ένα υγρό ρέει στο σωλήνα του διπλανού σχήματος. Από τις

παρακάτω προτάσεις σωστές είναι οι

Επιλέξτε τουλάχιστον μία απάντηση.

a. Η ροή είναι στρωτή, επειδή οι ρευματικές γραμμές δεν

τέμνονται.

b. Η παροχή στη διατομή Α1 είναι μεγαλύτερη από τη παροχή στη διατομή Α2.

c. Για να είναι η παροχή της διατομής Α1 ίση με την παροχή της διατομής Α2 πρέπει να μην υ-

πάρχουν εσωτερικές τριβές καθώς και τριβές μεταξύ υγρού και σωλήνα.

d. Η ταχύτητα του ρευστού στην διατομή Α1 είναι μικρότερη από τη ταχύτητα του ρευστού

στην διατομή Α2.

e. πυκνότητα του υγρού στη στένωση του σωλήνα είναι μεγαλύτερη.

ΘΕΜΑ Β

7. Όταν ποτίζουμε τα λουλούδια με το λάστιχο κήπου, για να πάει το νερό μακρύτερα μειώνουμε

την επιφάνεια του στομίου. Αυτό το κάνουμε για να αυξήσουμε

α) την πίεση στο νερό του σωλήνα.

β) την παροχή του σωλήνα.

γ) την ταχύτητα ροής στο στόμιο του σωλήνα.


8. Το εμβαδόν διατομής του σωλήνα στην περιοχή Α είναι τριπλά-

σιο της διατομής του στην περιοχή Β.

Η ταχύτητα υ2 του υγρού στην περιοχή Β είναι 9 cm/s. Η ταχύ-

τητα στην περιοχή Α είναι

α) υ1= 3 cm/s β) υ1 = 9 cm/s γ) υ1= 27 cm/s.


9. Στο σχήμα δείχνεται ένα τμήμα οριζόντιου σω-

λήνα ύδρευσης εμβαδού διατομής Α1, στον ο-

ποίο το νερό (που θεωρείται ιδανικό ρευστό)

ρέει με ταχύτητα υ1. Σε κάποιο σημείο ο σωλή-

νας διακλαδίζεται σε δύο μικρότερους σωλήνες

διατομών Α2 και Α3, στους οποίους το νερό ρέει

με ταχύτητες υ2 και υ3 αντίστοιχα. Ισχύει η σχέση

α) υ1= υ2 + υ3

β) Α1υ1 = Α2υ2 + Α3υ3

γ) Α1 = Α2 + Α3


-107-


10. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα τμήμα ενός οριζόντιου σωλή-

να μέσα στον οποίο έχουμε στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευ-

στού σταθερής παροχής. Καθώς μια στοιχειώδης μάζα του

ρευστού μετατοπίζεται από το Α στο Β.

α) επιβραδύνεται

β) μειώνεται η κινητική της ενέργεια.

γ) δέχεται ενέργεια με τη μορφή έργου από το περιβάλλον ρευστό.


11. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα κατακόρυφο δοχείο που περιέχει

λάδι και νερό (που δεν αναμειγνύονται) και ισορροπούν το ένα

πάνω στο άλλο. Κοντά στη βάση του δοχείου υπάρχει μία μικρή

τρύπα η οποία είναι κλειστή με τη βοήθεια μιας τάπας. Ανοίγουμε

την τάπα. Αν με υλ συμβολίσουμε την ταχύτητα με την οποία

κατέρχεται η επιφάνεια του λαδιού και υν τη ταχύτητα που

κατέρχεται η επιφάνεια του νερού, ισχύει

α) υλ = υν

β) υλ > υν

γ) υλ < υν


12. Η ταχύτητα με την οποία ρέουν τα νερά ενός ποταμού, σταθερού πλάτους d, σε ένα σημείο

όπου το μέσο βάθος είναι h1=2 m, είναι υ1. Σε ένα άλλο σημείο του ποταμού όπου τα νερά ρέ-

ουν με ταχύτητα υ2=2 υ1, το μέσο βάθος του ποταμού είναι h2 που είναι ίσο με

α. 2 m. β. 1 m. γ. 4 m.

13. Το εμβαδόν διατομής του σωλήνα στην περιοχή Α είναι τριπλάσιο

της διατομής του στην περιοχή Β. Σε δύο δευτερόλεπτα από τη

διατομή Α διέρχονται 6 cm3 νερού. Σε ένα δευτερόλεπτο από τη

διατομή Β διέρχονται

α. 6 cm3 νερού. β. 3 cm3 νερού. γ. 18 cm3 νερού.


14. Ένας σωλήνας έχει διατομή εμβαδού Α και στο εσωτερικό του ρέει υγρό πυκνότητας ρ, με τα-

χύτητα υ. Το υγρό εξερχόμενο από το σωλήνα πέφτει κάθετα πάνω σε μια ακίνητη επιφάνεια

εμβαδού Α και απομακρύνεται από αυτή ρέοντας πάνω σε αυτή. ∆ηλαδή μετά την πρόσπτωση,

στην αρχική διεύθυνση κίνησης οι μάζες δεν έχουν ταχύτητα. Η κάθετη δύναμη που ασκεί η

επιφάνεια στο υγρό δίνεται από τη σχέση

α. F=ρΑυ2 β. F=2ρΑυ2 γ. F=ρΑυ2/2


-108-


15. Η διάμετρος της διατομής του σωλήνα στην περιοχή Α είναι δ1 = 2

cm, ενώ η διάμετρος της διατομής του στην περιοχή Β είναι δ2 =1

cm.

Η ταχύτητα υ1 του υγρού στην περιοχή Α είναι 2 cm/s. Η ταχύτη-

τα στην περιοχή Β είναι

α. υ2 = 1cm/s β. υ2 = 4cm/s γ. υ2 = 8cm/s


16. Μια δεξαμενή έχει χωρητικότητα 10 m3. Η παροχή νερού ενός κυλινδρικού σωλήνα που γεμίζει

τη δεξαμενή είναι Π1=2 m3 /min και γεμίζει τη δεξαμενή σε χρόνο t1. Για να γεμίσει η δεξαμε-

νή σε πέντε λεπτά περισσότερο η παροχή του νερού πρέπει να γίνει

α. Π2 = 2Π1 β. Π2 = Π1 γ. Π2 = 0,5Π1.


ΘΕΜΑ Γ

17. Ένας αεραγωγός θέρμανσης ανανεώνει πλήρως τον αέρα ενός δωματίου όγκου 300 m3 κάθε

10 λεπτά. Ο αέρας στο εσωτερικό του αγωγού κινείται με ταχύτητα 2 m/s. Υποθέστε ότι η πυ-

κνότητα του αέρα παραμένει συνεχώς σταθερή.

α) Να βρεθεί η παροχή του αγωγού. [Π=0,5m3/s]

β) Να βρεθεί η επιφάνεια της εγκάρσιας διατομής του αεραγωγού θέρμανσης. [A=0,25m2]

Να θεωρήσετε ότι ο αέρας έχει τις ιδιότητες του ιδανικού ρευστού.

18. Μια βρύση με παροχή 30 L/min είναι συνδεδεμένη με λάστιχο ποτίσματος διατομής Α1. Στην

άκρη του λάστιχου προσαρμόζουμε ένα στενό στόμιο διατομής Α2, με Α2= Α1/5. Το στόμιο βρί-

σκεται σε ύψος h=1,8 m από το έδαφος και το νερό που εκτοξεύεται από αυτό οριζόντια φτά-

νει στο έδαφος σε οριζόντια απόσταση s=6 m. Να βρεθούν:

α) το χρονικό διάστημα που θέλει το νερό για να φθάσει το νερό από το στόμιο στο έδαφος. [t=0,6s] β) η ταχύτητα εκροής του νερού από το στόμιο. [υ=10m/s]

γ) το εμβαδό διατομής του στομίου εκτόξευσης του νερού. [A2=0,5cm2]

δ) την ταχύτητα του νερού στο λάστιχο ποτίσματος. [υ1=2m/s]

Να θεωρήσετε ότι η ροή του νερού έχει τις ιδιότητες του ιδανικού ρευστού.

∆ίνεται g=10 m/sec2.

19. Στους ανθρώπους, το αίμα

ρέει από την καρδιά στην αορτή και στη συνέχεια εισέρχεται στις κύριες αρτηρίες. Αυτές δια-

κλαδίζονται σε μικρότερες αρτηρίες, οι οποίες με τη σειρά τους διακλαδίζονται σε δισεκατομ-

μύρια λεπτά τριχοειδή. Το αίμα επιστρέφει πίσω στην καρδιά μέσω των φλεβών. Η διάμετρος

μιας αορτής είναι περίπου ∆=1,2 cm και το αίμα που κυκλοφορεί σε αυτήν έχει ταχύτητα περί-

που υ1=40 cm/s. Ένα τυπικό τριχοειδές αγγείο έχει ακτίνα r=2∙10-4 cm, και το αίμα που κυ-

κλοφορεί σε αυτό τρέχει με υ2=0,05 cm/s περίπου.

-109-


Εκτιμήστε την τάξη μεγέθους του πλήθους των τριχοειδών αγγείων που βρίσκονται στο αν-

θρώπινο σώμα. [7,2∙109]

Να θεωρήσετε ότι η ροή του αίματος έχει τις ιδιότητες του ιδανικού ρευστού.

20. Η φλέβα του νερού μιας βρύσης γίνεται στενότερη καθώς το νερό πέ-

φτει. Η ακτίνα της διατομής της φλέβας στη θέση 1, όταν εξέρχεται από

τη βρύση είναι r1 = 2cm και γίνεται r2 = 1cm σε απόσταση h πιο κάτω

(θέση 2). Το νερό στη θέση 1 έχει ταχύτητα υ1 = 1m/s.

Να υπολογίσετε

α) την παροχή της βρύσης. [Π=4∙10-4π m3/s]

β) την ταχύτητα του νερού στη θέση 2. [υ2=4m/s]

γ) την απόσταση h. [h=0,75m]

δ) το χρόνο που χρειάζεται για να γεμίσει μια δεξαμενή χωρητικότητας 4m3. [104/π s]

Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό.

∆ίνεται g=10m/s2

21. Ένας σωλήνας αποτελείται από δύο κυλινδρικά μέρη διαφορετι-

κής ακτίνας και μέσα σε αυτόν ρέει λάδι. Το πρώτο μέρος του

σωλήνα ακτίνας r1=2cm μεταφέρει στο δεύτερο λάδι μάζας

m=4kg σε χρονικό διάστημα t=5s. Η ταχύτητα του λαδιού στο

δεύτερο και στενότερο κυλινδρικό μέρος είναι υ2=10/π m/s. Να υπολογίσετε:

α) πόσος όγκος λαδιού μεταφέρθηκε στο δεύτερο σωλήνα σε χρονικό διάστημα t=5s. [V=5L]

β) την παροχή λαδιού στο δεύτερο σωλήνα. [Π2=10-3m3/s]

γ) την ταχύτητα ροής στον πρώτο σωλήνα. [υ1=2,5/π m/s]

δ) την ακτίνα του δεύτερου σωλήνα. [1cm]

Να θεωρήσετε το λάδι ιδανικό ρευστό.

∆ίνεται η πυκνότητα του λαδιού ρ=0,8 g/cm3.

22. Οριζόντιος σωλήνας εκτοξεύει νερό από κάποιο ύψος h. Το νερό εξέρχεται του σωλήνα με τα-

χύτητα υ0 = 5 m/s και φτάνει στο έδαφος σε χρόνο t=1s από τη στιγμή της εξόδου του από το

σωλήνα. Η παροχή του σωλήνα είναι Π =0,6 m3/min.

Να υπολογίστε

α) το ύψος που βρίσκεται ο οριζόντιος σωλήνας. [h=5m]

β) την απόσταση του σημείου που χτυπάει το νερό στο έδαφος από την έξοδο του σωλήνα. [52m] γ) τη μάζα του νερού που βρίσκεται κάθε στιγμή στον αέρα. [10Kg]

δ) την ακτίνα του σωλήνα. [5 /

50

]

∆ίνoνται: g=10m/s2, ρ=1 g/cm3.

-110-


23. Ένας σωλήνας που μεταφέρει νερό έχει ακτίνα r=2π cm και διακλαδίζεται σε δύο μικρότερους

σωλήνες ακτίνας r1=r2=π cm. Η παροχή στον κεντρικό σωλήνα είναι Π=1 m3/min. Ένας από

τους δύο μικρότερους σωλήνες καταλήγει σε μια μικρή δεξαμενή που χωράει 100kg νερό.

Να υπολογίστε

α) την ταχύτητα ροής στον κεντρικό σωλήνα. [100/24m/s]

β) την παροχή νερού σε έναν από τους δύο μικρότερους σωλήνες. [0,5/10 m3/s]

γ) την ταχύτητα ροής στους δύο μικρότερους σωλήνες. [100/12 m/s]

δ) το χρόνο που χρειάζεται για να γεμίσει η μικρή δεξαμενή. [12s]

Να θεωρήσετε το νερό ιδανικό ρευστό.

∆ίνονται η πυκνότητα του νερού ρ =1 g/cm3 και π2=10.

24. Η οπή εκτόξευσης του νερού ενός νεροπίστολου έχει εμβαδό

Α2=1mm2 και το εμβαδόν του εμβόλου που πιέζει το νερό

Α1=70mm2. Ένα παιδί κρατάει το νεροπίστολο σε ύψος

h=0,8 m από το έδαφος και πιέζει τη σκανδάλη του. Η σκαν-

δάλη στη συνέχεια πιέζει το έμβολο της μικρής δεξαμενής

αποθήκευσης του νερού με δύναμη F=10Ν και το νερό εξέρ-

χεται με ταχύτητα υ2. Να βρεθούν:

α) η σχέση που συνδέει την ταχύτητα εκτόξευσης του νερού με την ταχύτητα κίνησης του εμ-

βόλου. [υ1=υ2/70]

β) η ταχύτητα εκτόξευσης υ2 του νερού. [≈16,9m/s]

γ) η οριζόντια απόσταση που φτάνει το νερό όταν πέφτει στο έδαφος. [6,76m]

Να θεωρήσετε ότι η ροή του νερού έχει τις ιδιότητες του ιδανικού ρευστού.

Η πυκνότητα του νερού είναι ρ=103kg/m3, g = 10 m/s2.

Θεωρείστε 4899

14900

,2000

16,97

-111-


Η ∆ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΙ Η ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI

ΘΕΜΑ Α

1. Ένα ιδανικό ρευστό ρέει σε σωλήνα μεταβλητής διατομής.

a. H παροχή του ρευστού μειώνεται όταν η διατομή του σωλήνα αυξάνεται.

b. Οι μάζες του ρευστού δεν έχουν την ίδια ταχύτητα σε όλα τα σημεία του σωλήνα.

c. H πίεση του ρευστού είναι ίδια σε όλα τα σημεία του σωλήνα.

d. Η μηχανική ενέργεια του ρευστού μεταβάλλεται.

2. Σε έναν οριζόντιο σωλήνα που ρέει ιδανικό ρευστό, όταν

a. αυξάνεται το εμβαδόν διατομής μειώνεται η πίεση.

b. αυξάνεται η ταχύτητα ροής του ρευστού αυξάνεται η πίεση.

c. μειώνεται το εμβαδόν διατομής αυξάνεται η ταχύτητα ροής.

d. μειώνεται η ταχύτητα ροής μειώνεται και η παροχή.

3. Σύμφωνα με την εξίσωση του Bernoulli, για όλα τα σημεία που ανήκουν στην ίδια ρευματική

φλέβα ισχύει

a. ό

b. ό

c. ό

d. ό

gh2p22

ghp22

gh2p2

ghp2

4. Η εξίσωση του Bernoulli μπορεί να εφαρμοστεί μόνο μεταξύ δύο θέσεων ενός ιδανικού ρευ-

στού

a. που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.

b. που κινείται.

c. που ανήκουν σε δύο τυχαίες ρευματικές φλέβες.

d. που ανήκουν στην ίδια ρευματική φλέβα.

5. Σύμφωνα με το θεώρημα Torricelli, η ταχύτητα εκροής ενός υγρού από ένα σημείο που βρί-

σκεται σε πλευρικό τοίχωμα ενός δοχείου

a. εξαρτάται από την πυκνότητα του υγρού.

b. εξαρτάται από τη μάζα του υγρού.

c. εξαρτάται από το εμβαδό βάσης του δοχείου στο οποίο βρίσκεται το υγρό.

d. είναι ίση με αυτήν που θα είχε αν αφηνόταν να πέσει ελεύθερα από το ίδιο ύψος.

6. Ένα αεροπλάνο βάρους w που πετάει οριζόντια με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ σε ύψος h από

το έδαφος δέχεται δυναμική άνωση Α. Από το ίδιο σημείο πετάει οριζόντια ένα δεύτερο αερο-

πλάνο βάρους w/2 με ταχύτητα 2υ. Aυτό δέχεται δυναμική άνωση μέτρου

a. Α

b. 2Α

-112-


c. Α/2

d. 4Α

7. Η εξίσωση του Bernoulli για τα ρευστά είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης

a. της ύλης.

b. της ενέργειας.

c. της παροχής.

d. μηχανικής ενέργειας.

8. Σε μια ποσότητα ιδανικού ρευστού που κατέρχεται σε σωλήνα, προσφέρεται λόγω διαφοράς

πίεσης 120J/L και έχουμε μεταβολή της δυναμικής ενέργειας της ποσότητας αυτής κατά 80J/L.

a. Η κινητική ενέργεια της ποσότητας του ρευστού αυξήθηκε κατά 40J/L.

b. Η κινητική ενέργεια της ποσότητας του ρευστού αυξήθηκε κατά 200J/L.

c. Η ολική ενέργεια της ποσότητας του ρευστού αυξήθηκε κατά 200J/L.

d. Η μηχανική ενέργεια της ποσότητας του ρευστού διατηρήθηκε.

-113-

τα του υγρού στη θέση 1 είναι με-

γαλύτερη απ’ ότι στη θέση 2.

ΘΕΜΑ Β

10. τιο σωλήνα του διπλανού σχήματος ρέει

. hΒ < hΓ Γ. hΒ = hΓ

ολογή-

9. Σωστό-Λάθος.

Ο σωλήνας του διπλανού σχήματος περιέχει ι-

δανικό υγρό που ρέει προς τα δεξιά. Οι κατακό-

ρυφοι σωλήνες Β και Γ είναι ανοικτοί στο πάνω

μέρος τους. a. Η παροχή του υγρού στη θέση 1

είναι μεγαλύτερη απ’ ότι στη θέση 2.

b. Η ταχύτη

γαλύτερη απ’ ότι στη θέση 2.

c. Η πίεση του υγρού στη θέση 1 είναι με

d. Η στάθμη του υγρού στον σωλήνα Β είναι υψηλότερα απ’ ότι στον Γ.

e. Από το σημείο 1 μέχρι το σημείο 2 το υγρό επιταχύνθηκε.

Στον οριζόν

ιδανικό υγρό. Με τον οριζόντιο σωλήνα επικοινωνούν

δύο κατακόρυφοι σωλήνες, Β και Γ. Για τα ύψη της

στήλης του υγρού στο σωλήνα Β, hB, και στο σωλήνα

Γ, hΓ, ισχύει

Α. hΒ > hΓ Β

Να διαλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαι

σεις.


11. Ο σωλήνας του διπλανού σχήματος έχει σταθερή διατομή και το

υγρό ρέει με φορά από το Α προς το Γ. Τα σημεία Α και Γ απέ-

χουν κατακόρυφα κατά h. Για τις ταχύτητες ροής στα Α και Γ ι-

σχύει

Α. υΑ = υΓ B. gh22 Γ. gh2

Να διαλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις.

12. Τα δύο ίδια δοχεία του σχήματος

περιέχουν υγρά με πυκνότητες ρ1

και ρ2 όπου ρ1=2ρ2. Οι τρύπες που

υπάρχουν σε βάθος h από την ε-

λεύθερη επιφάνεια κάθε υγρού έ-

χουν διατομές Α1 και Α2 όπου

Α2=2Α1. Θεωρούμε ότι η διατομή κάθε τρύπας είναι πολύ μικρότερη από αυτήν της ελεύθερης

επιφάνειας του υγρού και ότι η πίεση γύρω από το δοχείο είναι ίση με την ατμοσφαιρική. Για

τις παροχές των ρευστών που ρέουν από τις τρύπες 1 και 2 ισχύει

Α. Π1=Π2 Β. Π1=2Π2 Γ. Π2=2Π1


13. Σε μια υδραυλική εγκατάσταση, λίγο πριν τη βρύση, είναι

τοποθετημένος ένας κατακόρυφος σωλήνας ο οποίος είναι

κλειστός στο επάνω μέρος του και περιέχει αέρα. Ο σωλή-

νας αυτός τοποθετείται ώστε να προστατεύεται ο οριζόντι-

ος σωλήνας από την απότομη αύξηση της πίεσης όταν

Α. κλείνουμε τη βρύση.

Β. ανοίγουμε τη βρύση

Να διαλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις

14. Τα δύο δοχεία του σχήματος έχουν το ίδιο

εμβαδό βάσης, περιέχουν νερό και σε βά-

θος h υπάρχει τρύπα εμβαδού πολύ μι-

κρότερου από αυτό της ελεύθερης επιφά-

νειας. Το νερό μετά την έξοδό του από

την τρύπα κάθε δοχείου φθάνει

Α. σε μεγαλύτερο ύψος στο δοχείο Α

Β. σε μεγαλύτερο ύψος στο δοχείο Β.

Γ. στο ίδιο ύψος


15. Σε μια μάζα ιδανικού ρευστού που ρέει σε σωλήνα, προσφέρεται ποσόν ενέργειας ανά μονάδα

όγκου E και η μάζα αυτή αυξάνει την κινητική της ενέργεια ανά μονάδα όγκου κατά Ε΄>Ε. Το

ρευστό ρέει

-114-


Α. σε σωλήνα που ανέρχεται και στενεύει

Β. σε σωλήνα που κατέρχεται και στενεύει

Γ. σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής


16. Μια δεξαμενή τροφοδοτείται με νερό από μια βρύση, έτσι ώστε το ύψος

του νερού στη δεξαμενή να παραμένει σταθερό και ίσο με h. Στην κάτω

επιφάνεια της δεξαμενής υπάρχει μια οπή εμβαδού A. Η παροχή από την

οπή δίνεται από τη σχέση

α) gh2

β) gh2

γ) gh2


17. Μια οριζόντια σύριγγα περιέχει νερό, το οποίο

θεωρείται ιδανικό ρευστό. Το έμβολο της σύριγ-

γας μπορεί να κινείται χωρίς τριβές κι έχει εμ-

βαδό A1, ενώ το νερό εξέρχεται στην ατμόσφαι-

ρα από μια τρύπα εμβαδού A2=A1/3. Ασκούμε στο έμβολο της σύριγγας μια οριζόντια δύναμη

μέτρου F. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το νερό εξέρχεται από την τρύπα είναι ίσο με

α) 1A

F

2

3

β) 1A

F

γ) 1A

F

3

2


18. Ένα δοχείο περιέχει νερό πυκνότητας ρ1 μέχρι ύψος h1 από τον πυθμένα

του. Πάνω από το νερό υπάρχει στρώμα λαδιού πυκνότητας ρ2 , μέχρι

ύψος h2 πάνω από τη στάθμη του νερού. Σε ένα σημείο 1 του πυθμένα

του δοχείου υπάρχει μια οπή. Η ταχύτητα με την οποία το νερό εξέρχεται

από την τρύπα έχει μέτρο:

α) 11 gh2 β) 211 hhg2 γ)

1 .


22111

hhg2

19. Το σχήμα δείχνει έναν οριζόντιο σωλήνα, μέσα στον ο-

ποίο ρέει νερό, το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό, με

μόνιμη και στρωτή ροή. Η διατομή Α1 του αριστερού

τμήματος του σωλήνα είναι τριπλάσια από τη διατομή Α2

του δεξιού του τμήματος. ∆ίνεται ότι η πίεση στο σημείο 2 του σχήματος είναι ίση με p2 και στο

σημείο 1 ίση με p1. Η ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο αριστερό τμήμα του σωλήνα εί-

-115-


ναι ίση με υ1. Η διαφορά πίεσης p1 – p2 είναι ίση με

α) β) γ)


214 2

12 21

20. Το σχήμα δείχνει έναν οριζόντιο σωλήνα, μέσα στον οποίο

ρέει νερό, το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό, με μόνιμη

και στρωτή ροή. Στον οριζόντιο σωλήνα έχουμε προσαρ-

μόσει έναν κατακόρυφο ανοικτό σωλήνα, μέσα στον ο-

ποίο το ύψος του νερού είναι ίσο με h. Η ταχύτητα με την

οποία ρέει το νερό στο αριστερό τμήμα του σωλήνα είναι ίση με υ1 και στο δεξιό ίση με υ2

(υ2>υ1). Αν είναι γνωστά, η επιτάχυνση της βαρύτητας g, και η πυκνότητα του νερού ρ, τότε η

πίεση στο σημείο 2 του σχήματος, p2 είναι ίση με

α) 2

2212

1gh

β) 2

2212

1p

γ) 2

2212

1ghp

.


21. Ο σωλήνας του σχήματος είναι γεμάτος με ιδανικό υγρό. Το

οριζόντιο τμήμα ΚΛ του σωλήνα έχει σταθερή διατομή A1,

ενώ το οριζόντιο τμήμα ΜΝ του σωλήνα έχει σταθερή διατο-

μή A2<A1.

Οι δύο οριζόντιοι σωλήνες απέχουν μεταξύ τους κατακόρυ-

φα κατά h και στο σημείο Ν υπάρχει στρόφιγγα.

Όταν η στρόφιγγα είναι κλειστή η διαφορά πιέσεων μεταξύ των σημείων Α και Γ είναι ίση με

pΓ–pA = ∆p.

Όταν η στρόφιγγα είναι ανοικτή και το υγρό ρέει με στρωτή και μόνιμη ροή από το σημείο Α

προς το σημείο Γ, η διαφορά πιέσεων μεταξύ των σημείων Α και Γ είναι ίση με pΓ'–pA' = ∆p'.

Για τις δύο διαφορές πιέσεων ισχύει

α) ∆p = ∆p' β) ∆p < ∆p' γ) ∆p > ∆p'.


22. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια σήραγγα (τούνελ),

φτιαγμένη από χαρτόνι. Ένα ρεύμα αέρα, περνά μέσα

από τη σήραγγα, με κατεύθυνση παράλληλη στον άξονά

της. Όταν η ταχύτητα του ρεύματος αυξηθεί, το πιθανό-

τερο να συμβεί είναι η σήραγγα

α) να λυγίσει προς τα κάτω.

β) να ανασηκωθεί.

-116-


γ) να μετατοπιστεί προς τα αριστερά της κατεύθυνσης του ρεύματος του αέρα. Να επιλέξετε τη

σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΘΕΜΑ Γ

23. Το ανοικτό δοχείο του σχήματος περιέχει υγρό πυ-

κνότητας ρ και στο σημείο Β που βρίσκεται σε βάθος

hΒ=0,2m από την ελεύθερη επιφάνεια του, υπάρχει

μια μικρή οπή εμβαδού διατομής Α=3∙10-4m2. Το

υγρό εκρέει από την οπή με ταχύτητα μέτρου υ.

Α. Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας εκροής

(θεώρημα Torricelli). [2m/s]

Β. Να βρεθεί η παροχή του υγρού από την οπή. [0,6L/s] Γ. Να βρεθεί σε ποιο βάθος hΓ θα πρέπει να ανοιχθεί μια δεύτερη οπή ώστε το υγρό να εξέρχε-

ται από αυτήν με ταχύτητα διπλάσιου μέτρου. [0,8m]

∆ίνεται ότι η πίεση στην επιφάνεια του υγρού είναι ίση με patm, ότι το εμβαδόν της ελεύθερης

επιφάνειας είναι πολύ μεγαλύτερο από αυτό της οπής και g=10m/s2

24. Η διάταξη του σχήματος δείχνει έναν τρόπο υ-

πολογισμού της ταχύτητας ενός ρευστού που ρέ-

ει σε οριζόντιο σωλήνα (ροόμετρο του Ventouri).

Το εμβαδό της διατομής του σωλήνα Α1 στη θέση

1 είναι τριπλάσια της διατομής Α2 στη θέση 2.

Λόγω της διαφοράς πίεσης, η υψομετρική δια-

φορά στη στάθμη του υγρού των δύο κατακό-

ρυφων ανοικτών σωλήνων Β και Γ είναι h=10cm.

Α. Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τις ταχύτητες ροής μεταξύ των θέσεων 1 και 2 [υ2=3υ1] Β. Να βρεθεί η διαφορά πίεσης μεταξύ των θέσεων 1 και 2 [103Ν/m2] Γ. Nα βρεθεί η ταχύτητα του ρευστού στη θέση 1 [0,5m/s] Να θεωρείστε το ρευστό ιδανικό.

∆ίνονται g=10m/s2 , ρν=1000 kg/m3.

25. Στον οριζόντιο σωλήνα του σχήματος ρέει αέρας

και ο υοειδής σωλήνας χρησιμοποιείται για τη

μέτρηση της ταχύτητας του αέρα. Στο σημείο Β

υπάρχει ανακοπή του ρεύματος του αέρα (ση-

μείο ανακοπής) οπότε η ταχύτητα του αέρα στο

σημείο Β είναι μηδενική. Το υγρό στον υοειδή

σωλήνα είναι νερό και η υψομετρική διαφορά

-117-


στα δύο σκέλη του σωλήνα είναι h=10cm.

Α. Να βρεθεί η πίεση στο σημείο ανακοπής Β σε συνάρτηση με την ταχύτητα του αέρα. [pB=(0,625υ2

Α+105) (S.I.)] Β. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του αέρα στον οριζόντιο σωλήνα. [40m/s]

∆ίνονται: πυκνότητα αέρα ρα=1,25 kg/m3, πυκνότητα νερού ρν=1000 kg/m3 , patm=105N/m2

και g=10m/s2.

26. Μια αντλία νερού βρίσκεται στον πυθμένα ενός πηγαδιού

που έχει βάθος h=5m. H διατομή του σωλήνα είναι στα-

θερή και ίση με Α=10cm2. Το νερό εξέρχεται από την ά-

κρη Γ του σωλήνα με ταχύτητα υΓ=10m/s. Να βρεθούν:

Α. η ταχύτητα του νερού μόλις αυτό εξέρχεται από την

αντλία (θέση Β) [10m/s] Β. Η διαφορά πίεσης μεταξύ των Β και Γ. [5∙104N/m2]

Γ. ο ρυθμός παραγωγής έργου λόγω της διαφοράς πίεσης μεταξύ των Β και Γ. [500J/s] ∆. ο ρυθμός παραγωγής έργου (ισχύς) της αντλίας. [1000W]

Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό. ∆ίνονται: ρν=1000kg/m3, g=10m/s2.

27. Μια μέρα με άπνοια, ένα Boeing 737 πετάει οριζό-

ντια πάνω από την Αθήνα σε στ αθερό ύψος. Τα

πτερύγιά του έχουν συνολικό εμβαδό Α=70m2 το

καθένα. Η ταχύτητα του αέρα στο πάνω τμήμα

των πτερυγίων, λόγω της στένωσης των ρευματι-

κών γραμμών, είναι υΑ=756km/h, ενώ στο κάτω

τμήμα λόγω της αραίωσής τους είναι

υΒ=684km/h. Να βρεθούν:

Α. η διαφορά πιέσεων μεταξύ του κάτω και πάνω τμήματος των πτερυγίων του αεροπλάνου. [5000N/m2] Β. Η αεροδύναμη που ασκείται στο αεροπλάνο. [700000N]

Γ. Το βάρος του Boeing 737 για τη συγκεκριμένη πτήση, αν η γωνία μεταξύ αεροδύναμης και

δυναμικής άνωσης είναι φ=20ο. [658000N]

∆ίνoνται: ραέρα=1,25kg/m3, patm=105N/m2, συν20ο=0,94

28. Ένα ανοικτό κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό. Στην πλευρική

επιφάνεια του δοχείου και σε βάθος h=0,45m από την ελεύθε-

ρη επιφάνεια, υπάρχει μια μικρή στρογγυλή τρύπα διαμέτρου

δ=2cm από την οποία εκρέει το νερό. Η επιφάνεια της οπής

θεωρείται πολύ μικρότερη από την ελεύθερη επιφάνεια του δο-

χείου.

Α. Να βρείτε:

-118-


1. την ταχύτητα εκροής. [3m/s]

2. την παροχή της οπής. [0,3π L/s]

Β. Στην ελεύθερη επιφάνεια του δοχείου προσαρμόζεται ένα έμβολο με αποτέλεσμα το νερό να

εκρέει από την τρύπα με ταχύτητα υ1=4m/s. Να βρείτε την πρόσθετη πίεση (υπερπίεση) που

προκαλείται από το έμβολο στο νερό. [3500N/m2]

∆ίνονται ρν=1000kg/m3, g=10m/s2.

-119-

ότ της ατμοσφαιρικής και ίση με

29. Η στέγη ενός μικρού σπιτιού αποτελείται από δύο επίπεδα

κομμάτια εμβαδού 5 επί 4 τετραγωνικών μέτρων το καθένα

τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους μικρή γωνία. Όταν φυ-

σάει οριζόντιος άνεμος, λόγω της στένωσης των ρευματι-

κών γραμμών πάνω από τη στέγη, έχουμε αύξηση της τα-

χύτητας του ανέμου κατά 20% . Η μέγιστη επιτρεπόμενη

κάθετη στη στέγη δύναμη που μπορεί να αναπτυχθεί σε κά-

θε τμήμα της στέγης, χωρίς αυτή να αποκολληθεί, είναι

Fmax=18.300N. Επίσης, δεχόμαστε ότι πολύ μακριά από το σπίτι, λόγω της ταχύτητας του ανέ-

μου η πίεση είναι λίγο μικρ ερη

p = pατμ – 200Ν/m2.

Α. Να βρείτε τη συνάρτηση που περιγράφει τη διαφορά πίεσης μεταξύ του κάτω και πάνω μέ-

ρους της στέγης σε συνάρτηση με την ταχύτητα του ανέμου.

[ ] Β. Να γίνει γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος Α στην οποία να φαίνεται ένα

ζεύγος τιμών.

Γ. Να βρείτε τη μέγιστη οριζόντια ταχύτητα ανέμου για την οποία δεν έχουμε αναρπαγή της

στέγης. ∆ίνoνται: ραέρα=1,3 kg/m3, pατμ=105Ν/m2. [50m/s]

30. Η δεξαμενή του σχήματος έχει σχήμα κυλίνδρου με εμβαδό

βάσης Α=8m2 και είναι γεμάτη με νερό ενώ η πάνω βάση της

είναι ανοικτή επικοινωνώντας με την ατμόσφαιρα. Στην κάτω

βάση υπάρχει κατακόρυφος σωλήνας ο οποίος συνδέεται μέ-

σω των οριζόντιων σωληνώσεων ΒΒ1 και ΓΓ1 με βρύσες. Οι

οριζόντιες σωληνώσεις απέχουν h1=0,3m και h2=1,5m αντί-

στοιχα από την κάτω βάση της δεξαμενής και έχουν διάμετρο

cm2

.

Α. Οι δύο βρύσες είναι κλειστές και η πίεση που επικρατεί στη

βρύση Γ1 είναι pΓ=1,2·105Ν/m2. Να βρείτε:

i. τη χωρητικότητα της δεξαμενής [4m3]

ii. Την πίεση που επικρατεί στη βρύση Β1. [1,08∙105Pa]

Β. Οι δύο βρύσες είναι ανοικτές. Να βρείτε:

i. την ταχύτητα εκροής του νερού από τη βρύση Γ1. [40 m/s]


ii. τον όγκο του νερού που φεύγει από τη βρύση Β1 σε χρονικό διάστημα 1min. [24L]

Θεωρείστε ότι στη διάρκεια του 1 min η στάθμη του νερού στη δεξαμενή δεν έχει μεταβληθεί.

∆ίνονται: g=10m/s2, ρν=1000kg/m3 και pατμ=105N/m2.

31. Το σύστημα των σωλήνων του σχήματος ονομά-

ζεται βεντουρίμετρο και χρησιμοποιείται για τη

μέτρηση της ταχύτητας ροής ενός ρευστού σε

ένα σωλήνα. Στον οριζόντιο σωλήνα του σχήμα-

τος ρέει φυσικό αέριο, η επιφάνεια Α1 είναι δι-

πλάσια της Α2 με Α1=12cm2. Στον υοειδή σωλήνα

υπάρχει νερό και οι δύο στήλες έχουν διαφορά

ύψους h=6,75 cm. Nα βρείτε

Α. Τη διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων 1 και 2 που βρίσκονται στις ελεύθερες επιφάνειες

του νερού. [675Pa]

Β. Την ταχύτητα του αερίου στο σημείο 1. [30m/s]

Γ. Την παροχή του αερίου στον οριζόντιο σωλήνα. [36∙10-3m3/s]

∆. τον όγκο του αερίου που διέρχεται από μια διατομή του σωλήνα σε χρόνο 1min. [2160L]

∆ίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας g=10m/s2, η πυκνότητα του αερίου ρa=0,5kg/m3, η πυκνό-

τητα του νερού ρν=1000kg/m3.

32. Το δοχείο του σχήματος είναι ανοικτό, περιέχει νερό και ο

καμπυλωτός σωλήνας (σίφωνας) είναι σταθερής διατομής.

Για τις αποστάσεις του σχήματος ισχύουν h1=0,3m,

h2=0,45m.

Να βρείτε:

Α. την ταχύτητα εκροής του νερού από το σημείο Γ. [3m/s] β. την πίεση στο σημείο Β. [92500Pa]

γ. το μέγιστο ύψος h1΄ για το οποίο έχουμε ροή νερού μέσα

από το σίφωνα αν το άκρο Γ βρίσκεται σε ύψος h2=0,45m

κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού του δοχείου. [9,55m] ∆ίνονται: patm=105N/m2 και g=10m/s2.

33. Η δεξαμενή του σχήματος περιέχει νε-

ρό και είναι ανοικτή στην ατμόσφαιρα.

Το νερό διοχετεύεται μέσω του οριζό-

ντιου σωλήνα μεταβλητής διατομής με

Α1=3Α2=120cm2 στο σημείο εξόδου Γ.

Ο κατακόρυφος σωλήνας Β είναι τοπο-

θετημένος σε σημείο του οριζόντιου σωλήνα με εμβαδόν Α1. Το ύψος της στήλης του νερού

στη δεξαμενή είναι h=1,8m και θεωρούμε ότι κατά την εκροή του νερού από το Γ το ύψος h

δεν μεταβάλλεται. Nα βρείτε:

-120-


α. την ταχύτητα εκροής από το σημείο Γ. [6m/s]

β. την πίεση p1 στο εσωτερικό του σωλήνα με διατομή Α1. [116000Pa]

γ. το ύψος h1 της στήλης του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα Β. [1,6m]

∆ίνονται: patm=105Ν/m2, g=10m/s2 και ρν=1.000kg/m3.

34. Το δοχείο του σχήματος περιέχει νερό και είναι κολλημένο

σταθερά στο αμαξίδιο. Η στάθμη του νερού φτάνει μέχρι

ύψος h=0,5m και σε απόσταση h1=5cm από τη βάση του

δοχείου υπάρχει οπή εμβαδού Α=40mm2 η οποία φράσ-

σεται με πώμα. Τη χρονική στιγμή t=0 αφαιρούμε το πώ-

μα και νερό εκρέει από την οπή. Να βρείτε τη χρονική

στιγμή t=0:

Α. την ταχύτητα εκροής. [3m/s]

Β. τη μέση δύναμη που ασκεί μια στοιχειώδης εκρέουσα μάζα ∆m του νερού στο δοχείο. [0,36N] Γ. την επιτάχυνση του συστήματος δοχείο -νερό- αμαξίδιο, αν η συνολική μάζα του είναι

m=10kg. [0,036m/s2]

∆ίνονται g=10m/s2, ρν=1000kg/m3.

35. Ένα δοχείο περιέχει νερό, μέχρι ορισμένο

ύψος. Από κάποια βρύση διατομής Α2 που

βρίσκεται στον πυθμένα του δοχείου, στη

θέση Β, χύνεται το νερό. Η επιφάνεια του

δοχείου έχει εμβαδό διατομής Α1 με Α1 =

10Α2. Σε κάποια χρονική στιγμή η ταχύτητα

εκροής του νερού είναι υ2 = 10 m/s, ενώ

την ίδια στιγμή η ταχύτητα πτώσης της ε-

λεύθερης επιφάνειας του νερού έχει μέτρο υ1. Να υπολογίσετε:

α. την ταχύτητα με την οποία κατέρχεται η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. [1m/s]

β. το ύψος h1 του νερού στο δοχείο κατά τη στιγμή αυτή. [4,95m]

γ. όταν η επιφάνεια του νερού στο δοχείο κατέβει κατά ∆h = 3,75m σε σχέση με την προη-

γούμενη στάθμη (h1), ανοίγουμε μία δεύτερη βρύση που βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την πρώ-

τη, θέση Γ και έχει την ίδια διατομή. Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη

επιφάνεια στο δοχείο. [1m/s]

∆ίνεται g = 10m/s2.

36. Οριζόντιος σωλήνας κυκλικής διατομής Α1 έχει διάμετρο δ1 =

δ. Σε κάποιο σημείο ο σωλήνας χωρίζεται σε δύο άλλους οριζό-

ντιους σωλήνες κυκλικών διατομών Α2, Α3 με διαμέτρους

δ2=δ/3 και δ3=2δ/3 αντίστοιχα. Το υγρό στο σωλήνα με κυκλι-

κή διατομή Α2 εξέρχεται στην ατμόσφαιρα. Στο σωλήνα με κυ-

κλική διατομή Α1 το υγρό κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1 =

-121-


5m/s, ενώ στο σωλήνα με κυκλική διατομή Α2 το υγρό κινείται με ταχύτητα μέτρου υ2 =

25m/s. Να υπολογιστεί

α. η πίεση στο σημείο Α. [4∙105Pa]

β. το μέτρο της ταχύτητας 3

. [5m/s]

γ. η πίεση στη θέση Γ. [4∙105Pa]

Το υγρό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα ή ακόμη βρίσκεται μέσα σε σωλήνα; [μέσα σε σωλήνα]

∆ίνεται ο τύπος για το εμβαδόν κυκλικής διατομής

2

2

, η ατμοσφαιρική πίεση pατ =

105N/m2 και η πυκνότητα του υγρού ρ = 103kg/m3.

Θεωρούμε το υγρό ιδανικό, την ροή στρωτή και τις τριβές αμελητέες.

ΘΕΜΑ ∆

37. Το δοχείο του σχήματος περιέχει δύο υγρά που δεν αναμιγνύο-

νται. Το υγρό που είναι σε επαφή με τον πυθμένα του δοχείου

είναι νερό πυκνότητας ρ1=1000kg/m3 και πάνω σε αυτό υπάρχει

λάδι πυκνότητας ρ2=800kg/m3. Τα ύψη των υγρών είναι

h1=1,4m και h2=0,5m αντίστοιχα. Το δοχείο είναι ανοικτό στην

ατμόσφαιρα και στον πυθμένα του υπάρχει μία κλειστή κυκλική

οπή μικρού εμβαδού συγκριτικά με το εμβαδόν βάσης του δοχεί-

ου. Ανοίγουμε την οπή. Να βρείτε:

Α. την πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού-νερού. [104000Pa] Β. την ταχύτητα εκροής από το σημείο Γ της οπής. [6m/s]

Γ. την παροχή της οπής αν η διάμετρός της είναι δ=2cm. [0,6π∙10-3m3/s]

∆. τη διάμετρο της υδάτινης στήλης σε απόσταση h3=1,4m κάτω από το σημείο εκροής Γ. [3 ∙10-2m] ∆ίνονται: g=10m/s2 και patm=105N/m2.

38. Το δοχείο του σχήματος είναι ανοικτό και περιέχει ιδανι-

κό υγρό. Σε αποστάσεις y1=0,2m και y2=0,8m από την

ελεύθερη επιφάνεια του υγρού και στην ίδια κατακόρυ-

φο ανοίγουμε δύο μικρές οπές εμβαδού Α=0,1cm2 η κά-

θε μια. Το υγρό αρχίζει να χύνεται ταυτόχρονα και από

τις δύο οπές.

Α. Να βρείτε:

1. τις ταχύτητες εκροής από τις δύο οπές. [υ1=2m/s,

υ2=4m/s] 2. τη θέση του σημείου συνάντησης των δύο φλεβών

νερού θεωρώντας ότι το δοχείο είναι αρκετά ψηλά σε σχέση με το έδαφος. [x=0,8m, y=0,2m ως προς την κάτω οπή]

-122-


Β. Πάνω από το δοχείο βρίσκεται μια βρύση από την οποία χύνεται το ίδιο υγρό με τέτοια ροή

ώστε, παρόλο που το υγρό εκρέει από τις οπές, η στάθμη του στο δοχείο να παραμένει σταθε-

ρή. Να βρείτε την παροχή του υγρού από τη βρύση. [60L/s]

∆ίνεται g=10m/s2.

39. Στο σωλήνα του σχήματος (ροόμετρο Ventouri) κι-

νείται νερό. Οι διατομές του σωλήνα στα σημεία Α, Β

είναι Α1, Α2 με Α1 = 4Α2 και η διαφορά στάθμης

στους δύο κατακόρυφους ανοικτούς σωλήνες στα

αντίστοιχα σημεία είναι h = 12 cm, (βλέπε σχήμα).

Να υπολογιστεί

α. η διαφορά πίεσης μεταξύ των σημείων που βρίσκονται στις βάσεις των δύο κατακόρυφων

στηλών Α και Β. [1200Pa]

β. το μέτρο της ταχύτητας 1

του υγρού στο σωλήνα διατομής Α1. [0,4m/s]

γ. ο όγκος του νερού που περνά από τον σωλήνα σε t = 2 h αν για την διατομή ισχύει

Α1=200cm2. [57,6m3]

∆ίνεται g = 10m/s2 και ρ = 103kg/m3.

40. Εντός κλειστού δοχείου μεγάλης διατομής υπάρχει νερό

πυκνότητας ρ = 1000 kg/m3 μέχρι ύψους h = 5m. Πά-

νω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού υπάρχει αέ-

ρας με πίεση p = 3·105N/m2. Στο κάτω άκρο του δοχεί-

ου υπάρχει μικρή οπή κατάλληλα διαμορφωμένη ώστε

το νερό να εκτοξεύεται κατακόρυφα, όπως στο σχήμα.


α. το ύψος της φλέβας του νερού που εκτοξεύεται από

τη μικρή οπή. [25m]

β. το μέτρο της ταχύτητας της φλέβας στο ισοϋψές σημείο με την επιφάνεια του νερού μέσα

στο δοχείο. [20m/s]

γ. η μεταβολή της πίεσης που πρέπει να υποστεί στο αέριο ώστε να διπλασιάσουμε το μέγιστο

ύψος του πίδακα. [2,5∙105Pa]

δ. το ελάχιστο ύψος μιας όμοιας ανοιχτής δεξαμενής, ώστε η φλέβα να φτάσει στο ίδιο μέγιστο

ύψος με αυτό της ερώτησης α, αν αντί για αέριο υπό πίεση είχαμε ανοικτή την πάνω επιφάνεια

και συμπληρώναμε με λάδι πυκνότητας ρλ = 800 kg/m3 [30m]

∆ίνεται g = 10m/s2 και η ατμοσφαιρική πίεση pατ = 105N/m2.

Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή είναι μόνιμη και στρωτή.

41. ∆εξαμενή μεγάλης διατομής με κατακόρυφα τοιχώματα είναι τοποθετημένη στο έδαφος και

περιέχει νερό μέχρι ύψους Η = 2m.

α. Να υπολογιστεί σε ποια απόσταση h από τον πυθμένα της δεξαμενής πρέπει να ανοίξουμε

μικρή οπή, ώστε η φλέβα του νερού να συναντήσει το έδαφος σε οριζόντια απόσταση S =

1,2m από το τοίχωμα της δεξαμενής. [h1=1,8m και h2=0,2m]

-123-


β. Να δειχθεί ότι η μέγιστη απόσταση S είναι ίση με το ύψος Η του νερού στη δεξαμενή. []

γ. Να βρεθεί για ποια τιμή του h η απόσταση S γίνεται μέγιστη. [1m]

42. Στο σχήμα φαίνεται η αρχή λειτουρ-

γίας ενός ψεκαστήρα που στο δοχείο

του υπάρχει υγρό ψεκασμού πυκνό-

τητας ρυγ = 103 N/m3. Για να λει-

τουργεί ο ψεκαστήρας πρέπει το υγρό

ψεκασμού να ανέρχεται από το δοχείο

στον κατακόρυφο σωλήνα ως το χεί-

λος αυτού, σημείο Β.

Α. Να βρείτε με ποια ταχύτητα πρέπει

να εξέρχεται ο αέρας από το ακροφύ-

σιο του ψεκαστήρα αν το τμήμα του

σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό έχει ύψος h1 = 10cm. [40m/s]

Β. Όταν ο αέρας εξέρχεται από το ακροφύσιο με ταχύτητα μέτρου υ2 = 42m/s, πόσο μπορεί να

είναι το μέγιστο ύψος h2 του σωλήνα που βρίσκεται έξω από το υγρό; [11,025cm]

Γ. Το συνολικό μήκος του σωλήνα είναι Η = 16,025cm, και τον σταθεροποιούμε σε θέση που

να σχηματίζεται στήλη υγρού ύψους h3= 11,025cm όταν ψεκάζουμε με την κατάλληλη ταχύ-

τητα. Ψεκάζουμε με σταθερό ρυθμό 40ψεκ./min. Μετά από πόσο χρόνο θα σταματήσει να λει-

τουργεί ο ψεκαστήρας; ∆ίνεται ότι ο μέσος όγκος των δημιουργούμενων σταγονιδίων είναι

60nL (nano L) και κάθε ψεκασμός "παρασύρει" 2000 σταγονίδια. [25min]

∆ίνονται πυκνότητα αέρα ρα = 1,25 kg/m3, εμβαδόν της βάσης του δοχείου Α = 24cm2 και g =

10m/s2.

-124-

έν.

43. Ανοικτή δεξαμενή νερού έχει στον πυθμένα βρύσες πανομοιότυπες που η κάθε μία έχει εμβαδό

διατομής Α = 2cm2. Η δεξαμενή τροφοδοτείται από σωλήνα από τον οποίο τρέχει νερό στην

ελεύθερη επιφάνεια της με σταθερή παροχή Π = 0,8L/s.

α. Να υπολογίσετε σε ποιο ύψος η στάθμη του νερού παραμένει σταθερή στη δεξαμενή όταν

έχουμε ανοιχτή μία βρύση. [0,8m]

β. Να βρείτε την κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του νερού στην έξοδο. [8000J/m3]

γ. Αν θέλουμε να ποτίσουμε τον κήπο μας με το παραπάνω σύστημα, πόσες βρύσες μπορούμε

να ανοίξουμε ταυτόχρονα, δεδομένου ότι

ικανοποιητική παροχή έχουμε όταν η

στάθμη στη δεξαμενή δεν πέφτει κάτω

από h2 = 0,2m. [2]

∆ίνεται g = 10m/s2 και η πυκνότητα του

νερού ρ = 103kg/m3.

Θεωρήστε τη ροή στρωτή, το νερό ιδανι-

κό ρευστό και την ταχύτητα με την οποία

πέφτει το νερό από τον σωλήνα στη δε-

ξαμενή είναι περίπου μηδ


44. Η δεξαμενή του σχήματος περιέχει

νερό και φέρει ένα έμβολο ώστε να

καλύπτει ολόκληρη την επιφάνεια

του νερού. Το νερό διοχετεύεται

μέσω του οριζόντιου σωλήνα με-

ταβλητής διατομής με

Α1=3Α2=12cm2 στο σημείο εξόδου

Γ από όπου εκρέει πέφτοντας στο

δοχείο εμβαδού βάσης Α=0,288m2.

Ο κατακόρυφος σωλήνας Β είναι

τοποθετημένος σε σημείο του οριζόντιου σωλήνα με εμβαδόν Α1. Το ύψος της στήλης του νε-

ρού στη δεξαμενή είναι h=1,8m και θεωρούμε ότι κατά την εκροή του νερού από το Γ το ύψος

h δεν μεταβάλλεται. Τη χρονική στιγμή t=0 πιέζουμε προς τα κάτω το έμβολο με αποτέλεσμα

το νερό να εκρέει από το σημείο Γ με ταχύτητα 9m/s. Να βρείτε:

α. την πίεση pεμβ μεταξύ εμβόλου και της επιφάνειας του νερού στη δεξαμενή. [122500Pa]

β. το ύψος h1 της στήλης του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα Β. [3,6m]

γ. την αύξηση του ύψους y του νερού στο δοχείο μετά από χρόνο 1 min. [0,75m]

∆ίνονται: patm=105Ν/m2, g=10m/s2 και ρν=1.000kg/m3.

-125-


Η τριβή στα ρευστά

ΘΕΜΑ Α

1. Ιξώδες ενός ρευστού ονομάζουμε

a. τις δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνησή του όταν αυτό είναι ιδανικό.

b. τις δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνησή του όταν αυτό είναι πραγματικό.

c. τις εξωτερικές δυνάμεις που αναγκάζουν το πραγματικό ρευστό να κινηθεί.

d. το φυσικό μέγεθος που καθορίζει τη φύση του.

2. Ο συντελεστής ιξώδους ενός ρευστού

a. εξαρτάται από τη φύση του ρευστού.

b. αυξάνεται όταν η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται.

c. δεν έχει διαστάσεις.

d. αναφέρεται μόνο στα Νευτώνεια ρευστά.

3. Τοποθετούμε ένα ρευστό με συντελεστή ιξώδους η ανά-

μεσα σε δύο οριζόντιες πλάκες εμβαδού Α οι οποίες απέ-

χουν ℓ μεταξύ τους, όπως στο σχήμα.

Κατά την μετακίνηση της πάνω πλάκας με σταθερή ταχύ-

τητα υ σε σχέση με την κάτω πλάκα, εμφανίζεται δύναμη

τριβής Τ η οποία δίνεται από τη σχέση

a.

AnT .

b.

A

nT .

c. nT .

d. n

AT

.

4. Νευτώνεια ρευστά ονομάζουμε αυτά που


a. υπακούν στο νόμο του Νεύτωνα.

b. υπάρχει γραμμική αναλογία μεταξύ της εσωτερικής τριβής και της ταχύτητας ροής τους.

c. δεν υπακούν στη σχέση

AnT .

d. έχουν την ιδιαιτερότητα καθώς αυξάνεται η ταχύτητα ροής, τα σωματίδια του ρευστού να

παραμορφώνονται ώστε να διευκολύνουν τη ροή.

5. Το αίμα

a. είναι ένα Νευτώνειο ρευστό.

b. υπακούει στη σχέση

AnT .

-126-


c. έχει την ιδιαιτερότητα καθώς αυξάνεται η ταχύτητα ροής, τα σωματίδιά του να παραμορφώ-

νονται ώστε να διευκολύνουν τη ροή.

d. έχει σταθερό συντελεστή ιξώδους.

6. Για τη λίπανση των μηχανών χρησιμοποιούμε


a. το νερό γιατί έχει μικρό συντελεστή ιξώδους.

b. το μηχανέλαιο γιατί έχει μικρότερο συντελεστή ιξώδους από το νερό.

c. το μηχανέλαιο γιατί έχει μεγάλο συντελεστή ιξώδους.

d. ένα οποιοδήποτε Νευτώνειο ρευστό με μικρό συντελεστή ιξώδους.

7. Η εσωτερική τριβή μέσα σ’ ένα ρευστό ονομάζεται

a. τυρβώδης.

b. δύναμη συνάφειας.

c. ιξώδες.

d. νευτώνεια.

8. Σωστό – Λάθος.

Στο σχήμα βλέπετε την κατανομή ταχυτήτων για δύο ρευ-

στά που ρέουν στους κυλινδρικούς σωλήνες α και β.

Επιλέξτε τουλάχιστον μία απάντηση.

a. Το ρευστό του σωλήνα α είναι πραγματικό.

b. Το ρευστό του σωλήνα β είναι ιδανικό.

c. Ο συντελεστής ιξώδους για το ρευστό α είναι μηδέν.

d. Για το ρευστό που ρέει στο σωλήνα β εμφανίζονται τρι-

βές μόνο μεταξύ των μορίων του υγρού και του εσωτερι-

κού τοιχώματος του σωλήνα.

e. Για το ρευστό που ρέει στο σωλήνα β εμφανίζονται τριβές και μεταξύ των μορίων του αλλά

και μεταξύ των μορίων του και του εσωτερικού τοιχώματος του σωλήνα.

-127-


ΘΕΜΑ Β

-128-

χανική ενέργεια από την πλάκα

ιας του σώματος Σ έχει ως συνέπεια τη μείωση της μηχανι-

ό την δύναμη F αναπληρώνει την ενέργεια που χάνεται λό-

ταθερή ταχύτητα. Τα ύψη

στους κατακόρυφους σωλήνες είναι σωστά σχεδιασμένα στο σχήμα

.

Η μέση ταχύτητα υ του ρευστού στην κατεύθυνση ροής του δίνεται από το διάγραμμα

Να επιλέξεις τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσεις.

9. Στη διπλανή διάταξη, η πλάκα Π2 είναι ακλόνητη,

ενώ η Π1 μπορεί να κινείται μέσω μιας ασκούμενης

σε αυτήν εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F η οποία

οφείλεται στο βάρος w του σώματος Σ. Μεταξύ των

πλακών υπάρχει ένα παχύρευστο υγρό. Παρατηρού-

με ότι μετά από λίγο, η Π1 κινείται προς τα δεξιά με

σταθερή ταχύτητα υ.

Α. Η ενέργεια που προσφέρεται από την δύναμη F αφαιρεί μη

Π1 με συνέπεια την αύξηση της θερμοκρασίας του ρευστού.

Β. Η μείωση της δυναμικής ενέργε

κής ενέργειας της πλάκας Π1.

Γ. Η ενέργεια που προσφέρεται απ

γω του ιξώδους του ρευστού.


10. Οι κατακόρυφοι σωλήνες του σχήματος είναι ίδιοι και ανοικτοί στο πάνω τμήμα τους. Στον ορι-

ζόντιο σωλήνα ρέει με φορά προς τα δεξιά ένα πραγματικό υγρό με σ


11. Ένα πραγματικό ρευστό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής κυλινδρικής διατομής


12. Ένα πραγματικό ρευστό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής με σταθερή ταχύτητα. Η

πίεση κατά μήκος του σωλήνα στην κατεύθυνση ροής του ρευστού μπορεί να δίνεται από το

διάγραμμα.




σε αυτήν εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F. Μεταξύ

των πλακών υπάρχει ένα παχύρευστο υγρό. Τοποθε-

τούμε βάρος w και παρατηρούμε ότι μετά από λίγο,

η Π1 κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ1. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα χρησιμο-

ποιώντας μεγαλύτερο βάρος. Α. Η πλάκα Π1 μετά από λίγο θα κινείται και πάλι με σταθερή τα-

χύτητα.

Β. Η πλάκα θα επιταχύνεται συνεχώς.

Γ. Θα μεγαλώσει το ιξώδες του υγρού με αποτέλεσμα η πλάκα να αποκτήσει μετά από λίγο

σταθερή ταχύτητα.




σε αυτήν εξωτερικής οριζόντιας δύναμης F η οποία

οφείλεται στο βάρος w του σώματος Σ. Μεταξύ των

πλακών υπάρχει ένα παχύρευστο υγρό. Παρατη-

ρούμε μετά από λίγο, η Π1 κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ. Αντικαθιστούμε το

σώμα Σ με ένα άλλο μεγαλύτερου βάρους. Για να κινηθεί η πλάκα Π1 πάλι προς τα δεξιά με

σταθερή ταχύτητα υ πρέπει να

Α. αυξήσουμε την απόσταση μεταξύ των πλακών και να διατηρήσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία

(ρευστό, εμβαδόν πλακών) σταθερά.

Β. αυξήσουμε το εμβαδόν των πλακών και να διατηρήσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία (ρευστό,

απόσταση μεταξύ πλακών) σταθερά.

Γ. αντικαταστήσουμε το ρευστό με άλλο που έχει μικρότερο συντελεστή ιξώδους και να διατη-

ρήσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία (εμβαδόν πλακών και απόσταση μεταξύ τους) σταθερά.


-129-


-130-

ΘΕΜΑ Γ

15. Μια λεπτή πλάκα εμβαδού Α=25cm2 τοποθετείται πάνω σε σταθερή οριζόντια επιφάνεια. Μετα-

ξύ της πλάκας και της επιφάνειας παρεμβάλλεται στρώμα γλυκερίνης πάχους l με ιξώδες

nγ=800·10-3Νs/m2. Ασκούμε οριζόντια δύναμη F=20mN και παρατηρούμε ότι η πλάκα μετά

από λίγο μετατοπίζεται με σταθερή ταχύτητα υ=10cm/s. Να βρείτε:

Α. το πάχος του ρευστού που παρεμβάλλεται μεταξύ της πλάκας και της επιφάνειας.[0,01m]

Β. Την ισχύ της δύναμης η οποία ασκείται για να υπερνικηθούν οι τριβές. [0,2W]

Γ. Αφαιρούμε το ρευστό και τοποθετούμε νερό ίδιου πάχους με ιξώδες nν=10-3Νs/m2. Ασκούμε

στην πλάκα την ίδια οριζόντια δύναμη και αυτή μετά από λίγο μετατοπίζεται πάλι με σταθερή

ταχύτητα υ1. Να βρείτε το μέτρο της υ1. [80m/s]

Μηχανική Στερεού Σώματος Παμπέρης ∆ήμος, Φυσικός

-131-

Στροφική κίνηση στερεού σώματος

ΘΕΜΑ Α

1. Αν στερεό σώμα εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση τότε:


a. Η κίνηση του είναι οπωσδήποτε ευθύγραμμη.

b. Όλα τα σημεία του στερεού έχουν ίδια ταχύτητα.

c. Το σώμα αλλάζει προσανατολισμό.

d. Το τμήμα που ενώνει 2 τυχαία σημεία του στερεού περιστρέφεται συνεχώς.

2. Σώμα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής που διέρχεται από το

σώμα. Η γωνιακή του ταχύτητα:


a. Είναι διανυσματικό μέγεθος που σχηματίζει τυχαία γωνία φ με τον άξονα περιστροφής.

b. Έχει μέτρο που ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας που διαγράφει μια τυχαία ακτί-

να του στερεού.

c. Αν η κίνηση είναι ομαλή στροφική τότε έχει μέτρο που συνεχώς αυξάνεται.

d. Έχει μονάδα μέτρησης το 1rad/sec2.

3. Ένα στερεό εκτελεί μόνο στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής που διέρχε-

ται από το σώμα: Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

a. Όλα τα σημεία του στερεού εκτελούν κυκλική κίνηση.

b. Όσο απομακρυνόμαστε από τον άξονα περιστροφής το μέτρο της ταχύτητας των διαφόρων

σημείων μειώνεται.

c. Υπάρχουν σημεία του στερεού που είναι διαρκώς ακίνητα.

d. Όλα τα σημεία του στερεού έχουν την ίδια ταχύτητα.

4. Ένας τροχός εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από άξονα που διέρχεται από το Κ , ξεκινώντας

από την ηρεμία και επιταχύνεται με γωνιακή επιτάχυνση που συνεχώς αυξάνεται:


a. η γραμμική ταχύτητα ω του στερεού αυξάνεται γραμμικά με τον χρόνο.

b. Η γωνιακή ταχύτητα ω του τροχού δίνεται από την σχέση ω=αγ∙t.

c. Η στιγμιαία γραμμική ταχύτητα ενός μορίου της περιφέρειας του τροχού συνδέεται με την

στιγμιαία γωνιακή του ταχύτητα ω με την σχέση υ=ω∙R.

d. η γωνία που διαγράφει ο τροχός υπολογίζεται από την σχέση θ=(1/2)αγt2.


ΘΕΜΑ Β

5. Μία οριζόντια ράβδος ΑΒ μήκους l εκτελεί στροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ίση

με ω γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα περιστροφής που διέρχεται από το άκρο της Α. Το

μέσο Μ της ράβδου έχει κεντρομόλο επιτάχυνση ίση με:

α) αΚ=ω2ℓ. β) αΚ=ω2ℓ/2. γ) αΚ=ω2ℓ/4.



-132-

έρου την ίδια χρονική στιγμή.

6. ∆υο ομογενείς δίσκοι στρέφονται γύρω από σταθερό άξονα

περιστροφής που περνά από το κέντρο τους. Στο διάγραμ-

μα φαίνεται πως μεταβάλλεται η γωνία που διαγράφει κάθε

δίσκος σε συνάρτηση με τον χρόνο.

α) οι δυο δίσκοι έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση (μη

μηδενική).

β) οι δίσκοι εκτελούν επιταχυνόμενη κίνηση με διαφορετι-

κές γωνιακές επιταχύνσεις.

γ) οι δυο δίσκοι εκτελούν ομαλή στροφική κίνηση και η

γωνιακή ταχύτητα του πρώτου κάθε χρονική στιγμή είναι μεγαλύτερη από την γωνιακή ταχύ-

τητα του δευτ

δ) σε ίσους χρόνους ο δίσκος 2 θα εκτελέσει περισσότερες περιστροφές από τον δίσκο 1.

Να χαρακτηριστεί κάθε πρόταση σαν σωστή η λανθασμένη και να δικαιολογηθεί ο χαρακτηρι-

σμός της κάθε πρότασης. (Θέμα Β)


ΘΕΜΑ Γ,∆

7. Ο ομογενής και ισοπαχής δίσκος του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό

άξονα, που περνά από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ο δίσκος είναι

αρχικά ακίνητος. Τη στιγμή t0=0 ξεκινά να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση μέ-

τρου 2rad/s2. Τη στιγμή tA=4 s, o δίσκος αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερή γωνιακή επιτά-

χυνση μέτρου 4rad/s2, μέχρι να σταματήσει.

1. Στο πρώτο σχήμα να σχεδιαστεί το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας και το διάνυσμα της

γωνιακής επιτάχυνσης του δίσκου κάποια στιγμή κατά τη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησής

του.

2. Στο δεύτερο σχήμα να σχεδιαστούν τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνια-

κής επιτάχυνσης του δίσκου κάποια στιγμή κατά τη διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησής το-

υ.

Θεωρώντας θετική τη φορά περιστροφής:

3. Να γραφούν οι χρονικές εξισώσεις ω=f(t) της γωνιακής ταχύτητας για όλη τη διάρκεια της

κίνησης.

4. Να γίνει η γραφική παράσταση ω-t για τη συνολική κίνηση.

5. Να γραφεί η χρονική εξίσωση θ=f(t) της γωνίας στροφής στην επιταχυνόμενη κίνηση.

6. Να υπολογιστεί η γωνία στροφής ∆θ, κατά τη διάρκεια του 2ου δευτερολέπτου της επιβρα-

δυνόμενης κίνησης. [2]

7. Να βρεθεί ο συνολικός αριθμός των περιστροφών Ν, που εκτέλεσε ο τροχός από t0=0 μέχρι

να σταματήσει. [12/π] (Θέμα Γ)

8. Στο σχήμα φαίνεται πως μεταβάλλεται η γωνιακή τα-

χύτητα ενός δίσκου που εκτελεί μόνο στροφική κίνηση

γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής.

α) Να βρεθούν οι γωνιακές επιταχύνσεις που έχει το

κινητό σε κάθε κίνηση. [5 , 0 , -10]

β) Να γίνει το διάγραμμα γωνιακής επιτάχυνσης-χρόνου για όλη την κίνηση.

γ) Να βρεθεί η συνολική γωνία που έχει διαγράψει ο δίσκος. [35]

δ) Ένα σημείο Α απέχει από τον άξονα περιστροφής απόσταση r=0,2 m. Να βρεθεί η γραμμική

ταχύτητα του Α την t=1 sec καθώς και την t=4,5 sec. [1] (Θέμα Γ)

-133-


9. ∆ύο δίσκοι οριζόντιοι ∆1 και ∆2 εκτελούν

περιστροφική κίνηση γύρω από κατακόρυ-

φο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας

τους .Οι δίσκοι περιστρέφονται με γωνιακή

ταχύτητα που μεταβάλλεται με τον χρόνο

όπως φαίνεται στο σχήμα. Ζητείται:

α) Η γωνιακή επιτάχυνση που αποκτά κάθε

δίσκος [2 , 0]

β) Την t=5sec πόσες περιστροφές έχει κάνει ο δίσκος ∆2 περισσότερες από τον δίσκο ∆1; [12,5/π]

γ) Ποιά χρονική στιγμή οι 2 δίσκοι έχουν τον ίδιο αριθμό περιστροφών; [10]

δ) Αν οι 2 τροχοί έχουν ακτίνες R2=R, R1=2R, να βρεθεί ποια στιγμή τα σημεία της περιφέρει-

ας τους θα έχουν ίσες κατά μέτρο ταχύτητες. [2,5] (Θέμα ∆)

10. Μια ράβδος ΑΒ περιστρέφεται με σταθερή

γωνιακή ταχύτητα γύρω από έναν σταθε-

ρό οριζόντιο άξονα που περνάει από ένα

σημείο πάνω στη ράβδο. Το άκρο Α έχει

γραμμική ταχύτητα που έχει μέτρο uA

=10m/sec ενώ το άκρο Β έχει γραμμική

ταχύτητα μέτρου uΒ=30m/s.

Αν το μήκος της ράβδου είναι l=40cm να βρεθούν:

α) Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. [100]

β) Η απόσταση που απέχει το άκρο Α της ράβδου από τον άξονα περιστροφής. [0,1]

γ) Η γωνία στροφής της ράβδου σε χρόνο ∆t=2 sec. [200]

δ) Ο αριθμός των περιστροφών της ράβδου στον παραπάνω χρόνο. [100/π] (Θέμα Γ)

11. Η τροχαλία του σχήματος έχει ακτίνα R=20cm και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό

άξονα χωρίς τριβές. Από το αυλάκι της τροχαλίας είναι δεμένο με αβα-

ρές μη εκτατό νήμα ένα σώμα Σ. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα και αυτό

κατεβαίνοντας αποκτά επιτάχυνση α=1m/s2 ενώ η τροχαλία εκτελεί

στροφική κίνηση.

Θεωρούμε ότι το νήμα δεν γλιστράει στο αυλάκι της τροχαλίας.

Ζητείται:

α) Να συγκριθούν η ταχύτητα πτώσης του Σ και η ταχύτητα λόγω στρο-

φικής κίνησης των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας. [=]

β) Η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας 2sec αφού αφήσουμε το σώμα

ελεύθερο. [10]

γ) Όταν το σώμα έχει κατέβει κατά h=8m, πόσες στροφές θα έχει εκτελέσει η τροχαλία. [20/π]

δ) Τη χρονική στιγμή t=4sec κόβουμε το νήμα και το σώμα πλέον πέφτει με επιτάχυνση

g=10m/s2. Να βρεθεί πόσες στροφές έκανε η τροχαλία από τη στιγμή που κόψαμε το νήμα

-134-


-135-

έως τη στιγμή που το σώμα απέχει από την αρχική του θέση ∆y=36m. [20/π]

(Θέμα ∆)

12. Ένας τροχός που αρχικά ηρεμεί αρχίζει να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση γύ-

ρω από σταθερό άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του και διέρχεται από το κέντρο του.

Μετά από t=10sec ο τροχός έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω=40 rad/s.

α) Να βρεθεί η γωνιακή του επιτάχυνση. [4]

β) Να γίνει το διάγραμμα ω-t για τον τροχό έως την t=10 sec.

γ) Να βρεθεί η γωνία που διαγράφει ο τροχός από το 3ο έως το 7ο sec της κίνησης του. [80]

δ) Να βρεθεί ο αριθμός των περιστροφών του τροχού από την t=0 έως την t=10 sec. [100/π]

(Θέμα Γ)

Κύλιση χωρίς ολίσθηση

ΘΕΜΑ Α

13. Ένας δίσκος ακτίνας R εκτελεί σύνθετη κίνηση χωρίς ολίσθηση, σε οριζόντιο δρόμο. Η ταχύτη-

τα του κέντρου μάζας του είναι κάποια στιγμή ucm και η γωνιακή του ταχύτητα την ίδια στιγμή

είναι ω.

Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

a. ∆εν μπορούμε να εφαρμόσουμε την αρχή της επαλληλίας για να υπολογίσουμε την ταχύτη-

τα ενός μορίου του στερεού.

b. Ο δίσκος δεν αλλάζει προσανατολισμό.

c. Ισχύει η σχέση ω=υcm∙R.

d. Το σώμα εκτελεί και μεταφορική και στροφική κίνηση.

14. Ένας τροχός ακτίνας R, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δρόμο. Ο τροχός κάποια

στιγμή περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω και το κέντρο μάζας του κινείται με ταχύτητα

υcm.

Επιλέξτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές.

a. Το ανώτερο σημείο του τροχού έχει ταχύτητα μέτρου 2υcm.

b. Η κεντρομόλος επιτάχυνση των διαφόρων σημείων του τροχού είναι για όλα τα σημεία η ί-

δια.

c. Υπάρχουν δύο σημεία της περιφέρειας του τροχού που έχουν μέτρο ταχύτητας υ=υcm.

d. Η γραμμική ταχύτητα(περιστροφική) των σημείων της περιφέρειας συνδέεται με την γωνια-

κή ταχύτητα του τροχού με την σχέση υγρ=ω∙R.

e. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού συνδέεται με την γωνιακή του ταχύτητα με την

σχέση υcm=ω∙R.

f. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνιακής επιτάχυνσης των σημείων του τρο-

χού είναι κάθετα μεταξύ τους.


ΘΕΜΑ Β

15. ∆ίσκος ακτίνας R=0,2m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και η

γωνιακή του ταχύτητα μεταβάλλεται με τον χρόνο όπως φαί-

νεται στο διάγραμμα.

A) η ταχύτητα του κέντρου μάζας την χρονική στιγμή t=2sec

είναι:

α) υcm=50 m/sec. β) υcm=2 m/sec. γ)υcm=5m/sec.

Β) Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας είναι:

α) αγ=1 rad/sec2 β) αγ=5 rad/sec2 γ) αγ=2rad/sec2

Γ) Το διάστημα που έχει διανύσει ο δίσκος μέχρι την χρονική

στιγμή t=2sec είναι:

α) S=2 m. β) S=4 m. γ) S=50 m.



16. Tο γιο-γιο του σχήματος έχει ακτίνα R και αρχικά είναι ακίνη-

το. Την t=0 αφήνουμε ελεύθερο τον δίσκο οποίος αρχίζει να

κατεβαίνει και ταυτόχρονα περιστρέφεται.

α) Να δειχτεί ότι κατά την κάθοδο του δίσκου ισχύουν οι σχέ-

σεις ucm=ωR και αcm=aγ·R.

β) αν κάποια στιγμή το κέντρο μάζας του δίσκου έχει ταχύτη-

τα ucm το σημείο Γ έχει ταχύτητα.

1) υΓ= ucm. 2) υΓ= 2ucm. 3) υΓ=0.

Ποιο από τα παραπάνω είναι το σωστό; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα Β)

17. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα στερεό που αποτελείται

από δυο ομοαξονικούς δίσκους με ακτίνες R και 2R. τρα-

βάμε με το χέρι μας το νήμα ώστε το στερεό να κυλίεται

με σταθερή γωνιακή ταχύτητα χωρίς να ολισθαίνει. Η α-

πόσταση x που έχει διανύσει το κέντρο μάζας του στερεού

όταν το άκρο του νήματος θα έχει διανύσει απόσταση ℓ

είναι :

α) x=ℓ β) x=2ℓ γ) x=3ℓ/2 δ) x=2ℓ/3.

18. Ο δίσκος του σχήματος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση σε ο-

ριζόντιο δρόμο. Τα σημεία Α και Β ανήκουν στην κατακόρυφη

διάμετρο και απέχουν από το κέντρο του δίσκου αποστάσεις

ΑΚ=ΚΒ=R/2. Ο λόγος των ταχυτήτων υΑ/υΒ είναι :

α) υΑ/υΒ=1 β) υΑ/υΒ=2 γ) υΑ/υΒ=3


-136-


19. Ο δίσκος του σχήματος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση με στα-

θερή ταχύτητα ucm. ∆ύο σημεία, Μ και Ν, απέχουν ίδια απόστα-

ση από το κέντρο Κ και έχουν ταχύτητες που ικανοποιούν τη

σχέση uM=5·υN.

Η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι:

α) υcm=υΜ/2 β) υcm=3∙υΝ γ) υcm=(υΜ+υΝ)/5



20. Τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Κά-

ποια χρονική στιγμή το σημείο ∆ βρίσκεται στην κατακόρυφη

διάμετρο και απέχει από το κέντρο Κ απόσταση x=R/2 (βρί-

σκεται πάνω από το Κ) Εάν η ταχύτητα του ∆ είναι u∆, η ταχύ-

τητα του κέντρου μάζας είναι:

α) υcm=3υ∆/2 β) υcm=2υ∆/3 γ) υcm=υ∆/2

Ποιο από τα παραπάνω είναι το σωστό;


21. Τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο

με ταχύτητα ucm. Το Β βρίσκεται στην περιφέρεια του τρο-

χού και η επιβατική του ακτίνα σχηματίζει με την κατακό-

ρυφη διάμετρο γωνία 60ο (όπως στο σχήμα). Το μέτρο

της ταχύτητας του Β είναι:

α) υΒ=υcm

β) υΒ=υcm∙√2

γ) υΒ=υcm/2

δ) υΒ=3υcm/2


ΘΕΜΑ Γ,∆

22. Οι τροχοί ενός ποδηλάτου έχουν ακτίνα R=40cm.

Α. Το ποδήλατο ανηφορίζει με σταθερή ταχύτητα μέτρου υcm=0,4m/s σε πλαγιά και οι τροχοί

του κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν.

1. Να βρεθεί το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής κάθε τροχού. [1]

2. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του ανώτερου σημείου κάθε τροχού. [0,8]

Β. Το ποδήλατο φτάνει σε κατηφόρα και αρχίζει να επιταχύνεται. Η γωνιακή επιτάχυνση κάθε

τροχού έχει μέτρο αγ=2rad/s2.

3. Να βρεθεί το μέτρο της επιτάχυνσης αcm του ποδηλάτου. [0,8]

Γ. Κατά τη διάρκεια όλης της πορείας του ποδηλάτου (ανηφόρα + κατηφόρα) κάθε τροχός έχει

διαγράψει Ν=2000/π περιστροφές.

4. Να βρεθεί το μήκος της τροχιάς που κάλυψε το ποδήλατο. [1600] (Θέμα Γ)

-137-


23. Από τη βάση ενός κεκλιμένου επιπέδου κλίσης φ=π/6 εκτοξεύεται προς τα πάνω τροχός ακτί-

νας R=0,2m με αρχική ταχύτητα u0=10 m/s. Ο τροχός φτάνει στην κορυφή του κεκλιμένου

επιπέδου που βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος, σταματά στιγμιαία και μετά αρχίζει να κατε-

βαίνει το κεκλιμένο επίπεδο. Θεωρούμε ότι η επιβράδυνση του

τροχού κατά την άνοδο είναι ίση κατά μέτρο με την επιτάχυνση

που απέκτησε ο τροχός κατά την κάθοδό του και ισχύει

|αcm,ανόδου|= αcm,καθόδου=2 m/s2.

Να βρεθούν:

α) Ο χρόνος ανόδου. [5]

β) Το μέγιστο ύψος h από το έδαφος που φτάνει ο τροχός. [12,5]

γ) Τη γωνία που θα διαγράψει μια ακτίνα R του τροχού κατά την κάθοδό του. [125]

δ) Το διάγραμμα του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο (ω-t),για

όλη την κίνηση. (Θέμα Γ)

24. Ένα τρακτέρ έχει τροχούς με διαμέτρους δ1=1m και δ2=0,5m και αρχικά κινείται με ταχύτητα

uο=10m/s. Ο οδηγός πατάει φρένο για κάποιο λόγο και οι τροχοί αρχίζουν να επιβραδύνονται.

Αν γνωρίζουμε ότι επιβράδυνση του τρακτέρ είναι σταθερή και ίση με αcm=2m/s2. Να βρεθούν:

α) Η αρχική γωνιακή ταχύτητα του κάθε τροχού καθώς και η γωνιακή επιβράδυνση που θα

αποκτήσει κάθε τροχός. [ω1=20r/s, ω1=40r/s, αγ,1=4r/s2, αγ,8=8r/s2]

β) Το συνολικό διάστημα μέχρι το τρακτέρ να σταματήσει. [25]

γ) Μετά από μετατόπιση S=16m από τη στιγμή που άρχισε να επιβραδύνεται το τρακτέρ, από

το ψηλότερο σημείο του μεγαλύτερου τροχού ξεκολλάει ένα κομμάτι λάσπης μάζας m.

i) Με τι ταχύτητα ξεκολλάει αυτό το κομμάτι μάζας m; [12]

ii) Η συνολική εφαπτομενική επιτάχυνση που έχει το κομμάτι λάσπης ελάχιστα πριν ξεκολλή-

σει. [4] (Θέμα ∆)

25. Ένα στερεό αποτελείται από 2 κατακόρυφους ομοα-

ξονικούς κυλίνδρους κολλημένους μεταξύ τους που

έχουν ακτίνες R και 2R. Το στερεό μπορεί να περι-

στρέφεται γύρω από τον κοινό οριζόντιο άξονα των 2

κυλίνδρων σαν ένα σώμα. Στην περιφέρεια του κυ-

λίνδρου ακτίνας R έχουμε τυλίξει αβαρές μη εκτατό

νήμα. Τραβάμε το νήμα οριζόντια με επιτάχυνση α=3

m/s2 ώστε το νήμα να ξετυλίγεται και το στερεό να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ξεκινώντας

από την ηρεμία.

Ζητείται:

α) Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του στερεού. [2]

β) Όταν το άκρο του νήματος μετατοπιστεί κατά ∆x=15m, πόσο έχει μετακινηθεί το κέντρο

μάζας του στερεού. [10]

γ) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του στερεού εκείνη τη στιγμή (αν δίνεται ότι η ακτίνα του

μικρού κυλίνδρου είναι R=0,1m). [10√10]

-138-


-139-

δ) Να βρεθεί η ταχύτητα του υψηλότερου σημείου του στερεού εκείνη τη στιγμή. [4√10]

(Θέμα ∆)


Ροπή δύναμης – Ισορροπία Στερεού σώματος

ΘΕΜΑ Α

1. Η ροπή μιας δύναμης:

Επιλέξτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές.

a. εκφράζει την ικανότητα μιας δύναμης να στρέφει ένα σώμα.

b. είναι μηδέν αν ο φορέας της δύναμης περνά από τον άξονα περιστροφής.

c. είναι μηδέν αν η δύναμη είναι παράλληλη με τον άξονα περιστροφής.

d. είναι διάφορη από το μηδέν αν ο φορέας της δύναμης ταυτίζεται με τον άξονα περιστροφής.

2. Η ροπή μιας δύναμης:


a. εξαρτάται από το μέτρο της δύναμης.

b. εξαρτάται από την κίνηση που εκτελεί το σώμα.

c. έχει μονάδα μέτρησης το 1N.m

d. είναι μονόμετρο μέγεθος.

e. έχει σημείο εφαρμογής πάνω στον άξονα περιστροφής.

3. Σε ένα στερεό ασκούνται 3 μη παράλληλες και ομοεπίπεδες δυνάμεις και το στερεό ισορροπεί.

Τότε:

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Επιλογή μίας απάντησης.

a. το στερεό μπορεί να έχει σταθερή γωνιακή ταχύτητα.

b. το στερεό μπορεί να έχει σταθερή γωνιακή επιτάχυνση.

c. ισχύει ΣF=0 και Στ≠0.

d. ισχύει Στ=0 και ΣF≠0.

4. Ο κατακόρυφος τροχός του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται ως

προς σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει από το σημείο Κ. Ο τρο-

χός δέχεται το ζεύγος δυνάμεων του σχήματος.

Η συνολική ροπή του ζεύγους είναι:

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Επιλογή μίας απάντησης.

a. τολ=F∙R b. τολ=F∙2R

c. τολ=4F∙R d. τολ=F∙R/2

5. Αν το βάρος του κυλίνδρου είναι ω και η γωνία του κεκλιμέ-

νου επιπέδου είναι φ τότε ποιές από τις επόμενες προτάσεις

είναι σωστές; Επιλέξτε τουλάχιστον μία απάντηση.

a. Η συνισταμένη ροπή των δυνάμεων που δέχεται ο δίσκος

ως προς το κέντρο του είναι μηδέν.

b. Η δύναμη που δέχεται ο τροχός από το νήμα έχει την

διεύθυνση του νήματος

c. Η στατική τριβή στον δίσκο είναι παράλληλη στο κεκλιμένο και έχει φορά προς τα πάνω.

-140-


d. Η συνισταμένη των δυνάμεων στο δίσκο είναι μηδέν.

e. Ο δίσκος δέχεται 3 δυνάμεις που οι φορείς τους περνούν από το ίδιο σημείο.

ΘΕΜΑ Β

6. Η ελάχιστη τιμή της οριζόντιας δύναμης F που πρέ-

πει να ασκήσουμε στο υψηλότερο σημείο του τρο-

χού(όπως φαίνεται στο σχήμα) ώστε να καταφέρει

να υπερπηδήσει το εμπόδιο που έχει ύψος h=R/2

είναι:

α) F=mg√2/2

β) F=mg/2

γ) F=mg√3/3.

Ποιά απάντηση είναι σωστή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

7. Η ράβδος ΑΒ είναι ομογενής, έχει βάρος w και ισορροπεί όπως

φαίνεται στο σχήμα.

α) Για να ισορροπεί η ράβδος θα πρέπει ο τοίχος και το δάπεδο

να είναι λεία.

β) Για να ισορροπεί η ράβδος θα πρέπει να είναι λείος ο τοίχος

και το δάπεδο να έχει τριβή.

γ) Για να ισορροπεί η ράβδος θα πρέπει να είναι λείο το δάπε-

δο και ο τοίχος να έχει τριβή.

Να χαρακτηριστεί κάθε πρόταση σαν σωστή η λανθασμένη δικαιολογώντας την επιλογή σας.

8. Οι δύο ομόκεντροι δίσκοι του διπλανού σχήματος μπορούν να περιστρέφονται γύρω από στα-

θερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους. Οι δίσκοι είναι

κολλημένοι και μπορούν να περιστρέφονται σαν ένα σώμα.

Ασκούμε στους δίσκους τις δυνάμεις F1 και F2 που φαίνονται

στο σχήμα και τελικά παρατηρούμε ότι το σύστημα περιστρέ-

φεται με ω=σταθερή.

Για τις δυνάμεις F1 και F2 ισχύει:

α) F1=2F2.

β) F2=2F1.

γ) F1=F2.

Ποια απάντηση είναι σωστή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

-141-


9. Η ράβδος ΑΒ ισορροπεί στηριζόμενη στο

υποστήριγμα που διέρχεται από το μέσο

της Κ. Σε απόσταση d από το Κ προς τα δε-

ξιά υπάρχει σώμα μάζας m που είναι τοπο-

θετημένο πάνω στη ράβδο. Σε απόσταση

2d προς τα αριστερά από το Κ υπάρχει ελα-

τήριο το οποίο συγκρατεί την ράβδο σε ορι-

ζόντια θέση.

1)Το ελατήριο είναι:

α)σε επιμήκυνση.

β) στο φυσικό του μήκος.

γ)σε συσπείρωση.


2) Αν Κ=100 N/m, m=10 kg και g=10 m/s2, η παραμόρφωση του ελατηρίου είναι:

α) ∆l=0,5 m. β) ∆l=0. γ) ∆l=1 m.


10. Για να ισορροπεί η διπλή τροχαλία του σχήματος θα πρέπει ο λόγος

m1/m2 να είναι ίσος με:

α) m1/m2=2 β) m1/m2=1/2 γ) m1/m2=13

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ΘΕΜΑ Γ,∆

11. Στα άκρα Α και Β της αβαρούς τραμπάλας του σχήματος βρίσκονται

δύο παιδιά. Το παιδί που βρίσκεται στο άκρο Α έχει βάρος μέτρου

wA=200N, ενώ το άλλο παιδί έχει βάρος μέτρου wB=800N.Το μήκος

της τραμπάλας είναι L=2m.

α) Να βρεθεί σε πόση απόσταση από το άκρο Α πρέπει να τοποθετηθεί στήριγμα (Σ), ώστε η

τραμπάλα να ισορροπεί. [1,6]

β) Να βρεθεί η δύναμη στήριξης που ασκεί το στήριγμα (Σ) στην τραμπάλα. [1000]

γ) Αν το παιδί που βρίσκεται στο άκρο Α σταθεί πιο κοντά στο στήριγμα (Σ), προς ποια μεριά

θα ανατραπεί η τραμπάλα; [δεξιόστρφα]

12. Η ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μήκος L=4m, μάζα

M=30Kg και είναι αρθρωμένη στο άκρο της Ο. Η ράβδος ι-

σορροπεί με τη βοήθεια νήματος, το οποίο είναι δεμένο σε

σημείο Σ της ράβδου και σχηματίζει με τη ράβδο γωνία

φ=300. Η απόσταση (ΟΣ) είναι ίση με 3m. Να βρεθούν:

-142-


α) Το μέτρο N της τάσης του νήματος. [400]

β) Το μέτρο και η κατεύθυνση της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη ράβδο. [100√13 , εφθ=√3/6] γ) Το μέτρο και η κατεύθυνση της δύναμης που θα ασκήσει η άρθρωση στη ράβδο, αν το νήμα

δεθεί σε σημείο Κ της ράβδου, τέτοιο, ώστε η απόσταση (ΟΚ) να είναι ίση με 4/3 m και το νή-

μα να σχηματίζει την ίδια γωνία φ με τη ράβδο. [150√28 , εφθ΄=√3/9]

∆ίνεται: g=10m/s2..

13. Ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους L=2m

και βάρους W=100N ισορροπεί ορι-

ζόντια στηριζόμενη σε κατακόρυφο

τοίχο με άρθρωση και στο σημείο

της Λ σε υποστήριγμα (ΜΛ=L/4) Η

ράβδος ισορροπεί οριζόντια.

α) Να βρεθεί η δύναμη Ν που δέχεται η ράβδος από το υποστήριγμα. [200/3]

β) Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση [100/3]

γ) Μετακινούμε το υποστήριγμα και το τοποθετούμε στο Ζ, το οποίο είναι το μέσο του ΑΜ. Πό-

ση είναι πλέον η δύναμη που ασκεί το υποστήριγμα στη ράβδο [-200]

14. Η ράβδος ΑΒ του διπλανού σχήματος είναι ομογενής, έχει μήκος

l και βάρος w=100Ν και ισορροπεί οριζόντια.

α) Να υπολογισθεί η τάση του νήματος. [100]

β) Στο σημείο Α η ράβδος εφάπτεται στον τοίχο. Αν η τριβή που

δέχεται η ράβδος είναι μέγιστη δυνατή ώστε να ισορροπεί, να

βρεθεί ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και τοίχου. [√3/3]

15. Η ομογενής ράβδος του σχήματος έχει βάρος

w1=10N και μήκος l=4m. Το ένα της άκρο

αρθρώνεται σε κατακόρυφο τοίχο και το άλλο

της άκρο κρέμεται από κατακόρυφο σχοινί με

αποτέλεσμα να ισορροπεί οριζόντια.

α) Να βρεθεί η τάση του νήματος. [5] β) Να βρεθεί η δύναμη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση. [5]

Tη χρονική στιγμή t=0, από το άκρο Α ξεκινάει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στη ρά-

βδο ένας κύλινδρος βάρους w2=10N με επιτάχυνση αcm=1m/s2.

Ζητείται:

γ) Η τάση του νήματος τη χρονική στιγμή t=√3 sec. [35/4]

δ) Η γωνιακή ταχύτητα και η θέση του κυλίνδρου, όταν η τάση του νήματος γίνει Τ=10Ν. (∆ί-

νεται η ακτίνα του κυλίνδρου R=0,1m). [20]

-143-


16. Μια οριζόντια γέφυρα έχει μήκος L= 8m και βά-

ρος w=40.000 Ν. Η γέφυρα στηρίζεται σε δυο

υποστηρίγματα στα άκρα της Α και Β. Ένα όχημα

βάρους w1=10.000Ν κινείται στη γέφυρα με υ=1

m/sec. Θεωρούμε ως αρχική χρονική στιγμή t=0

τη στιγμή που το όχημα φθάνει στο άκρο Α της γέφυρας.

α) Να βρεθεί η δύναμη που δέχεται η γέφυρα από το υποστήριγμα Α τη χρονική στιγμή t=0. [3∙104] β) Ποιά η θέση του αυτοκινήτου ώστε η ράβδος να δέχεται ίσες δυνάμεις από τα υποστηρίγμα-

τα; [4]

γ) Να γίνει το διάγραμμα της δύναμης που δέχεται η ράβδος από το υποστήριγμα Α σε συνάρ-

τηση με τον χρόνο.

17. Στα άκρα Α και Β της ομογενούς ράβδου μή-

κους L=1m έχουμε κρεμάσει 2 σώματα με μά-

ζες m1=3kg και m2=1kg. ∆ίνεται g=10m/s2.

α) Αν η ράβδος είναι αβαρής, πού πρέπει να

τοποθετήσουμε το υποστήριγμα έτσι ώστε το

σύστημα των τριών σωμάτων να ισορροπεί; [3/4] β) Αν η ράβδος έχει βάρος w=6 kg, πού πρέπει να τοποθετήσουμε το υποστήριγμα ώστε το

σύστημα να ισορροπεί; [0,6]

γ) Αφαιρούμε το m1 και από τη ράβδο κρέμεται μόνο το m2. Πού πρέπει να τοποθετήσουμε το

υποστήριγμα για να ισορροπεί η ράβδος; [3/7]

δ) Πόση είναι η δύναμη που ασκεί το υποστήριγμα στην ράβδο; [70]

18. Μια ομογενής σανίδα ΚΛ μήκους L=10m

και βάρους W=1200Ν τοποθετείται πάνω

σε μια επιφάνεια ώστε το τμήμα ∆Λ μή-

κους 4m να προεξέχει της επιφάνειας. ‘Έ-

νας άνθρωπος w1=800N ξεκινάει από το

άκρο Κ και κινείται πάνω στη σανίδα με

κατεύθυνση προς το Λ. Μέχρι ποιά απόσταση x από το σημείο ∆ μπορεί να περπατήσει ώστε να

μην ανατραπεί η σανίδα; [1,5] Πόσο είναι η μέτρο της αντίδρασης Ν εκείνη την στιγμή; [2000]

-144-


19. Ένας μηχανικός βάρους W1=800N βρίσκεται πάνω σε μια οριζόντια ομογενή σανίδα ΑΒ, μή-

κους L=10m και βάρους w=500N. Η σανίδα κρέμεται από δύο κατακόρυφα σχοινιά που είναι

δεμένα στα άκρα Α και Β. Όλο το σύστημα ισορροπεί οριζόντιο όπως φαίνεται στο σχήμα.

α) Να βρεθούν τα μέτρα των τάσεων Τ1 και Τ2 των δύο σχοινιών αν x=8 m. [890,410]

β) Ποιά είναι η μέγιστη και ποιά η ελάχιστη τιμή του μέτρου της τάση Τ1; [250,1050]

γ) Για ποιά τιμή της απόστασης x, το μέτρο της τάσης Τ1 είναι ίσο με το μέτρο της τάσης Τ2; [5]

20. Στο μέσο Κ της αβαρούς ράβδου ΟΒ μήκους l ασκού-

με δύναμη F1=50 N η όποια έχει την κατεύθυνση που

φαίνεται στο σχήμα. Στο σημείο Α υπάρχει άρθρωση.

Να βρεθεί η δύναμη F2 που πρέπει να ασκείται στο

άκρο Β της ράβδου έτσι ώστε η ράβδος να ισορροπεί

οριζόντια. [12,5]

21. Μια ράβδος ομογενής ΑΒ μήκους ℓ και βάρους

w=100N ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα στη-

ριζόμενη στο άκρο της Α σε λείο τοίχο και στο ά-

κρο της Β σε τραχύ έδαφος. ∆ίνεται ότι η ελάχιστη

γωνία για την οποία η ράβδος δεν ολισθαίνει είναι

φ=450 και ότι g=10m/s2.

Ζητείται:

α)Η κάθετη δύναμη που ασκεί το έδαφος στη ρά-

βδο. [100N]

β) Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου-εδάφους καθώς και τη δύναμη που ασκεί ο

λείος τοίχος στη ράβδο. [0,5 και 50Ν]

γ)Το μέτρο της δύναμης (αντίδρασης) του εδάφους στη ράβδο. [50√5 Ν]

-145-


22. Η ράβδος OB είναι ομογενής έχει βάρος

w=10N και έχει μήκος L=2m. Το ένα άκρο της

Ο στηρίζεται σε τοίχο με άρθρωση, ενώ στο

άλλο έχουμε δέσει νήμα το οποίο σχηματίζει

γωνία φ=30° με το οριζόντιο επίπεδο. Πάνω

στη ράβδο βρίσκεται οριζόντιο ελατήριο στα-

θεράς Κ = 100 Ν/m που στο ένα άκρο του έ-

χουμε δέσει σώμα μάζας m=1kg που ισορροπεί ακίνητο. Το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι

ℓ0 = L/2 = 1m. Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύεται το σώμα με ταχύτητα u=5m/s προς τα δε-

ξιά ,οπότε το σώμα ξεκινάει να εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. (Υπόδειξη: Ως θετική

φορά θεωρείστε τη κατεύθυνση προς τα δεξιά.)


α) Η τάση του νήματος πριν την εκτόξευση του σώματος. [20Ν]

β) Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος. [0,5m]

γ) Η τάση του νήματος τη χρονική στιγμή t=0,15·π s. [15N]

δ)Το μέτρο της δύναμης που δέχεται το σώμα από την άρθρωση τη χρονική στιγμή t=0,15·π s. [5√3N]

-146-


-147-

Ροπή Αδράνειας-Θεμελιώδης Νόμος Στροφικής Κίνησης

ΘΕΜΑ Α

1. Ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος ως προς κάποιον άξονα περιστροφής p ονομάζουμε:


a. το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών μαζών, από τις οποίες αποτελείται το σώμα,

επί τις αποστάσεις τους από τον άξονα p.

b. το γινόμενο της μάζας του σώματος επί την απόσταση του κέντρου μάζας από τον άξονα p.

c. το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα, επί

τα τετράγωνα των αποστάσεών τους από τον άξονα p.

d. το γινόμενο της μάζας του σώματος επί το τετράγωνο της απόστασης του κέντρου μάζας

από τον άξονα p.

2. Ένα στερεό σώμα μάζας m έχει ροπή αδράνειας Icm ως προς άξονα z που διέρχεται από το κέ-

ντρο μάζας του. Η ροπή αδράνειας Ip του σώματος αυτού ως προς άξονα p, που είναι παράλ-

ληλος στον z και απέχει από αυτόν απόσταση r υπολογίζεται από τον τύπο: Επιλογή μίας απά-

ντησης.

a. Ιp=Icm+m∙r2

b. Ιp=Icm+m∙r

c. Ιp=I2cm+m∙r

d. Ιp=Icm-m∙r2

3. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού, ως προς κάποιο άξονα περιστροφής, δεν εξαρτάται από:


a. την κατανομή της μάζας του σώματος.

b. το μέγεθος του σώματος.

c. τη θέση του άξονα περιστροφής.

d. τη ροπή των δυνάμεων που δέχεται το σώμα.

4. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. είναι μέγεθος μονόμετρο και πάντα θετικό.

b. έχει σταθερή τιμή ως προς οποιοδήποτε άξονα περιστροφής του σώματος.

c. έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το m∙Kg2.

d. είναι ανεξάρτητη του σχήματος του σώματος.

5. Η ροπή αδράνειας ενός σώματος εκφράζει: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. την ικανότητα του σώματος να περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα.

b. το πόσο γρήγορα περιστρέφεται το στερεό σώμα.

c. την αδράνεια του σώματος στη μεταφορική κίνηση.

d. την αδράνεια του σώματος στη στροφική κίνηση.

6. Μια οριζόντια ράβδος έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα p, που

διέρχεται από το άκρο της. Η ράβδος είναι ακίνητη και κάποια στιγμή δέχεται σταθερή ροπή ως


προς τον άξονα p. Τότε: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. η γωνιακή της μετατόπιση είναι ανάλογη του χρόνου.

b. η γωνιακή της ταχύτητα μεταβάλλεται ανάλογα με το τετράγωνο του χρόνου.

c. η γωνιακή της ταχύτητα μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό.

d. η γωνιακή της επιτάχυνση είναι μηδενική.

7. Επιλέξτε τις σωστές από τις παρακάτω προτάσεις.

a. Η μάζα κάποιου σώματος είναι σταθερό μέγεθος, ενώ η ροπή αδράνειάς του εξαρτάται κάθε

φορά από τη θέση του άξονα περιστροφής.

b. Η ροπή αδράνειας και η μάζα ενός σώματος εκφράζουν την αδράνεια που εμφανίζει το σώ-

μα στη μεταβολή της στροφικής και της μεταφορικής κίνησης αντίστοιχα.

c. Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που δρουν σ' ένα σώμα είναι ίση με μηδέν, τότε και η συ-

νισταμένη των ροπών των δυνάμεων αυτών ως προς οποιοδήποτε σημείο θα είναι ίση με μη-

δέν.

d. Σύμφωνα με το Θεμελιώδη Νόμο της Στροφικής Κίνησης, αν διπλασιαστεί η συνισταμένη

των ροπών που δέχεται ένα στερεό σώμα, θα διπλασιαστεί και η γωνιακή του ταχύτητα.

e. Ο Θεμελιώδης Νόμος της Στροφικής Κίνησης ισχύει και στις σύνθετες κινήσεις, αρκεί ο άξο-

νας γύρω από τον οποίο περιστρέφεται το σώμα να διέρχεται από το κέντρο μάζας του, να εί-

ναι άξονας συμμετρίας του και να μην αλλάζει κατεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης.

ΘΕΜΑ Β

8. Ο κύλινδρος και ο δίσκος του σχήματος, έχουν

την ίδια μάζα και περιστρέφονται με την ίδια

γωνιακή ταχύτητα ω. Το σώμα που θα σταμα-

τήσει πιο δύσκολα είναι:

α) το Α.

β) το Β.

γ) το ίδιο.

Να επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

9. Οριζόντιος ομογενής δίσκος μάζας Μ και ακτίνας R περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο κατακό-

ρυφο άξονα y'y που διέρχεται από το κέντρο του. Πάνω στο δίσκο είναι στερεωμένο ένα υλικό

σημείο μάζας m σε απόσταση x (x<R) από τον άξονα περιστροφής. Αν το υλικό σημείο μετα-

φερθεί και τοποθετηθεί στο άκρο του δίσκου, η ροπή αδράνειας του συστήματος:

α) μειώνεται. β) μένει η ίδια. γ) αυξάνεται.


10. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται μια οριζόντια λεπτή ράβδος,

που αποτελείται από δύο τμήματα, ίσου μήκους, κολλημένα

στο μέσο Μ της ράβδου. Το αριστερό είναι ξύλινο ενώ το δε-

ξιό σιδερένιο. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται γύρω από κα-

τακόρυφο άξονα, που διέρχεται είτε από το άκρο Α είτε από

-148-


το Β. Για να θέσουμε πιο εύκολα σε περιστροφή τη ράβδο πρέπει να την στρέψουμε, γύρω από

τον άξονα, που διέρχεται από το:

α) Α. β) Β.


11. Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυ-

φο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο Κ του δίσκου. Ένα μικρό σώμα, μάζας

m, τοποθετείται πολύ κοντά στο κέντρο Κ και αρχίζει να ολισθαίνει αργά προς την περιφέρεια

του δίσκου. Κατά τη διάρκεια της κίνησης του μικρού σώματος προς την περιφέρεια, η ροπή

αδράνειας του συστήματος δίσκος – μικρό σώμα:

α) μειώνεται.

β) μένει σταθερή.

γ) αυξάνεται.


12. Ένας ομογενής ξύλινος δίσκος (1) και ένας ομογενής μεταλλικός δακτύλιος (2) έχουν την ίδια

μάζα και την ίδια ακτίνα. Αν Ι1 και Ι2 είναι αντίστοιχα η ροπή αδράνειας του δίσκου και του δα-

κτυλίου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό τους, που διέρχεται από το κέντρο μάζας τους, τό-

τε ισχύει η σχέση:

α) Ι1 < Ι2.

β) Ι1 = Ι2.

γ) Ι1 > Ι2.


13. Ένας οριζόντιος δίσκος, στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω0

γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο του και είναι

κάθετος σ' αυτόν. Στο δίσκο ασκείται ροπή δύναμης μέτρου τF, οπότε

η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του μεταβάλλεται με το χρόνο όπως

φαίνεται στο διάγραμμα του σχήματος.

Η σωστή γραφική παράσταση της ροπής τF σε συνάρτηση με το χρόνο

t είναι το:

Να επιλέξτε το σωστό διάγραμμα και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

14. Ένας ομογενής τροχός, με μικρό αριθμό ακτίνων και ένας ομογενής δίσκος, ίδιας ακτίνας R,

μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο, ακλόνητο άξονα που διέρχε-

-149-


-150-

ού αγων,1 και το μέ-

ιτάχυνσης του δίσκου αγων,2 ισχύει η σχέση:

τα δεξιά. Η φορά της στατικής τριβής, που δέχεται,

άπεδο, έχει φορά:

δοι αποκτούν την ίδια γωνιακή επιτά-

δύο δυνάμεων ισχύει ότι:

ή σας.

έτρου. Για τα μέτρα των γωνιακών επιταχύνσεων που θα αποκτήσουν οι δύ

ότι:

ται από το κέντρο μάζας τους και είναι κάθετος στο επίπεδο του καθενός. Η ροπή αδράνειας

του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του I1 είναι μεγαλύτερη της ροπής αδράνειας του

δίσκου ως προς το δικό του άξονα περιστροφής I2. Αρχικά τα δύο σώματα είναι ακίνητα και τη

χρονική στιγμή t=0 αρχίζουμε να ασκούμε ταυτόχρονα στην περιφέρεια κάθε σώματος ίδια ο-

ριζόντια, εφαπτομενική, σταθερή κατά μέτρο δύναμη F. Θεωρήστε αμελητέες οποιεσδήποτε

άλλες επιδράσεις ροπών. Για το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του τροχ

τρο της γωνιακής επ

α. αγων,1 > αγων,2

β. αγων,1 < αγων,2

γ. αγων,1 = αγων,2


15. Ένας ομογενής δίσκος μάζας Μ και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο

με τη βοήθεια οριζόντιας σταθερής δύναμης F η οποία ασκείται στο κέντρο μάζας του. Ο δί-

σκος κινείται επιταχυνόμενος ομαλά προς

από το οριζόντιο δ

α) ίδια με την F.

β) αντίθετη από την F.


16. Μία ομογενής ξύλινη ράβδος (1) και μια ομογενής μεταλλική ράβδος (2) έχουν ίδιες διαστάσεις

και μπορούν να περιστρέφονται γύρω από κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από το μέσον το-

υς και είναι κάθετος σ’ αυτές. ∆ίνεται ότι η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς

άξονα κάθετο σ’ αυτήν που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι: Icm=ML2/12. Αρχίζουμε να

τις περιστρέφουμε ασκώντας οριζόντια δύναμη σταθερού μέτρου F1 και F2 αντίστοιχα στο άκρο

τους και κάθετα στη ράβδο. Παρατηρούμε ότι οι δύο ράβ

χυνση. Για τα μέτρα των

α) F1 = F2.

β) F1 < F2.

γ) F1 > F2.

Να επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογ

17. ∆ύο οριζόντιοι τροχοί Α και Β, με ακτίνες αμελητέας μάζας, έ-

χουν την ίδια μάζα και όλη η μάζα τους είναι ομοιόμορφα κατα-

νεμημένη στην περιφέρειά τους. Ο τροχός Α έχει τη διπλάσια

ακτίνα απ’ τον τροχό Β. Οι δύο τροχοί μπορούν να περιστρέφο-

νται γύρω από κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από το κέντρο

μάζας τους. ∆ίνεται η ροπή αδράνειας ενός τροχού ως προς ά-

ξονα, που διέρχεται από το κέντρο μάζας του:Icm=mR2.

Ασκούμε εφαπτομενικά στην περιφέρεια κάθε τροχού δύναμη F

ίδιου μ ο δίσκοι, ι-

σχύει

α) αΑ < αΒ.


β) αΑ = αΒ.

γ) αΑ > αΒ.

-151-

ας

ο, φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

α λεται με

τή γραφική παράσταση της ροπής σε συνάρτηση με

είναι το:

Να επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σ

18. ∆ύο ομογενείς κύλινδροι ίδιας μάζας M και ίδιας ακτίνας R, αφή-

νονται από την κορυφή ενός κεκλιμένου επιπέδου και κατεβαίνουν

κυλιόμενοι χωρίς ολίσθηση, δεχόμενοι την ίδια επιταχύνουσα ρο-

πή. Ο ένας εκ των δύο κυλίνδρων είναι συμπαγής και ο άλλος

κούφιος. Η γραφική παράσταση του μέτρου της γωνιακής τους τα-

χύτητας σε συνάρτηση με το χρόν

Ο κούφιος κύλινδρος είναι ο:

α) (1). β) (2).


19. Ένας κατακόρυφος ομογενής κύλινδρος, στρέφεται αριστερόστροφα

με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω0 γύρω από σταθερό άξονα, που διέρ-

χεται από τον άξονά του. Στον κύλινδρο ασκείται κατάλληλη ροπή δύ-

ναμης, οπότε η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του μετ βάλ

το χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραμμα του σχήματος.

Η σωσ το χρόνο t

Να επιλέξτε το σωστό διάγραμμα και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

20. Στο σχήμα φαίνονται σε κάτοψη δύο όμοιες ομογενείς ράβδοι (1)

και (2), που βρίσκονται σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Η ράβδος (1)

είναι ελεύθερη ενώ η ράβδος (2) είναι στερεωμένη ακλόνητα στο

αριστερό άκρο της Α. ∆ίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς

ράβδου ως προς άξονα κάθετο σ’ αυτ

ντρο μάζας της: Ιcm=ML2/12.

Ασκούμε στο δεξιό άκρο τους την ίδια οριζόντια δύναμη F κάθετα

σε κάθε ράβδο. Για τα μέτρα των γωνι

στοιχα οι δύο ράβδοι ισχ

α) α1 < α2.

ήν που διέρχεται από το κέ-

ακών επιταχύνσεων α1 και α2, που θ’ αποκτήσουν αντί-

ύει:

β) α1 = α2.


γ) α1 > α2.


ΘΕΜΑ Γ,∆

21. Ένας ομογενής και ισοπαχής δίσκος μάζας M=2Kgκαι α-

κτίνας R=0,1m μπορεί να περιστρέφεται γύρω από στα-

θερό άξονα, ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδό του και

περνά από ένα σημείο Α της περιφέρειάς του. Στο αντιδι-

αμετρικό σημείο Β ασκείται μια δύναμη σταθερού μέτρου

F=3N, η οποία είναι συνεχώς εφαπτόμενη στο δίσκο και η

διεύθυνσή της είναι επάνω στο επίπεδο που ορίζει ο δί-

σκος.

α. Να βρείτε το μέτρο της ροπής που προκαλεί η δύναμη

και να σχεδιάσετε το διάνυσμά της. [0,6]

β. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής. [0,03] γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αγ με την οποία θα στραφεί ο δίσκος

και να σχεδιάσετε το διάνυσμά της. [20]

∆ίνεται ότι η ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο του

και είναι κάθετος στο επίπεδό του, είναι Ιcm=MR2/2.

22. Ένα σύστημα διπλής τροχαλίας αποτελείται από δύο

ομογενείς λεπτούς δίσκους Α και Β με ακτίνες

R1=0,2m και R2=0,1m αντίστοιχα. Το σύστημα

μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο σταθε-

ρό άξονα, που περνά από το κέντρο του και είναι

κάθετος στο επίπεδό του. Ο άξονας αυτός, αποτελεί

μέρος άρθρωσης, με την οποία το σύστημα είναι

στερεωμένο ακλόνητα στην οροφή, όπως φαίνεται

στο σχήμα. Γύρω από τους δίσκους είναι τυλιγμένα

αβαρή νήματα, τα οποία δεν ολισθαίνουν πάνω στους δίσκους. Στις ελεύθερες άκρες των νη-

μάτων των τροχαλιών Α και Β έχουν δεθεί σώματα Σ1, Σ2, με μάζες m1=2Kg και m2=1Kg αντί-

στοιχα. Το σώμα Σ2 βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t=0το σύ-

στημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί.

α. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη διπλή τροχαλία και στα σώματα Σ1, Σ2.

β. Να γράψετε το θεμελιώδη νόμο στροφικής κίνησης για την τροχαλία και τη θεμελιώδη εξί-

σωση της μηχανικής για τη μεταφορική κίνηση των σωμάτων Σ1, Σ2.

γ. Να βρείτε τις σχέσεις που συνδέουν τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας με τις μεταφορι-

κές επιταχύνσεις των σωμάτων Σ1, Σ2.

δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αγ της διπλής τροχαλίας και να δείξετε

την κατεύθυνσή της στο σχήμα. [40]

-152-


Η ροπή αδράνειας της διπλής τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ι=0,01Kgm2

∆ίνεται: g=10m/s2.

23. Ένας ομογενής και συμπαγής κύλινδρος μάζας M=2Kg

και ακτίνας R=0,2m αφήνεται να κυλίσει κατά μήκος

ενός πλάγιου επιπέδου γωνίας κλίσης φ, με ημφ=0,6,

όπως φαίνεται στο σχήμα: Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς

να ολισθαίνει.

α. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύ-

λινδρο και να γράψετε τη Θεμελιώδη Εξίσωση της Μη-

χανικής για τη μεταφορική κίνηση και το Θεμελιώδη Νόμο για τη Στροφική Κίνηση του κυλίν-

δρου.

β. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου καθώς αυτός

κυλίεται. [4] γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης της στατικής τριβής που ασκείται στον κύλινδρο από

το πλάγιο επίπεδο. [4]

δ. Να βρείτε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου όταν το κέντρο μάζας του μετα-

τοπιστεί 8m από το σημείο που αυτός αφέθηκε ελεύθερος. [40]

∆ίνονται: Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι=ΜR2/2 και η επιτάχυνση

της βαρύτητας g=10m/s2.

24. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος μάζας m=2kg και ακτίνας R=0,1m περιστρέφεται αριστερό-

στροφα (δηλαδή κατά την αντίθετη των δεικτών του ρολογιού) χωρίς τριβές με γωνιακή συ-

χνότητα ω0=20 rad/s, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Από τη

χρονική στιγμή t=0 και μετά ο δίσκος δέχεται εφαπτομενικά στην περιφέρειά του δύο σταθε-

ρές κατά μέτρο δυνάμεις F1 αριστερόστροφα και F2 δεξιόστροφα, που τα μέτρα τους ικανοποι-

ούν τη σχέση F1=5F2 και οι οποίες προσδίδουν στο δίσκο γωνιακή επιτάχυνση μέτρου αγων=40

rad/s2. ∆ίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του Icm=mR2/2.


α) τα μέτρα των δύο δυνάμεων. [1 - 5]

β) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας τη χρονική στιγμή t1=2 s. [100]

Τη χρονική στιγμή t1 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη F1, οπότε ο δίσκος σταματά τη χρονική

στιγμή t2.

γ) Να υπολογίσετε τη νέα γωνιακή επιτάχυνση. [-10]

δ) Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση γωνιακής ταχύτητας χρόνου ω–t σε βαθμολογημένους

άξονες, από τη χρονική στιγμή t=0 έως τη χρονική στιγμή t2.

25. Μια ομογενής ράβδος ΑΒ, μάζας Μ=0,6 kg και μήκους L=0,5 m, μπορεί να στρέφεται σε κατα-

κόρυφο επίπεδο γύρω από έναν οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α.

α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειάς της ως προς άξονα κάθετο στη ράβδο, που διέρχεται απ’

το άκρο Α. [0,05]

-153-


Από την οριζόντια θέση αφήνουμε ελεύθερη τη ράβδο, να περιστραφεί γύρω απ’ το άκρο Α.

β) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνσή της αγων,0 τη στιγμή που την αφήνουμε ελεύθερη. [30] γ) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνσή της στη θέση όπου αυτή έχει στραφεί κατά γωνία

φ, τέτοια ώστε συνϕ=0,5. [15]

δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Κ,

που είναι το κέντρο μάζας cm της ράβδου, στη θέση όπου αυτή έχει στραφεί κατά γωνία φ, τέ-

τοια ώστε συνϕ=0,5. [3,75]

∆ίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στην ράβδο που διέρχεται από

το κέντρο μάζας της Icm=ΜL2/12 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2.

26. ∆ύο σώματα Σ1 και Σ2, με μάζες m1=3 Kg και m2=1 Kg αντίστοιχα,

συνδέονται με αβαρές μη εκτατό νήμα, που είναι τυλιγμένο σε ομο-

γενή δίσκο τροχαλίας, ακτίνας R=0,25 m και μάζας Μ=2 Kg. Τα σώ-

ματα συγκρατούνται αρχικά στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική

στιγμή t=0, αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο, οπότε αρχίζει περι-

στρέφεται χωρίς το νήμα να ολισθαίνει στην τροχαλία.

α) Να βρείτε αν το σύστημα θα περιστραφεί δεξιόστροφα ή αριστερό-

στροφα. [Αριστερόστροφα]

β) Να υπολογίσετε τα μέτρα της επιτάχυνσης των σωμάτων. [4]

γ) Να υπολογίσετε τα μέτρα των τάσεων, που ασκεί το νήμα στα δύο

σώματα. [18-14]

δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης στήριξης της τροχαλίας από τον άξονα. [52]

ε) Να υπολογίσετε το μήκος του νήματος, που ξετυλίγεται απ’ την τροχαλία, σε χρόνο t=2 s. [8]

∆ίνονται g=10m/s2 και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της:

Icm=MR2/2.

27. Σφαίρα ακτίνας R και μάζας m εκτοξεύεται προς τα πάνω από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου,

γωνίας κλίσης φ=300, με αρχική ταχύτητα υ0=10 m/s και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να

υπολογίσετε:

α) Το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της σφαίρας. [25/7]

β) Το μέτρο της στατικής τριβής, αν η μάζα της σφαίρας είναι m= 1,4 kg. [2]

γ) τη χρονική διάρκεια και τη μετατόπιση της σφαίρας μέχρι να σταματήσει στιγμιαία. [2,8-

14]

δ) για ποιες τιμές του συντελεστή στατικής τριβής, η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. [≥2√3/21] ∆ίνονται για τη σφαίρα: Icm=2mR2/5 η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2 και

συν30°=√3/2

-154-


28. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας R=0,1 m μπορεί να

περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα που

διέρχεται από το κέντρο του. Ο δίσκος είναι αρχικά ακίνητος και

τη χρονική στιγμή t=0 δέχεται εφαπτομενικά στην περιφέρειά

του αριστερόστροφη δύναμη μέτρου F1=10N και η οποία του

προσδίδει γωνιακή επιτάχυνση μέτρου αγων=20rad/s2.

Α. Να υπολογίσετε:

α) Τη ροπή αδράνειας Icm του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του. [0,05]

β) Τη μάζα Μ του δίσκου. [10]

γ) Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου τη χρονική στιγμή t1=5 s. [100]

Β. Τη χρονική στιγμή t1 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη F1.

δ) Να υπολογίσετε τον αριθμό των περιστροφών που θα κάνει ο δίσκος από τη χρονική στιγμή

t1 έως τη χρονική στιγμή t2=15 s. [500/π]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ιcm=MR2/2

(Θέμα Γ)

29. Μια ομογενής λεπτή δοκός ΚΑ, μάζας Μ=6 kg και μήκους L=2 m, μπορεί να στρέφεται σε ορι-

ζόντιο επίπεδο γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Κ. Στο άκρο

Α της δοκού ασκείται οριζόντια δύναμη σταθερού F=10 N κάθετα στη δοκό και η δοκός αρχίζει

να περιστρέφεται αριστερόστροφα. Κατά την περιστροφή της δοκού υπάρχουν τριβές, που δη-

μιουργούν ροπή μέτρου τΤ=4 Nm. Να υπολογίσετε:

α) Το μέτρο της συνισταμένης των ροπών, ως προς τον άξονα περιστροφής, κατά τη διάρκεια

της περιστροφής της δοκού. [16]

β) Τη ροπή αδράνειας της δοκού ως προς τον άξονα περιστροφής της. [8]

γ) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνση αγων. [2]

δ) Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του κέντρου μάζας της, όταν η δοκός έχει διαγράψει

Ν=8/π περιστροφές. [8]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς άξονα κάθετο στη δοκό, που διέρχεται από το

κέντρο μάζας της Ιcm=ML2/12. (Θέμα Γ)

30. Ομογενής συμπαγής κύλινδρος ακτίνας R=0,05 m, μπορεί να στρέφεται

(τριβές αμελητέες) γύρω από κατακόρυφο άξονα, που συμπίπτει με τον ά-

ξονα συμμετρίας του. Στην περιφέρειά του έχουμε τυλίξει αβαρές μη εκτατό

νήμα. Τη χρονική στιγμή t=0, αρχίζουμε να σύρουμε το άκρο του νήματος,

ασκώντας εφαπτομενική δύναμη μέτρου F=1 N. Τη χρονική στιγμή t=4 s, ο

κύλινδρος περιστρέφεται αριστερόστροφα και έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύ-

τητα μέτρου ω=20 rad/s. Να υπολογίσετε:

α) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του κυλίνδρου. [5]

β) Τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου, χωρίς να θεωρήσετε γνωστό τον τύπο της ροπής αδρά-

νειας κυλίνδρου. [0,01]

γ) Το μέτρο της γωνιακής μετατόπισης του κυλίνδρου τη χρονική στιγμή t=4 s. [40rad]

-155-


δ) Το μήκος του νήματος, που ξετυλίχθηκε μέχρι τη χρονική στιγμή t=4 s, θεωρώντας ότι αυ-

τό δεν ολισθαίνει πάνω στην επιφάνεια του κυλίνδρου. [2] (Θέμα Γ)

31. Ο τροχός ενός αναποδογυρισμένου ποδηλάτου, αποτελείται από ομογενή στεφάνη αμελητέου

πάχους, με μάζα M=3 kg και ακτίνα R=0,5 m, και τις ακτίνες του, μάζας m=0,02 kg η καθεμία

και μήκους L=R=0,5 m. Ο τροχός στρέφεται αρχικά γύρω από τον άξονά του, στο κέντρο του,

έχοντας γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω0=100 rad/s. Τη χρονική στιγμή t=0, “πατάμε” το φρένο,

οπότε ο τροχός ακινητοποιείται με σταθερό ρυθμό σε t1= 2 s. Να υπολογίσετε:

α) τη ροπή αδράνειας της στεφάνης ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό της, που διέρχεται από

το κέντρο μάζας της. [0,75]

β) τον αριθμό των ακτίνων του τροχού. [30]

γ) τον αριθμό των στροφών, που έκανε ο τροχός μέχρι να ακινητοποιηθεί. [50/π]

δ) το μέτρο της δύναμης της τριβής, που εφαρμόστηκε από το φρένο στη στεφάνη. [80]

∆ίνονται η ροπή αδράνειας της κάθε ακτίνας ως προς κάθετο σ’ αυτήν άξονα διερχόμενο απ’ το

άκρο της: Iα=ML2/3=, η ροπή αδράνειάς ολόκληρου του τροχού ως προς άξονα κάθετο στο ε-

πίπεδό του, που διέρχεται από τον άξονά του είναι Ιτρ=0,8 Kg∙m2. (Θέμα Γ)

32. Μια ομογενής ράβδος, μάζας M= 3kg και μήκους L=2 m, ισορροπεί

σε οριζόντια θέση, στηριζόμενη με το αριστερό άκρο της Α σε άρ-

θρωση και δεμένη στο σημείο ∆ στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήμα-

τος, του οποίοι το πάνω άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Αν η τά-

ση του νήματος είναι Τ=20 Ν, να υπολογίσετε:

α) την απόσταση του σημείου ∆, από το άκρο Α. [1,5]

β) τη δύναμη στήριξης από την άρθρωση. [10]

Τη χρονική στιγμή t=0 κόβουμε το νήμα, οπότε η ράβδος πέφτει στρεφόμενη γύρω από την

άρθρωση. Αν η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο σ’ αυτήν άξονα διερχόμενο απ’ το

κέντρο μάζας της είναι Ιcm=ML2/12, να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της

ράβδου τη στιγμή:

γ) της εκκίνησης. [7,5]

δ) την οποία η ράβδος σχηματίζει με την αρχική θέση γωνία φ, τέτοια ώστε συνφ=0,8. [6]

∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2. (Θέμα Γ)

33. Ομογενής λεπτή ράβδος μήκους L=1,5 m και μάζας Μ=4 kg μπορεί να στραφεί γύρω από άξο-

να, από το άκρο της Ο. Ένα σωματίδιο, μάζας m=2 kg, είναι στερεωμένο στο άλλο άκρο της Α.

Αρχικά η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση και τη χρονική στιγμή t=0 αφήνεται ελεύθερη,

οπότε περιστρέφεται ως προς τον άξονα στο Ο σε κατακόρυφο επίπεδο.


α) την ολική ροπή αδράνειας του συστήματος. [7,5]

β) το μέτρο της συνισταμένης των ροπών, ως προς τον άξονα στο Ο τη χρονική στιγμή t1, που

έχει διαγράψει γωνία φ, τέτοια ώστε συνφ=0,5. [30]

γ) το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t1. [4]

Β. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της γωνιακής επιτάχυνσης σε συνάρτηση του συνημι-

τόνου της γωνίας φ, που σχηματίζει η ράβδος με τον οριζόντιο ημιάξονα Οχ, κατά την περι-

-156-


στροφή της από την αρχική οριζόντια θέση έως την κατακόρυφη θέση. [αγ=8∙συνφ]

∆ίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στην ράβδο, που διέρχεται από

το κέντρο μάζας της Ιcm=ML2/12= και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2. (Θέμα Γ)

34. Μια ομογενής τροχαλία – δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R=0,25 m, μπορεί

να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της

χωρίς τριβές. Στο αυλάκι της τροχαλίας έχει τυλιχθεί αβαρές μη εκτατό

νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχει δεθεί σώμα Σ μάζας m=1 kg.

Αφήνουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί, οπότε διαπιστώνουμε ότι μετά

από χρόνο t1=0,5 s έχει ξετυλιχθεί σχοινί μήκους L=0,25 m. Να υπολογί-

σετε:

α) το μέτρο της επιτάχυνσης α του σώματος. [2]

β) το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αγ της τροχαλίας. [8]

γ) τη ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο μάζας της και τη μάζα Μ της τροχαλίας. [0,25 - 8]

δ) το μέτρο της δύναμης F, που δέχεται η τροχαλία από τον άξονα περιστροφής της. [88]

∆ίνονται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας, ως προς τον άξονα περιστροφής της: Ιcm=MR2/2 και

η επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10 m/s2. (Θέμα Γ)

-157-

d/s. [0,3]

35. Στο κυρτό μέρος της περιφέρειας ενός ομογενούς κυλίνδρου μικρού πάχους, έχει τυλιχτεί

πολλές φορές ένα αβαρές, μη εκτατό νήμα. Σταθεροποιούμε το ελεύθερο άκρο του νήματος

και αφήνουμε τον κύλινδρο να πέσει κατακόρυφα. Το νήμα ξετυλίγεται και ο κύλινδρος εκτελεί

σύνθετη κίνηση: μετατοπίζεται κατακόρυφα προς τα κάτω και περιστρέφεται γύρω από ένα

νοητό οριζόντιο άξονα x'x, που περνά από το κέντρο του. Σε όλη τη

διάρκεια της κίνησης του κυλίνδρου το νήμα παραμένει κατακόρυφο.

α) Να αποδείξετε ότι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου

αcm και η γωνιακή επιτάχυνσή του αγ συνδέονται με τη σχέση:

αcm=R∙αγ.


β) τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου καθώς και την επιτάχυνση

του κέντρου μάζας του. [20/3 m/s2 , 250 rad/s2]

γ) την τάση Τ του νήματος. [0,3]

δ) το μήκος του νήματος, που έχει ξετυλιχτεί όταν ο κύλινδρος έχει

αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω1=75ra

∆ίνονται: η μάζα του κυλίνδρου M=0,09 kg, η ακτίνα του R=8∙10-2/3 m , η ροπή αδράνειάς

του ως προς το κέντρο μάζας του Ιcm=MR2/2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2.

(Θέμα ∆)

36. Μια μπάλα, μάζας m και ακτίνας R , αφήνεται από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας

κλίσης φ, οπότε κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου.

α) Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις, που ασκούνται στη μπάλα και να αιτιολογήσετε το σχεδιασμό

της στατικής τριβής.


β) το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της μπάλας. [3]


γ) το μέτρο της στατικής τριβής, αν η μάζα της μπάλας είναι m=0,5 kg. [1]

δ) τις επιτρεπτές τιμές του συντελεστή στατικής τριβής μσ για τις οποίες η μπάλα μπορεί να

κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. [>0,23]

∆ίνονται ότι ημφ=0,5 , συνφ=0,85 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2, η μπάλα θεω-

ρείται κοίλη σφαίρα με ροπή αδράνειας ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο μάζας της:

Ιcm=2MR2/3 (Θέμα ∆)

37. Η διπλή τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δύο ενωμένους ομό-

κεντρους δίσκους, που μπορούν να περιστρέφονται ενιαία γύρω από

οριζόντιο άξονα περιστροφής, που διέρχεται από το κέντρο τους. Η

ακτίνα του εξωτερικού δίσκου είναι R1=0,2 m και του εσωτερικού

R2=0,1 m. Η ροπή αδράνειας της διπλής τροχαλίας ως προς τον άξο-

να περιστροφής της είναι Ι=0,6 kgm2. Στα αυλάκια, που φέρουν οι

δύο δίσκοι είναι τυλιγμένα δύο λεπτά αβαρή μεγάλου μήκους και μη

εκτατά νήματα, στα κάτω άκρα των οποίων είναι δεμένα δύο σώματα

Σ1 και Σ2, με μάζες m1=40 Kg και m2=30 Kg αντίστοιχα. Τα σώματα

συγκρατούνται αρχικά στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και τη χρονική στιγμή t=0, αφήνουμε το σύ-

στημα ελεύθερο, οπότε αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τα νήματα να ολισθαίνουν στα αυλάκια

των δίσκων.

α) Να βρείτε αν το σύστημα θα περιστραφεί δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα.[αριστερόστροφα]

β) Να υπολογίσετε:

1) το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας. [20]

2) το μέτρο της δύναμης στήριξης F της τροχαλίας από τον άξονα, αν η μάζα της τροχαλίας εί-

ναι Μ=45 kg. [1050]

3) την κατακόρυφη απόσταση των σωμάτων, σε χρόνο t=2 s. [12]

∆ίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s2. (Θέμα ∆)

38. Ομογενής κύλινδρος μάζας m=2 kg και ακτίνας R=0,2 m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και χω-

ρίς παραμόρφωση σε οριζόντιο δάπεδο (Α) με ταχύτητα μέτρου υ0=2 m/s. Τη χρονική στιγμή

t0=0 ο κύλινδρος δέχεται οριζόντια δύναμη, ομόρροπη της ταχύτητάς του κέντρου μάζας του,

μέτρου F=6 Ν, που ασκείται στο κέντρο μάζας του. Ο κύλινδρος συνεχίζει να κυλίεται χωρίς να

ολισθαίνει και μετά την άσκηση της δύναμης F.

α) Να σχεδιάσετε τη στατική τριβή που δέχεται ο κύλινδρος από το δάπεδο, σε κατάλληλο

σχήμα και να δικαιολογήσετε τη φορά της.

β) Να υπολογίσετε το μέτρο:

1) της στατικής τριβής. [2]

2) της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας καθώς και της γωνιακής επιτάχυνσης του κυλίνδρου. [2 - 10]

3) της γωνιακής ταχύτητας του κυλίνδρου τη χρονική στιγμή t1=4 s. [50]

γ) Στη συνέχεια τη χρονική στιγμή t1=4 s ο κύλινδρος εισέρχεται σε λείο δάπεδο (Β), το οποίο

είναι συνέχεια του προηγούμενου. Τη χρονική στιγμή t2=10 s, να υπολογίσετε την ταχύτητα

του σημείου του κυλίνδρου, που είναι εκείνη τη στιγμή σ’ επαφή με το λείο δάπεδο. [18]

-158-


∆ίνεται η ροπή αδράνειας ομογενούς κυλίνδρου ως προς άξονά του: Ιcm=MR2/2 (Θέμα ∆)

39. Ένας ομογενής δίσκος, μάζας m=2 kg και ακτίνας R=0,3 m, που βρί-

σκεται σε οριζόντιο δάπεδο, φέρει στην περιφέρειά του αυλάκι, στο ο-

ποίο έχουμε τυλίξει αβαρές και μη εκτατό νήμα. Τη χρονική στιγμή

t0=0, ασκούμε στον δίσκο μέσω του νήματος σταθερή κατακόρυφη δύ-

ναμη μέτρου F=9 Ν. Καθώς ξετυλίγεται το νήμα χωρίς να ολισθαίνει

στο αυλάκι του δίσκου, ο δίσκος κυλίεται επίσης χωρίς να ολισθαίνει και

χωρίς παραμόρφωση, πάνω σε οριζόντιο δάπεδο.

α) Να σχεδιάσετε τη στατική τριβή που δέχεται ο δίσκος από το δάπεδο, σε κατάλληλο σχήμα

και να δικαιολογήσετε τη φορά της.

β) Να υπολογίσετε:

1) το μέτρο της στατικής τριβής, που δέχεται ο δίσκος. [6]

2) το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας καθώς και το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης

του κυλίνδρου. [3 - 10]

3) το μήκος του νήματος, που έχει ξετυλιχτεί από τη στιγμή t=0, μέχρι τη στιγμή t1, κατά την

οποία το ανώτερο σημείο του δίσκου έχει αποκτήσει ταχύτητα υΑ=12 m/s. [6]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονά του: Ιcm=MR2/2. (Θέμα ∆)

40. Γύρω από ένα ομογενή δίσκο, ακτίνας R, μάζας m=2 kg και ροπής

αδράνειας Ιcm=MR2/2 είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα, μέσω του οποί-

ου, τη χρονική στιγμή t =0, ασκούμε στο ανώτερο σημείο Γ οριζό-

ντια δύναμη σταθερoύ μέτρου F=6 Ν. Ο τροχός κυλίεται χωρίς πα-

ραμόρφωση σε οριζόντιο δάπεδο, που έχει τέτοια τιμή συντελεστή

στατικής τριβής μσ, ώστε οριακά να αποφεύγεται η ολίσθηση.


α) το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας Ο. [4]

β) το μέτρο της οριζόντιας συνιστώσας της επιτάχυνσης του ανώτερου σημείου Γ. [8]

γ) τη δύναμη της στατικής τριβής, που δέχεται ο δίσκος από το δάπεδο. [2]

δ) το συντελεστή στατικής τριβής. [0,1] (Θέμα ∆)

41. Ένας κύλινδρος ακτίνας R έχει μάζα Μ=4 kg. Στο εσωτερικό του υπάρ-

χει μία κυλινδρική εγκοπή, ακτίνας r=R/3 πολύ μικρού πάχους, στην

οποία έχουμε τυλίξει αβαρές μη εκτατό νήμα. Τη χρονική στιγμή t=0,

στο άκρο του νήματος και πάνω από το κέντρο μάζας, ασκείται σταθερή

οριζόντια δύναμη F=9 Ν, όπως φαίνεται στο σχήμα. Έτσι ο κύλινδρος

κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Θεωρήστε τον

κύλινδρο ομογενή με ροπή αδράνειας ως προς τον άξονά του Ιcm=MR2/2. Να υπολογίσετε: α)

το μέτρο της επιτάχυνσης αcm του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. [2]

β) το μέτρο της στατικής τριβής, που δέχεται το σώμα από το οριζόντιο επίπεδο και να την

σχεδιάσετε σε κατάλληλο σχήμα. [-1]

-159-


-160-

γ) το μέτρο της οριζόντιας επιτάχυνσης του σημείου επαφής Γ νήματος - κυλίνδρου. [8/3]

δ) το μήκος του νήματος, που ξετυλίχτηκε, έως τη χρονική στιγμή t1=3 s. [3] (Θέμα ∆)


-161-

Στροφορμή

Στροφορμή - Ρυθμός Μεταβολής- Γενική ∆ιατύπωση ΘΝΣΚ

ΘΕΜΑ Α

1. Σε ένα σώμα που ασκείται ζεύγος δυνάμεων:


a. η ορμή του θα μεταβληθεί.

b. η στροφορμή του θα μεταβληθεί.

c. η ταχύτητά του κέντρου μάζας του θα μεταβληθεί.

d. η γωνιακή του ταχύτητα θα μεταβληθεί.

2. Όταν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν σε ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται

γύρω από τον άξονά του είναι μηδέν, τότε: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής είναι μηδέν.

b. η στροφορμή του στερεού μειώνεται.

c. το σώμα παύει να περιστρέφεται.

d. το σπιν (ιδιοστροφορμή) του σώματος μηδενίζεται.

3. Η στροφορμή ενός σώματος εξαρτάται από: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. τη μάζα του.

b. την κατανομή της μάζας του.

c. τη γωνιακή ταχύτητά του.

d. τη θέση του άξονα περιστροφής του.

e. όλα τα παραπάνω.

4. Συμπληρώστε τα κενά:

Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ………………… που δρουν σε ένα στερεό σώμα που μπορεί περι-

στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής είναι μηδέν, τότε η αλγεβρική τιμή του ρυθ-

μού μεταβολής της στροφορμής του σώματος είναι ………………….. Στην περίπτωση αυτή η

……………….. του σώματος παραμένει σταθερή.


ΘΕΜΑ Β

5. Μια συμπαγής και μια κοίλη σφαίρα της ίδιας

ακτίνας και της ίδιας μάζας μπορούν να στρέ-

φονται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα

που διέρχεται από το κέντρο τους. Τη στιγμή

t=0 που τα δύο σώματα είναι ακίνητα ασκού-

νται σε αυτά δυνάμεις του ίδιου μέτρου. Οι

δυνάμεις είναι οριζόντιες και εφαπτόμενες στη

μέγιστη περιφέρεια της σφαίρας. Κάποια χρο-

νική στιγμή t το μέτρο της στροφορμής της συμπαγούς σφαίρας είναι LΣ και της κοίλης σφαί-

ρας είναι LΚ. Τις δύο στροφορμές τις συνδέει η σχέση:

α) LΣ = LΚ. β) LΣ > LΚ. γ) LΣ < LΚ.


6. Σε τροχό που αρχικά είναι ακίνητος και μπορεί να περιστραφεί γύρω από σταθερό άξονα, α-

σκείται ροπή η αλγεβρική τιμή της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο όπως στο σχήμα.

α) Για το χρονικό διάστημα0≤t≤2s ο τροχός περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.

β) Για το χρονικό διάστημα 2st4s≤≤ ο τροχός είναι σταματημένος.

γ) Για το χρονικό διάστημα 4s≤t≤6s ο τροχός περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα που μειώ-

νεται συνεχώς.

1)Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) και να αιτιολογήσετε τους χαρα-

κτηρισμούς.

2)Να σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες πως μεταβάλλεται η στροφορμή του τροχού σε συ-

νάρτηση με το χρόνο. (Θέμα Β)

7. Μία ομογενής σφαίρα κατέρχεται μια επικλινή στέγη (κεκλιμένο επίπεδο). Η σφαίρα κυλίεται

χωρίς να ολισθαίνει. Η σφαίρα εγκαταλείπει τη στέγη και πέφτει στο έδαφος. Αν αγνοήσουμε

την αντίσταση του αέρα, για το τμήμα της διαδρομής από τη στιγμή που η σφαίρα άφησε τη

στέγη και μέχρι να φτάσει στο έδαφος, ισχύει:

α) η σφαίρα δέχεται ροπή λόγω βάρους.

-162-


β) η στροφορμή της σφαίρας παραμένει σταθερή.

γ) η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας παραμένει σταθερή

δ) ο ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι ίσος με μηδέν.

Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) και να αιτιολογήσετε τους χαρα-

κτηρισμούς. (Θέμα Β)

8. Ένα σωμάτιο μάζας m περιφέρεται γύρω από σταθερό άξονα. Αν η απόσταση του σωματίου

από τον άξονα διπλασιαστεί, χωρίς να μεταβληθεί η γωνιακή του ταχύτητα, η στροφορμή του

ως προς τον άξονα περιστροφής:

α) διπλασιάζεται.

β) τετραπλασιάζεται.

γ) παραμένει σταθερή.

δ) υποδιπλασιάζεται.

Ποιά είναι η σωστή πρόταση; Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα Β)

ΘΕΜΑ Γ,∆

-163-

9. Ο ομογενής και ισοπαχής δίσκος του σχήμα-

τος έχει ακτίνα R=1m, μάζα M=2Kg και μπο-

ρεί να περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο

σταθερό άξονα, που περνά από το κέντρο

του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η ρο-

πή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που

περνά από το κέντρο του και είναι κάθετος

στο επίπεδό του, δίνεται από τον τύπο: Icm=MR2/2. Αρχικά, ο δίσκος περιστρέφεται όπως φαί-

νεται στο πρώτο σχήμα, με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω1=2rad/s. Με την άσκηση κατάλληλης

σταθερής ροπής τ, επιτυγχάνεται η αναστροφή της φοράς περιστροφής του δίσκου, σε χρονικό

διάστημα ∆t=10s. Η νέα γωνιακή ταχύτητα περιστροφής έχει ίσο μέτρο με την αρχική.

α. να σχεδιάσετε τα διανύσματα και L της αρχικής και τελικής στροφορμής του δίσκου στα

παρακάτω σχήματα και να υπολογίσετε τα μέτρα τους.

β. να σχεδιάσετε στο δεύτερο σχήμα το διάνυσμα ∆Lτης μεταβολής της στροφορμής και να

υπολογίσετε το μέτρο της. [+4]

γ. να σχεδιάσετε στο πρώτο σχήμα το διάνυσμα της σταθερής ροπής που ασκήθηκε στο δί-

σκο και να υπολογίσετε το μέτρο της. [0,4] (Θέμα Γ)

10. Ένας ακίνητος οριζόντιος τροχός μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό κατα-

κόρυφο άξονα. Ο τροχός έχει ροπή αδράνειας Ι=5kg∙m2 και τη χρονική στιγμή t=0 δέχεται τη

δράση σταθερής ροπής 100Nm για χρονικό διάστημα ∆t=10s, η οποία μετά καταργείται. Να

βρείτε:

α) τη γωνιακή επιτάχυνση που απέκτησε ο τροχός [20]

β) τη στροφορμή του τροχού τη στιγμή t=10s. [1000]


γ) το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής για το χρονικό διάστημα 0<t<15s [100 ως t=10 και 0 μετά]

δ) τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη χρονική στιγμή t=15s. [200]

(Θέμα Γ)

11. Μια οριζόντια ομογενής ράβδος AB, μήκους

ℓ=1m, μάζας M=5kg που έχει στα άκρα της

στερεωμένες δύο σημειακές μάζες

m1=m2=m=1kg μπορεί να στρέφεται γύρω

από κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέ-

σον της. Το σύστημα ενώ στρέφεται αντίθετα

από τους δείκτες του ρολογιού με γωνιακή ταχύτητα ω=16rad/s δέχεται τη χρονική στιγμή

t0=0 την επίδραση σταθερής εξωτερικής ροπής που το σταματά μετά από 2s .

Να βρείτε:

α) τη ροπή αδράνειας του συστήματος. [11/12]

β) την αρχική στροφορμή του συστήματος τη χρονική στιγμή t0=0. [44/3]

γ) το μέτρο της εξωτερικής ροπής που ασκήθηκε στο σύστημα και να σχεδιάσετε το διάνυσμά

της. [22/3]

δ) τον αριθμό περιστροφών του συστήματος μέχρι να μηδενιστεί η στροφορμή του. [8/π]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτή και διέρχεται

από το κέντρο μάζας της Icm=Mℓ2/12. (Θέμα Γ)

12. ∆ύο σημειακές σφαίρες που η καθεμιά

έχει μάζα m=0,1kg συνδέονται μεταξύ

τους με οριζόντια αβαρή ράβδο. Το σύ-

στημα περιστρέφεται γύρω από κατακό-

ρυφο άξονα, ο οποίος τέμνει τη ράβδο

σε σημείο που απέχει από τη μία μάζα

ℓ=1m και από την άλλη ℓ΄=2ℓ=2m. Το

σύστημα στρέφεται με γωνιακή ταχύτη-

τα ω=10rad/s αντίθετα από τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού.

α) Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του συστήματος. [0,5]

β) Να υπολογιστεί η στροφορμή του συστήματος. [5]

γ) Να σχεδιαστεί το διάνυσμα της στροφορμής του συστήματος. (Θέμα Γ)

13. Ένας τροχός μάζας m=2kg και ακτίνας R=0,4m

στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο με γωνιακή ταχύ-

τητα μέτρου ω=20 rad/s γύρω από κατακόρυφο

άξονα ΟΑ που περνάει από το κέντρο του τροχού

(βλέπε σχήμα). Ασκώντας στο σημείο Α κατάλληλη

δύναμη στρέφουμε τον άξονα περιστροφής αρχικά

-164-


κατά 90ο και στη συνέχεια κατά 180ο χωρίς να μεταβάλλουμε το μέτρο της γωνιακής ταχύτη-

τας του τροχού

α) Να βρείτε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του τροχού για τη γωνία στροφής των

90ο. [6,42]

β) Να βρείτε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του τροχού για τη γωνία στροφής των

180ο. [12,8]

γ) Να σχεδιάσετε και στις δύο περιπτώσεις το διάνυσμα της μέσης ροπής που ασκήθηκε στον

τροχό.

δ) Να βρείτε το μέτρο της μέσης ροπής που προκάλεσε την στροφή του άξονα περιστροφής

κατά 180ο, αν η χρονική διάρκεια της στροφής είναι ∆t=2s. [6,4]

Θεωρούμε ότι όλη η μάζα του τροχού είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του. (Θέμα Γ)

14. Ένα γιο-γιο αποτελείται από κύλινδρο μάζας m=0,1kg και ακτίνας R=1/15m, γύρω από τον

οποίο είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα. Κρατάμε ακίνητο το ελεύθερο άκρο του νήματος και αφή-

νουμε τον κύλινδρο να πέσει. Αυτός εκτελεί σύνθετη κίνηση κινούμενος κατακόρυφα χωρίς να

ολισθαίνει.

Να βρείτε:

α) τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου καθώς κατέρχεται. [100]

β) το ρυθμό αύξησης της στροφορμής του κυλίνδρου καθώς κατέρχεται [1/45]

γ) την στροφορμή του κυλίνδρου όταν έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους ℓ=30cm. [1/150]

δ) την ταχύτητα του χαμηλότερου σημείου του δίσκου, τη στιγμή που έχει ξετυλιχτεί νήμα μή-

κους ℓ=30cm. [2√2]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας ομογενούς κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο

του, Icm=MR2/2 και g=10m/s2. (Θέμα ∆)

15. Συμπαγής και ομογενής τροχός μάζας m=10kg και ακτίνας R=0,2m κυλίεται ανερχόμενος κα-

τά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30ο. Την χρονική στιγμή t=0 το κέντρο μάζας

του τροχού έχει ταχύτητα μέτρου u=10m/s. Να υπολογίσετε:

α) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας και το μέτρο της στροφορμής του τροχού τη χρονική

στιγμή t=0. [50 - 10]

β) την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού καθώς ανέρχεται. [-10/3]

γ) το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του τροχού καθώς ανέρχεται. [-10/3]

δ) την ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού, όταν αυτός ανερχόμενος

έχει διαγράψει N=54/4π περιστροφές. [8]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς άξονα που είναι κάθετος σε

αυτόν και διέρχεται από το κέντρο μάζας του, Icm=MR2/2 και g=10m/s2.

(Θέμα ∆)

16. Μια κατακόρυφη τροχαλία έχει τυλιγμένο γύρω της ένα λεπτό αβαρές

σχοινί, στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο ένα σώμα (Σ) μάζας

mΣ=1kg. Η τροχαλία έχει ακτίνα R=0,1m, μάζα M=2kg και μπορεί να

-165-


στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονα που διέρχεται

από το κέντρο μάζας της τροχαλίας. Τη χρονική στιγμή t=0, αφήνουμε το σύστημα να κινηθεί.

Να βρείτε:

α) Την επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σώμα Σ. [5]

β) Το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο άξονας περιστροφής στην τροχαλία. [25]

γ) Για τη χρονική στιγμή t=2s ζητούνται:

1) Η στροφορμή της τροχαλίας. [1]

2) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της τροχαλίας. [0,5]

Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ιcm=MR2/2. ∆ίνεται

g=10 m/s2. Τριβές δεν υπάρχουν. (Θέμα ∆)

17. ∆ύο σώματα Σ1 και Σ2 που έχουν μάζες m1=2kg και

m2=1kg αντίστοιχα, συνδέονται μεταξύ τους με αβα-

ρές νήμα το οποίο διέρχεται από το αυλάκι ομογενούς

τροχαλίας μάζας M=2kg και ακτίνας R=20cm. Το σώμα

Σ1 κρέμεται κατακόρυφα και το Σ2 βρίσκεται σε λείο

οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε το

σύστημα ελεύθερο να κινηθεί.


α) το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος Σ1. [5]

β) τις τιμές των τάσεων Τ1 και Τ2 των δύο νημάτων. [10 - 5]

γ) το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της. [1]

δ) τη στροφορμή της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της, την χρονική στιγμή

t=2s. [2]

Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ιcm=MR2/2.

∆ίνεται g=10 m/s2. (Θέμα ∆)

-166-


∆ιατήρηση της Στροφορμής

ΘΕΜΑ Β

18. Ένας άνθρωπος βρίσκεται πάνω σε τραπέζι που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω

από κατακόρυφο άξονα διερχόμενο από το κέντρο του τραπεζιού. Ο άνθρωπος έχει τα χέρια

τεντωμένα σε έκταση και ενώ το σύστημα άνθρωπος – τραπέζι περιστρέφεται χωρίς τριβές με

γωνιακή ταχύτητα ω0 ο άνθρωπος φέρνει τα χέρια του στο στήθος. Ποιες από τις παρακάτω

προτάσεις είναι σωστές;

α) H ροπή αδράνειας του συστήματος αυξάνεται.

β) Η στροφορμή του συστήματος ελαττώνεται.

γ) Η γωνιακή του ταχύτητα αυξάνεται.


κτηρισμούς. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. (Θέμα Β)

19. Ένας αθλητής καταδύσεων εγκαταλείπει την εξέδρα με αρχική γωνιακή ταχύτητα ω. Κατόπιν,

και ενώ βρίσκεται στον αέρα (σε «πτήση»), μαζεύει τα χέρια και τα πόδια στο στήθος έτσι ώστε

η γωνιακή του ταχύτητα να διπλασιαστεί. Κατά τη διάρκεια αυτής της μεταβολής:

α) η στροφορμή του αθλητή διπλασιάστηκε.

β) η ροπή αδράνειάς του αθλητή υποδιπλασιάστηκε.

γ) το μέτρο της αδράνειάς του αθλητή στη μεταφορική κίνηση υποδιπλασιάστηκε.



20. Η Γη στρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Το

κοντινότερο σημείο στον Ήλιο ονομάζεται Περιήλιο (π) και το

πιο απομακρυσμένο Αφήλιο (α). Αν θεωρήσουμε τη Γη υλικό

σημείο τότε για τις αντίστοιχες αποστάσεις ισχύει rα=2rπ, τό-

τε:

α) Για τις ταχύτητες διέλευσης της Γης από το αφήλιο και το

περιήλιο ισχύει uα=2uπ.

β) Για τις κινητικές ενέργειες διέλευσης της Γης από το αφή-

λιο και το περιήλιο ισχύει Κπ=4Κα.



21. Η Γη, η οποία έχει μάζα Μ και ακτίνα R, περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της με περίοδο

24h. Αν η ακτίνα της Γης γίνει, λόγω συστολής, 5% μικρότερη από αυτήν που έχει σήμερα,

διατηρώντας τη μάζα της, να βρείτε τη νέα της περίοδο. ∆ίνεται η ροπή αδράνειας ομογενούς

σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, Ιcm=2MR2/5.

[21,66h] (Θέμα Β)

-167-


-168-

22. Ένας ομογενής δίσκος στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα με γωνιακή ταχύ-

τητα ω1. Ένα κομμάτι γύψου μάζας m πέφτει κατακόρυφα και κολλάει στο δίσκο σε απόσταση

l από τον άξονα περιστροφής.



α) Ο γύψος ελάχιστα πριν ακουμπήσει στον δίσκο, έχει ως προς τον άξονα περιστροφής του

δίσκου στροφορμή ίση με μηδέν.

β) Αμέσως μετά την κρούση η στροφορμή του συστήματος δίσκος-γύψος μειώνεται.

γ) Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου μειώνεται μετά την κρούση.

δ) Στην κρούση αυτή δεν ισχύει η Αρχή ∆ιατήρησης της Ορμής.

23. Στα άκρα μιας αβαρούς ράβδου μήκους ℓ βρίσκονται δύο όμοιες μάζες m1=m2=m. Το σύστημα

περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο της ράβδου με συχνότη-

τα f1. Αν λόγω εσωτερικών δυνάμεων υποδιπλασιαστεί η απόσταση κάθε μάζας από τον άξονα

περιστροφής, τότε:

α) Η ροπή αδράνειας του συστήματος υποδιπλασιάζεται και η στροφορμή του συστήματος υ-

ποδιπλασιάζεται.

β) Η ροπή αδράνειας του συστήματος υποτετραπλασιάζεται και η στροφορμή του συστήματος

παραμένει σταθερή.

γ) Η ροπή αδράνειας του συστήματος παραμένει σταθερή και η στροφορμή του συστήματος

υποδιπλασιάζεται.

δ) Η ροπή αδράνειας του συστήματος υποδιπλασιάζεται και η στροφορμή του συστήματος πα-

ραμένει σταθερή.


24. ∆υο χορευτές του καλλιτεχνικού πατινάζ πιάνονται αντικριστά με τεντωμένα χέρια και περι-

στρέφονται. Κάποια στιγμή λυγίζουν τα χέρια τους ώστε τα σώματά τους να πλησιάσουν μετα-

ξύ τους.

Ποιό από τα παρακάτω μεγέθη θα αυξηθεί;

α) Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος.

β) Η ροπή αδράνειας του συστήματος.

γ) Η στροφορμή του συστήματος.

δ) Η περίοδος περιστροφής.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Θέμα Β)


ΘΕΜΑ Γ,∆

25. Οριζόντιος ομογενής δίσκος (1) μάζας m=1kg και α-

κτίνας R=0,1m, περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα

μέτρου ω1=10 rad/s κατά τη φορά κίνησης των δει-

κτών του ρολογιού. ∆εύτερος, όμοιος δίσκος (2) πε-

ριστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω2=5 rad/s

με φορά αντίθετη από αυτήν της κίνησης των δεικτών

του ρολογιού, γύρω από τον ίδιο κατακόρυφο άξονα

που διέρχεται από τα κέντρα και των δύο δίσκων και

είναι κάθετος σε αυτούς.

α) Να σχεδιάσετε τις στροφορμές των δύο δίσκων ως

προς τον κοινό άξονα περιστροφής και να υπολογίσετε τις αλγεβρικές τιμές τους. [0,05

– 0,025] β) Τη χρονική στιγμή t=0 ο δίσκος 1 αφήνεται πάνω στο δίσκο 2, οπότε λόγω τριβών οι δύο

δίσκοι αποκτούν την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Να υπολογιστεί η κοινή γωνιακή τους ταχύτητα. [-2,5]

γ) Από τη στιγμή που οι δίσκοι έρχονται σε επαφή, μέχρι να αποκτήσουν την ίδια γωνιακή τα-

χύτητα πέρασε χρόνος ∆t=0,1s. Να υπολογίσετε το μέτρο της σταθερής ροπής της τριβής που

ασκήθηκε σε κάθε δίσκο στο χρονικό διάστημα αυτό. [0,375 – -0,375]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας ενός δίσκου ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτόν και διέρχεται

από το κέντρο μάζας του, Ιcm=MR2/2. (Θέμα Γ)

26. Μία οριζόντια ομογενής λεπτή ράβδος μάζας Μ=3Kg και μήκους L=2m έχει τη δυνατότητα να

περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα περιστροφής που περνά από

το κέντρο της. Αρχικά, η ράβδος περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω1=6rad/s. Η

ράβδος προσκρούει σε ακίνητη σφήνα μάζας m=8Kg, που βρίσκεται στο επίπεδο περιστροφής

της ράβδου. Η σφήνα προσκολλάται στη ράβδο, σε απόσταση d=0,5m από το κέντρο της και

δημιουργείται συσσωμάτωμα. Να βρείτε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας με την οποία θα πε-

ριστραφεί το συσσωμάτωμα. ∆ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περι-

στροφής της: Icm=ML2/12. [2] (Θέμα Γ)

27. Μία ομογενής ράβδος μήκους ℓ=1m

και μάζας M=1kg ισορροπεί σε ορι-

ζόντιο επίπεδο. Η ράβδος μπορεί να

περιστρέφεται γύρω από σταθερό

κατακόρυφο άξονα που διέρχεται

από το κέντρο της K. Ένα σφαιρί-

διο μάζας m=0,1kg που εκτελεί

τμήμα κυκλικής τροχιάς, ακτίνας

r=ℓ/2,με κέντρο το σημείο K και κι-

νείται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο προσπίπτει οριζόντια με ταχύτητα υ=10m/s, κάθετα στη ρά-

-169-


βδο, στο ένα άκρο της και ενώνεται μ’ αυτήν. Η κρούση γίνεται τη χρονική στιγμή t=0. Να

βρείτε:

α) τη στροφορμή του σφαιριδίου ελάχιστα πριν συγκρουστεί με τη ράβδο. [0,5]

β) την γωνιακή ταχύτητα του συστήματος ράβδου - σφαιριδίου αμέσως μετά την κρούση. [6/1,3]

γ) το κλάσμα της κινητικής ενέργειας που χάνει το σφαιρίδιο κατά την κρούση. [160/169]

δ) πόση σταθερή ροπή αντίστασης (κατά μέτρο) πρέπει να ασκηθεί στο σύστημα ράβδου -

σφαιριδίου σώματος ώστε αυτό να σταματήσει να περιστρέφεται μετά από χρόνο χρονικό διά-

στημα t=2s. [0,25]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται

από το μέσον της Icm=Mℓ2/12. (Θέμα ∆)

28. Η κυκλική περιστρεφόμενη πλατφόρμα της παιδικής χαράς της γειτονιάς μας έχει ακτίνα

R=1,5m, μάζα M=40kg και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξο-

να που περνά από το κέντρο της. Στο κέντρο της πλατφόρμας βρίσκεται ένα κορίτσι μάζας

m=30kg και το σύστημα πλατφόρμα – κορίτσι περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα

ω0=2,5rad/s. Κάποια στιγμή το κορίτσι αρχίζει να περπατά προς την περιφέρεια της πλατφόρ-

μας. Να βρείτε:

α) τη ροπή αδράνειας του συστήματος πλατφόρμα-κορίτσι όταν το κορίτσι βρίσκεται στην πε-

ριφέρεια της πλατφόρμας. [112,5]

β) τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος, όταν το κορίτσι φτάσει στην περιφέρεια της πλατ-

φόρμας. [1]

γ) την κεντρομόλο δύναμη που δέχεται το κορίτσι όταν φτάσει στην περιφέρεια της πλατφόρ-

μας. [45]

δ) την ελάχιστη τιμή που πρέπει να έχει ο συντελεστής τριβής μεταξύ δαπέδου και παπουτσιών

για να μπορεί το κορίτσι να περιστρέφεται χωρίς να κρατιέται όταν βρίσκεται στην περιφέρεια

της πλατφόρμας. [0,15]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας της πλατφόρμας ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και δι-

έρχεται από το μέσον της, Icm=MR2/2.Για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας το κορίτσι να

θεωρηθεί υλικό σημείο. (Θέμα ∆)

29. Ένας άνθρωπος μάζας m=60kg στέκεται ακίνητος στην πε-

ριφέρεια ακίνητης οριζόντιας πλατφόρμας μάζας M=160kg

και ακτίνας R=1,5m. Η πλατφόρμα μπορεί να περιστρέφεται

χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται

από το κέντρο της. Την στιγμή t=0, o άνθρωπος αρ-

χίζει να περπατά πάνω στην περιφέρεια της πλατ-

φόρμας, με ταχύτητα σταθερού μέτρου, υ=2m/s, κι-

νούμενος αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρο-

λογιού.

α) Να βρεθεί το μέτρο και η κατεύθυνση της στρο-

φορμής του ανθρώπου. Να σχεδιαστεί το διάνυσμα

-170-


-171-

της στροφορμής του. [180]

β) Θα κινηθεί η πλατφόρμα; Αν ναι, με ποια γωνιακή ταχύτητα και προς ποια κατεύθυνση; [-1]

γ) Μετά από πόσο χρονικό διάστημα ο άνθρωπος θα ξαναβρεθεί στη θέση της πλατφόρμας από

την οποία ξεκίνησε; [3π/3,5]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας της πλατφόρμας ως προς άξονα που είναι κάθετος σ’ αυτήν και διέρ-

χεται από το κέντρο της, Ιcm=MR2/2. (Θέμα Γ)

30. ∆ύο σημειακές μεταλλικές σφαίρες από σιδηρομαγνητικό υλικό, που η καθεμιά έχει μάζα

m=0,05kg είναι τοποθετημένες σε μια πλαστική κούφια αβαρή ράβδο, μήκους ℓ=1m με τέτοιο

τρόπο ώστε να μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές πάνω σε αυτή. Στο μέσον της ράβδου και

εσωτερικά είναι τοποθετημένος ένας αβαρής ηλεκτρομαγνήτης τον οποίο μπορούμε να ενερ-

γοποιούμε από απόσταση. Το σύστημα μπορεί να στρέφεται στο οριζόντιο επίπεδο γύρω από

κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της ράβδου. Αρχικά ο ηλεκτρομαγνήτης είναι

απενεργοποιημένος, το σύστημα στρέφεται με συχνότητα f=10/π Hz και οι σφαίρες βρίσκονται

στα άκρα της ράβδου συγκρατούμενες με λεπτό αβαρές νήμα που διατρέχει την κούφια ράβδο.

Ενεργοποιούμε τον ηλεκτρομαγνήτη οπότε οι σφαίρες μετακινούνται ταυτόχρονα και πλησιά-

ζουν σε απόσταση ℓ/4 η καθεμιά από το μέσον της ράβδου Ο, όπου και σταματούν με τη βοή-

θεια κατάλληλου μηχανισμού.

α) Να υπολογιστεί η αρχική ροπή αδράνειας του συστήματος. [2,5∙10-2]

β) Να υπολογιστεί η αρχική στροφορμή του συστήματος. [0,5]

γ)Να υπολογιστεί η νέα συχνότητα περιστροφής του συστήματος. [40/π]

δ) Πόσο τοις εκατό θα μεταβληθεί η συχνότητα περιστροφής του συστήματος μετά την μετακί-

νηση των σφαιρών; [300%] (Θέμα Γ)

31. Η κυκλική εξέδρα μιας παιδικής χαράς έχει ακτίνα R=1m, μάζα M=80kg, είναι ακίνητη και

μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο

μάζας της. Ένα αγόρι μάζας m=20kg ενώ τρέχει στο έδαφος γύρω γύρω έξω από την εξέδρα

με ταχύτητα μέτρου υ=3 m/s, ξαφνικά πηδάει στην περιφέρεια της εξέδρας και μένει εκεί χω-

ρίς να ολισθήσει. Να βρείτε:

α) τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος, όταν το αγόρι ανέβει στην περιφέρεια της εξέδρας. [1]

β) τη δύναμη της στατικής τριβής που ασκείται στο αγόρι , αν στέκεται στη περιφέρεια της ε-

ξέδρας χωρίς να κρατιέται από τα στηρίγματα. [20]

γ) τη σταθερή εξωτερική δύναμη που πρέπει να ασκήσουμε εφαπτομενικά στην εξέδρα, ώστε

αυτή να σταματήσει να περιστρέφεται μετά από χρόνο t=3s. [-20]

δ) πόσες περιστροφές έκανε η εξέδρα στο χρονικό διάστημα των 3s. [0,75/π]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας της πλατφόρμας ως προς άξονα που είναι κάθετος σ’ αυτήν και

διέρχεται από το κέντρο μάζας της, Icm=MR2/2. (Θέ-

μα ∆)


32. Μια κατακόρυφη ράβδος μάζας M=3kg και μήκους

ℓ=1m, μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επί-

πεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το

πάνω άκρο της και είναι κάθετος σε αυτή. Εκτρέπουμε

τη ράβδο από τη θέση ισορροπίας της και την αφήνου-

με ελεύθερη. Τη στιγμή που περνάει από την κατακό-

ρυφη θέση , το κάτω άκρο της συγκρούεται με σφαίρα

ακτίνας r=0,1m και μάζας m=1kg που βρίσκεται ακί-

νητη στο κατώτατο σημείο τεταρτοκυκλίου ακτίνας

R=1m, του οποίου το κέντρο συμπίπτει με το σημείο

εξάρτησης της ράβδου. Το κάτω άκρο της ράβδου την

στιγμή της κρούσης έχει ταχύτητα υ1=5 m/s. Αμέσως μετά την κρούση η ράβδος ακινητοποιεί-

ται. Η σφαίρα ανέρχεται στο τεταρτοκύκλιο στην αρχή ολισθαίνοντας και μετά κυλιόμενη. Τε-

λικά εγκαταλείπει το ανώτερο άκρο του τεταρτοκυκλίου με γωνιακή ταχύτητα ω3=8 rad/s.


α) η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. [1]

β) η ταχύτητα υ2 της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. [5]

γ) το ύψος h, πάνω από το τεταρτοκύκλιο, στο οποίο θα φτάσει η σφαίρα. [0,032]

δ) η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας στο ανώτατο σημείο της τροχιάς της. [8]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος σ’ αυτήν και διέρχεται

από το κέντρο μάζας της, Ιcm=Mℓ2/12 και g=10 m/s2. (Θέμα ∆)

33. Μια ξύλινη ράβδος μήκους ℓ=0,4m και μάζας M=0,04kg ισορροπεί ελεύθερη σε

λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα σώμα Σ μάζας m=0,01kg που κινείται οριζόντια με τα-

χύτητα υ=4 m/s χτυπά κάθετα στο άκρο Α της ράβδου. Μετά την κρούση το σώμα

Σ ακινητοποιείται. Αν γνωρίζουμε ότι το σώμα Σ ως προς το κέντρο μάζας της ρά-

βδου έχει στροφορμή που βρίσκεται από τη σχέση L=muℓ/2, να βρείτε:

α) την ταχύτητα του κέντρου μάζας της ράβδου αμέσως μετά την κρούση. [1]

β) τον άξονα γύρω από τον οποίο θα περιστραφεί η ράβδος και τη γωνιακή ταχύ-

τητα που θα αποκτήσει. [15]

γ) τον αριθμό των περιστροφών που θα εκτελέσει η ράβδος στο χρονικό διάστημα

που απαιτείται για να μετατοπιστεί το κέντρο μάζας της κατά 1m. [7.5/π]

δ) Την ταχύτητα του πάνω άκρου της ράβδου (Β), όταν αυτή θα έχει συμπληρώσει 1,5 περι-

στροφές. [4]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται

από το κέντρο μάζας της, Ιcm=Mℓ2/12. (Θέμα ∆)

-172-


Κινητική Ενέργεια – Έργο στη στροφική κίνηση

Μηχανική Ενέργεια Στερεού Σώματος

ΘΕΜΑ Α

1. Ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, με γωνιακή ταχύτητα . Αν δι-

πλασιαστεί η γωνιακή του ταχύτητα, τότε η κινητική του ενέργεια: Επιλέξτε τη σωστή απά-

ντηση.

a. υποτετραπλασιάζεται.

b. υποδιπλασιάζεται.

c. διπλασιάζεται.

d. τετραπλασιάζεται.

2. Μια ομογενής ράβδος μήκους L και μάζας Μ, στρέφεται σε κα-

τακόρυφο επίπεδο, χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο

άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α, ξεκινώντας με μηδενική

γωνιακή ταχύτητα από την κατακόρυφη θέση.


a. Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αυξάνεται με σταθερό ρυθ-

μό.

b. Η κινητική ενέργεια θα αποκτήσει μέγιστη τιμή, τη στιγμή

που η ράβδος θα γίνει κατακόρυφη στη θέση (ΙΙΙ).

c. Η ροπή του βάρους ως προς τον άξονα περιστροφής της ρά-

βδου γίνεται μέγιστη στη θέση (ΙΙ).

d. Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου αυξάνεται μέχρι τη θέση

(ΙΙ) και στη συνέχεια ελαττώνεται.

3. Ένας κύβος και μία σφαίρα έχουν την ίδια μάζα και αφήνονται να κινηθούν από το ίδιο ύψος

δύο κεκλιμένων επιπέδων. Ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβές στο ένα και η σφαίρα κυλίεται χω-

ρίς να ολισθαίνει στο άλλο. Στη βάση των κεκλιμένων επιπέδων έχουν κινητικές ενέργειες Κκυβ

και Κσφ αντίστοιχα. Για το λόγο των ενεργειών ισχύει: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. 1K

ί

ύ

. b. 1K

ί

ύ

. c. 1K

ί

ύ

. d. 0K

ί

ύ

.

-173-


ΘΕΜΑ Β

4. Ένα ομογενές σώμα με κανονικό γεωμετρικό σχήμα κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει. Η κινητική

ενέργεια του σώματος λόγω της μεταφορικής κίνησης είναι ίση με την κινητική του ενέργεια

λόγω της στροφικής κίνησης γύρω από τον άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του. Το γε-

ωμετρικό σχήμα του σώματος είναι:

α) δίσκος.

β) λεπτός δακτύλιος.

γ) σφαίρα.

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Θέμα Β)

5. Η οριζόντια ράβδος ΑΚ του σχήματος είναι αβαρής και στρέφε-

ται γύρω από κατακόρυφο άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν

και διέρχεται από το άκρο της Κ. Η μάζα m συγκρατείται σε

απόσταση ΠΚ=Rπ από τον άξονα περιστροφής και το μέτρο της

ταχύτητάς της είναι υπ. Η μάζα αφήνεται ελεύθερη να μετακι-

νηθεί στο σημείο Α που απέχει απόσταση ΑΚ=RΑ=4Rπ. Για το

λόγο των κινητικών ενεργειών που έχει η μάζα m στις παρα-

πάνω θέσεις Kπ και KA αντίστοιχα, ισχύει:

α) KΠ/ΚΑ=1.

β) KΠ/ΚΑ=4.

γ) KΠ/ΚΑ=16.


6. Ένας κύβος και ένας δίσκος έχουν ίδια μάζα και αφήνονται από το ίδιο ύψος να κινηθούν κατά

μήκος δύο κεκλιμένων επιπέδων. Ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβές και φτάνει στη βάση του κε-

κλιμένου επιπέδου με ταχύτητα υ1. Ο δίσκος κυλιέται χωρίς να ολισθαίνει και φτάνει στη βάση

του κεκλιμένου επιπέδου με ταχύτητα υ2. Αν η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα

περιστροφής του είναι: Ι=MR2/2 τότε:

α) υ2=υ1. β) υ2=3

4υ1. γ) υ2=

3

2υ1.


7. Ομογενής δίσκος μάζας Μ και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Η

ταχύτητα του κέντρου μάζας του δίσκου είναι υcm. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξο-

να που διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι Ι=MR2/2. Η ολική κινητική ενέργεια του δί-

σκου είναι:

α) 2

2

1cmM β) 2

4

3cmM β) 2

8

7cmM


-174-


ΘΕΜΑ Γ,∆

8. Στο γιογιό του σχήματος που έχει μάζα M=6kg και ακτίνα R=0,1m, έχει τυλιχτεί πολ-

λές φορές γύρω του λεπτό αβαρές νήμα. Με σταθερό το ένα άκρο του νήματος αφή-

νουμε το γιογιό να κατεβαίνει. Όταν αυτό έχει κατέβει κατά h=5/3m αποκτά μεταφο-

ρική ταχύτητα ucm=5m/s. Να υπολογίσετε:

α) Τη μεταφορική επιτάχυνση του κέντρου μάζας του σώματος. [7,5]

β) Τη γωνιακή επιτάχυνση του σώματος και την τάση του νήματος. [75 - 15]

γ) Το λόγο της στροφικής κινητικής ενέργειας προς τη μεταφορική κινητική ενέργεια του σώ-

ματος, χωρίς να θεωρήσετε γνωστό τον τύπο της ροπής αδράνειας του γιογιό. [1/3]

δ) Τη σχέση που περιγράφει πώς μεταβάλλεται η στροφική κινητική ενέργεια του σώματος σε

συνάρτηση με το χρόνο. [Κστρ=56,25∙t2]

∆ίνονται: g=10m/s2. (Θέμα ∆)

(Απολυτήριες Εξετάσεις ∆' Τάξης Εσπερινού Ενιαίου Λυκείου 25/5/2007)

9. Ο δίσκος του σχήματος έχει μάζα Μ=2kg, ακτίνα R=0,2m κυλίεται

χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγμή η ταχύ-

τητα του κέντρου του Ο έχει μέτρο υο=4m/s. Το σημείο Α βρίσκε-

ται στην περιφέρεια του δίσκου και το ΑΟ είναι οριζόντιο. Να υπο-

λογίσετε:

α) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου. [20]

β) τη ταχύτητα του σημείου Α. [4√2]

γ) την κινητική ενέργεια του δίσκου. [24]

δ) τη κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής του δίσκου ως προς ένα στιγμιαίο άξονα περιστρο-

φής που περνάει από τα σημεία επαφής του δίσκου με το έδαφος και είναι παράλληλος στον

αρχικό άξονα που περνάει από το Ο. Να θεωρήσετε ότι ο δίσκος κάνει μόνο περιστροφική κί-

νηση ως προς τον άξονα αυτό με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Τι παρατηρείτε; [24]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο:

Icm=MR2/2.

(Θέμα Γ)

10. Η τροχαλία του σχήματος μάζας m=3kg και ακτίνας r=0,1m,

μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα που

περνάει από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος σε αυτήν. Στο

αυλάκι της τροχαλίας περνά νήμα που στο ένα άκρο του κρέ-

μεται σώμα Σ2 μάζας m2=2kg και στο άλλο άκρο του είναι

τυλιγμένο γύρω από ένα κύλινδρο (Σ1) που έχει μάζα M=4kg

και ακτίνα R=0,2m. Ο κύλινδρος Σ1 μπορεί να κυλίεται χωρίς

ολίσθηση. Τη χρονική στιγμή t=0 το σύστημα αφήνεται ελεύ-

θερο να κινηθεί. Τη χρονική στιγμή t1 που το σώμα Σ2 έχει

κατέβει κατά ύψος h=2m, να υπολογιστεί:

α) το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος Σ1 και του σώματος Σ2. [2 - 4]

-175-


β) το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας Κ του κυλίνδρου Σ1. [2]

γ) το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου Σ1 ως προς τον άξονα περιστροφής του. [0,8]

δ) το ποσοστό του έργου του βάρους του σώματος Σ2 που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια

της τροχαλίας. [30%]

∆ίνονται: Η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2, η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς

τον άξονα περιστροφής της Ι=mr2/2 και του σώματος Σ1 ως προς τον άξονα περιστροφής του

Ι=MR2/2. Σημείωση: Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο νήμα είναι αρκετά μεγάλη, ώστε

να μην παρατηρείται ολίσθηση του νήματος. Το νήμα είναι αβαρές. (Θέμα ∆)

11. Η ράβδος ΑΒ είναι ομογενής και ισοπαχής με μήκος L=2m

και μάζα Μ=3Kg. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρ-

θρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο της Β συνδέεται

με τον τοίχο με αβαρές νήμα που σχηματίζει γωνία φ=30°

με τη ράβδο, η οποία ισορροπεί οριζόντια, όπως φαίνεται

στο σχήμα.

α) Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη ράβδο από το νήμα. [30]

Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα στο άκρο Β και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τρι-

βές γύρω από την άρθρωση σε κατακόρυφο επίπεδο. Να υπολογίσετε:

β) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου μόλις κοπεί το νήμα. [7,5]

γ) Την κινητική ενέργεια της ράβδου, τη στιγμή που διέρχεται από την κατακόρυφη θέση. [30]

δ) Σε ποια θέση της ράβδου, ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της είναι στιγμιαία

μηδέν. [οριζόντια και κατακόρυφη θέση]

∆ίνονται: Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέ-

ντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτή Ιcm=ML2/12, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2

και ημ30ο=1/2. (Θέμα Γ)

12. Η ομογενής και συμπαγής σφαίρα του σχήματος έχει μάζα

m=1kg και ακτίνα r=0,2m και αφήνεται από ύψος h, να κινη-

θεί κατά μήκους κεκλιμένου επιπέδου και στη συνέχεια στο

εσωτερικό της κυκλικής στεφάνης ακτίνας R=10,2m. Η σφαί-

ρα κυλίεται συνεχώς χωρίς να ολισθαίνει. Για να κάνει η

σφαίρα με ασφάλεια ανακύκλωση, να υπολογιστεί:

α) το μέτρο της ελάχιστης τιμής της ταχύτητάς της στο σημείο ∆. [10]

β) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ως προς τον άξονα περιστροφής της, στο σημείο Γ. [98]

γ) το μέτρο της κάθετης δύναμης που δέχεται από το οριζόντιο επίπεδο στη θέση Γ. [48,4]

δ) το ελάχιστο ύψος h (του κέντρου μάζας). [27,2]

∆ίνονται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονά της Ιcm=2mr2/5 , η επιτάχυνση της

βαρύτητας g = 10 m/s2 και 7

27=1,96 (Θέμα ∆)

-176-


13. Ο δίσκος του σχήματος είναι οριζόντιος, έχει μάζα Μ=50kg και α-

κτίνα R=4m. Στη θέση Β του δίσκου βρίσκεται ένα παιδί με μάζα

m=40Kg και το σύστημα παιδί – δίσκος περιστρέφεται χωρίς τριβές,

με γωνιακή ταχύτητα ω1=5,6rad/s, γύρω από κατακόρυφο άξονα

που διέρχεται από το κέντρο του δίσκου Ο. Αν το παιδί μετακινηθεί

από τη θέση Β στη θέση Α του δίσκου (βλέπε σχήμα), τότε η γωνι-

ακή ταχύτητα του δίσκου γίνεται ω2. (Να θεωρήσετε το παιδί ως

σημειακή μάζα).

α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα ω2. [7,6]

β) Να υπολογίσετε την μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. [4256]

γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του παιδιού. [-800]

δ) Που οφείλονται οι παραπάνω μεταβολές (στα ερωτήματα β και γ); [β) στη δαπανηθείσα ενέργεια από το παιδί γ) στη ροπή της στατικής τριβής ]

∆ίνονται: οι αποστάσεις ΑΟ=2m, ΒΟ=3m και η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που

διέρχεται από το κέντρο του Ιcm=MR2/2 (Θέμα ∆)

-177-


Έργο - Ισχύς – Ρυθμοί Μεταβολής Ενέργειας

ΘΕΜΑ Α

14. Στη στροφική κίνηση το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων, που ασκούνται στο

σώμα είναι: Επιλέξτε τις σωστές από τις παρακάτω προτάσεις.

a. ανάλογο της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σώμα.

b. ίσο με το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του σώματος.

c. μηδέν.

d. ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής του σώματος.

15. Να αντιστοιχίσετε τα φυσικά μεγέθη από τη Στήλη Ι με τη μονάδα τους, της Στήλης ΙΙ


A. Ροπή δύναμης 1.

B. Ροπή αδράνειας ως προς άξονα 2.

Γ. Κινητική ενέργεια 3.

∆. Στροφορμή 4.

Ε. Ισχύς 5.

6.

ΘΕΜΑ Β

16. ∆ύο ομογενείς δακτύλιοι Α, Β των οποίων το πάχος είναι αμελητέο σε σχέση με την ακτίνα το-

υς, έχουν την ίδια ακτίνα και μάζες mα και mβ =2mα. Οι δακτύλιοι περιστρέφονται ο καθένας

γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους με την

ίδια γωνιακή ταχύτητα. Η ροπή αδράνειας του δακτυλίου ως προς τον άξονα περιστροφής του

είναι: Ι=MR2. Εφαρμόζοντας κατάλληλη δύναμη και στους δύο, ακινητοποιούνται. Περισσότε-

ρο έργο δαπανήθηκε στον:

α) πρώτο (Α) δακτύλιο.

β) δεύτερο (Β) δακτύλιο.


17. Στο σχήμα φαίνεται ένας ομογενής συμπαγής κυκλι-

κός δίσκος (Ι) και ένας ομογενής συμπαγής κυκλι-

κός δακτύλιος (ΙΙ), που έχουν την ίδια ακτίνα R και

την ίδια μάζα m και μπορούν να περιστρέφονται γύ-

ρω από άξονα που περνάει από το κέντρο τους.

Κάποια χρονική στιγμή ασκούνται στα σώματα αυτά

δυνάμεις ίδιου μέτρου, εφαπτόμενες στην περιφέρεια. Οι γωνιακές ταχύτητες που θα αποκτή-

σουν μετά από περιστροφή κατά γωνία θ, θα είναι

α. ωΙ=ωΙΙ.

β. ωΙ>ωΙΙ.

-178-


γ. ωΙ<ωΙΙ.


18. Ένας κύβος και μία σφαίρα έχουν την ίδια μάζα και εκτοξεύονται κατά μήκος δύο κεκλιμένων

επιπέδων με την ίδια αρχική ταχύτητα υcm. Ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβές στο ένα κεκλιμέ-

νο επίπεδο και η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο άλλο. Για το μέγιστο ύψος στο οποίο

θα φτάσουν ισχύει:

α) hκυβ/hσφ>1 .

β) hκυβ/hσφ=1 .

γ) hκυβ/hσφ<1 .


19. Ο αρχικά ακίνητος δίσκος του σχήματος ξεκινά να στρέφεται με

την επίδραση του ζεύγους δυνάμεων F1 και F2 (F1 = F2 = F), ως

προς άξονα που περνάει από το κέντρο του Μ και είναι κάθετος

στην επιφάνειά του. Όταν ο δίσκος έχει διαγράψει μια περιστροφή,

οι δύο δυνάμεις έχουν παράγει έργο 10J. Αν τριπλασιάσουμε την F1

έτσι ώστε F1΄ = 3F, οι δύο δυνάμεις θα παράγουν σε μια περι-

στροφή του δίσκου έργο:

α) 20J. β) 30J. γ) 40J.

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να δι-

καιολογήσετε την απάντησή σας

(Θέμα Β)

20. Στο σχήμα φαίνεται ένας ομογενής συ-

μπαγής κυκλικός δίσκος (Ι) και ένας

ομογενής κυκλικός δακτύλιος (ΙΙ), που

έχουν την ίδια ακτίνα R, την ίδια μάζα

m και περιστρέφονται γύρω από άξονα

που περνάει από το κέντρο τους με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω. Κάποια χρονική στιγμή α-

σκούνται στα σώματα αυτά δυνάμεις ίδιου μέτρου F, εφαπτόμενες στην περιφέρεια και μετά

από λίγο τα δύο σώματα σταματούν. Ο αριθμός των στροφών που θα εκτελέσουν, θα είναι

α) ΝΙ=ΝΙΙ. β) ΝΙ>ΝΙΙ. γ) ΝΙ<ΝΙΙ.


21. Ο αρχικά ακίνητος δίσκος του σχήματος ξεκινά να στρέφεται

τη χρονική στιγμή t=0 με την επίδραση μιας δύναμης F, ως

προς άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας του και είναι

κάθετος στην επιφάνειά του. Τη χρονική στιγμή t1 ο δίσκος

έχει στροφορμή L1, ως προς τον άξονα περιστροφής του, και

τη χρονική στιγμή t2 ο δίσκος έχει στροφορμή L2=2L1. Η δύ-

ναμη από την αρχή μέχρι τη χρονική στιγμή t1 παράγει έργο

-179-


W1 =10J. Από την αρχή μέχρι τη χρονική στιγμή t2 η δύναμη παράγει έργο:

α) 20J. β) 30J. γ) 40J.

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. (Θέμα Β)

ΘΕΜΑ Γ,∆

22. Η ράβδος ΟΑ του σχήματος με μήκος L=1m και μάζα

M=6kg είναι οριζόντια και περιστρέφεται υπό την επί-

δραση οριζόντιας δύναμης μέτρου F=15N, η οποία είναι

διαρκώς κάθετη στη ράβδο, στο άκρο της Α. Η περι-

στροφή γίνεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα

που διέρχεται από το Ο. Αρχικά η ράβδος είναι ακίνητη.

Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες. Να υπολογιστούν:

α) Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. [2]

β) Η ροπή της δύναμης ως προς τον άξονα περιστροφής. [15]

γ) Το έργο που έχει προσφέρει η δύναμη στη ράβδο στη διάρκεια της πρώτης περιστροφής. [30π]

δ) Η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στο τέλος της πρώτης περιστροφής. [9,7]

ε) Ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη μεταφέρει ενέργεια στη ράβδο στο τέλος της πρώτης πε-

ριστροφής. [145,5]

∆ίνονται: 30 =9,7.

Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι

κάθετος στη ράβδο Ιcm=ML2/ 12. (Θέμα Γ)

23. Η ομογενής και συμπαγής ράβδος του σχήματος έχει μάζα

M=4kg, μήκος L=6m και μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα

που διέρχεται από το μέσο της Ο και είναι κάθετος σε αυτή.

Στη ράβδο ασκείται συνεχώς μια δύναμη F σταθερού μέτρου

8N που σχηματίζει γωνία φ=30ο με την προέκταση της ράβδου.

Η γωνία αυτή παραμένει σταθερή σε όλη τη διάρκεια της περι-

στροφής της ράβδου. Να υπολογίσετε:

α) την κινητική ενέργεια της ράβδου τη στιγμή που η γωνιακή της ταχύτητα έχει μέτρο

ω=4rad/s. [96]

β) το έργο της δύναμης F μετά από δύο περιστροφές της ράβδου. [48π]

γ) το ρυθμό με τον οποίο η δύναμη F μεταφέρει ενέργεια στη ράβδο τη στιγμή που η στρο-

φορμή της έχει μέτρο L=12kg.m2/s. [12]

δ) το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου τη στιγμή που η κινητική της ε-

νέργεια είναι 24J. [24]

∆ίνεται: Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι: Ι=ML2/12

(Θέμα Γ)

-180-


24. Οριζόντιος ομογενής και συμπαγής δίσκος, μάζας M=6kg και ακτίνας

R=1m, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο

άξονα που διέρχεται από το κέντρο του (Ο). Τη χρονική στιγμή t=0

ασκούμε στο δίσκο δύναμη F σταθερού μέτρου 6Ν η οποία εφάπτεται

συνεχώς στην περιφέρειά του, οπότε ο δίσκος αρχίζει να περιστρέφε-

ται. Κάποια χρονική στιγμή t1 ο δίσκος έχει στροφορμή μέτρου

L=60kg.m2/s. Για αυτή τη χρονική στιγμή t1 να υπολογίσετε:

α. το έργο της δύναμης F [600]

β. τον αριθμό των στροφών που έχει διαγράψει. [16]

γ. το ρυθμό με τον οποίο η δύναμη F μεταφέρει ενέργεια στo δίσκο. [120]

δ. το ρυθμό μεταβολής της κινητικής του ενέργειας. Τι εκφράζει ο ρυθμός αυτός; [120]

∆ίνονται: 50/π=16 και η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του

Ι=MR2/2.

(Θέμα Γ)

25. Η ομογενής ράβδος του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς

τριβές, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που περνά από το ση-

μείο Ο. Η ράβδος έχει μάζα Μ=3kg και μήκος L=3m. Στη ράβδο α-

σκείται συνεχώς μια οριζόντια δύναμη F η οποία έχει σταθερό μέτρο

F=10N και είναι διαρκώς κάθετη στη ράβδο, στο άκρο της Α. Τη χρο-

νική στιγμή t=0 η ράβδος είναι ακίνητη. Να υπολογιστούν:

α) Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το σημείο Ο. [3]

β) Το έργο που παράγει η δύναμη στη διάρκεια της πρώτης περιστροφής. [40π]

γ) Η κινητική ενέργεια που έχει η ράβδος μετά από δύο περιστροφές. [80π]

δ) Ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη μεταφέρει ενέργεια στη ράβδο στο τέλος της δεύτερης

περιστροφής. [260]

∆ίνονται: 3

160=13. Η απόσταση ΟΑ=2m και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα

που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο Ιcm=ML2/12 (Θέμα Γ)

26. Στην επιφάνεια ενός ομογενούς κυλίνδρου

μάζας m=2kg και ακτίνας R=0,3m, έχουμε

τυλίξει λεπτό σχοινί αμελητέας μάζας, το ε-

λεύθερο άκρο του οποίου έλκεται με σταθερή

οριζόντια δύναμη F μέτρου 6Ν, όπως φαίνεται

στο σχήμα. Το σχοινί ξετυλίγεται χωρίς ολί-

σθηση, περιστρέφοντας ταυτόχρονα τον κύλινδρο. Ο κύλινδρος μπορεί να κυλίεται χωρίς ολί-

σθηση και αρχικά ηρεμούσε στη θέση Α. Όταν βρεθεί στη θέση Γ έχει ξετυλιχθεί σχοινί τόσο,

ώστε το σημείο εφαρμογής της δύναμης F να έχει μετατοπιστεί κατά L=4m. Να υπολογισθεί:

α) το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. [4]

β) η στατική τριβή. [2]

-181-


γ) η ισχύς της δύναμης F στη θέση Γ. [48]

δ) το ποσοστό της κινητικής του ενέργειας που είναι στροφική στη θέση Γ. [33,3%]

∆ίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας g=10m/s2 και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς

τον άξονα περιστροφής του Ι=mR2/2. (Θέμα ∆)

27. Η ομογενής ράβδος ΑK στηρίζεται στο άκρο της Κ μέσω άρθρωσης και αρ-

χικά κρέμεται κατακόρυφα (θέση Ι). Η ράβδος ΑΚ έχει μήκος L=0,15m και

μάζα Μ=2kg. Στο άκρο της Α ασκούμε συνεχώς μια δύναμη F κάθετη στη

ράβδο η οποία έχει σταθερό μέτρο, οπότε η ράβδος αρχίζει να ανεβαίνει.

Όταν η ράβδος φτάσει στη θέση (ΙΙ), όπου σχηματίζει γωνία φ=60ο με την

κατακόρυφη, καταργείται η δύναμη F και η ράβδος φτάνει στην κατακό-

ρυφη θέση (ΙΙΙ), χωρίς γωνιακή ταχύτητα. Να υπολογίσετε:

α) Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου ως προς τον άξονα περι-

στροφής της στη θέση (ΙΙ). [10]

β) Το έργο της δύναμης F για τη περιστροφή της ράβδου από τη θέση (Ι)

στη θέση (ΙΙ). [3]

γ) Το μέτρο της δύναμης F [30/π]

δ) Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια της ράβδου

κατά τη περιστροφή της από τη θέση (Ι) στη θέση (ΙΙ). [25%]

∆ίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα περιστροφής που περνά από το άκρο

της Κ και είναι κάθετος σε αυτή: Ι=ML2/3, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2 και

συν60ο=1/2. (Θέμα ∆)

28. Η κατακόρυφη τροχαλία του σχήματος, μάζας

m=3kg και ακτίνας r=0,1m, μπορεί να περι-

στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο

άξονα που περνάει από το κέντρο της Ο και εί-

ναι κάθετος σε αυτήν. Στο αυλάκι της τροχαλί-

ας περνά νήμα που από το ένα άκρο του κρέ-

μεται σώμα Σ2 μάζας m2=2kg και στο άλλο ά-

κρο του είναι δεμένος ένας κατακόρυφος τρο-

χός (Σ1) που έχει μάζα M=4kg και ακτίνα

R=0,2m.

α) Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F ώστε το σύστημα που εικονίζεται στο σχήμα να πα-

ραμείνει ακίνητο. [40]

Τη χρονική στιγμή tο=0 που το σύστημα του σχήματος είναι ακίνητο, αυξάνουμε τη δύναμη

ακαριαία έτσι ώστε να γίνει F=80N.

β) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος Σ2. [4]

Για τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ έχει ανέλθει κατά h=2 m, να υπολογίσετε:

γ) Το μέτρο της στροφορμής της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της. [0,6]

δ) Τη μετατόπιση του τροχού από την αρχική του θέση. [1]

ε) Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του τροχού Σ1

-182-


κατά τη μετατόπιση του σώματος Σ2 κατά h. [15%]

∆ίνονται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2, η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς

τον άξονα περιστροφής της Ι=mr2/2 και του σώματος Σ1 ως προς τον άξονα περιστροφής του

Ι=MR2/2.

Σημείωση: Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο νήμα είναι αρκετά μεγάλη, ώστε να μην

παρατηρείται ολίσθηση. Το νήμα είναι αβαρές. Ο τροχός Σ1 κυλίεται χωρίς ολίσθηση.

(Θέμα ∆)

-183-

ργεια της

άξονα περιστροφής της Ι=MR2/2, η ε-

αι αρκετά μεγάλη, ώστε να μην

αι με την

Θέμα ∆)

κόρυφη μετατόπιση h=7m (θέση Γ), να

οια

29. Η ομογενής τροχαλία του σχήματος έχει μάζα M=8kg και ακτίνα R=0,2m.

Τα σώματα Σ1 και Σ2 έχουν αντίστοιχα μάζες m1=4kg και m2=2kg. H τρο-

χαλία και τα σώματα Σ1, Σ2 είναι αρχικά ακίνητα και τα κέντρα μάζας των

Σ1, Σ2 βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 το

σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί και τη χρονική στιγμή t1 η κατακό-

ρυφη απόσταση των κέντρων μάζας των σωμάτων Σ1 και Σ2 είναι h =

1,28m.Τη χρονική στιγμή t1 να υπολογίσετε:

α) τη ταχύτητα των σωμάτων Σ1 και Σ2.

[1,6] β) το μέτρο της στροφορμής της τροχαλίας. [1,28]

γ) το πηλίκο της κινητικής ενέργειας των σωμάτων Σ1 και Σ2 προς την κινητική ενέ

τροχαλίας. [1,5]

δ) τον αριθμό των στροφών της τροχαλίας. [0,5]

ε) το ρυθμό με τον οποίο μεταφέρεται, (μέσω της Τ1) ενέργεια στη τροχαλία. [51,2]

∆ίνονται: Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον

πιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2 και π=3,14.

Σημείωση: Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο νήμα είν

παρατηρείται ολίσθηση του νήματος. Το νήμα είναι αβαρές.

Να θεωρήσετε ότι τα σώματα Σ1 και Σ2 δεν φτάνουν στο έδαφος ούτε συγκρούοντ

τροχαλία. (

30. Μια ομογενής και συμπαγής σφαίρα μάζας Μ=4kg και ακτί-

νας R=0,5m αφήνεται (θέση Α) να κυλήσει κατά μήκος ενός

πλάγιου επιπέδου γωνίας κλίσης φ, με ημφ=0,35. Η σφαίρα

κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Τη στιγμή που το κέντρο μάζας

της σφαίρας έχει κατα


α) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας. [20]

β) τον αριθμό των περιστροφών που έχει εκτελέσει μέχρι τότε. [20/π]

γ) τον λόγο της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια της σφαίρας σε κάπ

χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της κίνησής της. [5/2]

δ) Για τη μετατόπιση της σφαίρας από τη θέση Α έως τη θέση Γ να υπολογίσετε με τη βοήθεια

του θεωρήματος έργου-ενέργειας το έργο της στατικής τριβής

δ1) κατά τη μεταφορική κίνηση. [-80]


-184-

ση 2 (Θέμα Γ)

κινηθεί και τη χρονική στιγμή t1 το σώμα Σ1 έχει κατέβει

που διανύει το σώμα Σ1 είναι συνέχεια διπλάσιο του διαστήματος που δια-

νήμα είναι αρκετά μεγάλη, ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση. Το νήμα είναι

ετε ότι τα σώματα Σ1 και Σ2 δεν φτάνουν στο έδαφος ούτε συγκρούονται με την

(Θέμα ∆)

δ2) κατά τη περιστροφική κίνηση. Τι παρατηρείτε; [+80]

∆ίνονται: Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονά της Ι=2MR2/5 και η επιτάχυν

της βαρύτητας g = 10 m/s .

31. Στο σχήμα φαίνεται σε τομή μια τροχαλία που αποτελείται από δύο ομοαξονι-

κούς κυλίνδρους με ακτίνες R1=0,2m και R2=0,1m, που μπορεί να περιστρέφε-

ται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο

της τροχαλίας. Τα σώματα Σ1 και Σ2 έχουν ίσες μάζες m1=m2=2kg και είναι

στερεωμένα μέσω νημάτων που είναι τυλιγμένα στους κυλίνδρους. H τροχαλία

και τα σώματα Σ1 , Σ2 είναι αρχικά ακίνητα και τα κέντρα μάζας των Σ1 , Σ2

βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σύστημα

αφήνεται ελεύθερο να

κατά h1=0,4m.

Α. Να δείξετε:

α) ότι η ταχύτητα του σώματος Σ1 είναι συνέχεια διπλάσια της ταχύτητας του σώματος Σ2.

β) ότι το διάστημα

νύει το σώμα Σ2.

Β. Τη χρονική στιγμή t1 να υπολογίσετε:

γ) τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας. [√40]

δ) το ρυθμό με τον οποίο το βάρος του σώματος Σ1 μεταφέρει ενέργεια σε αυτό. [8√10]

∆ίνονται: Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Ι=

0,1kgm2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2. Σημείωση: Η τριβή ανάμεσα στην τρο-

χαλία και στο

αβαρές.

Να θεωρήσ

τροχαλία.

Κρούσεις-Φαινόμενο Doppler Παμπέρης ∆ήμος, Φυσικός

-185-

Κρούσεις

ΘΕΜΑ Α

1. Μια κρούση λέγεται έκκεντρη όταν: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. δεν ικανοποιεί την αρχή διατήρησης της ορμής.

b. δεν ικανοποιεί την αρχή διατήρησης της ενέργειας.

c. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται είναι κάθετες.

d. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται είναι παράλληλες.

2. ∆ύο μικρά σώματα συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά. Ο λόγος της ολικής κινητικής ενέρ-

γειας του συστήματος των μαζών πριν και μετά την κρούση είναι Kολ,μετά/Κολ,πριν=0,75. Το πο-

σοστό της ενέργειας που χάθηκε κατά την κρούση είναι: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. 0%.

b. 25%.

c. 50%.

d. 75%.

3. Στην ανελαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. η κινητική ενέργεια αυξάνεται.

b. η κινητική ενέργεια παραμένει σταθερή.

c. η ορμή κάθε σφαίρας παραμένει σταθερή.

d. μέρος της κινητικής ενέργειας των δύο σφαιρών μετατρέπεται σε θερμότητα.

4. Να αντιστοιχίσετε το είδος της κρούσης από τη Στήλη Ι και, δίπλα σε καθένα, τη σωστή ερμη-

νεία της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σ' αυτό.


A. κεντρική 1. η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται.

B. έκκεντρη 2. δημιουργία συσσωματώματος.

Γ. πλάγια 3. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται

βρίσκονται στην ίδια ευθεία

∆. ελαστική 4. η κινητική ενέργεια κάθε σφαίρας διατηρείται.

Ε. πλαστική 5. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται

είναι παράλληλες.

6. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται

βρίσκονται σε τυχαία διεύθυνση

5. ∆ύο σώματα με μάζες m1 και m2 , εκ των οποίων η m1 κινείται με ταχύτητα υ1 ενώ η m2 είναι

ακίνητη, συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Μετά την κρούση τα σώματα m1 και m2 θα απο-

κτήσουν ταχύτητες υ’1 και υ’

2 αντίστοιχα που θα δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις:



a. υ’1= 1

21

21

mm

mm

και υ’2= 1

21

1

mm

m2

b. υ’1= 1

21

1

mm

m2

και υ’

2= 121

21

mm

mm

c. υ’1= 1

21

21

mm

mm

και υ’2= 1

21

1

mm

m2

d. υ’1= 1

21

1

mm

m

και υ’

2= 121

2

mm

m

6. Στο παρακάτω σχήμα, η κρούση των δύο σωμάτων ονομάζεται:

a. κεντρική.

b. έκκεντρη.

c. πλάγια.

d. σκέδαση.

7. ∆ύο σώματα με ίσες μάζες που κινούνται με μέτρα ταχυτήτων υ1 και υ2 συγκρούονται κεντρικά

και ελαστικά. Μετά την κρούση τα σώματα θα αποκτήσουν ταχύτητες με μέτρα u’1 και υ’2 αντί-

στοιχα που θα δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις:


a. υ’1=υ1 και υ’2=υ2.

b. υ’1=0 και υ’2=0.

c. υ’1=0 και υ’2=υ1.

d. υ’1=υ2 και υ’2=υ1.

8. Κατά την ανελαστική κρούση δύο σωμάτων διατηρείται: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. η ορμή κάθε σώματος.

b. η ορμή του συστήματος.

c. η κινητική ενέργεια του συστήματος.

d. η μηχανική ενέργεια του συστήματος.

9. Μικρή σφαίρα, που κινείται ευθύγραμμα και ομαλά σε οριζόντιο επίπεδο, συγκρούεται ελαστικά

και πλάγια με κατακόρυφο τοίχο. Στην περίπτωση αυτή:


a. Η γωνία πρόσπτωσης της σφαίρας είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης.

b. Ισχύει

=- '

( όπου

η ταχύτητα της σφαίρας πριν την κρούση και '

η ταχύτητα της

σφαίρας μετά την κρούση).

c. Ισχύει p

= 'άp

(όπου p

η ορμή του συστήματος πριν την κρούση και '

άp

η ορμή

του συστήματος μετά την κρούση).

d. Η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται.

10. Μία σφαίρα προσκρούει ελαστικά και πλάγια σε έναν τοίχο με ταχύτητα μέτρου υ και διεύθυν-

σης που σχηματίζει γωνία π με την κάθετη στον τοίχο. Αν υ΄ το μέτρο της ταχύτητας της σφα-

ίρας μετά την κρούση και α η γωνία που σχηματίζει η διεύθυνσή της με την κάθετη στον τοίχο,

-186-


-187-

θα ισχύει: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

a. υ=υ’ και π>α.

b. υ=υ’ και π=α.

c. υ>υ’ και π=α.

d. υ>υ’ και π>α.

ΘΕΜΑ Β

11. Σώμα Σ1 μάζας m που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με

ακίνητο σώμα Σ2 διπλάσιας μάζας.

Η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ1 κατά την κρούση έχει αλγεβρική τιμή:

α) –mυ/3. β) -2mυ/3. γ) 0.

Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή

σας. (Θέμα Β)

12. Ένα σώμα Α που έχει μάζα m και ταχύτητα υ1 συγκρούεται με άλλο σώμα Β που έχει διπλάσια

μάζα και ταχύτητα υ2 , αντίρροπη της υ1 . Από τη κρούση δημιουργείται συσσωμάτωμα που

παραμένει ακίνητο στο σημείο της σύγκρουσης. Ο λόγος υ1/υ2 των μέτρων των ταχυτήτων

των δύο σωμάτων πριν από την κρούση, είναι:

α) 1/2. β) 1. γ) 2.

Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή

σας. (Θέμα Β)

13. ∆ύο σώματα Α και Β, με μάζες m και 3m αντίστοιχα, βρίσκονται ακίνητα πάνω σε λείο οριζό-

ντιο επίπεδο. ∆ίνουμε στο σώμα Α αρχική ταχύτητα υ έτσι ώστε να συγκρουστεί κεντρικά και

ελαστικά με το ακίνητο σώμα Β. Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος Β μετά την

κρούση είναι

α) –υ/2. β) υ/2. γ) υ/4.

Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.


14. Σώμα Σ1 μάζας m1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερο ακίνητο σώμα Σ2 μάζας m2.

Η ποσότητα της κινητικής ενέργειας που έχει μεταφερθεί από το σώμα Σ1 στο σώμα Σ2 μετά

την κρούση γίνεται μέγιστη όταν:

α) m1<m2. β) m1=m2. γ) m1>m2.



15. Σώμα Σ1 μάζας m1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ένα δεύτερο ακίνητο σώμα Σ2 μάζας

m2. Αν ∆Κ1 είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1 και ∆Κ2 είναι η μεταβολή

της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ2 λόγω της ελαστικής κρούσης, τότε ισχύει

Α) ∆Κ1/∆Κ2=m1/m2. β) ∆Κ1/∆Κ2= -1. γ) ∆Κ1/∆Κ2=-2.




-188-

16. Ένα βλήμα διαπερνά ένα ακίνητο κιβώτιο και η ελάττωση της κινητικής ενέργειας του βλήμα-

τος είναι 100J. Εάν η ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση είναι 50J τότε η κινητική ενέργεια

του κιβωτίου μετά την κρούση είναι:

α) 0. β) 50J. γ) 100J.


17. Σώμα Σ1 κινούμενο προς ακίνητο σώμα Σ2, ίσης μάζας με το Σ1, συγκρούεται μετωπικά και

πλαστικά με αυτό. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του Σ1 που έγινε θερμότητα

κατά την κρούση είναι:

α) 0. β) 25%. γ) 50%.


18. Σώμα Α μάζας mΑ προσπίπτει με ταχύτητα υΑ σε ακίνητο σώμα Β μάζας mΒ, με το οποίο συ-

γκρούεται κεντρικά και ελαστικά. Μετά την κρούση το σώμα Α γυρίζει πίσω με ταχύτητα μέ-

τρου ίσου με το 1/3 της αρχικής του τιμής. Ο λόγος των μαζών mΒ/mΑ είναι:

α) mΒ/mΑ=1/3 β) mΒ/mΑ=1/2. γ) mΒ/mΑ=2


19. Μεταλλική συμπαγής σφαίρα Σ1 κινούμενη προς ακίνητη μεταλλική συμπαγή σφαίρα Σ2, τρι-

πλάσιας μάζας από την Σ1, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με αυτήν. Το ποσοστό της αρ-

χικής κινητικής ενέργειας της Σ1 που μεταβιβάζεται στη Σ2 κατά την κρούση είναι:

α) 30%. β) 75%. γ) 100%.


20. Τρεις μικρές σφαίρες Σ1 , Σ2 και Σ3 βρίσκονται ακίνητες πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Οι

σφαίρες έχουν μάζες m1 =m, m2 = m και m3 = 3m αντίστοιχα. ∆ίνουμε στη σφαίρα Σ1 ταχύ-

τητα μέτρου υ1 και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη δεύτερη ακίνητη σφαίρα Σ2. Στη

συνέχεια η δεύτερη σφαίρα Σ2 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη τρίτη ακίνητη σφαίρα

Σ3. Η τρίτη σφαίρα αποκτά τότε ταχύτητα μέτρου υ3. Ο λόγος των μέτρων των ταχυτήτων

υ3/υ1 είναι:

α) 1/3. β) 1/2. γ) 1.



ΘΕΜΑ Γ,∆

21. Μικρή σφαίρα Σ1, μάζας m1=2kg που κινείται πάνω σε λείο επίπεδο με ταχύτητα u1=10m/s

συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ2 μάζας m2=8kg. Να υπολογίσετε:

α. τις ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση. [-6 4]

β. τη μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας καθώς και τη μεταβολή της ορμής του συστήματος

των σφαιρών. [-32 32 0]

γ. τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1. [-64]

δ. το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ1 που μεταφέρθηκε

κατά την κρούση στη σφαίρα Σ2. [64%] (Θέμα Γ)

22. Ένας ξύλινος κύβος μάζας M=4,5kg είναι δεμένος στο άκρο ενός αβαρούς και μη εκτατού νή-

ματος μήκους L=0,2m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε οροφή. Ο κύβος ηρεμεί με το

νήμα κατακόρυφο. Ένα βλήμα μάζας m=0,5kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα u0=20m/s και

συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με τον κύβο. Να υπολογίσετε:

α. την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. [2]

β. το ποσό θερμότητας που αναπτύσσεται κατά την κρούση των σωμάτων. [90]

γ. τη μέγιστη ανύψωση που επιτυγχάνει το συσσωμάτωμα μετά την κρούση. [0,2]

δ. την τάση του νήματος αμέσως μετά την κρούση των σωμάτων. [150]

∆ίνεται g=10 m/s2. (Θέμα Γ)

23. Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k, έχει το κάτω άκρο του δεμένο στο έδαφος και στο άνω ά-

κρο του έχουμε δέσει μικρό σώμα Σ2 μάζας m2=3kg. Το σώμα ισορροπεί με το ελατήριο συ-

σπειρωμένο κατά d=0,3m. Στην ίδια κατακόρυφο με τον άξονα του ελατηρίου και σε ύψος

d0=0,2m πάνω από το Σ2 αφήνουμε ένα μικρό σώμα Σ1 μάζας m1=1kg. Τα δύο σώματα συ-

γκρούονται κεντρικά και πλαστικά .

α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση των σωμά-

των.[0,5]

β. Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του ελατηρίου και την περίοδο ταλάντωσης που θα

εκτελέσει το συσσωμάτωμα. [100 0,4π]

γ. Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος. [1]

δ. Να γράψετε την εξίσωση της επιτάχυνσης του συσσωματώματος σε σχέση με το χρόνο, θε-

ωρώντας θετική φορά κατακόρυφη προς τα επάνω και λαμβάνοντας ως χρονική στιγμή t=0 τη

στιγμή αμέσως μετά την κρούση. [-2,5√2ημ(5t+3π/4)]


-189-

κρού-

(Θέμα ∆)

24. Σώμα Σ1 με μάζα m1=2kg και ταχύτητα μέτρου υ1=20m/s, κι-

νείται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές όπως στο σχήμα. Το

σώμα Σ1 συγκρούεται με σώμα Σ2 μάζας m2=3kg που αρχικά

είναι ακίνητο. Η κρούση οδηγεί στη συγκόλληση των σωμάτων. Η χρονική διάρκεια της

σης θεωρείται αμελητέα. Να υπολογίσετε:


-190-

οστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1 που μεταφέρθηκε στο σώμα

24] (ΘΕΜΑ Γ)

ιάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.

κε η

2 (ΘΕΜΑ Γ)

μα μάζας m1 κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρου

ί-

εωμένο. Ένα δεύ-

ς m1=1kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ1= 10m/s και συγκρούε-

α) την ταχύτητα του συσσωματώματος που δημιουργείται μετά τη κρούση. [8]

β) την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά τη κρούση. [240]

γ) το ποσ

Σ2.[24%]

δ) τη μεταβολή της ορμής του σώματος Σ1. [-

25. Σώμα μάζας m1 = 0,9 kg που είναι προσδεμένο στο άκρο

τεντωμένου νήματος μήκους L=2m, αφήνεται ελεύθερο από

ύψος h, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το νήμα βρίσκεται

στην κατακόρυφη θέση, το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου

υ1=2m/s και συγκρούεται πλαστικά με βλήμα μάζας

m2=0,1kg και ταχύτητας μέτρου υ2=48m/s με φορά προς το

σώμα. Η χρονική δ


α) το ύψος h από το οποίο αφέθηκε ελεύθερο το σώμα μάζας m1 . [0,2]

β) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος που δημιουργείται μετά τη κρούση.[3]

γ) το ύψος h’ στο οποίο θα φτάσει το συσσωμάτωμα μετά τη κρούση . [0,45]

δ) την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά τη κρούση. Σε τι μετατράπη

ενέργεια αυτή; [112,5]

∆ίνεται: g=10m/s .

26. Σώμα Σ1 μάζας m1 κινούμενο σε λείο οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με

ταχύτητα μέτρου υ1=8m/s κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας

m2. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Αμέσως μετά

την κρούση, το σώ

υ1΄= 4m/s.


α) το λόγο των μαζών m2/m1 . [3]

β) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m2 αμέσως μετά την κρούση. [4]

γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m1 που μεταβιβάστηκε στο

σώμα μάζας m2 λόγω της κρούσης. [75%]

δ) την αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ορμής των δύο σωμάτων, αν m2=2kg. Τι παρατηρε

τε;

∆ίνεται g=10 m/s2.

27. Σώμα Σ2 μάζας m2=4kg βρίσκεται ακίνητο σε λείο οριζόντιο

επίπεδο και είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου, το

άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερ

τερο σώμα Σ1 μάζα

ται μετωπικά και ελαστικά με το Σ2.


α) τις ταχύτητες των δύο σωμάτων μετά την κρούση. [-6 και 4]

β) το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος Σ2. [16]

[8 και -8]

(ΘΕΜΑ Γ)


-191-

2.

δ) τη μέγιστη συσπείρωση ∆ℓ του ελατηρίου. [0,8]

ΘΕΜΑ ∆)

απερνά το σώμα χάνοντας το 75% της

2]

δ) Η μέση δύναμη που δέχεται το σώμα κατά τη διάρκεια της διέλευσης του βλήματος, αν αυτή

2m και

ή θερμότητα λόγω τριβών που παράχθηκε από τη στιγμή που αφήσαμε ελεύθερο

χικής δυναμικής ενέργειας των σωμάτων Σ1 και Σ2 που έγινε θερμότητα

μένου επιπέδου.

κρούση γίνεται θερμότη-

γ) το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1 που μεταφέρθηκε στο σώμα Σ [64%]

∆ίνεται η σταθερά του ελατηρίου k=100N/m (

28. Σώμα μάζας M=5kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα

κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ1=100m/s και

μάζας m=0,2kg, δι

κινητικής του ενέργειας και εξέρχεται με ταχύτητα υ1΄ .


α) το μέτρο της ταχύτητας υ1΄ του βλήματος και της τα-

χύτητας υ2΄ του σώματος αμέσως μετά την έξοδο του βλήματος. [50 και

β) Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος που μεταφέρθηκε στο σώμα κα-

τά την κρούση. [1%]

γ) Η μεταβολή της ορμής του βλήματος και του σώματος από τη στιγμή που ηρεμούσε το σώ-

μα μέχρι την έξοδο του βλήματος. [-10]

διαρκεί ∆t = 0,01s.

29. Από την κορυφή (A) ενός κεκλιμένου επιπέδου

μεγάλου μήκους και γωνίας κλίσης θ αφήνου-

με ελεύθερο να κινηθεί ένα σώμα Σ1 μάζας

m1=1kg το οποίο εμφανίζει με το κεκλιμένο

επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5.

Αφού διανύσει διάστημα ΑΓ=x1=4m κινούμενο

στο κεκλιμένο επίπεδο, συναντά ακίνητο σώμα

Σ2 μάζας m2=3kg, με το οποίο συγκρούεται

μετωπικά και πλαστικά (σημείο Γ). Το συσσω-

μάτωμα που δημιουργείται από την κρούση των δύο σωμάτων διανύει διάστημα x2=

φτάνει στη βάση (Β) του κεκλιμένου επιπέδου. Να υπολογίσετε:

α) την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. [1]

β) τη συνολικ

το σώμα μάζας m1 μέχρι τη στιγμή που το συσσωμάτωμα έφτασε στη βάση του κεκλιμένου ε-

πιπέδου.[48]

γ) την απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο μαζών κατά τη κρούση. [6]

δ) το ποσοστό της αρ

μέχρι το συσσωμάτωμα να φτάσει στη βάση (Β) του κεκλιμένου επιπέδου. [75%]

Να θεωρηθεί:

(i) Το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας ταυτίζεται με το οριζόντιο επίπεδο που περνά

από τη βάση του κεκλι

(ii) Όλη η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά τη

[1000] (Θέμα Γ)


τα.

(iii) Το έργο που καταναλώνει η τριβή μετατρέπεται σε θερμότητα.

-192-

g=10m/s2. (Θέμα Γ)

0g κινείται

όλη

-

δύναμη που ασκεί η σφαίρα στο ξύλο καθώς εισχωρεί σε αυτό. [104]

νωθεί το βλήμα στο ξύλο. [0,003]

-

ητας υ2΄ της σφαίρας Σ2 μετά την κρούση. [1]

[80 και -80]

ούση. Τι παρατηρείτε;[-20 και 20]

στη σφαίρα Σ1 ταχύ-

ικές και

όλες οι κρούσεις των σφαιρών μεταξύ τους, να υπολογισθεί:

και +5]

Σ3.

(iv) Τα σώματα έχουν αμελητέες διαστάσεις.

∆ίνονται: ημθ=0,6 , συνθ=0,8 και η επιτάχυνση της βαρύτητας

30. Ένα ξύλινο σώμα μάζας m2=0,96kg είναι ακίνητο πάνω σε

λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα βλήμα μάζας m1 =4

οριζόντια με ταχύτητα υ1=200m/s και σφηνώνεται στο

σώμα, σε βάθος d=7,68cm. Να υπολογιστεί:

α) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος μετά την κρούση. [8]

β) το ποσοστό της μηχανικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμότητα (να θεωρήσετε ότι

η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος γίνεται θερμότητα και ότι το επίπεδο μη

δενικής δυναμικής ενέργειας είναι το οριζόντιο επίπεδο). [96%]

γ) η μέση

δ) η μετατόπιση του συστήματος ξύλο-βλήμα μέχρι να σφη

(Θέμα Γ)

31. ∆υο σφαίρες Σ1 και Σ2 , που έχουν μάζες m1=1kg και

m2=2kg αντίστοιχα, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο

κατά μήκος της ίδιας ευθείας και πλησιάζουν η μια την

άλλη με ταχύτητες μέτρων υ1=6m/s και υ2=9m/s, αντί-

στοιχα. Οι δυο σφαίρες συγκρούονται μετωπικά. Μετά τη κρούση η σφαίρα Σ1 αλλάζει κατεύ

θυνση κινούμενη με ταχύτητα μέτρου υ1΄14m/s.

α) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτ

β) Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική. [ναι]

γ) Να υπολογίσετε:

1) την μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σφαίρας κατά τη κρούση. Τι παρατηρείτε; 2) την μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας κατά τη κρ

(Θέμα Γ)

32. Τρεις μικρές σφαίρες Σ1 , Σ2 και Σ3 βρίσκονται ακί-

νητες πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο όπως στο

σχήμα. Οι σφαίρες έχουν μάζες m1=m, m2=m και

m3=3m αντίστοιχα. ∆ίνουμε

τητα μέτρου υ1. Όλες οι κρούσεις που ακολουθούν ανάμεσα στις σφαίρες είναι κεντρ

ελαστικές. Να βρεθούν:

α) ο αριθμός των κρούσεων που θα γίνουν συνολικά. [3]

Αφού ολοκληρωθούν

β) η τελική ταχύτητα κάθε σφαίρας. [-5, μηδέν

γ) το μέτρο της μεταβολής της ορμής της πρώτης σφαίρας. [-30]

δ) το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ1 που μεταφέρθηκε στη τρίτη σφαίρα


-193-

[75%]

(Θέμα Γ)

ο λόγος των μαζών των δυο σφαιρών είναι λ=m2/m1 να εκφράσετε τις αλγεβρικές τιμές

άρτηση και το τας υ1.

∆ίνονται: η μάζα m1=2kg και υ1=10m/s.

33. Μια σφαίρα Σ1 μάζας m1 κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο

επίπεδο με ταχύτητα υ1 και συγκρούεται μετωπικά και ελα-

στικά με ακίνητη σφαίρα Σ2 μάζας m2 (m2>m1). Μετά την

κρούση η σφαίρα Σ2 συγκρούεται ελαστικά με κατακόρυφο

επίπεδο τοίχο, που είναι κάθετος στη διεύθυνση της κίνησης των δυο σφαιρών.

α) Αν

των ταχυτήτων των σφαιρών Σ1 και Σ2 σε συν με το λ μέτρο της ταχύτη

[ 11 1

1

΄ , 12 1

΄ ]

Να βρεθεί:

β) για ποιες τιμές του λ η σφαίρα Σ1 μετά τη κρούση της με τη σφαίρα Σ2 κινείται προς τα αρι-

στερά. [λ>1

γ) για ποια τιμή του λ, η σφαίρα Σ2 , μετά τη κρούση

απόσταση από την σφαίρα Σ1. [3]

Με βάση την παραπάνω τιμή του λ, να υπολογισθεί:

2

]

της με τον τοίχο θα διατηρεί σταθερή

ι

ά, με ταχύτητα μέτρου υ1

επί-

-

γ. το ποσοστό της μηχανικής ενέργειας του βλήματος το οποίο μεταφέρθηκε στον κύβο.

δ) ο λόγος της τελικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ2 , που έχε

τον τοίχο, προς την αρχική κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ1.

34. Σώμα μάζας M=2kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρου-

σιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,2. Μια μικρή μπάλα μάζας

m = 100g κινούμενη οριζόντια προς τα δεξι

= 100m/s, συγκρούεται με το σώμα και επιστρέφει με ταχύτητα μέ-

τρου υ1΄=20m/s. Να υπολογιστεί:

α) το μέτρο της ταχύτητας υ2΄ του σώματος Μ αμέσως μετά την κρο-

ύση. [6]

β) η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων κατά τη κρούση. Σε

ποιες μορφές ενέργειας μετατράπηκε; [444]

γ) η μετατόπιση του σώματος μάζας Μ μέχρι να σταματήσει εξαιτίας της τριβής του με το

πεδο. [9]

μετά τη κρούση της με

[0,75] (Θέμα Γ)

δ) ο λόγος λ=M/m των μαζών των δύο σωμάτων, αν η κρούση


35. Ένας ξύλινος κύβος μάζας Μ=0,9kg ηρεμεί πάνω σε λείο ορι-

ζόντιο επίπεδο. Ένα μικρό βλήμα μάζας m=0,1kg το οποίο κι

νείται με ταχύτητα μέτρου u0=50m/s, σχηματίζοντας με τον

ορίζοντα γωνία φ, σφηνώνεται στον κύβο. Να υπολογίσετε:

α. την ταχύτητα V του συσσωματώματος. [4]

β. τη θερμότητα που αναπτύχθηκε κατά την κρούση. [117]

ήταν ελαστική. [3/2]

(Θέμα Γ)


[5,76]

δ. τη μεταβολή της ορμής του συστήματος των σωμάτων κατά την κρούση. [-3]

-194-

∆ίνονται: ημφ=0,6, συνφ=0,8. (Θέμα Γ)

ταχύτητα υ1΄ που έχει διεύθυνση κάθετη στη

300]

στη

]

∆ίνεται η ταυτότητα ημ2θ+συν2θ=1. (ΘΕΜΑ ∆)

τος γίνονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Να

και 450 ]

-

∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2. (Θέμα Γ)

36. Σφαίρα Σ1 μάζας m1=m κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1=6m/s και

συγκρούεται με άλλη σφαίρα Σ2 μάζας m2=2m, που είναι αρχικά

ακίνητη. Η κρούση είναι έκκεντρη και ελαστική και η χρονική

διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Μετά την κρούση, η

σφαίρα Σ1 κινείται με

διεύθυνση της υ1.


α) το μέτρο και η διεύθυνση της ταχύτητας υ2΄ της σφαίρας Σ2, μετά την κρούση. [2√3,

β) το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Σ1, μετά την κρούση. [2√3]

γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας μάζας m1 που μεταβιβάστηκε

σφαίρα μάζας m2 λόγω της κρούσης. [66,7%]

δ) το μέτρο της μεταβολής της ορμής της σφαίρας Σ1 κατά τη κρούση, αν m2=2kg. [4√3

37. Σώμα Σ1 μάζας m1=1kg κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου

υ1=12m/s με κατεύθυνση κάθετη σε κατακόρυφο τοίχο και συ-

γκρούεται πλαστικά με σώμα Σ2 μάζας m2=2kg που κινείται πα-

ράλληλα προς τον τοίχο με οριζόντια ταχύτητα υ2 . Το συσσωμά-

τωμα αποκτά ταχύτητα v1 . Στη συνέχεια το συσσωμάτωμα συ-

γκρούεται ελαστικά με τον κατακόρυφο τοίχο. Μετά την ελαστική

κρούση αποκτά ταχύτητα μέτρου v2=4√2m/s, η διεύθυνση της

οποίας είναι κάθετη με τη v1 . Οι κινήσεις των σωμάτων Σ1 , Σ2

και του συσσωματώμα


α) το μέτρο και την κατεύθυνση της ταχύτητας v1. [4√2

β) το μέτρο της ταχύτητας υ2 . [6]

γ) τη μεταβολή της ορμής του συσσωματώματος εξαιτίας της ελα-

στικής κρούσης με τον τοίχο. [24]

δ) το μέτρο της μέσης δύναμης που ασκήθηκε στο συσσωμάτωμα κατά τη διάρκεια της κρού

σης, αν η χρονική διάρκεια της κρούσης της σφαίρας με τον τοίχο είναι ∆t=0,01s. [2400]

38. Μια σφαίρα μάζας Μ=0,8kg κινείται με ταχύτητα 1υ

,

που σχηματίζει γωνία φ=60ο με τον ορίζοντα, και συ-

γκρούεται πλάγια ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας

m=0,1kg, που μπορεί να κινείται σε λείο οριζόντιο

δάπεδο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Εξαιτίας

της κρούσης του με τη σφαίρα το σώμα αποκτά κινη-


τική ενέργεια K=3,2J. H ταχύτητα 2υ

( 2υ≠ 1υ

) της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση

ζει γωνία θ=30ο με την κατακό


α) τα μέτρα των ταχυτήτων υ1 και υ2. [3 και 1]

β) το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας που μεταβιβάστηκε

στο σώμα εξαιτίας της κρούσης. [88,8%]

Β. Αν η κρούση των δύο σωμάτων ήταν πλαστική, να υπολογίσετε:

γ) το μέτρο της ταχύτητας που θα είχε το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση.[4/3]

δ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας που μετατράπηκε σε θερμότητα

κατά την κρούση. (Να θεωρήσετε ότι όλη η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματο

σχηματί-

ρυ εται από το σημείο της κρούσης.

ς

αι που σχηματίζει γωνία θ=30ο σε σχέση με την

το ποσοστό της κινη ιας του πρωτονίου Π1 που μεταφέρεται στο πρω-

δ) αν η κρούση ήταν κεντρική. [100%](Θέμα ∆)

φο

σε δι

τικής

που δι

εύθυ

ενέ

έρχ

νση

ργε

κατά τη κρούση γίνεται θερμότητα). [43,75%] (Θέμα ∆)

39. Ένα πρωτόνιο Π1 μάζας m1=m κινούμενο με ταχύτητα μέτρου υ1=106m/s αλληλεπιδρά (συ-

γκρούεται έκκεντρα και ελαστικά) με ένα άλλο ακίνητο πρωτόνιο Π2 μάζας m2=m. Μετά την

κρούση το πρωτόνιο Π1 κινείτ

αρχική του πορεία.

Α. Να υπολογισθεί αμέσως μετά τη κρούση:

α) το μέτρο της ταχύτητας του πρωτονίου Π1. [106∙√3/2]

β) η ταχύτητα του πρωτονίου Π2. [106/2, 600]

Β. Να βρεθεί

τόνιο Π2

γ) στην παραπάνω κρούση. [25%]

-195-


Φαινόμενο Doppler

ΘΕΜΑ Α

1. Το φαινόμενο Doppler χρησιμοποιείται: Να επιλέξετε τις σωστές από τις παρακάτω προτάσεις.

a. για τον προσδιορισμό της ταχύτητας των αεροπλάνων.

b. από την τροχαία, για να εντοπίζει τη νύχτα τους οδηγούς που δεν φορούν ζώνη.

c. από τους γιατρούς, για τον προσδιορισμό της ροής του αίματος.

d. από τους αστρονόμους, για να προσδιορίσουν με ποια ταχύτητα κινείται ένα αστέρι σε σχέ-

ση με τη Γη.

2. Να επιλέξετε τις σωστές από τις παρακάτω προτάσεις. Επιλέξτε τουλάχιστον μία απάντηση.

a. Ένας κινούμενος παρατηρητής που πλησιάζει μια ακίνητη ηχητική πηγή αντιλαμβάνεται ήχο

συχνότητας μεγαλύτερης από αυτήν που εκπέμπει η πηγή.

b. Στα ηχητικά κύματα το φαινόμενο Doppler εμφανίζεται κάθε φορά που η ηχητική πηγή είναι

σε κίνηση σε σχέση με τον αέρα.

c. Όταν μια ηχητική πηγή πλησιάζει έναν ακίνητο παρατηρητή, τότε αυτός αντιλαμβάνεται μή-

κος κύματος μεγαλύτερο από αυτό που εκπέμπει η πηγή.

d. Στους τύπους του φαινομένου Doppler στα ηχητικά κύματα όλες οι ταχύτητες αναφέρονται

ως προς το μέσο διάδοσης.

3. Να αντιστοιχίσετε τους τύπους της μιας στήλης με τα σχήματα της άλλης. Ένα στοιχείο της δε-

ύτερης στήλης περισσεύει.


Α

ss

A ff

B.

ss

A ff

Γ.

ss

A ff

∆.

ss

A ff

-196-


sA ff

4. Ένας ποδηλάτης πλησιάζει και προσπερνά με σταθερή ταχύτητα ένα ακινητοποιημένο αυτοκί-

νητο, του οποίου η κόρνα σφυρίζει.


a. Όταν ο ποδηλάτης πλησιάζει, ακούει ήχο μεγαλύτερης συχνότητας από αυτή που εκπέμπε-

ται.

b. Όταν ο ποδηλάτης απομακρύνεται από το αυτοκίνητο, φθάνουν στο αφτί του περισσότερα

μέγιστα ανά δευτερόλεπτο απ’ όσα φτάνουν όταν πλησιάζει.

c. Όταν ο ποδηλάτης απομακρύνεται από το αυτοκίνητο, φθάνουν στο αφτί του λιγότερα μέγι-

στα ανά δευτερόλεπτο απ’ όσα φθάνουν στο αυτί του οδηγού.

d. Όταν ο ποδηλάτης πλησιάζει, αντιλαμβάνεται τον ήχο να διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα

που τον αντιλαμβάνεται ο οδηγός.

5. Το φαινόμενο Doppler στο φως περιγράφεται με διαφορετικούς τύπους από αυτούς που ισχύ-

ουν για τον ήχο επειδή: Επιλέξτε τις σωστές από τις παρακάτω προτάσεις.

a. το φως έχει την ίδια ταχύτητα για όλα τα συστήματα αναφοράς, ενώ ο ήχος όχι.

b. το φως δεν χρειάζεται μέσο για να διαδοθεί, ενώ ο ήχος χρειάζεται.

c. ο ήχος είναι εγκάρσιο κύμα ενώ το φως είναι διαμήκες.

d. στον ήχο μπορεί να κινείται είτε η πηγή είτε ο παρατηρητής, ενώ στο φως κινείται μόνο η

πηγή κυμάτων.

6. Μια πηγή S βρίσκεται μεταξύ 2 ακίνητων παρατηρητών Α και Β. H πηγή πλησιάζει προς τον Α

ενώ απομακρύνεται από τον Β. Το μήκος κύματος που εκπέμπει η πηγή είναι λs, η συχνότητα

του ήχου που εκπέμπει είναι fs και ο ήχος διαδίδεται στον αέρα με ταχύτητα υηχ.

Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

a. Ο παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται ήχο με μήκος κύματος λΑ>λs.

b. Ο παρατηρητής Β αντιλαμβάνεται ήχο με μήκος κύματος λB<λs.

c. Ο παρατηρητής Β αντιλαμβάνεται ήχο που διαδίδεται με ταχύτητα ίση με την υηχ.

d. Ο παρατηρητής Β αντιλαμβάνεται ήχο που έχει συχνότητα μεγαλύτερη από την fs.

ΘΕΜΑ Β

7. Ένας παρατηρητής κινείται με σταθερή ταχύτητα υΑ προς ακίνητη πηγή ήχου που εκπέμπει κύ-

ματα συχνότητας fs και μήκους κύματος λs. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τα ηχητικά κύματα

να διαδίδονται με ταχύτητα η οποία είναι κατά 10% μεγαλύτερη από αυτήν που αντιλαμβάνε-

ται όταν είναι ακίνητος. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής fΑ και η

συχνότητα fs συνδέονται με τη σχέση

α) fA=1,1fs.

β) fA=1,2fs.

γ) fA=1,05fs.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

-197-


8. Μια ηχητική πηγή βρίσκεται μεταξύ δυο ακίνητων παρατηρητών Α και Β. Η πηγή εκπέμπει ηχη-

τικά κύματα που έχουν μήκος κύματος λs και συχνότηταs fs. O παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται

τα ηχητικά κύματα να έχουν μήκος κύματος λΑ=0,9λs. Επομένως:

1)

α) η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή Α.

β) η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή Α.

γ) η πηγή είναι ακίνητη.

2) Ο παρατηρητής Β αντιλαμβάνεται ήχο με μήκος κύματος:

i) λΒ=1,2λs.

ii) λΒ=1,1λs.

iii) λΒ=λs.

Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας.

9. Μια ηχητική πηγή κινούμενη με σταθερή ταχύτητα υs πλησιάζει και προσπερνά ακίνητο παρα-

τηρητή A. Οι συχνότητες του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής καθώς η πηγή τον

πλησιάζει και καθώς απομακρύνεται από αυτόν είναι f1 και f2 αντίστοιχα. Οι δύο συχνότητες

συνδέονται με τη σχέση f1=2f2. Η ταχύτητα υs της πηγής και η ταχύτητα διάδοσης του ήχου

υηχ συνδέονται με τη σχέση:

α) υs=υηχ/3.

β) υs=υηχ/2.

γ) υs=υηχ/4.



10. Μια πηγή κινούμενη με ταχύτητα υs=υηχ/20 απομακρύνεται από

κινούμενο παρατηρητή ο οποίος κινείται με ταχύτητα υA=υηχ/40

κατευθυνόμενος προς την πηγή. Η πηγή εκπέμπει ήχο συχνότη-

τας fs, μήκους κύματος λs, ο οποίος κινείται στον αέρα με ταχύ-

τητα υηχ.

α) Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο που έχει ταχύτητα διάδοσης ως προς αυτόν

υηχ,Α=39υηχ/40.

β) Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο που έχει μήκος κύματος λΑ=20λs/21.

γ) Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο που έχει συχνότητα fA=41fs/42.



11. Μια ακίνητη πηγή ήχου s εκπέμπει ήχο συχνότητας fs. Ένας παρατηρητής πλησιάζει την πηγή

κινούμενος με σταθερή ταχύτητα. Η πηγή εκπέμπει NS μέγιστα ήχου σε χρονικό διάστημα ∆t.

Ο παρατηρητής σε χρονικό διάστημα ∆t θα αντιλαμβάνεται AN μέγιστα ήχου για τα οποία ισχύ-

ει:

α) NA=NS.

β) NA>NS.

γ) NA<NS.

-198-




12. Πηγή κινείται με ταχύτητα υs=υηχ/10, όπου υηχ η ταχύτητα του ήχου ως προς τον αέρα. Μπρο-

στά από την πηγή, σε μεγάλη απόσταση, υπάρχει ακίνητο κατακόρυφο εμπόδιο (τοίχος) στο

οποίο ο ήχος μπορεί να ανακλαστεί. Ανάμεσα στην πηγή και στο εμπόδιο υπάρχει ένας παρα-

τηρητής Α ο οποίος κατευθύνεται προς το εμπόδιο με ταχύτητα υΑ=υηχ/20.

Η πηγή εκπέμπει ήχο συχνότητας fs. Ο ήχος μετά την ανάκλαση του στον κατακόρυφο τοίχο

γίνεται αντιληπτός από τον παρατηρητή με συχνότητα fA. Οι δύο συχνότητες συνδέονται με τη

σχέση:

α) fA=10fS/9. β) fA=19fS/18. γ) fA=21fS/18.



13. Ένας παρατηρητής πλησιάζει με ταχύτητα υΑ ακίνητη πηγή ήχου, η οποία εκπέμπει ήχο συχνό-

τητας fs. Ο παρατηρητής ακούει ήχο συχνότητας fΑ η οποία είναι κατά 20% μεγαλύτερη από

την fs. Η ταχύτητα του παρατηρητή είναι:

α) υA=υηχ/5. β) υA=υηχ/6. γ) υA=υηχ/4.



14. Μια ηχητική πηγή κινούμενη με ταχύτητα υs=υηχ/20 απο-

μακρύνεται από κινούμενο παρατηρητή ο οποίος κινείται

με ταχύτητα υA κατευθυνόμενος προς την πηγή. Η πηγή

εκπέμπει ήχο συχνότητας fs, μήκους κύματος λs , ο οποίος

διαδίδεται στον αέρα με ταχύτητα υηχ. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο που έχει μήκος κύ-

ματος:

α) λΑ=20λs/21. β) λΑ=41λs/40. γ) λΑ=21λs/20.



15. Μια ηχητική πηγή κινούμενη με ταχύτητα υs απομακρύνεται από κινούμενο παρατηρητή ο ο-

ποίος κινείται με ταχύτητα υ=υηχ/30 κατευθυνόμενος προς την πηγή. Η πηγή εκπέμπει ήχο

συχνότητας fs, μήκους κύματος λs, ο οποίος διαδίδεται στον αέρα με ταχύτητα υηχ. Ο παρατη-

ρητής αντιλαμβάνεται τον ήχο να διαδίδεται με ταχύτητα:

α) υηχ,Α=31υηχ/30. β) υηχ,Α=30υηχ/31. γ) υηχ,Α=31υηχ/51.


Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας

16. Μια ακίνητη πηγή ήχου S εκπέμπει ήχο συχνότητας fs για χρονική διάρκεια ∆ts. Ένας παρατη-

ρητής που πλησιάζει την πηγή κινούμενος με σταθερή ταχύτητα αντιλαμβάνεται τον ήχο με

συχνότητα fΑ και για χρονική διάρκεια ∆tΑ. Για τα δύο χρονικά διαστήματα ισχύει η σχέση:

α) ∆tA=∆ts. β) ∆tA<∆ts. γ) ∆tA=∆ts.


-199-


17. Μια ηχητική πηγή κινείται με ταχύτητα

υs=υηχ/10. Μπροστά από την πηγή σε μεγάλη

απόσταση υπάρχει ακίνητο κατακόρυφο εμπό-

διο (τοίχος) στο οποίο ο ήχος μπορεί να ανα-

κλαστεί. Πίσω από την πηγή υπάρχει ένας πα-

ρατηρητής Α ο οποίος κινείται με ταχύτητα

υΑ=υηχ/20 με κατεύθυνση προς τον τοίχο. Η πηγή εκπέμπει κύματα συχνότητας fs και ο παρα-

τηρητής ακούει δυο ήχους, έναν απευθείας από την πηγή συχνότητας f1 και έναν μετά από την

ανάκλαση στο κατακόρυφο εμπόδιο συχνότητας f2. Τις δύο συχνότητες τις συνδέει η σχέση:

α) f1=21f2/22. β) f1=18f2/21. γ) f1=18f2/22.



18. Ακίνητη ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο που έχει συχνότητα fs. Ένας

κινούμενος παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται ότι ο ήχος αυτός έχει

συχνότητα fΑ που μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο, όπως φαί-

νεται στο διάγραμμα. Άρα ο παρατηρητής:

α) απομακρύνεται από την πηγή με σταθερή ταχύτητα.

β) πλησιάζει την πηγή με σταθερή επιτάχυνση.

γ) απομακρύνεται από την πηγή με σταθερή επιτάχυνση.


ΘΕΜΑ Γ,∆

fA

fS

t

19. Ένας ακίνητος παρατηρητής βρίσκεται

ανάμεσα σε δυο πανομοιότυπες πηγές

κυμάτων Π1 και Π2, οι οποίες κατευθύνο-

νται προς τον παρατηρητή και εκπέμπουν

κύματα ίδιας συχνότητας fs=697,2 Hz, Οι

ταχύτητες των δυο πηγών είναι υ1= 4 m/s και υ2=8 m/s.


α) οι συχνότητες f1 και f2 των δύο ήχων που ακούει ο παρατηρητής. [705,5 - 714]

β) τα μήκη κύματος λ1 και λ2 των δύο ήχων που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. [340/705,5-340/714] γ) ποια είναι η συχνότητα του σύνθετου ήχου και ποια η συχνότητα των διακροτημάτων που

αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. [709,75 -8,5]

∆ίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υηχ=340m/s. (Θέμα Γ)

-200-


20. Ένα ασθενοφόρο που

κινείται με σταθερή τα-

χύτητα υs=25 m/s σε

ευθύγραμμο δρόμο έχει

ενεργοποιημένη την

σειρήνα του και εκπέ-

μπει ήχο συχνότητας fs=945 Hz. Στη διεύθυνση κίνησης του ασθενοφόρου υπάρχουν:

1) ένας ποδηλάτης Α που κινείται ομόρροπα με το ασθενοφόρο με ταχύτητα υΑ= 10m/s και

βρίσκεται μπροστά από αυτό.

2) ένας μοτοσικλετιστής Β που κινείται αντίθετα από το ασθενοφόρο με σταθερή ταχύτητα υΒ

και βρίσκεται μπροστά από αυτό.

Για τις συχνότητες του ήχου fA, fB που αντιλαμβάνονται ο ποδηλάτης και ο μοτοσικλετιστής α-

ντίστοιχα, ισχύει fA/fB=33/37. Να βρεθούν:

α) η συχνότητα fΑ που αντιλαμβάνεται ο ποδηλάτης. [990]

β) η ταχύτητα του μοτοσικλετιστή υΒ. [30]

γ) ο λόγος uηχ(Α)/υηχ(Β), όπου υηχ(Α), υηχ(Β), οι ταχύτητες διάδοσης του ήχου που αντιλαμβάνο-

νται ο ποδηλάτης και ο μοτοσικλετιστής αντίστοιχα. [33/37]

δ) ο λόγος λΑ/λΒ, όπου λA, λB, τα μήκη κύματος που αντιλαμβάνονται ο ποδηλάτης και ο μο-

τοσικλετιστής αντίστοιχα. [1]

∆ίνεται ότι η ταχύτητα του ήχου είναι υηχ= 340m/s. (Θέμα Γ)

21. Πηγή ήχου S κινείται με σταθερή ταχύτητα υs σε ευθύγραμμη τροχιά και εκπέμπει ήχο συχνό-

τητας fs. Στην ίδια ευθεία βρίσκεται ακίνητος παρατηρητής ο οποίος ακούει ήχο με συχνότητα

f1=680Hz όταν η πηγή τον πλησιάζει και ήχο με συχνότητα f2=33f1/35 όταν η πηγή περνώντας

τον απομακρύνεται από αυτόν. Ζητείται:

α) η ταχύτητα με την οποία κινείται η πηγή. [10]

β) η συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή. [660]

γ) το μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής όταν η πηγή τον πλησιάζει και όταν η

πηγή απομακρύνεται από αυτόν. [0,5 και 35/66]

∆ίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υηχ=340m/s (Θέμα Γ)

22. Η σειρήνα ενός τρένου το οποίο κινεί-

ται σε ευθύγραμμη τροχιά με

υs=40m/s εκπέμπει ήχο συχνότητας

fs=600Hz για χρονικό διάστημα

∆ts=3,5 s. Ένας παρατηρητής κινείται

αντίθετα από το τρένο με ταχύτητα υΑ=10m/s. Να βρεθεί:

α) η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. [700]

β) το μήκος κύματος του ήχου που εκπέμπει το τρένο καθώς και το μήκος κύματος που αντι-

λαμβάνεται ο παρατηρητής Α. [17/30 και 0,5]

γ) ο αριθμός των μεγίστων που εκπέμπει η σειρήνα του τρένου. [2100]

-201-


δ) η χρονική διάρκεια του ήχου που ακούει ο παρατηρητής. [3]

∆ίνεται η ταχύτητα του ήχου υηχ=340m/s. (Θέμα Γ)

23. Ένας παρατηρητής Α κινείται με ταχύτητα υΑ=20 m/s κατευθυνόμενος προς ακίνητη πηγή ή-

χου, η οποία εκπέμπει κύματα συχνότητας fs=68 Hz και μήκους κύματος λs, για χρονικό διά-

στημα ∆ts = 10s.

α) Ποια είναι η συχνότητα και ποιο το μήκος κύματος του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατη-

ρητής καθώς πλησιάζει την πηγή; [72 και 5]

β) Πόσο έχει μετατοπισθεί ο παρατηρητής στο χρονικό διάστημα που ακούει 2 διαδοχικά μέγι-

στα ήχου; [5/18]

γ) Πόση είναι η απόσταση μεταξύ 2 διαδοχικών μέγιστων του ήχου που αντιλαμβάνεται ο πα-

ρατηρητής; [5]

δ) Να βρεθεί η απόσταση πηγής-παρατηρητή τη χρονική στιγμή που φτάνει σε αυτόν το 1ο

μέγιστο ήχου αν γνωρίζουμε ότι την ίδια στιγμή η πηγή εκπέμπει το τελευταίο μέγιστο ήχου. [3395] ∆ίνεται υηχ=340m/s (Θέμα Γ)

24. Μια αμαξοστοιχία πλησιάζει έναν ακίνητο παρατηρητή κινούμενη με σταθερή ταχύτητα και τη

στιγμή που η σειρήνα του απέχει d=680m από τον παρατηρητή εκπέμπει ήχο συχνότητας

fs=800Hz για χρονικό διάστημα ∆ts=8,5s . Ο ακίνητος παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο συ-

χνότητας fA=850Hz.


α) η ταχύτητα της αμαξοστοιχίας [20]

β) το μήκος κύματος του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής [0,4]

γ) το χρονικό διάστημα για το οποίο ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τον ήχο της σειρήνας. [8] δ) η απόσταση αμαξοστοιχίας παρατηρητή την στιγμή που ο παρατηρητής σταμάτησε να ακού-

ει τον ήχο. [480]

∆ίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα, υηχ=340 m/s (Θέμα Γ)

25. Ένα σώμα Σ1 που έχει πάνω του

προσαρμοσμένο δέκτη ηχητικών

κυμάτων εκτελεί απλή αρμονική

ταλάντωση στον οριζόντιο άξονα

x’Οx με εξίσωση

x=0,4ημ(10t+3π/2) (S.I.)

Στον θετικό ημιάξονα και σε απόσταση μεγαλύτερη από το πλάτος ταλάντωσης βρίσκεται ακί-

νητη μια σειρήνα που παράγει ηχητικά κύματα συχνότητας fs=850Ηz.


α) ποια είναι η ελάχιστη και ποια είναι η μέγιστη συχνότητα του ήχου που ανιχνεύει ο δέκτης. [840-860]

β) πόσες φορές σε χρονική διάρκεια ∆t=π s ο ανιχνευτής μετρά ήχο ίδιας συχνότητας με τον ήχο που εκπέμπει η πηγή. [10]

-202-


γ) η συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η συχνότητα που ανιχνεύει ο δέκτης σε

σχέση με το χρόνο και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες για χρονικό διάστημα ίσο με

μια περιόδο της ταλάντωσης. [fA=850+10συν(10t+3π/2) (S.I.)] ∆ίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υηχ=340m/s. (Θέμα ∆)

26. Τα δελφίνια χρησιμοποιούν σύστημα εκπομπής και λήψης υπερήχων για να εντοπίζουν την

τροφή τους. Ένα ακίνητο δελφίνι παρακολουθεί ένα κοπάδι ψάρια που το πλησιάζουν με ταχύ-

τητα υΑ. Το δελφίνι εκπέμπει έναν υπέρηχο συχνότητας fs=78,396 kHz , ο οποίος αφού ανα-

κλαστεί στο κινούμενο κοπάδι ψαριών, ανιχνεύεται από το δελφίνι ως υπέρηχος συχνότητας

f2=79,524 kHz . Τα ψάρια αντιλαμβάνονται το δελφίνι τη χρονική στιγμή t=0 και αντιστρέφο-

ντας αμέσως την ταχύτητά τους (χωρίς να αλλάξουν το μέτρο της) αρχίζουν να απομακρύνο-

νται από αυτό. Το δελφίνι παραμένει ακίνητο μέχρι τη χρονική στιγμή t=3s και στη συνέχεια

αρχίζει να κυνηγά το κοπάδι κινούμενο με σταθερή ταχύτητα υ∆=20 m/s. Να βρεθούν:

α) η ταχύτητα υΑ των ψαριών. [10]

β) η συχνότητα του υπερήχου που ανιχνεύει το ακίνητο δελφίνι καθώς τα ψάρια απομακρύνο-

νται από αυτό. [77284]

γ) ποια χρονική στιγμή το δελφίνι θα φτάσει στο κοπάδι ψαριών αν τα ψάρια πλησίασαν το

δελφίνι σε απόσταση d=120 m και πόση απόσταση θα έχει διανύσει το κοπάδι αλλά και το

δελφίνι έως τότε. [18s- 180m- 300m]

∆ίνεται η ταχύτητα των υπέρηχων στο νερό υηχ=1400m/s (Θέμα ∆)

27. Το σώμα Σ1 του σχήματος έχει μάζα m1=1kg, φέρει ενσωματωμένο ανιχνευτή ήχου και αρχικά

ισορροπεί δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m. Εκτρέπουμε

το σώμα κατά d=A=0,2 m προς την αρνητική κατεύθυνση και το αφήνουμε ελεύθερο να κινη-

θεί στο λείο οριζόντιο επίπεδο. Στη διεύθυνση ταλάντωσης και στο σημείο Γ υπάρχει ακίνητη

πηγή ήχου που εκπέμπει κύματα συχνότητας fs =510Hz. Όταν το Σ1 βρίσκεται σε απομάκρυν-

ση x=0,1√3m κατευθυνόμενο προς την ηχητική πηγή, συγκρούεται πλαστικά με σώμα Σ2, μά-

ζας m2=3kg , το οποίο κινείται σε αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα υ2=3m/s.


α) η μέγιστη τιμή της συχνότητας που θα καταγράψει ο ανιχνευτής πριν την κρούση. [513]

β) η συχνότητα που καταγράφει ο ανιχνευτής ελάχιστα πριν την κρούση. [511,5]

γ) η σχέση που δίνει την συχνότητα που ανιχνεύει ο ανιχνευτής σε συνάρτηση με τον χρόνο

πριν την κρούση, θεωρώντας t=0 την στιγμή που το Σ1 είναι στην θέση ισορροπίας του και κι-

νείται προς τα θετικά. [fA=510+3συν10t (S.I.)]

δ) η συχνότητα που καταγράφει ο ανιχνευτής αμέσως μετά την κρούση καθώς και το ποσοστό

-203-


της επί % μεταβολής της συχνότητας που καταγράφει ο δέκτης κατά την κρούση. [507Hz, 450/511,5%] ∆ίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υηχ=340m/s. (Θέμα ∆)

28. Ένα σώμα Σ1, μάζας m1=1kg, που φέρει ενσωματωμένη σειρήνα συχνότητας fs=528Hz, κινεί-

ται στον οριζόντιο άξονα x΄x και προς τη θετική κατεύθυνση με ταχύτητα υ1. Μπροστά από το

Σ1 κινείται προς την ίδια κατεύθυνση ένα δεύτερο σώμα Σ2, μάζας m2 =2m1, με ταχύτητα

υ2=5m/s. Ένας ακίνητος παρατηρητής βρίσκεται πάνω στον οριζόντιο άξονα x΄x και δεξιότερα

από τα δύο σώματα. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα Σ1 απέχει 120m από τον παρατηρητή , ο

οποίος αντιλαμβάνεται τον ήχο της σειρήνας να έχει συχνότητα fA=561Ηz. Μετά από χρονικό

διάστημα ∆t το Σ1 φτάνει στο Σ2 και συγκρούεται με αυτό πλαστικά. Το συσσωμάτωμα αφού

κινηθεί για χρονικό διάστημα ∆t προσπερνά τον παρατηρητή τη χρονική στιγμή t=2·∆t.


α) η ταχύτητα του σώματος Σ1 πριν την κρούση του με το Σ2. [20]

β) η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Α μετά την πλαστική κρούση. [544] γ) η χρονική στιγμή που το συσσωμάτωμα προσπερνά τον παρατηρητή. [8]

δ) και να σχεδιαστεί σε αριθμημένους άξονες το μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατη-

ρητής σε σχέση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα 0≤t≤12s. [320/528,

330/528, 350/528] ∆ίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υηχ= 340m/s (Θέμα ∆)

29. Ένα περιπολικό που στέκεται ακίνητο στην άκρη του δρόμου έχει σειρήνα που εκπέμπει κύμα-

τα συχνότητας fs=510 Hz. Ένας ποδηλάτης (παρατηρητής Α) που βρίσκεται ακίνητος ακριβώς

δίπλα στο περιπολικό ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0 ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με α=1 m/s2

απομακρυνόμενος από αυτό. Την ίδια χρονική στιγμή το περιπολικό ενεργοποιεί τη σειρήνα

του. Ένας αθλητής (παρατηρητής Β) που κινείται με σταθερή ταχύτητα υB πλησιάζοντας το

περιπολικό αντιλαμβάνεται ότι η συχνότητα του ήχου της σειρήνας είναι fB. Τη χρονική στιγμή

t=18s ο ποδηλάτης αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας fA που διαφέρει από την fB κατά 36Hz.

-204-


α) Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία κινείται ο αθλητής καθώς και η συχνότητα του ήχου που

αντιλαμβάνεται. [6 - 519]

β) Να βρεθεί η συχνότητα fA του ήχου που αντιλαμβάνεται ο ποδηλάτης σε συνάρτηση με το

χρόνο. [fA=510-1,5t (S.I.)]

γ) Να γίνει σε αριθμημένους άξονες το διάγραμμα της συχνότητας fA του ήχου που αντιλαμβά-

νεται ο ποδηλάτης σε συνάρτηση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα 0≤t≤18s.

δ) Να βρεθεί αριθμός των μεγίστων που άκουσε συνολικά ο ποδηλάτης στο χρονικό διάστημα

0≤t≤18s. [8937]

∆ίνεται υηχ=340m/s. (Θέμα ∆)

30. Ένας ακίνητος παρατηρητής ενώ βρίσκεται στο μέσο Μ μιας γέφυρας ΑΒ μήκους L αντιλαμβά-

νεται σε απόσταση d ,από το άκρο Α της γέφυρας, ένα τρένο να πλησιάζει με ταχύτητα υ0. Τα-

υτόχρονα ακούει τον ήχο της σειρήνας του τρένου η οποία έχει συχνότητα fs=300Hz, ενώ αυ-

τός αντιλαμβάνεται τον ήχο της με συχνότητα fA=340 Hz. Ο παρατηρητής αρχίζει αμέσως να

τρέχει (χρονική στιγμή t=0) με σταθερή ταχύτητα υΑ=8 m/s προς το άκρο Β της γέφυρας και

χρειάζεται χρόνο tA να φτάσει σε αυτό. Ο μηχανοδηγός από την απόσταση d που βρίσκεται ε-

νεργοποιεί το σύστημα φρένων του τρένου, δίνει σε αυτό σταθερή επιτάχυνση α= -0,5 m/s2

και ακινητοποιεί το τρένο στο άκρο Β της γέφυρας μετά από χρονικό διάστημα tA. Να υπολογί-

σετε:

α) την αρχική ταχύτητα του τρένου. [40]

β) το μήκος L της γέφυρας καθώς και τη συνολική απόσταση που διέτρεξε το τρένο μέχρι να

σταματήσει. [1280 - 1600]

γ) τις συναρτήσεις που δίνουν τις θέσεις του τρένου και του παρατηρητή σε σχέση με το χρόνο

για όλο το χρονικό διάστημα της επιβραδυνόμενης κίνησης του τρένου. Να θεωρήσετε x=0 τη

θέση του τρένου τη χρονική στιγμή t=0. Να σχεδιάσετε τις συναρτήσεις σε κοινό ορθογώνιο

αριθμημένο σύστημα αξόνων. [xτρ=40t-0,25t2 και xΑ=960+8t 0≤t≤80s (S.I.)]

δ) ποια ήταν η τελευταία συχνότητα που αντιλήφθηκε ο παρατηρητής πριν τον προσπεράσει το

τρένο. (το αποτέλεσμα να δοθεί με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου). [307,4]

∆ίνεται υηχ=340m/s. (Θέμα ∆)

31. ∆ύο αυτοκίνητα (1) και (2) κινούνται ευθύγραμμα και ο-

μόρροπα με ταχύτητες υ1=40m/s και υ2=20m/s αντίστοιχα.

Τα αυτοκίνητα πλησιάζουν προς κατακόρυφο τοίχο στη βά-

ση του οποίου έχουμε τοποθετήσει έναν ανιχνευτή ηχητικών

-205-


κυμάτων. Κάποια χρονική στιγμή κατά την οποία το αυτοκίνητο (2) προπορεύεται του (1), ο

οδηγός του (2) πιέζει την κόρνα του, η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας fs=640Hz.

Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που:

α. καταγράφει ο ανιχνευτής στη βάση του τοίχου [680]

β. αντιλαμβάνεται ο οδηγός του αυτοκινήτου (1) απευθείας από το αυτοκίνητο (2) [≈676]

γ. ανακλάται από τον τοίχο, όπως την αντιλαμβάνεται ο οδηγός του αυτοκινήτου (1) [760]

δ. ανακλάται από τον τοίχο, όπως την αντιλαμβάνεται ο οδηγός του αυτοκινήτου (2) [720]

∆ίνεται η ταχύτητα του ήχου στον ακίνητο αέρα υ=340m/s.

32. Ένας παρατηρητής A και ένα περιπολικό s (πηγή ήχου) αφού

συναντηθούν στον ίδιο ευθύγραμμο δρόμο συνεχίζουν να κι-

νούνται απομακρυνόμενοι ο ένας από τον άλλον με σταθερές

ταχύτητες. Οι ταχύτητες τους είναι αντίστοιχα υA=20m/s και

υS=10m/s. Καθώς απομακρύνονται ο ένας από τον άλλον, το

περιπολικό εκπέμπει ήχο συχνότητας fs=350Hz για χρονικό διάστημα ∆ts=6,4s. Για τον παρα-

τηρητή A να βρεθεί:

α) η ταχύτητα διάδοσης του ήχου που αντιλαμβάνεται. [320]

β) το μήκος κύματος του ήχου που ακούει. [1]

γ) η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται. [320]

δ) η χρονική διάρκεια ∆tA του ήχου που ακούει. [7]

∆ίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υηχ=340m/s.

33. Ένας παρατηρητής βρίσκεται ανάμεσα σε δυο

ακίνητες και πανομοιότυπες πηγές κυμάτων

Π1 και Π2 οι οποίες εκπέμπουν κύματα ίδιας

συχνότητας fs=510Hz. Ο παρατηρητής κινεί-

ται με σταθερή ταχύτητα υA πλησιάζοντας την

πηγή Π1 και απομακρυνόμενος από την πηγή Π2. Οι ήχοι που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής

έχουν συχνότητες f1 και f2 για τις οποίες ισχύει f1/f2=43/42.


α) η ταχύτητα υA του κινούμενου παρατηρητή. [4]

β) η συχνότητα του κάθε ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. [516-504]

γ) η συχνότητα των διακροτημάτων του σύνθετου ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. [12] δ) η μετατόπιση του παρατηρητή στο χρονικό διάστημα που παρεμβάλλεται μεταξύ 13 μεγι-

στοποιήσεων του πλάτους του σύνθετου ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής.[4]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα

-206-


34. Ένας αρχικά ακίνητος παρατηρητής A (υ0=0) ξεκι-

νά ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση

α=5m/s2, κατευθυνόμενος προς ακίνητη ηχητική

πηγή S. Η πηγή εκπέμπει ήχο συχνότητας

fs=680Hz που διαδίδεται ως προς τον αέρα με τα-

χύτητα υηχ=340m/s. Ο παρατηρητής μετά από

χρόνο ∆t=10s φθάνει στην πηγή την προσπερνά

και συνεχίζει την κίνησή του απομακρυνόμενος

από αυτή.

α) Να βρεθεί η συχνότητα του ήχου που ακούει ο παρατηρητής την χρονική στιγμή t=5s. [730]

β) Να γραφούν οι σχέσεις που συνδέουν τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρα-

τηρητής σε συνάρτηση με το χρόνο, για το χρονικό διάστημα 0 έως 20 s. [fA=680+10t για 0≤t≤10s, fA=680-10t για 10s≤t≤20s]

γ) Να γίνει το διάγραμμα της συχνότητας του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε

σχέση με το χρόνο σε αριθμημένους άξονες από το ξεκίνημα του έως την χρονική στιγμή

t=20s.

δ) Να βρεθεί ο αριθμός των ηχητικών κυμάτων (μέγιστα ήχου) που ανίχνευσε ο παρατηρητής

στο χρονικό διάστημα 0 έως t=10s. [7300]

35. Ένας παρατηρητής κατευθύνεται προς ακίνη-

το αυτοκίνητο με σταθερή ταχύτητα

υΑ=20m/s. Πίσω από τον παρατηρητή και

στην ευθεία αυτοκινήτου - παρατηρητή υπάρ-

χει ακίνητη επιφάνεια στην οποία ο ήχος μπο-

ρεί να ανακλαστεί.

1) Ο οδηγός του αυτοκινήτου κορνάρει εκπέ-

μποντας ηχητικά κύματα συχνότητας

fs=1020Hz.


α) Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής και που προέρχεται απευθείας

από την κόρνα του αυτοκινήτου. [1080]

β) Η συχνότητα του ανακλώμενου ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. [960]

2) Ο παρατηρητής προσπερνά το αυτοκίνητο και καθώς απομακρύνεται από αυτό κινούμενος

πάντα με την ίδια ταχύτητα υA, ο οδηγός του αυτοκινήτου ξανακορνάρει για χρονικό διάστημα

3,2s.


α) Πόση είναι τώρα η συχνότητα του απευθείας αλλά και του ανακλώμενου ήχου που ακούει ο

παρατηρητής; [960]

β) Πόσο μετατοπίστηκε ο παρατηρητής στο χρονικό διάστημα που άκουγε την κόρνα του αυ-

τοκινήτου; [68]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα υηχ=340m/s.

-207-

Επανάληψη: Ταλαντώσεις Παμπέρης ∆ήμος, Φυσικός

Επαναληπτικά Θέματα

1ο Κεφάλαιο

ΘΕΜΑ Α

1. Η σχέση που συνδέει την περίοδο Τ και τη γωνιακή συχνότητα ω σε ένα περιοδικό φαινόμενο,

είναι: Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

a. ω∙Τ=1. b. ω∙Τ=2π c. ω=Τ/2π d. ω∙Τ=0

2. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα ενός

σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτη-

ση με το χρόνο. Το σημείο που αντιστοιχεί σε απομάκρυνση

x=-A είναι: Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

a. το σημείο Α.

b. το σημείο Β.

c. το σημείο Γ.

d. το σημείο ∆.

3. Η περίοδος με την οποία ταλαντώνεται ένα κύκλωμα LC είναι Τ. Τη στιγμή μηδέν ο οπλισμός Α

του πυκνωτή έχει μέγιστο θετικό φορτίο. Η τάση στον πυκνωτή θα γίνει για πρώτη φορά μη-

δέν μετά από χρόνο: Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

a. Τ/4 b.Τ/2. c. 3Τ/4 d. Τ.

4. Η περίοδος με την οποία ταλαντώνεται ένα κύκλωμα LC είναι T. Τη στιγμή μηδέν η ένταση του

ρεύματος στο κύκλωμα είναι μέγιστη. Η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή θα γίνει

για δεύτερη φορά μέγιστη μετά από χρόνο: Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

a. Τ/4 b.Τ/2. c. 3Τ/4 d. Τ.

5. Αν το πλάτος Α μιας φθίνουσας ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο t σύμφωνα με τη σχέση

A=A0e-Λt,όπου A0 το αρχικό πλάτος και Λ μια θετική σταθερά, τότε: Να επιλέξετε τη σωστή α-

πάντηση. a. ο λόγος δύο διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση μει-

ώνεται με το χρόνο.

b. η αντιτιθέμενη δύναμη είναι ανάλογη της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας.

c. το πλάτος της ταλάντωσης είναι σταθερό.

d. η μηχανική ενέργεια του συστήματος ελαττώνεται με την πάροδο του χρόνου.

6. Ένα σώμα εκτελεί κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση των απλών αρμονικών ταλαντώσε-

ων x1=A1ημωt και x2=A2ημωt. Οι δύο ταλαντώσεις γίνονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από το

ίδιο σημείο. Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του σώματος ισούται με: Να επιλέξετε τη

σωστή απάντηση.

a. 2ω. b. ω. c. ω/2. d. 2ω/3.

-208-


-209-


ων ίδιας συχνότητας που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο. Τα πλάτη

των ταλαντώσεων είναι αντίστοιχα 3cm και 1cm. Αν οι ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης 0o

το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος είναι ίσο με:

a. 1cm b. 2cm c. 3cm d. 4cm

8. Σωστό - Λάθος

a. Στην απλή αρμονική ταλάντωση, το μέτρο της επιτάχυνσης είναι σταθερό.

b. Η μέγιστη ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου σε μια ηλεκτρική ταλάντωση ενός

κυκλώματος LC είναι UB,max=Q2/2C

c. Αν μεταβληθεί η σταθερά αυτεπαγωγής του πηνίου σε ένα κύκλωμα LC με αντιστάτη και πη-

γή εναλασσόμενης τάσης, τότε μεταβάλλεται η συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων.

d. Ο ρυθμός μείωσης του πλάτους μιας φθίνουσας μηχανικής ταλάντωσης μειώνεται αν αυξή-

σουμε τη σταθερά απόσβεσης b.

e. Η μελέτη της σύνθετης ταλάντωσης ενός σώματος ονομάζεται σύνθεση ταλαντώσεων.

9. Ο δευτερολεπτοδείκτης ενός ρολογιού έχει περίοδο: Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

a. 1/60 min. b. 60 min. c. 1 min. d. 12 min.

10. Ένα σώμα μάζας m που είναι προσδεδεμένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k, όταν απομα-

κρύνεται από τη θέση ισορροπίας κατά A, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο T. Αν

αντικαταστήσουμε το σώμα με άλλο τετραπλάσιας μάζας και το απομακρύνουμε από τη θέση

ισορροπίας κατά 4A, θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο ίση με: Επιλογή μίας

απάντησης.

a. 2T. b. T. c.T/2. d. 4T.

11. Σε ένα ιδανικό κύκλωμα LC, αν διπλασιάσουμε το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου και

ταυτόχρονα υποδιπλασιάσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή, η περίοδος ταλάντωσης θα:


a. διπλασιαστεί.

b. μείνει ίδια.

c. υποδιπλασιαστεί.

d. υποτετραπλασιαστεί.

12. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση η δύναμη που αντιτίθεται στην κίνηση είναι της μορφής F’=-bυ. Η

ενέργεια της ταλάντωσης: Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση

a. παραμένει σταθερή.

b. μειώνεται με σταθερό ρυθμό.

c. μειώνεται εκθετικά με το χρόνο.

d. αυξάνεται εκθετικά με το χρόνο.


13. Το σώμα μάζας m του σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση

μέσα σε ρευστό από το οποίο δέχεται δύναμη της μορφής F’=-bυ με

b=σταθ. Ο τροχός περιστρέφεται με συχνότητα f. Αν η σταθερά του

ελατηρίου είναι k: Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

a. το σώμα εκτελεί ταλάντωση με συχνότητα (1/2π)(k/m).

b. η ταλάντωση του σώματος παρουσιάζει διακρότημα.

c. το σώμα εκτελεί ταλάντωση με συχνότητα f.

d. το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος μειώνεται σε σχέση με το

χρόνο.


ων που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν

ίδιο πλάτος Α και συχνότητες f1 και f2 που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Το πλάτος της κίνησης

που εκτελεί το σώμα ισούται με:

a. 2A|συν(f1-f2)πt|.

b. 2A|συν(f1-f2)t|

c. 2A|συν(f1-f2)t/2|.

d. 2A|συν(f1-f2)πt/2|.

15. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίδιο πλάτος Α, ίδιας διεύ-

θυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο, με συχνότητες f1 και f2 , που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους.

Τότε:

a. η μέγιστη τιμή του πλάτους είναι Α.

b. η συχνότητα ταλάντωσης είναι |f1-f2|.

c. η περίοδος ταλάντωσης είναι 2/(f1+f2).

d. το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.


a. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, όταν ένα σώμα απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας

του, τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης είναι πάντα αντίρροπα.

b. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται με το χρόνο.

c. Η χωρητικότητα του πυκνωτή έχει στο SI μονάδα μέτρησης το 1C.

d. Όταν η σταθερά απόσβεσης είναι μηδέν, η ταλάντωση είναι αμείωτη.

e. Η κίνηση ενός σώματος που εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιου πλάτους,

ίδιας διεύθυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο, με συχνότητες που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους,

είναι απλή αρμονική ταλάντωση.

17. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση περιόδου T και τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται

στην ακραία αρνητική του απομάκρυνση. Μετά από χρόνο t1=T/2, το σώμα:

a. περνά από τη θέση ισορροπίας του για δεύτερη φορά.

b. έχει αρνητική επιτάχυνση.

c. έχει μέγιστη κινητική ενέργεια.

d. έχει μέγιστη ταχύτητα για τρίτη φορά.

-210-


18. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την επιτάχυνση

ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε

συνάρτηση με το χρόνο.

a. το σώμα αποκτά μέγιστη ταχύτητα για πρώτη φορά τη

χρονική στιγμή που αντιστοιχεί στο σημείο Α.

b. η δύναμη επαναφοράς της ταλάντωσης μηδενίζεται

τις χρονικές στιγμές που αντιστοιχούν στα σημεία Α και

Γ).

c. το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας τις χρονικές στιγμές που αντιστοιχούν στα ση-

μεία Β και ∆).

d. το σώμα αποκτά μέγιστη δυναμική ενέργεια τις χρονικές στιγμές που αντιστοιχούν στα ση-

μεία Β και ∆).

19. Η περίοδος με την οποία ταλαντώνεται ένα κύκλωμα LC είναι T. Τη στιγμή μηδέν η ενέργεια

του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι μηδέν. Η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνί-

ου θα γίνει για πρώτη φορά ίση με μηδέν μετά από χρόνο:

a.T/8. b. T/4. c. 3T/8. d. 3Τ/4.

20. Στις φθίνουσες ταλαντώσεις στις οποίες η αντιτιθέμενη δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας,

διαπιστώνουμε ότι:

a. ο λόγος δύο διαδοχικών μεγίστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση μειώνεται εκ-

θετικά σε σχέση με το χρόνο.

b. σε ακραίες περιπτώσεις, στις οποίες η σταθερά απόσβεσης παίρνει πολύ μικρές τιμές, η κί-

νηση γίνεται απεριοδική.

c. η περίοδος, για ορισμένη τιμή της σταθεράς b, διατηρείται σταθερή και ανεξάρτητη από το

πλάτος ταλάντωσης.

d. ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται το πλάτος της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητος από την τιμή

της σταθεράς απόσβεσης.

21. Όταν η εκφωνήτρια του δελτίου ειδήσεων ενός ραδιοσταθμού λέει: "Μείνετε συντονισμένοι",

εννοεί:

a. "μη μεταβάλλετε τη χωρητικότητα του πυκνωτή του κυκλώματος LC του ραδιοφώνου σας".

b. "μη μεταβάλλετε την ένταση του ήχου".

c. "στρέψτε την κεραία του ραδιοφώνου σας ώστε να λαμβάνετε πιο καθαρά το σήμα μας".

d. "τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που στέλνουμε στην κεραία σας εξαναγκάζουν την κεραία

σας να εκτελέσει ταλάντωση".


ων ίδιας συχνότητας που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σημείο. Τα πλάτη

των ταλαντώσεων είναι αντίστοιχα 5cm και 3cm. Αν οι ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης

180o το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος είναι:

a. μηδέν. b. 2cm. c. 5cm. d. 8cm.

-211-


-212-


a. Αν μεταβληθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου σε ένα κύκλωμα LC με αντιστάτη και

πηγή εναλλασσόμενης τάσης, τότε μεταβάλλεται και η συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώ-

σεων.

b. Η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης σ' ένα κύκλωμα LC διπλασιάζεται, αν διπλασια-

στούν ταυτόχρονα η χωρητικότητα του πυκνωτή και ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου.

c. Κατά το συντονισμό, το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης.

d. Η συχνότητα της ελεύθερης ταλάντωσης ορίζεται ως ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης.

e. Η ταλάντωση που προκύπτει κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας δι-

εύθυνσης και πλάτους, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο με την ίδια συχνότητα, ονομάζε-

ται διακρότημα.


a. Η μέγιστη κινητική ενέργεια σε μια απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D

και πλάτος ταλάντωσης Α, ισούται με Κmax=DA2/2

b. Η συχνότητα f έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1H.

c. Σε ένα σύστημα εξαναγκασμένων ταλαντώσεων, η ενέργεια που απορροφά το σύστημα από

το διεγέρτη εξαρτάται από τη συχνότητα του διεγέρτη.

d. Η περίοδος μιας ηλεκτρικής ταλάντωσης σε ένα κύκλωμα LC δίνεται από τον τύπο

T=2π/(LC)

e. Η απόσβεση (ελάττωση του πλάτους) σε μία φθίνουσα μηχανική ταλάντωση οφείλεται σε

δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση.

25. Ένα υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ. Ο ελάχιστος απαιτούμενος

χρόνος για τη μετάβαση του σώματος από τη θέση x=+A/2 στη θέση x=-A/2, όπου Α το πλά-

τος της ταλάντωσης, είναι:

a. μικρότερος από T/4.

b. ίσος με T/4.

c. μεγαλύτερος από T/4 και μικρότερος από T/2.

d. μεγαλύτερος από T.

26. Το μέτρο της επιτάχυνσης ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι:

a. ανάλογο με το μέτρο της δύναμης επαναφοράς της ταλάντωσης.

b. ανάλογο του τετραγώνου της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του.

c. ανάλογο του μέτρου της ταχύτητας.

d. ανάλογο του τετραγώνου του μέτρου της ταχύτητας.

27. Σε ένα ιδανικό κύκλωμα LC, κάποια χρονική στιγμή t1, η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του

πηνίου είναι μέγιστη. Τη χρονική στιγμή t2=t1+T/8 (όπου T η περίοδος ταλάντωσης):

a. το φορτίο του πυκνωτή είναι μέγιστο.

b. η ένταση του ρεύματος είναι μέγιστη.

c. η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι μηδέν.

d. ο πυκνωτής είναι σε κατάσταση φόρτισης.


28. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η αντιτιθέμενη δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας,

ισχύει το εξής:

a. σε ακραίες περιπτώσεις, στις οποίες η σταθερά απόσβεσης παίρνει πολύ μεγάλες τιμές, η κί-

νηση αποκτά σταθερή περίοδο.

b. η περίοδος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο.

c. όταν ο συντελεστής απόσβεσης μεγαλώνει, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγο-

ρα. d. ο λόγος δύο διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση μειώνεται

γραμμικά σε σχέση με το χρόνο.


ων x1=A1ημωt και x2=A2ημ(ωt+φ). Οι δύο ταλαντώσεις γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην

ίδια διεύθυνση. Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων, η απομάκρυνση του σώ-

ματος κάθε στιγμή θα δίνεται από τη σχέση x=Aημ(ωt+θ), όπου:

a. 2121 AA2AAA 22 και

21

2 .

b. 2121 AA2AAA 22 και

21

2 .

c. 2121 AA2AAA 22 και

21

2 .

d. 2121 AA2AAA 22 και

21

2 .

30. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίδιο πλάτος Α, ίδιας διεύ-

θυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο, με συχνότητες f1 και f2, που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Η

ταλάντωση που προκύπτει:

a. έχει την ίδια περίπου συχνότητα με τις επιμέρους ταλαντώσεις.

b. έχει πλάτος που μεταβάλλεται με αργό ρυθμό, από μηδέν μέχρι Α.

c. είναι φθίνουσα.

d. είναι απλή αρμονική.


a. Αν διπλασιαστεί η σταθερά αυτεπαγωγής του πηνίου σε ένα κύκλωμα LC, τότε υποδιπλασιά-

ζεται η χωρητικότητα του πυκνωτή C.

b. Σε μια εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση συστήματος ελατήριο-μάζα με μηχανικό διεγέρ-

τη, αλλαγή της συχνότητας του διεγέρτη συνήθως επιφέρει αλλαγή στο πλάτος της ταλάντω-

σης.

c. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια σε μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι Umax=mυ2max/2.

d. Το σύστημα ανάρτησης του αυτοκινήτου είναι ένα σύστημα αποσβεννύμενων ταλαντώσεων.

e. Όταν η κίνηση ενός σώματος παρουσιάζει διακροτήματα, το πλάτος της κίνησής του μετα-

βάλλεται.

-213-



a. Σε δύο θέσεις που ισαπέχουν από τη θέση ισορροπίας σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, η

αλγεβρική τιμή της δύναμης επαναφοράς που ασκείται στο σώμα που ταλαντώνεται είναι η ίδι-

α.

b. Σε μια ηλεκτρική ταλάντωση ενός κυκλώματος LC, όταν q<0 και i<0, ο πυκνωτής είναι σε

κατάσταση φόρτισης.

c. Μια εφαρμογή του φαινομένου του συντονισμού είναι η λειτουργία του ραδιοφώνου.

d. Το πόσο γρήγορα μειώνεται το πλάτος μιας ταλάντωσης εξαρτάται από την τιμή της σταθε-

ράς απόσβεσης.

e. Η κίνηση που προκύπτει από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων εξαρτάται και

από τις διευθύνσεις των επιμέρους αρμονικών ταλαντώσεων.

33. Στην απλή αρμονική ταλάντωση ενός σώματος, ο λόγος της δύναμης επαναφοράς F προς την

απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας ισούται με (όπου D η σταθερά επανα-

φοράς):

a. –D b. D. c. -1/D. d. 1/D.

34. Ένα σώμα μάζας m που είναι προσδεμένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k, όταν απομακρύ-

νεται από τη θέση ισορροπίας κατά A, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με ενέργεια ταλά-

ντωσης E. Αν απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας κατά 2A, θα εκτελέσει απλή

αρμονική ταλάντωση με ενέργεια ταλάντωσης:

a. E. b. 2E. c. E/2. d. 4E.

35. Ένα ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση. Στη διάρκεια μιας περιόδου, η ενέρ-

γεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται ίση με την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου

του πηνίου:

a. μία φορά. b. δύο φορές. c. τέσσερις φορές. d. οκτώ φορές.

36. Σε μια φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση:

a. για ορισμένη τιμή της αντίστασης, η περίοδος μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό.

b. ο κύριος λόγος της απόσβεσης είναι η αυτεπαγωγή του πηνίου.

c. δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας.

d. η αύξηση της ωμικής αντίστασης συνεπάγεται γρηγορότερη απόσβεση της ταλάντωσης.


ων x1=A1ημωt και x2=A2ημ(ωt+φ). Οι δύο ταλαντώσεις γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην

ίδια διεύθυνση. Το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα:

a. ισούται με Α1+Α2.

b. μεταβάλλεται με το χρόνο και παίρνει τιμές από μηδέν μέχρι Α1+Α2.

c. εξαρτάται από την τιμή της γωνίας φ.

d. ισούται με 22

21 .


ων x1=A1ημωt και x2=A2ημωt. Οι δύο ταλαντώσεις γίνονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από το

-214-


ίδιο σημείο. Το πλάτος της ταλάντωσης Α του σώματος δίνεται από τη σχέση:

a. Α=Α1+Α2. b. Α=0. c. Α=|Α1-Α2|. d. 22

21 .


a. Η περίοδος μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη από το πλάτος ταλάντωσης.

b. Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς (ή δύο διαδοχικές μεγιστοποιήσεις) της

απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας ονομάζεται περίοδος των διακροτημάτων.

c. Η σχέση μεταξύ του φορτίου q και της έντασης ρεύματος i σε ένα κύκλωμα LC είναι i=ωq.

d. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, κατά το συντονισμό το ταλαντούμενο σύστημα δε χάνει

ενέργεια.

e. Η σταθερά απόσβεσης εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου καθώς και από το σχήμα και το

μέγεθος του αντικειμένου που κινείται.


a. Περίοδος της ταλάντωσης ονομάζεται ο ελάχιστος απαιτούμενος χρόνος για να επιστρέψει

το σώμα στην αρχική του θέση.

b. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, η διεγείρουσα δύναμη είναι σταθερή.

c. Η σχέση μεταξύ απομάκρυνσης x και ταχύτητας υ στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι υ=-

ωx, όπου ω η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης.

d. Τα κυκλώματα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων επειδή εκπέμπουν ηλεκτρομαγνητική ακτινο-

βολία χάνουν ενέργεια.

e. Σε ένα εκκρεμές ρολόι είναι επιθυμητή η μεγάλη απόσβεση.

-215-


ΘΕΜΑ Β

1. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Η ελάχιστη χρονική διάρκεια για τη

μετάβαση του σώματος από τη θέση x=0 στη θέση x=+A/2 είναι tA. Η ελάχιστη χρονική διάρ-

κεια tB για τη μετάβαση του σώματος από τη θέση x=+A/2 στη θετική ακραία θέση x=+A της

ταλάντωσης είναι

α) μικρότερη από tA.

β) ίση με tA.

γ) μεγαλύτερη από tA.


2. Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθε-

ράς k και ηρεμεί στη θέση ισορροπίας. Απομακρύνουμε το σώμα προς τα κάτω κατά Α και το

αφήνουμε ελεύθερο. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Αντικαθιστούμε το ελα-

τήριο με άλλο, σταθεράς 2k, χωρίς να αλλάξουμε το αναρτημένο σώμα. Απομακρύνουμε το

σώμα προς τα κάτω από τη νέα θέση ισορροπίας κατά Α και το αφήνουμε ελεύθερο. Το σύστη-

μα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Ο λόγος αmax,1/αmax,2 των μέτρων των μεγίστων επιτα-

χύνσεων των δύο ταλαντώσεων είναι ίσος με

α) 2. β) 1. γ) 1/2.


3. Η φάση μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρό-

νο όπως φαίνεται στο διάγραμμα:

Η περίοδος της ταλάντωσης είναι ίση με

α) 1s. β) 2s. γ) 2π s.


4. Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθε-

ράς k και ηρεμεί στη θέση ισορροπίας. Απομακρύνουμε το σώμα προς τα πάνω μέχρι να φτάσει

στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και το αφήνουμε ελεύθερο. Το σύστημα εκτελεί απλή

αρμονική ταλάντωση πλάτους A. Το μέτρο της μέγιστης δύναμης που δέχεται το σώμα από το

ελατήριο κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης είναι ίσο με

α) Μηδέν. β) kA. γ) 2kA.


5. Να αποδείξετε ότι σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η απομάκρυνση x του σώματος από τη θέ-

ση ισορροπίας, το πλάτος Α της ταλάντωσης, η ταχύτητα υ του σώματος στην απομάκρυνση x

και η μέγιστη ταχύτητα υmax της ταλάντωσης, συνδέονται με τη σχέση 1A

x2max

2

2

2

.

6. Ένα μικρό σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχοντας ενέργεια ταλάντωσης 20J. Κάποια

στιγμή, που το σώμα βρίσκεται σε ακραία θέση της ταλάντωσης, του ασκούμε στιγμιαία δύνα-

μη με αποτέλεσμα το διπλασιασμό του πλάτους ταλάντωσης. Το έργο που προσφέραμε στο τα-

-216-


λαντούμενο σύστημα μέσω αυτής της στιγμιαίας δύναμης, για το διπλασιασμό του πλάτους τα-

λάντωσης, είναι ίσο με

α) 20J. β) 60J. γ) 80J.


7. Για ένα σύστημα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, να γράψετε τη σχέση που δίνει τη

δυναμική ενέργεια ταλάντωσης σε σχέση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας. Να

αποδείξετε τη σχέση που γράψατε.

8. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει τη μεταβολή

του φορτίου ενός οπλισμού του πυκνωτή σε σχέση με

το χρόνο σε ένα ιδανικό κύκλωμα LC που εκτελεί α-

μείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Τα σημεία του δια-

γράμματος που αντιπροσωπεύουν χρονικές στιγμές,

στις οποίες η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα είναι

αρνητική, είναι τα εξής:

α) Α, Β και Γ.

β) Γ και ∆.

γ) Β και Ε.


9. ∆ιαθέτουμε δύο κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσε-

ων, τα Α και Β. Οι χωρητικότητες των πυκνωτών στα

δύο κυκλώματα είναι ίσες. Στο σχήμα παριστάνεται η

ένταση του ρεύματος στα κυκλώματα Α και Β, σε

συνάρτηση με το χρόνο. Αν η ολική ενέργεια του

κυκλώματος Α είναι E, η ολική ενέργεια του κυκλώ-

ματος Β είναι

α) 4E/9. β) 2E/3. γ) 9E/4.


i

A B

t

10. Στο κύκλωμα του σχήματος, αρχικά ο διακόπτης ∆ είναι

κλειστός, ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος και το κύκλωμα δι-

αρρέεται από σταθερό ρεύμα:

Όταν ανοίξουμε το διακόπτη, ο πυκνωτής

α) θα παραμείνει αφόρτιστος.

β) θα φορτιστεί, με τον οπλισμό Κ να αποκτά πρώτος θετικό

φορτίο.

γ) θα φορτιστεί, με τον οπλισμό Λ να αποκτά πρώτος θετικό

φορτίο.


11. Το πλάτος A μιας φθίνουσας ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο t σύμφωνα με τη σχέση

A=A0e-Λt , όπου A0 το αρχικό πλάτος και Λ μια θετική σταθερά. Ο απαιτούμενος χρόνος μέχρι

-217-


το πλάτος της ταλάντωσης να γίνει A0/2 είναι

α) ln2/2Λ. β) ln2/Λ. γ) 2ln2/Λ.


12. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση όταν το πλάτος της ταλάντωσης είναι A η ενέργεια της ταλάντω-

σης είναι E. Όταν η ενέργεια της ταλάντωσης γίνει E/2, το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι

α) A/4. β) A/2. γ) A2/2.


13. Ένα μηχανικό σύστημα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση. Κάποια στιγμή, το πλάτος της ταλάντω-

σης είναι Α και η ενέργεια της ταλάντωσης είναι Ε. Όταν το πλάτος της ταλάντωσης μειωθεί

κατά 50%, η ενέργεια που έχει απομείνει στο σύστημα είναι

α) 0,75Ε. β) 0,5Ε. γ) 0,25Ε.


14. Η σφαίρα Σ είναι αναρτημένη σε ιδανικό ελατήριο και εκτελεί φθίνουσα

ταλάντωση στο εσωτερικό του δοχείου. Με τη χρήση μιας αεραντλίας

μειώνουμε πολύ αργά την πίεση του αέρα στο δοχείο. Από τη στιγμή που

σταματά η λειτουργία της αεραντλίας, το πλάτος της ταλάντωσης της

σφαίρας Σ σε σχέση με το χρόνο

α) αυξάνεται.

β) παραμένει σταθερό.

γ) μειώνεται.


15. Ένα σώμα μάζας m είναι κρεμασμένο από ελατήριο σταθεράς k και εκτελεί εξαναγκασμένη τα-

λάντωση πλάτους A1 και συχνότητας f1, μικρότερης από την ιδιοσυχνότητα f0 του συστήματος.

Για να γίνει το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης μεγαλύτερο του A1, πρέπει η συχνότη-

τα f του διεγέρτη

α) να αυξηθεί και να πλησιάσει την τιμή f0.

β) να μειωθεί.

γ) να αυξηθεί και να ξεπεράσει κατά πολύ την τιμή f0.


16. Το σώμα μάζας m του σχήματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μέ-

σα σε δοχείο που περιέχει αέρα υπό πίεση, από τον οποίο δέχεται δύνα-

μη της μορφής F'=-bυ με b=σταθ. Αν αυξηθεί η πίεση του αέρα στο δο-

χείο, με αποτέλεσμα να υπάρξει μια μικρή αύξηση της σταθεράς b, το

σώμα θα εκτελέσει:

α) φθίνουσα ταλάντωση.

β) αμείωτη ταλάντωση μικρότερου πλάτους.

γ) απεριοδική κίνηση.


-218-


17. Σε ένα κύκλωμα LC με αντιστάτη και πηγή εναλλασσόμενης τάσης, το

πλάτος της έντασης του ρεύματος σε συνάρτηση με τη συχνότητα f της

εναλλασσόμενης τάσης δίνεται στο παρακάτω διάγραμμα: Όταν η συ-

χνότητα f είναι ίση με LC

1, το πλάτος της έντασης του ρεύματος εί-

ναι I1. Μεταβάλλουμε τη συχνότητα f. Για να ξαναγίνει το πλάτος της

έντασης του ρεύματος ίσο με I1, πρέπει η συχνότητα της εναλλασσόμενης τάσης να γίνει

α) μεγαλύτερη από LC

1

β) ίση με LC2

1

γ) μικρότερη από LC2

1



ων που περιγράφονται από τις εξισώσεις: x1=0,01ημ100πt και x2=0,01ημ102πt (SI). Οι δύο

ταλαντώσεις γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο και στην ίδια διεύθυνση. Η εξίσωση της ταλά-

ντωσης που εκτελεί το σώμα δίνεται από τη σχέση

α) x=0,02συνπt∙ημ101πt (SI)

β) x=0,02συν2πt∙ημ101πt (SI)

γ) x=0,02ημ101πt (SI)



ων x1=0,04ημ400πt και x2=0,04ημ404πt (SI). Οι δύο ταλαντώσεις γίνονται γύρω από το ίδιο

σημείο και στην ίδια διεύθυνση. Τη χρονική στιγμή t1 το πλάτος της κίνησης που εκτελεί το

σώμα είναι 0,08m. Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος θα μηδενιστεί για πρώτη φορά τη

χρονική στιγμή

α) t1+0,25 s. β) t1+0,5 s γ) t1+1 s


20. Το σώμα Σ του σχήματος εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονι-

κές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, γύρω από το ίδιο σημείο, με

περιόδους T1 και T2, με αποτέλεσμα η κίνησή του να παρουσιάζει

διακροτήματα. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του

πλάτους της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα είναι ίσος με

α. 21

21

TT

TT

β.

221 TT

γ. 21 TT


-219-


21. Ένα σώμα εκτελεί κίνηση που οφείλεται στη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ί-

διας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος A και συχνότητες f1

και f2 που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Στο χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενι-

σμών του πλάτους, το σώμα έχει διέλθει από τη θέση ισορροπίας του

α. 21

21

2 ff

ff

φορές β. 21

21

ff

ff

φορές γ.

21

212

ff

ff

φορές


22. Το σχήμα παρουσιάζει τις απλές αρμονικές ταλαντώσεις 1,

2 και 3, οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από

το ίδιο σημείο. Αν γνωρίζετε ότι ένα σώμα εκτελεί κίνηση

που προέρχεται από τη σύνθεση δύο ταλαντώσεων από

αυτές τότε η ταλάντωση που περιγράφει την κίνηση του

σώματος είναι

α) η ταλάντωση 1.

β) η ταλάντωση 2.

γ) η ταλάντωση 3.


23. Από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, που οι συχνότητές τους f1 και f2 (f2>f1)

διαφέρουν πολύ λίγο, προκύπτει η ιδιόμορφη περιοδική κίνηση του σχήματος.

Αν η συχνότητα f1 ισούται με 29 Hz, η συχνότητα της περιοδικής κίνησης ισούται με

α) 31Hz. β) 30Hz. γ) 2Hz.


24. Ένα σώμα εκτελεί ταλάντωση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλα-

ντώσεων ίδιας συχνότητας που γίνονται στην ίδια διεύθυνση γύρω από το ίδιο σημείο. Όταν το

σώμα εκτελεί μόνο την πρώτη ταλάντωση, η ενέργεια της ταλάντωσης είναι E1=2J. Όταν το

σώμα εκτελεί μόνο τη δεύτερη ταλάντωση, η ενέργεια της ταλάντωσης είναι E2=8J. Όταν το

σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τις δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, η ενέργεια της ταλάντωσης

είναι E=10J. Η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων είναι ίση με

α) 30o. β) 90o. γ) 60o.


-220-


Προσθήκες 2014

25. ∆ύο απλοί αρμονικοί ταλαντωτές Α και Β με σταθερές επαναφοράς DA και DB αντίστοιχα, με DA

> DB , εκτελούν αμείωτες αρμονικές ταλαντώσεις και έχουν την ίδια μέγιστη κινητική ενέργεια.

Ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι

α. μεγαλύτερος στον ταλαντωτή Α.

β. μεγαλύτερος στον ταλαντωτή Β.

γ. ίσος και στους δύο ταλαντωτές.

Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

26. Ένα σώμα ξεκινά να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση τη χρονική στιγμή t=0 από τη θέση x

= -A/2 με κατεύθυνση προς τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Η φάση της ταλάντωσης ό-

ταν το σώμα εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση είναι

α. 8π

3 rad β.

23π

6 rad γ.

19π

6 rad


27. Ένα σώμα ξεκινά να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση τη χρονική στιγμή t=0 και τη χρονική

στιγμή t=T/8 ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του γίνεται μέγιστος. Η αρχική φάση φ0 της τα-

λάντωσης είναι.

α. 5π

4 rad β.

π

6 rad γ.

7π

4 rad


28. Τα δύο σώματα Σ1 και Σ2 έχουν μάζες m

και 2m αντίστοιχα, είναι δεμένα στα άκρα

δύο ελατηρίων με σταθερές k και k/2, ό-

πως φαίνεται στο σχήμα. Τα δύο σώματα

εκτελούν απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίσες μέγιστες επιταχύνσεις.

Για τις ολικές ενέργειες των ταλαντώσεων Ε1 και Ε2 ισχύει

α. Ε2 = Ε1 β. Ε2=4Ε1 γ. Ε2=8Ε1


-221-


29. Ένα σώμα μάζας m είναι δεμένο και ισορροπεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρί-

ου σταθεράς k1 του οποίου το πάνω άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Απομακρύ-

νουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω μέχρι τη θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου

και το αφήνουμε ελεύθερο να κάνει ταλάντωση. Επαναλαμβάνουμε το ίδιο πείραμα με ένα άλ-

λο ελατήριο σταθεράς k2 = 4k1.

Οι γραφικές παραστάσεις των κινητικών ενεργειών των δύο ταλαντώσεων σε συνάρτηση με

την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, φαίνονται στο διάγραμμα του σχήματος

α. (I) β. (II) γ. (III)


30. Σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC, τη χρονική στιγμή που η τάση του πυκνωτή

είναι η μισή της μέγιστης τάσης του, η ενέργεια UB του μαγνητικού πεδίου του πηνίου και η

ενέργεια UΕ του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή συνδέονται με τη σχέση

α. UB=0,5UE β. UB = 0,25UE γ. UB = 3UE


31. ∆ύο ιδανικά κυκλώματα ηλεκτρικών ταλα-

ντώσεων LC έχουν ίσες ολικές ενέργειες

και για τα μέγιστα ρεύματα ισχύει 1 2

3

2 ·

Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνονται οι

μεταβολές των ρευμάτων που διαρρέουν

τα δύοκυκλώματα σε συνάρτηση με το

χρόνο. Για τις χωρητικότητες των πυκνωτών C1 και C2 αντίστοιχα ισχύει

α. C1=C2 β. C1=9

16 C2 γ. C1=

16

9C2


32. Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση A=A0e-Λt. Αν με Α0, A1, A2, Α3, Α4

συμβολίσουμε διαδοχικά πλάτη της ταλάντωσης προς την ίδια κατεύθυνση, τότε ισχύει η σχέ-

ση

-222-


α. 0 2

2 4

β. 0 1

1 2

γ. 3 2

4 1


33. Ένα σώμα μάζας m είναι προσδεμένο σε ελατήριο σταθεράς k και εκτελεί εξαναγκασμένη τα-

λάντωση. Η συχνότητα του διεγέρτη είναι f = f0, όπου f0 η ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Α-

ντικαθιστούμε τη μάζα m του σώματος με άλλη εννιαπλάσια και διατηρούμε τη συχνότητα του

διεγέρτη σταθερή. Η παραπάνω μεταβολή προκαλεί

α. τριπλασιασμό της ιδιοσυχνότητας και αύξηση του πλάτους ταλάντωσης του συστήματος.

β. υποτριπλασιασμό της ιδιοσυχνότητας και μείωση του πλάτους ταλάντωσης του συστήματος.

γ. μόνο μείωση του πλάτους της ταλάντωσης του συστήματος.


34. Ένα ραδιόφωνο είναι συντονισμένο σε σταθμό συχνότητας 1000ΚΗz. Γυρίζουμε το κουμπί επι-

λογής των σταθμών και μειώνουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή κατά 36%. Ο νέος σταθμός

στον οποίο θα συντονιστεί το ραδιόφωνο θα έχει συχνότητα

α. 1250ΚΗz. β. 800ΚΗz. γ. 1360ΚΗz.



ντώσεων που γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, στην ίδια διεύθυνση, με το ίδιο

πλάτος και συχνότητες f1,f2 που διαφέρουν λίγο (f1<f2), ώστε να δημιουργείται διακρότημα. Η

μία αρμονική ταλάντωση έχει συχνότητα f1=98 Hz και η περίοδος του διακροτήματος είναι

0,25 sec. Μέσα σε χρονικό διάστημα ίσο με την περίοδο του διακροτήματος το σώμα εκτελεί

α. 25 ταλαντώσεις.

β. 50 ταλαντώσεις.

γ. 125 ταλαντώσεις.



ντώσεων που γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, στην ίδια διεύθυνση και η μία αρ-

μονική ταλάντωση περιγράφεται από την εξίσωση x1 = 5ημ(10πt +π/2) ( S.I.). Αν το αποτέ-

λεσμα της σύνθεσης των δύο ταλαντώσεων είναι x= 2ημ(10πt +π/2) ( S.I.), τότε η δεύτερη

αρμονική ταλάντωση περιγράφεται από την εξίσωση

α. x2 =3ημ(10πt + π) ( S.I.).

β. x2 = 3ημ(10πt+π/2) (S.I.).

γ. x2 =3ημ(10πt+3π/2) ( S.I.).


37. Ένα ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις. Τη χρονική στιγμή

που η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου UB του πηνίου γίνεται ίση με την ενέργεια του ηλεκτρι-

κού πεδίου του πυκνωτή UE, UE = UB, το φορτίο του πυκνωτή είναι ίσο με

-223-


α. Q

2 β.

Q 3

2 γ.

Q 2

2


38. Ένα ιδανικό κατακόρυφο ελατήριο είναι στερεωμένο με το κάτω άκρο του σε οριζόντιο δάπεδο,

ενώ στο πάνω άκρο του υπάρχει στερεωμένο σώμα μάζας m1. Συσπειρώνουμε επιπλέον το ε-

λατήριο απομακρύνοντας το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά d και το αφήνουμε ελεύ-

θερο, οπότε αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχοντας ενέργεια ταλάντωσης Ε1 και συ-

χνότητα f1. Στη συνέχεια επαναλαμβάνουμε την ίδια ακριβώς διαδικασία αντικαθιστώντας μόνο

το σώμα με ένα άλλο τετραπλάσιας μάζας (m2 = 4m1). Η νέα ενέργεια ταλάντωσης Ε2 και η

νέα συχνότητα f2 είναι αντίστοιχα

α. Ε2 = Ε1 και f2 = f1 .

β. Ε2 = 2Ε1 και f2 = f1 .

γ. Ε2 = Ε1 και f2 = f1/2 .


39. Ένα σύστημα ξεκινά φθίνουσες ταλαντώσεις με αρχική ενέργεια 100J και αρχικό πλάτος Α0. Το

έργο της δύναμης αντίστασης μετά από Ν ταλαντώσεις είναι -75J. Άρα το πλάτος ταλάντωσης

μετά από Ν ταλαντώσεις είναι:

α. Α0/2. β. Α0/16. γ. Α0/5.


40. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα της δυ-

ναμικής ενέργειας σε συνάρτηση με την απομάκρυν-

ση, U = f(x), για δύο συστήματα μάζας - ελατηρίου

που εκτελούν α.α.τ . Αν γνωρίζουμε ότι οι μάζες συν-

δέονται με τη σχέση m1=m2 , ο λόγος των περιόδων

ταλάντωσης T1/T2 είναι ίσος με

α. 2. β. 1/2. γ. 1/4.


41. Η γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας ενός α-

πλού αρμονικού ταλαντωτή σε συνάρτηση με το χρόνο

φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν τη χρονική στιγμή t1 η

ταχύτητα του σώματος έχει θετικό πρόσημο, η γραφική

παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο

είναι η

-224-



42. ∆ύο αρμονικοί ταλαντωτές (1) και (2) με σταθερές επαναφοράς D1 και D2 αντίστοιχα, έχουν

σώματα των οποίων οι μάζες m1 και m2 συνδέονται με τη σχέση m1 = 4m2. Οι δύο ταλαντωτές

έχουν τις ίδιες ενέργειες ταλάντωσης Ε και τις ίδιες περιόδους Τ. Το σχήμα που δείχνει τα δια-

γράμματα των δυνάμεων επαναφοράς τους F σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x, F = f(x),

είναι το :


43. Η κινητική ενέργεια ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μειώνεται και η αλ-

γεβρική τιμή της επιτάχυνσης αυξάνεται. Άρα η ταχύτητα

α. και η επιτάχυνση έχουν την ίδια κατεύθυνση.

β. είναι αρνητική και το μέτρο της μειώνεται.

γ. είναι θετική και το μέτρο της μειώνεται.


44. Στο σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των εξι-

σώσεων φορτίου-χρόνου, q = f(t), στη χρονική διάρ-

κεια 0 έως to, για δύο ιδανικά κυκλώματα LC. Ο λόγος

των μεγίστων εντάσεων ρεύματος, 2

1

I

I , στα δύο κυ-

κλώματα ισούται με

α. 3/4. β. 4/3. γ. 4/9.

-225-



ων, ίδιου πλάτους και ίδιας διεύθυνσης. Οι συχνότητες f1 και f2 αντίστοιχα των δύο ταλαντώ-

σεων διαφέρουν μεταξύ τους 4Hz, (f2 > f1), με αποτέλεσμα να παρουσιάζεται διακρότημα. Αν

η συχνότητα f1 αυξηθεί κατά 8Hz, χωρίς να μεταβληθεί η συχνότητα f2, ο χρόνος που μεσολα-

βεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους θα

α. παραμείνει ο ίδιος,

β. μειωθεί κατά 4s.

γ. αυξηθεί κατά 1/4 s.


46. Στη διάταξη του σχήματος, το πηνίο Π' βρίσκε-

ται σε επαγωγική σύζευξη με το πηνίο Π του

κυκλώματος LC. Τα δύο κυκλώματα βρίσκονται

σε κατάσταση συντονισμού. Αν στο πηνίο Π ει-

σαχθεί πυρήνας μαλακού σιδήρου, με συνέπεια

να αυξηθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής του,

τότε η συχνότητα των ταλαντώσεων του κυ-

κλώματος LC θα

α. μειωθεί και το πλάτος της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα LC θα παραμείνει

αμετάβλητο.

β. παραμείνει αμετάβλητη και το πλάτος της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα

LC θα μειωθεί.

γ. παραμείνει αμετάβλητη και το πλάτος της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα

LC θα αυξηθεί.


-226-

max max

47. ∆ιαθέτουμε δύο ιδανικά κυκλώματα ηλεκτρικών ταλα-

ντώσεων, τα Α και Β. Οι συντελεστές αυτεπαγωγής των

δύο πηνίων είναι ίσοι. Στο σχήμα παριστάνεται η ένταση

του ρεύματος που διαρρέει τα δύο κυκλώματα ως συνάρ-

τηση του χρόνου. Για τις μέγιστες τάσεις στα άκρα των

πυκνωτών ισχύει:

α. max β. max γ. C,A C,BV V C,A C,BV 4 V max

maxC,A

VV C,B

4

∆ικαιολογήσετε την απάντηση σας.

48. Ένας ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο αρμονικών ταλα-

ντώσεων που έχουν εξισώσεις:

x1 = Αημ196πt (t σε s) και x2 = Αημ204πt (t σε s).

Οι δύο ταλαντώσεις εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Στο

χρονικό διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους, ο ταλαντω-

τής διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του


-227-

α. 50 φορές, β. 100 φορές, γ. 25 φορές.



-228-

ΘΕΜΑ Γ

1. Ένα σώμα μάζας m=1kg είναι στερεωμένο στην άκρη οριζοντίου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς

k=100N/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σώμα εκτελεί απλή αρ-

μονική ταλάντωση, κατά τη διεύθυνση του άξονα χ'χ, σε λείο οριζόντιο επίπεδο με πλάτος

A=0,1m. Τη χρονική στιγμή t0=0 το σώμα βρίσκεται στη θέση τη μέγιστης θετικής απομά-

κρυνσης.

Να βρείτε:

α) τη γωνιακή συχνότητα ω και την ενέργεια Ε της ταλάντωσης. [10 – 0,5]

β) την εξίσωση x=f(t) της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. [x=0,1ημ(10t+π/2)] γ) το διάστημα d που θα διανύσει το σώμα μέχρι το μέτρο της ταχύτητάς του να μεγιστοποιη-

θεί για δεύτερη φορά μετά τη χρονική στιγμή t0. [0,3]

δ) την ταχύτητα υ του σώματος τη στιγμή που βρίσκεται στη θέση x2=+Α√2/2 και κινείται με

κατεύθυνση προς τη θέση ισορροπίας του. [-2/2]

2. Ένα κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=200N/m έχει το πάνω άκρο του στερεωμένο σε

μια οροφή. Στο κάτω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα μάζας m=2kg που ισορροπεί.

Μετακινούμε το σώμα προς τα πάνω κατά d=0,2m και τη χρονική στιγμή t0=0 το αφήνουμε

ελεύθερο. Το σώμα ξεκινά να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Θεωρώντας θετική την κατα-

κόρυφη προς τα κάτω φορά να βρείτε:

α) την αρχική φάση φ0 της ταλάντωσης. [3π/2]

β) τη μέγιστη ταχύτητα υmax του σώματος κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης. [2]

γ) την κινητική ενέργεια Κ του σώματος τις χρονικές στιγμές που η δυναμική ενέργεια ταλά-

ντωσης είναι U=1J. [3]

δ) το μέτρο της μέγιστης δύναμης Fελ,max που ασκεί το ελατήριο στο σώμα κατά τη διάρκεια της

ταλάντωσης. [60]


3. Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο στο δάπεδο. Στο άνω

άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα μάζας m που ισορροπεί. Στη θέση ισορροπίας, το ε-

λατήριο είναι συσπειρωμένο κατά d=0,05m. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με

ενέργεια E=1J και εξίσωση απομάκρυνσης x=0,1ημ(ωt+π) (S.I.). Θετική έχει θεωρηθεί η κα-

τακόρυφη προς τα κάτω φορά.

Να βρείτε:

α) τη σταθερά k του ελατηρίου. [200]

β) τη μάζα m του σώματος. [1]

γ) τη γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης. [102]

δ) την ταχύτητα υ του σώματος, τη χρονική στιγμή t=π2/80 s. [-1]



4. Ένα σώμα μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλά-

ντωση πλάτους Α. Η ενέργεια της ταλάντωσης είναι

E=0,8J. Η γραφική παράσταση της ταχύτητας υ του

σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο t απεικονίζεται

στο παρακάτω σχήμα

α) να βρείτε το πλάτος Α της ταλάντωσης. [0,2]

β) να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς D της

ταλάντωσης. [40]

γ) να παραστήσετε γραφικά τη φάση φ της ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου t, στο χρονικό

διάστημα από t0=0 ως t=T, αν γνωρίζουμε ότι η απομάκρυνση του σώματος μεταβάλλεται ό-

πως το ημίτονο σε σχέση με το χρόνο. [φ=20t+3π/2]

δ) να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t=π/40 s. [0]

5. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτη η-

λεκτρική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t0=0, ο πυκνωτής

έχει το μέγιστο ηλεκτρικό φορτίο Q=4mC. Ο πυκνωτής έ-

χει χωρητικότητα C=50μF και το πηνίο έχει συντελεστή

αυτεπαγωγής L=20mH.

Να βρείτε:

α) Την εξίσωση q=f(t) του φορτίου του οπλισμού Κ του

πυκνωτή. [q=4∙10-3συν103t (SI)]

β) Την ενέργεια Ε της ηλεκτρικής ταλάντωσης. [0,16]

γ) Τη χρονική στιγμή t1 κατά την οποία η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα μεγιστοποιείται

για δεύτερη φορά μετά τη χρονική στιγμή t0. [1,5π∙10-3]

δ) Την ένταση i του ρεύματος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το φορτίο του οπλισμού Κ εί-

ναι q=-23mC και ο πυκνωτής είναι σε κατάσταση φόρτισης. [-2]

6. Στο κύκλωμα του σχήματος δίνονται: πηγή ηλεκτρεγερτι-

κής δύναμης E=10V μηδενικής εσωτερικής αντίστασης,

πυκνωτής χωρητικότητας C=100μF, ιδανικό πηνίο με συ-

ντελεστή αυτεπαγωγής L. Αρχικά ο μεταγωγός μ είναι στη

θέση (Α) και ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος.

Στρέφουμε το μεταγωγό στη θέση (Β) και το κύκλωμα LC

αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος

στο κύκλωμα LC είναι I=0,1A.

Να βρείτε:

α) Το μέγιστο φορτίο Q του πυκνωτή. [10-3]

β) Την περίοδο Τ της ηλεκτρικής ταλάντωσης. [π/50]

γ) Το συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου. [1]

δ) Το λόγο UΕ/UΒ της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή προς την ενέργεια του

μαγνητικού πεδίου του πηνίου τις χρονικές στιγμές που το φορτίο του πυκνωτή είναι

q=Q2/2. [1]

-229-


7. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική

ταλάντωση. Ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=4μF και η περίοδος

ταλάντωσης του κυκλώματος είναι T=2π∙10-3s. Τη χρονική στιγμή

που το φορτίο του πυκνωτή είναι q=2∙10-6C, η ένταση του ρεύμα-

τος στο κύκλωμα είναι i=23mA. Τη χρονική στιγμή t=(3π/4)∙10-3s

ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος.

Να βρείτε:

α) Τη χρονική στιγμή t2 κατά την οποία ο πυκνωτής φορτίζεται πλήρως για πρώτη φορά μετά

τη χρονική στιγμή t1. [(7π/4)∙10-3s]

β) Τη μέγιστη ένταση I του ρεύματος στο κύκλωμα. [4∙10-3]

γ) Το συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου. [0,25]

δ) Τη μέγιστη τάση Vmax μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή. [1]


ων που περιγράφονται από τις εξισώσεις: x1=23ημ10πt (cm) και x2=3ημ(10πt+2π/3) (cm).

Οι δύο ταλαντώσεις γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο και στην ίδια διεύθυνση.

Να βρείτε:

α) Την περίοδο Τ της ταλάντωσης του σώματος. [0.2]

β) Το πλάτος Α της ταλάντωσης. [3 cm]

γ) Την αρχική φάση φ0 της ταλάντωσης. [π/6]

δ) Τη χρονική στιγμή t1 στην οποία το σώμα φτάνει σε ακραία θέση της ταλάντωσής του για

πρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή t0=0. [1/30]

9. ∆ιαθέτουμε δύο κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων Α και

Β. Τα πηνία είναι ιδανικά και οι αγωγοί σύνδεσης έχουν α-

μελητέα αντίσταση. Η μεταβολή του φορτίου καθενός πυ-

κνωτή , σε συνάρτηση με το χρόνο , φαίνεται στο ακόλουθο

διάγραμμα. Οι πυκνωτές έχουν χωρητικότητες CΑ=1μF και

CΒ=2μF.

α) Να βρείτε τις μέγιστες τιμές της ενέργειας

ηλεκτρικού πεδίου για κάθε κύκλωμα. [2∙10-6 – 2,25∙10-6] β) Να βρείτε τις τιμές των συντελεστών αυ-

τεπαγωγής των δύο πηνίων. [2,5 - 5]

γ) Να βρείτε τις μέγιστες τιμές των ρευμά-

των που διαρρέουν τα δύο κυκλώματα. [4π∙10-4 - 3π∙10-4] δ) Να γράψετε τις εξισώσεις των φορτίων

των πυκνωτών, σε συνάρτηση με το χρόνο,

στα δύο κυκλώματα, σε μονάδες του S.I. [qA=2∙10-6∙ημ200πt (S.I.) και qΒ=3∙10-6∙ημ100πt

(S.I.)] ∆ίνεται π2=10π.

-230-



10. Ένα μικρό σώμα μάζας m=0,2 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε οριζόντιο επίπεδο. Τη

στιγμή t=0 βρίσκεται στην ακραία αρνητική του απομάκρυνση και τη στιγμή t1=π/20 s διέρχε-

ται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης με ταχύτητα μέτρου 4m/s.

Α. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t2 που το σώμα θα φτάσει στη ακραία θετική απομάκρυνση του

για πρώτη φορά. [π/10s]

Β. Να βρείτε το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του σώματος κατά τη διάρκεια της ταλάντω-

σης του. [40m/s2]

Γ. Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης επαναφοράς της ταλάντωσης σε σχέση με το χρόνο

και να τη σχεδιάσετε για μια περίοδο. [F = 8συν10t , (SI)]

∆. Να βρείτε χρονική στιγμή t3 που η κινητική ενέργεια ισούται με τη δυναμική ενέργεια της

ταλάντωσης για πρώτη φορά. [π/40 s]

11. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το διάγραμμα

επιτάχυνσης - χρόνου για ένα σώμα που ε-

κτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Το μέτρο

της μεταβολής της αλγεβρικής τιμής της ορ-

μής ανάμεσα σε δύο διαδοχικές διελεύσεις του

σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι

∆p=2nkgm/s.


Α. η αρχική φάση της ταλάντωσης. [3π/2 rad]

Β. το πλάτος της ταλάντωσης. [0,2m]

Γ. η μάζα του σώματος. [1Kg]

∆. ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t, που η επιτάχυνση είναι

25m/s2. [25 Kgm/s2]

∆ίνεται π2 =10.

12. Ένα σώμα μάζας m = 2kg ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο κα-

τακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 50N/m, του οποίου

το κάτω άκρο είναι στερεωμένο στο δάπεδο. Εκτρέπουμε κατακό-

ρυφα το σώμα προς τα πάνω μέχρι το φυσικό μήκος του ελατηρί-

ου (Βλέπε σχήμα) και το αφήνουμε ελεύθερο. Να βρεθούν:

Α) το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος. [0,4m]

Β) η ενέργεια που δαπανήθηκε για να εκτρέψουμε το σώμα από

τη θέση ισορροπίας του μέχρι τη θέση του φυσικού μήκους του

ελατηρίου. [4J]

Γ) η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης και η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρί-

ου κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης. [4J-16J]

∆) η χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα θα αποκτήσει ταχύτητα μέτρου υ= 3 m/s για

-231-


δεύτερη φορά. [2π/15s]

Θεωρείστε θετική φορά προς τα πάνω. ∆ίνεται g = 10m/ s2.

13. Η πηγή στο κύκλωμα του διπλανού σχήματος έχει

χαρακτηριστικά ε=60V, r=2 Ω, ο πυκνωτής έχει χω-

ρητικότητα C=200μF, ο αντιστάτης έχει αντίσταση

R=10Ω και το ιδανικό πηνίο συντελεστή αυτεπαγω-

γής L=0,5H. Ο μεταγωγός αρχικά βρίσκεται στη θέ-

ση 1 και το κύκλωμα διαρρέεται απο σταθερό ρεύμα.

Τη χρονική στιγμή t=0 ο μεταγωγός τοποθετείται

στη θεση 2. Να βρεθούν:

Α) η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την πηγή και το φορτίο του πυκνωτή όταν ο μεταγω-

γός βρισκόταν στη θέση 1. [5Α,10-2C]

Β) η εξίσωση που περιγράφει πως μεταβάλλεται το φορτίο του οπλισμού Γ του πυκνωτή σε

σχέση με το χρόνο μετά τη χρονική στιγμή t=0 και να παρασταθεί γραφικά σε αριθμημένους

άξονες. [qr =10-2·συν100t , (S.I.)]

Γ) το φορτίο του οπλισμού Γ τη χρονική στιγμή t1 που η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα

γίνεται για πρώτη φορά ί=+Ι/2 , όπου I είναι το πλάτος της έντασης του ρεύματος.

[- 2310

2 C]

∆) τη χρονική στιγμή U του ερωτήματος γ , η απόλυτος τιμή του ρυθμού μεταβολής της έντα-

σης του ρεύματος στο κύκλωμα. [50 3 A/s]

-232-


ΘΕΜΑ ∆

1. Στο κύκλωμα του σχήματος η πηγή έχει ηλεκτρεγερτική δύναμη E=2V και μηδενική εσωτερική

αντίσταση, οι ωμικοί αντιστάτες έχουν αντίσταση R=10Ω, ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα

C=5∙10-6 F το πηνίο L1 έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L1=200mH και το πηνίο L2 έχει συντελε-

στή αυτεπαγωγής L2=4mH. Αρχικά ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος, ο μεταγωγός μ1 είναι στη

θέση (Α), ο μεταγωγός μ2 είναι στη θέση (Γ) και το πηνίο L1 διαρρέεται από σταθερό ρεύμα.

Στρέφουμε το μεταγωγό μ1 στη θέση (Β) και το κύκλωμα L1C αρχίζει να εκτελεί αμείωτη ηλε-

κτρική ταλάντωση. Κάποια χρονική στιγμή t0=0 που η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα L1C

είναι μηδέν, στρέφουμε το μεταγωγό μ2 στη θέση (∆) και το κύκλωμα RL2C αρχίζει να εκτελεί

φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση.

Να βρείτε:

α) τη μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα L1C. [0,2]

β) την ενέργεια E1 της ταλάντωσης του κυκλώματος L1C. [4∙10-3]

γ) το λόγο UΕ/UΒ της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή προς την ενέργεια του

μαγνητικού πεδίου του πηνίου στο κύκλωμα L1C, τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το φορ-

τίο του πυκνωτή είναι q=10-4C. [1/3]

δ) τη θερμότητα QR που ρέει από το κύκλωμα RL2C προς το περιβάλλον, από τη χρονική στιγ-

μή t0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1, κατά την οποία το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή είναι

Q1=5∙10-5 C [3,75∙10-3]

2. Στο ιδανικό κύκλωμα του σχήματος έχουμε αρχικά

τον πυκνωτή χωρητικότητας C=20μF φορτισμένο

με φορτίο Q, με πολικότητα που φαίνεται στο

σχήμα και τους διακόπτες ∆1 και ∆2, ανοικτούς. Τη

χρονική στιγμή t0=0 ο διακόπτης ∆1 κλείνει οπότε

στο κύκλωμα L1C έχουμε αμείωτη ηλεκτρική τα-

λάντωση. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής L1 του πηνίου του κυκλώματος L1C είναι L1=2mH. Η

μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα L1C είναι I1=2∙10-2Α. Τη χρονική στιγμή

t1=T1, όπου T1 η περίοδος της ταλάντωσης του κυκλώματος L1C, ο διακόπτης ∆1 ανοίγει και

ταυτόχρονα κλείνει ο ∆2, οπότε στο κύκλωμα L2C έχουμε αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με

περίοδο T2=2T1.Να βρείτε:

-233-


α) την περίοδο T1 της ταλάντωσης του κυκλώματος L1C. [4π∙10-4]

β) το μέγιστο φορτίο Q1 που θα αποκτήσει ο πυκνωτής χωρητικότητας C κατά τη διάρκεια της

ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος L1C. [4∙10-6]

γ) το συντελεστή αυτεπαγωγής L2 του πηνίου του κυκλώματος L2C. [8∙10-3]

δ) τη συνάρτηση του φορτίου q του οπλισμού Κ του πυκνωτή σε σχέση με το χρόνο και να

σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση από t0=0 μέχρι t2=3T1. [q=4∙10-6συν5∙103t (S.I.) , 0≤t≤T1 q=4∙10-6συν(2,5∙103t-π) (S.I.) , Τ1≤t≤3T1]

3. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική

ταλάντωση. Η ένταση του ρεύματος σε σχέση με το χρόνο δίνεται

από την εξίσωση i=-0,2ημ103t (SI), ενώ ο πυκνωτής έχει χωρητι-

κότητα C=20μF.

Να βρείτε:

α) τη μέγιστη τάση Vmax μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή. [10]

β) την ενέργεια UΒ του μαγνητικού πεδίου του πηνίου τη χρονική στιγμή t1 κατά την οποία η

ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα λαμβάνει την τιμή i=-0,1A. [2,5∙10-4]

γ) την παραπάνω χρονική στιγμή t1 αν γνωρίζουμε ότι αυτό συμβαίνει για πρώτη φορά μετά τη

χρονική στιγμή t0=0. [π∙10-3/6]

δ) την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα, τη χρο-

νική στιγμή t1. [1003]

4. Ένα σώμα μάζας m=4kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο

επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ=30ο. Το

σώμα είναι δεμένο στην άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς

k=100Ν/m το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται στην κο-

ρυφή του κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Εκτρέπουμε το σώμα κατά 0,1m από τη θέση ισορροπίας

του προς τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και

τη χρονική στιγμή t0=0 το αφήνουμε ελεύθερο. Θεωρώντας θετική τη φορά του σχήματος:

α) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.

β) Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η επιτάχυνση του σώματος σε

σχέση με το χρόνο κατά τη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης. [-2,5ημ(5t+π/2)

(S.I.)] γ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος στη θέση x=−Α/2, όπου Α το πλά-

τος της απλής αρμονικής ταλάντωσης. [5]

δ) Να υπολογίσετε την επιπλέον ενέργεια W που πρέπει να δοθεί στο σύστημα, προκειμένου

να διπλασιαστεί το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης. [1.5]

-234-


5. Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο

στο δάπεδο. Στο άνω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα Σ1 μά-

ζας m1=2kg που ισορροπεί. Τη χρονική στιγμή t0=0 αφήνεται πάνω

στο σώμα Σ1, χωρίς ταχύτητα, ένα άλλο σώμα Σ2 μάζας m2=1kg. Το

σύστημα ελατήριο – Σ1 – Σ2 ξεκινά να εκτελεί απλή αρμονική ταλά-

ντωση πλάτους A=1/30 m.

Θεωρώντας θετική την κατακόρυφη προς τα πάνω φορά, να βρείτε:

α) Τη σταθερά k του ελατηρίου. [300]

β) Τη μέγιστη συσπείρωση ∆Lmax του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος. [4/30]

γ) Την εξίσωση Uf(t)= της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης του συστήματος. [(1/6)συν210t] δ) Τη δύναμη επαφής N που ασκείται από το Σ2 στο Σ1 στη θέση μέγιστης συσπείρωσης του

ελατηρίου. [40/3] ∆ίνεται: g=10m/s2.

6. Ένα κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=100N/m έχει το άνω άκρο του

στερεωμένο σε οροφή. Στο κάτω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα

Σ1 μάζας m1=3kg που ισορροπεί στη θέση ΘΙ(1). Τη χρονική στιγμή t0=0,

ένα βλήμα Σ2 μάζας m2=1kg που κινείται στον άξονα του ελατηρίου με τα-

χύτητα μέτρου υ2 και φορά προς τα πάνω, προσκρούει στο σώμα Σ1 και

σφηνώνεται σ' αυτό. Το συσσωμάτωμα ξεκινά να εκτελεί απλή αρμονική

ταλάντωση με αρχική ταχύτητα μέτρου υσ=3/2 m/s.

Θεωρώντας θετική την κατακόρυφη προς τα κάτω φορά, να βρείτε:

α) την επιμήκυνση d1 του ελατηρίου ως προς το φυσικό του μήκος, στη

θέση ισορροπίας ΘΙ(1) του σώματος Σ1. [0,3]

β) το μέτρο της ταχύτητας υ2 του βλήματος. [23]

γ) το πλάτος Α της ταλάντωσης του συσσωματώματος. [0,2]

δ) την εξίσωση υ=f(t) της ταχύτητας με την οποία ταλαντώνεται το συσσωμάτωμα. [συν(5t+7π/6)]


7. Το σώμα Σ μάζας m=1kg του σχήματος είναι δεμένο στο ένα

άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m. Το άλλο άκρο

του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σύστημα ελατή-

ριο – σώμα Σ ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική

στιγμή t0=0 ασκείται στο σώμα Σ σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F με αποτέλεσμα το σύ-

στημα να ξεκινήσει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A=0,4m.

Να βρεθεί:

α) το μέτρο F της δύναμης. [160]

β) η εξίσωση x=f(t) της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας. [0,4ημ(20t+3π/2)]

-235-


γ) η εξίσωση Fελ=f(t) της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο σώμα. [-160ημ(20t+3π/2)-160] δ) Το πλάτος A' και η ολική ενέργεια E' της νέας ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα, αν

κάποια στιγμή που το σώμα βρίσκεται στην ακραία θετική θέση ταλάντωσης, καταργηθεί η δύ-

ναμη F. [0,8 - 128]

-236-

ω.

να με την εξίσωση F=80+200x (SI).

8. Το σώμα του σχήματος έχει μάζα m=2kg και ισορροπεί

στερεωμένο στο πάνω άκρο ιδανικού κατακόρυφου ε-

λατηρίου σταθεράς k=200N/m, το άλλο άκρο του οποί-

ου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Εκτρέπουμε το σώμα

από τη Θ.Ι. του φέρνοντάς το στη θέση φυσικού μή-

κους του ελατηρίου. Τη χρονική στιγμή t=0 δίνουμε

στο σώμα αρχική ταχύτητα υ=√3m/s, προς τα πάν

α) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης. [0,2]

β) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης y=f(t). [0,2ημ(10t+π/6)]

γ) Να υπολογίσετε την μέγιστη ενέργεια του ελατηρίου; [9]

δ) Να βρείτε ποια χρονική στιγμή το σώμα αποκτά τη μέγιστη ταχύτητά του για δεύτερη φορά,

μετά τη στιγμή t=0. [11π/60]

ε) Να βρείτε την ορμή του σώματος κατά τη χρονική στιγμή t=π/10 s. [-23]

9. Ένας κύβος μάζας M=10kg ισορροπεί τοποθετη-

μένος πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στη μια

κατακόρυφη έδρα του κύβου είναι δεμένη η μια

άκρη ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς

k=250N/m, του οποίου η άλλη άκρη είναι δεμένη σε ακλόνητο σημείο κατακόρυφου τοίχου.

Το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Στην απέναντι κατακόρυφη έδρα του κύβου εί-

ναι δεμένο μη ελαστικό και αβαρές νήμα το οποίο έχει όριο θραύσεως Fθ=120Ν. Μέσω του νή-

ματος ασκούμε στο σώμα δύναμη κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και με φορά τέ-

τοια ώστε το ελατήριο να επιμηκύνεται. Το μέτρο της δύναμης μεταβάλλεται σε συνάρτηση με

την επιμήκυνση x του ελατηρίου σύμφω

α) Να βρείτε τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου τη στιγμή που κόβεται το νήμα. [5]

β) Να βρείτε την ταχύτητα του κύβου τη στιγμή που κόβεται το νήμα. [3]

γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x=f(t). [0,4ημ(5πt+π/6)]

Να θεωρήσετε t0=0 τη στιγμή που κόβεται το νήμα και άξονα xx′ με αρχή τη θέση ισορροπίας

του κύβου και θετική φορά εκείνη κατά την οποία το ελατήριο επιμηκύνεται.

δ) Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή t0=0 που κόβεται το νήμα, θα περάσει ο κύ-

βος από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά. [π/6]



10. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο 0,4π s σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη

στιγμή t, που το σώμα βρίσκεται σε απομάκρυνση x1=20cm, οι χρονικοί ρυθμοί μεταβολής της

ταχύτητας του, της ορμής του και της κινητικής του ενέργειας είναι 5m/s+, 10 kgm/s2 και

10 3 J/s αντίστοιχα. Να βρείτε:

α. τη μάζα του σώματος. [2Kg]

β. το μέτρο της ταχύτητας υ1 τη χρονική στιγμή t1. [ 3 m/s]

γ. την ενέργεια της ταλάντωσης. [4J]

δ. τους μέγιστους ρυθμούς μεταβολής της ορμής και της κινητικής ενέργειας κατά τη διάρκεια

της ταλάντωσης. [20N-20J/s]

∆ίνεται: 2ημασυνα=ημ2α.

11. Στο κύκλωμα του διπλανού σχήματος, η ΗΕ∆ της

ιδανικής πηγής είναι ε = 100 3 V , η χωρητικότητα

του πυκνωτή είναι C=10-6F, ο συντελεστής αυτεπαγω-

γής του ιδανικού πηνίου είναι L=10-2H και η αντίσταση

του αντιστάτη είναι R= 100 3Ω. Ο διακόπτης ∆1 είναι

κλειστός, ο ∆2 είναι ανοικτός και το πηνίο διαρρέεται

από σταθερό ρεύμα. Τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης ∆1 ανοίγει και ταυτόχρονα κλείνει ο

∆2. Να βρείτε:

α. την ηλεκτρική ενέργεια του πυκνωτή και τη μαγνητική ενέργεια του πηνίου όταν το πηνίο

διαρρέεται από σταθερό ρεύμα. [UB=0,005J, UE=0,015J]

β. μετά τη χρονική στιγμή t=0 , το μέγιστο φορτίο και τη μέγιστη ένταση του ηλεκτρικού ρεύ-

ματος του κυκλώματος LC. [2·10-4C, 2A]

γ. μετά τη χρονική στιγμή t=0 , τις εξισώσεις του φορτίου του πάνω οπλισμού του πυκνωτή

και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο στο κύκλωμα L-C σε συνάρτηση με το

χρόνο. [q=2·10-4·συν(104t+π/6), i=-2·ημ(104t+π/6) ]

δ. τη χρονική στιγμή t=0

i. το ρυθμό μεταβολής της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα. [- 3 ·104Α/s]

ii. το ρυθμό μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή.[-100 3 J/s]

Θεωρείστε ότι κατά το άνοιγμα του ∆1 και κλείσιμο του ∆2 δεν έχουμε απώλεια ενέργειας στο

κύκλωμα.

12. Ένα σώμα μάζας m=2kg κινείται χωρίς τριβές σε λείο

οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ= 3 m/s. Τη

χρονική στιγμή t=0 δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύ-

ναμης, ίδιας φοράς με την ταχύτητα, της οποίας το μέ-

τρο μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση F = 8-32x (S.I.)

α) Αφού βρείτε τη θέση ισορροπίας του σώματος, να αποδείξετε ότι αυτό θα εκτελέσει απλή

-237-


αρμονική ταλάντωση. [x0=0,25m, D=32N/m]

β) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης. [A=0,5m]

γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και να βρείτε τη

χρονική στιγμή που το σώμα θα σταματήσει για πρώτη φορά. [x=0,5·ημ(4t+11π/6) , t1=π/6 s]

δ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του σώματος τη στιγμή που το σώ-

μα διέρχεται από τη θέση x2=+0,25m για πρώτη φορά. [8 3 J/s]

13. Η μια άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100N/m

είναι στερεωμένη στο πάνω μέρος του πλάγιου επι-

πέδου γωνίας φ=30°, όπως στο σχήμα. Από ένα ση-

μείο του πλάγιου επιπέδου που απέχει s=0,25m από

το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου, εκτοξεύεται με

αρχική ταχύτητα υ0=2m/s, κατά μήκος του άξονα

του ελατηρίου προς τα πάνω ένα σώμα Σ μάζας

m=2kg. Όταν τοσώμα ακουμπήσει στο ελατήριο, ενώνεται με αυτό και αρχίζει να εκτελεί αρ-

μονική ταλάντωση.

α) Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που έρχεται σε επαφή με το ελατήριο, [√1,5m/s] β) Να βρείτε τη μέγιστη ταχύτητα του σώματος. [√2m/s]

γ) Να γράψετε τη συνάρτηση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης σε σχέση με το χρόνο, θεω-

ρώντας t=0 τη στιγμή της ένωσης του σώματος με το ελατήριο και τα θετικά προς τα πάνω.

δ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής κινητικής ενέργειας του σώματος τη στιγμή που διέρχεται

από το σημείο εκτόξευσης για δεύτερη φορά. [-3,75√14 J/s]


-238-

Επανάληψη: Κύματα Παμπέρης ∆ήμος, Φυσικός

-239-


ΘΕΜΑ Α

1. Τα κύματα στα οποία όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυν-

ση διάδοσης του κύματος ονομάζονται:

a. κάθετα κύματα.

b. εγκάρσια κύματα.

c. διαμήκη κύματα.

d. αρμονικά κύματα.

2. Στη συμβολή μηχανικών κυμάτων:

a. τα μόρια του ελαστικού μέσου εκτελούν σύνθετη ταλάντωση.

b. η αρχή της επαλληλίας ισχύει και στην περίπτωση, που τα κύματα είναι τόσο ισχυρά ώστε

να μεταβάλλονται οι ιδιότητες του μέσου στο οποίο διαδίδονται.

c. όλα τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου, πάλλονται με το ίδιο πλάτος.

d. το φαινόμενο εμφανίζεται μόνο όταν οι πηγές έχουν ίδιες συχνότητες και ίδια πλάτη.

3. Σε μια χορδή μήκους L, που τα δύο άκρα της είναι ακλόνητα στερεωμένα, διαδίδονται ταυτό-

χρονα δύο κύματα, ένα τρέχον και ένα ανακλώμενο.

a. Στη χορδή δημιουργούνται πάντοτε στάσιμα κύματα, ανεξάρτητα από τη συχνότητα ταλά-

ντωσης της πηγής που τα δημιουργεί.

b. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, όταν έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, είναι

ίση με ένα μήκος κύματος.

c. Όλα τα υλικά σημεία της χορδής, εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση, με το ίδιο πλάτος,

όταν έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα.

d. Για να δημιουργηθούν στάσιμα κύματα πρέπει να ισχύει η σχέση: L=κλ/2, όπου κ=1,2,3 . .

. και λ το μήκος κύματος του τρέχοντος κύματος.

4. Το ηλεκτρομαγνητικό κύμα:

a. είναι διάμηκες.

b. είναι ένα εγκάρσιο κύμα, όπου τα διανύσματα του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου είναι

παράλληλα μεταξύ τους.

c. παράγεται από χρονικά αμετάβλητο ηλεκτρικό ή μαγνητικό πεδίο.

d. παράγεται όταν ηλεκτρικά φορτία κάνουν επιταχυνόμενη κίνηση.

5. Όταν συμβαίνει ανάκλαση:

a. το προσπίπτον και το ανακλώμενο κύμα έχουν ταχύτητες με διαφορετικά μέτρα.

b. η προσπίπτουσα, η ανακλώμενη και η κάθετη στην επιφάνεια ανάκλασης στο σημείο που

συμβαίνει ανάκλαση, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

c. η γωνία πρόσπτωσης σχηματίζεται από την προσπίπτουσα και τη ανακλώμενη ακτίνα.

d. η προσπίπτουσα και η ανακλώμενη ακτίνα έχουν διαφορετικές συχνότητες.


6. Το παρατηρούμενο «σπάσιμο» μιας ράβδου της οποίας ένα τμήμα είναι βυθισμένο στο νερό

οφείλεται στο φαινόμενο της:

a. ανάκλασης.

b. διάχυσης.

c. διάθλασης.

d. ολικής ανάκλασης.

7. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

α) Η συχνότητα ενός κύματος είναι ίση με τη συχνότητα της ………………….. που το παράγει.

β) Το μήκος κύματος μεταβάλλεται, όταν το κύμα αλλάζει το ………………….. διάδοσης.

γ) Η αρχή της επαλληλίας των κινήσεων ισχύει στο φαινόμενο της ……………….. κυμάτων και

στη σύνθεση ταλαντώσεων.

δ. Το φαινόμενο της ………………………… ανάκλασης συμβαίνει όταν το φως προσπίπτει σε λεία

επιφάνεια.

ε) Στις οπτικές ίνες εκμεταλλευόμαστε το φαινόμενο της ……………………. ανάκλασης.


a. Ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού μέσου, παίρνει τιμές πάντα μεγαλύτερες ή ίσες της μονά-

δας.

b. Η συχνότητα ενός κύματος, αλλάζει όταν το κύμα αλλάζει μέσο διάδοσης.

c. Όλα τα υλικά σημεία, στη διεύθυνση διάδοσης ενός αρμονικού μηχανικού κύματος εκτελούν

αρμονική ταλάντωση με συχνότητα ίδια με την ιδιοσυχνότητά τους. Η συχνότητα αυτή δεν με-

ταβάλλεται αν μεταβληθεί η συχνότητα της πηγής.

d. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι εγκάρσια επειδή τα διανύσματα E

και B

, του ηλεκτρι-

κού και του μαγνητικού πεδίου, είναι κάθετα μεταξύ τους.

e. Σε ένα αρμονικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα, το πηλίκο της έντασης E

του ηλεκτρικού πεδίου,

προς την ένταση B

του μαγνητικού πεδίου, ισούται με την ταχύτητα του φωτός.

9. Όταν ένα περιοδικό κύμα αλλάζει μέσο διάδοσης:

a. η ταχύτητά του μένει σταθερή.

b. η συχνότητά του μένει σταθερή.

c. το μήκος κύματος δε μεταβάλλεται.

d. μεταβάλλονται το μήκος κύματος και η συχνότητά του.

10. Στα στάσιμα κύματα:

a. τα σημεία του μέσου που βρίσκονται πλησιέστερα στην πηγή ξεκινούν νωρίτερα να ταλα-

ντώνονται.

b. η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι ίση με ένα μήκος κύματος.

c. όλα τα υλικά σημεία του μέσου εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με το ίδιο πλάτος.

d. όλα τα υλικά σημεία του μέσου, περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας.

-240-


-241-

11. Το μήκος κύματος δύο κυμάτων που συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα είναι λ. Η

απόσταση μεταξύ του πρώτου και τρίτου κατά σειρά δεσμού, του στάσιμου κύματος θα είναι:

a. λ. b. λ/2. c. 2λ. d.λ/4.

12. Σε αρμονικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται στο κενό το ηλεκτρικό πεδίο περιγράφεται

στο S.I από την εξίσωση Ε=30ημ2π(6∙10 t-2∙102x). Αν η ταχύτητα του φωτός στο κενό

c=3∙108 m/s, τότε η εξίσωση που περιγράφει το μαγνητικό πεδίο του παραπάνω ηλεκτρομα-

γνητικού κύματος στο S.I, είναι:

a. B=30ημ2π(6∙10 t-2∙102x).

b. B=10-7ημ2π(6∙10 t-2∙102x).

c. B=10-7ημ2π(6∙10-5t-2∙102x).

d. B=30ημ2π(6∙10-5t-2∙102x).

10

10

10

13. Όταν σε μια δέσμη φωτός συμβαίνει ανάκλαση, τότε:

a. η δέσμη αλλάζει μέσο διάδοσης.

b. οι ανακλώμενες ακτίνες εκτρέπονται πάντοτε προς τυχαίες διευθύνσεις.

c. οι ανακλώμενες ακτίνες εκτρέπονται πάντα σε παράλληλες διευθύνσεις.

d. μπορεί να συμβεί ταυτόχρονα και διάθλαση του φωτός.

14. Ολική ανάκλαση συμβαίνει όταν φωτεινή δέσμη προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια δύο

διαφορετικών διαφανών μέσων:

a. και η επιφάνεια αυτή είναι λεία.

b. κινούμενο από το οπτικά πυκνότερο στο οπτικά αραιότερο μέσο και η γωνία πρόσπτωσης εί-

ναι μεγαλύτερη από την κρίσιμη γωνία.

c. κινούμενο από το οπτικά αραιότερο στο οπτικά πυκνότερο μέσο και η γωνία πρόσπτωσης εί-

ναι μεγαλύτερη από την κρίσιμη γωνία.

d. κινούμενο από το οπτικά πυκνότερο στο οπτικά αραιότερο μέσο και η γωνία πρόσπτωσης εί-

ναι μικρότερη από την κρίσιμη γωνία.

15. Σωστό - Λάθος.

a. Ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού μέσου παίρνει τιμές από -1 έως +1.

b. Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται από τη συχνότητά του.

c. Όλα τα υλικά σημεία, στη διεύθυνση διάδοσης ενός μηχανικού κύματος εκτελούν ταλάντω-

ση και η συχνότητα που ταλαντώνονται είναι ίδια με τη συχνότητα της πηγής που δημιούργησε

το κύμα.

d. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι εγκάρσια, γιατί τα διανύσματα Ε και Β, του ηλεκτρικού

και του μαγνητικού πεδίου, είναι κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

e. Σε ένα αρμονικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα, το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο, μεταβάλλο-

νται με την ίδια συχνότητα.


-242-

16. Σωστό - Λάθος.

a. Η μονάδα μέτρησης της συχνότητας είναι το s-1.

b. Τα διαμήκη κύματα διαδίδονται µόνο στα στερεά σώματα.

c. Τα ραδιοκύματα παράγονται από ηλεκτρονικά κυκλώματα.

d. Τα άτομα και τα μόρια της στρατόσφαιρας απορροφούν κατά κύριο λόγο την επικίνδυνη υ-

περιώδη ακτινοβολία.

e. Ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού υλικού είναι μικρότερος της μονάδας.

17. ∆ύο υλικά σημεία Α και Β ενός ελαστικού μέσου, τα οποία βρίσκονται στη ίδια διεύθυνση στην

οποία διαδίδεται ένα γραμμικό αρμονικό κύμα, απέχουν μεταξύ τους ∆x=2λ, όπου λ το μήκος

του κύματος και ταλαντώνονται.

a. Τα υλικά σημεία Α και Β περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους, με αντίθετες

κατευθύνσεις.

b. Τα υλικά σημεία Α και Β έχουν κάθε στιγμή την ίδια απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας

τους.

c. Αν αφαιρέσουμε τις φάσεις των υλικών σημείων Α και Β θα προκύψει η σχέση: ∆φ=2π

d. Αν αφαιρέσουμε τις φάσεις των υλικών σημείων Α και Β θα προκύψει η σχέση: ∆φ=π/2

18. ∆ύο σημεία ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, στο οποίο έχει δημιουργηθεί στάσιμο

εγκάρσιο κύμα, βρίσκονται σε συμμετρικές θέσεις εκατέρωθεν ενός δεσμού ∆ και απέχουν με-

ταξύ τους απόσταση μικρότερη από ένα μήκος κύματος. Τα σημεία αυτά:

a. έχουν διαφορετική συχνότητα ταλάντωσης.

b. έχουν διαφορά φάσης 2π.

c. έχουν ίδια φάση.

d. περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους, με αντίθετες κατευθύνσεις.

19. Για τη δημιουργία στάσιμου κύματος, απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις είναι να:

a. διαδίδονται δύο κύματα στην ίδια διεύθυνση με αντίθετες φορές.

b. διαδίδονται δύο κύματα στην ίδια διεύθυνση με αντίθετες φορές και με το ίδιο μήκος κύμα-

τος.

c. διαδίδονται δύο κύματα στο ίδιο μέσον, στην ίδια διεύθυνση με αντίθετες φορές και ίδιες

συχνότητες.

d. διαδίδονται δύο ίδια κύματα στο ίδιο μέσο, στην ίδια διεύθυνση, με αντίθετες φορές, που

έχουν ίσα πλάτη και ίδιες συχνότητες.

20. Οι ακτίνες Χ:

a. παράγονται κατά την επιβράδυνση ηλεκτρονίων που προσκρούουν με μεγάλη ταχύτητα σε

μεταλλικό στόχο.

b. παράγονται πάντοτε όταν ηλεκτρικά φορτία επιταχύνονται.

c. παράγονται από κυκλώματα LC που εκτελούν ελεύθερες ηλεκτρικές ταλαντώσεις.

d. διαδίδονται μόνο στο κενό.

21. Στο φαινόμενο της διάχυσης:

a. όταν οι προσπίπτουσες ακτίνες είναι παράλληλες μεταξύ τους και οι ανακλώμενες ακτίνες


-243-

είναι παράλληλες μεταξύ τους.

b. ισχύουν οι νόμοι της ανάκλασης.

c. οι ανακλώμενες ακτίνες, εκτρέπονται πάντοτε σε παράλληλες διευθύνσεις.

d. οφείλεται το γεγονός ότι ο βρεγμένος δρόμος τη νύχτα είναι μειωμένης ορατότητας για τους

οδηγούς των αυτοκινήτων.

22. Λεπτή δέσμη μονοχρωματικού φωτός περνά από οπτικό μέσο με δείκτη διάθλασης n1 σε οπτικό

μέσο με δείκτη διάθλασης n2. Η γωνία πρόσπτωσης θ1 και η γωνία διάθλασης θ2 συνδέονται με

τη σχέση:

a. n1∙θ1=n2∙θ2

b. n1/n2=ημθ1/ημθ2.

c. n1/n2=θ1/θ2.

d. n1∙ημθ1=n2∙ημθ2.


a. Κατοπτρική ανάκλαση συμβαίνει αν η επιφάνεια είναι λεία και στιλπνή, οπότε αν οι προσπί-

πτουσες ακτίνες είναι παράλληλες, θα είναι παράλληλες και οι ανακλώμενες.

b. Το φαινόμενο της ολικής ανάκλασης μπορεί να συμβεί μόνο όταν το φως μεταβαίνει από το

μέσο (a) στο μέσο (b) για τα οποία ισχύει nα>nb.

c. Το μήκος κύματος μιας μονοχρωματικής ακτινοβολίας μειώνεται, όταν αυτή διαδίδεται από

οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο.

d. Τα μικροκύματα παράγονται από ηλεκτρονικά κυκλώματα.

e. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα παράγονται από διαταραχές πεδίων.


a. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι διαμήκη κύματα και για αυτά δεν ισχύει η αρχή της ε-

παλληλίας.

b. Όταν ακτίνα μονοχρωματικού φωτός περάσει από τον αέρα σε γυαλί, το μήκος κύματος αυ-

ξάνεται.

c. Οι ερυθρές ακτίνες έχουν μικρότερο μήκος κύματος από τις υπέρυθρες.

d. Ο δείκτης διάθλασης του θαλασσινού νερού είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας.

e. Το φως δεν εκτρέπεται από μαγνητικό πεδίο.

25. Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, το οποίο εκτείνεται στη διεύθυνση του

άξονα x΄x διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Το στιγμιότυπο του κύματος παριστάνει:

a. την απομάκρυνση y των διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με τη θέσης τους x,

σε δεδομένη χρονική στιγμή t.

b. την απομάκρυνση y ενός σημείου του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο.

c. την ταχύτητα της ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με το χρό-

νο.

d. την ταχύτητα της ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση

με τη θέση τους x, την ίδια χρονική στιγμή.


-244-

26. Στη συμβολή μηχανικών κυμάτων:

a. που δημιουργείται από σύγχρονες πηγές, για όλα τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου που

παραμένουν διαρκώς ακίνητα, ισχύει r1-r2=kλ.

b. για να εφαρμόσουμε την αρχή της επαλληλίας πρέπει οι πηγές να είναι σύγχρονες.

c. που προέρχονται από σύγχρονες πηγές, για όλα τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου που

πάλλονται με μέγιστο πλάτος, ισχύει r1-r2=(2k+1)λ/2.

d. που προέρχονται από σύγχρονες πηγές, ενίσχυση συμβαίνει στα σημεία, όπου ισχύει

r1-r2=kλ.

27. Τα αρμονικά ηλεκτρομαγνητικά κύματα:

a. παράγονται όταν ηλεκτρικά φορτία εκτελούν απλές αρμονικές ταλαντώσεις.

b. παράγονται όταν ηλεκτρικά φορτία επιταχύνονται ομαλά.

c. παράγονται από σταθερά ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία.

d. διαδίδονται μόνο στο κενό.

28. Οι ακτίνες Χ είναι:

a. ηλεκτρόνια μεγάλης ταχύτητας.

b. ιόντα μεγάλης ταχύτητας.

c. ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με μήκος κύματος μεγαλύτερο από αυτό των ορατών ακτι-

νοβολιών.

d. ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με συχνότητα μεγαλύτερη από αυτή της υπεριώδους ακτινο-

βολίας.

29. Μια πιθανή διαδρομή για τις ακτίνες του ήλιου είναι: διέλευση μέσα από κενό χώρο, διέλευση

από τα διάφορα στρώματα της ατμόσφαιρας της γης και είσοδος στο νερό της θάλασσας. Σε

αυτή τους τη διαδρομή το μέγεθος που δεν μεταβάλλεται είναι:

a. η συχνότητα.

b. το μήκος κύματος.

c. η ταχύτητα διάδοσης.

d. η ένταση του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου.

30. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις.

α) Κατά τη διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ενέργεια και ορμή από μια περιοχή του υλικού

μέσου σε άλλη, αλλά δεν μεταφέρεται …………………………

β) ∆ιαμήκη ονομάζονται τα κύματα στα οποία τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώ-

νονται ……………………….. στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

γ) Το αποτέλεσμα της ταυτόχρονης διάδοσης, δύο ή περισσοτέρων κυμάτων στον ίδιο χώρο

ονομάζεται ………………. κυμάτων.

δ) Υπεύθυνη για το μαύρισμα όταν κάνουμε ηλιοθεραπεία είναι η ………………… ακτινοβολία.

ε) Στα ραντάρ χρησιμοποιούνται τα ………………………...


-245-


Σε στάσιμο κύμα:

a. όλα τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας

και κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση.

b. τα υλικά σημεία που βρίσκονται σε συμμετρικές θέσεις εκατέρωθεν ενός δεσμού και απέ-

χουν μεταξύ τους λιγότερο από ένα μήκος κύματος περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορρο-

πίας αλλά έχουν αντίρροπες ταχύτητες.

c. όλα τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος.

d. το πλάτος ταλάντωσης των υλικών σημείων του ελαστικού μέσου κυμαίνεται από μηδέν έως

2Α, όπου Α το πλάτος ταλάντωσης τως τρέχοντων κυμάτων από τα οποία προκύπτει.

e. το πλάτος ταλάντωσης και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης κάθε υλικού σημείου εξαρτώνται

από τη θέση του.


Αν κατά μήκος μιας ευθείας, ενός ελαστικού μέσου, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, τότε:

a. οι δεσμοί απέχουν μεταξύ τους ∆x=(2κ+1)λ/2.

b. οι κοιλίες απέχουν μεταξύ τους ∆x=κλ/2.

c. η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης της κοιλίας είναι υmax=2Aω, όπου Α το πλάτος των κυμά-

των που συμβάλλουν και ω η γωνιακή συχνότητά τους.

d. με το κύμα αυτό δεν μεταφέρεται ενέργεια.

e. όλα τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου που ταλαντώνονται, περνούν ταυτόχρονα από τη

θέση ισορροπίας τους.

33. Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου διαδίδεται διάμηκες αρμονικό κύμα, χωρίς

απώλειες ενέργειας. Τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου:

a. ταλαντώνονται στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος σχηματίζοντας "πυκνώματα" και "α-

ραιώματα".

b. ταλαντώνονται με πλάτος, που εξαρτάται από τη θέση τους.

c. έχουν μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης πού δίνεται από τη σχέση υ=λf.

d. ταλαντώνονται με συχνότητα ίση με την ιδιοσυχνότητά τους.

34. Στην ήρεμη επιφάνεια μιας λίμνης, δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Α και Β παράγουν εγκάρσια

αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους 20cm και ίδιου μήκους κύματος 1m. Το πλάτος της ταλάντω-

σης ενός σημείου Σ που απέχει από την πηγή Α 3m και από την πηγή Β 1m είναι:

a. 0cm. b. 10cm. c. 20cm. d. 40cm.

35. Για τη δημιουργία αρμονικού ηλεκτρομαγνητικού κύματος, πρέπει:

a. τα ηλεκτρικά φορτία να είναι ακίνητα.

b. να μεταβάλλεται μόνο το ηλεκτρικό πεδίο.

c. να μεταβάλλεται μόνο το μαγνητικό πεδίο.

d. τα ηλεκτρικά φορτία να εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση.


-246-

36. Η υπεριώδης ακτινοβολία:

a. έχει μήκος κύματος μεγαλύτερο από το ιώδες.

b. έχει συχνότητα μικρότερη από το ιώδες.

c. που προέρχεται από τον ήλιο, απορροφάται από το όζον της ατμόσφαιρας.

d. σε μεγάλες δόσεις έχει ευεργετικά αποτελέσματα στον ανθρώπινο οργανισμό.

37. Τα ραδιοκύματα:

a. δημιουργούνται από το χημικό στοιχείο Ράδιο.

b. εκπέμπονται από ραδιενεργούς πυρήνες.

c. διαδίδονται πάντοτε με την ίδια ταχύτητα.

d. είναι εγκάρσια κύματα.

38. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

α) ……………………. ονομάζονται τα κύματα (μηχανικά και ηλεκτρομαγνητικά) τα οποία παράγο-

νται από πηγές οι οποίες εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση.

β) Μήκος κύματος ονομάζεται η απόσταση που διατρέχει το κύμα σε χρόνο μιας ………………….

γ) Η μελέτη του φαινόμενου της συμβολής στηρίζεται στην αρχή της ……………………….

δ) Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών, στα στάσιμα κύματα, είναι ίση με …………….,

όπου λ το μήκος κύματος.

ε) Στις οπτικές ίνες εκμεταλλευόμαστε το φαινόμενο της ……………….. ανάκλασης.


a. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών στάσιμου κύματος είναι λ, όπου λ το μήκος κύ-

ματος των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα.

b. Στο φαινόμενο της διάθλασης, η γωνία πρόσπτωσης ισούται με τη γωνία διάθλασης.

c. Όταν στην επιφάνεια ενός υγρού δύο σύγχρονες πηγές εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση

και δημιουργούν αμείωτα εγκάρσια κύματα, τότε όλα τα σημεία της επιφάνειας εκτελούν απλή

αρμονική ταλάντωση ίδιου πλάτους.

d. Κατά τη διάδοση ενός γραμμικού μηχανικού αρμονικού κύματος, τα μόρια του ελαστικού

μέσου που ταλαντώνονται, έχουν ταχύτητα που μεταβάλλεται αρμονικά σε σχέση με το χρόνο.

e. Τα μηχανικά κύματα παράγονται από διαταραχές ύλης.


ΘΕΜΑ Β

1. Κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οχ διαδίδεται αρμονικό κύμα. H εξίσωση ταλάντωσης του

σημείου Ο της θέσης x0= (πηγή) είναι y=Aημωt. Το υλικό σημείο Α που απέχει από την πηγή

x=λ/2

Α. έχει γραφική παράσταση απομάκρυνσης σε σχέση με το χρόνο όπως στο διάγραμμα

Β. το σημείο Α έχει φάση

β1) μεγαλύτερη από το σημείο της θέσης x=0.

β2) μικρότερη από το σημείο της θέσης x=0 κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π.

β3) μικρότερη από το σημείο της θέσης x=0 κατά π.

Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας.

y

-247-

2. Κατά μήκος του θετικού ημιάξονα Οχ διαδίδεται αρμονικό κύμα. Το σημείο της θέσης x=0 τη

χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα. Τη χρονική στιγμή

t=5T/4 το σημείο της θέσης x=λ/2 έχει ταχύτητα με μέτρο

t Τ/4

Τ/2

3Τ/4 Τ

+Α

α1

-Α

y

t Τ/2 Τ

+Α

α2

-Α

y

t Τ

+Α

α3

-Α


1) υ=0. 2) υ=υmax (μέγιστη). 3) 0<υ<υmax.

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

3. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με φορά

προς την κατεύθυνση του θετικού ημιάξονα Οχ. Το σημείο της θέσης x=0 ταλαντώνεται

σύμφωνα με τη σχέση y=0,05ημ(8πt)(S.I.). Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυ-

πο του κύματος τη χρονική στιγμή t1, κατά την οποία το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 3m.

Η ταχύτητα υ διάδοσης του κύματος στο ελαστικό μέσο, είναι

1) υ=8m/s. 2) υ=12m/s. 3) υ=3/4π m/s.


4. Κατά μήκος του x΄Οx διαδίδεται αρμονικό κύμα. Το σημείο της θέσης x=0 ταλαντώνεται σύμ-

φωνα με τη σχέση y=Aημωt. Η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων που βρίσκονται στη διεύ-

θυνση διάδοσης του κύματος

1) αυξάνεται σε σχέση με το χρόνο.

2) είναι ανεξάρτητη από το χρόνο.

3) μειώνεται σε σχέση με το χρόνο.


-248-


5. Το διάγραμμα 1 παριστάνει το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος μια δεδομένη

χρονική στιγμή t, ενώ το διάγραμμα 2 παριστάνει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας

του σε συνάρτηση με το χρόνο, ενός δεδομένου σημείου Α του ελαστικού μέσου, στο οποίο δι

αδίδεται το παραπάνω κύμα. Από τη μελέτη των δύο διαγραμμάτων προκύπτει ότι η ταχύτητα

διάδοσης του κύματος είναι

α) 0,1 cm/s. β)1 cm/s. γ) 2 cm/s.



-249-


6. Το διάγραμμα 1 παριστάνει το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος μια δεδομένη

χρονική στιγμή t, ενώ το διάγραμμα 2 παριστάνει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας

του σε συνάρτηση με το χρόνο, ενός δεδομένου σημείου Α του ελαστικού μέσου, στο οποίο δι-

αδίδεται το παραπάνω κύμα.

Τη χρονική στιγμή t που αντιστοιχεί το παραπάνω στιγμιότυπο, η πηγή και το υλικό σημείο Α

περνούν από τη θέση ισορροπίας τους με

α) αρνητική ταχύτητα.

β) αντίθετες ταχύτητες.

γ) θετική ταχύτητα.



7. Στο διπλανό σχήμα η πηγή Ο παράγει αρμονικό κύμα

που διαδίδεται πάνω σε γραμμικό ελαστικό μέσο με

ταχύτητα υ. ∆ύο σημεία Α,Β του μέσου βρίσκονται

πάνω στη ευθεία διάδοσης και έχουν φάσεις φΑ=4π/3

rad και φΒ=π/3 rad.

Α. Να βρείτε αν υπάρχει λάθος στο σχήμα ως προς τις θέσεις των σημείων Α και Β σε σχέση με

την πηγή Ο, και αν ναι να το διορθώσετε φτιάχνοντας το σωστό σχήμα.


Β. Τη χρονική στιγμή που το σημείο Α βρίσκεται στη μέγιστη θετική του απομάκρυνση, το ση-

μείο Β θα βρίσκεται στη θέση

α) y=Α. β) y=−Α. γ) y=0.


-250-


8. Μια πηγή κυμάτων Ο αρχίζει την χρονική στιγμή t=0, να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση,

πλάτους Α, περιόδου T και αρχικής φάσης ϕ0=0. Το στιγμιότυπο του κύματος, τη χρονική

στιγμή t=T, είναι όπως το διάγραμμα

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας

9. ∆ύο μεγάφωνα Μ1 και Μ2 τροφοδο-

τούνται από την ίδια γεννήτρια συ-

χνοτήτων και τοποθετούνται όπως

στο σχήμα. Ένας ανιχνευτής ήχου

τοποθετείται στο σημείο Α. Καθώς η

συχνότητα της γεννήτριας αυξάνεται

σιγά - σιγά από 200Hz - 1000Hz δι-

απιστώνεται ότι ο ανιχνευτής Α καταγράφει σειρά ενισχύσεων και αποσβέσεων. Οι αποστάσεις

του ανιχνευτή από τις πηγές είναι AΜ1= 40m και ΑΜ2=41m, ενώ η ταχύτητα του ήχου στον

-251-


αέρα είναι 340m/s. Η συχνότητα για την οποία παρατηρείται η πρώτη απόσβεση είναι

α) 200Hz. β) 510Hz. γ) 850Hz.

Να επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

10. ∆ύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού με

το ίδιο πλάτος Α, παράγοντας αρμονικά κύματα συχνότητας fκαι μήκους κύματος λ. Ένα ση-

μείο Σ της επιφάνειας του υγρού απέχει r1=4λ από την πηγή Π1 και r2=7λ από την πηγή Π2. Το

πλάτος ταλάντωσης του υλικού σημείου Σ, αφού συμβάλλουν σε αυτό τα κύματα, ισούται με:

α) Α. β) 2Α. γ) 3Α.


11. Κατά μήκος χορδής μήκους L, που η μια της άκρη είναι ακλόνητα στερεωμένη, έχει δημιουρ-

γηθεί στάσιμο κύμα, με το ελεύθερο άκρο της να είναι κοιλία.

Α. Το μήκος της χορδής μπορεί να είναι

α) L=κλ/2. β) L= κλ/2+λ/4. γ)L=κλ.

Β. Αν Α είναι το πλάτος των αρμονικών κυμάτων που συμβάλλουν και παράγεται το στάσιμο

κύμα, τότε η σχέση που δίνει τη μέγιστη ταχύτητα με την οποία ταλαντώνονται οι κοιλίες, εί-

ναι:

α) υmax=ωΑ. β) υmax=2ωΑ. γ) υmax =2ωΑσυνωt.


12. ∆ύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Ο1 και Ο2 δημιουργούν κύματα ίδιου πλάτους Α και

μήκους κύματος λ=0,5m. Αν για τις αποστάσεις r1 και r2 ενός σημείου Σ από τις πηγές ισχύει

r1-r2=4cm, τότε το σημείο Σ

α) ταλαντώνεται με πλάτος 2Α.

β) ταλαντώνεται με πλάτος A.

γ) παραμένει ακίνητο.


13. Κατά μήκος χορδής, που έχει στερεωμένο

το ένα της άκρο, διαδίδεται ο παλμός του

σχήματος. Όταν ο παλμός φτάσει στο ση-

μείο Κ, τότε ο τοίχος θα ασκήσει δύναμη

στο σχοινί που θα έχει την κατεύθυνση

της

α) F1. β) F2. γ) F3. δ) F4.


14. Κατά μήκος ομογενούς ελαστικής χορδής αποκαθίσταται στάσιμο κύμα που περιγράφεται από

την εξίσωση : y=4συν(πx/10)·ημ(6πt), όπου x, y σε cm και t σε s.

Α. Η συχνότητα των κυμάτων που συμβάλλουν είναι

α) 6Hz. β) 3Hz. γ) 10Hz.

Β. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι

-252-


α) 5cm. β) 1/5 cm. γ) 10cm.


15. ∆ύο κύματα που διαδίδονται πάνω στην ίδια ευθεία έχουν εξισώσεις:

)x6

t10(4y1

και )x

6t10(5y1

Από τη συμβολή των δύο παραπάνω κυμάτων:

α) δεν μπορεί να προκύψει στάσιμο κύμα.

β) θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, γιατί τα δύο κύματα διαδίδονται στην ίδια διεύθυνση με α-

ντίθετες φορές, έχουν ίδιες συχνότητες και ίδιο μήκος κύματος.

γ) θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, γιατί τα δύο κύματα έχουν ίδιες συχνότητες, και διαδίδονται

σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

16. Το ηλεκτρικό πεδίο ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται στο κενό περιγράφεται

από την εξίσωση E=60∙ημ2π(12∙10 t-4∙102x) (S.I.)

και η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο κενό είναι c=3∙108 m/s.

Η σχέση που περιγράφει το μαγνητικό πεδίο του παραπάνω ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι

α)Β=2∙10-7ημ2π(12∙10 t-4∙102x) (S.I.)

β) Β=4∙10-7ημ2π(12∙10 t-4∙102x) (S.I.)

γ) Β=3∙10-8ημ2π(12∙10 t-4∙102x) (S.I.)

10

10

10

10

17. Ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του οριζοντίου άξονα. Σε

ένα σημείο του χώρου η φάση του ηλεκτρικού πεδίου περιγράφεται από τη σχέση φ=2π(ft-1)

(S.I.). Στο σημείο του χώρου, όπου το ηλεκτρικό πεδίο του ηλεκτρομαγνητικού κύματος πα-

ρουσιάζει την παραπάνω φάση, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου

α) είναι σε συμφωνία φάσης με την ένταση του μαγνητικού πεδίου.

β) παρουσιάζει διαφορά φάσης π/2 με την ένταση του μαγνητικού πεδίου.

γ) είναι χρονικά σταθερή.


18. Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός συχνότητας f, στην πορεία της συναντά και διαπερνά κά-

θετα δύο διαφανή πλακίδια Α και Β, τα οποία έχουν ίδιο πάχος και δείκτες διάθλασης αντίστοι-

χα nA και nB, για τους οποίους ισχύει nA>nB.

Α. Για τα μήκη κύματος λA, λB του φωτός στα δύο πλακίδια ισχύει

α) λA=λB. β) λA>λB. γ) λA<λB.

Β. Για τους χρόνους διέλευσης του φωτός tA, tB από το κάθε πλακίδιο θα ισχύει

α) tA=tB. β) tA>tB. γ) tA<tB.

Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις. Να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας.

19. Ακτίνα φωτός εισέρχεται από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο. Αν συμβολίσουμε

με θa τη γωνία πρόσπτωσης και θb τη γωνία διάθλασης, τότε ισχύει

α) θa=θb. β) θa>θb. γ) θa<θb.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

-253-


-254-

20. Όταν μονοχρωματικό φως μεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο, τότε

α) η συχνότητά του μειώνεται.

β) το μήκος κύματος μειώνεται.

γ) η ταχύτητά του αυξάνεται.


21. Μονοχρωματικό φως κινούμενο στο εσωτερικό διαφανούς υλικού με δείκτη διάθλασης na=2,

προσπίπτει σε διαχωριστική επιφάνεια και εισέρχεται σε δεύτερο διαφανές υλικό με δείκτη διά-

θλασης nb=3.

Α. Για τις γωνίες πρόσπτωσης θa και διάθλασης θb ισχύει

α) ημθa<ημθb. β) ημθa=ημθb. γ) ημθa>ημθb.


Β. Αν η γωνία πρόσπτωσης είναι θa=π/3 και, να σχεδιάσετε τη πορεία μιας ακτίνας του μονο-

χρωματικού φωτός.

22. Μονοχρωματική ακτινοβολία που διαδίδεται στο γυαλί προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια

του γυαλιού με τον αέρα, με γωνία πρόσπτωσης θa=π/3 rad. Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού

είναι na=2 και του αέρα είναι n=1. Η ακτινοβολία θα

α) διαθλαστεί και θα εξέλθει στον αέρα.

β) κινηθεί παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια.

γ) ανακλαστεί ολικά από τη διαχωριστική επιφάνεια.


∆ίνεται ημ(π/3)=3/2.

23. Α. Μονοχρωματική ακτινοβολία μήκους κύματος λ0 περνάει από τον αέρα σε διαφανές υλικό,

μέσα στο οποίο το μήκος κύματός της μειώνεται κατά το 1/3 της αρχικής του τιμής.

Ο δείκτης διάθλασης του διαφανούς υλικού είναι

α) 3/2. β) 3. γ) 2.

Β. Ο λόγος της περιόδου της ακτινοβολίας στο διαφανές υλικό προς την περίοδό της στον αέ-

ρα, είναι:

α) 1/3. β) 3. γ) 1.



-255-

ΘΕΜΑ Γ

1. Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής μεγάλου μήκους που το ένα άκρο της είναι ακλόνητα στε-

ρεωμένο, διαδίδονται δύο κύματα, των οποίων οι εξισώσεις είναι αντίστοιχα:

y1=10ημ2π(5t-x) και y2=10ημ2π(5t+x)

όπου y και x είναι μετρημένα σε cm και το t σε s. Στη θέση x=0, που είναι το “ελεύθερο” ά-

κρο της χορδής δημιουργείται κοιλία.

α) Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στη χορδή. [0,05]

β) Να βρείτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος που θα δημιουργηθεί από τη συμβολή των

δύο αυτών κυμάτων και το πλάτος ταλάντωσης κάθε υλικού σημείου της χορδής, συναρτήσει

της απόστασής του από το “ελεύθερο” άκρο της. [Α’=20|συν2πx| (cm)]

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β και Γ,

τα οποία απέχουν από το “ελεύθερο” άκρο αντίστοιχα, xA=λ/4, xB=λ/2 και xΓ=λ, αφού δημι-

ουργηθεί το στάσιμο.

δ) Να βρείτε τη σχέση που δίνει τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης κάθε υλικού σημείου της

χορδής. Μεταξύ ποιών τιμών κυμαίνεται το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας των υλικών σημείων

της χορδής; [υmax=ω|Α’|=200π∙|συν(2πx)| cm/s]

ε) Ποιά είναι η απόσταση από το “ελεύθερο” άκρο της χορδής των σημείων που παραμένουν

ακίνητα και των σημείων που πάλλονται με μέγιστο πλάτος; [κ/2 (cm) , κ=0,1,2, . . ]

2. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x'0x

διαδίδεται αρμονικό κύμα με εξίσωση: y=0,1∙ημ(4πt-πx/2) (S.I.)

Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις δυο σημείων (Μ) και (Ν) του μέσου, τα οποία βρίσκονται

δεξιά της πηγής (Ο), είναι φΜ=10π/3 rad και φΝ=17π/6 αντίστοιχα.

α) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του κύματος. [8]

β) Να βρείτε ποιο από τα δυο σημεία (Μ), (Ν) είναι πιο κοντά στην πηγή (Ο), καθώς και την

απόσταση μεταξύ των δύο σημείων. [Το Μ. ∆x=1m]

γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=1s.

δ) Να βρείτε την απομάκρυνση του σημείου (Ν) από τη θέση ισορροπίας του, κάθε φορά που

το σημείο (Μ) αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνση. [0]

3. Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής μήκους L=16,25cm διαδίδεται αρμονικό κύμα της μορφής:

y=8ημ(10πt-2πx/5) όπου x, y σε cm και t σε s.

Το ένα άκρο της χορδής είναι στερεωμένα ακλόνητα, με αποτέλεσμα το κύμα να ανακλαστεί

και να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Το άλλο άκρο της χορδής είναι ελεύθερο, δημιουργείται σε

αυτό κοιλία και θεωρούμε ότι βρίσκεται στη θέση x=0. Η κοιλία της θέσης x=0 εκτελεί απλή

αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση.

α) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του αρμονικού κύματος. [0,25]

β) Να βρείτε τον αριθμό των κοιλιών που δημιουργούνται. [7]

γ) Να βρείτε την εξίσωση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου για την κοιλία Κ που απέχει

λ/2 από το σημείο x=0. [υΚ=-160π∙συν(10πt) (cm/s)]


δ) Αν ένα σημείο Μ του θετικού ημιάξονα ταλαντώνεται με πλάτος Α΄=83 cm , να υπολογίσε-

τε την απόσταση του σημείου αυτού από τον πλησιέστερο δεσμό. [10/12 cm]

4. Μονοχρωματική ακτινοβολία συχνότητας f = 5∙1014Hz προσπίπτει υπό γωνία π/3 στην έδρα ΑΒ

τριγωνικού ισοπλεύρου γυάλινου πρίσματος ΑΒΓ. Η διαθλώμενη ακτίνα μέσα στο πρίσμα είναι

παράλληλη στη πλευρά ΒΓ.

α) Να βρεθεί ο δείκτης διάθλασης του υλικού του πρίσματος. [3]

β) Να βρεθεί το μήκος κύματος και η ταχύτητα της ακτινοβολίας μέσα στο πρίσμα. [23∙10-7]

γ) Να σχεδιασθεί η πορεία της ακτίνας και να βρεθεί η γωνία με την οποία βγαίνει από το πρί-

σμα.

∆ίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό c=3∙108 m/s, ο δείκτης διάθλασης του αέρα n=1

ημ(π/6)=1/2 και ημ(π/3)=3/2.

5. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους 10cm και μήκους κύματος λ=1 m διαδίδεται κατά τη θετική

φορά σε οριζόντια ελαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα χ'χ. Θεωρούμε

ότι το σημείο της χορδής στη θέση χ = 0 τη χρονική στιγμή t = 0 έχει μηδενική απομάκρυνση

από τη θέση ισορροπίας του και θετική ταχύτητα. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι

υ=100m/s.

α) Να υπολογίσετε την περίοδο ταλάντωσης των υλικών σημείων της χορδής. [10-2]

β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος στο S.I. και να κάνετε τη γραφική παράσταση απο-

μάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου, για ένα υλικό σημείο Α της χορδής, το οποίο βρίσκεται

στη θέση x=3λ/4. [yA=0,1ημ2π(100t-3/4) (S.I.)]

γ) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης στοιχειώδους τμήματος της χορδής μάζας

0,001 kg. (Να θεωρήσετε το στοιχειώδες τμήμα της χορδής ως υλικό σημείο.) [2]

δ) Στην παραπάνω χορδή διαδίδεται ταυτόχρονα άλλο ένα κύμα πανομοιότυπο με το προη-

γούμενο, αλλά αντίθετης φοράς, με αποτέλεσμα τη δημιουργία στάσιμου κύματος με κοιλία

στη θέση x=0. Να υπολογίσετε στο θετικό ημιάξονα τη θέση του 5ου δεσμού του στάσιμου

κύματος. [2,25]

∆ίνεται: π2 = 10.

6. Ένα αρμονικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα συχνότητας f = 6∙1014Hz εισέρχεται από τον αέρα σε

ορθογώνιο διαφανές πλακίδιο πάχους d = 2,428 cm, με γωνία πρόσπτωσης θ=30°. Κατά τη

διάδοση του κύματος στον αέρα, το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναι

Emax=1,8V/m. Κατά την είσοδο του κύματος στο πλακίδιο παρατηρείται ελάττωση του μήκους

κύματος λ κατά 20%, σε σχέση με την τιμή του στο κενό.

α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος στο κενό και να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν

το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο του κύματος αυτού στον αέρα, κατά τη διάδοση του στον

άξονα χ. [λ=500nm , ]

Β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος αυτού στο διαφανές πλακίδιο και να

βρείτε τον δείκτη διάθλασης του πλακιδίου. [2,4∙108 - 1,25]

γ) Να βρείτε τη γωνία με την οποία εξέρχεται η ακτίνα από την απέναντι πλευρά του πλακιδί-

-256-


ου. [30ο]

δ) Να βρείτε σε πόσο χρόνο η παραπάνω παράλληλη λεπτή δέσμη θα διαπεράσει το πλακίδιο. [3/3∙10-9] ∆ίνεται: c=3∙108 m/s.

7. Το σημείο Ο ομογενούς ελαστικής χορδής μεγάλου μήκους, τη χρονική στιγμή t = 0, αρχίζει

να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ8πt (S.I.) κάθετα στη διεύθυνση

της χορδής. Το αρμονικό κύμα που παράγεται διαδίδεται με ταχύτητα μέτρου 2m/s , κατά τη

θετική φορά του άξονα χ'Οχ, κατά μήκος της χορδής.

α) Να βρεθούν ο χρόνος που χρειάζεται ένα υλικό σημείο του ελαστικού μέσου για να εκτελέ-

σει μια πλήρη ταλάντωση καθώς και το μήκος κύματος του αρμονικού κύματος. [0,25 – 0,5]

β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος που παράγεται και να βρεθούν οι θέσεις όλων των ση-

μείων που βρίσκονται σε συμφωνία φάσης με την πηγή. [y=0,05ημ2π(4t-2x)(S.Ι.) και x=0,5κ m κ=1,2,3 . . . ] γ) Να γράψετε και να σχεδιάσετε την εξίσωση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου για ένα

υλικό σημείο Α που απέχει απόσταση x =3λ/2 από την πηγή. [υΑ=0,4πσυν2π(4t-2x) t≥3/8]

δ) Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές t1=Τ/4 και t2=3T/4.

8. Η εικόνα παριστάνει το στιγμιότυπο ενός

γραμμικού αρμονικού κύματος μια χρονική

στιγμή t1, το οποίο διαδίδεται κατά τη θετική

κατεύθυνση του άξονα x σε ένα ομογενές ε-

λαστικό μέσο. Το σημείο της θέσης x=0 άρχι-

σε να ταλαντώνεται χωρίς αρχική φάση τη

χρονική στιγμή t0=0. Η ταχύτητα διάδοσης

του παραπάνω κύματος είναι υ=2m/s.

α) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t1. [1,35]

β) Να βρείτε την εξίσωση του κύματος. [ ]

γ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης σε σχέση με τη θέση, φ=f(x), για τη χρονική στιγμή

t1.

δ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή που το σημείο Μ, που βρίσκεται στη θέση xM=3,3m, θα απέχει

για πρώτη φορά 0,1m από τη θέση ισορροπίας του. [1,7]

ε) Να γίνουν τα διαγράμματα της φάσης και της απομάκρυνσης σε σχέση με το χρόνο, φ=f(t)

και y=f(t), για το Ν που βρίσκεται στη θέση xN=2,4m.

-257-


9. Μια πηγή κυμάτων Ο αρχίζει να ταλαντώνεται την χρονική στιγμή t = 0 , σύμφωνα με την εξί-

σωση γ = Αημ(2πft). Το εγκάρσιο κύμα που δημιουργείται διαδίδεται σε ομογενές , γραμμικό

ελαστικό μέσο κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα χΌχ. Στο σχήμα 1 παριστάνεται το στιγ-

μιότυπο του κύματος μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t’ ενώ στο σχήμα 2 φαίνεται η γραφική

παράσταση απομάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου για ένα υλικό σημείο Σ του ελαστικού μέ-

σου στο οποίο διαδίδεται το εν λόγω κύμα.

Να βρείτε:

α) την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και τη διαφορά φάσης μεταξύ του υλικού σημείου Σ

και της πηγής κυμάτων. [2cm/s – 2π]

β) τη χρονική στιγμή t' στην οποία αντιστοιχεί το στιγμιότυπο του κύματος. [2,5]

γ) την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του υλικού σημείου Σ και της πηγής κυμάτων

την δεδομένη χρονική στιγμή t'. [0]

δ) τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης και τη μέγιστη επιτάχυνση του υλικού σημείου Σ. [8πcm/s – 160cm/s2] ε) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης του υλικού σημείου Σ συναρτήσει του χρόνου.

∆ίνεται το πλάτος ταλάντωσης της πηγής Α=4 cm και π2=10.

10. Κατά μήκος ενός γραμμικού, ομογενούς, ελαστικού μέσου διαδίδεται στη θετική κατεύθυνση

του άξονα x'Οx ένα αρμονικό κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση:

y=4∙10-2ημ

17

x10t200 (S.I.)

∆ύο σημεία Α και Β βρίσκονται πάνω στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος, απέχουν μεταξύ

τους 17m, και γνωρίζουμε ότι το πιο κοντινό σημείο στην πηγή Ο είναι το σημείο Α.

α) Να βρείτε τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. [100 - 340]

β) Να δείξετε ότι η διαφορά φάσης των σημείων Α και Β είναι ανεξάρτητη του χρόνου και ότι

-258-


-259-

τα σημεία αυτά είναι σε συμφωνία φάσης.

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου για τα δύο αυτά υλικά

σημεία Α και Β, αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Α βρίσκεται στη θέση xΑ =6,8m.

δ) Να βρείτε τη μεταβολή της φάσης του υλικού σημείου Α σε χρονική διάρκεια ∆t = 1s . [10π]

ε) Να βρείτε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σημείου Γ της θέσης xΓ=3,4m, τη

χρονική στιγμή t που το υλικό σημείο Β έχει απομάκρυνση yB=2,2cm, και αρνητική ταχύτητα. [2,2cm]


ΘΕΜΑ ∆

1. Το πιο πάνω σχήμα παριστά το στιγμιότυπο ενός οδεύοντος αρμονικού κύματος σε ομογενές

γραμμικό ελαστικό μέσο κατά τη χρονική στιγμή t0. Για τις σημειωμένες στο σχήμα αποστάσεις

ισχύει: (OK) = 0,1m, (ΟΖ) = 0,3m.

Ζητούνται:

α) Η χρονική στιγμή t0 και η μέγιστη ταχύτητα με την οποία ταλαντώνονται τα υλικά σημεία

του ελαστικού μέσου. [0,1 – 15π]

β) Να χαραχθεί πάνω σε βαθμολογημένους άξονες το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική

στιγμή t1= t0+0,01s. Την ίδια χρονική στιγμή να βρεθεί η απομάκρυνση ενός σημείου Β αν

γνωρίζετε ότι το σημείο αυτό απέχει από το Ο απόσταση, OB = 1,4m. [0]

γ) Το πιο πάνω οδεύον κύμα μεταφέρει ενέργεια 4,5∙10-2J, σε κάθε υλικό σημείο του γραμμι-

κού ελαστικού μέσου. Πόση είναι η σταθερά ταλάντωσης κάθε υλικού σημείου, δεδομένου ότι

όλα εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση; [1]

δ) Αν το πιο πάνω στιγμιότυπο παρίστανε στάσιμο κύμα τη χρονική στιγμή t0, κατά την οποία

όλα τα σημεία του γραμμικού ελαστικού μέσου, έχουν μηδενική ταχύτητα, τότε, να σχεδιάσετε

το στιγμιότυπο του τη χρονική στιγμή t1, όπου t1 = t0 + 0,01s.

∆ίνεται ότι η συχνότητα των οδευόντων κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα είναι:

f=25Hz .

y

Z

A

-260-

2. ∆ύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού που ηρεμεί ε-

γκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ = 80cm/s. Οι δύο πηγές τη χρονική στιγμή

t=0 αρχίζουν να εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση, σε διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια

του υγρού και η εξίσωση ταλάντωσης τους είναι y = Αημ(2πt/T). Με την επίδραση των δυο

κυμάτων ένα μικρό κομμάτι φελλού που βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού ταλαντώνεται, με

εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του:

y = 4ημ2π(8t-4), όπου y σε cm και t σε s.

Οι αποστάσεις του φελλού από τις πηγές Π1 και Π2 είναι r1, r2 αντίστοιχα και συνδέονται με τη

σχέση r1-r2=2λ, όπου λ το μήκος κύματος λ των δυο κυμάτων.

α) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης των πηγών. [2cm]

β) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος λ των κυμάτων καθώς και τις αποστάσεις r1 και r2. [0,1 – 50cm – 30cm]

K O B x


γ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση ταλάντωσης του φελλού την χρονική στιγμή t1=1s. [0]

δ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t, κατά την οποία ο φελλός περνάει από τη θέση μέγιστης α-

πομάκρυνσης y = 4cm για 1η φορά, εκτελώντας σύνθετη ταλάντωση. [21/32]

ε) Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης των σημείων που βρίσκονται στην μεσοκάθετη του ευθύ-

γραμμου τμήματος που ενώνει τις δύο πηγές. [4cm]

3. Κατά μήκος ενός γραμμικού, ομογενούς, ελαστικού μέσου δια-

δίδεται στη θετική κατεύθυνση του άξονα xΌx ένα αρμονικό

κύμα. Το σημείο Ο της θέσης x = 0 εκτελεί αρμονική ταλάντω-

ση που περιγράφεται από την y=Αημωt. Στο παρακάτω διά-

γραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της φάσης φ των υλι-

κών σημείων που βρίσκονται στη διεύθυνση διάδοσης του αρ-

μονικού κύματος, σε συνάρτηση με την απόσταση χ από το ση-

μείο Ο, σε μια δεδομένη χρονική στιγμή t1.

α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος και να βρείτε τη φάση της πηγής τη χρονική στιγμή t1. [2 – 10π] β) Να υπολογίσετε πριν από πόσο χρόνο άρχισε να ταλαντώνεται η πηγή, δηλαδή τη χρονική

στιγμή t1, αν γνωρίζετε ότι η συχνότητα ταλάντωσης της πηγής, είναι f = 10Hz. [0,5]

γ) Την παραπάνω χρονική στιγμή t1.

1) Να βρείτε την απομάκρυνση του σημείου της θέσης x = 0 (πηγή). [0]

2) Να βρείτε τον αριθμό των πλήρων απλών αρμονικών ταλαντώσεων που έχει κάνει η πη-

γή. [5]

3) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος.

∆ίνεται ότι το πλάτος ταλάντωσης της πηγής είναι Α = 0,1m

δ) Τη χρονική στιγμή t1 να βρείτε την ταχύτητα με την οποία ταλαντώνεται ένα υλικό σημείο,

το οποίο βρίσκεται στη θέση x=5m και να αποδείξετε ότι αυτό το υλικό σημείο βρίσκεται σε

αντίθεση φάσης με την πηγή. [-2π]

4. ∆ύο αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους (A = 2cm) και ίδιας συχνότητας f=10Ηz διαδίδονται σε

ελαστική χορδή x'Οx, με αντίθετη φορά. Η ταχύτητα διάδοσης των αρμονικών κυμάτων στη

χορδή είναι υ = 20m/s. Θεωρούμε αρχή του άξονα, x'x, το σημείο Ο της χορδής, στο οποίο οι

απομακρύνσεις που προκαλούνται από τα επιμέρους κύματα που φθάνουν σ' αυτό, έχουν την

ίδια εξίσωση y = Αημωt. ∆ηλαδή για το σημείο Ο της θέσης χ = 0, τη χρονική στιγμή t = 0 εί-

ναι y = 0 και υ > 0 για καθένα από τα δύο κύματα.

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο κυμάτων και να βρείτε την εξίσωση του στάσιμου κύμα-

τος που προκύπτει από τη συμβολή των δυο αυτών κυμάτων. [y1=0,02ημ2π(10t-x/2) (S.I.) , y2=0,02ημ2π(10t+x/2) (S.I.) , y=0,04∙συν(πx)∙ημ20t (S.I.)] β) Να προσδιορίσετε τις θέσεις των δεσμών και τις θέσεις των κοιλιών και να βρείτε την από-

σταση μεταξύ ενός δεσμού και της γειτονικής του κοιλίας. [0,5]

γ) Να βρείτε την απόσταση μεταξύ των δύο πλησιέστερων σημείων που βρίσκονται εκατέρω-

θεν ενός δεσμού και ταλαντώνονται με πλάτος ίσο με το μισό του πλάτους της κοιλίας. [1/3]

-261-


-262-

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος που έχει δημιουργηθεί κατά μήκος της

χορδής, τις χρονικές στιγμές t1=T/4 και t2=T/2.

5. Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός συχνότητας f = 5·1014Ηz διέρχεται από δύο διαφανή πλακίδια

Α και Β, ίδιου πάχους d = 3cm, τα οποία έχουν δείκτες διάθλασης nΑ =2 και nΒ = 3 .

Α) Αν η μονοχρωματική δέσμη φωτός, προσπέσει κάθετα και στα δύο πλακίδια

α) να βρείτε τους χρόνους διέλευσης της φωτεινής ακτίνας από τα δύο πλακίδια, [2∙10-10, 3∙10-10] β) να βρείτε τον αριθμό μηκών κύματος που δημιουργούνται σε κάθε πλακίδιο. [105 - 53∙104]

Β) Τοποθετούμε το πλακίδιο Β, πάνω στο πλακίδιο Α. Η παραπάνω μονοχρωματική δέσμη φω-

τός, προσπίπτει με γωνία θ = π/3 στην επιφάνεια του πλακιδίου Β.

α) Να βρείτε αν η ακτίνα θα εισέλθει στο πλακίδιο Α ή θα υποστεί ολική ανάκλαση και θα συ-

νεχίσει την πορεία της στο πλακίδιο Β.

β) να βρείτε το συνολικό χρόνο μέχρι το φως να εξέλθει πάλι στον αέρα. [4,22∙10-10]

∆ίνονται η ταχύτητα του φωτός στο κενό, c = 3∙108 m/s, 13≈3,6 και ημπ/3 = 3/2.

6. Σε ομογενή ελαστική χορδή μήκους L = 22,5cm που το ένα άκρο της είναι ακλόνητα στερεω-

μένο, δημιουργούνται στάσιμα κύματα. Ένα από τα αρμονικά κύματα που δημιούργησαν το

στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση γ = 4ημ(8πt-πx/5) (t σε s, y και x σε cm). Το ε-

λεύθερο άκρο της χορδής βρίσκεται στη θέση x = 0 και γνωρίζουμε ότι σε αυτό δημιουργείται

κοιλία.

α) Να γραφούν οι εξισώσεις του ανακλώμενου και του στάσιμου κύματος. [y=4ημ2π(4t-x/10), y=4ημ2π(4t+x/10), y=8∙συν(πx/5)∙ημ8πt (t σε s,y και x σε cm ] β) Να βρεθούν ο αριθμός των δεσμών και ο αριθμός των κοιλιών, που δημιουργούνται κατά

μήκος της χορδής. [5 - 5]

γ) Να γίνουν τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές t1=T/4 και t2 = 3T/4 στο ίδιο

διάγραμμα.

δ) Να βρεθούν οι θέσεις των σημείων της χορδής που έχουν μέγιστη ταχύτητα μέτρου ίσου με

το μισό της μέγιστης ταχύτητας μιας κοιλίας. [πλήθος=9]

Επανάληψη: Μηχανική Στερεού Σώματος Παμπέρης ∆ήμος, Φυσικός

-263-


ΘΕΜΑ Α

1. Ένας τροχός κυλίεται κατά μήκος οριζοντίου επιπέδου. Το διάστημα που διανύει σε μια περι-

στροφή είναι ίσο με:

a. το μήκος της διαμέτρου του.

b. το μήκος της περιφέρειάς του.

c. το μήκος της ακτίνας του.

d. μηδέν.

2. Σε ένα τροχό που κυλίεται τα σημεία που έχουν ταχύτητα, λόγω της στροφικής κίνησης ίση με

την ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι:

a. όλα τα σημεία.

b. τα σημεία της κατακόρυφης διαμέτρου.

c. τα σημεία της οριζόντιας διαμέτρου.

d. τα σημεία της περιφέρειας.

3. Το κέντρο μάζας ενός στερεού σώματος:

a. συμπίπτει πάντοτε με το κέντρο βάρους.

b. συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας, αν το σώμα είναι ομογενές και συμμετρικό.

c. αποκλείεται να βρίσκεται έξω από το σώμα.

d. συμπίπτει πάντοτε με ένα σημείο του άξονα περιστροφής του στερεού.

4. Για να διατηρεί ένα σώμα την περιστροφική του κατάσταση σταθερή πρέπει το αλγεβρικό ά-

θροισμα των ροπών να:

a. είναι σταθερό και διάφορο του μηδενός.

b. είναι μηδέν.

c. αυξάνεται με σταθερό ρυθμό.

d. μειώνεται με σταθερό ρυθμό.

5. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού:

a. εξαρτάται από το σχήμα του στερεού αλλά όχι από τη μάζα του.

b. εξαρτάται από τη συνολική ροπή που ασκείται στο στερεό.

c. εκφράζει την αδράνεια του σώματος στη στροφική κίνηση.

d. είναι διανυσματικό μέγεθος.

6. Τα στοιχειώδη σωματίδια (ηλεκτρόνια – πρωτόνια – νετρόνια) έχουν σπιν μέτρου:

a. 0,53∙10-34J/s

b. 0,53∙10-34J∙s.

c. 0,53∙10-34N∙m

d. 0,53∙10-34Kg∙m/s2.

7. Στη στροφική κίνηση, το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων που ασκούνται στο

σώμα είναι ίσο με:


-264-

a. το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του σώματος.

b. τη μεταβολή της στροφορμής του σώματος.

c. το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος.

d. τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος.


a. Ένας τροχός που κυλίεται εκτελεί σύνθετη κίνηση.

b. Σε ένα ρολόι με δείκτες, η στροφορμή του ωροδείκτη είναι ομόρροπη με τη στροφορμή του

λεπτοδείκτη.

c. Ένα ελεύθερο στερεό μπορεί να περιστραφεί υπό την επίδραση του βάρους του.

d. Η ισχύς μιας δύναμης σε μια στροφική κίνηση είναι ανάλογη με τη γωνιακή ταχύτητα.

e. Ένα ελεύθερο στερεό στο οποίο ασκείται ζεύγος δυνάμεων εκτελεί σύνθετη κίνηση.

9. Ένα μολύβι βρίσκεται ακίνητο πάνω σε ένα τραπέζι. Αν ασκήσουμε δύναμη στο κέντρο μάζας

του, το μολύβι:

a. κάνει μόνο μεταφορική κίνηση.

b. κάνει μόνο στροφική κίνηση.

c. κάνει σύνθετη κίνηση.

d. παραμένει ακίνητο.

10. Ένας ομογενής τροχός κυλίεται. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του έχει μέτρο αcm. Η οριζό-

ντια συνιστώσα της επιτάχυνσης του ανώτερου σημείου του τροχού έχει μέτρο:

a. αcm. b. 2αcm. c. αcm2. d. 4αcm.

11. Ζεύγος δυνάμεων αποτελούν δύο δυνάμεις με ίδια μέτρα των οποίων τα διανύσματα:

a. έχουν ίδιες κατευθύνσεις και βρίσκονται στον ίδιο φορέα.

b. έχουν αντίθετες κατευθύνσεις και βρίσκονται σε παράλληλους φορείς.

c. έχουν αντίθετες κατευθύνσεις και βρίσκονται σε κάθετους φορείς.

d. βρίσκονται πάνω σε φορείς που σχηματίζουν ορθή γωνία.

12. Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών σε ένα σώμα που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα

είναι ίσο με μηδέν, τότε:

a. το σώμα στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.

b. το σώμα στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση.

c. μειώνεται η κινητική ενέργεια του σώματος.

d. η ροπή αδράνειας του σώματος είναι μηδέν.

13. Κατά την περιστροφή της Γης γύρω από τον εαυτό της (ιδιοπεριστροφή) η στροφορμή της Γης

παραμένει σταθερή διότι:

a. η ελκτική δύναμη που δέχεται από τον Ήλιο είναι σταθερή.

b. η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται είναι μηδέν.

c. η ελκτική δύναμη που δέχεται από τον Ήλιο δε δημιουργεί ροπή.

d. το αλγεβρικό άθροισμα των ασκούμενων ροπών είναι σταθερό.


-265-

14. Οι αστέρες νετρονίων συρρικνώνονται λόγω βαρύτητας και περιστρέφονται με πολύ μεγάλες

συχνότητες. Η αύξηση της συχνότητας περιστροφής κατά τη διάρκεια της συρρίκνωσης ενός

τέτοιου άστρου οφείλεται στο ότι:

a. αυξάνεται η ροπή αδράνειας του.

b. αυξάνεται η στροφορμή του.

c. δεν του ακούνται εσωτερικές δυνάμεις.

d. δε μεταβάλεται η στροφορμή του άστρου.

15. Σε ένα τροχό που κυλίεται, η αύξηση της ταχύτητας του κέντρου μάζας συνοδεύεται από:

a. αύξηση της στροφορμής του τροχού.

b. μείωση της γωνιακής ταχύτητας του τροχού.

c. αύξηση της ροπής αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του.

d. μείωση της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής του τροχού.


a. Το θεώρημα Steiner συσχετίζει τη ροπή αδράνειας του στερεού ως προς δύο οποιουσδήποτε

παράλληλους άξονες περιστροφής.

b. Η φορά της ροπής μιας δύναμης βρίσκεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού.

c. Ένα στερεό που στρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, λέμε

ότι ισορροπεί.

d. Για να στρίψουμε ευκολότερα ένα στερεό, πρέπει να ασκήσουμε δύναμη με μικρό μοχλο-

βραχίονα.

e. Η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς σφαίρας είναι ίδια ως προς δύο κάθετους άξονες που δι-

έρχονται από το κέντρο της.

17. Κατά την κύλιση ενός τροχού, του οποίου η ταχύτητα λόγω μεταφορικής κίνησης είναι υcm, το

σημείο του τροχού που απέχει περισσότερο από το έδαφος έχει ταχύτητα:

a. μηδέν. b. 2υcm. c. υcm. d. υcm/2.

18. Σε μια επιταχυνόμενη στροφική κίνηση τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνια-

κής επιτάχυνσης είναι:

a. ομόρροπα.

b. αντίρροπα.

c. κάθετα.

d. σταθερά.

19. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων που ασκείται σε ένα στερεό:

a. έχει μέγιστη τιμή ως προς το κέντρο μάζας.

b. έχει ελάχιστη τιμή ως προς το κέντρο μάζας.

c. είναι πάντοτε μηδέν.

d. είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο.

20. Η μονάδα μέτρησης της ροπής αδράνειας στο S.I. είναι:

a. 1Nm2. b. 1Kgm2/s. c. 1Kgm. d. 1Kgm2.


-266-

21. Η μονάδα μέτρησης του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής στο σύστημα S.I. είναι:

a. 1Kgm2/s. b. 1Kgm/s2. c. 1Kgm2/s2. d. 1Kgm/s.

22. Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σε ένα στερεό σώμα που στρέφεται

γύρω από σταθερό άξονα είναι σταθερό και διάφορο του μηδενός, τότε:

a. η γωνιακή ταχύτητα του στερεού είναι σταθερή.

b. η στροφορμή του στερεού ως προς τον άξονά του είναι σταθερή.

c. η κινητική ενέργεια του στερεού είναι σταθερή.

d. η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού είναι σταθερή.


a. Στη στροφική κίνηση ενός σώματος κάθε χρονική στιγμή όλα τα σημεία του έχουν την ίδια

γωνιακή ταχύτητα.

b. Το κέντρο μάζας ενός σώματος μπορεί να βρίσκεται και έξω από το σώμα.

c. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος είναι διανυσματικό μέγεθος.

d. Αν σε ένα ελεύθερο στερεό ασκηθεί ζεύγος δυνάμεων, το στερεό θα εκτελέσει σύνθετη κί-

νηση.

e. Για να ισορροπεί ένα στερεό που έχει σταθερό άξονα περιστροφής, αρκεί η συνισταμένη των

δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα να είναι μηδέν.


a. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού είναι διανυσματικό μέγεθος.

b. Όταν ο φορέας της δύναμης που ασκείται σε ελεύθερο στερεό δε διέρχεται από το κέντρο

μάζας, το στερεό εκτελεί σύνθετη κίνηση.

c. Αν η συνολική εξωτερική ροπή που ασκείται σε ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν, τότε η

ολική στροφορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή.

d. Η Γη έχει σπιν λόγω της κίνησής της γύρω από τον Ήλιο.

e. Για να στρίψουμε το τιμόνι ενός αυτοκινήτου πρέπει να ασκήσουμε δύναμη μηδενικής ροπής

ως προς τον άξονα του τιμονιού.

25. Γωνιακή επιτάχυνση ονομάζεται ο ρυθμός μεταβολής της:

a. στροφορμής.

b. ροπής αδράνειας.

c. κινητικής ενέργειας.

d. γωνιακής ταχύτητας.

26. Σε ένα ομογενή τροχό που κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα κέντρου μάζας μέτρου

υcm, ο λόγος του μέτρου της ταχύτητας του κατώτερου σημείου του (σημείο επαφής με το επί-

πεδο) προς το μέτρο της ταχύτητας του ανώτερου σημείου του (αντιδιαμετρικό σημείο) είναι:

a. 1. b. 2. c. 1/2. d. μηδέν.

27. Ένα ελεύθερο στερεό στο οποίο ασκείται ζεύγος δυνάμεων μπορεί να:

a. κάνει μόνο μεταφορική κίνηση.

b. κάνει μόνο στροφική κίνηση.


-267-

c. κάνει σύνθετη κίνηση.

d. παραμένει ακίνητο.

28. Όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας ενός σώματος τόσο πιο δύσκολα:

a. αλλάζει η μεταφορική κατάσταση του σώματος.

b. διατηρεί τη μεταφορική του κατάσταση.

c. αλλάζει η περιστροφική κατάσταση του σώματος.

d. διατηρεί την περιστροφική του κατάσταση.

29. Όταν οι ακροβάτες θέλουν να κάνουν πολλές στροφές στον αέρα, συμπτύσσουν τα χέρια και

τα πόδια τους. Με αυτό τον τρόπο:

a. αυξάνουν τη στροφορμή τους.

b. μειώνουν την κινητική τους ενέργεια.

c. μειώνουν τη ροπή αδράνειάς τους.

d. αυξάνουν τη μάζα τους.

30. Η στροφορμή ενός σώματος διατηρείται:

a. σε κάθε περιστροφική κίνηση.

b. αν το αλγεβρικό άθροισμα των δυνάμεων είναι μηδέν.

c. αν το αλγεβρικό άθροισμα των δυνάμεων είναι σταθερό.

d. αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν.


a. Η Γη έχει σπιν εξαιτίας της περιστροφής της γύρω από τον Ήλιο.

b. Αν λόγω εσωτερικών δυνάμεων αυξηθεί η ροπή αδράνειας ενός σώματος, μειώνεται η

στροφορμή του.

c. Το έργο μιας δύναμης που στρέφει ένα σώμα μπορούμε να το εκφράσουμε σε συνάρτηση με

τη ροπή της.

d. Η ροπή αδράνειας εκφράζει στην περιστροφή, ότι εκφράζει η ορμή στη μεταφορική κίνηση.

e. Η ροπή δύναμης είναι μονόμετρο μέγεθος.


a. Αν σε ένα ελεύθερο στερεό η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν, τότε η συνολική ροπή ως

προς το κέντρο μάζας είναι πάντοτε μηδέν.

b. Η στροφορμή ορίζεται και για σύστημα σωμάτων.

c. Σε ένα σύστημα σωμάτων, η ολική ροπή των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν.

d. Η μονάδα της ροπής δύναμης στο S.I. είναι το 1Ν/m.

e. Ένα υλικό σημείο έχει τη δυνατότητα να εκτελεί μόνο μεταφορικές κινήσεις.

33. Σύνθετη κίνηση εκτελεί:

a. ένας θαλαμίσκος του τροχού του λούνα παρκ.

b. ένα κιβώτιο που ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο.

c. μια ρακέτα, αν κρατώντας την οριζόντια, από τη λαβή, την πετάξουμε ψηλά.

d. ένας ανεμιστήρας οροφής.


-268-

34. Η μονάδα μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας στο σύστημα S.I. είναι:

a. 1m/s. b. 1rad/s. c. 1m/s2. d. 1rad/s2.

35. Στην περιστροφή ενός στερεού γύρω από σταθερό άξονα, αν F είναι το μέτρο της δύναμης και

ℓ η κάθετη απόσταση του φορέα της δύναμης από τον άξονα περιστροφής, τότε η ροπή της

δύναμης ως προς τον άξονα περιστροφής έχει μέτρο:

a. F2∙ℓ. b. F∙ℓ2. c. 2F∙ℓ. d. F∙ℓ.

36. Η σχέση που δίνει τη ροπή αδράνειας ενός σφαιρικού φλοιού ως προς άξονα που διέρχεται από

το κέντρο μάζας του είναι:

a. 2MR/3. b. 2M2R/3. c. 2MR2/3. d. 2M2R2/3.

37. Η σχέση που συνδέει τα μέτρα της ορμής p και της στροφορμής L ενός υλικού σημείου που

κινείται σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας r είναι η:

a. p=L∙r. b. p=L/r. c. p=L∙r2. d. p=L2/r.

38. Σε τροχό ο οποίος στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ασκείται δύναμη F που μεταβάλλει τη

γωνιακή του ταχύτητα. Το έργο της δύναμης είναι μεγαλύτερο αν η μεταβολή γίνεται:

a. από 0 rad/s σε 0,5 rad/s.

b. από από -1 rad/s σε 0,5 rad/s.

c. από από -2 rad/s σε 2 rad/s.

d. από από 1 rad/s σε 2 rad/s.


a. Κατά την κύλιση ενός τροχού, κάθε σημείο του που έρχεται σε επαφή με το δάπεδο έχει τα-

χύτητα ίση με μηδέν.

b. Η ροπή δύναμης είναι διανυσματικό μέγεθος.

c. Η στροφορμή έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1Kg∙m/s.

d. Η ροπή δύναμης εκφράζει την αδράνεια του σώματος στη στροφική κίνηση.

e. Σε ένα αυτοκίνητο που κινείται προς το Βορρά, η κατεύθυνση της στροφορμής των τροχών

του είναι προς τη ∆ύση.


a. Όταν οι ακροβάτες θέλουν να κάνουν γρηγορότερα στροφές στον αέρα, τεντώνουν τα χέρια

και τα πόδια τους.

b. Η δύναμη του βάρους δε δημιουργεί ποτέ ροπή.

c. Ένας αστέρας νετρονίων έχει μεγαλύτερη περίοδο περιστροφής από τον Ήλιο.

d. Η ροπή που προκαλεί μια δύναμη εξαρτάται από το σημείο εφαρμογής της.

e. Για να προσδιορίσουμε τη φορά της ροπής μιας δύναμης χρησιμοποιούμε τον κανόνα του

δεξιού χεριού.


ΘΕΜΑ Β

1. Σε ένα ρολόι θέλουμε το άκρο του ωροδείκτη και το άκρο του λεπτοδείκτη να έχουν την ίδια

ταχύτητα λόγω περιστροφής (γραμμική ταχύτητα). Αν συμβολίσουμε με ℓω το μήκος του ωρο-

δείκτη και με ℓλ το μήκος του λεπτοδείκτη, τότε για το λόγο των μηκών ισχύει

α. ℓω/ℓλ=1 β. ℓω/ℓλ=1/12 γ. ℓω/ℓλ=12


-269-

αι:

2. Στη ράβδο του σχήματος ασκούνται τρεις ομο-

επίπεδες δυνάμεις ίσου μέτρου. Η ράβδος μπο-

ρεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που

διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος

στο επίπεδο των δυνάμεων. Η κατάταξη των

δυνάμεων, κατά τη σειρά με την οποία το μέτρο της ροπής τους ως προς τον άξονα περιστρο-

φής αυξάνεται, είν

α) F3, F1, F2. β) F3, F2, F1. γ) F1, F2, F3.


3. Στο σχήμα (α) φαίνεται ένα ελεύθερο στερεό, το οποίο στρέφεται υπό την επίδραση του ζεύ-

γους δυνάμεων F1 και F2.

Αν μετακινήσουμε τα σημεία εφαρμογής των δυνάμεων μετακινώντας παράλληλα τους φορείς

των δυνάμεων, όπως φαίνεται στο σχήμα (β), χωρίς να μεταβάλλουμε τη μεταξύ τους απόστα-

ση, τότε το στερεό:

α) στρέφεται όπως και στο σχήμα α.

β) στρέφεται αντίστροφα από το σχήμα α.

γ) ισορροπεί.


4. Μια ομογενής λεπτή ράβδος μάζας M και μήκους L περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα

που είναι κάθετος σ' αυτή και διέρχεται από το ένα άκρο της. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως

προς τον άξονα περιστροφής είναι ML2/3. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που

διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι παράλληλος στον προηγούμενο άξονα είναι:


α) ΜL2/4. β) 7ΜL2/12. γ) ΜL2/12.


-270-

ού.

5. Ο ομογενής τροχός του σχήματος συγκρατείται ακίνητος πάνω

στο πλάγιο επίπεδο. Κάποια στιγμή αφήνεται ελεύθερος και αρχί-

ζει να εκτελεί σύνθετη κίνηση. Η επιτάχυνση λόγω μεταφοράς και

η επιτάχυνση λόγω περιστροφής του τροχού έχουν αναλογία μέ-

τρων αcm/αγ=R όπου R η ακτίνα του τροχ

Η κίνηση του τροχού γίνεται σε πλάγιο επίπεδο το οποίο είναι

α) λείο.

β) τραχύ.

γ) αρχικά λείο και στη συνέχεια τραχύ.


6. Το σύστημα του σχήματος αποτελείται από

μια αβαρή ράβδο ΑΒ μήκους d = 30cm και

δύο πολύ μικρά σφαιρίδια με μάζες m1 και

m2 = 2m1. Το σύστημα περιστρέφεται γύρω

από σταθερό άξονα που έχει προσαρμοστεί

στο μέσο Μ της ράβδου ΑΒ, όπως στο σχή-

μα. Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως

προς τον άξονα περιστροφής του σχήματος είναι Ι0. Αν ο άξονας περιστροφής μετακινηθεί πα-

ράλληλα στον εαυτό του στο μέσο της απόστασης MB, η ροπή αδράνειας του συστήματος

α) θα αυξηθεί.

β) θα μειωθεί.

γ) δε θα μεταβληθεί.


7. Ο ομογενής δίσκος ακτίνας R και μάζας Μ του σχήματος (α) μπορεί να περιστρέφεται γύρω

από άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του και περνά από το κέντρο του. Η ροπή αδράνειας

του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι MR2/2 και επιπλέον γνωρίζουμε ότι η μά-

ζα ενός τμήματος του δίσκου είναι ανάλογη της επιφάνειας που καλύπτει.

Αφαιρούμε από το δίσκο ένα κυκλικό τμήμα ακτίνας r = R/2 όπως φαίνεται στο σχήμα (β). Η

ροπή αδράνειας του δακτυλίου που σχηματίστηκε είναι:


α) 3ΜR2/8. β) 7ΜR2/16. γ) 15ΜR2/32.


8. Σε ένα σφαιρικό κέλυφος μάζας m, όλες οι στοιχειώδεις μάζες που το αποτελούν βρίσκονται

στην ίδια απόσταση R από το κέντρο του. Η ροπή αδράνειας του σφαιρικού κελύφους ως προς

άξονα που διέρχεται από το κέντρο του είναι

α) κ·MR2, όπου κ ένας αριθμός για τον οποίο ισχύει κ < 1.

β) κ∙MR2, όπου κ ένας αριθμός για τον οποίο ισχύει κ > 1.

γ) MR2.


9. Στο σχήμα φαίνεται μια διπλή τροχαλία, η οποία μπορεί να στρέφεται

γύρω από ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και

δύο μικρά σώματα Σ1 και Σ2, τα οποία αναρτώνται από τη διπλή τροχα-

λία. Για να ισορροπεί το σύστημα πρέπει

α) το Σ1 να είναι βαρύτερο από το Σ2.

β) το Σ2 να είναι βαρύτερο από το Σ1.

γ) το Σ1 να έχει ίσο βάρος με το Σ2.


10. Σε ένα ελεύθερο στερεό ασκείται ένα ζεύγος δυνάμεων F1 και F2 , από τις οποίες η δύναμη F1

ασκείται στο κέντρο μάζας του στερεού. Το στερεό ισορροπεί. Αν καταργηθεί η δύναμη F1 το

στερεό θα εκτελέσει:

α) μεταφορική κίνηση.

β) στροφική κίνηση.

γ) σύνθετη κίνηση.


11. Η τετράγωνη πλάκα ΑΒΓ∆ πλευράς α του σχήματος μπορεί να πε-

ριστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέ-

ντρο της Κ και είναι κάθετος σε αυτή. Στην πλάκα ασκούνται οι

δυνάμεις F1 και F2 με μέτρα F1=F2 (= F). Η δύναμη που πρέπει να

ασκηθεί στο στερεό για να ισορροπεί είναι:

α) η δύναμη Fα, μέτρου Fα=F.

β) η δύναμη Fβ, μέτρου Fβ= 2F .

γ) η δύναμη Fγ, μέτρου Fγ=2F. Να αιτιολογήσετε την απάντηση

σας.

12. Η αΒαρής δοκός ΑΒ του σχήματος στηρίζεται σε ένα ση-

μείο της Ο και ισορροπεί όταν στα άκρα της Α και Β τοπο-

θετηθούν δύο μικρά σώματα Σ και Σ1 με μάζες m και m1.

Αν η απόσταση (ΟΒ) είναι ίση με το 2/3 της απόστασης

-271-


(ΑΒ), ο λόγος m/m1 είναι ίσος με

α) 1. β) 2. γ) ½.


13. Από το κανόνι Κ εκτοξεύεται οριζόντια ένα βλήμα Β. Το βλήμα, ακολουθώντας παραβολική

τροχιά, φτάνει στο έδαφος.

Αγνοώντας την επίδραση του αέρα, και θεωρώντας το βλήμα ελεύθερο στερεό, το σχήμα που

δείχνει σωστά τον τρόπο με τον οποίο το βλήμα συναντά το έδαφος είναι:

α) το σχήμα α. β) το σχήμα β. γ) το σχήμα γ.


14. Στο σχήμα φαίνεται μια καταδύτρια σε διάφορες φάσεις της κατάδυ-

σής της.

Η στροφορμή της καταδύτριας:

α) είναι μεγαλύτερη στη θέση Α.

β) είναι μεγαλύτερη στη θέση Β.

γ) στις θέσεις Α και Β είναι ίση.


A

B

15. Ο δίσκος του σχήματος περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κα-

τακόρυφο ακλόνητο άξονα που περνά από το κέντρο του. Από

μικρό ύψος αφήνουμε ένα κομμάτι πλαστελίνης να πέσει και να

κολλήσει πάνω στο δίσκο. Το συσσωμάτωμα δίσκου – πλαστελί-

νης που προκύπτει περιστρέφεται σε σχέση με το δίσκο

α) πιο αργά.

β) με την ίδια γωνιακή ταχύτητα.

γ) πιο γρήγορα.

-272-



16. Τα παρακάτω σχήματα δείχνουν τη στροφορμή της Γης, λόγω της περιστροφής της γύρω από

τον εαυτό της (spin) σε δύο θέσεις, στο περιήλιο (μικρότερη απόσταση από τον Ήλιο) και στο

αφήλιο (μεγαλύτερη απόσταση από τον Ήλιο) της τροχιάς της γύρω από τον Ήλιο.

Το σχήμα στο οποίο έχει σχεδιαστεί σωστά η στροφορμή είναι:

α) το σχήμα α.

β) το σχήμα β.

γ) το σχήμα γ.


17. Πετάμε μια μπάλα του μπάσκετ κατακόρυφα προς τα πάνω με τέτοιο τρόπο, ώστε αυτή να πε-

ριστρέφεται καθώς ανέρχεται. Στο χρονικό διάστημα που η μπάλα ανέρχεται, η γωνιακή της

ταχύτητα

α) αυξάνεται.

β) μειώνεται.

γ) παραμένει σταθερή.


18. Ένας τροχός περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονά. Η κινητική ενέργεια του τροχού είναι Κ.

Αν διπλασιάσουμε τη στροφορμή του τροχού, τότε η κινητική του ενέργεια θα γίνει

α) 2Κ.

β) 4Κ.

γ) 8Κ.


19. Ένας τροχός κυλίεται κατά μήκος πλάγιου επιπέδου. Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς

τον άξονα περιστροφής του δίνεται από τον τύπο: I=2MR2/3. Ο λόγος της κινητικής ενέργειας

λόγω μεταφορικής κίνησης προς την κινητική ενέργεια λόγω στροφικής κίνησης του τροχού,

Kμετ/Κστρ, ισούται με

α) 3/2.

β) 2/3.

γ) 1.


20. Ο άξονας του αρχικά ακίνητου ομογενή τροχού του σχήματος (α) είναι ακλόνητος. Γύρω από

τον τροχό έχει τυλιχθεί πολλές φορές αβαρές νήμα, το οποίο δεν ολισθαίνει πάνω στον τροχό.

-273-


Στην ελεύθερη άκρη του νήματος ασκείται σταθερή δύναμη F , η οποία προσφέρει στον τροχό

έργο W και μετά καταργείται. Στο σχήμα (β) ένας ίδιος αρχικά ακίνητος τροχός κυλίεται υπό

την επίδραση της ίδιας σταθερής δύναμης F, η οποία προσφέρει στον τροχό το ίδιο έργο W

όπως και στη περίπτωση (α) και μετά καταργείται. Η γωνιακή ταχύτητα, μόλις καταργηθεί η

δύναμη είναι:

α) μεγαλύτερη στον τροχό α.

β) μεγαλύτερη στον τροχό β.

γ) ίση στους δύο τροχούς.


21. ∆ύο στερεά Α και Β στρέφονται γύρω από σταθερό άξονα με κοινή γωνιακή επιτάχυνση μέτρου

aγ. Ο λόγος των μέτρων της στροφορμής του στερεού Α προς τη στροφορμή του Β ως προς

τον άξονα περιστροφής κάποια χρονική στιγμή t1 είναι L1/L2=2. Εκείνη τη χρονική στιγμή, ο

λόγος P1/P2 της ισχύος της ροπής που επιταχύνει το στερεό Α προς την ισχύ της ροπής που ε-

πιταχύνει το στερεό Β είναι:

α) 1/2.

β) 1.

γ) 2.


22. Το σφαιρίδιο Σ του σχήματος διαγράφει κυκλική τροχιά με

σταθερή γωνιακή ταχύτητα ακτίνας R. Το σκοινί στο οποίο

είναι δεμένο το σφαιρίδιο περνάει από κατακόρυφο σωλήνα

ΚΛ. Ασκώντας κατάλληλη δύναμη στο ελεύθερο άκρο Α του

σκοινιού μειώνουμε την ακτίνα περιστροφής του σφαιριδίου

στη μισή της αρχικής. Το σφαιρίδιο θα περιστρέφεται:

α) πιο γρήγορα.

β) πιο αργά.

γ) το ίδιο γρήγορα με πριν.


23. Σώμα αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική στιγμή t=0, υπό την επίδραση σταθερής ροπής. Τη

χρονική στιγμή t1 η κινητική του ενέργεια, λόγω περιστροφής, είναι Κ1.Τη χρονική στιγμή 3t1

η κινητική του ενέργεια, λόγω περιστροφής, θα είναι:

α) η ίδια.

-274-


-275-

β) τριπλάσια.

γ) εννιαπλάσια.



ΘΕΜΑ Γ

1. Ο ομογενής και ισοπαχής δίσκος του σχήματος έχει

ακτίνα R=10cm και μάζα M=2kg, είναι οριζόντιος

και μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω

από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από

το κέντρο του. Ο δίσκος είναι αρχικά ακίνητος και

στην περιφέρειά του είναι τυλιγμένο αβαρές, μη ε-

κτατό σχοινί μήκους ℓ=4m. Τη χρονική στιγμή t0=0

ασκούμε στην ελεύθερη άκρη του σχοινιού σταθερή, οριζόντια δύναμη F=2N και ο δίσκος ξε-

κινά να περιστρέφεται. Το σχοινί δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του δίσκου.


α) το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αγ του δίσκου. [20]

β) τη χρονική στιγμή t1 που ξετυλίγεται όλο το σχοινί. [2]

γ) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω του δίσκου τη στιγμή κατά την οποία έχει ξετυλιχθεί

όλο το σχοινί. [40]

δ) το έργο της δύναμης στη διάρκεια του δεύτερου δευτερολέπτου της κίνησης. [6]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του: I=MR2/2.

2. Η οριζόντια και ομογενής ράβδος ΑΒ του σχήματος έχει μή-

κος d=2m μάζα M=3kg και μπορεί να στρέφεται γύρω από

κατακόρυφο σωλήνα που περνά από το κέντρο της. Στο

σωλήνα έχει προσαρμοστεί, σταθερά, ένας μικρός κύλιν-

δρος ακτίνας R=0,1m. Γύρω από τον κύλινδρο είναι τυλιγ-

μένο πολλές φορές λεπτό νήμα, στην ελεύθερη άκρη του

οποίου αναρτάται, μέσω τροχαλίας, ένα σώμα Σ. Στα άκρα

Α και Β της ράβδου έχουν στερεωθεί δύο μικρές σφαίρες με

μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα. Ο σωλήνας, ο κύ-

λινδρος, η τροχαλία και το νήμα θεωρούνται αβαρή. Το νή-

μα δεν ολισθαίνει στον κύλινδρο. Αρχικά όλη η διάταξη εί-

ναι ακίνητη. Τη στιγμή t0=0 το σώμα Σ αφήνεται να κινηθεί

και η ράβδος ξεκινά να περιστρέφεται. Το νήμα ασκεί στον κύλινδρο σταθερή ροπή μέτρου

τ=16Nm.

Να βρείτε:

α) Τη συνολική ροπή αδράνειας Iολ του συστήματος της ράβδου και των δύο σφαιριδίων ως

προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου. [4]

β) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αγ του παραπάνω συστήματος. [4]

γ) Το ύψος h κατά το οποίο έχει κατέλθει το σώμα Σ από τη χρονική στιγμή t0 μέχρι τη χρονι-

κή στιγμή t1=(10π) s. [2π]

δ) Τον αριθμό των περιστροφών Nστρ της ράβδου στο ίδιο χρονικό διάστημα. [10]

-276-


∆ίνονται: Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της I=Md2/12, και

g=10m/s2.

-277-

τας στραφεί κατά γωνία φ=30ο.

3. Μια λεπτή ομογενής ράβδος μήκους L=0,3m και μάζας

m=1kg μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο

γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα, που περνά από το

άκρο της Ο, όπως στο σχήμα. Η ράβδος ισορροπεί ακίνη-

τη στη θέση ΟΑ. Ένα μικρό σφαιρίδιο μάζας m=1kg αφή-

νεται να κινηθεί εντός τεταρτοκυκλίου που έχει κέντρο

του το σημείο Ο και συναντά τη ράβδο στο σημείο Α, έχο-

ντας ταχύτητα μέτρου υ=2m/s. Το σφαιρίδιο συγκρούεται

με τη ράβδο και προσκολλάται στο άκρο της Α δημιουρ-

γώντας το σύστημα ράβδος – σφαιρίδιο το οποίο έχει ροπή αδράνειας που δίνεται από τη σχέ-

ση I=4mL2/3. Το σύστημα ράβδος – σφαιρίδιο ξεκινά να περιστρέφεται γύρω από το άκρο Ο

της ράβδου και στιγμιαία σταματά στη θέση ΟΒ, έχον

Να βρείτε:

α) Τη ροπή αδράνειας Iρ της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής που περνά από το άκρο

Ο. [0,03]

β) Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω του συστήματος ράβδος – σφαιρίδιο αμέσως μετά την

κρούση. [5]

γ) Τη μείωση της μηχανικής ενέργειας του συστήματος λόγω της κρούσης. [0,5]

δ) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδος – σφαιρίδιο dL/dt

όταν βρίσκεται στη θέση ΟΒ. [2,25]

∆ίνονται: g=10m/s2 και ημ300=0,5, συν300=3/2

4. Ένα στερεό Σ περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο ά-

ξονα ως προς τον οποίο παρουσιάζει ροπή αδράνειας

I=0,2kgm2. Η γραφική παράσταση της γωνιακής τα-

χύτητας του στερεού Σ ως προς το χρόνο δίνεται στο

διάγραμμα που ακολουθεί:

Να βρείτε:

α) την αλγεβρική τιμή της γωνιακής επιτάχυνσης του

στερεού τις χρονικές στιγμές t1=1s και t3=3s. [-2 και 0] β) τον αριθμό των περιστροφών που εκτέλεσε το στερεό από tΑ=0 μέχρι tΓ=4s. [10/π]

γ) την ισχύ της δύναμης που ασκείται στο στερεό τη χρονική στιγμή t1=1s. [-2,4]

δ) το μέτρο της στροφορμής του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής του τη χρονική

στιγμή tΒ=2s. [0,8]

∆ίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του: I=MR2/2.

5. Ένας οριζόντιος δίσκος μπορεί να στρέφεται στο οριζόντιο επίπεδο γύρω από ακλόνητο κατα-

κόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Αρχικά ο δίσκος είναι ακίνητος. Τη χρονική


στιγμή t0=0 ασκείται στο δίσκο σταθερή ροπή, με αποτέλεσμα ο δίσκος να αποκτήσει γωνιακή

επιτάχυνση μέτρου αγ=10rad/s2. Να βρείτε:

α) το μέτρο της μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας ∆ω σε χρονικό διάστημα ∆t=4s. [0,02]

β) τη ροπή αδράνειας I του δίσκου, αν στο ίδιο χρονικό διάστημα ∆t=4s η μεταβολή του μέ-

τρου της στροφορμής του δίσκου είναι ∆L=0,8Kgm2/s. [0,02]

γ) Τη στιγμιαία ισχύ P1 της ροπής που στρέφει το δίσκο, τη χρονική στιγμή t1=2s. [4]

δ) Τον αριθμό των στροφών Ν1 που έχει εκτελέσει ο δίσκος από τη χρονική στιγμή t0=0 μέχρι

τη χρονική στιγμή t1=2s. [10/π]

6. Η ακίνητη διπλή τροχαλία του σχήματος μπορεί να στρέφεται

γύρω από σταθερό άξονα που συμπίπτει με τον άξονα συμμε-

τρίας της. Η τροχαλία έχει ακτίνες R1=10cm, R2=20cm και

ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής I=1kgm2.

Στην τροχαλία που είναι αρχικά ακίνητη, ασκούνται μέσω κα-

τάλληλων αβαρών νημάτων οι δυνάμεις F1=60N και F2=40N,

με σημεία εφαρμογής και κατευθύνσεις όπως στο σχήμα.


α) τη συνολική ροπή που δέχεται η τροχαλία. [2]

β) τη γωνιακή επιτάχυνση που αποκτά η τροχαλία. [2]

γ) τη γωνιακή της ταχύτητα τη χρονική στιγμή t=4 s. [8]

δ) τη χρονική στιγμή t=4 s, το μήκος των νημάτων που έχει τυλιχτεί ή ξετυλιχτεί σε κάθε τρο-

χαλία. [1,6 – 3,2]

7. Οι τροχοί ενός ποδηλάτου έχουν ακτίνα R=0,3m και μάζα m=2kg ο καθένας. Το ποδήλατο κι-

νείται στην κατεύθυνση από το νότο προς το βορρά με ταχύτητα 6m/s. Ο ποδηλάτης φρενάρει

ομαλά και το σύστημα σταματά μετά από 3s. Σε όλη τη διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης

οι τροχοί κυλίονται. Για τον κάθε τροχό:

α) να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειάς του, αν θεωρήσετε ότι όλη η μάζα του είναι συγκεντρω-

μένη στην περιφέρεια. [0,18]

β) να βρείτε πώς μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο. [ω=20-20t/3] γ) να γράψετε τη σχέση που συνδέει το μέτρο της στροφορμής του σε συνάρτηση με το χρόνο

και να τη σχεδιάσετε. [L=3,2-1,2t]

δ) να υπολογίσετε τη ροπή που τον επιβράδυνε και να σχεδιάσετε το διάνυσμά της, καθώς και

το διάνυσμα της αρχικής γωνιακής ταχύτητας. [-1,2]

-278-


8. Η ομογενής ράβδος ΑΒ του σχήματος μάζας

Μ=2Kg και μήκους L=12/7 m, μπορεί να

στρέφεται γύρω από οριζόντιο σταθερό άξο-

να κάθετο στη ράβδο, που διέρχεται από το

σημείο της Ο.

Η απόσταση ΑΟ είναι ίση με L/4. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται

από το κέντρο μάζας της M και είναι κάθετος σ' αυτή είναι Icm=ML2/12. H ράβδος διατηρείται

στην οριζόντια θέση με τη βοήθεια κατακόρυφου νήματος που είναι δεμένο στο άκρο Β. Κό-

βουμε το νήμα.

Να βρείτε:

α) την τάση του νήματος πριν αυτό κοπεί. [20/3]

β) τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. [6/7]

γ) τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου αμέσως μόλις κοπεί το νήμα. [10]

δ) τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν αυτή διέρχεται από την κατακόρυφη θέση. [20]

∆ίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g=10m/s2.

9. Ο ανελκυστήρας του σχήματος (α) αποτελείται από το θάλαμο επιβατών συνολικού βάρους

wθ=2000Ν και το τύμπανο περιέλιξης του συρματόσχοινου ακτίνας R=0,25m, στο οποίο έχει

προσαρμοστεί ο κινητήρας του ανελκυστήρα. O θάλαμος ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα μέ-

τρου υ=1m/s.

α)

1) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τυμπάνου. [4]

2) Να υπολογίσετε την ισχύ του κινητήρα. [2000]

β) Στο σχήμα (β) δείχνεται ο ίδιος ανελκυστήρας στον οποίο έχει προσαρμοστεί ένα αντίβαρο

Α βάρους wA=1800N. Ο θάλαμος ανεβαίνει πάλι με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ=1m/s.

1) Να υπολογίσετε τη νέα ροπή του κινητήρα, που ασκείται στο τύμπανο. [50]

2) Να υπολογίσετε τη νέα ισχύ του κινητήρα. [200]

-279-


ΘΕΜΑ ∆

1. Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος L ,

μάζα M και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο

γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχε-

ται από το άκρο της Ο. Στο άλλο άκρο Α της ράβδου είναι

δεμένο ένα αβαρές νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου είναι

αναρτημένο, μέσω τροχαλίας ακτίνας R, ένα σώμα Σ μάζας

m1=0,15Kg.

Το νήμα είναι κάθετο στη ράβδο ΟΑ στο άκρο της Α. Η ρά-

βδος, το σώμα Σ και η τροχαλία ισορροπούν ακίνητα, με τη

ράβδο να σχηματίζει γωνία φ=45ο με το οριζόντιο δάπεδο.

Να βρείτε:

α) το μέτρο της τάσης Τ1 του νήματος στο σημείο Α. [5]

β) τη μάζα Μ της ράβδου. [0,210]

γ) το μήκος L της ράβδου, αν η ροπή αδράνειάς της ως προς τον άξονα που διέρχεται από το

σημείο Ο είναι Io=1510∙10-4Kgm2. [0,15]

δ) Το μέτρο της δύναμης F που ασκεί η άρθρωση στη ράβδο. [5]

∆ίνονται: Η επιτάχυνση βαρύτητας g=10m/s2 και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξο-

να που διέρχεται απο το κέντρο μάζας είναι Icm=Mℓ2/12.

2. Λεπτή ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΒΑ με μήκος L=0,63m και μάζα M=5Kg ισορροπεί σε

οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο ση-

μείο της Ο υπάρχει ακλόνητη οριζόντια άρθρωση

γύρω από την οποία η ράβδος μπορεί να περι-

στρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές,

ενώ στο σημείο Γ υπάρχει στερεωμένο αμελητέων

διαστάσεων σφαιρίδιο μάζας m1. Η απόσταση (ΓΟ)

είναι ίση με 30cm, ενώ η απόσταση (ΟΜ) είναι ίση

με 10cm, όπου Μ είναι το μέσο της ράβδου ΒΑ.

α) Να υπολογίσετε τη μάζα m1. [5/3]

β) Ενώ το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία προ-

σκολλάμε στο σημείο Μ σημειακή μάζα m2=65/99

Kg με συνέπεια η ράβδος υπό την επίδραση της

βαρύτητας να περιστραφεί χωρίς τριβές γύρω από

το σημείο Ο.


β1) Τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το

σημείο Ο. [65/99]

β2) Τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος ράβδου-μαζών στην οριζόντια θέση αμέσως μετά

την προσκόλληση της μάζας m2. [1]

-280-


β3) Τη στροφορμή συστήματος ράβδου-μαζών στην κατακόρυφη θέση. [652/99]

∆ίνονται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της

Icm=ML2/12, g=10m/s2.

3. Ο τροχός του σχήματος έχει ακτίνα R=0,1 και στρέφεται γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα

που διέρχεται από το κέντρο του με στροφορμή μέτρου L0=20Kgm2/s . Η ράβδος ΑΟΒ του

σχήματος έχει μήκος d=0,4m, είναι αβαρής και μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο στα-

θερό άξονα που περνά από το σημείο Ο και είναι παράλληλος στον άξονα περιστροφής του

τροχού. Τη χρονική στιγμή t0=0 ασκείται στο άκρο Β της ράβδου κατακόρυφη δύναμη μέτρου

F=400N με αποτέλεσμα η ράβδος να εφάπτεται στον τροχό στο άκρο της Α. Η ράβδος ισορρο-

πεί οριζόντια, ενώ ο τροχός, λόγω τριβών στο σημείο επαφής με τη ράβδο, επιβραδύνεται και

τελικά σταματά. Η τριβή ολίσθησης που ασκεί η ράβδος στον τροχό, όσο αυτός περιστρέφεται,

έχει μέτρο Tολ=10Ν.

Να βρείτε:

α) Την απόσταση (ΑΟ). [0,32]

β) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του τροχού, dL/dt, κατά τη διάρκεια της

στροφικής του κίνησης. [1]

γ) Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του τροχού, dK/dt, τη στιγμή που το μέτρο

της γωνιακής του ταχύτητας είναι το μισό από το αρχικό. [5]

δ) Τη χρονική στιγμή t1 κατά την οποία ο τροχός ακινητοποιείται καθώς και τη μέση ισχύ |Pμ|

της ροπής που τον ακινητοποίησε (σε απόλυτη τιμή). [5]

∆ίνονται: Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι=2Kgm2 και ο

συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ τροχού και της ράβδου μ=0,1.

4. Η τροχαλία Σ του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα που

διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Η ροπή αδράνειας της τροχαλί-

ας ως προς τον άξονα της, είναι Ι=0,01Kgm2 και η ακτίνα της είναι R=0,1m. Γύρω από την

τροχαλία είναι τυλιγμένο πολλές φορές λεπτό αβαρές και μη εκτατό νήμα, το οποίο δεν ολι-

σθαίνει πάνω στην τροχαλία. Στη μία άκρη του νήματος έχει αναρτηθεί το σώμα Σ1. Στην άλλη

άκρη του νήματος έχει προσδεθεί το σώμα Σ2, το οποίο βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επί-

πεδο. Το σύστημα ισορροπεί ακίνητο με τη βοήθεια ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100N/m,

στο οποίο έχει προσδεθεί στο ένα άκρο του το σώμα Σ2 και το άλλο άκρο του σε ακλόνητο

-281-


στήριγμα. Τα σώματα Σ1 και Σ2 έχουν μάζα m=1Kg το καθένα.

α) Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης Fελ που ασκεί το ελατήριο στο σώμα Σ2, όταν το σύστημα

ισορροπεί. [10]

β) Τη χρονική στιγμή t0=0 κόβουμε το νήμα στο σημείο που συνδέει το σώμα Σ2 με την τρο-

χαλία, με αποτέλεσμα η τροχαλία να ξεκινήσει να περιστρέφεται και το σύστημα ελατήριο – Σ2

να ξεκινήσει απλή αρμονική ταλάντωση.

Να βρείτε:

β1) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αγ της τροχαλίας. [50]

β2) Πόσο έχει κατέβει το σώμα Σ1 από τη χρονική στιγμή t0=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1 κατά

την οποία το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας γίνεται αριθμητικά ίσο με τη γωνια-

κή συχνότητα της απλής αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο – Σ2. [0,1]

β3) Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας dK/dt τη χρονική στιγμή t1

όπως αυτή καθορίζεται στο προηγούμενο ερώτημα. [5]


5. Μια συμπαγής ομογενής σφαίρα μάζας m=0,7 Kg και ακτίνας r, αφήνεται από το σημείο Α ενός

πλάγιου επιπέδου που σχηματίζει γωνία φ με το οριζόντιο δάπεδο. Το σημείο Α βρίσκεται σε

-282-


-283-

τά την κίνησή

σεις Β και Γ.

ανώτερο σημείο

στο σημείο ∆.

. Η ακτίνα της σφαίρας r είναι πολύ μικρή σε σχέση με την ακτίνα R

γιο κατέρχεται το νήμα ΑΒ ασκεί στη ρά-

βδο δύναμη

ελεύθερο άξονα

άξονα). [2021 , εφθ=3/5]

ύψος Η=84cm από το οριζόντιο δάπεδο. Η σφαίρα καθώς κατέρχεται κυλιόμενη διέρχεται από

τα σημεία Β και Γ που απέχουν από το σημείο Α κατακόρυφη απόσταση h1 και h2 αντίστοιχα,

με h2=4h1. Μόλις η σφαίρα φτάσει στη βάση του πλάγιου επιπέδου, μπαίνει σε κυκλική στεφά-

νη ακτίνας R=28 cm. Η σφαίρα κυλιόμενη εντός της κυκλικής στεφάνης εκτελεί ανακύκλωση.

α) Να βρείτε το μέτρο αcm της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας, της σφαίρας κα

της στο πλάγιο επίπεδο. [5]

β) Να βρείτε το λόγο των μέτρων LB/LΓ των στροφορμών της σφαίρας στις θέ [1/2] γ) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας υcm στο

της στεφάνης (σημείο ∆ στο σχήμα). [2]

δ) Να βρείτε το μέτρο της δύναμης N που δέχεται η σφαίρα από τη στεφάνη [3] ∆ίνονται: Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας

της: Icm=2mr2/5, ημφ=0,7

της στεφάνης, g=10m/s2.

6. Η ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μάζα M=4Kg και μήκος L=2m. Η ράβδος ισορροπεί

σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια άρθρωσης στο άκρο Ο και νήματος που είναι δεμένο στο άκρο

Α και σχηματίζει γωνία 30o με τη ράδβο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Από ένα σημείο Γ της ρά-

βδου έχει δεθεί μέσω αβαρούς σχοινιού ένα γιο-γιο μάζας m=12 Kg, ο κύλινδρος του οποίου

έχει ακτίνα R=0,1m. Το γιο-γιο ελευθερώνεται και κατέρχεται διαγράφοντας κατακόρυφη τρο-

χιά, χωρίς ποτέ το σχοινί να γλιστρά. Καθώς το γιο-

α) το μέτρο της επιτάχυνσης αcm του κέντρου μάζας K του γιο-γιο. [20/3]

β) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του γιο-γιο ως προς τον

περιστροφής του, που περνά από το κέντρο του Κ. [4]

γ) την απόσταση (ΟΓ). [1,5]

δ) τη δύναμη που ασκεί η άρθρωση στη ράβδο (μέτρο και διεύθυνση ως προς τον οριζόντιο

μέτρου T=100N. Να βρείτε:


∆ίνονται: Η ροπή αδράνειας του γιο-γιο ως προς τον ελεύθερο άξονα περιστροφής του

Icm=mR2/2, g=10m/s2.

7. Η λεπτή ομογενής δοκός ΑΒ του σχήματος μήκους L=7,52 m και μάζας M=20Kg ακουμπά σε

λείο κατακόρυφο τοίχο ΟΒ και ισορροπεί σχηματίζοντας γωνία φ=45ο με το οριζόντιο δάπεδο.

Ένας ομογενής, λεπτός δίσκος μάζας m=1Kg και ακτίνας R κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) κατά

μήκος της δοκού προς το άκρο Β, υπό την επίδραση δύναμης μέτρου F=202, παράλληλης στη

δοκό, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Να βρείτε:

α) το μέτρο της επιτάχυνσης αcm του κέντρου μάζας του δίσκου. [102]

β) το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας υcm του δίσκου τη στιγμή που φτάνει στο ανώ-

τερο σημείο Β της δοκού, αν ο δίσκος ξεκίνησε να κινείται από τη βάση Α χωρίς ταχύτητα. [103]

γ) Το μέτρο και τη διεύθυνση της δύναμης A

που ασκεί ο δίσκος στη ράβδο. [10, θ=45ο]

δ) Τον ελάχιστο συντελεστή οριακής στατικής τριβής μεταξύ δοκού και δαπέδου ώστε ο δίσκος

να φτάσει στο άκρο Β της δοκού, χωρίς η δοκός να ολισθήσει στο δάπεδο. [0,5]

∆ίνονται: Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς το κέντρο μάζας του Icm=mR2/2,g=10m/s2.

8. Ο λεπτός ομογενής δίσκος του σχήματος (α) έχει μάζα Μ=9Kg, ακτίνα R=1/30 m και μπορεί

να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα που διέρχεται

από το σημείο Ο της περιφέρειάς του.

Αρχικά ο δίσκος βρίσκεται σε τέτοια θέση, ώστε η ακτίνα ΟΚ που συνδέει το σημείο Ο με το

κέντρο μάζας Κ του δίσκου (που συμπίπτει με το κέντρο του δίσκου), να είναι οριζόντια. Από

αυτή τη θέση αφήνουμε το δίσκο να στραφεί. Η γωνιακή επιτάχυνση με την οποία ο δίσκος ξε-

κινά τη στροφική του κίνηση έχει μέτρο αγ=200rad/s2.

Να βρείτε:

α) Τη ροπή αδράνειας I(O) του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του που διέρχεται από

το σημείο Ο.

-284-


β) Τυλίγουμε πολλές φορές ένα αβαρές, μη εκτατό νήμα γύρω από έναν ίδιο δίσκο και την ε-

λεύθερη άκρη του νήματος τη στερεώνουμε στην οροφή, σχηματίζοντας ένα γιο-γιο, όπως φα-

ίνεται στο σχήμα (β). Αφήνουμε ελεύθερο το δίσκο και αυτός ξεκινά να κατέρχεται με το νήμα

διαρκώς κατακόρυφο και χωρίς αυτό να γλιστρά ως προς το δίσκο.

γ) Να βρείτε τη ροπή αδράνειας Icm του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο

μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του.

δ) Να δείξετε ότι η τάση του νήματος που ασκείται στο δίσκο δε μεταβάλλει την συνολική κι-

νητική του ενέργεια.

ε) Να βρείτε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω του δίσκου όταν έχει ξετυλιχθεί νήμα με μή-

κος ίσο με την ακτίνα του δίσκου.

στ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της στροφικής κινητικής ενέργειας του δίσκου όταν έχει ξε-

τυλιχθεί νήμα με μήκος ίσο με την ακτίνα του δίσκου.

∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g=10m/s2.

Επίσης δεν θεωρείται γνωστός ο τύπος της ροπής αδράνειας ομογενή δίσκου για άξονα που

διέρχεται από το κέντρο μάζας του.

-285-

Επανάληψη: Κρούσεις – Φαινόμενο Doppler Παμπέρης ∆ήμος, Φυσικός

-286-


ΘΕΜΑ Α

1. Η ορμή συστήματος δύο σωμάτων που συγκρούονται διατηρείται:

a. μόνο στην πλάγια κρούση.

b. μόνο στην έκκεντρη κρούση.

c. μόνο στην κεντρική ελαστική κρούση.

d. σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις.

2. Το φαινόμενο Doppler:

a. αξιοποιείται για τη μέτρηση της ταχύτητας των αεροπλάνων με το ραντάρ.

b. συμβαίνει όταν παρατηρητής και ηχητική πηγή κινούνται με την ίδια ταχύτητα.

c. γίνεται αντιληπτό μόνο από ακίνητο παρατηρητή.

d. αξιοποιείται από τους γιατρούς για τον έλεγχο των καταγμάτων.

3. Μια κρούση λέγεται πλάγια όταν:

a. ικανοποιεί την αρχή διατήρησης της ορμής και της ενέργειας.

b. οι ταχύτητες των κέντρων μαζών των σωμάτων πριν από την κρούση βρίσκονται πάνω στη

ευθεία που ενώνει τα κέντρα των μαζών των σωμάτων.

c. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση έχουν τυχαία διεύθυν-

ση.

d. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση είναι παράλληλες.

4. Το φαινόμενο Doppler:

a. συμβαίνει όταν ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται το κύμα που εκπέμπει η πηγή σε συχνότητα

ίδια με τη συχνότητα του κύματος που εκπέμπει η πηγή.

b. παρατηρείται όταν υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ παρατηρητή και πηγής κυμάτων.

c. χρησιμοποιείται στην αστρονομία για τον προσδιορισμό του μεγέθους των ουράνιων σωμά-

των.

d. συμβαίνει μόνο στα ηχητικά κύματα.

5. Ένας παρατηρητής Α πλησιάζει προς ακίνητη ηχητική πηγή με ταχύτητα υΑ . Αν με υ συμβολί-

σουμε την ταχύτητα διάδοσης του ήχου ως προς το μέσο διάδοσης, τότε η ταχύτητα με την

οποία διαδίδεται ο ήχος ως προς τον παρατηρητή είναι:

a. υ-υΑ. b. υ+υΑ. c. υΑ-υ. d. 2υΑ+υ.

6. Όταν μια ελαστική σφαίρα κτυπήσει πλάγια σε λείο τοίχο, τότε:

a. η ορμή της διατηρείται.

b. ανακλάται με την ίδια ταχύτητα.

c. δέχεται δύναμη από τον τοίχο η οποία είναι κάθετη σ’ αυτόν.

d. ανακλάται στην ίδια διεύθυνση.


-287-

7. Να συμπληρώσετε σωστά τις λέξεις που λείπουν από τις παρακάτω προτάσεις:

α) Σε μια ……………….. κρούση τα σώματα που συγκρούονται επανακτούν το αρχικό φυσικό

τους σχήμα.

β) Στη διάρκεια μιας κρούσης, αν η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται

στα συγκρουόμενα σώματα είναι μηδέν, τότε ………………. του συστήματος των σωμάτων διατη-

ρείται.

γ) Το φως δε χρειάζεται μέσον για να διαδοθεί και ………………… του είναι ίδια για όλα τα συστή-

ματα αναφοράς.

δ) ∆ύο σφαίρες που συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά ανταλλάσουν ταχύτητες μόνο όταν

έχουν ίσες …………………...

ε) Σε μια ανελαστική κρούση η δυναμική ενέργεια των συγκρουόμενων σωμάτων …………………..

σταθερή.


a. Σε όλες τις ανελαστικές κρούσεις οι διευθύνσεις των ταχυτήτων των σωμάτων που συ-

γκρούονται, είναι παράλληλες.

b. Όταν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σύστημα σωμάτων είναι εσωτερικές η ορμή

του διατηρείται.

c. ∆ιαφορετικοί παρατηρητές μπορεί να αντιλαμβάνονται με διαφορετική συχνότητα το ίδιο

ηχητικό κύμα.

d. Το φαινόμενο Doppler αξιοποιείται, για τη μέτρηση της ταχύτητας των αυτοκινήτων και των

αεροπλάνων με το ραντάρ.

e. Κρούση ονομάζουμε την ισχυρή αλληλεπίδραση μεταξύ δύο ή περισσοτέρων σωμάτων η

οποία διαρκεί πολύ μικρό χρόνο.

9. Σε μια πλαστική κρούση δύο σωμάτων:

a. κάθε σώμα υφίσταται μόνιμη παραμόρφωση και συνεχίζει διαφορετική πορεία από το άλλο

σώμα.

b. η κινητική ενέργεια των σωμάτων που συγκρούονται διατηρείται.

c. η κινητική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων πριν είναι μεγαλύτερη από αυτήν μετά

την κρούση.

d. κάθε σώμα υφίσταται παροδική παραμόρφωση και συνεχίζει διαφορετική πορεία από το άλ-

λο σώμα.

10. Σε κάθε κρούση μεταξύ δύο σωμάτων:

a. η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων ελαττώνεται.

b. οι δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ των δύο σωμάτων είναι αντίθετες.

c. η μηχανική ενέργεια του συστήματος των δύο αυτών σωμάτων είναι σταθερή.

d. η ορμή κάθε σώματος διατηρείται.

11. Σε μια ελαστική κρούση δεν διατηρείται:

a. η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος.

b. η ορμή του συστήματος.


-288-

c. η μηχανική ενέργεια του συστήματος.

d. η κινητική ενέργεια κάθε σώματος.

12. Μια σφαίρα Α μάζας m κινείται και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα B

ίσης μάζας.

a. Οι σφαίρες ανταλλάσουν ταχύτητες.

b. Στη διάρκεια της κρούσης για το σύστημα των δυο σφαιρών διατηρείται η ορμή και δεν δια-

τηρείται η μηχανική ενέργεια.

c. Οι σφαίρες μετά την κρούση κινούνται με ίδιες φορές.

d. Οι σφαίρες μετά την κρούση κινούνται με ίδιες ταχύτητες.

13. Σώμα Α μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο

σώμα Β ίσης μάζας. Η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση έχει μέτρο

a. υ. b. υ/2. c. υ/3. d. υ/4.

14. Η μηχανική ενέργεια συστήματος σωμάτων που συγκρούονται διατηρείται:

a. στην ανελαστική κρούση.

b. στην πλαστική κρούση.

c. στην ελαστική κρούση.

d. σε όλες τις κρούσεις.


a. Στην ανελαστική κρούση τα σώματα υφίστανται μόνιμη παραμόρφωση, ενώ στην ελαστική

κρούση τα σώματα μετά το πέρας της κρούσης επανακτούν το αρχικό φυσικό τους σχήμα.

b. Η ορμή συμπαγούς σφαίρας που ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεν μεταβάλλεται αν

ασκηθεί σε αυτή ζεύγος δυνάμεων.

c. Όταν πηγή ήχων πλησιάζει ακίνητο παρατηρητή τότε η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο

παρατηρητής είναι μεγαλύτερη από την συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή.

d. Όταν η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σύστημα σωμάτων

είναι διάφορη του μηδενός η ορμή του διατηρείται.

e. Κατά την σκέδαση σωματιδίων στο μικρόκοσμο, τα σωματίδια αλληλεπιδρούν με σχετικά με-

γάλες δυνάμεις, για μικρό χρονικό διάστημα.


Στο φαινόμενο Doppler και στα ηχητικά κύματα, ένας ακίνητος παρατηρητής Α και ένας κινού-

μενος παρατηρητής Β αντιλαμβάνονται τον ήχο που προέρχεται από μια:

a. ακίνητη ηχητική πηγή να διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα.

b. κινούμενη ηχητική πηγή να διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα.

c. ακίνητη ηχητική πηγή να διαδίδεται με το ίδιο μήκος κύματος.

d. κινούμενη ηχητική πηγή να διαδίδεται με την ίδια συχνότητα.

e. ακίνητη ηχητική πηγή με την ίδια συχνότητα.

17. Όταν συμβαίνει φαινόμενο Doppler:

a. μεταβάλλεται η συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή κυμάτων.

b. ο παρατηρητής και η ηχητική πηγή κινούνται με την ίδια ταχύτητα.


-289-

c. η απόσταση μεταξύ παρατηρητή και πηγής ήχου αλλάζει.

d. η απόσταση μεταξύ παρατηρητή και πηγής ήχου παραμένει σταθερή.

18. Όταν δύο σώματα διαφορετικής μάζας συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά:

a. η ορμή και η μηχανική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων που συγκρούονται διατηρεί-

ται.

b. ανταλλάσσουν ταχύτητες.

c. οι ορμές τους μετά την κρούση είναι πάντοτε αντίθετες.

d. συμβαίνει μόνιμη παραμόρφωση του σχήματος των σωμάτων που συγκρούονται.

19. Σε μια πλαστική κρούση δεν ισχύει:

a. ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα.

b. η αρχή διατήρησης της ορμής.

c. η αρχή διατήρησης της ενέργειας.

d. η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας του συστήματος.

20. ∆ύο σώματα Α και Β με ίσες μάζες που κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με αντίθετες ταχύ-

τητες και συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά.

a. Τα σώματα Α και Β πριν την κρούση έχουν ίσες ορμές.

b. η ορμή καθώς και η κινητική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων Α και Β πριν την κρο-

ύση είναι μηδέν.

c. τα σώματα Α και Β πριν την κρούση έχουν αντίθετες κινητικές ενέργειες.

d. η ολική ορμή του συστήματος των σωμάτων Α και Β μετά την κρούση είναι μηδέν.

21. Στο φαινόμενο Doppler η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής οφείλε-

ται μόνο:

a. στο πόσο μεγάλη είναι η ένταση του ήχου.

b. στο πόσο γρήγορα κινείται η πηγή που δημιουργεί το κύμα.

c. στο πόσο γρήγορα κινείται ο παρατηρητής.

d. στον αριθμό των μεγίστων που φτάνουν στον παρατηρητή στη μονάδα του χρόνου.

22. Σε μια κεντρική ελαστική κρούση για το σύνολο των σωμάτων που συγκρούονται:

a. η κινητική ενέργεια κάθε σώματος διατηρείται.

b. η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται.

c. η ορμή κάθε σώματος διατηρείται.

d. η κινητική ενέργεια του συστήματος πριν την κρούση είναι μεγαλύτερη από την κινητική

ενέργεια μετά την κρούση.


a. Στην πλαστική κρούση τα σώματα που συγκρούονται υφίστανται μόνιμη παραμόρφωση και

μέρος της κινητικής τους ενέργειας μετατρέπεται σε θερμική.

b. Όταν η ορμή ενός σώματος είναι μηδέν τότε και η κινητική του ενέργεια θα είναι μηδέν.

c. Όταν η απόσταση μεταξύ παρατηρητή και πηγής ήχων μεγαλώνει, τότε η συχνότητα που

αντιλαμβάνεται, είναι μεγαλύτερη από τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή.

d. Όταν μια σφαίρα συγκρούεται ελαστικά με κατακόρυφο τοίχο, ανακλάται με την ίδια κατά


-290-

μέτρο ταχύτητα.

e. Αν δύο σφαίρες με ίσες μάζες συγκρούονται κεντρικά και η κρούση τους είναι ελαστική, τό-

τε ανταλλάσσουν ταχύτητες.


a. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται μηχανοδηγός τρένου σε όλη τη διάρκεια της κί-

νησης του τρένου είναι ίδια με τη συχνότητα που εκπέμπεται από πηγή η οποία είναι ακλόνητα

στερεωμένη στο τρένο.

b. Στη διάρκεια μιας κεντρικής ελαστικής κρούσης δύο σωμάτων, η κινητική ενέργεια κάθε

σώματος διατηρείται.

c. Σε μια πλάγια πλαστική κρούση δύο σωμάτων το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος ι-

σούται με το άθροισμα των μέτρων των ορμών των δύο σωμάτων.

d. Το μήκος κύματος του ήχου που εκπέμπει μια πηγή η οποία πλησιάζει σε ακίνητο παρατηρη-

τή, είναι μικρότερο από αυτό που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής.

e. Όταν δύο σφαίρες συγκρούονται κεντρικά, ανελαστικά και έχουν ίσες μάζες τότε ανταλλάσ-

σουν ταχύτητες.

25. Στις ανελαστικές κρούσεις:

a. ισχύει η αρχή διατήρηση της μηχανικής ενέργειας.

b. ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας.

c. συμβαίνει πάντα συσσωμάτωση των σωμάτων που συγκρούονται.

d. τα σώματα που συγκρούονται υφίστανται παροδική παραμόρφωση.

26. Απαραίτητη προϋπόθεση για να ακούει ένας παρατηρητής συχνότητα μεγαλύτερη από αυτή

που εκπέμπει η πηγή είναι:

a. η πηγή ήχων και ο παρατηρητής να κινούνται έτσι ώστε η μεταξύ τους απόσταση να μειώνε-

ται.

b. η πηγή να είναι ακίνητη.

c. ο παρατηρητής να είναι ακίνητος.

d. η πηγή ήχων και ο παρατηρητής να απομακρύνονται.

27. Μια μπάλα μπάσκετ κινούμενη οριζόντια, συγκρούεται ελαστικά με κατακόρυφο τοίχο και ανα-

κλάται.

a. Η ορμή της μπάλας διατηρείται.

b. η μπάλα αναπηδά κάθετα με ταχύτητα ίδιου μέτρου.

c. η μπάλα αναπηδά κάθετα με ταχύτητα μέτρου μικρότερο από το αρχικό της.

d. η μπάλα αναπηδά κάθετα με ορμή μέτρου μεγαλύτερο από το αρχικό της.

28. Ένα σώμα A μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνη-

το σώμα Β διπλάσιας μάζας. Οι ταχύτητες των σωμάτων Α και Β αμέσως μετά την κρούση έ-

χουν:

a. ίδιες κατευθύνσεις.

b. αντίθετες κατευθύνσεις.


c. κάθετες κατευθύνσεις.

d. ίσα μέτρα και ίδιες φορές.

29. Σφαίρα A μάζας m συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με σφαίρα B τριπλάσιας μάζας. Αν η τα-

χύτητα του συσσωματώματος είναι μηδέν, τότε οι σφαίρες A και B πριν την κρούση, έχουν:

a. ίσες ορμές.

b. αντίθετες ταχύτητες.

c. αντίθετες ορμές.

d. ίσες κινητικές ενέργειες.

30. Στο φαινόμενο Doppler, αν fs είναι η συχνότητα του ήχου που εκπέμπει μια πηγή, τότε η συ-

χνότητα fA που αντιλαμβάνεται παρατηρητής που κινείται σε σχέση με την πηγή δίνεται από τη

σχέση ss

A ff

. Στη σχέση αυτή οι ταχύτητες έχουν μετρηθεί ως προς σύστημα αναφο-

ράς:

a. τον παρατηρητή.

b. την πηγή.

c. το μέσον διάδοσης του ήχου.

d. οποιοδήποτε κινούμενο σώμα σε σχέση με τη Γη.


∆ύο σώματα συγκρούονται ελαστικά στον αέρα. Αν η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα και

η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων καθώς και η συνισταμένη ροπή είναι μηδέν, τότε:

a. η στροφορμή του συστήματος διατηρείται.

b. η ορμή κάθε σώματος διατηρείται.

c. η ορμή του συστήματος διατηρείται.

d. οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ των δύο σωμάτων είναι αμελητέες.

e. η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται.


a. Σε κάθε κρούση για το σύνολο των σωμάτων που συγκρούονται η ορμή διατηρείται.

b. Το φαινόμενο Doppler εμφανίζεται μόνο στα ηχητικά κύματα.

c. Στην πλαστική κρούση συμβαίνει συσσωμάτωση.

d. Στην ελαστική κρούση δύο σωμάτων η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος

πριν και μετά την κρούση είναι μηδέν.

e. Έκκεντρη ονομάζεται η κρούση δύο σωμάτων, στην οποία οι ταχύτητες των κέντρων μάζας

των σωμάτων πριν και μετά την κρούση είναι παράλληλες.

33. Σε μια ελαστική κρούση:

a. καθένα από τα σώματα που συγκρούονται διατηρεί την ορμή του.

b. η μηχανική ενέργεια των σωμάτων που συγκρούονται διατηρείται.

c. τα συγκρουόμενα σώματα, μετά την κρούση έχουν κινητική ενέργεια μικρότερη από την συ-

νολική κινητική ενέργεια που είχαν πριν συγκρουστούν.

d. συμβαίνει μόνιμη παραμόρφωση του σχήματος των σωμάτων που συγκρούονται.

-291-


-292-

34. Πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας fs και μήκους κύματος λs πλησιάζει προς ακίνητο παρατη-

ρητή με ταχύτητα υs. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο με μήκος κύματος λΑ που είναι ίσο

με:

a. λΑ=λs-υsTs.

b. λΑ=λs+υsTs.

c. λΑ=λs-υsfs.

d. λΑ=λs+υsTs.

35. Σε μια κεντρική πλαστική κρούση:

a. διατηρείται η ορμή του συστήματος των σωμάτων που συγκρούονται.

b. η κινητική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων που συγκρούονται διατηρείται.

c. η κινητική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων πριν είναι μικρότερη από αυτήν μετά την

κρούση.

d. τα σώματα μετά την κρούση κινούνται σε διευθύνσεις που σχηματίζουν γωνία.

36. Ένα σώμα A μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνη-

το σώμα Β ίδιας μάζας. Τα σώματα Α και Β ανταλλάσουν:

a. μόνο τις ταχύτητές τους.

b. μόνο τις ορμές τους.

c. μόνο τις κινητικές ενέργειές τους.

d. τις ταχύτητές, τις ορμές και τις κινητικές ενέργειές τους.

37. Όταν στο μικρόκοσμο συμβαίνει το φαινόμενο της σκέδασης (κρούσης) δύο σωματιδίων, τότε

τα σωματίδια:

a. αλληλεπιδρούν για μικρό χρονικό διάστημα και αναπτύσσονται μεταξύ τους πολύ ισχυρές

δυνάμεις.

b. έρχονται σε επαφή για μεγάλο χρονικό διάστημα.

c. ανταλλάσσουν ορμές.

d. ανταλλάσσουν ταχύτητες.

38. Να συμπληρώσετε σωστά τις λέξεις που λείπουν από τις παρακάτω προτάσεις:

α) Η …………….. κρούση είναι ειδική περίπτωση της ανελαστικής κρούσης.

β) Σε μια ……………………. κρούση οι ταχύτητες των σωμάτων που συγκρούονται πριν την κρού-

ση, έχουν διευθύνσεις παράλληλες.

γ) Σε μια κεντρική ……………………. κρούση δύο σφαιρών που έχουν ίσες μάζες οι σφαίρες α-

νταλλάσσουν ταχύτητες.

δ) Στη σύγχρονη φυσική η ισχυρή αλληλεπίδραση μεταξύ σωματιδίων του μικρόκοσμου, η ο-

ποία διαρκεί πολύ μικρό χρόνο, ονομάζεται ……………………. .

ε) Όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται από ακίνητη πηγή ήχου, τότε η συχνότητα του ήχου

που ακούει, είναι ……………….. από τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή.


a. Ένας παρατηρητής ακούει ήχο με συχνότητα μεγαλύτερη από τη συχνότητα του ήχου που

εκπέμπει μια πηγή, όταν η μεταξύ τους απόσταση αυξάνεται.


-293-

b. Το φαινόμενο Doppler χρησιμοποιείται από τους γιατρούς, για να παρακολουθούν τη ροή

του αίματος.

c. Σε κάθε κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας.

d. Σε μια ανελαστική κρούση η δημιουργούμενη θερμότητα προέρχεται μόνο από τη μείωση

της κινητικής και όχι από τη μείωση της δυναμικής ενέργειας του συστήματος.

e. Στο φαινόμενο Doppler, στα ηχητικά κύματα, ένας παρατηρητής αντιλαμβάνεται διαφορετι-

κό μήκος κύματος από αυτό που εκπέμπει η πηγή, μόνο όταν η πηγή κινείται.


-294-

ΘΕΜΑ Β

1. Ένα βλήμα μάζας m εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα υ0. Όταν το βλήμα

φτάνει στο ψηλότερο σημείο της τροχιάς του εκρήγνυται σε τρία κομμάτια. Αμέσως μετά την

έκρηξη, η ολική ορμή και των τριών κομματιών είναι

α) μηδέν.

β) mυ0.

γ) διάφορη του μηδενός και διάφορη του mυ0.


2. Μια σφαίρα Α μάζας m κινούμενη οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ συγκρούεται κεντρικά και

ελαστικά με άλλη ακίνητη σφαίρα Β ίσης μάζας. Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Α, λόγω

της κρούσης,

α) έχει ίδια κατεύθυνση με την αρχική ορμή και μέτρο mυ.

β) έχει αντίθετη κατεύθυνση με την αρχική ορμή και μέτρο mυ.

γ) έχει αντίθετη κατεύθυνση με την αρχική ορμή και μέτρο 2 mυ.


3. ∆ύο σώματα με ορμές των οποίων τα μέτρα είναι ίσα (p1=p2=p ), κινούνται σε διευθύνσεις κά-

θετες μεταξύ τους και συγκρούονται πλαστικά. Το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος μετά

την κρούση είναι ίσο με:

α) p. β)2p. γ)p2.


4. ∆ύο σώματα με ίσες μάζες (m1=m2=m) και ορμές των οποίων τα μέτρα είναι ίσα (p1=p2=p),

κινούνται σε διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους και συγκρούονται πλαστικά. Αν η κινητική ενέρ-

γεια και η ορμή ενός σώματος συνδέονται με τη σχέση K=p2/2m, τότε η μείωση της κινητικής

ενέργειας του συστήματος είναι ίση με

α) p2/m. β) p2/2m. γ) p2/4m.


5. Ένα σώμα εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα κάτω και συγκρούεται ελαστικά με οριζόντιο δά-

πεδο. Αν η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα και υ το μέτρο της ταχύτητας του σώματος

ελάχιστα πριν την κρούση, τότε η μεταβολή της ταχύτητάς του, λόγω της κρούσης

α) είναι μηδέν.

β) έχει κατακόρυφη διεύθυνση με φορά προς τα πάνω και μέτρο ίσο με υ.

γ) έχει κατακόρυφη διεύθυνση με φορά προς τα πάνω και μέτρο ίσο με 2υ.


6. Μια σφαίρα Σ1, μάζας m1=m, συγκρούεται κεντρικά πλαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ2, μάζας

m2=m. Στη σφαίρα Σ1 μετά την κρούση μένει το

α) 50% της αρχικής ενέργειάς της.

β) 100% της αρχικής ενέργειάς της.


-295-

γ) 25% της αρχικής ενέργειάς της.

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας

7. Αυτοκίνητο της τροχαίας κινείται σε ευθύ δρόμο με σταθερή ταχύτητα υηχου/10 και έχει ενερ-

γοποιημένη τη σειρήνα του, η οποία παράγει ήχο συχνότητας fs. Μοτοσικλετιστής που προπο-

ρεύεται και κινείται με ταχύτητα μέτρου το μισό από αυτό της ταχύτητας του αυτοκινήτου, α-

κούει ήχο με συχνότητα fA για την οποία ισχύει

α)fA=19fs/18.

β) fA=20fs/18.

γ) fA=21fs/19.

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

8. Ένα σώμα Α με ορμή μέτρου p και μάζα m συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλο ακίνητο

σώμα Β, ίδιας μάζας με το Α. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος Α είναι ίση με

α) μηδέν.

β) –p2/2m.

γ) p2/2m.


9. Μια πηγή ήχου που πλησιάζει προς ακίνητο παρατηρητή εκπέμπει ήχο συχνότητας fs που δια-

δίδεται με ταχύτητα υ. Για να αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής συχνότητα fA διπλάσια από τη

συχνότητα που εκπέμπει η πηγή

α) να πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα υs=2υ.

β) να πλησιάζει τον παρατηρητή με ταχύτητα υs=υ/2.

γ) να απομακρύνεται από τον παρατηρητή με ταχύτητα υs=υ.


10. Μια σφαίρα Σ1, μάζας m1=m, συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ2, μάζας

m2=m. Η κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ1 λόγω της κρούσης

α) μετατρέπεται σε θερμότητα που μεταφέρεται στο περιβάλλον.

β) μοιράζεται μεταξύ των δύο σφαιρών.

γ) μεταφέρεται εξολοκλήρου στη σφαίρα Β.


11. Μια ρόδα αυτοκινήτου ακτίνας R κυλίεται με το κέντρο μάζας της να έχει σταθερή ταχύτητα υ.

Ένα μικρό καρφί μάζας m είναι καρφωμένο στην εξωτερική επιφάνεια της ρόδας. Αν θεωρή-

σουμε τις διαστάσεις του καρφιού αμελητέες, τότε η μεταβολή της ορμής του καρφιού, μεταξύ

κατώτερης και ανώτερης θέσης

α) είναι mυ.

β) είναι μηδέν.

γ) έχει μέτρο ίσο με 2mυ.



12. Ένα σώμα Α μάζας m1=2m το οποίο έχει ταχύτητα 1συγκρούεται πλαστικά με σώμα B μά-

ζας m1=m. Μετά την κρούση, το συσσωμάτωμα μένει ακίνητο. Ο λόγος των μέτρων των ταχυ-

τήτων, υ1/υ2,των δύο σωμάτων πριν την κρούση είναι:

α)1/2. β)2. γ)4.


13. Ένα σώμα Α μάζας m1=2m, το οποίο έχει κινητική ενέργεια ΚΑ=Κ, συγκρούεται πλαστικά με

σώμα Β μάζας m2=m. Μετά την κρούση, το συσσωμάτωμα μένει ακίνητο. Η μηχανική ενέργεια

που μετατράπηκε σε θερμότητα κατά τη διάρκεια της κρούσης, είναι ίση με

α) 4K. β) K/3. γ) 3K.


14. Ένα σώμα A μάζας m1 κινούμενο με ταχύτητα υ1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνη-

το σώμα Β μάζας m2. Το σώμα A συνεχίζει μετά την κρούση να κινείται κατά την ίδια φορά με

ταχύτητα υ1΄=υ1/2. Ο λόγος των μαζών των δύο σωμάτων,m1/m2 , είναι ίσος με

α) 3. β) 2. γ)1/3.


15. ∆ύο σφαίρες A και B, με ίσες μάζες, κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ίδιες κατευ-

θύνσεις και ταχύτητες που έχουν μέτρα υ1=10 m/s και υ2=20 m/s, αντίστοιχα. Οι σφαίρες συ-

γκρούονται χωρίς να δημιουργείται συσσωμάτωμα. Αν μετά την κρούση το μέτρο της ταχύτη-

τας της σφαίρας A είναι υ1΄=15m/s, τότε η κρούση είναι

α) ελαστική.

β) πλάγια.

γ) ανελαστική.


16. Σφαίρα A που κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ και κινητική ενέργεια Κ,

συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με άλλη ακίνητη σφαίρα Β, ίσης μάζας με την Α, που βρί-

σκεται στο ίδιο επίπεδο. Η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος μετά την κρούση είναι ίση

με

α) 0,25Κ.

β) 0,5Κ.

γ)0,75Κ.


17. Ένα ακίνητο βλήμα εκρήγνυται σε τρία μέρη Α, Β και Γ. Τα μέρη Α και Β έχουν ορμές που βρί-

σκονται σε διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους με μέτρα που είναι ίσα με: p1=p2=p=20Kgm/s.

Το μέτρο της ορμής του τρίτου κομματιού είναι:

α) 10Kgm/s.

β) 20Kgm/s.

γ) 202Kgm/s.


-296-


18. Ένα σώμα αφήνεται να πέσει από ύψος h πάνω από το ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού

ελατηρίου σταθεράς K. Η κίνηση του σώματος γίνεται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου

χωρίς τριβές και αντιστάσεις από τον αέρα. Η κίνηση του σώματος για όσο χρονικό διάστημα

είναι σε επαφή με το ελατήριο είναι απλή αρμονική ταλάντωση.

Η μεταβολή της ορμής p του σώματος από τη στιγμή που έρχεται σε επαφή με το ελεύθερο

άκρο του ελατηρίου και μέχρι να επανέλθει στο ίδιο σημείο έχει μέτρο

α) 0. β) p. γ) 2p.


19. Ένα σώμα αφήνεται να πέσει από ύψος h πάνω από το ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού

ελατηρίου σταθεράς K. Η κίνηση του σώματος γίνεται στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου

χωρίς τριβές και αντιστάσεις από τον αέρα. Η κίνηση του σώματος για όσο χρονικό διάστημα

είναι σε επαφή με το ελατήριο είναι απλή αρμονική ταλάντωση.

Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος είναι μέγιστο.

α) τη στιγμή που έρχεται σε επαφή με το ελατήριο.

β) στη θέση όπου η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται είναι μηδέν.

γ) στη θέση μέγιστης συσπείρωσης.

20. Μια μπάλα αφήνεται να πέσει κατακόρυφα στο έδαφος με ορμή 10 Kg∙m/s και αναπηδά με την

ίδια κατά μέτρο ταχύτητα. Ο χρόνος πρόσκρουσης είναι 0,5s. Ο μέσος ρυθμός μεταβολής της

ορμής της μπάλας στη διάρκεια της κρούσης σε Kg∙m/s2 έχει μέτρο ίσο με

α) 40. β)20. γ)10.


21. Μια ηχητική πηγή κινείται με σταθερή ταχύτητα υs προς ακίνητο παρατηρητή. Τα μήκη κύμα-

τος που εκπέμπει η πηγή προς την κατεύθυνση του παρατηρητή, πριν και μετά τη διέλευση της

από αυτόν, διαφέρουν μεταξύ τους κατά λ/10, όπου λ το μήκος κύματος που εκπέμπει η πηγή

όταν είναι ακίνητη. Αν υ η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα, ο λόγος υs/υ είναι

α) 1/5. β) 1/10. γ) 1/20.


22. Ένας παρατηρητής απομακρύνεται από ακίνητη ηχητική πηγή με σταθερή ταχύτητα υΑ. Η συ-

χνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι μειωμένη σε σχέση με αυτή που

εκπέμπει η πηγή. Το μήκος κύματος λΑ του ήχου που φτάνει στον παρατηρητή σε σχέση με το

μήκος κύματος λ που εκπέμπει η πηγή είναι

α) λΑ<λ. β) λΑ>λ. γ) λΑ=λ.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας

23. Η κρούση μεταξύ των δύο σφαιρών του σχήματος είναι κεντρική

και ελαστική. Οι σφαίρες μετά την κρούση θα κινηθούν όπως

στο σχήμα:

-297-



24. Ένα σώμα Α μάζας Μ είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα άλλο σώμα Β μάζας m, που

κινείται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται πλαστικά κεντρικά με το σώμα A. Αν μετά την

κρούση το συσσωμάτωμα έχει το 1/3 της κινητικής ενέργειας που είχε ελάχιστα πριν την κρο-

ύση, τότε μεταξύ των μαζών των σωμάτων ισχύει η σχέση

α) M/m=6.

β)M/m=2.

γ)M/m=3.


25. Μεταξύ δύο ακίνητων παρατηρητών B και A κινείται πηγή S με σταθερή ταχύτητα υs πλησιάζο-

ντας προς τον A. Τα μήκη κύματος που φτάνουν στους παρατηρητές A και B είναι λΑ και λΒ α-

ντίστοιχα. Όταν η πηγή είναι ακίνητη εκπέμπει ήχο μήκους κύματος λ. Το μήκος κύματος λ και

τα μήκη κύματος λΑ και λΒ συνδέονται με τη σχέση

α)2

.

β) 2

.

γ)

.


26. Μια μικρή σφαίρα Σ1, μάζας m1, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη μικρή σφαίρα

Σ2, μάζας m2. Μετά την κρούση οι σφαίρες κινούνται με αντίθετες κατευθύνσεις και τα μέτρα

των ταχυτήτων τους υ1΄και υ2΄αντίστοιχα συνδέονται με τη σχέση |υ1΄|=2|υ2΄|. Ο λόγος των

μαζών των δύο σφαιρών m1/m2, είναι ίσος με:

α) 1. β) 1/5. γ) 5.


-298-


ΘΕΜΑ Γ

1. Ένα σώμα A μάζας m1=10Kg, κινούμενο με ταχύτητα υ1 πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο κατά

τη θετική κατεύθυνση του άξονα x΄Ox, συγκρούεται με ακίνητο σώμα Β.

Α) Αν η κρούση είναι μετωπική και ελαστική και τα δύο σώματα μετά την κρούση έχουν ταχύ-

τητες ίσου μέτρου, να βρείτε:

1) τη μάζα του σώματος B. [30]

2) την % μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος Α. [-75]

Β) Αν η κρούση των δύο σωμάτων είναι πλαστική και η ταχύτητα του σώματος Α είναι

υ1=4m/s να υπολογίσετε:

1) Την κοινή τους ταχύτητα. [1]

2) Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων, πριν και μετά την

κρούση. [-60]

2. Ένα σώμα Σ1, μάζας m1, κινούμενο σε οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με ταχύτητα μέτρου

υ1=5m/s κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Σ2, μάζας m2. Η χρονική διάρκεια της κρού-

σης θεωρείται αμελητέα και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του επιπέδου και κάθε

σώματος είναι μ=0,5. Αμέσως μετά την κρούση, το σώμα μάζας Σ1 κινείται αντίρροπα με ταχύ-

τητα μέτρου υ1΄=3m/s.

α) Να προσδιορίσετε το λόγο των μαζών m1/m2. [1/4]

β) Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m2 αμέσως μετά την κρούση. [2]

γ) Να βρείτε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1 που μεταβιβάστηκε στο σώμα

Σ2, λόγω της κρούσης. [64]

δ) Να υπολογίσετε πόσο θα απέχουν τα σώματα όταν σταματήσουν. [1,3]


3. ∆ύο μαθητές παγοδρόμοι Α και Β, με μάζες αντίστοιχα m1=40Kg και m2=60Kg, κρατούν τις

άκρες ενός σχοινιού αμελητέας μάζας. Οι μαθητές στέκονται αρχικά ακίνητοι πάνω σε λείο ορι-

ζόντιο επίπεδο (παγοδρόμιο) απέχοντας μεταξύ τους L=10m. Κάποια στιγμή οι μαθητές αρχί-

ζουν να μαζεύουν το σχοινί ασκώντας δύναμη ο ένας στον άλλον, χωρίς να πέσει κανείς από

τους δύο.

α) Να βρείτε ποια είναι η σχέση μεταξύ των δυνάμεων που ασκεί ο ένας μαθητής στον άλλο

μέσω του σχοινιού.

β) Να βρείτε τον λόγο των κινητικών ενεργειών που έχουν οι μαθητές ελάχιστα πριν τη στιγμή

-299-


-300-

ει ταχύτητα μέτρου

ουν αγκαλιασμένοι πο-

ο ελατήριο με τη βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά 0,2m, όπως φαίνεται στο

σχήμα.

το σώμα Σ2 , αν θεωρήσουμε τις διαστάσεις

[2]

ωσης του συσσωματώματος. [0,1]

∆ίνεται π=3,14.

της συνάντησης. [3/2]

γ) Αν ελάχιστα πριν τη στιγμή της συνάντησης, ο μαθητής Α έχει αποκτήσ

υ1=2m/s, ποιό θα είναι το μέτρο της ταχύτητας του μαθητή Β; [4/3]

δ) Αν οι μαθητές τη στιγμή της σύγκρουσης αγκαλιαστούν και παραμείν

ια θα είναι η κοινή τους ταχύτητα; [0]

4. Τα σώματα Σ1 και Σ2, αμελητέων διαστάσεων, με μάζες m1=1Kg και m2=3Kg αντίστοιχα είναι

τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ1 είναι δεμένο στη μία άκρη οριζόντιου ι-

δανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου, είναι ακλόνητα στερε-

ωμένη. Τ

Το σώμα Σ2 βρίσκεται ακίνητο στο οριζόντιο επίπεδο στη θέση που αντιστοιχεί στο φυσικό μή-

κος ℓ0 του ελατηρίου. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ1 κινούμενο προς

τα αριστερά συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με

των σωμάτων αμελητέες, να υπολογίσετε:

α) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ1 λίγο πριν την κρούση του με το σώμα Σ2.

β) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση. [0,5]

γ) το ποσό θερμότητας που μεταφέρθηκε από τα σώματα στο περιβάλλον. [1,5]

δ) το πλάτος ταλάντ


5. Σώμα Σ1, με μάζα m1=1Kg, είναι στερεωμένο στη μία άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς

k=500N/m, το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται σε κατακόρυφο τοίχο. To σύστημα ισορρο-

πεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα δεύτερο σώμα Σ2, μάζας m2=4Kg κινούμενο οριζόντια

με ταχύτητα μέτρου υ=10m/s κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου, συγκρούεται κεντρικά και

πλαστικά με το σώμα Σ1, όπως στο σχήμα. Το σώμα Σ2 έχει ενσωματωμένη σειρήνα που εκπέ-

μπει συνεχώς ήχο συχνότητας fs=700Hz.

α) Nα υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο ακίνητος παρατηρητής του

σχήματος, πριν από την κρούση του σώματος Σ2 με το σώμα Σ1. [680]

β) Να υπολογίσετε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης μετά την κρούση.[π/5 – 0,8]

γ) Να γράψετε την ταχύτητα υ του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Για την περι-

γραφή αυτή να θεωρήσετε ως αρχή μέτρησης του χρόνου (t=0) τη στιγμή της κρούσης και ως

θετική φορά του άξονα των απομακρύνσεων τη φορά της ταχύτητας του συσσωματώματος

αμέσως μετά την κρούση. [υ=8συν10t (S.I.)]

δ) Αν η σειρήνα δεν καταστρέφεται κατά την κρούση, να βρείτε το πηλίκο της μέγιστης συχνό-

τητας fA,max προς την ελάχιστη συχνότητα fA,min που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, κατά τη

διάρκεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος. [348/332]

∆ίνονται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα υηχ=340m/s και g=10m/s2.

6. Ένα σώμα ΣΑ, μάζας m1=10Kg, κινείται με ταχύτητα υ1=4m/s πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

Η διεύθυνση της ταχύτητας του σώματος ΣΑ ταυτίζεται με τη διεύθυνση του άξονα ενός ιδανι-

κού ελατηρίου το οποίο είναι στερεωμένο, όπως στο σχήμα, σε ακίνητο σώμα ΣΒ, μάζας

m2=30Kg. Το σώμα ΣΑ προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου που αρχίζει να συσπειρώ-

νεται.

-301-


α) Να υπολογίσετε την ορμή και τη μηχανική ενέργεια του συστήματος πριν την κρούση. [40-80] β) Να εξηγήσετε γιατί η μέγιστη παραμόρφωση του ελατηρίου συμβαίνει τη στιγμή που τα δύο

σώματα έχουν κοινή ταχύτητα.

γ) Να υπολογίσετε την κοινή ταχύτητα των δύο σωμάτων την στιγμή που η παραμόρφωση του

ελατηρίου θα είναι μέγιστη. [1]

δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη δυναμική ενέργεια που αποκτά το ελατήριο λόγω της παραμόρ-

φωσης του. [60]

7. Τα τρία οχήματα του σχήματος, A, B και Γ κινούνται σε ευθύγραμμο αυτοκινητόδρομο. Τα μέ-

τρα των ταχυτήτων τους είναι υ1=20m/s, υ2=30m/s και υ3=20m/s αντίστοιχα, όπως στο σχή-

μα. Τα οχήματα A και B κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση και προπορεύεται το όχημα A,

ενώ το όχημα Γ έρχεται από την αντίθετη κατεύθυνση. Το όχημα Β εκπέμπει ήχο συχνότητας

fs=930Hz.

α) Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του οχήματος A. [960] β) Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του οχήματος Γ. [1080] γ) τα οχήματα Β και Γ διασταυρώνονται, οπότε στη συνέχεια απομακρύνεται το ένα από το άλ-

λο, να υπολογίσετε τη νέα συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του οχήματος Γ. [≈804] δ) Ο οδηγός του οχήματος Α τη χρονική στιγμή t=0, ενώ προηγείται του οχήματος Β, πατάει

γκάζι και προσδίδει στο όχημά του σταθερή επιτάχυνση α=2m/s2 για χρονικό διάστημα 5s, πα-

ραμένοντας σε όλη τη διάρκεια της επιταχυνόμενης κίνησης προπορευόμενος του οχήματος Β.

Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της συχνότητας που αντιλαμβάνεται ο οδηγός

A συναρτήσει του χρόνου σε αριθμημένους άξονες για το χρονικό διάστημα

των 5s.

∆ίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340m/s .

Οι πράξεις να γίνουν με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου.

8. Στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς

k=400N/m είναι στερεωμένος δίσκος Α μάζας M=4Kg. Το κάτω

άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο στο δάπεδο και

ο δίσκος ισορροπεί. Από ύψος h=0,25m πάνω από το δίσκο

βάλλεται κατακόρυφα προς τα κάτω, με αρχική ταχύτητα

υ0=2m/s, μικρή σφαίρα Β, μάζας m=2Kg. Η σφαίρα συγκρούε-

ται κεντρικά και ελαστικά με το δίσκο. Μετά την κρούση απομα-

-302-


κρύνουμε τη σφαίρα ενώ ο δίσκος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η διάρκεια κρούσης θε-

ωρείται αμελητέα, όπως και οι τριβές και οι αντιστάσεις θεωρούνται αμελητέες.

α) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του δίσκου και της σφαίρας αμέσως μετά την κρο-

ύση. [2-1]

β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του δίσκου, αν η σταθερά ταλάντωσης είναι D=k. [0,2] γ) Να υπολογίσετε τον χρόνο στον οποίο θα μηδενιστεί για πρώτη φορά η ταχύτητα του δί-

σκου. [π/20]

δ) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του δίσκου όταν περνάει από τη θέση ισορροπίας

του. [0]

ΘΕΜΑ ∆

1. Στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς

k=400N/m είναι συνδεδεμένος δίσκος μάζας M=3Kg που ισορρο-

πεί. Το κάτω άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε

δάπεδο. Από ύψος h=0,8m πάνω από το δίσκο αφήνεται να πέσει

ελεύθερα μια σφαίρα μάζας m=1Kg, η οποία συγκρούεται πλαστικά

με το δίσκο.

α) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος

αμέσως μετά την κρούση. [1]

β) Να υπολογίσετε το % ποσοστό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας, που έγινε θερμότητα

στη διάρκεια της κρούσης. [75]

γ) Να αποδείξετε ότι το συσσωμάτωμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να βρείτε

την περίοδο ταλάντωσής του.

δ) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσής του. [0,103]

∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2 και √17=4,12.

2. Σώμα Σ1, μάζας m1=m=1Kg, ισορροπεί δεμένο στην

κάτω άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς

k=900N/m, του οποίου η άλλη άκρη είναι ακλόνητα

στερεωμένη σε οροφή. Ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας

m2=m=1Kg, βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω, με

ταχύτητα υο=6m/s, από σημείο που βρίσκεται σε από-

σταση h=1,35mκάτω από το σώμα Σ1. Τα δύο σώματα

συγκρούονται κεντρικά ελαστικά και στη συνέχεια το

σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να βρείτε:

α) το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ1. [0,1]

β) τη θέση του σώματος Σ2 τη χρονική στιγμή, που η κινητική ενέργεια του σώματος Σ1 γίνεται

για 1η φορά ελάχιστη. [1/72]

γ) το έργο της δύναμης του ελατηρίου καθώς το σώμα Σ1 κινείται από τη θέση ισορροπίας του

-303-


μέχρι το ψηλότερο σημείο της τροχιάς του. [-3,5]

δ) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας του σώματος Σ1, τη στιγμή που φτάνει στο

ψηλότερο σημείο. [90]

Οι αντιστάσεις λόγω των τριβών θεωρούνται αμελητέες. ∆ίνονται η επιτάχυνση βαρύτητας

g=10m/s2 και π2=10.

3. Στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθε-

ράς k=80π2 Ν/m είναι συνδεδεμένος δίσκος μάζας M=5Kg

που ισορροπεί. Το κάτω άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνη-

τα στερεωμένο σε δάπεδο από ύψος h1=5m πάνω από το

δίσκο αφήνεται να πέσει ελεύθερα μια σφαίρα μάζας

m=1Kg, η οποία συγκρούεται μετωπικά με τον δίσκο και η

διάρκεια κρούσης είναι αμελητέα. Μετά την κρούση η

σφαίρα αναπηδά κατακόρυφα και φτάνει σε ύψος

h2=1,25m πάνω από την θέση ισορροπίας του δίσκου. Να


α) το μέτρο της ταχύτητας του δίσκου και της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. [3-5]

β) την % μείωση της κινητικής ενέργειας της σφαίρας λόγω της κρούσης. [75]

γ) τη θέση του δίσκου τη στιγμή που η σφαίρα φτάνει στο ύψος h2. [Θ.Ι.]

δ) τη δύναμη επαναφοράς που ασκείται στο δίσκο σε σχέση με την απομάκρυνση από τη θέση

ισορροπίας και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες. [Fεπ=-80π2·y]

ε) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου, αμέσως μετά την

κρούση. [150]

∆ίνονται: g=10m/s2 και π2=10.

4. Ένα σώμα μάζας m1 κινούμενο σε οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με ταχύτητα μέτρου

υ1=10m/s κεντρικά και ελαστικά με σώμα μάζας m2=3Kg που κινείται με ταχύτητα μέτρου

υ2=15m/s σε αντίθετη κατεύθυνση από το m1. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται α-

μελητέα. Αμέσως μετά την κρούση το σώμα μάζας m1 κινείται με αντίθετη φορά από την αρχι-

κή του και με ταχύτητα μέτρου υ1΄=5m/s.

α) Να προσδιορίσετε τη μάζα m1. [7]

β) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m2 αμέσως μετά την κρούση. [20]

γ) Να βρεθεί το % ποσοστό της μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m1 σε

σχέση με την αρχική κινητική του ενέργεια, λόγω της κρούσης. [-75%]

δ) Να υπολογισθεί πόσο θα απέχουν τα σώματα όταν σταματήσουν. ∆ίνεται ότι ο συντελεστής

τριβής ολίσθησης μεταξύ του επιπέδου και κάθε σώματος είναι μ=0,5. [42,5]


-304-


5. Ένα σώμα Σ1 με μάζα m1=1Kg είναι δεμέ-

νο με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους

L=1,8m, του οποίου η άλλη άκρη είναι

ακλόνητα στερεωμένη, όπως φαίνεται στο

σχήμα. Αρχικά το νήμα είναι οριζόντιο.

Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ1να κινη-

θεί. Το σώμα Σ1 μόλις το νήμα γίνει κατα-

κόρυφο, συγκρούεται κεντρικά και ελα-

στικά με σώμα Σ2 μάζας m2=m1, που είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ2

μετά την κρούση συναντά και συγκρούεται με το ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρί-

ου σταθεράς k=100N/m, του οποίου η άλλη άκρη είναι ακλόνητα στερεωμένη, όπως στο σχή-

μα. Το σώμα Σ2 συμπιέζει το ελατήριο και στη συνέχεια συναντά εκ νέου το σώμα Σ1 και συ-

γκρούεται μετωπικά και ελαστικά για δεύτερη φορά με αυτό. Να θεωρηθούν οι τριβές και η α-

ντίσταση του αέρα αμελητέες.

α) Να βρείτε το μέτρο της τάσης του νήματος ελάχιστα πριν τη σύγκρουση του σώματος Σ1 με

το σώμα Σ2. [30]

β) Να βρείτε τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο σωμάτων Σ1 και Σ2 αμέσως μετά την κρούση. [0-6] γ) Να βρείτε για πόσο χρόνο θα είναι σε επαφή το σώμα Σ2 με το ελατήριο. [π/10]

δ) Να βρείτε το μέγιστο ύψος που θα φτάσει το σώμα Σ1 που είναι δεμένο με το νήμα μετά τη

δεύτερή του κρούση με το σώμα Σ2. [1,8]

∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g=10m/s2.

6. (*) Το ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά k=400N/m και έχει στο ένα άκρο του στερεωμένο

ένα σώμα, Σ1, μάζας m1=1Kg που φέρει ενσωματωμένο ένα δέκτη ήχου, ∆. Το σύστημα εκτε-

λεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους 0,4m πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή που

το σώμα Σ1 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με ακίνητο

σώμα Σ2, μάζας m2=3Kg, το οποίο φέρει ενσωματωμένη πηγή ήχου συχνότητας fs=688Hz.

Να βρείτε:

α) την ταχύτητα του σώματος Σ1 ελάχιστα πριν τη σύγκρουση. [8]

β) τις ταχύτητες των σωμάτων Σ1 και Σ2 αμέσως μετά τη σύγκρουση καθώς και το πλάτος της

νέας ταλάντωσης. [-4 – 4 – 0,2]

γ) τη συχνότητα που ανιχνεύει ο δέκτης όταν το σώμα Σ1 διέρχεται για 1η και για 2η φορά μετά

την κρούση από την απομάκρυνση x1=-0,1√3m. Να θεωρήσετε θετικό τον ημιάξονα προς τα

δεξιά. [676-684]

-305-


δ) το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1 τη στιγμή που ανιχνεύει συ-

χνότητα fA=680Hz. [0]

∆ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα, υηχ=340m/s.

7. Ένα κομμάτι ξύλου μάζας m=0,5Kg είναι ακλόνητα στερεωμένο στο κάτω άκρο ομογενούς και

ισοπαχούς ράβδου μάζας M=2Kg. Το συνολικό μήκος ράβδου και κομματιού από ξύλο είναι

r=1m. Tο πάνω άκρο της ράβδου είναι συνδεμένο σε ακλόνητο σημείο Ο με τέτοιο τρόπο ώστε

η ράβδος να μπορεί να στρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που

περνά από το σημείο Ο, χωρίς τριβές. Το σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο σε κατακόρυφη θέ-

ση. Ένα μικρό σώμα Σ, μάζας m1=0,5Kg, που ολισθαίνει σε λείο τεταρτοκύκλιο ακτίνας r=1m,

φτάνοντας στο κατώτερο σημείο της τροχιάς του, κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα υ0, προ-

σπίπτει και σφηνώνεται στο ξύλο. Μετά την κρούση το σύστημα ράβδος - ξύλο - βλήμα εκτρέ-

πεται ώστε η μέγιστη απόκλιση της ράβδου από την αρχική κατακόρυφη θέση της να είναι

θ=60ο. Να υπολογίσετε:

α) τη ροπή αδράνειας του συστήματος σώμα - ξύλο - ράβδος. [5/3]

β) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου αμέσως μετά την κρούση. [2√3]

γ) το μέτρο της ταχύτητας υ0 του βλήματος πριν την κρούση. [20√3/3]

δ) Το ποσό της θερμότητας, που δημιουργήθηκε στη διάρκεια της κρούσης. [70/3]

ε) το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος, ώστε το σύστημα βλήμα - ράβδος - ξύλο, να κάνει

ανακύκλωση. [40√3/3]

∆ίνονται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της Ι=Mr2/12, η επιτάχυνση

της βαρύτητας g=10m/s2, οι διαστάσεις του ξύλου και του βλήματος να θεωρηθούν αμελητέ-

ες, αντιστάσεις αέρα και τριβές αμελητέες.

8. (*) Ένα σώμα μάζας m=3Kg, είναι ακίνητο

σε λείο οριζόντιο δάπεδο, όπως φαίνεται στο

σχήμα. Λόγω εσωτερικής αιτίας το σώμα δια-

σπάται σε δύο κομμάτια με μάζες m1,m2 α-

ντίστοιχα, για τις οποίες ισχύει m1=2m2.

Μετά τη διάσπαση το κομμάτι μάζας m1 συ-

γκρούεται πλαστικά με το σώμα μάζας

m΄=2Kg , το οποίο είναι στερεωμένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποί-

ου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το δημιουργούμενο συσσωμάτωμα εκτελεί απλή

αρμονική ταλάντωση πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και η ταχύτητα του μηδενίζεται κάθε

π/10s. Το κομμάτι μάζας m2 συγκρούεται πλαστικά με το ακίνητο σώμα μάζας M=3Kg, το ο-

ποίο κρέμεται από νήμα μήκους ℓ=2m. Αμέσως μετά την κρούση η δύναμη που ασκεί το νήμα

στο συσσωμάτωμα των μαζών m2 και M είναι F=90N.


α) Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος των μαζών m2 και M αμέσως μετά την κρού-

ση. [5]

β) Το συνημίτονο της μέγιστης γωνίας εκτροπής του νήματος. [0,375]

γ) Οι ταχύτητες των κομματιών με μάζες m1 και m2 αμέσως μετά τη διάσπαση. [10-20]

-306-


-307-

δ) Η συνάρτηση που περιγράφει πως μεταβάλλεται η δύναμη επαναφοράς του συσσωματώμα-

τος των μαζών m1 και m΄σε σχέση με το χρόνο. Να θεωρήσετε t=0 τη στιγμή της κρούσης και

θετική φορά του άξονα προς τα δεξιά. ∆ίνεται g=10m/s2. [Fεπ=200ημ(10t) (S.I.)]

Από ψηφιακό σχολείο

Documents

Transcript of Από ψηφιακό σχολείο