Λύσεις στα Προβλήματα του Σχολικού Βιβλίου

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΡΕΥΣΤΑ

ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

Πρόβλημα 3.23 (Σχολικό βιβλίο): Η φλέβα του νερού της βρύσης γίνεται στενότερη

καθώς το νερό πέφτει. Η διατομή της φλέβας είναι Α1=1,2 cm2 κοντά στο στόμιο της

βρύσης και Α2=0,4 cm2 σε απόσταση h=4 cm από αυτό. Υπολογίστε την παροχή της

βρύσης. Δίνεται g = 10m/s2

ΛΥΣΗ

Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli για τα σημεία 1 και 2 της φλέβας του νερού:

2

22

2

112

1

2

1 PghP (1)

Όμως, PPP 21

Άρα, η εξίσωση (1) γράφεται:

2

2

2

12

1

2

1 PghP 2

2

2

12

1

2

1 gh 2

2

2

12

1

2

1 gh

2

2

2

1 2 gh (2)

Εφαρμόζοντας την εξίσωση της συνέχειας προκύπτει:

1

221221121

(3)

Αντικαθιστώντας την (3) στη (2) προκύπτει:

2

2

2

1

22 2

gh

2

2

2

1

22 2

gh

2

1

222

22

gh

2

2

2

1

22

22 gh

2

2

2

1

212 gh

2

1

2

2

2

1

2gh

9

11

104102 2

22

2

ms

m

2

222

28

1041029

s

m

s

m22 1090

s

m12 1090

Επομένως η παροχή θα είναι:



s

mm 124

22 1090104,0

s

m36

22 90104

s

m36

22 101440s

m36

22 101012

Πρόβλημα 3.24 (Σχολικό βιβλίο): Ανοικτή δεξαμενή που περιέχει νερό έχει στο

πλευρικό τοίχωμά της, σε βάθος h = 1,8 m κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του

υγρού, βρύση διατομής Α=0,5 cm2. Πόση ώρα χρειάζεται για να γεμίσουμε ένα δοχείο

όγκου 1 L από τη βρύση; Δίνεται g = 10m/s2.

ΛΥΣΗ

Η διατομή της βρύσης σε μονάδες S.I. είναι:

252 1055,0 mcm

Επίσης, 33101 mL

Για τα σημεία (Ε) και (Κ) εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli :

22

2

1

2

1 PghP (1)

Η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η στάθμη του υγρού μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα

συγκριτικά με την ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο Κ, δηλαδή 0 .

Επίσης ΡE = ΡK = Ρat ,

Άρα η σχέση (1) γράφεται:

smms

mghgh /68,11022

2

12

2

Επομένως, η ταχύτητα του νερού στη βρύση (σημείο Κ) θα είναι: sm /6

Η παροχή του νερού στο σημείο Κ θα είναι: s

m

s

mm

3425 1036105

Το παραπάνω αποτέλεσμα σημαίνει ότι σε κάθε δευτερόλεπτο εκρέουν 34103 m

νερού από τη βρύση.

Άρα,



σε s1 εκρέουν 34103 m

t 3310 m

Επομένως, sst3

10

103

104

3

(Πιο απλά μπορούσαμε να γράψουμε:

V

tt

Vs

s

m

m

3

10

103

103

4

33

)

Πρόβλημα 3.25 (Σχολικό βιβλίο): Νερό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα (βλ. σχήμα). Η

διατομή του σωλήνα στη θέση Α είναι Α1=10-2m2 και στη θέση Β γίνεται A2 =A1/2. Η

παροχή του σωλήνα είναι Π = 2x10-2m3/s. Να βρείτε τη διαφορά της πίεσης του νερού

ανάμεσα στα σημεία Α και Β. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ = 103kg/m3.

ΛΥΣΗ

Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli μεταξύ των θέσεων Α και Β:

22

2

1

2

1 PP

22

2

1

2

1PP 22

2

1 PP (1)

Από την εξίσωση που δίνει την παροχή προκύπτει η ταχύτητα του νερού στη θέση Α:

1 smm

s

m

/210

102

22

32

1

Επίσης από την εξίσωση της συνέχειας προκύπτει:

2121

2

11 sm /4

2

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (1) προκύπτει:

Pas

m

s

m

m

kgPP 000.6241000

2

122

3



Πρόβλημα 3.26 (Σχολικό βιβλίο): Νερό που κινείται μέσα σε οριζόντιο σωλήνα (βλ.

σχήμα) βγαίνει από το άκρο Α με ταχύτητα υ1 = 10m/s. Το εμβαδόν διατομής του

σωλήνα στα σημεία Α και Β είναι 16 cm2 και 20 cm2, αντίστοιχα.

α) Πόσα m3 νερού δίνει ο σωλήνας σε μία ώρα;

β) Ποια η πίεση στο σημείο Β;

Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = 103kg/m3. Θεωρήστε ότι η ατμοσφαιρική πίεση είναι

105Pa.

ΛΥΣΗ

Μετατρέπουμε τα εμβαδά διατομής σε μονάδες S.I. 242 101616 mcm

242 102020 mcm

Επίσης, PaPP 510

α) Υπολογίζουμε την παροχή:

s

m

s

mm

3324

11 1016101016

Το παραπάνω αποτέλεσμα υποδεικνύει ότι ο σωλήνας δίνει 331016 m σε s1 .

Θέλουμε να βρούμε πόσα 3m δίνει σε sh 36001 .

Άρα,

σε s1 δίνει 331016 m

σε s3600 V

333 6,5736001016 mmV

(Πιο απλά μπορούσαμε να γράψουμε:

tVt

V 33

3 6,5736001016 mss

m )

β)Από την εξίσωση της συνέχειας προκύπτει:

2121 s

m

s

m

m

m810

1020

101624

24

12



Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli μεταξύ των θέσεων Α και Β:

2

2

2

12

1

2

1 PP

2

2

2

12

1

2

1PP

2

2

2

12

1PP

2

2

2

12

1PP kPaPam

m

kgPaP 118000.118361000

2

110 2

3

5

Πρόβλημα 3.27 (Σχολικό βιβλίο): Μια αντλία χρησιμοποιείται για την άντληση νερού

από πηγάδι βάθους 5m. Το νερό βγαίνει από την αντλία με σωλήνα διατομής 10 cm2 και

με ταχύτητα υ=20 m/s. Υπολογίστε την ισχύ της αντλίας. Δίνεται η πυκνότητα του

νερού ρ = 103kg/m3 και g = 10m/s2.

ΛΥΣΗ

232 1010 mcm

Αν υποθέσουμε ότι ο ρυθμός άντλησης νερού είναι σταθερός, ισχύει:

t

W

t

mgh

2

2

1 (1)

Όμως,

t

V

t

m

1

t

m

t

m

t

mskg

m

kg

s

mm

t

m/2010002010

3

23

Αντικαθιστώντας στην (1) προκύπτει:

.).( IS

t

W

W500020504002

1

Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε για την άντληση

μάζας νερού m :

WW

WW0

mghWm 2

2

1

mghmW 2

2

1

mghW

2

2

1

h



Πρόβλημα 3.28 (Σχολικό βιβλίο): Μια ανοιχτή δεξαμενή νερού, μεγάλου όγκου,

βρίσκεται ψηλά πάνω από το έδαφος (βλ. σχήμα). Όταν χρησιμοποιούμε το νερό της

δεξαμενής η ταχύτητα του νερού, σε κάποιο σημείο Α, στο σωλήνα που βρίσκεται στο

έδαφος είναι υ=12 m/s. Υπολογίστε την πίεση στο σημείο Α. Δίνεται ότι η στάθμη του

νερού βρίσκεται σε ύψος h= 10 m πάνω από το έδαφος. Η πυκνότητα του νερού είναι

ρ = 103kg/m3 η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s2 και η ατμοσφαιρική πίεση 105Pa.

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε ότι η στάθμη του νερού στην επιφάνεια της δεξαμενής κατεβαίνει με

αμελητέα ταχύτητα και εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου

της ελεύθερης επιφάνειας του νερού όπου η πίεση είναι P και του σημείου Α:

PghP 2

2

1

2

2

1ghPP

.).(2

2

1 IS

ghPP

721001010 35P

35 102810P

55 1028,010P PaP 51028,1

Πρόβλημα 3.29 (Σχολικό βιβλίο): Στο δοχείο Δ πέφτει συνέχεια νερό από τη βρύση

Β (βλ. σχήμα). Το δοχείο δε μπορεί να γεμίσει επειδή χύνεται νερό από το πλευρικό

άνοιγμα Α. Αν η παροχή της βρύσης είναι 22cm3/s και το εμβαδόν του ανοίγματος 1

cm2, να βρείτε σε ποιο ύψος h πάνω από το σημείο Α θα σταθεροποιηθεί η ελεύθερη

επιφάνεια. Δίνεται g = 10m/s2

ΛΥΣΗ

Μετατρέπουμε την παροχή της βρύσης και το εμβαδό του ανοίγματος σε μονάδες S.I.



s

m

s

cm 36

3

102222

242 101 mcm

Για να σταθεροποιηθεί η ελεύθερη επιφάνεια θα πρέπει η παροχή της βρύσης να

ισούται με την παροχή του ανοίγματος, δηλαδή

s

m361022

s

m

m

s

m

2

24

36

102210

1022

Εφαρμόζοντας την εξίσωση Bernoulli μεταξύ ενός σημείου της ελεύθερης επιφάνειας

του νερού και του σημείου Α και θεωρώντας την ελεύθερη επιφάνεια του νερού

σταθερή προκύπτει:

22

2

1

2

1 PghP (1)

Όμως, 0 .

Άρα η σχέση (1) γράφεται:

2

2

1gh m

s

m

s

m

gh 5

2

2

2

2

10242

102

1022

2

Πρόβλημα 3.30 (Σχολικό βιβλίο): Ένα δοχείο με κατακόρυφα τοιχώματα (Βλ. σχήμα)

περιέχει νερό μέχρι ύψος h. Σε ποιο ύψος (x) από τον πυθμένα πρέπει να τρυπήσουμε

το δοχείο, ώστε η φλέβα που θα δημιουργηθεί να συναντά το έδαφος στη μεγαλύτερη

δυνατή απόσταση από τη βάση του δοχείου;

ΛΥΣΗ



Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου Ε στην ελεύθερη

επιφάνεια του νερού (της οποίας την ταχύτητα θεωρούμε αμελητέα) και του σημείου

Α από το οποίο εκρέει νερό από την τρύπα ισχύει:

22

2

1

2

1 PxhgP (1)

Όμως, 0 .

Άρα, η σχέση (1) δίνει:

2

2

1 xhg

2

2

1xhg xhg 2

Το νερό εκτελεί οριζόντια βολή από την τρύπα με ταχύτητα .

Άρα, από τις εξισώσεις της οριζόντιας βολής προκύπτει:

g

xtgtx

2

2

1 2 (χρόνος που χρειάζεται το νερό για να φθάσει στο έδαφος)

Το βεληνεκές (δηλαδή η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση του νερού θα είναι:

ts g

xxhgs

2)(2 xxhsxxhs 4)(4 2

22 44 xhxs 044 22 xhxs 044 22 shxx (2)

Για να έχει πραγματικές λύσεις η παραπάνω εξίσωση θα πρέπει:

0 01616 22 sh 022 sh sh

Άρα η μέγιστη δυνατή τιμή του βεληνεκούς είναι όταν: hs max

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (2) προκύπτει:

044 22 hhxx 2

02022 h

xhxhx

Πρόβλημα 3.31 (Σχολικό βιβλίο): Ποσότητα νερού είναι αποθηκευμένη σε ανοικτό

κυλινδρικό δοχείο. Το ύψος του νερού στο δοχείο είναι h = 1 m .Το δοχείο έχει μικρή

τρύπα στο πλευρικό του τοίχωμα και σε απόσταση 20 cm κάτω από την ελεύθερη

επιφάνεια του νερού. Να υπολογίσετε:

α) Την ταχύτητα με την οποία βγαίνει το νερό από την τρύπα.

β) Πόσο απέχει από το δοχείο το σημείο του δαπέδου στο οποίο φτάνει η φλέβα του

νερού.

γ) Σε ποιο ύψος από τη βάση του δοχείου πρέπει να ανοιχτεί δεύτερη τρύπα στο

πλευρικό τοίχωμα ώστε η φλέβα του νερού που θα βγαίνει από αυτή να πέφτει στο ίδιο

σημείο με την προηγούμενη.



δ) Σε ποιο ύψος από τη βάση του κυλίνδρου πρέπει να ανοίξουμε τρύπα ώστε η φλέβα

του νερού να φτάνει στο δάπεδο στη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση από το δοχείο.

Δίνεται g = 10m/s2

ΛΥΣΗ

α) Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου Ε στην ελεύθερη

επιφάνεια του νερού (της οποίας την ταχύτητα θεωρούμε αμελητέα) και του σημείου

Α από το οποίο εκρέει νερό από την τρύπα (και απέχει mcmy 2,020 από την

ελεύθερη επιφάνεια) ισχύει:

22

2

1

2

1 PgyP (1)

Όμως, 0

Άρα, η σχέση (1) δίνει:

2

2

1gy smgygy /22

2

1 2

β) Το νερό εκτελεί οριζόντια βολή από την τρύπα με ταχύτητα από ύψος yh ως

προς το έδαφος.

Άρα, από τις εξισώσεις της οριζόντιας βολής προκύπτει:

g

yhtgtyh

2

2

1 2 (χρόνος που χρειάζεται το νερό για να φθάσει στο

έδαφος)

Το βεληνεκές (δηλαδή η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση του νερού θα είναι:

ts mss

ms 8,04,02

γ) Θέλουμε να ανοίξουμε μία δεύτερη τρύπα από την οποία το νερό να πέφτει σε

οριζόντια απόσταση ms 8,0 .

Θέλουμε δηλαδή ένα ακόμα ζεύγος τιμών και t έτσι ώστε: ts

Έστω ότι το ζητούμενο σημείο για να ανοιχτεί η τρύπα απέχει y από το έδαφος:

g

yttgy

2

2

1 2

Άρα,

ts

g

ys

2

g

ys

222 (2)

Επίσης με ανάλογη λογική με αυτήν του ερωτήματος (α) προκύπτει:



yhg 2 (3) (διότι θεωρήσαμε σαν y την απόσταση από το έδαφος όχι

από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού).

Αντικαθιστούμε την (3) στη (2) και προκύπτει:

g

yyhgs2

22 yyhs 42 22 44 yyhs 044 22 syhy

Άρα λύνοντας το τριώνυμο προκύπτει:

76,51616 22 sh

Άρα,

8

4,242,1y my 2,01 και my 8,02

Η λύση my 8,02 αντιστοιχεί στην πρώτη τρύπα διότι απέχει m2,0 από την ελεύθερη

επιφάνεια του νερού.

Η ζητούμενη λύση είναι η my 2,01 .

δ) Όπως και στο πρόβλημα 3.30: mh

y 5,02

Επιμέλεια

Κοντομάρης Στέλιος - sciencephysics4all.weebly.com

Λύσεις στα Προβλήματα του Σχολικού Βιβλίου

Documents

Transcript of Λύσεις στα Προβλήματα του Σχολικού Βιβλίου