Λύσεις Διαγωνίσματος Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄...
-
Upload
michael-magkos -
Category
Documents
-
view
215 -
download
0
description
Transcript of Λύσεις Διαγωνίσματος Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄...
Σελίδα 1 από 4
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Κυριακή 24/11/2013
Ημερομηνία
ΘΕΜΑ Α
Α.1 Ορισμός σελ.41 σχολικού βιβλίου.
Α .2 Απόδειξη σελ.43 σχολικού βιβλίου.
Α .3 α . Λάθος
β . Λάθος
γ . Σωστό
δ . Λάθος
ε . Λάθος
ΘΕΜΑ Β
Β .1 α = (λ , 2) και β = (3 , 1) , λR
α. λ 2
α // β det(α , β) = 0 λ-6=0 .
6 1
λ=03
β. α β α β = 0 λ= -3λ+2 . 02
3
γ. α-2β = (λ , 2) - 2(3 , 1) = (λ , 2) - (6 , 2) = (λ - 6 , 0).
α - 2β // y΄y λ – 6 = 0 λ = 6 .
δ.
π α β λ+2 α , β = , άρα συν α , β =
4 α β λ 2
2 3
2 4 10
λ+4>0 λ>-
λ λ+4 20λ λ λ+16
26
32 2 22 4 10 6 80 36 48
5λ λ λ+4 4λ +12λ - 16 = 0 2 2 220 9 12
λ + 3λ - 4 = 0 λ = - 4(απορρίπτετ ή λαι 1) = 2
Διαγώνισμα Μαθηματικά Κατ.
Εξεταζόμενο μάθημα
Β΄ Λυκείου Τάξη
Ζαχαριάδης Γιώργος Μάγκος Μιχάλης Μπούρας Θάνος
Πλουμάκης Κώστας Καθηγητές
Σελίδα 2 από 4
Β.2 α =1, β =2, γ = 2 , με α - β + 2γ = 0 ,
2 2 2 11
α = β - 2γ , άρα α β 4β γ + 4γ 1 4 4β γ +8 β γ =4
2 2 2 5
β = α + 2γ , άρα β α 4α γ + 4γ 4 1 4α γ +8 α γ = - 4
2 2 2 3
2γ = β - α , άρα 4γ β 2α β + α 8 4 2α β +1 α β = - 2
Α=3 11 5
2 2 4
33
44 .
ΘΕΜΑ Γ
Γ.1 , 23
a a
και 2 2 a a .
α . 2
, άρα συνα α + 2β 1 α 2α β
2 α 2 αα α + 2β, 2 , 2
3
a a a a
2 22 α 2α 4α β α β = 0. Άρα α β .
β . α β=02 22 2 22 2 3
4 α 4α β + 4β 4 4 β 32
2 2 2
aa a a a a a .
γ . 2 2 2 2 2 22 2 4α γ - α 4β γ 4α γ - α 3α γ· 4 4 a a
2 22 24α 4α γ γ 0 2α - γ 0 2α - γ 0 2α - γ 0 2α - γ = 0 γ =2α .
Άρα: a .
Γ.2 α = - 2i 3 j = ( - 2 , 3) , β = 3i 5 j = (3 , -5) .
α. γ = 2α + β = 2 (-2 , 3) + (3 , - 5) = ( - 4 , 6) + (3 , - 5) = (-1 , 1).
Σελίδα 3 από 4
Άρα 2 2γ 1 1 2
β. 2 2 2α = 2 +3 =13.
α β = 2 3 3 5 = - 21.
α γ = 2 1 3 1= 5.
Άρα: 2Α = α + α β + 3α γ = 13 - 21 +15 7 = .
γ. γ
1λ 1.
1
Άρα για τη γωνία ω που σχηματίζει το διάνυσμα γ με τον άξονα x΄x θα
ισχύει εφω=-1 και επειδή το γ βρίσκεται στο 2 ο τεταρτημόριο θα είναι:
ω = 1350 .
δ. β γ 3 5 8 8 4
συν β , γ9 25 2 34 2 17 2 2 17β γ
.
ΘΕΜΑ Δ
ΑΒ = 2α+β , ΑΓ = - 3β , α β 1 και 2π
α,β =3
.
α. π
α β = α β συν = - 2
3
1
2.
2
4β+2α β α β + 4α2 216 16 16 8 4 12
α-β α -β α α β + β22
2 22 1 1 1 3 . Άρα: α -β 3 .
β.
i .
AB ΑΓ 2α + β -3β α - 2β
αΜ -Α β2
2 2 2.
ΒΓ = ΑΓ - ΑΒ = -3 -β - 2α 2α -- β = 4β .
ii . ΑΜ ΒΓ = α - β α - 4β α α β + 2α β + 4β ...2 22 2 4 3 .
AM α β 3
BΓ = -2α - 4β 2α + 4β 12
Άρα: AM ΒΓ 3 1
συν AM , ΒΓ23 12AM ΒΓ
.
Άρα η ζητούμενη γωνία AM , ΒΓ
είναι 600 .
Σελίδα 4 από 4
i i i .
ΑΔ ΑΒ + ΒΔ = ΑΒ + ΑΓ = 2α + β - 3β = 2α - 2 ΑΔ 2α β. Άρα 2 .- β
BΓ=ΑΓ - ΑΒ = - 3β - 2α - β = - 2α - 4β BΓ - 2α. Άρα . - 4β
iv. ΑΜ α - β 3
2 22
2 2AB 2α + β 2α + β 4α 4α β + β 3 . Άρα : AB 3 .
2 2 2 2 1 3AB AM 2α + β α - β 2α 2α β + α β - β 2α α β - β 2 1 .
2 2
Άρα:
3AB ΑΜ 12συν AB , ΑΜ
23 3AB ΑΜ
.
Άρα η ζητούμενη γωνία ΒΑΜ είναι 600 .
(Παρατηρήστε ότ ι 2AB ΑΓ 6 β 3 3 0 2α+β - 3β α β-3 , δηλαδή το τρίγωνο
ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και επίσης το παρ/μο ΑΒΔΓ είναι ορθογώνιο !
Θα μπορούσατε λοιπόν να δουλέψετε και με τη βοήθεια της Γεωμετρίας! )
Επιμέλεια:
Α Β
Δ Γ
Μ