1

Διανύσματα & Γραφική

2

Περιεχόμενο Μαθήματος

– Μαθηματική υποδομή διανυσμάτων και σύνδεσή τους με γραφικά αντικείμενα

– Συσχέτιση γεωμετρικών και αλγεβρικών παραστάσεων

– Παραμετρικά μοντέλα διανυσμάτων για γραμμές και ακτίνες

– Εσωτερικό γινόμενο και χρήσεις αυτού– Εξωτερικό γινόμενο και χρήσεις αυτού– Τριπλό αριθμητικό γινόμενο και χρήσεις αυτού

3

Διανύσματα και Ορισμοί

Αριθμοί Σημεία (Καρτεσιανές - Πολικές Συντεταγμένες) Γραμμές-Γραμμικά τμήματα-Ακτίνες Κύκλοι - Τόξα

4

Το διάνυσμα σαν μετακίνηση

5

Βασικές πράξεις διανυσμάτων

Πρόσθεση Αφαίρεση Αλλαγή μεγέθους (πολλαπλασιασμός με

αριθμό)

6

Πρόσθεση

7

Αφαίρεση

8

Αλλαγή μεγέθους

9

Το μέτρο ενός διανύσματος

Το μέτρο ενός διανύσματος W είναι _______________|W|= w1

2+w22+….+wn

2

10

Κανονικοποίηση διανυσμάτων Μοναδιαίο διάνυσμα

|W|=1

ua=a/|a| |ua|=1

11

Γραμμικοί συνδυασμοί διανυσμάτων

Ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων είναι της μορφής W=a1v1+a2v2+…+amvm

Είναι κυρτός εάν a1+a2+…+am=1 και ai0

12

Το διάνυσμα-ακτίνα σαν κυρτός συνδυασμός

p(t)= a(1-t) +bt = a+ct 1 t 0

13

Κυρτός συνδυασμός τριών διανυσμάτων

q=a1v1+a2v2+(1-a1-a2)v3

14

Κυρτός συνδυασμός σημείωνΠαρεμβολή

P(t)=(1-t)A+tBt= 0 /0.25/0.5/0.75/1

15

Κυρτό σύνολο σημείων στο επίπεδο και στο χώρο

16

Το Εσωτερικό Γινόμενο (EΣΓ)δύο Διανυσμάτων

n

d= w·v= wivi

i=1

17

Ιδιότητες του ΕΣΓ

Συμμετρία a·b=b·a

Γραμμικότητα (a+c)·b=a·b+c·b

Ομογένεια (sa)·b=s(a·b)

|b|2=b·b

18

Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων

cosθ=ua·ub=a·b/|a| |b|

19

Το Πρόσημο του ΕΣΓ

20

Προβολή και ανάλυση διανύσματος σε συνιστώσες

21

Εφαρμογή προβολής στην ανάκλαση

22

Εξίσωση καθέτου σε ευθεία και επίπεδο

Για μια ευθεία L και για κάθε σημείο Α πάνω στην ευθεία, το ΕΣΓ n·a=D είναι σταθερό

23

xnx+yny=D

24

Εξίσωση καθέτου σε επίπεδο

n·s=D

25

Έλεγχος θέσεως σημείου προς ημι-επίπεδο

(Q-A)·n > 0 inside,

(Q-A)·n = 0 on the line

(Q-A)·n < 0 outside

26

Ψαλιδισμός γραμμής προς κυρτό παράθυρο

27

Διανύσματα τριών διαστάσεων

Αριστερόστροφα &Δεξιόστροφα συστήματα αναφοράς

28

Το εξωτερικό γινόμενο (ΕΞΓ)

29

Γεωμετρική αναπαράσταση του ΕΞΓ

30

Το τριπλό αριθμητικό γινόμενο

31

Γεωμετρική αναπαράσταση

32

Εφαρμογές

Η κάθετος στο επίπεδο των σημείων P1, P2, P3

n·r=D

33

Ελέγχοντας αν ένα πολύγωνο είναι επίπεδο

a ·(bxc)=0 ?

34

Ελέγχοντας την φορά της στροφής

T=k·(axb) 0 positive turn

35

Ελέγχοντας την κυρτότητα ενός πολυγώνου

36

Υπολογίζοντας την επιφάνεια ενός πολυγώνου