Μιγαδικοί Αριθμοί - Λύσεις Ασκήσεων

Μαθηματικά Κατεύ θυνσης Γ ΄ Λυ κείου Απαντήσεις – Υποδείξεις για τη λύση των ασκήσεων

2 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – Ελ. Βενι ζέλου 205 Ν. Σμύ ρνη -2109311913 – kentromelet [email protected]

Α 2.1 Εύρεση Μέτρου

Α 2.2 Σχέσεις με μέτρα

78.

α) |z| = 5 β) |z| =1 γ) |z| = 1 δ) |z| = 5 ε) |z| =1

στ) |z| = 2 2 2 2α β α γ

β - γ

79. |z| =10

2

80.

|z| = 3 3

4

|v| =1

5

|w| =91

2

81.

α) Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη και αξιοποίησε την ιδιότητα: 2

z z z

β) Όμοια με το α)

82. Ύψωσε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη και αξιοποίησε την ιδιότητα:

2z z z


2z z z

84. z=-2-2i και |z|= 2 2



85. Aξιοποίησε την ιδιότητα: 2

z z z

86. β) i )

1 2 3 1 2 3 1 2 3z + z + z = z + z + z z + z + z ... .

i i ) Συνέχισε το προηγούμενο ερώτημα κάνοντας ομώνυμα…

87. Τετραγώνισε και τα δύο μέλη …

88. 1 2 1 21 2

1 1z = z = 1 άρα z και z

z z . Μετά αρκεί να δε ί ξ ε ις ότ ι z z .

89. .w w ..


2z z z

91. .z - 9 = 3 z - 1 και μετά τετραγώνισε και τα δύο μέλη ..

92.

Συνέχισε τη σχέση2 2 2

1 2 1 2z + z = z - z αξιοποιώντας την ιδιότητα: 2

z z z .

Στη σχέση :1 2 1 2z + z = z - z τ ε τραγώνισε και θα καταλήξε ις σε κάτ ι που

ισχύε ι .

95.

Είναι σωστό ή λάθος ότ ι :

α) Λάθος

β) Λάθος

97. β) γ)

98. 1 2 1 21 2


z z . Μετά αρκεί να δεί ξ ε ις ότ ι : w w


2z z z



Α 2.3 Εξισώσεις

100. α) z = 3+4 i

β) 2002

101. α) α =-1 και β = 2

β) i i ) z=1.

102.

1 2 1 21 2


z z

α) z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1 = 0 άρα και 1 2 1 2z z z z 1 0......

β z 1=i ,z 2 = - i ή z 1 =- i , z 2 = i .

γ) | z 1 + z 2 - z 1 z 2 + 1| = 1 2 1 2z z z z 1 =….

104.

Ο άξονας x΄x χωρίς το σημείο Ο(0 , 0 ) ή ο κύκλος με κέντρο

Ο(0 , 0 ) και ακτ ίνα ρ=2.

α ) ( z 1 + z 2 + z 3 ) 31 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3

zz z1 1 1 1z z z z z z z z z ....

z z z 4 4 4 4

β ) Θέλεις να δε ίξε ις ό τ ι : 1 2 31 2 2 3 1 3

1z z z

2z z z z z z . Μετά δούλεψε

όπως στην άσκηση 86

105. α) β= 2 και γ=-3.

β) z 1 = 1 + i και z 2 = 1 - i .

106. z = 4 +3i .

107. z = -1 + i ή z = -1 – 3 i

108.

Έστω ότ ι υπάρχει α R- {1 } τ έτο ιο , ώστε η εξ ίσωση:

1 + α i1 iz , ν Ν , z C

α + i

, να έχε ι πραγματική λύση z = xR.

Φόρεσε μέτρα στη σχέση 1 + α i1 iz

α + i

και θα καταλήξε ις σε άτοπο .



Α 2.4 Ανισώσεις – Μέγιστη , ελάχιστη τιμή μέτρου

109. Φόρεσε μέτρα στην : ( i z – 2 ) ν = w(z + 2 i ) ν ….

110. max{|z-1+2i| }= 5 1 και min{|z-1+2 i| }= 5 1 .

112. Τετραγώνισε και τα δύο μέλη της :|z 1 - z 2|<|1- 1z z 2 |και θα

καταλήξε ις σε κάτ ι που ισχύε ι .

114.

α) max{|z 1+z 2|}=20+ 41 και min{|z 1 +z 2|}=20- 41 .

β) max{|z 2 -1|}=21 και min{|z 2-1| }=19.

γ) max{|z|}= 41 +1 και min{|z| }= 41 -1

116. Βρες τα σημεία τομής του κυκλικού δ ίσκου και του κύκλου που

σου δ ίνε ι στα δεδομένα , καθώς και το σημείο τομής με τον x΄x .

117. α ) i ) max{|z 2-5 i| }=7 γ ια z 2 =-2 i

i i ) min {|z 2-5i| }=3 γ ια z 2 =2i

118. Θεώρησε z 1 = x 1 + α i και z 2 = x 2 + α i .

Τότε f (x 1 )=|z 1| και f (x 2 )=|z 2 | ……..

119. α)

2

1 2Δ = - 4 z z 1 0.......

β) |z 1 – z 2 |

120.

β. z 1 = 3 i και z 2 = 1

i3

γ. Κύκλος με κέντρο το 5

K 3,3

και ακτ ίνα 4

ρ = 3

.

δ. max{|w-2+i| } = 7 και min{|w-2+i| } = 13

3

ε. min{ 2z z } = 4

2 13

.



Α 2.5 Παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο

121. α) α=-6 , β=13 , z 2 = 3-2i .

β) 4

122. Β . Εφαρμογή της τρ ιγωνικής ανισότητας

123. max{ z 8i } =12 και min{ z 8i } =8.

125. 2|z|=|2z|=|(z+1) 2 - ( z 2 +1)| ……

126. Τετραγώνισε και τα δύο μέλη, θα καταλήξε ις σε κάτ ι που ισχύε ι .

127. max{|z 1 – z 2 |}=8 και min{|z 1 – z 2|}=2.

128. Πρέπει z 2 – 3z + 2 R , άρα… .

129.

α) Κύκλος με κέντρο Ο(0 ,0) και ακτ ίνα ρ=3

β) Κύκλος με κέντρο Κ(1, -3) και ακτ ίνα ρ=1

γ) Κυκλικός δ ίσκος με κέντρο Κ(5 ,0) και ακτ ίνα ρ=5

δ) Τα εξωτερικά σημε ία του κύκλου με κέντρο Κ( -2 ,-1) και ακτ ίνα

ρ=2

ε) Κύκλος με κέντρο Κ(3 , -2) και ακτ ίνα ρ=1

στ) Τα σημε ία και τα εξωτερ ικά σημε ία του κύκλου με κέντρο

Κ(2 ,0) και ακτ ίνα ρ=1

ζ ) Τα εξωτερικά σημε ία του κύκλου με κέντρο Κ(0 ,1) και ακτ ίνα

ρ=1



Α 2.6 Γεωμετρικοί τόποι

130.

α) Η ευθε ία ε :y=2x+7

β) 14 7

z i5 5

131. z=3+9i ή z=-1-3i

132.

α ) x 1

β) y 2

γ) 1

x2

εκτός του σημείου Α(1 ,0)

δ) Τα σημε ία και τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(0 , -

1) και ακτ ίνα ρ 1 =4 και τα σημε ία και τα εξωτερ ικά σημε ία του

κύκλου με κέντρο Κ(0 , -1) και ακτ ίνα ρ 2 =3.

133. α)Κύκλος με κέντρο Κ(3 , -3) και ακτ ίνα ρ= 2 .

β)w 1 =4-4i και w 2 =2-2i .

134.

α) ε : 4χ + 3y – 41 = 0 .

β) χ 2 + (y+3) 2 = 25

γ) min{|z-w|} = 5

135. Αρκε ί να δε ίξ ε ις ότ ι |z 1- z 2 |=|z 2 - z 3|=|z 3 - z 1|… . .

136. Κύκλος με κέντρο Κ(1 ,0) και ρ=6.

137. Αρκε ί να δε ίξ ε ις ότ ι |w|=1.

141. Κέντρο 7 1

K ,4 4

και ακτ ίνα ρ=

3

4

142. α) Κύκλος με κέντρο Κ(0 ,0) και ακτ ίνα ρ=1

2



143. y 2 =-2x , εστ ία Ε1

,02

και δ ιευθετούσα δ :1

x2

.

144. Κύκλος με κέντρο 7

K ,22

και ακτ ίνα ρ=3

2.

145. C : (x-3 ) 2 + (y+1) 2 = 16 , ε : y = 3 .

146. C : 2

2xy 1

25

147. 24 6

z i5 5

148. Η έλλε ιψη: 2 2x y

181 32

149. z 2i z 2i 2 , Η υπερβολή 2

2 xy 1

3 , y -1 .

150. Κύκλος με κέντρο Κ(1 ,3) και ακτ ίνα ρ= 5 .

151. α) Ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ(α ,0) και ακτ ίνα ρ=1.

β) α=2.

152.

α) Κύκλος με κέντρο 1

K ,12

και ακτ ίνα ρ= 5 .

β) max{|z| } = 3 5

2 και min{|z|} =

5

2.

153. |z|=3 … . .



154. α) Κύκλος με κέντρο

1 3K ,

2 2

και ακτ ίνα ρ=3 .

β) Κύκλος με κέντρο Κ( -3,0) και ακτ ίνα ρ=2.

155.

α) Κύκλος με κέντρο 2 4

K ,5 5

και ακτ ίνα ρ=2 10

5.

β) Η ευθε ία ε : x-y-4=0.

γ) min{ |z – w|}=11 2 2 10

5

.

156. α) Η έλλε ιψη:

2 2x y1

16 25 .

β) min {|z 1- z 2|}=10 , max{|z 1 - z 2|}=8.

158. α) Η υπερβολή

2 2y x1

9 7 με y -3 .

β) z=-3 i .

159. Κύκλος με κέντρο Κ(0 , -1) και ακτ ίνα ρ=2… .

160. Κύκλος με κέντρο 3 4

K ,5 5

και ακτ ίνα ρ=1.

162. α) c : χ 2 + (y -1) 2 = 1

β) ε : y = -2

163. β) |z|=1 , |w|=1 … . . .

164. α)

2 2x yc: 1

3 4 .

β) max{|w 1 – w 2 |}=2α=4

165. y=2x 2 – 1 .



166. α) Ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ( -2 ,0 ) και ακτ ίνα ρ= 3 .

167.

α) C 1 : 2 2x y

14 3 .

β) ζ=7 3

z 15 i4 4

Μιγαδικοί Αριθμοί - Λύσεις Ασκήσεων

Documents

Transcript of Μιγαδικοί Αριθμοί - Λύσεις Ασκήσεων