Κατηγορίες ασκήσεων στα όρια

Nα βρεθουν τα ορια της

συναρτησης f στις θεσεις:

x0 = - 2, - 1, 1

οταν η γραφικη της παρα-

σταση φαινεται στο διπλα-

νο σχημα.

-

- +

+

-

+

0

x - 2

x - 2 x - 2

x - 2

0

0

x - 1

x - 1

Για x = - 2

lim f(x) = 2 lim f(x) lim f(x)

lim f(x) = 1

οποτε δεν υπαρχει οριο της f στο x = - 2.

Για x = - 1

lim f(x) = - 1

lim f(x) = - 1

Ť

Ť - +

-

- +

+

x - 1 x - 1

0 x - 1

0

x 1

x 1 x 1

x 1

lim f(x) = lim f(x) = - 1

οποτε υπαρχει οριο της f στο x = - 1 με lim f(x) = - 1.

Για x = 1

lim f(x) = 3 lim f(x) lim f(x)

lim f(x) = 1

οποτε δεν υπα

Ť

0ρχει οριο της f στο x = 1.

Τακης Τσακαλακος

μ ο ρ φ η :

Δοσμενη η γραφικη παρα-

σταση της συναρτησης f .

ζ η τ ο υ μ ε ν ο :

Ευρεση των οριων της συναρ-

τησης f, σε σημεια της C f .

σ κ ο π ο ς :

Να αποδειξουμε οτι το οριο

απ’τα αριστερα του δοσμενου

σημειου ειναι ισο με το οριο α-

πο τα δεξια .

α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :

1. Για καθε τιμη x 0 παιρνουμε

πλευρικα ορια .

2. Αν - 0x x

lim f(x)

= + 0x x

lim f(x)

= τοτε

0x x

lim f(x) =

.

π α ρ α τ η ρ η σ η :

Για την τιμη x 0 παιρνουμε

πλευρικα ορια, δηλαδη:

▪ Το οριο απ’τα αριστερα:

ειναι η τετμημενη του δεξιου

ακρου του αντιστοιχου τμη-

ματος της C f .

▪ Το οριο απ’τα δεξια:

ειναι η τετμημενη του αριστε-

ρου ακρου του αντιστοιχου

τμηματος της C f .

002

y

3

2

1

-2 -1 0 1 x

x - 1

Με τη βοηθεια του ορισμου του οριου, να δειχτει οτι :

lim(3 - 2x) = 5 .

Με βαση τον ορισμο του οριου, για καθε ε > 0 θα πρεπει να υ -

παρχει δ > 0, ωστε :

Ε

Ειναι

|f(x) - 5|< ε |3 - 2x - 5|< ε |-2x - 2|< ε 2|x + 1|< ε

ε|x + 1|< .

2τσι

Για

Για καθε x με 0 <|x + 1|< δ να ισχυει |f(x) - 5|< ε.

Ť Ť Ť Ť

εδ = ειναι :

2ε

|x + 1| < δ |x + 1|<2

2|x + 1|< ε

|2x + 2|< ε

|-2x - 2|< ε

|3 - 2x - 5|< ε

|f(x) - 5| < ε .

Ť

Ť

Ť

Ť

Ť

Ť


μ ο ρ φ η :

Δοσμενο οριο .


Αποδειξη – ευρεση οριου .

σ κ ο π ο ς :

0

Με βαση τον ορισμο του οριου,

για καθε ε > 0 θα πρεπει να υ -

παρχει δ > 0, ωστε :

Για καθε x με 0 < |x - x | < δ

να ισχυει |f(x) - λ|< ε.


Αν 0x x

lim f(x)

= λ Ś Ŕ .

1. Για | f ( x ) – λ | < ε , με

πραξεις καταληγουμε στη

σχεση α∙| x – x ₀ | < ε .

2. Θετουμε δ = ε/α , παιρνουμε

τη σχεση | x – x ₀ | < δ και στη

συνεχεια καταληγουμε στη

σχεση |f(x) - λ| < ε .

003

2

x 1

2

x 0

x

x 0

2

x 2

Nα υπολογισετε τα ορια :

lim(3 - 2x + x )

lim(2συν x + x)

limln(1 + e - e )

x + 5lim

2x - 1

-

2

0

2 2

x - 1

2

0

2 2

x 0

Για x = - 1, οριζεται η συναρτηση f(x) = 3 - 2x + x και

lim(3 - 2x + x ) = 3 - 2(- 1) + (- 1) = 3 + 2 + 1 = 6

Για x = 0, οριζεται η συναρτηση g(x) = 2συν x + x και

lim(2συν x + x) = 2συν 0 + 0 = 2 ×1+

x

0

x 0

x 0

2

0

2 2

x 2

0 = 2

Για x = 0, οριζεται η συναρτηση h(x) = 1+ e - e και

lim ln(1+ e - e ) = ln(1 + e - e ) = ln(1 + e - 1) = lne = 1

x + 5 Για x = 2, οριζεται η συναρτηση r(x) = και

2x - 1

x + 5 2 + 5 lim =

2x - 1 2 × 2 - 1

4 + 5 9 3= = = = 1

4 - 1 3 3


μ ο ρ φ η :

Δοσμενο οριο .


Αποδειξη – ευρεση οριου συν-

αρτησης .

σ κ ο π ο ς :

Να προκυψει πραγματικος α-

ριθμος μετα την αντικαθιστα-

ση του x0 στη συναρτηση .


1. Ελεγχουμε αν για x = x0

οριζεται η συναρτηση f(x) .

2. Eφαρμοζουμε τις ιδιοτητες

των οριων των πραξεων .

004

2 2

2 2x 1 x 1

Nα βρεθει η σχεση μεταξυ των παραμετρων κ, λ ωστε να

ισχυει :

x - λ x - λlim = lim με κ 1 .

x - κx - κ

2 2 2

2 2 2 2x 1

2

x 1

2 2

Ειναι

x - λ 1- λlim =

1- λ 1- λx - κ 1- κ =1- κ1- κx - λ 1- λ

lim =x - κ 1- κ

(1- κ)(1- λ ) = (1- λ)(1- κ )

(1- κ)(1- λ () 1

Š

Š

Š + λ) - (1+ κ) = 0

(1- κ)(1- λ)(1+ λ - 1- κ) = 0

(1- κ)(1- λ)(λ - κ) = 0

κ = 1 απορριπτεται

(1- λ)(1- κ

)

λ = 1

κ

Š

Š

Š

= λ

κ = λ = 1Š


μ ο ρ φ η :

Δοσμενη ισοτητα οριων που

περιεχει παραμετρους .


Σχεση μεταξυ παραμετρων η

ευρεση τους .

σ κ ο π ο ς :

Να βρουμε τα ορια και να προ-

κυψει το ζητουμενο απο τη δο-

σμενη σχεση .


1. Βρισκουμε το καθε οριο ξε-

χωριστα .

2. Αντικαθιστουμε στη δοσμε-

νη ισοτητα .

3. Με πραξεις φτανουμε στο

ζητουμενο .

005

o o

0

x x x x

Nα υπολογισετε τα ορια των f και g στο x , αν :

lim(3f(x) - g(x)) = 3 lim(2f(x) + 5g(x)) = 19

0 0x x x x

Aν h(x) = 3f(x) - g(x) και p(x) = 2f(x) + 5g(x) τοτε

lim h(x) = 3 lim p(x) = 19 (1)

και

h(x) = 3f(x) - g(x) 5h(x) = 15f(x) - 5g(x)

p(x) = 2f(x) + 5g(x) p(x) = 2f(x) + 5g(x)

5h(x) + p(x) = 17f(x)

p(x

Ť Ť

0 0x x x x

5h(x) + p(x)f(x) =

17) = 2f(x) + 5g(x) 10h(x) + 2p(x)

p(x) = + 5g(x)17

5h(x) + p(x)5h(x) + p(x) f(x) =

f(x) = 1717

3p(x) - 2h(x)17p(x) = 10h(x) + 2p(x) + 85g(x) g(x) =

17

ετσι

5h(x) + lim f(x) = lim

Ť Ť

Ť

0 0

0 0

0 0

(1)x x x x

(1)x x x x

x x x x

5 lim h(x) + lim p(x)p(x) 5 3 + 19= = = 2

17 17 17

3 lim p(x) - 2 lim h(x)3p(x) - 2h(x) lim g(x) = lim = =

17 173 19 - 2 3

= = 317


μ ο ρ φ η :

Δοσμενα (δυο) ορια αλγεβρι-

κης παραστασης των συναρ-

τησεων f(x), g(x) .


Eυρεση των οριων:

0 0x x x x

lim f(x) και lim g(x)

.

σ κ ο π ο ς :

Να «απομονωσουμε» τις f(x),

g(x) προκειμενου να βρουμε

το οριο τους .


1. Θετουμε h1(x), h2(x) τις αλγε-

βρικες παραστασεις των ο-

ριων .

Οποτε ειναι γνωστα τα ορια:

0 0

1 2x x x xlim h (x) και lim h (x)

.

2. Λυνουμε τις εξισωσεις που

προκυπτουν ως προς f(x), g(x)

(σε συναρτηση με τις h1(x),

h2(x)) .

3. Βρισκουμε τα ορια

0 0x x x x

lim f(x) και lim g(x)

με τη βοηθεια των οριων

0 0

1 2x x x xlim h (x) και lim h (x)

που ειναι γνωστα .

006

3

2x 3

Nα υπολογισετε το οριο :

x - 27lim

x - 9

3 3

2 2

3 3

2 2x 3

2

x 3

(Πρεπει να γινει απαλοιφη του ορο

Για x = 3 ειναι :

x - 27 3 - 27 27 - 27 0 = = = ,

9 - 9 0x - 9 3 - 9

οποτε

x - 3 = lim =

x - 3

(x + 3

υ (x - 3))

= l(x

im3

- )

3

2x 3

x - 27lim

x - 9

2

x 3

(x -

x + 9) =

(x + 3)

x + 3x + 9 = lim =

x + 3

=

3)

9

2


μ ο ρ φ η :

Κλασματικες παραστασεις

(ρητες), για τις οποιες προκυ-

πτει απροσδιοριστια στη θεση

x 0 .


Eυρεση οριου πηλικου .

σ κ ο π ο ς :

Να απαλειψουμε τον ορο που

μηδενιζει αριθμητη και παρο-

νομαστη .


1. Παραγοντοποιουμε αριθμη-

τη και παρονομαστη (συνη-

θως με Horner, μια ριζα ειναι

παντα η x0) .

2. Απαλειφουμε τον ορο της

μορφης x - x0 .

3. Στη συνεχεια βρισκουμε το

οριο πηλικου.

007

x 0


x + 4 - 2lim

x

πολ/σμος

x 0x+4 +2

x

(Πρεπει να γινει απαλοιφη του ορου x)

Για x = 0 ειναι :

x + 4 - 2 0 + 4 - 2 2 - 2 0 = = = ,

x 0 0 0

οποτε

( x + 4 - 2)( x + 4 + 2)= lim =

x( x + 4 + 2)

= lim

x 0

x + 4 - 2 lim

x

2 2

0

x 0

x 0

( x + 4) - 2 =

x( x + 4 + 2)

x + 4 - 4 = lim =

x( x + 4 + 2)

limx

=

x=

( x + 4 + 2)

1 = =

4 + 2

=1

4


μ ο ρ φ η :

Κλασματικη παρασταση με

αρρητη συναρτηση στον αριθ-

μητη .



σ κ ο π ο ς :



νομαστη .



τη και παρονομαστη (με τη

μεθοδο συζυγους παραστα-

σης) .





008

x 1

x - 1Nα υπολογισετε το οριο : lim

3 x + x + 3 - 5

x - 1 1- 1 0 0Για x = 1 ειναι : = = = ,

3 + 2 - 5 03 x + x + 3 - 5 3 1 + 1+ 3 - 5

οποτε βρισκουμε το οριο του αντιστροφου κλασματος.

Δηλαδη

3 x + x + 3 - 5 (3 x - 3) + ( x + 3 - 2) 3 x - 3 x + 3 - 2= = +

x - 1 x - 1 x - 1 x - 1Με τη μεθοδο της συζυγους παραστασης θα βρουμε τ

x 1 x 1

x 1

α ορια

των κλασματων

3 x - 3 x + 3 - 2 και .

x - 1 x - 1

3( x - 1) 3( x - 1)( x + 1) = lim = lim =

x - 1 (x - 1)( x + 1)

3 = li

(x -m

1)

x 1

3 x - 3lim

x - 1

(x - 1) x 1

x 1

x 1 x 1

3= lim =

( x + 1) ( x + 1)

( x + 3 - 2)( x + 3 + 2) = lim =

(x - 1)( x + 3 + 2)

x + 3 - 4 = lim = lim

(x - 1)( x + 3 + 2

x 1

)

-

x 1

3

2

x + 3 - 2lim

x - 1

(x - 1)

x 1 x 1

=( x + 3 + 2)

1 = =

1+ 3 + 2)

Oποτε

3 x - 3 x + 3 - 2 3 1= lim + lim = + =

x - 1 x - 1 2 4Και τελικα :

x 1

x 1

1

4

3 x + x + 3 - 5 7lim

x - 1 4

x - 1 4lim =

73 x + x + 3 - 5

μ ο ρ φ η :


αρρητη συναρτηση στον παρο-

νομαστη .



σ κ ο π ο ς :



νομαστη .



τη και παρονομαστη (με τη

μεθοδο συζυγους παραστα-

σης) .






1. Αν ο αριθμητης ειναι πολυ

πιο απλος του παρονομαστη,

βρισκουμε το οριο του αντι-

στροφου κλασματος.

Αντιστρεφουμε το κλασμα

και το “σπαμε“ σε αλγεβρικο

αθροισμα απλουστερων κλα-

σματων

(με απροσδιοριστια 0 : 0).


οριο του πιο πανω αλγεβρι-

κου αθροισματος, που το αν-

τιστροφο του ειναι το ζητου-

μενο οριο.

Τακης Τσακαλακος 009

3 2

x 2

x + 5x + 13 - 2x + 5Nα υπολογισετε το οριο : lim

x - 2

3 2

x 2 x 2

3 32 2

3 2

lim x + 5x + 13 = 3 lim 2x + 5 = 3

Οποτε

x + 5x + 13 - 2x + 5 x + 5x + 13 - 3 - 2x + 5 + 3= =

x - 2 x

(Προσθετουμε και αφαιρουμε στον αριθμ

- 2

x + 5x + 13 - 3 2x + 5 - 3= -

x - 2 x - 2

=

ητη τον αριθμο 3)

=

3 2

x 2

x + 5x + 13 - 3lim

x - 2

3 32 2 2 23

32 2 2x 2 3

2

32 2 2x 2 3

x 2

( x + 5x + 13 - 3)( (x + 5x + 13) + 3 x + 5x + 13 + 9)lim =

(x - 2)( (x + 5x + 13) + 3 x + 5x + 13 + 9)

x + 5x + 13 - 27 = lim =

(x - 2)( (x + 5x + 13) + 3 x + 5x + 13 + 9)

(x - 2) = lim

(x + 7)

(x - 2) 32 2 23

2 33

x 2 x 2

x 2 x 2

=( (x + 5x + 13) + 3 x + 5x + 13 + 9)

2 + 7 9 9 = = = =

9 + 9 + 9 27(27) + 3 27 + 9

=

( 2x + 5 - 3)( 2x + 5 + 3) 2x + 5 - 9 = lim = lim =

(x - 2)( 2x + 5 + 3) (x - 2)( 2x + 5 + 3)

2 (x - 2)2x - 4 = lim = lim

(x - 2)( 2x + 5 + 3)

x 2

1

3

2x + 5 - 3lim

x - 2

(x - 2)

3 2

x 2 x 2

2= =

( 2x + 5 + 3) 9 + 3

2 2 = = =

3 + 3 6Και τελικα :

x + 5x + 13 - 3 2x + 5 - 3= lim - lim =

x - 2 x - 21 1

= - =3 3

3 2

x 2

1

3

x + 5x + 13 - 2x + 5lim

x - 2

0


μ ο ρ φ η :


αρρητη (δυο ριζικα) συναρτηση

στον αριθμητη .



σ κ ο π ο ς :



νομαστη .


1. Αν ο παρονομαστης ειναι

πολυ πιο απλος του αριθμη-

τη,“σπαμε“ το κλασμα σε

αλγεβρικο αθροισμα απλου-

στερων κλασματων

(με απροσδιοριστια 0 : 0).


οριο του πιο πανω αλγεβρι-

κου αθροισματος .


Αν ο αριθμητης αποτελειται

απο δυο ριζες, που το οριο τους

ειναι ο ιδιος πραγματικος αρι-

θμος, τοτε προσθετουμε και

αφαιρουμε αυτον τον πραγμα-

τικο αριθμο στον αριθμητη .

010

6

3 6x 0


x + 1 - x + 1lim

x + 1 - x + 1

6

3

2 3

6 6

x 0

3(1)

2y 1

Το Ε.Κ.Π των ταξεων των ριζων ειναι : 6

Θετουμε y = x + 1

Oποτε

y = x + 1

y = x + 1 (1)

lim x + 1 = 0 + 1 = 1 δηλαδη y 1

Eτσι

y - y= lim =

y - y

6

3 6x 0

x + 1 - x + 1lim

x + 1 - x + 1

y 1

y 1

(y + 1) = lim =

= lim (y + 1) =

y (

y - 1)

y(

=

y

1 =

- 1)

+ 1

2

μ ο ρ φ η :

Ριζικα διαφορετικης ταξης αλ-

λα με ιδιο υπορριζο.



σ κ ο π ο ς :



νομαστη .


1. Βρισκουμε το ΕΚΠ των τα-

ξεων των ριζων και θετουμε

y τη ριζα με ταξη το ΕΚΠ,

της οποιας βρισκω το οριο

για να βρω που τεινει ο y .

2. Αντικαθιστω τις ριζες με δυ-

ναμεις του y και βρισκω το

ζητουμενο οριο με μεταβλη-

τη τον y .


x 1

x 2

x 2

1. Υπολογισετε το οριο της συναρτησης f στη θεση x = 1 αν :

5f(x) - 2 lim = 2 .

2f(x) - 3

f(x) - 3x + 22. Υπολογισετε το οριο lim αν ισχυει :

x - 2f(x) - 4

lim = 7 .x - 2

x 1

1.

5f(x) - 2Θετουμε h(x) = (1) oποτε lim h(x) = 2 (2)

2f(x) - 3

Απ'την (1) προκυπτει :

5f(x) - 2h(x) = 5f(x) - 2 = h(x)(2f(x) - 3)

2f(x) - 3

5f(x) - 2 = 2h(x)f(x) - 3h(x) 5f(x) - 2h(x)f(x) = 2 - 3h(x)

2 - 3h(x)f(x) =

.

Ť Ť

Ť Ť

(2)

x 1

x 1

5 - 2h(x)

2 - 3h(x) 2 - 3 2 2 - 6 - 4Αρα, = lim = = = =

5 - 2h(x) 5 - 2 2 5 - 4 1

2.

f(x) - 4Θετουμε h(x) = (3) oποτε lim h(x) = 7 (4)

x - 2Απ'την (3) προκυπτει :

f(x) - 4h(x) = f(x) - 4 = h(x)(x - 2)

x - 2

x 1lim f(x) - 4

Ť Ť

(4)

x 2

x 2

f(x) = h(x)(x - 2) + 4

Αρα, = lim [h(x)(x - 2) + 4] = 7 0 + 4 =

f(x) - 3x + 2 0Ετσι για το lim απροσδιοριστια .

x - 2 0Ειναι

f(x) - 3x + 2 f(x) - 3x + 2 f(x) - 4 - 3(x - 2)= = =

x - 2 x - 2 x - 2

f(x) -

- +

=

4 4

x 2lim f(x) 4

3 (x - 2)4-

x - 2 x - 2

(3)

(4)

x 2

= h(x) - 3

Ετσι

= lim(h(x) - 3) = 7 - 3 =x 2

f(x) - 3x + 2lim 4

x - 2

μ ο ρ φ η :

Οριο παραστασης της συναρ-

τησης f .


Eυρεση του οριου της συναρτη-

σης f .

σ κ ο π ο ς :

Να «απομονωσουμε» την f(x)

προκειμενου να βρουμε το οριο

της .


1. Θετουμε την παρασταση της

f, της οποιας το οριο ειναι

γνωστο, σαν μια συναρτηση

εστω h(x) και λυνουμε την

παρασταση ως προς f(x) .


οριο της f(x) .

3. Aν στη πιο πανω περιπτωση

ζητειται το οριο αλλης παρα-

στασης της συναρτησης f,

τοτε βρισκουμε οπως πιο πα-

νω το οριο της και στη συνε-

χεια στο ” σπασιμο ” του

κλασματος, εμφανιζουμε τη

βοηθητικη συναρτηση .


x 4


|x - 4|lim

|x - 4|+ 1 - 1

-

-

x 4

x 4

|x - 4|Θετουμε f(x) =

|x - 4|+ 1 - 1

Eιναι

x < 4 x - 4 < 0 |x - 4|= - x + 4

x > 4 x - 4 > 0 |x - 4|= x - 4

Ετσι

-x + 4 = lim =

-x + 4 + 1 - 1

(-x = lim

x 4

|x - 4|lim

|x - 4|+ 1 - 1 -

-

-

2x 4

x 4

+ 4)( -x + 5 + 1)=

( -x + 5 - 1)( -x + 5 + 1)

(- x + 4)( - x + 5 + 1) = lim =

( - x + 5) - 1

(- x + 4)( - x + 5 + 1) = lim =

- x + 5 - 1

-

-

+ +

x 4

x 4

x 4 x 4

( - x + 5 + 1) = lim =

= lim - x + 5 + 1 = - 4 + 5 + 1 =

x - 4 (x - 4)

(- x

( x - 3 + 1) = l

+ 4)

-

im = limx - 4 + 1 - 1 ( x - 3 - 1)( x - 3

4

+ 1

x +

x 4

2

|x - 4|lim

|x - 4|+ 1 - 1 +

+ +

+ +

2x 4 x 4

x 4 x 4

=)

(x - 4)( x - 3 + 1) (x - 4)( x - 3 + 1) = lim = lim =

x - 3 - 1( x - 3) - 1

( x - 3 + 1)

(x - 4)

x = lim = lim x - 3 + 1 =

4

-

= 4 - 3 + 1 =

Δηλαδη, που σημαινει οτι υπαρχει το

οριο της f στο x = 4 και ειναι :

x 4 x 4

x 4

2

lim f(x) = lim f(x) = 2

limf(x) = 2

- +

μ ο ρ φ η :

Δοσμενος ο τυπος της συναρ-

τησης f που περιεχει απολυτα .


Ευρεση του οριου της συναρτη-

σης f στη θεση x0 .

σ κ ο π ο ς :

Να αποδειξουμε την υπαρξη

του οριου (με πλευρικα ορια) .


Εξεταζουμε αν στη θεση x0 αλ-

λαζει προσημο η παρασταση

στο απολυτο:

▪ Αν αλλαζει

1. Βρισκουμε τα πλευρικα ο-

ρια για την συναρτηση f .

2. Aν τα πλευρικα ορια ειναι

ισα, τοτε υπαρχει το οριο

στη θεση αλλαγης προση-

μου, που ειναι και το ζη-

τουμενο .

▪ Αν δεν αλλαζει,

τοτε βγαζουμε το απολυτο

με βαση τη περιοχη που βρι-

σκεται το x0 .


2

2 3 2 πx 0 x 0x

2

Να βρεθoυν τα ορια :

ημ(ημx) εφ x - 3x συνxlim lim lim

π - 2x2x - x x + 2x - x

x 0

x 0

x 0 x 0 x 0

ημ(ημx) ημx = lim =

ημx x(2x - 1)

ημ( ) ημ 1 = lim =

2x - 1

ημ( ) ημ 1 = lim lim lim =

2x - 1

ημx x

ημx x

ημx x

ημ

x x

2x 0

ημ(ημx)lim

2x - x

2

:x

2x 0

2

2

2x 0

2

x 0

1 = 1 1 =

2 - 1

εφ x- 3

x = lim =x + 2x - 1

ημ x- 3

xσυν x = lim =x + 2x - 1

ημ ημx

συν = lim

x

x

2

3 2x 0

1

εφ x - 3xlim

x + 2x - x

2

ημ0 = 0

συν0 = 1

πσυνx = ημ( -x)

2

πx

2

- 3x =

x + 2x - 10

1 - 31 = =

0 + 0 - 1- 3

= =- 1

πημ( - x)

2 = lim =π

2( - x)2

πx

2

3

συνxlim

π - 2x

πx

2

ημ1 = lim =

2

1

π( -

=

x)2

π- x

1

2

=2

1

2

μ ο ρ φ η :

Η παρασταση της οποιας ζη-

τουμε το οριο, περιεχει τριγω-

νομετρικους αριθμους.


Ευρεση του οριου παραστασης

που περιεχει τριγωνομετρι-

κους αριθμους στη θεση x0 .

σ κ ο π ο ς :

Να προσδιορισουμε το ζητου-

μενο με βοηθεια το οριο

0 0x x x x

ημf(x)lim = 1 με lim f(x) = 0

f(x)


Φερνουμε τη παρασταση, της

οποιας ζητουμε το οριο, στην

πιο πανω μορφη πολλαπλασι-

αζοντας και διαιρωντας με κα-

ταλληλους ορους η μετασχη-

ματιζοντας γνωστες τριγωνο-

μετρικες σχεσεις .


2 x x

2 x + 1 xx 1

Nα βρεθει το οριo :

2 3 - 7 3 + 3lim

3 - 7 3 - 6

x

x

x 2 x 3 = u

x 2 xx 1 u 3

0Εχουμε απροσδιοριστια .

0

Θετουμε 3 = u

Oποτε αν x 1 τοτε u 3

Ετσι

2 (3 ) - 7 3 + 3= lim =

3 (3 ) - 7 3 - 6

2 x x

2 x + 1 xx 1

2 3 - 7 3 + 3lim

3 - 7 3 - 6

2

2u 3

u 3

u 3

2u - 7u + 3 = lim =

3u - 7u - 6(2u - 1)

= lim =(

(3u + 2)

2u - 1 = lim =

3u + 22 3 - 1

=3

u - 3)

(u - 3)

3

=

+ 2

=5

11

μ ο ρ φ η :

Ρητη εκθετικη συναρτηση f .



σης f .

σ κ ο π ο ς :

Nα αντικαταστησουμε τις δυ-

ναμεις .


1. Με τη βοηθεια των δυναμε-

ων σχηματιζουμε δυναμεις

ιδιας βασης .

2. Θετουμε την κοινη δυναμη,

εστω y .

3. Βρισκουμε που τεινει το y,

οταν το x → x 0

4. Βρισκουμε το ισοδυναμο

οριο 0y y

lim f(y)

.


x

x 0 x e

Nα βρεθoυν τα ορια :

e - 1 lnx - 1 lim και lim

εφx x - e

x

x 0

x 0

x

x 0

x 0 x 0

x 0

Eιναι

e - 1 x= lim =

x εφx

x= lim =

εφx

x= lim =

ημx

συνx1

= lim συνx lim

e - 1lim

=η

x

μ

x

1

x

x

x 0

e - 1lim

εφx

x

x 0

x e

Θετου

x e x e , u

0 x

1

0

1= 1 =

ημxlim

x=

Eιναι

lnx - lne= lim =

x - ex

lne= lim =

ημx x lim = 1 αρα και lim = 1

x ημx

x- 1

e

x e

1

lnx - 1lim

x - e

xμε u =

e

u 1

lnu = lim

u - 1 =

1

μ ο ρ φ η :

Ρητη εκθετικη η λογαριθμικη

συναρτηση f .



σης f .

σ κ ο π ο ς :

Nα μετασχηματισουμε τη ρη-

τη συναρτηση σε μορφη g(x) ln(g(x))e -1

η g(x) g(x) -1

.


▪ Φερουμε τη συναρτηση f σε

μια απ’τις παραπανω μορ-

φες .

Ισχυει :

▪ h(x)

x 0

e -1lim = 1, αν h(x) 0

h(x)

(ευκολα με D.L.H.).

▪ x 1

ln(h(x))lim( ) = 1, αν h(x) 1

h(x) -1

(ευκολα με D.L.H.).


2

2

2

2

Να βρεθoυν τα α και β, ωστε να εχει πραγματικο οριο στο

x + 2αx - β αν x 2

x - 4x = 2 η συναρτηση : f(x) = x - αx

αν x > 2x - 3x + 2

-

-

-

+

2

2x 2

x 2

x 2

2

x 2x 2

2

x 2

x 2

Eιναι

lim(x - 4) = 0 lim(x + 2αx -β) = 0 4 + 4α -β = 0 (1)

lim f(x)

(Αν lim(x + 2αx -β) 0 τοτε lim f(x) = η δεν υπαρχει)

lim (x - 3x + 2) = 0

lim f(x)

Š Š Ś Ŕ

Ś +

+

2

x 2

2

x 2x 2

lim x - αx) = 0 4 - 2α = 0 (2)

(Αν lim (x - αx) 0 τοτε lim f(x) = η δεν υπαρχει)

Ετσι, η (1) λογω της (2) : 4 + 8 -β = 0

Για α = 2 και β = 12 η εξισωση γινεται

α = 2

β = 12

Š Š Ŕ

(

- - -

2

2

2

2

2

2x 2 x 2 x 2

:

x + 4x - 12 αν x 2

x - 4f(x) = x - 2x

αν x > 2x - 3x + 2

(x + 6) (x - 2)x + 4x - 12 lim f(x) = lim = lim

x - 4

(x + 2) (x - 2)

-

+ + +

x 2

2

2x 2 x 2 x 2

=

x + 6 2 + 6 8 = lim = = = 2

x + 2 2 + 2 4

x (x - 2)x - 2x lim f(x) = lim = lim

x - 3x + 2

(x - 1) (x - 2)

+x 2

x 2

=

x 2 2 = lim = = = 2

x - 1 2 - 1 1Aρα lim f(x) = 2

Ś Ŕ

μ ο ρ φ η :


τησης f πολλαπλου τυπου που

περιεχει παραμετρους .


Ευρεση των παραμετρων, αν

το οριο της συναρτησης f, στη

θεση αλλαγης τυπου, να ειναι

πραγματικος αριθμος .

σ κ ο π ο ς :

Να αποδειξουμε οτι το οριο σε

καθε κλαδο δεν ειναι ± ∞ και

υπαρχει .


Ο καθε κλαδος του τυπου της

συναρτησης f ειναι κλασμα με

οριο του παρονομαστη ισο με

μηδεν .

1. Απαιτουμε το οριο των αριθ-

μητων να ειναι ισο με μηδεν,

για να υπαρχει το οριο του

κλασματος η να μην ειναι

ισο με ± ∞ .

2. Λυνουμε το συστημα των

εξισωσεων που προκυπτουν

προσδιοριζοντας τις παρα-

μετρους .

3. Αντικαθιστουμε τις τιμες

των παραμετρων που βρη-

καμε και ελεγχουμε αν τα

πλευρικα ορια ειναι ισα, ο-

ποτε υπαρχει το οριο στη

θεση αλλαγης τυπου και

ειναι πραγματικος αριθμος .


2

3x 2

2 2

2


x + 2 αν x 2

limf(x) αν f(x) = x - 3x + 4 αν x > 2

x - 1

Να βρεθει ο α, ωστε να εχει οριο στο x = 3 η συναρτηση :

α x - αx - 10 αν x < 3 g(x) =

x +

2α x - 1 αν x > 3

- -

+ +

2

x 2 x 2

3

x 2 x 2

Eιναι

lim f(x) = lim (x + 2) = 4 + 2 = 6

x - 3x + 4 8 - 6 + 4lim f(x) = lim = = 6

x - 1 2 - 1

Αρα υπαρχει το οριο της f στο x = 2 και ειναι

x 2 x 2

x 2

lim f(x) = lim f(x) = 6

limf(

Ť

- +

- +

- +

x 3 x 3

2 2 2 2

x 3 x 3

2 2 2 2

2

Για να υπαρχει το οριο της συναρτησης g στο x = 3, πρεπει :

lim g(x) = lim g(x)

lim (α x - αx - 10) = lim (x + α x - 1)

α 3 - α 3 - 10 = 3 + α 3 - 1

9α - 3α - 10 = 9

x) = 6

Š

Ť

Ť

.

2

2

2

+ 3α - 1

6α - 3α - 18 = 0

2α - α - 6 = 0

α = 2

3α = -

2

Ť

Ť

Ť

μ ο ρ φ η :


τησης f πολλαπλου τυπου .



σης f στη θεση αλλαγης τυπου.

σ κ ο π ο ς :

Να αποδειξουμε την υπαρξη

του οριου (με πλευρικα ορια) .


1. Βρισκουμε τα πλευρικα ορια

για την συναρτηση f .

2. Aν τα πλευρικα ορια ειναι

ισα, τοτε υπαρχει το οριο στη

θεση αλλαγης τυπου, που ει-

ναι και το ζητουμενο .


Στη περιπτωση ευρεσης παρα-

μετρου, ωστε να υπαρχει οριο

της συναρτησης στη θεση αλ-

λαγης τυπου, βρισκουμε τα

πλευρικα ορια για την συναρ-

τηση f και απαιτουμε να ειναι

ισα .


2 2

x 0

x 4

Η συναρτηση f ειναι ορισμενη στο και για καθε x

ισχυει : 4x + ημ x + 1 f(x) συνx + x.

Να βρεθει το οριο : limf(x)

Aν για καθε x > 0 ειναι : 4 x f(x) x + 4, να βρεθουν :

limf(x)

Ŕ Ś Ŕ

x 4

f(x) - 8 lim

x - 4

2 2

x 0 x 0 x 0

x 0 x 0

Ειναι

= lim 4x + lim ημ x + lim1 = 0 + 0 + 1 =

= lim συνx + lim x = 1+ 0 =

Οποτε, συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης :

Ει

2 2

x 0

x 0

x 0

lim (4x + ημ x + 1) 1

lim (συνx + x) 1

limf(x) = 1

ναι

= 4 4 = 4 2 =

= 4 + 4 =


4 x f(x) x + 4 4 x - 8 f(x) - 8 x - 4

Για x < 4 ειναι :

4 x - 8 f(x) - 8 x - 4

x - 4 x - 4 x

x 4

x 4

x 4

lim 4 x 8

lim (x + 4) 8

limf(x) = 8

± ± ±x 4 x 4 x 4

4 x - 8 f(x) - 8= 1 1

- 4 x - 4 x - 4 Για x > 4 ειναι :

4 x - 8 f(x) - 8 x - 4 4 x - 8 f(x) - 8 = 1 1

x - 4 x - 4 x - 4 x - 4 x - 4

4 x - 8 4( x - 2)( x + 2) 4 lim = lim = lim =

x - 4 (x - 4

(x - 4)

)( (xx + 2) - 4)( x + 2)

Ť

Ť

4 = = 1

2 + 2

Συμφωνα με το κρ. παρεμβολης :

Aρα, τελικα :

x 4 x 4

x 4

f(x) - 8 f(x) - 8lim = lim = 1

x - 4 x - 4

f(x) - 8lim = 1

x - 4

- +

μ ο ρ φ η :

Δοσμενη διπλη ανισοτητα με

μεσαιο μελος τη συναρτηση f .


Ευρεση του οριου της συναρ-

τησης f η το οριο παραστασης

που περιεχει τη συναρτηση f

στη θεση x 0 .

σ κ ο π ο ς :

Να αποδειξουμε οτι τα ορια

των ακραιων μελων της ανισο-

τικης σχεσης ειναι ισα .


1. Με καταλληλες πραξεις «α-

πομονωνουμε» την συναρ-

τηση f στο μεσαιο μελος της

διπλης ανισοτητας η σχημα-

τιζουμε την παρασταση της

συναρτησης f το οριο της ο-

ποιας ζητουμε .

2. Βρισκουμε τα ορια των α-

κραιων μελων .

3. Αν τα πιο πανω ορια ειναι ι-

σα με α, τοτε και το ζητουμε-

νο οριο ειναι ισο με α, απ΄το

κριτηριο παρεμβολης .


Αν η παρασταση, της οποιας

το οριο ζητουμε, ειναι κλασμα

με παρονομαστη ενα ακραιο

μελος της δοσμενης ανισοτι-

κης σχεσης, τοτε:

▪ Διαιρουμε και τα τρια μελη

της ανισοτικης σχεσης με το

μελος αυτο (το ενα ακραιο

μελος γινεται ισο με 1).

▪ Δειχνουμε οτι πλευρικα ορια

ειναι ισα με 1 .


x 2

x 2 x 2

εΑν για καθε x ιναι g(x) - 2 και ισχυουν :

g(x) - 24 g(x) + 2 f(x) g(x) + 6 και lim = 1, να βρεθουν :

x - 2f(x) - 8

limf(x) limx - 2

Ś Ŕ

x 2

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

g(x) - 2 Θετουμε h(x) = oποτε lim h(x) = 1

x - 2g(x) - 2

h(x) = (x - 2) h(x) = g(x) - 2 g(x) = (x - 2) h(x) + 2 καιx - 2

limg(x) = lim[(x - 2) h(x) + 2] = lim(x - 2) lim h(x) + lim 2 =

Š Š

x 2 x 2

x 2 x 2 x 2

4 g(x) + 2

= 0 1+ 2 = 2

lim[4 g(x) + 2] = 4 limg(x) + 2 = 4 2 + 2 = 8 Eτσι,

lim[g(x) + 6] = limg(x) + lim 6 = 2 + 6 = 8


f(x) g(x

x 2 limf(x) = 8

± ±x 2 x 2

4( g(x) + 2

4 g(x) + 2

2 g(x) + 2

4( g(x) + 2

4( g(x) + 2 g(x) + 2

) + 6 - 2) f(x) - 8 g(x) + 6 - 8

- 8 f(x) - 8 g(x) - 2

- 2) g(x) - 2f(x) - 8x > 2 :

x - 2 x - 2 x - 2

- 2)g(x) - 2 f(x) - 8x < 2 :

x - 2 x - 2 x - 2

- 2 4( lim = lim

x - 2

Š Š

Š

±

±

x 2

x 2

g(x) + 2

g(x) + 2

g(x) - 2

g(

g

x) +

(x) + 2

g(x) +

2

2

- 2)=

(x - 2)

4( - 4) = lim =

(x - 2)( + 2)

4( ) = lim =

(x - 2)( + 2)

( + 2)

( + 2

)

± ±

±

x 2 x 2

x 2

g(x) - 2

g(x) + 2

g(x) - 2

2 + 2 4

4 = lim lim =

x - 2 + 2

4 4 4 = 1 = = = 1 = lim

4 x - 2+ 2 + 2

Συμφωνα με το κρ. παρεμβολης :

x 2 x 2

f(x) - 8 f(x)lim = lim

x - 2

- +

Aρα, τελικα : x 2

- 8= 1

x - 2

f(x) - 8lim = 1

x - 2

μ ο ρ φ η :


μεσαιο μελος τη συναρτηση f

και ακραια παραστασεις της

συναρτησης g, ενω ειναι γνω-

στο οριο παραστασης της συν-

αρτησης g.



σης f η το οριο παραστασης

της συναρτηση f στη θεση x 0 .

σ κ ο π ο ς :





1. Θετουμε h(x) την παραστα-

ση της συναρτησης g στο ο-

ριο (οποτε γνωστο το οριο

της h(x)) .

2. Λυνουμε την εξισωση που

προκυπτει ως προς g(x) .

3. Βρισκουμε το οριο της συν-

αρτησης g(x) .

4. Αντικαθιστουμε την g(x) στη

δοσμενη διπλη ανισοτητα

και βρισκουμε τα ορια των

ακραιων μελων της ανισοτι-

κης σχεσης .



νο οριο ειναι ισο με α, απ’το

το κριτηριο παρεμβολης .


Αν το ζητουμενο οριο ειναι πα-

ρασταση της συναρτησης f, με

καταλληλες πραξεις εμφανι-

ζουμε στο μεσαιο μελος της

ανισοτικης σχεσης την παρα-

σταση αυτη και ... κριτηριο

παρεμβολης .


x 0

f(x)Aν ισχυει |f(x) - ημx| 1 - συν2x να δειχτει οτι : lim = 1 .

x

2 2

2

2 2 2 2

Ειναι : συν2x = 1- 2ημ x 2ημ x = 1- συν2x

Ετσι η δοσμενη ανισοτητα γινεται

|f(x) - ημx| 1- συν2x |f(x) - ημx| 2ημ x

-2ημ x f(x) - ημx 2ημ x ημx - 2ημ x f(x) ημx + 2ημ x (1)

Διαιρουμε την (1) με

Š Š

Š

+ +

2 2

2 2

2

x 0 x 0

x.

ημx ημ x ημx ημ xf(x) Aν x > 0 η (1) δινει : - 2 + 2

x x x x x

ημx ημx ημx ημxf(x)- 2x + 2x

x x x x x

ημx ημx ημx lim - 2x lim - 2 lim

x x x

=

Š

+ +

+ + + +

2

x 0 x 0

2

2 2

x 0 x 0 x 0 x 0

ημxx lim =

x

= 1- 2 0 1 = 1

ημx ημx ημx ημx lim + 2x = lim + 2 lim x lim =

x x x x

2

2 2

= 1+ 2 0 1 1

Αρα, συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης :

ημx ημ x ημx ημ xf(x) Aν x < 0 η (1) δινει : + 2 - 2

x x x x x

+x 0

f(x)lim = 1

x

Š

=

- - - -

2 2

2 2

x 0 x 0 x 0 x 0

ημx ημx ημx ημxf(x) + 2x - 2x

x x x x x

ημx ημx ημx ημx lim + 2x = lim + 2 lim x lim =

x x x x

- - - -

2

2 2

x 0 x 0 x 0 x 0

2

= 1+ 2 0 1 1

ημx ημx ημx ημx lim - 2x lim - 2 lim x lim =

x x x x

= 1- 2 0 1 1

=

=

=


Eτσι τελικα

-x 0

x 0

f(x)lim = 1

x

f(x)lim = 1

x

μ ο ρ φ η :


μεσαιο μελος τη συναρτηση f.




της συναρτηση f στη θεση x 0 .

σ κ ο π ο ς :













κραιων μελων της ανισοτι-




νο οριο ειναι ισο με α, απ’το

το κριτηριο παρεμβολης .


Αν το η παρασταση, της οποι-

ας το οριο ζητουμε, ειναι της

μορφης f(x)

x και πρεπει να δι-

αιρεσω με x, εξεταζω τις περι-

πτωσεις x < x 0 και x > x 0

(πλευρικα ορια) .

Σε συνδυασμο με ημx

x χρησι-

μο το οριο x 0

ημxlim = 1

x


Ο

Ο Ο

2 2

2 2x x

x x x x

g(x) - 2f(x) - 3Αν lim [( ) + ( ) ] = 0, να βρεθουν τα ορια :

x + 3 x + 2lim f(x) lim g(x)

0 0

0

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2x x x x

x x

Ειναι

g(x) - 2f(x) - 3 f(x) - 3 0 +

x + 3 x + 3 x + 2

g(x) - 2f(x) - 3 f(x) - 3 0 lim lim +

x + 3 x + 3 x + 2

f(x) - 3 0 lim

x

Š

Š

0 0

0

2

2

2

2 2x x x x

2

2

x x

0+ 3


f(x) - 3 f(x) - 3lim = 0 lim = 0

x + 3 x + 3

f(x) - 3 Θετουμε = h(x) οποτε

x + 3

f(x) = (x + 3)h(x) + 3 και lim h(x)

Š

0 0

2

0

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2x x x x

= 0

Ετσι, = (x + 3) 0 + 3 =

Ειναι

g(x) - 2 g(x) - 2f(x) - 30 +

x + 2 x + 3 x + 2

g(x) - 2 g(x) - 2f(x) - 3 0 lim lim +

x + 2 x + 3 x + 2

0x x

lim f(x) 3

Š

0

0 0

2

2

2x x

2

2 2x x x x

2

g(x) - 2 0 lim 0

x + 2


g(x) - 2 g(x) - 2lim = 0 lim = 0

x + 2 x + 2

g(x) - 2 Θετουμε = r(x) οποτ

x + 2

Š

Š

0

2

x x

2

0

ε

g(x) = (x + 2)r(x) + 2 και lim r(x) = 0

Ετσι, = (x + 2) 0 + 2 =

0x x

lim g(x) 2

μ ο ρ φ η :

Δοσμενο οριο παραστασης της

συναρτησης f (η παραστασεων

των συναρτησεων f, g) .



τησης f (και της συναρτησης g)

στη θεση x0 .

σ κ ο π ο ς :

Nα δημιουργησουμε διπλη ανι-

σοτητα με τα ορια των ακραι-

ων μελων της να ειναι ισα με

μηδεν.


1. Προσπαθουμε να δημιουρ-

γησουμε διπλη ανισοτητα

της μορφης

▪ 0 ≤ f(x) ≤ f(x) + g(x),

αν f(x) > 0 και g(x) > 0

▪ 0 ≤ f 2(x) ≤ f 2(x) + g 2(x),

που ισχυει .

ωστε το οριο των (f(x) + g(x))

η (f 2(x) + g 2(x)) να ειναι ισο

με μηδεν .

Ετσι απ’το κριτηριο παρεμβο-

λης και το οριο των f(x) η

f 2(x) ειναι ισο με μηδεν .

2. Στη περιπτωση που η f(x) πι-

ο πανω ειναι παρασταση

που περιεχει την f(x), της ο-

ποιας το οριο ζητουμε:

▪ Θετουμε την παραπανω

παρασταση ιση με h(x) και

λυνουμε την εξiσωση που

προκυπτει ως προς f(x)

▪ Βρισκουμε τo οριo της f(x)

(με γνωστο οτι το οριο της

h(x) ειναι 0) .


Αν εχουμε και δευτερη συναρ-

τηση g (η παρασταση της) κα-

νουμε παρομοια διαδικασια .


=

3 2

2x 0 x 0αν

Αν για τη συναρτηση f : ισχυει f (x) + f(x) = x , για

καθε x , τοτε να βρειτε το

f(x) lim f(x) α , lim α

x

Ś

Ś

Ŕ Ŕ

Ŕ

Ŕ

2

2 3 2 2 2

2

2

2

2f (x)+ 1 0

Η δοσμενη σχεση , για καθε x , ισοδυναμα δινει :

x f (x) + f(x) = x f(x)[f (x) + 1] = x f(x) = (1)

f (x) + 1

με f (x) + 1 1

Απ'την (1) ειναι,

x |f(x)|= =

f (x) + 1

Ś Ŕ

Ť Ť

2 2 2 f (x)+ 1 1x 0 2 2

2

2 2

κριτηριο 2

x 0 παρεμβολης

2

x 0

(1)

2x 0

x x |f(x)| x

f (x) + 1

- x f(x)| x

lim (- x ) = 0

lim x = 0

Eιναι

f(x) = lim = li

x

x 0lim f( x) = 0

α

Ť Š

Š

2

2 2x 0 x 0

x 0

2

2

1 1f (x) + 1m = lim = =

f (x) + 1 [lim f(x)] + 1

1 = =

0 +

x

x

1

1

μ ο ρ φ η :

Δοσμενο παρασταση που πε-

ριεχει τη συναρτησης f .


Το οριο της συναρτησης f στη

θεση x 0 .

σ κ ο π ο ς :

Nα δημιουργησουμε διπλη ανι-

σοτητα με τα ορια των ακραι-

ων μελων της να ειναι ισα .


1. Λυνουμε τη δοσμενη σχεση

ως προς f(x) .

2. Παιρνουμε την απολυτη τι-

μη των μελων της παραπα-

νω σχεσης (1.) .

3. Με ιδοτητες απολυτων τι-

μων και λογικες πραξεις κα-

ταληγουμε στην ανισωση

|f(x)| ≤ g(x), με g(x) > 0

4. Ειναι - g(x) ≤ f(x) ≤ g(x)

▪ Δειχνουμε οτι ειναι ισα τα

ορια των - g(x), g(x) .

▪ Απο κριτηριο παρεμβολης

προκυπτει το ζητουμενο .



x 1

x 3

Αν για καθε x ισχυει f(x - 2) = f(x) και lim [f(x) - 3x - 2] = 5

να βρεθει το οριο : limf(x) .

Ś Ŕ

x 1

x 1

x 1 x 1 x 1 x 1

Ειναι

lim [f(x) - 3x - 2] = 5 και f(x - 2) = f(x) (1)

Θετουμε

h(x) = f(x) - 3x - 2 και lim h(x) = 5 (2)

Ετσι

f(x) = h(x) + 3x + 2 και

lim f(x) = lim [h(x) + 3x + 2] = lim h(x) + 3lim x + li

(2)

x 1

y 1

Για y = x - 2(1) (3)

x 3 x 3 y 1 y 1

m 2 =

= 5 + 3 + 2 = 10

Aρα και για x = y : lim f(y) = 10 (3)

Δηλαδη

= lim f(x - 2) = lim f(y) =

x 3 limf(x) 10 Š

μ ο ρ φ η :


συναρτησης f στη θεση x 1 .



θεση x 2 .

σ κ ο π ο ς :

Με αλλαγη μεταβλητης, να

χρησιμοποιησουμε το δοσμενο

οριο (στη θεση x 1 ) στην ευρε-

ση του οριου της f (στη θεση

x 2 ) .


1. Θετουμε h(x) τη παρασταση

που περιεχει την f(x) .

2. Λυνουμε ως προς f(x) .


αρτησης f(x) στη θεση x 1 .

4. Θετουμε y = x – (x 2 – x 1), αν

x 1 < x 2 (οποτε αν x → x 2

τοτε το y → x 1)

5. Βρισκουμε το ζητουμενο ο-

ριο, κανοντας τη πιο πανω

αντικατασταση .


x 2

2

2x - 2 x 2 x 2

Εστω η αρτια συναρτηση f : με lim f(x) = 1.

Να υπολογιστουν τα ορια,

f (x) - f(-x) lim f(x) lim f(x - 4) lim

f (x) + 3 - 2f(x - 4)

Ŕ Ŕ

x 2

x - 2 x - 2

x - 2 x - 2

Ειναι

lim f(x) = 1 (1) και

f(x) = f(- x) lim f(x) = lim f(- x), για καθε x , αφου η f

ειναι αρτια στο .

Θετουμε u = - x και lim u = lim(- x) = 2, αρα u

Š Ś Ŕ

Ŕ

(1)

x 2

x 2 x 2

(προηγουμενη αποδειξη)

x - 2

2

Ετσι, = lim f(u) =

Θετουμε u = x - 4 και lim u = lim(x - 4) = - 2, αρα u - 2

Ετσι, = lim f(u) =

Το οριο ισοδυναμα

x - 2

x 2

lim f(x) 1

limf(x - 4) 1

2

2x 2

x 2 x 2 x 2

f (x) - f(x) γινεται lim

f (x) + 3 - 2f(x - 4)

ομως για x κοντα στο 2 ειναι : x - u = - x f(x - u) = f(- x)

αν u = f(x), lim u = lim(x) = 1 = lim(x - 4), αρα u 1

τοτε

Š

oποτε

2 2 2

2 2u 1 u 1

2 2

2 2 2u 1

u

2

το οριο,

u - u (u - u) lim = lim =

u + 3 - 2u ( u + 3 - 2u)

(u - u)( u + 3 + 2u) = lim =

( u + 3) - (2u)

( u +

3 + 2

u)

( u + 3 + 2

= lim

u)

2 2

21

2

u 1

2

u 1

(u - u)( u + 3 + 2u) =

- 3u + 3

u ( u + 3 + 2u) = lim =

- 3 (u + 1)

u( u + 3 + 2u)

(u - 1)

(u - 1)

= lim = - 3(u + 1)

2-

3

μ ο ρ φ η :


συναρτησης f στη θεση x 1 και

η f αρτια / περιττη .



θεση x 2 .

σ κ ο π ο ς :

Με αλλαγη μεταβλητης, να

χρησιμοποιησουμε το δοσμενο

οριο (στη θεση x 1 ) στην ευρε-

ση του οριου της f (στη θεση

x 2 ) .


1. Θετουμε u = - x γνωριζοντας

οτι

▪ f(- x) = f(x) / f(- x) = - f(x)

(αρτια / περιττη)

▪ 0 0x x x x

lim f(x) = lim f(- x)

/

0 0x x x x

lim f(x) = - lim f(- x)

(αρτια / περιττη)

που περιεχει την f(x) .


αρτησης f(x) στη θεση x 1 με

τη βοηθεια της νεας μετα-

βλητης.


2

2x 0

ημ(ημ x)Να βρεθει το οριο : lim .

x

2

2

22 2 2

2 2 2

2 θετω u = ημ x

2x 0 για x 0 τοτε u 0 x 0 (ημ 0 = 0)

x 0

2

2

Ειναι

ημ(ημ x) ημ(ημ x) ημ(ημ x) ημx = =

x x ημ x x

Ετσι

ημ(ημ x) ημ(u) lim = lim = 1 (1)

uημ x

ημx lim

ημ x

ημ x

2 2

2

x 0

22 (1)

2x 0 x 0 (2)

ημx = = 1 = 1 (2)lim

x x

Αρα

ημ(ημ x) ημx= lim lim = 1 1 =

ημ x x

2

2x 0

ημ(ημ x) lim 1

x

μ ο ρ φ η :

Δοσμενος ο τυπος της συνθε-

της συναρτησης f ο g .


Το οριο της συνθετης συναρ-

τησης f ο g .

σ κ ο π ο ς :

Να αντικαταστησουμε τη συ-

ναρτηση g με βοηθητικη με-

ταβλητη, και να βρουμε το ο-

ριο της συναρτησης f ως προς

τη μεταβλητης αυτη .


1. Θετουμε u = g(x) .

2. Bρισκουμε το οριο της συν-

αρτησης g(x) στη θεση x 0 ,

εστω u 0 .


αρτησης f(u) στη θεση u 0 .

4. Aν g(x) ≠ u 0 κοντα στο x 0 ,

τοτε :

x x u ulim f(g(x)) = lim f(u) 0 0


,

0

0 4

Να βρεθει (αν υπαρχει) το οριο της f στη θεση x oταν :

2x - 3f(x) = x = 1 .

4 (x - 1)

4

4

4

x 1

(x - 1) > 0

4x 1

Για καθε x κοντα στο 1 ((x - 1) > 0 εκατερωθεν του 1) ειναι :

2x - 3 1f(x) =

4 (x - 1)

και

2x - 3 2 1 - 3 1 lim = = - (1)

4 4 4

1 lim = + (2)

(x - 1)

Ετσι

lim(1)

4x 1 x 1 (2)

2x - 3 1 1= lim lim = - (+ ) =

4 4(x - 1)

4x 1

2x - 3 - 4 (x - 1)

μ ο ρ φ η :

Δοσμενο οριο της μορφης

0 0x x x x

f(x)lim με lim g(x) = 0

g(x) και

το (x - x 0) δεν αλλαζει προση-

μο εκατερωθεν x 0 .


Ευρεση οριου κλασματικης

συναρτησης .

σ κ ο π ο ς :

Να αντικαταστησουμε τη συν-

αρτηση g με γινομενο ωστε να

εμφανιστει ο ορος που τη μη-

δενιζει .


1. Παραγοντοποιηση της g, ω-

στε g(x) = (x - x 0) ∙ h(x) και το

ζητουμενο οριο 0x x

f(x)lim

g(x) ισο

με 0 0x x x x

0

1 f(x)lim lim

x - x h(x) .

2. Bρισκουμε το 0x x

f(x)lim

h(x)

3. Βρισκουμε το 0x x

0

1lim

x - x.

Αν

▪ x - x 0 > 0 : 0x x

0

1lim = +

x - x

▪ x - x 0 < 0 : 0x x

0

1lim = -

x - x

θ υ μ α μ α ι :

Χρησιμοι οι πινακες αθροισμα-

τος-γινομενου οταν

▪ x xlim f(x) = α 0

Ś Ŕ

▪ x xlim g(x) =

0


024

028

,

0

2

0


x + 3x - 2f(x) = x = 0 .

x |x|

+

2

2 2

x 0

x

Για καθε x κοντα στο 0 (x |x| δεν διατηρει προσημο εκατερω -

θεν του 0) ειναι :

1f(x) = (x + 3x - 2)

x |x| Αν x > 0

lim (x + 3x - 2) = 0 + 3 0 - 2 = - 2

lim

+ +

+ +

-

x > 0

20 x 0

2

x 0 x 0

2

x 0

1 1 = lim = + x |x| x

Ετσι

1 = lim (x + 3x - 2) lim = - 2 (+ ) =

x |x| Αν x < 0

lim (x + 3x

+

2

x 0

x + 3x - 2lim -

x |x|

- -

- - -

2

x < 0

2x 0 x 0

2

x 0 x 0

- 2) = 0 + 3 0 - 2 = - 2

1 1 lim = lim = - -

x |x| x

Ετσι

1 = lim (x + 3x - 2) lim =

x |x|

2

x 0

x + 3x - 2lim

x |x|

- +x 0 x 0

0

- 2 (- ) =

Δηλαδη, lim f(x) lim f(x)

που σημαινει οτι δεν υπαρχει το οριο της συναρτησης f στη

θεση x = 0 .

+

μ ο ρ φ η :


0 0x x x x


g(x) και

το (x - x 0) αλλαζει προσημο ε-

κατερωθεν x 0 .




σ κ ο π ο ς :




δενιζει .





f(x)lim

g(x) ισο

με 0 0x x x x

0

1 f(x)lim lim

x - x h(x) .


f(x)lim

h(x)


0

1lim

x - x.

Διακρινουμε περιπτωσεις:

▪ x - x 0 > 0 : 0x x

0

1lim = +

x - x

▪ x - x 0 < 0 : 0x x

0

1lim = -

x - x





Ś Ŕ

▪ x xlim g(x) =

0


,

0

0 3 2


2x - αf(x) = x = 1 για τις διαφορες τιμες του α .

x - 2x + x ŔŚ

2

3 2 2

(x - 1) > 0

2x 1 x 1 x 1

Ειναι

2x - α 2x - α f(x) = = =

x - 2x + x x (x - 2x + 1)

2x - α 1 lim f(x) = lim lim = (2 - α) (+ )

x (x - 1)

Διακρινουμε περιπτωσεις :

Αν 2 - α > 0

Š

2x 1 x 1

= (2 - α) (+ ) =

Αν 2 - α < 0

= (2 - α) (+ ) =

Αν 2 - α = 0

2x - 2lim f(x) = lim

x (x - 1)

x 1

x 1

lim f(x) +

lim f(x) -

α < 2

α > 2

α < 2

Š α > 2

Š α = 2

0 2

0 0

2x 1 x 1

x 1 x 1 x 1

2 (x - 1) 2= lim = lim =

x (x - 1)x (x - 1)

2 1 1 = lim lim = 2 lim

x x - 1 x - 1 (το x - 1 δεν διατηρει προσημο εκατερωθεν του 1)

- -

+ +

- +

x 1 x 1

x 1 x 1

x 1 x 1

1Για x - 1 < 0 : lim f(x) = 2 lim = 2 (- ) = -

x - 11

Για x - 1 > 0 : lim f(x) = 2 lim = 2 (+ ) = + x - 1

Δηλαδη, lim f(x) lim f(x)

π

0

ου σημαινει οτι δεν υπαρχει το οριο της συναρτησης f στη

θεση x = 1 .

μ ο ρ φ η :


0 0x x x x


g(x) και

παραμετρο στο τυπο της f .




σ κ ο π ο ς :




δενιζει .





f(x)lim

g(x) ισο

με 0 0x x x x

0

1 f(x)lim lim

x - x h(x) .


f(x)lim

h(x), για

τις διαφορες τιμες της παρα-

μετρου .


0

1lim

x - x.

Αν

▪ x - x 0 > 0 : 0x x

0

1lim = +

x - x

▪ x - x 0 < 0 : 0x x

0

1lim = -

x - x





Ś Ŕ

▪ x xlim g(x) =

0


x 1

x 1

2

x 1

Να βρεθουν τα lim f(x), oταν :

x - 4lim = +

f(x)

lim [f(x) (3x - 2) = +

x 1 x 1

x 1

x - 4 Θεωρουμε τη συναρτηση h(x) = κοντα στο 1 .

f(x)

τοτε

x - 4 1 h(x) f(x) = x - 4 f(x) = = (x - 4)

h(x) h(x)

1 lim h(x) = + lim = 0

h(x)

lim(

Š

Š

x 1 x 1

2

2 2

x - 4) = - 3

Ετσι

1 = lim(x - 4) lim = - 3 0 =

h(x)

Θεωρουμε τη συναρτηση g(x) = f(x)(3x - 2) κοντα στο 1 .

τοτε

g(x) 1 f(x) = = g(x)

3x - 2 3x

x 1lim f(x) 0

x 1

2 2x 1

2x 1 x 1

- 2 lim g(x) = +

1 1 lim = = 1 0

3x - 2 3 1 - 2 Ετσι

1 = lim g(x) lim = (+ ) 1 =

3x - 2

x 1lim f(x) +

μ ο ρ φ η :

Δοσμενο οριο παραστασης που

περιεχει τη συναρτηση f, ισο

με απειρο .


Ευρεση οριου συναρτησης f .

σ κ ο π ο ς :

Να προκυψει h(x)

f(x) = g(x)

, oπου

μια απ’τις g, h ειναι η βοηθητι-

κη συναρτηση, της οποιας ει-

ναι γνωστο το οριο .


1. Θετουμε h(x) τη δοσμενη πα-

ρασταση .

2. Λυνουμε ως προ f(x) .

3. Συνεχιζουμε, οπως στα προ-

ηγουμενα .





Ś Ŕ

▪ x xlim g(x) =

0


0

Nα βρεθουν τα ορια της

συναρτησης f στις θεσεις

x = - , +

οταν η γραφικη της πα -

ρασταση φαινεται στο

διπλανο σχημα .

0

x -

0

x +

Για x = -

lim f(x) = +

Για x = +

lim f(x) = 1

μ ο ρ φ η :

Δοσμενη η γραφικη παραστα-

ση της συναρτησης f .


Ευρεση των οριων της συναρ-

τησης f, στο + ∞ η - ∞ .

σ κ ο π ο ς :

Να βρουμε που τεινει η τεταγ-

μενη σημειου της C f οταν η

τετμημενη του τεινει στο + ∞ η

- ∞ .


▪ Για x → + ∞,

βλεπουμε που «φτανει» η

C f δεξια στο σχημα (στον α-

ξον y’y) .

▪ Για x → - ∞,

βλεπουμε που «φτανει» η

C f αριστερα στο σχημα

(στον αξον y’y) .


y

3

2

1

0 x

5 2

x +

2 ν 2 ν + 1

x -

5 2

x +

Να βρεθουν τα ορια :

lim (2x + 3x + x + 1)

lim [(x - 1) + (x + 1) ]

lim ((α - 1)x + (α + 1)x + x + 1))

5

x +

x -

2 v + 1

2

x +

Ειναι

= lim (2x ) =

lim (x ) =

Για α = 1 :

= lim (2x ) =

Για

5 2

x +

2 ν 2 ν + 1

x -

5 2

x +

lim (2x + 3x + x + 1) +

lim [(x - 1) + (x + 1) ] -

lim ((α - 1)x + (α + 1)x + x + 1)) +

=

5

x +

:

α 1 :

= (α - 1) lim x ) =

Tελικα για καθε α

=

5 2

x +

5 2

x +

lim ((α - 1)x + (α + 1)x + x + 1)) +

lim ((α - 1)x + (α + 1)x + x + 1)) +

Ś Ŕ

(

μ ο ρ φ η :

Το οριο περιεχει πολυωνυμικη

συναρτηση .


Το οριο πολυωνυμικης συναρ-

τησης .

σ κ ο π ο ς :

Να βρουμε το οριο του με-

γιστοβαθμιου ορου της

πολυωνυμικης συναρτη -

σης .


1. Το οριο της πολυωνυμικης

συναρτησης ειναι ισο με το

οριο του μεγιστοβαθμιου

ορου της.

2. Αν στο συντελεστη του μεγι-

στοβαθμιου ορου της πολυ-

ωνυμικης συναρτησης υπαρ-

χει παραμετρος, τοτε βρι-

σκουμε το οριο:

▪ για εκεινη τη τιμη της πα-

ραμετρου που μηδενιζει το

συντελεστη.

▪ για εκεινες τις τιμες της

παραμετρου που δεν μηδε-

νιζουν το συντελεστη.


5 2

2x -

5 2

5x +

3

4 2x -

Να βρεθουν τα ορια :

2x + 3x + x + 1lim

3x + x + 1

2x + 3x + x + 1lim

x + x + 1

x - x + 1lim

2x + x + 1

5

2x -

x -

x

3

-

3

Ειναι

2x = lim ( ) =

3x2

= lim ( x ) =3

2 = lim (x ) =

3

5 2

2x -

2x + 3x + x + 1lim

3x + x + 1

5

5x +

3

4x -

x -

2 = (- ) =

3

2x = lim ( ) =

x

x lim ( ) =

2x1 1

= lim ( ) =2 x

5 2

5x +

3

4 2x -

2x + 3x + x + 1lim 2

x + x + 1

x - x + 1lim

2x + x + 1

-

=

1 = 0 =

2 0

μ ο ρ φ η :

Το οριο περιεχει ρητη συναρ-

τηση .


Το οριο ρητης συναρτησης .

σ κ ο π ο ς :

Να βρουμε το οριο του πηλι-

κου των μεγιστοβαθμιων ορων

της ρητης συναρτησης .


1. Το οριο της ρητης συναρτη-

σης ειναι ισο με το οριο του

πηλικου των μεγιστο βαθμι-

ων ορων της.

2. Επιπλεον αν:

▪ ο βαθμος του μεγιστοβαθ-

μιου ορου του αριθμητη ει-

ναι μεγαλυτερος απ’το βα-

θμο του μεγιστοβαθμιου

ορου του παρονομαστη, το

οριο ισουται με + ∞ η - ∞ .



ναι μικροτερος απ’το βαθ-

μο του μεγιστοβαθμιου ο-

ρου του παρονομαστη, το

οριο ισουται με 0 .



ναι ισος με το βαθμο του

μεγιστοβαθμιου ορου του

παρονομαστη, το οριο ι-

σουται με το πηλικο των

συντελεστων τους.


3 2

2x -

Να βρεθουν οι τιμες των α και β, ωστε :

(α +β - 5)x + (α - 1)x + 2lim = 2

(β - 1)x + αx + 1

3 2 3

2 2x x

3 2

2x

Ειναι για β 1

(α + β - 5)x + (α - 1)x + 2 (α + β - 5)x α + β - 5lim = lim = (- )

β - 1(β - 1)x + αx + 1 (β - 1)x

α + β - 5 Αν 0, τοτε

β - 1

(α + β - 5)x + (α - 1)x + 2 lim = ± , ατοπο

(β - 1)x + αx + 1

(αφου ειναι ισ

2

2x x 2

2

ο με 2).

Αρα

α + β - 5 = 0 α + β - 5 = 0 (1)

β - 1

Το οριο ομως γινεται (λογω της (1)) :

(α - 1)x + 2 (α - 1) α - 1lim = 2 lim = 2 = 2

β - 1(β - 1)x + αx + 1 (β - 1)

α - 1 = 2β - 2 (2)

Ετσι,

x

x

α +β = 5

α - 2β = - 1

Ť Ť Ť

Ť

(+)

λυνοντας το συστημα των (1) και (2)

α + β = 5 2α + 2β = 10 3α = 9 α = 3

α - 2β = -1 α - 2β = -1 α - 2β = -1 3 - 2β = -1

α = 3

β = 2 Ť Ť Ť Ť

μ ο ρ φ η :

Το οριο περιεχει ρητη συναρ-

τηση .


Το οριο ρητης συναρτησης .

σ κ ο π ο ς :

Να βρουμε το οριο του πηλι-

κου των μεγιστοβαθμιων ορων

της ρητης συναρτησης .


1. Το οριο της ρητης συναρτη-

σης ειναι ισο με το οριο του

πηλικου των μεγιστο βαθμι-

ων ορων της.

2. Επιπλεον αν:



ναι μεγαλυτερος απ’το βα-

θμο του μεγιστοβαθμιου

ορου του παρονομαστη, το

οριο ισουται με + ∞ η - ∞ .



ναι μικροτερος απ’το βαθ-

μο του μεγιστοβαθμιου ο-

ρου του παρονομαστη, το

οριο ισουται με 0 .



ναι ισος με το βαθμο του

μεγιστοβαθμιου ορου του

παρονομαστη, το οριο ι-

σουται με το πηλικο των

συντελεστων τους.

3. Προκειμενου να προσδιορι-

σουμε τις (την) παραμετρους

απαιτουμε το οριο του πηλι-

κου των μεγιστοβαθμιων ο-

ρων της παραστασης να μην

ειναι ± ∞ .


2 2

x -

Να βρεθει το οριο :

lim ( 9x - x + 1 - 4x + 2x + 1)

2 2

2 2x -

x < 0

2 2x -

x -

Επειδη x - τοτε

Ετσι, διαδοχικα

=

1 1 2 1 = lim x (9 - + ) - x (4 + + ) =

x xx x

1 1 2 1 = lim |x| 9 - + -|x| 4 + +

x xx x

1 lim - x 9 -

2 2

x -

x < 0 .

lim ( 9x - x + 1 - 4x + 2x + 1)

2 2

2 2x -

2 2x - x -

1 2 1+ + x 4 + + =

x xx x

1 1 2 1 = lim - 9 - + + 4 + + =

x xx x

1 1 2 1 = lim x lim - 9 - + + 4 + + =

x xx x

= - (- 9 - 0 + 0 + 4 + 0 + 0) =

= - (- 9 + 4) =

= - (-1) =

=

+

μ ο ρ φ η :

Συναρτηση που περιεχει ριζι-

κα .


Το οριο συναρτησης που περιε-

χει ριζικα (οχι κλασματικη) .

σ κ ο π ο ς :

«Απομονωνουμε» τον μεγιστο-

βαθμιο ορο της συναρτησης .


1. Βγαζουμε κοινο παραγοντα

το μεγιστοβαθμιο x των ριζι-

κων (προσοχη στο προσημο).

2. Συνεχιζουμε εχοντας υπο-

ψιν μας οτι νx

1lim f(x) = 0

x .

3. Αν με τη πιο πανω διαδικα-

σια καταληξουμε παλι σε α-

προσδιοριστια, τοτε βρισκου-

με το αρχικο οριο με

▪ τη μεθοδο της συζυγους

παραστασης

▪ διαχωρισμο σε αθροισμα

δυο ορων και ... μεθοδο συ-

ζυγους παραστασης.


Οσον αφορα το προσημο του

μεγιστοβαθμιου x, αν

▪ x → + ∞ τοτε x > 0 και |x| = x

▪ x → - ∞ τοτε x < 0 και |x| = - x


2 2

x +

Να βρεθει το οριο :

lim ( 16x + 8x + 4x - 1 - 6x)

2 2

x +

2 2

x + x +

2

x +

4x

Επειδη x + τοτε

Ετσι, διαδοχικα

= lim ( 16x + 8x - ) + ( 4x - 1 - ) =

= lim ( 16x + 8x - 4x) + lim ( 4x - 1 - 2x) =

( 16x + 8x - 4x)( 1 = l

2x

im

2 2

x +

x > 0 .

lim ( 16x + 8x + 4x x- 1 - =6 )

2

2

2 2

2x +

2 2 2 2

2x + x + 2

2x + x +

6x + 8x + 4x)+

16x + 8x + 4x

( 4x - 1 - 2x)( 4x - 1 + 2x) + lim =

4x - 1 + 2x

16x + 8x - 16x 4x - 1- 4x = lim + lim =

8 ( 4x - 1 + 2x)x (16 + ) + 4x)

x

8x - 1 = lim + lim

8 ( 4x - 1 + 2|x| 16 + + 4x

x

x > 0

2x + x +

2x + x +

x)

8 - 1 = lim + lim =

8 ( 4x - 1 + 2x)( 16 + + 4)

x

8 - 1 = lim + lim =

8 ( 4x - 1 + 2x)16 + + 4

x

8 = + 0 =

16 + 0 + 4

8

x

= =8

x

1

μ ο ρ φ η :


κα .



χει ριζικα (οχι κλασματικη) .

σ κ ο π ο ς :






κων (προσοχη στο προσημο).



1lim f(x) = 0

x .









ζυγους παραστασης.




▪ x → + ∞ τοτε x > 0 και |x| = x

▪ x → - ∞ τοτε x < 0 και |x| = - x

Στην περιπτωση που το οριο

περιεχει αθροισμα (δυο ριζι-

κων και εναν που δεν ειναι ρι-

ζικο), μετασχηματιζουμε τον

ορο, που δεν ειναι ριζικο, σε

δυο προσθετεους (αναλογους

με τις ριζες των συντελεστων

των μεγιστοβαθμιων ορων

των ριζικων) .


2

2

x + x

4x + 2x + 3 + 3x + 2Δινεται η συναρτηση : f(x) =

x + x + 1 + 4x + 3

Να βρεθουν τα ορια : lim f(x) lim f(x)

2

2x +

2

2

x + 2

2

2

x +

Επειδη x + τοτε και

4x + 2x + 3 + 3x + 2 = lim =

x + x + 1 + 4x + 3

2 3x (4 + + ) + 3x + 2

x x = lim =1 1

x (1+ + ) + 4x + 3x x

2 3|x| 4 + +

x x = lim

x +

x > 0

lim f(x)

x > 0

2

2

x +

2

2

x +

2

+ 3x + 2 =

1 1|x| 1+ + + 4x + 3

x x

2 3 2x 4 + + + 3 +

x xx = lim =

1 1 3x 1+ + + 4 +

x xx

2 3 24 + + + 3 +

x xx = lim =1 1 3

1+ + + 4 +x xx

4 + 0 + 0 + 3 + 0 =

1+ 0 + 0 +

2x < 0

x -

2

4 + 3= =

4 + 0 1 + 4

Επειδη x - τοτε και ... ομοια

2 3 2- x 4 + + - 3 -

x xx 4 - 3 - 1= ... = lim = ... = = =

- 31 - 41 1 3- x 1+ + - 4 -

x xx

x -

1

x < 0

1lim

3

μ ο ρ φ η :


κα .



χει ριζικα (κλασματικη) .

σ κ ο π ο ς :

Να απαλειψουμε τον μεγιστο-





κων (προσοχη στο προσημο)

σε αριθμητη και παρονομα-

στη.

2. Απαλειφουμε τον κοινο πα-

ραγοντα που βγαλαμε σε α-

ριθμητη και παρονομαστη .



1lim f(x) = 0

x .




▪ x → + ∞ τοτε x > 0 και |x| = x

▪ x → - ∞ τοτε x < 0 και |x| = - x


2 2

x +

Δινεται η συναρτηση f(x) = x + 2x + 3 + 4x + 4x + 5 + αx +β.

Να βρεθουν οι τιμες των α και β, ετσι ωστε lim f(x) = 6.

2

2 2x +

x + x +

Θεωρουμε (x + ), οποτε (διαιρωντας με x ) :

β2 3 4 5= lim x 1+ + + 4 + + + α + =

x x xx x

Αν 3 + α 0 τοτε lim f(x) = ± , ατοπο (αφου lim f(x) = 6)

Αρα 3 + α = 0

x +

x > 0

lim f(x) + (3 + α).

2 2

συζυγη 2 2

x > 0

2 2 κοινο παραγοντα xαπλοποιηση x

Για α = - 3 ειναι

= x + 2x + 3 + 4x + 4x + 5 - + β =

= ( x + 2x + 3 - ) + ( 4x + 4x + 5 - ) + β =

2x + 3 4x + 5 = + + β =

x + 2x + 3 + x 4x + 4x + 5 + 2x

=

3x

x 2x

2

α = - 3

f(x)

32 +

x +2 3

1 + + + 1x x

x

Aρα

2 4lim f(x) = 6 + + β = 6

1+ 1 2 + 2

2

54 +

x +β4 5

4 + + + 2x x

β = 4 Ť Ť

μ ο ρ φ η :


κα και παραμετρους (οχι κλα-

σματικη) .


Ευρεση παραμερου (ων) .

σ κ ο π ο ς :






κων (προσοχη στο προσημο). 2. Συνεχιζουμε εχοντας υπο-


1lim f(x) = 0

x .









ζυγους παραστασης

4. Προκειμενου να προσδιορι-

σουμε τις (την) παραμετρους

(ο) απαιτουμε το οριο του

πηλικου των μεγιστοβαθμι-

ων ορων της παραστασης να

μην ειναι ± ∞.




▪ x → + ∞ τοτε x > 0 και |x| = x

▪ x → - ∞ τοτε x < 0 και |x| = - x


x + x +

2

2 3x +

2x +

f(x)Αν lim = 3 και lim (3f(x) - x) = 2 να δειχτει οτι :

x

xf(x) + 5x - 2x + 11lim = 4

3x f(x) - x + 3x + 1

2f(x) - 2x - 1lim = 2

3xf(x) - x + 3x

2(δια x ) 2

x +

2

Eιναι

f(x) 2 11+ 5 - +

x x x = lim =3 1

(3f(x) - x) + +x x

3 + 5 - 0 + 0 = =

2 + 0 + 0

2

2 3x +

xf(x) + 5x - 2x + 11lim

3x f(x) - x + 3x + 1

(δια x)

x +

=

f(x) 12 × - 2 -

x x = lim =3

(3f(x) - x) +x

6 - 2 - 0 = =

2 + 0

2x +

4

2f(x) - 2x - 1lim

3xf(x) - x + 3x

= 2

μ ο ρ φ η :


τησης f .


Eυρεση του οριου αλλης παρα-

στασης της συναρτησης f .

σ κ ο π ο ς :

Να «εμφανισουμε» την δοσμε-

νη παρασταση της f προκειμε-

νου να βρουμε το ζητουμενο

οριο .


1. Μετασχηματιζουμε καταλ-

ληλα το προς αποδειξη οριο,

συνηθως διαιρωντας, πολ-

λαπλασιαζοντας καταλλη-

λα, ωστε να προκυψουν τα

γνωστα ορια.


ζητουμενο οριο της f(x) .


2

2

x + 2

Δινεται η συναρτηση f : , για την οποια ισχυει :

3f(x) + f(- x) = x + x, x .

3f(x) + x + x

4Να βρειτε το οριο : lim .7

2f(x) - 1 + x2

Ŕ Ŕ

Ŕ Ś

2

2 2

2 2

Στη δοσμενη σχεση θετουμε x = - x, οποτε προκυπτει :

3f(- x) + f(x) = x - x.

Λυνουμε το συστημα

f(- x) + 3f(x) = x + x (- 3 ) - 3f(- x) - 9f(x) = - 3x - 3x

3f(- x) + f(x) = x - x 3f(- x) + f(x) = x - x

- 8f(x) = - 2

Š Š

2 2

2 2

x + 2 2

2

2x +

1 1x - 4x f(x) = x - x

4 2Ετσι

1 1 3x - x + x + x

4 2 4= lim =1 7

x - x - 1+ x2 2

1x + x

2 = lim =4x - x - 1

=

2

x + 2

3f(x) + x + x

4lim7

2f(x) - 1 + x2

Š

2

x + 2

2

x +

2

1x 1+

2xlim =

1 1x 4 - -

x x

11+

2x = lim =1 1

4 - -x x

1+ 0 = =

4 - 0 - 0

=

1

4

μ ο ρ φ η :

Ισοτητα που περιεχει f(x), f(-x) .


Eυρεση του οριου παραστασης

της συναρτησης f .

σ κ ο π ο ς :

Να «εμφανισουμε» την συναρ-

τηση f προκειμενου να βρουμε

το ζητουμενο οριο .


1. Μετασχηματιζουμε την δο-

σμενη σχεση, εστω (1), θε-

τοντας οπου x το - x, οποτε

προκυπτει νεα ισοτητα,

εστω (2) .

2. Απαλειφουμε την f(-x) στις

ισοτητες (1) και (2), οποτε

προκυπτει ο τυπος της συν-

αρτησης f .


ζητουμενο οριο, αντικαθι-

στωντας την f(x) σε αυτο .


x + x +

x + x +

Αν f,g ορισμενες στο (α,+ ), α > 0 και

lim ((x - 2)f(x) - (2x + 1)g(x)) = 5, lim ((x + 1)f(x) - (2x + 3)g(x)) = 4

να βρεθουν, με τη προυποθεση οτι υπαρχουν :

lim f(x) lim

g(x)

2

Θετουμε : τοτε

(x - 2) - (2x + 1) = = (x + 1)(2x + 1) - (x - 2)(2x + 3) =

(x + 1) - (2x + 3)

D

= 2x

(x - 2)f(x) - (2x + 1)g(x) = h(x)

(x + 1)f(x) - (2x + 3)g(x) = p(x)

+ x + 2x 2+ 1- 2x - 3x

f(x)

g(x)

( δια x)f(x)

4x + 7

D h(x)(-2x - 3) - p(x)(-2x - 1)

D p(x)(x

+ 4x + 6 =

h(x) -(2x + 1) = =

p(x) -(2x + 3)

(x - 2) h(x) = =

(x + 1) p(x)

Eτσι

D h(x)(-2x - 3) - p(x)(-2x - 1)= =

D 4x

- 2) - h

+

(x)(x +

7

1)

3 1h(x)(-2 - ) - p(x)(-2 - )

x xf(x)7

4 +x

g(x)

=

( δια x)g(x)

D p(x)(x - 2) - h(x)(x + 1)= = =

D 4x + 7

Oποτε

3 1h(x)(- 2 - ) - p(x)(- 2 - ) 5(- 2) - 4(- 2)x x = = =

7 44 +

x2 1

p(x)(1- ) - h(x)(1+ ) 4 - 5x x = = =7 4

4 +x

x +

x +

2 1p(x)(1 - ) - h(x)(1 + )

x x7

4 +x

1lim f(x) -

2

1lim g(x) -

4

μ ο ρ φ η :


τησης f .


Eυρεση του οριου της συναρτη-

σης f .

σ κ ο π ο ς :

Να «απομονωσο υμε » τη

συναρτηση f προκειμενου να

βρουμε το ζητουμενο οριο .


1. Θετουμε την παρασταση της

f, της οποιας το οριο ειναι

γνωστο, σαν μια συναρτηση

εστω h(x) και λυνουμε την

παρασταση ως προς f(x) .


οριο της f(x) .

3. Aν στη πιο πανω περιπτωση

ζητειται το οριο αλλης παρα-

στασης της συναρτησης f, το

τε βρισκουμε οπως πιο πανω

το οριο της και στη συνεχεια

στο ” σπασιμο ” του κλασμα-

τος, εμφανιζουμε τη βοηθη-

τικη συναρτηση .

Π α ρ α τ η ρ η σ η :

Σε περιπτωση που εχουμε δυο

συναρτησεις f, g (αρα και δυο

δοσμενα ορια παραστασεων

των f, g), θετουμε τις παραστα-

σεις της f, g, των οποιων το ο-

ριο ειναι γνωστο, σαν συναρ-

τησεις εστω h(x), p(x) και λυ-

νουμε το συστημα των εξισω-

σεων που προκυπτουν, ως

προς f(x), g(x) .

.


2 3 2

4 4x + x +

Nα βρεθουν τα ορια :

6x + ημ x - 2συν2x x συνx + x ημx + 2lim lim

3x + συνx x + ημ x + x

x

( δια x)

x +

x + lim

Eιναι

ημx συν2xx 6 + ημx - 4

x 2x= lim =

συνxx 3 +

x

ημx συν2x6 + ημx - 4

x 2x = limσυνx

3 +x

2

x +

6x + ημ x - 2συν2xlim

3x + συνx

=x +

+

4

ημxlim = 0

x

συνx = 0

x

4

2 4( δια x )

x + 4

6 + 0 + 0 = =

3 + 0

Eιναι

ημxσυνx 2x + +

x x x= lim

ημx 1+

3 2

4 4x +

2

x συνx + x ημx + 2lim

x + ημ x + x

x +

x +

4

4 3

ημxlim = 0

x 4

4 συνxx + lim = 0

x 3

= x 1

+x x

ημxσυνx 1 2+ +

x x x x = lim ημx 1

1+ +x x

=

0 + 0 + 0 = =

1+ 0 + 00

μ ο ρ φ η :

Η παρασταση της οποιας ζη-

τουμε το οριο, περιεχει τριγω-

νομετρικους αριθμους.


Ευρεση του οριου παραστασης

που περιεχει τριγωνομετρι-

κους αριθμους στη θεση x0 .

σ κ ο π ο ς :

Να προσδιορισουμε το ζητου-

μενο με βοηθεια το οριο

x + x +

ημx συνxlim = 0 και lim = 0

x x


Φερνουμε τη παρασταση, της

οποιας ζητουμε το οριο, στην

πιο πανω μορφη πολλαπλασι-

αζοντας και διαιρωντας με κα-

ταλληλους ορους η μετασχη-

ματιζοντας γνωστες τριγωνο-

μετρικες σχεσεις .


x + 2 x + 1 x + 2 x + 1

x x + 1 x x + 1x + x


3 2 - 8 3 + 2 3 2 - 8 3lim lim

4 3 + 3 2 - 1 4 3 + 3 2

Αφου x + δημιουργουμε βασεις μικροτερες του 1, ωστε

το οριο τους να ισουται με 0 (διαιρουμε αριθμητη - παρονο -

μα στη με μεγαλυτερη βαση).

Ετσι

x + 2 x + 1

x +

3 2 - 8 3 + 2lim

4

xx x ( δια 3 )

x xx +

x x

x xx +

3 4 2 - 8 3 3 + 2= lim =

4 3 + 3 2 2 - 1

2 112 - 24 + 2

3 3 = lim =

2 14 + 6 -

3 3

x x + 13 + 3 2 - 1

12 0 - 24 + 2 0 = =

4 + 6 0 - 1 0

Αφου x - δημιουργουμε βασεις μεγαλυτερες του 1, ωστε

το οριο τους να ισουται με 0 (διαιρουμε αριθμητη - παρονο -

μαστη με μικροτερη βαση).

- 6

x x x ( δια 2 )

x xx -

x

xx -

Ετσι

3 4 2 - 8 3 3= lim =

4 3 + 3 2 2

312 - 24

2= lim =

34 + 6

2

x + 2 x + 1

x x + 1x -

3 2 - 8 3lim

4 3 + 3 2

12 - 24 0 = =

4 0 + 6

2

μ ο ρ φ η :




σης f .

σ κ ο π ο ς :

Nα αντικαταστησουμε τις δυ-

ναμεις .


▪ Αν x → + ∞ :

Δημιουργουμε βασεις μικρο-

τερες του 1, ωστε το οριο τους

να ειναι ισο με 0 .

(Διαιρουμε αριθμητη – παρο-

νομαστη με τον εκθετικο ορο

που εχει μεγαλυτερη βαση) .

x

x +

Ισχυει :

Αν 0 < α < 1 τοτε lim α = 0

▪ Αν x → - ∞ :

Δημιουργουμε βασεις μεγα-

λυτερες του 1, ωστε το οριο

τους να ειναι ισο με 0 .



που εχει μικροτερη βαση) .

x

x -

Ισχυει :

Αν α > 1 τοτε lim α = 0


1 1

- ημx x ημx x

x Nα βρεθει το οριo : lim [e + e ]

x x

1 1 - ημx x ημ

x x

x x

1 1lim - ημx lim x ημx x

- lim

Ειναι

= lim e + lim e =

= e + e =

= e

1 1 - ημx x ημ

x x

x lim [e + e ]

x

x

x

x

1ημ

xlim ημx

x

1ημ

xlim 1

xημx

lim x

1

0

1

x+ e =

1 = + e =

e1

= + e =e

=

1 + e

=

μ ο ρ φ η :

Εκθετικη συναρτηση της μορ-

φης g(x)f(x) = α .



σης f .

σ κ ο π ο ς :

Nα βρουμε το οριο του εκθετη

της g(x)α .


Βρισκουμε το οριο του εκθετη

της g(x)α εχοντας υποψιν

x lim f(x) f(x)

x lim α = α

Ισχυουν

x x

x + x +

x x

x + x +

x x

Αν 0 < α < 1 τοτε

lim α = 0 και lim α = +

Αν α > 1 τοτε

lim α = + και lim α = 0

ημx συνx lim = 0 και lim = 0

x x


x

1Οταν x τοτε 0

x1

ημxΕτσι, lim = 1

1

x

x + 2 x + 2

x + 1 x + 1x

α - 2Nα βρεθει το οριο : lim , α 2 .

α - 2

x + 2 x + 2 2 x 2 x 2 x x

x + 1 x + 1 x x x x

x + 2 x + 2 2 x x

x + 1 x + 1 x xx - x -

α - 2 α α - 2 2 α α - 4 2Ειναι : = =

α - 2 α α - 2 2 α α - 2 2

Αν α < 2

α - 2 α α - 4 2lim = lim =

α - 2 α α - 2 2

x x 2

x x

x xx -

x x

x

2

xx -

x

x -

α 2α - 4

α α = lim =α 2

α - 2α α

2α - 4

α

2 l

im = 0, αφ

=

ου x - κ

lim =2

α - 2α

αι α

2

x -

x + 2 x + 2 2 x x

x + 1 x + 1 x xx - x -

α - 4 0 = lim = α

α - 2 0

Αν α > 2

α - 2 α α - 4 2lim = lim =

α - 2 α α - 2 2

2 > 1α

x

x

x -

x 2

x x

x xx -

x x

x

2

xx -

α 2α - 4

2 2 = lim =α 2

α - 22 2

αα - 4

2 = li

α αlim = 0, αφου x - και

m = α

α - 22

>

12

2

2

x -

α 0 - 4 = lim = 2

α 0 - 2

μ ο ρ φ η :

Ρητη εκθετικη συναρτηση f με

παραμετρο (ους) .



σης f .

σ κ ο π ο ς :

Nα δημιουργησουμε δυναμεις

με βαση κλασμα (παραμε-

τρων) και εκθετη x .


▪ Μετασχηματιζουμε τις δυνα-

μεις (που περιεχουν και x) σε

δυναμη με εκθετη μονο x .

▪ Αν x → + ∞ :

Δημιουργουμε βασεις μικρο-

τερες του 1, ωστε το οριο τους




που εχει μεγαλυτερη βαση) .

x

x +

Ισχυει :

Αν 0 < α < 1 τοτε lim α = 0

▪ Αν x → - ∞ :

Δημιουργουμε βασεις μεγα-

λυτερες του 1, ωστε το οριο

τους να ειναι ισο με 0 .



που εχει μικροτερη βαση) .

x

x -

Ισχυει :

Αν α > 1 τοτε lim α = 0


x + 1

x Nα βρεθει το οριο : lim [ln(e - 1) - x]

x + 1

x

x + 1 x

x

x + 1

xx

Eιναι

= lim [ln(e - 1) - x] =

= lim[ln (e - 1) - lne ] =

e - 1 = lim[ln ] =

e

x + 1

x lim [ln(e - 1) - x]

x + 1

x xx

xx

x

x

x

e 1 = lim[ln ( - )] =

e e1

= lim[ln (e - )] = e1

= ln[lim (e - )] =e

1e - > 0

e

= ln (e - 0) =

= lne =

= 1

μ ο ρ φ η :

Συνθετη λογαριθμικη συναρ-

τηση f .



σης f .

σ κ ο π ο ς :

Nα μετασχηματισουμε τη συν-

θετη συναρτηση σε μορφη

ln(g(x)) .


▪ Απλοποιουμε οσο γινεται τη

συναρτηση g(x) .

▪ Aν το οριο της g(x) τεινει στο

▪ κ > 0 τοτε

x x lim ln[g(x)] = ln[ lim g(x)] =

= lnκ

▪ 0 + τοτε x lim ln[g(x)] = -

.

▪ ∞ τοτε x lim ln[g(x)] =

.

▪ Ισχυουν :

▪ x = lne x για x Ś Ŕ

▪ x = e lnx για x > 0

▪ x 1lim(lnx) = 0

.

+ x 0

lim (lnx) = -


1

2x + 1 x - 1

x x 1

Nα βρεθoυν τα ορια :

x + 4lim ( ) και lim x

x + 3

2x + 1

x

2(x + 3) - 5

x

2(x + 3)

x

Eιναι

x + 3 + 1= lim =

x + 3

1= lim 1+ =

x + 3

1 1= lim 1+ 1+

x + 3 x + 3

2x + 1

x

x + 4lim

x + 3

- 5

2 x + 3 - 5

x x

2 x + 3 - 5

x x

lim

=

1 1= lim 1+ lim 1+ =

x + 3 x + 3

1 1= lim 1+ lim 1+ =

x + 3 x + 3

x

2 - 5

1 x 1 x - 1

x 1 x

1=0

x

-

+3

1 0

= e (1+ 0) =

=

Eιναι

= lim (1+ (x - 1))

=

2

1 x - 1

x 1

e

lim x e

μ ο ρ φ η :




σης f .

σ κ ο π ο ς :

Nα μετασχηματισουμε τη ρητη

συναρτηση σε μορφη

g(x)1(1+ )

g(x) η

1 g(x)(1+ g(x)) .


▪ Φερουμε τη συναρτηση f σε

μια απ’τις παραπανω μορφες

▪ Ισχυει :

h(x)

x

1 h(x)

x

1 lim (1+ ) = e,

h(x)

αν h(x) τεινει στο ±

lim (1+ h(x)) = e,

αν h(x) τεινει στο 0


x

Η συναρτηση f ειναι ορισμενη στο και για καθε x

x - 1 x - 2ισχυει : f(x) - 1

x + 1 x + 2Να βρεθει το οριο : lim f(x).

Ŕ Ś Ŕ

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x 1 1- 1- 1- 0x = lim = lim =

x 1 1 1+ 0+ 1+

x

x 2 2- 1- 1- 0x= lim = lim =

x 2 2 1+ 0+ 1+

x


lim (f(x) - 1) = 1

x

x

x

x - 1lim 1

x + 1

x - 2lim 1

x + 2

lim Ť

=

• =

f(x) = 2

μ ο ρ φ η :


μεσαιο μελος τη συναρτηση f .




που περιεχει τη συναρτηση f

στη θεση x 0 .

σ κ ο π ο ς :

Nα αποδειξoυμε οτι τα ορια


τικης σχεσης ειναι ισα.










κραιων μελων της ανισοτι-


3. Αν τα πιο πανω ορια ειναι

ισα με α, τοτε και το ζητου-

μενο οριο ειναι ισο με α,

συμφωνα με το κριτηριο πα-

ρεμβολης .


Στη περιπτωση που η παρα-

σταση, της οποιας το οριο ζη-

τουμε, ειναι κλασμα με παρο-

νομαστη ενα ακραιο μελος της

δοσμενης ανισοτικης σχεσης

τοτε :

▪ Διαιρουμε και τα τρια μελη

της ανισοτικης σχεσης με το

μελος αυτο (το ενα ακραιο

μελος γινεται ισο με 1).

▪ Παιρνουμε πλευρικα ορια

και δειχνουμε οτι ειναι ισα

με 1 .


{ }

{ }

x

2 2 xx 1 x +


lnx x + elim lim

x - 1 x + e

0

0

2DLH x 1

x 1

2

+ x+

2 xDLH x

(lnx)' = lim =

(x - 1)'

1

x= lim 2x

1 1 = = =

2 12x

(x + e )' = lim

(x + e )

2x 1

x

2 xx +

lnxlim

x - 1

1

2

x + elim

x + e

•

+ x +

xx DLH

x

xx

+ x +

xx DLH

='

1+ e = lim =

2x + e

(1+ e )' = lim =

(2x + e )'

e = lim =

2 + e

x

xx

x

xx

(e )' = lim =

(2 + e )'

e = lim =

e

1

μ ο ρ φ η :

Ρητη η ρητη εκθετικη συναρ-

τηση f .



τησης f .

σ κ ο π ο ς :

Να αντικαταστησουμε τις ρη-

τες συναρτησεις με πηλικο πα-

ραγωγων .


1. Το οριο καταληγει σε απρο-

σδιοριστια 0

0 η

.

2. Παιρνουμε το ισοδυναμο ο-

ριο του πηλικου των παρα-

γωγων (αριθμητη και παρο-

νομαστη) .

3. Αν προκυψει νεα απροσδιο-

ριστια, επαναλαμβανουμε

το βημα 2 .

4. Βρισκουμε το ισοδυναμο ορι-

ο, κατα τα γνωστα .


2x 0

Nα βρεθουν οι τιμες των παραμετρων α και β αν ισχυει :

x(α - συνx) +β - 2συνxlim .

xŚ Ŕ

συν0 = 1

x 0

2

x 0

lim [x(α - συνx) + β - 2συνx] = 0 (α - συν0) + β - 2συν0 = β - 2 και

lim x = 0.

Αν β - 2 0 τοτε το οριο θα ειναι ,

ατοπο αφου το οριο ειναι πραγματικος αριθμος.

Ετσι β - 2 = 0 .

Για β = 2 το οριο γινε

β = 2

0

0

2 2x 0 DLH x 0

x 0

x 0

ται ισοδυναμα :

x(α - συνx) + 2 - 2συνx x(α - συνx) + 2 - 2συνx lim = lim =

x (x )'

α - συνx + xημx + 2ημx = lim

2x

lim[α - συνx + xημx + 2ημx] = α - 1+ x 0 +

[ ]'

x 0

2 0 = α - 1 και

lim 2x = 0.

Αν α - 1 0 τοτε το οριο θα ειναι ,

ατοπο αφου το οριο ειναι πραγματικος αριθμος.

Ετσι α - 1 = 0 .

Για α = 2 και β = 1 το οριο γινεται ισοδυναμα :

x 0

α = 1

x(1 - συνx) + 2 - 2συlim

2x 0

0

0

x 0 DLH

x 0

[x(1- συνx) + 2 - 2συνx]'= lim =

(x )'

1- συνx + xημx + 2ημx = lim =

2x[1- συνx + xημx + 2ημx]'

= lim(

2

νx

x

x 0

=2x)'

- 1+ 0 + 0 = lim = .

2

1-

2Ś Ŕ

μ ο ρ φ η :

Οριο που ισουται με πραγματι-

κο αριθμο αποτελουμενο απο

κλασμα που ο ενας απ’τους ο-

ρους του εχει οριο 0 και ο αλ-

λος περιεχει τις παραμετρους .


Παραμετροι εστω α και β .

σ κ ο π ο ς :

Nα χρησιμοποιησουμε απροσ-

διοριστια 0

0 και De L’Hospital .


1. Το δοσμενο οριο ειναι πραγ-

ματικος αριθμος και ενας

απ’τους αριθμητη η παρονο-

μαστη εχει οριο ισο με 0 .

Ετσι, απαιτουμε και το οριο

του αλλου ορου (αυτου που

περιεχει τις παραμετρους),


2. Απ’το παραπανω προσδιορι-

ζουμε την μια παραμετρο .

3. Αντικαθιστωντας την παρα-

μετρο που βρηκαμε στο οριο,

προσδιοριζουμε και την αλ-

λη παραμετρο .


Πρεπει να δειξουμε οτι το οριο

ειναι πραγματικος αριθμος για

τις τιμες των παραμετρων που

βρηκαμε .


π

x 2

Να βρεθει το οριο : lim (π - 2x)εφx .

+

+

+

+

πx

2

0

0

DLHπx

2

πx

2

x

Ειναι

π - 2x = lim =

1

εφx

π - 2x = lim =

σφx

(π - 2x)' = lim =

(σφx)'

= lim

πx

2

lim (π - 2x)εφx

+

+

+

π 2 2

2

πx

2

2

2

- 2 =

1-

ημx

= lim 2ημx =

π= 2 ημ =

2

= 2 1 =

2

μ ο ρ φ η :

Γινομενο συναρτησεων (f ∙ g) .


Ευρεση του οριου τoυ γινομε-

νου f ∙ g .

σ κ ο π ο ς :

Nα αντικαταστησουμε καταλ-

ληλα μια απ’τις συναρτησεις

ωστε να προκυψει ρητη συναρ-

τηση .


1. Το οριο καταληγει σε απρο-

σδιοριστια 0 ∙ ∞ .

2. Αντιστρεφουμε μια απ’τις

δυο συναρτησεις και την βα-

ζουμε παρονομαστη, οποτε

προκυπτει οριο ρητης συναρ-

τησης .

3. Παιρνουμε το ισοδυναμο ο-

ριο του πηλικου των παρα-

γωγων (αριθμητη και παρο-

νομαστη) .



το βημα 3 .

5. Βρισκουμε το ισοδυναμο ο-

ριο, κατα τα γνωστα .


x

x + Nα βρεθει το οριο : lim (lnx - e ) .

x

xx

+

+ x

xx x DLH

x

xx x

Eιναι

lnx= lim e - 1 =

e

lnx = lim e lim - 1 =

e

(lnx)' = lim e lim - 1 =

(e )'

x

x + lim (lnx - e )

x

xx x

x

xx x

1

x = lim e lim - 1 =e

1 = lim e lim - 1 =

xe

1 = + ( - 1) =

+ 1 = +

(0 - 1) =

=

-

μ ο ρ φ η :

Διαφορα συναρτησεων (f - g) .


Ευρεση του οριου της διαφορας

f - g .

σ κ ο π ο ς :

Nα αντικαταστησουμε καταλ-

ληλα μια απ’τις συναρτησεις

ωστε να προκυψει ρητη συναρ-

τηση .


1. Το οριο καταληγει σε απροσ-

διοριστια ∞ - ∞.


τον ενα ορο της διαφορας

f - g και προκυπτει:

g f

f (1- ) η - g (1- )f g

.

3. Παιρνουμε το ισοδυναμο γι-

νομενο οριων, της μιας απ’

τις f, g επι την ρητη που προ-

κυπτει.

4. Αν για τη ρητη συναρτηση

προκυπτει απροσδιοριστια,

παιρνουμε το οριο του πηλι-

κου των παραγωγων (αριθ-

μητη και παρονομαστη) .



το βημα 4 .


+ +

ημx εφx

x 0 x 0

1( )x


lim x lim

2 2

(lnx)'lnx 11(0 ) '

ημx ημx lnx ημx

DLHx 0 x 0 x 0

0- ημ2x(- ημ x)'- ημ x 0

συν(x συνx)'x συνx

DLHx 0 x 0 x 0

= lim e = lim e = lim e =

= lim e lim e = lim e

+

ημx

x 0lim x

=

x-xημx

0

ln(1/x) ln(1/x)1 (0 ) εφx ln 1/εφx σφxx

DLHx 0 x 0 x 0

(ln(1/x))'

(σφx)'

x 0 x 0

=

= e =

= lim e = lim e = lim e

= lim e = lim

+

εφx

x 0

1( )x

1

lim =

.

2

2 2

2

1 1x (- ) - x x 1 1

- - ημx ημx

x 0

ημ x ημx ημx

1 0 0x x

x 0 x 0

e = lim e =

= lim e = lim e = e = e =

1.

μ ο ρ φ η :

Συναρτηση της μορφης g ( x ) f(x)


Ευρεση του οριου της g ( x ) f(x)

σ κ ο π ο ς :

Nα μετατρεψουμε καταλληλα

την g ( x ) f(x) ωστε να φτασουμε

σε μια απ’τις προηγουμενες

περιπτωσεις .


1. Ισχυει :

g ( x ) g ( x ) l n f ( x )

g ( x ) l n f ( x )

f(x) = e =

= e

2. Ετσι :

0 0

g ( x ) g ( x ) l n f ( x )

x x x xlim f(x) = lim e

3. Η απροσδιοριστια εμφανι-

ζεται στον εκθετη του e .

4. Συνεχιζουμε συμφωνα με

τις προηγουμενες περιπτω-

σεις .


x-1

40x

x ημt + συνtNα βρειτε το lim dt.

t + x

x-1

40

x-1 x-1

4 40 0

x-1

4 40

x-1

40

2

4x x

2

4

x > 10 < t < x - 1

t + 1 < x

Ειναι διαδοχικα

x ημt + συνt dt

t + x

|x| |ημt|+|συνt| x 1+ 1 dt dt =

x| t + x |

x + 1 x

x ημt + συνtdt

t + x

x -+ 1 dt = (x - 1) =

x xΟμως

x - 1 lim = li

x

1

x

m

Š

2

4

x-1

40x

x= 0

xΕτσι

x ημt + συνt lim dt = 0

t + x

Αρα και

x-1

40x

x ημt + συνtlim dt = 0

t + x

μ ο ρ φ η :

Οριο περιεχει συναρτηση της

μορφης x

cf(x,t) dt .


Ευρεση του οριου

σ κ ο π ο ς :

Nα μετασχηματισουμε την

x

cf(x,t) dt μεχρι να προκυψει

παρασταση του x που εχει οριο

ισο με μηδεν .


1. Ξεκινουμε απ’το

x x

c c| f(x,t) dt| |f(x,t)| dt

2. Αυξανουμε, με τη βοηθεια

των ιδιοτητων των απολυ-

των, την παρασταση |f(x,t)|

ωσπου να φθασουμε σε πα-

ρασταση του x, που το οριο

της ειναι ισο με μηδεν .

3. Ισχυουν

▪ x x

c c| f(x,t) dt| |f(x,t)| dt

▪ x x lim |f(x)| = 0 lim f(x) = 0

Ť


Κατηγορίες ασκήσεων στα όρια

Education

Transcript of Κατηγορίες ασκήσεων στα όρια