Εφαρμοσμένα...

Click here to load reader

  • date post

    19-Jan-2020
  • Category

    Documents

  • view

    2
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Εφαρμοσμένα...

  • Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις)

    Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss

    Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

    1. Χρησιμοποιείστε απαλοιφή Gauss για να επιλύσετε τα ακόλουθα συστήματα:

    a) 5 8 2 9 3 1

    x y y x − =

     = − b)

    5 3 2 15 6 9

    x y x y = +

     − = c)

    1 3 0 2 6 9 x y

    x y − − =

     − =

    Λύση

    a) Φέρνουμε το σύστημα στη μορφή: 5 8 2

    3 9 1 x y

    x y − =

    − + = −

    O επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 5 8 2

    | 3 9 1

    A b − 

    =  − − 

    Η απαλοιφή Gauss δίνει:

    2 2 1 3

    5 55

    2 8 28 2

    13 9 1 0 1 5 5

    r r r− → −   

    − −   →   − −   

    Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με το ακόλουθο: 5 8 2 21 1 5 5

    x y

    y

    − =  

    =

    Με προς τα πίσω αντικατάσταση παίρνουμε αρχικά 1 21

    y = και έπειτα

    1 105 8 2 5 8 2 21 21

    x y x x− = ⇒ − ⋅ = ⇒ =

    Επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση την 10 21 1 21

    x

       

    =       

    b) Φέρνουμε το σύστημα στη μορφή: 5 2 3 15 6 9

    x y x y − =

     − =

    O επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 5 2 3

    | 15 6 9

    A b − 

    =  − 

  • Η απαλοιφή Gauss δίνει: 2 2 1

    15 52 3 2 35

    9 5

    15 6 0 0 0 r r r → − 

      − −   

    →   −   

    Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με την ακόλουθη εξίσωση: 5 2 3x y− = H y είναι ελεύθερη μεταβλητή, επομένως το σύστημα έχει άπειρες λύσεις οι οποίες δίνονται σε παραμετρική μορφή ως

    3 2 ,5

    t x t

    t

    +   = ∀ ∈    

    c) Φέρνουμε το σύστημα στη μορφή: 3 1

    2 6 9 x y

    x y − =

     − =

    O επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 1 3 1

    | 2 6 9

    A b − 

    =  − 

    Η απαλοιφή Gauss δίνει: 2 2 1

    2 11 13 1 3 1

    2 6 9 0 0 7 r r r → − 

      − −   

    →   −   

    Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα: 3 1

    0 7 x y− =

     =

    Από την τελευταία εξίσωση γίνεται προφανές ότι το σύστημα δεν έχει λύση.

    2. Χρησιμοποιείστε απαλοιφή Gauss για να επιλύσετε τα ακόλουθα συστήματα:

    a) 4 2 1

    3 2 3

    x y z x y z

    x y z

    + − = − + + =  + − =

    b) 2 2 4

    1

    y z x y z

    x z

    =  = +  − = −

    c) 5 2 3

    2 0 1

    x y z x z

    x z y x y z

    − =  − =  + − = − + − =

    Λύση a)

  • 2 2 1 3 3 1

    3 3 2

    3 1 4 4

    1 2 5 2

    2 1 12 1 1 5 1 11| 3 1 1 2 0 2 4 4

    1 1 1 3 1 1 1 3

    2 1 1 2 1 1 1 11 1 110 0 4 4 4 4

    1 3 11 110 0 0

    44

    4 4 5 5 2

    4 4

    2

    4 552

    r r r r r r

    r r r

    A b −   → − → −   

       

       

    → −      

    − −       = − → →     −   − 

       − −

        →    

     −   

         

      

    Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα:

    4 2 1 5 1 11 2 4 4

    4 11 5 5

    x y z

    y z

    z

      + − =   + =  − =

    Με την προς τα πίσω αντικατάσταση προκύπτει η μοναδική λύση του συστήματος:

    9 8

    11 8 11 4

    x

     −     =      −   

    b) Γράφουμε το σύστημα ως: 2 0 2 4 0

    1

    y z x y z

    x z

    − =  − − =  − = −

    3 3 1 1 2

    3 3 1

    1 2

    1 2 2

    0 2 1 0 1 4 0 | 1 4 0 0 2 1 0

    1 0 1 1 1 0 1 1

    1 4 0 1 4 0 0 1 0 0 1 0

    10 1 1 0

    2 2

    2 2 2 2

    5 2 4

    0 1

    r r r r r

    r r r

    A b  → − ↔  

       

    → −      

    − − −       = − − → − →       − − − −   

           − − − −    

    − → −       

    − −       

    Επομένως το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τo ακόλουθο σύστημα:

  • 2 4 0 2 0 5 1 4

    x y z y z

    z

      − − = 

    − =   = − 

    Με την προς τα πίσω αντικατάσταση προκύπτει η μοναδική λύση του συστήματος:

    9 5 2 5 4 5

    x

     −     = −     −   

    c) Γράφουμε το σύστημα ως:

    0 5 2 3

    2 0 1

    x y z x z

    x y z x y z

    − − =  − =  − + = − + − =

    3 3 12 2 1

    4 4 3 4 4 1

    5

    2 3

    1 1 0 1 1 0 5 0 2 3 0 5 3 3

    | 1 1 2 0 1 1 2 0

    1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 0 1 1 0 0 5 3 3 0 3 3 0 0 3 0 0 0 0

    1 1 1 1

    1 1

    1 1 5

    0 0 2 1

    1 1 0 0 3 3 1

    0

    3

    5

    r r rr r r

    r r rr r r

    A b → −→ −

    → +→ +

    − − − −       −   = → →    − −    − − − −    − − − −   

           → →        − − −   

    − −

    0 0 0 0

    3 0 1

               

    Λόγω της τελευταίας γραμμής, το σύστημα είναι αδύνατο

    3. Χρησιμοποιείστε απαλοιφή Gauss για να επιλύσετε τα ακόλουθα συστήματα:

    a)

    2 1 4 3 2 4

    2 2 3 2 2 1

    x y z w x y z w

    x y w z x y z w

    + − + =  + − + = − + + − =  + − + = −

    b)

    3 1

    4 2 6 3

    x y z w y w z x y z x y w

    + − + =  + =  + − = − + = −

    Λύση

  • a) Γράφουμε το σύστημα ως:

    2 1 4 3 2 4

    2 2 3 2 2 1

    x y z w x y z w

    x y z w x y z w

    + − + =  + − + = − + − + =  + − + = −

    3 3 12 2 1

    4 4 1

    24

    3

    21 11 1 1 2 1 1 1 4 1 3 2 4 0 7 1 2 0

    | 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2

    3 2 2 1 1 3 2 2 1 1

    2 1 1 1 2 1 1 1 0 7 1 2 0 0 1 2 0 0 5 3 3 4 0 5 3 3 4 3 2 2 1 1 0

    1

    2 4

    1

    4

    7

    1

    r r rr r r

    r r r

    A b → +→ −

    → −

    − −       − − −   = → →    − − − −    − − − −   

    − −       − − −   →    − −    − − − − −   

    − 3 3 2

    4 4 2 4 4 3

    5 7

    4 3 7 16

    2 1 1 12 1 1 1 0 1 2 00 1 2 0

    11

    11 77

    16 7

    1 7

    1

    16 11 0 0 40 0 4 77 7 3 60 4 1 2 4 0 0 4 7

    6 7

    7 2 1 1 1

    0 1 2 0 110 0 4 7

    130 0 0 4

    9 16

    r r r

    r r r r r r

    → +

    → − → +

    →

    − −   −   −