Частта от геометрията, в която се изучават свойствата на пространствените фигури, се нарича стереометрия (от гръцката дума στερεο, която означава пространство)

• Аксиома 1: През всеки три точки, нележащи на една права, минава единствена равнина.

Ako A, B, C не лежат на една права, то Ǝ 1! α = (ABC)

• Аксиома 2: Ако две точки от една права лежат в една равнина, то всяка точка от правата лежи в равнината. A, B ϵ a A, B ϵ α => a ϵ α α A

BX

a

α

a

β

• Аксиома 3: Ако две равнини имат обща точка, то те имат поне още една обща точка.• Ако две равнини имат обща точка, то те имат обща права.

• Аксиома 4: Във всяка равнина са изпълнени аксиомите на планиметрията и за фигури, лежащи в различни равнини, може да се прилагат всички твърдения от планиметрията.

α A

B

C

• Пресичащи се прави: Две прави, които имат обща точка.a ∩ b => Ǝ 1! α = (a, b)

• Успоредни прави: Две прави, които нямат обща точка и лежат в една равнина. a || b => Ǝ 1! α = (a, b)

α

• Кръстосани прави: Две прави, които не лежат в една равнина.

BC и AA1

α

a

bA

A B

CD

A1 B1

C1D1

• Права, успоредна на дадена права: В пространството през точка, нележаща на дадена права, минава единствена права, успоредна на дадената. a; A не лежи на a Ǝ 1! b: b Z A, b || a

• Пресечница на две равнини: Пресечницата на две равнини, минаващи през две успоредни прави, е права, успоредна на двете прави.

α ∩ β = cα Z a, β Z b, a || b => c || a, c || b

• Две прави, успоредни на трета права: Ако две прави са успоредни на трета права, то те са успоредни помежду си.

a || b, b || c => a || c

• Твърдение: Ако една права лежи в равнина, а друга права пресича равнината в точка, нележаща на първата права, то двете прави са кръстосани.

a Є α, b ∩ α = B, B не лежи на a => a и b са кръстосани прави

α

aB

b

α β

a b

c

• Успоредни права и равнина: Права и равнина, които нямат общи точки.

a ∩ α = Ø => a║α α

• Признак за успоредност на права и равина: Ако права, нележаща в една равнина, е успоредна на някоя права в равнината, то правата и равнината са успоредни.

a не лежи в α, b z α и a || b => a || αα

a

b

• Теорема: Ако права и равнина са успоредни, пресечницата на всяка равнина, минаваща през правата, с дадена равнина e права, успоредна на дадената права.

a || α, β z a, β ∩ α = b => b || aα

a

b

β

• Теорема: Ако права е успоредна на равнина и през точка от равнината прекараме права, успоредна на дадената, то втората права лежи в равнината.

a || α, A z α, b z A, b || a => b z α

• Теорема: Ако права е успоредна на две пресичащи се равнини, то тя е успоредна на тяхната пресечница.

a || α, a || β, α ∩ β = b => a || b

• Теорема: Ако една равнина пресича две равнини и е успоредна на тяхната пресечница, то пресечниците й с двете равнини са успоредни прави. α ∩ β = m, γ || m, γ ∩ α = a, γ ∩ β = b => a || b

α

a

b

A

α

β

a

b

α β

a b

m

γ

• Успоредни равнини: Две равнини, които нямат общи точки.

α║β

• Признак за успоредност на равнини: Ако две пресичащи се прави от една равнина са успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина, то двете равнини са успоредни. α z a, b , a ∩ b = B β z a’, b’ , a’ ∩ b’ = A => α || β a || a’ , b || b’

• Успоредни равнини: През точка, нележаща на дадена равнина, минава единствена равнина, успоредна на дадената.

A не лежи на α => Ǝ 1! β, β z A и β || α

α

β

a’

a

b’

b

α

β

A

B

• Пресечници на успоредни равнини: Пресечниците на равнина с две успоредни равнини са успоредни прави.

α║β, γ ∩ α = a, γ ∩ β = b => a || b

a

b

α

β

γ

Основни построения в пространството:

• Равнина е построена, ако са дадени:1. три точки, нележащи на една права2. права и точка, нележаща на нея3. две пресичащи се прави4. две успоредни прави

• Права е построена, ако са дадени:1. две неуспоредни равнини

• Точка е построена, ако са дадени:1. неуспоредни права и равнина

• Ъгли с успоредни рамене: Ако раменете на два ъгъла са еднопосочни лъчи, то ъглите са равни.

• Ъгъл между две кръстосани прави: Ъгълът между две пресичащи се прави, съответно успоредни на двете кръстосани прави.

Aa

b

ααb’ A

a

b

b’

a’

αα

< (a; b) = < (a; b’) = αb’ || b

< (a; b) = < (a’; b’) = αa’ || a , b’ || b

Дадена е триъгълна пирамида Дадена е триъгълна пирамида ABCD. ABCD. Точката Точката M M е медицентърът на е медицентърът на триъгълника триъгълника ABC. ABC. Определете взаимното положение на правата Определете взаимното положение на правата DM DM с с всяка от правите всяка от правите AB, BC AB, BC и и CA.CA.

Дадено:ABCD – триъгълна пирамидат. М – медицентър на ABC

Да се определи взаимното положение на DM с всяка от правите AB, BC и CA.

Решение: AC, BC, AB Є (ABC),M Є (ABC), M не принадлежи на AB, BC и ACDM ∩ (ABC) = M

=> DM и AB, DM и BC, DM и AC са кръстосани прави

A B

C

D

M

Точката М е средата на околния ръб Точката М е средата на околния ръб AQAQ на правилна четириъгълна на правилна четириъгълна пирамида пирамида ABCDQ. ABCDQ. Равнината Равнината (BCM) (BCM) пресича ръба пресича ръба DQ DQ в точка в точка N.N.Докажете, че Докажете, че BMNC BMNC е трапец.е трапец.

Дадено:ABCDQ – правилна четириъгълна пирамидат. М – среда на AQ(BCM) ∩ DQ = N

Да се докаже, че BMNC е трапец.

Доказателство:ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида=> ABCD – квадрат => BC || AD, AD Є (ADQ)=> BC || (ADQ),N Є (BCM) =>=> (BCNM) Z BC; (BCNM) ∩ (ADQ) = MN

=>

=> BC || MN

A B

CD

Q

M

N

Даден е куб Даден е куб ABCDAABCDA11BB11CC11DD11. . Намерете ъгъла между правитеНамерете ъгъла между правите::a) AC a) AC и и BB11DD1 1 бб) AC ) AC и и DADA11

Дадено: куб ABCDA1B1C1D1

Решение a):ABCDA1B1C1D1 – куб =>DD1 || CC1, DD1 = CC1

BB1 || CC1, BB1 = CC1

=> BB1D1D – успоредник =>=> B1D1 || BD< (AC; B1D1) = < (AC; BD) = 90°, защото AC и BD – диагонали в квадрата ABCD

A B

CD

A1 B1

C1D1

A B

CD

A1 B1

C1D1

=> DD1 || BB1, DD1 = BB1

A B

CD

A1 B1

C1D1

A B

CD

A1 B1

C1D1

Решение б):<(AC; DA1)A1B1 || CD, A1B1 = CD => => DCB1A1 - успоредник => CB1 || DA1, CB1 = DA1

< (AC; DA1) = < (AC; CB1) = < ACB1 = 60°, защото ACB1 е равностранен триъгълник от AC = CB1 = AB1 – диагонали в еднакви квадрати

Дадено:ABCDQ – правилна четириъгълна пирамидаAB = 2aAQ = a√2Намерете ъглите между правите:a) QD и AB; b) QD и BC

Решение:ABCDQ – правилна четириъгълна пирамида=> ABCD – квадрат => AB || DC=> < (QB; AB) = < (QB; DC) = < CDQ QC = QD = a√2, AB = 2aКосинусова теорема за DCQ:

A B

CD

Q

2a

a√2a√2

Дадена е правилна четириъгълна пирамида Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ ABCDQ с основен ръб с основен ръб AB = 2a AB = 2a и околен ръб и околен ръб AQ = a√2AQ = a√2.. Намерете ъгъла между правитеНамерете ъгъла между правите::a) QD a) QD и и AB; b) QD AB; b) QD и и BCBC

cos <CDQ = DC2 + QD2 – QC2

2.DC.QD=

2a2 + 4a2 – 2a2

2.2a.a√2=

4a2

4a2√2=

2

√2

=> < CDQ = 45°

A B

CD

Q

2a

a√2

2a

a√2

Дадено:ABCDA1B1C1D1 – правоъгълен паралелепипедМ – среда на ръба AB(A1C1M) ∩ BC = NДа се докаже, че A1C1NM е трапец

Доказателство:(A1C1M) ∩ BC = N => N Є (A1C1M)(ABCD) || (A1B1C1D1)(A1C1NM) ∩ (ABCD) = MN(A1C1NM) ∩ (A1B1C1D1) = A1C1

=> A1C1 || MN => A1C1NM е трапец

Точката Точката M M е среда на ръба е среда на ръба AB AB на правоъгълния паралелепипед на правоъгълния паралелепипед ABCDAABCDA11BB11CC11DD11 . . Равнината Равнината (A(A11CC11M) M) пресича пресича BC BC в точка в точка N. N. Докажете, че Докажете, че AA11CC11NM NM е трапец.е трапец.

=>

A B

CD

A1 B1

C1D1

M

N

Стр. Стр. 147 / 147 / Зад.Зад. 4 б4 б),), Зад. Зад. 6,6, Зад.Зад. 8, 8, Зад.Зад. 11 11