1

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.1. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή.

• Εμφανίζεται στις περιπτώσεις όπου η υπό εξέταση τ.μ. Χ παίρνει πεπερασμένο πλή-θος τιμών (π.χ. Χ∈{1,2,...,n}) και όλες οι πιθανότητες P(X = i) είναι ισοπίθανες.

Η κατανομή με σ.π.

nin

af i ,...,2,1,1)( ==

καλείται διακριτή ομοιόμορφη κατανομή στο σύνολο {α1,α2,...,αn}.

Π.χ. Αν Χ εκφράζει το αποτέλεσμα της ρίψης ενός ζαριού, τότε προφανώς

6,...,2,1,61)( === iiXP

και η Χ ακολουθεί την ομοιόμορφη στο {1,2,...,6} κατανομή.

2

• Η συνάρτηση κατανομής της διακριτής ομοιόμορφης θα είναι

nknk

nafaF

k

i

k

iik ,...,2,1,1)()(

11==== ∑∑

==

.

a1 a2 a3 an-1 an

1 F

f

a1 a2 a3 an-1 an

3

• Αν η τ.μ. Χ ακολουθεί τη διακριτή ομοιόμορφη στο {1,2,...,n}, η συνάρτηση κατανο-μής της θα είναι

nknk

nifkF

k

i

k

i,...,2,1,1)()(

11==== ∑∑

==

.

ενώ για τη μέση τιμή και τη διασπορά τώρα θα ισχύει

21

2)1(11)()(

11

+=

+==== ∑∑

==

nnnn

in

iXiPXEn

i

n

i,

και

6)12)(1(

6)12)(1(11)()(

1

2

1

22 ++=

++==== ∑∑

==

nnnnnn

in

iXPiXEn

i

n

i

από όπου προκύπτει

12)1(3)12)(1(2

4)1(

6)12)(1()()()(

2222 +−++

=+

−++

=−=nnnnnnXEXEXV

1212 −

=n

4

4.2. Η Διωνυμική κατανομή.

• Έστω ότι εκτελούμε n όμοια και ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα (π.χ. n ρίψεις ενός νομίσματος). Το αποτέλεσμα κάθε ενός από αυτά τα πειράματα μπορεί να είναι είτε 1: επιτυχία είτε 0: αποτυχία με πιθανότητες p και q = 1−p αντίστοιχα.

• Μία πραγματοποίηση αυτού του πειράματος μπορεί να είναι η ακόλουθη:

11101100111010110110 (n = 20)

• Αν Χ η τ.μ. που εκφράζει το πλήθος των επιτυχιών σε αυτά τα n πειράματα, τότε αυτή θα ακολουθεί την Διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n, p.

Ορισμός. Η κατανομή με σ.π.

nxppxn

xf xnx ,...,1,0,)1()( =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

καλείται διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n > 0 , p ∈(0,1) (συμβ. και με B(n,p)).

5

• Η διωνυμική κατανομή είναι πράγματι κατανομή ( f ≥ 0, Σf(x) = 1) διότι (τύπος διω-νύμου του Νεύτωνα)

inin

i

n bain

ba −

=∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

0)( , α, b∈R

• Η σ.κ. της διωνυμικής κατανομής θα είναι

nxppin

ifxXPxFx

i

inix

i,...,1,0,)1()()()(

00=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==≤= ∑∑

=

−

=

.

5 10 15 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

n=20, p=0.2

f (x)

x

n=20, p=0.2

F (x)

x 5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

6

• Έστω τώρα μία τ.μ. Χ ~ B(n,p). Η μέση τιμή της θα είναι

npppxn

xxxfXEn

x

xnxn

xX ==−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∑∑

=

−

=

...)()()(10

1 .

και

( )pnpXV −= 1)( .

• Για n=1 η κατανομή B(1,p) είναι γνωστή και ως κατανομή Bernoulli. Αν Χ ~ Β(1,p) τότε Χ∈{0,1} και

pppXP −=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== 1)1(

01

)0( 0 και pppXP =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== −111 )1(

11

)1(

ενώ )1()1(1)(,1)( ppppXVppXE −=−⋅==⋅= .

7

Άσκηση Ένας ασφαλιστής ασφαλίζει 10 άτομα με την ίδια ηλικία και κατάσταση υγεί-ας. Αν κάθε άτομο αυτής της κατηγορίας έχει πιθανότητα 60% να ζει μετά από 30 χρό-νια τότε να υπολογιστεί η πιθανότητα να ζουν μετά από 30 χρόνια (α) κανένας, (β) το πολύ 3 άτομα. Ποίος είναι ο μέσος αριθμός ατόμων που θα ζουν μετά από 30 χρόνια;

Λύση. Έστω Χ ο αριθμός των ατόμων από τα 10 που ζουν μετά από 30 χρόνια. Θα ι-σχύει ότι X ~ B(10, 0.6) και επομένως

000104.04.0)1()1(0

)0( 101000 ≈=−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== − ppp

nXP n

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===≤ ∑∑

=

−

=

3

0

3

0)1()()3(

x

xnx

xpp

xn

xXPXP 0.0546.

66.010)( =⋅== npXE

8

Η γεωμετρική κατανομή

• Αν Χ η τ.μ. που εκφράζει το πλήθος των δοκιμών μέχρι και την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας, τότε η Χ ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή με παράμετρο p.

Ορισμός Η κατανομή με σ.π.

,...2,1,)1()( 1 =−= − xppxf x

καλείται γεωμετρική κατανομή με παράμετρο p (συμβολίζεται και με Ge(p)).

• Η σ.κ. της γεωμετρικής κατανομής θα είναι

,...,,)()()()( 21111

=−−==≤= ∑=

xpifxXPxF xx

i

• Επίσης αν Χ ~ Ge(p) θα είναι

pxxfXE

x

11

==∑∞

=

)()( , 21

ppXV −

=)(

9

Η σ.π. και η σ.κ. της γεωμετρικής κατανομής δίνεται στα επόμενα σχήματα για

p = 0.1

f (x)

x 10 20 30 40

0.1

0.2

0.3

0.4 F (x)

x 10 20 30 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

p = 0.1

p = 0.4 f (x)

x 2 4 6 8 10 12 14

0.1

0.2

0.3

0.4

F (x)

x

p = 0.4

5 10 15

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10

Η κατανομή Poisson.

• Συμβολίζουμε με Χ την τ.μ. που εκφράζει το πλήθος των επιτυχιών σε n αν.ισον. πει-ράματα. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η τ.μ. Χ ~ Β(n,p).

• Αν θεωρήσουμε όμως ότι n→∞, p→0, ώστε np → λ τότε η τ.μ. Χ εκφράζει το πλήθος των πραγματοποιήσεων από ένα μεγάλο αριθμό «σπάνιων» ενδεχομένων. Αποδ. ότι, σε αυτή την περίπτωση, η Χ θα ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λ.

Ορισμός Η κατανομή με σ.π.

,...2,1,0,!

)( == − xxλexf

xλ

καλείται κατανομή Poisson με παράμετρο λ (συμβολίζεται και με Po(λ)).

• Η συνάρτηση κατανομής της κατανομής Poisson θα είναι

,...2,1,0,!

)()()(00

===≤= ∑∑=

−

=

xiλeifxXPxF

x

i

iλ

x

i

11

2 4 6 8 10 12

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

f (x)

x

λ = 3

F(x)

x

λ = 3

2 4 6 8 10 12

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f (x)

x

λ = 15

5 10 15 20 25 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

F(x)

x5 10 15 20 25 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ = 15

12

• Έστω τώρα μία τ.μ. Χ ~ Po(p). Η μέση τιμή της θα είναι

λeλexλλe

xλxexxfXE λλ

x

xλ

x

xλ

xX ==

−=== −

∞

=

−−

∞

=

−∞

=∑∑∑

1

1

10 )!1(!)()( .

Επίσης

λλλλXEXEXV =−+=−= 2222 )()()( .

Άσκηση 4.6. Ο αριθμός X των τυπογραφικών λαθών σε μια σελίδα ενός βιβλίου ακο-λουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο .5=λ Να υπολογιστεί η πιθανότητα μια σελίδα να περιέχει 2 ακριβώς λάθη

Λύση. Αν X το πλήθος των τυπογραφικών λαθών σε μια σελίδα ενός βιβλίου, τότε X ~ Pο(λ). Θα ισχύει ότι

0842.0!2

5)2(2

5 ≈== −eXP

13

Η Υπεργεωμετρική κατανομή.

• Έστω μία κάλπη η οποία περιέχει Λ λευκές και Ν−Λ μαύρες σφαίρες.

• Αν επιλέξουμε στην τύχη n σφαίρες (χωρίς επανάθεση) από την κάλπη αυτή και συμ-βολίσουμε με Χ των αριθμό των λευκών σφαιρών στο δείγμα των n σφαιρών, τότε η τ.μ. Χ θα ακολουθεί την Υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους Λ, Ν, n.

Ορισμός Η κατανομή με σ.π.

},min{},...,,0max{,)( nΛNΛnx

nN

xnΛN

xΛ

xf −+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

καλείται υπεργεωμετρική κατανομή με παραμ. Λ, Ν, n (Λ, n < N) (συμβ. HG(Λ,Ν,n)).

• Αν μία τ.μ. X ακολουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους Λ, Ν, n τότε αποδεικνύεται ότι

ΝΛnXE =)( και

11)(

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

NnN

ΝΛ

ΝΛnXV .

14

Άσκηση Σε μία κλήρωση Lotto τοποθετούνται στην κληρωτίδα 49 σφαίρες αριθμημέ-νες από το 1 έως το 49 και εκλέγονται στην τύχη 6 αριθμοί που κερδίζουν. Ποια είναι η πιθανότητα να περιέχονται 4 αριθμοί που κερδίζουν ανάμεσα σε 20 αριθμούς που έ-χουμε προσημειώσει;

Λύση. i) Η κληρωτίδα περιέχει 49 σφαίρες από τις οποίες έχουμε προσημειώσει τις 20. Ας θεωρήσουμε αυτές τις 20 σφαίρες ως λευκές. Δηλαδή Λ = 20 και Ν = 49.

Από την κάλπη τυχαία επιλέγουμε n = 6 σφαίρες. Αν Χ είναι το πλήθος των προσημει-ωμένων («λευκών») σφαιρών στο δείγμα μεγέθους 6 τότε ζητείται η πιθανότητα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==

649

229

420

649

462049

420

)4(

nN

xnΛN

xΛ

XP .

15

Η ομοιόμορφη συνεχής κατανομή.

Ορισμός 4.6. Η συνεχής κατανομή με σ.π.π.

],[,1)( baxab

xf ∈−

=

( ],[,0)( baxxf ∉= ) καλείται συνεχής ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [a,b].

• Η σ.κ. της συνεχούς ομοιόμορφης κατανομής θα είναι

],[,1)()( baxabaxdt

abdttfxF

x

a

x∈

−−

=−

== ∫∫ ∞−

ενώ F(x) = 0 αν x < a, F(x) = 1 αν x > b.

16

f (x)

x a b

1/(b−a)

F(x)

x a b

1

• Η μέση τιμή και διασπορά της συνεχούς ομοιόμορφης κατανομής θα είναι

221

211)()(

222 baabab

xab

dxab

xdxxxfXEb

a

b

a

+=

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−

== ∫∫∞

∞−

και

( )12

)(43

)()()(2222

22 babababaXEXEXV −=

+−

++=−= .

17

Η εκθετική κατανομή.

• Η εκθετική κατανομή εμφανίζεται συνήθως σε περιπτώσεις όπου μελετάμε το χρόνο αναμονής μέχρι την πραγματοποίηση ενός γεγονότος.

Ορισμός Η συνεχής κατανομή με σ.π.π.

0)λ(0,λ)( λ >≥= − xexf x

( 0,0)( <= xxf ) καλείται εκθετική κατανομή με παράμετρο λ.

• Η συνάρτηση κατανομής της εκθετικής κατανομής θα είναι

0,1λ)()( λ

0

λ ≥−=== −−

∞− ∫∫ xedtedttfxF xx tx

ενώ F(x) = 0 αν x < 0.

18

•Η μέση τιμή και διασπορά της εκθετικής κατανομής θα είναι

λ1)( =XE και 2λ

1)( =XV .

f (x)

x

λ

F(x)

x

1

19

Άσκηση. Η διάρκεια σε λεπτά των υπεραστικών τηλεφωνικών συνδιαλέξεων ακολου-θεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 2 λεπτά. Να βρεθούν οι πιθανότητες η διάρ-κεια μιας υπεραστικής συνδιάλεξης (α) να είναι μεταξύ 4 και 6 λεπτών (β) να είναι μι-κρότερη από 6 λεπτά δεδομένου ότι ήταν μεγαλύτερη από 4 λεπτά.

Λύση. Αν Χ είναι η διάρκεια σε λεπτά των υπεραστικών τηλεφωνικών συνδιαλέξεων τότε 21 == λ/)(XE και άρα, 0,11)()( 2/λ ≥−=−=≤= −− xeexXPxF xx

X .

(α) 0855.011)4()6()64( 2/62/42/42/6 ≈−=+−−=−=<< −−−− eeeeFFXP XX ,

(β) 6321.0)4(1

)4()6()4(

)64()4|6( 2/4

2/62/4

≈−

=−−

=><<

=>< −

−−

eee

FFF

XPXPXXP

X

XX .

20

Η κανονική κατανομή

• Η κανονική κατανομή είναι η σημαντικότερη κατανομή με τις περισσότερες εφαρμο-γές. Σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα (θα διατυπωθεί σε επόμενη διάλεξη) κά-θε φυσική ποσότητα της οποίας η τιμή μπορεί να θεωρηθεί ότι διαμορφώνεται από ένα μεγάλο αριθμό (ανεξάρτητων) παραγόντων ακολουθεί προσεγγιστικά κανονική κατα-νομή.

Ορισμός Η συνεχής κατανομή με σ.π.π.

)σ,μ(,πσ

)( σ)μ(

02

1 2

2

2 >∈∈=−

−RRxexf

x

καλείται κανονική κατανομή με παραμέτρους μ, σ2. (συμβ. με Ν(μ,σ2)).

• Αποδεικνύεται ότι

μ=== ∫∫∞

∞−

−−∞

∞−dxxedxxxfXE

x2

2

2

21 σ

)μ(

πσ)()(

και V(X) = σ2.

21

Το γράφημα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της N(μ,σ2) δίνεται στο επόμενο σχήμα για α) μ = 8, σ = 1, β) μ = 5, σ = 2, γ) μ = 5, σ = 4.

-5 0 5 8 10 15

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

μ=5, σ=4

μ=5, σ=2

μ=8, σ=1

22

Πρόταση Αν η τ.μ. Χ ~ Ν(μ,σ2) τότε και η τ.μ (α, b∈R, α ≠ 0)

Υ = aΧ + b ~ Ν(aμ+b, a2σ2).

• Η κανονική κατανομή Ν(0,1) (δηλ. μ=0, σ=1) θα καλείται τυπική κανονική κατανο-μή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

f x e xN

x

( , ) ( ) ,0 12

12

2

= ∈−

πR .

• Η σ.π. και η σ.κ. της Ν(0,1) συμβολίζονται συνήθως με φ(x) και Φ(x) αντίστοιχα.

23

Η συνάρτηση κατανομής Φ της τυπικής κανονικής

- 4 - 2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8 Φ ( x )

x

0.1587

0.00140.0228

0.5

0.9986

0.8413

0.9772

Ενδεικτικά, Φ(-3)≈0.0014, Φ(-2)≈0.0228, Φ(-1)≈0.1587,

Φ(0)=0.5, Φ(1)≈0.8423, Φ(2)≈0.9772, Φ(3)≈0.9986.

24

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυπικής κανονικής θα έχει τη μορφή:

-4 -2 0 2 4

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Ν(0,1)

φ(x)

x 1-1 -3 3

68.28%

95.44%

99.72%

25

Επίσης, λόγω της συμμετρίας της φ θα είναι

Rxxx ∈−=− ),(Φ1)(Φ .

0

0.1

0.2

0.3

0.4

φ(x)

x -3 3 −x x

Φ(−x) 1− Φ(x)

Αν η τ.μ. X ~ )σN(μ, 2 τότε θα ισχύει ότι η τ.μ.

)1,0(σσ1,

σμμ

σ1~

σμ

σ1

σμ 2

2 NNXXZ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

−=

και συνεπώς,

)σμ(Φ)

σμ()

σμ

σμ()( −

=−

≤=−

≤−

=≤xxZPxXPxXP

26

• Αν μία τ.μ. Χ ακολουθεί Ν(μ,σ2) τότε παίρνει τιμές μεταξύ του μ−3σ και του μ+3σ με πιθανότητα σχεδόν 1, τιμές μεταξύ του μ−2σ και του μ+2σ με πιθανότητα περίπου 95% και τιμές μεταξύ του μ−σ και του μ+σ με πιθανότητα περίπου 68%.

μ−3σ

99.72%95.44%68.28%

μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ

σ σ

27

Άσκηση. Αν η τ.μ. Χ ~ Ν(6,4) να υπολογιστούν οι πιθανότητες

α) P(X < 6), β) P(X ≥ 3), γ) P(2 < X < 8)

Λύση. Η τ.μ. ZX

N=−6

20 1~ ( , ) . Άρα,

(α) P X PX

P Z( ) ( ) ( ) ( ) .< =−

<−

= < = =66

26 6

20 0 05Φ

(β) 9332.0)5.1(Φ)5.1(Φ1)5.1(1)2

632

6()3( ≈=−−=−≤−=−

>−

=≥ ZPXPXP

(γ) P X PX

P Z( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 82 6

26

28 6

22 1 1 2< < =

−<

−<

−= − < < = − −Φ Φ

8185.09772.018413.0)2(Φ1)1(Φ =+−≈+−=

28

Η κατανομή Γάμμα / Erlang.

• Μία άλλη σημαντική κατανομή είναι η κατανομή Γάμμα η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση της εκθετικής κατανομής.

Ορισμός Η κατανομή με σ.π.π.

taa

etaΓ

tf λλ −−= 1

)()( , t ≥ 0

όπου λ > 0, και a ≥ 0 καλείται κατανομή Γάμμα με παραμέτρους (λ, a).

• Υπενθυμίζεται ότι η συνάρτηση γάμμα είναι η

dxexaΓ xa −−∞∫= 10)( .

( π=Γ∈−=ΓΓ=+Γ )2/1(,,)!1()(),()1( Nnnnaaa ).

29

a = 2

a=1.5

a = 1

a = 0.5 f(t)

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t Aν X ~ Γάμμα(a,λ) τότε

rr araraXE

λ⋅⋅⋅−+−+

=))(()( 21

και για r = 1, 2 προκύπτει ότι

22 )1()(,)(

λλaaXEaXE +

== , 22

2

222 )1()()()(

λλλaaaaXEXEXV =−

+=−= .

30

Η κατανομή Weibull

• Η κατ. Weibull μπορεί και αυτή να θεωρηθεί ως γενίκευση της εκθετικής κατανομής

Ορισμός Η κατανομή με σ.π.π.

01 ≥= −− tetatfataa ,)( )(λλ

όπου λ > 0, και a ≥ 0 καλείται κατανομή Weibull με παραμέτρους (λ, a).

• Η σ.κ. της θα είναι

0,0,1)( )( >>−= − aetFat λλ , t > 0 .

• Ισχύει ότι

)()(0

1

0

111/1

aandxexdx

axexaTE nxa

ann

ax

anaan +

Γ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −∞ −−

+−∞

−

−

−+

∫∫ λλλλ

λ ,

Συνεπώς, )1()( 11 −− +Γ= aTE λ και )21()( 122 −− +Γ= aTE λ ,

( )211222 ))1(()21()()()( −−− +Γ−+Γ=−= aaTETETV λ .

31

a = 1/2

a = 1

a = 3/2

a = 2

f (t)

t 1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

• Η παράμετρος a καλείται παράμετρος «μορφής» (shape parameter). Όταν το a αυξά-νεται, η καμπύλη της σ.π.π. f γίνεται «στενότερη».

• Η παράμετρος λ καλείται παράμετρος κλίμακας (scale parameter) διότι η κατανομή της Weibull εξαρτάται από τo λ και το t μόνο μέσα από το λt.

32

Η Λογαριθμοκανονική Κατανομή.

• Η κατανομή αυτή εμφανίζεται πολύ συχνά στην στοχαστική χρηματοοικονομική ανά-λυση.

Ορισμός Έστω Χ ~ Ν(μ,σ2). Η κατανομή της τ.μ.

Υ = eX

καλείται λογαριθμοκανονική (lognormal) κατανομή με παραμέτρους μ, σ2 (LN(μ,σ2)).

• Επομένως, αν Υ ~ LN(μ,σ2) τότε η τ.μ. lnY ~ N(μ,σ2).

• Η τ.μ. Υ θα έχει σ.κ.

)ln()ln()ln()()()(σ

μσ

μσμ −

Φ=−

≤−

=≤=≤=≤=ttXPtXPtePtYPtF X

LN , t ≥ 0

και σ.π.π.

2

2

2)(ln

221)ln()ln()ln()( σ

μ

πσσμ

σμ

σμ −

−=

−⋅

−Φ′=

−Φ=

t

LN et

tdtdtt

dtdtf , t ≥ 0

33

t

σ = 0.5

σ = 1

σ = 1.5

f (t)

2 4 6 8

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

LN(μ = 1, σ2)

Αν Υ ~ LN(μ,σ2) τότε

222

21

2 σμσμσμμσμσ rrrrrΖrrXrrXr eeeeEeeEeEYE

+⋅⋅+−

⋅⋅===== /)()(

)()()()( , r = 1,2,…

από όπου άμεσα προκύπτει ότι 2

21

)(σμ+

= eTE ,

)1()()()()(,)(22

222 222

12222222 −=−=−== ++++ σσμσμσμσμ eeeeTETETVeTE .