ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΤΟΥ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΤΙΜΩΝ ΕΝΟΣ ΒΡΟΧΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΤΑΘΜΟΥ ΜΕ ΑΣΑΦΗ ΛΟΓΙΚΗ

Τζιμόπουλος Χ., Μπαλλάς Λ. Καθηγητής Υποψ. Διδάκτορας ΑΠΘ Τμ. Αγρον & Τοπογ Μηχ, ΑΠΘ Τμ. Αγρον & Τοπογ Μηχ, ΑΠΘ

ΑΠΘ, 541 24, Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ, 541 24, Πολυτεχνική Σχολή tzimop@vergina.eng.auth.gr lmpallas@topo.auth.gr

ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙΔΙΑ : Ασαφής λογική, ασαφείς κανόνες, βροχόπτωση, πρόβλεψη ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στη συγκεκριμένη έρευνα, μελετάται η δυνατότητα πρόβλεψης του δείγματος τιμών ενός βροχομετρικού σταθμού στην περιοχή της Μίκρας Θεσσαλονίκης, χρησιμοποιώντας τη θεωρία της ασαφούς λογικής. Ο υπολογισμός των ελλιπουσών τιμών γίνεται με βάση τις ήδη υπάρχουσες τιμές ενός δεύτερου γειτονικού βροχομετρικού σταθμού, αυτού του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Γίνεται χρήση των ασαφών συστημάτων κανόνων, για την κατασκευή των οποίων εφαρμόζονται και συγκρίνονται δύο τεχνικές, αυτή των ελαχίστων τετραγώνων και μιας τεχνικής παρόμοιας των τεχνητών νευρωνικών δικτύων (ANFIS). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν συγκρίνονται με τις παρατηρημένες τιμές, ενώ η μέτρηση της απόδοσης των μοντέλων γίνεται χρησιμοποιώντας τον συντελεστή συσχέτισης και το μέσο ανηγμένο τετραγωνικό σφάλμα. EXTRAPOLATING THE DATA RECORDS OF A RAIN GAUGE WITH

FUZZY LOGIC

Tzimopoulos Ch., Mpallas L. Professor Υποψ. Διδάκτορας ΤΑΤΜ, Auth ΤΑΤΜ, Auth

AUTH, 541 24, School of Technology AUTH, 541 24, School of Technology tzimop@vergina.eng.auth.gr lmpallas@topo.auth.gr

KEYWORDS: Fuzzy logic, fuzzy rules, rainfall, extrapolation ABSTRACT In this research is studied the feasibility of extrapolating the data records of Mikra rain gauge, which is near Thessaloniki city, using fuzzy logic theory. The calculation of the missing values is achieved by using the existing values of a second neighboring rain gauge, the one of Aristotle University of Thessaloniki. The fuzzy rule systems are being used, whose construction is achieved by using two techniques, the least squares algorithm and a technique working similar with the neural networks (ANFIS). The obtained results are being compared with the observed values and the model performance is measured with the correlation coefficient and the reduced mean square error.

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η περιγραφή των φυσικών συστημάτων αποτελεί μια αρκετά περίπλοκη διαδικασία, καθώς η ασάφεια και η αβεβαιότητα αποτελούν αναπόσπαστα χαρακτηριστικά. Ασάφεια υπάρχει όχι μόνο ως προς την ακριβή γνώση της τιμής μιας μεταβλητής σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, αλλά και ως προς βαθμό στον οποίο αυτή ανήκει σε κάποιο σύνολο. Επιπλέον η δυσκολία πολλές φορές ερμηνείας των αποτελεσμάτων είναι ένας ακόμα παράγοντας που καθιστά τη διαδικασία της λήψης αποφάσεων μια δύσκολη υπόθεση. H επιστήμη της υδρολογίας αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα, καθώς οι παράγοντες που συμμετέχουν χαρακτηρίζονται από έντονη χωρική και χρονική διακύμανση. Περιλαμβάνει ένα σύστημα εννοιών, αρχών και μεθόδων που είναι περισσότερο προσεγγιστικές παρά ακριβείς, ενώ τα διαθέσιμα δεδομένα χαρακτηρίζονται στη πλειονότητα των περιπτώσεων από υψηλό βαθμό ασάφειας. Επιπλέον η μη γραμμικότητα των φαινομένων, αλλά και το γεγονός ότι οι φυσικές διεργασίες δεν είναι πάντοτε πλήρως κατανοητές, ενισχύουν την έλλειψη γνώσης για το υπό μελέτη αντικείμενο. Για παράδειγμα, για να μελετήσει κανείς τις παραμέτρους ενός υδροφορέα θα πρέπει δειγματοληπτικά στις θέσεις όπου υφίστανται γεωτρήσεις να μετρήσει ορισμένα μεγέθη, ενώ αυτές στην πραγματικότητα παρουσιάζουν υψηλή χωρική και χρονική μεταβλητότητα. Η επίλυση των προβλημάτων της υδρολογίας με τα συμβατικά μοντέλα συνοδεύεται συνήθως από μία σειρά παραδοχών και απλουστεύσεων, με στόχο την ενσωμάτωση των ασαφειών και της ανακρίβειας που είναι έμφυτη στα δεδομένα του προβλήματος. Αυτό σημαίνει ότι στην πραγματικότητα η επίτευξη υψηλής ακρίβειας είναι ανέφικτη, εφόσον τα ίδια τα δεδομένα χαρακτηρίζονται από ασάφεια. Τα τελευταία χρόνια τα μοντέλα της ασαφούς λογικής εισήλθαν στο χώρο της υδρολογίας ως μια εναλλακτική και ταυτοχρόνως αποτελεσματική μέθοδος μελέτης των φαινομένων. Η ασαφής λογική μπορεί να ξεπεράσει παρόμοια προβλήματα, έχοντας τη δυνατότητα να συλλαμβάνει την προσεγγιστική και ανακριβή φύση, δίνοντας αποτελέσματα με ικανοποιητική ακρίβεια, ακόμα και σε περιπτώσεις μη γραμμικών φαινομένων αλλά και σε άλλες όπου οι φυσικές διεργασίες δεν είναι πλήρως κατανοητές. Από τη στιγμή που οι επιστήμονες που ασχολούνται με θέματα υδρολογίας δεν γνωρίζουν πλήρως τις φυσικές διεργασίες σε μια λεκάνη απορροής, η ασαφής λογική καθίσταται ιδιαίτερα αποτελεσματικό εργαλείο στην επίλυση παρόμοιων προβλημάτων. Τα μοντέλα των ασαφών συστημάτων κανόνων χαρακτηρίζονται από απλότητα, δίνοντας ταχύτατα λύσεις σε πρακτικά προβλήματα αλλά κυρίως εξαιτίας της δομής του συστήματος των κανόνων που προσεγγίζει την ανθρώπινη λογική. Τα ασαφή συστήματα κανόνων έχουν εφαρμοστεί στη μελέτη των στοιχείων που συνθέτουν τον υδρολογικό κύκλο [1], στη διαχείριση των αποθεμάτων σε ταμιευτήρες [2, 3], σε μοντέλα βροχόπτωσης-απορροής [4, 5, 6, 7], στην πρόβλεψη ή την ανάκτηση τιμών βροχόπτωσης [8, 9] κτλ. Ένα από τα πιο συνήθη προβλήματα στο χώρο αποτελεί η ύπαρξη κενών στις εγγραφές των βροχομετρικών σταθμών ή σε ορισμένες περιπτώσεις η παύση της λειτουργίας αυτών, με αποτέλεσμα να καλύπτεται έτσι μικρότερη χρονική περίοδος από την επιθυμητή. Αυτό συνήθως οφείλεται σε δυσλειτουργία του οργάνου μέτρησης, σε αμέλεια και σφάλματα του παρατηρητή κτλ. Στις περιπτώσεις αυτές ο υπολογισμός των ελλειπουσών τιμών γίνεται με βάση γειτονικούς βροχομετρικούς σταθμούς. Στη συγκεκριμένη έρευνα, στόχος είναι η πρόβλεψη του δείγματος τιμών του βροχομετρικού σταθμού της Μίκρας του Ν. Θεσσαλονίκης χρησιμοποιώντας της θεωρία της ασαφούς λογικής. Γίνεται χρήση των ασαφών συστημάτων κανόνων, για την κατασκευή των οποίων εφαρμόζονται δύο τεχνικές, αυτή των ελαχίστων τετραγώνων και μιας τεχνικής παρόμοιας των τεχνητών νευρωνικών δικτύων (αλγόριθμος ANFIS). 2. ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ (FUZZY LOGIC) Η θεωρία της ασαφούς λογικής εισήχθηκε από τον Zadeh το 1965 στην προσπάθεια ενσωμάτωσης της ασάφειας και αμφιβολίας στη λήψη αποφάσεων και στη θεωρία ελέγχου. Μέχρι τότε η θεωρία των πιθανοτήτων ήταν αυτή η οποία χρησιμοποιούνταν για την επίλυση προβλημάτων που χαρακτηρίζονταν από ασάφεια και ανακρίβεια στα δεδομένα [10]. Στην κλασσική θεωρία των συνόλων (crisp set theory), ένα στοιχείο x ανήκει πλήρως ή όχι σε κάποιο σύνολο και αυτό περιγράφεται από μια χαρακτηριστική συνάρτηση, η οποία παίρνει τις τιμές 1 ή 0, εφόσον το στοιχείο x ανήκει ή όχι στο σύνολο Χ. Σε αντίθεση με τα κοινά σύνολα όπου ένα αντικείμενο ανήκει πλήρως ή όχι σε κάποιο σύνολο, στα ασαφή σύνολα ένα αντικείμενο είναι δυνατόν να ανήκει μερικώς σε κάποιο σύνολο. Ασαφές είναι το σύνολο χωρίς ευδιάκριτα όρια και σαφώς καθορισμένα χαρακτηριστικά. Ο βαθμός στον οποίο το στοιχείο x ανήκει σε κάποιο σύνολο περιγράφεται από την συνάρτηση εμπιστοσύνης (membership function) και παίρνει τιμές μεταξύ του μηδενός και του ένα [11]. Τα ασαφή σύνολα αποτελούν προέκταση των κλασσικών συνόλων και η συνάρτηση εμπιστοσύνης αποτελεί προέκταση της χαρακτηριστικής συνάρτησης παίρνοντας όλες τις τιμές στο διάστημα [0,1] [12].

Ορισμός Έστω το σύνολο Χ. Το Α καλείται υποσύνολο του Χ εάν αποτελείται από ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών της μορφής:

( ) ( ) [ ] 1,0,;, ∈∈= xXxxxA AA μμ όπου μΑ(x) η τιμή της συνάρτησης εμπιστοσύνης του x στο Α. Όσο πιο κοντά είναι η τιμή της συνάρτησης εμπιστοσύνης μΑ(x) στη μονάδα, τόσο περισσότερο το στοιχείο x ανήκει στο ασαφές σύνολο Α.

2.1 Σχήμα συνάρτησης εμπιστοσύνης Οι συναρτήσεις εμπιστοσύνης αποτελούν το μέσο προσδιορισμού της ασάφειας ενός συνόλου. Ένα από τα πλεονεκτήματα της ασαφούς λογικής αποτελεί και η δυνατότητα επιλογής συναρτήσεων εμπιστοσύνης από μία πληθώρα τύπων. Η επιλογή του σχήματος βασίζεται στην εμπειρία και τη γνώση του ερευνητή, ωστόσο συνήθως μετά την εκτέλεση δοκιμάζονται διάφορες μορφές μέχρι την επίτευξη της ιδανικής λύσεως. 2.1.1 Τριγωνικές (triangular) Ένα ασαφές σύνολο είναι τριγωνικό και συμβολίζεται (α1, α2, α3)Τ με α1< α2< α3 αν η συνάρτηση εμπιστοσύνης του είναι:

( ) ( ) ( ) 3223

321

12

131 , ,, x0 αα

αααμαα

αααμααμ ≤<

−−

=≤<−−

=≥<= xxxxxxxx AAA (1)

2.1.2 Κωδωνοειδείς (bell-shaped) Η εξίσωση της κωδωνοειδούς συνάρτησης εμπιστοσύνης είναι:

( ) ( ) βμ /2axA ex −−= , (2)

όπου α μια παράμετρος που καθορίζει το κέντρο και β / 2 άλλη παράμετρος που καθορίζει το σημείο καμπής. Πέραν των παραπάνω υπάρχει και μία πληθώρα άλλων τύπων συναρτήσεων εμπιστοσύνης πχ. τύπου Gauss, σιγμοειδής κτλ. [14]. 2.2 Ασαφής βάση κανόνων (Fuzzy Rule Base, FRB) Η ασαφής βάση κανόνων ή αλλιώς τα ασαφή συστήματα κανόνων (FRB) αποτελούν μια από τις πιο επιτυχημένες εφαρμογές της ασαφούς λογικής, καθώς συλλαμβάνουν με έναν ιδιαίτερο τρόπο την προσεγγιστική και ανακριβή φύση του πραγματικού κόσμου. Στα μοντέλα της ασαφούς βάσης κανόνων οι σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών περιγράφονται λεκτικά, παρά χρησιμοποιώντας γνωστές μαθηματικές σχέσεις. Για την μαθηματικοποίηση των λεκτικών αυτών μεταβλητών χρησιμοποιούνται τα ασαφή σύνολα. Η διαφορά των ασαφών κανόνων από τους κοινούς είναι ότι οι υποθέσεις του κανόνα είναι δυνατόν να ικανοποιούνται σε μερικό βαθμό, οπότε και ο κανόνας έχει μερική ισχύ. Η επιτυχής εφαρμογή της ασαφούς βάσης κανόνων στη λήψη αποφάσεων είναι απόρροια του γεγονότος ότι η ανθρώπινη λογική βασίζεται σε εκφράσεις της μορφής «εάν-τότε». Το «εάν» αποτελεί ένα άνυσμα επεξηγηματικών μεταβλητών ή ασαφών υποθέσεων (fuzzy premises) και το «τότε» το άνυσμα με τα ασαφή αποτελέσματα ή αποκρίσεις (fuzzy responses). Οι ασαφείς κανόνες αποτελούν το μέσον για τη μετατροπή της παραπάνω λεκτικής έκφρασης σε μια υπολογιστικά εφικτή μορφή. Μία ασαφής βάση κανόνων R ορίζεται ως το σύνολο των κανόνων που αποτελούνται από σύνολα ασαφών υποθέσεων Αi,k (fuzzy premises) με τη μορφή ασαφών συνόλων με συναρτήσεις εμπιστοσύνης μΑi,k και ένα σύνολο ασαφών αποκρίσεων Bi,k (responses) επίσης με τη μορφή ασαφών συνόλων. Οι κανόνες έχουν την ακόλουθη μορφή:

iKi,Ki,22i,11 B A a.......A aA a τοτεειναιειναιειναιτον ⊗⊗⊗Α Όλοι οι κανόνες σε ένα σύστημα χρησιμοποιούν τις ίδιες μεταβλητές ως υποθέσεις και την ίδια μεταβλητή ως απόκριση. Οι ασαφείς υποθέσεις είναι οι μεταβλητές αυτές οι οποίες λειτουργούν ως «επεξηγηματικές» για να δώσουν το αποτέλεσμα, που είναι η απόκριση του κανόνα. Οι ασαφείς υποθέσεις και αποκρίσεις περιγράφονται συχνά με τη βοήθεια λεκτικών μεταβλητών και συνδέονται μεταξύ τους με τη βοήθεια τελεστών όπως το AND, OR κτλ, που απεικονίζονται με το σύμβολο ⊗ στο παραπάνω παράδειγμα. Οι παραπάνω τελεστές μεταφράζονται μέσω μιας σειράς νορμών που έχουν προταθεί από διάφορους ερευνητές [14].

Οι ασαφείς κανόνες συσχετίζουν τη συνάρτηση εμπιστοσύνης των ασαφών υποθέσεων με τη συνάρτηση εμπιστοσύνης της ασαφούς απόκρισης. Οι ασαφείς υποθέσεις μετατρέπονται σε έναν αριθμό που ονομάζεται βαθμός ικανοποίησης ενός κανόνα (Degree of fulfillment, DOF) και παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 1. Ο βαθμός ικανοποίησης δείχνει το βαθμό στον οποίο ισχύει η υπόθεση του ασαφούς κανόνα. Ο ίδιος βαθμός ικανοποίησης ισχύει και για την απόκριση Β. Τα βήματα για την κατασκευή ενός μοντέλου FRB συνοπτικά είναι τα εξής: 1. Επιλογή των ασαφών υποθέσεων και της απόκρισης (Επιλέγονται οι μεταβλητές εισόδου και η μεταβλητή

εξόδου) 2. Κατασκευή των ασαφών αριθμών (Ορίζονται οι τύποι των ασαφών αριθμών, το εύρος τους κτλ) 3. Κατασκευή του συστήματος των κανόνων 4. Επαγωγική διαδικασία (Η διαδικασία που ακολουθείται από την εισαγωγή των δεδομένων στο μοντέλο

μέχρι και την εξαγωγή του αποτελέσματος). 5. Αποσαφήνιση (Το αποτέλεσμα που είναι ένας ασαφής αριθμός αντικαθίσταται από έναν αντιπροσωπευτικό

πραγματικό αριθμό). 2.2.1 Τύποι συστήματος κανόνων Διακρίνονται δύο τύποι συστημάτων κανόνων. Αυτοί είναι: A. Mamdani Τα ασαφή συστήματα κανόνων τύπου Mamdani είναι τα πιο κοινά, καθώς σε αυτά βασίστηκαν τα πρώτα συστήματα ελέγχου της ασαφούς λογικής. Στα συστήματα κανόνων Mamdani υπάρχουν τρία ευδιάκριτα στάδια, που είναι η κατασκευή των ασαφών αριθμών, λήψη της απόφασης και αποσαφήνιση [14]. B. Takagi-Sugeno Η διαφορά των ασαφών συστημάτων τύπου Takagi-Sugeno από το προηγούμενο είναι ότι δεν έχει ευδιάκριτη διαδικασία αποσαφήνισης, καθώς συγχωνεύει το δεύτερο και τρίτο στάδιο της παραπάνω διαδικασίας. Το αποτέλεσμα δηλαδή που προκύπτει από την εισαγωγή ενός ανύσματος δεδομένων στο σύστημα των κανόνων δεν είναι ένα ασαφές σύνολο αλλά ένα πολυώνυμο μηδενικού ή πρώτου βαθμού, το οποίο είναι συνάρτηση της μεταβλητής εισόδου. Οι κανόνες στη περίπτωση του μοντέλου των Takagi-Sugeno έχουν την ακόλουθη μορφή:

( ) ( ) ( ) ( )pxxx ,....,,fy then A is x,....,A is x,A is xIf 21rrp

rp2

r21r1 =

όπου Ar

(j) είναι το ασαφές σύνολο που εκφράζεται με μια λεκτική μεταβλητή και αντιστοιχεί στη μεταβλητή xj, p ο αριθμός των μεταβλητών, r ο αριθμός του κανόνα, fr μια συνάρτηση των μεταβλητών και y το αποτέλεσμα που προκύπτει [15].Η συνάρτηση fr αποτελεί πολυώνυμο μηδενικού ή πρώτου βαθμού. 2.2.2. Κατασκευή των ασαφών συστημάτων κανόνων Η κατασκευή ενός συστήματος κανόνων είναι μια διαδικασία, όπου η γνώση και τα διαθέσιμα δεδομένα μετασχηματίζονται σε ασαφείς κανόνες, αντιπροσωπευτικούς του συστήματος που μελετάται. Στα απλά συστήματα η διατύπωση των κανόνων είναι συνήθως μια εμπειρική διαδικασία. Η κατασκευή των κανόνων που αναφέρονται σε ακραίες περιπτώσεις είναι μια διαδικασία που μπορεί να προκύψει εμπειρικά, λόγω της φύσης των συνθηκών. Αντιθέτως για την κατασκευή των κανόνων που αντιστοιχούν στις ενδιάμεσες περιπτώσεις η διαδικασία είναι περισσότερο σύνθετη και το αποτέλεσμα συνήθως προκύπτει με βάση τα ιστορικά δεδομένα. Στην πλειοψηφία των περιπτώσεων για την κατασκευή του συστήματος των κανόνων χρησιμοποιείται ένα σύνολο βαθμονόμησης. Για την κατασκευή ενός συστήματος κανόνων με σύνολο βαθμονόμησης θα πρέπει να είναι διαθέσιμο ένα σύνολο τιμών των μεταβλητών εισόδου και εξόδου.

2.2.3. Ο αλγόριθμος των ελαχίστων τετραγώνων Ο αλγόριθμος των ελαχίστων τετραγώνων βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του αθροίσματος της διαφοράς που προκύπτει μεταξύ των τιμών που προκύπτουν από την εκτέλεση του μοντέλου και των παρατηρημένων τιμών, στο τετράγωνο. Το άθροισμα του σφάλματος, υψωμένο στο τετράγωνο, μεταξύ των τιμών που προκύπτουν από το μοντέλο και των παρατηρημένων τιμών μπορεί να γραφεί ως εξής:

( ) ( )( )[ 21 ,.....,∑ −

SK sbsasaR ( )] (3)

Αφού το αριστερό μέρος του κανόνα έχει διατυπωθεί, μπορεί να βρεθεί ο βαθμός ικανοποίησης (DOF), νi(s) που αντιστοιχεί σε ένα άνυσμα δεδομένων α1(s),….., αk(s) για κάθε κανόνα i από το σύνολο των Ι κανόνων. Η απόκριση μπορεί να γραφεί ως ακολούθως:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )s

BMssasaR

i

I

i iiK ν

ν∑ == 11 ,......., (4)

όπου Μ(Βi) ο ασαφής μέσος της συνάρτησης εμπιστοσύνης Bi Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι η αντικειμενική συνάρτηση η οποία θα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί είναι η εξής:

( ) ( )( )

( )2

1

1∑∑

∑⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

=

=

sI

i i

I

i ii sbs

BMs

ν

ν (5)

Έπειτα από μία σειρά πράξεων προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων από τη λύση του οποίου προκύπτουν οι τιμές των ασαφών μέσων των αποκρίσεων που αντιστοιχούν σε κάθε κανόνα. Αφού κατασκευαστεί το αρχικό σύστημα των κανόνων μπορεί να γίνει βαθμονόμηση ώστε να προκύψει το ιδανικό σχήμα των συναρτήσεων εμπιστοσύνης των ασαφών υποθέσεων (τριγωνικές κτλ) [14]. 2.2.4. Ο αλγόριθμος ANFIS (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System) Ο αλγόριθμος ANFIS αποτελεί άλλη μια μέθοδο κατασκευής συστημάτων κανόνων με βάση τα διαθέσιμα δεδομένα και προτάθηκε από τον Jang το 1993 [16]. Ανήκει στην κατηγορία αυτή των τεχνικών, όπου εξάγεται η ενσωματωμένη στα δεδομένα πληροφορία, για την κατασκευή των συναρτήσεων εμπιστοσύνης που ταιριάζουν καλύτερα σε κάθε πρόβλημα. Η συγκεκριμένη μέθοδος διαθέτει αντίστοιχη δομή με τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα. Έχοντας διαθέσιμες τιμές δεδομένων που αντιστοιχούν στις μεταβλητές εισόδου και εξόδου, η μέθοδος αυτή προσαρμόζει τις παραμέτρους των συναρτήσεων εμπιστοσύνης, ώστε να αποδώσουν καλύτερα τη συμπεριφορά του υπό μελέτη συστήματος, με τη χρήση ενός βαθμωτού ανύσματος (gradient vector) [17].

Δομή Έστω ένα σύστημα ασαφών κανόνων της μορφής Takagi-Sugeno που αποτελείται από δύο ασαφείς υποθέσεις x και y και μία απόκριση. H απόκριση αποτελεί πολυώνυμο f πρώτου βαθμού. Το σύστημα αποτελείται από δύο κανόνες της μορφής «ΕΑΝ-ΤΟΤΕ»: Κανόνας 1: ΕΑΝ x είναι A1 και y είναι B1 ΤΟΤΕ f1 = p1x + q1y + r1Κανόνας 2: ΕΑΝ x είναι A2 και y είναι B2 ΤΟΤΕ f2 = p2x + q2y + r2 όπου p,q,r, αποτελούν τις παραμέτρους του πολυωνύμου. • Επίπεδο 1: Κάθε σημείο έχει συνάρτηση εμπιστοσύνης:

( )xOiAi =1, μ

όπου x είναι η μεταβλητή εισόδου, Ai μια λεκτική μεταβλητή και μAi η αντίστοιχη συνάρτηση εμπιστοσύνης. Στο επίπεδο 1 προκύπτει η συνάρτηση εμπιστοσύνης κάθε μεταβλητής εισόδου. Αν χρησιμοποιηθεί η κωδωνοειδής συνάρτηση, τότε:

( )

ii

i

A

ba

cxx

i

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

=2

1

1μ (6)

όπου ai, bi, ci οι παράμετροι που χρησιμοποιούνται. • Επίπεδο 2: Στο δεύτερο επίπεδο συνδυάζονται τα αποτελέσματα του προηγούμενου επιπέδου ώστε να προκύψει ο βαθμός ικανοποίησης (DOF) κάθε κανόνα. Όταν χρησιμοποιείται ο τελεστής ΚΑΙ τότε εφαρμόζεται μία t-norm. Από το σύνολο των t-norm αν επιλεγεί το αλγεβρικό γινόμενο (Algebraic product) τότε:

( ) ( ) 1,2i ,2, =×== yxwOii BAii μμ ,

όπου wi αποτελεί το βαθμό ικανοποίησης του κανόνα (DOF). (7)

• Επίπεδο 3: Στο επίπεδο αυτό το εξαγόμενο αποτέλεσμα του σημείου i ισούται με το λόγο του σημείου i του δεύτερου επιπέδου προς το άθροισμα του συνόλου των εξαγομένων αποτελεσμάτων του επιπέδου 2.

1,2i ,21

3, =+

==ww

wwO iii (8)

• Επίπεδο 4: Το εξαγόμενο αποτέλεσμα του σημείου i του τέταρτου επιπέδου προκύπτει από την ακόλουθη εξίσωση:

( iiiiiii ryqxpwfwO ++==4, ) (9) όπου pi, qi, ri το σύνολο των παραμέτρων της απόκρισης κάθε κανόνα. • Επίπεδο 5: Πραγματοποιείται η διαδικασία της αποσαφήνισης.

∑∑

∑ ==

ii

iii

iiii w

fwfwO 5, (10)

3. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Στη συγκεκριμένη έρευνα παρουσιάζεται η δυνατότητα πρόβλεψης του δείγματος τιμών ενός μετεωρολογικού σταθμού και συγκεκριμένα του σταθμού της Μίκρας, με βάση τις τιμές που έχουν καταγραφεί στο σταθμό της Θεσσαλονίκης. Οι σταθμοί βρίσκονται στο Νομό Θεσσαλονίκης και απέχουν μεταξύ τους απόσταση 10 χιλιομέτρων περίπου. Για την εφαρμογή χρησιμοποιήθηκαν οι μέσες μηνιαίες τιμές των σταθμών. Τα δεδομένα των δύο σταθμών παρουσιάζουν τιμή συντελεστή συσχέτισης ίση με 0,7324. -Μετεωρολογικός σταθμός Θεσσαλονίκης Τα δεδομένα του σταθμού της Θεσσαλονίκης ((φ: 40ο37’Ν, λ: 22ο57’ Ε, υψόμετρο 30,78 μ.υ.θ.) καλύπτουν μία ευρεία χρονική περίοδο από το 1934 μέχρι και σήμερα. Ο σταθμός ανήκει στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. -Μετεωρολογικός σταθμός Μίκρας Ο μετεωρολογικός σταθμός της Μίκρας (φ: 40ο31’Ν, λ: 22ο58’ Ε) βρίσκεται στο αεροδρόμιο «Μακεδονία» της Θεσσαλονίκης και τα διαθέσιμα δεδομένα καλύπτουν τη χρονική περίοδο από το 1950 έως το 1997. Από αυτά ένα μέρος (1950-1982) χρησιμοποιήθηκαν για τη βαθμονόμηση του μοντέλου και τα υπόλοιπα για την επαλήθευση των αποτελεσμάτων, συγκρίνοντας τις παρατηρημένες τιμές με αυτές που προκύπτουν από την εκτέλεση των μοντέλων. 3.1. Εκτέλεση των μοντέλων Τα δύο μοντέλα λειτουργούν με βάση ασαφείς κανόνες της μορφής «Εάν-Τότε» όπου το «εάν» αντιστοιχεί στο άνυσμα των ασαφών υποθέσεων που είναι τα δεδομένα του σταθμού της Θεσσαλονίκης. Το «τότε» αντιστοιχεί στις ασαφείς αποκρίσεις που είναι οι τιμές του σταθμού της Μίκρας. Όπως αναφέρθηκε και πριν χρησιμοποιήθηκαν δύο μοντέλα ασαφούς λογικής. Το πρώτο χρησιμοποιεί κανόνες τύπου Mamdani και τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για την βαθμονόμηση. Το δεύτερο βασίζεται σε κανόνες της μορφής Takagi-Sugeno και τον αλγόριθμο ANFIS που παρέχεται από το λογισμικό MATLAB. Το λογισμικό που χρησιμοποιήθηκε για τη βαθμονόμηση με την εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων κατασκευάστηκε από τους συγγραφείς του άρθρου σε περιβάλλον Visual Basic. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την εκτέλεση των μοντέλων συγκρίθηκαν με τις πραγματικές τιμές, ενώ η απόδοση των μοντέλων αξιολογήθηκε βρίσκοντας το μέσο ανηγμένο τετραγωνικό σφάλμα (reduced MSE) και τον συντελεστή συσχέτισης (R) υπολογισμένων και παρατηρημένων τιμών.

2

1n1MSE ∑

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

n

i obs

calcobs

YYYανηγμενο (11)

όπου Yobs η παρατηρημένη τιμή και Ycalc η υπολογισμένη. Ο αριθμός των συναρτήσεων εμπιστοσύνης των ασαφών υποθέσεων προκύπτει με εμπειρικό τρόπο, ώστε το αποτέλεσμα να είναι το βέλτιστο δυνατό. Για το λόγο αυτό ο αριθμός των συναρτήσεων εμπιστοσύνης που δοκιμάστηκαν για τον διαχωρισμό του πεδίου των τιμών του σταθμού της Θεσσαλονίκης κυμάνθηκε μεταξύ 3 και 5. Προέκυψε ότι περαιτέρω αύξηση του αριθμού των συναρτήσεων εμπιστοσύνης συνοδεύονταν από μείωση της απόδοσης των μοντέλων. Η δοκιμή διαφόρων συναρτήσεων εμπιστοσύνης γίνεται ώστε να βρεθεί αυτός που αναπαράγει με μεγαλύτερη επιτυχία το σύστημα. Δοκιμάστηκαν δύο τύποι συναρτήσεων εμπιστοσύνης, η τριγωνική και η κωδωνοειδής. Για το χωρισμό του πεδίου τιμών των ασαφών υποθέσεων ευρίσκονται αρχικά οι ακραίες τιμές του υπάρχοντος δείγματος τιμών των ασαφών υποθέσεων και το διάστημα χωρίζεται ισομερώς ανάλογα με τον αριθμό των συναρτήσεων εμπιστοσύνης που έχει επιλεγεί. Θα πρέπει να

σημειωθεί ότι λαμβάνεται και ένα ποσοστό επικάλυψης μεταξύ των ασαφών αριθμών, ώστε για κάθε τιμή που εισάγεται στο μοντέλο, το αποτέλεσμα που προκύπτει να προέρχεται από την εφαρμογή περισσότερων του ενός κανόνων. Ενδεικτικά στο σχήμα 1 απεικονίζεται ο χωρισμός του πεδίου τιμών του σταθμού της Θεσσαλονίκης με τέσσερεις ασαφείς αριθμούς και επικάλυψη 50%.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

21.8 26.8 31.8 36.8 41.8 46.8 51.8

Μηνιαία ύψη βροχής (mm)

μΑ(x)

Σχήμα 1: Χωρισμός του πεδίου τιμών με τέσσερεις ασαφείς αριθμούς

3.2. Βαθμονόμηση και επαλήθευση Το σύνολο των παρατηρημένων τιμών των δύο σταθμών χωρίστηκε σε δύο υποσύνολα. Από αυτά το ένα χρησιμοποιήθηκε για την βαθμονόμηση των μοντέλων (1950-1982) και το δεύτερο για την πρόβλεψη και επαλήθευση των αποτελεσμάτων (1983-1997). Το σύνολο βαθμονόμησης χρησιμοποιείται στις περιπτώσεις εκείνες κατά τις οποίες τα φαινόμενα είναι αρκετά σύνθετα και δεν είναι δυνατή η απευθείας κατασκευή των κανόνων.

4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Μετρήθηκε η απόδοση των δύο μοντέλων ασαφών κανόνων για τα έτη από το 1983 έως και το 1997 χρησιμοποιώντας το Ανηγμένο Μέσο Τετραγωνικό Σφάλμα (reduced Mean Square Error, MSE) και τον συντελεστή συσχέτισης (R) μεταξύ των παρατηρημένων τιμών του ύψους της βροχόπτωσης του σταθμού της Μίκρας και των τιμών που προέκυψαν από τα μοντέλα για το σύνολο βαθμονόμησης, όπως φαίνεται στον πίνακα 1. ΠΙΝΑΚΑΣ 1: Οι τιμές του ανηγμένου μέσου τετραγωνικού σφάλματος και του συντ. συσχέτισης των μοντέλων

Μέθοδος βαθμονόμησης

Αριθμός συναρτήσεων εμπιστοσύνης

Τύπος συναρτήσεων εμπιστοσύνης

ReducedMSE Συντ. συσχέτ (R)

1 Ελαχ. τετραγ 3 Τριγωνική 0.01425 0,9054 2 “ 4 “ 0.01238 0.8943 3 “ 5 “ 0.01126 0.9155 4 “ 3 Κωδωνοειδής 0.01562 0.8964 5 “ 4 “ 0.01228 0.9008 6 “ 5 “ 0.01212 0.9102 7 ANFIS 3 Τριγωνική 0.01504 0,8896 8 “ 4 “ 0.01425 0.9001 9 “ 5 “ 0.01483 0.9058 10 “ 3 Κωδωνοειδής 0,01822 0.8830 11 “ 4 “ 0,01526 0.8891 12 “ 5 “ 0,01337 0.9102

Στο σχήμα 2 παρουσιάζονται οι παρατηρημένες τιμές και οι τιμές που προκύπτουν από τα μοντέλα της ασαφούς λογικής. Προκύπτει ότι το μοντέλο της ασαφούς λογικής που βασίζεται στη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων παρουσιάζει πλεονέκτημα έναντι του μοντέλου που χρησιμοποιεί τη μέθοδο ANFIS για τη βαθμονόμηση. Η καλύτερη απόδοση επιτυγχάνεται εφαρμόζοντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και πέντε ασαφείς αριθμούς με ανηγμένο MSE = 0,01126 και συντελεστή συσχέτισης 0,9155.

0

10

20

30

40

50

60

70

1950 1960 1970 1980 1990

Παρατηρημένες 5 Triang FN-Least square 5 Bell FN-ANFIS

1982

Σύνολο βαθμονόμησης Σύνολο επαλήθευσης

Σχήμα 2: Παρατηρημένες και εξαγόμενες από τα μοντέλα τιμές βροχόπτωσης Προέκυψε επίσης ότι η απόδοση και των δύο μοντέλων εξαρτάται κυρίως από τον αριθμό των συναρτήσεων εμπιστοσύνης της ασαφούς υπόθεσης, παρά από το σχήμα τους. Όπως αναφέρθηκε και πριν η καλύτερη απόδοση παρατηρείται με τη χρήση πέντε ασαφών αριθμών, ενώ περαιτέρω αύξηση του αριθμού των ασαφών συνόλων οδηγεί σε μείωση της απόδοσης και των δύο μοντέλων, γι’ αυτό και δεν παρουσιάζονται στη συγκεκριμένη έρευνα. Ευχαριστίες: Ο Λεωνίδας Μπαλλάς είναι Υπότροφος του ΙΚΥ. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Bárdossy A., (1996), The use of fuzzy rules for the description of elements of the hydrological cycle,

Ecological modeling Vol 85 (1996) pp 59-65 2. Shrestha B., Duckstein L., Stakhiv E. (1996). Fuzzy rule-based modelling of reservoir operation, Journal of

water resources planning and management, Vol 122(4), pp 262-269 3. Panigrahi D., Mujumdar P., (2000), Reservoir Operation Modelling with Fuzzy Logic, Water resources

research, Vol 14, pp 89-109 4. Hundecha Y., Bárdossy A., Theisen H., (2001), Development of a fuzzy logic-based rainfall-runoff model,

Hydrological Sciences, Vol 43 (3), pp 363-375 5. Mahabir C., Hicks F. E., Fayek R., (2003), Application of fuzzy logic to forecast seasonal runoff,

Hydrological Processes, Vol 17, pp 3749-3762 6. Nayak P., Sudheer K., Ramasastri K., (2005), Fuzzy computing based rainfall-runoff model for real time

flood forecasting, Hydrological Processes, Vol 19, pp 955-968 7. Yu Pao-Shan and Shien-Tsung Chen, (2005), Updating real-time flood forecasting using a fuzzy rule-based

model, Hydrological Sciences Journal, Vol 50 (2), April 2005 8. Abebe A. J., Solomatine D. P., Venneker R. G. W., (2000), Application of adaptive fuzzy rule-based models

for reconstruction of missing precipitation events, Hydrological Sciences Journal, Vol 45 (3), pp. 425-436 9. Pongracz R., Bartholy J., Bogardi I., (2001), Fuzzy Rule-Based Prediction of Monthly Precipitation, Phys.

Chem. Earth (B), Vol. 26, No. 9, pp. 663-667 10. Dubois D., Prade H., (1986), Fuzzy sets and statistical data, European Journal of operational research,

Vol 25, pp 345-356, North Holland 11. Kaufmann A., Gupta MM., (1991), Introduction to fuzzy arithmetic: theory and applications. Van

Nostrand Reinhold, New York 12. Zimmermann, H. J., (1985), Fuzzy Set Theory and its Applications, Kluwer Academic Publishers, Boston 13. Χαλκίδης Ηρακλής (2005), Εφαρμογή της Θεωρίας της Προσεγγιστικής Λογικής στους Υπόγειους

Υδροφορείς, Διδακτορική Διατριβή, Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών ΑΠΘ 14. Bárdossy A., and Duckstein L., (1995). Fuzzy rule-based modeling with applications to geophysical,

biological and engineering systems. CRC Press, Boca Raton, Fla 15. Vernieuwe H., Georgieva O., De Baets B., Pauwels V., Verhoest N., De Troch F., (2005), Comparison of

Takagi-Sugeno models of rainfall-discharge dynamics, Journal of Hydrology, Vol 302, pp 173-186 16. Jang, J.-S.R., (1993), ANFIS: Adaptive-Network-based Fuzzy Inference Systems, IEEE Transactions on

Systems, Man and Cybernetics, Vol. 23, No 3, pp. 665-685 17. Mathworks Inc, (1995), Fuzzy Logic Toolbox-For use with MATLAB, Users guide, Version 2, The

Mathworks Inc, Massachusetts USA