ΚΛΙΜΑΚΕ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΑΡΦΗ

ΣΗ ΑΒΕΒΑΙΟΣΗΣΑ

τα επόμενα θα δούμε πως η αρχή της αβεβαιότητας

(απροσδιοριστίας) του Heisenberg, θέτει ένα κάτω όριο στην

ελάχιστη κινητική ενέργεια που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο του

μικρόκοσμου, που είναι «εγκλωβισμένο» σε μια περιοχή του χώρου:

ΗΛΕΚΣΡΟΝΙΟ ΣΟ ΕΩΣΕΡΙΚΟ ΣΟΤ ΑΣΟΜΟΤ

Θα υπολογίσουμε την ελάχιστη κινητική ενέργεια που

επιτρέπεται να έχει ένα ηλεκτρόνιο, το οποίο είναι δέσμιο, λόγω της

ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης, στο εσωτερικό του ατόμου.

Για να ξεκινήσουμε τον υπολογισμό, ας θεωρήσουμε ότι η

αβεβαιότητα (απροσδιοριστία) στη θέση του ηλεκτρονίου είναι

περίπου ίση με την ατομική ακτίνα. Θεωρούμε δηλαδή ότι:

0,1x nm ή 1010x m (1)

Από την αρχή της αβεβαιότητας (Heisenberg) έχουμε:

.2

x p (2)

Η αντίστοιχη λοιπόν αβεβαιότητα στην ορμή θα είναι:

2p

x

(3)

Η ελάχιστη κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου θα είναι:

2

min

( )

2k

pE

m ή

2

2min 8 ( )kE

m x

(4)

Η μάζα του ηλεκτρονίου είναι:

319,1.10m Kg (5)

Η σχέση (4) λοιπόν δίνει:

2

2min 8 ( )kE

m x

ή

34 2

31 10 2min

(1,06.10 )

8.9,1.10 .(10 )k

JsE

Kg m ή

2 219

2min1,54.10k

J sE

Kgm ή

19

min1,54.10kE J ή

min1kE eV (6)

τα προηγούμενα, κάναμε χρήση των τιμών:

341,06.10 Js

191 1,6.10 JeV

ΠΡΩΣΟΝΙΟ ΣΟ ΕΩΣΕΡΙΚΟ ΣΟΤ ΠΤΡΗΝΑ

Θα υπολογίσουμε τώρα την ελάχιστη κινητική ενέργεια που

επιτρέπεται να έχει ένα πρωτόνιο, το οποίο είναι εγκλωβισμένο μέσω

της ισχυρής δύναμης στον πυρήνα.

Ας θεωρήσουμε σαν μια «τυπική» τιμή για την ακτίνα ενός

πυρήνα τα 2fm ( 151 10fm m )

Για να ξεκινήσουμε τον υπολογισμό μας ας θεωρήσουμε ότι

η αβεβαιότητα στη θέση του πρωτονίου είναι ίση με την πυρηνική

ακτίνα. Θεωρούμε δηλαδή ότι:

2x fm ή

152.10x m (7)

Από την αρχή της αβεβαιότητας (Heisenberg) έχουμε:

.2

x p

ή

2

px

(8)

Η ελάχιστη λοιπόν τιμή της κινητικής ενέργειας που

επιτρέπεται να έχει το «εγκλωβισμένο» πρωτόνιο θα είναι:

2

min

( )

2k

p

pE

m ή

2

2min 8 ( )k

p

Em x

(9)

Η μάζα του πρωτονίου είναι:

271,67.10pm Kg (10)

Έτσι λοιπόν:

34 2

27 15 2min

(1,06.10 )

8.1,67.10 .(2.10 )k

JsE

Kg m ή

13

min2,1.10kE J ή

6

min1,3.10 1,3kE eV MeV (11)

ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ

1) Η ελάχιστη κινητική ενέργεια που επιτρέπεται να έχει το

πρωτόνιο στον πυρήνα είναι στην περιοχή του ενός MeV. (Ενώ

αντίστοιχα για το ηλεκτρόνιο στο εσωτερικό του ατόμου, η

ελάχιστη επιτρεπόμενη τιμή της κινητικής ενέργειας είναι στην

περιοχή του ενός eV).

2) Η μάζα του πρωτονίου είναι: 271,67.10pm Kg οπότε:

2 940pm c MeV

Αντίστοιχα: 34 8

12

15

1,06.10 .3.10 /. 8.10

2 2.2.10

Js m sp c c J

x m

ή

. 50p c MeV

Βλέπουμε λοιπόν ότι: 2. pp c m c , γεγονός που μας

επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε την «μη σχετικιστική» σχέση

κινητικής ενέργειας-ορμής (2

2k

PE

m).

UP QUARK ΣΟ ΕΩΣΕΡΙΚΟ ΠΡΩΣΟΝΙΟΤ

Θα βρούμε τώρα την ελάχιστη κινητική ενέργεια που

επιτρέπεται να έχει ένα «πάνω» κουάρκ (up quark, u), το οποίο λόγω

της ισχυρής αλληλεπίδρασης είναι εγκλωβισμένο μέσα στο πρωτόνιο.

(Θεωρείστε την ακτίνα του πρωτονίου ίση προς 1fm).

Η αβεβαιότητα στη θέση του πάνω κουάρκ u στο πρωτόνιο,

μπορεί να ληφθεί προσεγγιστικά ίση με την ακτίνα του πρωτονίου,

οπότε έχουμε:

151 10x fm m (12)

Μέσω της αρχής του Heisenberg, η αβεβαιότητα στην ορμή

του u είναι:

2p

x

(13)

την περίπτωση του πάνω κουάρκ παρατηρούμε ότι:

.2

p c cx

ή

34 8

15

1,06.10 .3.10 /.

2 2.10

Js m sp c c

x m

ή

11. 1,6.10p c J ή

8. 10p c eV ή

. 100p c MeV (14)

Η μάζα του πάνω κουάρκ είναι της τάξης των 2

5eV

c, οπότε

παρατηρούμε ότι:

2. up c m c (15)

Έτσι λοιπόν (παίρνοντας και απλουστεύοντας την σχετικιστική σχέση

κινητικής ενέργειας – ορμής), βρίσκουμε ότι η ελάχιστη κινητική

ενέγεια τoυ u, στο εσωτερικό του πρωτονίου είναι:

min. 100kE p c MeV (16)

ΜΠΑΛΑΚΙ ΣΟΤ ΣΕΝΙ ΜΕΑ Ε ΚΟΤΣΙ

Ας θεωρήσουμε τώρα ένα μπαλάκι του τένις μέσα σε ένα κουτί

σχήματος κύβου και ακμής 0,5m. Ζητάμε την ελάχιστη κινητική

ενέργεια που επιτρέπεται να έχει το μπαλάκι.

Παίρνοντας ως αβεβαιότητα για τη θέση την τιμή:

0,5x m (17),

η αντίστοιχη αβεβαιότητα στην ορμή θα είναι:

2p

x

(18)

Σο μπαλάκι του τένις έχει μάζα (ας πούμε) 50g.

Η ελάχιστη λοιπόν επιτρεπόμενη τιμή της κινητικής ενέργειας

για το «εγκλωβισμένο» μπαλάκι θα είναι:

2

min

( )

2k

pE

m ή

2

2min 8 ( )kE

m x

ή

34 2

2 2min

(1,06.10 )

8.5.10 .(0,5 )k

JsE

Kg m ή

67

min1,1.10kE J ή

49

min6,9.10kE eV (19)

Σο παραπάνω αποτέλεσμα ( 4810 eV ) που για κάθε πρακτική

χρήση μπορεί να θεωρηθεί ίσο με το μηδέν, μας δείχνει ότι η αρχή

της αβεβαιότητας δεν κάνει αισθητή την παρουσία της στα

μακροσκοπικά αντικείμενα της καθημερινότητάς μας.

Ας δούμε τι σημαίνει για ένα αντικείμενο με μάζα 0,05Κγ, μια

κινητική ενέργεια της τάξης του 6710 J :

Από τη σχέση: 21

2kE m , βρίσκουμε ότι στην εν λόγω ενέργεια

αντιστοιχεί ταχύτητα:

2 kE

m ή 332.10

m

s

Η ηλικία του ύμπαντος είναι (τάξη μεγέθους) 1010 χρόνια.

Με δεδομένο ότι : 71 3,1.10ό s , η ηλικία του ύμπαντος

είναι: 173,1.10 s .

Πόση λοιπόν απόσταση διανύει ένα σώμα με την ταχύτητα

332.10m

s σε χρόνο όση η ηλικία του ύμπαντος;

Η απάντηση είναι περίπου 166.10 m . Δηλαδή απόσταση

μικρότερη και από την ακτίνα ενός πυρήνα (ή ακόμα και ενός

πρωτονίου). Έτσι λοιπόν στην μακροσκοπική περίπτωση με το

μπαλάκι του τένις, οι προβλέψεις της κλασσικής μηχανικής (το

μπαλάκι μπορεί και να είναι ακίνητο) αποδεικνύονται απόλυτα

σωστές.

ΑΘΗΝΑ, ΙΟΤΛΙΟ 2012

ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ ΓΙΑΝΝΗ