thanasiskopadis.blogspot.com Φροντιστήριο Μ.Ε. 19+

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΓ΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

3Ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 27/01/2013

ΘΕΜΑ Α Α1. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ0 του πεδίου ορισμού της?

(3 μονάδες)Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο (α,β) και πότε στο [α,β]

(5 μονάδες)Α3. Δίνεται η συνάρτηση f(χ)= , χ≥0 α) Να δείξετε ότι στο χ0=0 η f δεν είναι παραγωγίσιμη β) Να δείξετε ότι για χ>0 η f είναι παραγωγίσιμη με

f΄(χ) = (8 μονάδες)

Α4. Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Rolle

(5 μονάδες)

Α5. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος i) Aν η f είναι συνεχής στο [α,β] και υπάρχει ξє(α,β) τέτοιο , ώστε f(ξ)=0 , τότε f(α)f(β)<0

Σ Λ ii) Aν η f είναι ορισμένη στο [α,β] και συνεχής στο (α,β] , τότε η f παίρνει πάντα στο [α,β] μια μέγιστη τιμή

Σ Λ iii) Αν f΄(χ)=0 για κάθε χєR* , τότε η f σταθερή στο R*

Σ Λ iv) Aν f΄΄(χ)=0 για κάθε χєΔ , τότε f΄(χ)=c , χєΔ Σ Λ (4 μονάδες)

ΘΕΜΑ BΔίνεται συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο [0,2] για την οποία ισχύει f(0)=1 , f(1)=4 και f(2)=2.

thanasiskopadis.blogspot.com Φροντιστήριο Μ.Ε. 19+

B1. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(χ) = 3 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες ρ1, ρ2στο διάστημα (0,2)

(6 μονάδες)

B2. Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον χ1є(0,2) , τέτοιος ώστε f΄(χ1)=0

(6 μονάδες)

B3. Να βρείτε τους πραγματικούς α,β ώστε για την συνάρτηση g(χ)=f(χ)+αχ2+βχ να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στα διαστήματα [0,1] και [1,2].

(6 μονάδες)

B4. Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον χ2є(0,2) , τέτοιος ώστε f΄΄(χ2)=-5

(7 μονάδες)ΘΕΜΑ ΓΔίνεται η συνάρτηση f(χ) = (χ-2)lnχ + χ – 3 , χ>0

Γ1. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f

(5 μονάδες)

Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (0, 1] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [1, +)

(5 μονάδες)

Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(χ)=0 έχει δύο ακριβώς θετικές ρίζες

(6 μονάδες)

Γ4. Αν χ1 , χ2 οι ρίζες του ερωτήματος Γ3 με χ1 < χ2 , να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός ξє(χ1 , χ2) τέτοιος, ώστε ξ∙f΄(ξ) – f(ξ) = 0και ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

( 9 μονάδες)

ΘΕΜΑ Δ

thanasiskopadis.blogspot.com Φροντιστήριο Μ.Ε. 19+

Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R→R με f(0)=f΄(0)=0 για την οποία ισχύει :

f΄΄(χ)+[f΄(χ)]2 = 2e-f(χ) για κάθε χєR

Δ1. Να δείξετε ότι f΄(χ)ef(χ) = 2χ για κάθε χєR(7 μονάδες)

Δ2. Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(χ)=ln(χ2+1) , χєR

(8 μονάδες)

Δ3. Να δείξετε ότι η f δεν είναι "1-1" (4 μονάδες)

Δ4. Να βρείτε το όριο (6

μονάδες)

Καλή Επιτυχία Θανάσης Κοπάδης

Μαθηματικός