Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ' Λυκείου

Γιώργος Α. Απόκης

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Γ’ Λυκείου

Διαφορικός Λογισμός

Πάτρα 2013

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ’ Λυκείου – Γιώργος Α. Απόκης

1


Στην Ισμήνη,

στη Μαριάννα

και στην Αντιγόνη


2


ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ Α : Η έννοια της συνάρτησης

Α.1 - Εισαγωγικές έννοιες……………………………………4

Α.2 – Εύρεση πεδίου ορισμού………………………………..6

Α.3 – Στοιχεία γραφικών παραστάσεων……………………10

ΕΝΟΤΗΤΑ Β : Όριο - Συνέχεια

Β.1 – Όριο ρητής συνάρτησης……………………………....14

Β.2 – Όριο με ριζικά…………………………………………15

Β.3 – Συνδυαστικά όρια……………………………………..15

Β.4 – Συνέχεια συνάρτησης…………………………………18

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ : Η έννοια της παραγώγου

Γ.1 – Εισαγωγικές έννοιες…………………………………..20

Γ.2 – Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων –

Κανόνες παραγώγισης………………………………..23

Γ.3 – Εφαπτομένη γραφικής παράστασης…………………31

Γ.4 – Ρυθμός μεταβολής……………………………………38

Γ.5 – Μονοτονία – ακρότατα……………………………….43

Γ.6 – Προβλήματα εύρεσης ακροτάτου…………………....54

ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ……………………………………...59


3


Πρόλογος

Το βιβλίο «Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ’ Λυκείου – Διαφορικός

Λογισμός» αποτελεί το πρώτο μέρος της σειράς βιβλίων για την Γ’

Λυκείου και είναι ένα βιβλίο για το μαθητή.

Η ανάπτυξη της θεωρίας γίνεται με τρόπο τέτοιο, ώστε ο μαθητής να

μπορεί να προγραμματίσει και να οργανώσει μόνος του τη μελέτη του.

Η επίλυση των ασκήσεων συστηματοποιείται μέσω της αναλυτικής

παρουσίασης της μεθοδολογίας και η πληθώρα ασκήσεων καλύπτει όλο

το φάσμα της ύλης του κεφαλαίου.

Θέλω να ευχαριστήσω όλους τους μαθητές μου, που με τη ζωντάνια και

τη διάθεσή τους μου έδιναν πάντα κουράγιο και έμπνευση!

Ευχή μου είναι το βιβλίο να συμπληρώσει και να βοηθήσει την

προσπάθεια και τη μάχη που δίνουμε μαζί καθημερινά…

Πάτρα, Απρίλιος 2013

Γιώργος Α. Απόκης

«Όποιος πιστεύει ότι τα Μαθηματικά δεν είναι απλά, σίγουρα δεν έχει

συνειδητοποιήσει πόσο πολύπλοκη είναι η ζωή» - John von Neumann


4


ΕΝΟΤΗΤΑ Α

Η έννοια της συνάρτησης

Α.1 - Εισαγωγικές έννοιες

Το σύνολο Α λέγεται σύνολο (ή πεδίο) ορισμού της συνάρτησης και το

σύνολο Β λέγεται σύνολο άφιξης.

Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με πραγματικές συναρτήσεις

πραγματικής μεταβλητής, δηλαδή συναρτήσεις :f A B για τις οποίες

θα ισχύει ,A B R . O συμβολισμός π.χ. :[ 3,1] [2, )f σημαίνει ότι

η συνάρτηση f παίρνει αριθμούς x από το διάστημα [ 3,1]A και τους

αντιστοιχίζει σε αριθμούς ( )y f x στο διάστημα [2, )B .

Παράδειγμα 1

Δίνεται η συνάρτηση :f A B με τύπο ( ) 3 2f x x και

{ 2,1,3,0}A , { 2,10, 8,1, 5,7}B . Βρίσκουμε τις τιμές της

συνάρτησης σε κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού της και έχουμε :

( 2) 3 ( 2) 2 8, (1) 3 1 2 1f f

(3) 3 3 2 7, (0) 3 0 2 2f f .

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 8,1,7, 2 είναι στοιχεία του συνόλου B .

Ορισμός : Ονομάζουμε συνάρτηση μια διαδικασία με την οποία κάθε

στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο ενός

συνόλου Β.


5



Δίνεται η συνάρτηση :f R R με τύπο 2( ) 3f x x x .

α) Να βρείτε τις τιμές (0), ( 3), 2f f f

β) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ( ) 0f x

γ) Να λυθεί η εξίσωση ( ) 2f x .

Λύση

α) Είναι : 2 2(0) 0 3 0 0, ( 3) ( 3) 3 ( 3) 18 f f και

2

2 2 3 2 2 3 2f .

β) Έχουμε : 2( ) 0 3 0 ( 3) 0 0f x x x x x x ή 3x

γ) 2 2( ) 2 3 2 3 2 0 1f x x x x x x ή 2x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 3 2f x x x

α. Να βρείτε τις τιμές : ( 1), ( 3), (2)f f f

β. Να λύσετε την ανίσωση : ( ) 2f t .

2. Για τη συνάρτηση με τύπο ( )1 x

xf x

e

να αποδείξετε ότι ισχύει η

σχέση : ( ) ( )f x f x x για κάθε x R .

3. Για τη συνάρτηση : (0, )f R με τύπο 2

ln( )

1 ln

xf x

x

να

αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση : 1

( ) 0f x fx

για κάθε 0x .


6


Α.2 – Εύρεση πεδίου ορισμού

Για την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης της οποίας

γνωρίζουμε τον τύπο, εφαρμόζουμε τους παρακάτω περιορισμούς :

Παρατήρηση : Είναι αυτονόητο ότι αν στον τύπο δεν υπάρχει κάποιος

από τους παραπάνω περιορισμούς, τότε το πεδίο ορισμού της

συνάρτησης (εφόσον δεν δίνεται κάποιο άλλο) είναι το R.


Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) 3 ln(20 5 )f x x x .

Λύση

Πρέπει να ισχύουν συγχρόνως 3 0 3x x και

20 5 0 5 20 4x x x . Συναληθεύοντας έχουμε ότι το πεδίο

ορισμού είναι : [3,4)fA

Οι παρονομαστές πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός.

Οι υπόρριζες ποσότητες πρέπει να είναι μεγαλύτερες ή ίσες

του μηδενός.

Αν ο τύπος περιέχει παράσταση της μορφής ln( ( ))A x , τότε

πρέπει ( ) 0A x .

Αν ο τύπος περιέχει παράσταση της μορφής ( ( ))x , τότε

πρέπει ( ) ,2

A x Z

.

Αν ο τύπος περιέχει παράσταση της μορφής ( ( ))x , τότε

πρέπει ( ) ,A x Z .

Αν ο τύπος περιέχει παράσταση της μορφής ( )

( )B x

x , τότε

πρέπει ( ) 0A x .


7



Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της 2

2( ) ln( 7 10)

9

xf x x x

x

.

Λύση

Πρέπει να ισχύουν συγχρόνως 2 29 0 9 3x x x και

2 7 10 0x x . Το τριώνυμο έχει ρίζες 2, 5 άρα η ανίσωση δίνει

(2,5)x . Συναληθεύοντας, προκύπτει : (2,3) (3,5)fA .


Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 2

2

1( )

3 2

xf x

x x

.

Λύση

Πρέπει να ισχύει 2 3 2 0 1, 2x x x x . Επομένως {1,2}fA R

Αν στην παραπάνω συνάρτηση γράφαμε

2

2

1 ( 1)( 1) 1( )

3 2 ( 1)( 2) 2

x x x xf x

x x x x x

τότε θα είχαμε βρει

(λανθασμένα) πεδίο ορισμού το {2}fA R . Είναι φανερό ότι η

συνάρτηση 1

( )2

xg x

x

ορίζεται στο 1x , ενώ δεν υπάρχει η τιμή (1)f

για την 2

2

1( )

3 2

xf x

x x

.

Προσοχή! Δεν απλοποιούμε τον τύπο μιας συνάρτησης πριν βρούμε το

πεδίο ορισμού της.


8


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού καθεμιάς από τις παρακάτω συναρτήσεις:

i) 2x

f (x)x

ii) 2x 1

f (x)x 1

iii) 2

1f (x)

x 7x 10

iv)

22x 5xf (x)

x 4

2. Ομοίως για τις συναρτήσεις :

i) 2

1f (x)

x 2x 8

ii) 2f (x) x 2x 8

iii) 2

1f (x)

x 2x 8

iv) 2f (x) ln x 2x 8


i) 3

5x 4f (x)

x 4

ii)

xf (x)

x 1

iii) 2

1f (x)

2 x 1

iv)

2f (x) 1 1 x

v) f (x) 2 3ln(1 x) vi) f (x) 3 2ln(2x 1)

vii)x

xf (x)

e 1


i) 2x 2x

f (x)x 1

ii) 2f (x) ln x

iii) 2 2f (x) 4 x

x 1

iv) 3x

f (x) x 1ln x


9


v) 3 | x 2 |

f (x)2x 4 | x 1 |

vi) x xf (x) ln(4 2 12)

vii) 1

f (x)x 2 x 1

viii) 5x 3

f (x) ln ln5 2x

ix) 3 x 2

f (x)x | x |

x) 3 3f (x) (x 1) x 1

xi) f (x) ln[ln(lnx)] xii)x 2

f (x)3 x 4

xiii)3 x

f (x) ln3 x

xiv) 2 x 1f (x) (4 x )

5. Για ποιες τιμές του α η συνάρτηση 2

3x 5f (x)

x 2x 3

έχει πεδίο

ορισμού το R;

6. Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 3x 2f (x)

2x 2

. Να λυθεί η εξίσωση

f (x) 0 .

7. Να βρείτε το πεδίο ορισμού καθεμιάς από τις παρακάτω συναρτήσεις:

i) 3 2f (x) x 2x 3x 6 ii) 3x

f (x)| x | 1

iii) 4 2f (x) ln(x 5x 4) .


10


Α.3 – Στοιχεία γραφικών παραστάσεων


Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της

3f (x) 0.3(x 7x 6) η οποία:

- τέμνει τον άξονα x 'x στα σημεία A( 3,0), B(1,0), C(2,0) και τον

άξονα y'y στο σημείο D(0,1.8)

- βρίσκεται πάνω από τον x 'x για x ( 3,1) (2, ) και κάτω από τον

x 'x για x ( , 3) (1,2)

1. Σημεία τομής γραφικής παράστασης με τους άξονες

Για να βρούμε τα σημεία τομής της fC

α) με τον άξονα x 'x : λύνουμε την εξίσωση f (x) 0 .

β) με τον άξονα y'y : βρίσκουμε την τιμή y f (0) .

2. Σχετική θέση γραφικής παράστασης ως προς τον άξονα x΄x

Η fC βρίσκεται :

α) πάνω από τον άξονα x 'x για τα x για τα οποία ισχύει : f (x) 0 .

β) κάτω από τον άξονα x 'x για τα x για τα οποία ισχύει : f (x) 0 .

3. Σημεία τομής δύο γραφικών παραστάσεων

Για να βρούμε τα σημεία τομής των f gC ,C λύνουμε την εξίσωση

f (x) g(x) .

4. Σχετική θέση δύο γραφικών παραστάσεων

Η fC βρίσκεται :

α) πάνω από την gC για τα x για τα οποία ισχύει : f (x) g(x) .

β) κάτω από την gC για τα x για τα οποία ισχύει : f (x) g(x) .


11



Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) ln(x 3x 3) . Να βρεθούν :

α) τα σημεία τομής της fC με τους άξονες.

β) η σχετική θέση της fC ως προς τον x 'x .

Λύση

Αρχικά πρέπει 2x 3x 3 0 που ισχύει αφού 9 12 3 0 , άρα

έχουμε : f R .

α) Για τον x 'x λύνουμε την εξίσωση 2f (x) 0 ln(x 3x 3) 0

2 2x 3x 3 1 x 3x 2 0 x 1 ή x 2 άρα τέμνει στα

σημεία A(1,0) και B(2,0) . Για τον y'y (και αφού το 0 ανήκει στο

πεδίο ορισμού) έχουμε y f (0) ln3 άρα τέμνει στο σημείο (0,ln3) .

β) Για τη σχετική θέση χρειαζόμαστε το πρόσημο της f (x) . Είναι

2 2 2f (x) 0 ln(x 3x 3) 0 x 3x 3 1 x 3x 2 0

x ( ,1) (2, ) και ομοίως f (x) 0 x (1,2) .

Επομένως η fC βρίσκεται πάνω από τον άξονα x 'x για

x ( ,1) (2, ) και κάτω από τον άξονα x 'x για x (1,2) .


12



Δίνονται οι 2f (x) 2x 3x 1 και 2g(x) x 5 . Να βρεθούν :

α) Τα σημεία τομής των f gC ,C .

β) Η σχετική θέση των f gC ,C .

Λύση

Οι συναρτήσεις έχουν κοινό πεδίο ορισμού το R.

α) Για τα κοινά σημεία λύνουμε την εξίσωση f (x) g(x)

2 22x 3x 1 x 5 23x 3x 6 0 x 2 ή x 1 . Άρα,

τέμνονται στα σημεία A 2,f ( 2) , B 1,f (1) ή A( 2,1), B(1,4)

β) Η fC βρίσκεται πάνω από την gC όταν

2f (x) g(x) 3x 3x 6 0 x ( , 2) (1, ) και κάτω από

την gC όταν 2f (x) g(x) 3x 3x 6 0 x ( 2,1) .


13


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης των παρακάτω

συναρτήσεων με τους άξονες xx ' και yy'

i) 2x 1

f (x)x 1

ii) f (x) x x 1

iii) x x1f (x) (e e )

2 iv) 2f (x) x 1 x

2. Να βρείτε τη σχετική θέση ως προς τον xx ' των γραφικών

παραστάσεων των συναρτήσεων

i) 2f (x) x 6x 8 ii) 2f (x) x 1

iii) 3f (x) x 7x 6 iv) 4f (x) x 16

3. Nα βρεθούν τα κοινά σημεία των f gC ,C σε κάθε περίπτωση

i) f (x) x 3, g(x) 3x 11

ii) 2f (x) x, g(x) 2x x 8

4. Αν 2f (x) x και g(x) x k, k R , να βρεθεί ο k ώστε οι

γραφικές παραστάσεις των f , g , να έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Ποιό

είναι αυτό το σημείο;

5. Nα βρεθεί η σχετική θέση των f gC ,C σε κάθε περίπτωση

i) 2f (x) x 3x 5, g(x) 2x 1

ii) 3 2f (x) x x , g(x) 4x 4

iii) 2 2f (x) 2x 5, g(x) x 2


14


ΕΝΟΤΗΤΑ Β

Όριο - Συνέχεια

Για να υπολογίσουμε ένα όριο0x x

lim f (x)

, ακολουθούμε τα παρακάτω

βήματα:

1) Αντικαθιστούμε στον τύπο της συνάρτησης όπου x το 0x

2) Α) Aν προκύψει ως αποτέλεσμα πραγματικός αριθμός, τότε το όριο

ισούται με τον αριθμό αυτό.

Β) Αν προκύψει όριο μορφής 0

0(απροσδιόριστη μορφή), διακρίνουμε

τις περιπτώσεις :

Η συνάρτηση είναι ρητή, δηλαδή A(x)

f (x)B(x)

και τα A(x),B(x)

είναι πολυώνυμα. Τότε εμφανίζουμε τον παράγοντα 0x x

(συνήθως παραγοντοποιούμε με σχήμα Horner) και τον

απλοποιούμε.

Η συνάρτηση περιέχει παράσταση της μορφής A(x) B(x) .

Τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την

συζυγή παράσταση, δηλαδή την A(x) B(x) .

Β.1 – Όριο ρητής συνάρτησης

Παράδειγμα

Nα υπολογίσετε το όριο 2

2x 2

x 5x 6lim

2x 8

.

Λύση

Παρατηρούμε ότι με την αντικατάσταση x 2 , προκύπτει όριο της

μορφής 0

0 και η συνάρτηση είναι ρητή. Επομένως, θα


15


παραγοντοποιήσουμε τα πολυώνυμα 2 2x 5x 6, 2x 8 . Με τη

βοήθεια του σχήματος Horner έχουμε : 2x 5x 6 (x 2)(x 3) και

22x 8 (x 2)(2x 4) , επομένως το όριο γράφεται

02 0

2x 2 x 2 x 2

x 5x 6 (x 2)(x 3) x 3 2 3 1lim lim lim

(x 2)(2x 4) 2x 4 2 2 4 82x 8

Β.2 – Όριο με ριζικά


Nα υπολογίσετε το όριο x 6

x 3 3lim

x 6

.

Λύση


μορφής 0

0 και η συνάρτηση περιέχει την παράσταση x 3 3 .

Επομένως, θα πολλαπλασιάσουμε τους όρους του κλάσματος με τη

συζυγή παράσταση, δηλαδή την x 3 3 . Έχουμε :

02 20

x 6 x 6 x 6

x 3 3 x 3 3x 3 3 x 3 3lim lim lim

x 6 x 6 x 3 3 x 6 x 3 3

x 6 x 6 x 6

x 3 9 x 6 1lim lim lim

x 6 x 3 3 x 6 x 3 3 x 3 3

1 1

66 3 3

.

Β.3 – Συνδυαστικά όρια


Nα υπολογίσετε το όριο 2

2x 4

x x 5 5lim

x 16

.


16


Λύση


μορφής 0

0 και η συνάρτηση περιέχει την παράσταση 2x x 5 5

αλλά και το πολυώνυμο 2x 16 . Επομένως, θα πολλαπλασιάσουμε τους

όρους του κλάσματος με την συζυγή παράσταση, δηλαδή την

2x x 5 5 αλλά θα παραγοντοποιήσουμε και το πολυώνυμο.

Έχουμε:

02 22 0

2 2x 4 x 4

x x 5 5 x x 5 5x x 5 5lim lim

x 16 x 4 x 4 x x 5 5

22 2 2

2 2x 4 x 4

x x 5 5 x x 20lim lim

x 4)(x 4 x x 5 5 x 4)(x 4 x x 5 5

2 2x 4 x 4

(x 4)(x 5) x 5lim lim

x 4)(x 4 x x 5 5 x 4 x x 5 5

9 9

808 25 5

.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να υπολογίσετε τα όρια :

i) 2

2x 1

x 3x 2lim

x 1

ii)

2

x 4

x 16lim

x 4

iii)

2

2x 1

2x 3x 5lim

x 1

iv) 4

3x 2

x 16lim

x 8

v)

2

x 3

x 9lim

x 3

vi)

3

x 0

(x 3) 27lim

x

vii) 3 2

2x 1

x 3x 4x 2lim

x 1

viii)

4 3 2

2x 1

x 2x 4x 6x 3lim

x 3x 2

ix) 4 3 2

2x 3

x 2x 2x 9lim

x x 6

x)

3

x 1

x ( 1)xlim

x 1

xi) 2 2

x

x 3 x 2lim

x

xii)

2

2x 2

x ( 2)x 2lim

x 4


17


2. Ομοίως για τα όρια

i) x 1

x 1lim

x 1

ii)

x 16

x 16lim

x 4

iii)

x 3

x 1 2lim

x 3

iv)2

x 3

2 x 16 10lim

x 3

v)

x 3

5 6x 7lim

x 3

vi)

2

x 9

x 81lim

x 3

vii) x 1

3 x 3lim

x 3 2

viii)

2x 3

x 3lim

x 7 4

ix)

3

x 1

x 1lim

x 1

x) 2

3 2x 1

x x 2 2lim

x 3x 2

xi)

x 3

x 1 x 2 3lim

x 3

xii) 2

x 1

x 3 x 3 4lim

x 1

3. Ομοίως για τα όρια

i) 2x 1

x x 2x x 2lim

x 1

ii)

x x

xx 0

xe e x 1lim

e 1

4. Nα βρεθεί η τιμή του λ ώστε να ισχύει η σχέση :

2 2 22

x 3

( 4)x 16x 12 9lim 5 9

x 3

5. Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 3x 4 . Να υπολογίσετε τα όρια:

i) 2x 1

f (x)lim

x 1 ii)

2x 2

f (x) f ( 2)lim

x 4

iii)

x 0

f (x) f (0)lim

2 x 4

6. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει : 2

x 2lim f (x) x 2x 5 10

να

υπολογίσετε τα όρια :

i) x 2lim f (x)

ii) 2x 2

f (x) 13lim

x 4


18


Β.4 – Συνέχεια συνάρτησης

Κάθε συνάρτηση πολυωνυμική, ρητή, εκθετική, λογαριθμική,

τριγωνομετρική αλλά και οποιαδήποτε συνάρτηση προκύπτει από

πράξεις μεταξύ των παραπάνω συναρτήσεων, είναι συνεχής.


Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

2x 7x 12, x 3

f (x) x 3

1, x 3

είναι συνεχής

στο 0x 3 .

Λύση

Πρέπει να υπολογίσουμε τα : x 3lim f (x), f (3)

και να τα συγκρίνουμε.

Έχουμε : f (3) 1 και

2

x 3 x 3 x 3 x 3

x 7x 12 (x 3)(x 4)lim f (x) lim lim lim(x 4) 1

x 3 x 3

Δηλαδή ισχύει x 3lim f (x) f (3)

άρα η συνάρτηση είναι συνεχής στο

0x 3 .


Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η

2

2

x 7 4, x 3

x 3f (x)5

2 ,x 34

να είναι

συνεχής στο 0x 3 .

Λύση

Πρέπει να υπολογίσουμε τα : x 3lim f (x), f (3)

και να τα εξισώσουμε.

Ορισμός : Η συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο 0x του πεδίου ορισμού

της όταν ισχύει : 0

0x xlim f (x) f (x )

.


19


Έχουμε : 2 5f (3) 2

4 και

2 22

2x 3 x 3 x 3

x 7 4 x 7 4x 7 4lim f (x) lim lim

x 3 x 3 x 7 4

22 2 2

2 2x 3 x 3

x 7 4 x 9lim lim

x 3 x 7 4 x 3 x 7 4

22 2

2 2x 3 x 3

x 7 4 x 3 x 3lim lim

x 3 x 7 4 x 3 x 7 4

2x 3

x 3 6 3lim

8 4x 7 4

. Για να είναι η συνάρτηση συνεχής :

2 2 2

x 3

3 5lim f (x) f (3) 2 2 2 1 1

4 4 .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο 0x .

α)

0

2

(x 1)

x 2x 3, x 1

f (x) x 2

3, x 1

β)

0

2

(x 3)

2x 7 2, x 3

f (x) x 4

1, x 3

γ)

0

2

(x 2)

x 7x 10, x 2

f (x) x 2

3, x 2

δ)

0

2

(x 5)

x 11 6, x 5

f (x) x 5

2, x 5

2. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η

2

2

x 5x 6, x 2

f (x) x 2

4 2 1, x 2

να

είναι συνεχής στο 0x 2 .

3. Αν για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει η σχέση :

(x 3)f (x) 2x 10 4, x R , να βρείτε την τιμή f (3) .


20


ΕΝΟΤΗΤΑ Γ

Η έννοια της παραγώγου

Γ.1 – Εισαγωγικές έννοιες

Παράγωγος συνάρτησης στο 0x

Η παράγωγος ισούται με το συντελεστή διεύθυνσης λ της εφαπτομένης

της fC στο σημείο της με τετμημένη 0x , δηλαδή ισχύει:

0f (x ) .

Επιπλέον, η παράγωγος εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της f (ως προς x)

για 0x x .

Ειδικότερα, αν η θέση ενός κινητού σε έναν άξονα δίνεται από τη σχέση

x x(t) , τότε τη χρονική στιγμή 0t t

η ταχύτητα ισούται με 0 0(t ) x (t )

η επιτάχυνση ισούται με 0 0(t ) (t )

Ορισμός : Αν το όριο 0 0

h 0

f (x h) f (x )lim

h

υπάρχει και είναι

πραγματικός αριθμός λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο

0x . Το όριο ονομάζεται παράγωγος της f στο 0x και συμβολίζεται με

0f (x ) . Δηλαδή, έχουμε ότι : 0 00

h 0

f (x h) f (x )f (x ) lim

h

.


21



Να βρείτε την παράγωγο της 2f (x) 3x 5x 4 στο 0x 2 .

Λύση

Έχουμε : 0x 2

0 00

h 0 h 0

f (x h) f (x ) f (2 h) f (2)f (x ) lim lim

h h

2 2

h 0

3(2 h) 5(2 h) 4 3 2 5 2 4lim

h

2 2

h 0 h 0

3(4 4h h ) 10 5h 4 6 12 12h 3h 10 5h 4 6lim lim

h h

2

h 0 h 0

7h 3h h(7 3h)lim lim 7 3 0 7

h h

.

Άρα, f (2) 7 .


Να βρείτε την παράγωγο της f (x) 2x 1 στο 0x 4 .

Λύση

Έχουμε : 0x 4

0 00

h 0 h 0


h h

h 0 h 0

2(4 h) 1 2 4 1 9 2h 3lim lim

h h

h 0 h 0

9 2h 3 9 2h 3 9 2h 9lim lim

h 9 2h 3 h 9 2h 3

h 0 h 0

2h 2 2 1lim lim

6 3h 9 2h 3 9 2h 3

.

Άρα, 1

f (4)3

.


22



Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής (ως προς x) της 2f (x) 3x για 0x 2 .

Λύση

Ο ρυθμός μεταβολής για 0x 2 ισούται με την παράγωγο στο 0x 2

Έχουμε : 0x 2

0 00

h 0 h 0


h h

2 2 2 2

h 0 h 0 h 0

3(2 h) 3 2 3(4 4h h ) 12 12 12h 3h 12lim lim lim

h h h

h 0 h 0

h(12 3h)lim lim(12 3h) 12

h

.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f στο αντίστοιχο 0x .

α) 2f (x) 2x 4x 5 στο 0x 2

β) 2f (x) x x 3 στο 0x 2

γ) 2f (x) x 3x 1 στο 0x 3

δ) f (x) 3x 1 2 στο 0x 5

ε) 2

f (x)x 1

στο 0x 4

στ) 1

f (x)x

στο 0x 9 .

2. Για τη συνάρτηση 2f (x) x 5x 6 να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:

f (2) f (2) f (3) f (3) 0

3. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής (ως προς x) της συνάρτησης

3f (x) x 1 για 0x 3 .


23


Γ.2 – Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων

Κανόνες παραγώγισης

Παράγωγος συνάρτηση

Η παράγωγος της συνάρτησης f λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και

συμβολίζεται με f .

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων

f(x) f΄(x)

c 0

x 1

x 1x

x

1

2 x

x x

x x

xe xe

ln x

1

x

x 2

1

x

Κανόνες παραγώγισης

1. cf (x) cf (x) 2. f (x) g(x) f (x) g (x)

3. f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g (x) 4.

2

f (x) f (x)g(x) f (x)g (x)

g(x) g(x)

5. f g(x) f g(x) g (x)

Ορισμός : Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A και Β το

σύνολο των x A στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια

νέα συνάρτηση μέσω της οποίας κάθε x B αντιστοιχίζεται στον

αριθμό h 0

f (x h) f (x)f '(x) lim

h

. Η συνάρτηση αυτή λέγεται

παράγωγος συνάρτηση της f και συμβολίζεται με f .


24



Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων :

α) f (x) 6 β) 4f (x) 6x γ) 5f (x) 3x δ) 3f (x) x, x 0

ε) f (x) ln3 στ) xf (x) e ζ) 5f (x) e η) f (x) 6 x .

Λύση

α) f (x) 6 0

β) 4 4 3 3f (x) 6x 6 x 6 4x 24x

γ) 5 5 6 6f (x) 3x 3 x 3 ( 5)x 15x

δ) 1 1 2

13 3 3 32 3 23

1 1 1 1 1f (x) x x x x

3 3 3 3 xx

ε) f (x) ln3 0 στ) x xf (x) e e

ζ) 5f (x) e 0 η) f (x) 6 x 6 x 6 x .


Ομοίως για τις συναρτήσεις :

α) 2 xf (x) x e β) 4f (x) x x γ) 3f (x) (x x)lnx

δ) 2x 1

f (x)x 2

ε)

ln xf (x)

x

Λύση

α) 2 x 2 x 2 x x 2 xf (x) x e x e x e 2xe x e

Προσοχή! Οι συναρτήσεις f (x) ln3 και 5f (x) e είναι σταθερές.


25


β) 4 4 4 3 4f (x) x x x x x x 4x x x x

γ) 3 3 3f (x) (x x)ln x x x ln x (x x) ln x

2 3 2 21(3x 1)ln x (x x) (3x 1)ln x x 1

x

δ) 2 22

2

x 1 (x 2) (x 1) x 2x 1f (x)

x 2 (x 2)

2 2 2 2

2 2 2

2x(x 2) (x 1) 1 2x 2x x 1 x 2x 1

(x 2) (x 2) (x 2)

ε)

2 2 2

1x ln xln x ln x x ln x (x) 1 ln xxf (x)

x x x x


Ομοίως για τις συναρτήσεις :

α) 2f (x) x x 1 β) 43xf (x) e γ) f (x) ln( x)

δ) f (x) (lnx) ε) 3f (x) x στ) 3 2f (x) (4x 5x)

Λύση

α) 2 2

2 2

1 2x 1f (x) x x 1 (x x 1)

2 x x 1 2 x x 1

β) 5 5 53x 3x 5 4 3xf (x) e e 3x 15x e

γ) 1 x

f (x) ln( x) x xx x

δ) (ln x)

f (x) (ln x) (ln x) ln xx


26


ε) 3 23 2f (x) x x 3 x x 3 x x

στ) 3 2 3 3 2 3f (x) (4x 5x) 2(4x 5x)(4x 5x) (16x 10)(4x 5x)


Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων :

α) f (x) xlnx β) 2

x 1f (x)

x 2

Λύση

α) f (x) xlnx x lnx x lnx lnx 1 και

1

f (x) ln x 1x

β) 2 2

2 2 2

x 1 (x 2) (x 1) x 2x 1f (x)

x 2 (x 2)

2 2

2 2 2 2

1 (x 2) (x 1) 2x x 2x 2

(x 2) (x 2)

και επομένως f (x)

2 2 2 2 2 22

2 2 2 4

x 2x 2 (x 2) ( x 2x 2) (x 2)x 2x 2

(x 2) (x 2)

2 2 2 2

2 4

2x 2 (x 2) ( x 2x 2)2(x 2) 2x

(x 2)

2 2 3 2

2 3 2 3

2x 2 (x 2) 4x( x 2x 2) 2x 6x 12x 4

(x 2) (x 2)


Δίνεται η συνάρτηση 2x 4xf (x) e e , , R . Να δείξετε ότι για

κάθε x R ισχύει : f (x) 2f (x) 8f (x) 0 .


27


Λύση

Έχουμε : 2x 4x 2x 4x 2x 4xf (x) e e e e 2 e 4 e

και 2x 4x 2x 4x 2x 4xf (x) 2 e 4 e 2 e 4 e 4 e 16 e

Αντικαθιστούμε στο πρώτο μέλος της αποδεικτέας και έχουμε:

2x 4x 2x 4x 2x 4x4 e 16 e 2 2 e 4 e 8 e e

2x 4x 2x 4x 2x 4x4 e 16 e 4 e 8 e 8 e 8 e 0


Δίνεται η συνάρτηση x *f (x) e , R . Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε

για κάθε x R να ισχύει : f (x) 5f (x) 6f (x) 0 .

Λύση

Έχουμε : x x xf (x) e e e

και x x 2 xf (x) e e e . Με αντικατάσταση έχουμε:

2 x x xf (x) 5f (x) 6f (x) 0 e 5 e 6 e 0

xe 0

x 2 2e 5 6 0 5 6 0 2

ή 3 .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων:

i) f (x) 3 ii) 5 3f (x) x 4x 2x 1

iii) 3f (x) 3x iv) 33

7f (x) x 3

x

v) 4f (x) 4x vi) 2 5

33 2f (x) 3x 2x x


28


vii) f (x) x viii)3 2f (x) x 2x x 1

ix)2

3f (x) x x) 4f (x) x ln x

xi)4

5f (x) x

xii) 2f (x) x lnx

xiii)3

1f (x)

x xiv)f (x) x x

xv)3 4

4f (x)

x xvi) 3 2f (x) (1 4x )(1 2x )

2. Ομοίως για τις συναρτήσεις:

i) 7 xf (x) x e ii) 1f (x) ( x)

iii) 5 xf (x) 4x e iv) 22x

f (x)x 2

v) 2 xf (x) 3x e vi) 4

2 2

2xf (x)

x

vii) xf (x) e x viii) 2

2

x 1f (x)

x 1

ix) 3x

f (x)3x 2

x) x

x

e 1f (x)

e 1

xi) x

f (x)1 x

xii)

ln x 2f (x)

ln x 4


i) 3 2f (x) x (x x) ii)

2x 3

f (x)x


29


iii) 3f (x) x x 1 iv) 5(x 1)

f (x)x

v) 2

f (x) x x 3 vi)

3

3

1 2xf (x)

x

vii) 5f (x) (x 2)(x 3) viii)

2xef (x)

x

ix) 2f (x) x x) f (x) ln(3x 5)

xi) 3 1f (x) 3x x

x xii)

x xf (x)

x x

xiii) 3f (x) 2x 5 x xiv) 2 2f (x) x

xv) f (x) 2 x 3x xvi)3 2f (x) x x 1


i) 52f (x) x 3x 2 ii) f (x) (a x) a x

iii) 3

f (x) 1 x iv) x x

f (x)5

v) f (x) x x vi) f (x) 3x 3x

vii) xf (x) e 3 3x 3x viii) f (x) ln( x 2)

ix) 3

1 1f (x)

x3 x

x)

1 1f (x) x x

x x

xi) f (x) ln( x) xii) xf (x) x

xiii) 1 x

f (x)1 x

xiv)

x1

f (x) xx


30


5. Αν 2x 2xf (x) e xe , όπου , R , να δείξετε ότι

f (x) 4f (x) 4f (x) 0 .

6. Έστω η συνάρτηση 2f (x) xx

, όπου , R . Να δείξετε ότι

2 *x f (x) 2f (x), x R . Στη συνέχεια να βρείτε τα , ώστε να

είναι f (2) 2 και f (2) 3 .

7. Αν 1

xf (x) xe

, να δείξετε ότι 3x f (x) xf (x) f (x) 0 .

8. Αν x xf (x) e e , να δείξετε ότι 1 1

xf (x) f (x) f (x) 02 4

.

9. Αν x

xf (x) e

, να δείξετε ότι f (0) f (0) 0 .

10. Αν 2

2

xf (x)

1 x

, να δείξετε ότι 3 3f f

4 4

.

11. Έστω η συνάρτηση f : 0, R2

με 2f ( x) x x δυο

φορές παραγωγίσιμη. Να δείξετε ότι 1 1

3f 2f 4 2 32 2

.

12. Αν f (x) x και 2g(x) f (2x 3) , να δείξετε ότι g (1) 4 1 .

13. Να βρείτε πολυώνυμο P(x) τετάρτου βαθμού τέτοιο ώστε να είναι

P(0) 1, P(1) 6, P (0) 3, P (1) 7 και P (1) 12 .

14. Αν 2

3 7xf (x) 2x x 5

2 , να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες

επαληθεύεται η εξίσωση f (x) 3.

15. Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου , ώστε η παράγωγος της

συνάρτησης 2x 2x

f (x) , x 1x 1

, να έχει ρίζες τις 1x 1 ,

2x 3 .


31


Γ.3 – Εφαπτομένη γραφικής παράστασης

Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της

0 0x ,f x έχει εξίσωση :

.

Απόδειξη

Έστω ότι η εξίσωση της εφαπτομένης είναι ( ) : y x . Γνωρίζουμε

ότι 0f x , άρα η εξίσωση γίνεται : 0( ) : y f (x )x (1) . Η

ευθεία διέρχεται από το σημείο 0 0x ,f x άρα θα επαληθεύεται για

0 0x x , y f x . Επομένως, με αντικατάσταση, έχουμε :

0 0 0 0 0 0f x f (x )x f x f (x )x . Συνεπώς, από την (1):

0 0 0 0( ) : y f (x )x f x f (x )x ή 0 0 0y f x f (x ) x x .

Μεθοδολογία

Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση

μιας συνάρτησης f, διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

Α) Το σημείο επαφής είναι γνωστό

Τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο 0 0 0( ) : y f x f (x ) x x ( ) .

Β) Το σημείο επαφής δεν είναι γνωστό

Τότε, από τη συνθήκη που μας δίνεται (και χρήση του παρακάτω πίνακα)

προσδιορίζουμε το 0x και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο (Ι).

0 0 0y f x f x (x x )


32


Ιδιότητα Συνθήκη

Η εφαπτομένη της fC Τότε:

1. είναι παράλληλη στον άξονα x΄x 0f (x ) 0

2. είναι παράλληλη στην ευθεία ( ) : y x 0f (x )

3. είναι κάθετη στην ευθεία ( ) : y x 0f (x ) 1

4. σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα x΄x 0f (x )

5. διέρχεται από σημείο Σ εκτός της fC Βλ. παράδειγμα 6


Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην fC της 2f (x) 3x x 1

στο σημείο της με τετμημένη 0x 1 .

Λύση

Έχουμε: f (x) 6x 1 . Το σημείο επαφής έχει γνωστή τετμημένη άρα

υπολογίζουμε τα : 20f x f 1 3( 1) ( 1) 1 5 και

0f x f 1 6( 1) 1 7 . Με αντικατάσταση στον τύπο, έχουμε:

0 0 0y f x f (x ) x x y 5 7(x 1) y 7x 2 .


Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην fC της 2f (x) 3x 12x 1

η οποία είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

Λύση

Έχουμε: f (x) 6x 12 . Έστω 0 0x ,f x το σημείο επαφής. Αφού

η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x΄x , ισχύει :

0 0 0 0f (x ) 0 6x 12 0 6x 12 x 2 . Υπολογίζουμε τα

2f 2 3 2 12 2 1 11 και f 2 6 2 12 0 και με

αντικατάσταση στον τύπο προκύπτει : y 11 0 x 2 y 11 .


33



Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην fC της 2f (x) x 3x 5 η

οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ( ) : y 5x 12 .

Λύση

Έχουμε: f (x) 2x 3 . Έστω 0 0x ,f x το σημείο επαφής. Αφού οι

ευθείες είναι παράλληλες, ισχύει :

0 0 0 0f (x ) 5 2x 3 5 2x 8 x 4 . Υπολογίζουμε τώρα τα

2f 4 4 3 4 5 9 και f 4 2 4 3 5 και με αντικατάσταση

στον τύπο προκύπτει : y 9 5 x 4 y 5x 11 .


Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην fC της 2f (x) x x 5 η

οποία είναι κάθετη στην ευθεία 1

( ) : y x 153

.

Λύση

Έχουμε: f (x) 2x 1 . Έστω 0 0x ,f x το σημείο επαφής. Αφού

οι ευθείες είναι κάθετες, ισχύει :

0 0 0 0 0

1 1f (x ) 1 2x 1 1 2x 1 3 2x 2 x 1

3 3 .

Υπολογίζουμε : 2f 1 ( 1) ( 1) 5 7 , f 1 2 ( 1) 1 3

και με αντικατάσταση στον τύπο : y 7 3 x 1 y 3x 4 .


Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην fC της 2f (x) 2x 7x 6

η οποία σχηματίζει γωνία 135 με τον άξονα x΄x .


34


Λύση

Έχουμε: f (x) 4x 7 . Έστω 0 0x ,f x το σημείο επαφής. Αφού η

ευθεία σχηματίζει γωνία 135 με τον άξονα x΄x , ισχύει :

o0 0 0 0f (x ) 135 4x 7 1 4x 8 x 2 . Υπολογίζουμε :

2f 2 2 ( 2) 7 ( 2) 6 0 , f 2 4 ( 2) 7 1

και με αντικατάσταση στον τύπο : y 0 1 x 2 y x 2 .


Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην fC της 2f (x) x 2 η

οποία διέρχεται από το σημείο 0, 2 .

Λύση

Είναι: f (x) 2x . Εξετάζουμε αν το σημείο ανήκει στην fC . Αφού

2f (0) 0 2 2 2 , το σημείο δεν ανήκει στην fC .

Αν 0 0x ,f x το σημείο επαφής, τότε η εφαπτομένη έχει εξίσωση

20 0 0 0 0 0y f x f (x ) x x y x 2 2x (x x )

2 2 20 0 0 0 0y 2x x 2x x 2 y 2x x x 2 (I) .

Το 0, 2 ανήκει στην εφαπτομένη, άρα η (Ι) επαληθεύεται για

x 0, y 2 . Επομένως, 2 20 0 0 02 2x 0 x 2 x 4 x 2 .

Από την (Ι), έχουμε :

για 0x 2 την ευθεία : 2y 2 2x 2 2 y 4x 2

για 0x 2 την ευθεία : 2y 2 ( 2)x ( 2) 2 y 4x 2

Προσοχή! Η έκφραση «να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης» δε

σημαίνει απαραίτητα ότι η εφαπτομένη θα είναι μόνο μία.


35


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης f (x) 2x xlnx που είναι παράλληλη στην ευθεία

y 4x 3 .

2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης 2f (x) 2x 3x 1 που είναι κάθετη στην ευθεία

x y 2 0 .

3. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f (x) 2x 1 στο σημείο της με τετμημένη 0x 4 .

4. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης 3 2f (x) 2x 3x 12x 5 που είναι παράλληλες

στον άξονα xx ' .

5. Αν 2f (x) x x , , R , να προσδιοριστούν τα , ώστε

η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει κλίση 2, να

εφάπτεται στο διάγραμμα της f στο σημείο M(1,2) .


συνάρτησης x x

f (x)x 1

στο σημείο της με τετμημένη 0.

7. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του διαγράμματος της

2xf (x) x

4 στο σημείο M(2,1) .

8. Θεωρούμε τη συνάρτηση 2f (x) x 1 , και στη γραφική της

παράσταση τα σημεία 1 2M , M με τετμημένες 1x 1 και 2x 2

αντίστοιχα. Να βρεθεί στη γραφική παράσταση της f σημείο, ώστε η

εφαπτομένη σε αυτό να είναι παράλληλη προς την ευθεία 1 2M M .


36


9. Αν η ευθεία x y 6 0 είναι εφαπτομένη της καμπύλης της

3f (x)

x , να βρεθεί ο και το σημείο επαφής.

10. Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x x 2 . Να βρεθεί η εξίσωση της

εφαπτομένης του διαγράμματος της f στο σημείο Α που έχει

τετμημένη 0x 3 .

11. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων της καμπύλης της

2f (x) x x 6 στα σημεία που αυτή τέμνει τους άξονες.

12. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του διαγράμματος της

4f (x) x 3x στο σημείο 0 0A(x ,y ) , αν η εφαπτομένη σχηματίζει

γωνία 45ο με τον οριζόντιο άξονα.

13. Σε ποια σημεία της υπερβολής 12

yx

η εφαπτομένη της είναι

παράλληλη στην ευθεία y 3x ;

14. Να βρεθεί η τιμή του , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της f (x) x(1 x) στο σημείο O(0,f (0)) να

σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα γωνία 60ο .

15. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της 2f (x) x 6x 10 η

οποία διέρχεται από το (3,1) .

16. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της 2f (x) x 7x 3 η

οποία διέρχεται από το ( 2,5) .

17. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της 2f (x) 3x 5x 2 η

οποία διέρχεται από το (3,2) .

18. Να βρεθούν οι τιμές των κ, λ ώστε οι γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων 2 2xf (x) x 2 x , g(x)

x 1

να έχουν κοινή

εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη -1.


37


19. Να βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης ln x

f (x)x

στο σημείο (1,5) να

είναι παράλληλη στην ευθεία y 3x 12 .

20. Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 1 . Να βρεθεί η εξίσωση της

εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο 0x 2 .

21. Δίνεται συνάρτηση 2f (x) 2x 1 και τα σημεία της A(1,3) και

B(2,9) . Να βρεθεί ένα σημείο 0 0(x ,y ) της συνάρτησης, στο οποίο

η εφαπτομένη να είναι κάθετη στην AB .

22. Να δειχτεί ότι τυχούσα εφαπτομένη της καμπύλης 2

f (x)x

σχηματίζει με τους άξονες OyOx, τρίγωνο σταθερού εμβαδού.

23. Δίνονται οι συναρτήσεις 2f (x) x x 1 και 3x x

g(x)x 1

. Να

υπολογιστούν τα και , ώστε οι παραπάνω καμπύλες να έχουν την

ίδια εφαπτομένη στο 0x 2 .


συνάρτησης 2f (x) 4 x που σχηματίζει γωνία 3

με τον άξονα

xx ' .

25. Να βρεθούν οι τιμές των α, β, κ ώστε η ευθεία y x 1 να είναι

εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

2f (x) x x στο σημείο (2,5) .


38


Γ.4 – Ρυθμός μεταβολής

Όπως αναφέραμε στην ενότητα Γ.1, η παράγωγος μιας συνάρτησης f

εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της f (ως προς x). Γενικότερα, αν το

μέγεθος Α μεταβάλλεται συναρτήσει του μεγέθους x, ο ρυθμός

μεταβολής του Α ισούται με A (x) .


Οι πλευρές ενός ορθογωνίου μεταβάλλονται με το χρόνο t σύμφωνα με

τις σχέσεις : 2x(t) 3t 1, y(t) 2t 3 (τα μήκη σε m και ο χρόνος σε

sec). Τη χρονική στιγμή 0t 2 , να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής ως προς t

α) της περιμέτρου β) του εμβαδού γ) της διαγωνίου

Λύση

α) Η περίμετρος την τυχαία χρονική στιγμή t ισούται με

2 2P(t) 2x(t) 2y(t) 2 3t 1 2 2t 3 6t 6t 8 με παράγωγο

2P (t) 6t 6t 8 12t 6 και επομένως την 0t 2 , έχουμε :

mP (2) 12 2 6 30

sec

β) Ομοίως για το εμβαδόν έχουμε :

2 3 2E(t) x(t) y(t) 3t 1 2t 3 6t 9t 2t 3 . Άρα θα ισχύει

3 2 2E (t) 6t 9t 2t 3 18t 18t 2 και έτσι για 0t 2 :

22 m

E (2) 18 2 18 2 2 110sec

.

Ζητάμε τις παραγώγους των

συναρτήσεων περιμέτρου,

εμβαδού και διαγωνίου τη

χρονική στιγμή 0t 2 .


39


γ) Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε :

2 22 2 2 4 2(t) x (t) y (t) 3t 1 2t 3 9t 10t 12t 10

με 3

4 2

4 2

18t 10t 6(t) 9t 10t 12t 10

9t 10t 12t 10

άρα

3

4 2

18 2 10 2 6 170 m(2)

sec2189 2 10 2 12 2 10

.


H θέση ενός υλικού σημείου σε έναν άξονα δίνεται από τη συνάρτηση

3 2x(t) t 12t 45t 2 (σε m) όπου t [0,10] ο χρόνος σε sec.

α) Nα βρεθεί η αρχική και η τελική θέση του σημείου

β) Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνσή του

γ) Να βρεθεί η επιτάχυνση τις χρονικές στιγμές που είναι ακίνητο

δ) Να βρεθούν τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία κινείται δεξιά

ε) Να βρεθεί το συνολικό διάστημα που διανύθηκε.

Λύση

α) Είναι x(0) 2 (αρχική θέση) και x(10) 248 (τελική θέση)

β) Για την ταχύτητά του ισχύει : 2(t) x '(t) 3t 24t 45 και για την

επιτάχυνση : (t) (t) 6t 24 .

γ) Το σημείο είναι ακίνητο όταν 2(t) 0 3t 24t 45 0

t 3 ή t 5 . Η επιτάχυνσή του επομένως είναι :

2

m(3) 6 3 24 6

s και

2

m(5) 6 5 24 6

s

δ) Κινείται προς τα δεξιά όταν 2(t) 0 3t 24t 45 0


40


t [0,3) (5,10] .

ε) Η φορά της κίνησης άλλαξε τις χρονικές στιγμές t 3 και t 5 .

Για τη χρονική περίοδο [0,3] το διάστημα είναι : 1S | x(3) x(0) |

| 52 ( 2) | 54 m , για τη χρονική περίοδο [3,5] το διάστημα είναι :

2S | x(5) x(3) | | 48 52 | 4 m και για τη χρονική περίοδο [5,10] το

διάστημα είναι : 3S | x(10) x(5) | | 248 48 | 200 m . Συνολικά

επομένως διήνυσε 1 2 3S S S S 258 m .


Λύση

Η ζητούμενη ταχύτητα ισούται με την παράγωγο της απόστασης

d(t) A τη χρονική στιγμή που AK 300 . Αφού το αερόστατο

ανεβαίνει με ταχύτητα 50 m/min, την τυχαία χρονική στιγμή t έχουμε ότι

y (t) 50 και από το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΑΚΠ :

2 2d(t) 400 y (t) άρα 2 2

2 2

y(t)y (t)d (t) 400 y (t)

400 y (t)

.

Τη ζητούμενη χρονική στιγμή 0t έχουμε : 0y (t ) 50 και 0y(t ) 300

άρα η ταχύτητα θα είναι :

0 00

2 2 2 20

y(t )y (t ) 300 50 15000d (t ) 30 m / min

500400 y (t ) 400 300

Ένα αερόστατο αφήνει το έδαφος από το

σημείο Κ και ανεβαίνει με σταθερή

ταχύτητα 50 m/min. Ένας ακίνητος

παρατηρητής Π βρίσκεται σε απόσταση

400 m από το Κ. Nα βρεθεί η ταχύτητα

με την οποία το αερόστατο

απομακρύνεται από το Π τη χρονική

στιγμή που βρίσκεται σε ύψος 300 m.


41


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Μια λάμπα είναι τοποθετημένη σε στύλο της ΔΕΗ ύψους 10,8 m.

Ένας άνθρωπος ύψους 1,80 m απομακρύνεται με ταχύτητα 5m/sec.

Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του μήκους της σκιάς του.

2. H θέση ενός υλικού σημείου σε έναν άξονα δίνεται από τη συνάρτηση

3 2x(t) t 6t 9t 7 (σε m) όπου t [0,5] ο χρόνος σε sec.

α) Nα βρεθεί η αρχική και η τελική θέση του σημείου

β) Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνσή του

γ) Να βρεθεί η επιτάχυνση τις χρονικές στιγμές που είναι ακίνητο

δ) Να βρεθούν τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία κινείται δεξιά

ε) Να βρεθεί το συνολικό διάστημα που διανύθηκε.

3. Ένα βότσαλο που ρίχνεται σε μια λίμνη προκαλεί κυκλικό κυματισμό.

Μια συσκευή μέτρησης δείχνει ότι τη χρονική στιγμή 0t που η ακτίνα

R του κυματισμού είναι 50 cm, ο ρυθμός μεταβολής της R είναι 20

cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού που περικλείεται

από το κυκλικό κύμα, τη χρονική στιγμή 0t .

4. Μια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λιώνει. Η ακτίνα της

ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύπο 2r 4 t , όπου t ο χρόνος σε

sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου της μπάλας όταν t 1

sec. Δίνεται: 34V r

3 .

5. Οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου μεταβάλλονται με το

χρόνο t σύμφωνα με τις σχέσεις : 2x(t) 6t 1, y(t) 3t 2 (τα μήκη

σε m και ο χρόνος σε sec). Τη χρονική στιγμή 0t 3 , να βρεθεί ο

ρυθμός μεταβολής ως προς t

α) του εμβαδού β) της περιμέτρου γ) της υποτείνουσας


42


6. Ένα σωματίδιο κινείται πάνω στον άξονα xx ' και η θέση του κάθε

χρονική στιγμή t 0 δίνεται από τη συνάρτηση 1

S(t) ln(t 1)t 2

.

Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σωματιδίου τη

χρονική στιγμή t 1.

7. Η θερμοκρασία ενός ασθενούς δίνεται κάθε χρονική στιγμή t [0, 2]

( t σε ώρες) από τη συνάρτηση t1 5 223(t) e t

3 2 6

(σε

0C ). Να

ελέγξετε αν τη χρονική στιγμή t 1 ο πυρετός του ασθενούς

ανεβαίνει ή πέφτει.

8. Το κόστος για την παραγωγή x μονάδων ενός προϊόντος δίνεται από

τη συνάρτηση 3 2K(x) x 2x 5x 1 ενώ η είσπραξη από την

πώληση x μονάδων του προϊόντος ισούται με 3 2E(x) 2x x 3 (τα

ποσά σε ευρώ). Να βρεθούν συναρτήσει του x :

α) το κέρδος από την πώληση x μονάδων

β) ο ρυθμός μεταβολής του κόστους

γ) ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους

9. Ένα μπαλόνι φεύγει από τα χέρια ενός παιδιού και ανεβαίνει

κατακόρυφα με σταθερή ταχύτητα 2 m/s. Σε απόσταση 8 m από το

παιδί στέκεται η μητέρα του. Να βρεθεί η ταχύτητα απομάκρυνσης

του μπαλονιού από τη μητέρα, τη χρονική στιγμή που αυτό έχει

φτάσει σε ύψος 6 m.


43


Γ.5 – Μονοτονία - ακρότατα

Ορισμοί

Μονοτονία

Ακρότατα

Θεώρημα I (Μονοτονία μέσω παραγώγου)

H συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, όταν:

Για κάθε 1 2x ,x με 1 2x x ισχύει: 1 2f (x ) f (x ) .

H συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ, όταν:

Για κάθε 1 2x ,x με 1 2x x ισχύει: 1 2f (x ) f (x ) .

Μια γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο Δ λέγεται

γνησίως μονότονη στο Δ.

Αν υπάρχει 0x A τέτοιο, ώστε για κάθε x σε μια περιοχή του 0x

να ισχύει 0f (x) f (x ) , τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό

μέγιστο στο 0x και η τιμή 0f (x ) λέγεται τοπικό μέγιστο της f.

Αν υπάρχει 0x A τέτοιο, ώστε για κάθε x σε μια περιοχή του να

ισχύει 0f (x) f (x ) , τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό

ελάχιστο στο 0x και η τιμή 0f (x ) λέγεται τοπικό ελάχιστο της f.

Αν η f παρουσιάζει (έχει) ελάχιστο ή μέγιστο στο 0x , τότε λέμε ότι η

f παρουσιάζει ακρότατο στο 0x .

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει

f (x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως

αύξουσα στο Δ.

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει

f (x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως

φθίνουσα στο Δ.


44


Θεώρημα II (Κριτήριο πρώτης παραγώγου)

Παρατηρήσεις

1. Το θεώρημα Ι εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι απαραίτητα σε ένωση

διαστημάτων. Για παράδειγμα η συνάρτηση *1f (x) , x R

x έχει

παράγωγο 2

1f (x)

x , η οποία έχει αρνητικό πρόσημο για κάθε

x ( ,0) (0, ) . Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο

( ,0) (0, ) αλλά σε καθένα από τα ( ,0) και (0, ) . (Σχήμα 1)

2. Δεν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Ι. Δηλαδή, ενδέχεται μια

συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) σε ένα διάστημα αλλά

η παράγωγός της να μην είναι θετική (αρνητική). Για παράδειγμα η

συνάρτηση 3f (x) x , x R η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R αλλά

έχει παράγωγο 2f (x) 3x 0 (μηδενίζεται για x 0 ). (Σχήμα 2)

3. Tα σημεία μηδενισμού της παραγώγου μιας συνάρτησης δεν είναι

απαραίτητα και θέσεις ακροτάτων της. Για παράδειγμα η συνάρτηση

3f (x) x , x R δεν παρουσιάζει ακρότατα αλλά έχει παράγωγο

2f (x) 3x η οποία μηδενίζεται για x 0 . (Σχήμα 2)

Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν : 0f (x ) 0 για κάποιο 0x ( , ) ,

f (x) 0 στο 0( ,x ) και f (x) 0 στο 0(x , ) τότε η f παρουσιάζει

στο διάστημα ( , ) μέγιστο στο 0x x .

Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν : 0f (x ) 0 για κάποιο 0x ( , ) ,

f (x) 0 στο 0( ,x ) και f (x) 0 στο 0(x , ) τότε η f παρουσιάζει

στο διάστημα ( , ) ελάχιστο στο 0x x .


45


Μεθοδολογία

Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα

ακρότατα ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

Α) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Β) Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης

Γ) Λύνουμε την εξίσωση f (x) 0 και μελετάμε το πρόσημο της

παραγώγου στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της

Δ) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών (μονοτονίας – ακροτάτων) και

εφαρμόζουμε τα θεωρήματα Ι και ΙΙ.


Να μελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς τη μονοτονία και τα

ακρότατα:

α) 3f (x) x x β) 2

f (x) 4x

γ) 3 2f (x) 2x 3x 6x 1

Λύση

α) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού fA R και παράγωγο

2f (x) 3x 1 η οποία είναι θετική για κάθε fx A . Επομένως, η f είναι

γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και δεν παρουσιάζει ακρότατα.


46


β) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού *fA R και παράγωγο

2

2f (x)

x η

οποία είναι θετική για κάθε fx A . Επομένως, η f είναι γνησίως

αύξουσα στα διαστήματα ( ,0) και (0, ) και δεν παρουσιάζει

ακρότατα.

γ) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού fA R και παράγωγο

2f (x) 6x 6x 6 η οποία είναι αρνητική για κάθε fx A (το

τριώνυμο έχει 108 0 ) . Επομένως, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο

πεδίο ορισμού της και δεν παρουσιάζει ακρότατα.


Ομοίως για τις συναρτήσεις:

α) 3 2f (x) 2x 3x 36x 5 β) 1

f (x) 2 xx 2

Λύση

α) Η f έχει πεδίο ορισμού fA R και παράγωγο 2f (x) 6x 6x 36 .

Λύνουμε την εξίσωση 2 2f (x) 0 6x 6x 36 0 x x 6 0

x 2 ή x 3 .

Το πρόσημο της παραγώγου φαίνεται στον πίνακα μεταβολών:

Μονοτονία

Η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα ( , 3] και [2, ) και

γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ 3,2] .


47


Ακρότατα

Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x 3 , με τιμή

3 2

f 3 2 3 3 3 36 3 5 86 και τοπικό ελάχιστο

στο x 2 , με τιμή 3 2f 2 2 2 3 2 36 2 5 39 .

Προσοχή! Τα 1x 3 και 2x 2 είναι οι θέσεις ακροτάτων, ενώ οι

αριθμοί f 3 και f 2 είναι οι τιμές των ακροτάτων.

β) Η f έχει πεδίο ορισμού το fA ( ,2) (2, ) και παράγωγο

2 2

2 2 2

1 (x 2) 1 x 4x 3f (x) 1

(x 2) (x 2) (x 2)

.

Λύνουμε την εξίσωση 2f (x) 0 x 4x 3 0 x 3 ή x 1

Το πρόσημο της παραγώγου φαίνεται στον πίνακα μεταβολών:

Μονοτονία

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα ( ,1] και [3, ) και

γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [1,2) και (2,3].

Ακρότατα

Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x 1 , με τιμή

1

f 1 2 1 21 2

και τοπικό μέγιστο στο x 3 , με τιμή

1

f 3 2 3 23 2

.


48



Nα βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

3 2f (x) 2x 12x 8x 3 στο οποίο η εφαπτομένη έχει το μικρότερο

συντελεστή διεύθυνσης. Ποιά είναι η ελάχιστη τιμή του συντελεστή

διεύθυνσης;

Λύση

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο τυχαίο σημείο της fC

με τετμημένη x, δίνεται από την 2f (x) 6x 24x 8 . Επομένως, θα

αναζητήσουμε το ελάχιστο της συνάρτησης f . Έχουμε :

f (x) 12x 24 και f (x) 0 12x 24 0 x 2 .

Από τον παραπάνω πίνακα έχουμε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο για

x 2 , επομένως το σημείο είναι το M 2,f (2) ή M 2, 13 .

Η ελάχιστη τιμή του συντελεστή διεύθυνσης είναι f (2) 16 .

Παρατήρηση: Αντί να ζητείται το σημείο με τον ελάχιστο συντελεστή

διεύθυνσης, θα μπορούσε να ζητείται το σημείο στο οποίο ο ρυθμός

μεταβολής της συνάρτησης παρουσιάζει ελάχιστο.


Nα βρεθεί η τιμή του πραγματικού k ώστε το ελάχιστο της συνάρτησης

2f (x) x (4k 6)x 8 να πάρει τη μέγιστη τιμή του. Ποιά είναι η

μέγιστη τιμή του ελαχίστου;


49


Λύση

Αρχικά θα υπολογίσουμε το ελάχιστο της f. Έχουμε : f (x) 2x 4k 6

και f (x) 0 2x 4k 6 0 2x 6 4k x 3 2k .

Το ελάχιστο της f είναι 2f (3 2k) (3 2k) (4k 6)(3 2k) 8

2 2 29 12k 4k 12k 8k 18 12k 8 4k 12k 1 . Η τιμή του

ελαχίστου εξαρτάται από το k, επομένως είναι μια συνάρτηση του k.

Έστω, επομένως 2g(k) 4k 12k 1 με g (k) 8k 12 . Έχουμε:

3g (k) 0 8k 12 0 k

2 .

Επομένως, το ελάχιστο της f γίνεται μέγιστο για 3

k2

. Η μέγιστη τιμή

του ελαχίστου είναι το 2

3 3 3 9g 4 12 1 4 18 1 8

2 2 2 4

.


50


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα :

i) 2f (x) x 2x 3 ii) 3 2f (x) 2x 9x 12x 5

iii) 3f (x) x 3x 2 iv) 3f (x) x x

v) 3 2f (x) x 6x 9x 1 vi) 3f (x) x 9x 3

vii) 3

2xf (x) 2x 4x 1

3 viii)

32xf (x) 8x 5

3


i)4

3 2x 2 9f (x) x x 18x

4 3 2 ii) 4f (x) 3x 12x 5

iii) 5f (x) 3x 1 iv) 3f (x) 5x x

v) ln x

f (x)x

vi) 2 3f (x) (x 2) (x 1)

vii) 1

f (x) lnx

viii) x

3

ef (x)

x


i) 2

2xf (x)

x 1

ii)

2

3xf (x)

x x 3

iii) 1

f (x) xx

iv) 4

f (x) x 2x 2

v) 2 2f (x) 1 x

x vi)

2

xf (x)

x 1

vii) 2 xf (x) x e viii) x xe e

f (x)2


i) x 2f (x) 2xe (x 1) ii) 2

2 xf (x) (x x)ln x

2

iii) 2f (x) x x x x iv) 1

xf (x) xe


51


5. Nα μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης

i) 1 x

f (x)x

στο διάστημα 0,

2

.

ii) f (x) x(1 x) στο διάστημα 0,2

.

6. Σε ποιό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο

3 2f (x) x 6x 9x 1 η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή

διεύθυνσης;

7. Σε ποιό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο

2

xf (x) , x 3, 3

x 1

ο ρυθμός μεταβολής της f (ως προς x)

γίνεται μέγιστος;

8. Δίνεται η συνάρτηση x xf (x) xe 2e

α) Να βρείτε τα ακρότατα της f

β) Nα δείξετε ότι : x 1 x 11 xe 2e για κάθε x R .

9. Δίνεται η συνάρτηση x v *f (x) e x , v N , x 0 .

α) Να βρείτε τα ακρότατα της f

β) Nα δείξετε ότι : v x v vv e x e για κάθε *v N και x 0 .

10. Να βρεθεί η σχέση μεταξύ των , ώστε η συνάρτηση

3 2f (x) x 2 x x 4 να είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

11. Να βρεθούν τα , ώστε η συνάρτηση 2f (x) x lnx x

να έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία 1x 1 και 2x 2 . Κατόπιν να

μελετηθεί η μονοτονία της f .

12. Να βρείτε τα , ώστε η συνάρτηση 2f (x) lnx x 3x 2

να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία 1x 1 και 2x 2 . Στη

συνέχεια να βρείτε τις τιμές των ακρότατων αυτών.


52


13. Να βρεθούν τα , , R , ώστε η συνάρτηση με τύπο

3 2f (x) x x x με f (0) 3 να έχει τοπικά ακρότατα στα

σημεία x 1 και 1

x3

.

14. i) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση 2

xf (x)

x

.

ii) Αν , 0,2

και , να δείξετε ότι

2

2

.

15. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0,2

είναι x x x 1 .

16. Για κάθε x 0 να αποδείξετε ότι: 2x

x ln(1 x) x2

.

17. Να δειχτεί ότι για κάθε x 0 ισχύει : lnx x 1 .

18. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

2f (x) x 1 x 2x .

19. i) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την ln x

f (x) lnx

.

ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 32 και 3 .

20. Να βρείτε τα , R ώστε η συνάρτηση 2f (x) x x να

παρουσιάζει στο x 1 τοπικό ακρότατο ίσο με 3 .

21. Για ποια τιμή του θετικού αριθμού η μέγιστη τιμή της συνάρτησης

2 xf (x) x e γίνεται ελάχιστη;

22. Για ποια τιμή του θετικού λ το ελάχιστο της xf (x) (x )e , x R

γίνεται μέγιστο;

23. i) Να βρείτε τα ακρότατα της x 1 xf (x) x (1 x) , x (0,1) .

ii) Αν , 0 με 1 , να δείξετε ότι 1

2 .


53


24. i) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f (x) x x x, x [0, ] .

ii) Αν 0 , να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:

2( ) .

iii) Να αποδείξετε ότι για κάθε x (0, ) η συνάρτηση

2

1 x(x)

x

έχει αρνητική παράγωγο.

iv) Να αποδείξετε για κάθε x (0, ) ισχύει : 22

21 x x

.

25. Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης

7 42x 5xf (x) 7x

7 4 να τέμνει τον xx ' στο σημείο με

τετμημένη 1. Στη συνέχεια, να μελετηθεί η μονοτονία της f και να

βρεθεί το πρόσημό της.

26. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και για κάθε x R

ισχύει 5 5 3f (x) 2f (x) 7x 3x 6x 3 . Να εκφράσετε την f '

συναρτήσει του x και του f (x) . Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η f

δεν έχει τοπικά ακρότατα.

27. i) Αν k είναι θετικός άρτιος αριθμός, να μελετήσετε ως προς τη

μονοτονία τη συνάρτηση k kf (x) (x 1) x .

ii) Να λύσετε την εξίσωση 2014 2014(x 1) x 1 .


54


Γ.6 – Προβλήματα εύρεσης ακροτάτου

Σε προβλήματα που ζητείται η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή ενός μεγέθους

Μ, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

Α) Το Μ εξαρτάται από μία μεταβλητή

Από τα δεδομένα του προβλήματος βρίσκουμε τη συνάρτηση του Μ και

τους περιορισμούς της μεταβλητής και (μέσω παραγώγου) μελετάμε τη

μονοτονία και τα ακρότατα.

Β) Το Μ εξαρτάται από δύο μεταβλητές

Από τη δεδομένη σχέση που συνδέει τις μεταβλητές αντικαθιστούμε τη

μία συναρτήσει της άλλης και, στη συνέχεια, μελετάμε τη μονοτονία και

τα ακρότατα της συνάρτησης Μ.


Η συγκέντρωση μιας ουσίας στο αίμα ενός ασθενούς δίνεται από τη

σχέση: 2 3c(t) t 8t 50 mg / cm (ο χρόνος t [0,10] σε sec). Ποιά

χρονική στιγμή η συγκέντρωση γίνεται ελάχιστη και ποιά είναι η

ελάχιστη τιμή;

Λύση

Για την συνάρτηση έχουμε : 2c (t) t 8t 50 2t 8

επομένως

c (t) 0 2t 8 0 t 4 .

Άρα έχουμε ελάχιστη συγκέντρωση στα t 4 sec .

Η ελάχιστη συγκέντρωση είναι : 2 3c(4) 4 8 4 50 34 mg / cm .


55



Να βρεθεί το σημείο Α στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

f (x) x το οποίο έχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο B(2,0) .

Λύση

Η συνάρτηση της οποίας ζητείται το ελάχιστο είναι η απόσταση ΑΒ.

22 2 2d(x) AB x 2 x 0 x 4x 4 x x 3x 4

Έχουμε : 2

2x 3d (x)

2 x 3x 4

η οποία έχει ρίζα το

3x

2 .

Επομένως, η απόσταση γίνεται ελάχιστη στο 3

x2

και το σημείο της

γραφικής παράσταση είναι το 3 3

A ,2 2

.

Παρατήρηση: Η ελάχιστη τιμή της απόστασης (δεν ζητείται) είναι ο

αριθμός 2

3 3 3 9 9 7d 3 4 4

2 2 2 4 2 4

Αν A x,f (x) ή A x, x με

x 0 είναι το σημείο στη

γραφική παράσταση, τότε η

απόσταση ΑΒ είναι ίση με


56



Να βρεθούν δύο θετικοί αριθμοί με άθροισμα 80, ώστε το γινόμενό τους

να είναι μέγιστο. Ποιά είναι η μέγιστη τιμή του γινομένου;

Λύση

Ζητείται το μέγιστο γινόμενο, το οποίο εξαρτάται από δύο μεταβλητές.

Έστω x,y οι ζητούμενοι αριθμοί. Τότε:

Η γνωστή σχέση είναι : x y 80 y 80 x (1)

Το γινόμενό τους είναι : (1)

2x y x(80 x) 80x x

Ορίζουμε τη συνάρτηση 2f (x) 80x x με παράγωγο

f (x) 80 2x η οποία έχει ρίζα το x 40 . Για τα x,y ισχύουν:

(1)x 0 x 0 x 00 x 80

y 0 80 x 0 x 80

Επομένως, το γινόμενο γίνεται μέγιστο για x 40 και από την (1)

προκύπτει y 80 40 40 .

Η μέγιστη τιμή του γινομένου είναι 2f (40) 80 40 40 1600 .


Ο ιδιοκτήτης ενός οικοπέδου θέλει να περιφράξει ορθογώνια έκταση

μεταβλητών διαστάσεων x,y (σε m). Η πλευρά ΑΔ δε θα περιφραχθεί. Tο

κόστος για τις πλευρές ΑΒ, ΓΔ είναι 4 ευρώ ανά μέτρο και για τη ΒΓ

είναι 6 ευρώ ανά μέτρο. Aν διαθέσει 240 ευρώ για την περίφραξη, τότε

να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου με το μέγιστο εμβαδόν.


57


Λύση

Το εμβαδόν ισούται με (1)

21 1E x y x 120 4x 120x 4x

3 3 .

Ορίζουμε τη συνάρτηση 21f (x) 120x 4x

3 που έχει παράγωγο

1

f '(x) 120 8x3

. Έχουμε f (x) 0 120 8x 0 x 15 .

Για τα x,y ισχύουν : (1)x 0 x 0 x 0

0 x 30y 0 120 4x 0 x 30

.

Επομένως, το εμβαδόν γίνεται μέγιστο για x 15 m και από την (1)

προκύπτει 1

y 120 4 15 20 m3

.

Παρατήρηση: Η μέγιστη τιμή του εμβαδού (δεν ζητείται) είναι ο

αριθμός 2 21 1f (15) 120 15 4 15 1800 900 300 m

3 3 που θα

μπορούσε να βρεθεί και από το γινόμενο 2E 15 20 300 m .

Το κόστος για τις πλευρές ΑΒ και

ΓΔ είναι 2x 4 8x ευρώ ενώ για

την ΒΓ είναι y 6 6y ευρώ. Το

συνολικό κόστος είναι 240 ευρώ

άρα θα ισχύει:8x 6y 240

1

6y 240 8x y 120 4x (1)3


58


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 200 m να βρεθούν οι διαστάσεις

εκείνου με το μέγιστο εμβαδόν.

2. Δύο θετικοί αριθμοί έχουν γινόμενο 100. Να βρεθούν οι αριθμοί αν το

άθροισμά τους είναι το ελάχιστο δυνατό.

4. Να βρεθεί το σημείο Μ στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

f (x) 2x 1 το οποίο έχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο

B(6,0) .

5. Να βρεθεί το σημείο Μ της ευθείας 3

y x 64

το οποίο έχει την

ελάχιστη απόσταση από το σημείο B(1,1) .

3. Δύο ευθύγραμμοι δρόμοι Ox και Oy τέμνονται κάθετα στο Ο. Ένα

αυτοκίνητο Α βρίσκεται στο δρόμο Ox σε απόσταση 300 km από τη

διασταύρωση, ενώ ένα άλλο αυτοκίνητο Β βρίσκεται στο Ο. Τα Α, Β

αρχίζουν ταυτόχρονα να κινούνται με ταχύτητες 60 km/h και 80 km/h

αντίστοιχα. Τα Α κινείται προς το Ο, ενώ το Β στο δρόμο Oy . Μετά

από πόσο χρόνο η απόσταση των δύο αυτοκινήτων γίνεται ελάχιστη;

6. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει περίμετρο 10 cm και x είναι μια οξεία

γωνία του. Να αποδείξετε ότι:

i) Η υποτείνουσα του τριγώνου είναι 10

(x)1 x x

.

ii) Η υποτείνουσα γίνεται ελάχιστη όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

7. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R. H κορυφή

Α είναι σταθερή και οι Β, Γ μεταβάλλονται έτσι ώστε ΑΒ = ΑΓ. Να

αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται μέγιστο όταν το

τρίγωνο είναι ισόπλευρο.


59


ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

1. Δίνονται οι συναρτήσεις 3

f (x)1 x

και 2g(x) x x 2 2 .

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g.

β) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της fC στο σημείο A 3,f (3)

είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της gC στο σημείο B 1,g(1) .

γ) Να υπολογίσετε το όριο : x 1lim f (x)g(x)

.

2. Έστω η συνάρτηση f (x) x x .

α) Να αποδείξετε ότι f (x) f (x) 0 για κάθε x R .

β) Να υπολογίσετε το όριο : x 0

f (x)lim

f (x)

.

γ) Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της f για x2

ισούται με 1.

δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο A 0,f (0) .

3. Δίνεται η συνάρτηση 3 2 2x x

f (x) , xx

όπου

*R .

Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες :

α) η fC διέρχεται από το A 2 ,4 .

β) ισχύει η σχέση : xlim f (x) 8

.

γ) η εφαπτομένη της fC στο B 1,f (1) σχηματίζει με τον άξονα x΄x

γωνία o45 .

4. Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) (x 2) (x 1) . Να βρείτε:

α) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (x)

g(x)f (x)

.

β) το όριο x 2lim g(x)

.

γ) τα τοπικά ακρότατα της f.


60


5. Έστω η συνάρτηση 2 xf (x) x e . Να βρείτε:

α) την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο A 1,f (1) .

β) το όριο x 0

f (x)lim

x

.

γ) τα τοπικά ακρότατα της f.

6. Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 21 1f (x) x x x

3 3 όπου α, β

σταθεροί πραγματικοί αριθμοί.

α) Αν η εφαπτομένη της fC στο A 2,f (2) έχει εξίσωση y 3x 1 ,

να βρείτε τους α, β.

β) Για 1, 3

i) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R.

ii) να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της f.

7. Δίνεται η συνάρτηση 2

xf (x) ( , R)

x x

της οποίας η

γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο 1

A 1,2

και η

εφαπτομένη στο σημείο με 0x 0 σχηματίζει γωνία o45 με τον x΄x.

α) Να αποδείξετε ότι 0, 1 .

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f.

8. Δίνεται η συνάρτηση x

f (x)ln x

.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο με

τετμημένη 2e .

γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f.


61


9. Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) ln(4 x ) .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f.

β) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f.

γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α.

δ) Να υπολογίσετε το όριο x 0

f (x)lim

x 4 2

.

10. Δίνεται η συνάρτηση xf (x) e x, x 0,2

.

α) Να αποδείξετε ότι f (x) 2 f (x) f (x) για κάθε x 0,2

.

β) Να βρείτε την εφαπτομένη που είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μέγιστο.

11. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) xlnx , x 0

διέρχεται από το σημείο A e,e .

α) Να αποδείξετε ότι 0 .

β) Να υπολογίσετε το όριο h 0

f (e h) elim

h

γ) Να βρείτε τα ακρότατα της f.

12. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύουν :

2

h 0

f (x h) f (x)lim x x 6

h

για κάθε x R

και 2x 3

f (x)lim f (2)

x 11x 24

. Να βρείτε:

α) την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο A 2,f (2)

β) τα διαστήματα μονοτονίας της f.

γ) την ελάχιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της f.

13. Δίνεται η συνάρτηση 2x 2xf (x) e e 3 .

α) Να αποδείξετε ότι f (x) 4f (x) 12 για κάθε x R .

β) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f.


62


γ) Να βρείτε το σημείο της fC στο οποίο η εφαπτομένη έχει το

μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης.

14. Δίνεται η συνάρτηση 2x 3 3f (x) e x ( 0) .

α) Να βρείτε τις συναρτήσεις f (x) και f (x) .

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει ελάχιστη τιμή.

γ) Aν Ε(α) είναι η ελάχιστη τιμή της f, να βρείτε την τιμή του α για

την οποία η Ε(α) γίνεται ελάχιστη.

15. Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) 9x x .

α) Να υπολογίσετε το όριο x 0

x xlim

f (x)

.

β) Με διαστάσεις x, f (x) κατασκευάζουμε ορθογώνιο.

i) Nα εκφράσετε την περίμετρο και το εμβαδόν συναρτήσει του x.

ii) Nα βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων.

iii) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία η περίμετρος γίνεται

μέγιστη και την τιμή του x για την οποία το εμβαδόν γίνεται μέγιστο.

16. Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) x, x 0 όπου , R .

α) Να βρείτε τις τιμές των α, β ώστε να ισχύουν : f (4) 5, 3f (9) 1 .

β) Για 1, 2 να βρείτε:

i) το όριο 2

x 1

x 1lim

f (x) 3

ii) σημείο της fC που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το A(3,1).

17. Δίνονται τα σημεία A 8 x,0 , B(0,x 1) των θετικών ημιαξόνων

Ox και Oy αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι x (1,8) .

β) Να εκφράσετε την απόσταση των σημείων ως συνάρτηση του x

γ) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία η απόσταση ΑΒ γίνεται

ελάχιστη.


63


18. Δίνεται η συνάρτηση xf (x) e

α) Να δείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα.

β) Με κορυφές τα σημεία O 0,0 , ένα τυχαίο σημείο A x,f (x) της

fC και ένα σημείο του θετικού ημιάξονα Οx σχηματίζουμε το

τρίγωνο ΟΑΒ με ΟΑ=ΑΒ. Να βρεθεί η θέση του Α για την οποία το

εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι μέγιστο.

19. Η θέση ενός υλικού σημείου σε έναν άξονα δίνεται από τη

συνάρτηση 2x(t) t(t 4) 3 (σε m) όπου t 0 ο χρόνος σε sec.

α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνσή του

β) Να βρεθεί η επιτάχυνση τις χρονικές στιγμές που είναι ακίνητο

γ) Να βρεθούν τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία κινείται δεξιά

δ) Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία η ταχύτητα

ελαχιστοποιείται.

20. Το κόστος (σε χιλιάδες ευρώ) για την παραγωγή x τόνων ενός

προϊόντος μιας βιομηχανίας είναι 2K(x) 10x 6x 100, x (1,5)

ενώ η τιμή πώλησης (σε χιλιάδες ευρώ) ενός τόνου δίνεται από τη

σχέση 3 200x 10x 38

x .

α) Να βρείτε τη συνάρτηση του κέρδους P(x) από την πώληση x

τόνων του προϊόντος.

β) Για ποια τιμή του x το κέρδος γίνεται μέγιστο;

γ) Αν κάθε τόνος φορολογηθεί επιπλέον με 18.500 ευρώ, τότε:

i) να αποδείξετε ότι το κέρδος γίνεται μέγιστο για x 1,5

ii) να βρείτε το μέγιστο κέρδος της βιομηχανίας.


64


Βιβλιογραφία - Πηγές

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου (Γενικής Παιδείας)

Χαράλαμπος Στεργίου, Χρήστος Νάκης, Ιωάννης Στεργίου

Εκδόσεις Σαββάλας

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ’ Λυκείου

Παναγιώτης Μάμαλης, Στέλιος Μιχαήλογλου, Ευάγγελος Τόλης

Εκδόσεις Λιβάνη

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ’ Λυκείου

Θανάσης Ξένος

Εκδόσεις Ζήτη

Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ’ Λυκείου

Αναστάσιος Μπάρλας

Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική

100 θέματα στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ’ Λυκείου

Λουκάς Κανάκης, Γιώργος Μαυρίδης

Εκδόσεις Μαυρίδη

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ’ Λυκείου

Γιάννης Χαλίδης, Ιορδάνης Μουταφίδης

Εκδόσεις Όλυμπος

Ιστότοποι : www.mathematica.gr , www.mathcom.gr

Επικοινωνία

E-mail : [email protected]

Facebook : http://www.facebook.com/george.apokis

www.mathematica.gr : Γιώργος Απόκης

http://www.mathematica.gr/

http://www.mathcom.gr/

mailto:[email protected]

http://www.facebook.com/george.apokis

http://www.mathematica.gr/

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ' Λυκείου

Documents

Transcript of Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ' Λυκείου