gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

212

Οι ελλειτικές συναρτήσεις είναι η γενίκευση των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων (όως το ελλειτικό ολοκλήρωµα 1ου είδους είναι η γενίκευση της

συνάρτησης τόξου ηµιτόνου). Εκτός αό την µορφή ου αίρνουν όταν 0m = ,

σηµειώνουµε και τις εξής ιδιότητες των συναρτήσεων sn( , )x m και cd( , )x m :

sn( ) snx x− = − , sn( ) cdx K x+ = , sn( 2 ) snx K x+ = − , sn( ) cdK x x− = −

cd( ) cdx x− = , cd( ) snx K x+ = − , cd( 2 ) cdx K x+ = − , cd( ) snK x x− =

Τοοθετώντας τώρα όου sn sin→ , cd cos→ και όου 2K π→ , αίρνουµε τις

ιδιότητες του ηµιτόνου και του συνηµιτόνου. Αό την άλλη µεριά οι συναρτήσεις

sn( , )x m και cn( , )x m ικανοοιούν τις εξισώσεις 2 2cn sn 1z z+ = , sn

sccn

xx

x= και θα

µορούσαµε να κάνουµε είσης την αντιστοιχία sn sin→ , cn cos→ και sc tan→ . 8.3.4 Η ΑΚΡΙΒΗΣ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

Έχοντας υόψιν τις ροηγούµενες αραγράφους όου εριγράφηκαν οι ελλειτικές συναρτήσεις και κυρίως η σχέση αντιστροφής της ελλειτικής συνάρτησης sn µε το ελλειτικό ολοκλήρωµα, µορούµε στη συνέχεια να βρούµε την ακριβή λύση της ∆.Ε.

του εκκρεµούς, ( )tθ θ= .

Η διαφορική εξίσωση ου εριγράφει την κίνηση του εκκρεµούς είναι

( ) sin ( ) 0g

t tl

θ θ′′ + =

Θεωρούµε ως αρχικές συνθήκες τις 0(0)θ θ= και (0) 0θ ′ = .

Ισχύει 2

2

( ) ( )( )

d t d t d d dt

dt d dt ddt

θ θ θ θ θθ θ

θ θ′ ′ ′

′′ ′= = = =

Αντικαθιστώντας στη ∆.Ε. και ολοκληρώνοντας ως ρος θ έχουµε

sing

d d Cl

θ θ θ θ′ ′ + =∫ ∫ ή

2

cos2

gC

l

θθ

′− =

Η σταθερά C ροσδιορίζεται αό τις αρχικές συνθήκες 0cosg

Cl

θ= − , οότε

0

2cos cos

d g

dt l

θθ θ= ± − .

Εφόσον η γωνία µειώνεται ξεκινώντας αό την τιµή 0θ , ο ρυθµός µεταβολής της,

µέχρι το εκκρεµές να φτάσει στην θέση ισορροίας θα είναι αρνητικός, οότε κρατάµε το αρνητικό ρόσηµο

0

2cos cos

d g

dt l

θθ θ− = −

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

213

Χρησιµοοιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα 2cos 1 2sin2

θθ = − και κάνοντας

διαχωρισµό των µεταβλητών, η αραάνω εξίσωση γράφεται

2 20

2

sin sin2 2

g ddt

l

θθ θ

= −

−

Για να υολογίσουµε την ερίοδο ολοκληρώσαµε αό 0t = έως 4

Tt = . Τώρα θα

ολοκληρώσουµε αό 0t = όταν το εκκρεµές σχηµατίζει γωνία 0θ µε την

κατακόρυφη έως τη χρονική στιγµή t ου το εκκρεµές σχηµατίζει µια τυχαία γωνία

θ 0

0

2

sin sin2 2

g dt

l

θ

θ

θθ θ

=

−∫

ή 0

0 00 0

2

sin sin sin sin2 2 2 2

= −

− −∫ ∫g d dt

l

θ θ

θ θθ θθ θ

Θέτοντας 0sin2

kθ

= και sin sin2

k uθ= , τότε

2 2

2 cos

1 sin

k udud

k uθ =

− και η αραάνω

εξίσωση γίνεται

2

2 2 2 20 01 sin 1 sin

= −− −∫ ∫

ug du du

tl k u k u

π

Όµως ισχύει 2

2

2 20

( )1 sin

=−∫ du

K kk u

π

, οότε*

( )2

2 20 1 sin

≡ − =−∫

ug du

x K k tl k u

Στο σηµείο αυτό χρησιµοοιούµε το γεγονός ότι η ελλειτική συνάρτηση Jacobi sn είναι η αντίστροφη του ελλειτικού ολοκληρώµατος 1ου είδους. Οότε

( )2 1sn , sin sin

2x k u

k

θ= = όου ( )2 g

x K k tl

= −

Ειλύοντας ως ρος θ την αραάνω εξίσωση έχουµε

( ) ( )2 2 22arcsin sn , 2arcsin sn ,g

k x k k K k t kl

θ = = −

(8.41)

* Υπενθυµίζεται ότι στη θέση της παραµέτρου m που χρησιµοποιήθηκε στην προηγούµενη

παράγραφο µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το ελλειπτικό µέτρο k . Η σχέση που συνδέει τα

δυο αυτά µεγέθη είναι: 2m k= .

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

214

Η εξ. (8.41) είναι η ζητούµενη λύση ( )tθ θ= όταν οι αρχικές συνθήκες* είναι

0(0)θ θ= και (0) 0θ ′ = . Αό τις ιδιότητες των ελλειτικών συναρτήσεων έχουµε

sn( ) cdK x x− =

οότε η λύση θα µορούσε να γραφεί και ως

22arcsin cd ,g

k t kl

θ

=

0.5 1 1.5 2t

-75

-50

-25

25

50

75

θHtL θH0L= 90o

Σχήµα 1: Η γραφική παράσταση της ακριβούς λύσης (8.41) Παρατηρούµε ότι η ακριβής λύση µοιάζει µε την συνάρτηση του συνηµιτόνου. Έχει ενδιαφέρον να συγκρίνουµε την ακριβή λύση (8.41) µε την αρµονική ροσέγγιση

0

2cos

t

T

πθ θ= όου T η ακριβής ερίοδος του εκκρεµούς.

* Στην περίπτωση που έχουµε ως αρχικές συνθήκες (0) 0θ = και max(0)θ θ′ ′= , τότε η λύση

έχει την απλούστερη µορφή: 22 arcsin sn ,g

k t kl

θ =

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

215

0.2 0.4 0.6 0.8 1t

-75

-50

-25

25

50

75

θ θH0L= 90o

1000.2 1000.4 1000.6 1000.8 1001

-75

-50

-25

25

50

75

Σχήµα 2: Σύγκριση της αρµονικής λύσης 0

2cos

t

T

πθ θ= (κόκκινη καµπύλη), όπου

2

0 0

2 ( ) 1, 1

2

K kT T k T

π = = =

η περίοδος του εκκρεµούς, µε την ακριβή λύση εξ. (8.41)

(µαύρη διακεκοµµένη καµπύλη). (Αν χρησιµοποιούσαµε τον προσεγγιστικό τύπο της περιόδου

0T , τότε οι γραφικές παραστάσεις µετά από κάποιες περιόδους θα είχαν απόκλιση στον

οριζόντιο άξονα.)

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

216

0.5 1 1.5 2

-75

-50

-25

25

50

75

0.5 1 1.5 2

-2

-1

1

2

Σχήµα 3: Στο άνω διάγραµµα η περίπλοκη λύση (8.41) (µαύρη διακεκοµµένη καµπύλη) και η

αρµονική προσέγγιση (κόκκινη καµπύλη) για χρονική περίοδο δυο περιόδων. Το κάτω

διάγραµµα δείχνει την διαφορά ακριβής αρµονική λύση προσέγγιση

θ θ− . Προσοχή στην κλίµακα του κατακόρυφου

άξονα.