λυση ασκ. 26

___________________________________________________________________________ 26η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr

1

Η ημερομηνία αποστολής των λύσεων καθορίζει και τη σειρά καταγραφής τους

1η προτεινόμενη λύση (Νίκος Γαρυφαλλίδης)

Ø Αφού ο 1C εφάπτεται στους θετικούς ηµιάξονες ισχύει 1 1 1 1x y ρ= = = οπότε 2 2

1 : ( 1) (y 1) 1C x − + − = .

Ø Η µεσοκάθετος του 1 3K K είναι η ευθεία : 8y xε = − + οπότε

1 3 1 3 1 31 3 1 ( 1) 1 1K K K K K KK K εε λ λ λ λ⊥ ⇔ ⋅ = − ⇔ ⋅ − = − ⇔ = και αφού διέρχεται

από το 1(1,1)K η ευθεία 1 3 :K K y x= οπότε 3 3 3(x , y )K


2

Ø Το σηµείο τοµής των ε , 1 3K K θα βρεθεί από το σύστηµα

1 3

: 8(4,4)

:y x

MK K y xε = − +⎧

⇒⎨ =⎩ το οποίο είναι µέσο του 1 2K K οπότε

33

1 4 72x x+ = ⇔ = άρα 2 2

3 : ( 7) (y 7) 1C x − + − =

Ø Το κέντρο του 2C είναι πάνω στην ευθεία : 8y xε = − + οπότε θα ισχύει:

2 2 8 (1)y x= − + Ø Οι κύκλοι 1C , 2C εφάπτονται εξωτερικά οπότε θα ισχύει :

( ) 2 2 2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 2

(1)2 2 2 2

2 2 2 2

(1)2 2 2

2 2 2

(1)2 2 2

2 2 2

(x x ) (y ) 1 26 1 (x 1) (y 1) 26

(x 1) ( x 8 1) 26 (x 1) ( x 7) 26

x 2 y 6 : ( 2) (y 6) ( 26 1)

...

x 6 y 2 : ( 6) (y 2) ( 26 1)

K K y

C x

ή

C x

ρ ρ= + ⇔ − + − = + − ⇔ − + − =

⇔ − + − + − = ⇔ − + − + = ⇔

⎧ = ⇔ = ⇒ − + − = −⎪⎪⇔ ⇔ ⎨⎪⎪ = ⇔ = ⇒ − + − = −⎩

2η προτεινόμενη λύση (Δημήτρης Ζαχαριάδης)

Αν Κ1(x1,y1) το κέντρο το C1 τότε επειδή ο C1 εφάπτεται στους θετικούς ηµιάξονες Ox, Oy θα ισχύει:

d(K1,Ox)= d(K1,Oy)=ρ1 � y1=x1=ρ1=1. Εποµένως Κ1(1,1)

και τότε C1: (x-1)2+(y-1)2=1

Έστω Κ3(x3,y3). H ευθεία ε: y=-x+8 είναι µεσοκάθετος του τµήµατος Κ1Κ3 εποµένως:

• το µέσο Μ του Κ1Κ3 είναι σηµείο της ε,

3 3 3 33 3

1+x 1+y 1 1M , ε 8 x 142 2 2 2

y x y+ +⎛ ⎞∈ ⇔ = − + ⇔ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ (1)

• 31 3 1 2

3

1 λ 1 ( 1) 11

yK Kx

ε λ −⊥ ⇔ ⋅ = − ⇔ − = −−

( προφανώς x3≠1) �

y3=x3 (2)

Από (1), (2) έχουµε x3=y3=7 εποµένως Κ3(7,7) και επειδή ρ3=1

C3: (x-7)2+(y-7)2=1.

O C2 εφάπτεται εξωτερικά στους C1, C3 εποµένως:

(Κ1Κ2)=ρ1+ρ2= 26 (3) και (Κ2Κ3)=ρ2+ρ3= 26 (4)


3

Από (3), (4) έχουµε:

• (Κ1Κ2)= (Κ2Κ3) εποµένως το Κ2 σηµείο της µεσοκαθέτου ε θα την επαληθεύει:

y2= - x2+8 (5) και

• (Κ1Κ2)= 26 � (x2-1)2+(y2-1)2=26 (6) η (6) λόγω της (5) γίνεται: (x2-1)2+(x2-7)2=26 � x2

2-8x2+12=0 και δίνει τελικά δύο λύσεις: x2=2 x2=6. Αντικαθιστώντας στην (5) έχουµε τα ζεύγη λύσεων (x2, y2)= (2,6) και (x2, y2)= (6,2). και εποµένως δύο λύσεις για τον κύκλο C2:

(x-2)2+(y-6)2=( 26 -1)2 (x-6)2+(y-2)2=( 26 -1)2

3η προτεινόμενη λύση (Κώστας Δεββές)

Έστω ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3( , ), , , ( , )K x y K x y K x y µε 1 1, 0x y > και 1 1 1 1x yρ = = = λόγω της

επαφής του 1C µε τους ηµιάξονες Οx, Oy. Άρα ο 1C έχει εξίσωση:

( ) ( )2 21 1 1x y− + − = . Το 2Κ ισαπέχει από τα 1 3,Κ Κ µε 2 1 2 3 26K K K K= = , επειδή

από την υπόθεση 1 3 1ρ ρ= = , 2 26 1ρ = − και οι κύκλοι 1 2,C C και 2 3,C C εφάπτονται

εξωτερικά. Άρα το κέντρο 2K του 2C ανήκει στην ευθεία 8y x= − + δηλαδή ισχύει

2 2 8y x= − + . Αντικαθιστώντας το 2y στη σχέση ( ) ( )2 22 21 1 26x y− + − = και

κάνοντας τις πράξεις βρίσκουµε ( )2 2, (6,2)x y = ή (2,6) . Άρα ο 2C έχει εξίσωση:

( ) ( )2 26 2 27 2 26x y− + − = − ή ( ) ( )2 22 6 27 2 26x y− + − = − .

Η ευθεία 1 3K K είναι κάθετη στην 8y x= − + και διέρχεται από το 1K . Άρα έχει

εξίσωση y x= και κατά συνέπεια 3 3y x= . Το µέσο 3 31 1,2 2x x+ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠του 1 3K K ανήκει

στην ευθεία 8y x= − + , άρα 3 33

1 1 8 72 2x x x+ += − + ⇔ = . Άρα ο 3C έχει εξίσωση:

( ) ( )2 27 7 1x y− + − = .


4

4η προτεινόμενη λύση (Θανάσης Καραγιάννης)

Ο κύκλος C1 , κέντρου Κ1, εφάπτεται στους ηµιάξονες Ox και Oy και έχει ακτίνα ρ1 = 1.

Άρα το τετράπλευρο ΟΓΚ1Β είναι τετράγωνο και συνεπώς το κέντρο του C1 είναι Κ1(1,1). Εποµένως

C1 : 2 2x ) (y 1) =1( 1− −+ .

Επίσης η διακεντρική ευθεία Κ1Κ3 είναι κάθετη στην ευθεία y x +8= − και περνάει από το σηµείο Κ1(1,1), άρα η Κ1Κ3 έχει εξίσωση x +βy = και για x = y = 1 παίρνουµε ότι

β = 0 , οπότε Κ1Κ3 : y = x. Το σηµείο τοµής Η των ευθειών y = x και x +8y = − βρίσκεται από τη λύση του συστήµατος:

y x +8y = x=⎧

⎨⎩

−⇔

x x +8y = x=⎧

⎨⎩

−⇔

2x = 8y = x

⎧⎨⎩

⇔x = 4y = 4

⎧⎨⎩

, δηλαδή Η(4,4).

Αλλά το σηµείο Η είναι το µέσο του τµήµατος Κ1Κ3, οπότε :

Η1 3x + xx2

= ⇔ 314 = + x2

⇔ 38 =1+ x ⇔ 3x = 7 και

Η1 3y + yy2

= ⇔ 314 = + y2

⇔ 38 =1+ y ⇔ 3y = 7 , δηλαδή Κ3(7,7).


5

Εποµένως C3 : 2 2) (y 7) =1(x 7− −+

Ισχυρισµός: Το κέντρο Κ2 του κύκλου C2 ανήκει στη µεσοκάθετο του διακεντρικού τµήµατος Κ1Κ3 (δηλαδή στην ευθεία y x +8= − ).

Απόδειξη: Έστω Δ και Ε τα σηµεία επαφής του κύκλου C2 µε τους C1 και C3 αντίστοιχα. Τότε από το Δ διέρχεται η κοινή εφαπτοµένη ε των C1 και C2, που είναι κάθετη στις ακτίνες Κ1Δ και Κ2Δ. Δηλαδή τα σηµεία Κ1, Δ και Κ2 είναι συνευθειακά και το τµήµα Κ1Κ2 έχει µήκος ρ1+ρ2 . Όµοια έχουµε ότι τα σηµεία Κ3, Ε και Κ2 είναι συνευθειακά και το τµήµα Κ2Κ3 έχει µήκος ρ1+ρ2 . Συνεπώς το τρίγωνο Κ1Κ2Κ3 είναι ισοσκελές µε βάση Κ1Κ3 , οπότε η κορυφή Κ2 ανήκει στη µεσοκάθετο του τµήµατος Κ1Κ3.

Από τον ισχυρισµό, έχουµε ότι το Κ2 είναι σηµείο τοµής του κύκλου (Κ1, ρ1+ρ2) και της ευθείας y x +8= − (οπότε θα προκύψουν δύο λύσεις για το Κ2). Λύνω το σύστηµα των αντίστοιχων εξισώσεων και έχω:

21 2

2 2 )x 1) (y 1) = (ρ ρy x +8(=−⎧ − +⎪

⎨⎪⎩

+−

⇔22 2 )x 1) ( x +8 1) = (1 26 1 (1)

y x +8 (2)(=−⎧ − + −⎪

⎨⎪⎩

+ −−

Λύνω την (1) και έχω:

22 2 )x 1) (7 x) = ( 26( − + − ⇔ 2 2x 2x 1 49 14x = 26+ x− −+ + ⇔ 22x 16x 24 = 0− +

⇔ 2x 8x 12 = 0− + που έχει διακρίνουσα Δ = 2( 8) 4 12− − ⋅ =64−48=16 και ρίζες

8 42+ =12

2= 6

x = 8 162

± = 8 42± =

8 42− = 4

2= 2

Για x = 2, η (2) ⇒ y = 2 8− + = 6, δηλαδή παίρνουµε το σηµείο Κ2(2,6) και

Για x = 6, η (2) ⇒ y = 6 8− + = 2, δηλαδή παίρνουµε το σηµείο '2K (6,2) .

Οι αντίστοιχες εξισώσεις κύκλων είναι :

C2 : 22 2) (y 6) = ( 26 1)(x 2− − −+ και 'C2 : 22 2) (y 2) = ( 26 1)(x 6− − −+

Σχόλιο: Αν θέλουµε να συµφωνεί το σχήµα µας µε το σχήµα του αστρολάβου στην εκφώνηση, θα πρέπει να απορρίψουµε τον κύκλο 'C2 (µε τη διακεκοµµένη γραµµή) και να δεχθούµε ως λύση τον κύκλο C2, που βρίσκεται «άνω αριστερά» σε σχέση µε τον 'C2 , άρα το κέντρο του έχει τη µικρότερη τετµηµένη και µεγαλύτερη τεταγµένη.

λυση ασκ. 26

Education

Transcript of λυση ασκ. 26