00 Dermanis Periex · 2010-05-28 · iv Συντεταγμένες και Συστήματα...

Πρόλογος iii

Πρόλογος

Οι σημερινές τεχνικές δυνατότητες για γρήγορους και εκτεταμένους υπολογι-σμούς έδωσαν τεράστια ώθηση στις εφαρμοσμένες επιστήμες παρά τις όποιες ενστάσεις για την ενδεχόμενη κατάχρηση τους Σε κάθε υπολογισμό τόσο τα εισαγόμενα όσο και τα εξαγόμενα στοιχεία είναι αριθμοί οι οποίοι αντιπροσω-πεύουν στοιχεία της φυσικής πραγματικότητας με τη βοήθεια συγκεκριμένων φυσικών και μαθηματικών μοντέλων Επομένως για να υπάρξουν εφαρμοσμέ-νες επιστήμες (τουλάχιστον στις περιοχές των θετικών επιστημών και της μηχα-νικής αλλά και στις ανθρωπιστικές επιστήμες μέχρι ένα βαθμό) είναι ανάγκη να laquoαριθμοποιήσουμεraquo να παραστήσουμε δηλαδή με αριθμούς στοιχεία των μο-ντέλων που περιγράφουν φυσικά φαινόμενα Πρώτα απrsquo όλα τα σημεία του χώρου όπου συμβαίνουν τα φαινόμενα αυτά πρέπει να παρασταθούν από α-ριθμούς που ονομάζουμε laquoσυντεταγμένεςraquo Φυσικά μεγέθη που εμφανίζονται σε σημεία του χώρου τα οποία εκτός από μέγεθος έχουν επιπλέον διεύθυνση και φορά τα διανυσματικά δηλαδή μεγέθη πρέπει να παρασταθούν από αριθ-μούς με τη βοήθεια ενός τοπικού laquoσυστήματος αναφοράςraquo τριών δηλαδή δια-νυσμάτων ο γραμμικός συνδυασμός των οποίων με κατάλληλους συντελεστές αναπαράγει το ζητούμενο διάνυσμα το οποίο και παριστάνεται πλέον από τις τιμές των συντελεστών που ονομάζουμε laquoσυνιστώσεςraquo Στους Ευκλείδειους χώρους και στα πλαίσια της Νευτώνειας μηχανικής αρκεί να εισάγουμε ένα μόνο σύστημα αναφοράς το οποίο μπορούμε να μεταθέσουμε παράλληλα σε όποιο σημείο επιθυμούμε με τη βοήθεια του οποίου προκύπτει και το πλέον εύχρηστο είδος συντεταγμένων οι καρτεσιανές συντεταγμένες Επομένως η μελέτη των διαφόρων ειδών συντεταγμένων και των συστημάτων αναφοράς είναι θεμελιώδης ανάγκη σε κάθε κλάδο των εφαρμοσμένων επιστη-μών Παράλληλα όμως η έννοια του συστήματος αναφοράς μπορεί να γενικευθεί αν εξετάσουμε το βασικό τρόπο λειτουργίας του τη δημιουργία ενός μαθηματικού-φυσικού αντικειμένου με τη βοήθεια γραμμικών συνδυασμών ομοειδών αντικει-μένων με συντελεστές οι οποίοι και αντιπροσωπεύουν πλέον το αντικείμενο στους υπολογισμούς Έτσι εκτός από τα συνηθισμένα διανύσματα του τρισδιά-στατου χώρου μπορούμε να μιλήσουμε για το σύστημα αναφοράς για τα διανύ-σματα σε χώρους με περισσότερες διαστάσεις οι οποίοι εμφανίζονται στην επί-

iv Συντεταγμένες και Συστήματα Αναφοράς

λυση γραμμικών συστημάτων η ακόμα και για συναρτήσεις τις οποίες μπορού-με να δούμε σαν διανύσματα σε χώρους άπειρων διαστάσεων Αρχικός πυρήνας για τη συγγραφή του παρόντος βιβλίου υπήρξαν οι διδακτι-κές σημειώσεις για τις ανάγκες ενός νέου μαθήματος με τίτλο laquoΣυστήματα ανα-φοράς και χρόνουraquo του Τομέα Γεωδαισίας και Τοπογραφίας του Τμήματος Α-γρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών του ΑΠΘ Το αντικείμενο της εγκα-τάστασης παγκόσμιων συστημάτων αναφοράς έχει αποκτήσει τα τελευταία χρόνια τεράστιο ενδιαφέρον για τις γεωεπιστήμες και την αστρονομία Η Διε-θνής Γεωδαιτική Ένωση (IAG) ύστερα από την τελευταία αναμόρφωση της λειτουργικής δομής της έχει αφιερώσει την πρώτη από τις τέσσερες laquoΕπιτρο-πέςraquo της στα συστήματα αναφοράς ενώ από κοινού με τη Διεθνή Αστρονομική Ένωση (IAU) έχει δημιουργήσει μια ειδική υπηρεσία την Διεθνή Υπηρεσία Πε-ριστροφής της Γης και Συστημάτων Αναφοράς (IERS) που ασχολείται με την πρακτική υλοποίηση των συστημάτων αναφοράς Η ύλη που αναπτύσσεται εδώ καλύπτει τόσο θεωρητικά όσο και πρακτικά ζη-τήματα Στο 1ο κεφάλαιο προτάξαμε μια κριτική παρουσίαση της ιστορικής α-νάπτυξης των αντιλήψεων μας πάνω στο ζήτημα του προσδιορισμού της θέσης ως προς ένα σύστημα αναφοράς το οποίο συνδέεται τόσο με το πρόβλημα του σχήματος της γης όσο και με τη μορφή του πεδίου βαρύτητας Το 2ο και 3ο κεφάλαιο περιέχουν τις απαραίτητες για πρωτοετείς φοιτητές έν-νοιες από τα μαθηματικά και τη γεωμετρία και με την ευκαιρία ξεκαθαρίζουν ορισμένες διαδεδομένες παρανοήσεις που πηγάζουν από την αποκλειστική χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων οι οποίες ενώ διευκολύνουν κατά πολύ τους υπολογισμούς δεν μας επιτρέπουν να δούμε καθαρά τις λεπτές διαφορές ανάμεσα σε θεμελιώδεις έννοιες Το 4ο κεφάλαιο εξετάζει από θεωρητική σκοπιά το πρόβλημα των συστημάτων αναφοράς σε κίνηση προετοιμάζοντας το έδαφος για την πρακτική εφαρμογή στην περίπτωση της περιστροφής της γης στο 7ο κεφάλαιο Επειδή πέρα από τις σύγχρονες πρακτικές και τεχνολογικές κατακτήσεις είναι σημαντικό να γνωρίζουμε και τις μεθόδους του παρελθόντος το μεγαλύτερο μέρος του 5ου κεφαλαίου είναι αφιερωμένο στη σύντομη παρουσίαση συστημά-των αναφοράς που σχετίζονται με το πεδίο βαρύτητας της γης Πέρα όμως από τις ιστορικού μόνο πλέον ενδιαφέροντος μεθοδολογίες που στηρίζονται στο τοπικό αστρονομικό σύστημα (κεφ 55 έως 58) το ζήτημα των συστημάτων υψών (κεφ 59) παραμένει πάντα επίκαιρο δεδομένου ότι τα ύψη με πρακτικό ενδιαφέρον για τις εφαρμογές είναι τα laquoφυσικάraquo ύψη που σχετίζονται με το πεδίο βαρύτητας της γης και όχι τα γεωμετρικά ύψη που σχετίζονται μόνο με

Πρόλογος v

το χρησιμοποιούμενο σύστημα αναφοράς Το 6ο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στη σχέση ανάμεσα σε ένα παγκόσμιο σύστη-μα όπου η θέση ορίζεται από το γεωγραφικό μήκος και πλάτος πάνω σε ένα ελλειψοειδές μοντέλο της γης και τις χαρτογραφικές συντεταγμένες που χρη-σιμοποιούνται περισσότερο για την απόδοση της θέσης σε τοπικό-περιφερειακό ή εθνικό επίπεδο Στο 7ο κεφάλαιο παρουσιάζεται συστηματικά ο νέος τρόπος περιγραφής της περιστροφής της γης σύμφωνα με σχετικές αποφάσεις της Διεθνούς Αστρονο-μικής Ένωσης και εξηγούνται οι βασικές αρχές στις οποίες αυτές στηρίζονται Παράλληλα γίνεται μια σύντομη περιγραφή των διαφορικών εξισώσεων της περιστροφής και των επίγειων συστημάτων αναφοράς για την παραμορφώσιμη γη Το 8ο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην laquoτέταρτη διάστασηraquo της φυσικής πραγ-ματικότητας το χρόνο Οι διάφοροι ορισμοί του χρόνου ξεκινώντας από τη χρήση της περιστρεφόμενης γης ως χρονομέτρου μέχρι τα σύγχρονα εξαιρετι-κής ακρίβειας ατομικά ρολόγια εξετάζονται τόσο θεωρητικά όσο και από τη σκοπιά της πρακτικής υλοποίησης Με την αξιοποίηση μετρήσεων πολύ μεγά-λης ακρίβειας δεν μπορούν πλέον να αγνοηθούν οι προβλέψεις της θεωρίας της σχετικότητας Γιrsquo αυτό εξετάζουμε σύντομα τη σχέση ανάμεσα στον κοινό Νευ-τώνειο χρόνο και το χρόνο ως μια από τις τέσσερες συντεταγμένες του αδια-χώριστου χωροχρόνου της θεωρίας της σχετικότητας Στο 9ο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα συστήματα αναφοράς που χρησιμοποιού-νται στην αστρονομία με μια συστηματική σύγκριση ανάμεσα στην κλασσική περιγραφή της περιστροφής της γης και τη νέα περιγραφή που αποφασίστηκε από την Διεθνή Αστρονομική Ένωση το 2000 και τέθηκε σε ισχύ από την 1η Ια-νουαρίου 2003 Το 10ο κεφάλαιο περιγράφει αναλυτικά την υλοποίηση από την IERS των νέων συμβάσεων σχετικά με τα συστήματα αναφοράς και τα προγράμματα υπολογι-στή που είναι διαθέσιμα για τους μετασχηματισμούς από το laquoΔιεθνές Ουράνιοraquo στο laquoΔιεθνές Επίγειοraquo σύστημα αναφοράς Στο 11ο κεφάλαιο εξετάζονται τα συστήματα αναφοράς που σχετίζονται με τις δορυφορικές τροχιές και ιδιαίτερα εκείνα που εμφανίζονται στην ανάλυση των παρατηρήσεων του Παγκόσμιου Συστήματος Προσδιορισμού Θέσης (GPS) Τα τελευταία 4 κεφάλαια τα οποία είναι αφιερωμένα σε γενικεύσεις της συνηθι-σμένης έννοιας του συστήματος αναφοράς έχουν περισσότερο μαθηματικό χαρακτήρα αλλά επικεντρώνονται σε αποτελέσματα με ενδιαφέρον στις εφαρ-μογές Το 12ο κεφάλαιο εξετάζει το πρόβλημα της λύσης ενός συστήματος

vi Συντεταγμένες και Συστήματα Αναφοράς

γραμμικών εξισώσεων και την απλοποίηση της με τη χρησιμοποίηση περισσότε-ρο αποτελεσματικών συστημάτων αναφοράς τόσο για τις άγνωστες παραμέ-τρους όσο και για τις παρατηρήσεις που δίνουν τους σταθερούς όρους του συ-στήματος Το 13ο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στο πρόβλημα του συστήματος αναφοράς για την παράσταση συναρτήσεων ή στις laquoσυναρτήσεις βάσηςraquo όπως έχει καθιε-ρωθεί να λέγονται Ξεκινώντας από απλά πολυώνυμα εξετάζονται οι συναρτή-σεις σε ένα διάστημα οι οποίες μπορούν να αναπτυχθούν σε σειρά Fourier κα-θώς και η αντίστοιχη περίπτωση συναρτήσεων που ορίζονται στην επιφάνεια μιας σφαίρας των οποίων τα αναπτύγματα σε σειρά σφαιρικών αρμονικών έ-χουν ιδιαίτερη σημασία για τις γεωεπιστήμες Ο κύριος ρόλος των διαφόρων ειδών μη καρτεσιανών (καμπυλόγραμμων) συ-ντεταγμένων είναι η ανάλυση φυσικών προβλημάτων τα οποία μοντελοποιού-νται μέσα από διαφορικές εξισώσεις Για το λόγο αυτό το τελευταίο 15ο κεφά-λαιο είναι αφιερωμένο στον διαφορικό και διανυσματικό λογισμό όταν χρησι-μοποιούνται διάφορα κατάλληλα κατά περίπτωση συστήματα καμπυλόγραμ-μων συντεταγμένων Έγινε ιδιαίτερη προσπάθεια να αναδειχθούν τα σημαντικά σημεία της σχετικής ύλης τα οποία laquoεξαφανίζονταιraquo κάτω από τις απλοποιήσεις που προκύπτουν από τη χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων Όμως μια laquoακριβήςraquo (αν και όχι μαθηματικά αυστηρή) έκθεση των σχετικών εννοιών χωρίς ασάφειες και σκοτεινά σημεία απαιτεί κάποια βασικά στοιχεία από τον τανυστικό λογισμό τα οποία και προτάξαμε στο 14ο κεφάλαιο Κύριος στόχος του παρόντος συγγράμματος δεν είναι η κάλυψη των εκπαιδευ-τικών αναγκών ενός συγκεκριμένου μαθήματος αλλά η δημιουργία ενός βασι-κού κειμένου αναφοράς που ελπίζω ότι θα φανεί χρήσιμο σε όσους αγαπούν τη γνώση και έχουν τη διάθεση να της αφιερώσουν την απαραίτητη μελέτη Ευχαριστώ όσους βοήθησαν στη δημιουργία του βιβλίου αυτού με οποιοδήποτε τρόπο και ιδιαίτερα τον συνάδελφο Καθηγητή Ηλία Τζιαβό για την ουσιαστική συνδρομή του στο 5ο κεφάλαιο Η μακρόχρονη συνεργασία μου με τις Εκδόσεις Ζήτη υπήρξε πάντοτε απόλυτα θετική Η στενή συνεργασία με τον κ Νίκο Ζήτη κατά την προετοιμασία του βιβλίου αυτού σε όλες του τις λεπτομέρειες υπήρξε για μένα ιδιαίτερα ικανο-ποιητική και γιrsquo αυτό τον ευχαριστώ θερμά

Θεσσαλονίκη Μάϊος 2005 Α Δερμάνης

Περιεχόμενα vii

Περιεχόμενα

1 Εισαγωγή

11 Ο χώρος και ο χρόνος στις φυσικές επιστήμες 1 12 Η μέτρηση του χρόνου 2 13 Μετρήσεις στο χώρο Από την γεωμετρία στη γεωδαισία 5 14 Μετρήσεις στο χώρο Σχήμα και θέση 7 15 Εξέλιξη των μαθηματικών μοντέλων για το σχήμα της γης

και το πεδίο βαρύτητας 16 16 Η γεωδαισία στην διαστημική εποχή 30

2 Βασικές Έννοιες

21 Γεωμετρικές και αναλυτικές μέθοδοι στα μαθηματικά37 22 Συστήματα συντεταγμένων και τοπικά διανυσματικά συστήμα-

τα αναφοράς39 Αναλυτική περιγραφή των σημείων του χώρου39 Αναλυτική περιγραφή των τοπικών διανυσμάτων 41 Αναλυτική περιγραφή των διανυσματικών πεδίων 42 Αναλυτική περιγραφή των τανυστών43

23 Συστήματα συντεταγμένων και αναφοράς στον ευκλείδειο χώρο 44 Ευκλείδειος χώρος και παράλληλη μετάθεση44 Άθροιση διανυσμάτων45 Σύστημα αναφοράς στον ευκλείδειο χώρο 46 Διάνυσμα θέσης και καρτεσιανές συντεταγμένες 46 Απευθείας ορισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων χωρίς

το σύστημα αναφοράς47 Διαφορά συστήματος αναφοράς και συστήματος συντεταγμένων48 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων50 Διαφορά φυσικού και μαθηματικού Ευκλείδειου χώρου51 Ορθοκανονικές βάσεις 52 Μη ορθοκανονικές βάσεις 53 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 54 Ιδιότητες εξωτερικού γινόμενου55 Συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων56

viii Συντεταγμένες και Συστήματα Αναφοράς

Αξονικό διάνυσμα αντισυμμετρικού πίνακα (αντισυμμετρικής απεικόνισης) 57

Ιδιότητες αντισυμμετρικών πινάκων 58 Φυσική σημασία της ορίζουσας πίνακα διαστάσεων 3yen3 58

24 Σχέσεις μεταξύ δύο διαφορετικών συστημάτων αναφοράς59 Προσανατολισμός βάσης62

25 Περιγραφή του πίνακα στροφής Στροφές γύρω από τους άξονες64 Ανάλυση στροφής σε 3 στροφές γύρω από τους άξονες 64 Στροφή στο επίπεδο 64 Στοιχειώδεις στροφές γύρω από τους 3 άξονες65 Δυνατότητες επιλογής στοιχειωδών στροφών Γωνίες Cardan και

Euler67 Iδιότητες των στοιχειωδών πινάκων στροφής 69 Παράγωγοι στοιχειωδών πινάκων στροφής 69

26 Γεωμετρική σημασία των γωνιών στροφής γύρω από τους άξονες70

27 Μιγαδικοί αριθμοί και στροφή στο επίπεδο73

3 Συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων

31 Γενικά χαρακτηριστικά75 32 Σφαιρικές συντεταγμένες82 33 Κυλινδρικές συντεταγμένες88 34 Γεωδαιτικές συντεταγμένες 90 35 Ελλειψοειδείς συντεταγμένες 94 36 Ολοκληρώματα ως προς καμπυλόγραμμες συντεταγμένες96 Παράρτημα 3A Σχέση μεταξύ καρτεσιανών και γεωδαιτικών

συντεταγμένων103

4 Συστήματα αναφοράς σε κίνηση

41 Αδρανειακά και επιταχυνόμενα συστήματα αναφοράς107 42 Ψευτοδυνάμεις σε ένα επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς110 43 Η περιστροφική κίνηση ενός στερεού σώματος 113 44 Το διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής 117 45 Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler 120 46 Συστήματα αναφοράς για παραμορφώσιμα σώματα 125

Περιεχόμενα ix

5 Το πεδίο βαρύτητας της γης

51 Δύναμη έλξης και δυναμικό έλξης 131 52 Φυγόκεντρη δύναμη και βαρύτητα 136 53 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά του πεδίου βαρύτητας 138 54 Προσδιορισμός του πεδίου βαρύτητας 144 55 Το τοπικό αστρονομικό σύστημα αναφοράς 156 56 Το τοπικό γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς160 57 Αναγωγή από τον άξονα περιστροφής στο επίγειο σύστημα

αναφοράς162 58 Μετασχηματισμοί από το τοπικό αστρονομικό στο τοπικό

γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς164 59 Συστήματα υψών170

6 Γεωδαιτικό datum και δίκτυα

61 Γεωδαιτικές συντεταγμένες και γεωδαιτικό datum 181 62 Χαρτογραφικές προβολές 186 63 Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας 190 64 Ο προσδιορισμός των παραμέτρων μετασχηματισμού μεταξύ

δύο συστημάτων αναφοράς για το ίδιο δίκτυο193 65 Το διαχρονικό σύστημα αναφοράς για δίκτυα σημείων199

Δίκτυα διακριτά ως προς το χρόνο 203 Δίκτυα συνεχή ως προς το χρόνο 206

7 Συστήματα αναφοράς για την περιστρεφόμενη γη

71 Μετάπτωση - κλόνιση ημερήσια περιστροφή και κίνηση του πόλου215

72 Συστήματα αναφοράς με τον τρίτο άξονα στην κατεύθυνση του διανύσματος περιστροφής 218

73 Η περιστροφή της γης 225 Παράρτημα 7Α Προσδιορισμός της μη περιστρεφόμενης αρχής

(NRO) 230

8 Συστήματα χρόνου

81 Nευτώνειος και σχετικιστικός χρόνος233 82 Αστρικός και παγκόσμιος χρόνος235

x Συντεταγμένες και Συστήματα Αναφοράς

83 Δυναμικός χρόνος 243 84 Ατομικός χρόνος 244 85 Ο ρόλος της θεωρίας της σχετικότητας246

9 Συστήματα αναφοράς για την περιγραφή διευθύνσεων στην αστρο-νομία

91 Οριζόντιο σύστημα σύστημα ωριαίας γωνίας σύστημα ορθής αναφοράς και εκλειπτικό σύστημα 253 Το οριζόντιο σύστημα 255 Το σύστημα της ωριαίας γωνίας 257 Το σύστημα της ορθής αναφοράς 257 Το εκλειπτικό σύστημα 259

92 Σχέσεις μετατροπής μεταξύ των αστρονομικών συστημάτων259 93 Κλασσική περιγραφή της περιστροφής της γης στην

αστρονομία262 94 Αστρογεωδαιτικές μέθοδοι προσδιορισμού του αστρονομικού

μήκους και πλάτους 267 Παράρτημα 9A Σφαιρική τριγωνομετρία 271

10 Η υλοποίηση των συστημάτων αναφοράς από την IERS

101 Ορισμός και υλοποίηση των συστημάτων αναφοράς από την IERS275

102 Υπολογισμός της μετάπτωσης και κλόνισης278 103 Υπολογισμός της κίνησης του πόλου284 104 Υπολογισμός της ημερήσιας περιστροφής 287 105 Υπολογισμοί για την κλασσική αστρονομική περιγραφή 287 106 Υπορουτίνες για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού από το

ουράνιο στο επίγειο σύστημα 289

11 Συστήματα αναφοράς στη γεωδαισία δορυφόρων

111 Οι νόμοι του Kepler 297 112 Η κίνηση στο επίπεδο της τροχιάς 299 113 Η έλλειψη του Kepler στο χώρο 302 114 Περιγραφή των τροχιών των δορυφόρων στο παγκόσμιο

σύστημα θέσης GPS 307 Παράρτημα 11Α Το Παγκόσμιο Γεωδαιτικό Σύστημα WGS 84 312

Περιεχόμενα xi

12 Συστήματα αναφοράς και γραμμικές εξισώσεις

121 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων 315 122 Γεωμετρικός προσδιορισμός των λύσεων ελαχίστων

τετραγώνων και ελάχιστης νόρμας 319 123 Μεταβολή του συστήματος αναφοράς στο χώρο των

αγνώστων και των παρατηρήσεων325 124 Ανάλυση μοναδικών τιμών327 125 Ο ρόλος του συστήματος αναφοράς του Ευκλείδειου χώρου

στις γραμμικές εξισώσεις της ανάλυσης δικτύων ελέγχου334

13 Συστήματα αναφοράς σε χώρους συναρτήσεων

131 Μη ορθογώνιες βάσεις στον Ευκλείδειο χώρο 344 132 Χώροι πολυωνυμικών συναρτήσεων347 133 Βέλτιστη προσέγγιση συνάρτησης με πολυώνυμο357 134 Ανάπτυγμα συνάρτησης σε σειρά Fourier359 135 Σφαιρικές αρμονικές 364

14 Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες και τανυστικός λογισμός

141 Διανύσματα και γραμμικές μορφές375 142 Τανυστές382

Διγραμμικές μορφές385 143 Το εσωτερικό γινόμενο και ο μετρικός τανυστής 385

Φυσική αντιστοιχία μεταξύ διανυσμάτων και γραμμικών μορφών (μετρικός δυϊσμός)386

Άλλες απεικονίσεις οι οποίες παριστάνονται από τανυστές 388 Αναβιβασμός και καταβιβασμός δεικτών ενός τανυστή390

144 Συστολή 393 145 Μεταβολή των συνιστωσών τανυστών 395 146 Συμμετρικοί και αντισυμμετρικοί τανυστές 397 147 Το μικτό γινόμενο διανυσμάτων και ο τανυστής όγκου398 148 Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων401 149 Αντιστοιχία διανυσμάτων και διγραμμικών αντισυμμετρικών

μορφών (δυϊσμός όγκου) 402

xii Συντεταγμένες και Συστήματα Αναφοράς

15 ∆ιαφορικός λογισμός και διανυσματική ανάλυση με καμπυλόγραμμες συντεταγμένες

151 Τανυστικά πεδία και διαφορικός λογισμός στον Ευκλείδειο χώρο 405

152 Παράγωγος διανύσματος κατά μήκος καμπύλης γραμμής407 Η μαθηματική έννοια της καμπύλης 407 Παράγωγος διανύσματος κατά μήκος καμπύλης409 Εφαπτόμενο διάνυσμα σε μία καμπύλη 410 Τα σύμβολα Christoffel του δευτέρου είδους412 Οι συνιστώσες της παραγώγου διανύσματος κατά μήκος καμπύλης 415 Παράγωγος βαθμωτού πεδίου ως προς διάνυσμα 417 Καμπύλη ολοκλήρωσης διανυσματικού πεδίου 420 Η κλίση ενός βαθμωτού πεδίου 421 Το στοιχείο μήκους και το μήκος τμήματος καμπύλης423

153 Παραγώγιση κατά μήκος καμπύλης και ως προς διάνυσμα425 Παράγωγος γραμμικής μορφής κατά μήκος καμπύλης 425 Παράγωγος τανυστή κατά μήκος καμπύλης 427 Παράγωγοι διανυσμάτων γραμμικών μορφών και τανυστών ως προς

διάνυσμα 429 154 Συμμεταβλητές παράγωγοι και σύνδεση430 155 Διανυσματική ανάλυση 435

Δεύτερη συμμεταβλητή παράγωγος βαθμωτού πεδίου 435 Λαπλασιανή απόκλιση και περιστροφή437

156 Εφαρμογές σε ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες 441 Σφαιρικές συντεταγμένες 443 Κυλινδρικές συντεταγμένες 444 Γεωδαιτικές συντεταγμένες445 Ελλειψοειδείς συντεταγμένες447 Η Λαπλασιανή για ορθογώνιες συντεταγμένες 450 Η απόκλιση για ορθογώνιες συντεταγμένες452 Η περιστροφή για ορθογώνιες συντεταγμένες 454

Kεφάλαιο 1

Εισαγωγή

11 Ο χώρος και ο χρόνος στις φυσικές επιστήμες

Τα φυσικά φαινόμενα στα οποία συμπεριλαμβάνονται και οι καθημερινές μας εμπειρίες λαμβάνουν χώρα μέσα σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο το πλαίσιο του laquoχώρουraquo και του laquoχρόνουraquo Η πρώτη αντίληψη της ανθρωπότητας αλλά και κάθε ανθρώπινου όντος ξεχωριστά για το χώρο ή το χρόνο είναι laquoτοπολογικήraquo O χώρος γίνεται αντιληπτός σαν laquoσχήμαraquo του συνόλου των αντικειμένων που μας περιβάλλουν που καθορίζεται από τη σχετική τους θέση και μέγεθος χωρίς σαφή αντίληψη των αποστάσεων (laquoμετρικήraquo αντίληψη) Ο χρόνος γίνεται αντι-ληπτός μέσα από τη βίωση του παρόντος που τον τέμνει σε παρελθόν και μέλ-λον και την συνακόλουθη διάταξη των γεγονότων σε χρονική σειρά με βάση το laquoπρινraquo και το laquoμετάraquo

Η μετρική αντίληψη δηλαδή η αντίληψη για το μέγεθος του χώρου ή του χρό-νου έρχεται πρώτα για το χρόνο καθώς η ζωή πάνω στη γη κυριαρχείται από ένα μεγάλο laquoρολόιraquo τον ήλιο που μας επιτρέπει να μετράμε το χρόνο χρησιμο-ποιώντας ως μονάδα τη διαδοχική εναλλαγή από φως και σκοτάδι την ημέρα Όμως η μονάδα αυτή είναι κατάλληλη μόνο για πολύ μικρά χρονικά διαστήμα-τα Ακόμη και σήμερα στις γλώσσες των (μέχρι χθες τουλάχιστον) πρωτόγονων πληθυσμών υπάρχουν λέξεις μόνο για ελάχιστους από τους πρώτους ακεραί-ους Η σελήνη με την διαδοχική εναλλαγή των φάσεών της δίνει την επόμενη μονάδα κατάλληλη για τη μέτρηση μεγαλύτερων χρονικών διαστημάτων το σεληνιακό μήνα το διάστημα δηλαδή ανάμεσα σε δύο πανσέληνους με διάρκεια 295 ημερών Τέλος η περιοδική εναλλαγή των εποχών δίνει το έτος ως μονάδα για τη μέτρηση ακόμα μεγαλύτερων χρονικών διαστημάτων

Η μετρική αντίληψη για το χώρο συγκεκριμενοποιείται καθώς ο άνθρωπος-κυνηγός αναγκάζεται να καλύψει σχετικά μεγάλες αποστάσεις αναζητώντας


την τροφή του Όμως η μέτρηση των αποστάσεων δεν είναι άμεση δεν προκύ-πτει δηλαδή από τη σύγκριση με μία μονάδα (αυτό θα συμβεί αργότερα) αλλά έμμεση βασισμένη στη μέτρηση του χρόνου Οι αποστάσεις μετρούνται με το χρόνο που χρειάζεται ο άνθρωπος για να τις διανύσει πχ laquoμιας ημέρας δρό-μοςraquo Όμως έτσι υπεισέρχεται στη μέτρηση ένα υποκειμενικό στοιχείο γιατί κάθε άνθρωπος ή ομάδα ανθρώπων δεν κινείται με την ίδια πάντα ταχύτητα Αργότερα τον δρομέα-άνθρωπο θα αντικαταστήσει το καραβάνι με τις καμήλες στην ξηρά και στη θάλασσα το πλοίο για τη μέτρηση των αποστάσεων από λιμάνι σε λιμάνι

Η εξάρτηση αυτή της μέτρησης του χώρου από το χρόνο επιστρέφει στα πλαί-σια της σύγχρονης τεχνολογίας Σήμερα οι μετρήσεις αποστάσεων γίνονται σχεδόν αποκλειστικά μέσω του χρόνου που χρειάζεται για να τις διανύσει ένας ιδανικός δρομέας με σταθερή ταχύτητα το φως Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι μία από τις σταθερές της σύγχρονης φυσικής

Οι σύγχρονες φυσικές επιστήμες μελετούν τα φυσικά φαινόμενα με τη βοήθεια μοντέλων στα οποία υπεισέρχονται φυσικά μεγέθη που μπορούν να συγκεκρι-μενοποιηθούν με αριθμούς πραγματοποιώντας κατά κάποιον τρόπο το laquoόρα-μαraquo του Πυθαγόρα ο οποίος ήταν ο πρώτος που πίστεψε με πάθος (και με αρ-κετή δόση μυστικισμού για να πούμε την αλήθεια) ότι ο laquoαριθμόςraquo είναι η βάση της φυσικής πραγματικότητας Οι εφαρμοσμένες επιστήμες μάλιστα αντικαθι-στούν τα φυσικά μεγέθη με αριθμούς και προχωρούν σε αριθμητικούς υπολογι-σμούς είτε για να προβλέψουν φυσικά φαινόμενα είτε για να κατασκευάσουν αντι-κείμενα τα οποία θα συμπεριφερθούν κατά ένα προβλέψιμο επιθυμητό τρόπο

Καθώς τα φαινόμενα συμβαίνουν στο χώρο και το χρόνο είναι αυτονόητο ότι τόσο ο χώρος όσο και ο χρόνος θα πρέπει να παρασταθούν με αριθμούς Στις εφαρμογές χρειάζεται αντίστοιχα η ακριβής μέτρηση των αποστάσεων και του χρόνου Σήμερα η σχετική ακρίβεια φθάνει στα όρια του nanosecond (= 10minus9 δευτερόλεπτα) δίνοντας ακρίβεια μερικών χιλιοστών για αποστάσεις της τάξης της διαμέτρου της γης

12 Η μέτρηση του χρόνου

Η μέτρηση του χρόνου ξεκινά με βάση την ημέρα τον σεληνιακό μήνα και το χρόνο Πολλές δραστηριότητες της ανθρώπινης ζωής βασίζονται στη μέτρηση του χρόνου Ανάμεσά τους εκείνες που απαιτούν τη μεγαλύτερη ακρίβεια είναι οι θρησκευτικές δραστηριότητες Η μέτρηση του χρόνου γίνεται αντικείμενο

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 3

του μάγου - ιερέα και αργότερα ενός οργανωμένου ιερατείου που μονοπωλώ-ντας τη γνώση επικουρεί την άρχουσα τάξη και αποτελεί την πρώτη μορφή μιας κάστας η οποία σήμερα έχει αντικατασταθεί από την επιστημονική κοινό-τητα

Για το σκοπό της μέτρησης του χρόνου καταρτίζονται ημερολόγια για να καθο-ριστούν οι μέρες για τις διάφορες ιεροτελεστίες αλλά και για πιο πρακτικούς σκοπούς όπως η σπορά των αγρών Σύντομα γίνεται αντιληπτό πως ούτε ο σεληνιακός μήνας ούτε η ημέρα είναι μονάδες συμβατές με το έτος Πράγματι μέσα σε ένα έτος δεν χωρά ακριβώς ένας ακέραιος αριθμός σεληνιακών μηνών (εναλλασσόμενοι μήνες των 29 και 30 ημερών δίνουν έτος 354 μόνο ημερών) αλλά ούτε και ημερών Για να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα αυτό χρησιμοποιή-θηκαν εμβόλιμες ημέρες ή και μήνες

Η παρέλευση ενός έτους γίνεται αντιληπτή με βάση την ημέρα με το μεγαλύτε-ρο χρονικό διάστημα μεταξύ ανατολής και δύσης το θερινό ηλιοστάσιο Η μέρα αυτή μπορεί να καθοριστεί (σχήμα 1) ως η ημέρα κατά την οποία ένας σταθερός πάσσαλος ρίχνει (στο βόρειο ημισφαίριο και σε πλάτη μεγαλύτερα από 235deg) την μικρότερη σκιά το μεσημέρι καθώς ο ήλιος μεσουρανεί στο βορειότερο σημείο για να στραφεί στη συνέχεια προς νότο μέχρις ότου φθάσει στο νοτιό-τερο σημείο κατά το χειμερινό ηλιοστάσιο με τη μικρότερη δυνατή διάρκεια του φωτισμένου από τον ήλιο διάστημα της ημέρας

Πρώτος ο Θαλής (640-546 πΧ) με τη βοήθεια του laquoσκιοθηρικού γνώμοναraquo προσδιόρισε τη διάρκεια του έτους σε 365 ημέρες Επαναλαμβανόμενες μετρή-σεις στα επόμενα 50 χρόνια διαπίστωσαν την μη σταθερή διάρκεια του αριθμού ημερών μεταξύ θερινών ηλιοστάσιων και οδήγησαν στην σημερινή τιμή των

22 Ιούν22 Δεκ

Β

Σχήμα 1

Προσδιορισμός του θερινού ηλιοστάσιου ως ημέρα με μικρότερη σκιά το μεσημέρι


36525 ημερών για τη διάρκεια του έτους τιμή που αποδίδεται στον Κλεόστρα-το Η ανάγκη διατήρησης του σεληνιακού μήνα για λατρευτικούς σκοπούς ο-δήγησε στο σύστημα της laquoοκταετηρίδαςraquo όπου στους 8 times 12 = 96 σεληνιακούς μήνες με εναλλασσόμενη διάρκεια 29 και 30 ημερών προστίθεντο 3 εμβόλιμοι μήνες των 30 ημερών έτσι ώστε στον αρχικό αριθμό των 96 times 295 = 2832 να προστεθούν 90 μέρες για να υπάρξει συγχρονισμός με τις 2832 + 90 = 2922 =

= 36525 times 8 ημέρες της διάρκειας των 8 ετών Σήμερα βέβαια το πρόβλημα ξε-περνιέται εγκαταλείποντας τον σεληνιακό μήνα και προσθέτοντας μία ημέρα κάθε 4 χρόνια στα έτη των 12 μηνών και 365 (= 7 times 31 + 4 times 30 + 28) ημερών

Η αναζήτηση ενός περισσότερο κατάλληλου φυσικού ρολογιού έστρεψε τον άνθρωπο προς τον ουρανό και οδήγησε στην ανάπτυξη της αστρονομίας Το πρακτικό αντικείμενο της αστρονομίας η κατάρτιση δηλαδή ενός αξιόπιστου ημερολογίου καλύπτεται κάτω από έναν μανδύα λιγότερο πρακτικό αλλά πε-ρισσότερο ελκυστικό τόσο για την άρχουσα τάξη όσο και για το λαό την πρό-βλεψη του μέλλοντος μέσω της αστρολογίας Η δεισιδαιμονία αυτή θα επιβιώσει μέσα στην επιστημονική κοινότητα μόνο όσο της είναι βιοποριστικά χρήσιμη μέχρι τα χρόνια του Kepler όταν ακόμη σημαντικό αντικείμενο των αστρονό-μων ήταν η κατάρτιση ωροσκοπίων για τους ευγενείς εργοδότες τους

Από την άλλη πλευρά η μέτρηση μικρών χρονικών διαστημάτων δεν απαιτούσε μεγάλη ακρίβεια και οι σχετικές ανάγκες ικανοποιούνταν με κλεψύδρες και την καύση ισοπαχών κεριών με οριζόντιες υποδιαιρέσεις Μάλιστα η ώρα δεν υπήρ-ξε αρχικά μια σταθερή χρονική μονάδα καθώς το ημερήσιο και το νυκτερινό τμήμα του 24ώρου διαιρούνταν χωριστά το κάθένα σε 12 ώρες Επομένως η ημερήσια ώρα ήταν μεγαλύτερη από την νυκτερινή ώρα το καλοκαίρι ενώ το αντίστροφο συνέβαινε το χειμώνα έτσι ώστε η διάρκεια τόσο της ημερήσιας όσο και της νυκτερινής ώρας να εξαρτάται από την εποχή του χρόνου Μόνο με την έλευση της βιομηχανικής εποχής απαιτήθηκε η πιο ακριβής μέτρηση του χρόνου εργασίας με μονάδα μία σταθερή ώρα ίση με το ένα εικοστό τέταρτο της ημέρας Τότε αναπτύχθηκαν ακριβή ρολόγια με βάση την ταλάντωση του εκκρεμούς αξιοποιώντας τεχνογνωσία που είχε ήδη αναπτυχθεί κυρίως για την κατασκευή αυτόματων παιγνιδιών προορισμένων για τη διασκέδαση των ιδιαί-τερα εύπορων

Όμως η μεγάλη ώθηση στην ανάπτυξη ακριβέστερων χρονομέτρων η οποία οδήγησε σταδιακά στα σημερινά ατομικά ρολόγια δεν ήρθε από την ανάγκη της μέτρησης του χρόνου σαν αυτοσκοπό αλλά σαν ενδιάμεσο στάδιο για τον προσδιορισμό της θέσης ή την ακριβή μέτρηση αποστάσεων Καθώς η γη περι-


στρέφεται ένα σημείο στον ισημερινό μετακινείται κατά μισό χιλιόμετρο σε ένα δευτερόλεπτο Ο προσδιορισμός του γεωγραφικού μήκους (δηλαδή της θέσης κατά τη διεύθυνση ανατολής-δύσης) για τις ανάγκες της ναυσιπλοΐας απαι-τούσε χρονόμετρα που να διατηρούν ακρίβεια μερικών δευτερολέπτων για όλη τη διάρκεια ενός υπερπόντιου ταξιδιού δηλαδή για ένα-δύο μήνες Η ανάγκη αυτή έδωσε την μεγάλη ώθηση στην ανάπτυξη χρονομέτρων μεγάλης ακριβείας τις λεπτομέρειες της οποίας θα γνωρίσουμε παρακάτω

13 Μετρήσεις στο χώρο Από την γεωμετρία στη γεωδαισία

Η εκτέλεση μετρήσεων με σκοπό τον προσδιορισμό της θέσης στο χώρο ξεκί-νησε αργότερα από τις σχετικές με το χρόνο μετρήσεις Η πρώτη ιστορική ανα-φορά μας δίνεται από τον πατέρα της ιστορίας Ηρόδοτο (485-425 πΧ) ο ο-ποίος στην laquoΙστορίαraquo του (βιβλίο 2 laquoΕυτέρπηraquo 109 1-12) μας λέει αναφερόμε-νος στην Αίγυπτο τα εξής

Κατανεῖμαι δὲ τὴν χώρην Αἰγυπτίοισι ἅπασι τοῦτον ἔλεγον τὸν βα-σιλέα κλῆρον ἴσον ἑκάστῳ τετράγωνον διδόντα καὶ ἀπὸ τούτου τὰς προσόδους ποιήσασθαι ἐπιτάξαντα ἀποφορὴν ἐπιτελέειν κατ ἐνιαυ-τόν Εἰ δέ τινος τοῦ κλήρου ὁ ποταμός τι παρέλοιτο ἐλθών ἂν πρὸς αὐτὸν ἐσήμαινε τὸ γεγενημένον ὁ δὲ ἒπεμπε τοὺς ἐπισκεψομένους καὶ ἀναμετρήσοντας ὅσῳ ἐλάσσων ὁ χῶρος γέγονε ὅκως τοῦ λοιποῦ κατὰ λόγον τῆς τεταγμένης ἀποφορῆς τελέοι Δοκέει δέ μοι ἐνθεῦτεν γεωμετρίη εὑρεθεῖσα ἐς τὴν Ἑλλάδα ἐπανελθεῖνhellip Λένε πως ο βασιλιάς μοίρασε τη γη σε όλους τους Αιγυπτίους δίνο-ντας σε καθένα ίσος κλήρος ορίζοντας να πληρώνεται ετήσιος φό-ρος για τα εισοδήματα που θα προέκυπταν Εάν ο ποταμός παρέσυ-ρε τμήμα του κλήρου κάποιου αυτός μπορούσε να παρουσιαστεί και να δηλώσει αυτό που έγινε Τότε (ο βασιλιάς) έστελνε ανθρώπους να επισκεφτούν το μέρος και να μετρήσουν κατά πόσο μειώθηκε το εμ-βαδόν του κλήρου ώστε να μειωθεί αναλογικά και ο φόρος Μου φαίνεται λοιπόν πως η γεωμετρία επινοήθηκε εκεί και από εκεί ήλθε στην Ελλάδαhellip

Αυτό που ο Ηρόδοτος αποκαλεί laquoγεωμετρίαraquo χωρίς να αισθάνεται την ανάγκη παραπέρα διευκρίνησης προς τους αναγνώστες του είναι αυτό που σήμερα απο-


καλούμε laquoτοπογραφίαraquo και όχι η γεωμετρία με τη σημερινή έννοια του συγκε-κριμένου κλάδου των μαθηματικών

Πράγματι οι άνθρωποι του βασιλιά της Αιγύπτου εκτελούν τυπικές τοπογραφι-κές εργασίες αποτύπωσης Από έναν αιγυπτιακό πάπυρο μάλιστα μαθαίνουμε πως οι άνθρωποι αυτοί ονομαζόταν με μία λέξη που στα αιγυπτιακά σημαίνει στην κυριολεξία laquoαυτοί που τεντώνουν τα σχοινιάraquo ndash laquoσχοινο-τανυστέςraquo Προ-φανώς σχοινιά με κόμπους σε ίσες αποστάσεις αποτελούσαν τον πρόδρομο της σημερινής μετροταινίας

Έναν αιώνα αργότερα ο μεγάλος Έλληνας φιλόσοφος Αριστοτέλης (384-322 πΧ) μας λέει στο βιβλίο του laquoΜετά τα Φυσικάraquo (997 26-28)

εἰ γὰρ τούτῳ διοίσει τῆς γεωδαισίας ἡ γεωμετρία μόνον ὅτι ἡ μὲν τούτων ἐστίν ὧν αἰσθανόμεθα ἡ δrsquo οὐκ αἰσθητῶν

κατά τούτο μόνο διαφέρει από τη γεωδαισία η γεωμετρία κατά το ότι η πρώτη ασχολείται για όσα μπορούμε να αντιληφθούμε με τις αισθήσεις μας ενώ η δεύτερη με τα μη αισθητά

Μέσα σε ένα μόνον αιώνα η λέξη γεωμετρία έχει χάσει το κυριολεκτικό της νόημα (μέτρηση της γης) καθώς ασχολείται πλέον με ιδεατά και όχι πραγματι-κά αντικείμενα ενώ για την πρακτική τοπογραφία έχει επινοηθεί ένας νέος ό-ρος laquoγεωδαισίαraquo από τη λέξη laquoγαίαraquo και το ρήμα ldquoδαΐζωrdquo που σημαίνει κατα-νέμω Φαίνεται πως η κατανομή γης παραμένει το κύριο τοπογραφικό αντικεί-μενο

Η λέξη laquoγεωδαισίαraquo ανασύρθηκε και τέθηκε σε χρήση εκ νέου από τους επιστή-μονες των μετά την Αναγέννηση χρόνων όταν τα αρχαία ελληνικά και τα λατι-νικά αποτελούσαν απαραίτητο εφόδιο κάθε μορφωμένου ανθρώπου Με την ευκαιρία ο μεγάλος Ολλανδός τοπογράφος Snell που εισήγαγε στις αποτυπώ-σεις τη μέθοδο του τριγωνισμού κέρδιζε τα προς το ζην για ένα διάστημα της ζωής του ως δάσκαλος των αρχαίων ελληνικών Σταδιακά ο όρος γεωδαισία κατέληξε σήμερα να αναφέρεται στην αποτύπωση ολόκληρης της γης ενώ η αποτύπωση μικρότερων τμημάτων καλύπτεται από το νέο όρο laquoτοπογραφίαraquo Εν τούτοις ο τοπογράφος ονομάζεται ακόμα laquoγεωμέτρηςraquo στην Γαλλία (geacuteomegrave-tre) και την Ιταλία (geometra)

Τι έχει μεσολαβήσει λοιπόν στα χρόνια από τον Ηρόδοτο μέχρι τον Αριστοτέ-λη ώστε η πρακτική laquoγεωμετρίαraquo να χάσει την αρχική της κυριολεκτική έννοια και να χρειαστεί να αντικατασταθεί από τον καινούργιο όρο laquoγεωδαισίαraquo Μια


σειρά Ελλήνων διανοητών από τους φυσικούς φιλόσοφους της Ιωνίας με προε-ξέχοντα τον Μιλήσιο Θαλή μέχρι τον Πλάτωνα τον δάσκαλο του Αριστοτέλη επινόησαν τον laquoκαταλύτηraquo της παραπέρα ανάπτυξης της ανθρώπινης σκέψης που έκανε τον Ελληνικό πολιτισμό να διαφέρει από κάθε άλλο μεγάλο πολιτι-σμό και που οδήγησε τελικά στην σύγχρονη ανάπτυξη των επιστημών στο πλαίσιο αυτού που ονομάζουμε laquoδυτικό πολιτισμόraquo Πρόκειται βέβαια για την ιδέα της laquoαφαίρεσηςraquo Από τα υλικά σημεία και τις υλικές γραμμές που ο γεωμέ-τρης-τοπογράφος χάραζε στο έδαφος έφτασαν στις αντίστοιχες αφηρημένες έννοιες της γραμμής και του σημείου με τις οποίες εξοικειωθήκαμε στο μάθημα της γεωμετρίας στη Μέση Εκπαίδευση Έτσι αναπτύχθηκε μια laquoγεωμετρίαraquo που δεν είχε να κάνει άμεσα ούτε με τη γη ούτε με τη μέτρηση Βασιζόταν σε λογι-κούς συνειρμούς οι οποίοι ξεκινούσαν από ορισμένες laquoαυταπόδεικτεςraquo αλήθειες τα laquoαξιώματαraquo και έφθαναν σε νέες αλήθειες τα laquoθεωρήματαraquo σχετικές με τα αφηρημένα σχήματα που μπορούσαν να κατασκευασθούν από αφηρημένα ση-μεία και γραμμές Το ότι τα αποτελέσματα αυτής της γνώσης θα μπορούσαν να εφαρμοστούν και σε πραγματικά σχήματα δεν φαίνεται να απασχολούσε ιδιαί-τερα την τάξη των αργόσχολων διανοητών μιας κοινωνίας που είχε λύσει τα laquoοικονομικάraquo της προβλήματα μέσα από το θεσμό της δουλείας Για τους Έλλη-νες η γεωμετρία ήταν τα κατrsquo εξοχήν μαθηματικά με τη σημερινή έννοια του όρου Ο όρος laquoμαθηματικήraquo κάλυπτε το σύνολο της επιστημονικής γνώσης θεωρητικής και πρακτικής Όπως μας πληροφορεί ο Ήρων οι περιοχές γνώσης στην αρχαία Ελλάδα ήταν οκτώ δύο θεωρητικές η αριθμητική και η γεωμετρία και έξι εφαρμοσμένες η λογιστική και η κανονική (κατασκευή μουσικών οργά-νων) συγγενείς της αριθμητικής η οπτική και η γεωδαισία συγγενείς της γεω-μετρίας και η μηχανική και η αστρονομία συγγενείς και των δύο

14 Μετρήσεις στο χώρο Σχήμα και θέση

Ας ξαναγυρίσουμε στο έργο του γεωμέτρη - τοπογράφου Ο προσδιορισμός του σχήματος (έννοια στην οποία συμπεριλαμβάνουμε και το μέγεθος) των κλήρων σε μια περιοχή σε σχέση με ένα οριζόντιο επίπεδο είναι δυνατή μέσα από με-τρήσεις μηκών και γωνιών Η μέτρηση γωνίας πρέπει να είναι μεταγενέστερη επειδή απαιτούνται όργανα περισσότερο πολύπλοκα Αν θεωρήσουμε πολυγω-νικά αγροτεμάχια αυτά μπορούν να χωριστούν σε τρίγωνα που προσδιορίζο-νται πλήρως αν είναι γνωστά τα μήκη των πλευρών τους Αν για κάποιο λόγο


μια πλημμύρα για παράδειγμα χαθούν τα ορόσημα οι καταγραμμένες μετρή-σεις των μηκών μάς επιτρέπουν να σχηματίσουμε ξανά στο έδαφος το σχήμα του συνόλου των αγροτεμαχίων αλλά όχι και να το τοποθετήσουμε στην σω-στή του θέση εκτός αν έχουν διασωθεί δύο ορόσημα ή τουλάχιστον ένα ορό-σημο και μία χαραγμένη πλευρά που να διέρχεται από αυτό Χρειαζόμαστε λοι-πόν ένα laquoσύστημα αναφοράςraquo για να προσδιορίσουμε όχι μόνο το σχήμα αλλά και τη laquoθέσηraquo των σημείων πάνω στη γη

Περνώντας στην κλίμακα του συνόλου της γης (από την τοπογραφική στη γεω-δαιτική κλίμακα όπως θα λέγαμε σήμερα) τίθεται ξανά το πρόβλημα του προσ-διορισμού της θέσης σημείων αρχικά με βάση τον άξονα ανατολής-δύσης που ορίζεται από την καθημερινή πορεία του ήλιου στον ουρανό πάνω από μία φαι-νομενικά επίπεδη γη Οι τόποι πρέπει να τοποθετηθούν σωστά σε σχέση ο ένας με τον άλλο κάθε τόπος είναι δυτικότερα ή ανατολικότερα και συνάμα βορειό-τερα ή νοτιότερα από κάθε άλλον τόπο

Με την κατανόηση της σφαιρικότητας της γης και την ανάπτυξη της μελέτης της θέσης και της κίνησης των άστρων της αστρονομίας δηλαδή λύνεται εν μέρει το πρόβλημα αυτό Η παρατήρηση του ουράνιου θόλου δείχνει ότι αυτός περιστρέφεται γύρω από έναν νοητό άξονα που στο βόρειο ημισφαίριο φαίνεται ουσιαστικά να περνά από ένα συγκεκριμένο άστρο τον πολικό αστέρα στον αστερισμό της Μικρής Άρκτου Παράλληλα γίνεται αντιληπτό ότι η γωνία του πολικού πάνω από τον ορίζοντα μεγαλώνει όταν κανείς ταξιδεύει προς βορρά και μικραίνει προς το νότο Η γωνία αυτή είναι το γεωγραφικό πλάτος φ (σχή-μα 2) που αποτελεί μία από τις γεωγραφικές συντεταγμένες που καθορίζουν τη θέση πάνω στη σφαιρική επιφάνεια της γης με μηδενική τιμή στον ισημερινό θετικές τιμές από 0deg έως 90deg στο βόρειο ημισφαίριο και αρνητικές από 0deg έως

φ

φ

φ

λ

90ominusφ

R

h

Σχήμα 2

Καθορισμός του γεωγραφικού πλάτους φ με τη βοήθεια του πολικού αστέρα


minus90deg στο νότιο Ο προσδιορισμός της απόλυτης θέσης και όχι μόνο της σχετι-κής (βορειότερα-νοτιότερα) γίνεται εφικτή χάρις στην ύπαρξη του άξονα περι-στροφής που αποτελεί ένα φυσικό laquoσύστημα αναφοράςraquo για τα γεωγραφικά πλάτη Αντίθετα για την άλλη γεωγραφική συντεταγμένη το γεωγραφικό μή-κος λ δεν υπάρχει ένα φυσικό laquoσύστημα αναφοράςraquo και η θέση όπου =

ordm0λ πρέπει να επιλεγεί αυθαίρετα ως αποτέλεσμα μιας γενικά αποδεκτής σύμβασης Στους νεότερους χρόνους η σχετική σύμβαση επιλέγει ως laquoαρχή της μέτρησης των μηκώνraquo το αστεροσκοπείο του Greenwich στην Αγγλία Στην αρχαιότητα ως πρώτη αρχή των μηκών χρησιμοποιήθηκε η πόλη της Ρόδου στη συνέχεια η Αλεξάνδρεια και την εποχή του Πτολεμαίου η Θούλη (Κανάριοι Νήσοι) ως laquoδυτικό άκρο της οικουμένηςraquo ώστε να έχουν όλοι οι τόποι θετικό μήκος

Το μήκος λ και το πλάτος φ αποτελούν τις πρώτες συντεταγμένες που χρησι-μοποιούνται για να μετατραπεί ένα φυσικό χαρακτηριστικό η θέση πάνω στη γη σε ένα ζεύγος αριθμών Η εισαγωγή τους αποδίδεται στον Δικαίαρχο μαθη-τή του Αριστοτέλη Είναι όμως πιθανόν συντεταγμένες να χρησιμοποιήθηκαν πρώτα για τη θέση των άστρων πάνω στον ουράνιο θόλο Η χρήση τους γενι-κεύεται από τον Πτολεμαίο ο οποίος στο έργο του laquoΓεωγραφική Υφήγησιςraquo δίνει τα πλάτη και τα μήκη και πλάτη 8000 περίπου τοπωνυμίων με ικανοποιη-τικές τιμές για τα πλάτη αλλά με σχετικά λανθασμένα μήκη

Τα γωνιακά μεγέθη λ και φ δεν επαρκούν για τον προσδιορισμό αποστάσεων πάνω στη σφαιρική γη αλλά χρειάζεται επιπλέον να ξέρουμε το μέγεθος της ακτίνας της γης Στην αρχαιότητα μετρήσεις της περιμέτρου της γης έγιναν από τον Εύδοξο (407-354 πΧ) αστρονόμο της Πλατωνικής Ακαδημίας και τον α-στρονόμο-εξερευνητή Πυθέα γύρω στα 330 πΧ χωρίς όμως ικανοποιητικά αποτελέσματα Η πιο επιτυχής όμως μέτρηση ή τουλάχιστον η περισσότερο γνωστή σήμερα έγινε από τον επικεφαλής της περίφημης βιβλιοθήκης της Αλε-ξάνδρειας γεωγράφο Ερατοσθένη (276-194 πΧ) ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί για το λόγο αυτό ως ο πρώτος γεωδαίτης Ο Ερατοσθένης παρατήρησε ότι ό-ταν κατά το θερινό ηλιοστάσιο ο ήλιος καθρεφτίζεται σε ένα πηγάδι στη Συήνη (σχήμα 3) δηλαδή όταν οι ακτίνες πέφτουν κατακόρυφα την ίδια ημέρα σχη-ματίζει γωνία 150 του κύκλου (72deg) με την κατακόρυφο στην Αλεξάνδρεια που βρίσκεται 5000 στάδια βορειότερα Στο σύνολο της περιμέτρου της γης αντιστοιχεί τιμή 50 φορές μεγαλύτερη ίση με 250000 στάδια Δεν είναι απόλυτα βέβαιη η τιμή του σταδίου που χρησιμοποιούσε ο Ερατοσθένης Για το ελληνικό στάδιο των 164 km η τιμή των 41000 km είναι μόλις κατά 23 μεγαλύτερη


5000 στάδια

72oΣυήνη

Αλεξάνδρεια

150 κύκλου

Σχήμα 3

H μέτρηση της περιμέτρου της γης από τον Ερατοσθένη

από την πραγματική τιμή των 40075 km για την ισημερινή περίμετρο Για το αλεξανδρινό στάδιο των 1575 km προκύπτει περίμετρος 39375 km κατά 175 μικρότερη από την πραγματική Η τιμή αυτή επαληθεύτηκε από τον Ε-ρατοσθένη όπως μας πληροφορεί ο Στράβωνας ο οποίος μέτρησε το τόξο Αλε-ξάνδρειας-Ρόδου με σκιοθηρικό γνώμονα Πολύ κοντά στην πραγματικότητα είναι και η τιμή των 40000 σταδίων για την ακτίνα της γης που έδωσε ο Αρχιμή-δης (287-212 πΧ) (αντίστοιχη τιμή περιμέτρου 251327 στάδια) για την οποία όμως δεν γνωρίζουμε τη μέθοδο προσδιορισμού Αργότερα ο Ίππαρχος (190-120 πΧ) μετέβαλε την τιμή του Ερατοσθένη σε 252000 στάδια Μια λανθασμέ-νη μέτρηση από τον Ποσειδώνιο (135-51 πΧ) έδωσε την τιμή των 180000 στα-δίων η οποία υιοθετήθηκε από τον Πτολεμαίο (100-178 μΧ)

Το πείραμα του Ερατοσθένη είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα της σημασίας που έχει η χρησιμοποίηση ενός σωστού μοντέλου στην ανάλυση των παρατηρήσε-ων Ο Ερατοσθένης θεώρησε δεδομένη τη σφαιρικότητα της γης και υπέθεσε πως ο ήλιος βρισκόταν πάρα πολύ μακριά έτσι ώστε οι ακτίνες του να φθάνουν ουσιαστικά παράλληλες σε διαφορετικά μέρη της γης Αν πίστευε πως η γη είναι επίπεδη και πως η απόσταση του ήλιου είναι σχετικά μικρή θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει ακριβώς τα ίδια στοιχεία (σχήμα 4) για να υπολογίσει την από-σταση γης-ηλίου

Η μέτρηση του πλάτους φ είναι πολύ εύκολη με ένα γωνιόμετρο (σχήμα 2) που η αρχή του τοποθετείται στην κατακόρυφο οπότε με σκόπευση του πολικού προσδιορίζεται η συμπληρωματική γωνία -

90 φ Η μέτρηση του μήκους λ ή για την ακρίβεια της διαφοράς μήκους δεν είναι καθόλου εύκολη και χρειά-στηκαν πολλοί αιώνες για να γίνει εφικτή Αν γνωρίζουμε πότε μεσουρανεί ένα άστρο σε έναν τόπο πχ στο αστεροσκοπείο του Greenwich καθώς η γη περι-στρέφεται από δυσμάς προς τα ανατολάς θα μεσουρανήσει νωρίτερα για ένα


Σχήμα 4

Ο ρόλος του μοντέλου στην ανάλυ-ση παρατηρήσεων (προσδιορισμός της απόστασης του ήλιου αξιο-ποιώντας τις παρατηρήσεις του Ερατοσθένη με λάθος μοντέλο)

τόπο στα ανατολικά και αργότερα για ένα τόπο στα δυτικά του Greenwich Η χρονική διαφορά θα είναι ανάλογη της διαφοράς μήκους (που σε σχέση με το Greenwich είναι το ίδιο το μήκος) Αφού σε 24 ώρες αντιστοιχούν οι 360deg μιας πλήρους περιστροφής σε κάθε ώρα αντιστοιχούν 360deg24 = 15deg Αρκεί λοιπόν να διαθέτουμε ένα κατάλογο με τους χρόνους μεσουράνησης στο Greenwich των πιο σημαντικών άστρων για κάθε μέρα του χρόνου και ένα ρολόι που να δείχνει τον χρόνο στο Greenwich Το πρόβλημα όμως ήταν αρχικά η χαμηλή ακρίβεια των πρώτων χρονομέτρων που έχαναν αρκετά λεπτά κάθε εικοσιτε-τράωρο ενώ οι ανάγκες της ναυσιπλοΐας απαιτούσαν όπως ήδη αναφέραμε ακρίβεια κάτω από το δευτερόλεπτο Καθώς η γη περιστρέφεται ένα σημείο στον ισημερινό διανύει στο χώρο περίπου μισό χιλιόμετρο (463 m) ανά δευτε-ρόλεπτο και 28 περίπου χιλιόμετρα ανά λεπτό Επομένως για την σχετικά ακρι-βή μέτρηση του γεωγραφικού μήκους κατά τη διάρκεια ενός πολυήμερου θα-λάσσιου ταξιδιού χρειάζεται χρονόμετρο που να μη χάνει περισσότερο από με-ρικά δευτερόλεπτα ανά ημέρα

Όμως για πολλά χρόνια τα διαθέσιμα χρονόμετρα δεν μπορούσαν να δια-τηρήσουν το χρόνο με ικανοποιητική ακρίβεια για το μεγάλο χρονικό διάστημα των υπερωκεάνιων ταξιδιών και η παραπάνω απλή μέθοδος δεν ήταν πρακτικά εφαρμόσιμη Προτάθηκαν μάλιστα διάφορες εναλλακτικές μέθοδοι βασισμένες στην παρατήρηση αστρονομικών φαινομένων χωρίς τη χρήση χρονομέτρου Εξάλλου η πρώτη μέτρηση διαφοράς μήκους από τον Ίππαρχο στηριζόταν σε μια αστρονομική μέθοδο την χρησιμοποίηση μιας σεληνιακής έκλειψης για την laquoμεταφορά του χρόνουraquo από ένα σημείο σε ένα άλλο Καθώς η έκλειψη είναι πρακτικά ένα ταυτόχρονο γεγονός αρκεί να συγκριθεί η ώρα της ημέρας κατά την οποία συνέβη η έκλειψη σε δύο τόπους εκφρασμένη σε κλάσμα της ημέρας μετρημένης από ανατολή σε ανατολή ή από δύση σε δύση του ηλίου Η δια-


Σχήμα 5 Ο John Harrison και τα 4 κατά σειρά χρονόμετρα του (H1 H2 H3 και H4) με

το τελευταίο από τα οποία κέρδισε το βραβείο 20000 λιρών για τον αξιόπιστο προσδιορισμό του γεωγραφικού μήκους

φορά ώρας σε κλάσμα της ημέρας είναι ίση με την διαφορά μήκους (διαφορά χρόνων ανατολής ή δύσης) εκφρασμένη σε κλάσμα του κύκλου

Η ανάγκη εύρεσης μιας αξιόπιστης μεθόδου για τον προσδιορισμό του μήκους οδήγησε στην θεσμοθέτηση ενός μεγάλου χρηματικού βραβείου στην Αγγλία το 1714 το οποίο ύστερα από μία περιπετειώδη προσπάθεια και πολύχρονη διεκδί-κηση κέρδισε το 1773 ο John Harrison με την κατασκευή ενός ικανοποιητικού χρονομέτρου

Το μήκος λ και το πλάτος φ δίνουν τη θέση ενός σημείου πάνω στη σφαιρική επιφάνεια της γης Επειδή ο πραγματικός κόσμος είναι τρισδιάστατος πρέπει να συμπληρωθούν από μία ακόμα συντεταγμένη το ύψος h πάνω από την επιφά-νεια (σχήμα 2) που για το σφαιρικό μοντέλο της γης δίνεται από τη σχέση = -h r R όπου r είναι η απόσταση του σημείου από το κέντρο της σφαίρας και

R η ακτίνα της σφαιρικής γης

Στην πραγματικότητα όμως η θέση την οποία περιγράφουν οι συντεταγμένες


δεν είναι κάτι το απόλυτο Εκείνο που πραγματικά υπάρχει είναι το σχήμα το οποίο σχηματίζουν τα διάφορα υλικά σημεία πάνω στην επιφάνεια της γης κα-θένα από τα οποία κατέχει μία θέση σε σχέση με τα άλλα σημεία και μόνο Η laquoαπόλυτη θέσηraquo που καθορίζουν οι συντεταγμένες λ φ h ενός τυχόντος σημείου P είναι συνέπεια ορισμένων λίγο-πολύ αυθαίρετων επιλογών Τα λ και φ έχουν τιμές που εξαρτώνται από την επιλογή του άξονα περιστροφής της γης ως ευθείας αναφοράς Το πλάτος φ είναι η συμπληρωματική γωνία της γω-νίας -

90 φ που σχηματίζει η ευθεία OP από το κέντρο της σφαίρας O στο σημείο P με τον άξονα περιστροφής Το μήκος λ είναι μια δίεδρη γωνία μετα-ξύ δύο επιπέδων που τέμνονται στον άξονα περιστροφής το επίπεδο που διέρ-χεται από το σημείο (μεσημβρινός του P ) και το επίπεδο που διέρχεται από το αστεροσκοπείο του Greenwich (μεσημβρινός του Greenwich) Έτσι το μήκος λ εξαρτάται εκτός από τον άξονα περιστροφής και από την εντελώς αυθαίρετη επιλογή του Greenwich ως σημείου αναφοράς για τη μέτρηση των μηκών Το ύψος h εξαρτάται από την επιλογή της ακτίνας της γης R η οποία επιλέγεται έτσι ώστε η επιφάνεια της σφαίρας να αντιστοιχεί στην επιφάνεια της θάλασσας

Πρέπει να σημειωθεί ότι στις μετρήσεις για τον προσδιορισμό του μήκους ή του πλάτους δεν υπεισέρχεται όπως στους σχετικούς ορισμούς η ευθεία OP η οποία δεν είναι φυσικά προσβάσιμη αλλά η διεύθυνση της κατακορύφου στο σημείο P δηλαδή η διεύθυνση που σχηματίζει εκεί το νήμα της στάθμης κάτω από την επίδραση της βαρύτητας Επομένως υποτίθεται πως η κατακόρυφος σε οποιοδήποτε σημείο P κατευθύνεται προς το κέντρο της γήινης σφαίρας Η laquoεμπλοκήraquo του πεδίου βαρύτητας στις παρατηρήσεις για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω στη γη απέκτησε ιδιαίτερη σημασία όπως θα δούμε εκτενέστερα στη συνέχεια ώστε η σύγχρονη επιστήμη της γεωδαισίας να έχει ως αντικείμε-νο όχι μόνο το σχήμα της γης (την αποτύπωση της γης στο σύνολο της) αλλά και την μελέτη του πεδίου της γήινης βαρύτητας

Ο άξονας περιστροφής της γης το αστεροσκοπείο του Greenwich και η επιφά-νεια της θάλασσας αποτελούν κατά κάποιον τρόπο ένα επιλεγμένο laquoσύστημα αναφοράςraquo το οποίο προσδίδει στις υπαρκτές σχετικές θέσεις των σημείων (του laquoσχήματοςraquo δηλαδή που αυτά σχηματίζουν) μία μη πραγματική αλλά εντού-τοις βολική laquoαπόλυτη θέσηraquo Κάποια από τα χαρακτηριστικά του laquoσυστήματος αναφοράςraquo μάς τα διαθέτει η ίδια η φυσική πραγματικότητα (άξονας περιστρο-φής επιφάνεια της θάλασσας) ενώ άλλα (αστεροσκοπείο του Greenwich) είναι αποτέλεσμα μιας εντελώς αυθαίρετης συμβατικής (δηλαδή κοινά αποδεκτής) επιλογής (Τα εισαγωγικά μέσα στα οποία βάζουμε το laquoσύστημα αναφοράςraquo


έχουν σκοπό να το διακρίνουν από την συγκεκριμένη ακριβή μαθηματική έν-νοια του συστήματος αναφοράς με την οποία θα ασχοληθούμε εξαντλητικά στα επόμενα κεφάλαια)

Το laquoσύστημα αναφοράςraquo δεν είναι ένα φυσικό αντικείμενο αλλά μία μαθηματι-κή επινόηση η οποία μας επιτρέπει να αντιστοιχίσουμε σε κάθε φυσικό υλικό σημείο του τρισδιάστατου χώρου μια τριάδα αριθμών (στη συγκεκριμένη περί-πτωση τις γεωγραφικές συντεταγμένες λ φ h ) οι οποίοι μετατρέπουν το φυσικό σημείο σε ένα μαθηματικό αντικείμενο Η διαδικασία αυτή είναι απαραί-τητη για τη μελέτη της φυσικής πραγματικότητας μέσω ενός εξιδανικευμένου μαθηματικού μοντέλου που στηρίζεται σε αφηρημένες έννοιες όπως αυτές του σημείου και της γραμμής Το σύστημα αναφοράς δεν είναι παρά ένα τμήμα του μαθηματικού μοντέλου

Για να καταλάβουμε καλύτερα το αυθαίρετο της επιλογής ενός συστήματος αναφοράς θα περάσουμε από την κλίμακα της γεωδαισίας στην κλίμακα της τοπογραφίας και θα υποθέσουμε ότι θέλουμε να αποτυπώσουμε ένα μικρό τμή-μα της γης σε μία περιοχή μακριά από τη θάλασσα διαθέτοντας μόνο μία με-τροταινία και ένα θεοδόλιχο για τη μέτρηση οριζόντιων και κατακόρυφων γω-νιών Στα όρια της μικρής περιοχής η διεύθυνση της κατακορύφου σε κάθε ση-μείο η οποία υλοποιείται με τη διαδικασία της οριζοντίωσης του θεοδόλιχου είναι αμετάβλητη δηλαδή όλες οι διευθύνσεις είναι πρακτικά παράλληλες μετα-ξύ τους Αυτό μας επιτρέπει να διαχωρίζουμε την αποτύπωση ενός συνόλου σημείων σε οριζόντια αποτύπωση και σε κατακόρυφη (υψομετρική) αποτύπωση Για να περιγραφεί η θέση των σημείων με συντεταγμένες πρέπει να διαλέξουμε ένα laquoσύστημα αναφοράςraquo Από όλα τα επίπεδα που είναι κάθετα στις παράλλη-λες διευθύνσεις της κατακορύφου πρέπει να επιλέξουμε αυθαίρετα ένα επίπεδο π το οποίο θα αποτελεί την αφετηρία για την μέτρηση των υψών (σχήμα 6α) Μέσα στο επίπεδο αυτό πρέπει να επιλέξουμε αυθαίρετα ένα σημείο O και δύο κάθετους οριζόντιους άξονες Ox Oy που να διέρχονται από αυτό (σχήμα 6β) πάνω στους οποίους επιλέγεται μία φορά ως θετική Αν centP είναι η προβολή τυχόντος σημείου P πάνω στο επίπεδο π η απόσταση h P P= plusmn cent αποτελεί το ύψος του σημείου P θετικό αν αυτό βρίσκεται πάνω από το π και αρνητικό σε διαφορετική περίπτωση Αν xP και yP είναι οι προβολές του σημείου centP πάνω στους άξονες Ox και Oy αντίστοιχα τότε οι αποστάσεις = plusmn xx OP και = plusmn yy OP αποτελούν τις οριζόντιες συντεταγμένες του σημείου P με θετικό ή

αρνητικό πρόσημο ανάλογα με τον αν οι προβολές xP yP βρίσκονται στα θε-


P

πP

h

x

yPx

Py

O Ox

y

Σχήμα 6α Σχήμα 6β Σχήμα 6γ

τικά ή στα αρνητικά σκέλη των αξόνων Στην συγκεκριμένη περίπτωση το σύ-στημα αναφοράς είναι εντελώς αυθαίρετο Παρόμοια είναι και η αντιμετώπιση όταν ένα σύστημα αναφοράς απαιτείται για την περιγραφή ενός πειράματος μέσα σε ένα εργαστήριο Βέβαια δεν αποκλείεται η χρήση κάποιων φυσικών χαρακτηριστικών για τον ορισμό του συστήματος αναφοράς Αν υπάρχει πρό-σβαση στη θάλασσα τότε το επίπεδο π μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε να ταυτί-ζεται τοπικά με το επίπεδο της θάλασσας Αν ο θεοδόλιχος διαθέτει σύστημα φωτισμού για νυκτερινές παρατηρήσεις τότε είναι δυνατόν να σκοπεύσουμε τον πολικό αστέρα και στη συνέχεια να επιλέξουμε τις διευθύνσεις των αξόνων έτσι ώστε η διεύθυνση του πολικού να περιέχεται στο επίπεδο που σχηματίζουν η κατακόρυφη διεύθυνση στο σημείο O με τον άξονα Oy (σχήμα 5γ) Στην περίπτωση αυτή οι συντεταγμένες x και y έχουν τη διεύθυνση της ανατολής και του βορρά αντίστοιχα Αν ο θεοδόλιχος δεν διαθέτει σύστημα φωτισμού αλλά μπορεί να συνδυαστεί με μαγνητική πυξίδα τότε οι άξονες Ox και Oy μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε να έχουν αντίστοιχα τις διευθύνσεις της μα-γνητικής ανατολής και του μαγνητικού βορρά που δεν ταυτίζονται με τις αντί-στοιχες αστρονομικές διευθύνσεις

Ένα μαθηματικό μοντέλο αποτελεί πάντοτε μια απλοποιημένη εικόνα της εξαι-ρετικά πολύπλοκης φυσικής πραγματικότητας Η μικρότερη ή μεγαλύτερη απλοποίηση ενός μαθηματικού μοντέλου εξαρτάται άμεσα από την ακρίβεια των διαθέσιμων παρατηρήσεων που θα χρησιμοποιηθούν για να αναλυθεί η φυσική πραγματικότητα στα πλαίσια του συγκεκριμένου μοντέλου Καθώς οι τεχνικές παρατήρησης και τα σχετικά όργανα μέτρησης βελτιώνονται είναι σε θέση να laquoδουνraquo περισσότερες λεπτομέρειες της φυσικής πραγματικότητας οδη-


γώντας έτσι στην ανάγκη για ένα λιγότερο απλοποιημένο μοντέλο Στη συγκε-κριμένη μας περίπτωση το μαθηματικό μοντέλο της σφαιρικής γης με την κα-τακόρυφο να κατευθύνεται πάντοτε προς το κέντρο της σφαίρας υπήρξε χρή-σιμο όσο οι απαιτήσεις των σχετικών εφαρμογών και η ακρίβεια των πραγμα-τοποιήσιμων παρατηρήσεων δεν μας επέτρεπε να δούμε ότι το σχήμα της γης και η μορφή του πεδίου βαρύτητας είναι περισσότερο πολύπλοκα από ότι περι-γράφεται στο πρωταρχικό αυτό μαθηματικό μοντέλο Την ιστορική εξέλιξη των μαθηματικών μοντέλων για το σχήμα της γης και το πεδίο βαρύτητας κάτω από την πίεση των εφαρμογών και χάρις στις εξελίξεις στις τεχνικές των παρατηρή-σεων θα την εξετάσουμε στο επόμενο κεφάλαιο

15 Εξέλιξη των μαθηματικών μοντέλων για το σχήμα της γης και το πεδίο βαρύτητας

Στους νεότερους χρόνους έγινε αντιληπτό ότι το σχήμα της γης δεν είναι σφαιρικό αλ-λά μάλλον ενός ελλειψοειδούς εκ περιστρο-φής πεπλατυσμένου στους πόλους το σχήμα δηλαδή που προκύπτει αν μία έλλειψη περι-στραφεί γύρω από τον μικρότερο άξονά της (σχήμα 7) Ο πρώτος που το κατάλαβε αυτό ήταν ο Νεύτωνας ο οποίος έφθασε στο σχε-τικό συμπέρασμα εξετάζοντας το σχήμα που θα έπαιρνε ένα υγρό περιστρεφόμενο γύρω από άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα κάτω από την επίδραση της φυγόκεντρης δύναμης και του ίδιου του βάρους Πράγμα-τι η γη συμπεριφέρεται ως ρευστό σε γεωλο-γική κλίμακα του χρόνου Την ίδια εποχή oι ιταλικής καταγωγής αστρονόμοι της οικο-γένειας των Cassini (Jean-Dominique Cassi-ni 1625-1712 και ο γιος του Jacques Cassini 1677-1756) που κυριαρχούσαν στην Γαλλι-κή επιστημονική κοινότητα έφθασαν εξε-

τάζοντας αναξιόπιστα δεδομένα στο αντίθετο συμπέρασμα ότι δηλαδή η γη είναι εξογκωμένη στους πόλους (σχήμα 7)

Charles Marie La Condamine


Newton CassiniIsaac NewtonJean Dominique

Cassini

Σχήμα 7 H γη ως ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής πεπλατυσμένο στους πόλους (Newton) ή πεπλατυσμένο στον ισημερινό (Cassini)

a

b

Δsa = a Δφ

Δsb = b Δφ

Δφ

Δφ

Σχήμα 8

Διαφορά μήκους τόξου ( gta bΔs Δs ) για την ίδια διαφορά πλάτους =

1Δφ μεταξύ ισημερινού (ακτίνα a ) και πόλων (ακτίνα b )

Για να θέσει τέλος στη διαμάχη η Γαλλική Ακαδη-μία οργάνωσε δύο αποστολές για την μέτρηση του μήκους τόξου με μέγεθος μιας μοίρας στην κατεύ-θυνση βορρά-νότου μία στην Λαπωνία το 1736-37 υπό τον Maupertuis (1698-1759) και μία στον ιση-μερινό στo Quito του τότε Περού και σημερινού Εκουαντόρ με κύριους ερευνητές τους La Conda-mine (1701-1774) και Bouguer (1698-1758) που διήρκεσε από το 1735 μέχρι το 1744 Επειδή η ακτί-να καμπυλότητας του μεσημβρινού είναι μεγαλύτε-ρη στον ισημερινό από ότι στους πόλους το αντί-στοιχο μήκος τόξου μιας μοίρας θα είναι επίσης μεγαλύτερο στον ισημερινό (σχήμα 8) Τα αποτελέ-σματα δικαίωσαν πανηγυρικά τον Νεύτωνα Με τα λόγια του Βολτέρου laquoοι Γάλλοι αστρονόμοι χρειά-στηκε να ταξιδέψουν στις εσχατιές της γης για να μάθουν αυτό που ο κ Νεύτων γνώριζε ήδη χωρίς να εγκαταλείψει την άνεση του γραφείου τουraquo Ένα περιοδι-κό της εποχής δημοσίευσε μια καρικατούρα του Maupertuis ως Ηρακλή με το

Pierre-Louis Moreau Maupertuis


ρόπαλο στο ένα χέρι και την πεπλατυσμένη γη στο άλλο ενώ ο Βολτέρος τον απεκάλεσε laquoπεπλατυνστή της γης και των Cassiniraquo Το ελλειψοειδές μοντέλο για το σχήμα της γης συνοδεύεται από ένα μοντέλο για το πεδίο βαρύτητας της γης που είναι το άθροισμα της έλξης των γήινων μαζών και της φυγόκεντρης δύναμης η οποία οφείλεται στην περιστροφή της γης Υποτίθεται πλέον ότι η κατακόρυφη διεύθυνση είναι κάθετη στην επιφά-νεια του ελλειψοειδούς (σχήμα 9) Μία επιφάνεια η οποία είναι παντού κάθετη στην διεύθυνση του διανύσματος της βαρύτητας ονομάζεται ισοδυναμική επι-φάνεια Αντιστοιχεί κατά κάποιο τρόπο σε μία στάθμη νερού σε ηρεμία γιατί η καθετότητα δεν επιτρέπει στα μόρια του νερού να κυλήσουν σε μία πλάγια προς την επιφάνεια κατεύθυνση Σε ένα τέτοιο μοντέλο υπάρχουν δύο ποιοτικές δια-φορές σε σχέση με το προηγούμενο σφαιρικό μοντέλο Πρώτον η καθετότητα της κατακόρυφης διεύθυνσης στο ελλειψοειδές ισχύει μόνο για σημεία πάνω στο ελλειψοειδές και όχι σε σημεία έξω από αυτό Δεύτερον η βαρύτητα το μέγεθος του διανύσματος της βαρύτητας δεν είναι σταθερή πάνω στο ελλειψο-ειδές Είναι μεγαλύτερη στους πόλους όπου λόγω της πλάτυνσης βρισκόμαστε πλησιέστερα προς τις έλκουσες μάζες από ότι στον ισημερινό

g

g

Σχήμα 9

Το μαθηματικό μοντέλο για το πεδίο βαρύτητας της γης που συνοδεύει το ελλειψοειδές μοντέλο για το σχήμα της

Το πρόβλημα της μαθηματικής περιγραφής ενός πεδίου βαρύτητας του οποίου μία ισοδυναμική επι-φάνεια να είναι ελλειψοειδές εκ περιστροφής ή γε-νικότερα του σχήματος ενός υγρού κάτω από την επίδραση της βαρύτητας αποτέλεσε μία σημαντική πρόκληση για τους μαθηματικούς της εποχής Το βιβλίο του Γάλλου μαθηματικού Clairaut (1713-1765) ldquoΘεωρία του σχήματος της γηςrdquo υπήρξε ουσι-αστικά το πρώτο σύγγραμμα ldquoφυσικής γεωδαισίαςrdquo (αν και ο όρος γεωδαισία δεν εμφανίζεται πουθενά στο κείμενο) Ο Clairaut συνέδεσε την μεταξύ πό-

λων και ισημερινού ποσοστιαία μεταβολή της ακτίνας της γης (γεωμετρική πλά-

Alexis-Claude Clairaut


τυνση) με την αντίστοιχη ποσοστιαία μεταβολή της βαρύτητας (δυναμική πλά-τυνση) Τελικά οριστική λύση στο πρόβλημα έδωσαν οι Ιταλοί Somigliana και Pizzetti Το πεδίο βαρύτητας των Somigliana-Pizzetti χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα ως προσεγγιστικό πεδίο αναφοράς για τον προσδιορισμό του πε-ρισσότερο πολύπλοκου πραγματικού πεδίου

Στο ελλειψοειδές μοντέλο το σφαιρικό πλάτος φ αντικαθίσταται από το γεωδαιτικό πλάτος f που είναι το συμπλήρωμα της γωνίας - f

90 την οποία σχηματίζει η κάθετη στο ελλειψοειδές με τον άξονα περιστροφής της γης Παράλληλα χρησιμοποιείται το γεωδαιτικό ύψος h το οποίο είναι η (κατά μήκος της καθέτου) απόσταση ο-ποιουδήποτε σημείου από το ελλειψοειδές ενώ γεωδαιτικό και σφαιρικό πλάτος λ ταυτίζονται Ο προσδιορισμός της θέσης (του γεωδαιτικού μήκους και πλάτους) μπορεί θεωρητικά να γίνει για κάθε σημείο χωριστά με αστρονομικές παρα-τηρήσεις που ήταν πλέον δυνατές με μεγαλύτερη ακρίβεια χάρις στα καλύτερα χρονόμετρα και την κατάρτιση αστρονομικών εφημερίδων καταλό-γων δηλαδή όπου δίνονται στοιχεία για τον υπο-λογισμό της ακριβούς θέσης κάθε σημαντικού ορατού άστρου πάνω στον ουράνιο θόλο όπως αυτός φαίνεται από τη γη για κάθε ημερομηνία και ώρα Όμως τα σφάλματα των οργάνων και του ελλειψοειδούς μοντέλου (η κατακόρυφη δεν είναι ακριβώς κάθετη στο ελλειψοειδές) δεν επιτρέπουν την επίτευξη της επιθυμητής ακρίβειας Κάθε δευτερόλεπτο τόξου του σφάλματος στις γεωδαιτικές γωνιακές συντεταγμένες αντιστοιχεί σε περίπου 30 μέτρα πά-νω στην επιφάνεια της γης Σφάλματα της τάξης των εκατοντάδων μέτρων εί-ναι σχετικά μικρά όταν αναφερόμαστε σε σημεία από τη μία άκρη στην άλλη της γης αλλά είναι συντριπτικά μεγάλα όταν αναφερόμαστε σε σημεία δεκάδες χιλιόμετρα μακριά Στην τοπογραφία και τη γεωδαισία σημασία δεν έχει το α-πόλυτο σφάλμα στον προσδιορισμό θέσης αλλά το σχετικό σφάλμα που μετριέ-ται σε μέρη ανά εκατομμύριο (ppm = parts per million)

Καλύτερη ακρίβεια προσφέρει η μέθοδος του τριγωνισμού (σχήμα 10) την οποία εισήγαγε ο Ολλανδός Snell ή Snellius ο αυτοαποκαλούμενος Ερατοσθένης της

Eξώφυλλο του βιβλίου του Clairaut


Σχήμα 10

Η μέθοδος του τριγωνισμού Οι μετρήσεις γωνιών καθορίζουν το σχήμα κάθε τριγώνου και επομένως και του δικτύου ενώ η κλίμακα προσδιορίζεται μετρώντας το μήκος μιας τουλάχιστον πλευράς

Μπατάβια αρχικά για τοπογραφικές αποτυπώσεις σε μικρές αποστάσεις όπου οι διευθύνσεις της κατακορύφου μπορούν να θεωρηθούν παράλληλες μεταξύ τους Μετρώντας τις οριζόντιες γωνίες που σχηματίζει ένα σύνολο σημείων το τριγωνομετρικό δίκτυο προσδιορίζεται το σχήμα του δικτύου στο οποίο δίνεται το σωστό μέγεθος με τη μέτρηση μίας τουλάχιστον ή και περισσοτέρων πλευ-ρών (σχήμα 10) Για τριγωνισμούς μεγαλύτερης έκτασης πρέπει να ληφθεί υπό-ψη αρχικά η σφαιρικότητα της γης και στη συνέχεια το ελλειψοειδές της σχή-μα Τα σχετικά τρίγωνα δεν είναι πλέον οριζόντια αλλά σχηματίζονται πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς Ο ρόλος των αστρονομικών παρατηρήσεων περιορίζεται κατά κύριο λόγο στην τοποθέτηση του τριγωνομετρικού δικτύου πάνω στο ελλειψοειδές στη σωστή θέση και με τον σωστό προσανατολισμό Επειδή εκ των πραγμάτων μπορεί να μετρηθεί το μήκος μόνο μικρότερων πλευ-ρών τα σφάλματα των μετρήσεων μήκους μεγεθύνονται στο σύνολο του δικτύ-ου Σε πολύ μεγαλύτερα τριγωνομετρικό δίκτυα στο σφάλμα του μεγέθους (σφάλμα κλίμακας) πρέπει να προστεθεί και η αλλοίωση του σχήματος που ο-φείλεται στα σφάλματα των μετρήσεων των οριζοντίων γωνιών Όταν λοιπόν το σχετικό σφάλμα (ppm) γίνεται σημαντικό οι αστρονομικές παρατηρήσεις περιορισμένες σε λίγα επιλεγμένα σημεία του τριγωνομετρικού δικτύου επειδή το κόστος τους είναι πολύ μεγάλο όχι μόνο δίνουν στο τριγωνομετρικό δίκτυο τη σωστή θέση και προσανατολισμό αλλά ταυτόχρονα βελτιώνουν το σχήμα και το μέγεθος του

Άρρηκτα δεμένος με το ελλειψοειδές μοντέλο είναι ο διαχωρισμός του προβλή-ματος του προσδιορισμού θέσης που από τη φύση του είναι τρισδιάστατο σε ένα διδιάστατο (οριζόντια-ελλειψοειδής θέση) και ένα μονοδιάστατο μέρος (υ-ψομετρία) Ο διαχωρισμός αυτός ταλάνισε τη γεωδαιτική πρακτική μέχρι την έλευση της διαστημικής της εποχής Τα αίτια αυτού του διαχωρισμού δεν είναι μόνο πρακτικά δηλαδή συνδεδεμένα με τη μεθοδολογία των γεωδαιτικών πα-ρατηρήσεων αλλά και φυσικά συνδεδεμένα με τις ανάγκες των εφαρμογών όπως θα εξηγήσουμε παρακάτω Οι θεοδόλιχοι δεν μετρούν μόνο οριζόντιες


Σχήμα 11

O Willebrord Snell ή Snellius και το πρώτο τριγωνομετρικό δίκτυο στην Ολλανδία

αλλά και κατακόρυφες γωνίες από τις οποίες μπορεί να προσδιοριστεί θεωρη-τικά η τρίτη υψομετρική διάσταση Κάτι τέτοιο είναι και πρακτικά εφαρμόσιμο σε μικρά δίκτυα για τεχνικές ή βιομηχανικές εφαρμογές που έχουν παρόμοια τάξη μεγέθους τόσο κατά την οριζόντια όσο και κατά την κατακόρυφη διάστα-ση Όμως στα τριγωνομετρικά δίκτυα με οριζόντιες αποστάσεις μεταξύ γειτονι-κών σημείων που φθάνουν τα 100 χιλιόμετρα η αντίστοιχη υψομετρική διαφο-ρά δεν ξεπερνά τα 2 χιλιόμετρα του υψόμετρου των εύκολα προσβάσιμων κο-ρυφών των βουνών Οι ακτίνες σκόπευσης τέμνονται κατά την οριζόντια κα-τεύθυνση με γωνίες πολύ διαφορετικές από 180deg πράγμα που επιτρέπει τον προσδιορισμό της τομής τους με μικρή επίδραση των αναπόφευκτων σφαλμά-των στις μετρήσεις (σχήμα 12) Η γωνία τομής όμως κατά την κατακόρυφη διεύθυνση είναι κοντά στις 180deg έτσι ώστε η θέση της τομής τους να επηρεάζε-ται κατά πολύ από τα σφάλματα κατά την οριζόντια μόνο διεύθυνση Έτσι οι μετρήσεις κατακόρυφων γωνιών δεν συμβάλουν στην επίτευξη ακρίβειας κατά

Σχήμα 12

Επίδραση των σφαλμάτων των γωνιών στην θέση ση-μείου που σκοπεύεται από δύο άλλα Οι σκιασμένες περιοχές αντιστοιχούν στα πιθανά σφάλματα των γω-νιών Επάνω Οριζόντιες γωνίες σκόπευσης με μικρή περιοχή

αβεβαιότητας θέσης Κάτω Ζενίθειες γωνίες σκόπευσης με μεγάλη περιοχή

αβεβαιότητας κατά την οριζόντια θέση επειδή οι ακτίνες σκόπευσης τέμνονται με γωνία κο-ντά στις 180deg


την οριζόντια έννοια φαινομενικά όμως μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό υψομετρικών διαφορών Το πρόβλημα όμως είναι ότι ενώ οι κατακόρυφες γωνίες μπορούν να μετρη-θούν με την ίδια ακρίβεια όπως και οι οριζόντιες οι τιμές που προκύπτουν δια-φέρουν σημαντικά από τις πραγματικές τιμές εξαιτίας δύο σημαντικών εξωτερι-κών laquoσυστηματικώνraquo επιδράσεων Η πρώτη επίδραση είναι αυτή της διάθλασης της ατμόσφαιρας εξαιτίας της οποίας η ακτίνες του φωτός από το στόχο προς το όργανο σκόπευσης δεν ακολουθούν ευθεία αλλά καμπύλη διαδρομή (σχήμα 13) με αποτέλεσμα να προκύπτουν συστηματικά μεγαλύτερες κατακόρυφες γωνίες Η δεύτερη επίδραση οφείλεται στην απόκλιση της κατακορύφου από την κάθετο στο ελλειψοειδές Η επίδραση της απόκλισης αυτής είναι σχετικά μικρή πάνω στις μετρήσεις των οριζόντιων γωνιών (ανάλογη ή μικρότερη από το σφάλμα στην οριζοντίωση του οργάνου) αλλά σημαντική πάνω στις κατακό-ρυφες γωνίες όπου η γωνία απόκλισης μπορεί ακόμη και να προστεθεί ολόκλη-ρη στην μετρημένη κατακόρυφη γωνία όταν οι διευθύνσεις της απόκλισης και της σκόπευσης συμπίπτουν

z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13

Επίδραση της ατμοσφαιρικής διάθλασης στη μέτρη-ση ζενίθειων γωνιών Λόγω της διάθλασης το φως από το στόχο Q ακολουθεί καμπύλη τροχιά προς το σημείο P με αποτέλεσμα αντί της πραγματικής γωνίας z να φαίνεται ψηλότερα στην κατεύθυνση της γωνίας -z Δz

Για τους λόγους αυτούς ο προσδιορισμός των υψομετρικών διαφορών γινόταν με εντελώς ανεξάρτητες παρατηρήσεις Μέσα από μία διαδικασία που ονομάζε-ται χωροστάθμηση όπου δύο τριγωνομετρικά σημεία συνδέονται με μία σειρά αμοιβαία ορατών κοντινών σημείων (χωροσταθμική όδευση) Για κάθε ζεύγος διαδοχικών σημείων είναι δυνατή η μέτρηση της υψομετρικής διαφοράς με έμ-μεσες μετρήσεις κατακόρυφων γωνιών ίσες με 90deg επειδή η επίδραση της ατμο-σφαιρικής διάθλασης είναι αμελητέα για κοντινές αποστάσεις ενώ η επίδραση της απόκλισης της κατακορύφου αλληλοαναιρείται καθώς είναι ουσιαστικά η ίδια σε γειτονικά σημεία Τοποθετώντας έναν χωροβάτη σε ένα σημείο η σκό-πευση με σταθερή ζενίθεια γωνία 90deg ενός άλλου σημείου-στόχου όπου τοπο-θετείται κατακόρυφη σταδία (σχήμα 14) δίνει την ανάγνωση του ύψους σκό-πευσης s Σκοπεύοντας προς δύο σημεία η laquoυψομετρική διαφοράraquo προκύπτει


Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14

Χωροστάθμηση με την μέτρηση υψο-μετρικών διαφορών B AΔn s s= - από τις αναγνώσεις As Bs από χωρο-βάτη σε σταδίες-στόχους σε δύο ση-μεία A B Οι διαφορές αυτές ανα-φέρονται σε διαφορετικές κατακόρυ-φες διευθύνσεις και δεν μπορούν να αθροιστούν παρά μόνο προσεγγιστικά

από τη διαφορά των σκοπεύσεων A BΔn s s= - (ακριβέστερη περιγραφή και περισσότερες λεπτομέρειες στο κεφ 59) Η συνολική υψομετρική διαφορά με-ταξύ των τριγωνομετρικών σημείων προκύπτει προσεγγιστικά από το άθροισμα των υψομετρικών διαφορών της πλευράς της όδευσης Η άθροιση όμως αυτή στερείται φυσικού νοήματος επειδή οι προσθετέοι αναφέρονται σε διαφορετική ο καθένας διεύθυνση laquoύψουςraquo και όχι σε μία κοινή όπως πχ η κάθετη στο ελ-λειψοειδές αναφοράς

Για να περάσουμε από το ελλειψοειδές σε ένα αρ-τιότερο μοντέλο για το σχήμα και το πεδίο βαρύτη-τας της γης χρειάστηκε η ανάπτυξη ακριβέστερων μεθόδων παρατηρήσεων με την τεχνική βελτίωση των σχετικών οργάνων αλλά και η ανάπτυξη εκλε-πτυσμένων μεθόδων για την μαθηματική ανάλυση των δεδομένων των παρατηρήσεων Σημαντική καμπή στην μεθοδολογία της ανάλυσης δεδομένων υπήρξε η εισαγωγή της περίφημης laquoμεθόδου των ελαχίστων τετραγώνωνraquo πρώτα από τον Gauss (1777-1855) και ανεξάρτητα από τον Γάλλο μαθη-ματικό Legendre (1752-1833) ο οποίος και την δημοσίευσε πρώτος Ο Gauss (σχήμα 15) είναι σήμερα περισσότερο γνωστός ως μαθηματικός (ονομάστηκε από τους συγχρόνους του laquoπρίγκιπαςraquo των μαθηματικών - υπονοώντας προφα-νώς ότι ο βασιλικός τίτλος ανήκει στον Ευκλείδη) αλλά υπήρξε παράλληλα άνθρωπος της δράσης αστρονόμος και τοπογράφος-γεωδαίτης Ασχολήθηκε μάλιστα εκτεταμένα με μετρήσεις τοπογραφικών δικτύων (σχήμα 16) ελπίζο-ντας (χωρίς ρεαλιστική βάση λόγω της χαμηλής ακρίβειας των μετρήσεων) να διαπιστώσει αν ισχύει η Ευκλείδεια γεωμετρία σύμφωνα με την οποία το άθροι-σμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180deg Σε μια εποχή όπου οι μαθηματικοί

Adrien Marie Legendre


Σχήμα 15

Ο Carl Friedrich Gauss σε γερμανι-κό χαρτονόμισμα των 10 μάρκων

Σχήμα 16

Ένα από τα τριγωνομετρικά δίκτυα του Gauss από την πίσω πλευρά του γερμανικού χαρτονομίσματος των 10 μάρκων

ασχολούνταν με ρεαλιστικά προβλήματα αναγκασμένοι να αναπτύσσουν μόνοι τους τις απαραίτητες μαθηματικές μεθόδους ο Gauss μελετώντας μεταξύ άλ-λων τους τρόπους απεικόνισης της σφαίρας ή του ελλειψοειδούς στο επίπεδο (τις χαρτογραφικές προβολές) εισήγαγε έναν ολόκληρο νέο κλάδο μαθηματι-κών την διαφορική γεωμετρία

Για την ανάλυση αστρονομικών και γεωδαιτικών παρατηρήσεων εισήγαγε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων η οποία είναι με δυο λόγια η εξής διαθέ-τοντας παρατηρήσεις μεγεθών τα οποία συνδέονται με ορισμένες άγνωστες παραμέτρους τις οποίες επιθυμούμε να προσδιορίσουμε (πχ τις οριζόντιες συ-ντεταγμένες των κορυφών των δικτύων) είναι αδύνατον εξαιτίας των σφαλμά-των των μετρήσεων να επιλέξουμε τιμές των αγνώστων οι οποίες να αναπαρά-γουν για τα παρατηρούμενα μεγέθη τις παρατηρούμενες τιμές Επειδή τα σφάλ-ματα των παρατηρήσεων είναι μικρά κατά απόλυτη τιμή μία λύση είναι να δώ-σουμε στους αγνώστους τιμές τέτοιες ώστε οι διαφορές (σφάλματα) ανάμεσα στις υπολογισμένες τιμές των παρατηρούμενων μεγεθών και τις αντίστοιχες


παρατηρημένες (μετρημένες) τιμές να είναι επίσης μικρές σε απόλυτη τιμή και συγκεκριμένα τέτοιες ώστε να ελαχιστοποιείται το άθροισμα των ελαχίστων τετραγώνων των σφαλμάτων Η μέθοδος αυτή αν και ιδιαίτερα αποτελεσματι-κή στην πράξη στερούνταν λογικής θεμελίωσης Γιατί πχ να χρησιμοποιηθεί το άθροισμα των τετραγώνων και όχι των απόλυ-των τιμών ή μια εντελώς διαφορετική αρχή όπως η ελαχιστοποίηση του μεγαλύτερου σφάλματος Η θεμελίωση ήρθε χάρις στην ανάπτυξη της θεωρίας των πιθανοτήτων από το μεγαλύτερο Γάλλο μαθη-ματικό της εποχής τον Laplace (1749-1827) H μέ-θοδος των ελαχίστων τετραγώνων δίνει κατά κά-ποιο συγκεκριμένο τρόπο τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια για τις υπολογισμένες τιμές των αγνώστων παραμέτρων Το αποτέλεσμα αυτό που οφείλεται στον Gauss και στις πρόσθετες μελέτες του Ρώσου μαθηματικού Markov είναι σήμερα γνωστό στην μαθηματική στατιστική ως θεώρημα των Gauss-Markov Από τον Gauss μέχρι σήμερα η γεωδαιτική επιστημονική κοινότητα βρίσκεται στην πρωτοπορία της ανάπτυξης των μεθόδων ανάλυσης δεδομένων χρησιμοποιώντας προηγμένες μαθηματικές και στατιστικές τεχνικές

Με την βελτίωση λοιπόν της ποιότητας των παρατηρήσεων έγινε αντιληπτό ότι η διεύθυνση της κατακορύφου αποκλίνει σημαντικά από την κάθετο στο ελλειψοειδές και το πεδίο βαρύτητας αντίστοιχα δεν είναι τόσο απλό ώστε μία ισοδυναμική του επιφάνεια να έχει το σχήμα ελλειψοειδούς εκ περιστροφής Το νέο μοντέλο για το σχήμα της γης είναι πλέον απελευθερωμένο από τον πε-ριορισμό της αναζήτησης ενός ιδανικού μαθηματικά απλού σχήματος είναι απλά η ισοδυναμική επιφάνεια που αντιστοιχεί στη μέση στάθμη της θάλασσας για την οποία εισάγεται ένας νέος όρος το γεωειδές Η κατεύθυνση της κατα-κορύφου είναι κάθετη εξ ορισμού στο γεωειδές για σημεία πάνω στο γεωειδές ενώ για κάθε άλλο σημείο είναι κάθετη στην ισοδυναμική επιφάνεια που διέρχε-ται από αυτό (σχήμα 17) Η κατακόρυφη διεύθυνση περιγράφεται από δύο γω-νίες το αστρονομικό μήκος Λ και το αστρονομικό πλάτος Φ οι οποίες δεν ταυτίζονται με τις αντίστοιχες γεωδαιτικές συντεταγμένες λ και f οι οποίες αναφέρονται όχι στην κατακόρυφη αλλά στην κάθετη προς το ελλειψοειδές διεύθυνση Αν φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη κατακόρυφο που να διέρχεται από το κέντρο του ελλειψοειδούς αυτή σχηματίζει γωνία -

90 Φ με τον άξονα περιστροφής ενώ το επίπεδο που ορίζεται από την παράλληλο αυτή

Pierre-Simon Laplace


σφαίρα ελλειψοειδές

ελλειψοειδές

γεωείδες

ισοδυναμικήεπιφάνεια

g

g

g g

gg

Σχήμα 17 Eξέλιξη των μοντέλων για το σχήμα και το πεδίο βαρύτητας της γης

και τον άξονα περιστροφής σχηματίζει δίεδρη γωνία Λ με το μεσημβρινό επί-πεδο του Greenwich (επίπεδο άξονα περιστροφής και Greenwich) Η τρίτη συντεταγμένη το ορθομετρικό ύψος H μετριέται όχι πάνω από το ελλειψο-ειδές και κατά μήκος της κάθετης σε αυτό ndash όπως συμβαίνει για το γεωδαιτικό ύψος h ndash αλλά πάνω από το γεωειδές και κατά μήκος της καμπύλης κατακόρυ-φης γραμμής που διέρχεται από το σημείο η οποία ορίζεται από την ιδιότητα να έχει εφαπτόμενη σε κάθε σημείο της την τοπική διεύθυνση της κατακορύφου (σχήμα 18) Το νέο μοντέλο δεν προσφέρεται για μαθηματικούς υπολογισμούς ακόμα και αν υποτεθεί ότι το πεδίο βαρύτητας είναι τέλεια γνωστό έτσι ώστε να μπορεί να προσδιοριστεί το σχήμα του γεωειδούς η διεύθυνση της κατάκο-ρύφου σε κάθε σημείο παρατήρησης και το σχήμα της καμπύλης κατακόρυφης γραμμής που διέρχεται από αυτό Παράλληλα δεν εκλείπουν οι λόγοι για τον διαχωρισμό του προσδιορισμού θέσης σε οριζόντιο και υψομετρικό μέρος Έτσι το ελλειψοειδές εκ περιστροφής (που η διαφορά του από το γεωειδές είναι πολύ μικρή δεν ξεπερνά τα 100 μέτρα μόλις 1 της διαφοράς 10 περίπου χιλιομέ-τρων μεταξύ ισημερινής και πολικής ακτίνας) παραμένει όχι όμως σαν μοντέλο του πραγματικού σχήματος της γης αλλά ως laquoελλειψοειδέςraquo αναφοράς Το πε-δίο βαρύτητας με ισοδυναμική επιφάνεια το ελλειψοειδές δεν είναι πλέον μο-ντέλο του πραγματικού πεδίου αλλά ένα προσεγγιστικό πεδίο αναφοράς ή κανονικό πεδίο όπως επικράτησε να λέγεται Οι παρατηρήσεις οριζοντίων γω-νιών πρέπει να αναχθούν από την κατακόρυφο στην κάθετη στο ελλειψοειδές αναφοράς και στη συνέχεια από το πραγματικό σημείο στην κάθετη προβολή του πάνω στο ελλειψοειδές Η ανάλυση τριγωνομετρικών δικτύων πάνω στο ελλειψοειδές τα οποία αποτελούνται από τις προβολές των πραγματικών ση-μείων συνιστά την laquoελλειψοειδήraquo ή laquoγεωμετρική γεωδαισίαraquo σε αντιδιαστολή με την laquoφυσική γεωδαισίαraquo η οποία ασχολείται με τον προσδιορισμό του πεδίου


hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18

Η κατακόρυφη καμπύλη και το ορθομετρικό ύψος H

βαρύτητας ώστε να μπορούν να γίνουν οι σχετικές αναγωγές Παράλληλα ε-πειδή η κατακόρυφη καμπύλη έχει μικρή καμπυλότητα ταυτίζεται πρακτικά με την κάθετη στο ελλειψοειδές και η διαφορά N h H= - μεταξύ γεωδαιτικού και ορθομετρικού ύψους είναι ουσιαστικά το (γεωδαιτικό) ύψος του γεωειδούς (σχήμα 18)

Ο προσδιορισμός του πεδίου βαρύτητας γίνεται πλέον τόσο επιτακτικός ώστε να ενταχθεί πλέον στο αντικείμενο της γεωδαισίας ως επιστήμης Ο σημαντικότατος Γερμανός γεωδαίτης FR Helmert (1843-1917) ορίζει πλέον σε σχετικό σύγγραμμα του τη γεωδαισία ως την επιστήμη του ldquoπροσδιορι-σμού του σχήματος και του πεδίου βαρύτητας της γηςrdquo Στην πραγματικότητα για την επίλυση των τριγωνομετρικών δικτύων δεν χρειάζεται η πλήρης γνώση του πεδίου βαρύτητας αλλά μόνο η γνώση της απόκλισης της κατακορύφου και του ύψους του γεωειδούς στα τριγωνομετρικά σημεία Η διεύθυν-ση της κατακορύφου μπορεί να προσδιοριστεί με αστρονομικές παρατηρήσεις των Λ και Φ οι οποίες είναι πάντως ιδιαίτερα υψηλού κόστους οπότε παραμένει το πρόβλημα του προσδιορισμού του ύψους του γεωειδούς

Τη σημαντική καινοτομία στην κατεύθυνση αυτή δίνει η δυνατότητα προσδιο-ρισμού του ύψους του γεωειδούς N από παρατηρήσεις της βαρύτητας =

| |g g

Friedrich Robert Helmert


του μέτρου του διανύσματος της βαρύτητας g θεωρητικά στο σύνολο της επιφάνεια της γης και πρακτικά σε μία εκτεταμένη περιοχή γύρω από το σημείο που μας ενδιαφέρει Ο Άγγλος μαθηματικός GG Stokes (1819-1903) δίνει τον (γνωστό πλέον με το όνομά του) μαθηματικό τύπο για τον υπολο-γισμό του N από την ολοκλήρωση πάνω στην επι-φάνεια της γης των ανωμαλιών βαρύτητας

= - 0( ) ( ) ( )Δg Q g Q γ Q των διαφορών δηλαδή ανά-μεσα στην βαρύτητα g στο σημείο Q πάνω στο γεωειδές και την κανονική βαρύτητα γ (βαρύτητα αναφοράς του κανονικού πεδίου) στην προβολή

0Q του Q πάνω στο ελλειψοειδές Ο τύπος του Stokes είναι

( ) ( ) ( )4 Q

RN P S P Q Δg Q dσ

πG= Uacute (1)

όπου G είναι η παγκόσμια σταθερά έλξης =( ) ( )S P Q S ψ είναι μία γνωστή συ-νάρτηση (συνάρτηση του Stokes) που εξαρτάται μόνο από τη γωνία

=ψ POQ με κορυφή O το κέντρο του ελλειψοειδούς ενώ η ολοκλήρωση γίνεται πάνω σε μία σφαίρα σ με ακτίνα R που προσεγγίζει το γεωειδές Αργότερα ο τύπος του Stokes θα επεκταθεί στον τύπο του Vening Meinesz για τον υπολογισμό και των αποκλίσεων της κατακορύφου από μετρήσεις της βαρύτητας

int - = Uacute1

cos4

dSξ Φ φ α Δg dσ

πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4

dSη φ Λ λ α Δg dσ

πG dψ (3)

όπου α είναι το αζιμούθιο από το σημείο P προς το σημείο Q

Η ανάγκη για σύνδεση των ανεξάρτητων εθνικών τριγωνομετρικών δικτύων και για γνώση της βαρύτητας και σε γειτονικές περιοχές οδήγησε σε διακρατική συνεργασία πρώτα στην Ευρώπη και αργότερα σε όλο τον κόσμο με αποτέλε-σμα την ίδρυση της πρώτης διεθνούς επιστημονικής ένωσης της οποίας μάλιστα τα μέλη δεν είναι μεμονωμένοι επιστήμονες αλλά κράτη μέσω των εθνικών

George Gabriel Stokes


τους γεωδαιτικών επιτροπών Σήμερα η ένωση αυτή ονομάζεται Διεθνής Γεω-δαιτική Ένωση (IAG = International Association of Geodesy) και απαρτίζει μαζί με άλλες συγγενικές επιστημονικές ενώσεις από το χώρο της γεωφυσικής τη Διεθνή Ένωση Γεωδαισίας και Γεωφυσικής (IUGG = International Union of Geodesy and Geophysics) Mέσω των ldquoΕπιτροπώνrdquo της και των οργανωμένων ldquoΥπηρεσιώνrdquo της συντονίζει τη διεθνή γεωδαιτική έρευνα και προσφέρει σχετι-κές υπηρεσίες στη διεθνή επιστημονική κοινότητα Για μερικές εφαρμογές που σχετίζονται με την περιστροφή της γης τα συστήματα αναφοράς και τον χρόνο έχει οργανώσει συγκεκριμένες ldquoΥπηρεσίεςrdquo από κοινού με την Διεθνή Αστρονο-μική Ένωση (IAU = International Association of Geodesy) Ας σημειωθεί με την ευκαιρία ότι κάτι παρόμοιο ισχύει και για την τοπογραφία όπου τα μέλη της Διεθνούς Ομοσπονδίας Τοπογράφων (FIG = Feacutedeacuteration Internationale des Geacuteomegravetres) είναι οι διάφορες εθνικές επαγγελματικές ενώσεις των επιμέρους χωρών

Επιστρέφοντας στο θέμα του προσδιορισμού της θέσης με τη βοήθεια συστημά-των αναφοράς η μελέτη του πεδίου βαρύτητας έδωσε (θεωρητικά τουλάχιστον) τη δυνατότητα τοποθέτησης της αρχής του συστήματος του κέντρου δηλαδή του ελλειψοειδούς αναφοράς σε ένα laquoφυσικάraquo ορισμένο σημείο το κέντρο μά-ζας της γης ή γεώκεντρο Ο άξονας περιστροφής ήταν η επόμενη laquoφυσικήraquo συ-νιστώσα του συστήματος αναφοράς ενώ η μόνη αυθαίρετη συμβατική συνιστώ-σα ήταν η επιλογή ενός συγκεκριμένου τριγωνομετρικού σημείου στο αστερο-σκοπείο του Greenwich για τον ορισμό της αρχής μέτρησης των γεωδαιτικών μηκών Όμως με την συνεχή βελτίωση της ακρίβειας των αστρονομικών παρα-τηρήσεων έγινε τελικά αντιληπτό ότι ο άξονας περιστροφής δεν παραμένει σταθερός σε σχέση με τη γη αλλά μεταβάλει τη θέση του κατά τρόπο ακανόνι-στο κατά plusmn6 μέτρα περίπου (φαινόμενο κίνησης του πόλου) Έτσι ο άξονας του παγκόσμιου ελλειψοειδούς αναφοράς έπρεπε να μετακινηθεί σε μία σταθερή θέση που αντιστοιχούσε σε μία μέση θέση του άξονα περιστροφής Για τη μελέ-τη του φαινομένου της κίνησης του πόλου και τον ορισμό του σχετικού άξονα του συστήματος αναφοράς με συμβατικό πλέον τρόπο IAU και IAG οργάνω-σαν τη Διεθνή Υπηρεσία Πλάτους (International Latitude Service) η οποία μετε-ξελίχθηκε στη Διεθνή Υπηρεσία Κίνησης του Πόλου (International Polar Motion Service)

30 Η γεωδαισία στην διαστημική εποχή


Για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα μεγαλύτερο από το πρώτο μισό του 20ου αιώ-να ο κύριος στόχος της γεωδαιτικής πρακτικής ήταν η κάλυψη της επιφάνειας της γης με πυκνές μετρήσεις βαρύτητας τόσο στη στεριά όσο και στη θάλασσα όπου οι μετρήσεις είναι ιδιαίτερα δύσκολες Ο προσδιορισμός του πεδίου βαρύ-τητας και ιδιαίτερα των αποκλίσεων της κατακορύφου υπήρξε θέμα υψηλής προτεραιότητας στη γεωδαιτική έρευνα ενώ το παγκόσμιο κέντρο της γεωδαι-σίας ήταν το Φιλανδικό Γεωδαιτικό Ινστιτούτο με πρωτοποριακές σχετικές έρευνες και δημοσιεύσεις Οι καθηγητές έστρεφαν σε αυτή την κατεύθυνση τους νέους αξιόλογους γεωδαίτες που ήθελαν να εκπονήσουν τη διδακτορική τους διατριβή Όμως η ιστορία της επιστήμης δεν γράφεται με προδιαγραφές αλλά με ανατροπές Στις 4 Οκτωβρίου του 1957 η ανθρωπότητα περνά το κατώφλι της διαστημικής εποχής με την εκτόξευση από την τότε Σοβιετική Ένωση του Σπούτνικ του πρώτου τεχνητού δορυφόρου της γης Οι πλέον οξυδερκείς γεω-δαίτες στρέφουν τα μάτια τους στο διάστημα αναζητώντας ένα πέρασμα από τις laquoδύο συν μίαraquo διαστάσεις (οριζοντιογραφία-υψομετρία) στις τρεις ενιαίες δια-στάσεις του φυσικού χώρου Στο τμήμα Γεωδαιτικών Επιστημών του Πολιτεια-κού Πανεπιστημίου του Οχάιο που είχε πρόσφατα ιδρυθεί από τον Φιλανδό W Heiskanen τρεις νέοι επιστήμονες oι W Kaula Ι Μueller και Γ Βέης επιλέ-γουν θέματα διδακτορικών διατριβών πάνω στις εφαρμογές των τεχνητών δο-ρυφόρων και γράφουν ιστορία Το τμήμα θα γίνει σύντομα η Μέκκα της γεω-δαισίας και το παράδειγμα του θα ακολουθήσουν πανεπιστημιακά τμήματα και ερευνητικά ινστιτούτα σε όλο τον κόσμο

Με τις παρατηρήσεις δορυφόρων προκύπτουν τα πρώτα παγκόσμια τριγωνομε-τρικά δίκτυα στα οποία είναι έμμεσα παρούσα η σημαντική τρίτη κατά ύψος διάσταση Οι θέσεις των δορυφόρων κατά τη στιγμή της κάθε παρατήρησης χρησιμεύουν ως laquoαπρόσιταraquo τριγωνομετρικά σημεία δηλαδή σημεία προς τα οποία εκτελούνται παρατηρήσεις χωρίς όμως να εκτελούνται παρατηρήσεις από αυτά Παράλληλα η ανάλυση των τροχιών που διαγράφουν οι δορυφόροι κάτω από την επίδραση της έλξης της γης οδηγεί σε ανεξάρτητο από επίγειες παρατηρήσεις προσδιορισμό του πεδίου βαρύτητας της γης

Αρχίζει τότε μια συνεχής εξέλιξη στις μεθόδους παρατηρήσεων των δορυφόρων η οποία συνοδεύεται από μία εντυπωσιακή βελτίωση των ακριβειών που επιτυγ-χάνονται για τις συντεταγμένες Οι πρώτες παρατηρήσεις έχουν γωνιακό χαρα-κτήρα και εκτελούνται με τη βοήθεια ειδικών φωτογραφικών μηχανών Ακο-


λουθούν μετρήσεις αποστάσεων με ηλεκτρομαγνητικά κύματα και με ακτίνες Laser μετρήσεις του ρυθμού μεταβολής της απόστασης με βάση το φαινόμενο Doppler και τελικά μετρήσεις διαφορών φάσεων όπου η μετρημένη ποσότητα είναι το υπόλοιπο που απομένει όταν από την απόσταση του δορυφόρου αφαι-ρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός ακέραιος αριθμός αποστάσεων ίσων με το χρησι-μοποιούμενο μήκος κύματος Παράλληλα αναπτύσσονται και μέθοδοι μετρήσε-ων της διαστημικής τεχνολογίας που δεν χρησιμοποιούν δορυφόρους μετρή-σεις αποστάσεων από τη γη σε σημεία της σελήνης όπου έχουν τοποθετηθεί ανακλαστήρες με ακτίνες Laser καθώς και η ακριβέστερη και πλέον αξιόπιστη όλων των μεθόδων η Συμβολομετρία Πολύ Μεγάλης Βάσης (VLBI = Very Long Baseline Interferometry) Στο VLBI παρατηρούνται με κεραίες τα ραδιοκύματα που προέρχονται από εξωγαλαξιακές ραδιοπηγές τα λεγόμενα quasar Όταν δύο σταθμοί παρατηρούν ταυτόχρονα την ίδια ραδιοπηγή η ποσότητα που πα-ρατηρείται είναι η προβολή της ευθύγραμμης βάσης που ενώνει δύο σταθμούς πάνω στην κατεύθυνση της ραδιοπηγής

Oι ακρίβειες στον προσδιορισμό των συντεταγμένων με διαστημικές μεθόδους ξεκινούν από τα 20 μέτρα για τα παγκόσμια δίκτυα με φωτογραφικές μηχανές και σταδιακά φθάνουν στο 1 μέτρο τα 10 εκατοστά και τελικά σήμερα στο 1 εκατοστό για αποστάσεις της τάξης της ακτίνας της γης

Αποκορύφωμα της διαστημικής τεχνολογίας αποτελεί το ευρύτατης χρήσης Παγκόσμιο Σύστημα Προσδιορισμού Θέσης (GPS = Global Positioning System) Ένα σύνολο δορυφόρων (σχήμα 19) έχει τεθεί σε τροχιά γύρω από τη γη έτσι ώστε τουλάχιστον 4 από αυτούς να είναι ορατοί ανά πάσα στιγμή σε κάθε ση-μείο της γης Σήμερα υπάρχουν 28 δορυφόροι σε ύψος 20000 χιλιομέτρων

Σχήμα 19

Ο laquoαστερισμόςraquo των δορυφόρων του παγκοσμίου συστήματος εντοπισμού θέσης GPS


περίπου οι οποίοι εκτελούν δύο περίπου περιστροφές γύρω από τη γη ανά 24ωρο Με τη βοήθεια παρατηρήσεων από σταθμούς ελέγχου με γνωστή θέση είναι δυνατός ο προσδιορισμός της θέσης κάθε δορυφόρου σε κάθε χρονική στιγμή Το σύστημα εγκαταστάθηκε αρχικά για σκοπούς πλοήγησης με στόχο ακρίβεια της τάξης των 10 μέτρων το πολύ με βάση τις παρατηρήσεις ψευδοα-ποστάσεων Ένας δέκτης GPS συγκρίνει το σήμα από κάθε δορυφόρο με αντί-γραφό του το οποίο παράγει ο ίδιος και προσδιορίζει τον χρόνο που χρειάστη-κε για να φθάσει το σήμα από το δορυφόρο στο δέκτη Πολλαπλασιάζοντας με την ταχύτητα του φωτός προκύπτει η απόσταση δορυφόρου-δέκτη η οποία ονομάζεται laquoψευδοαπόστασηraquo επειδή είναι επηρεασμένη από το σφάλμα του ρολογιού του δέκτη Μετρώντας 4 ψευδοαποστάσεις ισάριθμων δορυφόρων με γνωστή θέση μπορούν να προσδιοριστούν 4 άγνωστοι οι 3 καρτεσιανές συντε-ταγμένες του δέκτη και το σφάλμα του ρολογιού

Αντικαθιστώντας την παρατήρηση ψευδοαπόστασης με την παρατήρηση της διαφοράς φάσης ανάμεσα στο δορυφορικό σήμα και το αντίγραφο του στο δέ-κτη περνάμε από την πλοήγηση στο γεωδαιτικό GPS με ακρίβεια της τάξης του ενός εκατοστού του μέτρου Για να εξυπηρετηθούν οι σχετικές ανάγκες η Διε-θνής Γεωδαιτική Ένωση ίδρυσε την Διεθνή Υπηρεσία GPS (IGS = International GPS Service) η οποία συντονίζει το έργο επιμέρους κέντρων ανάλυσης δεδομέ-νων από μόνιμα εγκαταστημένους δείκτες σε όλη τη γη και παρέχει στοιχεία για τον υπολογισμό της θέσης των δορυφόρων με πολύ μεγάλη ακρίβεια

Από την ανάλυση των παρατηρήσεων τις διαστημικής τεχνολογίας προκύπτουν απευθείας οι καρτεσιανές συντεταγμένες X Y Z του επίγειου σημείου παρα-τήρησης ως προς ένα αυθαίρετα επιλεγμένο συμβατικό σύστημα αναφοράς με τρεις ορθογώνιους άξονες Ox Oy Oz με αρχή O κάπου κοντά στο γεώκε-ντρο άξονα Oz κάπου κοντά στη μέση θέση του άξονα περιστροφής και επίπε-δο ( )Ox Oz κάπου κοντά στο αστεροσκοπείο του Greenwich Οι καρτεσιανές συντεταγμένες μπορούν εύκολα να μετατραπούν σε γεωδαιτικές χωρίς την αναχρονιστική πλέον ανάγκη για γνώση των αποκλίσεων της κατακορύφου Οι αστρονομικές παρατηρήσεις εγκαταλείπονται πρώτες ενώ θα ακολουθήσουν οι παρατηρήσεις σε τριγωνομετρικά δίκτυα με θεοδόλιχους και ηλεκτρομαγνητικά όργανα μέτρησης αποστάσεων Τελικά οι κλασσικές μέθοδοι αποτυπώσεων περιορίστηκαν στις αποτυπώσεις σε αστικές περιοχές όπου τα κτίρια εμποδί-ζουν την ορατότητα των δορυφόρων GPS καθώς και σε τεχνικές εφαρμογές μικρής έκτασης όπου δίνουν την ίδια ή και καλύτερη σχετική ακρίβεια (ppm)

Με το GPS ο προσδιορισμός θέσης εμφανίζεται αρχικά να ανεξαρτητοποιείται


από τον προσδιορισμό του πεδίου βαρύτητας Όμως το γεωδαιτικό ύψος h μετρημένο πάνω από το ελλειψοειδές αναφοράς το οποίο μας δίνει το GPS δεν είναι κατάλληλο για τις περισσότερες εφαρμογές όπου πρακτική σημασία έχει το ορθομετρικό ύψος H h N= - που μετριέται πάνω από τη μέση στάθμη της θάλασσας δηλαδή το γεωειδές Έτσι προκύπτει η ανάγκη προσδιορισμού του ύψους του γεωειδούς N με αντίστοιχη ακρίβεια εκατοστού αξιοποιώντας τόσο επίγειες όσο και διαστημικές μεθόδους Η γεωδαισία διατηρεί το διττό χαρα-κτήρα της (προσδιορισμός θέσης και πεδίου βαρύτητας της γης) όχι όμως μόνο επειδή η γνώση του πεδίου βαρύτητας υπεισέρχεται στον προσδιορισμό θέσης Ο προσδιορισμός του πεδίου βαρύτητας και ιδιαίτερα των χρονικών του μετα-βολών που οφείλονται κυρίως σε μετακινήσεις θαλάσσιων μαζών έχει τεράστια σημασία σε πολλές εφαρμογές σχετικές με την κατανόηση του πλανήτη μας καθώς συνδέεται με φαινόμενα όπως η μεταβολή της στάθμης των θαλασσών τα ωκεάνια ρεύματα και τελικά με τις κλιματικές αλλαγές που προκαλεί η κατα-στροφή του όζοντος της ατμόσφαιρας Η ακρίβεια που απαιτείται για τον α-σφαλή προσδιορισμό των πολύ μικρών χρονικών μεταβολών του πεδίου βαρύ-τητας δεν μπορεί να εξασφαλιστεί από την ανάλυση τροχιών δορυφόρων σε χαμηλό ύψος (όπου το πεδίο βαρύτητας είναι εντονότερο) αλλά από τη μέθοδο της δορυφορικής βαθμιδομετρίας η οποία είναι πολύ πιο ευαίσθητη στις λεπτο-μέρειες του πεδίου βαρύτητας Στη βαθμιδομετρία μετρούνται οι 9 ρυθμοί μετα-βολής των 3 συνιστωσών του διανύσματος της βαρύτητας ως προς 3 αμοιβαία ορθογώνιες κατευθύνσεις πχ τις κατευθύνσεις των αξόνων του συστήματος αναφοράς από τους οποίους μόνο 6 είναι ανεξάρτητες παράμετροι Η γεωδαι-τική κοινότητα προσβλέπει με ανυπομονησία στην αποστολή βαθμιδομετρίας GOCE (= Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer εξερεύνηση του πεδίου βαρύτητας και της σταθερής-κατάστασης κυκλοφορίας των ωκεα-νών) την οποία έχει προγραμματίσει για το 2006 η Ευρωπαϊκή Διαστημική Υ-πηρεσία (ESA)

Με τις μεγάλες ακρίβειες που δίνουν οι διαστημικές μέθοδοι καταπίπτει και η τελευταία απλουστευτική παραδοχή για το σχήμα της γης η παραδοχή ότι η γη είναι ένα άκαμπτο σώμα Στην πραγματικότητα η γη παραμορφώνεται συνεχώς με ποιο έντονη την περιοδική παραμόρφωση των παλιρροιών του στερεού φλοιού της παρόμοιων με εκείνες των θαλασσών και λιγότερη έντονη αλλά πάντως παρατηρήσιμη την συνεχή παραμόρφωση που οφείλεται στην κίνηση των τεκτονικών πλακών Για μία άκαμπτη γη είναι αρκετό να ορίσουμε το σύ-στημα αναφοράς σε μία οποιαδήποτε χρονική στιγμή οπότε ορίζεται αυτόματα


και για κάθε άλλη στιγμή μέσα από την απαίτηση να παραμείνει στην ίδια θέση ως προς το αμετάβλητο σχήμα των υλικών σημείων που απαρτίζουν τη γη Αντίθετα για μία παραμορφώσιμη γη που το σχήμα της αλλάζει συνεχώς και κάθε υλικό της σημείο βρίσκεται σε κίνηση σε σχέση με τα άλλα το σύστημα αναφοράς πρέπει να οριστεί για κάθε χρονική στιγμή ξεχωριστά Η καλύτερη επιλογή είναι αυτή ενός συστήματος αναφοράς ως προς το οποίο οι επιμέρους γήινες μάζες εμφανίζονται να κινούνται όσο το δυνατόν λιγότερο Ένα τέτοιο σύστημα αναφοράς αντιπροσωπεύει το σύνολο της γης κατά τον καλύτερο δυ-νατό τρόπο Η μεταβολή του προσανατολισμού των αξόνων του ως προς τον ουράνιο θόλο περιγράφει πλέον το φαινόμενο της περιστροφής της παραμορ-φώσιμης γης

Η σημασία που έχει η εγκατάσταση και η διατήρηση ενός συστήματος αναφο-ράς για το σύνολο της γης και του προσδιορισμού της περιστροφικής κίνησής του ως προς τον ουράνιο θόλο οδήγησε στην αντικατάσταση της Διεθνούς Υ-πηρεσίας Κίνησης του Πόλου από την laquoΔιεθνή Υπηρεσία Περιστροφής της Γης και Συστημάτων Αναφοράςraquo (IERS = International Earth Rotation and Refer-ence Systems Service) η οποία είναι κοινή υπηρεσία της IAG και της IAU Αντι-κείμενο της Υπηρεσίας αυτής είναι ο ορισμός και η διαχείριση δύο συστημάτων αναφοράς ενός για τον ουράνιο θόλο το laquoΔιεθνές Ουράνιο Σύστημα Αναφοράςraquo (ICRS = International Celestial Reference System) και ένα για τη γη το laquoΔιεθνές Επίγειο Σύστημα Αναφοράςraquo (ITRS = International Terrestrial Reference System) καθώς και η παροχή των laquoΠαραμέτρων Προσανατολισμού της Γηςraquo (EOP = Earth Orientation Parameters) οι οποίες συνδέουν τα δύο συστήματα

Στην πράξη τα συστήματα αναφοράς υλοποιούνται δίνοντας συντεταγμένες σε επιλεγμένα σημεία το σύνολο των οποίων αποτελεί ένα laquoπλαίσιοraquo αναφοράς Το ICRS υλοποιείται από το laquoΔιεθνές Ουράνιο Πλαίσιο Αναφοράςraquo (ICRF = International Celestial Reference Frame) το οποίο αποτελείται από τις συντε-ταγμένες (γωνίες διεύθυνσης) ενός συνόλου επιλεγμένων ραδιοπηγών οι οποίες συμμετέχουν στις παρατηρήσεις του VLBI To ITRS υλοποιείται από το laquoΔιε-θνές Επίγειο Πλαίσιο Αναφοράςraquo (ITRF = International Terrestrial Reference Frame) το οποίο αποτελείται από τις καρτεσιανές συντεταγμένες και τις συνι-στώσες των ταχυτήτων ενός δικτύου επιλεγμένων σταθμών πάνω στη γη Σύμ-φωνα με τo μοντέλο που χρησιμοποιεί η IERS για την παραμορφώσιμη γη αφού βέβαια αφαιρεθούν οι περιοδικές μετακινήσεις λόγω της παλίρροιας του στε-ρεού φλοιού τα επιφανειακά σημεία κινούνται σε γραμμική κίνηση με σταθερή ταχύτητα Με τη συγκέντρωση συνεχώς νέων δεδομένων παρατήρησης το


ITRF ανανεώνεται συνεχώς σε νέες laquoεκδόσειςraquo οι οποίες χαρακτηρίζονται από τη χρονολογία αναφοράς πχ ITRF2000

Για να ανταποκριθεί στις νέες προκλήσεις η Διεθνής Γεωδαιτική Ένωση υιο-θέτησε σημαντικές μεταβολές στην δομή της κατά την Γενική Συνέλευσή της το 2003 στο Σαπόρο της Ιαπωνίας Μεταξύ άλλων οι 5 laquoΤομείςraquo (Sections) με αντικείμενα (1) Προσδιορισμός Θέσης (2) Προχωρημένες Διαστημικές Τε-χνικές (3) Προσδιορισμός του Πεδίου Βαρύτητας (4) Γενική Θεωρία και Μεθο-δολογία και (5) Γεωδυναμική αντικαταστάθηκαν από 4 laquoΕπιτροπέςraquo (Commis-sions) με αντικείμενα (1) Συστήματα Αναφοράς (2) Πεδίο Βαρύτητας (3) Περι-στροφή της Γης και Γεωδυναμική και (4) Προσδιορισμός Θέσης και Εφαρμογές καθώς και από μία laquoμεταξύ των επιτροπώνraquo Επιτροπή (Committee) με αντικείμενο την Θεωρία Η νέα αυτή δομή δίνει έμφαση στη σημασία που έχουν για τη Γεωδαισία και τις συγγενικές Επιστήμες της Γης η εγκατάσταση και η διαχείριση των συστημάτων αναφοράς τα οποία αποτελούν το κύριο αντικεί-μενο του παρόντος συγγράμματος

ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages None Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 14 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJDFFile false CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveEPSInfo true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments false PreserveOverprintSettings true Start SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName (httpwwwcolororg) PDFXTrapped Unknown Description ltlt ENU (Use these settings to create PDF documents with higher image resolution for high quality pre-press printing The PDF documents can be opened with Acrobat and Reader 50 and later These settings require font embedding) JPN ltFEFF3053306e8a2d5b9a306f30019ad889e350cf5ea6753b50cf3092542b308030d730ea30d730ec30b9537052377528306e00200050004400460020658766f830924f5c62103059308b3068304d306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103057305f00200050004400460020658766f8306f0020004100630072006f0062006100740020304a30883073002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d30678868793a3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002gt FRA 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 DEU 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 PTB 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 DAN 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 NLD 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 ESP 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 SUO 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 ITA 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 NOR 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 SVE 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 ARA 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 CZE ltFEFF005400610074006F0020006E006100730074006100760065006E00ED00200070006F0075017E0069006A007400650020006B0020007600790074007600E101590065006E00ED00200064006F006B0075006D0065006E0074016F0020005000440046002000730020007600790161016100ED006D00200072006F007A006C006901610065006E00ED006D0020006F006200720061007A016F002C002000700072006F0020006B00760061006C00690074006E00ED002000700072006500700072006500730073002000610020007400690073006B002E00200044006F006B0075006D0065006E007400790020005000440046002000620075006400650020006D006F017E006E00E90020006F007400650076015900ED007400200076002000700072006F006700720061006D0065006300680020004100630072006F00620061007400200061002000520065006100640065007200200035002E0030002000610020006E006F0076011B006A016100ED00630068002E0020005400610074006F0020006E006100730074006100760065006E00ED002000760079017E006100640075006A00ED00200076006C006F017E0065006E00ED0020007000ED00730065006D002E000D000AFEFF005400610074006F0020006E006100730074006100760065006E00ED00200070006F0075017E0069006A007400650020006B0020007600790074007600E101590065006E00ED00200064006F006B0075006D0065006E0074016F0020005000440046002000730020007600790161016100ED006D00200072006F007A006C006901610065006E00ED006D0020006F006200720061007A016F002C002000700072006F0020006B00760061006C00690074006E00ED002000700072006500700072006500730073002000610020007400690073006B002E00200044006F006B0075006D0065006E007400790020005000440046002000620075006400650020006D006F017E006E00E90020006F007400650076015900ED007400200076002000700072006F006700720061006D0065006300680020004100630072006F00620061007400200061002000520065006100640065007200200035002E0030002000610020006E006F0076011B006A016100ED00630068002E0020005400610074006F0020006E006100730074006100760065006E00ED002000760079017E006100640075006A00ED00200076006C006F017E0065006E00ED0020007000ED00730065006D002Egt HUN 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 POL 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 RUS 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 TUR 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 HEB 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 GRE 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 gtgtgtgt setdistillerparamsltlt HWResolution [2540 2540] PageSize [612000 792000]gtgt setpagedevice

iv Συντεταγμένες και Συστήματα Αναφοράς

λυση γραμμικών συστημάτων η ακόμα και για συναρτήσεις τις οποίες μπορού-με να δούμε σαν διανύσματα σε χώρους άπειρων διαστάσεων Αρχικός πυρήνας για τη συγγραφή του παρόντος βιβλίου υπήρξαν οι διδακτι-κές σημειώσεις για τις ανάγκες ενός νέου μαθήματος με τίτλο laquoΣυστήματα ανα-φοράς και χρόνουraquo του Τομέα Γεωδαισίας και Τοπογραφίας του Τμήματος Α-γρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών του ΑΠΘ Το αντικείμενο της εγκα-τάστασης παγκόσμιων συστημάτων αναφοράς έχει αποκτήσει τα τελευταία χρόνια τεράστιο ενδιαφέρον για τις γεωεπιστήμες και την αστρονομία Η Διε-θνής Γεωδαιτική Ένωση (IAG) ύστερα από την τελευταία αναμόρφωση της λειτουργικής δομής της έχει αφιερώσει την πρώτη από τις τέσσερες laquoΕπιτρο-πέςraquo της στα συστήματα αναφοράς ενώ από κοινού με τη Διεθνή Αστρονομική Ένωση (IAU) έχει δημιουργήσει μια ειδική υπηρεσία την Διεθνή Υπηρεσία Πε-ριστροφής της Γης και Συστημάτων Αναφοράς (IERS) που ασχολείται με την πρακτική υλοποίηση των συστημάτων αναφοράς Η ύλη που αναπτύσσεται εδώ καλύπτει τόσο θεωρητικά όσο και πρακτικά ζη-τήματα Στο 1ο κεφάλαιο προτάξαμε μια κριτική παρουσίαση της ιστορικής α-νάπτυξης των αντιλήψεων μας πάνω στο ζήτημα του προσδιορισμού της θέσης ως προς ένα σύστημα αναφοράς το οποίο συνδέεται τόσο με το πρόβλημα του σχήματος της γης όσο και με τη μορφή του πεδίου βαρύτητας Το 2ο και 3ο κεφάλαιο περιέχουν τις απαραίτητες για πρωτοετείς φοιτητές έν-νοιες από τα μαθηματικά και τη γεωμετρία και με την ευκαιρία ξεκαθαρίζουν ορισμένες διαδεδομένες παρανοήσεις που πηγάζουν από την αποκλειστική χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων οι οποίες ενώ διευκολύνουν κατά πολύ τους υπολογισμούς δεν μας επιτρέπουν να δούμε καθαρά τις λεπτές διαφορές ανάμεσα σε θεμελιώδεις έννοιες Το 4ο κεφάλαιο εξετάζει από θεωρητική σκοπιά το πρόβλημα των συστημάτων αναφοράς σε κίνηση προετοιμάζοντας το έδαφος για την πρακτική εφαρμογή στην περίπτωση της περιστροφής της γης στο 7ο κεφάλαιο Επειδή πέρα από τις σύγχρονες πρακτικές και τεχνολογικές κατακτήσεις είναι σημαντικό να γνωρίζουμε και τις μεθόδους του παρελθόντος το μεγαλύτερο μέρος του 5ου κεφαλαίου είναι αφιερωμένο στη σύντομη παρουσίαση συστημά-των αναφοράς που σχετίζονται με το πεδίο βαρύτητας της γης Πέρα όμως από τις ιστορικού μόνο πλέον ενδιαφέροντος μεθοδολογίες που στηρίζονται στο τοπικό αστρονομικό σύστημα (κεφ 55 έως 58) το ζήτημα των συστημάτων υψών (κεφ 59) παραμένει πάντα επίκαιρο δεδομένου ότι τα ύψη με πρακτικό ενδιαφέρον για τις εφαρμογές είναι τα laquoφυσικάraquo ύψη που σχετίζονται με το πεδίο βαρύτητας της γης και όχι τα γεωμετρικά ύψη που σχετίζονται μόνο με

Πρόλογος v







1 Εισαγωγή


































(NRO) 230








































Kεφάλαιο 1

Εισαγωγή


















Β

Σχήμα 1































φ

φ

φ

λ

90ominusφ

R

h

Σχήμα 2








5000 στάδια

72oΣυήνη


150 κύκλου

Σχήμα 3







Σχήμα 4























P

πP

h

x

yPx

Py

O Ox

y












Cassini


a

b

Δsa = a Δφ

Δsb = b Δφ

Δφ

Δφ

Σχήμα 8







g

g

Σχήμα 9












Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19

















ltlt ASCII85EncodePages false AllowTransparency false AutoPositionEPSFiles true AutoRotatePages None Binding Left CalGrayProfile (Dot Gain 20) CalRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CalCMYKProfile (US Web Coated 050SWOP051 v2) sRGBProfile (sRGB IEC61966-21) CannotEmbedFontPolicy Error CompatibilityLevel 14 CompressObjects Tags CompressPages true ConvertImagesToIndexed true PassThroughJPEGImages true CreateJDFFile false CreateJobTicket false DefaultRenderingIntent Default DetectBlends true ColorConversionStrategy LeaveColorUnchanged DoThumbnails false EmbedAllFonts true EmbedJobOptions true DSCReportingLevel 0 EmitDSCWarnings false EndPage -1 ImageMemory 1048576 LockDistillerParams false MaxSubsetPct 100 Optimize true OPM 1 ParseDSCComments true ParseDSCCommentsForDocInfo true PreserveCopyPage true PreserveEPSInfo true PreserveHalftoneInfo false PreserveOPIComments false PreserveOverprintSettings true StartPage 1 SubsetFonts true TransferFunctionInfo Apply UCRandBGInfo Preserve UsePrologue false ColorSettingsFile () AlwaysEmbed [ true ] NeverEmbed [ true ] AntiAliasColorImages false DownsampleColorImages true ColorImageDownsampleType Bicubic ColorImageResolution 300 ColorImageDepth -1 ColorImageDownsampleThreshold 150000 EncodeColorImages true ColorImageFilter DCTEncode AutoFilterColorImages true ColorImageAutoFilterStrategy JPEG ColorACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt ColorImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000ColorACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000ColorImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasGrayImages false DownsampleGrayImages true GrayImageDownsampleType Bicubic GrayImageResolution 300 GrayImageDepth -1 GrayImageDownsampleThreshold 150000 EncodeGrayImages true GrayImageFilter DCTEncode AutoFilterGrayImages true GrayImageAutoFilterStrategy JPEG GrayACSImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt GrayImageDict ltlt QFactor 015 HSamples [1 1 1 1] VSamples [1 1 1 1] gtgt JPEG2000GrayACSImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt JPEG2000GrayImageDict ltlt TileWidth 256 TileHeight 256 Quality 30 gtgt AntiAliasMonoImages false DownsampleMonoImages true MonoImageDownsampleType Bicubic MonoImageResolution 1200 MonoImageDepth -1 MonoImageDownsampleThreshold 150000 EncodeMonoImages true MonoImageFilter CCITTFaxEncode MonoImageDict ltlt K -1 gtgt AllowPSXObjects false PDFX1aCheck false PDFX3Check false PDFXCompliantPDFOnly false PDFXNoTrimBoxError true PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXSetBleedBoxToMediaBox true PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 000000 000000 000000 000000 ] PDFXOutputIntentProfile () PDFXOutputCondition () PDFXRegistryName (httpwwwcolororg) PDFXTrapped Unknown Description ltlt ENU (Use these settings to create PDF documents with higher image resolution for high quality pre-press printing The PDF documents can be opened with Acrobat and Reader 50 and later These settings require font embedding) JPN ltFEFF3053306e8a2d5b9a306f30019ad889e350cf5ea6753b50cf3092542b308030d730ea30d730ec30b9537052377528306e00200050004400460020658766f830924f5c62103059308b3068304d306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103057305f00200050004400460020658766f8306f0020004100630072006f0062006100740020304a30883073002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d30678868793a3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002gt FRA 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 DEU ltFEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e0020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e0020006d00690074002000650069006e006500720020006800f60068006500720065006e002000420069006c0064006100750066006c00f600730075006e0067002c00200075006d002000650069006e00650020007100750061006c00690074006100740069007600200068006f006300680077006500720074006900670065002000410075007300670061006200650020006600fc0072002000640069006500200044007200750063006b0076006f0072007300740075006600650020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f0062006100740020006f0064006500720020006d00690074002000640065006d002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e00200042006500690020006400690065007300650072002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670020006900730074002000650069006e00650020005300630068007200690066007400650069006e00620065007400740075006e00670020006500720066006f0072006400650072006c006900630068002egt PTB 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 DAN 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 NLD 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 ESP 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 SUO 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 ITA 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 NOR ltFEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f00700070007200650074007400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006d006500640020006800f80079006500720065002000620069006c00640065006f00700070006c00f80073006e0069006e006700200066006f00720020006800f800790020007500740073006b00720069006600740073006b00760061006c00690074006500740020006600f800720020007400720079006b006b002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50070006e006500730020006d006500640020004100630072006f0062006100740020006f0067002000520065006100640065007200200035002e00300020006f0067002000730065006e006500720065002e00200044006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e00650020006b0072006500760065007200200073006b00720069006600740069006e006e00620079006700670069006e0067002egt SVE 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 ARA 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 CZE 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 HUN 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 POL 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 RUS 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 TUR 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 HEB 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 GRE 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 gtgtgtgt setdistillerparamsltlt HWResolution [2540 2540] PageSize [612000 792000]gtgt setpagedevice

Πρόλογος v







1 Εισαγωγή


































(NRO) 230








































Kεφάλαιο 1

Εισαγωγή


















Β

Σχήμα 1































φ

φ

φ

λ

90ominusφ

R

h

Σχήμα 2








5000 στάδια

72oΣυήνη


150 κύκλου

Σχήμα 3







Σχήμα 4























P

πP

h

x

yPx

Py

O Ox

y












Cassini


a

b

Δsa = a Δφ

Δsb = b Δφ

Δφ

Δφ

Σχήμα 8







g

g

Σχήμα 9












Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19























1 Εισαγωγή


































(NRO) 230








































Kεφάλαιο 1

Εισαγωγή


















Β

Σχήμα 1































φ

φ

φ

λ

90ominusφ

R

h

Σχήμα 2








5000 στάδια

72oΣυήνη


150 κύκλου

Σχήμα 3







Σχήμα 4























P

πP

h

x

yPx

Py

O Ox

y












Cassini


a

b

Δsa = a Δφ

Δsb = b Δφ

Δφ

Δφ

Σχήμα 8







g

g

Σχήμα 9












Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19












































(NRO) 230








































Kεφάλαιο 1

Εισαγωγή


















Β

Σχήμα 1































φ

φ

φ

λ

90ominusφ

R

h

Σχήμα 2








5000 στάδια

72oΣυήνη


150 κύκλου

Σχήμα 3







Σχήμα 4























P

πP

h

x

yPx

Py

O Ox

y












Cassini


a

b

Δsa = a Δφ

Δsb = b Δφ

Δφ

Δφ

Σχήμα 8







g

g

Σχήμα 9












Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19























































Kεφάλαιο 1

Εισαγωγή


















Β

Σχήμα 1































φ

φ

φ

λ

90ominusφ

R

h

Σχήμα 2








5000 στάδια

72oΣυήνη


150 κύκλου

Σχήμα 3







Σχήμα 4























P

πP

h

x

yPx

Py

O Ox

y












Cassini


a

b

Δsa = a Δφ

Δsb = b Δφ

Δφ

Δφ

Σχήμα 8







g

g

Σχήμα 9












Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19































Β

Σχήμα 1































φ

φ

φ

λ

90ominusφ

R

h

Σχήμα 2








5000 στάδια

72oΣυήνη


150 κύκλου

Σχήμα 3







Σχήμα 4























P

πP

h

x

yPx

Py

O Ox

y












Cassini


a

b

Δsa = a Δφ

Δsb = b Δφ

Δφ

Δφ

Σχήμα 8







g

g

Σχήμα 9












Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19















































φ

φ

φ

λ

90ominusφ

R

h

Σχήμα 2








5000 στάδια

72oΣυήνη


150 κύκλου

Σχήμα 3







Σχήμα 4























P

πP

h

x

yPx

Py

O Ox

y












Cassini


a

b

Δsa = a Δφ

Δsb = b Δφ

Δφ

Δφ

Σχήμα 8







g

g

Σχήμα 9












Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19
























5000 στάδια

72oΣυήνη


150 κύκλου

Σχήμα 3







Σχήμα 4























P

πP

h

x

yPx

Py

O Ox

y












Cassini


a

b

Δsa = a Δφ

Δsb = b Δφ

Δφ

Δφ

Σχήμα 8







g

g

Σχήμα 9












Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19



















Σχήμα 4























P

πP

h

x

yPx

Py

O Ox

y












Cassini


a

b

Δsa = a Δφ

Δsb = b Δφ

Δφ

Δφ

Σχήμα 8







g

g

Σχήμα 9












Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19





































P

πP

h

x

yPx

Py

O Ox

y












Cassini


a

b

Δsa = a Δφ

Δsb = b Δφ

Δφ

Δφ

Σχήμα 8







g

g

Σχήμα 9












Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19


























Cassini


a

b

Δsa = a Δφ

Δsb = b Δφ

Δφ

Δφ

Σχήμα 8







g

g

Σχήμα 9












Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19




















g

g

Σχήμα 9












Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19

























Σχήμα 10





Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19



















Σχήμα 11



Σχήμα 12






z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19




















z

zndashΔz

g

P

Q

Σχήμα 13




Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19



















Δn = sAminus sB

g

gg

sB

sA

A

B

Σχήμα 14






Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19



















Σχήμα 15


Σχήμα 16












γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19


























γεωείδες


g

g

g g

gg




hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19



















hH

g

g


γεωείδες


N

Σχήμα 18





| |g g






( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19






















( ) ( ) ( )4 Q


πG= Uacute (1)



int - = Uacute1

cos4


πG dψ (2)

int - = Uacute1

cos ( ) sin4


πG dψ (3)
















Σχήμα 19






























Σχήμα 19


















00 Dermanis Periex · 2010-05-28 · iv Συντεταγμένες και Συστήματα...

Documents

Transcript of 00 Dermanis Periex · 2010-05-28 · iv Συντεταγμένες και Συστήματα...