ΛΕΠΤΕΣ Υ∆ΡΟΤΟΜΕΣ ΠΤΕΡΥΓΕΣ -...

National Technical University of AthensSchool of Naval Architecture and Marine Engineering

ΑΣΚΗΣΕΙΣΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΛΕΠΤΕΣΛΕΠΤΕΣ Υ∆ΡΟΤΟΜΕΣΥ∆ΡΟΤΟΜΕΣ&&

ΠΤΕΡΥΓΕΣΠΤΕΡΥΓΕΣ

2017 - 2018 Βασικές Αρχές Ναυτικής & Θαλάσσιας Υδροδυναµικής 1

2

Λεπτές Υδροτοµές & ΠτέρυγεςΑσκήσεις

ΑΣΚΗΣΗ 1

Διδιάστατη υδροτομή χορδής 0.2 mc = , χωρίς κυρτότητα, κινείται σε βαθύ

νερό ( 31000 kg / mρ = ) με ταχύτητα 0.5 m / sU = , και σε μικρή σχετικά

βύθιση 3d c= κάτω από την επιφάνεια του νερού, όπως εικονίζεται στο

σχήμα:

2017 - 2018 Βασικές Αρχές Ναυτικής & Θαλάσσιας Υδροδυναµικής

α) Θεωρώντας ότι η υδροτομή κινείται σε ήρεμο νερό, να υπολογίσετε το

μήκος του παραγόμενου κύματος (λ ) αρκετά πίσω από υδροτομή, η οποία

κινείται με γωνία πρόσπτωσης 5α = �.

d

λ

U

3


β) Θεωρώντας ότι η ανύψωση και η κλίση της ελεύθερης επιφάνειας είναι

πολύ μικρές ώστε να μπορεί να αμεληθούν, να δώσετε μια εκτίμηση της

άνωσης (ανά μονάδα βάθους) και της κυκλοφορίας της υδροτομής,

δικαιολογώντας αν αυξάνονται ή ελαττώνονται σε σχέση με τις τιμές σε

άπειρο ρευστό (χωρίς τη παρουσία της ελεύθερης επιφάνειας).


γ) Να περιγράψετε από ποιες βασικές συνιστώσες θα απαρτίζεται η

συνολική αντίσταση της υδροτομής και από ποιές αδιάστατες

d

λ

U

4


Λύση Ασκ. 1: (α) Στο δεδομένο πρόβλημα ενδιαφέρει η συμπεριφορά της

υδροτομής κοντά στη διεπιφάνεια και η μεταβολή των χαρακτηριστικών της

ροής γύρω από την υδροτομή στην περίπτωση που υπάρχει ελεύθερη

επιφάνεια συγκρινομένων με εκείνων της περίπτωσης απέρατου ρευστού.


Συνεπώς, δεν έχουμε κανένα λόγο να μην υποθέσουμε ότι το νερό είναι

βαθύ, εισάγοντας επιπλέον περιπλοκές από την επίδραση του πυθμένα

όπως θα συνέβαινε από την υπόθεση νερού ενδιαμέσου βάθους.

d

λ

U

5


Η φασική ταχύτητα ως γνωστόν είναι

phaseck

ω= ,

όπου η σχέση που συνδέει την κυκλική συχνότητα ( )kω ω= με τον αριθμό

κύματος, δηλ., η εξίσωση διασποράς παίρνει για βαθύ νερό τη μορφή

2 kgω = .


Συνεπώς,

2 2phasekg g g

ckk

λ

π= = = ,

όπου στην τελευταία χρησιμοποιήσαμε τη σχέση ορισμού του αριθμού

κύματος, 2

kπ

λ= , λ το μήκος κύματος.

6


Frequency dispersion of surface gravity waves on deep water. The red dot moves with the

phase velocity, and the green dots propagate with the group velocity. In this deep-water case,

cp=2cg. The red dot traverses the figure in the time it takes the green dot to traverse half


The number of waves per group as observed in space at a certain moment (upper blue line), is

different from the number of waves per group seen in time at a fixed position (lower orange

line), due to frequency dispersion.

For the shown case, a bichromatic group of gravity waves on the surface of deep water, the

group velocity is half the phase velocity. In this example, there are 5 3⁄4 waves between two

wave group nodes in space, while there are 11 1⁄2 waves between two wave group nodes in

time.

7


Frequency dispersion of surface gravity waves on deep water. The red dot moves with the

phase velocity, and the green dots propagate with the group velocity. In this deep-water case,

cp=2cg. The red dot traverses the figure in the time it takes the green dot to traverse half


Two-frequency beats of a non-dispersive transverse wave. Since the wave is non-dispersive,

phase (red) and group (green) velocities are equal.

8


Η φασική ταχύτητα, όμως, ισούται με την ταχύτητα κίνησης της διδιάστατης

υδροτομής (γιατί;), άρα

2

2

2

2 0.52

0.1602 9.81

phase

mg U s

U c mmgs

πλ π

λ λ λπ

= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =


9


(β) Η ελεύθερη επιφάνεια είναι γραμμή ροής. Η κατοπτρική δίνη αυξάνει

την ταχύτητα ροής που προσπίπτει στην υδροτομή. Πράγματι,

( ) ( )2 2 4 3 12T TU U u U U U U

d c cπ π π

Γ Γ Γ= + = = + = + = + .


d

λ

U Γ

Γ−

10


Εξ’ ορισμού του συντελεστή ανώσεως, LC , θα είναι

( )

2 2

21 12 2

TL

TT T

ULC

U cU c U c

ρ

ρ ρ

Γ Γ−= = =− ,

ενώ

52 2 0.5483

180LCπ

πα π= = = .


d

λ

U Γ

Γ−

11


Άρα,

2 52 0.274

180 TT

U cU c

ππ

ΓΓ= ⇒ =− .

Δεδομένου ότι 0.5U m s= , η ολική ταχύτητα TU θα είναι

0.274 0.50.5 0.5 0.0073

12 0.9927T

T T T T

U cU U U U

cπ= + ⇒ = + ⇒ = .

Συνεπώς, 0.5037TU m s= .

Επί της ουσίας η άνωση στην υδροτομή αυξάνεται σε σχέση με το άπειρο

(απέρατο) ρευστό.


12


Η τιμή της άνωσης στην υδροτομή (δηλ. η άνωση ανά μέτρο ανοίγματος της

πτέρυγας) εκτιμάται ως ακολούθως:

22

3

10.5483 0.5 1000 0.5037 0.2

2L Tkg m

L C U c L msm

ρ

= ⇒ = × × × × ⇒

2

30.5483 0.5 1000 0.5037 0.2kg m

L msm

= × × × × ⇒

13.911L N m= .

Άρα, και η κυκλοφορία θα έιναι:

( )( ) 20.274 0.274 0.5037 0.2 0.0276TU c m s m m sΓ=− =− =−


13


(γ) Ο συντελεστής αντίστασης της υδροτομής θα είναι

( ) ( ) ( ),D D F RC C Re Fr C Re C Fr= = + ,

όπου ( )F FC C Re= είναι ο συντελεστής τριβής, ( )R RC C Fr= είναι ο

συντελεστής αντίστασης, Uc

Reν

= είναι ο αδιάστατος αριθμός Reynolds, και

UFr

gc= είναι ο αδιάστατος αριθμός Froude.


14


ΑΣΚΗΣΗ 2

Ένα υδροπτέρυγο σκάφος μήκους μεταξύ καθέτων 40BPL m= , πλάτους

40mB= , επιπλέει ακίνητο σε βύθισμα 1.5mT = σε κατάσταση πλήρους

φορτίου. Ο συντελεστής γάστρας στο ανωτέρω βύθισμα είναι 0.5BC = .

Το υδροπτέρυγο διαθέτει δύο πτέρυγες (πρωραία - πρυμναία), επιφάνειας

προβολής 26A m= η κάθε μία, ανοίγματος 4s m= και μέγιστης χορδής

0 1c m= . Οι πτερυγοτομές είναι λεπτές υδροτομές παραβολικής κυρτότητας

με λόγο κυρτότητας προς χορδή 2.5%, και για το πλοίο στην ισοβύθιστη

κατάσταση η χορδή τους είναι οριζόντια.

Χρησιμοποιώντας προσεγγιστικά τις σχέσεις για ελλειπτική πτέρυγα, να

υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα (U σε kn) που πρέπει να αναπτύξει το

σκάφος στη θάλασσα ( 31025 kg / mρ = ) σε πλεύση με έμπρυμνη διαγωγή

ώστε οι πτέρυγες να είναι σε θέση να ανορθώσουν τη γάστρα εκτός νερού. 2017 - 2018 Βασικές Αρχές Ναυτικής & Θαλάσσιας Υδροδυναµικής

15


Λύση Ασκ.2: Για διδιάστατη υδροτομή παραβολικής κυρτότητας ο

συντελεστής άνωσης μηδενικής γωνίας πρόσπτωσης είναι

( ) max0 4 4 0.025 0.3142Ly

C ac

π π= = = =

και έτσι η γωνία μηδενικής άνωσης είναι

( )0 0 / 2 0.05 ( 2.86 )LC a radα π=− = = = � .

Η συνολική άνωση κάθε πτέρυγας είναι 21

2LL C U Sρ= ,

Το εκτόπισμα του πλοίου είναι: B BP B BPC L BT g C L BTγ ρ∆ = = ⇒

3 2

kg m1025 9.81 0.5 40m 5m 1.5m

m s∆ = × × × × × ⇒

1508287.5N 1508.288 kN∆ = =


16


Προφανώς, στην ανορθωμένη κατάσταση 2L ∆= , άρα

( )212

2L LC U A U C Aρ ρ∆ ∆ = ⇒ =

,

όπου, 26 mA= η επιφάνεια προβολής της κάθε μιας από τις δυο

ελλειπτικές πτέρυγες (παραβολικής διατομής). Για το συντελεστή ανώσεως,

LC , στην περίπτωση πτέρυγας ισχύει:

( )( )

02

1 2LCAR

π α α−=+

,

όπου 2 degα = και AR είναι ο λόγος επιμήκους της πτέρυγας, δηλ.,

2AR s A= , 4 ms = , (άνοιγμα της πτέρυγας). Άρα, 24 6 2.667AR = = .


17


Άρα, ( )

( )

2 2 2.86180 0.3047

1 2 2.67LC

ππ +

= =+

,

Οπότε, 1508287.5

28.4 m s0.3047 1025 6

U = =⋅ ⋅


18


ΑΣΚΗΣΗ 3

Ήδη από την δεκαετία του 1920 έχει προταθεί από τον Flettner και

δοκιμασθεί με επιτυχία η χρήση κατακόρυφων περιστρεφόμενων κυλίνδρων

για την πρόωση μικρών ιστιοφόρων σκαφών, αντί των κλασσικών πανιών.


U U Uw

W (συνισταμένη

L2D

θ=60o

ω

19


Χρησιμοποιώντας τη λύση ροής γύρω από κύλινδρο με κυκλοφορία, να

υπολογίστε την απαιτούμενη ταχύτητα περιστροφής (ω ) του κυλίνδρου για

τη πρόωση με ταχύτητα 6 knU = του εικονιζόμενου μικρού πλοίου, μήκους

10L m= και βρεχόμενης επιφάνειας 220 mS = , το οποίο έχει συντελεστή

συνολικής αντίστασης ( )2/ 0.5 0.01TC R U Sρ= = .

Το ύψος του κυλίνδρου είναι 1.2h L= και η διάμετρος του 0.2D L= . Στην

εξεταζόμενη κατάσταση πλεύσης στη θάλασσα ( 31025 kg / mρ = ) η

ταχύτητα του ανέμου (ως προς το πλοίο) είναι 5 knWU = και η διεύθυνσή

του 60θ = � ως προς την centerline του σκάφους, όπως εικονίζεται στο

σχήμα.


20


Θεωρείστε ότι λόγω της συνθήκης μη ολίσθησης στην επιφάνεια του

κυλίνδρου, όλη η περιστροφική ταχύτητα του συμβάλει στην δημιουργία

κυκλοφορίας, και ότι η ροή παραμένει διδιάσταση σε όλο το ύψος του

κυλίνδρου, ώστε η συνολική άνωση να λαμβάνεται από την καθ’ ύψος

ολοκλήρωση της άνωσης γύρω από το κύλινδρο όπως παρέχεται από τη

διδιάστατη θεωρία ( 2DL ) σε κάθε καθ’ ύψος τομή. (Πυκνότητα αέρα

31.225 kg / maρ = ).


21


Θεωρείστε ότι λόγω της συνθήκης μη ολίσθησης στην επιφάνεια του

κυλίνδρου, όλη η περιστροφική ταχύτητα του συμβάλει στην δημιουργία

κυκλοφορίας, και ότι η ροή παραμένει διδιάσταση σε όλο το ύψος του

κυλίνδρου, ώστε η συνολική άνωση να λαμβάνεται από την καθ’ ύψος

ολοκλήρωση της άνωσης γύρω από το κύλινδρο όπως παρέχεται από τη

διδιάστατη θεωρία ( 2DL ) σε κάθε καθ’ ύψος τομή. (Πυκνότητα αέρα

31.225 kg / maρ = ).


22


Λύση Ασκ. 3: Μετατρέπουμε τα δεδομένα για τις ταχύτητες,

m m

6 kn = 6 0.5144 3.086s s

U U= ⋅ ⇒ = ,

και m m

5 kn = 5 0.5144 2.572s sW WU U= ⋅ ⇒ =


U U Uw


ταχύτητα) L2D

θ=60o

ω

Για την αντίσταση από τα δεδομένα μας:

2

2

1= 0.01

1 22

T T

RC R C U S

U Sρ

ρ

= ⇒ = ⇒

22

3

1 kg m0.01 1025 3.086 20 m

2 smR

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

,

ή 976.4012 NR = .

23


Για τη συνισταμένη ταχύτητα έχουμε

( ) ( )2 2

cos 60 sin 60W WW U U U= + + ⇒� �

( ) ( )2 2

6 kn 5 0.5 kn 5 0.866 knW = + ⋅ + ⋅ ⇒


U U Uw


ταχύτητα) L2D

θ=60o

ω

( ) ( )2 2

8.5 4.33 kn = 9.54 knW = + ,

ή τελικά, m

4.91s

W =

Ακόμη, sin30 6 5 0.5

cos9.54

WU U

Wϕ

+ + ⋅= = ⇒

�

( )1cos 0.8910 0.4713 rad 27 degϕ ϕ−= ⇒ = = .

24


2D aL Wρ Γ= και 3 sin sinD aT L h Wϕ ρ ϕΓ= = , άρα

2

3

sin 976.148 N sin 27 m29.82

kg m s12 1.225 4.91sm

a

R

h W m

ϕ

ρΓ = = =

⋅ ⋅

�

.

Τέλος,

( )

2

2 2

m2 29.822 rads 4.746 284.8 RPM

2 2 2 s2 m

D

D Dω ω

π π π

Γ Γ⋅

= ⇒ = = = =


25



E-1 Ship Ro/Lo (Roll-on / Lift-off)

Owner: Enercon Launced: 2008 Completed: 2010

Builders: Lindenau GmbH in Kiel & Cassens Werft in Emden, Germany

26



Tonnage: 10500 DWT

Length: 130 m

Beam: 22.5 m

Draught: 6 to 9 m

Installed power: Two diesel engines (2 × 3.5 MW)

Propulsion: Four Flettner rotors, Two propellers

Speed: Max 17.5 knots

Capacity: 3 holds below deck, 20,580 m³

27



ΛΕΠΤΕΣ Υ∆ΡΟΤΟΜΕΣ ΠΤΕΡΥΓΕΣ -...

Documents

Transcript of ΛΕΠΤΕΣ Υ∆ΡΟΤΟΜΕΣ ΠΤΕΡΥΓΕΣ -...