ΑσκήσειςΜαθηµατικώνΜεθόδωνΦυσικήςΙ 0.1 ...˜έματα...0.1....

24
0.1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 1 Ασκήσεις Μαθηματικών Μεθόδων Φυσικής Ι 0.1 Ασκήσεις Κεφαλαίου 1 Κατά τη λύση των ασκήσεων επάνω στους μιγαδικούς αριθμούς είναι χρήσιμο να έχουμε υπόψη ότι ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να παρασταθεί με τις παρακάτω μορφές: z =(x, y)= x + iy = r(cos θ + i sin θ)= re , x, y, r, θ R όπου: i 2 = -1, r = |z | = p x 2 + y 2 , cos θ = x r , sin θ = y r Η μορφή z =(x, y) μας λέει ότι ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να παρασταθεί μ’ ένα σημείο του z -επιπέδου με καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y) ή μ’ ένα διάνυσμα του z -επιπέδου που έχει αρχή την αρχή των αξόνων και πέρας το σημείο (x, y). Με τη μορφή z = x + iy μπορούμε να κάνουμε άφοβα τις πράξεις της ΄Αλγεβρας ϑέτοντας όπου i 2 = -1. Είναι καλό να ϑυμόμαστε ότι ισχύουν οι σχέσεις: i n = 1, n =4k i, n =4k +1 -1, n =4k +2 -i, n =4k +3, k N . Η τρίτη μορφή του μιγαδικού αριθμού και (κυρίως) η τέταρτη (z = re ) οηθούν στις πράξεις του πολλα- πλασιασμού, της διαιρέσεως, των δυνάμεων και των ιζών. Το μέτρο r δηλώνει την απόσταση του μιγαδικού αριθμού z =(x, y) από την αρχή των αξόνων και η γωνία θ (πρωτεύουσα τιμή του ορίσματος του z ) είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή των αξόνων και πέρας το σημείο z =(x, y) με το ϑετικό πραγματικό άξονα. Ισχύουν οι παρακάτω τύποι: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 +θ 2 ) , z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 -θ 2 ) , z n = r n e inθ z 1/n = r 1/n e i(θ+k2π)/n , k =0, 1, 2,...,n - 1 Τέλος ενώ δύο μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να είναι ίσοι ή να μην είναι ίσοι, δεν έχει έννοια να γράψουμε σχέσεις ανισότητας μεταξύ δύο μιγαδικών αριθμών. 0.1.1 ΄Αλυτες ασκήσεις 1. Να δειχτούν αλγεβρικά οι παρακάτω σχέσεις: α) |z |≥|Re z |≥ Re z, |z |≥|Im z |≥ Im z, Arg(z 1 z 2 ) = Arg z 1 + Arg z 2 β ) zz * = |z | 2 , |z * | = |z | , |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 | γ ) |z 1 - z 2 |≥ |z 1 |-|z 2 | , |z 1 + z 2 |≤|z 1 | + |z 2 |, δ) n X k=1 z k n X k=1 |z k |, (n =1, 2, 3, ··· ) 2. Να δειχτεί ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία: z 1 =1+ i2, z 2 =4 - i2, z 3 =1 - i6 είναι ισοσκελές και να ρεθούν τα μήκη των πλευρών του. 3. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z 1 ,z 2 ,z 3 ικανοποιούν τις συνθήκες: |z 1 | = |z 2 | = |z 3 | και z 1 + z 2 + z 3 =0, να δειχτεί ότι αυτοί απεικονίζονται στο z -επίπεδο στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. 4. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί : z 1 =1+ i, z 2 =1 - i 3, z 3 = 1+i 1-i · 2 , z 4 = cos 3π 2 + i sin 3π 2 , z 5 = (1+ i)(1 - i 3). Να ρεθούν : α) τα πραγματικά και τα ϕανταστικά μέρη τους, ) τα μέτρα και οι πρωτεύουσες τιμές των ορισμάτων τους. Να παρασταθούν με τη μορφή z = re και να γίνει η γεωμετρική παράσταση τους στο z -επίπεδο.

Transcript of ΑσκήσειςΜαθηµατικώνΜεθόδωνΦυσικήςΙ 0.1 ...˜έματα...0.1....

0.1. ΑΣΚ�ΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑ�ΙΟΥ 1 1

Ασκήσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής Ι

0.1 Ασκήσεις Κεφαλαίου 1

Κατά τη λύση των ασκήσεων επάνω στους µιγαδικούς αριθµούς είναι χρήσιµο να έχουµε υπόψη ότι έναςµιγαδικός αριθµός µπορεί να παρασταθεί µε τις παρακάτω µορφές:

z = (x, y) = x + iy = r(cos θ + i sin θ) = reiθ , x, y, r, θ ∈ R

όπου:i2 = −1, r = |z| =

√x2 + y2, cos θ =

x

r, sin θ =

y

r

Η µορφή z = (x, y) µας λέει ότι ένας µιγαδικός αριθµός µπορεί να παρασταθεί µ’ ένα σηµείο του z−επιπέδουµε καρτεσιανές συντεταγµένες (x, y) ή µ’ ένα διάνυσµα του z−επιπέδου που έχει αρχή την αρχή των αξόνωνκαι πέρας το σηµείο (x, y).Με τη µορφή z = x+ iy µπορούµε να κάνουµε άφοβα τις πράξεις της ΄Αλγεβρας ϑέτοντας όπου i2 = −1. Είναι

καλό να ϑυµόµαστε ότι ισχύουν οι σχέσεις: in =

1, n = 4ki, n = 4k + 1

−1, n = 4k + 2−i, n = 4k + 3, k ∈ N

.

Η τρίτη µορφή του µιγαδικού αριθµού και (κυρίως) η τέταρτη (z = reiθ) ϐοηθούν στις πράξεις του πολλα-πλασιασµού, της διαιρέσεως, των δυνάµεων και των ϱιζών. Το µέτρο r δηλώνει την απόσταση του µιγαδικούαριθµού z = (x, y) από την αρχή των αξόνων και η γωνία θ (πρωτεύουσα τιµή του ορίσµατος του z) είναι ηγωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα που έχει αρχή την αρχή των αξόνων και πέρας το σηµείο z = (x, y) µε τοϑετικό πραγµατικό άξονα. Ισχύουν οι παρακάτω τύποι:

z1z2 = r1r2 ei(θ1+θ2),z1

z2=

r1

r2ei(θ1−θ2), zn = rneinθ

z1/n = r1/n ei(θ+k2π)/n, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1

Τέλος ενώ δύο µιγαδικοί αριθµοί µπορούν να είναι ίσοι ή να µην είναι ίσοι, δεν έχει έννοια να γράψουµεσχέσεις ανισότητας µεταξύ δύο µιγαδικών αριθµών.

0.1.1 ΄Αλυτες ασκήσεις

1. Να δειχτούν αλγεβρικά οι παρακάτω σχέσεις:

α) |z| ≥ |Re z| ≥ Re z , |z| ≥ |Im z| ≥ Im z, Arg(z1z2) = Arg z1 + Arg z2

β) zz∗ = |z|2 , |z∗| = |z| , |z1z2| = |z1||z2|

γ) |z1 − z2| ≥∣∣∣|z1| − |z2|

∣∣∣, |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|, δ)

∣∣∣∣∣n∑

k=1

zk

∣∣∣∣∣ ≤n∑

k=1

|zk|, (n = 1, 2, 3, · · · )

2. Να δειχτεί ότι το τρίγωνο µε κορυφές τα σηµεία: z1 = 1 + i2, z2 = 4− i2, z3 = 1− i6 είναι ισοσκελές καινα ϐρεθούν τα µήκη των πλευρών του.

3. Αν οι µιγαδικοί αριθµοί z1, z2, z3 ικανοποιούν τις συνθήκες: |z1| = |z2| = |z3| και z1 + z2 + z3 = 0, ναδειχτεί ότι αυτοί απεικονίζονται στο z−επίπεδο στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.

4. ∆ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί : z1 = 1 + i, z2 = 1 − i√

3, z3 =(

1+i1−i

)2, z4 = cos 3π

2 + i sin 3π2 , z5 =

(1+i)(1−i√

3). Να ϐρεθούν : α) τα πραγµατικά και τα ϕανταστικά µέρη τους, ϐ) τα µέτρα και οι πρωτεύουσεςτιµές των ορισµάτων τους. Να παρασταθούν µε τη µορφή z = reiθ και να γίνει η γεωµετρική παράσταση τουςστο z−επίπεδο.

2

5. Να δειχτεί ότι, αν το διάνυσµα που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό z (στο z−επίπεδο) περιστραφεί κατά90o γύρω από την αρχή, γίνεται το διάνυσµα που αντιστοιχεί στο µιγαδικό αριθµό iz.

6. Αν z = x + iy, να ϐρεθούν οι τιµές των πραγµατικών αριθµών x και y που ικανοποιούν τις εξισώσεις:α) x + 2y + 3 = i(1 + y − 3x), ϐ) z = 3z∗ , γ) |z + i| = |z − i|, δ) |z − 1| = 3|z − 2|,ε) 4 ≤ |z − 1|+ |z + 1| ≤ 8.

7. Να δειχτεί ότι η παράσταση: fn(z) = (cos α + z sinα)n − cosnα− z sinnα, έχει ϱίζες τα σηµεία: z = ±i.

8. Να δειχτεί ότι: α) (1 + i√

3)−10 = 2−11(−1 + i√

3), ϐ)(

1− i

1 + i

)8

= 1, γ) (√

3 − 3i)6 = 123,

δ) 12i

[ 1(1− i)n

− 1(1 + i)n

]=

12n/2

sinnπ

4.

9. Να δειχτεί ότι: α) Αν (cos θ + i sin θ)n = 1 τότε (cos θ− i sin θ)n = 1 , ϐ)(1 + i tan θ

1− i tan θ

)n=

(1 + i tannθ

1− i tannθ

)

10. Να δειχτούν οι σχέσεις: cos(2kθ) =k∑

r=0

(−1)r(2k2r

)sin2r θ cos2(k−r) θ

sin(2kθ) =k∑

r=0

(−1)r( 2k2r + 1

)sin2r+1 θ cos2k−(2r+1) θ

Υπόδειξη. Στο δεξιό µέλος του τύπου του De Moivre: cos nθ + i sin nθ = (cosnθ + i sin nθ)n, χρησιµοποιήστε τον τύπο

του διωνύµου: (x + y)n =n∑

r=0

(nr

)xryn−r, όπου

(nr

)=

n!r!(n− r)!

. Θέστε n = 2k και εξισώστε τα πραγµατικά και τα

ϕανταστικά µέρη των δύο µελών της εξισώσεως.

11. Χρησιµοποιώντας την εκθετική µορφή των µιγαδικών αριθµών, να δειχτεί ότι:

α) 12 + cos θ + cos 2θ + · · ·+ cos kθ = sin(k + 1

2)θ/2 sin 12θ

ϐ) sin θ + sin 2θ + · · ·+ sin kθ = 12 cot 1

2θ − cos(k + 12)θ/2 sin 1

γ) cos θ + cos 3θ + · · ·+ cos (2n− 1)θ = sin 2nθ/2 sin θ

δ) sin θ + sin 3θ + · · ·+ sin (2n− 1)θ = sin2 nθ/ sin θ

Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε τη γνωστή σχέση που δίνει το άθροισµα των όρων µιας γεωµετρικής προόδου: 1+ z + z2 +· · ·+ zn = zn+1−1

z−1 . Θέστε z = eiθ και εξισώστε τα πραγµατικά και τα ϕανταστικά µέρη των δύο µελών της εξισώσεως.

12. Να αποδειχτεί ο τύπος (1.30) που δίνει την τετραγωνική ϱίζα ενός µιγαδικού αριθµού, z = α + iβ.

Υπόδειξη. Θέστε α + iβ = (x + iy)2 και προσδιορίστε κατάλληλα τα x και y.

13. Να δειχτεί ότι αν z = r(cos θ + i sin θ) και m, n ακέραιοι αριθµοί πρώτοι µεταξύ τους, τότε:

(zm)1/n = (z1/n)m = n√

rm[cos

(mn (θ + k2π)

)+ i sin

(mn (θ + k2π)

)]

14. Να ϐρεθούν οι ϱίζες των εξισώσεων:

α) zn − 1 = 0 , ϐ) zn + 1 = 0 , γ) zn − i = 0 , δ) zn + i = 0 ,ε) zn + (1 + i) = 0 , στ) z∗ = zn−1 , n ∈ N

και να τοποθετηθούν στο z−επίπεδο, όταν n = 3 και n = 4.

15. Να δειχτεί ότι το άθροισµα των n το πλήθος ϱιζών (z1/n, n ∈ N) ενός µιγαδικού αριθµού είναι µηδέν.Υπόδειξη. Οι n ϱίζες του z είναι: z1/n = n

√r ei θ+k2π

n = n√

r ei θn ei k2π

n , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Η πρόσθεση των n ϱιζώνδίνει:

S = n√

r ei θn

[1 + ei 2π

n + ei 4πn + · · ·+ ei

(n−1)2πn

]

0.2. ΑΣΚ�ΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑ�ΙΟΥ 2 3

Το άθροισµα της αγκύλης είναι το άθροισµα των όρων µιας γεωµετρικής προόδου, που είναι τω−αω−1 όπου α = 1,

τ = ei(n−1)2π

n και ω = ei 2πn .

16. Να δειχτεί ότι: sinπ

nsin

n· · · sin

(n− 1)πn

=n

2n−1.

Υπόδειξη. Επειδή οι ϱίζες της εξισώσεως zn − 1 = 0, είναι: zk = ei k2πn , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1, το πολυώνυµο zn − 1

γράφεται: zn−1 = (z−1)(z−ei 2π

n

) · · · (z−ei(n−1)2π

n

). Χρησιµοποιήστε τη γνωστή σχέση zn−1

z−1 = 1+z+z2 + · · ·+zn−1

και στην εξίσωση που ϑα προκύψει, ϑέστε z = 1 για να οδηγηθείτε στη σχέση: n =n−1∏

k=1

(1 − ei k2π

n

). Πολλαπλασιάστε

τη σχέση αυτήν µε τη συζυγή της και λάβετε υπόψη ότι sin kπn > 0 για k = 1, 2, . . . , n− 1.

17. Αν A0, A1, . . . , An−1 είναι οι κορυφές κανονικού πολυγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας ίσης µετη µονάδα, να δειχτεί ότι:

(A0A1)(A0A2) · · · (A1An−1) = n

Υπόδειξη. Αντιστοιχείστε τις κορυφές του κανονικού πολυγώνου µε τις n ϱίζες της µονάδας, που είναι: z0 = e0 = 1,z1 = ei2π/n, . . ., zn−1 = ei(n−1)2π/n. Γράψτε το αριστερό µέλος της προς απόδειξη σχέσης µε τη µορφή

(A0A1)(A0A2) · · · (A1An−1) = |z0 − z1||z0 − z2| · · · |z0 − zn−1| =n−1∏

k=1

∣∣∣1− eik2π/n∣∣∣

και συνεχίστε όπως και στην προηγούµενη άσκηση.

18. Θεωρήστε τις συνιστώσες Lx, Ly, Lz του τελεστή της στροφορµής: L = −i~r × ∇, δηλαδή: Lx =

−i~(y ∂

∂z − z ∂∂y

), Ly = −i~

(z ∂

∂x − x ∂∂z

)και Lz = −i~

(x ∂

∂y − y ∂∂x

).

Εξηγήστε γιατί ισχύει: (Lx + iLy)∗ 6= (Lx − iLy);

0.2 Ασκήσεις Κεφαλαίου 2

Κατά τη λύση των ασκήσεων επάνω στις µιγαδικές συναρτήσεις πρέπει να ϑυµόµαστε ότι:• Μια µιγαδική συνάρτηση µπορεί πάντα να γραφεί µε τις µορφές:

w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = R(x, y) eiφ(x,y)

όπου u(x, y), v(x, y), R(x, y) και φ(x, y) είναι πραγµατικές συναρτήσεις των πραγµατικών µεταβλητών x καιy.• Η γραφική παράσταση µιας µιγαδικής συναρτήσεως γίνεται σε δύο επίπεδα. Το z−επίπεδο όπου παίρνειτιµές η ανεξάρτητη µεταβλητή και το w−επίπεδο όπου παίρνει τιµές η συνάρτηση.

• Ορισµός της εκθετικής συναρτήσεως: ez = ex eiy = ex(cos y + i sin y) .

Οι ϐασικές ιδιότητες της ez είναι: |ez| = ex και arg(ez) = y + k2π , k = 0± 1,±2, . . .

ez1 ez2 = ez1+z2 ,ez1

ez2= ez1−z2 , (ez)n = enz

Η συνάρτηση ez δεν µηδενίζεται πουθενά και είναι περιοδική µε περίοδο i2nπ, όπου n ακέραιος. Επίσης:eiπ/2 = i, eiπ = −1, ei3π/2 = −i, ei2nπ = 1, n = 0,±1,±2, . . .

• Ορισµός των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων: cos z =12(eiz + e−iz), sin z =

12i

(eiz − e−iz) κλπ.

• Ορισµός των και υπερβολικών συναρτήσεων: cosh z =12(ez + e−z), sinh z =

12(ez − e−z) κλπ.

4

Οι συναρτήσεις cos z και sin z έχουν άπειρες ϱίζες που ϐρίσκονται επάνω στον πραγµατικό άξονα. Οι συναρ-τήσεις cosh z και sinh z έχουν άπειρες ϱίζες που ϐρίσκονται επάνω στο ϕανταστικό άξονα:

sin z = 0 ⇒ z = nπ και cos z = 0 ⇒ z = (2n + 1)π

2, n = 0,±1,±2, . . .

sinh z = 0 ⇒ z = inπ και cosh z = 0 ⇒ z = i(2n + 1)π

2, n = 0,±1,±2, . . .

Για τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ισχύουν όλες οι τριγωνοµετρικές ταυτότητες, π.χ.:Σηµείωση. Τα µέτρα των συναρτήσεων cos z και sin z µπορούν να παίρνουν τιµές στο διάστηµα [0,∞)!

• Ορισµός του λογαρίθµου: ln z = Ln r + i(θ + k2π), k = 0,±1,±2, . . . , r = |z|, θ = Arg z .

• Ορισµός µη ϱητών δυνάµεων: zc = ec ln z = ec[Ln|z|+i(θ+k2π)] = ec[Ln|z|+iθ] eick2π, k = 0,±1,±2, . . .Η συνάρτηση zc είναι µονότιµη συνάρτηση όταν c = 0,±1,±2, . . ., πλειότιµη συνάρτηση µε n κλάδους ότανc = m/n και m,n ακέραιοι αριθµοί πρώτοι µεταξύ τους και πλειότιµη συνάρτηση µε άπειρο αριθµό κλάδωνόταν c = m/n =άρρητος αριθµός ή µιγαδικός αριθµός.

0.2.1 ΄Αλυτες ασκήσεις

1. Να ϐρεθεί τι παριστάνουν στο µιγαδικό επίπεδο τα σηµεία που καθορίζονται από τις σχέσεις:

α) |z − 1 + i| = 2, ϐ) 1 <| z |< 2, γ) |z + i| > 2, δ) 1|z| < 2,

ε)∣∣∣ z+1z−1

∣∣∣ = 1, στ) Im z < 0, Ϲ) 0 ≤ Im z ≤ 1, η)Re z ≥ 1,

ϑ)Re z2 = 4, ι)Re 1z = 1

4 ια) z − z∗ = 2i, ιβ) z2 = (z∗)2

2. Να εκφραστούν οι παρακάτω συναρτήσεις µε τη µορφή, f(z) = u(x, y) + iv(x, y):

f1(z) =z − i

z + i, f2(z) =

1z2 + i

, f3(z) =1

zz∗, f4(z) = z +

1z,

f5(z) = sin z, f6(z) = sinh z, f7(z) = cosh z, f8(z) = tan z

3. Να αποδειχτούν οι παρακάτω ιδιότητες της εκθετικής συναρτήσεως:α) Είναι περιοδική µε περίοδο in2π, n =ακέραιος.ϐ) ez∗ = (ez)∗ και eiz∗ 6= (eiz)∗ για z 6= nπ, όπου n = 0,±1,±2, . . .

γ) ez1ez2 = ez1+z2 , ez1/ez2 = ez1−z2 , (ez)m = emz, (m=ακέραιος).

4. Να δειχτεί ότι η συνάρτηση ez δεν έχει καµιά ϱίζα. Επίσης να δειχτεί ότι |eimz| ≥ 1 όταν Imz ≤ 0 καιm ≥ 0.

5. Να ϐρεθεί η περιοχή του z−επιπέδου για την οποία ισχύει η σχέση |e−2z| < 1.6. Να δειχτεί ότι: |e2z+i + eiz2 | ≤ e2x + e−2xy.

7. Να εξεταστεί η συµπεριφορά των συναρτήσεων: ex+iy όταν x → −∞ και e2+iy όταν y →∞.

8. Να ϐρεθούν οι εικόνες των σηµείων των σκιασµένων τόπων του z−επιπέδου των παρακάτω σχηµάτων, µετο µετασχηµατισµό f(z) = ez:

F E iπ D

CBA

z-

x

y

(α)(α)(α)(α)

Eiπ

D

C

BA

z-

x

y

(β)(β)(β)(β) F

Eiπ

D

C

BA

z-

x

y

(γ)(γ)(γ)(γ)

9. Να λυθεί η εξίσωση:n∏

k=1

(cos kx + i sin kx) = 1.

Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε τον τύπο του Euler eiθ = cos θ + i sin θ και τη γνωστή σχέση που δίνει το άθροισµα τωνόρων µιας αριθµητικής προόδου: 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)

2 .

0.2. ΑΣΚ�ΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑ�ΙΟΥ 2 5

10. Να δειχτεί ότι: α) αν: (cos z+ i sin z)n = 1 τότε: (cos z− i sin z)n = 1, ϐ)(

1 + i tan z

1− i tan z

)n

=1 + i tan nz

1− i tan nz.

11. Χρησιµοποιώντας πολικές συντεταγµένες να δειχτεί ότι ο µετασχηµατισµός f(z) = z + 1z απεικονίζει τον

κύκλο |z| = 1 του z−επιπέδου στο ευθύγραµµο τµήµα [−2, 2] του w−επιπέδου.

12. Πως απεικονίζονται στο w−επίπεδο οι ευθείες: x = C1 και y = C2 µε το µετασχηµατισµό f(z) = sin z ;

13. Να δειχτούν οι σχέσεις: sin(−z) = − sin z, cos(−z) = cos z,sin(z + π) = − sin z, cos(z + π) = − cos z,sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2,cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2

14. Να δειχτούν οι σχέσεις: sin z = sin x cosh y + i cosx sinh y, | sin z|2 = sin2 x + sinh2 y,cos(iz) = cosh z, sin(iz) = i sinh z,| sinh y| ≤ | sin z| ≤ cosh y, | sinh y| ≤ | cos z| ≤ cosh y.

15. Να ϐρεθούν και να παρασταθούν στο z−επίπεδο, οι ϱίζες των συναρτήσεων:

f1(z) = sin z, f2(z) = cos z, f3(z) = sinh z, f4(z) = cosh z

16. Να ϐρεθούν και να παρασταθούν στο z−επίπεδο οι ϱίζες των εξισώσεων:

α) ez = −2, ϐ) ez = 1 + i√

3, γ) e2z−1 = 1, δ) z4 + i = 0,ε) cos z = 2, στ) cosh z = 1

2 , Ϲ) tan(iz) = 0, η) sin2 z = 0,ϑ) sinh z = −i, ι) cos z = i sinh 2z, ια) tan z = 1

17. Η εξίσωση: tan z = ±i έχει λύσεις;

18. Για τη ‘‘συνάρτηση” f(z) = zc = ec ln z να δειχτεί ότι είναι: α) µονότιµη συνάρτηση όταν c =ακέραιοςαριθµός, ϐ) πλειότιµη συνάρτηση µε πεπερασµένο αριθµό κλάδων όταν c = m

n (m,n πρώτοι αριθµοί), γ)πλειότιµη συνάρτηση µε άπειρο αριθµό κλάδων όταν c =άρρητος ή µιγαδικός αριθµός.

19. Να ϐρεθούν οι τιµές των δυνάµεων: i1/2, (1 + i)1−i, 2i.

20. Να δειχτεί ότι :ln(z1z2) = ln |z1|+ln |z2|+ i(Arg z1 +Arg z2 +2kπ), k = 0,±1,±2, . . . και εποµένως εν γένει είναι ln(z1z2) 6=ln z1 + ln z2 και ln zm 6= m ln z.

21. Πότε ισχύουν οι σχέσεις: zbzc = zb+c, (z1z2)c = zc1z

c2, (zb)c = zbc, όταν z, z1, z2, b και c ∈ C;

22. Ορίζοντας τις αντίστροφες τριγωνοµετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις µιας µιγαδικής µεταβλητής zµε τον ίδιο τρόπο που ορίζονται και οι αντίστοιχες πραγµατικές συναρτήσεις, δείξτε ότι :

sin−1 z =1i

ln(iz +√

1− z2), cos−1 z =1i

ln(z +√

z2 − 1),

tan−1 z =12i

ln(

1 + iz

1− iz

), cot−1 z =

12i

ln(

z + i

z − i

),

sinh−1 z = ln(z +√

1 + z2), cosh−1 z = ln(z +√

z2 − 1),

tanh−1 z =12

ln(

1 + z

1− z

), coth−1 z =

12

ln(

z + 1z − 1

)

23. Να µονοσηµαντοποιηθεί η συνάρτηση f(z) = ln[(1 + z)/(1− z)] αν f(i) = iπ/2.

24. Να ϐρεθούν οι κλάδοι της συναρτήσεως f(z) = zi. Να µονοσηµαντοποιηθεί αυτή αν f(1) = 1.

6

25. Στην κβαντική ϑεωρία του ϕωτοϊονισµού συναντάται η σχέση:(

iy − 1iy + 1

= e−2λ cot−1 y

όπου λ, y πραγµατικοί αριθµοί. Να αποδειχτεί αυτή η σχέση.26. Να δείξετε, χρησιµοποιώντας µιγαδικές παραστάσεις, ότι, όταν τα κύµατα: y1(x, t) = A cos(kx + ωt) καιy2(x, t) = A cos(kx− ωt + π) συναντηθούν σε ένα σηµείο του χώρου, προκύπτει το “στάσιµο κύµα”:

y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = −2A sin kx sinωt

27. Η κυµατοσυνάρτηση ενός σωµατίου είναι: Ψ(x, t) = 1+ix1+ix2 e−iEt/~.

α) Να κανονικοποιηθεί η κυµατοσυνάρτηση αυτή. ϐ) Να γίνει η γραφική παράσταση της πυκνότητας πιθα-νότητας. γ) Να ϐρεθεί η ϑέση στην οποία είναι το πιο πιθανό να ϐρεθεί το σωµάτιο.28. Οι συναρτήσεις ψ1(x, t) = c1ei(kx−E1t/~) και ψ2(x, t) = c2ei(kx−E2t/~), είναι οι κυµατοσυναρτήσεις δύοεπιπέδων υλοκυµάτων. Να δειχτεί ότι: |ψ12(x, t)|2 = |ψ1 + ψ2|2 = |c1|2 + |c2|2 + 2Re(c1c

∗2) cos

(E2−E1~ t

)

0.3 Ασκήσεις Κεφαλαίου 3

• Ορισµός της παραγώγου µιας µιγαδικής συναρτήσεως: f ′ (z0) ≡ lim∆z→0

∆w

∆z= lim

∆z→0

f (z0 + ∆z)− f (z0)∆z

Η µεταβλητή z = z0 +∆z µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή στην περιοχή του z0, στην οποία η f(z) υπάρχεικαι η µεταβολή ∆z µπορεί να πλησιάσει το µηδέν κατά µήκος οποιουδήποτε από τους άπειρους δρόµουςπου ενώνουν τα σηµεία z και z0.• Θεώρηµα−συνθήκες Cauchy-Riemann και έκφραση της παραγώγου:

Α. Καρτεσιανές συντεταγµένες: ∂u

∂x=

∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x, f ′ (z) =

∂f

∂x= −i

∂f

∂y

Β. Πολικές συντεταγµένες: ∂u

∂r=

1r

∂v

∂θ,

∂v

∂r= −1

r

∂u

∂θ, f ′(z) =

1iz

∂f

∂θ=

r

z

∂f

∂r

• Ισχύουν οι ίδιοι κανόνες παραγωγίσεως που ισχύουν και στις πραγµατικές συναρτήσεις καθώς και ο κανόναςτου L’ Hospital.

• Αν η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική τότε: ∂f

∂z= f ′(z) και ∂f

∂z∗= 0. ∆ηλαδή, οι αναλυτικές

συναρτήσεις είναι συναρτήσεις µόνο του z και όχι του z∗.• Αν οι συναρτήσεις f(z) και g(z) είναι αναλυτικές σ’ έναν τόπο τότε είναι αναλυτικές και οι συναρτήσεις:f(z)± g(z), f(z) g(z) και f(z)/g(z) εφόσον g(z) 6= 0.

• Για την εύρεση της παραγώγου µιας µιγαδικής συναρτήσεως µπορούµε να ακολουθήσουµε τους παρακάτωτρόπους:1. Από τον ορισµό της παραγώγου.2. Από το ϑεώρηµα των Cauchy-Riemann. Το ϑεώρηµα αυτό είναι πολύ χρήσιµο και για τη διαπίστωση τηςµη αναλυτικότητας µιας µιγαδικής συναρτήσεως.3. Αν γνωρίζουµε τις παραγώγους µερικών ϐασικών συναρτήσεων µποϱούµε να ϐρούµε τις παραγώγους άλλωνσυναρτήσεων που προκύπτουν από αυτές χρησιµοποιώντας τους κανόνες παραγωγίσεως, όπως ακριβώς καιστις πραγµατικές συναρτήσεις.• Αν η συνάρτηση f(z) = u(x, y) + iv(x, y) είναι αναλυτική τότε οι συναρτήσεις u(x, y) και v(x, y) λέγονταισυζυγείς αρµονικές και ικανοποιούν την εξίσωση του Laplace στο επίπεδο.• Αν η συνάρτηση u(x, y) είναι αρµονική µπορεί να ϐρεθεί µια οικογένεια συζυγών αρµονικών µε τη ϐοήθειατου τύπου:

v (x, y) =∫ (x,y)

(x0,y0)− ∂u

∂y′dx′ +

∂u

∂x′dy′ + c (1)

0.3. ΑΣΚ�ΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑ�ΙΟΥ 3 7

0.3.1 ΄Αλυτες ασκήσεις

1. Να δειχτούν οι σχέσεις: α) ddz [f (z) g (z)] = f ′ (z) g (z) + f (z) g′ (z)

ϐ)d

dz

[f (z)g (z)

]=

f ′ (z) g (z)− f (z) g′ (z)[g (z)]2

, γ) d

dzf (g (z)) =

df

dg

dg

dz

2. Να δειχτεί ότι η συνάρτηση f(z) = |z|2 έχει παράγωγο µόνο στο σηµείο z = 0. Μπορούµε να πούµε ότι ηf(z) είναι αναλυτική στο σηµείο z = 0;

3. Να δειχτεί ότι : α) ddz (c) = 0, ϐ) d

dz cos z = − sin z, γ) ddz tan z = 1

cos2 z,

δ) ddz cot = − 1

sin2 z, ε) d

dz sinh z = cosh z στ) ddz cosh z = sinh z,

Ϲ) ddz tanh z = 1

cosh2 z, η) d

dz coth z = − 1sinh2 z

, ϑ) ddzaz = az ln a

4. Χρησιµοποιώντας τις συνθήκες Cauchy-Riemann να ϐρεθούν οι περιοχές του z−επίπεδου όπου οι παρα-κάτω συναρτήσεις είναι αναλυτικές:

f1 = i + sin z, f2 = ez2, f3 = |z|Re z, f4 =

3z − 13− z

, f5 = z +1z

5. Να εξεταστεί ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες (και που) και να ϐρεθεί η παράγω-γός τους, όπου υπάρχει:

f1 = 2x + i3y2, f2 = x + iy2, f3 = cos y − i sin yf4 = x2 − iy2, f5 = x2 + iy2, f6 = sin x cosh y + i cosx sinh y

6. Να δειχτεί ότι αν µια αναλυτική συνάρτηση είναι πραγµατική στο εσωτερικό ενός τόπου, τότε αυτή είναιµια σταθερά.

7. Να δειχτεί ότι αν η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική τότε ισχύουν οι σχέσεις: ∂f∂z = f ′(z) και ∂f

∂z∗ = 0Υπόδειξη. Επειδή x = 1

2 (z + z∗) και y = 12i (z − z∗), µια µιγαδική συνάρτηση f(z) = u(x, y) + iv(x, y) µπορεί να

ϑεωρηθεί ως συνάρτηση των z και z∗ που λέγονται µιγαδικές συζυγείς συντεταγµένες. ∆ηλαδή f = u(z, z∗) + iv(z, z∗).Με τη ϐοήθεια των µερικών παραγώγων: ∂u

∂z∗,

∂v

∂z∗και ∂x

∂z∗=

12

,∂y

∂z∗= − 1

2i, διαπιστώστε ότι:

∂f

∂z∗=

12

(∂u

∂x− ∂v

∂y

)+ i

12

(∂u

∂y+

∂v

∂x

).

8. Να δειχτεί ότι σε πολικές συντεταγµένες οι συνθήκες Cauchy-Riemann και η παράγωγος γράφονται:

∂u

∂r=

1r

∂v

∂θ,

∂v

∂r= −1

r

∂u

∂θ, f ′(z) =

1iz

∂f

∂θ=

r

z

∂f

∂r

Υπόδειξη. 1ος τρόπος. Εκφράστε τα x, y και τις µερικές παραγώγους ∂u∂x , ∂u

∂y , ∂v∂x , ∂v

∂y σε πολικές συντεταγµένες καιαντικαταστήστε στις συνθήκες Cauchy - Riemann και στην έκφραση της παραγώγου σε καρτεσιανές συντεταγµένες.

2ος τρόπος. Εκφράστε το λόγο ∆w∆z σε πολικές συντεταγµένες (z = r eiθ):

∆w

∆z=

f(r + ∆r, θ + ∆θ)− f(r, θ)∆z

καιεξετάστε τις περιπτώσεις: α) ∆z → 0 : ∆r → 0 και ∆θ = 0, οπότε ∆z = eiθ∆r. ϐ) ∆z → 0 : ∆r = 0 και ∆θ → 0,οπότε ∆z = ir eiθ∆θ. Στη συνέχεια ακολουθήστε την πορεία που ακολουθούµε στην περίπτωση των καρτεσιανώνσυντεταγµένων.

9. Μια συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική στον τόπο R που δεν περιέχει το σηµείο z = 0. Αν f(z) = u(r, θ) +iv(r, θ), δείξτε ότι οι συναρτήσεις u και v ικανοποιούν την εξίσωση του Laplace σε πολικές συντεταγµένες:

r2 ∂2u

∂r2+ r

∂u

∂r+

∂u2

∂θ2= 0, r2 ∂2v

∂r2+ r

∂v

∂r+

∂2v

∂θ2= 0

εφόσον όλες οι µερικές παράγωγοι των u και v είναι συνεχείς.

8

10. ∆ίνεται η συνάρτηση u(x, y) = 2x−x3+axy2. Να προσδιοριστεί η παράµετρος a, ώστε u(x, y) = Re f(z),όπου f(z) µια αναλυτική συνάρτηση.11. Να δειχτεί ότι κάθε αρµονική συνάρτηση, u(x, y), σε έναν απλά συνεκτικό τόπο D έχει µια οικογένειααρµονικών συζυγών συναρτήσεων που διαφέρουν µεταξύ τους κατά µια σταθερά. Συγκεκριµένα να δειχτεί ότιη οικογένεια των αρµονικών συζυγών δίνεται από τη σχέση:

v (x, y) =∫ (x,y)

(x0,y0)− ∂u

∂y′dx′ +

∂u

∂x′dy′ + c

Να γίνει εφαρµογή των παραπάνω, όταν u(x, y) = xy.12. ∆είξτε ότι η συνάρτηση u = e−x(x sin y − y cos y) είναι αρµονική συνάρτηση. Να ϐρεθεί επίσης ησυνάρτηση v, ώστε η f(z) = u + iv να είναι αναλυτική.13. Να δειχτεί ότι το πραγµατικό και το ϕανταστικό µέρος της συναρτήσεως f(z) = ln(z− a) είναι αρµονικέςσυναρτήσεις σε οποιονδήποτε τόπο που δεν περιέχει το σηµείο z = a (a ∈ R).14. ∆ίνεται η αναλυτική συνάρτηση f(z) = u(x, y) + iv(x, y). ∆είξτε ότι οι συναρτήσεις (καµπύλες) u(x, y) =C1 και v(x, y) = C2 όπου C1 και C2 είναι δύο σταθερές, είναι ορθογώνιες. ∆ηλαδή να δειχτεί ότι, ανz0 = x0 + iy0 είναι ένα κοινό σηµείο των δύο καµπυλών και αν f ′(z0) 6= 0, τότε τα εφαπτόµενα διανύσµατατων δύο καµπυλών στο σηµείο (x0, y0) είναι κάθετα µεταξύ τους.15. Αν f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = z2, να σχεδιαστούν οι καµπύλες u(x, y) = c1, και v(x, y) = c2 όταν:c1 = c2 = 0, c1 = c2 = ±1, c1 = c2 = ±2.16. Η µετατόπιση ενός σηµείου από την αρχή, ως συνάρτηση του χρόνου, δίνεται από την εξίσωση: z = r0 eiωt.Να δειχτεί ότι το σηµείο κινείται πάνω σε κύκλο ακτίνας r0 µε ταχύτητα v = r0 ω, που είναι κάθετη στηδιεύθυνση της ακτίνας και µε επιτάχυνση που έχει µέτρο a = v2/r0 = r0 ω2 και που διευθύνεται προς τοκέντρο του κύκλου.Υπόδειξη. Η µιγαδική συνάρτηση µιας πραγµατικής µεταβλητής: z = z (t) = x (t) +iy (t) , (ta ≤ t ≤ tb) περιγράφει στο z−επίπεδο µια καµπύλη µε καθορισµένη ϕορά,καθώς το t µεταβάλλεται από ta σε tb. Αν το όριο του λόγου:

∆z

∆t=

z (t + ∆t)− z (t)∆t

για ∆t → 0 υπάρχει, το όριο αυτό είναι ένα διάνυσµα εφαπτόµενο της καµπύλης C στοσηµείο P (ϐλέπε Σχ. 1) και είναι:

lim∆t→0

∆z

∆t=

dz

dt=

dx

dt+ i

dy

dt

z(t+∆ t

)y

x

C

z(t)

∆z=z(t+∆t) − z(t)

P

Σχήµα 1:

Αν η παράµετρος t παριστάνει το χρόνο, τότε η παράγωγος dz/dt παριστάνει την ταχύτητα του σηµείου z που κινείταιπάνω στην καµπύλη C. ΄Οµοια η δεύτερη παράγωγος d2z/d2t παριστάνει την επιτάχυνση.

17. Η µετατόπιση ενός σωµατίου από την αρχή ως συνάρτηση του χρόνου δίνεται από την εξίσωση: z =a cosωt + ib sinωt, όπου a, b και ω ϑετικές σταθερές. Να δειχτεί ότι το σωµάτιο κινείται πάνω σε µια έλλειψηµε ϕορά αντίθετη της ϕοράς των δεικτών του ωρολογίου. Να προσδιοριστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση τουσωµατίου καθώς και τα αντίστοιχα µέτρα τους.

0.4 Ασκήσεις Κεφαλαίου 4

• Το ολοκλήρωµα µιας µιγαδικής συναρτήσεως κατά µήκος ενός δρόµου C του z− επιπέδου, µε αρχή τοσηµείο a και πέρας το σηµείο b και παραµετρικές εξισώσεις των συντεταγµένων (x, y) ∈ C : x = x(t), y =y(t), z(t) = x(t) + iy(t), ta ≤ t ≤ tb µπορεί να οριστεί από τη σχέση:

S =∫

Cf(z)dz =

Cu dx− v dy + i

Cv dx + u dy (2)

0.4. ΑΣΚ�ΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑ�ΙΟΥ 4 9

που γράφεται και µε τη µορφή: S =∫

Cf(z)dz =

∫ tb

ta

f(z(t))z′(t) dt

Η µορφή αυτή του ολοκληρώµατος χρησιµοποιείται πολύ συχνά στην πράξη. Το ολοκλήρωµα της f(z) κατάµήκος ενός δρόµου C υπάρχει όταν αυτή είναι συνεχής ή κατά τµήµατα συνεχής ∀z ∈ C.

• Αν σ’ έναν τόπο που περιέχει το δρόµο C υπάρχει η παράγουσα συνάρτηση της f(z), f(z) = F ′(z), τότε η

τιµή του ολοκληρώµατος είναι:∫

Cf(z) dz =

∫ tb

ta

dF (z(t))dt

dt = F (b)− F (a)

• Στον υπολογισµό των ολοκληρωµάτων µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις ιδιότητες του ολοκληρώµατος.

Στη ϑεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων κεντρικό ϱόλο έχουν τα διάφορα ϑεωρήµατα του Cauchy.

• Θεώρηµα του Cauchy για απλά συνεκτικό τόπο:∮

Cf(z)dz = 0 .

Η f(z) είναι αναλυτική πάνω στον κλειστό δρόµο C και σε κάθε εσωτερικό σηµείο του C.

• Πόρισµα. Το ολοκλήρωµα της f(z) µεταξύ δύο σηµείων a και b είναι ανεξάρτητο από το δρόµο, εφόσοναυτή είναι αναλυτική στον τόπο που περικλείεται από δύο διαφορετικούς δρόµους που ενώνουν τα σηµείααυτά και πάνω στους δρόµους αυτούς.

• Σηµείωση 1. Πριν από τον υπολογισµό ενός ολοκληρώµατος πρέπει να εξετάζουµε πού είναι αναλυτικήη ολοκληρωτέα συνάρτηση. Αν υπάρχει κάποιος τόπος που περικλείει το δρόµο ολοκληρώσεως C και στονοποίο η ολοκληϱωτέα συνάρτηση είναι αναλυτική, τότε διαλέγουµε ως δρόµο ολοκληρώσεως τον πιο απλόδρόµο του τόπου που έχει τα ίδια συνοριακά σηµεία µε το C.

• Θεώρηµα του Cauchy για πολλαπλά συνεκτικό τόπο:∮

Cf(z) dz =

n∑

j=1

Cj

f(z) dz

Η f(z) είναι αναλυτική συνάρτηση στον κλειστό πολλαπλά συνεκτικό τόπο, που περιορίζεται εξωτερικά απότο δρόµο C και εσωτερικά από τους δρόµους C1, C2, . . . , Cn.

• Τύπος του Cauchy για απλά συνεκτικό τόπο: f (n)(z0) =n!2πi

C

f(z)(z − z0)n+1

dz , n = 0, 1, 2, . . .

Η f(z) είναι αναλυτική πάνω και µέσα στον κλειστό δρόµο C. Το σηµείο z0 είναι εσωτερικό σηµείο τουδρόµου C.

• Τύπος του Cauchy για πολλαπλά συνεκτικό τόπο:

f (n)(z0) =n!2πi

C

f(z)(z − z0)n+1

dz −n∑

j=1

C1

f(z)(z − z0)n+1

dz

Η f(z) είναι αναλυτική συνάρτηση στον κλειστό πολλαπλά συνεκτικό τόπο, που περιορίζεται εξωτερικά από τοδρόµο C και εσωτερικά από τους δρόµους C1, C2, . . . , Cn. Το σηµείο z0 είναι εσωτερικό σηµείο του δρόµουC και εξωτερικό σηµείο των δρόµων C1, C2, . . . , Cn.

Σηµείωση 2. Αν και η ϑεωρία του κεφαλαίου 4 είναι πολύ ϐασική δεν ϑα ασχοληθούµε µε πολλές ασκήσεις.Θεωρούµε ότι οι ϕοιτητές γνωρίζουν, από τα µαθήµατα των Γενικών Μαθηµατικών, να υπολογίζουν ολοκλη-ϱώµατα πραγµατικών συναρτήσεων κατά µήκος διαφόρων δρόµων. Επίσης όπως ϑα δούµε στο κεφάλαιο 6 ταολοκληρώµατα των αναλυτικών συναρτήσεων κατά µήκος κλειστών δρόµων υπολογίζονται πολύ πιο εύκολακαι κοµψά µε τη ϐοήθεια του ϑεωρήµατος των υπολοίπων.

10

0.4.1 ΄Αλυτες ασκήσεις

1. Να ϐρεθούν οι δρόµοι που ορίζονται από τις εξισώσεις:

α) z = 1− it, 0 ≤ t ≤ 2 , ϐ) z = t + it2, |t| < ∞,

γ) z = t +i

t, −∞ < t < 0 , δ) z = r eit, r > 0,

π

2≤ t ≤ 3π

2,

ε) z = t + i√

1− t2, |t| ≤ 1 , στ) z = a(t + i− ie−it), |t| < ∞, a > 0

2. Να αποδειχτεί ότι, αν η f(z) είναι ολοκληρώσιµη κατά µήκος ενός δρόµου C µε πεπερασµένο µήκος Lκαι αν υπάρχει ϑετικός αριθµός, max

z∈C|f(z)|, τότε:

∣∣∣∫

Cf(z) dz

∣∣∣ ≤∫

C|f(z)| |dz| ≤ max

z∈C|f(z)|L (Ανισότητα του Darboux).

3. Να υπολογιστεί ένα άνω ϕράγµα του ολοκληρώµατος∫

C

Ln z

z2dz όπου Ln z = Ln|z| + iθ, 0 < θ <

2π και C : z = reiθ.

4. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα∫ 2+4i

1+iz2 dz :

α) κατά µήκος της παραβολής x = t, y = t2 (1 ≤ t ≤ 2).ϐ) κατά µήκος της ευθείας γραµµής που ενώνει τα σηµεία z1 = 1 + i και z2 = 2 + 4i.γ) κατά µήκος της τεθλασµένης γραµµής από το σηµείο z1 = 1 + i στο σηµείο z2 = 2 + i και µετά στο σηµείοz3 = 2 + 4i.

5. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα∫

Czeiz dz, όπου C η ευθεία που ενώνει τα σηµεία z = −i και z = i.

6. Χρησιµοποιώντας την γνωστή σχέση∫ z

z0

ekzdz =1kekz + c0 ( c0 = σταθερά), που ισχύει για κάθε δρόµο

C που ενώνει τα σηµεία z0 και z, να δειχτεί ότι:

α)∫

eax cos bx dx =1

a2 + b2eax(a cos bx + b sin bx)

ϐ)∫

eax sin bx dx =1

a2 + b2eax(a sin bx− b cos bx)

Υπόδειξη. Να ϑέσετε k = a + ib, να διαλέξετε το δρόµο C πάνω στον πραγµατικό άξονα και να ολοκληρώσετε από x0

έως x.

7. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: α)∮

Ca

z∗ dz και ϐ)∮

Cb

(z/z∗) dz, όπου Ca και Cb οι κλειστοί δρόµοι

του Σχ. 2 .

2

Ca

x

y

0 2 -2 -1 0 1 20

1

2

x

y

CbΣχήµα 2:

8. Να δειχτεί ότι το ολοκλήρωµα 12πi

Czm−n−1 dz, όπου m,n ακέραιοι αριθµοί και C κλειστός δρόµος που

περικλείει την αρχή, είναι µια αναπαράσταση του δέλτα του Kronecker, δmn.

0.4. ΑΣΚ�ΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑ�ΙΟΥ 4 11

9. Να αποδειχτεί ο τύπος του Cauchy για έναν πολλαπλά συνεκτικό τόπο που περιορίζεται εξωτερικά από τοδρόµο C και εσωτερικά από τους δρόµους Cj :

f(z) =1

2πi

C

f(z′)z′ − z

dz′ −n∑

j=1

Cj

f(z′)z′ − z

dz′

10. Να δειχτεί ότι:∮

C

dz

z2 + z= 0, όπου C ο κύκλος |z| = R > 1.

11. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα:

α)∮

C(z5 − 3z + 2i) dz , C : |z| = 3, ϐ)

Cez cos z dz C :| z − 1 |= 1,

γ)∮

C

ez

z(z + 1)dz , C : |z − πi| = 1 , δ)

C

tan z(z − π

4

) dz , C : |z + πi| = 2

12. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα:

α)∮

C

dz

z2 − 1, C : x2 + y2 = 4 , ϐ)

C

e−z

z + 1dz , C : |z| = 2 ,

γ)∮

C

sin z

zdz , C : x2 + 4y2 = 1 , δ)

C

z2 + 4z − 1

dz , C : |z − 1| = 2

ε)∮

C

ez

z(z + 1)dz , C : |z − 1| = 3 , στ)

C

eπz

z(z + 1)dz , C : |z − i| = 3

13. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα:

α)∮

C

5z2 − 3z + 2(z − 1)3

dz , C : |z| = 2 , ϐ)∮

C

ez

(z2 − π2)2dz , C : |z| = 4

γ)∮

C

ez

(z2 − π2)2dz , C : |z − 1| = 5

2, δ)

C

eiz

z3dz , C : |z| = 1,

14. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα:

α)∮

|z|=1

tan z(z − π

4

)2 dz , ϐ)∮

|z−1|= 12

cot z

z(z − 1)dz , γ)

|z|= 32

tan z

z(z − 1)dz

15. Ξεκινώντας από τη γνωστή σχέση: ez =n!2πi

C

ez′

(z′ − z)n+1dz′, όπου C τυχαίος δρόµος που περικλείει

το σηµείο z, δείξτε ότι:∫ 2π

0eρ cos θ cos(ρ sin θ − nθ) dθ = 2π

ρn

n!

Υπόδειξη. Θεωρήστε ως C κύκλο µε κέντρο το σηµείο z και ακτίνα ρ.

16. ∆ίνεται ο κύκλος C µε κέντρο το σηµείο z0 και ακτίνα r και µια συνάρτηση f(z) που είναι αναλυτική στοεσωτερικό και πάνω στο C. Να δειχτεί:α) Η ανισότητα του Cauchy : |f (n)(z0)| ≤ Mn!

rn, n = 0, 1, 2, . . ., όπου |f(z)| ≤ M, ∀ z ∈ C.

ϐ) Το ϑεώρηµα της µέσης τιµής, του Gauss: f(z0) =12π

∫ 2π

0f(z0 + reiθ) dθ.

17. ∆είξτε ότι κάθε εξίσωση της µορφής: P (z) = a0 + a1z + · · · + anzn = 0 (n > 0, an 6= 0) έχει µιατουλάχιστον ϱίζα.Υπόδειξη. Να γραφεί κατάλληλα το πολυώνυµο και να εφαρµοστεί το ϑεώρηµα του Liouville.

12

0.5 Ασκήσεις Κεφαλαίου 5

• Θεώρηµα Taylor. Αν η f(z) είναι αναλυτική στο εσωτερικό του κύκλου C0 : |z − z0| < R, τότε για κάθεεσωτερικό σηµείο του κύκλου µπορεί να αναπαρασταθεί ως δυναµοσειρά της µορφής:

f(z) =∞∑

n=0

An(z − z0)n, |z − z0| < R όπου An =f (n)(z0)

n!(3)

Σηµείωση 1. Η ακτίνα συγκλίσεως της σειράς Taylor (δηλαδή η µεγαλύτερη ακτίνα που µπορεί να έχει οκύκλος C0) είναι η απόσταση του σηµείου z0 από το πιο κοντινό ανώµαλο σηµείο της f(z).Σηµείωση 2. Η αναπαράσταση µιας συναρτήσεως σε σειρά Taylor στην περιοχή του οµαλού σηµείου z = z0

είναι µόνο µια.Σηµείωση 3. Για την εύρεση του αναπτύγµατος Taylor της αναλυτικής συναρτήσεως f(z) στο εσωτερικό τουκύκλου C0 : |z−z0| < R, µπορούµε να ακολουθήσουµε διάφορους τρόπους, µερικοί από αυτούς αναφέρονταιπαρακάτω:

• Βρίσκουµε τις παραγώγους όλων των τάξεων της f(z) στην περιοχή του οµαλού σηµείου της z = z0 καιαντικαθιστούµε στον τύπο (3).• Χρησιµοποιούµε κατάλληλους µετασχηµατισµούς σε γνωστά αναπτύγµατα Taylor άλλων συναρτήσεων. Αυ-τός ο τρόπος χρησιµοποιείται πολύ συχνά στην πράξη. Πρέπει να προσέχουµε όµως ότι έχει ϐρεθεί τοανάπτυγµα στην περιοχή του οµαλού σηµείου z0 και όχι σε κάποιο άλλο οµαλό σηµείο της f(z).• Παραγωγίζουµε ή ολοκληρώνουµε γνωστά αναπτύγµατα Taylor άλλων συναρτήσεων.

• Θεώρηµα Laurent. Αν η f(z) είναι αναλυτική στο εσωτερικό του δακτυλίου r < |z − z0| < R, τότε σεκάθε εσωτερικό σηµείο του δακτυλίου µπορεί να αναπαρασταθεί ως δυναµοσειρά της µορφής:

f(z) =∞∑

n=−∞An(z − z0)n , r < |z − z0| < R , An =

12πi

C

f(z′) dz′

(z′ − z0)n+1n = 0,±1,±2, . . . (4)

όπου C τυχαίος κλειστός δρόµος του δακτυλίου που περικλείει τον εσωτερικό κύκλο.Παρατήρηση. Στην περίπτωση που η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε κάθε σηµείο µέσα στον κύκλο CR

εκτός από το σηµείο z0, η ακτίνα r µπορεί να πάρει οσοδήποτε µικρή τιµή και το ανάπτυγµα (4) ισχύει για0 < |z − z0| < R.Σηµείωση 4. Η αναπαράσταση µιας συναρτήσεως f(z) σε σειρά Laurent στο εσωτερικό ενός δακτυλίουείναι µόνο µια. Η παρατήρηση αυτή µας ϐοηθάει πολλές ϕορές να ϐρούµε τη σειρά Laurent της f(z), χωρίςνα χρησιµοποιήσουµε τον τύπο (4), που δίνει τους συντελεστές του αναπτύγµατος.Σηµείωση 5. Για την εύρεση του αναπτύγµατος Laurent µιας αναλυτικής συναρτήσεως στο εσωτερικό τουδακτυλίου r < |z− z0| < R µπορούµε να ακολουθήσουµε διάφορους τρόπους, όπως και στην περίπτωση τουαναπτύγµατος Taylor. ∆ύο από αυτούς τους τρόπους αναφέρονται παρακάτω:

• Βρίσκουµε τους συντελεστές An του αναπτύγµατος Laurent χρησιµοποιώντας τον τύπο (4), δηλαδή υπολο-γίζοντας το ολοκλήρωµα για όλες τις τιµές του n.• Χρησιµοποιούµε κατάλληλους µετασχηµατισµούς (αντικαταστάσεις) σε γνωστά αναπτύγµατα Taylor ή ανα-πτύγµατα Laurent άλλων συναρτήσεων. Αυτός ο τρόπος χρησιµοποιείται πολύ συχνά στην πράξη. Πρέπει ναπροσέχουµε όµως ότι έχει ϐρεθεί το ανάπτυγµα στο εσωτερικό του δακτυλίου r < |z − z0| < R και όχι σεκάποιον άλλο δακτύλιο.

Σηµείωση 6. Αν ισχύει: f(z)=∞∑

n=0

An(z − z0)n και g(z)=∞∑

n=0

Bn(z − z0)n τότε µπορούµε να γράψουµε

0.5. ΑΣΚ�ΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑ�ΙΟΥ 5 13

τις σχέσεις:

c f(z) =∞∑

n=0

cAn(z − z0)n, f(z)± g(z) =∞∑

n=0

(An ±Bn)(z − z0)n

f(z)g(z) =∞∑

n=0

( n∑

k=0

AkBn−k

)(z − z0)n

0.5.1 ΄Αλυτες ασκήσεις

1. Για την αναλυτική συνάρτηση f(z) ισχύει: f (n)(z)∣∣z=z0

= 0, για n = 0, 1, 2, . . . , k και f (k+1)(z)∣∣z=z0

6= 0.Να δειχθεί ότι το σηµείο z = z0 είναι ϱίζα (k + 1)−τάξεως της f(z).2. Να δειχθεί ότι τα σηµεία όπου µηδενίζονται οι συναρτήσεις:f1(z) = sin z, f2(z) = cos z, f3(z) = ez − 1, f4(z) = sinh z, f5(z) = cosh zείναι ϱίζες πρώτης−τάξεως. Ποιά είναι η τάξη των ϱιζών των συναρτήσεων f2

i (z), i = 1, 2, . . . , 5;3. Να δειχτεί ότι η αναπαράσταση µιας συναρτήσεως f(z) µε σειρά Taylor είναι µια και µόνο.4. Να δειχτεί ότι, αν µια συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σ’ έναν τόπο που περικλείει τον πραγµατικό άξονα,και πραγµατική όταν το z είναι πραγµατικό, τότε f∗(z) = f(z∗).

5. Να δεχτεί ότι :∞∑

n=0

(−1)n 13n = 3

4 ,∞∑

n=0

13n = 3

2

6. Να ϐρεθούν οι σειρές Maclaurin των συναρτήσεων: f1(z) = sinh z, f2(z) = cosh z, f3(z) = cos2 z, καιf4(z) = sin2 z και να καθοριστεί η ακτίνα συγκλίσεώς τους. Να ϐρεθούν οι σειρές χρησιµοποιώντας: α) τοντύπο (3), ϐ) µε τη ϐοήθεια των αναπτυγµάτων Taylor γνωστών συναρτήσεων.Υπόδειξη. Στη δεύτερη περίπτωση µπορούν να χρησιµοποιηθούν οι σχέσεις: sinh z = −i sin(iz), cosh z = cos(iz),cos2 z = 1

2 + 12 cos 2z καθώς και τα γνωστά αναπτύγµατα των συναρτήσεων sin z και cos z.

7. Να δειχτεί ότι: ez cos z =∞∑

n=0

2n/2

n!cos nπ

4 zn, |z| < ∞.

Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε τις σχέσεις: ez cos z = 12

[e(1+i)z + e(1−i)z

], 1 ± i =

√2 e±iπ/4 και το γνωστό ανάπτυγµα

Maclaurin της εκθετικής συναρτήσεως.

8. Να ϐρεθεί το ανάπτυγµα Maclaurin της συναρτήσεως (1 + z)α (α =πραγµατικός αριθµός) και η περιοχήσυγκλίσεως του αναπτύγµατος.9. Να ϐρεθεί η σειρά Taylor της συναρτήσεως sin z στην περιοχή του σηµείου z = π/4 και η ακτίνα συγκλίσεώςτης.

10. Να ϐρεθούν τα αναπτύγµατα Taylor των συναρτήσεων: f1(z) =1

3− z, στην περιοχή του σηµείου z = 2i

και f2(z) =1

(1− z2)(z2 + 4), στην περιοχή του σηµείου z = 0. Ποιές είναι οι ακτίνες συγκλίσεως των

δυναµοσειρών;Υπόδειξη. Γράψτε τη συνάρτηση f2(z) µε τη µορφή: f2(z)=

15

[ 11− z2

+14

11 + z2/4

].

11. Να ϐρείτε τη σειρά Maclaurin της συναρτήσεως f(z) = ln(1 + z) παίρνοντας τον κλάδο της για τονοποίο ισχύει f(0) = 0. Ποιά είναι η ακτίνα συγκλίσεως της σειράς; Να ϐρεθεί επίσης η σειρά Maclaurin τηςσυναρτήσεως ln

(1+z1−z

), καθώς και η περιοχή συγκλίσεως της σειράς.

12. Να ϐρεθούν οι ακτίνες συγκλίσεως των δυναµοσειρών:

α)∞∑

n=0

(−1)n

n!

(z

2

)2n, ϐ)

∞∑

n=0

(−1)n

n!(n + k)!

(z

2

)n+2k, γ)

∞∑

n=0

1(2n)!

z2n

k = σταθερά

14

13. Να γραφούν υπό κλειστή µορφή οι δυναµοσειρές (δηλαδή να ϐρεθούν οι συναρτήσεις στις οποίες συγ-κλίνουν οι δυναµοσειρές):

α)∞∑

n=0

(−1)n+1nzn, ϐ)∞∑

n=0

1n!

zn+3, γ)∞∑

n=0

4n

(2n)!z2n

|z| < 1 |z| < ∞ |z| < ∞

14. Να ϐρεθεί η σειρά Maclaurin της συναρτήσεως: f(z) =1

(1− z)2.

Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε το γνωστό ανάπτυγµα 11−z =

∑∞n=0 zn, |z| < 1 και ότι µπορεί να γίνει αλλαγή του

συµβόλου της παραγώγου µε το σύµβολο της σειράς.

15. Με τη ϐοήθεια της συναρτήσεως f(z) =1

1− zνα δειχτεί ότι:

∞∑

n=0

zn =∞∑

n=0

(z + i)n

(1 + i)n+1

για κάθε z του σκιασµένου τόπου του Σχ. 3.

16. Να δειχτεί ότι η αναπαράσταση µιας συναρτήσεως f(z) µεσειρά Laurent είναι µια και µόνο.

C1:|z+i|=2

1/2

C0:|z|=1

x

y

0

i

Σχήµα 3:

17. Να ϐρεθούν τα αναπτύγµατα Laurent της συναρτήσεως f(z) = 3z(z−i) στους δακτύλιους:

α) 1 < |z + i| < 2, ϐ) 2 < |z + i|, γ) 0 < |z − i| < 1, δ) 0 < |z| < 1

18. Να ϐρεθεί η σειρά Laurent της συναρτήσεως: f(z) = ez+2z − 4i

z2 − 4i− 3στο δακτύλιο:

√2 < |z−1−2i| < R.

Ποιά είναι η τιµή της ακτίνας R;

19. Να ϐρεθούν οι σειρές Laurent των συναρτήσεων: f1(z) = e−1/z2 για |z| > 0 και f2(z) = z cos1z

για0 < |z| < ∞.

20. ∆ίνεται η συνάρτηση g(z, a) = e12

a(z− 1z) (όπου a µια σταθερά), που είναι αναλυτική στο δακτύλιο

0 < |z| < ∞ και εποµένως µπορεί να παρασταθεί µε σειρά Laurent της µορφής:

e12

a(z− 1z) =

∞∑n=−∞

Anzn =∞∑

n=−∞Jn(a)zn

Να δειχτεί ότι οι συντελεστές Jn(a) µπορούν να γραφούν µε τις µορφές:

α) Jn(a) =1π

∫ π

0cos (nθ − a sin θ) dθ, ϐ) Jn(a) =

∞∑

k=0

(−1)k

k!(k + n)!

(a

2

)2k+n

Η συνάρτηση Jn(α) λέγεται συνάρτηση Bessel πρώτου είδους ακέραιας τάξεως n και η g(z, a) γεννήτριασυνάρτηση των συναρτήσεων Bessel.Υπόδειξη. α) Χρησιµοποιήστε του τύπο (4) και διαλέξτε τον κλειστό δρόµο C : z′ = eiθ, θ ∈ [−π, π].ϐ) e

12 a(z−1/z) = eaz/2 e−a/(2z). Η συνάρτηση eaz/2 έχει ανώµαλο σηµείο το z = ∞. Η συνάρτηση e−a/(2z) έχει ανώµαλο

σηµείο το z = 0. Εποµένως µπορούν να παρασταθούν µε τις δυναµοσειρές:

eaz/2 =∞∑

m=0

1m!

(az

2

)m

, |z| < ∞ και e−a/(2z) =∞∑

k=0

(−1)k

k!

( a

2z

)k

, |z| > 0

Πολλαπλασιάστε κατά µέλη τις προηγούµενες σχέσεις και διατάξτε κατάλληλα τις δυνάµεις του z. ΄Οταν πολλαπλασιά-Ϲουµε δύο σειρές είναι καλύτερα να συµβολίζουµε τους δείκτες των σειρών µε διαφορετικά γράµµατα.

0.6. ΑΣΚ�ΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑ�ΙΟΥ 6 15

21. Να δειχτεί ότι : cosh(

z +1z

)=

∞∑n=−∞

Anzz, όπου An =12π

∫ 2π

0cosnθ cosh (2 cos θ) dθ

22. Να δειχτεί ότι η αναπαράσταση της f(z) = zez−1 σε δυνάµεις του z είναι: z

ez − 1=

∞∑

n=0

Bn

n!zn, |z| < R

όπου οι αριθµοί Bn, που λέγονται αριθµοί Bernoulli, ικανοποιούν τις σχέσεις:

B0 = 1 καιn∑

k=0

Bn−k

(k + 1)!(n− k)!= 0, n ≥ 1

Να ϐρεθούν οι δέκα πρώτοι αριθµοί Bn και να δειχτεί R = 2π.Υπόδειξη. Τα ανώµαλα σηµεία της f(z) είναι: ez − 1 = 0 ⇒ z = in2π, n = 0,±1,±2, . . .. Η f(z) µπορεί να

παρασταθεί µε σειρά Laurent που έχει µόνο ϑετικές δυνάµεις. ∆ηλαδή:z

ez − 1=

∞∑n=0

An zn ,(An =

Bn

n!).

Πολλαπλασιάστε και τα δύο µέλη της παραπάνω σχέσεως µε ez − 1 και στο δεξιό µέλος κάντε την αντικατάσταση

ez−1 =∞∑

n=0

zn

n!−1 και πολλαπλασιάστε τις σειρές. Εξισώστε τους συντελεστές των ιδίων δυνάµεων του z των δύο µελών

της εξισώσεως για να οδηγηθείτε στην αναδροµική σχέση των αριθµών Bn.

23. Να δειχτεί ότι για τους αριθµούς Bernoulli µε περιττό δείκτη ισχύει:B1 = −1/2 και B2k+1 = 0, k = 1, 2, 3, . . .

Υπόδειξη. Από την προηγούµενη άσκηση έχουµε: z

ez − 1=

∞∑n=0

Bn

n!zn και −z

e−z − 1=

∞∑n=0

(−1)nBn

n!zn

Με αφαίρεση των δύο σχέσεων παίρνουµε: z

ez − 1+

z

e−z − 1= 2

∞∑

k=0

B2k+1

(2k + 1)!z2k+1.

∆είξτε ότι z

ez − 1+

z

e−z − 1= −z για να οδηγηθείτε στις τιµές των αριθµών Bernoulli µε περιττό δείκτη.

24. Να δειχτεί ότι οι σειρές Maclaurin των συναρτήσεων: f1(z) = z cot z και f2(z) = tan z είναι:

z cot z = 1 +∞∑

k=1

(−1)k22kB2k

(2k)!z2k , tan z = −

∞∑

k=1

(−1)k22k(22k − 1)B2k

(2k)!z2k−1 , |z| < π

2

Υπόδειξη. α) ∆είξτε ότι: cot z =cos z

sin z= · · · = i +

2i

ei2z − 1και εποµένως z cot z = iz +

2iz

ei2z − 1. Χρησιµοποιήστε

τα αποτελέσµατα των δύο προηγουµένων ασκήσεων για να οδηγηθείτε στο ανάπτυγµα της z cot z.ϐ) ∆είξτε ότι: cot z − tan z = 2 cot 2z ⇒ z tan z = z cot z − 2z cot 2z και χρησιµοποιήστε το προηγούµενοαποτέλεσµα για να οδηγηθείτε στο ανάπτυγµα της tan z.

25. Στην Οπτική συναντάται η έκφραση( ∞∑

n=0

r2n cos nθ

)2

+

( ∞∑n=0

r2n sin nθ

)2

, η οποία πρέπει να υπολογιστεί

για να ϐρεθεί η ένταση του ϕωτός που περνά από ένα ϕιλµ ύστερα από πολλές ανακλάσεις στις επιφάνειεςτου. Να υπολογίσετε την πιο πάνω έκφραση υποθέτοντας ότι |r| < 1 (r είναι ο συντελεστής ανακλάσεως).

0.6 Ασκήσεις Κεφαλαίου 6

Στο κεφάλαιο αυτό στηρίζεται µια σηµαντική εφαρµογή των αναλυτικών συναρτήσεων, που είναι ο υπολογι-σµός των ολοκληρωµάτων µιας µιγαδικής συναρτήσεως κατά µήκος ενός κλειστού δρόµου και όπως ϑα δούµεστο επόµενο κεφάλαιο πολλών ορισµένων ολοκληρωµάτων συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής. Γιατην εφαρµογή αυτή πρέπει να µπορούµε να χαρακτηρίζουµε τα διάφορα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία µιαςµιγαδικής συναρτήσεως και να ϐρίσκουµε τα υπόλοιπά της σ’ αυτά. Για τη λύση των ασκήσεων αυτού τουκεφαλαίου πρέπει να γνωρίζουµε πολύ καλά τους ορισµούς και τα ϑεωρήµατα που αναφέρονται παρακάτω.• ΄Ενα σηµείο z = z0 λέγεται αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο της συναρτήσεως f(z) αν αυτή είναι αναλυτικήστο δακτύλιο 0 < |z − z0| < r2 και εποµένως µπορεί να παρασταθεί µε τη σειρά Laurent:

16

f(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n +∞∑

n=1

bn(z − z0)−n, 0 < |z − z0| < r2

όπου r2 είναι η απόσταση του σηµείου z0 από το πιο κοντινό ανώµαλο σηµείο της f(z).Ανάλογα µε το ποιοί συντελεστές bn εµφανίζονται στο κατά Laurent ανάπτυγµα της f(z) στο δακτύλιο 0 <|z−z0| < r2 το σηµείο z0 χαρακτηρίζεται ως απαλείψιµο ανώµαλο σηµείο ή πόλος m−τάξεως ή ουσιώδεςανώµαλο σηµείο, όπως ϕαίνεται στον Πίνακα 6.2. Στον ίδιο πίνακα ϕαίνονται και τα χαρακτηριστικά αυτώντων σηµείων.Πίνακας 1: Είδος αποµονωµένου ανώµαλου σηµείου z = z0 της f(z) (µε κριτήριο τους συντελεστές bn) καιτα ϐασικά χαρακτηριστικά τους.

Απαλείψιµο Πόλος m−τάξεως Ουσιώδεςανώµαλο σηµείο ανώµαλο σηµείο

bn = 0, ∀n bn = 0, ∀n > m Υπάρχουν άπειρακαι bm 6= 0 bn 6= 0

limz→z0

f(z) = a0 limz→z0

((z − z0)mf(z)

)= bm ΄Οταν z → z0

η f(z) ούτε τείνει σε µια σταθερήποσότητα ούτε γίνεται άπειρη

Σηµείωση 1. Ο χαρακτηρισµός ενός αποµονωµένου ανώµαλου σηµείου z0 µιας συναρτήσεως f(z) γίνεταιµε τη ϐοήθεια του αναπτύγµατος Laurent της f(z) στον κατάλληλο δακτύλιο µε κέντρο το σηµείο z0. Πριναπό την εύρεση του αναπτύγµατος Laurent είναι χρήσιµο να εξετάζονται οι εξής περιπτώσεις, που ϐοηθούνστο χαρακτηρισµό του σηµείου:α) Αν υπάρχει το όριο της f(z) όταν z → z0 το σηµείο είναι απαλείψιµο ανώµαλο σηµείο της f(z).ϐ) Αν οι αναλυτικές συναρτήσεις h(z) και g(z) έχουν το σηµείο z0 ϱίζα πολλαπλότητας n και m, αντίστοιχα,τότε η συνάρτηση f(z) = g(z)/h(z) έχει το σηµείο αυτό:• πόλο (n −m)−τάξεως όταν n > m, • απαλείψιµο ανώµαλο σηµείο όταν n = m, • ϱίζα πολλαπλότητας(m− n) όταν n < m.

Σηµείωση 2. ΄Οταν ϑέλουµε να εξετάσουµε τη συµπεριφορά της συναρτήσεως στο σηµείο z = ∞, τότεκάνουµε το µετασχηµατισµό z = 1/ζ και εξετάζουµε τη συνάρτηση f(1/ζ) = g(ζ) στο σηµείο ζ = 0. Το είδοςανωµαλίας της f(z) στο z = ∞ είναι εξ ορισµού το είδος της ανωµαλίας της g(ζ) στο µηδέν, δηλαδή,

limz→∞ f(z) = lim

ζ→0g(ζ) (5)

• Ολοκληρωτικό υπόλοιπο της συναρτήσεως f(z) στο αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο z = z0(6= ∞) (ή καισε οµαλό σηµείο 6= ∞) λέγεται ο συντελεστής b1 (δηλαδή ο συντελεστής του (z − z0)−1) του κατά Laurentαναπτύγµατος της f(z) στο δακτύλιο 0 < |z− z0| < r2, όπου η συνάρτηση είναι αναλυτική. Το ολοκληρωτικόυπόλοιπο δίνεται από τον τύπο:

Res f(z0) ≡ b1 =1

2πi

Cf(z)dz (6)

΄Οταν το σηµείο z = z0 (6= ∞) είναι οµαλό σηµείο ή απαλείψιµο ανώµαλο σηµείο το υπόλοιπο της f(z) σ’αυτό είναι µηδέν.

Σηµείωση 3. Υπόλοιπο µιας συναρτήσεως f(z), που είναι αναλυτική για R < |z| < ∞, στο σηµείο z = ∞λέγεται ο συντελεστής −b1, δηλαδή ο αντίθετος του συντελεστή του 1/z στο κατά Laurent ανάπτυγµα της f(z)στην περιοχή του άπειρου. Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο στο∞ δίνεται από τον τύπο:

Res f(∞) = −b1 =1

2πi

C−f(z) dz = − 1

2πi

C+

f(z) dz (7)

όπου C ένας κλειστός δρόµος που περικλείει όλα τα πεπερασµένα ανώµαλα σηµεία της f(z).

0.6. ΑΣΚ�ΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑ�ΙΟΥ 6 17

Παρατήρηση. Από τον ορισµό του υπολοίπου διαπιστώνουµε ότι αν για κάποιον λόγο είναι γνωστή η τιµήτου b1 τότε είναι γνωστή και η τιµή του ολοκληρώµατος. ∆ηλαδή αν µπορούσαµε να ϐρούµε την τιµή τουολοκληρωτικού υπολοίπου µιας συναρτήσεως µε οποιονδήποτε τρόπο εκτός από τη χρήση του τύπου (6), τότεέχουµε µια µέθοδο µε την οποία µπορούµε να υπολογίζουµε ολοκληρώµατα.

• Υπάρχουν διάφοροι τρόποι υπολογισµού ολοκληρωτικών υπολοίπων µερικοί από τους οποίους ανα-ϕέρονται παρακάτω.1ος τρόπος. Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f(z) στο αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο z = z0 µπορεί ναϐρεθεί από το ανάπτυγµα Laurent της f(z) στο δακτύλιο 0 < |z − z0| < r2. Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο είναιο συντελεστής του (z − z0)−1.2ος τρόπος. Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα: Αν το σηµείο z = z0 είναι πόλος m−τάξεως της f(z) τότε τουπόλοιπο της f(z) στο z = z0 είναι:

Resf(z0) =

limz→z0

[(z − z0)f(z)], αν m = 1

1(m−1)! lim

z→z0

dm−1

dzm−1

[(z − z0)mf(z)

], αν m > 1

(8)

3ος τρόπος. Σε πολλές περιπτώσεις ο υπολογισµός του ολοκληρωτικού υπολοίπου γίνεται ευκολότερα ανεφαρµόσουµε το Θεώρηµα: Αν η συνάρτηση f(z) είναι της µορφής f(z) = g(z)

h(z) και οι συναρτήσεις g(z) καιh(z) είναι αναλυτικές στο σηµείο z = z0 και g(z0) 6= 0, h(z0) = 0, h′(z0) 6= 0 το ολοκληρωτικό υπόλοιπο τηςf(z) στο σηµείο z = z0 δίνεται από τον τύπο:

Resf(z0) =g(z0)h′(z0)

Αν g(z0) 6= 0 και το z0 είναι διπλή ϱίζα της h(z), ισχύει: Resf(z0) = 2g′(z0)h′′(z0)

− 23

g(z0)h′′′(z0)[h′′(z0)]2

• Θεώρηµα των υπολοίπων. Αν η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική στον κλειστό δρόµο C και στο εσω-τερικό του εκτός από έναν πεπερασµένο αριθµό αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων z1, z2, . . . , zn, εσωτερικώντου C, τότε: ∮

Cf(z) dz = 2πi

n∑

k=1

Resf(zk) (9)

• Πόρισµα. Αν µια συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική στο εκτεταµένο µιγαδικό επίπεδο εκτός από ένανπεπερασµένο αριθµό αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων zk (k = 1, 2, . . . , N) που περιλαµβάνουν επίσης καιτο z = zN = ∞, τότε το άθροισµα όλων των υπολοίπων της f(z) ισούται µε το µηδέν:

N∑

k=1

Res f(zk) = 0 (10)

Με ϐάση τους παραπάνω ορισµούς και το ϑεώρηµα των υπολοίπων, για τον υπολογισµό ενός ολοκληρώµατοςτης συναρτήσεως f(z) κατά µήκος ενός κλειστού δρόµου C ακολουθούµε την εξής πορεία:

α) Βρίσκουµε τα ανώµαλα σηµεία της f(z), τα τοποθετούµε στο z−επίπεδο και σχεδιάζουµε το δρόµο C.ϐ) Χαρακτηρίζουµε τα ανώµαλα σηµεία που ϐρίσκονται στο εσωτερικό του δρόµου C και υπολογίζουµε ταυπόλοιπα της σ’ αυτά.γ) Χρησιµοποιούµε τον τύπο (9).

0.6.1 ΄Αλυτες ασκήσεις

1. Οι αναλυτικές συναρτήσεις h(z) και g(z) έχουν το σηµείο z = z0 ϱίζα πολλαπλότητας n και m, αντίστοιχα.

Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(z) =g(z)h(z)

έχει το σηµείο z = z0: α) πόλο (n − m)−τάξεως όταν n > m, ϐ)

απαλείψιµο ανώµαλο σηµείο όταν n = m και γ) ϱίζα πολλαπλότητας (m− n) όταν n < m.

18

2. Αν ισχύει: 1(z − 1)(z − 2)

= −∞∑

n=0

zn

2n+1−

∞∑

n=1

z−n , 1 < |z| < 2, µπορούµε να πούµε ότι το σηµείο z = 0

είναι αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο µε υπόλοιπο b1 = −1;

3. Για τις παρακάτω συναρτήσεις, να χαρακτηριστούν όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία και να ϐρεθούντα υπόλοιπα σ’ αυτά:

f1(z) =1

1− z, f2(z) =

z

z2 − z, f3(z) =

z − i

(1− z2)2, f4(z) =

2z + 1z2 − z − 2

,

f5(z)=[z + 1z − 1

]2

, f6(z)=(z2 + 4)(z − 2)

(z3 + 2z2 + 2z)(z + 2i), f7(z)=

1ez − 1

+1z,

f8(z)=e−z

z2 + 1, f9(z)=

ez

z2, f10(z)=

1− ez2

z4, f11(z)= z2e1/z2

, f12(z)=e1/z

z2

4. Για τις παρακάτω συναρτήσεις, να χαρακτηριστούν όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία (για z ∈ C), καινα ϐρεθούν τα υπόλοιπα σ’ αυτά:

f1(z) =1

sin z, f2(z) =

1z sin z

, f3(z) =sin20 z

z20, f4(z) =

sin z

z21,

f5(z) =cos z

z21, f6(z) =

cos z

z20, f7(z) =

z2

cos z − 1, f8(z) =

ez

z sin z,

f9(z) =sinh2 z

z2, f10(z) =

sinh z

z2, f11(z) =

z2

cosh z − 1, f12(z) =

ez

z sinh z

Υπόδειξη. Για τις συναρτήσεις f7(z) και f11(z) παρατηρήστε ότι:

cos z − 1 = · · · = e−iz

2(eiz − 1

)2 και cosh z − 1 = · · · = e−z

2(ez − 1

)2.

5. Για τις παρακάτω συναρτήσεις, να χαρακτηριστούν όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία (για z ∈ C), καινα ϐρεθούν τα υπόλοιπα σ’ αυτά:

f1(z) = π cotπz, f2(z) = π tan πz, f3(z) = π cothπz, f4(z) = π tanhπz

6. Να εξεταστεί το είδος του σηµείου z = ∞ των συναρτήσεων: f1(z) = z3/[(z−1)(z−2)] και f2(z) = e1/z/z3.

7. Να υπολογιστεί το υπόλοιπο στο σηµείο z = 0 των συναρτήσεων:

f1(z) =1

sin z − z, f2(z) =

1sinh z − z

, f3(z) =2z + 4

(1− z2) sin3 z

Υπόδειξη. Οι τρεις συναρτήσεις έχουν το z = 0 πόλο 3ης τάξεως. Το υπόλοιπό τους σ’ αυτό µπορεί να ϐρεθεί µε τοντύπο (8). Η διαδικασία αυτή απαιτεί πολλές πράξεις επειδή η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων Φi(z) = z3fi(z), i =1, 2, 3, που δεν ϐρίσκεται πολύ εύκολα, για z = 0, οδηγεί στην απροσδιόριστη µορφή 0/0 και πρέπει να χρησιµοποιηθείο κανόνας του L’ Hospital. ΄Ενας πιο κοµψός τρόπος είναι ο εξής: Το ανάπτυγµα Laurent της f1(z), για παράδειγµα,είναι της µορφής: 1

sin z − z= b3z

−3 + b2z−2 + b1z

−1 + a0 + · · · , 0 < |z| < R.Από τη σχέση αυτή έχουµε:

1 = (b3z−3 + b2z

−2 + b1z−1 + a0 + · · · )(sin z − z)

ή 1 = (b3z−3 + b2z

−2 + b1z−1 + a0 + · · · )(− 1

3!z3 +

15!

z5 − · · · )

Ο πολλαπλασιασµός των δύο παρενθέσεων (σειρών) δίνει: 1 = − b3

3!− b2

3!z +

(b3

5!− b1

3!

)z2 + · · · , 0 < |z| < R.

Τα δύο µέλη της τελευταίας εξισώσεως παριστάνουν την ίδια αναλυτική συνάρτηση. Εξισώστε τους συντελεστές τωνιδίων δυνάµεων του z για να ϐρείτε ότι Res f1(0) = b1 = − 3

10 . Η ακτίνα συγκλίσεως είναι R = π (ϐλέπε άσκηση 15παρακάτω).

8. Να υπολογιστεί το υπόλοιπο των συναρτήσεων: f1(z) = z2n/(1 + z)n, για z = −1 και z = ∞ καιf2(z) = zn−1 e1/z, για z = 0, (n ∈ N).

0.6. ΑΣΚ�ΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑ�ΙΟΥ 6 19

9. Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώµατα:

S1 =∮

|z|=5

ezdz

z sinh z, S2 =

|z+1|=2

(z2 + 4)dz

z3 + 2z2 + 2z, S3 =

|z|=2

dz

z5 − 1,

S4 =∮

|z|=1

z6 + z4 + 12z7 + z3

dz, S5 =∮

|z|=2

ezdz

z(z2 + 1), S6 =

|z|=1sinh(1/z)dz,

S7 =∮

|z|=2zne2/zdz, S8 =

|z|=3(1 + z + z3)

[e1/z + e1/(z−1) + e1/(z−2)

]dz

Υπόδειξη. Για τα ολοκληρώµατα S3, S4 και S8 χρησιµοποιήστε την ιδιότητα: “το άθροισµα των ολοκληρωτικών υπο-λοίπων στα πεπερασµένα ανώµαλα σηµεία ισούται µε −Res f(∞)”.

10. ∆ίνεται η συνάρτηση f(z), που είναι αναλυτική επάνω και µέσα στον κλειστό δρόµο C, εκτός από τοσηµείο z = a, που είναι πόλος p−τάξεως. Επίσης η f(z) έχει µέσα στο δρόµο C το σηµείο z = b ϱίζαπολλαπλότητας r. ∆ίνεται επίσης ότι f(z) 6= 0 για z ∈ C. Να δειχθεί ότι:

12πi

C

f ′(z)f(z)

dz = r − p

Υπόδειξη. Στις περιοχές των σηµείων z = a και z = b η f(z) και η ολοκληρωτέα συνάρτηση (f ′(z)/f(z)) γράφονται,αντίστοιχα:

f(z) = (z − a)−pΦ(z) και f(z) = (z − b)rF (z)f ′(z)f(z)

= · · · = −p(z − a)−1 +Φ′(z)Φ(z)

και f ′(z)f(z)

= · · · = r(z − b)−1 +F ′(z)F (z)

όπου Φ(z) = αναλυτική στο z = a και Φ(a) 6= 0, F (z) = αναλυτική στο z = b και F (b) 6= 0. Χαρακτηρίστε τα σηµείαz = a και z = b ως απλούς πόλους και εφαρµόστε το ϑεώρηµα των υπολοίπων.

11. ∆ίνεται η συνάρτηση f(z), που είναι αναλυτική επάνω και µέσα στον κλειστό δρόµο C, εκτός από ένανπεπερασµένο αριθµό πόλων εσωτερικών του C. ∆ίνεται επίσης ότι f(z) 6= 0 για z ∈ C. Να δειχθεί ότι:

12πi

C

f ′(z)f(z)

dz =n∑

i=1

ri −k∑

j=1

pj

όπου n το πλήθος των ϱιζών και k το πλήθος των πόλων που ϐρίσκονται στο εσωτερικό του C και ri, pj ηπολλαπλότητα (τάξη) των ϱιζών και των πόλων αντίστοιχα.Υπόδειξη. Η άσκηση αυτή είναι γενίκευση της προηγούµενης.

12. Θεώρηµα του Rouche. ∆ίνεται ότι οι συναρτήσεις f(z) και g(z) είναι αναλυτικές επάνω και στοεσωτερικό του δρόµου C. Να δειχτεί ότι, αν |g(z)| < |f(z)| ∀ z ∈ C, τότε οι συναρτήσεις f(z) και f(z) + g(z)έχουν τον ίδιο αριθµό ϱιζών µέσα στο C.Υπόδειξη. Οι συναρτήσεις f(z) και f(z) + g(z) δεν έχουν πόλους επάνω και µέσα στο δρόµο C. Ο αριθµός των ϱιζών

τους (ϐλέπε άσκηση 11) είναι: R1 =1

2πi

C

f ′(z)f(z)

dz και R2 =1

2πi

C

f ′(z) + g′(z)f(z) + g(z)

dz.

Χρησιµοποιήστε τη συνάρτηση F (z) = g(z)/f(z) (|F (z)| < 1), δηλαδή g(z) = f(z)F (z) και δείξτε ότι:

R2 −R1 =1

2πi

C

F ′(z)1+F (z) dz = 0, επειδή 1

1+F (z) =∞∑

n=0

(F (z))n, |F (z)| < 1.

13. Με τη ϐοήθεια της προηγούµενης ασκήσεως να δειχθεί ότι κάθε πολυώνυµο ϐαθµού n έχει ακριβώςn ϱίζες, από τις οποίες µερικές µπορεί να είναι ίσες µεταξύ τους. (Η πρόταση αυτή είναι συνέπεια τουϑεµελιώδους ϑεωρήµατος της ΄Αλγεβρας).Υπόδειξη. ∆ιαλέξτε f(z) = anzn και g(z) = an−1z

n−1 + · · ·+ a0, ώστε f(z) + g(z) = anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a0. Αν

|z| = r > 1 δείξτε ότι: ∣∣∣ g(z)f(z)

∣∣∣ ≤ |an+1|rn−1 + · · ·+ |a0||an|rn

< 1 για r >> 1

20

14. Να δειχτεί ότι και οι 9 ϱίζες της εξισώσεως: z9 − 6z2 + 10 = 0 ϐρίσκονται στο δακτύλιο D : 1 ≤ |z| ≤ 2.

15. Να δειχτεί ότι η συνάρτηση sin z± z έχει µια µόνο ϱίζα στο δίσκο |z| < π. Πόσες ϱίζες έχει η συνάρτησηστο δακτύλιο π < |z| < 2π;Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε το Θεώρηµα του Rouche µε f(z) = sin z και g(z) = ±z. Οι ϱίζες του sin z είναι0,±π,±2π, . . ..

16. Θεώρηµα αναπτύγµατος των Mittag-Leffler. Οι πόλοι της µερόµορφης συναρτήσεως f(z) είναι οιαπλοί πόλοι z1, z2, z3, . . ., µε 0 < |z1| < |z2| < |z3| · · · . Τα υπόλοιπα της f(z) σε αυτά είναι αντίστοιχα b11,b12, . . .. Αν ο κύκλος CN : |z| = RN δεν διέρχεται από κανένα πόλο και για z ∈ CN ισχύει |f(z)| < M , όπουM ανεξάρτητο του N και RN →∞ για N →∞. Να δεχτεί ότι:

f(z) = f(0) +∑

n

[ b1n

z − zn+

b1n

zn

](11)

Υπόδειξη. Θεωρήστε τη συνάρτηση F (z) = f(z)/(z− z0), µε z0 6= zn (n = 1, 2, 3, . . .). ∆είξτε ότι η F (z) έχει τα σηµείαz0 και zn (n = 1, 2, 3, . . .) απλούς πόλους µε υπόλοιπα σ’ αυτά που δίνονται από τις σχέσεις:

Res F (z0) = f(z0) και ResF (zn) = b1n/(zn − z0) (n = 1, 2, 3, . . .)

Το ϑεώρηµα των υπολοίπων για z0 6= 0 και z0 = 0 και CN να περικλείει τους πόλους της F (z), δίνει, αντίστοιχα:

12π

CN

f(z)z − z0

dz = f(z0) +∑

n

b1n

zn − z0και 1

CN

f(z)z

dz = f(0) +∑

n

b1n

zn

Αφαιρέστε τις δύο σχέσεις κατά µέλη για να πάρετε: z0

CN

f(z)z(z − z0)

dz = f(z0)− f(0) +∑

n

[ b1n

zn − z0− b1n

zn

]

∆είξτε ότι limN→∞

CN

f(z)z(z − z0)

dz = 0 για να οδηγηθείτε στη σχέση (11).

17. Να δειχτεί ότι: cot z =1z

+∞∑

n=−∞ (n 6=0)

[ 1z − nπ

+1

].

18. ∆ίνονται οι δρόµοι: Cr1 : z = z0 + reiθ, θ ∈ [0, π] και Cr2 : z = z0 + reiθ, θ ∈ [π, 2π]. Να δειχτεί ότι αντο σηµείο z = z0 είναι απλός πόλος της f(z), τότε:

limr→0

Cr

f(z) dz = πiRes f(z0), όταν Cr = Cr1 ή Cr = Cr2

0.7 Ασκήσεις Κεφαλαίου 7

Η ϑεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων και κυρίως το ϑεώρηµα των υπολοίπων, µας ϐοηθάει στον υπολογισµόπολλών ορισµένων ολοκληρωµάτων. Η διαδικασία που ακολουθούµε για τον υπολογισµό των ορισµένωνολοκληρωµάτων συνοψίζεται ως εξής:Τα ολοκληρώµατα της µορφής

∫ 2π0 R(cos θ, sin θ)dθ, όπου R µια ϱητή συνάρτηση των cos θ και sin θ, επειδή:

cos θ = 12(eiθ +e−iθ) και sin θ = 1

2i(eiθ−e−iθ), µε το µετασχηµατισµό z = eiθ µετατρέπονται σε ολοκληρώµατα

µιας αναλυτικής συναρτήσεως κατά µήκος του δρόµου C: |z| = 1. Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε το ϑεώρηµατων υπολοίπων, λαµβάνοντας υπόψη µόνο τα ανώµαλα σηµεία που ϐρίσκονται µέσα στο δρόµο C. Στηνπερίπτωση αυτή το διάστηµα ολοκληρώσεως πρέπει να είναι εύρους 2π.Για τον υπολογισµό των ολοκληρωµάτων της µορφής

∫∞−∞ f(x) dx, και

∫∞−∞ f(x) eimxdx, ή και πολλών άλλων

µορφών ακολουθούµε την εξής πορεία :• Γράφουµε τη συνάρτηση f(z) = f(x → z), ϐρίσκουµε τα ανώµαλα σηµεία της και τα τοποθετούµε στοz−επίπεδο. Η f(z), ανάλογα µε το ολοκλήρωµα, πρέπει να ικανοποιεί κατάλληλες προϋποθέσεις.

0.7. ΑΣΚ�ΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑ�ΙΟΥ 7 21

• ∆ιαλέγουµε έναν κατάλληλο κλειστό δρόµο C που να περικλείει µερικά ή όλα τα ανώµαλα σηµεία τηςf(z) που ϐρίσκονται στο επάνω (ή στο κάτω) z−ηµιεπίπεδο, ανάλογα µε την ολοκληρωτέα συνάρτηση καιεφαρµόζουµε το ϑεώρηµα των υπολοίπων.• ΄Ενα τµήµα του δρόµου C πρέπει να ϐρίσκεται επάνω στον πραγµατικό άξονα έτσι ώστε στο όριο, πουτο τµήµα αυτό γίνεται άπειρο, να συµπίπτει µε την κύρια τιµή του ολοκληρώµατος που ϑέλουµε να υπο-λογίσουµε. Τα ολοκληρώµατα κατά µήκος των άλλων δρόµων είναι µηδέν ή παίρνουν γνωστές τιµές. Για ναδείξουµε ότι το ολοκλήρωµα κατά µήκος ενός ή περισσοτέρων δρόµων είναι µηδέν χρησιµοποιούµε το λήµµατου Jordan ή παραλλαγές του.

0.7.1 ΄Αλυτες ασκήσεις

1. Με τη ϐοήθεια των µιγαδικών συναρτήσεων, δηλαδή διαλέγοντας έναν κατάλληλο κλειστό δρόµο, να δειχτείότι:

α)∫ L

−Lsin

(nπx

L

)sin

(kπx

L

)dx =

∫ L

−Lcos

(nπx

L

)cos

(kπx

L

)dx = Lδnk

ϐ)∫ 2π

0

sin(x + i)cos(x + i)

dx = 2πi, γ)∫ 2π

0

cos(x + i)sin(x + i)

dx = −2πi,

δ)∫ 2π

0

dx

(5 + 4 cosx)2dx =

10π27

, ε)∫ 2π

0

cos 3θ dθ

5− 4 cos θ=

π

12,

στ)∫ 2π

0

cos2 3θ dθ

1− 2p cos 2θ + p2=

π(1− p + p2)1− p

(0 < p < 1),

Ϲ)∫ π

0cos2n θdθ =

∫ π

0sin2n θ dθ = π

(2n)!22n(n!)2

(n = 0, 1, 2, . . .)

Υπόδειξη. Στο ολοκλήρωµα ε) παρατηρήστε ότι cos 3θ = Re ei3θ.

2. Να δειχτεί ότι : α)∫ π

0

5 + 2 cos θ=

π√21

, ϐ)∫ π/2

0

5 + 2 cos2 θ=

π

2√

35,

γ)∫ π/2

0

1 + 2 sin2 θ

1 + 2 cos2 θdθ =

π

6(4√

3− 3)

3. Να δειχτεί ότι :∫ 2π

0ecos θ cos (ηθ − sin θ) dθ =

n!, n ∈ N.

Υπόδειξη. Παρατηρήστε ότι: ecos θ cos(nθ − sin θ) = Re[ecos θ ei(nθ−sin θ)

]. Ακολουθήστε τη γνωστή διαδικασία

ϑέτοντας z = eiθ, cos θ = z2+12z και sin θ = z2−1

2iz για να οδηγηθείτε στη σχέση∫ 2π

0ecos θ cos (nθ − sin θ) dθ =

Re∮

Czn−1 e1/zdz, C : |z| = 1.

4. Να δεχτεί ότι οι τύποι (7-12) και (7-20) του ϐιβλίου, που δίνουν την κύρια τιµή των αντίστοιχων ολοκληρω-µάτων, δεν µεταβάλλονται αν τα µικρά ηµικύκλια ϐρίσκονται στο κάτω ηµιεπίπεδο.

5. Η συνάρτηση f(z) ικανοποιεί τις συνθήκες: i) Είναι αναλυτική στο κάτω κλειστό ηµιεπίπεδο, εκτός απότο αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο z = z1 (Im z1 < 0) και εκτός από τον απλό πόλο z = α1 του πραγµατικούάξονα. ii) |f(z)| → 0 για |z| → ∞ και π ≤ Arg z ≤ 2π. Να δειχτεί ότι:

P∫ ∞

−∞f(x) e−i|m|xdx = −2πi Res

[f(z1) e−i|m|z1

]− πi Res[f(a1) e−i|m|α1

]

6. Να δειχτεί ότι :

α)∫ ∞

0

dx

x2 + 1=

π

2, ϐ)

∫ ∞

0

dx

x4 + α4=

π

2√

2α3, (a > 0), γ)

∫ ∞

−∞

x2 + 1x4 + 4

dx =3π

4,

δ)∫ ∞

0

x2 dx

(x2 + 1)(x2 + 4)=

π

6, ε)

∫ ∞

0

x2 dx

(x2 + 4)2=

π

8, στ) P

∫ ∞

−∞

dx

(x2 + 1)(x2 + 4)(x− 1)(x− 2)=

π

24

22

7. Να δειχτεί ότι : α)∫ ∞

−∞

dx

(1 + x2)n+1=√

πΓ(n + 1

2)Γ(n + 1)

,

ϐ)∫ ∞

0

dx

x2n + 1=

π

2n

1sin

(π2n

) , γ)∫ ∞

0

xm dx

x2n + 1=

π

2n

1

sin( (m+1)π

2n

)

Υπόδειξη. Στα ολοκληρώµατα ϐ) και γ) χρησιµοποιήστε το δρόµο που ορίζουν τα πέρατα του κυκλικού τοµέα 0 ≤ θ ≤ πn ,

0 ≤ r ≤ R ώστε να περικλείει ένα µόνο πόλο της ολοκληρωτέας συναρτήσεως. Τι περιορισµούς ϑα ϑέσουµε στα n καιm;

8. Να δειχτεί ότι : α)∫ ∞

−∞

x sin kx

x2 + a2dx =

{πe−ak για k > 0−πeak για k < 0

, a > 0,

ϐ) P∫ ∞

0

sin kx

x(x2 − a2)dx =

π

a2(−1 + cos ak), a > 0,

γ)∫ ∞

−∞

x sinπ

x2 + 2x + 5dx = π e−2π, δ)

∫ ∞

−∞

x cosπx

x2 + 2x + 5dx =

π

2e−2π

9. Να δειχτεί ότι : α) P∫ ∞

−∞

x sinx dx

x2 − 5x + 6= π

(3 cos 3− 2 cos 2

), ϐ) P

∫ ∞

−∞

cosπx dx

(x2 − 1)(x2 + 9)= − π

30e−3π

10. Να δειχτεί ότι : α)∫ ∞

−∞

sin t

teipt dt =

π όταν |p| < 1π2 όταν |p| = 10 όταν |p| > 1

ϐ)∫ ∞

0

cos ax− cos bx

x2dx =

π

2(b− a

), a, b ≥ 0, γ)

∫ ∞

0

sin2 x

x2dx =

π

2

δ)∫ ∞

0

x− sinx

x3(x2 + a2)dx =

π

2a4

(a2

2− a + 1− e−a

), a > 0

Υπόδειξη. Στο α) γράψτε sin t = 12i (e

it − e−it) και εφαρµόστε τον τύπο (;;) στα δύο ολοκληρώµατα που ϑα προκύψουν.Στα ϐ), γ) και δ) εφαρµόστε τη µέθοδο του εδαφίου ;; αφού παρατηρήσετε ότι οι ολοκληρωτέες συναρτήσεις έχουν τοσηµείο z = 0 απαλείψιµο ανώµαλο ανώµαλο και ικανοποιούν το “Λήµµα του Jordan”.

11. Να δειχτεί ότι:∫ ∞

−∞

eax dx

1 + ex=

π

sin aπ, (0 < a < 1) µε τους εξής τρόπους: α) µε το ϑεώρηµα των

υπολοίπων, ϐ) µε τη ϐοήθεια της συναρτήσεως Βήτα:

B(m,n) =∫ 1

0tm−1(1− t)n−1 dt =

Γ(m) Γ(n)Γ(m + n)

, Re m > 0, Re n > 0

Στη συνέχεια να δειχτεί ότι : Γ(a) Γ(1− a) =πα

sinπa.

Υπόδειξη. α) Τα σηµεία zn = iπ(2n + 1), n = 0,±1,±2, . . . είναι απλοίπόλοι της f(z) = eaz

1+ez . Χρησιµοποιήστε το ϑεώρηµα των υπολοίπων διαλέ-γοντας τον κλειστό δρόµο του Σχ. 4 και δείξτε ότι όταν R →∞ τα ολοκλη-ϱώµατα κατά µήκος των δρόµων C2 και C4 είναι 0, ενώ τα ολοκληρώµατακατά µήκος των δρόµων C1 και C2 σχετίζονται µε το αρχικό ολοκλήρωµα.ϐ) ∆είξτε ότι µε τους διαδοχικούς µετασχηµατισµούς u = ex και u = t

1−t τοαρχικό ολοκλήρωµα γράφεται:

C1

z1=iπ

y

x

C2

C4

C3 R+i2π−R+i2π

R −R

Σχήµα 4:∫ ∞

−∞

eax

1 + exdx = · · · =

∫ ∞

0

ua−1

1 + udu = · · · =

∫ 1

0

ta−1(1− t)−adt = B(a, 1− a)

12. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα:∫ ∞

−∞

eαx

coshπxdx (−π < α < π), διαλέγοντας έναν κατάλληλο κλειστό

δρόµο στο z−επίπεδο (ϐλέπε και προηγούµενη άσκηση για το δρόµο ολοκληρώσεως).

0.7. ΑΣΚ�ΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑ�ΙΟΥ 7 23

13. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα:∫ ∞

−∞eiax−bx2

dx (a, b πραγµατικοί, b > 0), διαλέγοντας έναν κατάλληλο

κλειστό δρόµο στο επίπεδο (ϐλέπε και άσκηση 11 για το δρόµο ολοκληρώσεως).

14. Να δειχτεί ότι : α)∫ ∞

0

(lnx)2dx

x2 + 1=

π3

8, ϐ)

∫ ∞

0

ln(x2 + 1) dx

x2 + 1= π ln 2.

Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε το δρόµο C του Σχ. ;; που περιέχει το i.

15. Η συνάρτηση Γ(z) µπορεί να οριστεί ως εξής:

1Γ(z)

=1

2πi

γet t−z dt

όπου γ ο κλειστός δρόµος του Σχ. 5. Να δειχτεί ότι ο ορισµός αυτός τηςΓ(z) είναι ισοδύναµος µε τον ορισµό του Euler:

Γ(z) =∫ ∞

0e−t tz−1 dt, Re z > 0

ty

γ

tx

t-� � � � � � �Σχήµα 5:

16. Να δειχτεί ότι (για 0 < α < 1):

α)∫ ∞

0xα−1 cosx dx = Γ(α) cos

πα

2

ϐ)∫ ∞

0xα−1 sinx dx = Γ(α) sin

(πα

2)

Υπόδειξη. Χρησιµοποιήστε ως δρόµο ολοκληρώσεως το δρόµο του Σχ. 6.

Cr

r R

CR

x

y

Σχήµα 6:

17. Να δειχτεί ότι η συνάρτηση ϐήµατος (ή συνάρτηση Heavyside) που συναντιέται σε προβλήµατα Φυσικής:

S(x) =

0 x < 012 x = 01 x > 0

, µπορεί να γραφεί µε τη µορφή του ολοκληρώµατος: S(x) =12

+1

2πiP

∫ ∞

−∞

eiωx

ωdω.

18. ∆ίνεται το ολοκλήρωµα:∫ ∞

−∞

e−iEt

p2 − E2dE που εµφανίζεται στον υπολογισµό των συναρτήσεων Green

της κβαντικής ϑεωρίας της σκεδάσεως, ϑεωρώντας τις διάφορες δυνατές περιπτώσεις: α) Να ϐρείτε την κύριατιµή του ολοκληρώµατος για t > 0 και t < 0. ϐ) Να υπολογίσετε την τιµή του ολοκληρώµατος, κάνονταςκατάλληλη µετακίνηση των πόλων της ολοκληρωτέας συναρτήσεως.19. Στη ϑεωρία των κβαντικών µεταπτώσεων συναντούµε τη συνάρτηση f(t, ω) = 2(1− cosωt)/ω2. ∆είξτε ότι:∫ ∞

−∞f(t, ω) dω = 2πt.

20. Θεωρήστε τη σχέση διασποράς Reφ(ω0) =1π

P

∫ ∞

−∞

Im φ(ω)ω − ω0

dω.

∆ώστε τις εκφράσεις που προκύπτουν από τη σχέση αυτήν αν εφαρµοστεί η διαδικασία αφαιρέσεως: α) τουReφ(0) και ϐ) του Reφ′(0) από το (Reφ(ω0) − Re φ(0))/ω0. ∆ιαπιστώστε τα πλεονεκτήµατα ως προς τησύγκλιση.21. Μια συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σ’ όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός από µια τοµή κατά µήκος τουπραγµατικού άξονα από το x0 στο άπειρο. Υποθέτουµε επίσης πως είναι πραγµατική στο υπόλοιπο τουπραγµατικού άξονα καθώς και ότι |f(z)| → 0 γρηγορότερα από το 1/|z| όταν |z| → ∞. ∆ιαπιστώστε ότι :

limε→0

[f(x + iε)− f(x− iε)] = 2i Im f(x + i0)

και στη συνέχεια δείξτε την εξής σχέση διασποράς που δίνει την τιµή της f(z) ως ολοκλήρωµα του ϕανταστικούτης µέρους κατά µήκος του άνω χείλους της τοµής:

f(z) =1π

∫ ∞

x0

Im f(x + i0)x− z

dx

24

22. α) Να δειχτεί ότι η συνάρτηση ϕ(z) = π cotπz έχει τα σηµεία zn =n = 0,±1,±2, . . ., απλούς πόλους και ότι τα υπόλοιπά της σ’ αυτά είναιResϕ(zn) = 1.ϐ) ∆ίνεται ο δρόµος CN του Σχ. 7. Να δειχτεί ότι επάνω στο δρόµο CN

ισχύει:| cotπz| < M = σταθερά

Υπόδειξη. Θεωρήστε τα τµήµατα του δρόµου CN που ϐρίσκονται στους τόπους: (N+1/2)(1-i)(N+1/2)(-1-i)

(N+1/2)(-1+i)

N N+11 2-1-2-N-N-1

(N+1/2)(1+i)

x

y

CN

Σχήµα 7:y > 1

2 , − 12 ≤ y ≤ 1

2 , y < − 12 και δείξτε ότι:

ϐ1) | cot πz|y> 12

=∣∣∣∣eiπz + e−iπz

eiπz − e−iπz

∣∣∣∣y> 1

2

≤ e−πy + eπy

eπy − e−πy

∣∣∣∣y> 1

2

≤ 1 + e−π

1− e−π= M1

ϐ2) | cot πz|y<− 12

= · · · ≤ 1 + e−π

1− e−π= M1

ϐ3) ΄Οταν − 12 ≤ y ≤ 1

2 ϑεωρήστε τις περιπτώσεις z = N + 12 + iy και z = −N − 1

2 + iy και δείξτε ότι:

| cot πz|z=±N± 12+iy = | cot π(±N ± 1

2+ iy)| = · · · = | tanh πy| ≤ tanh

π

2= M2

23. ∆ίνεται η συνάρτηση f(z) που ικανοποιεί τις συνθήκες:i) Η f(z) είναι αναλυτική ∀ z του µιγαδικού επιπέδου, εκτός από έναν πεπερασµένο αριθµό αποµονωµένωνανώµαλων σηµείων που είναι πόλοι.ii) Οι πόλοι της f(z) δεν είναι ακέραιοι αριθµοί.iii) Επάνω στο δρόµο CN της ασκήσεως 22 ισχύει |f(z)| ≤ M

|z|k(δηλαδή lim

|z|→∞|zkf(z)| → 0

), όπου k > 1

και M σταθερά ανεξάρτητη του δρόµου CN . Τότε:∞∑

n=−∞f(n) = −

k∑

j=1

Res[πf(z) cot πz]z=aj

όπου a1, a2, . . . ak οι πόλοι της συναρτήσεως f(z).Σηµείωση. Η άσκηση αυτή καθώς και οι δύο επόµενες, ϐοηθούν στον υπολογισµό πολλών αριθµητικών σειρών.

24. Στις ασκήσεις 22 και 23 αντί της συναρτήσεως ϕ(z) = π cotπz να ϑεωρηθεί η συνάρτηση g(z) =π

sinπzκαι να δειχτεί ότι: ∞∑

n=−∞(−1)nf(n) = −

k∑

j=1

Res[πf(z)sinπz

]

z=aj

όπου a1, a2, · · · ak οι πόλοι της συναρτήσεως f(z).

25. Να δειχτεί ότι:∞∑

n=1

1n2 + a2

2acothπa− 1

2a2, a > 0

Υπόδειξη. 2∞∑

n=1

1n2 + a2

= − 1a2

+∞∑

n=−∞

1n2 + a2

. Η σειρά του δεξιού µέρους υπολογίζεται µε τη ϐοήθεια της ασκήσεως

23 και της συναρτήσεως f(z) = 1z2+a2 .

26. Με τη ϐοήθεια των προηγούµενων ασκήσεων να δειχτεί ότι :∞∑

n=1

1n2

=π2

6,

∞∑n=1

(−1)n

n2= − π2

12,

∞∑n=1

1n4

=π4

90,

∞∑n=1

1n6

=π6

945

∞∑n=0

1(2n + 1)2

=π2

8,

∞∑n=0

(−1)n

(2n + 1)3=

π3

32,

∞∑n=0

(−1)n

n2 + a2=

12a2

(1 +

πa

sinhπa

)

∞∑n=−∞

1(n + a)2

=π2

sin2 πa,

∞∑n=−∞

(−1)n

(n + a)2=

π2 cosπa

sin2 πa, a 6= 0,±1,±2, . . .