ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

2009 - 20104o Γενικό Λύκειο Χανίων

Α τάξη–

Άλγεβρα

αΑσκήσεις για λύση

Lampis

TextBox

ΛΑΜΠΗΣ ΒΑΘΗΣ Μαθηματικός

Άλγεβρα Α Λυκείου

1 09.01

1.1 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΞΕΩΝ

1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:Α) 3[2(1 4x) 3(1 5x] 2[3(1 2x) x]

Β) 3[ 2β α(1 2β)] [3α (4β 5)]

2. Αν α 0,5 και β 0,001 να υπολογίσετε την

παράσταση 3(2α 3β) 4[ 3α 2(α 2β 1)]

3. Δίνεται ο αριθμός α με α 0 Να βρεθεί:A) αντίστροφος του αντίθετου του αΒ) ο αντίθετος του αντιστρόφου του α

4. Να αποδείξετε ότι αν είναι αντίθετοι οι αριθμοίΑ x 3y 4z και B y x 2z τότε y z

5. Αν οι αριθμοί: 2α α 1 και 2β β 1 είναι

αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι

αντίθετοι

6. Αν α 3β 1 να βρεθεί η τιμή της παράστασης

Α α(α 1) 4β(2 α) β(α 8)

7. Αν xy(2y x) 0 , να αποδειχτεί ότι η παράσταση

1 1Α x 2y1 12y x

είναι ανεξάρτητη των x,y ..

8. Αν x y 3x y 2

, y 0 να βρεθεί ο λόγος xy

και η

τιμή της παράστασης Α=2 2

2x y

2xy x

9. Αν ο α είναι περιττός ακέραιος να αποδείξετε ότι

ο αριθμός 2α 1 2α 2 είναι πολλαπλάσιο του 4

10. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνωνδύο διαδοχικών περιττών αριθμών είναι άρτιος.

11. Η περίμετρος ενός τριγώνου είναι 27 . Να βρείτετα μήκη των πλευρών του, αν είναι γνωστό ότι είναιανάλογα με τους αριθμούς 2,3,4 αντίστοιχα.

12. Να βρεθούν οι αριθμοί που είναι ίσοι με τοναντίστροφό τους

13. Αν γα βx y ω να αποδειχτεί ότι:

ν 22ν 2 2 2 ν ν ν

2 2 2 ν ν να β γ α β γα

x x y ω x y ω

1.2 ΔΥΝΑΜΕΙΣΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

14. Να χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις επόμενεςπροτάσεις με την ένδειξη σωστή ή λάθος.

Α) Για κάθε α 0 ισχύει: 10α 1

Γ) Ισχύει ότι 4 33 43 3

Δ) Ισχύει ότι : 5 5 5x y (x y)

Ε) Ισχύει ότι : 2 4 2 4(x ) (x)

Στ) Για κάθε α 0 ισχύει ότι : 1 1 2α αα

Ζ) Ισχύει ότι : 1

1 33 12

Η) Για κάθε x 0 ισχύει ότι 3 2ν 6ν( x ) x

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

15. Υπολογίστε τις παραστάσεις

Α) 3 22 0,5 Β) 17 110,25 8

Γ) 3

231 (0,1) : 102

16. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

Α) 23 5

1

x x

x

Β)

22 3 2

13 2 2 4

α β α β

α β α β

Γ)

2 1 3

23x y 4x y

x y

17. Να γραφεί ως δύναμη του 2 ο 361 64

4

18. Αν x 0,03 και y 0,4 να βρεθούν οι

αριθμητικές τιμές των παραστάσεων:

α) 3 43 4 2 3x y : x : y β)

623 511

xx y :y

19. Αν κ άρτιος ακέραιος αριθμός, να βρεθεί η τιμή

της παράστασης κ κ 1 κ 2 κ 31 ( 1) 1 ( 1)

20. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορούμενα φτιάξουμε με:α) τρία δυάρια β) τρία τριάρια γ) τρία τεσσάρια

21. Για ποια τιμή του κ η παράσταση κ 1 2κα β

γράφεται με μορφή δύναμης με βάση αβ ;

22. Να βρεθεί ο ακέραιος ν αν 2ν 63ν 62 1

4ο Γενικό Λύκειο Χανίων Ασκήσεις για Λύση Σχ έτος 2009 2010

Μ. Παπαγρηγοράκης

1.2 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ-ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

23. Α) Ισχύει ότι 3 3x y x y

Β) Ισχύει ότι 2 2x y y x

Γ) Ισχύει ότι 2 2α β α β

Δ) Ισχύει ότι 2 2α β α β

Ε) Ισχύει ότι 2 2x y y x y x

Στ) Ισχύει ότι (α-β)(α2+αβ+β2)=(α-β)3-3αβ(α+β)

Ζ) Ισχύει ότι 22 2α β α β 2αβ


24. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να είναι τέλειατετράγωνα οι παραστάσεις:

α) 16 8x ... β) 24x 1 ...

25. Να απλοποιήσετε τη παράσταση 2 2(α β) (α β)

και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:2 2999 1000 999 1000 4

1000 999 1000 999

.

26. Να απλοποιήσετε την παράσταση2α (α 1)(α 1) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:

21,3265 0,3265 2,3265 1 και23,12345 2,12345 4,12345 1

27. Αν α β 2 να αποδείξετε ότι2 2α β 4α 2αβ 4β 3 1

28. Να απλοποιήσετε τις ακόλουθες παραστάσεις,αφού βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ορίζονται:

A) 2 2

3x x 1 x 1

x 1 x 1

, Β) 2 3 2

31 x xx ,x (x 1)

Γ) 2

2(x x) 2x 2

x 1

, Δ)

2 2

2 2x 3x 2 x 2x

x x x x 2

29. Αν x 0,5 , y=-2 , να βρείτε την τιμή της

παράστασης Α= 2 2 2

x y xy1 1 1 1:x y 2 x y x y

30. Nα αποδείξετε ότι:

Α) Αν 22 22 α β α β τότε α β

Β) Αν 1 1α β 4α β

, αβ 0 τότε α β

31. Να αποδείξετε ότι αν 2 2 2α β γ αβ βγ γα

τότε α β γ

32. Να αποδείξετε ότι αν

2 2 2 2x y ω 3 x y ω τότε x y ω

33. Αν α,β,γ είναι τα μήκη πλευρών τριγώνου και

ισχύει ότι 2α βγ 2α β γβ γ 2

, να αποδείξετε ότι το

τρίγωνο είναι ισόπλευρο

34. Αν β α 1 να αποδείξετε ότι:

2 2 4 4 8 8 16 16α β α β α β α β α β

35. Αν 22x α y β 4 αx βy τότε να

αποδείξετε ότι x α και y β

36. Αν 1α 5α

να βρείτε τα 2 32 3

1 1α , αα α

37. Αν x y 2 και xy 1 να υπολογιστούν τα

2 2x y , 3 3x y , 1 1x y , 2 2x y xy , 2 2

1 1x y

38. Aν 3x 4α 3α , 3y 4β 3β και 2 2α β 1 να

αποδείξετε ότι 2 2x y 1

39. Αν α β 0 , β γ 0 , γ α 0 και

α β γ 0 , να αποδείξετε ότι:2 2 2 2 2 2α β 2βγ β γ 2αγ γ α 2αβ 0

α β β γ α γ

40. Αν για τους θετικούς ακέραιους x,y,ω ισχύει ότι:

3 3

2

ωxyx y

ω2733

τότε να αποδειχτεί ότι x y ω

41. Αν α β γ 0 , α β γ 0 να δείξετε ότι44 4

3 3 3 3 3 3γα β 0

β γ 3αβγ γ α 3αβγ α β 3αβγ

42. Για κάθε φυσικό ν να αποδείξετε ότι:

Α) Ο αριθμός 2 2987 985 είναι άρτιος

Β) Ο αριθμός 24 διαιρεί τον 2ν5 1

43. Αν αβγ 1 και βγ β 1 0 να αποδείξετε ότι

γα β 1αβ α 1 βγ β 1 γα γ 1

44. Να αποδείξετε ότι

Αν 1 1 1 0α β γ να αποδείξετε ότι 2 2 2

βγ γα αβ 3α β γ


3

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

45. Να λύσετε τις εξισώσεις:

Α) 2 2x(x 2) x 4x 4

Β) 2 2(x 4)(x 1) (x 1)(x 2)

Γ) 3 2x 2x x 2 0

Δ) 3 2x 2x (2x 1)(x 2) 0


Α) 21 x

x 2 x 4

Β) 2

x 1x 1 x x

Γ) 2 2x 1 2 0x 1 x 2x 1

47. Να λυθούν οι εξισώσεις για κάθε λΑ) (λ 1)x λ 1 , Β) (λ 1)x λ ,

Γ) λ(λ 1)x λ 1 Δ) 2 2λ 9 x λ 3λ

Ε) 2λ 1 x λ 1 Στ) 2λ x 1 λ x 1

Ζ) 2λ x 3 λx 3 Η) 2λ x 3 3x λ

48. Α) Να λυθεί ο τύπος 0v v αt ως προς t .

Β) Να λυθεί ο τύπος 1 2

1 1 1R R R ως προς 1R .

Γ) Να λυθεί ο τύπος 1 1 2 2

1 2

P V P VT T

ως προς 2V

49. Α) Να λυθεί ο τύπος 2o

1s s gt2

ως προς g

Β) Από τους τύπους 20

1S v t αt2

και 0v v αt ,

να δείξετε ότι 0v vS t2

50. Ένα συνεταιρικό ελαιουργείο έχει δύοσυγκροτήµατα το Α και το Β. Όταν δουλεύουν και ταδύο µαζί τελειώνουν όλες τις ελιές µίας περιοχής σε 12µέρες. Τη φετινή χρονιά ξεκίνησαν µαζί και µετά από 2µέρες το Α σταµάτησε οριστικά λόγω βλάβης ενώ το Βσυνέχισε να δουλεύει κανονικά. Το Β είναι µικρότερο

και έχει τα 23

της απόδοσης του Α. Να βρείτε σε πόσες

µέρες συνολικά θα τελειώσουν όλες οι ελιές της περιοχής

51. Ένα βαρέλι Α περιέχει 524 κιλά κρασί των 2ευρώ το κιλό και ένα βαρέλι Β περιέχει 456 κιλά κρασίτων 1,5 ευρώ το κιλό. Αφαιρούμε από κάθε βαρέλι τηνίδια ποσότητα κρασιού και βάζουμε αυτή πουαφαιρέσαμε από το Α στο Β και αυτή που αφαιρέσαμεαπό το Β στο Α. Αν τελικά, μετά το ανακάτεμα τωνκρασιών, το περιεχόμενο των δύο βαρελιών έχει τηνίδια αξία, να βρείτε πόσα κιλά μεταφέρθηκαν από τοένα βαρέλι στο άλλο.

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

52. Nα χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις επόμενεςπροτάσεις με την ένδειξη Αληθής ή Ψευδής.Α) Αν x 2 και y 3 , τότε 3x 2y 0

Β) αν α β 0 τότε 2α αβ 0

Γ) Αν 2 2α β 0 τότε α 0 ή β 0

Δ) Αν α 0 β τότε 2 2α β

Ε) Αν x 0 τότε 2x x .Στ) Η ανίσωση 0x 0 είναι αδύνατη

Ζ) Αν 2α 0 τότε α 0

Η) Αν 2 α 4 και 1 β 2 τότε 1 α β 2


53. Αν 2 x 4 και 3 y 7 να βρείτε τις τιμές

που μπορεί να πάρουν οι παραστάσεις:

x y , x y , 1y

, 32xy

, 2x , 2y , 2 2x y

54. Αν είναι 2 x 8 να βρείτε μεταξύ ποιών τιμώνβρίσκονται οι παραστάσεις

Α) 2x 3 Β) 1 2x Γ) 11

1 x

Δ) 2x 3

x

55. Να αποδείξετε ότι:

Α) Αν α,β είναι ετερόσημοι τότε α β 2β α

Β) Αν α 0 τότε 22α 1

α 1

56. Αν α, β, γ είναι θετικοί αριθμοί, να αποδείξετε

ότι i) 2 2α β 2αβ ii) 2 2 2α 1 β 1 γ 1 8αβγ

57. Αν α,β πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: i)2 2α αβ β 0 ii) 2 2 2α β γ αβ βγ γα

58. Aν 2 2α β 2γ α β γ να αποδείξετε ότι το

τρίγωνο με πλευρές α, β, γ είναι ισόπλευρο.

59. Για τους θετικούς αριθμούς α,β,γ , να αποδείξετε

ότι: α β γ γα β1 α β γ 1 α 1 β 1 γ

.

60. Να συγκρίνετε τους αριθμούς 512 και 343

61. Αν για τους θετικούς αριθμούς α,β,γ ισχύει ότι

β+γ γ+αα+βαβ γ βγ -α γα -β 02 2 2

να

αποδείξετε ότι αυτοί οι αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους



1.6 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ

62. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣΑ) Η x δεν υπάρχει για κάθε x R

Β) Ισχύει ότι x 2y z x 2y z

Γ) Ισχύει x x 0 για κάθε x R

Δ) Ισχύει ότι x 3 x 3 για κάθε x R

Ε) Αν x y 0 τότε x 0 ή y 0

Στ) Αν x 1 0 τότε x 1

Ζ) Ισχύει ότι α α α α 0 , α R .

Η) Ισχύει ότι αν α β 0 τότε α β |

ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

63. Nα βρείτε τις απόλυτες τιμές

7 ... , 2 1 ..., 3 π ... , 2 2 ... ,

2 2 2α ..., 2 x ... , x π ... , 2 1 ... ,

32 163 4 ... 2x 4x 4 ... 0ημ38 1 ...

64. Αν α β γ να γράψετε χωρίς το σύμβολο της

απόλυτης τιμής την παράστασηΑ 3 α β 2 γ α 3 β γ

65. Αν 3 x 2 γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τις

παραστάσεις: Α=2 x 3 6 x 2 x 1

B x 8 4x , Γ 2x 6 , Δ 2 x x 4

66. Nα γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές τιςπαραστάσεις: A x 8 2x , Β 2x 6

Γ x 4 3x Δ 2x 4 2x 4

Ε 2 x 3 2 x 1 2ΣΤ 2 x x 4


Α) 2 x 2 8 0 Β) 4x 2 5

Γ) x 3 2x Δ) 7x 3 9x 5

Ε) 2x 4 x 5 Στ) 2x 5 2x 5

68. Να λύσετε τις εξισώσεις:A) x 1 2 1 B) x 1 x 5 20

Γ) 2 2x 9 x 5x 6 0 Δ) 2x 2 x 3 0

Ε) x 1 2 2 2x 513 6

Στ) x y 3x y 1 0

69. Αν α 1 5 και β 2 <3 να βρείτε που

μεταβάλλεται η παράσταση α β

70. Να λυθούν οι ανισώσειςΑ) x 1 7 Β) 5 x 6

Γ) 10 2x 3 1 Δ) 22x 1 7

Ε) 2x 3 0 Στ) 4x 1 7

Ζ) 2 x 2 3 2 2 x 1 3 x 2 4 3

71. Να λυθούν οι ανισώσειςΑ) 2 x 1 x 3 2x Β) x 1 2x 1

Γ) x 1 2 3 Δ) 1 x 1 6

72. Να αποδείξετε ότι:

Α) yx 2y x , αν x,y 0

Β) 1 1x xx x

αν x 0

Γ) Αν x 3 , y 8 τότε 3x 5y 49

Δ) 2x 5y x1 15x 2y y

73. Να λυθούν γεωμετρικά και αλγεβρικά οιεξισώσεις: i) x 1 x 3 ii) x 2 2 x 1 .

74. Να βρεθεί το x όταν:Α) d x,3 7 Β) 9 d(x,3) 2 Γ) 1 d x,2 3

75. Αν x 2 0,1 και

y 4 0,2 να εκτιμήσετε

την τιμή της περιμέτρουτων σχημάτων:

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

76. Χαράξτε έναν άξονα και πάρτε πάνω σ’ αυτόν τασημεία Α Β και Μ με συντεταγμένες 1, 2 και xαντίστοιχα, για κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:α) x 1, β) x 1, γ) 1 x 2, δ) x 2, ε) 2 x

Α)1) Τι παριστάνουν γεωμετρικά οι παραστάσειςx 1 , x 2 και x 1 x 2 .

2) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της παράστασηςx 1 x 2 και πότε αυτή παρουσιάζεται;

3) Παίρνει η παράσταση αυτή μέγιστη τιμή;Β)1) Τι παριστάνει γεωμετρικά η παράσταση

x 1 x 2 ;

2) Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη τιμή τηςπαράστασης x 1 x 2 και πότε παρουσιάζονται;

y

x

y

y

x

x

x


5

1.7 ΡΙΖΕΣ

77. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

Α) Ισχύει ότι 8 2 4x y x y για κάθε x , y

Β) Ισχύει ότι 4 12 3x x για κάθε πραγματικό x

Γ) Ισχύει ότι 3 33x 4 4x για κάθε πραγματικό x

Δ) Ισχύει ότι 52 2 5x x για κάθε πραγματικό x

Ε) Για κάθε x 0 ισχύει: 2x 1

x

Στ) Για κάθε x είναι 2( x) x

Ζ) Για κάθε πραγματικό α 0 ισχύει 33 2

α αα

Η) Ισχύει ότι 1 1 12 2

Θ) Αν x,y>0 τότε x y x y

Ι) Ισχύει ότι: 2 2α β α β

ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

78. Για κάθε x να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

i) 6x ii) 6 18x iii)

3 6x iv) 2x

x, x0, 2(2x)

79. Αν 3 x 2 , να απλοποιήσετε την παράσταση

Α= 2 2x 2 x 6x 9

80. Να απλοποιηθεί η παράσταση2 2x 4 x 4 x 4 x 4 αν x 2

x 2 x 2


Α) 8 20 3 80 2 500

Β) 12 27 75 48 108

Γ) 18 8 20 50 45 125

Δ) 1 1 11 2 2 3 3 4

82. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις 32 2 ,

32 2 και να απλοποιήσετε την παράσταση

3 320 14 2 20 14 2

83. Να μετατραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναμεςμε ρητό παρονομαστή.

Α) 2 3 3 22 3 3 2

Β) 9 x3 x

Γ) 12 3 5

Δ) 2

2x

1 1 x Ε) 3

15 1


Α) 3 2 32 3 2

B) 3 55 25 25 5

Γ) 75 31 21 15 1

Δ) 2 2 5 3 5 3

85. Αν α 0 να δείξετε ότι

Α) α 1 α α Β) α 1 α α

86. Αν x 1 2 και y 1 3 να αποδείξετε ότι οι

παραστάσεις: Α=3x2-6x+3 και Β=2y2-4y+2 είναι ίσες.


Α) 4 2 3 , Β) 9 32 , Γ) 4 15

88. Αν α,β 0 να αποδείξετε ότι :

Α) 2 α βα β1 1 2α β

89. Να αποδείξετε ότι: 10 2 15 5 3

90. Να συγκρίνετε τους 2 και 2 10

91. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

Α) (3 3)x 2 3 1

Β) 224 x 6x 9 3 x

92. Για ποιές τιμές του xR έχουν έννοια οι

παραστάσεις. Α= 42x 1

x 7x

Ε= xx 1 2

Ζ=x 1

x x

93. Να αποδείξετε ότι

Α) ο αριθμός 2 2

1 1

7 3 7 3

είναι ρητός

Β) 2 21 3 1 3 2 3

9 9 3

94. Να δείξετε ότι 7 3 2 53 5 5 7 3 7

95. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 10 2 5α x2 ,

5 1β=x2 και γ=x , όπου x θετικός αριθμός,

αποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου.



ΚΕΦ2ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

96. Να γράψετε πιο απλά τον τύπο της συνάρτησης:

2x 4x 4 αν x 2f x x 2

3 αν x 2

και να βρείτε την τιμή

της παράστασης: f 1 f 0 2f 2

97. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με τύπους

2x , x 1f(x)2x , x 1

,ι

-x 1 x 0g(x)

x x 0

. Να βρείτε

f( 1), f(0), f( 3), f(3/4), g(0), g( 5), g(5).

98. Αν είναι f x 2x 6 , να βρεθούν οι

πραγματικοί α και β ώστε να ισχύει: f α 8 και

f 8 β .

99. Aν για την συνάρτηση 3f x αx 2βx ισχύουν

f 1 2 και f 2 20 να βρείτε το f 3 .

100. Aν f(x)=2αx βx x 1

2x β x 1

να υπολογίσετε τα α, β

ώστε να ισχύει f(3)=1 και f(1)=3

101. Δινεται η συναρτηση αx 4 , x 1

f(x)αx 2β ,x 1

. Να

βρεθουν τα α,β ώστε f(-1)=f(2)

102. Αν f(x)=2x x 3

5x 1 x 5

Nα βρείτε την τιμή του

πραγματικού λ ώστε να ισχύει –2f(-1)+λf(10)=157

103. Αν f x 2x 1 και για κάθε x R , να

υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α) f x 3

Β) 2f 1 x Γ) f 2x f(0) Δ) f x f(x)

104. Για τη συνάρτηση f x 3x , να δείξετε ότι:

A) f α 1 f α 2 f α 3 3f α 18

B) f κα λβ μγ κf α λf β μf γ .

105. Αν 22

1f x xx

τότε ισχύει 1f x f 0x

106. Αν 2f x x , x R να αποδείξετε ότι για κάθε

α,β R ισχύει: α βf α f β 2f2

107. Αν 2f x x x να λύσετε την εξίσωση

f x 1 2f x 3f 0 f 1 .

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ

108. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων:

Α) 22xf x

9 x

,

2

2x +4h x

x 4x 3

,

B) 2

2xf xx 1

x 1 4-xf xx-3

Γ) 3f xx 2 1

21f x

|x| x

.

Δ) f x 2 |x 3| 2f xx 1

Ε) 34 xf x

x x

. x 1 x 4f x|x| 2

109. Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση

f(x) = 23x - 1

x α έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ – ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ

110. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα

A 1,2 , B 0,1 , Γ 2,1 είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

111. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 2x . Να βρεθεί η

απόσταση των σημείων Α 1,f(1) και Β 1,f( 1)

112. Να βρεθεί σημείο Γ του άξονα xx΄ τέτοιο ώστε τοτρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΑΓ,ΒΓ , όπου Α(1,1), Β(4,2)

113. Δίνονται τα σημεία Α(-1,-1), Β(2,4). Να βρείτεσημείο Μ της ευθείας y=x ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναιισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΜΑ και ΜΒ.

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

114. Δίνονται τα σημεία Α 3,4α 2 B 3, 2

Γ 4,2β 6 , Δ 3γ 1, 4 , Ε 1, 1 και Ζ 2δ, 1 .

Να βρείτε τους πραγματικούς α, β, γ, δ αν γνωρίζετε

ότι: Τα Α και Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξοναx x , τα Ε και Ζ είναι συμμετρικά ως προς το 0,0 , το

Γ βρίσκεται πάνω στον x x και το σημείο Δ βρίσκεταιστον y y

115. Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε τα σημεία :

i) 2Α λ , λ 2 , B 3,4 5λ να είναι συμμετρικά

ως προς το σημείο Ο 0,0 .

ii) 2A λ ,4λ , 2Β λ 3, λ να είναι συμμετρικά ως

προς την ευθεία y x

iii) A 4,3 , 2B 4, λ 1 να είναι συμμετρικά ως

προς τον άξονα x x .


7

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ-ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ

116. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= α x 3 . Nα βρεθεί τοα R ώστε η Cf να διέρχεται από το Μ(4,2)

117. Δίνεται η συνάρτηση f x 2x 1x 2

. Να βρείτε τα

σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τουςάξονες y y , x x και την την ευθεία y 1

118. Δίνεται η συνάρτηση: f(x)=(3μ-1)x+2 με μ<0. Ναβρεθεί το μ ώστε το Cf να τέμνει τους άξονες σε σημεία

που απέχουν απόσταση ίση με 5 .

119. * Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα είναιγραφική παράσταση συνάρτησης; Στις περιπτώσεις πουείναι να σημειώσετε το πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών.

0x´

y´

y

x

x´

y´

y

x0 x´

y´

y

x0

x´

y´

y

x0x´

y´

y

x0

A. B.

Δ. Ε.Γ.

120. Να βρείτε τα κοινά σημεία τομής των γραφικώνπαραστάσεων των συναρτήσεων:Α). f(x) = x - 1 και g(x) = -x+ 1Β) f(x) = x3 - x και g(x) = x2 - 1

121. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις τωνσυναρτήσεων: f(x)=x+2 , g(x)=-x+3, h(x)=2x+1 στο ίδιοσύστημα συντεταγμένων και να υπολογίσετε το εμβαδόντης περιοχής που περικλείεται από αυτές.

122. Nα κάνετε τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης f(x)=x 4

0x 3

, x 1

, 1 x 2,x 2

123. Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x)=2x

1 2x

,,

x 0x 0

και

g(x)=x+2 . Nα βρεθούν τα σημεία τομής των Cf , Cg

καθώς και η απόστασή των.

124. Εξηγήστε γιατί ο κύκλος δεν είναι γραφικήπαράσταση συνάρτησης.

ΕΥΘΕΙΕΣ

125. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία

y= 3 x+3 με τον άξονα xx΄

126. Δίνεται η ευθεία ε: y= 3 2 λλ 2 xλ λ

. Να

προσδιοριστεί ο λ ώστε η ε να είναι :Α) παράλληλη στην ευθεία y=-2Β) παράλληλη στην ευθεία x y 5

Γ) κάθετη στην ευθεία 2y=-8x+1Δ) να διέρχεται από το σημείο (3,-1)

127. Αν οι ευθείες ε1: y= 2λ 1 x λ και

ε2 : y=2λx είναι παράλληλες να αποδείξετε ότι οι ευθείες

ε3: y=2λ 3 x 14

και ε4: y=λ(1+x)+8, είναι κάθετες

ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ

128. Σε κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσειςεξετάστε ποια είναι άρτια και ποια είναι περιττή.Α) f(x)= x 1 x 1 2

Β) f: (-1,2] R με f(x)= 3x x

129. Α) Έστω f , περιττή συνάρτηση. Να αποδείξετε ότιαν f0 D τότε f 0 0

Β) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή κάθε μιααπό τις συναρτήσεις:

Α) 1 x x 0

f x1 x x 0

Β)

3x 4f x

3x 4

x 0x 0

130. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι f 2 4 . Nα βρεθεί το f 2 αν γνωρίζετε ότι :

Α) η f είναι άρτια Β) η f είναι περιττή

131. Δίνεται συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα για

κάθε x,y R ισχύει f x y f x f y . Δείξτε ότι:

f 0 0 και ότι η f είναι περιττή

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

132. Να βρείτε τη μονοτονία των συναρτήσεων

Α) f(x)=-2x+3 f(x)= 2 3x 1

Β) f(x)= 34x 1 f(x)= xx 1

στο ( ,1 )

133. Δίνεται η συνάρτηση: f(x)= (|λ| 3)x 10 . Να

προσδιοριστεί ο λ ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα.

134. Η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο R με

f (x)>0 για κάθε xR. Nα αποδείξετε ότι η 1g(x)f(x)

είναι γνησίως φθίνουσα στο R.



ΑΚΡΟΤΑΤΑ

135. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων

Α) f(x)=-2(x+1)2+3 f(x)=1+ 2x 3

Β) f(x)=x4+x2-1 f(x)=- x 5 +3

Γ) f(x)=1-(2x-4)4 f(x) 6 x 2

Δ) f(x)=-3x+4 αν έχει πεδίο ορισμού το Α=[-1,2].

ΚΕΦ2 - ΓΕΝΙΚΕΣ-

136. Να αποδείξετε ότιΑ) μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση δεν μπορεί ναείναι άρτια.Β) η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονηςσυνάρτησης τέμνει τον x΄x σε ένα το πολύ σημείο

137. Για την ευθεία λ 4ε: y x 5λ-1

. Nα βρείτε:

Α) Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναιπαράλληλη προς την ευθεία δ: y 6x 1 .

Β) Τις τιμές του λ ώστε το σημείο A(2, 3) να ανήκει

στην γραφική παράστάση της ευθείας ε.Γ) Τις τιμές του λ ώστε η ευθεία ε να είναιπαράλληλη προς τον άξονα xx .Δ) Τα σημεία τομής της με τους άξονες.

138. Για ποιες τιμές του λ η ε1 : y= 3x λ 1 x5

είναι

κάθετη στην ευθεία ε2: y= λ 3 λx2 3

.

139. Δίνεται η συνάρτηση 2x 2 x 1f x

2x 1 x 1

α) Να λυθεί η εξίσωση f x 2f 2 0

β) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττήγ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της στο [1,+)δ) Να γίνει η γραφική της παράσταση.

140. Έστω η συνάρτηση f(x)=λx+2, λ<0. Να βρείτε:Α) Τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης μετους άξονες.Β) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται απότη γραφική παράσταση και τους άξονες.Γ) Την τιμή του λ ώστε το εμβαδόν του παραπάνωτριγώνου να είναι 2 τετραγωνικές μονάδες.

141. Δίνεται η συνάρτηση f x λx 2 , λ 0 . Να

βρείτε:Α) Τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης μετους άξονες.Β) Το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται απότη γραφική παράσταση και τους άξονες.Γ) Την τιμή του λ ώστε το εμβαδόν του παραπάνωτριγώνου να είναι 2 τετραγωνικές μονάδες.

142. Να επιλυθούν γραφικά ανισώσεις: 2x 4 0 , 2x 4 0 , x 2 και x 2.

143. Δίνεται η συνάρτηση f x x 2 1

Α) Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττήΒ) Να βρείτε το ακρότατο της fΓ) Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς τηνμονοτονίαΔ) Να γραφτεί ο τύπος της χωρίς την απόλυτη τιμήΕ) Να γίνει η γραφική της παράστασηΣτ) Να βρείτε –αν υπάρχουν- τα σημεία στα οποία ηγραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονεςΖ) Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης με τηνευθεία y=3Η) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου πουπερικλείεται από την γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης και την ευθεία y 3

Θ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές

144. Να προσδιοριστεί ο κ ώστε όταν η συνάρτηση

f(x)= 2(3κ 1)x παρουσιάζει ελάχιστο και η συνάρτηση

g(x)= 2(3 |κ 2|)x να παρουσιάζει για την ίδια τιμή του

x μέγιστο

145. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφικήπαράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το .A) Να βρείτε το f(0) και f(1)

B) Να λύσετε την εξίσωση: f(x) 0

Γ) Να λύσετε την ανίσωση: f(x) 0

Δ) Να λύσετε την ανίσωση: f(x) 0

146.

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2 -1 0 1 2 3 4 5


9

ΚΕΦ2 - ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

147. Δίνονται οι ευθείες : ε1: y 3λ(λ 1)x 12 και ε2:

1y x - 1-3λ - 9

με λR

Α) Να ελέγξετε αν υπάρχει τιμή του λ για την οποίαη ευθεία ε2 περνάει από την αρχή των αξόνων.Β) Να βρεθεί ο λR ώστε το σημείο Μ(-1,-6), να είναισημείο της ευθείας ε1. Γ) Να αποδείξετε ότι οι ε1 και ε2 είναι κάθετες, στηνπερίπτωση που ο λ ισούται με την μεγαλύτερη από τιςτιμές, που βρήκατε στο Β) ερώτημα.Δ) Να βρείτε την απόσταση των σημείων στα οποία ηε2 τέμνει τους άξονες, όταν ο λ ισούται με την μικρότερηαπό τις τιμές, που βρήκατε στο Β) ερώτημα.

148. Έστω μια συνάρτηση y=g(x), της οποίας ηγραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα.Παρατηρώντας την γραφική παράσταση να απαντήσετεστα παρακάτω ερωτήματαΑ). Ποιό είναι το πεδίο ορισμού της g;Β). Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της g(γνήσια αύξουσα, γνήσια φθίνουσα)Γ). Να βρείτε για ποιες τιμές του x ,η g παρουσιάζειακρότατα, και ποια είναι αυτά.Δ). Να ελέγξετε αν η g άρτια ή περιττή.Ε). Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

g(2) g( 2) g( 3)

Στ). Είναι σωστό ότι g(0)>g(3); (γιατί;)Ζ). Για ποιες τιμές του x ισχύει ότι g(x)=1 ;Η). Για ποιες τιμές του x ισχύει ότι g(x) >1 ;

149. Δίνονται οι ευθείες (ε 1) : y = 2x – 3 ,

(ε2) : 2 3y λ x 24

, λR *.

Α. Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες να είναι κάθετεςΒ. Για το λ του Α ερωτήματος, να βρείτε : Το σημείαΑ στο οποίο η ευθεία (ε 1) τέμνει τον άξονα y΄y και τοσημείο Β στο οποία η (ε 2) τέμνει τον x΄x και τηναπόσταση (ΑΒ) .

150. Δίνεται η συνάρτηση 2

2x 3 , x 2f(x)

2x ,x 2

. Να

λυθεί η ανίσωση: f(2)x 3 f(1)4

151. Δίνεται η συνάρτηση f(x) x 1

Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού τηςΒ) Να αποδειχτεί ότι είναι άρτιαΓ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικήςπαράστασης της f με τον άξονα x xΔ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της fτέμνει τον άξονα y y

152. Έστω η συνάρτηση f με

f(x) κ x+1 , x 1 , κ R .

A) Να βρεθεί η τιμή του κ ώστε το σημείο Α(3 , 8) ναανήκει στη γραφική παράσταση της f .Για την τιμή του κ που βρήκατε στο Α. ερώτημα :Β.1 Να βρεθεί η απόσταση των σημείωνΑ(3 , 8) και Β(8 , f(8)) .Β.2 Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή .

153. Έστω η συνάρτηση f με |x 1| 2f(x)x 4

.

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f .Β. Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της fτέμνει τους άξονες και σε ποια σημεία ;Γ. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

9f( 1) 3f(7) 2f(12) f( 5)8

154. Δίνονται τα σημεία Α(κ, 2) και Β(1 , 2κ), κ R

Α)) Να αποδείξετε ότι AB 5 κ 1

ΒΒ) Αν AB 5 να βρείτε τις τιμές του κ

Γ) Αν κ 0 να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωσηy 2x 2 διέρχεται από τα σημεία Α και Β.

155. Δίνεται η συνάρτηση 210x 2 xf x

2 10 x

.

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f , Αf

Β. Να δείξετε ότι f(x) = x, για κάθε xΑf

Γ. Να λύσετε την εξίσωση 2x 9x 2

= f(x) .

156. Δίνεται η συνάρτηση :

2

1 x αν x 0f(x)

x 6λ λ αν x 0

με λ R

Α) Να βρείτε το λ ώστε f 0 f 8

Β) Αν λ 3 τότε:α) Να βρείτε την απόσταση των σημείων A 3, f(3)

και B 5,f( 5)

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

P 2 2f 1 4 f 9 4



157. Δίνεται η συνάρτηση 31 x

f xx x

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού τηςΒ) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχεικέντρο συμμετρίας το σημείο O 0,0

158. Δίνονται οι ευθείες 1ε : 2y λ x 5 και 2ε :

y 5λ 6 x 8 όπου ο λ είναι πραγματικός αριθμός.

Α) Να υπολογίσετε το λ ώστε οι ευθείες 1ε και

2ε να είναι παράλληλες

Β) Για λ 2

α) να αποδείξετε ότι το σημείο A 1,1 είναι σημείο της

ευθείας 1ε και ότι το σημείο B 1,4 , είναι σημείο της

ευθείας 2ε

β) να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων A 1,1 και B 1,4

159. Δίνονται οι ευθείες: 1ε : y λ 4 x 11 και

2ε : y 11 2λ x 2 με λ R .

Α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι 1ε και 2ε

να είναι παράλληλες.Β) Για λ 5

α) Να γράψετε τη μορφή που παίρνουν οι 1ε και

2ε

β) Αν A είναι το σημείο στο οποίο η 1ε τέμνει τον

άξονα x x και B το σημείο στο οποίο η 2ε τέμνει τον

άξονα y y , να βρείτε την απόσταση AB

160. Δίνεται η συνάρτηση 1f xx 4 x

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης fΒ) Να αποδείξετε ότι είναι περιττήΓ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

2 2f(2) 1 f( 2) 1


2

1 x αν x 0f(x)

x 6λ λ αν x 0

με λ R

Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε f(0) f 8

Β) Αν λ 3 τότε:α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

33 f 18

β) Να βρείτε την απόσταση των σημείων 3,f 3

και 0,f 0


1xxf x

x 1

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και νααπλοποιήσετε τον τύπο της μον12Β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή μον5Γ) Να λύσετε την ανίσωση f x 1 μον8

163. Δίνεται η συνάρτηση 2|x| 3f(x)x 9

Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια.Γ. Υπολογίστε την τιμή της παράστασηςf(2008) f( 2008)

164. Δίνονται οι ευθείες 1ε : 2y λ 6 x 5 και

2ε : y 5λx 8 με λ R

Α) Να βρείτε –αν υπάρχει- τιμή του λ ώστε η 1ε

να διέρχεται από το σημείο 2,4

Β) Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες 1ε και 2ε να

είναι παράλληλεςΓ) Αν λ 3 να βρείτε τα σημεία στα οποία η 2ε

τέμνει τους άξονες

165. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΔίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 20 cm και το μέσον Ο της ΑΔ. Ένα κινητό σημείο Μ ξεκινά από το Α και,διαγράφοντας την πολυγωνική γραμμή ΑΒΓΔ, καταλήγει στο Δ.

Αν με x συμβολίσουμε το μήκος της διαδρομής που έκανε το κινητό Μ και με f(x) το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου,

α) Να βρείτε τον τύπο της f και να την παραστήσετε γραφικάβ) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία ισχύει f(x) 120 cm2 .

Δ A Δ A Δ

Γ Β Γ Β Γ Β

Ο Ο Ο

Μ

Μ

Μ

A


11

ΚΕΦ3ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ- ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

166. Δίνεται το σύστημα: λx y λ 1x 2λy λ

, λ R

Α) Να λυθεί το σύστημαΒ) Να υπολογίσετε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λώστε για τη λύση του συστήματος (x,y) που βρήκατε στοπροηγούμενο ερώτημα να ισχύει: x y 0


2

1 x αν x 0f(x)

2x λ 3 αν x 0

με λ R

Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε f(0) 1

Β) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης fστην περίπτωση που ο λ ισούται με την μεγαλύτερη απότις τιμές που βρήκατε στο α) ερώτημα.Γ) Για την συνάρτηση f του β) ερωτήματος:α) να βρεθούν τα f( 2) , f(3, 5) ,

β) Να λύσετε το σύστημα : f( 2)x 4y 126x f(3,5)y 10

168. Να λύσετε το (Σ): 7|x 2| |3 y| 313|x 2| 4|3 y| 0

169. Δίνεται το (Σ):

μ 2 x 5y 5 x μ 2 y 5

, μ R

α) Να βρείτε την ορίζουσα του συστήματος (D)

καθώς και τις ορίζουσες xD και yD του συστήματος.

β) Για ποιες τιμές του μ έχει άπειρες λύσειςγ) Για ποιες τιμές του μ έχει μοναδική λύσηδ) Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση o ox ,y , να

βρείτε τη λύση αυτή.ε) Να υπολογίσετε τις τιμές του πραγματικούαριθμού μ ώστε για τη λύση του συστήματος o ox ,y , του

δ) ερωτήματος, να ισχύει: ο o2x y 5

170. Δίνεται ένα σύστημα (Σ) 2 γραμμικών εξισώσεωνμε 2 αγνώστους x και ψ και D , Dx , Dψ οι ορίζουσεςτου συστήματος οι οποίες ικανοποιούν το παρακάτωσύστημα : Σ1: D.Dx + Dψ = 0 Dx + D.Dψ = 0Α) Να λύσετε το Σ1 , με αγνώστους τους Dx , Dψ

Β) Να λύσετε το (Σ) .

171. Δίνεται το (Σ) (λ 1)x y 2

, λ Rx (λ 1)y 2

Α) να λύσετε το σύστημα (Σ) για κάθε λ στο RΒ) Στην περίπτωση που το (Σ) έχει μοναδική λύση

(χο,y0) και ισχύει 4 20 0x y 2 να βρεθεί το λ στο R.

172. Δίνεται το σύστημα: μ - 2) x + 5y = 5 x + μ + 2) y = 5Α) Αποδείξτε ότι το σύστημα αυτό έχει μία λύση γιαοποιαδήποτε πραγματική τιμή του μ εκτός του 3 και του-3. Β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα, όταν:α) μ = 3β) μ = - 3

173. Δίνεται το σύστημα (Σ): x 2y 63x y λ

Α) Αποδείξτε ότι έχει μοναδική λύση 0 0x ,y .

Β) Για ποιες τιμές του λ ισχύει : 0 0x y 0

174. Δίνεται το σύστημα 2λ x y 1 0

(Σ) : 2x y 1

λ R

Α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες x yD, D , D του

συστήματος (Σ) .

Β) Για ποιες τιμές του λ R το σύστημα (Σ) έχει

μοναδική λύση; Ποια είναι αυτή; Γ) Αν λ 1 , ποια είναι η σχετική θέση των ευθειώνπου αντιστοιχούν στις εξισώσεις του (Σ) ;

175. Να σχηματιστεί εξίσωση δευτέρου βαθμού με

ρίζες x1 , x2 ώστε :

1 2 1 2

1 2 1 2

λx x λ+1 x x 2λ-1 x x λ x x 3

176. Δίνεται το σύστημα 2

1λx y λ Σx λy 1

και τα

τριώνυμα 2 2f x x 3x λ, g x x λx 3 .

Α. Να βρεθεί το λ ώστε το σύστημα να έχει μοναδικήλύση, η οποία να υπολογιστεί συναρτήσει του λ.Β. Εάν η μοναδική λύση του παραπάνω συστήματοςείναι 0 0x , y και ισχύει 0 0x 3y 3 0 , να λυθεί η

ανίσωση f x g x .

Γ. Βρείτε τη λύση του γραμμικού συστήματος

1 x 2 x yD λ D λ D D 0 όπου 1λ και 2λ είναι

οι τιμές για τις οποίες το 1Σ είναι αδύνατο και έχει

άπειρες λύσεις αντίστοιχα.

177. Ένας κτηνοτρόφος έχει στη στάνη του 50 ζώα,πρόβατα και κότες. Αν όλα τα ζώα έχουν 164 πόδια,πόσα χρήματα θα εισπράξει αν πουλήσει τα μισάπρόβατα προς 200 ευρώ το καθένα και το 1/3 από τιςκότες προς 20 ευρώ τη κάθε μία.



ΚΕΦ4ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ

178. Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσηςx2+xy+y2=0 για κάθε x , y

179. Δίνεται η εξίσωση (λ23λ+2)x2 +2(λ2)x+1 =0 .α. Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση είναιδευτέρου βαθμού;β. Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχειρίζες πραγματικές;

180. Δίνεται η εξίσωση λx2+x+5=0Α) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει 1 ρίζα;Β) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα;Γ) Να βρεθεί η διπλή ρίζα της εξίσωσης για την τιμήτου λ που βρήκατε στο Β) ερώτημα.Δ) Αν ρ είναι η διπλή ρίζα της εξίσωσης να υπολογίσετε

την παράσταση Α(x)= 2(x ρ) για κάθε πραγματικό x

181. Δίνεται η εξίσωση x2 + βx +γ=0 με γ<0.A). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες.Β). Αν x1 , x2 οι δύο ρίζες της εξίσωσης να γράψετε σεσχέση με τους αριθμούς β, γ τις παραστάσεις:Α = x1 + x2 , Β = x1 x2 , Γ = x12 + x22

Γ). Οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι αριθμοί ομόσημοι ήετερόσημοι; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Δ). Να αποδείξετε ότι: 1 2d x ,x Δ , όπου Δ η

διακρίνουσα της εξίσωσης.

182. Δίνεται η εξίσωση λx 2–(λ–1)x+2λ–2 = 0 (1), λRΑ. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει 2πραγματικές και ίσες ρίζες . Β. Αν λ 0,25 και x 1, x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης(1), χωρίς να βρεθούν αυτές , να βρείτε την τιμή της

παράστασης 2 21 2 1 2

1 2

6 6A x x x xx x

183. Δίνεται η εξίσωση α x2 + ( α +β)x +β = 0, α>0Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες γιαοποιεσδήποτε τιμές των α, β.Β. Αν x1, x2 οι δύο ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετεότι x1+x2 + x1x2=-1.

Γ. Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α μεα 1 ,να αποδείξετε ότι β = α

184. Αν ρ1, ρ2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx2+βx+γ=0και x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης κx2+λx+μ=0 να βρείτεεξίσωση που να έχει ως ρίζες τις παραστάσεις x1ρ1+x2ρ2

και x1ρ2+ρ1x2.

185. Αν x1,x2 είναι οι ρίζες της αx2+βx+γ=0 με α,β,γδιάφορα του μηδενός και ρ1,ρ2 οι ρίζες της εξίσωσης:x1(x-x2)2+x2(x-x1)2=0 , να αποδειχθεί ότι, αν οι x1,x2 είναιετερόσημες, τότε και οι ρ1,ρ2 είναι ετερόσημες.

186. Δίνετε η εξίσωση x2-2x+λ+2=0. Να βρεθούν οιτιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η εξίσωση να έχειΑ) Δύο ρίζες ετερόσημες.Β) Δυο ρίζες αντίστροφες.Γ) Δυο ρίζες αρνητικές.

187. Έστω η εξίσωση 2 x24x1=0 και ρ1,ρ2 οι ρίζεςτηςA) Να βρεθούν -χωρίς να υπολογιστούν οι ρίζες- οιτιμές των παραστάσεων:

i) 3 31 2ρ ρ , ii)

2 21 2

2 1

ρ ρρ ρ

iii) 3 31 2 1 22 21 1 2 2

ρ ρ ρ ρ 1ρ 2ρ ρ ρ

iv) 1 2ρ ρ . v) 1 2ρ ρ

B) Να σχηματίσετε εξίσωση β΄ βαθμού με ρίζες x1,x2

τις παραστάσεις iv, v του προηγούμενου ερωτήματος καιμετά να υπολογίσετε το x12+x22.

188. Έστω η εξίσωση x2 –(λ-1)x-λ=0 (1)Α) Για ποιες τιμές του λ η (1) έχει δύο ρίζες άνισες:Β) Να βρεθεί ο λ ώστε οι ρίζες της να είναι αντίθετες.Γ) Να λυθεί η ανίσωση d(x, λ) 5-λ όταν η εξίσωση

έχει μία διπλή ρίζα

189. Δίνεται η εξίσωση x2+(2λ1)x+λ2+λ+1=0 (1)Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R η (1) έχει δύορίζες πραγματικές και άνισες.Β) Εάν x1, x2 είναι οι ρίζες της (1) να βρείτε τις τιμέςτου λ R για τις οποίες ισχύει x1+x2+3x1x2 +3λ2 0.

190. Δίνεται η εξίσωση x22x+(λ1) = 0, με λ R.Αν x1, x2 είναι οι ρίζες της να βρείτε για ποια τιμή του λείναι 3x13+8x12x2+8x1x22+3x23 = 192.

191. Αν για τους αριθμούς α , β , γ ισχύει: γ(α+β+γ)<0,α 0,να αποδείξετε ότι:A) Η εξίσωση αx2+βx+γ = 0 δεν μπορεί να έχει ρίζεςτους αριθμούς 0 και 1.B) Η εξίσωση αx2+βx+γ = 0 έχει δύο ρίζες άνισες.Γ) Αν x1 , x2 οι ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι:x1x2(1-x1 )(1-x2)<0.Δ) Να αποδείξετε ότι μία μόνο ρίζα της εξίσωσης θαείναι στο διάστημα (0 , 1).

192. Να βρεθούν οι α, β R για να είναι οι ρίζες τηςεξίσωσης x2 + αx + β = 0 ίσες με α και β

193.


13

ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ

194. Nα λυθεί η εξίσωση 22x 1 x 3x 2 0

195. Για ποιες τιμές της παραμέτρου α οι εξισώσεις2x αx 1 0 και 2x x α 0 έχουν μια κοινή ρίζα.

196. Δίδεται η εξίσωση 2 2x 2λ 1 x 2λ λ 0 η

οποία γνωρίζουμε ότι έχει δύο πραγματικές ρίζες, έστω

1 2x , x . Να αποδείξετε ότι:

1 20 x x 2 και 2 21 20 x x 2

197. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2x2-7x+2=0έχει δύο θετικές ρίζες x1 , x2

ii) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων

Α= 4 41 2 1 2x x B x x

198. Αν η εξίσωση x2 +μx+κ =0 έχει διπλή ρίζα τότε τοίδιο θα συμβαίνει και για την

2 2

2μ μ1 κ+ x μ 1+κ x+κ κ-1 + 02 2

199. Α. Δείξτε ότι η εξίσωση αx2 + βx +γ =0 έχει δύορίζες και μάλιστα ετερόσημες αν και μόνο αν αγ<0.

Β. Έστω η εξίσωση 2λ 1 3 x 2λx λ 1 3 0

α) Βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζατην οποία και να υπολογίσετε.β) Βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχειδύο ρίζες ετερόσημες.

200. Δίνεται η εξίσωση 2x 10x 20 0 η οποία έχειρίζες τους αριθμούς 1x και 2x . Να βρείτε το πρόσημο

του αριθμού 20051 2x x

201. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

2 2 2 2 2 2γ x γ α β x β 0 όπου τα α,β,γ είναι μήκη

πλευρών ενός τριγώνου, δεν έχει πραγματικές ρίζες.

202. Να βρεθούν αν υπάρχουν οι τιμές του λ R γιατις οποίες η ανίσωση (λ-2)x2-2λx+3λ<0 να αληθεύει γιαόλες τις πραγματικές τιμές του x;

203. Δίνεται η εξίσωση 2x βx γ 0 και ισχύει η

σχέση: 23β 16γ .

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζεςπραγματικές και ομόσημες, τις ρ1 και ρ2.Β) Να αποδείξετε ότι ρ1 =3 ρ2.Γ) Αν για το άθροισμα S των ριζών ισχύει S 4 ,να λύσετε την ανίσωση βx 1 γ 0

204. Έχουμε δύο διαλύματα ενός φυτοφαρμάκου όπουτο πρώτο περιέχει 800 gr καθαρού φυτοφαρμάκου ενώ

το δεύτερο 600 gr . Όταν ενώσουμε τα δύο διαλύματα

δημιουργούμε ένα νέο διάλυμα βάρους 10 Kgr . Η

περιεκτικότητα σε φυτοφάρμακο στο πρώτο διάλυμαείναι κατά 10% μεγαλύτερη από το δεύτερο. Να βρείτετα βάρη των διαλυμάτων. (Απ. 4 και 6)

205. Ένα βαρέλι περιέχει 54 lt κρασί. Βγάζουμε μιαποσότητα κρασί και προσθέτουμε την ίδια ποσότητανερού. Μετά ξαναβγάζουμε την ίδια ποσότητα από τομείγμα. Στο βαρέλι παραμένει ένα μείγμα που περιέχει24 lt καθαρό κρασί. Να βρείτε πόσα λίτρα κρασίβγάλαμε αρχικά. (Απ. 18)

206. Ένας επενδυτής πούλησε μια μετοχή αντί 21 euroκαι υπολόγισε ότι ζημιώθηκε τόσο επί τοις εκατό όσο τηναγόρασε. Να βρείτε πόσα euro έχασε (Δύο λύσεις)

207. Σε μια γεωργική περιοχή αναλογεί ως έκτακτηενίσχυση, εξ΄ αιτίας φυσικής καταστροφής, το ποσό των3000 euro. Σε κάθε παραγωγό αναλογεί το ίδιο ποσό.Επειδή είχε γραφτεί κατά λάθος ένας παραγωγόςπαραπάνω, τον έσβησαν και οι υπόλοιποι πήραν, οκαθένας 100 euro περισσότερα. Να βρείτε πόσοι ήταντελικά οι δικαιούχοι.

(Απ: 5)

208. Έστω 2f x (λ 2)x 2λx 3λ , λ 2

Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες ηανίσωση f(x) 0 αληθεύει για όλες τις τιμές του x

Β) Αν λ 4 να λύσετε την εξίσωση f x 8x 18

209. Δίνεται το τριώνυμο 2P x αx βx 2001 με

α 0 Να αποδείξετε ότι:

A) Αν P(x) 0 για κάθε x R τότε P 2004 0

B) Αν είναι α+β>2001 τότε η εξίσωσηαx2 + βx -2001=0 έχει ρίζες πραγματικές .

210. Δίνεται η εξίσωση (λ-1)x2 -λx +2λ=0 λ 1i) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες στο Rii) Αν x1, x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης για ποιες

τιμές του λ είναι 1 2

2 1 1 2

x x λ λx x x x

211. Να απλοποιηθούν τα κλάσματα :2 2

2 2x αx 6αA

x 5αx 6α

,

2 2

2 2x α β x 2α 2αβ

Bx 4α β x 3α 3αβ



ΚΕΦ4ΓΕΝΙΚΕΣ - ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

212. Δίνεται η εξίσωση λx2 –(λ–1)x+2λ–2=0 (1), λRΑ. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να έχει 2πραγματικές και ίσες ρίζες

Β. Αν 1λ4

και x 1 , x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης

(1), να βρείτε την τιμή της παράστασης:

2 21 2 1 2

1 2

6 6A x x x xx x

213. Δίδονται τα τριώνυμα Ρ(x) = – x 2 + 4x – 4 ,Q(x) = x 2 + 1 , K(x) = x 2 – 5x + 6 .Α. Να βρεθεί το πρόσημο σε κάθε ένα από ταπαραπάνω τριώνυμα για κάθε xR

Β. Να λυθεί η ανίσωση Ρ(x) Q(x) 0K(x)

214. Δίνεται η εξίσωση α x2 + ( α +β)x +β = 0 μεα>0, β R .

α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες γιαόλες τις τιμές των α , ββ. Αν 1x , 2x είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης να

αποδείξετε ότι 1 2 1 2x x x x 1

γ. Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός α ,μεα 1 ,να αποδείξετε ότι β = α

215. Δίνεται η συνάρτηση

2 2f x 2x λ 1 x κ 2κ , x R και κ, λ R .

Γνωρίζουμε ότι για x 1 η f έχει ελάχιστο το 3 .Α. Να βρείτε τα κ και λΒ. Αν κ 1 και λ 3 τότε:

α) Να λυθεί η εξίσωση 2 2f x 2x 2x f x

β) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με

2g x x f x 4

216. Δίνεται η εξίσωση 2λx (λ 1)x λ 1 0 , λ 0

Α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωσηέχει δύο ρίζες πραγματικές και ίσεςΒ) Για τις τιμές του λ που βρήκατε στο Α) ερώτημα,να αποδείξετε ότι οι ευθείες y (2λ 1)x 2 και

y 3λ(λx 1) είναι παράλληλες

217. Έστω η εξίσωση 2λ 2 x 2λx 3λ 0 με λ 2

Α) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζα το 1;Β) Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχειδύο ρίζες πραγματικές και άνισες;Γ) Αν 1 2ρ , ρ είναι οι δύο οι ρίζες της παραπάνω

εξίσωσης να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε για αυτές ναισχύει η ανίσωση: 1 2 1 2ρ ρ 2ρ ρ

218. Έστω 2f x (λ 2)x 2λx 3λ , λ 2

Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες ηανίσωση f(x) 0 αληθεύει για όλες τις πραγματικές τιμές

του xΒ) Αν λ 4 να λύσετε την εξίσωση f x 8x 18

219. Δίνεται συνάρτηση f με 2f(x) x 42x

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

Β) Να λυθεί η εξίσωση 2 2x f(1) x f(1) 2004

220. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες η

ανίσωση: 22λx (5λ 2)x 4λ 1 0,λ 0 , αληθεύει για

όλες τις πραγματικές τιμές του x.

221. Οι αριθμοί ρ1 και ρ2 είναι οι ρίζες εξίσωσης 2ου

βαθμού με S = ρ1+ρ2, P=ρ1ρ2 τέτοια ώστε Ρ+2S = 2 καιΡ 2S = 10.Α. Να δείξετε ότι S = 3 και Ρ = 4Β. Να βρείτε την εξίσωση x2+κx+λ = 0 που έχει ρίζεςτους ρ1+2 και ρ2+2Γ. Να λύσετε την ανίσωση x2+κx+λ 0

222. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (λ1)x2 λ2x + 3 μελIR.+, της οποίας η γραφική παράσταση είναι μιαπαραβολή που περνά από το σημείο Α(1,0)Α. Να βρείτε το λΒ. Για την τιμή λ=2 να μελετήσετε την συνάρτηση ωςπρος την μονοτονία και τα ακρότατα,Γ. Να σχηματίσετε την εξίσωση που έχει ρίζες τις

ρ1=1

1x

, ρ2=2

1x

, όπου x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=0.

223. Έστω η συνάρτηση 2f(x) x (λ-1)x-λ

Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η f να έχει δύορίζες άνισεςΒ) Αν x1, x2 ρίζες της συνάρτησης f να βρεθεί η τιμή

του λ R ώστε: 1 2

1 1 1x x

Γ) Να λυθεί η ανίσωση d(x, λ) 5-λ όταν η f έχει

μία διπλή ρίζα

224. Να λυθεί το σύστημα: 2

2

x 4 0

x 7x 6 0


15

225. Δίνεται το τριώνυμο 2f x λ 2 x 2 λ x λ

με λ R 2 .

A) Να βρείτε το λ , ώστε το τριώνυμο f(x) να έχει

ελάχιστο στο 2 .B) Αν λ 4 και 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης

f x 0 , να λύσετε την ανίσωση 1 2

f x 2 x x8x

226. Δίνονται οι Α(x) = x2 4, Β(x) = 2x2+3x2.Α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α(x) καιΒ(x)Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να

απλοποιήσετε την παράσταση (x 2)Β(x)

f xΑ(x)

Γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) 0

227. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=κx2-x+κ , κ RA) Αν k 0 ,για ποιες τιμές του κ, η συνάρτηση fγράφεται σαν τέλειο τετράγωνο ;

B) Για κ=0 να λυθεί η ανίσωση 100f(x)x

Γα. Bρείτε την τιμή κ R ώστε η γραφικήπαράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Μ(1,3).β. Για την τιμή του κ που βρήκατε στο προήγουμενοερώτημα (Α) να βρείτε, Αν υπάρχουν, τα κοινά σημείατης γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.

228. Έστω η εξίσωση 2x λx λ-1 0 με λ 2 .Α) Να αποδείξετε ότι έχει δύο πραγματικές καιάνισες ρίζες 1 2x ,x .

Β) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις 1 2x x και

1 2x x .

Γ) Να βρείτε το λ ώστε: 21 2 1 2x x 5 2 x x

229. Δίνεται η εξίσωση 2x x λ-1 0 (1) με ρίζες

1 2x , x .

A) Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι: 1 2 1 2x x 3 x x 5 0

Β) Για την τιμή αυτή του λ να λυθεί η εξίσωση (1).Γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε να σχηματίσετε

άλλη εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες, 2 21 1 2 2ρ x , ρ x

230. Έστω η συνάρτηση 2f(x) x (λ-1)x-λ

Α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η f να έχει δύορίζες άνισεςΒ) Αν x1, x2 ρίζες της συνάρτησης f να βρεθεί η τιμή

του λ R ώστε: 1 2

1 1 1x x

Γ) Να λυθεί η ανίσωση d(x, λ) 5-λ όταν η f έχει

μία διπλή ρίζα

231. Δίνεται η εξίσωση 2 2x (α 1)x α 0 , α R (1)

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζεςάνισες για κάθε τιμή του α .Β) Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1):

α) να βρείτε τις τιμές του α ώστε, 1 2x x 2005

β) για α 2 , να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμούμε ρίζες 1 2x 2 και x 2

232. Δίνεται η συνάρτηση

2 2f x 2x λ 1 x κ 2κ με x R και κ, λ R

παράμετροι. Γνωρίζουμε ότι για x 1 η f έχει ελάχιστοτο 3 .Α. Να βρεθούν τα κ και λΒ. Να λυθεί η εξίσωση f x 1 4x 2 .

Γ. Να βρεθεί για ποιες τιμές του x ορίζεται η

συνάρτηση 2g x x f x 4 .

Δ. Εάν α, β είναι οι τετμημένες των σημείων σταοποία η γραφική παράσταση της g τέμνει του άξονα x x

με α β , θεωρούμε τα σημεία Μ 1, β , Ν 10, 2α .

Δείξτε ότι το τρίγωνο ΟΜΝ είναι ορθογώνιο.

Ε. Να λυθεί η ανίσωση 2

1 14f x 3

.

233. Έστω η εξίσωση: 2λ-2 x 2λx λ 2 0 με

λ R 2 .

Α) Δείξτε ότι για κάθε λ R 2 η παραπάνω

εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις.Β) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε 1 2x x 3 όπου

1 2x ,x οι άνισες ρίζες της παραπάνω εξίσωσης.

Γ) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε το τριώνυμο

f(x) 2λ-2 x 2λx λ 2 με λ R 2 να έχει

ελάχιστο το 2.

234. Έστω οι συναρτήσεις: 2f(x) (λ 1)x 4λx 3 και2g(x) x 4μx μ με μ 0

Α) Να βρεθεί η τιμή του λ R ώστε η γραφικήπαράσταση της f να είναι ευθείαΒ) Να βρεθεί η τιμή του μ R ώστε η γραφική

παράσταση της g να εφάπτεται στον άξονα x x΄Γ) Για τις τιμές των λ , μ που βρήκατε να βρείτε τακοινά σημεία των f gC ,C

Δ) Να βρεθούν τα σημεία που τέμνει η Cf τους άξονεςx x΄και y y΄ και να βρεθεί το μήκος της υποτείνουσας τουορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται



235. Έστω η εξίσωση 2 2x 3x μ =0, μ R (1)

Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες

άνισες για κάθε μ R

Β. Αν 1 2ρ ,ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1) , να

βρείτε για ποιες τιμές του μ :

α) η παράσταση 1 2 1Α ρ μ+ρ (μ ρ ) παίρνει το

πολύ την τιμή 2

β) οι ευθείες 21 1ε : y ρ x 2006 και

22 2ε : y (27 ρ )x 2007 είναι παράλληλες

236. Έστω η εξίσωση : 28λ-6 x 8λx 1 0 1

Α) Για ποια τιμή του λ η 1 είναι δευτέρου βαθμού;

Β) Για ποιες τιμές του λ η 1 έχει μία διπλή ρίζα;

237. Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση ax y 4 η οποία

διέρχεται από το σημείο M( 1, 6) .

Α) Να βρεθεί η τιμή του αΒ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της ευθείας ε με τουςάξονεςΓ) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας εΔ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας ε με την

παραβολή 2 13 17y x x4 4

238. Δίνεται η συνάρτηση : 2x 6f x

x x 6

Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της .Β) Να βρεθούν τα σημεία τομής Α , Β της fC με τους

άξονες χ΄χ και ψ΄ψ .Γ) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΒ .

239. Δίνεται η εξίσωση: x2 – (λ – 3 )x + 2 λ – 4 = 0Α) Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζώντης συναρτήσει του λ

Β) Να βρείτε το λ, ώστε να ισχύει η σχέση : 1 2

1 1 1ρ ρ λ

,

όπου ρ1 , ρ2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης

240. Δίνονται τα τριώνυμα: 2P x x 5x 4 ,

2Q x 9 x και 2K x x x 1 .

Α) Να λύσετε κάθε μια από τις ανισώσεις: P x 0 ,

Q x 0 και K x 0

Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

K 1f x P xQ x

241. Δίνεται η συνάρτηση 24 xf x

x 2

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού τηςΒ) Να εξετάσετε αν έχει, άξονα συμμετρίας τονάξονα y y , ή κέντρο συμμετρίας το O 0,0 .

Γ) Να εξετάσετε αν η ευθεία y x 3 1 διέρχεται

από το σημείο 1,f 1

242. Δίνεται η παράσταση 2

23x 3x 2Α2x x 3

α. Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Αβ. Να απλοποιηθεί η παράσταση Αγ. Να λυθεί η ανίσωση Α 1

243. Δίνεται ο πραγματικός αριθμός λ και η εξίσωση

2x 1 λ x 1 0 , η οποία έχει δύο ρίζες πραγματικές

και άνισες, τις 1x και 2x

Α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία παίρνει τιμέςο λΒ) Να λύσετε την ανίσωση

2 21 2 1 2 1 2x x 1 x x 2x x 0 , ως προς λ


2

x αν x 1f x 1 αν x 1

x

Α) Να βρείτε τα f 3 , f 1 , 1f2

και f 2

Β) Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων 1,f 1 και 2,f 2

Γ) Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες

τους αριθμούς f 1 και 1f2


2x 16f xx 4x

Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και νααπλοποιήσετε τον τύπο τηςΒ) Να λύσετε την εξίσωση f x 2

Γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει

0 f x 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Documents

Transcript of ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ