ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΛΑΜΠΗΣ ΒΑΘΗΣ Μαθηματικός

1.α) Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α;β) Ποιοί αριθμοί ονομάζονται άρρητοι;γ) Ποιοί αριθμοί ονομάζονται πραγματικοί;

2. α) Ποιά γωνία λέγεται εγγεγραμμένη σέ κύκλο;β) Τι γνωρίζετε για την εγγεγραμμένη γωνία, που βαίνει σε ημικύκλιο;γ) Τι γνωρίζετε για τις εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στοίδιο τόξο;

3.Στο διπλανό σχήμα έχουμε τον κύκλο (Ο.ρ) με ρ=2cmα) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΟΑΒβ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒγ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένουτμήματος.

4.Δίνεται η υπερβολή

α) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η υπερβολή να βρίσκεται στο 2ο και 4ο

τεταρτημόριο.β) Αν η υπερβολή διέρχεται από το σημείο Α(-1, 2), να υπολογίσετε το λ.γ) Για λ= -1,5 να βρείτε το σημείο Β της υπερβολής με τετμημένη -1 και ναυπολογίσετε την απόσταση των σημείων Α και Β.5. Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων:

6)α)Τι ονομάζεται συνάρτηση;β)Από ποιο τύπο υπολογίζεται η απόσταση δύο σημείων A(χ1,ψ1) ;Να βρείτε τηναπόσταση ΑΒ όταν Α(-2,1) και Β(2,-2)γ)Να συμπληρωθούν τα κενάi. Το συμμετρικό του σημείου Α(x,y) ως προς τον άξονα x’x είναι το σημείο ……………..ii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx είναι μια ….….….που διέρχεται από τηναρχή των αξόνωνiii. Η ευθεία y=0 παριστάνει τον άξονα ……………iv. Ο αριθμός α λέγεται ………….της ευθείας y=αx+βv. Αν δυο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε το …………. των αντίστοιχων τιμών τους



είναι …………..vi. Κάθε σημείο του άξονα x’x έχει ………..μηδέν ενώ κάθε σημείο του άξονα y’y έχει…………….μηδένvii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx+β, β≠0 είναι μια………. παράλληλη τηςευθείας με εξίσωση …………….,που διέρχεται από το σημείο…… του άξονα y’y.viii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=α/χόπου α ≠ 0 λέγεται ……………… καιαποτελείται από δύο κλάδους που βρίσκονται στο …………και ……………τεταρτημόριο των αξόνων, όταν α>0.

7)α)Τι ονομάζεται ημίτονο οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου και τι ονομάζεταισυνημίτονο οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου;β) Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 900 ) είναι εφΓ=1, ποιο είναι το συμπέρασμα σαςγια το είδος του τριγώνου; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.γ)Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ(σωστό) ή Λ(λανθασμένο)

8)Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων

9)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με βάση 16cm και περίμετρο 36cm.α)Να βρείτε καθεμία από τις ίσες πλευρές τουβ)Να βρείτε το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση του τριγώνουγ)Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου

10.Α) Να γράψετε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού α.Β) Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιο σας ως Σωστή ή Λάθος καθεμία από τιςπαρακάτω προτάσεις.1. Αν ο αριθμός α είναι θετικός τότε και ο είναι θετικός αριθμός.

2. Κάθε πραγματικός αριθμός είναι και άρρητος.

3. Ρητοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν στη μορφή

όπου το μ είναι ακέραιος και το ν φυσικός διαφορετικός του μηδενός.4. Για κάθε αριθμό α≥0 ισχύει

11.Α) Να γράψετε το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος.Β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες.



12.Α) Να λυθεί η εξίσωση

Β) Να λυθεί η ανίσωση

13.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A= 900 ) έχουμε ΑΒ=6cm και AΓ=8cm.A) Να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσαςB) Να υπολογίσετε τα παρακάτω1. ημΒ= Γ2. συνΒ=3. εφΓ=4. εφΒ=

14.Α. Πια γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη σε κύκλο (Ο,ρ); Τι είδους γωνίαείναι κάθε εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο; Πιά σχέση έχειμια εγγεγραμμένη γωνία με την επίκεντρη που έχουν το ίδιοαντίστοιχο τόξο;Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στηνκόλλα των απαντήσεων δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθεπρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν ηπρόταση είναι λανθασμένη.α. Το ημίτονο μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνουισούται με το λόγο που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε τηναπέναντι κάθετη πλευρά από τη γωνία ω, με την προσκείμενηκάθετη πλευρά της γωνίας ω.β. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία Γ, τότεγια τις πλευρές του α, β, γ ισχύει η σχέση: α2+β2=γ2

γ. Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε αυξάνεται το ημίτονό της,ελαττώνεται το συνημίτονό της και αυξάνεται η εφαπτομένη της.δ. Η γωνία φ ενός κανονικού πολυγώνου και η κεντρική τουγωνία ω είναι παραπληρωματικέςε. Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το πηλίκο τουημιαθροίσματος των βάσεών του με το ύψος του.

15.Α)Να δώσετε τον ορισμό του συνημίτονου μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου.Β)Να δικαιολογήσετε την ανίσωση 0 <ημω < 1Γ)Αν ω, φ οξείες με ω > φ να συμπληρώσετε τη σχέση εφφ.....εφω

16.Να λύσετε την ανίσωση



και στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών

17.Δίνεται ημικύκλιο ΒΓ και οι χορδές ΑΓ=16 cm και ΑΒ=12 cm.Α. Να δικαιολογήσετε γιατί η Α = 900

Β. Να υπολογίσετε την ακτίνα ρ του κύκλου.Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μέρους του ημικυκλικού δίσκου που βρίσκεταιεκτός του τριγώνου.

18.Α) Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού α ;Β) Να απαντήσετε στις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστόκαι (Λ) αν είναι λάθος.

19.Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

20.Αν στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 1200 και ΑΓ = 600Α) Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.Β) Αν ΑΒ=8cm και ΑΓ=6cm να βρεθεί ηακτίνα του κύκλου.

21.α) Πότε δυο ποσά χ και ψ λέγονται ανάλογα και πότε αντιστρόφως ανάλογα , ποια είναιη σχέση που υπάρχει μεταξύ των δυο ποσών χ και ψ , σε κάθε περίπτωση ;β) Να συμπληρώσετε τα κενά που υπάρχουν στις παρακάτω προτάσεις :1. Η γραφική παράσταση η οποία αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση ανάλογων ποσών είναιμια …………….. η οποία διέρχεται από την …………………….2. Η γραφική παράσταση η οποία αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση αντιστρόφως ανάλογωνποσών ονομάζεται ….…………….. και αποτελείται από …………………….γ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ( Σωστό ~ Λάθος )1 . Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = α χ + β όπου το β ‡ 0 , είναι μια ευθεία ηοποία διέρχεται από το σημείο ( 0 , - β ) του άξονα ψ΄ψ .2 . Η γραφική παράσταση της υπερβολή έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων



και άξονες συμμετρίας τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων ;

22.α) Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο η γωνία Β είναιορθή , να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να γράψετε με βάση τοτρίγωνο που κατασκευάσατε την σχέση που υπάρχει ~ αντιστοιχεί στιςπλευρές του τριγώνου ΑΒΓ .β) Να συμπληρώσετε τα κενά που υπάρχουν στις παρακάτω προτάσεις :1. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου του οποίου η πλευρά είναι ίση με α είναι ίσο με ……..2 Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου μιας βάσης τουτριγώνου επί το ………………………………γ ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ( Σωστό ~ Λάθος )1 . Το εμβαδόν κάθε επίπεδης επιφάνειας είναι πάντα θετικός αριθμός ;2 . Όταν θέλουμε να μεταφερθούμε από την μονάδα του τετραγωνικού μέτρου ( m 2

) ,σε μια μικρότερη τότε την τιμή που έχομε την πολλαπλασιάζουμε με την δύναμη του100 που αντιστοιχεί στην νέα μονάδα ;

23.Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ , του οποίου οι πλευρές είναι : ΑΒ = 12 cm , ΑΓ = 13 cm καιΒΓ = 5 cm .α ) Να αποδείξετε ότι το παραπάνω τρίγωνο ΑΒΓ , είναι ορθογώνιο .β ) Να υπολογίσετε στο παραπάνω τρίγωνο τους επόμενους τριγωνομετρικούς αριθμούς :ημΑ ~ συνΑ και εφΑ , για την γωνια Α του τριγώνου

24.Στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου.Αν ΑΓ=10cm, η γωνία Γ= 28ο και η γωνία Β=64ο Να υπολογίσετε:α) το ΑΔ το τμήμα ΔΓ και το τμήμα ΔΒ β) το εμβαδόν του τριγώνουΑΒΓ. ( Δίνονται ημ28ο=0,46 συν28ο=0,88 εφ28ο=0,53 και ημ64ο=0,89συν64ο=0,43 και εφ64ο=2)

25.Δίνεται η εξίσωση 3μχ-(μ-χ)=χ-3(2μ-1).Να βρείτε την τιμή του μ ώστε η εξίσωση να έχει λύση την χ = -1.

26.Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία ε: y=5x και διέρχεταιαπό το σημείο Μ(2,-3)

27.Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι 314cm2 .α) Να βρεθεί το εμβαδόν ενός κυκλικού του τομέα επικέντρου γωνίας 36ο .β) Να βρεθεί το μήκος του τόξου του ιδίου κυκλικού τομέα.

28.α) Να αναφέρετε τι ονομάζουμε εγγεγραμμένη γωνία.β) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στη κόλλασας τη λέξη "Σωστό" ή "Λάθος" δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθεπρόταση:β1) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο έχειπλευρές κάθετες μεταξύ τους.



β2) Κάθε επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια από κάθε εγγεγραμμένηγωνία του ίδιου κύκλου .β3) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρουτου αντίστοιχου τόξου της.β4) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν όλες οι πλευρές του είναιίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.β5) Το εμβαδόν κυκλικού τομέα με αντίστοιχη επίκεντρη γωνίαμ0 δίνεται από τον τύπο:

29.α) Να αναφέρετε τι γνωρίζετε για την γραφική παράσταση της συνάρτησης

.β) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στη κόλλασας τη λέξη "Σωστό" ή "Λάθος" δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθεπρόταση:β1) Έστω η συνάρτηση ψ=αχ+β με β≠0. Ο αριθμός β λέγεταικλίση της ευθείας ψ=αχ+ββ2) Η γραφική παράσταση της ψ=αχ διέρχεται από την αρχή Οτων αξόνωνβ3) Κάθε σημείο του άξονα x'x έχει τεταγμένη 0.

β4) Αν δίνονται δύο σημεία η απόστασή

τους δίνεται από τον τύπο: .β5) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

30.Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση:

Έστω η συνάρτηση Ψ=(3λ-1)χ+4α) Αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο A(2,-4) να βρεθεί οσυντελεστής διεύθυνσης της.β) Αν λ=-1 να γίνει η γραφική της παράσταση

31.Στο διπλανό σχήμα δίνεται ότι ΒΓ= 16cm , AΓ= 12cm καιότι η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου.α) Να δικαιολογήσετε γιατί το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.β) Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.γ) Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου.



32.α) Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α;β) Να σημειώσετε αν είναι σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) οι παρακάτωπροτάσεις:

33.Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση :I. Η εξίσωση 2χ=2χ έχει:1) Λύση μόνο το χ=12) Είναι ταυτότητα3) Είναι αδύνατη4) Έχει λύση μόνο τους θετικούς αριθμούς

34.Να λύσετε την εξίσωση

35.Στο σχήμα που ακολουθεί έχουμε κύκλο (0,ρ) με ΒΓ= 2 cm. Ναυπολογίσετε:α) Τη γωνία BOΓβ)Το εμβαδό του κύκλουγ) Το εμβαδό του κυκλικού τμήματος (τ)

36.Να λυθεί η εξίσωση

37.Στο παρακάτω τρίγωνο έχουμε ΑΒ=10,ΒΔ=6 και ΑΓ=17.Αφού βρείτεπρώτα τις πλευρές ΑΔ και ΓΔ να εξετάσετε εάν το τρίγωνο ΑΒΓ είναιορθογώνιο.



38.Να λύσετε την εξίσωση:

39.Να λύσετε την παρακάτω ανίσωση και να παραστήσετετις λύσεις της, στην ευθεία των αριθμών:

40.Στο παραπάνω σχήμα δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ= 2cm . Τα σημεία Α, Β , Γ ανήκουνστον κύκλο και η γωνία ΑΟΓ είναι 90ο . Να βρείτεα/ Το μήκος του τόξου ΑΒΓ και το μήκος της χορδής ΑΓβ/ Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα Ο.ΑΒΓ και το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΓγ/ Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου επίπεδου χωρίου

41.Σ τ ο δ ι π λ α ν ό σ χ ή μ α ε ί ν α ι : Α Β = 6 cm , Α Γ = 8 cm κ α ι Α Β τ ό ξ ο = 74 μ ο ί ρ ε ς . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε :α ) τ ι ς γ ω ν ί ε ς τ ο υ τ ρ ί γ ω ν ο υ Α Β Γβ ) τ η ν α κ τ ί ν α τ ο υ κ ύ κ λ ο υγ ) τ ο μ ή κ ο ς L κ α ι τ ο ε μ β α δ ό ν Ε τ ο υ κ ύ κ λ ο υ

42.α ) Ν α σ υ μ π λ η ρ ω θ ε ί ο π α ρ α κ ά τ ω π ί ν α κ α ς τ ι μ ώ ν

β ) Ν α ε κ φ ρ ά σ ε τ ε τ ο ψ ω ς σ υ ν ά ρ τ η σ η τ ο υ χ



γ ) Ν α ε ξ ε τ ά σ ε τ ε α ν τ ο σ η μ ε ί ο ( -2, -4) α ν ή κ ε ι σ τ η γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς α υ τ ή ς

43.Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος ΒΓ=10cmΓ=38ο

Να υπολογίσετε τις άγνωστες πλευρές x,yΔίνονται ημ38ο≈ 0,62 ημ52ο≈ 0,79συν38ο≈ 0,79 συν52ο≈ 0,62

44.α. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώςσυμβολίζεται;β. Χαρακτηρίστε με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) κάθε μία από τις ισότητες

45.Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση :

46.Το εμβαδόν της διπλανής κυκλικής πλατείας, που έχει περιμετρικό ποδηλατόδρομοείναι 144π m2.α) Ένας ποδηλάτης έκανε το γύρο της πλατείας 100 φορές. Μπορείτε ναβρείτε πόσα Km έγραψε ο χιλιομετρητής (κοντέρ) του ποδηλάτου;β) i. Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα (Ο,ΑΒ) με ΑΒ=60ο.ii. αν το γραμμοσκιασμένο κυκλικό τμήμα το αποκόπτει, κατά μια μελέτη,δρόμος, μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν της πλατείας που γίνεται δρόμος;( Δίνεται : =1,7)



47.Το διπλανό σχήμα είναι η κάτοψημιας πισίνας ξενοδοχείουβάθους 2,5 m (πρίσμα).

Αν το Ο σημείο της πλευράς ΑΒμε ΑΟ = 17m και ΟΒ = 4m.Επίσης είναι ΒΓ = 3m,ΓΔ = 13m, ΕΔ = 9m και OEA=90ο, OΔA=90ο ΔOΓ =90ο και OΒΓ =90ο.α) Να βρείτε τα τμήματα ΟΓ = α, ΟΔ = β, ΟΕ = γ και ΑΕ = δ.β) i. Να βρείτε το εμβαδόν της κάτοψης, δηλαδή το (ΑΒΓΔΕ)ii. Τον όγκο του νερού που χρειάζεται για να γεμίσει η πισίνα.

48.Να λυθεί η εξίσωση

49.Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων και να τις παραστήσετε στονάξονα των αριθμών:

50.Στο παρακάτω σχήμα η ΒΓ είναι διάμετρος του κύκλου, Β=30◦ και ΑΓ=10cm.Να βρεθούν α) η ακτίνα R β) το μήκος του τόξου ΑΓ γ) το εμβαδόν τουκυκλικού τομέα γωνίας ΑΟΒ.

51.Nα βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

52.Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ του παρακάτω σχήματος είναι ορθογώνια με ΑΒ=3cm,AΓ=4 cm,ΑΕ=6και ΔΕ=10 cm. Nα υπολογίσετε:Β ι)Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ και ΑΔιι) τα ημω, συνφ και εφφ.



53.Στο παρακάτω σχήμα η διαγώνιος ΑΓ του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι 29cm και η ΒΓ=21 cm.ι) Να δείξετε ότι η διάμετρος ΑΒ του ημικυκλίου είναι 20cm.ιι) Να υπολογίσετε την περίμετρο του γραμμοσκιασμένου σχήματος.ιιι) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου σχήματος.

54.Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τον κύκλο με κέντρο Ο. Να υπολογίσετε τις γωνίεςθ ,ΑΒΓ, ω και το τόξο ΒΓ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Documents

Transcript of ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ